2018年人教版初中中考数学圆总复习课件PPT课件
2018初三圆复习课件.ppt
考点1 确定圆的条件及相关概念
A
●O
B
C
确定圆 的条件
不在同一直线的三个点确定一个圆
三角形的 三角形三边__垂__直__平__分__线__的交点，即三角 外心 形外接圆的圆心
锐角三角形的外心在三角形的内部，直角 防错提醒 三角形的外心在直角三角形的斜边上，钝
[解析] 如图所示， ∵AW＝1，WH＝3，∴AH＝ 10. ∵BQ＝3，QH＝1，∴BH＝ 10. ∴AH＝BH，同理，AD＝BD. ∴GH 为线段 AB 的垂直平分线， 易得 EF 为线段 AC 的垂直平分线， H 为圆的两条弦的垂直平分线的交点， 则 BH＝AH＝HC，H 为圆心． ∴该圆弧所在圆的圆心坐标为(－1，1)．选 C.
► 热考三 切线长定理应用
例 3 如图 35－4①，AB 为⊙O 的直径，AD 与⊙O 相 切于点 A，DE 与⊙O 相切于点 E，点 C 为 DE 延长线上一 点，且 CE＝CB.
(1)求证：BC 为⊙O 的切线； (2)联结 AE，AE 的延长线与 BC 的延长线交于点 G(如 图②所示)，若 AB＝2 5，AD＝2，求线段 BC 和 EG 的长．
CG EG 解得 EG＝535.
二、圆与正多边形
正多边形的中心:
E
D
一个正多边形的外接圆的圆心.
正多边形的半径: 外接圆的半径 正多边形的中心角:
F
. 中心角
O.
半径R
C
边心距r
正多边形的每一边所对的圆心角.
正多边形的边心距：
A
B
中心到正多边形的一边的距离.
以中心为圆心,边心距为半径的圆与各边有何位置关系? 以中心为圆心,边心距为半径的圆为正多边形的内切圆。
圆中考总复习PPT课件
⑴d + h = r ⑵ r2 d 2 (a )2 2
a
h
2
d
O
4.圆周角:
定义:顶点在圆周上，两边和圆相交的角，叫做圆周角.
性质:(1)在同一个圆中,同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
A O
B
C
∠BAC=
∠1 BOC
2
圆周角的性质(2) 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的所有的圆周角相等.相等的圆周角所对的弧相等.
C ∴AB=CD
A
B
3.垂径定理:
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对 的两条弧.
C
∵CD是圆O的直径,CD⊥AB
．
︵ ∴AP=BP, ︵
P A
︵ ︵ B
AD = BD
AC = BC
D
垂径定理的应用
对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半径r、 弓形高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可 以求出另外两个量，如图有：
熟记：与圆有关的辅助线的作法：
辅助线，
莫乱添，
规律方法
记心间；圆半径，
不起眼，
弦与弦心距，
角的计算常要连，构成等腰解疑难；
亲密紧相连；
切点和圆心， 想直角，
连结要领先； 遇到直径 灵活应用才方便。
(1)点在圆内
(2)点在圆上
(3)点在圆外
如果规定点与圆心的距离为d,圆的半径为r,则d与r的大小关系为:
．
C
． A．
． B
点与圆的位置关系
点在圆内 点在圆上 点在圆外
d与r的关系
d＜r d＝r d＞r
2.直线和圆的位置关系:
．
．
O
2018年人教版初中中考数学总复习：第四单元PPT课件
第17讲┃ 归类示例 ► 类型之二 直线的位置关系
命题角度： 1. 直线平行与垂直的判定及简单应用； 2. 角度的有关计算. 例2 [2012· 义乌] 如图17－2，已知a∥b，小亮把三角板的直角顶点放 在直线b上．若∠1＝40°，则∠2的度数为________． 50°
图17－2
第17讲┃ 归类示例
[解析] 如图，∵∠1＝40°，
∴∠3＝180°－∠1－90°＝180° －40°－90°＝50°. ∵a∥b，∴∠2＝∠3＝50°.故答案 为：50°.
பைடு நூலகம்
第17讲┃ 归类示例
计算角度问题时，要注意挖掘图形中的隐含条件 ( 三角形内角和 、互为余角或补角、平行性质、垂直)及角平分线知识的应用．
第17讲┃ 归类示例 ► 类型之三 度、分、秒的计算 命题角度： 1．度、分、秒的换算； 2．度、分、秒的计算． 例3 [2011·芜湖] 一个角的补角是36°35′，这个角是____________. 143°25′
如果两条直线相交成______，那么这两条直线互相垂直，其中一条 叫做另一条的垂线，互相垂直的两条直线的交点叫做______
直角
定义
垂足
垂直
特别说明
(1)两条直线垂直是两条直线相交的特殊情况，特殊在它们所交的角 是直角；(3)线段与线段、射线与线段、射线与射线的垂直，都是指 它们所在直线垂直
垂直的性质
直线公理
一 条直线 经过两点有且只有________
线段 两点之间，________ 最短
线段公理
两点间的 距离
连接两点间的线段的________，叫做这两点间的距离
长度
第17讲┃ 考点聚焦 考点2 角
定义1 角的概 念 定义2
2018年人教版中考数学复习《第24讲：与圆有关的计算》课件
解得 n=40,再根据圆周角定理得∠ACB=12∠AOB=20°.
