高中数学(人教A版)选修2-1第二章 圆锥曲线与方程 测试题(含详解)
高中数学(人教A)选修1第二章圆锥曲线与方程测试题(含详解)
高中数学选修1-1第二章测试(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知抛物线的准线方程为x ＝－7，则抛物线的标准方程为( )A ．x 2＝－28yB ．y 2＝28xC ．y 2＝－28xD ．x 2＝28y2．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点．若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．103．双曲线3mx 2－my 2＝3的一个焦点是(0,2)，则m 的值是( ) A ．－1 B ．1 C ．－1020D.1024．椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到两焦点的距离之积为m ，则m 取最大值时，P 点坐标是( )A ．(5,0)或(－5,0)B ．(52，332)或(52，－332)C ．(0,3)或(0，－3)D ．(532，32)或(－532，32)5．(2010·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 236－y 2108＝1 B.x 29－y 227＝1 C.x 2108－y 236＝1D.x 227－y 29＝16．在y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是( )A ．(－2,1)B ．(1,2)C ．(2,1)D ．(－1,2)7．已知抛物线的顶点为原点，焦点在y 轴上，抛物线上点M (m ，－2)到焦点的距离为4，则m 的值为( )A ．4或－4B ．－2C ．4D ．2或－28．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，且它的一个焦点在抛物线y 2＝12x 的准线上，则此双曲线的方程为( )A.x 25－y 26＝1 B.x 27－y 25＝1 C.x 23－y 26＝1D.x 24－y 23＝19．动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过点( )A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0，－2)10．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上任意一点到两焦点的距离分别为d 1，d 2，焦距为2c ，若d 1,2c ，d 2成等差数列，则椭圆的离心率为( )A.12 B.22 C.32D.3411．已知F 是抛物线y ＝14x 2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是( )A ．x 2＝y －12 B ．x 2＝2y －116C ．x 2＝2y －1D ．x 2＝2y －212．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为双曲线左支上一点，若|PF 2|2|PF 1|的最小值为8a ，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(1,3]D ．(1,2]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．(2010·福建)若双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)的渐近线方程为y ＝±12x ，则b 等于________．14．若中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆经过点(4,0)，离心率为32，则椭圆的标准方程为________．15．设F 1和F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积为________．16．过双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一个焦点作圆x2＋y2＝a2的两条切线，切点分别为A，B.若∠AOB＝120°(O是坐标原点)，则双曲线C的离心率为________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)求与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦距，且离心率为5 5的椭圆的标准方程．18．(12分)已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.19．(12分)已知椭圆方程为x 29＋y 24＝1，在椭圆上是否存在点P (x ，y )到定点A (a,0)(其中0＜a ＜3)的距离的最小值为1，若存在，求出a 的值及P 点的坐标；若不存在，说明理由．20．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，直线l 为圆O ：x 2＋y 2＝b 2的一条切线，记椭圆C 的离心率为e .(1)若直线l 的倾斜角为π3，且恰好经过椭圆C 的右顶点，求e 的大小；(2)在(1)的条件下，设椭圆C 的上顶点为A ，左焦点为F ，过点A与AF 垂直的直线交x 轴的正半轴于B 点，且过A ，B ，F 三点的圆恰好与直线l ：x ＋3y ＋3＝0相切，求椭圆C 的方程．21．(12分)设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，抛物线C 2：x 2＋by ＝b 2.(1)若C 2经过C 1的两个焦点，求C 1的离心率；(2)设A (0，b )，Q (33，54b )，又M ，N 为C 1与C 2不在y 轴上的两个交点，若△AMN 的垂心为B (0，34b )，且△QMN 的重心在C 2上，求椭圆C 1和抛物线C 2的方程．22．(12分)(2010·北京)已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，离心率是63，直线y＝t与椭圆C交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P，圆心为P.(1)求椭圆C的方程；(2)若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；(3)设Q(x，y)是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值．参考答案1. 解析由条件可知p2＝7，∴p＝14，抛物线开口向右，故方程为y2＝28x.答案 B2. 解析由题可知a＝5，P为椭圆上一点，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10. 答案 D3. 解析 把方程化为标准形式－x 2－1m ＋y 2－3m＝1，∴a 2＝－3m ，b 2＝－1m .∴c 2＝－3m －1m ＝4，解得m ＝－1. 答案 A4. 解析 |PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，∴|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝25. 当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝5时，取得最大值， 此时P 点是短轴端点，故选C. 答案 C5. 解析 本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质与标准方程，属于容易题．依题意知⎩⎪⎨⎪⎧ba ＝3，c ＝6，c 2＝a 2＋b 2，⇒a 2＝9，b 2＝27，所以双曲线的方程为x 29－y 227＝1.6. 解析 如图所示，直线l 为抛物线y ＝2x 2的准线，F 为其焦点，PN ⊥l ，AN 1⊥l ，由抛物线的定义知，|PF |＝|PN |， ∴|AP |＋|PF |＝|AP |＋|PN |≥|AN 1|， 当且仅当A ，P ，N 三点共线时取等号， ∴P 点的横坐标与A 点的横坐标相同即为1， 则可排除A 、C 、D 项，故选B. 答案 B7. 解析 由题可知，p2－(－2)＝4，∴p ＝4.∴抛物线的方程为x 2＝－8y . 将(m ，－2)代入可得m 2＝16， ∴m ＝±4.故选A.8. 解析 抛物线y 2＝12x 的准线方程为x ＝－3，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3，ca ＝3，c 2＝a 2＋b 2.解得a 2＝3，b 2＝6，故所求双曲线的方程为x 23－y 26＝1. 答案 C9. 解析 直线x ＋2＝0是抛物线的准线，又动圆圆心在抛物线上，由抛物线的定义知，动圆必过抛物线的焦点(2,0)．答案 B10. 解析 由椭圆的定义可知d 1＋d 2＝2a ，又由d 1,2c ，d 2成等差数列， ∴4c ＝d 1＋d 2＝2a ，∴e ＝c a ＝12. 答案 A11. 解析 由y ＝14x 2⇒x 2＝4y ，焦点F (0,1)，设PF 中点Q (x ，y )、P (x 0，y 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝0＋x 0，2y ＝1＋y 0，4y 0＝x 2，∴x 2＝2y －1.答案 C12. 解析 |PF 2|2|PF 1|＝(|PF 1|＋2a )2|PF 1| ＝|PF 1|＋4a 2|PF 1|＋4a ≥8a ， 当|PF 1|＝4a 2|PF 1|，即|PF 1|＝2a 时取等号． 又|PF 1|≥c －a ，∴2a ≥c －a .∴c ≤3a ，即e ≤3.∴双曲线的离心率的取值范围是(1,3]答案 C13. 解析 由题意知b 2＝12，解得b ＝1.答案 114. 解析 若焦点在x 轴上，则a ＝4，由e ＝32，可得c ＝23，∴b 2＝a 2－c 2＝16－12＝4，椭圆方程为x 216＋y 24＝1，若焦点在y 轴上，则b ＝4，由e ＝32，可得c a ＝32，∴c 2＝34a 2.又a 2－c 2＝b 2，∴14a 2＝16，a 2＝64.∴椭圆方程为x 216＋y 264＝1.答案 x 216＋y 264＝1，或x 216＋y 24＝115. 解析 由题设知⎩⎪⎨⎪⎧ ||PF 1|－|PF 2||＝4，①|PF 1|2＋|PF 2|2＝20，②)②－①2得|PF 1|·|PF 2|＝2.∴△F 1PF 2的面积S ＝12|PF 1|·|PF 2|＝1.答案 116. 解析 如图，设双曲线一个焦点为F ，则△AOF 中，|OA |＝a ，|OF |＝c ，∠FOA ＝60°.∴c ＝2a ，∴e ＝c a ＝2.答案 217. 解 把方程4x 2＋9y 2＝36写成x 29＋y 24＝1，则其焦距2c ＝25，∴c ＝ 5.又e ＝c a ＝55，∴a ＝5.b 2＝a 2－c 2＝52－5＝20，故所求椭圆的方程为x 225＋y 220＝1，或y 225＋x 220＝1.18. 解 设直线上任意一点坐标为(x ，y )，弦两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)．∵P 1，P 2在抛物线上，∴y 21＝6x 1，y 22＝6x 2.两式相减，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝6(x 1－x 2)．∵y 1＋y 2＝2，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝6y 1＋y 2＝3. ∴直线的方程为y －1＝3(x －4)，即3x －y －11＝0.由⎩⎨⎧ y 2＝6x ，y ＝3x －11，得y 2－2y －22＝0，∴y 1＋y 2＝2，y 1·y 2＝－22.∴|P 1P 2|＝ 1＋1922－4×(－22)＝22303. 19. 解 设存在点P (x ，y )满足题设条件，则|AP |2＝(x －a )2＋y 2.又∵x 29＋y 24＝1，∴y 2＝4(1－x 29)．∴|AP |2＝(x －a )2＋4(1－x 29)＝59(x －95a )2＋4－45a 2.∵|x |≤3，当|95a |≤3，又0<a <3即0＜a ≤53时，|AP |2的最小值为4－45a 2.依题意，得4－45a 2＝1，∴a ＝±152∉⎝ ⎛⎦⎥⎤0，53，当95a ＞3，即53＜a ＜3.此时x ＝3，|AP |2取最小值(3－a )2.依题意，得(3－a )2＝1，∴a ＝2.此时P 点的坐标是(3,0)．故当a ＝2时，存在这样的点P 满足条件，P 点坐标为(3,0)．20. 解(1)如图，设直线l 与圆O 相切于E 点，椭圆C 的右顶点为D ， 则由题意易知，△OED 为直角三角形，且|OE |＝b ，|OD |＝a ，∠ODE ＝π3，∴|ED |＝|OD |2－|OE |2＝c (c 为椭圆C 的半焦距)．∴椭圆C 的离心率e ＝c a ＝cos π3＝12.(2)由(1)知，c a ＝12，∴可设a ＝2m (m >0)，则c ＝m ，b ＝3m ，∴椭圆C 的方程为x 24m 2＋y 23m 2＝1.∴A (0，3m )，∴|AF |＝2m .直线AF 的斜率k AF ＝3，∴∠AFB ＝60°.在Rt △AFB 中，|FB |＝|AF |cos ∠AFB＝4m ， ∴B (3m,0)，设斜边FB 的中点为Q ，则Q (m,0)，∵△AFB 为直角三角形，∴过A ，B ，F 三点的圆的圆心为斜边FB 的中点Q ，且半径为2m ， ∵圆Q 与直线l ：x ＋3y ＋3＝0相切， ∴|m ＋3|1＋3＝2m .∵m 是大于0的常数，∴m ＝1.故所求的椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.21. 解 (1)由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上，可得c 2＝b 2，由a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，有c 2a 2＝12⇒e ＝22.(2)由题设可知M 、N 关于y 轴对称， 设M (－x 1，y 1)，N (x 1，y 1)(x 1>0)， 由△AMN 的垂心为B ，有BM →·AN →＝0⇒－x 21＋(y 1－34b )(y 1－b )＝0.由点N (x 1，y 1)在抛物线上，x 21＋by 1＝b 2，解得y 1＝－b 4，或y 1＝b (舍去)，故x 1＝52b ，M (－52b ，－b 4)，N (52b ，－b 4)，得△QMN 重心坐标(3，b 4)．由重心在抛物线上得3＋b 24＝b 2，∴b ＝2，M (－5，12)，N (5，－12)，又∵M ，N 在椭圆上，得a 2＝163，椭圆方程为x 2163＋y 24＝1，抛物线方程为x 2＋2y ＝4.22. 解 (1)∵c a ＝63，且c ＝2， ∴a ＝3，b ＝a 2－c 2＝1.∴椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)由题意知P (0，t )(－1<t <1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝t ，x 23＋y 2＝1，得x ＝±3(1－t 2)， ∴圆P 的半径为3(1－t 2). ∴3(1－t 2)＝|t |，解得t ＝±32.∴点P 的坐标是(0，±32)．(3)由(2)知，圆P 的方程为 x 2＋(y －t )2＝3(1－t 2)． ∵点Q (x ，y )在圆P 上， ∴y ＝t ±3(1－t 2)－x 2≤t ＋3(1－t 2).设t ＝cos θ，θ∈(0，π)， 则t ＋3(1－t 2)＝cos θ＋3sin θ＝2sin(θ＋π6)，当θ＝π3，即t ＝12，且x ＝0，y 取最大值2.。
高中数学人教版选修2-1习题 第2章 圆锥曲线与方程 2.1 含答案
第二章 2.1一、选择题1．方程(2x －y ＋2)·x 2＋y 2－1＝0表示的曲线是导学号 33780312( )A ．一个点与一条直线B ．两条射线和一个圆C ．两个点D ．两个点或一条直线或一个圆[答案] B[解析] 原方程等价于x 2＋y 2－1＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋2＝0x 2＋y 2－1≥0，故选B.2．若方程x －2y －2k ＝0与2x －y －k ＝0所表示的两条直线的交点在方程x 2＋y 2＝9的曲线上，则k 等于导学号 33780313( )A ．±3B ．0C ．±2D ． 一切实数[答案] A[解析] 两直线的交点为(0，－k)，由已知点(0，－k)在曲线x 2＋y 2＝9上，故可得k 2＝9，∴k ＝±3.3．在直角坐标系中，方程|x|·y ＝1的曲线是导学号 33780314( )[答案] C[解析] 由|x|·y ＝1知y>0，曲线位于x 轴上方，故选C.4．命题“曲线C 上的点的坐标都是方程f(x ，y)＝0的解”是正确的，下列命题中正确的是导学号 33780315( )A ．方程f(x ，y)＝0的曲线是CB ．方程f(x ，y)＝0是曲线C 的方程C ．方程f(x ，y)＝0的曲线不一定是CD ．以方程f(x ，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C 上[答案] C[解析] 不论方程f(x ，y)＝0是曲线C 的方程，还是曲线C 是方程f(x ，y)＝0的曲线，都必须同时满足两层含义：(1)曲线上的点的坐标都是方程的解；(2)以方程的解为坐标的点都在曲线上，所以A 、B 、D 错误．5．已知A(－2,0)、B(2,0)，△ABC 的面积为10，则顶点C 的轨迹是导学号 33780316( )A ．一个点B ．两个点C ．一条直线D ．两条直线[答案] D[解析] 设顶点C 到边AB 的距离为d ，则12×4×d ＝10，∴d ＝5.∴顶点C 到x轴的距离等于5.故顶点C的轨迹是直线y＝－5和y＝5.6．动点在曲线x2＋y2＝1上移动时，它和定点B(3,0)连线的中点P的轨迹方程是导学号 33780317( )A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．(x＋32)2＋y2＝1[答案] C[解析] 设P点为(x，y)，曲线上对应点为(x1，y1)，则有x1＋32＝x，y1＋02＝y.∴x1＝2x－3，y1＝2y.∵(x1，y1)在曲线x2＋y2＝1上，∴x21＋y21＝1，∴(2x－3)2＋(2y)2＝1即(2x－3)2＋4y2＝1.二、填空题7．方程y＝x2－2x＋1所表示的图形是________.导学号 33780318[答案] 两条射线x＋y－1＝0(x≤1)和x－y－1＝0(x≥1)[解析] 原方程等价于y＝|x－1|⇔x＋y－1＝0(x≤1)和x－y－1＝0(x≥1)．8．给出下列结论：导学号 33780319①方程yx－2＝1表示斜率为1，在y轴上的截距为－2的直线；②到x轴距离为2的点的轨迹方程为y＝－2；③方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示四个点．正确的结论的序号是________．。
高中数学人教A版选修2-1 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 Word版含答案
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6，0)，则它的标准方程是( ) A.y 218－x 218＝1 B.x 218－y 218＝1 C.x 28－y 28＝1D.y 28－x 28＝1【解析】 设等轴双曲线方程为x 2a 2－y 2a 2＝1(a ＞0)， ∴a 2＋a 2＝62，∴a 2＝18，故双曲线方程为x 218－y 218＝1.【答案】 B2．已知双曲线方程为x 2－y 24＝1，过P (1，0)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则共有l ( )A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条【解析】 因为双曲线方程为x 2－y24＝1，所以P (1，0)是双曲线的右顶点，所以过P (1，0)并且和x 轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过点P (1，0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条，故选B.【答案】 B3．双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则双曲线C 的焦距等于( ) 【导学号：18490063】A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2【解析】 由已知得e ＝c a ＝2，所以a ＝12c ，故b ＝c 2－a 2＝32c ，从而双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±3x ，由焦点到渐近线的距离为3，得32c ＝3，解得c ＝2，故2c ＝4，故选C. 【答案】 C4．若实数k 满足0<k <5，则曲线x 216－y 25－k ＝1与曲线x 216－k －y 25＝1的( )A ．实半轴长相等B ．虚半轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等【解析】 若0<k <5，则5－k >0，16－k >0，故方程x 216－y 25－k ＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，且实半轴的长为4，虚半轴的长为5－k ，焦距2c ＝221－k ，离心率e ＝21－k 4；同理方程x 216－k －y 25＝1也表示焦点在x 轴上的双曲线，实半轴的长为16－k ，虚半轴的长为5，焦距2c ＝221－k ，离心率e ＝21－k16－k.可知两曲线的焦距相等，故选D.【答案】 D5．双曲线两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为( ) A ．2 B. 3 C. 2D.32【解析】 双曲线为等轴双曲线，两条渐近线方程为y ＝±x ，即ba ＝1，e ＝ca ＝ 2.【答案】 C 二、填空题6．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________． 【解析】 ∵c 2＝m ＋m 2＋4，∴e 2＝c 2a 2＝m ＋m 2＋4m＝5， ∴m 2－4m ＋4＝0，∴m ＝2. 【答案】 27．已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5，0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．【解析】 由双曲线方程知，b ＝4，a ＝3，c ＝5，则虚轴长为8，则|PQ |＝16.由左焦点F (－5，0)，且A (5，0)恰为右焦点，知线段PQ 过双曲线的右焦点，则P ，Q 都在双曲线的右支上．由双曲线的定义可知|PF |－|P A |＝2a ，|QF |－|QA |＝2a ，两式相加得，|PF |＋|QF |－(|P A |＋|QA |)＝4a ，则|PF |＋|QF |＝4a ＋|PQ |＝4×3＋16＝28，故△PQF 的周长为28＋16＝44.【答案】 448．设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B ，若点P (m ，0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．【解析】由⎩⎨⎧x －3y ＋m ＝0，y ＝b a x ，得点A 的坐标为： ⎝ ⎛⎭⎪⎫am 3b －a ，bm 3b －a ， 由⎩⎨⎧x －3y ＋m ＝0，y ＝－b a x ，得点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－am 3b ＋a ，bm 3b ＋a ， 则AB 的中点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2m 9b 2－a 2，3b 2m 9b 2－a 2，∵k AB ＝13，∴k CP ＝3b 2m 9b 2－a 2a 2m 9b 2－a 2－m＝－3，即3b 2a 2－（9b 2－a 2）＝－3，化简得a 2＝4b 2， 即a 2＝4(c 2－a 2)，∴4c 2＝5a 2， ∴e 2＝54，∴e ＝52.【答案】 52 三、解答题9．双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y ＝x ，求双曲线的标准方程和离心率．【解】 由椭圆x 216＋y 264＝1，知c 2＝64－16＝48，且焦点在y 轴上， ∵双曲线的一条渐近线为y ＝x ， ∴设双曲线方程为y 2a 2－x 2a 2＝1. 又c 2＝2a 2＝48，∴a 2＝24. ∴所求双曲线的方程为y 224－x 224＝1. 