高中数学第2章平面向量22向量的线性运算目标导引苏教版必修4
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修4 2.2 向量的线性运算》3
一、知识梳理
1、向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有__大小__又有__方向_的量；向量的大小叫做向量的__长度或称为__模___
平面向量是自由向量
零向量
长度为__0__的向量；其方向是任意的
记作____
单位向量
长度等于__1个单位___的向量
非零向量a的单位向量为±
平行向量
方向__相同_或__相反____的非零向量
五、课堂练习
与任一向量__平行____或共线
共线向量
_方向相同或相反_的非零向量又叫做共线向量
相等向量
长度_相等_且方向_相同_的向量
两向量只有相等或不等，不能比拟大小
相反向量
长度_相等且方向_相反__的向量
的相反向量为
2、向量的线性运算
向量
运算
定义
法那么或几何意义
ห้องสมุดไป่ตู้运算律
加法
求两个向量和
的运算
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差
___三角形___法那么
a－b＝a＋－b
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
1|λa|＝______；2当λ>0时，λa的方向与a的方向_相同_；当λ<0时，λa的方向与a的方向_相反_；当λ＝0时，λa＝______
λμa＝____；
λ＋μa＝_；
λa＋b=__
3、向量共线定理
三、例题讲解
解:
四、课堂小结
高中数学 第二章 平面向量本章复习教案 苏教版必修4(2021年最新整理)
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第二章平面向量本章复习错误!知识网络教学分析向量的重要性可与函数相比,函数思想是整个中学数学的最重要的思想之一，它贯穿于整个中学的每一个学习阶段;而向量可作为一种重要的解题方法,渗透于高中数学的许多章节，它与函数、三角、复数、立体几何、解析几何等知识的联系是显而易见的．因此复习时，要特别重视向量概念、向量运算,并善于与物理中、生活中的模型进行模拟和联想，利用直观的教学手段和方法，帮助学生正确理解、掌握向量的有关概念、运算及几何意义．变抽象为形象，变被动接受为主动运用向量的知识分析问题、解决问题，从而提高本章复习的教学质量．数与形的紧密结合是本章的显著特点，向量与几何之间存在着对应关系;向量又有加减、数乘积及数量积等运算，也有平面向量的坐标运算，因而向量具有几何和代数的双重属性，能沟通几何与代数，从而给了我们一种新的数学方法-—向量法．向量方法宜于把几何从思辩数学化成算法数学，将技巧性解题化成算法解题，因此是一种通法．在教学中引导学生搞清向量是怎样用有向线段表示的，掌握向量运算法则的基本依据，搞清向量运算和实数运算的联系和区别，认识向量平移是平面向量坐标运算的基础．将一个实际问题转化为向量之间的关系问题,用向量建立一个数学模型是一个难点问题．在复习课教学中应注意多举例，引导学生思考并及时总结，逐步培养学生用向量工具解题的思维方向．学习本章应注意类比，如向量的运算法则及运算律可与实数相应的运算法则及运算律进行横向类比．而一维情形下向量的共线条件，到二维情形下的平面向量基本定理，进而今后推广到三维情形下的空间向量基本定理，又可进行纵向类比．向量是数形结合的载体，在本章学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具,数形结合地解决数学和物理的有关问题．同时,向量的坐标表示为我们用代数方法研究几何问题提供了可能，丰富了我们研究问题的范围和手段．充分发挥多媒体的作用，向量是建立在平面上的,平移是向量的常见现象，而给学生直观、动态的演示能使学生理解、掌握问题．在复习完本章内容后，还要引导学生反思,重新概括研究思路，这样可以使学生体会数学中研究问题的思想方法,提升学生的数学思维水平．三维目标1．通过展示本章知识网络结构，列出复习提纲，引导学生补充相关内容，加深理解向量概念，平面向量的基本定理，两向量平行与垂直的条件，平面向量的坐标表示及其坐标运算，向量的数量积及其性质，向量的实际应用等知识．提高分析问题、解决问题的能力．2．通过本节对向量有关内容的复习，使学生进一步认识事物之间的相互转化．培养学生的数学应用意识．深刻领悟数形结合思想，转化与化归思想．3．通过一题多解的活动,培养学生的发散性思维能力，同时通过多种方法间的沟通，让学生体验数学的统一美、内在美,逐渐学会用美的心态来看待数学．重点难点教学重点：向量的运算,向量平行、垂直的条件,平面向量的坐标表示及其运算、数量积的理解运用．教学难点：向量的概念、运算法则的理解和利用向量解决物理问题和几何问题．对于本章内容的学习，要注意体会数形结合的数学思想方法的应用．课时安排2课时错误!第1课时导入新课思路1.（直接导入）前面一段，我们一起探究学习了向量的有关知识，并掌握了一定的分析问题与解决问题的方法，提高了我们的思维能力．这一节,我们一起对本章进行小结与复习，进一步巩固本章所学的知识,强化向量的综合应用．思路2.(问题导入）由于向量具有几何形式和代数形式的双重身份,与代数、几何都有着密切的关系，因而成为中学数学知识网络的一个交汇点．在中学数学教材中的地位也越来越重要，也成为近几年全国及各省高考命题的重点和热点，根据你所学的本章知识解释一下,它是怎样具有代数、几何双重身份的?向量是怎样进行代数运算的？又是怎样进行几何运算的？你对向量的哪种运算掌握得最好？由此展开全章的复习．推进新课错误!向量的概念、运算及其综合应用．活动：本章概念较多,学生可能不知如何进行复习，从头到尾重新翻看教材,学生兴趣不大，效果也不好．教师要点拨学生不仅要善于学习知识,而且还要善于归纳整理所学的知识．首先教师引导学生回忆从前所学，指导学生归类比较．比较是最好的学习方法，如向量的表示法有：几何表示法为错误!，a(手写时为错误!),坐标表示法为a＝x i＋y j＝(x，y）．有哪些特殊的向量:a ＝0 ⇔|a|＝0。
高中数学必修四 第2章 平面向量本章知识整合 教案 [苏教版]必修4
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【金版学案】-高中数学 第2章 平面向量本章知识整合 苏教版必修4网络构建平面向量的线性运算e 1，e 2是不共线的向量，已知向量AB →＝2e 1＋ke 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值．分析：因为A 、B 、D 三点共线，所以存在λ∈R，使AB →＝λBD →，可由已知条件表示出BD →，由向量相等得到关于λ、k 的方程组，求得k 值．解析：BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2.∵A 、B 、D 三点共线，故存在λ∈R，使AB →＝λBD →. ∴2e 1＋ke 2＝λ(e 1－4e 2)．解得k ＝－8.◎规律总结：向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的线性运算，主要是运用它们的运算法则、运算律，解决三点共线、两线段平行、线段相等、求点的坐标等问题，利用向量的相等及向量共线的充要条件是将向量问题实数化的根据，是解决问题的关键．变式训练1．设两个非零向量e 1和e 2不共线，如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2(e 1＋4e 2)，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A ，B ，D 三点共线．分析：要证明A ，B ，D 三点共线，只需证AB →∥AD →.证明：∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(e 1＋e 2)＋2(e 1＋4e 2)＋3(e 1－e 2)＝6(e 1＋e 2)＝6AB →， ∴AB →，AD →为共线向量．又AB →，AD →有公共点A ，故A ，B ，D 三点共线．2．如图所示，OM ∥AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线所围成的阴影区域内(不含边界)运动，且OP →＝xOA →＋yOB →，则x 的取值范围是________________，当x ＝－12时，y的取值范围是________．