考法1
考法2
考法1弧长的计算
例1(2011·安徽)如图,☉O半径是1,A,B,C是圆周上的三
点,∠BAC=36°,则劣弧 ������的������ 长是 ( )
答案 B
解析 如图,连接OB,OC,
∵∠BAC=36°,∴∠BOC=2∠BAC=72°,
2.(2016·安徽,13,5分)如图,已知☉O的半径为2,A为☉O外一点.过点
A作☉O的一条切线AB,切点为B,AO的延长线交☉O于点C.若
∠BAC=30°,则劣弧 ������������的长为
4π 3
.
解析 如图,连接OB,
∵AB是☉O的切线,
∴∠ABO=90°,
∵∠BAC=30°,
∴∠AOB=60°,∴∠BOC=120°,
解析 ∵扇形OAB的圆心角为120°,半径为3,
∴该扇形的弧长为
120π × 3
180 =2π.
考法1
考法2
3.(2016·广东广州)如图,以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB
是小圆的切线,点P为切点,AB=12 3,OP=6,则劣弧������������ 的长为
8π .(结果保留π)
解析 连接OA,OB,由AB是小圆的切线,可得OP⊥AB,由垂径定理知 AP=BP=1AB=6 3,在 Rt△OAP 中,根据勾股定理可求得
考点三
考点二正多边形与圆
1.相关概念
(1)正多边 正多边形和圆的关系非常密切,只要把一个圆分成相
形和圆的关 等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形,这个
系
圆叫做这个正多边形的外接圆
一个正多边形外接圆的圆心叫做这个正多边形的中 心
【中考数学】2018最新人教版数学复习第6章圆第23讲与圆有关的计算课件
变式运用►3.[2017·绵阳中考]“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的 运动，如图所示是一个陀螺的立体结构图，已知底面圆的直径AB ＝8cm，圆柱体部分的高BC＝6cm，圆锥体部分的高CD＝3cm，则这 C 个陀螺的表面积是( ) A．68πcm2 B．74πcm2 C．84πcm2 D．100πcm2
考点3 正多边形和圆 1．正多边形和圆的关系：把一个圆n等分，依次连接各等分点 可作出圆的内接正n边形． 2．每一个正多边形都有一个外接圆，外接圆的圆心叫正多边 形的① 中心 ；外接圆的半径叫正多边形的② 半径 ；每 边所对的外接圆的圆心角叫正多边形的③ 中心角 ；内切圆 的半径叫做正多边形的④ 边心距 . 3．每一个正n边形都被它的半径分成⑤ n 个全等的三角形， 被它的半径和边心距分成⑥ 2n 个全等的直角三角形． 拓展►(1)正多边形的各边、各角都相等．(2)正多边形都是轴 对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正 n边形的中心．(3)边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它 的中心是对称中心．(4)边数相同的正多边形相似，它们周长 的比、边心距的比、半径的比都等于相似比，面积的比等于相 似比的平方．
考点2 圆柱和圆锥
圆柱 圆锥
设圆柱的高为h，底面半径为R， 设圆锥的母线长为l，底面 半径为R，高为h，则有： 则有： (1)S圆柱侧＝2πRh； (1)S圆锥侧＝πRl； (2)S圆柱全＝① 2πRh＋ (2)S圆锥全＝② πRl＋ 1 2πR2 ；(3)V圆柱＝πR2h πR2 ；(3) πR2h 3 V圆锥＝
类型3 圆锥的有关计算 【例3】[2017·东营中考]若圆锥的侧面积等于其底面积的3倍，则 该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为( C ) A．60° B．90° C．120° D．180°
初中九年级数学人教版-圆单元复习课件
34
特例
内含:两圆无公共点,并且一个圆上的点都
在另一个圆的内部时,叫两圆内含.
2021/5/27
35
圆与圆的位置关系:
1)两圆的五种位置关系
2)用两圆的圆心距d与两 圆的半径R,r的数量关系 来判别两圆的位置关系
两圆的位置关系 数量关系
外离 外切
d＞R+r d=R+r
相交
R-r＜d＜R+r
内切
d=R-r
C
A
B
M
└ ●O
你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的!
D 2021/5/27
20
条件 结论
C
A
B
垂径定理及推论 命题
M └ ●O
①② ①③ ①④ ①⑤
③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
D ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ②③④ 另一条弧.