由a 2＝24，c 2＝48， 得e 2＝c 2a 2＝2，又e >0，∴e ＝ 2.10．已知双曲线x 23－y 2b 2＝1的右焦点为(2，0)． (1)求双曲线的方程；(2)求双曲线的渐近线与直线x ＝－2围成的三角形的面积． 【解】 (1)∵双曲线的右焦点坐标为(2，0)，且双曲线方程为x 23－y 2b2＝1，∴c 2＝a 2＋b 2＝3＋b 2＝4，∴b 2＝1，∴双曲线的方程为x 23－y 2＝1. (2)∵a ＝3，b ＝1，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±33x ， 令x ＝－2，则y ＝±233，设直线x ＝－2与双曲线的渐近线的交点为A ，B ，则|AB |＝433，记双曲线的渐近线与直线x ＝－2围成的三角形的面积为S ，则S ＝12×433×2＝43 3.[能力提升]1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均与曲线C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，则该双曲线的离心率等于( )A.355B.62C.32D.55【解析】 曲线C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆心坐标为C (3，0)，半径r ＝2，双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，不妨取y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，因为渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离d ＝|3b |a 2＋b 2＝2，即9b 2＝4(a 2＋b 2)，所以5b 2＝4a 2，b 2＝45a 2＝c 2－a 2，即95a 2＝c 2，所以e 2＝95，e ＝355，选A.【答案】 A2．设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．3x ±4y ＝0B ．3x ＋5y ＝0C ．5x ±4y ＝0D ．4x ±3y ＝0【解析】 由题意可知|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，所以△PF 1F 2为等腰三角形，所以由F 2向直线PF 1作的垂线也是中线，因为F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长2a ，所以|PF 1|＝24c 2－4a 2＝4b ，又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以4b －2c ＝2a ，所以2b －a ＝c ，两边平方可得4b 2－4ab ＋a 2＝c 2＝a 2＋b 2，所以3b 2＝4ab ，所以4a ＝3b ，从而b a ＝43，所以该双曲线的渐近线方程为4x ±3y ＝0，故选D.【答案】 D3．过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F 1，作倾斜角为π6的直线AB ，其中A ，B 分别为直线与双曲线的交点，则|AB |的长为________．【解析】 双曲线的左焦点为F 1(－2，0)， 将直线AB 的方程y ＝33(x ＋2)代入双曲线方程， 得8x 2－4x －13＝0.显然Δ＞0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝－138，∴|AB |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝1＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫122－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－138＝3. 【答案】 34．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2，0)，右顶点为(3，0)．(1)求双曲线C 的方程； 【导学号：18490064】(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA→·OB →>2，其中O 为原点，求k 的取值范围． 【解】 (1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由已知得a ＝3，c ＝2.又因为a 2＋b 2＝c 2，所以b 2＝1， 故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1. (2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1中， 得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0， 由直线l 与双曲线交于不同的两点得：⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝（－62k ）2＋36（1－3k 2）>0， 即k 2≠13且k 2<1.①设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则x A ＋x B ＝62k1－3k 2，x A x B＝－91－3k 2， 由OA →·OB →>2得x A x B ＋y A y B>2， 而x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A ＋2)(kx B ＋2) ＝(k 2＋1)x A x B ＋2k (x A ＋x B )＋2＝(k 2＋1)·－91－3k 2＋2k ·62k 1－3k 2＋2＝3k 2＋73k 2－1，于是3k 2＋73k 2－1>2，解此不等式得13<k 2<3. ②由①②得13<k 2<1.故k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1.。
高中数学人教A版选修2-1第二章 圆锥曲线与方程 测试题.docx
第二章 圆锥曲线与方程 测试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．如果抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在直线3x －4y －12＝0上，那么抛物线的方程是（ ）A ．y 2＝－16xB ．y 2＝12xC ．y 2＝16xD ．y 2＝－12x2．设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且|PF 1|＝5，则|PF 2|＝（ ）A ．5B ．3C ．7D ．3或73．已知椭圆x 225＋y 29＝1，F 1，F 2分别为其左、右焦点，椭圆上一点M 到F 1的距离是2，N 是MF 1的中点，则|ON |的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．“2<m <6”是“方程x 2m －2＋y 26－m ＝1表示椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1（a >0，b >0）的焦距为4，一个顶点是抛物线y 2＝4x 的焦点，则双曲线的离心率e 等于（ ）A ．2B ．3C ．32D ． 26．已知点A （3，4），F 是抛物线y 2＝8x 的焦点，M 是抛物线上的动点，当|AM |＋|MF |最小时，M 点坐标是（ ）A ．（0，0）B ．（3，26）C ．（3，－26）D ．（2，4）7．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1（a >0，b >0）的离心率为52，则椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率为（ ）A ．12B ．33C ．32D ．228．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于（ ）A ．42B ．83C ．24D ．489．已知点A （1，2）是抛物线C ：y 2＝2px 与直线l ：y ＝k （x ＋1）的一个交点，则抛物线C 的焦点到直线l 的距离是（ ）A ．22 B ．2 C ．322D ．2 2 10．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为（ ）A ．6B ．3C ．2D ．811．已知以F 1（－2，0），F 2（2，0）为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ ）A ．32B ．26C ．27D ．712．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1作圆x 2+y 2=a 2的切线交双曲线的左、右支分别于点B 、C ，且|BC|=|CF 2|，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．y=±3xB ．y=±22xC ．y=±（1+3）xD ．y=±（3－1）x 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上）13．抛物线y ＝4x 2的焦点到准线的距离是＿＿＿＿＿．14．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是＿＿＿＿＿．15．若点P 在曲线C 1：x 216－y 29＝1上，点Q 在曲线C 2：（x －5）2＋y 2＝1上，点R 在曲线C 3：（x ＋5）2＋y 2＝1上，则|PQ |－|PR |的最大值是＿＿＿＿＿．16．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 到准线的距离为d ，且点P 在y 轴上的射影是M ，点A （72，4），则|P A |＋|PM |的最小值是＿＿＿＿＿．17．已知F 1为椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点，直线l ：y ＝x －1与椭圆C 交于A 、B 两点，则|F 1A |＋|F 1B |的值为＿＿＿＿＿．18．过抛物线y 2=2px （p>0）的焦点作斜率为3的直线与该抛物线交于A ，B 两点，A ，B 在y 轴上的正射影分别为D ，C ，若梯形ABCD 的面积为103，则p=＿＿＿＿＿． 三、解答题（本大题共6小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（10分）已知双曲线的渐近线方程为y ＝±43x ，并且焦点都在圆x 2＋y 2＝100上，求双曲线方程．20．（10分）已知点P （3，4）是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）上的一点，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，若PF 1⊥PF 2．试求：（1）椭圆的方程；（2）△PF 1F 2的面积． 21．（10分）抛物线y 2＝2px （p >0）有一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方程为y ＝2x ，斜边长为513，求此抛物线方程．22．（10分）已知抛物线C 的顶点在原点，焦点F 在x 轴的正半轴上，设A 、B 是抛物线C 上的两个动点（AB 不垂直于x 轴），且|AF |＋|BF |＝8，线段AB 的垂直平分线恒经过定点Q （6，0），求此抛物线的方程．23．（10分）设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1（a >0）与直线l ：x ＋y ＝1相交于两点A 、B ．（1）求双曲线C 的离心率e 的取值范围；（2）设直线l 与y 轴的交点为P ，且P A →＝512PB →，求a 的值．24．（10分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a >b >0）的离心率为63，且经过点（32，12）．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点P （0，2）的直线交椭圆C 于A ，B 两点，求△AOB （O 为原点）面积的最大值．参考答案一、选择题1．C 2．D 3．D 4．B 5．A 6．D 7．C 8．C 9．B 10．A 11．C 12．C 提示：1．由题设知直线3x －4y －12＝0与x 轴的交点（4，0）即为抛物线的焦点，故其方程为y 2＝16x ．2．因为双曲线的定义可得||PF 1|－|PF 2||＝2，所以|PF 2|＝7或3．3．由题意知|MF 2|＝10－|MF 1|＝8，ON 是△MF 1F 2的中位线，所以|ON |＝12|MF 2|＝4．4．若x 2m －2＋y26－m＝1表示椭圆，则有⎩⎪⎨⎪⎧m －2>0，6－m >0，m －2≠6－m ，所以2<m <6且m ≠4，故2<m <6是x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆的必要不充分条件． 5．依题意，得c ＝2，a ＝1，所以e ＝ca＝2．6．由题知点A 在抛物线内．设M 到准线的距离为|MK |，则|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MK |，当|MA |＋|MK |最小时，M 点坐标是（2，4）．7．因为在双曲线中，e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝54，所以b 2a 2＝14，在椭圆中，e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a2＝1－b 2a 2＝1－14＝34，所以椭圆的离心率e ＝32．8．由P 是双曲线上的一点和3|PF 1|＝4|PF 2|可知，|PF 1|－|PF 2|＝2，解得|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，又|F 1F 2|＝2c ＝10，所以△PF 1F 2为直角三角形，所以△PF 1F 2的面积S ＝12×6×8＝24．9．将点（1，2）代入y 2＝2px 中，可得p ＝2，即得抛物线y 2＝4x ，其焦点坐标为（1，0），将点（1，2）代入y ＝k （x ＋1）中，可得k ＝1，即得直线x －y ＋1＝0，所以抛物线C的焦点到直线l 的距离d ＝|1－0＋1|2＝2．10．由椭圆方程得F （－1，0），设P （x 0，y 0），则OP →·FP →＝（x 0，y 0）·（x 0＋1，y 0）＝x 20＋x 0＋y 20，因为P 为椭圆上一点，所以x 204＋y 203＝1，所以OP →·FP →＝x 20＋x 0＋3（1－x 204）＝x 204＋x 0＋3＝14（x 0＋2）2＋2，因为－2≤x 0≤2，所以OP →·FP →的最大值在x 0＝2时取得，且最大值等于6．11．根据题意设椭圆方程为x 2b 2＋4＋y 2b 2＝1（b >0），则将x ＝－3y －4代入椭圆方程，得4（b 2＋1）y 2＋83b 2y －b 4＋12b 2＝0，因为椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，所以Δ＝（83b 2）2－4×4（b 2＋1）（－b 4＋12b 2）＝0，即（b 2＋4）·（b 2－3）＝0，所以b 2＝3，长轴长为2b 2＋4＝27．12．根据双曲线的定义有|CF 1|－|CF 2|=2a ，而|BC|=|CF 2|，那么2a=|CF 1|－|CF 2|=|CF 1|－|BC|=|BF 1|，而又由双曲线的定义有|BF 2|－|BF 1|=2a ，可得|BF 2|=4a ，由于过F 1作圆x 2+y 2=a 2的切线交双曲线的左、右支分别于点B 、C ，那么sin ∠BF 1F 2=c a ，那么cos ∠BF 1F 2=cb，根据余弦定理有cos ∠BF 1F 2=c b =c a a c a 222)4()2()2(222⨯⨯-+，整理有b 2－2ab －2a 2=0，即（ab）2－2a b －2=0，解得a b =1+3（a b =1－3<0舍去），故双曲线的渐近线方程为y=±abx=±（1+3）x ． 二、填空题13．18 14．x 281＋y 272＝1 15．10 16．92 17．823 18．3提示：13．由x 2＝14y 知，p ＝18，所以焦点到准线的距离为p ＝18．14．依题意知：2a ＝18，所以a ＝9，2c ＝13×2a ，所以c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝81－9＝72，所以椭圆方程为x 281＋y 272＝1．15．依题意得，点F 1（－5，0）、F 2（5，0）分别为双曲线C 1的左、右焦点，因此有|PQ |－|PR |≤|（|PF 2|＋1）－（|PF 1|－1）|≤||PF 2|－|PF 1||＋2＝2×4＋2＝10，故|PQ |－|PR |的最大值是10．16．设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，则F （12，0），又点A （72，4）在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x ＝－12，则|PM |＝d －12，又|P A |＋d ＝|P A |＋|PF |≥|AF |＝5，所以|P A |＋|PM |≥92．17．设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝x －1，消去y 整理得3x 2－4x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝43，易得点A （0，－1）、B （43，13）．又点F 1（－1，0），因此|F 1A |＋|F 1B |＝12＋(－1)2＋(73)2＋(13)2＝823． 18．由抛物线y 2=2px （p>0）得其焦点F （2p ，0），直线AB 的方程为y=3（x －2p），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）（假定x 2>x 1），由题意可知y 1<0，y 2>0，联立⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x y 2)2(32，整理有3y 2－2py －3p 2=0，可得y 1+y 2=32p ，y 1y 2=－p 2，则有x 1+x 2=35p，而梯形ABCD的面积为S=21（x 1+x 2）（y 2－y 1）=65p 212214)(y y y y -+=103，整理有p 2=9，而p>0，故p=3．三、解答题19．解：设双曲线的方程为42·x 2－32·y 2＝λ（λ≠0），从而有（|λ|4）2＋（|λ|3）2＝100，解得λ＝±576，所以双曲线的方程为x 236－y 264＝1和y 264－x 236＝1．20．解：（1）因为P 点在椭圆上，所以9a 2＋16b 2＝1，①又PF 1⊥PF 2，所以43＋c ·43－c＝－1，得：c 2＝25，② 又a 2＝b 2＋c 2，③由①②③得a 2＝45，b 2＝20，则椭圆方程为x 245＋y 220＝1；（2）S 21F PF ∆＝12|F 1F 2|×4＝5×4＝20．21．解：设抛物线y 2＝2px （p >0）的内接直角三角形为AOB ，直角边OA 所在直线方程为y ＝2x ，另一直角边所在直线方程为y ＝－12x ，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y 2＝2px ，可得点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，p ；解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ，y 2＝2px ，可得点B 的坐标为（8p ，－4p ）．因为|OA |2＋|OB |2＝|AB |2，且|AB |＝513， 所以⎝⎛⎭⎫p24＋p 2＋（64p 2＋16p 2）＝325， 所以p ＝2，所以所求的抛物线方程为y 2＝4x ．22．解：设抛物线的方程为y 2＝2px （p >0），其准线方程为x ＝－p2，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），因为|AF |＋|BF |＝8，所以x 1＋p 2＋x 2＋p2＝8，即x 1＋x 2＝8－p ，因为Q （6，0）在线段AB 的中垂线上，所以QA ＝QB ，即（x 1－6）2＋y 21＝（x 2－6）2＋y 22，又y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以（x 1－x 2）（x 1＋x 2－12＋2p ）＝0， 因为x 1≠x 2，所以x 1＋x 2＝12－2p ，故8－p ＝12－2p ，所以p ＝4， 所以所求抛物线方程是y 2＝8x ．23．解：（1）联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－a 2y 2－a 2＝0，x ＋y ＝1，消y 得x 2－a 2（1－x ）2－a 2＝0，即（1－a 2）x 2＋2a 2x －2a 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2a 21－a 2，x 1x 2＝－2a21－a 2.因为与双曲线交于两点A 、B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 2(1－a 2)>0，可得0<a 2<2且a 2≠1， 所以e 的取值范围为（62，2）∪（2，＋∞）； （2）由（1）得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2a 21－a 2，x 1x 2＝－2a21－a2.因为P A →＝512PB →，所以x 1＝512x 2，则1712x 2＝－2a 21－a 2，①512x 22＝－2a 21－a 2，② 由①2②得，a 2＝289169，结合a >0，则a ＝1713．24．解：（1）由e 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝23，得b a ＝13，①由椭圆C 经过点（32，12），得94a 2＋14b2＝1，②联立①②，解得b ＝1，a ＝3，所以椭圆C 的方程是x 23＋y 2＝1；（2）易知直线AB 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋2，将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，消去y 得（1＋3k 2）x 2＋12kx ＋9＝0， 令Δ＝144k 2－36（1＋3k 2）>0，得k 2>1，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1＋x 2＝－12k 1＋3k 2，x 1x 2＝91＋3k 2， 所以S △AOB ＝|S △POB －S △POA |＝12×2×|x 1－x 2|＝|x 1－x 2|，因为（x 1－x 2）2＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝（－12k 1＋3k 2）2－361＋3k 2＝36(k 2－1)(1＋3k 2)2，设k 2－1＝t （t >0），则（x 1－x 2）2＝36t (3t ＋4)2＝369t ＋16t ＋24≤3629t ×16t ＋24＝34， 当且仅当9t ＝16t ，即t ＝43时等号成立，此时k 2＝73，△AOB 面积取得最大值32．。
选修2-1第二章圆锥曲线与方程测试(含解析答案)