解析：∵OP →＝xOA →＋yOB →，据平面向量基本定理，取OA →的相反向量OA ′→， ∵y 可以变化，∴x 可以取任意负实数，故x ∈(－∞，0)． 当x ＝－12时，OA ′→＝－12OA →.过点A ′作OB →的平行线交OM →于点M ，过M 作OA ′的平行线交OB →于点E ，则OE →＝12OB →.同理，过A ′作OB →的平行线交AB →的延长线于点F .再过F 作OA →的平行线交OB →的延长线于点H ，则OH →＝32OB →，因不包括边界，故y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.答案：(－∞，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32向量的坐标运算已知点O (0，0)，A (1，2)，B (4，5)及OP →＝OA →＋tAB →. (1)当t 为何值时，P 在x 轴上？在y 轴上？在第二象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．分析：(1)将OP →的坐标用t 表示出来，然后讨论OP →的横、纵坐标．(2)若能成为平行四边形，则有OA →＝PB →，解出t 的值；若t 无解，则不能构成平行四边形．解析：(1)∵OA →＝(1，2)，AB →＝(3，3)， ∴OP →＝OA →＋tAB →＝(1＋3t ，2＋3t )． 若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，t ＝－23；若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，t ＝－13；若点P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＜0，2＋3t ＞0.解得－23＜t ＜－13.(2)∵OA →＝(1，2)，PB →＝PO →＋OB →＝(3－3t ，3－3t )． 若四边形OABP 为平行四边形，则OA →＝PB →.又⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2 无解，故四边形OABP 不能成为平行四边形．◎规律总结：向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示，引入向量的坐标表示，向量的运算完全化为代数运算，达到了数与形的统一，通过向量的坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模，判断共线、平行等问题．变式训练3．已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，且CM →＝3CA →，CN →＝2CB →，求向量MN →的坐标．分析：要求MN →的坐标只要求出M 、N 点的坐标即可．为此须设出M 、N 的坐标，然后用已知条件求出．解析：设M 点坐标为(x ，y )，依题意有 CA →＝(1，8)，CB →＝(6，3)，CM →＝(x ＋3，y ＋4)．∵CM →＝3CA →，∴(x ＋3，y ＋4)＝3(1，8)． 解得x ＝0，y ＝20，即M 的坐标为(0，20)， 同理可得N 的坐标为(9，2)，∴MN →＝(9，－18)．4．在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为AB 的中点，E 为△ACD 的重心，F 为△ABC 的外心，证明EF ⊥CD .证明：建立如图所示的平面直角坐标系．设A (0，b )，B (－a ，0)，C (a ，0)，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，b 2，CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2， 易知△ABC 的外心F 在y 轴上．可设F (0，y )，由|AF →|＝|CF →|，可得(y －b )2＝a 2＋y 2，所以y ＝b 2－a 22b ，即F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b 2－a 22b . 又由重心坐标公式得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 6，b 2，则EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 6，－a 22b ，所以CD →·EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 6＋b 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 22b ＝0.所以CD →⊥EF →，即EF ⊥CD .平面向量的数量积设0＜|a |≤2，且函数f (x )＝cos 2x －|a |sin x －|b |的最大值为0，最小值为－4，且a 与b 的夹角为45°，求|a ＋b |.分析：要求|a ＋b |需知道|a |、|b |，故可利用函数的最值确立|a |、|b |的值． 解析：f (x )＝1－sin 2x －|a |sin x －|b |＝－⎝⎛⎭⎪⎫sin x ＋|a |22＋|a |24－|b |＋1.∵0＜|a |≤2，∴当sin x ＝－|a |2时，14|a |2－|b |＋1＝0；当sin x ＝1时，－|a |－|b |＝－4. 由⎩⎪⎨⎪⎧14|a |2－|b |＋1＝0，－|a |－|b |＝－4⇒⎩⎪⎨⎪⎧|a |＝2，|b |＝2.∴|a ＋b |2＝8＋42， 即|a ＋b |＝22＋ 2.◎规律总结：平面向量的数量积是向量的核心内容，通过向量的数量积考查向量的平行、垂直等关系，利用数量积可以计算向量的夹角、长度等．对数量积的正确理解及其性质的灵活应用是解决这类问题的关键．变式训练5．如右图所示，已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6，下列向量的数量积中：①P 1P 2→·P 1P 3→；②P 1P 2→·P 1P 4→； ③P 1P 2→·P 1P 5→；④P 1P 2→·P 1P 6→，向量的数量积最大的是________(填序号)．解析：设正六边形边长为a ，则P 1P 2→·P 1P 3→＝a ·3a ·cos 30°＝32a 2，P 1P 2→·P 1P 4→＝a ·2a ·cos60°＝a 2，P 1P 2→·P 1P 5→＝a ·3a ·cos 90°＝0，P 1P 2→·P 1P 6→＝a ·a ·cos 120°＝－12a 2，∴数量积最大的是P 1P 2→·P 1P 3→.故填①.答案：①6．如图，在△ABC 中，|AB →|＝3，|AC →|＝1，l 为BC 的垂直平分线且交BC 于点D ，E 为l 上异于点D 的任意一点，F 为线段AD 上的任意一点．(1)求AD →·(AB →－AC →)的值；(2)判断AE →·(AB →－AC →)的值是否为一常数，并说明理由； (3)若AC ⊥BC ，求AF →·(FB →＋FC →)的最大值．解析：(1)AD →·(AB →－AC →)＝12(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝12(|AB →|2－|AC →|2)＝4.(2)AE →·(AB →－AC →)的值为一常数． AE →·(AB →－AC →)＝(AD →＋DE →)·(AB →－AC →)＝AD →·(AB →－AC →)＋DE →·(AB →－AC →)＝AD →·(AB →－AC →)＝4.(3)当AC ⊥BC 时，BC ＝22，AD ＝3，AF →·(FB →＋FC →)＝AF →·2FD →＝2(AF →·FD →)＝2|AF →||FD →|cos 0°＝2|AF →||FD →|.设|AF →|＝x ，则|FD →|＝3－x ， 所以AF →·(FB →＋FC →) ＝2x (3－x ) ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋32.所以当x ＝32时，AF →·(FB →＋FC →)的最大值为32.平面向量的应用如下图所示，以△ABC 的两边AB ，AC 为边向外作正方形ABGF ，ACDE ，M 为BC 的中点，求证：AM ⊥EF .