∵CD是圆O的直径,CD⊥AB
∴AP=BP,
⌒⌒
AD=DB
A⌒C=B⌒C
C
·O
E
A
B
D
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦 所对的两条弧．
2021/5/27
19
垂径定理的推论
• 如图,在下列五个条件中:
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ④A⌒C=B⌒C,
⑤A⌒D=B⌒D. 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
初中数学人教版
2021/5/27
第24章圆单元复习
1
本章知识结构图
2018年人教版初三上册圆全章经典复习讲义
B ACO BACDOM 九年级圆全章辅导讲义课 题 圆教学目标了解圆的有关概念，理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题． 从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，讲授圆的有关概念． 重点、难点教学重点；圆心角与圆周角的关系教学难点；圆心角与圆周角的知识点的分析和相互之间的关系 考点及考试要求1 圆的相关概念2 圆心角的概念3 圆周角的概念4 圆的位置关系教学内容知识框架知识点l ：圆的相关概念①连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC ，AB ； ②经过圆心的弦叫做直径，如图线段AB ；③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A 、C 为端点的弧记作AC ”，读作“圆弧AC ”或“弧AC ”．大于半圆的弧（如图所示ABC 叫做优弧，•小于半圆的弧（如图所示）AC 或BC 叫做劣弧．④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 回答下面两个问题．1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？•你能找到多少条对称轴？ 2．你是用什么方法解决上述问题的？（点评）1．圆是轴对称图形，它的对称轴是直径，•我能找到无数多条直径． 2．我是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的． 因此，我们可以得到：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．请同学按下面要求完成下题：如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为M ．（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由． （点评）（1）是轴对称图形，其对称轴是CD ．（2）AM=BM ，AC BC =，AD BD =，即直径CD 平分弦AB ，并且平分AB 及ADB ． 这样，我们就得到下面的定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．BAOB 'BAA 'O下面我们用逻辑思维给它证明一下：已知：直径CD 、弦AB 且CD ⊥AB 垂足为M 求证：AM=BM ，AC BC =，AD BD =.分析：要证AM=BM ，只要证AM 、BM 构成的两个三角形全等．因此，只要连结OA 、•OB 或AC 、BC 即可．证明：如图，连结OA 、OB ，则OA=OB 在Rt △OAM 和Rt △OBM 中OA OBOM OM=⎧⎨=⎩ ∴Rt △OAM ≌Rt △OBM ∴AM=BM∴点A 和点B 关于CD 对称 ∵⊙O 关于直径CD 对称∴当圆沿着直线CD 对折时，点A 与点B 重合，AC 与BC 重合，AD 与BD 重合． ∴AC BC =，AD BD =进一步，我们还可以得到结论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．知识点2：圆心角的概念如图所示，∠AOB 的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角． 按下列要求作图并回答问题：如图所示的⊙O 中，分别作相等的圆心角∠AOB •和∠A'OB'将圆心角∠AOB 绕圆心O 旋转到∠A'OB'的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？ AB =''A B ，AB=A ′B ′理由：∵半径OA 与O ′A ′重合，且∠AOB=∠A ′OB ′ ∴半径OB 与OB ′重合∵点A 与点A ′重合，点B 与点B ′重合 ∴AB 与''A B 重合，弦AB 与弦A ′B ′重合 ∴AB =''A B ，AB=A ′B ′因此，在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？．点评：如图1，在⊙O 和⊙O ′中，•分别作相等的圆心角∠AOB 和∠A ′O ′B ′得到如图2，滚动一个圆，使O 与O ′重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA 与O ′A ′重合．O(O ')O 'OB 'A 'B B 'O(O ')O 'OBA A A '(1) (2)BACOMO BA C O BACE F 你能发现哪些等量关系？说一说你的理由？ 我能发现：AB =''A B ，AB=A /B /．现在它的证明方法就转化为前面的说明了，•这就是又回到了我们的数学思想上去呢──化归思想，化未知为已知，因此，我们可以得到下面的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．同样，还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，•所对的弦也相等． 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，•所对的弧也相等．知识点3：圆周角的概念现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题． 1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？ 