第二章圆锥曲线与方程单元综合测试班别： 姓名： 成绩：一、选择题(每小题5分，共60分) 1．椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( )A.32B.34C.22D.232．双曲线3mx 2－my 2＝3的一个焦点是(0,2)，则m 的值是( )A ．－1B ．1C ．－1020D.1023．双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－12,0)C ．(－3,0)D ．(－60，－12)4．若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线5．已知两定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且12|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则动点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．线段6．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB | 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D ．37．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在 8．已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是( )A ．x －2y ＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．2x ＋3y ＋4＝0D ．x ＋2y －8＝0 9．过椭圆x 24＋y 22＝1的右焦点作x 轴的垂线交椭圆于A 、B 两点，已知双曲线的焦点在x 轴 上，对称中心在坐标原点且两条渐近线分别过A 、B 两点，则双曲线的离心率e 为( )A.12B.22C.62D.3210．双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn ≠0)有一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则m ＋n 的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．以上都不对11．设F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b <0)的左、右焦点，点P 在双曲线上，若 PF 1→·PF 2→＝0，且|PF 1→|·|PF 2→|＝2ac (c ＝a 2＋b 2)，则双曲线的离心率为( ) A.1＋52 B.1＋32 C ．2 D.1＋2212．已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任意 一点，若|PF 1|2|PF 2|的最小值为8a ，则双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2]C ．(1，3]D ．(1,3] 二、填空题(每小题5分，共20分)13．若双曲线的渐近线方程为y ＝±13x ，它的一个焦点是(10，0)，则双曲线的标准方程是．14．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝__________， ∠F 1PF 2的大小为________．15．已知F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的左、右焦点，点P 是椭圆上任意一点，从F 1引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，交F 2P 的延长线于M ，则点M 的轨迹方程是 ． 16．过抛物线y 2＝4x 的焦点，作倾斜角为3π4的直线交抛物线于P ，Q 两点，O 为坐标原点，则△POQ 的面积等于__________．三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共60分)17．(10分)求与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，并且离心率为52的双曲线方程．18、（12分）知抛物线xy42 ，焦点为F，顶点为O，点P在抛物线上移动，Q是OP的中点，M是FQ的中点，求点M的轨迹方程．19．(12分)已知双曲线中心在原点，且一个焦点为(7，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN的中点的横坐标为－23，求此双曲线的方程．20．(12分)已知A (2，0)、B (－2，0)两点，动点P 在y 轴上的射影为Q ，P A →·PB→＝2PQ →2.(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)设直线m 过点A ，斜率为k ，当0<k <1时，曲线E 的上支上有且仅有一点C 到直线m 的距离为2，试求k 的值及此时点C 的坐标．21．（14分）已知动点P 与双曲线x 2－y 2＝1的两个焦点F 1，F 2的距离之和为定值，且cos ∠F 1PF 2的最小值为－13. （1）求动点P 的轨迹方程；（2）设M (0，－1)，若斜率为k (k ≠0)的直线l 与P 点的轨迹交于不同的两点A 、B ，若要使|MA |＝|MB |，试求k 的取值范围．第二章圆锥曲线与方程单元综合测试参考答案一、选择题(每小题5分，共60分)1．A 解析：∵a ＝1，b ＝12，∴c ＝a 2－b 2＝32，∴e ＝c a ＝32，故选A.2．A 解析 把方程化为标准形式－x 2－1m ＋y 2－3m＝1，则a 2＝－3m ，b 2＝－1m ，∴c 2＝a 2＋b 2＝－4m ＝4，∴m ＝－1.3．B 解析：∵a 2＝4，b 2＝－k ，∴c 2＝4－k .∵e ∈(1,2)，∴c 2a 2＝4－k4∈(1,4)，k ∈(－12,0)．4．D 解析：设M (2,0)，由题设可知，把直线x ＝－1向左平移一个单位即为直线x ＝－2， 则点P 到直线x ＝－2的距离等于|PM |，所以动点P 的轨迹为抛物线，故选D. 5．D 解析：依题意知|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|＝2，作图可知点P 的轨迹为线段，故选D. 6．B 解析：不妨设双曲线C 为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，并设l 过F 2(c,0)且垂直于x 轴，则 易求得|AB |＝2b 2a ，∴2b 2a ＝2×2a ，b 2＝2a 2，∴离心率e ＝ca ＝1＋b 2a 2＝3，故选B.7．B 解析：由定义|AB |＝5＋2＝7，∵|AB |min ＝4，∴这样的直线有且仅有两条．8．D 解析：设l 与椭圆的两交点分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则得y 21－y 22x 21－x 22＝－936，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12.故方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.9．C 解析：A (2，1)，B (2，－1)，设双曲线为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，渐近线方程为y ＝±b a x ，因为A 、B 在渐近线上，所以1＝b a ·2，b a ＝22，e ＝ca ＝a 2＋b 2a 2＝62.10．C 解析：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，故双曲线x 2m －y 2n ＝1中m >0，n >0，且m ＋n ＝c 2＝1.11．A 解析：由PF 1→·PF 2→＝0可知△PF 1F 2为直角三角形，则由勾股定理，得 |PF 1→|2＋|PF 2→|2＝4c 2，① 由双曲线的定义，得(|PF 1→|－|PF 2→|)2＝4a 2，② 又|PF 1→|·|PF 2→|＝2ac ，③ 由①②③得c 2－ac －a 2＝0，即e 2－e －1＝0， 解得e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)． 12．D 解析：|PF 1|2|PF 2|＝2a ＋|PF 2|2|PF 2|＝4a 2|PF 2|＋|PF 2|＋4a ≥4a ＋4a ＝8a ，当且仅当4a 2|PF 2|＝|PF 2|，即|PF 2|＝2a 时取等号．这时|PF 1|＝4a .由|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|，得6a ≥2c ，即e ＝ca ≤3， 得e ∈(1,3]，故选D. 二、填空题(每小题5分，共20分)13．x 29－y 2＝1 解析：由双曲线的渐近线方程为y ＝±13x ，知b a ＝13，它的一个焦点是 (10，0)，知a 2＋b 2＝10，因此a ＝3，b ＝1，故双曲线的方程是x 29－y 2＝1.14．2；120° 解析：由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2×3＝6，因为|PF 1|＝4，所以|PF 2|＝2.在△PF 1F 2中，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝－12.∴∠F 1PF 2＝120°.15．(x －a 2－b 2)2＋y 2＝4a 2 解析：由题意知|MP |＝|F 1P |，∴|PF 1|＋|PF 2|＝|MF 2|＝2a .∴点M 到点F 2的距离为定值2a .∴点M 的轨迹是以点F 2为圆心，以2a 为半径的圆，其方程为(x －a 2－b 2)2＋y 2＝4a 2.16．2 2 解析 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，F 为抛物线焦点，由2(1)4y x y x=--⎧⎨=⎩,得y 2＋4y －4＝0，∴|y 1－y 2|＝()()221212444442y y y y +-=-+⨯=∴S △POQ ＝12|OF ||y 1－y 2|＝2 2. 三、解答题17．解：由椭圆方程x 29＋y 24＝1，知长半轴a 1＝3，短半轴b 1＝2，焦距的一半c 1＝a 21－b 21＝5，∴焦点是F 1(－5，0)，F 2(5，0)，因此双曲线的焦点也是F 1(－5，0)，F 2(5，0)，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题设条件及双曲线的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，c a ＝52，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1.故所求双曲线的方程为x 24－y 2＝1. （10分）18． [解析]：设M （y x ,），P （11,y x ），Q （22,y x ），易求x y 42=的焦点F 的坐标为（1，0）∵M 是FQ 的中点，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=22122y y x x ⇒⎩⎨⎧=-=y y x x 21222，又Q 是OP 的中点 ∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==221212y y x x ⇒⎩⎨⎧==-==yy y x x x 422422121，∵P 在抛物线x y 42=上，∴)24(4)4(2-=x y ，所以M 点的轨迹方程为212-=x y . （12分）19．解：设双曲线方程为x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，依题意c ＝7，∴方程可以化为x 2a 2－y 27－a 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧x2a 2－y 27－a 2＝1，y ＝x －1，得(7－2a 2)x 2＋2a 2x －8a 2＋a 4＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2a 27－2a 2，∵x 1＋x 22＝－23，∴－a 27－2a 2＝－23，解得a 2＝2. ∴双曲线的方程为x 22－y 25＝1. （12分）20．解：(1)设动点P 的坐标为(x ，y )，则点Q (0，y )，PQ →＝(－x,0)，P A →＝(2－x ，－y )， PB →＝(－2－x ，－y )，P A →·PB→＝x 2－2＋y 2.① ②∵P A →·PB →＝2PQ →2，∴x 2－2＋y 2＝2x 2， 即动点P 的轨迹方程为y 2－x 2＝2. (2)设直线m ：y ＝k (x －2)(0<k <1)，依题意，点C 在与直线m 平行且与m 之间的距离为2的直线上，设此直线为 m 1：y ＝kx ＋b . 由|2k ＋b |k 2＋1＝2，即b 2＋22kb ＝2.① 把y ＝kx ＋b 代入y 2－x 2＝2，整理，得(k 2－1)x 2＋2kbx ＋(b 2－2)＝0， 则Δ＝4k 2b 2－4(k 2－1)(b 2－2)＝0，即b 2＋2k 2＝2.② 由①②，得k ＝255，b ＝105. 此时，由方程组⎩⎨⎧y ＝255x ＋105，y 2－x 2＝2，解得⎩⎨⎧x ＝22，y ＝10，即C (22，10)．（12分）21． [解析]：(1)∵x 2－y 2＝1，∴c ＝ 2.设|PF 1|＋|PF 2|＝2a (常数a ＞0)， 2a ＞2c ＝22，∴a ＞ 2由余弦定理有cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝2a 2－4|PF 1||PF 2|－1∵|PF 1||PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝a 2，∴当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时，|PF 1||PF 2|取得最大值a 2. 此时cos ∠F 1PF 2取得最小值2a 2－4a 2－1，由题意2a 2－4a 2－1＝－13，解得a 2＝3，123222=-=-=∴c a b∴P 点的轨迹方程为x 23＋y 2＝1.(2)设l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)，则由 ⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y y x 1322 将②代入①得：(1＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3(m 2－1)＝0 (*)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB 中点Q (x 0，y 0)的坐标满足：x 0＝x 1＋x 22＝－3km 1＋3k 2，y 0＝kx 0＋m ＝m1＋3k 2 即Q (－3km 1＋3k 2，m1＋3k 2) ∵|MA |＝|MB |，∴M 在AB 的中垂线上，∴k l k AB ＝k ·m1＋3k 2＋1－3km 1＋3k 2＝－1 ，解得m ＝1＋3k 22 …③又由于(*)式有两个实数根，知△＞0，即 (6km )2－4(1＋3k 2)[3(m 2－1)]＝12(1＋3k 2－m 2)＞0 ④ ，将③代入④得12[1＋3k 2－(1＋3k 22)2]＞0，解得－1＜k ＜1，由k ≠0， ∴k 的取值范围是k ∈(－1，0)∪(0，1). （14分）。
高中数学选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》单元检测卷含解析
选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》单元检测题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( ) A.x 281＋y 272＝1 B.x 281＋y 29＝1 C.x 281＋y 245＝1 D.x 281＋y 236＝1 2．平面内有定点A 、B 及动点P ，设命题甲是“|PA |＋|PB |是定值”，命题乙是“点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆”，那么甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设a ≠0，a ∈R ，则抛物线y ＝ax 2的焦点坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a C.⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a 4．已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2＝2(x ≠±2) D ．x 2＋y 2＝4(x ≠±2)5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)有两个顶点在直线x ＋2y ＝2上，则此椭圆的焦点坐标是( )A ．(±3，0)B ．(0，±3)C ．(±5，0)D ．(0，±5)6．设椭圆x 2m 2＋y 2m 2－1＝1 (m >1)上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则椭圆的离心率为( ) A.22 B.12 C.2－12 D.347．已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，点A ，B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为( ) A ．2a ＋2m B ．4a ＋2m C ．a ＋m D ．2a ＋4m8．已知抛物线y 2＝4x 上的点P 到抛物线的准线的距离为d 1，到直线3x －4y ＋9＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( ) A.125 B.65 C ．2 D.559．设点A 为抛物线y 2＝4x 上一点，点B (1,0)，且|AB |＝1，则A 的横坐标的值为( ) A ．－2 B ．0 C ．－2或0 D ．－2或210．从抛物线y 2＝8x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线的焦点为F ，则△PFM 的面积为( ) A ．5 6 B ．6 5 C ．10 2 D ． 5 211．若直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两个不同的点，且AB 的中点的横坐标为2，则k 等于( )A ．2或－1B ．－1C ．2D ．1± 512．设F 1、F 2分别是双曲线x 25－y 24＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且1PF u u u u r ·2PF u u u u r ＝0，则|1PF u u u u r ＋2PF u u u u r|等于( )A ．3B ．6C ．1D ．2第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．以等腰直角△ABC 的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为_ ___________．14．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，过焦点F 且斜率为k (k >0)的直线与C 相交于A 、B 两点，若AF u u u r＝3FB u u u r，则k ＝________.15．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过点M (p,0)的直线与抛物线交于A 、B 两点，则OA u u u r ·OB uuu r ＝________.16．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝_ _______. 三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)求与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，并且离心率为52的双曲线方程．18．(本小题满分12分)已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点F 交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长．19.( 本小题满分12分)已知两个定点A (－1,0)、B (2,0)，求使∠MBA ＝2∠MAB 的点M 的轨迹方程．20．(本小题满分12分)已知点A (0，－2)，B (0,4)，动点P (x ，y )满足PA u u u r ·PB u u u r ＝y 2－8.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)设(1)中所求轨迹与直线y ＝x ＋2交于C 、D 两点．求证：OC ⊥OD (O 为原点)．21.( 本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点A (1，－2)． (1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程．(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．22．(本小题满分12分)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y ＝14x 2的焦点，离心率为255. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M ，若MA u u u r ＝m FA u u u r ，MB u u u r ＝n FB u u u r，求m ＋n 的值．选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》单元检测题参考答案选择题答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ABDDABBABACB【第5题解析】2201.02.21 3.x y b y x a c ======∴=-=时，时，故选A.【第6题解析】2a ＝3＋1＝4.∴a ＝2，又∵c ＝m 2－m 2－1＝1，∴离心率e ＝c a ＝12.故选B.【第7题解析】∵A ，B 在双曲线的右支上，∴|BF 1|－|BF 2|＝2a ，|AF 1|－|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|AF 1|－(|BF 2|＋|AF 2|)＝4a ，|BF 1|＋|AF 1|＝4a ＋m ，∴△ABF 1的周长为4a ＋m ＋m ＝4a ＋2m ..故选B. 【第8题解析】如图所示过点F 作FM 垂直于直线3x －4y ＋9＝0，当P 点为直线FM 与抛物线的交点时，d 1＋d 2最小值为|3＋9|5＝125.故选A. 【第9题解析】由题意B 为抛物线的焦点．令A 的横坐标为x 0，则|AB |＝x 0＋1＝1，∴x 0＝0.故选B. 【第10题解析】由题得2,0|3,26,P p x y ∴=∴=±焦点的坐标为（），PM|=5,1526562PFM S ∆∴=⋅⋅= .故选A.【第11题解析】由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2y 2＝8x消去y 得，k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，故Δ＝[－4(k ＋2)]2－4k 2×4＝64(1＋k )>0，解得k >－1，由x 1＋x 2＝4k ＋2k2＝4，解得k ＝－1或k ＝2，又k >－1，故k ＝2.故选C. 【第12题解析】因为PF 1→·PF 2→＝0，所以PF 1→⊥PF 2→，则|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝|F 1F 2|2＝4c 2＝36，故|PF 1→＋PF 2→|2＝|PF 1→|2＋2PF 1→·PF 2→＋|PF 2→|2＝36，所以|PF 1→＋PF 2→|＝6.故选B.填空题答案第13题 22或2－1 第14题 3 第15题－p 2第16题2【第14题解析】设直线l 为抛物线的准线，过A ，B 分别作AA 1，BB 1垂直于l ，A 1，B 1为垂足，过B 作BE 垂直于AA 1与E ，则|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，由AF →＝3FB u u u r ，∴cos ∠BAE ＝|AE ||AB |＝12，∴∠BAE ＝60°，∴tan∠BAE ＝ 3.即k ＝ 3.故填 3.【第15题解析】直接取两个特殊点1212(2)(,2)A p B p OA OB x x y y -∴⋅=+u u u r u u u r和，222p p =-2p =-.故填－p 2.【第16题解析】设点A ，B 的横坐标分别是x 1，x 2，则依题意有焦点F (1,0)，|AF |＝x 1＋1＝2，x 1＝1，直线AF 的方程是x ＝1，故|BF |＝|AF |＝2. 故填2. 【第17题答案】x 24－y 2＝1.【第17题解析】由椭圆方程为x 29＋y 24＝1，知长半轴长a 1＝3，短半轴长b 1＝2，焦距的一半c 1＝a 21－b 21＝5，∴焦点是F 1(－5，0)，F 2(5，0)，因此双曲线的焦点也是F 1(－5，0)，F 2(5，0)，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)，由题设条件及双曲线的性质， 得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝5c 2＝a 2＋b 2c a ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝1，故所求双曲线的方程为x 24－y 2＝1.∴x 1＋x 2＝835，x 1x 2＝85，∴|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫8352－4×85＝85. 【第19题答案】点M 的轨迹方程为3x 2－y 2＝3(右支)或y ＝0 (－1<x <2)． 【第19题解析】设动点M 的坐标为(x ，y )． 设∠MAB ＝β，∠MBA ＝α，即α＝2β， ∴tan α＝tan 2β，则tan α＝2tan β1－tan 2β.① (1)如图(1)，当点M 在x 轴上方时，tan β＝y x ＋1，tan α＝y2－x， 将其代入①式并整理得3x 2－y 2＝3 (x >0，y >0)； (2)如图(2)，当点M 在x 轴的下方时， tan β＝－y x ＋1，tan α＝－y2－x， 将其代入①式并整理得3x 2－y 2＝3 (x >0，y <0)；(3)当点M 在x 轴上时，若满足α＝2β，M 点只能在线段AB 上运动(端点A 、B 除外)，只能有α＝β＝0. 综上所述，可知点M 的轨迹方程为3x 2－y 2＝3(右支)或y ＝0 (－1<x <2)． 【第20题答案】（1）x 2＝2y ；（2）证明见解析. 【第20题解析】(1)解 ∵A (0，－2)，B (0,4)， ∴PA →＝(－x ，－2－y )，PB →＝(－x,4－y )．【第21题答案】（1）抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1；（2）符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0.【第21题解析】(1)将(1，－2)代入y 2＝2px ， 得(－2)2＝2p ·1，所以p ＝2.故所求的抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1. (2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋t ，y 2＝4x 得y 2＋2y －2t ＝0.因为直线l 与抛物线C 有公共点， 所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12.另一方面，由直线OA 到l 的距离d ＝55可得|t |5＝15，解得t ＝±1.因为－1∉[－12，＋∞)，1∈[－12，＋∞)，所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0. 【第22题答案】（1）x 25＋y 2＝1；（2）m ＋n ＝10.【第22题解析】(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)．抛物线方程可化为x 2＝4y ，其焦点为(0,1)， 则椭圆C 的一个顶点为(0,1)，即b ＝1.由e ＝c a＝a 2－b 2a 2＝255. 得a 2＝5，所以椭圆C 的标准方程为x 25＋y 2＝1.FA u u u r ＝ (x 1－2，y 1)，FB u u u r＝(x 2－2，y 2)．∵MA →＝m FA u u u r ，MB →＝n FB u u u r ，∴m ＝x 1x 1－2，n ＝x 2x 2－2， ∴m ＋n ＝2x 1x 2－2x 1＋x 24－2x 1＋x 2＋x 1x 2， 又2x 1x 2－2(x 1＋x 2)＝40k 2－10－40k 21＋5k2 ＝－101＋5k2， 4－2(x 1＋x 2)＋x 1x 2 ＝4－40k 21＋5k 2＋20k 2－51＋5k 2＝－11＋5k 2， ∴m ＋n ＝10.。