分析：要证AM ⊥EF ，只需证明AM →·EF →＝0，将AM →用AB →、AC →表示，EF →用AE →、AF →表示，然后通过向量运算证明．证明：因为M 是BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)，EF →＝AF →－AE →，所以AM →·EF →＝12(AB →＋AC →)·(AF →－AE →) ＝12(AB →·AF →＋AC →·AF →－AB →·AE →－AC →·AE →) ＝12(0＋AC →·AF →－AB →·AE →－0) ＝12(AC →·AF →－AB →·AE →) ＝12[|AC →||AB →|cos(90°＋∠BAC )－|AB →||AC →|cos(90°＋∠BAC )] ＝0，所以AM →⊥EF →，即AM ⊥EF .◎规律总结：平面向量的应用主要体现在两个方面：一是在平面几何中的应用，向量的加法运算和全等、平行、数乘向量和相似，距离、夹角和向量的数量积之间有密切联系，因此利用向量方法可以解决平面几何中的相关问题．解决问题的关键是恰当地引入向量，通过向量运算，解释几何性质．二是在物理中的应用，主要解决力、位移、速度等问题．解题的关键在于运用向量的观点将物理问题转化为数学问题，并建立相应的数学模型．变式训练7．如右图，O 为△ABC 的外心，E 为三角形内的一点，满足OE →＝OA →＋OB →＋OC →，求证：AE →⊥BC →.证明：∵BC →＝OC →－OB →，AE →＝OE →－OA →＝(OA →＋OB →＋OC →)－OA →＝OB →＋OC →， ∴AE →·BC →＝(OC →＋OB →)·(OC →－OB →) ＝|OC →|2－|OB →|2.∵O 为外心，∴|OC →|＝|OB →|.即AE →·BC →＝0，∴AE →⊥BC →.8．一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度与船的实际速度．解析：如题图所示，5|x |＝tan 30°， ∴|x |＝53≈8.66 (km/h)． 5|y |＝sin 30°，∴|y |＝10 km/h. 即水速约为8.66 km/h ，船实际速度为10 km/h.向量与其他知识的综合在直角坐标平面中，已知点P 1(1，2)，P 2(2，22)，P 3(3，23)，…，P n (n ，2n)，其中n 是正整数，对平面上任意一点A 0，记A 1为A 0关于点P 1的对称点，A 2为A 1关于点P 2的对称点……A n 为A n －1关于点P n 的对称点．(1)求向量A 0A 2→的坐标；(2)当点A 0在曲线C 上移动时，点A 2的轨迹是函数y ＝f (x )的图象，其中f (x )是以3为周期的周期函数，且当x ∈(0，3]时，f (x )＝lg x ，求以曲线C 为图象的函数在(1，4]上的解析式．分析：(1)求一点关于另一点的对称点，利用中点坐标公式求之； (2)由图象的平移和周期求出函数的解析式． 解析：(1)设点A 0(x ，y )，A 0关于点P 1的对称点A 1的坐标为A 1(2－x ，4－y )， A 1关于点P 2的对称点A 2的坐标为A 2(2＋x ，4＋y )，所以A 0A 2→＝(2，4)．(2)方法一 ∵A 0A 2→＝(2，4)，∴f (x )的图象由曲线C 向右平移2个单位长度，再向上平称4个单位长度得到．因此，曲线C 是函数y ＝g (x )的图象，其中g (x )是以3为周期的周期函数，且当x ∈(－2，1]时，g (x )＝lg(x ＋2)－4.于是，当x ∈(1，4]时，g (x )＝lg(x －1)－4. 方法二 设A 0(x ，y )，A 2(x 2，y 2)，于是⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＝2，y 2－y ＝4.若3＜x 2≤6，则0＜x 2－3≤3， 于是f (x 2)＝f (x 2－3)＝lg(x 2－3)．当1＜x ≤4时，则3＜x 2≤6，y ＋4＝lg(x －1)． ∴当x ∈(1，4]时，g (x )＝lg(x －1)－4.◎规律总结：向量作为一种基本工具，在数学解题中有着重要的地位与作用，它的引入大大拓宽了解题的思路与方法，使它在研究其他许多问题时获得了广泛的应用．利用向量知识和向量方法可以非常简捷、规范地处理代数中的数列、函数、方程、不等式等有关问题．变式训练9．已知点A (2，2)，B (4，1)，O 为坐标原点，P 为x 轴上一动点，当AP →·BP →取最小值时，求向量PA →与PB →的夹角的余弦值．解析：设点P 的坐标为(x ，0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)， ∴AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1)＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1.∴当x ＝3时，AP →·BP →取最小值1，此时PA →＝(2，2)－(3，0)＝(－1，2)，PB →＝(4，1)－(3，0)＝(1，1)．∴|PA →|＝5，|PB →|＝ 2. ∴cos ∠APB ＝PA →·PB →|PA →||PB →|＝1010.10．如图，在平面斜坐标xOy 中．∠xOy ＝60°，平面上任一点P 关于斜坐标系的坐标是这样定义的：若OP →＝xe 1＋ye 2(其中e 1，e 2分别为与x 轴、y 轴同方向的单位向量)，则点P 的斜坐标为(x ，y )．(1)若点P 的斜坐标为(2，－2)，求点P 到点O 的距离|OP |； (2)求以O 为圆心，以1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程．解析：(1)因点P 的坐标为(2，－2)，故OP →＝2e 1－2e 2，|OP →|＝2，即|OP |＝2. (2)设圆上动点M 的坐标为(x ，y )， 则OM →＝xe 1＋ye 2，又|OM →|＝1，∴(xe 1＋ye 2)2＝1. ∴x 2＋y 2＋2xye 1·e 2＝1， 即x 2＋y 2＋xy ＝1.故所求方程为x 2＋y 2＋xy －1＝0.。
苏教版高一数学必修四第二章平面向量的线性运算和坐标表示复习讲义
高一数学平面向量的线性运算与坐标表示知 识 梳 理一、向量相关概念1．向量的概念：既有大小又有方向的量，常用有向线段来表示；2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0r；3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(AB u u u r的单位向量是||AB AB u u u r u u u r )；4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5．共线向量：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥。
规定：零向量和任何向量平行。
二、平面向量的基本定理：如果1e u r 和2e u u r是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a r，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+r u r u u r 。
三、向量的表示方法1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如；2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等； 3． 坐标表示法：a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。
四、实数与向量的积a a λλ=r r 000;0a a a a a λλλλλλ⎧>⎪⎪==⎨⎪>⎪⎩r rr r r r 当时，与的方向相同;当时，当时，与的方向相同。
五、 向量的运算1． 几何运算：平行四边形法则与三角形法则；2． 坐标运算：设1122(,),(,)a x y b x y ==r r则：12(a b x x ±=±r r ，12)y y ±；()()1111,,a x y x y λλλλ==r。