2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？ 3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？ 点评：1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个．2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的． 3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半．下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，•并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．”（1）设圆周角∠ABC 的一边BC 是⊙O 的直径，如图所示 ∵∠AOC 是△ABO 的外角∴∠AOC=∠ABO+∠BAO ∵OA=OB∴∠ABO=∠BAO ∴∠AOC=∠ABO ∴∠ABC=12∠AOC（2）如图，圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD 的两侧，那么∠ABC=12∠AOC 吗？ 点评：连结BO 交⊙O 于D 同理∠AOD 是△ABO 的外角，∠COD 是△BOC 的外角，•那么就有∠AOD=2∠ABO ，∠DOC=2∠CBO ，因此∠AOC=2∠ABC ．（3）如图，圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD 的同侧，那么∠ABC=12∠AOC 吗？ 点评：连结OA 、OC ，连结BO 并延长交⊙O 于D ，那么∠AOD=2∠ABD ，∠COD=2∠CBO ，而∠ABC=∠ABD-∠CBO=12∠AOD-12∠COD=12∠AOC 现在，我如果在画一个任意的圆周角∠AB ′C ，•同样可证得它等于同弧上圆心角一半，因此，同弧上的圆周角是相等的． 从（1）、（2）、（3），我们可以总结归纳出圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 进一步，我们还可以得到下面的推导：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．O BACD O BA C D 知识点4：1、点与圆的位置关系1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内；2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上；3、点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外；不在同一直线上的三个点确定一个圆．也就是，经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆． 外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心． 2、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点；2、直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点；3、直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点；drd=rrd切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 切线的性质定理，圆的切线垂直于过切点的半径 3、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+； 外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；图1rRd图3rR d与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，•内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．rdd CBAO图2r Rd 图4rRd图5r RdCE D O FB A CE D O N M 考点一：圆的基本概念典型例题例1．如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中CD ，点O 是CD 的圆心，•其中CD=600m ，E 为CD 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF=90m ，求这段弯路的半径．分析：例1是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 解：如图，连接OC设弯路的半径为R ，则OF=（R-90）m∵OE ⊥CD∴CF=12CD=12×600=300（m ）根据勾股定理，得：OC 2=CF 2+OF 2 即R 2=3002+（R-90）2 解得R=545∴这段弯路的半径为545m ．例2．有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图24-5所示，正常水位下水面宽AB=•60m ，水面到拱顶距离CD=18m ，当洪水泛滥时，水面宽MN=32m 时是否需要采取紧急措施？请说明理由．分析：要求当洪水到来时，水面宽MN=32m •是否需要采取紧急措施，•只要求出DE 的长，因此只要求半径R ，然后运用几何代数解求R ． 解：不需要采取紧急措施设OA=R ，在Rt △AOC 中，AC=30，CD=18R 2=302+（R-18）2 R 2=900+R 2-36R+324解得R=34（m ）连接OM ，设DE=x ，在Rt △MOE 中，ME=16342=162+（34-x ）2162+342-68x+x 2=342 x 2-68x+256=0 解得x 1=4，x 2=64（不合设） ∴DE=4∴不需采取紧急措施．知识概括、方法总结与易错点分析 1．圆的有关概念；2．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴． 