高中数学人教A版选修2-1高二数学(理)《第二章圆锥曲线与方程》测试题2.docx
命题人：夏雪 审题人：曹杨可一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.）1.已知M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=4,则动点P 的轨迹是 A.双曲线 B.双曲线左支 C.一条射线 D.双曲线右支2.若圆224x y +=上每个点的横坐标不变．纵坐标缩短为原来的13，则所得曲线的方程是 A.221412xy+=B.221436xy+= C.229144xy += D.221364xy+=3.抛物线x y 412=关于直线0=-y x 对称的抛物线的焦点坐标是 A.(1,0)B.)0,161(C.(0,1)D.()161,04、 若点P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点，且021=⋅PF PF ，,21tan 21=∠F PF 则此椭圆的离心率e =( )A ．35 B ．32 C ．31 D ．21 5.设θ是△ABC 的一个内角，且7sin cos 13θθ+=,则22sin cos 1x y θθ-=表示（ ） A ．焦点在ｘ轴上的椭圆 B ．焦点在ｙ轴上的椭圆C 焦点在ｘ轴上的双曲线D ．焦点在ｙ轴上的双曲线6.若双曲线的两条渐进线的夹角为060，则该双曲线的离心率为 A.2B.36C.2或36D.2或332 7、经过点p(1/2,0)且与双曲线2241x y -=仅交于一点的直线有 （ ）条. A. 1B.2C.3D.48．已知点P 是椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>上一点，12,F F 分别为椭圆的左、右焦点，I 为△12PF F 的内心，若1212IPF IPF IF F S S S λ∆∆∆+=成立，则λ的值为 （ ）A .222a b a-B .22a ab - C .a b D .ba 9.已知椭圆的内接三角形有一个顶点在短轴的顶点处，其重心是椭圆的一个焦点，求该椭圆离心率e 的取值范围． A. 23(0,)3 B. 3(0,)3 C. 23(,1)3 D. 3(,1)3222,)(2),,,,,y x Q s t t s AB CD AB CD M N MN =<10.过抛物线内的任意一点（作两条相互垂直的弦若弦的中点分别为直线恒过定点（）A .1,0)s +（ B .(1,0)s - C .(12,0)s + D .(12,0)s - 二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）1、已知双曲线22221y x a b-=的一个焦点与圆x 2+y 2－10x =0的圆心重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的标准方程为 ．2、等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2 = 4x 的准线交于A 、B 两点，AB =3，则C 的实轴长为 .3、已知椭圆E 的离心率为e,两焦点为F 1、F 2，抛物线C 以F 1为顶点，F 2为焦点，P 为两曲线的一个交点，若||||21PF PF =e ，则e 的值为__________．4、如图，过抛物线y 2=2px （p>0）的焦点F 的直线L 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为 。
高中数学人教A版选修2-1 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.2 Word版含答案
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知点P (6，y )在抛物线y 2＝2px (p >0)上，若点P 到抛物线焦点F 的距离等于8，则焦点F 到抛物线准线的距离等于( )A ．2B ．1C ．4D ．8【解析】 抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p2，因为P (6，y )为抛物线上的点，所以点P 到焦点F 的距离等于它到准线的距离，所以6＋p2＝8，所以p ＝4，即焦点F 到抛物线的距离等于4，故选C.【答案】 C2．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，其面积为( )A ．2 3B ．4C ．6D ．4 3【解析】 据题意知，△FPM 为等边三角形，|PF |＝|PM |＝|FM |，∴PM ⊥抛物线的准线．设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 24，m ，则M (－1，m )，等边三角形边长为1＋m 24，又由F (1，0)，|PM |＝|FM |，得1＋m 24＝（1＋1）2＋m 2，得m ＝23，∴等边三角形的边长为4，其面积为43，故选D.【答案】 D3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入抛物线方程得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1， ①y 22＝2px 2， ②①－②得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2p (x 1－x 2)．又∵y 1＋y 2＝4，∴y 1－y 2x 1－x 2＝2p 4＝p 2＝k ＝1，∴p ＝2.∴所求抛物线的准线方程为x ＝－1. 【答案】 B4．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.303 B ．6 C ．12D ．7 3【解析】 焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，直线AB 的斜率为33，所以直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，即y ＝33x －34，代入y 2＝3x ， 得13x 2－72x ＋316＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝212，所以|AB |＝x 1＋x 2＋32＝212＋32＝12，故选C. 【答案】 C5．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若x 1＋x 2＝6，那么|AB |等于( )A ．10B ．8C ．6D ．4【解析】 由题意知p ＝2，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝8.故选B. 【答案】 B 二、填空题6．抛物线y 2＝x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________．【解析】 设抛物线上点的坐标为(x ，±x )，此点到准线的距离为x ＋14，到顶点的距离为x 2＋（x ）2，由题意有x ＋14＝x 2＋（x ）2，∴x ＝18，∴y ＝±24，∴此点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫18，±24.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫18，±247．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝________．【解析】 当k ＝0时，直线与抛物线有唯一交点，当k ≠0时，联立方程消去y 得k 2x 2＋4(k －2)x ＋4＝0，由题意Δ＝16(k －2)2－16k 2＝0，∴k ＝1.【答案】 0或18．平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1，0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P (－1，0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是________. 【导学号：18490074】【解析】 设机器人为A (x ，y )，依题意得点A 在以F (1，0)为焦点，x ＝－1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y 2＝4x .过点P (－1，0)，斜率为k 的直线为y ＝k (x ＋1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋k ， 得ky 2－4y ＋4k ＝0.当k ＝0时，显然不符合题意；当k ≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k ·4k <0，化简得k 2－1>0，解得k >1或k <－1，因此k 的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．【答案】 (－∞，－1)∪(1，＋∞)三、解答题9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与y 轴的交点，A 为抛物线上一点，且|AM |＝17，|AF |＝3，求此抛物线的标准方程．【解】 设所求抛物线的标准方程为x 2＝2py (p ＞0)， 设A (x 0，y 0)，由题知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2.∵|AF |＝3，∴y 0＋p2＝3， ∵|AM |＝17， ∴x 20＋⎝⎛⎭⎪⎫y 0＋p 22＝17，∴x 20＝8，代入方程x 20＝2py 0，得8＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－p 2，解得p ＝2或p ＝4.∴所求抛物线的标准方程为x 2＝4y 或x 2＝8y .10．已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点．(1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值； (2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．【解】 (1)因为直线l 的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan 60°＝ 3.又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，所以直线l 的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32. 联立⎩⎨⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，消去y 得x 2－5x ＋94＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝5， 而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ， 所以|AB |＝5＋3＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3.又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离为3＋32＝92.[能力提升]1．(2016·菏泽期末)已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，过F 作倾斜角为30°的直线与抛物线交于A ，B 两点，若|AF ||BF |∈(0，1)，则|AF ||BF |＝( )A.15B.14C.13D.12【解析】 因为抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，故过点F 且倾斜角为30°的直线的方程为y ＝33x ＋p 2，与抛物线方程联立得x 2－233px －p 2＝0，解方程得x A ＝－33p ，x B ＝3p ，所以|AF ||BF |＝|x A ||x B|＝13，故选C.【答案】 C2．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2，2)，过抛物线C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若MA→·MB →＝0，则k ＝( ) A.12 B.22 C. 2D ．2【解析】 由题意可知抛物线的焦点坐标为(2，0)，则过焦点且斜率为k 的直线的方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4＋8k 2，x 1x 2＝4，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k ，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16，因为MA →·MB →＝0，所以(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0(*)，将上面各个量代入(*)，化简得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2，故选D.【答案】 D3．抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________．【解析】由于x 2＝2py (p >0)的准线为y ＝－p 2，由⎩⎨⎧y ＝－p 2，x 2－y 2＝3，解得准线与双曲线x 2－y 2＝3的交点为A ⎝⎛⎭⎪⎫－3＋14p 2，－p 2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋14p 2，－p 2，所以AB ＝23＋14p 2.由△ABF 为等边三角形，得32AB ＝p ，解得p ＝6. 【答案】 64．已知抛物线x ＝－y 2与过点(－1，0)且斜率为k 的直线相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△OAB 的面积等于10时，求k 的值. 【导学号：18490075】【解】 过点(－1，0)且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－y 2，y ＝k （x ＋1），消去x ，整理得ky 2＋y －k ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数之间的关系得y 1＋y 2＝－1k ，y 1y 2＝－1.设直线与x 轴交于点N ，显然N 点的坐标为(－1，0)． ∵S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN ＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|＝12|ON ||y 1－y 2|， ∴S △OAB ＝12（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝121k 2＋4＝10，解得k ＝－16或16.。
人教版 数学选修2-1第二章 圆锥曲线与方程 附答案
选修2-1第二章 圆锥曲线与方程 附答案一、选择题1．若平面内一条直线l 与曲线C 有且仅有一个公共点，则下列命题：(1)若C 是圆，则l 与C 一定相切；(2)若C 是抛物线，则l 与C 一定相切；（3）若C 是椭圆，则l 与C 一定相切；（4）若C 是双曲线，则l 与C 一定相切．其中正确的有( )．A ．1 个B ．2个C ．3个D ．4个2．过抛物线x 2＝4y 的焦点且与其对称轴垂直的弦AB 的长度是( )． A ．1B ．2C ．4D ．83．双曲线1 ＝ 4－922y x 与直线m x －y ＋ 32＝(m ∈R )的公共点的个数为( )．A ．0B ．1C ．0或1D ．0或1或24．在直角坐标平面内，已知点F 1(－4，0)，F 2(4，0)，动点M 满足条件：|MF 1|＋|MF 2|＝8，则点M 的轨迹方程是( )．A ．1 ＝ 9＋1622y xB ．x =0C ．y ＝0(－4≤x ≤4)D ．1＝ 16＋1622 y x 5．已知经过椭圆1 ＝ ＋522y x 的焦点且与其对称轴成45º的直线与椭圆交于A ，B 两点，则|AB |＝( )．A ．352 B ．310C ．25D ．106．已知点A (3，0)、B (－3，0)，|AC |－|BC |＝4，则点C 轨迹方程是( )． A ．1 ＝ 5422y －xB ．1 ＝ 5422y －x (x ＜0)C ．1 ＝ 5422y －x (x ＞0)D ．0 ＝ 5422y －x (x ＜0)7．方程mx 2＋(m ＋1)y 2＝m (m ＋1)，m ∈R 表示的曲线不可能是( )． A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线8．若椭圆1 ＝9＋ 1622x y 上的点到直线y ＝x ＋m 的最短距离是2，则m 最小值为( )．A ．－1B ．3-C ． 7-D ．19．直线y ＝x －k 与抛物线x 2＝y 相交于A ，B 两点，若线段AB 中点的纵坐标为1，则k 的值为( )．A ．－21 B ．21C ．－41D ．－110．设椭圆22＋10y x ＝1和双曲线22－8y x ＝1的公共焦点分别为F 1，F 2，P 是这两曲线的交点，则△PF 1F 2的外接圆半径为( )．A ．1B ．2C ．22D ．3二、填空题11．直线m y 2 ＝ 与曲线 222218＝ ＋ 9m y x m (m ∈R ，m ≠0)有 个公共点． 12．到点(－4，0)与到直线x ＝－425的距离之比为54的动点的轨迹方程是 ．13．与14922=-y x 有相同渐近线且实轴长为10的双曲线方程是 ． 14．已知△ABC 的两个顶点为A (0，0)、B (6，0)，顶点C 在曲线1 ＝ 91622y －x 上运动，则△ABC 的重心的轨迹方程是 ．15．若点P ，Q 在抛物线y 2＝4x 上，O 是坐标原点，且OP ·＝0，则直线PQ 恒过的定点的坐标是 ．16．已知正三角形ABC ，若M ，N 分别是AB ，AC 的中点，则以B ，C 为焦点，且过M ，N 的椭圆与双曲线的离心率之积为 ．三、解答题 17．若过椭圆1 ＝ ＋2222by ax (a ＞b ＞0)左焦点的直线与它的两个交点及其右焦点构成周长为16的三角形，此椭圆的离心率为0.5，求这个椭圆方程．18．已知直线1＋ ＝x y k 与双曲线x 2－y 2＝1的左支相交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为点M ，定点C (－2，0)．(1)求实数k 的取值范围；(2)求直线MC 在y 轴上的截距的取值范围．19．若点P 在抛物线y 2＝2x 上，A (a ，0)， (1)请你完成下表：(2)若a ∈R ，求||PA 的最小值及相应的点P 坐标20．若点P 在以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p ＞0)上，且PF ⊥FO ，|PF |＝2，O 为原点．(1)求抛物线的方程；(2)若直线x －2y ＝1与此抛物线相交于A ，B 两点，点N 是抛物线弧AOB 上的动点，求△ABN 面积的最大值．参考答案一、选择题 1．B 2．C3．C解析：双曲线1 ＝ 4－922y x 的渐近线方程为y ＝±32x 与已知直线平行或重合，而当m ＝0时，重合；此时，公共点个数为0；m ≠0时，公共点个数为1．4．C 5．A 6． B 7．D 8．C 9．A10．D解析：由椭圆与双曲线的定义可得1||PF 与2||PF 的方程组，进一步可知△PF 1F 2为直角三角形．二、填空题 11．2．12．1 ＝ 9＋2522y x ．13．1 ＝ 9－2522y x 或1 ＝ 4225－2522x y ． 14．1 ＝ 162 922y －－x )((y ≠0)． 15．(4，0)． 16．2． 三、解答题 17．1 ＝ 12＋1622y x ．解：如图，由椭圆定义可知|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ．△ABF 2的周长＝|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16．∴a ＝4， 又∵ e ＝ac＝0.5，（第17题）∴ c ＝2，∴ b ＝3＝ 222－c a ． 椭圆方程为1 ＝ 12＋1622y x ．18．(1)1＜k ＜2．解：把直线y ＝k x ＋1代入双曲线x 2－y 2＝1整理有 (1－k 2)x 2－2k x －2＝0，∵设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由韦达定理可知x 1＋x 2＝2－12k k ＜0， ① x 1·x 2＝2－12k－＞0． ②且 ∆＝(－2k )2－4(1－k 2)·(－2)＝4k 2－8 k 2＋8＞0得 －2＜k ＜2.③ ∴ 1＜k ＜2.(2)∵ M ⎪⎭⎫ ⎝⎛2＋ 2＋2121y y ，x x ， M ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1＋－1 －1222k k k k ，，即M ⎪⎭⎫ ⎝⎛22－11 －1k k k ，. ∴MC ：y ＝2＋＋212k k －x ＋2＋＋222k k －.在y 轴线截距为y m ＝2＋＋222k k －，当k ∈(1，2)，有y m ＞2或y m ＜－2－2. 19．(1)(2)当a ≤1时，|P A |的最小值＝|a |，相应的点P (0，0)；当a ＞1时，|P A |的最小值＝12-a ，相应的点P (a －1，±22-a )． 20．(1)x y 4＝2；（第18题）O解：由PF ⊥FO ，|PF |＝2可知当x ＝2p时，y ＝2. 即2p ·2p＝4，∴ p ＝2. ∴抛物线方程为y 2＝4x . (2)510．解：由(1)可知，直线AB 过焦点F (1，0). 把直线x －2y ＝1代入抛物线y 2＝4x . 有x 2－18 x ＋1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). |AB |＝21－41＋1x x ＝2058 25＝－4＋ 41＋ 121221＝ ·）( ·x x x x . 设N (x 0，20x )，点N 到AB 的距离h ＝51400－x －x .S △ABN ＝21·|AB |·h ＝21·20·51400－x －x .当0x ＝2时，S △ABN 取得最大值，此时S △ABN ＝105.（第20题）。