若1122(,),(,)A x y B x y ，则()2121,AB OB OA x x y y =-=--u u u r u u u r u u u r3. 向量共线：//a b a b λ⇔=r r r r22()(||||)a b a b ⇔⋅=r r r r 1212x y y x ⇔-＝0。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修4 2.2 向量的线性运算》
2．2?平面向量的线性运算?教学设计【教学目标】1．掌握向量的加、减法运算，并理解其几何意义；2．会用向量加、减的三角形法那么和平行四边形法那么作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；3．通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；4．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；5．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行； 6．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想【导入新课】 设置情景：1、复习：向量的定义以及有关概念强调：向量是既有大小又有方向的量长度相等、方向相同的向量相等因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置2、 情景设置：〔1〕某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ， 那么两次的位移和：〔2〕假设上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ， 那么两次的位移和：〔3〕某车从A 到B ，再从B改变方向到C ，A B CC A BACOAa aa bbb那么两次的位移和：〔4〕船速为，水速为，那么两速度和： 新授课阶段 一、向量的加法１．向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法 ２．三角形法那么〔“首尾相接，首尾连〞〕如图，向量a 、ｂ在平面内任取一点，作＝a ，＝ｂ，那么向量叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即 a ＋ｂ，规定： a 0-= 0 a探究：〔1〕两相向量的和仍是一个向量； 〔2〕当向量与不共线时，的方向不同向，且||||，那么的方向与相同，且||=||-||；假设||<||，那么的方向与相同，且|b|=||-||〔4〕“向量平移〞〔自由向量〕：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加例1 向量、，求作向量作法：在平面内取一点，作 ，那么 ４．加法的交换律和平行四边形法那么ACABCab abaa b baｂｂ ａa问题：上题中的结果与是否相同？ 验证结果相同从而得到：１〕向量加法的平行四边形法那么〔对于两个向量共线不适应〕； ２〕向量加法的交换律：= ５．向量加法的结合律： = 证：如图：使， ， ， 那么 =， = ∴ =从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行二、向量的减法1．用“相反向量〞定义向量的减法〔1〕 “相反向量〞的定义：与a 长度相同、方向相反的向量记作 -a 〔2〕 规定：零向量的相反向量仍是零向量--a = a 任一向量与它的相反向量的和是零向量a -a = 0如果a 、b 互为相反向量，那么a = -b ， b = -a ， a b = 0〔3〕 向量减法的定义：向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差 即：a - b = a -b ，求两个向量差的运算叫做向量的减法 2．用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算：假设b = a ，那么叫做a 与b 的差，记作a - b 3．求作差向量：向量a 、b ，求作向量a - b∵a -b b = a -b b = a 0 = a ， 作法：在平面内取一点O ， 作= a ， = b 那么= a - bOabBa ba -b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量 注意：1︒表示a - b 强调：差向量“箭头〞指向被减数， 2︒用“相反向量〞定义法作差向量，a - b = a -b显然，此法作图较繁，但最后作图可统一4探究：１） 如果从向量a 的终点指向向量b 的终点作向量，那么所得向量是b - a２〕假设a ∥b ， 如何作出a - b ？例2 向量a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d解：在平面上取一点O ，作= a ， = b ， = c ， = d ， 作， ，那么= a -b ， = c -dOAaB’ b -bbBa -babABCbad cDOa -bA ABBB’Oa -baab b O A OBa -ba -b BA O-b例3 平行四边形中，a ，b ， 用a 、b 表示向量、解：由平行四边形法那么得： = a b ， = = a -b变式一：当a ， b 满足什么条件时，ab 与a -b 垂直？〔|a | = |b |〕 变式二：当a ， b 满足什么条件时，|ab | = |a -b |？〔a ， b 互相垂直〕 变式三：ab 与a -b对角线方向不同〕 三、向量数乘运算 1．定义：请大家根据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数与向量的积？〔可结合教材思考〕可根据小学算术中的解释，类比规定：实数与向量的积就是，它还是一个向量，但要对实数与向量相乘的含义作一番解释才行实数与向量的积是一个向量，记作 它的长度和方向规定如下： 〔1〕〔2〕时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；特别地，当或时，2．运算律：问：求作向量和〔为非零向量〕并进行比拟，向量与向量相等吗？〔引导学生从模的大小与方向两个方面进行比拟〕生：，师：设、为任意向量，、为任意实数，那么有：A BD C〔1〕；〔2〕；〔3〕通常将〔2〕称为结合律，〔1〕〔3〕称为分配律3．向量平行的充要条件：请同学们观察，，答复、有何关系？生：因为，所以、是平行向量引导：假设、是平行向量，能否得出？为什么？可得出吗？为什么？生：可以！因为、平行，它们的方向相同或相反师：由此可得向量平行的充要条件：向量与非零向量平行的充要条件是有且仅有一个实数，使得对此定理的证明，分两层来说明：其一，假设存在实数，使，那么由实数与向量乘积定义中第2条可知与平行，即与平行其二，假设与平行，且不妨令，设〔这是实数概念〕．接下来看、方向如何：①、同向，那么，②假设、反向，那么记，总而言之，存在实数〔或〕使例4 如图：，，试判断与是否平行．解：∵，∴与平行4〕单位向量：单位向量：模为1的向量向量〔〕的单位向量：与同方向的单位向量，记作思考：如何用来表示？〔〕例5 ，设，如果，那么为何值时，三点在一条直线上？解：由题设知，，三点在一条直线上的充要条件是存在实数，使得，即，整理得①假设共线，那么可为任意实数；②假设不共线，那么有解之，得综上，共线时，那么可为任意实数；不共线时，例6 在平行四边形ABCD中，分别是的中点，为与的交点，假设，，试以，表示、、．解：，，是△的重心，课堂小结〔1〕与的积还是向量，与是共线的；〔2〕向量平行的充要条件的内容和证明思路，也是应用该结论解决问题的思路该结论主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题；〔3〕运算律暗示我们，化简向量代数式就像计算多项式一样去合并同类项作业P88-89习题3 A组 2、3、4、5P89习题3 B组 2、3拓展提升1设都是单位向量，那么以下结论中正确的选项是A．B．C．D．2正方形的边长为，，那么A B C D3 向量，且，那么用表示4，为线段上距较近的一个三等分点，为线段上距较近的一个三等分点，那么用表示的表达式为A B C D5 向量不共线，为实数，那么当时，有，6假设菱形的边长为，那么7,那么的取值范围是参考答案1．提示：因为是单位向量，2．提示：，∴3．4．提示：，∴，5．提示：假设不全为，比方，那么有，从而共线6．2 提示：7．提示:。
高中数学 2.2 向量的线性运算教材梳理素材 苏教版必修4(2021年整理)