3．垂径定理及其推论以及它们的应用．针对性练习一、选择题．1．如图1，如果AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，那么下列结论中，•错误的是（ ）．A ．CE=DEB ．BC BD = C ．∠BAC=∠BAD D ．AC>AD2．如图2，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是（ ）A ．4B ．6C ．7D ．83．如图3，在⊙O 中，P 是弦AB 的中点，CD 是过点P 的直径，•则下列结论中不正确的是（ ）A ．AB ⊥CD B ．∠AOB=4∠ACDC ．AD BD = D ．PO=PDB ACEDOBAO MBACDP O(1) (2) (3) 二、填空题1．如图4，AB 为⊙O 直径，E 是BC 中点，OE 交BC 于点D ，BD=3，AB=10，则AC=_____．BACED OBA CEDOF(4) (5)2．P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为________；•最长弦长为_______． 3．如图5，OE 、OF 分别为⊙O 的弦AB 、CD 的弦心距，如果OE=OF ，那么_______（只需写一个正确的结论）三、综合提高题1．如图24-11，AB 为⊙O 的直径，CD 为弦，过C 、D 分别作CN ⊥CD 、DM •⊥CD ，•分别交AB 于N 、M ，请问图中的AN 与BM 是否相等，说明理由．BA CDO N M2．如图，⊙O 直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD 长．BA CE DOO B A CED F3．（开放题）AB 是⊙O 的直径，AC 、AD 是⊙O 的两弦，已知AB=16，AC=8，AD=•8，•求∠DAC 的度数．考点二：圆心角的概念典型例题例1．如图，在⊙O 中，AB 、CD 是两条弦，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为EF ． （1）如果∠AOB=∠COD ，那么OE 与OF 的大小有什么关系？为什么？（2）如果OE=OF ，那么AB 与CD 的大小有什么关系？AB 与CD 的大小有什么关系？•为什么？∠AOB 与∠COD 呢？分析：（1）要说明OE=OF ，只要在直角三角形AOE 和直角三角形COF 中说明AE=CF ，即说明AB=CD ，因此，只要运用前面所讲的定理即可．（2）∵OE=OF ，∴在Rt △AOE 和Rt △COF 中， 又有AO=CO 是半径，∴Rt △AOE ≌Rt •△COF ，∴AE=CF ，∴AB=CD ，又可运用上面的定理得到AB =CD 解：（1）如果∠AOB=∠COD ，那么OE=OF 理由是：∵∠AOB=∠COD ∴AB=CD∵OE ⊥AB ，OF ⊥CD ∴AE=12AB ，CF=12CD ∴AE=CF又∵OA=OC∴Rt △OAE ≌Rt △OCF ∴OE=OF（2）如果OE=OF ，那么AB=CD ，AB =CD ，∠AOB=∠COD 理由是：∵OA=OC ，OE=OF ∴Rt △OAE ≌Rt △OCF ∴AE=CF又∵OE ⊥AB ，OF ⊥CD ∴AE=12AB ，CF=12CD∴AB=2AE ，CD=2CF ∴AB=CD∴AB =CD ，∠AOB=∠COD例2．如图3和图4，MN 是⊙O 的直径，弦AB 、CD •相交于MN •上的一点P ，•∠APM=∠CPM ． （1）由以上条件，你认为AB 和CD 大小关系是什么，请说明理由．（2）若交点P 在⊙O 的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．BA CEDP ONM FBA CE DPNMF(3) (4) 分析：（1）要说明AB=CD ，只要证明AB 、CD 所对的圆心角相等，•只要说明它们的一半相等． 上述结论仍然成立，它的证明思路与上面的题目是一模一样的． 解：（1）AB=CD理由：过O 作OE 、OF 分别垂直于AB 、CD ，垂足分别为E 、F ∵∠APM=∠CPM ∴∠1=∠2 OE=OF连结OD 、OB 且OB=OD ∴Rt △OFD ≌Rt △OEB ∴DF=BE根据垂径定理可得：AB=CD（2）作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足为E 、F∵∠APM=∠CPN 且OP=OP ，∠PEO=∠PFO=90° ∴Rt △OPE ≌Rt △OPF ∴OE=OF连接OA 、OB 、OC 、OD易证Rt △OBE ≌Rt △ODF ，Rt △OAE ≌Rt △OCF ∴∠1+∠2=∠3+∠4 ∴AB=CD知识概括、方法总结与易错点分析1．圆心角概念．2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，•那么它们所对应的其余各组量都部分相等，及其它们的应用．针对性练习一、选择题．1．如果两个圆心角相等，那么（ ）A ．这两个圆心角所对的弦相等;B ．这两个圆心角所对的弧相等C ．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等;D ．以上说法都不对OBAC D N M 2．在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD ，则两条弧AB 与CD 关系是（ ） A ．AB =2CD B ．AB >CD C ．AB <2CD D ．不能确定 3．如图5，⊙O 中，如果AB =2AC ，那么（ ）．A ．AB=ACB ．AB=AC C ．AB<2ACD ．AB>2ACOBAC OBA CED(5) (6) 二、填空题1．交通工具上的轮子都是做圆的，这是运用了圆的性质中的_________． 2．一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_________．3．如图6，AB 和DE 是⊙O 的直径，弦AC ∥DE ，若弦BE=3，则弦CE=________． 三、解答题1．如图，在⊙O 中，C 、D 是直径AB 上两点，且AC=BD ，MC ⊥AB ，ND ⊥AB ，M 、N •在⊙O 上． （1）求证：AM =BN ；（2）若C 、D 分别为OA 、OB 中点，则AM MN NB ==成立吗？