高中数学人教A版选修2-1 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．方程x 22＋m －y 22－m ＝1表示双曲线，则m 的取值范围为( )A ．－2＜m ＜2B ．m ＞0C ．m ≥0D ．|m |≥2【解析】 ∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m )(2－m )＞0.∴－2＜m ＜2.【答案】 A2．设动点P 到A (－5，0)的距离与它到B (5，0)距离的差等于6，则P 点的轨迹方程是( )A.x 29－y 216＝1B.y 29－x 216＝1 C.x 29－y 216＝1(x ≤－3)D.x 29－y 216＝1(x ≥3)【解析】 由题意知，轨迹应为以A (－5，0)，B (5，0)为焦点的双曲线的右支．由c ＝5，a ＝3，知b 2＝16，∴P 点的轨迹方程为x 29－y 216＝1(x ≥3)． 【答案】 D3．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F 1，F 2分别为(5，0)和(－5，0)，点P 在双曲线上，且PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2的面积为1，则双曲线的方程为( )A.x 22－y 23＝1 B.x 23－y 22＝1C.x 24－y 2＝1D ．x 2－y24＝1【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|·|PF 2|＝2，|PF 1|2＋|PF 2|2＝（25）2，⇒(|PF 1|－|PF 2|)2＝16，即2a ＝4，解得a ＝2，又c ＝5，所以b ＝1，故选C. 【答案】 C4．已知椭圆方程x 24＋y 23＝1，双曲线的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D ．3【解析】 椭圆的焦点为(1，0)，顶点为(2，0)，即双曲线中a ＝1，c ＝2，所以双曲线的离心率为e ＝c a ＝21＝2.【答案】 C5．若k ＞1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是( )A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在y 轴上的椭圆C ．焦点在y 轴上的双曲线D ．焦点在x 轴上的双曲线【解析】 原方程化为标准方程为x 2k 2－11－k ＋yk 2－1＝1，∵k ＞1，∴1－k ＜0，k 2－1＞0， ∴此曲线表示焦点在y 轴上的双曲线． 【答案】 C 二、填空题6．设点P 是双曲线x 29－y 216＝1上任意一点，F 1，F 2分别是其左、右焦点，若|PF 1|＝10，则|PF 2|＝________．【解析】 由双曲线的标准方程得a ＝3，b ＝4. 于是c ＝a 2＋b 2＝5.(1)若点P 在双曲线的左支上，则|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝6，∴|PF 2|＝6＋|PF 1|＝16； (2)若点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝6，∴|PF 2|＝|PF 1|－6＝10－6＝4. 综上，|PF 2|＝16或4. 【答案】 16或47．已知F 1(－3，0)，F 2(3，0)，满足条件|PF 1|－|PF 2|＝2m －1的动点P 的轨迹是双曲线的一支，则m 可以是下列数据中的________．(填序号)①2；②－1；③4；④－3.【解析】 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则c ＝3，∵2a <2c ＝6，∴|2m －1|<6，且|2m －1|≠0，∴－52<m <72，且m ≠12，∴①②满足条件．【答案】 ①②8．已知△ABP 的顶点A ，B 分别为双曲线C ：x 216－y 29＝1的左、右焦点，顶点P 在双曲线C 上，则|sin A －sin B |sin P 的值等于________. 【导学号：18490058】【解析】 由方程x 216－y 29＝1知a 2＝16，b 2＝9，即a ＝4，c ＝16＋9＝5.在△ABP 中，利用正弦定理和双曲线的定义知，|sin A －sin B |sin P ＝||PB |－|P A |||AB |＝2a 2c ＝2×42×5＝45.【答案】 45 三、解答题9．求与双曲线x 24－y 22＝1有相同焦点且过点P (2，1)的双曲线的方程．【解】 ∵双曲线x 24－y 22＝1的焦点在x 轴上． 依题意，设所求双曲线为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)． 又两曲线有相同的焦点，∴a 2＋b 2＝c 2＝4＋2＝6. ①又点P (2，1)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上， ∴4a 2－1b 2＝1.②由①②联立得a 2＝b 2＝3， 故所求双曲线方程为x 23－y 23＝1.10．已知方程kx 2＋y 2＝4，其中k 为实数，对于不同范围的k 值分别指出方程所表示的曲线类型．【解】 (1)当k ＝0时，y ＝±2，表示两条与x 轴平行的直线； (2)当k ＝1时，方程为x 2＋y 2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆；(3)当k ＜0时，方程为y 24－x 2－4k ＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线；(4)当0＜k ＜1时，方程为x 24k ＋y 24＝1，表示焦点在x 轴上的椭圆；(5)当k ＞1时，方程为x 24k＋y 24＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆．[能力提升]1．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值为( )A ．1B.2C ．2D ．3【解析】 由题意知椭圆、双曲线的焦点在x 轴上，且 a >0.∵4－a 2＝a ＋2，∴a 2＋a －2＝0， ∴a ＝1或a ＝－2(舍去)．故选A. 【答案】 A2．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】 不妨设P 是双曲线右支上一点， 在双曲线x 2－y 2＝1中，a ＝1，b ＝1，c ＝2， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，|F 1F 2|＝22，∵|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos ∠F 1PF 2， ∴8＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·12，∴8＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， ∴8＝4＋|PF 1||PF 2|， ∴|PF 1||PF 2|＝4.故选B. 【答案】 B3．已知双曲线x 216－y 225＝1的左焦点为F ，点P 为双曲线右支上的一点，且PF 与圆x 2＋y 2＝16相切于点N ，M 为线段PF 的中点，O 为坐标原点，则|MN |－|MO |＝________．【解析】 设F ′是双曲线的右焦点，连接PF ′(图略)，因为M ，O 分别是FP ，FF ′的中点，所以|MO |＝12|PF ′|，又|FN |＝|OF |2－|ON |2＝5，由双曲线的定义知|PF |－|PF ′|＝8，故|MN |－|MO |＝|MF |－|FN |－12|PF ′|＝12(|PF |－|PF ′|)－|FN |＝12×8－5＝－1.【答案】 －14．已知双曲线x 216－y 24＝1的两焦点为F 1，F 2.(1)若点M 在双曲线上，且MF 1→·MF 2→＝0，求点M 到x 轴的距离； 【导学号：18490059】(2)若双曲线C 与已知双曲线有相同焦点，且过点(32，2)，求双曲线C 的方程．【解】 (1)不妨设M 在双曲线的右支上，M 点到x 轴的距离为h ，MF 1→·MF 2→＝0， 则MF 1⊥MF 2， 设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ，由双曲线定义知，m －n ＝2a ＝8， ① 又m 2＋n 2＝(2c )2＝80，②由①②得m ·n ＝8，∴12mn ＝4＝12|F 1F 2|·h ，∴h ＝255. (2)设所求双曲线C 的方程为x2 16－λ－y24＋λ＝1(－4<λ<16)，由于双曲线C过点(32，2)，所以1816－λ－44＋λ＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．∴所求双曲线C的方程为x212－y28＝1.小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。
【专业资料】新版高中数学人教A版选修2-1习题：第二章圆锥曲线与方程 检测(A) 含解析
第二章检测(A )(时间:90分钟 满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知椭圆x 225+y 216=1上一点P 到椭圆一个焦点的距离是3,则点P 到另一个焦点的距离为( )A.2B.3C.5D.7P 到另一个焦点的距离为d ,由椭圆定义可知P 到两焦点的距离之和3+d=2a=10,则d=10-3=7.2已知抛物线C 1:y=2x 2的图象与抛物线C 2的图象关于直线y=-x 对称,则抛物线C 2的准线方程是( ) A.x=-18B.x=12C.x=18D.x=-12C 1:y=2x 2关于y=-x 对称的抛物线C 2的解析式为-x=2(-y )2,即y 2=-12x ,故C 2的准线方程为x=18.3已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0),离心率等于32,则双曲线C 的方程是( ) A.x 24−2√5=1 B.x 24−y 25=1C.x 22−y 25=1D.x 222√51C 的右焦点为F (3,0),知c=3.由离心率e=32,知c a =32,则a=2, 故b 2=c 2-a 2=9-4=5,因此,双曲线C 的方程为x 2−y 2=1.4已知动点P 到两个定点F 1(-1,0),F 2(1,0)的距离之和为2√3λ(λ≥1),则点P 轨迹的离心率的取值范围为 ( )A.[√33,1)B.(√33,√32]C.(0,√33]D.(√32,1),得2√3λ>|F1F2|=2,故点P的轨迹是椭圆,其中a=√3λ,c=1.于是e=√3λ≤√3.故选C.5若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等比数列,则该椭圆的离心率是()A.√5+12B.√5-12C.25D.152a,2b,2c成等比数列,所以b2=ac.又因为b2=a2-c2,所以a2-c2-ac=0,解得e=√5-12.6抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-y 23=1的渐近线的距离是()A.12B.√32C.1D.√3,抛物线的焦点为(1,0),双曲线的渐近线方程为y=±√3x,即±√3x-y=0,故由点到直线的距离公式可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离d=|±√3-0|2=√32.7AB为过椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的中心的弦,F1为一个焦点,则△ABF1的最大面积是(c为半焦距)()A.acB.abC.bcD.b2ABF1的面积为c·|y A|,因此当|y A|最大,即|y A|=b时,面积最大.8方程mx+ny2=0与mx2+ny2=1(mn≠0)在同一坐标系中的大致图象可能是()9如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A,B,交其准线于点C,准线与对称轴交于点M,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为()A.y2=32x B.y2=3xC.y2=92x D.y2=9x,知|BF|等于点B到准线的距离,由|BC|=2|BF|,得∠BCM=30°.又|AF|=3,从而A(p2+32,3√32),A在抛物线上,代入抛物线方程y2=2px,解得p=32.故抛物线方程为y2=3x.10双曲线与椭圆4x2+y2=64有公共焦点,它们的离心率互为倒数,则双曲线方程为() A.y2-3x2=36 B.x2-3y2=36C.3y2-x2=36D.3x2-y2=364x2+y2=64,得x2+y2=1,∴c2=64-16=48,∴c=4√3,∴e=4√3=√3.在双曲线中,c'=4√3,e'=√3=c'a'.∴a'=√3c'=6,∴b'2=48-36=12.∴双曲线方程为y 2−x2=1,即y2-3x2=36.二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11双曲线x 2256−y2144=1的两条渐近线的方程为.y=±34x.±34x12过抛物线y 2=2px (p>0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A ,B 两点,若线段AB 的长为8,则p= .F (p2,0),设直线方程为y=x-p2.由{y 2=2px ,y=x -p ,得x 2-3px+p 24=0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=3p. 故|AB|=x 1+x 2+p=3p+p=8,即p=2.13在平面直角坐标系xOy 中,已知△ABC 的顶点A (-3,0)和C (3,0),顶点B 在椭圆x 225+y 216=1上,则sinA+sinCsinB= .14在平面直角坐标系中,椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的焦距为2,以O 为圆心,a 为半径作圆,过点(a 2c ,0)所作圆的两条切线互相垂直,则椭圆的离心率e= .M (a 2c,0),两个切点分别为P ,Q.因为|MP|=|MQ|,MP ⊥MQ , 所以四边形MPOQ 是正方形. 又因为c=1,所以(a 21)2=2a 2. 整理得a=√2.故e=√2=√22.15设F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点,过点P (-1,0)的直线l 交抛物线C 于A ,B 两点,点Q 为线段AB 的中点,若|FQ|=2,则直线l 的斜率等于 .l 的方程为y=k (x+1),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由{y 2=4x ,y =k (x +1)联立,得k 2x 2+2(k 2-2)x+k 2=0. 则x 1+x 2=-2(k 2-2)k2,故x 1+x 22=-k 2-2k 2=-1+2k2,y 1+y 22=2k,即Q (-1+2k 2,2k).又∵|FQ|=2,F (1,0), ∴(-1+2k2-1)2+(2k )2=4,解得k=±1.1三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)点A ,B 分别是椭圆x 236+y 220=1的长轴的左、右端点,点F 是椭圆的右焦点,点P 在椭圆上,且位于x 轴上方,PA ⊥PF.求点P 的坐标.A (-6,0),B (6,0),F (4,0).设点P 的坐标是(x ,y ), 则AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(x+6,y ),FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-4,y ). 由已知,得{x 236+y 220=1,(x +6)(x -4)+y 2=0,解得x=32或x=-6.因为y>0,所以只能取x=32,于是y=5√32, 所以点P 的坐标是(32,5√32). 17(8分)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0),短轴顶点B (0,b ),若椭圆内接三角形BMN 的重心是椭圆的左焦点F ,求椭圆的离心率的取值范围.,设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),且已知B (0,b ),F (-c ,0),由重心公式,得{x 1+x 2+03=-c ,y 1+y 2+b3=0⇒{x 1+x 2=-3c ,y 1+y 2=-b .则弦MN 的中点E 的坐标为(-3c2,-b2).又点E 在椭圆内部,则(-3c 2)2a 2+(-b 2)2b2<1⇒e 2<13⇒0<e<√33.故椭圆的离心率的取值范围为(0,√33). 18(9分)已知点P (3,4)是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)上的一点,F 1,F 2为椭圆的两焦点,若PF 1⊥PF 2,试求:(1)椭圆的方程; (2)△PF 1F 2的面积.令F 1(-c ,0),F 2(c ,0)(c>0),则b 2=a 2-c 2.因为PF 1⊥PF 2,所以k PF 1·k PF 2=-1. 即43+c ·43-c =-1,解得c=5,所以可设椭圆方程为x 2a 2+y 2a 2-25=1. 因为点P (3,4)在椭圆上,所以9a 2+16a 2-25=1,解得a 2=45或a 2=5. 又因为a>c ,所以a 2=5(舍去).故所求椭圆方程为x 245+y 220=1.(2)由椭圆定义知|PF 1|+|PF 2|=6√5. ① 又|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=100, ②由①2-②得2|PF 1|·|PF 2|=80, 所以S △PF 1F 2=12|PF 1|·|PF 2|=20.19(10分)如图,点P (0,-1)是椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的一个顶点,C 1的长轴是圆C 2:x 2+y 2=4的直径,l 1,l 2是过点P 且互相垂直的两条直线,其中l 1交圆C 2于A ,B 两点,l 2交椭圆C 1于另一点D. (1)求椭圆C 1的方程;(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程.由题意得{b =1,a =2.故椭圆C 1的方程为x 2+y 2=1.(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),D (x 0,y 0).由题意知直线l 1的斜率存在,不妨设其为k , 则直线l 1的方程为y=kx-1.又圆C 2:x 2+y 2=4,故点O 到直线l 1的距离d=√k +1,则|AB|=2√4-d 2=2√4k 2+3k 2+1.又l 2⊥l 1,故直线l 2的方程为x+ky+k=0. 由{x +ky +k =0,x 2+4y 2=4,消去y ,整理得(4+k 2)x 2+8kx=0, 故x 0=-8k4+k2.则|PD|=8√k 2+14+k2.设△ABD 的面积为S , 则S=12|AB|·|PD|=8√4k 2+34+k2, 故S=√4k +3+134k +3≤2√√4k 2+3·13√4k 2+3=16√1313, 当且仅当k=±√10时取等号. 故所求直线l 1的方程为y=±√10x-1.20(10分)在平面直角坐标系xOy 中,点B 与点A (-1,1)关于原点O 对称,P 是动点,且直线AP 与BP的斜率之积等于-13. (1)求动点P 的轨迹方程.(2)设直线AP 和BP 分别与直线x=3交于点M ,N ,问:是否存在点P ,使得△PAB 与△PMN 的面积相等?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由.因为点B 与点A (-1,1)关于原点O 对称,所以点B 的坐标为(1,-1).设点P 的坐标为(x ,y ). 由题意得y -1x+1·y+1x -1=-13, 化简得x 2+3y 2=4(x ≠±1).故动点P 的轨迹方程为x 2+3y 2=4(x ≠±1).(2)方法一:设点P 的坐标为(x 0,y 0),点M ,N 的坐标分别为(3,y M ),(3,y N ), 则直线AP 的方程为y-1=y 0-1x 0+1(x+1),直线BP 的方程为y+1=y 0+1x 0-1(x-1).令x=3,得y M =4y 0+x 0-3x 0+1,y N =2y 0-x 0+3x 0-1. 于是△PMN 的面积S △PMN =12|y M -y N |(3-x 0)=|x 0+y 0|(3-x 0)2|x 02-1|.又直线AB 的方程为x+y=0,|AB|=2√2, 点P 到直线AB 的距离d=00√2, 于是△PAB 的面积 S △PAB =12|AB|·d=|x 0+y 0|. 当S △PAB =S △PMN 时, 得|x 0+y 0|=|x 0+y 0|(3-x 0)2|x 02-1|.又因为|x 0+y 0|≠0,所以(3-x 0)2=|x 02-1|,解得x 0=53. 因为x 02+3y 02=4,所以y 0=±√33.故存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等,此时点P 的坐标为(53,±√339).方法二:若存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等,设点P 的坐标为(x 0,y 0), 则12|PA|·|PB|sin ∠APB =12|PM|·|PN|sin ∠MPN. 因为sin ∠APB=sin ∠MPN , 所以|PA ||PM |=|PN ||PB |.所以|x 0+1||3-x 0|=|3-x 0||x 0-1|,即(3-x 0)2=|x 02-1|,解得x 0=53. 因为x 02+3y 02=4,所以y 0=±√33.5 3,±√339).故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等,此时点P的坐标为(。
第二章圆锥曲线与方程综合测试题(含详解新人教A版选修2-1)