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高中数学 2.2 向量的线性运算教材梳理素材苏教版必修4知识·巧学1。
向量的加法（1)向量加法的定义向量是否能进行运算？先看下面几个实例.①某人从A到B，再从B按原方向到C,则两次的位移和:ACAB=+。
〔如图2—2—1(1)〕BC(1) （2）图2—2-1②若上题改为从A到B,再从B按反方向到C，则两次的位移和：AC+。
〔如图2-2-1AB=BC（2)〕③某车从A到B，再从B改变方向到C，则两次的位移和：AC+.〔如图2—2-2(1)〕AB=BC(1) （2)图2—2-2④船速为AB，水速为BC，则两速度和：AC+。
〔如图2-2-2(2）〕AB=BC上面四个实例虽然是物理学中求两个已知位移和位移的题目，实质上它们当中却包含着数学中的向量的加法运算.一般地，已知向量a和b，在平面内任取一点O,作OA=a，AB=b,则向量OB叫做a与b 的和,记作a+b。
即a+b=OB+.(如图2—2-3)OA=AB图2-2—3两个向量的和仍是一个向量。
求两个向量的和的运算叫做向量的加法。
上面根据向量的定义得出的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.三角形法则有两个步骤:①以表示向量的第一个有向线段的终点作为表示第二个向量的有向线段的起点;②第一条有向线段的起点到第二条有向线段的终点的有向线段表示的向量为两个向量的和向量。
高中数学 第二章 平面向量 2.2 向量的线性运算 2.2.2 向量的减法教案 苏教版必修4
2．2.2 向量的减法整体设计教学分析向量减法运算是加法的逆运算．学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算．因此，类比数的减法(减去一个数等于加上这个数的相反数)，首先引进相反向量的概念，然后引入向量的减法(减去一个向量，等于加上这个向量的相反向量)，通过向量减法的三角形法则和平行四边形法则，结合一定数量的例题，深刻理解向量的减法运算．通过阐述向量的减法运算，可以转化为向量的加法运算，渗透化归的数学思想，使学生理解事物之间相互转化、相互联系的辩证思想，同时由于向量的运算能反映出一些物理规律，从而加强了数学学科与物理学科之间的联系，提高学生的应用意识．三维目标1．通过探究活动，使学生掌握向量减法的概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行的，掌握相反向量．启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题．能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量．2．鼓励学生对一些数学结论作出猜想，并给出证明，培养学生敢于独立思考、勇于创新的科学精神，培养学生的数学人文价值观．重点难点教学重点：向量的减法运算及其几何意义．教学难点：对向量减法定义的理解．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(问题导入)上节课，我们定义了向量的加法概念，并给出了求作和向量的两种方法．由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算：减去一个数等于加上这个数的相反数．向量的减法是否也有类似的法则呢？引导学生进一步探究，由此展开新课．思路2.(直接导入)数的减法运算是加法运算的逆运算．本节课，我们继续学习向量加法的逆运算：减法；向量的加法运算有三角形法则和平行四边形法则，那么，向量的减法运算是否也有类似的运算律呢？引导学生去探究、发现．推进新课新知探究向量的减法运算及其几何意义．数的减法运算是数的加法运算的逆运算，数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数，因此定义数的减法运算，必须先引进一个相反数的概念．类似地，向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算．请同学们思考，类比数的减法运算，我们可以定义向量的减法运算，由上节知相反向量，即－(－a )＝a .任一向量与其相反向量的和是零向量，即a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0.所以，如果a 、b 互为相反向量，那么a ＝－b ，b ＝－a ，a ＋b ＝0.由此我们得到向量的减法定义，向量的减法是向量加法的逆运算．若b ＋x ＝a ，则向量x 叫做a 与b 的差，记为a －b ，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．根据向量减法的定义和向量加法的三角形法则，我们可以得到向量a －b 的作图方法.如图1，设向量AB →＝b ，AC →＝a ，则AD →＝－b ，由向量减法的定义，知AE →＝a ＋(－b )＝a －b .图1又b ＋BC →＝a ，所以BC →＝a －b .进一步，如图2，已知a 、b ，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ，即a －b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量，这是向量减法的几何意义．图2教师引导学生仔细观察，细心体会：向量的减法按三角形法则，一定要注意向量的方向．即把减向量与被减向量的起点重合，其差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则，这也正是向量的运算的几何意义所在，应充分利用向量加、减法的几何意义，这也是数形结合思想的重要体现．教师再次强调，差向量的箭头指向被减向量的终点．即a －b 是表示从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量．应用示例思路1例1见课本本节例1.变式训练1．如图3(1)，已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a －b ，c －d .图3活动：教师让学生亲自动手操作，引导学生注意规范操作，为以后解题打下良好基础；点拨学生根据向量减法的三角形法则，需要选点平移作出两个同起点的向量．作法：如图3(2)，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，则BA →＝a －b ，DC →＝c －d .2．在ABCD 中，下列结论错误的是( )A.AB →＝DC →B.AD →＋AB →＝AC →C.AB →－AD →＝BD →D.AD →＋BC →＝0解析：A 显然正确，由平行四边形法则可知B 正确，C 中AB →－AD →＝BD →错误，D 中AD →＋BC →＝AD →＋DA →＝0正确．答案：C例2课本本节例2.变式训练1．如图4，ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，你能用a 、b 表示向量AC →、DB →吗？图4活动：本例是用两个向量表示几何图形中的其他向量，这是用向量证明几何问题的基础．要多注意这方面的训练，特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系．解：由向量加法的平行四边形法则，我们知道AC →＝a ＋b ，同样，由向量的减法，知DB →＝AB →－AD →＝a －b .2．已知一点O 到ABCD 的3个顶点A 、B 、C 的向量分别是a 、b 、c ，则向量OD →等于( )A ．a ＋b ＋cB ．a －b ＋cC ．a ＋b －cD ．a －b －c解析：如图5，点O 到ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的向量分别是a 、b 、c ，图5结合图形有OD →＝OA →＋AD →＝OA →＋BC →＝OA →＋OC →－OB →＝a －b ＋c .答案：B3．若AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b .①当a 、b 满足什么条件时，a ＋b 与a －b 垂直？②当a 、b 满足什么条件时，|a ＋b|＝|a －b|?③当a 、b 满足什么条件时，a ＋b 平分a 与b 所夹的角？④a ＋b 与a －b 可能是相等向量吗？