2．如图，以ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作圆，分别交BC 、AD 于E 、F ，若∠D=50°，求BE的度数和EF 的度数．BACEDF3．如图，∠AOB=90°，C 、D 是AB 三等分点，AB 分别交OC 、OD 于点E 、F ，求证：AE=BF=CD ．OBA C ED FO BA C D OB ACDOABCD考点三：圆周角典型例题例1．如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到C ，使AC=AB ，BD 与CD 的大小有什么关系？为什么？ 分析：BD=CD ，因为AB=AC ，所以这个△ABC 是等腰，要证明D 是BC 的中点，•只要连结AD 证明AD 是高或是∠BAC 的平分线即可． 解：BD=CD 理由是：如图24-30，连接AD ∵AB 是⊙O 的直径∴∠ADB=90°即AD ⊥BC又∵AC=AB ∴BD=CD例2．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别设为a ，b ，c ，⊙O 半径为R ，求证：sin a A =sin b B =sin c C=2R ． 分析：要证明sin a A =sin b B =sin c C =2R ，只要证明sin a A =2R ，sin b B =2R ，sin c C =2R ，即sinA=2aR，sinB=2b R ，sinC=2c R，因此，十分明显要在直角三角形中进行．证明：连接CO 并延长交⊙O 于D ，连接DB ∵CD 是直径 ∴∠DBC=90° 又∵∠A=∠D在Rt △DBC 中，sinD=BC DC ，即2R=sin aA同理可证：sin b B =2R ，sin cC =2R∴sin a A =sin b B =sin cC=2R知识概括、方法总结与易错点分析1．圆周角的概念；2．圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都相等这条弧所对的圆心角的一半； 3．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 4．应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题针对性练习：1. 在半径为50厘米的⊙O 中，弦AB 的长为50厘米，（1） 求∠AOB 的大小；（2）计算点O到AB 的距离；（3）求弦AB 所对的圆周角的度数.2. 如图，O A ⊥BC ,∠AOB=50°,求∠ADC 的大小.O A DEC3.如图，AB 是⊙O 的直径，AD=DE,AE 与BD 交于点C ，则图中与 ∠BCE 相等的角有哪几个？,4.如图，AB 是⊙O 的直径，∠ABC=30°,则求∠BAC 的度数.5.已知，⊙O 经过△ABC 的三个顶点，∠B=30°,AC=2厘米，求⊙O 的半径.6.如图,OB,OC 是⊙O 的半径，点A 是⊙O 上一点， 且∠ABO=20°,∠ACO=30°,求∠A.7.已知，弦AB 把圆周分成1：2的两部分，圆的半径为1，求弦AB 的长. .8.如图，已知AB=AC,∠APC=60°.(1)求证：△ABC 是等边三角形； （2）如果BC=4厘米，求⊙O 的面积.BA B C OA B C O ·OABCPB A CD O BA C E D O N M 考点四：圆的位置关系典型例题例1．已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD=BC ，AB=48cm ，CD=30cm ，高27cm ，求作一个圆经过A 、B 、C 、D 四点，写出作法并求出这圆的半径（比例尺1：10）分析：要求作一个圆经过A 、B 、C 、D 四个点，应该先选三个点确定一个圆，•然后证明第四点也在圆上即可．要求半径就是求OC 或OA 或OB ，因此，•要在直角三角形中进行，不妨设在Rt △EOC 中，设OF=x ，则OE=27-x 由OC=OB 便可列出，•这种方法是几何代数解．作法分别作DC 、AD 的中垂线L 、m ，则交点O 为所求△ADC 的外接圆圆心． ∵ABCD 为等腰梯形，L 为其对称轴 ∵OB=OA ，∴点B 也在⊙O 上 ∴⊙O 为等腰梯形ABCD 的外接圆 设OE=x ，则OF=27-x ，∵OC=OB∴222215(27)24x x +=-+解得：x=20∴OC=221520+=25，即半径为25m例2．如图，AB 为⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D 在AB 的延长线上，且∠DCB=•∠A ． （1）CD 与⊙O 相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由．（2）若CD 与⊙O 相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O 的半径． 分析：（1）要说明CD 是否是⊙O 的切线，只要说明OC 是否垂直于CD ，垂足为C ，•因为C 点已在圆上． 由已知易得：∠A=30°，又由∠DCB=∠A=30°得：BC=BD=10 解：（1）CD 与⊙O 相切理由：①C 点在⊙O 上（已知）②∵AB 是直径∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°∵∠A=∠OCA 且∠DCB=∠A∴∠OCA=∠DCB ∴∠OCD=90°综上：CD 是⊙O 的切线．（2）在Rt △OCD 中，∠D=30° ∴∠COD=60° ∴∠A=30° ∴∠BCD=30° ∴BC=BD=10 ∴AB=20，∴r=10 答：（1）CD 是⊙O 的切线，（2）⊙O 的半径是10．例3．如图，⊙O 的直径AB=12cm ，AM 、BN 是两条切线，DC 切⊙O 于E ，交AM 于D ，•交BN 于C ，设AD=x ，BC=y ． （1）求y 与x 的函数关系式，并说明是什么函数？（2）若x 、y 是方程2t 2-30t+m=0的两根，求x ，y 的值．（3）求△COD 的面积．分析：（1）要求y 与x 的函数关系，就是求BC 与AD 的关系， 根据切线长定理：DE=AD=x ，CE=CB=y ，即DC=x+y ， 又因为AB=12，所以只要作DF ⊥BC 垂足为F ， 根据勾股定理，便可求得．