第二章圆锥曲线与方程综合测试题（含详解新人教A版选修2-1）第二章圆锥曲线与方程综合测试题（含详解新人教A版选修2-1）(时间：100分钟；满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知抛物线的准线方程是x＝－7，则抛物线的标准方程是()A．x2＝－28yB．y2＝28xC．y2＝－28xD．x2＝28y解析：选B.∵抛物线的准线为x＝－7，∴p＝14，且开口方向向右．故抛物线的方程为：y2＝28x.2．双曲线x216－y29＝1的焦点坐标是()A．(－7，0)，(7，0)B．(0，－7)，(0，7)C．(－4,0)，(4,0)D．(－5,0)，(5,0)解析：选D.双曲线焦点在x轴上，且c＝16＋9＝5，所以焦点为(±5,0)．3．双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是()A．2B.3C.2D.32解析：选C.双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，故是等轴双曲线，离心率e＝2.4．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解析：选D.由题意得点P到直线x＝－2的距离与它到点(2,0)的距离相等，因此点P的轨迹是抛物线．5．已知双曲线x24－y212＝1的离心率为e，抛物线x＝2py2的焦点为(e,0)，则p的值为()A．2B．1C.14D.116解析：选D.依题意得e＝2，抛物线方程为y2＝12px，故18p＝2，得p＝116.6．已知椭圆的中心在原点，离心率e＝12，且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则此椭圆方程为()A.x24＋y23＝1B.x28＋y26＝1C.x22＋y2＝1D.x24＋y2＝1解析：选A.由题意知，所求椭圆的一个焦点坐标为(－1,0)，即c＝1，又e＝12，所以a＝2，b2＝a2－c2＝3.故所求的椭圆方程为x24＋y23＝1.7．若抛物线y2＝4x上一点P到焦点F的距离是10，则P点的坐标为()A．(9,6)B．(6,9)C．(±6,9)D．(9，±6)解析：选D.设P(x0，y0)，则x0－(－1)＝10，即x0＝9，代入抛物线方程，得y20＝36，即y0＝±6.8．若直线mx＋ny＝4与圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆x29＋y24＝1的交点个数为()A．至多一个B．2C．1D．0解析：选B.∵直线mx＋ny＝4与圆O无交点，∴4m2＋n2＞2，即m2＋n2＜4，∴m24＋n24＜1.∴m29＋n24＜1，∴点P(m，n)在椭圆内部，过点P的直线与椭圆有2个交点．9．设F1和F2是双曲线x24－y2b2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝90°，若△F1PF2的面积是2，则b的值为()A.2B.52C．22D.5解析：选A.由||PF1|－|PF2||＝2a＝4，|PF1|2＋|PF2|2＝4c2＝4 4＋b2 ，得|PF1|•|PF2|＝2b2.因此，S△F1PF2＝12|PF1|•|PF2|＝b2＝2.故b＝2.10．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60cm，灯深40cm，则抛物线的标准方程可能是()A．y2＝254xB．y2＝454xC．x2＝－452yD．x2＝－454y解析：选C.如果设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，则抛物线过点(40,30)，从而有302＝2p•40，即2p＝452，所以所求抛物线方程为y2＝452x.虽然选项中没有y2＝452x，但C中的2p＝452符合题意．其方程不同主要是因为讨论的焦点不同．二、填空题(本大题共5小题，把答案填在题中横线上)11．已知F1、F2为椭圆x225＋y29＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|＝|AB|＝6，则|F2B|＝________.解析：∵|F2A|＝|AB|＝6，a＝5，由椭圆的定义知：|AB|＋|F2A|＋|F2B|＝4a＝20，∴|F2B|＝8.答案：812．若曲线x2k－2＋y2k＋5＝1的焦距与k无关，则它的焦点坐标是__________．解析：∵k＋5>k－2，又曲线x2k－2＋y2k＋5＝1的焦距与k无关，∴k＋5>0，k－2答案：(0，±7)13．动直线y＝a与抛物线y2＝12x相交于A点，动点B的坐标是(0,3a)，则线段AB的中点M的轨迹方程为__________．解析：由y＝ay2＝12x，解得A(2a2，a)，设M的坐标为(x，y)，则x＝a2y＝2a，∴x＝14y2，∴y2＝4x.答案：y2＝4x14．已知抛物线y2＝4x的准线与双曲线x2a2－y2＝1交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则该双曲线的离心率是________．解析：抛物线y2＝4x的准线为x＝－1，又△FAB为直角三角形，则只有∠AFB＝90°，如图，则A(－1,2)应在双曲线上，代入双曲线方程可得a2＝15，于是c＝a2＋1＝65.故e＝ca＝6.答案：615．若一动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则该动圆必过点________．解析：因为直线x＋2＝0为抛物线y2＝8x的准线，又动圆恒与直线x ＋2＝0相切，所以圆心到直线的距离等于圆心到所过定点的距离．故由抛物线的定义可知，所求定点为抛物线的焦点(2,0)．答案：(2,0)三、解答题(本题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．已知椭圆x23m2＋y25n2＝1和双曲线x22m2－y23n2＝1有公共的焦点．(1)求双曲线的渐近线方程；(2)直线l过焦点且垂直于x轴，若直线l与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为34，求双曲线的方程．解：(1)依题意，有3m2－5n2＝2m2＋3n2，即m2＝8n2，即双曲线方程为x216n2－y23n2＝1，故双曲线的渐近线方程是x216n2－y23n2＝0，即y＝±34x.(2)不妨设渐近线y＝±34x与直线l：x＝c交于点A、B，则|AB|＝3c2，S△OAB＝12c•32c＝34，解得c＝1.即a2＋b2＝1，又ba＝34，a2＝1619，b2＝319，∴双曲线的方程为19x216－19y23＝1.17．设F(1,0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且MN→＝2MP→，PM→⊥PF→，当点P在y轴上运动时，求N点的轨迹C的方程．解：∵MN→＝2MP→，故P为MN中点，又PM→⊥PF→，P在y轴上，F为(1,0)，故M在x轴的负方向上．设N(x，y)，则M(－x,0)，P(0，y2)，(x＞0)．∴PM→＝(－x，－y2)，PF→＝(1，－y2)．∵PM→⊥PF→，∴PM→•PF→＝0，即－x＋y24＝0.∴y2＝4x(x＞0)是轨迹C的方程．18．已知双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程是y＝±22x.(1)求该双曲线的离心率；(2)若点P(2,1)在双曲线E上，求直线y＝kx＋1与该双曲线有且仅有一个公共点时相应的k值．解：(1)∵ba＝22，∴c2－a2a2＝12.故e＝62.(2)设双曲线方程为x2a2－y212a2＝1，∵把P(2,1)代入可得a2＝2，∴x22－y2＝1.由y＝kx＋1，x22－y2＝1，得(1－2k2)x2－4kx－4＝0.当1－2k2＝0，即k＝±22时，满足题意；当1－2k2≠0时，应有Δ＝16k2＋16(1－2k2)＝0.此时k2＝1，即k＝±1.综上，可知当k＝±22或k＝±1时直线与双曲线有且仅有一个交点．19．椭圆的两个焦点坐标分别为F1(－3，0)和F2(3，0)，且椭圆过点(1，－32)．(1)求椭圆方程；(2)过点－65，0作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点，A为椭圆的左顶点，求证：∠MAN＝π2.解：(1)由题意，即可得到x24＋y2＝1.(2)证明：设直线MN的方程为x＝ky－65，联立直线MN和曲线C的方程可得x＝ky－65，x24＋y2＝1，得(k2＋4)y2－125ky－6425＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(－2,0)，y1y2＝－6425 k2＋4 ，y1＋y2＝12k5 k2＋4 ，则AM→•AN→＝(x1＋2，y1)•(x2＋2，y2)＝(k2＋1)y1y2＋45k(y1＋y2)＋1625＝0，即可得∠MAN＝π2.20．已知椭圆的两个焦点F1，F2的坐标分别为(0，－22)，(0,22)，离心率e＝223.(1)求椭圆方程；(2)一条斜率为－9的直线l与椭圆交于不同的两点M，N，求线段MN 中点横坐标x0的取值范围．解：(1)由题意知2c＝42，e＝ca＝223，于是可得c＝22，a＝3，b2＝1.由已知条件知椭圆的焦点在y轴上，故其方程为x2＋y29＝1.(2)设M，N两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，其连线的中点为(x0，y0)，则y1－y2x1－x2＝－9，∵M(x1，y1)，N(x2，y2)在椭圆上，∴x21＋y219＝1，x22＋y229＝1.作差得，(x1＋x2)(x1－x2)＋ y1＋y2 y1－y2 9＝0，即2x0＋2y09(－9)＝0，从而可得y0＝x0.又∵点(x0，y0)在椭圆内部，∴x20＋x209＜1.因此，－31010＜x0＜31010.故线段MN中点的横坐标x0的取值范围为－31010，31010.。
高中数学人教a版高二选修2-1_第二章_圆锥曲线与方程_2.2.1_word版有答案
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(2016·潍坊高二检测)如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(3，＋∞)∪(－∞，－2)D ．(3，＋∞)∪(－6，－2)【解析】 由于椭圆的焦点在x 轴上，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＞a ＋6，a ＋6＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋2）（a －3）＞0，a ＞－6. 解得a ＞3或－6＜a ＜－2，故选D.【答案】 D2．已知椭圆过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－4和点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，3，则此椭圆的标准方程是( ) A.y 225＋x 2＝1B.x 225＋y 2＝1或x 2＋y 225＝1C.x 225＋y 2＝1D ．以上都不对【解析】 设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )，则⎩⎪⎨⎪⎧925m ＋16n ＝1，1625m ＋9n ＝1，∴⎩⎨⎧m ＝1，n ＝125.∴椭圆的方程为x 2＋y 225＝1.【答案】 A3．(2016·合肥高二月考)设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△F 1PF 2的面积等于( )A ．5B ．4C ．3D ．1【解析】 由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝5，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，又|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，由22＋42＝(25)2，可知△F 1PF 2是直角三角形，故△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×4×2＝4，故选B.【答案】 B4．椭圆mx 2＋ny 2＝－mn (m <n <0)的焦点坐标为( )【导学号：18490042】A ．(0，±m －n )B ．(±m －n ，0)C ．(0，±n －m )D ．(±n －m ，0)【解析】 将mx 2＋ny 2＝－mn (m <n <0)化成标准方程得x 2－n ＋y 2－m＝1，由m <n <0⇒－m >－n >0，得焦点在y 轴上，即a 2＝－m ，b 2＝－n ，得c 2＝a 2－b 2＝n －m ，故选C.【答案】 C5．设P 是椭圆x 216＋y 212＝1上一点，P 到两焦点F 1，F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形【解析】 由椭圆定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8，又|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝5，|PF 2|＝3，又|F 1F 2|＝2c ＝216－12＝4，即|F 1F 2|2＋|PF 2|2＝|PF 1|2，∴△PF 1F 2为直角三角形．【答案】 B二、填空题6．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________． 【解析】 依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|·|PF 2|＝18，|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，可得4c 2＋36＝4a 2，即a 2－c 2＝9，故有b ＝3.【答案】 37．已知椭圆C 经过点A (2，3)，且点F (2，0)为其右焦点，则椭圆C 的标准方程为________．【解析】 法一：依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且可知左焦点为F ′(－2，0)．从而有⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4. 又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12，故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.法二：依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则⎩⎨⎧4a 2＋9b 2＝1，a 2－b 2＝4，解得b 2＝12或b 2＝－3(舍去)，从而a 2＝16，所以椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.【答案】 x 216＋y 212＝18．已知P 是椭圆x 24＋y 23＝1上的一动点，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹方程是________．【解析】 如图，依题意，|PF 1|＋|PF 2|＝2a (a 是常数且a ＞0)．又|PQ |＝|PF 2|，∴|PF 1|＋|PQ |＝2a ，即|QF 1|＝2a .由题意知，a ＝2，b ＝3，c ＝a 2－b 2＝4－3＝1.∴|QF 1|＝4，F 1(－1，0)，∴动点Q 的轨迹是以F 1为圆心，4为半径的圆，∴动点Q 的轨迹方程是(x ＋1)2＋y 2＝16.【答案】 (x ＋1)2＋y 2＝16三、解答题9．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点．设椭圆C 上一点⎝⎛⎭⎪⎫3，32到两焦点F 1，F 2的距离和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标．【解】 ∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为4，∴2a ＝4，a 2＝4，∵点⎝⎛⎭⎪⎫3，32是椭圆上的一点， ∴（3）24＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322b 2＝1， ∴b 2＝3，∴c 2＝1，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.焦点坐标分别为(－1，0)，(1，0)．10．求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M (3，2)；(2)c ∶a ＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26. 【导学号：18490043】【解】 (1)由焦距是4，可得c ＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0，2)． 由椭圆的定义知，2a ＝32＋（2＋2）2＋32＋（2－2）2＝8，所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12.又焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为y 216＋x 212＝1.(2)由题意知，2a ＝26，即a ＝13，又因为c ∶a ＝5∶13，所以c ＝5， 所以b 2＝a 2－c 2＝132－52＝144，因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为x 2169＋y 2144＝1或y 2169＋x 2144＝1.[能力提升] 1．“0<t <1”是“曲线x 2t ＋y 21－t＝1表示椭圆”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】曲线x 2t ＋y 21－t ＝1表示椭圆等价于⎩⎪⎨⎪⎧t >0，1－t >0，t ≠1－t ， 得t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.故选B. 【答案】 B2．已知椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上．若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 1|是|PF 2|的( )A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍【解析】 由已知F 1(－3，0)，F 2(3，0)，由条件，知P ⎝⎛⎭⎪⎫3，±32，即|PF 2|＝32. 由椭圆的定义，知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4 3.所以|PF 1|＝732.所以|PF 1|＝7|PF 2|.【答案】 A3．椭圆x 212＋y 23＝1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上．如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是________．【解析】 由条件可取F 1(－3，0)，∵PF 1的中点在y 轴上，∴设P (3，y 0)，由P 在椭圆x 212＋y 23＝1上得y 0＝±32，∴M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，±34.【答案】 ±344．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点(如图2-2-3)，∠F 1F 2B ＝2π3，△F 1F 2A 的面积是△F 1F 2B面积的2倍．若|AB |＝152，求椭圆C 的方程.【导学号：18490044】图2-2-3【解】 由题意可得S △F 1F 2A ＝2S △F 1F 2B ， ∴|F 2A |＝2|F 2B |，由椭圆的定义得|F 1B |＋|F 2B |＝|F 1A |＋|F 2A |＝2a ， 设|F 2A |＝2|F 2B |＝2m ，在△F 1F 2B 中，由余弦定理得(2a －m )2＝4c 2＋m 2－2·2c ·m ·cos 2π3⇒ m ＝2（a 2－c 2）2a ＋c. 在△F 1F 2A 中，同理可得m ＝a 2－c 22a －c， 所以2（a 2－c 2）2a ＋c ＝a 2－c 22a －c，解得2a ＝3c ， 可得m ＝5c 8，|AB |＝3m ＝15c 8＝152，c ＝4. 由c a ＝23，得a ＝6，b 2＝20，x2 36＋y220＝1.所以椭圆C的方程为。
高中数学人教A版选修2-1 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.1 Word版含答案
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．准线与x轴垂直，且经过点(1，－2)的抛物线的标准方程是()A．y2＝－2x B．y2＝2xC．x2＝2y D．x2＝－2y【解析】由题意可设抛物线的标准方程为y2＝ax，则(－2)2＝a，解得a＝2，因此抛物线的标准方程为y2＝2x，故选B.【答案】 B2．以双曲线x216－y29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为()A．y2＝16x B．y2＝－16x C．y2＝8x D．y2＝－8x【解析】因为双曲线x216－y29＝1的右顶点为(4，0)，即抛物线的焦点坐标为(4，0)，所以抛物线的标准方程为y2＝16x.【答案】 A3．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为2，且右焦点与抛物线y2＝43x的焦点重合，则该双曲线的离心率等于()A. 2B. 3C ．2D ．2 3【解析】 抛物线的焦点为(3，0)，即c ＝ 3.双曲线的渐近线方程为y ＝b a x ，由ba ＝2，即b ＝2a ，所以b 2＝2a 2＝c 2－a 2，所以c 2＝3a 2，即e 2＝3，e ＝3，即离心率为 3.【答案】 B4．抛物线y 2＝12x 的准线与双曲线y 23－x 29＝－1的两条渐近线所围成的三角形的面积为( )A ．3 3B ．2 3C ．2D. 3【解析】 抛物线y 2＝12x 的准线为x ＝－3，双曲线的两条渐近线为y ＝±33x ，它们所围成的三角形为边长等于23的正三角形，所以面积为33，故选A.【答案】 A5．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8【解析】 由y 2＝2px ＝8x 知p ＝4，又焦点到准线的距离就是p .故选C.【答案】 C 二、填空题6．抛物线y 2＝2x 上的两点A ，B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 的中点到y 轴的距离是________．【解析】 抛物线y 2＝2x 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，准线方程为x ＝－12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＋|BF |＝x 1＋12＋x 2＋12＝5，解得x 1＋x 2＝4，故线段AB 的中点横坐标为2.故线段AB 的中点到y 轴的距离是2.【答案】 27．对标准形式的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2，1)．其中满足抛物线方程为y 2＝10x 的是________．(要求填写适合条件的序号)【解析】 抛物线y 2＝10x 的焦点在x 轴上，②满足，①不满足；设M (1，y 0)是y 2＝10x 上的一点，则|MF |＝1＋p 2＝1＋52＝72≠6，所以③不满足；由于抛物线y 2＝10x 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，过该焦点的直线方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2，1)时，则k ＝－2，此时存在，所以④满足．【答案】 ②④8．抛物线y ＝2x 2的准线方程为________．【解析】 化方程为标准方程为x 2＝12y ，故p 2＝18，开口向上， ∴准线方程为y ＝－18. 【答案】 y ＝－18 三、解答题9．求焦点在x 轴上，且焦点在双曲线x 24－y 22＝1上的抛物线的标准方程．【解】 由题意可设抛物线方程为y 2＝2mx (m ≠0)，则焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，0. ∵焦点在双曲线x 24－y 22＝1上， ∴m 24×4＝1，求得m ＝±4， ∴所求抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x .10．已知平面上动点P 到定点F (1，0)的距离比点P 到y 轴的距离大1，求动点P 的轨迹方程. 【导学号：18490069】【解】 法一 设点P 的坐标为(x ，y )， 则有（x －1）2＋y 2＝|x |＋1. 两边平方并化简，得y 2＝2x ＋2|x |.∴y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x （x ≥0），0（x ＜0），即点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0(x ＜0)．法二 由题意知，动点P 到定点F (1，0)的距离比到y 轴的距离大1，由于点F (1，0)到y 轴的距离为1，故当x ＜0时，直线y ＝0上的点符合条件；当x ≥0时，原命题等价于点P 到点F (1，0)与到直线x ＝－1的距离相等，故点P 的轨迹是以F 为焦点，x ＝－1为准线的抛物线，方程为y 2＝4x .故所求动点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0(x ＜0)．[能力提升]1．已知P 为抛物线y 2＝4x 上的一个动点，直线l 1：x ＝－1，l 2：x ＋y ＋3＝0，则P 到直线l 1，l 2的距离之和的最小值为( )A ．2 2B ．4 C. 2D.322＋1【解析】 将P 点到直线l 1：x ＝－1的距离转化为点P 到焦点F (1，0)的距离，过点F 作直线l 2的垂线，交抛物线于点P ，此即为所求最小值点，∴P 到两直线的距离之和的最小值为|1＋0＋3|12＋12＝22，故选A. 【答案】 A2．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 为原点，若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22 B. 2 C.322D ．2 2【解析】 根据题意画出简图(图略)，设∠AFO ＝θ(0<θ<π)，|BF |＝m ，则点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3，得3＝2＋3cos θ，得cosθ＝13，又m ＝2＋m cos(π－θ)，得m ＝21＋cos θ＝32，△AOB 的面积为S ＝12·|OF |·|AB |·sin θ＝12×1×⎝⎛⎭⎪⎫3＋32×223＝322，故选C.【答案】 C3．如图2-4-1是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ．水位下降1 m 后，水面宽________m.图2-4-1【解析】 以拱顶为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．设抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p >0)． 则A (2，－2)，代入方程得p ＝1， ∴抛物线的方程为x 2＝－2y ，设B (x 0，－3)(x 0<0)代入方程得x 0＝－ 6. ∴此时的水面宽度为2 6 m. 【答案】 2 64．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－263是两条曲线的一个公共点. 【导学号：18490070】(1)求抛物线的方程； (2)求双曲线的方程．【解】 (1)把M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－263代入方程y 2＝2px ， 得p ＝2，因此抛物线的方程为y 2＝4x .(2)抛物线的准线方程为x ＝－1，所以F 1(－1，0)，设双曲线的右焦点为F ，则F (1，0)，于是2a ＝||MF 1|－|MF ||＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪73－53＝23，因此a ＝13.又因为c ＝1，所以b 2＝c 2－a 2＝89，于是，双曲线的方程为x 219－y 289＝1.。