解：如图6，用向量构建平行四边形，其中向量AC →、DB →恰为平行四边形的对角线．由平行四边形法则，得AC →＝a ＋b ，DB →＝AB →－AD →＝a －b .图6由此问题就可转换为：①当边AB 、AD 满足什么条件时，对角线互相垂直？(|a|＝|b|)②当边AB 、AD 满足什么条件时，对角线相等？(a 、b 互相垂直)③当边AB 、AD 满足什么条件时，对角线平分内角？(|a |＝|b |)④a ＋b 与a －b 可能是相等向量吗？(不可能，因为对角线方向不同)点评：灵活的构想，独特巧妙，数形结合思想得到充分体现．由此我们可以想到在解决向量问题时，可以利用向量的几何意义构造几何图形，转化为平面几何问题，这就是数形结合解题的威力与魅力，教师引导学生注意领悟.思路2例1判断题．(1)若非零向量a 与b 的方向相同或相反，则a ＋b 的方向必与a 、b 之一的方向相同．(2)△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0.(3)若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A 、B 、C 三点是一个三角形的三顶点．(4)|a ＋b|≥|a －b |.解：(1)a 与b 方向相同，则a ＋b 的方向与a 和b 方向都相同；若a 与b 方向相反，则有可能a 与b 互为相反向量，此时a ＋b ＝0的方向不确定，说与a 、b 之一方向相同不妥．(2)由向量加法法则得：AB →＋BC →＝AC →，AC →与CA →互为相反向量，所以有上述结论．(3)因为当A 、B 、C 三点共线时也有AB →＋BC →＋CA →＝0，而此时构不成三角形．(4)当a 与b 不共线时，由向量加法的平行四边形法则可知其大小不定．当a 、b 为非零向量共线时，同向则有|a ＋b|>|a －b|，异向则有|a ＋b|<|a －b |； 当a 、b 中有零向量时，|a ＋b|＝|a －b |.综上所述，只有(2)正确．例2若|AB →|＝8，|AC →|＝5，则|BC →|的取值范围是( )A ．[3,8]B ．(3,8)C ．[3,13]D ．(3,13)解析：BC →＝AC →－AB →.(1)当AB →，AC →同向时，|BC →|＝8－5＝3；(2)当AB →，AC →反向时，|BC →|＝8＋5＝13；(3)当AB →，AC →不共线时，3<|BC →|<13.综上，可知3≤|BC →|≤13.答案：C点评：此题可直接应用重要性质||a|－|b||≤|a ＋b|≤|a|＋|b |求解．知能训练课本本节练习．课堂小结1．先由学生回顾本节学习的数学知识：相反向量，向量减法的定义，向量减法的几何意义，向量差的作图．2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，类比，数形结合，几何作图，分类讨论． 作业已知O 为△ABC 的外心，H 为垂心，求证：OH →＝OA →＋OB →＋OC →.证明：作直径BD ，连结DA ，DC ，有OB →＝－OD →，DA⊥AB，DC⊥BC，故CH∥DA，AH∥DC，得四边形AHCD 为平行四边形，∴有AH →＝DC →.又∵DC →＝OC →－OD →＝OC →＋OB →，∴OH →＝OA →＋AH →＝OA →＋DC →＝OA →＋OB →＋OC →.∴结论成立．设计感想1．向量减法的几何意义主要是结合平行四边形法则和三角形法则进行讲解的，两种作图方法各有千秋．第一种作法结合向量减法的定义，第二种作法结合向量的平行四边形法则，直接作出从同一点出发的两个向量a 、b 的差，即a －b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量，第二种作图方法比较简捷．2．鉴于上述情况，教学中引导学生结合向量减法的几何意义，注意差向量的方向，也就是箭头的方向不要搞错了，a －b 的箭头方向要指向a 的终点，如果指向b 的终点则表示b －a ，在几何证明题目中，特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系．备课资料一、向量减法法则的理解向量减法的三角形法则的式子内容是：两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同(否则无法相减)，这样两个向量的差向量是以减向量的终点的字母为起点，以被减向量的终点的字母为终点的向量．只要学生理解法则内容，那么解起向量加减法的题来就会更加得心应手，尤其遇到向量的式子运算题时，一般不用画图就可迅速求解，如下面例题：例1化简：AB →－AC →＋BD →－CD →.解：原式＝CB →＋BD →－CD →＝CD →－CD →＝0.例2化简：OA →＋OC →＋BO →＋CO →.解：原式＝(OA →＋BO →)＋(OC →＋CO →)＝(OA →－OB →)＋0＝BA →.二、备用习题1．下列等式中，正确的个数是( )①a ＋b ＝b ＋a ②a －b ＝b －a ③0－a ＝－a ④－(－a )＝a ⑤a ＋(－a )＝0A ．5B ．4C ．3D ．2图72．如图7，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则AF →－DB →等于( )A.FD →B.FC →C.FE →D.BE →3．下列式子中不能化简为AD →的是( )A ．(AB →＋CD →)＋BC →B ．(AD →＋MB →)＋(BC →＋CM →)C.MB →＋AD →－BM →D.OC →－OA →＋CD →4．已知A 、B 、C 三点不共线，O 是△ABC 内一点，若OA →＋OB →＋OC →＝0，则O 是△A BC 的()A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心参考答案：1．C 2.D 3.C 4.A。
(最新整理)必修四2.2平面向量的线性运算(教案)
加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义．结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边
形法则．联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律．
教学准备
教师准备：多媒体或实物投影仪、尺规．
学生准备:练习本、尺规。
教学过程
一、创设情境，导入新课
上一节，我们一起学习了向量的有关概念，明确了向量的表示方法，了解了零向量、单位
教学难点:理解向量加减法的定义．
教学关键：向量加法的三角形法则和平行四边形法则的探究引导.
教学突破方法:由物理中力的合成与分解拓展延伸，引导学生探讨得到结论．
教法与学法导航
教学方法；启发诱导，讲练结合．
学习方法：数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，
位移的合成、力的合成可看作向量的加法．借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
师生互动：向量是既有大小、又有方向的量，教师引导学生回顾物理中位移的概念,位移 可以合成，如图．某对象从 A 点经 B 点到 C 点,两次位移 AB 、 BC 的结果，与 A 点直接到 C 点 的位移 AC 结果相同．力也可以合成，老师引导,让学生共同探究如下的问题。
图（1）表示橡皮条在两个力的作用下,沿着 GC 的方向伸长了 EO；图（2）表示撤去 F1 和 F2， 用一个力 F 作用在橡皮条上，使橡皮条沿着相同的方向伸长相同的长度．
2。 向量加法的法则: （1)向量加法的三角形法则 在定义中所给出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法则．运用这一法则时要特别注 意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第 二个向量的终点的向量即为和向量． 位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型． （2）向量加法的平行四边形法则
高中数学第2章平面向量22向量的线性运算课堂导学苏教版必修4