（2）∵x ，y 是2t 2-30t+m=0的两根， 那么x 1+x 2=30900830900860444m m +---+=，x 1x 2=2m ，便可求得x 、y 的值． （3）连结OE ，便可求得．解：（1）过点D 作DF ⊥BC ，垂足为F ，则四边形ABFD 为矩形． ∵⊙O 切AM 、BN 、CD 于A 、B 、E ∴DE=AD ，CE=CB ∵AD=x ，CB=y ∴CF=y-x ，CD=x+y在Rt △DCF 中，DC 2=DF 2+CF2即（x+y ）2=（x-y ）2+122∴xy=36 ∴y=36x为反比例函数； （2）由x 、y 是方程2t-30t+m=0的两根，可得：x+y=22303083030844m m+---+=15 同理可得：xy=36∴x=3，y=12或x=12，y=3． （3）连结OE ，则OE ⊥CD∴S △COD =12CD·OE=12×（AD+BC ）·12AB =12×15×12×12=45cm 2知识概括、方法总结与易错点分析 1、点与圆的位置关系 2、直线与圆的位置关系 3、圆与圆的位置关系 4、内心 外心的理解针对性练习 一、 选择题1、如图，是北京奥运会自行车比赛项目标志，则图中两轮所在圆的位置关系是【 】A ．内含B ．相交C ．相切D ．外离2．已知两圆的半径分别为6和8，圆心距为7，则两圆的位置关系是 ( ) A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．内切3．若1O 的半径为3cm ，2O 的半径为4cm ，且圆心距121cm OO =，则1O 与2O 的位置关系是（ ） A ．外离 B ．内切 C ．相交 D ．内含4． ⊙O 的半径为5，圆心O 到直线l 的距离为3，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ）A ． 相交B ． 相切C ． 相离D ． 无法确定5．如图，⊙O 的半径为2，点A 的坐标为（2，32），直线AB 为⊙O 的切线，B 为切点．则B 点的坐标为A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-5823, B ．()13,- C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-5954, D ．()31,- 7. 以正方形ABCD 的BC 边为直径作半圆O ，过点D 作直线切半圆于点F ，交AB 边于点E ，则ΔADE 和直角梯形EBCD 周长之比为( )A. 3:4 B. 4:5 C. 5:6 D.6:78．如图，正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，以E 为圆心、EC 为半径的半圆与以A 为圆心，AB 为半径的圆弧外切，则sin EAB ∠的值为（ ） A ．43B ．34 C ．45D ．359．如图1，从圆O 外一点P 引圆O 的两条切线PA PB ，，切点分别为A B ，．如果60APB ∠=，8PA =，那么弦AB 的长是（ ）A ．4 B ．8C ．43D ．8310．如图，PA PB ，分别是O 的切线，A B ，为切点，AC 是O 的直径，已知35BAC ∠=，P ∠的度数为（ ）A ．35B ．45C ．60D ．7011、如图，直线AB 与半径为2的⊙O 相切于点C ，D 是⊙O 上一点，且∠EDC ＝30°，弦EF ∥AB ，则EF 的长度为 （ ） A ．2 B ．23 C ．3 D ．2212．已知⊙O 1和⊙O 2相切，两圆的圆心距为9cm ，⊙1O 的半径为4cm ，则⊙O 2的半径为（ ） A ．5cm B ．13cm C ．9 cm 或13cm D ．5cm 或13cm 二、 填空题1．如图，已知O 是ABC △的内切圆，且50BAC ∠=°，则BOC ∠为 度．2．如图①，1O ，2O ，3O ，4O 为四个等圆的圆心，A ，B ，C ，D 为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ；如图②，1O ，2O ，3O ，4O ，5O 为五个等圆的圆心，A ，B ，C ，D ，E 为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆．．．分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ．（第8题） x yO 1 1BAPB AO第9第10题图ABCO P（第11题A BC EFD OB C A O （第1题）1o2o3o 4oCB D A第（2）题图① 第（2）题图②1o2o3o 4o5oABCED3．如图，在△ABC 中，AB =2，AC =2，以A 为圆心，1为半径的圆与边BC 相切，则BAC ∠的度数是 ．4．如图，轮椅车的大小两车轮（在同一平面上）与地面的触点A B ，间距离为80cm ，两车轮的直径分别为136cm ，16cm ，则此两车轮的圆心相距 cm ．5. 如图，奥运五环标志里，包含了圆与圆的位置关系中的外离．．和 ． 6．如图，从O 外一点P 引O 的两条切线PA PB ，，切点分别是A B ，，若8cm PA =，C 是AB 上的一个动点（点C 与A B ，两点不重合），过点C 作O 的切线，分别交PA PB ，于点D E ，，则PED △的周长是 ．7．如图，AB 是O 的直径，AM 为弦，30MAB ∠=，过M 点的O 的切线交AB 延长线于点N ．若12cm ON =，则O 的半径为 cm ．8.分别以梯形ABCD 的上底AD 、下底BC 的长为直径作⊙1O 、⊙2O ，若两圆的圆心距等于这个梯形的中位线长，则这两个圆的位置关系是____________. 三、 解答题1．如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为直径，若PA ⊥AB ，PO 过AC 的中点M ，求证：PC 是⊙O 的切线．2.如图所示，AB 是O 的直径，AD 是弦，DBC A ∠=∠，OC BD ⊥于点E ． （1）求证：BC 是O 的切线；（2）若1210BD EC ==，，求AD 的长．3.如图，ABC △内接于O ，AB 为O 的直径，2BAC B ∠=∠，6AC =，过 点A 作O 的切线与OC 的延长线交于点P ，求PA 的长．