高中数学人教A版选修2-1 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1、2.1.2 Word版含答案.doc
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．曲线x 2－xy －y 2－3x ＋4y －4＝0与x 轴的交点坐标是( ) A ．(4，0)和(－1，0) B ．(4，0)和(－2，0) C ．(4，0)和(1，0)D ．(4，0)和(2，0)【解析】 在曲线x 2－xy －y 2－3x ＋4y －4＝0中，令y ＝0，则x 2－3x －4＝0，∴x ＝－1或x ＝4.∴交点坐标为(－1，0)和(4，0)． 【答案】 A2．方程(x 2－4)(y 2－4)＝0表示的图形是( ) A ．两条直线 B ．四条直线 C ．两个点D ．四个点【解析】 由(x 2－4)(y 2－4)＝0得(x ＋2)(x －2)(y ＋2)·(y －2)＝0，所以x ＋2＝0或x －2＝0或y ＋2＝0或y －2＝0，表示四条直线．【答案】 B3．在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1，2)与动点P (x ，y )满足OP→·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是( ) A ．x ＋y ＝4 B ．2x ＋y ＝4 C ．x ＋2y ＝4D ．x ＋2y ＝1【解析】 由OP →＝(x ，y )，OA →＝(1，2)得OP →·OA →＝(x ，y )·(1，2)＝x ＋2y ＝4，则x ＋2y ＝4即为所求的轨迹方程，故选C.【答案】 C4．方程(2x －y ＋2)·x 2＋y 2－1＝0表示的曲线是( ) A ．一个点与一条直线 B ．两个点C ．两条射线或一个圆D ．两个点或一条直线或一个圆【解析】 原方程等价于x 2＋y 2－1＝0，即x 2＋y 2＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0，x 2＋y 2－1≥0，故选C. 【答案】 C5．已知方程y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a ＞0)所确定的两条曲线有两个交点，则a 的取值范围是( )A ．a ＞1B ．0＜a ＜1C ．0＜a ＜1或a ＞1D ．a ∈∅【答案】 A 二、填空题6．“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是“方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程”的________条件．【解析】 “方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程 ”⇒“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”，反之不成立．【答案】 必要不充分 7．方程x －3·(x ＋y ＋1)＝0表示的几何图形是________________．【解析】 由方程得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，x －3≥0，或x －3＝0，即x ＋y ＋1＝0(x ≥3)或x ＝3. 【答案】 一条射线和一条直线8．(2016·广东省华南师大附中月考)已知定点F (1，0)，动点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上，且PM →·PF →＝0，延长MP 到点N ，使得|PM →|＝|PN→|，则点N 的轨迹方程是________. 【导学号：18490037】 【解析】 由于|PM→|＝|PN →|，则P 为MN 的中点．设N (x ，y )，则M (－x ，0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，由PM →·PF →＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ，－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－y 2＝0，所以(－x )·1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2＝0，则y 2＝4x ，即点N 的轨迹方程是y 2＝4x .【答案】 y 2＝4x 三、解答题9．如图2-1-1，圆O 1与圆O 2的半径都是1，|O 1O 2|＝4，过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM ，PN (M ，N 分别为切点)，使得|PM |＝2|PN |，试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程．图2-1-1【解】 以O 1O 2的中点为原点，O 1O 2所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，得O1(－2，0)，O2(2，0)．连结PO1，O1M，PO2，O2N.由已知|PM|＝2|PN|，得|PM|2＝2|PN|2，又在Rt△PO1M中，|PM|2＝|PO1|2－|MO1|2，在Rt△PO2N中，|PN|2＝|PO2|2－|NO2|2，即得|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1)．设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，化简得(x－6)2＋y2＝33.因此所求动点P的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33.10．△ABC的三边长分别为|AC|＝3，|BC|＝4，|AB|＝5，点P是△ABC 内切圆上一点，求|P A|2＋|PB|2＋|PC|2的最小值与最大值．【解】因为|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，所以∠ACB＝90°.以C为原点O，CB，CA所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，由于|AC|＝3，|BC|＝4，得C(0，0)，A(0，3)，B(4，0)．设△ABC内切圆的圆心为(r，r)，由△ABC 的面积＝12×3×4＝32r ＋2r ＋52r ， 得r ＝1，于是内切圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1⇒x 2＋y 2＝2x ＋2y －1， 由(x －1)2≤1⇒0≤x ≤2.设P (x ，y )，那么|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＝x 2＋(y －3)2＋(x －4)2＋y 2＋x 2＋y 2＝3(x 2＋y 2)－8x －6y ＋25＝3(2x ＋2y －1)－8x －6y ＋25＝22－2x ，所以当x ＝0时，|P A |2＋|PB |2＋|PC |2取最大值为22， 当x ＝2时取最小值为18.[能力提升]1．到点A (0，0)，B (－3，4)的距离之和为5的轨迹方程是( ) A ．y ＝－43x (－3≤x ≤0) B ．y ＝－43x (0≤x ≤4) C ．y ＝－43x (－3≤x ≤4) D ．y ＝－43x (0≤x ≤5)【解析】 注意到|AB |＝5，则满足到点A (0，0)，B (－3，4)的距离之和为5的点必在线段AB 上，因此，方程为y ＝－43x (－3≤x ≤0)，故选A.【答案】 A2．(2016·河南省实验中学月考)已知动点P 到定点(1，0)和定直线x＝3的距离之和为4，则点P的轨迹方程为()A．y2＝4xB．y2＝－12(x－4)C．y2＝4x(x≥3)或y2＝－12(x－4)(x<3)D．y2＝4x(x≤3)或y2＝－12(x－4)(x>3)【解析】设P(x，y)，由题意得（x－1）2＋y2＋|x－3|＝4.若x≤3，则y2＝4x；若x>3，则y2＝－12(x－4)，故选D.【答案】 D3．已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|P A|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于________．【解析】设动点P(x，y)，依题意|P A|＝2|PB|，∴（x＋2）2＋y2＝2（x－1）2＋y2，化简得(x－2)2＋y2＝4，方程表示半径为2的圆，因此图形的面积S＝π·22＝4π.【答案】4π4．过点P(2，4)作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程.【导学号：18490038】【解】法一设点M的坐标为(x，y)，∵M 为线段AB 的中点，∴A 点的坐标为(2x ，0)，B 点的坐标为(0，2y )． ∵l 1⊥l 2，且l 1，l 2过点P (2，4)， ∴P A ⊥PB ，即k P A ·k PB ＝－1， 而k P A ＝4－02－2x ＝21－x (x ≠1)，k PB ＝4－2y 2－0＝2－y 1，∴21－x·2－y 1＝－1(x ≠1)， 整理得x ＋2y －5＝0(x ≠1)．∵当x ＝1时，A ，B 的坐标分别为(2，0)，(0，4)， ∴线段AB 的中点坐标是(1，2)，它满足方程x ＋2y －5＝0. 综上所述，点M 的轨迹方程是x ＋2y －5＝0.法二 设点M 的坐标为(x ，y )，则A ，B 两点的坐标分别是(2x ，0)，(0，2y )，连结PM .∵l 1⊥l 2，∴2|PM |＝|AB |.而|PM |＝（x －2）2＋（y －4）2， |AB |＝（2x ）2＋（2y ）2，∴2（x －2）2＋（y －4）2＝4x 2＋4y 2， 化简得x ＋2y －5＝0，即为所求的点M 的轨迹方程.。
【专业资料】新版高中数学人教A版选修2-1习题：第二章圆锥曲线与方程 2.1 含解析
02第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程课时过关·能力提升基础巩固1已知0≤α<2π,点P(cos α,sin α)在曲线(x-2)2+y2=3上,则α的值为()A.π3B.5π3C.π3或5π3D.π3或π6(cos α-2)2+sin2α=3,得cos α=12.∵0≤α<2π,∴α=π3或5π3.2方程(x-2)2+(y+2)2=0表示的图形是()A.圆B.两条直线C.一个点D.两个点3已知等腰三角形ABC底边两端点是A(-√3,0),B(√3,0),则顶点C的轨迹是()A.一条直线B.一条直线去掉一点C.一个点D.两个点4已知动点P在曲线2x2-y=0上,则点A(0,-1)与点P连线的中点的轨迹方程是()A.y=2x 2B.y=8x 2C.y=8x 2-1D.2y=8x 2-1AP 的中点为M (x ,y ),点P (x 1,y 1),由中点坐标公式,得{x =x12,y =y 1-12⇒{x 1=2x ,y 1=2y +1. 由于P (x 1,y 1)在曲线2x 2-y=0上, 代入化简,得2y=8x 2-1.5在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点A (3,1),B (-1,3),若点C 满足OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =αOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +βOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,其中α,β∈R ,且α+β=1,则点C 的轨迹方程为( ) A.3x+2y-11=0 B.(x-1)2+(y-2)2=5 C.2x-y=0 D.x+2y-5=06方程x 2+y 2=1(xy<0)表示的曲线是( ).由xy<0,当x>0时,y<0,曲线应在第四象限;当x<0时,y>0,曲线应在第二象限,且与坐标轴均无交点.7若点A (m3,m)在方程x 2+(y+1)2=5表示的曲线上,则m= .3或658已知两点M (-2,0),N (2,0),点P 满足PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则点P 的轨迹方程为 .P 的坐标为(x ,y ),由PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2-x ,-y )·(2-x ,-y )=x 2-4+y 2=0,得x 2+y 2=4,则点P 的轨迹方程为x 2+y 2=4.2+y 2=49已知点P (x 0,y 0)在曲线f (x ,y )=0上,也在曲线g (x ,y )=0上,求证:点P 在曲线f (x ,y )+λg (x ,y )=0(λ∈R )上.P (x 0,y 0)在曲线f (x ,y )=0上,∴f (x 0,y 0)=0.同理g (x 0,y 0)=0,∴f (x 0,y 0)+λg (x 0,y 0)=0+λ·0=0(λ∈R ),即点P (x 0,y 0)在曲线f (x ,y )+λg (x ,y )=0(λ∈R )上.10已知A ,B 两点的坐标分别为A (0,-4),B (0,4),直线MA 与MB 的斜率之积为-1,求点M 的轨迹方程.M 的坐标为(x ,y ).∵直线MA 与MB 的斜率之积为-1,∴直线MA ,MB 都存在斜率,∴x ≠0.由A (0,-4),B (0,4),得k MA =y+4x ,k MB =y -4x. 又k MA ·k MB =-1,∴y+4x ·y -4x=-1,化简得x 2+y 2=16. 故点M 的轨迹方程为x 2+y 2=16(x ≠0).能力提升1如图所示的曲线方程是( ) A.|x|-y=0 B.x-|y|=0 C.x|y |-1=0 D.|x |y -1=0选项中应是函数y=|x|,y ≥0,C,D 项中y ≠0,故选B .2已知点A (1,0),直线l :y=2x-4,点R 是直线l 上的一点,若RA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则点P 的轨迹方程为( ) A.y=-2xB.y=2xC.y=2x-8D.y=2x+4R A⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,知R ,A ,P 三点共线,且A 为RP 的中点.设P (x ,y ),R (x 1,y 1), 则由RA⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得(1-x 1,-y 1)=(x-1,y ), 则{1-x 1=x -1,-y 1=y ,即x 1=2-x ,y 1=-y ,将其代入直线y=2x-4中,得y=2x.故选B.3已知O 是平面上的一个定点,A ,B ,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |),λ∈(0,+∞),则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心由AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |与∠BAC 的平分线共线,又λ>0,设λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |)=AP '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (P'为∠BAC 的平分线上的点),则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,故OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OP '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即点P'与点P 重合.于是点P 在∠BAC 的平分线上,即点P 的轨迹过△ABC 的内心.4已知两定点A (-2,0),B (1,0),若动点P 满足|PA|=2|PB|,则点P 的轨迹所围的面积等于( ) A.9πB.8πC.4πD.πP (x ,y ),则√(x +2)2+y 2=2√(x -1)2+y 2,化简得x 2-4x+y 2=0.即(x-2)2+y 2=4,点P 轨迹是以(2,0)为圆心,以2为半径的圆,S=π×22=4π.5已知由动点P 向圆O :x 2+y 2=1引两条切线PA ,PB ,切点分别为A ,B ,且∠APB=60°,则动点P 的轨迹方程为 .,得OP=2,为定长,于是点P 的轨迹是以定点O 为圆心,以2为半径的圆. 故点P 的轨迹方程为x 2+y 2=4.2+y 2=46已知过点A (4,1)的圆C 与直线x-y-1=0相切于点B (2,1),则圆C 的方程为 .C 的方程为(x-a )2+(y-b )2=r 2,圆心(a ,b )到直线x-y-1=0的距离 d=√2=r.①又圆C 过A (4,1),B (2,1), 故(4-a )2+(1-b )2=r 2,② (2-a )2+(1-b )2=r 2.③ 由①②③,得a=3,b=0,r=√2. 因此,圆C 的方程为(x-3)2+y 2=2.x-3)2+y 2=27在平面直角坐标系xOy 中,点B 与点A (-1,1)关于原点O 对称,P 是动点,且直线AP 与BP 的斜率之积等于13,则动点P 的轨迹方程为 .2-3y 2=-2(x ≠±1)8一个动点到直线x=8的距离是它到点A (2,0)的距离的2倍,求动点的轨迹方程.(x ,y ),则动点到直线x=8的距离为|x-8|, 到点A 的距离为√(x -2)2+y 2. 由已知,得|x-8|=2√(x -2)2+y 2, 化简得3x 2+4y 2=48.故动点的轨迹方程为3x 2+4y 2=48.★9如图所示,已知A (-3,0),B ,C 两点分别在y 轴和x 轴上运动,点P 为BC 延长线上一点,并且满足AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,试求动点P 的轨迹方程.P (x ,y ),B (0,y'),C (x',0),则BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(x',-y'),CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-x',y ). 由BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得(x',-y')=12(x-x',y ), 即x'=x,y'=-y , 故B (0,-y2),C (x3,0).又A (-3,0),∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,-y 2),BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,32y).由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 故3x-34y 2=0,得y 2=4x , 即为动点P 的轨迹方程.。
最新人教A版高中数学选修2-1：第二章 圆锥曲线与方程 章末检测