高中数学 第2章 平面向量 2.2 向量的线性运算课堂导学 苏教版必修4三点剖析1.向量的加减法运算数乘的定义及其运算律【例1】 在四边形中，已知=a ，=b ，=c ，试用向量a ,b ,c 表示向量. 思路分析：连结AC ，则将四边形ABCD 分成两个三角形.利用向量的三角形法则，将AC 用a ,b ,c 与DC 来表示，即可求出DC .解：在下图中作向量.由向量加法的三角形法则， 得=a +c ，=b +.所以 a +c =b +. 因此DC =a +c -b .温馨提示找到向量并以建立与a ,b ,c 的关系是本题的关键.【例2】在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，设AB =a ,AD =b ，求作向量a -b ,21a -b ,b +21a . 思路分析：利用向量数乘、减法的法则来作图.解：如图a -b =AB -AD =DB .21a -b =-=. b +21a =+=. 2．对向量数乘运算律的理解和应用【例3】设x 是未知量，解方程2（x-31a ）-21(b -3x+c )+b =0. 思路分析：向量方程与实数方程类似，我们可以用和实数方程类似的方法来解决. 解：原方程化为2x-32a -21b +23x-21c +b =0, 27B-32a +21b -21c =0, 27x =32a -21b +21c , ∴x =214a -71b +71c . 3.向量共线的应用【例4】如右图所示，在平行四边形ABCD 中，=a ，=b ，M 是AB 的中点，点N 是BD 上一点，|BN|=31|BD|.求证：M 、N 、C 三点共线.思路分析：本题主要考查运用向量知识解决平面几何问题.要证三点共线（M 、N 、C ），不妨证、具有一定的倍数关系，只要用已知条件a ,b 表示出，，问题就可以解决.证明：∵AD =a ,AB =b , ∴=-=a -b . ∴=+=21b +31 =21b +31 (a -b )= 31a +61b =61(2a +b ). 又∵=+=21b +a =21 (2a +b ), ∴=3.又与有共同起点，∴M、N 、C 三点共线.温馨提示几何中证明三点共线，可先在三点中选取起点和终点确定两个向量，看能否找到唯一的实数λ使两向量具有一定的倍数关系.各个击破类题演练1已知平行四边形ABCD ，=a ，=b ，用a 、b 分别表示向量，.思路分析：利用向量加法、减法的平行四边形法则.解：连结AC 、DB ，由求向量和的平行四边形法则，则AC =AB +AD =a +b .依减法定义得，DB =AB -AD =a -b .变式提升1(2006广东高考，4)如右图所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD 等于（ ）A.-+21 B.--21 C.-21 D.+21 思路分析：由三角形法则得知=-=21-. 答案：A类题演练2若O 为平行四边形ABCD 的中心，=4e 1，=6e 2，则3e 2-2e 1=______________. 解：3e 2=21,2e 1=21AB ,∴3e 2-2e 1=21-21AB =21(-AB )=21(+BA )=21BD . 答案：21 变式提升2 化简32［(4a -3b )+ 31b -41(6a -7b )］=__________________. 解析：原式=32(4a -3b +31b -23a +47b ) =32［(4-23)a +(-3+31+47)b ］ =32(25a -1211b )=35a -1811b .答案：35a -1811b 类题演练3设x 为未知向量，解方程31x +3a -152b =0. 解：原方程化为31x+(3a -152b )=0, 所以31x =0-(3a -152b ),31x=-3a +152b .所以x=-9a +52b . 变式提升3(2006山东高考，文4)设向量a =（1，-3），b =（-2，4）.若表示向量4a 、3b -2a 、c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c 为（ ）A.(1，-1)B.(-1,1)C.(-4,6)D.(4,-6) 解析：依题可知4a +(3b -2a )+c =0,所以c =2a -4a -3b =-2a -3b =-2(1,-3)-3(-2,4)=(4,-6).答案：D类题演练4已知两个非零向量e 1和e 2不共线，如果=2e 1+3e 2，=6e 1+23e 2，=4e 1-8e 2，求证：A 、B 、D 三点共线.思路分析：本题主要考查向量共线问题及向量的线性运算.欲证A 、B 、D 三点共线，只需证、共线，根据题目的条件如何才能求得呢？显然=++ 证明：∵AD =AB +BC +CD=2e 1+3e 2+6e 1+23e 2+4e 1-8e 2=12e 1+18e 2=6（2e 1+3e 2） =6， ∴向量与向量共线. 又∵和有共同的起点A ，∴A、B 、D 三点共线.变式提升4a =e 1+2e 2,b =3e 1-4e 2，且e 1、e 2共线，则a 与b （ ）A.共线B.不共线C.可能共线，也可能不共线D.不能确定思路分析：∵e 1与e 2共线，则存在实数e 1=λe 2,∴a =e 1+2e 2=(λ+2)e 2,b =3e 1-4e 2=(3λ-4)e 2,∴a =λ+32λ-4b ,故a 与b 共线. 答案：A。
高中数学 第2章 平面向量 2.2 向量的线性运算目标导引 苏教版必修4
2.2 向量的线性运算
一览众山小
诱学导入
俄罗斯著名寓言作家克雷洛夫有一则题为《天鹅、梭子鱼和虾》的寓言：一天，梭子鱼、虾和天鹅，出去把一辆小车从大路上拖下来：三个家伙一齐负起沉重的担子.它们用足狠劲，身上青筋根根暴露；无论它们怎样的拖呀，拉呀，推呀，小车还是在老地方，一码也没有移动.倒不是小车重得动不了，而是另有缘故：天鹅使劲往上向天空直提，虾一步一步向后倒拖，梭子鱼又向池塘拉去.对于这个结果我们可以用物理学知识解释，实质上，在这个寓言中还蕴含着丰富的数学知识——向量的加法运算和减法运算等知识.
问题:利用物理知识怎样解释这一现象？这一现象抽象为数学问题又是什么？
导入：可根据物理学中的牛顿第二定律解释这现象，即合外力为零时,加速度也为零,物体就处于静止或匀速直线运动状态.由于力是矢量，抽象为数学知识，它是向量，则这一现象抽象为数学知识就涉及到了向量的加、减法运算.
温故知新
1.向量是怎样定义的，它的要素有哪些？
答:我们把既有大小又有方向的量称为向量，向量有两个要素：大小和方向.
2.什么是单位向量？
答:长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量.
3.什么是平行向量？
答:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.
4.相等向量是怎样定义的？
答:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
1。
高中数学 第2章 平面向量 2.2 向量的线性运算课前导引 苏教版必修4-苏教版高一必修4数学学案
2.2 向量的线性运算
课前导引
问题导入
雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的，现在有风，风使雨滴以3.0 m/s 的速度水平向东移动，雨滴着地时速度的大小为5.0 m/s ，问无风时雨滴下落的速度.
解：如右图，用OA 表示无风时雨滴的速度，OB 表示风使雨滴向东的速度，OC 即OA 与OB 的合速度.在Rt△O AC 中,|OC |=5,|AC |=|OB |=3.
∴|OC |2=|OA |2+|AC |2
. ∴|OA |=2235 =4.
即无风时雨滴下落的速度大小为4 m/s.方向竖直向下.
由向量加法的运算法则知OC =OA +OB ，则OA =OC -OB 吗？在实数的运算中减法是加法的逆运算.向量的运算与实数的运算类似，向量的减法运算可以作为向量加法的逆运算，这就是我们这节课重点研究的向量线性运算.
知识预览
向量的加法和减法
求两个向量的和叫做向量的加法，由定义求和方法叫做向量加法的三角形法则.以同一点为起点的两个已知向量为邻边作平行四边形，以这一点为起点的对角线向量就是这两个向量的和，这种方法叫做向量加法的平行四边形法则.
a +
b =b+a （交换律）.
(a +b )+c =a +(b +c )（结合律）.
a +0=0+a =a .
如果b +x=a ，则向量x 叫做a 与b 的差记为a -b .求两个向量差的运算叫做向量的减法. 一般地实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa .它的长度为|λ||a |，方向与λ的符号
有关.
λ(μa)=(λμ)a.
(λ+μ)a=λa+μa.
λ(a+b)=λa+λb.