4.如图所示，ABC △是直角三角形，90ABC ∠=，以AB 为直径的O 交AC 于点E ，点D 是BC 边的中点，连结DE ． （1）求证：DE 与O 相切；（2）若O 的半径为3，3DE =，求AE ．ABC第3题图 （第4题图）A B OA DPE B C（第6题图）AOB NMABO C PMBCPO ABDCE AOPA5.（08山东潍坊20题）如图，AC 是圆O 的直径，10AC =厘米，PA PB ，是圆O 的切线，A B ，为切点．过A 作AD BP ⊥，交BP 于D 点，连结AB BC ，．（1）求证ABC ADB △∽△；（2）若切线AP 的长为12厘米，求弦AB 的长．6.已知：如图，ABC △中，AB AC =，以AB 为直径的O 交BC 于点P ，PD AC ⊥于点D ． （1）求证：PD 是O 的切线；（2）若1202CAB AB ∠==，，求BC 的值．7、为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA=5cm ，求铁环的半径.8.如图，在Rt ABC △中，90C ∠=，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ，点D 在AB 边上且DE BE ⊥． （1）判断直线AC 与DBE △外接圆的位置关系，并说明理由； （2）若662AD AE ==，，求BC 的长．9、已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，以BC 为直径的半圆O 与边AB 相交于点D ，切线DE ⊥AC ，垂足为点E ．求证：（1）△ABC 是等边三角形；（2）CE AE 31=．．10.如图10，AB 为O 的直径，D 为弦BE 的中点，连接OD 并延长交O 于点F ，与过B 点的切线相交于点C ．若点E 为弧AF 的中点，连接AE ． 求证：ABE OCB △≌△．ADBOCEDC F EA PD B C O CP BO A DC（第8题）BDAE11.已知：如图，在Rt ABC △中，90C ∠=，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC AB ，分别交于点D E ，，且CBD A ∠=∠．（1）判断直线BD 与O 的位置关系，并证明你的结论；（2）若:8:5AD AO =，2BC =，求BD 的长．12.如图14，直线AB 经过O 上的点C ，并且OA OB =，CA CB =，O 交直线OB 于E D ，，连接EC CD ，．（1）求证：直线AB 是O 的切线；（2）试猜想BC BD BE ，，三者之间的等量关系，并加以证明；（3）若1tan 2CED ∠=，O 的半径为3，求OA 的长．13.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，且AB =AC ，点D 在弧BC 上运动，过点D 作DE ∥BC ，DE 交AB 的延长线于点E ，连结AD 、BD ．（1）求证：∠ADB =∠E ；（3分）（2）当点D 运动到什么位置时，DE 是⊙O 的切线？请说明理由． （3）当AB =5，BC =6时，求⊙O 的半径．（4分）14.如图，BD 是⊙O 的直径，AB 与⊙O 相切于点B ，过点D 作OA 的平行线交⊙O 于点C ，AC 与BD 的延长线相交于点E ．(1) 试探究A E 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2) 已知EC ＝a ，ED ＝b ，AB ＝c ，请你思考后，选用以上适当的数据，设计出计算⊙O 的半径r 的一种方案： ①你选用的已知数是 ；②写出求解过程（结果用字母表示）．DCOABEOEDC B A（第13题图）AB C D E O a b c （第21题图）CA P OC E O15、如图，AB 是⊙O 的直径，∠BAC=30°，M 是OA 上一点，过M 作AB 的垂线交AC 于点N ，交BC 的延长线于点E ，直线CF 交EN 于点F ，且∠ECF=∠E. （1）证明CF 是⊙O 的切线； （2）设⊙O 的半径为1，且AC=CE ，求MO 的长.巩固作业1. 已知：AB 交圆O 于C 、D ，且AC ＝BD.你认为OA ＝OB 吗？为什么？2. 如图所示，是一个直径为650mm 的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=600mm ，求油面的最大深度。
2018中考数学专题复习 第二十三讲 圆的有关计算(共69张PPT)
命题角度1:阴影部分面积由扇形的面积与其他图形的 面积和差得到 【示范题3】(2017·青岛中考)如图,直线AB,CD分别 与☉O相切于B,D两点,且AB⊥CD,垂足为P,连接BD,若 BD=4,则阴影部分的面积为________.
【思路点拨】根据阴影部分的面积=扇形OBD的面积△OBD的面积,计算得出答案.
360 2
=2π-4.
答案:2π -4
命题角度2:阴影部分由多个扇形等简单组合而成 【示范题4】(2017·德州中考)某景区修建一栋复古 建筑,其窗户设计如图所示.圆O的圆心与矩形ABCD对 角线的交点重合,且圆与矩形上下两边相切(E为上切 点),与左右两边相交(F,G为其中两个交点),图中阴影 部分为不透光区域,其余部分为透光区域.已知圆的半
2
∴阴影部分的面积=S△BTD=
1 2 2 1. 2
【答题关键指导】 求解一些几何图形的面积,特别是不规则几何图
形的面积时,常通过平移、旋转、分割等方法,把不 规则图形面积转化为规则图形面积的和或差,使复杂 问题简单化,便于求解.这种解题方法也体现了整体
思想、转化思想.将不规则图形面积转化为规则图形 的面积,常用的方法有:①直接用公式法;②和差法; ③割补法.
∠B1A1B2=30°,A1A2=A2B2,
∴B1B2= 1 3
A1B1= 3 3
,∴A2B2=12
A1B2=B1B2=3
3
,
∵正六边形A1B1C1D1E1F1∽正六边形A2B2C2D2E2F2,
∴正六边形A2B2C2D2E2F2的面积∶正六边形A1B1C1D1E1 的面积=( 3 )2 1 ,
2
【答题关键指导】
正多边形的有关边的计算的常用公式
(1)r2+ ( a ) 2 =R2(r表示边心距,R表示半径,a表示边长).