向量共线定理：向量a（a≠0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b=λa.。
高中数学 第2章 平面向量 2.2 向量的线性运算达标训练 苏教版必修4(2021年整理)
高中数学第2章平面向量2.2 向量的线性运算达标训练苏教版必修4 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第2章平面向量2.2 向量的线性运算达标训练苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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高中数学 第2章 平面向量 2.2 向量的线性运算达标训练 苏教版必修4基础·巩固1.AB 可以写成：①BO AO +;②BO AO -；③OB OA -;④OA OB -.其中正确的是（ ） A 。
①② B.②③ C.③④ D.①④思路解析:向量加法的三角形法首尾顺次连接，而从同一点出发的两个向量的差与连接两个向量的终点且指向被减数的向量对应。
答案：D2.下列命题中，真命题的个数为（ ）①如果a 与b 的方向相同或相反,那么与a 共线的向量的方向必与a 、b 之一的方向相同 ②△ABC 中，必有CA BC AB ++=0 ③若CA BC AB ++=0，则A 、B 、C 为一个三角形的三个顶点 ④若a ，b 均为非零向量，且方向相同，则｜a +b ｜与|a |+｜b |一定相等 A 。
0 B.1 C.2 D 。
3思路解析：①若与a 共线的为0,则它不一定与a 、b 方向相同；②正确;③有可能A 、B 、C 三点共线；④一般来说,｜a +b ｜≤｜a |+｜b |，但当两个向量a ，b 方向相同时，则有｜a +b ｜=｜a |+｜b ｜. 答案：C3.如图2—2-16，已知ABCDEF 是一正六边形,O 是它的中心，其中OA =a ,OB =b ,OC =c ,则EF 等于（ ）图2—2-16A 。
高中数学 第二章 平面向量专题整合课件 苏教版必修4
不在直线 AB 上，直线 AB 与 CD 不共线，即线段 AB 与 CD 不共线． [点评] 若只由A→B＝(2，4)，C→D＝(6，12)，得A→B＝13C→D，
[解] 由条件知，A→B＝(3，3)，B→C＝(－2，1)，A→D＝(m－1， n)，D→C＝(2－m，4－n)， 如右图所示． (1)若四边形 ABCD 为 平行四边形，则A→B＝D→C， 所以(3，3)＝(2－m，4－n)，即 3＝2－m 且 3＝4－n. 解得 m＝－1，n＝1. 所以当 m＝－1，n＝1 时，四边形 ABCD 为平行四边形．
＝12－m2 (m<1 且 m≠－1)．
[点评] 通过建立直角坐标系,可以将平面内任一向量用一 个 有序实数对来表示；反过来，任一有序实数对就表示一个 向 量．这就是说，一个平面向量就是一个有序实数对．这样,就 给出了向量的另一种表示——坐标表示法，向量的加法、减 法及实数与向量的积都可用坐标来进行运算，使得向量运算 完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题 的解决就可以转化为我们熟知的数量运算．
第2章 平面向量
平面向量的线性运算
向量的加法、减法和数乘的综合运算，通常叫做向量的线性 运算，主要是运用它们的运算法则、运算律，解决三点共 线、两线段平行、线段相等等问题，而理解相关概念，用基 底表示向量是基础．
如图，在平行四边形 ABCD 中，M、N 分别为 DC， BC 的中点，已知A→M＝c，A→N＝d，试用 c，d 表示A→B和A→D.
平面向量的数量积
通过向量的数量积的定义和由定义推出的性质可以计算向 量 的长度(模)、平面内两点间的距离、两个向量的夹角、 判 断 相应的两条直线是否垂直等．
江苏省大丰市高中数学第2章平面向量2.2向量的线性运算学案(无答案)苏教版必修4(new)
2.2向量的线性运算2。
2.1向量的加法1．A E是平行四边形ABCD外一点，如图所示，化简下列各式:（1）错误!+错误!=___________;(2)错误!+错误!+错误!=___________；（3）错误!+错误!+错误!=___________; (4）错误!+错误!+错误!+错误!=___________。
2．B 在平面直角坐标系xOy中，已知向量错误!，错误!, 错误!=错误!=1且错误!与错误!相互垂直,点Q满足错误!=错误!(错误!+错误!)，曲线C为单位圆,若点P∈C，则错误!的取值范围是（）A.()1,3 B。
(]1,3C。
[]1,3 D.[)1,32.2.2 向量的减法1．A 一个平行四边形ABCD中,｜错误!+错误!|=｜错误!错误!|，则有（）A．→，AD=错误!B．错误!=错误!或错误!=错误!C．ABCD是矩形D．ABCD是菱形2．A计算下列各题:(1）错误!+ 错误!+ 错误!= _______；（2）错误!+ 错误!+ 错误!= _______；（3）化简：错误!+ 错误!错误!错误!= ___．3．A 四棱柱1111D C B A ABCD -中,六个面都是平行四边形,记错误!=错误!， 错误!=错误!,错误!=错误!,你能用错误!、错误!、错误!表示错误!、错误!吗？4．B 已知平行四边形ABCD ,对角线AC ，BD 交于点O ，点E 为线段OB 中点,完成下列各题.（用于填空的向量为图中已有线段所表示的向量）(1)在图中画出下列向量:①AD DO OE ++②AB AO +③AE AC -（2)根据图示填空： ①AE AB =+ ②DE CB -=5．B 化简下列各式：（1)()AB MB OM BO +++ （2）AB DF CD BC FA ++++（3)AB DA BD BC CA ++--6．B 已知非零向量a ,b(1)若||6a =，||12b =，则||a b +的最小值为 ;最大值为 。
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2.2 向量的线性运算
一览众山小
诱学导入
俄罗斯著名寓言作家克雷洛夫有一则题为《天鹅、梭子鱼和虾》的寓言：一天，梭子鱼、虾和天鹅，出去把一辆小车从大路上拖下来：三个家伙一齐负起沉重的担子.它们用足狠劲，身上青筋根根暴露；无论它们怎样的拖呀，拉呀，推呀，小车还是在老地方，一码也没有移动.倒不是小车重得动不了，而是另有缘故：天鹅使劲往上向天空直提，虾一步一步向后倒拖，梭子鱼又向池塘拉去.对于这个结果我们可以用物理学知识解释，实质上，在这个寓言中还蕴含着丰富的数学知识——向量的加法运算和减法运算等知识.
问题:利用物理知识怎样解释这一现象？这一现象抽象为数学问题又是什么？
导入：可根据物理学中的牛顿第二定律解释这现象，即合外力为零时,加速度也为零,物体就处于静止或匀速直线运动状态.由于力是矢量，抽象为数学知识，它是向量，则这一现象抽象为数学知识就涉及到了向量的加、减法运算.
温故知新
1.向量是怎样定义的，它的要素有哪些？
答:我们把既有大小又有方向的量称为向量，向量有两个要素：大小和方向.
2.什么是单位向量？
答:长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量.
3.什么是平行向量？
答:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.
4.相等向量是怎样定义的？
答:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
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