第二章 圆锥曲线与方程测试卷一、选择题1．椭圆x 24＋y 25＝1的焦点坐标是( )A ．(±1,0)B ．(±3,0)C ．(0，±1)D ．(0，±3)解析：由椭圆方程得：a 2＝5，b 2＝4，所以c 2＝1，又椭圆的焦点在y 上， 所以焦点坐标是(0，±1)． 答案：C2．抛物线y ＝8x 2的焦点坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫0，132B.⎝⎛⎭⎫0，116 C ．(0,2) D ．(0,4)解析：抛物线的标准方程为x 2＝18y ，焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，132，故选A. 答案：A3．已知双曲线C ：x 216－y 24＝1，则C 的渐近线方程为( )A ．x ±2y ＝0B ．2x ±y ＝0C ．x ±6y ＝0 D.6x ±y ＝0解析：由x 216－y24＝0可得双曲线的渐近线方程x ±2y ＝0，故选A.答案：A4．已知实数m,6，－9构成一个等比数列，则圆锥曲线x 2m＋y 2＝1的离心率为( )A.32 B.3 C.52D. 5 解析：因为m,6，－9成等比数列，所以－9m ＝36，解得m ＝－4，则y 2－x 24＝1的离心率为e ＝1＋41＝ 5.故选D.答案：D5．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 解析：因为|AB |＝3，所以|AF 2|＝32，又|F 1F 2|＝2，所以在直角三角形AF 1F 2中，|AF 1|＝|F 1F 2|2＋|AB |2＝22＋⎝⎛⎭⎫232＝52，因为|AF 1|＋|AF 2|＝52＋32＝4＝2a ，所以a ＝2，c ＝1，b ＝3，所以椭圆的方程为：x 24＋y 23＝1.答案：C6．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A.63 B.33 C.23 D.13解析：因为以线段A 1A 2为直径的圆的半径为a ，圆心为(0,0)，则由题意得圆心到直线bx－ay ＋2ab ＝0的距离d ＝2ab a 2＋b2＝a ，又a 2＝c 2＋b 2，所以a 2＝32c 2，所以e ＝c a ＝63.答案：A7．已知点P (x ，y )是抛物线y 2＝4x 上任意一点，Q 是圆C ：(x ＋2)2＋(y －4)2＝1上任意一点，则|PQ →|＋x 的最小值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：由题意，抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)，准线l ：x ＝－1， 圆C ：(x ＋2)2＋(y －4)2＝1的圆心C (－2,4)，半径r ＝1，P 到直线l ：x ＝－1的距离d ＝|PF |，根据抛物线的定义，可得点P 到y 轴的距离为x ＝d －1，结合图象(如图所示)可得当C ，P ，F 三点共线时，|PQ |＋d 取最小值， 所以(|OQ |＋x )min ＝|FC |－r －1＝5－1－1＝3，故选C.答案：C8．从抛物线y 2＝4x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线的焦点为F ，则△PMF 的面积为( )A ．5B ．10C ．20 D.15解析：设P (x 0，y 0)，则|PM |＝x 0＋1＝5，解得x 0＝4，则y 20＝4×4＝16，|y 0|＝4，S △MPE ＝12×5×|y 0|＝10， 故选B. 答案：B9．两个正数a ，b 的等差中项是92，等比中项是25，且a ＞b ，则抛物线y 2＝－bax 的焦点坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－516，0B.⎝⎛⎭⎫15，0 C.⎝⎛⎭⎫－15，0 D.⎝⎛⎭⎫－25，0 解析：由两个正数a ，b 的等差中项是92，等比中项是25，且a ＞b可得⎩⎨⎧ a ＋b ＝9ab ＝(25)2解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝4.抛物线的方程为y 2＝－45x ，故焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－15，0. 故答案选C.答案：C10．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与圆(x －3)2＋(y －1)2＝1相切，则此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C. 5 D ．2解析：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为y ＝bax根据题意：d ＝|3b －a |a 2＋b 2＝1⇒b ＝3a ⇒e ＝2，故答案选D.答案：D11．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝2QF →，则|QF |＝( )A ．8B ．4C ．6D ．3解析：设点P (－1，t )、Q (x ，y )，易知点F (1,0)，FP →＝(－2，t )，QF →＝(1－x ，－y )，∴2(1－x )＝－2，解得x ＝2，因此，|QF |＝x ＋1＝3，故选D.答案：D12．已知F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，点M 在C 的右支上，坐标原点为O ，若|FM |＝2|OF |，且∠OFM ＝120°，则C 的离心率为( )A.32 B.5－12C ．2 D.3＋12解析：设双曲线的左焦点为F 1，由题意可得|MF |＝|F 1F |＝2c ，∠MFF 1＝120°，即有|MF 1|2＝|MF |2＋|F 1F |2－2|MF |·|F 1F |cos ∠MFF 1＝4c 2＋4c 2－2·4c 2·⎝⎛⎭⎫－12＝12c 2， 即有|MF 1|＝23c ，由双曲线的定义可得|MF 1|－|MF |＝2a ，即为23c －2c ＝2a ，即有c ＝3＋12a ，可得e ＝ca ＝3＋12.答案：D 二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝12x 的焦点恰好是双曲线x 2a2－y 2＝1的一个焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为________．解析：因为抛物线的焦点为(3,0)，所以双曲线的半焦距c ＝a 2＋1＝3，解得a ＝22，故其渐近线方程为y ＝±122x ，即y ＝±24x .答案：y ＝±24x14．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ，且倾斜角为π4的直线与抛物线交于A ，B 两点，若弦AB 的垂直平分线经过点(0,2)，则p 等于________．解析：由题意，抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，则过焦点F 且倾斜角为π4的直线方程为y ＝x －p 2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ＋p 2y 2＝2px得y 2－2py －p 2＝0，∴y 1＋y 2＝2p ，x 1＋x 2＝3p ，∴弦AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫3p 2，p ，弦AB 的中垂直平分线方程为y －2＝－x ，弦AB 的中点在该直线上，∴p －2＝－3p 2，解得p ＝45.答案：4515．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 1⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．解析：∵AF 2⊥x 轴，∴A 点坐标为⎝⎛⎭⎫c ，b 2a .即(c ，b 2)．∵|AF 1|＝3|F 1B |，∴AF 1→＝3F 1B →，利用向量的坐标相等易得B ⎝⎛⎭⎫－53c ，－13b 2 代入椭圆方程可得⎝⎛⎭⎫－53c 2＋⎝⎛⎭⎫－13b 22b 2＝1，∵b 2＋c 2＝1，∴b 2＝23，c 2＝13，∴x 2＋32y 2＝1. 答案：x 2＋32y 2＝116．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．解析：由矩形ABCD ，所以|AB |＝|CD |＝2b 2a，|BC |＝|AD |＝|F 1F 2|＝2c ，又由2|AB |＝3|BC |，所以4b 2a ＝6c ，又b 2＝c 2－a 2，所以2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2，或e ＝－12(舍去)．答案：2 三、解答题17．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．解析：(1)焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，则直线的方程为y ＝22⎝⎛⎭⎫x －p2，将其代入y 2＝2px 得4x 2－5px ＋p 2＝0，x 1＋x 2＝5p4，|AB |＝9＝x 1＋x 2＋p ＝9p4，所以p ＝4，所以y 2＝8x .(2)由(1)知A (1，－22)，B (4,42)．设C ⎝⎛⎭⎫y 208，y 0， 由OC →＝OA →＋λOB →可知 ⎝⎛⎭⎫y 208，y 0＝(1，－22)＋λ(4,42)， 解得λ＝0或2.18．一条斜率为1的直线l 与离心率为3的双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)交于P ，Q 两点，直线l 与y 轴交于点R ，且OP →·OQ →＝－3，PR →＝3RQ →，求直线和双曲线的方程．解析：由题意，双曲线的离心率为e ＝3，即c 2a 2＝a 2＋b 2a2＝3，整理得b 2＝2a 2，∴双曲线方程可化为2x 2－y 2＝2a 2，设直线方程为y ＝x ＋m ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m 2x 2－y 2＝2a 2，得x 2－2mx －m 2－2a 2＝0， 由Δ＝4m 2＋4(m 2＋2a 2)>0，∴直线一定与双曲线相交， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2m ，x 1x 2＝－m 2－2a 2，又由PR →＝3RQ →，∴x R ＝x 1＋3x 24，x 1＝－3x 2，∴x 2＝－m ，－3x 22＝－m 2－2a 2，消去x 2得m 2＝a 2，又由OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2(x 1＋m )(x 2＋m )＝2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－4a 2＝－3解得m ＝±1，a 2＝1，b 2＝2，故直线的方程为y ＝x ±1，双曲线方程为x 2－y 22＝1.19．过双曲线x 23－y 26＝1的右焦点F 2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，F 1为左焦点．(1)求|AB |；(2)求△AOB 的面积．解析：(1)由双曲线的方程得a ＝3，b ＝6，∴c ＝a 2＋b 2＝3，F 1(－3,0)，F 2(3,0)．直线AB 的方程为y ＝33(x －3)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝33(x －3)x 23－y26＝1消去y 得5x 2＋6x －27＝0.∴x 1＋x 2＝－65，x 1·x 2＝－275.∴|AB |＝⎣⎡⎦⎤1＋⎝⎛⎭⎫332[](x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝43⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－652－4⎝⎛⎭⎫－275＝1635. (2)直线AB 的方程变形为3x －3y －33＝0.∴原点O 到直线AB 的距离为d ＝|－33|(3)2＋(－3)2＝32.∴S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×1653×32＝1235.20．已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左右焦点，M 为其上顶点．椭圆的长轴长为4，且△F 1MF 2的周长为4＋2 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知P (0,3)，若直线y ＝2x －2与椭圆C 交于A ，B 两点，求P A →·PB →. 解析：(1)由题可知，2a ＋2c ＝4＋23，2a ＝4，得a ＝2，c ＝ 3又a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝1，故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1，(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2x 24＋y 2＝1，得17x 2－32x ＋12＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝3217，x 1x 2＝1217，∵P A →＝(x 1，y 1－3)，PB →＝(x 2，y 2－3)， ∴P A →·PB →＝x 1x 2＋(y 1－3)(y 2－3)＝x 1x 2＋(2x 1－5)(2x 2－5)＝5x 1x 2－10(x 1＋x 2)＋25将x 1＋x 2＝3217，x 1x 2＝1217代入，得P A →·PB →＝5×1217－10×3217＋25＝16517.21．平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，且点⎝⎛⎭⎫3，12在椭圆C 上．椭圆C 的左顶点为A .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点A 作直线l 与椭圆C 交于另一点B .若直线l 交y 轴于点C ，且OC ＝BC ，求直线l 的斜率．解析：(1)由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧1－b 2a 2＝⎝⎛⎭⎫32232a 2＋⎝⎛⎭⎫122b 2＝1解得：⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝1，所以，所求椭圆C 方程为x 24＋y2＝1.(2)由题意知直线l 的斜率存在，设为k ，l 过点A (－2,0)，则l 的方程为：y ＝k (x ＋2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k (x ＋2)，消去y 整理得：(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0，令B (x B ，y B )，C (0，y C )由－2x B ＝16k 2－41＋4k 2，得x B ＝2－8k 21＋4k 2，将x ＝0代入y ＝k (x ＋2)中，得到y C ＝2k ，所以OC ＝|2k |，|BC |＝1＋k 2|x B －0|＝1＋k 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－8k 21＋4k 2，由OC ＝BC ，得：|2k |＝1＋k 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－8k 21＋4k 2，解得：k 2＝18，∴k ＝±24.所以直线l 的斜率为±24. 22．已知椭圆方程为x 2＋y 24＝1，射线y ＝2x (x ≥0)与椭圆的交点为M ，过M 作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于A ，B 两点(异于M )．(1)求证直线AB 的斜率为定值； (2)求△AMB 面积的最大值．解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1y ＝2x (x ≥0)，得M ⎝⎛⎭⎫22，2，不妨设直线MA ：y －2＝k ⎝⎛⎭⎫x －22，直线MB ：y －2＝－k ⎝⎛⎭⎫x －22. 由⎩⎨⎧y －2＝k ⎝⎛⎭⎫x －22x 2＋y24＝1，得(4＋k 2)x 2－(22k －2k 2)x ＋12k 2－2k －2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M ⎝⎛⎭⎫22，2，∴x 1＋22＝2k 2－22k 4＋k 2，∴x 1＝2(k 2－4k －4)2(4＋k 2)，同理得∴x 2＝2(k 2＋4k －4)2(4＋k 2)，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k (x 1＋x 2－2)x 1－x 2＝2(k 2－4)－2(k 2＋4)－42＝2，∴直线AB 的斜率为定值2.(2)设直线l ，y ＝2x ＋m ，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m x 2＋y 24＝1，得8x 2－4mx ＋m 2－4＝0，∴x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)＝－6k 3＋4k 2， 由Δ>0得－22<m <22，且m ≠0，点M 到AB 的距离d ＝|m |5，|AB |＝1＋4·⎝⎛⎭⎫－4m 82－4×m 2－48＝5·8－m 24S △AMB ＝12AB ·d ＝12|m |8－m 24＝14·m 2(8－m 2)≤14·m 2＋8－m 22＝1当且仅当m 2＝8－m 2，即m 2＝4，当m ＝±2时，取等号，所以△AMB 面积的最大值为1.。
数学人教A选修2-1第二章 圆锥曲线与方程单元检测.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作数学人教A选修2-1第二章圆锥曲线与方程单元检测(时间：45分钟，满分：100分)一、选择题(每小题6分，共48分)1．设F1，F2是椭圆E：22221x ya b+=(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线32ax=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为()．A．12B．23C．34D．452．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是()．A．y2＝－8x B．y2＝8xC．y2＝－4x D．y2＝4x3．已知双曲线222=14x yb-的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于()．A．5B．42C．3 D．54．设F1，F2是双曲线22124yx-=的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于()．A．42B．83C．24 D．485．过抛物线y2＝4x的顶点O作互相垂直的两弦OM，ON，则M的横坐标x1与N的横坐标x2之积为()．A．64 B．32C．16 D．46．以椭圆22=1164x y+内的点M(1,1)为中点的弦所在直线的方程为()．A．4x－y－3＝0 B．x－4y＋3＝0 C．4x＋y－5＝0 D．x＋4y－5＝07．已知双曲线2222=1x ya b-(a＞0，b＞0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为()．A．22=154x y-B．22=145x y-C．22=136x y-D．22=163x y-8．若F1，F2是椭圆2214xy+=的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则|12PF PF⋅|的最大值是()．A．4 B．5C．2 D．1二、填空题(每小题6分，共18分)9．△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是(－6,0)，(6,0)，边AC，BC所在直线的斜率之积等于49-，则顶点C的轨迹方程是____________________．10．抛物线y2＝4x的弦AB⊥x轴，若|AB|＝43，则焦点F到直线AB的距离为______．11．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为22．过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为__________．三、解答题(共3小题，共34分)12．(10分)已知直线y＝x－4被抛物线y2＝2mx(m≠0)截得的弦长为62，求抛物线的标准方程．13．(10分)已知椭圆C：22221x ya b+=(a＞b＞0)的左焦点F及点A(0，b)，原点O到直线F A的距离为22b．(1)求椭圆C的离心率e；(2)若点F关于直线l：2x＋y＝0的对称点P在圆O：x2＋y2＝4上，求椭圆C的方程及点P的坐标．14．(14分)设椭圆22221x ya b+=(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点．(1)若直线AP与BP的斜率之积为12-，求椭圆的离心率；(2)若|AP|＝|OA|，证明直线OP的斜率k满足||3k>．参考答案1答案：C 解析：设直线32ax =与x 轴交于点M ，则∠PF 2M ＝60°，在Rt △PF 2M 中，PF 2＝F 1F 2＝2c ，F 2M ＝32ac -，故cos 60°＝2231222a cF M PF c -==， 解得34c a =，故离心率34e =．2答案：B 解析：∵抛物线的准线方程为x ＝－2，∴抛物线的开口向右．设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p ＞0)，则其准线方程为2px =-， ∴22p-=-，解得p ＝4． ∴抛物线的标准方程为y 2＝8x ．3答案：A 解析：由双曲线的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，知32pc ==，c 2＝9＝4＋b 2，于是b 2＝5，5b =．因此该双曲线的渐近线的方程为52y x =±，即520x y ±=． 故该双曲线的焦点到其渐近线的距离为|35|554d ==+．4答案：C 解析：由P 是双曲线上的一点和3|PF 1|＝4|PF 2|可知，|PF 1|－|PF 2|＝2，解得|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，又|F 1F 2|＝2c ＝10，所以△PF 1F 2为直角三角形，所以△PF 1F 2的面积S ＝12×6×8＝24，故选C ． 5答案：C 解析：由已知设OM 的斜率为k ，则ON 的斜率为1k-． 从而OM 的方程为y ＝kx ，联立方程24,,y x y kx ⎧=⎨=⎩解得M 的横坐标124x k =．同理可得N的横坐标x 2＝4k 2，可得x 1x 2＝16．6答案：D 解析：设弦的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有221122221,1641.164x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得21212121()()()()164x x x x y y y y +++-=-， 即212121214()16()y y x x x x y y -+=--+．而AB 的中点为M (1,1)， 所以x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， 又k AB ＝2121y y x x --，所以k AB ＝4211624⨯-=-⨯，于是弦AB 所在直线的方程为y －1＝－14(x －1)，即x ＋4y －5＝0． 7答案：A 解析：由题意得2222=1x y a b -(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线的方程为by x a=±，即bx ±ay ＝0．又圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，半径为2，圆心坐标为(3,0)，∴a 2＋b 2＝32＝9，且22|3|=2b a b +，解得a 2＝5，b 2＝4．∴该双曲线的方程为22=154x y -． 8答案：C 解析：依题意a 2＝4，b 2＝1，3c =，则F 1(3-，0)，F 2(3，0)．设P (x ，y )，则1PF ＝(3x --，－y )，2PF ＝(3x -，－y )．12PF PF ⋅＝x 2－3＋y 2＝x 2－3＋1－14x 2＝2324x -，因为点P 在椭圆上， 所以－2≤x ≤2，故－2≤34x 2－2≤1， 故12PF PF ⋅＝2324x -∈[0,2]， 即12PF PF ⋅的最大值是2．9答案：22=13616x y +(x ≠±6，y ≠0) 解析：设C (x ，y )，则k AC ·k BC ＝4669y y x x ⋅=-+-，整理得4x 2＋9y 2＝144(x ≠±6，y ≠0)．10答案：2 解析：由抛物线的方程可知F (1,0)，由|AB |＝43且AB ⊥x 轴，得22(23)12A y ==，∴234A A y x ==，∴点F 到直线x ＝3的距离为2． 11答案：22=1168x y + 解析：由椭圆的第一定义可知△ABF 2的周长为4a ＝16，得a ＝4，又离心率为22，即22c a =，所以22c =，故a 2＝16，b 2＝a 2－c 2＝16－8＝8，则椭圆C 的方程为22=1168x y +． 12答案：解：设直线与抛物线的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．由22,4,y mx y x ⎧=⎨=-⎩得x 2－2(4＋m )x ＋16＝0， 所以x 1＋x 2＝2(4＋m )，x 1x 2＝16，所以弦长＝2212(1)()k x x +-＝222[4(4)416]22(8)m m m +-⨯=+． 由222(8)=62m m +，解得m ＝1或m ＝－9． 经检验，m ＝1或m ＝－9均符合题意．所以所求抛物线的标准方程为y 2＝2x 或y 2＝－18x ．13答案：解：由点F (－ae,0)，点A (0，b )，及21b e a =-得直线F A 的方程为2=11x y ae e a+--，即22110e x ey ae e --+-=．∵原点O 到直线F A 的距离为2212b ae e =-， ∴222112e a ae e -⋅=-．解得22e =． 答案：解：设椭圆C 的左焦点F 2,02a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭关于直线l ：2x ＋y ＝0的对称点为P (x 0，y 0)，则有00001,2222220,22y x a x a y ⎧=⎪⎪+⎪⎨⎪-⎪⋅+=⎪⎩解得03210x a =，0225y a =． ∵P 在圆x 2＋y 2＝4上，∴223222+=4105a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．∴a 2＝8，b 2＝(1－e 2)a 2＝4．故椭圆C 的方程为22=184x y +，点P 的坐标为68,55⎛⎫ ⎪⎝⎭． 14答案：解：设椭圆C 的左焦点F 2,02a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭关于直线l ：2x ＋y ＝0的对称点为P (x 0，y 0)，则有00001,2222220,22y x a x a y ⎧=⎪⎪+⎪⎨⎪-⎪⋅+=⎪⎩解得03210x a =，0225y a =． ∵P 在圆x 2＋y 2＝4上，∴223222+=4105a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．∴a 2＝8，b 2＝(1－e 2)a 2＝4．故椭圆C 的方程为22=184x y +，点P 的坐标为68,55⎛⎫ ⎪⎝⎭． 设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由题意，有220022=1x y a b+．①由A (－a,0)，B (a,0)，得00AP y k x a =+，00BP y k x a=-． 由k AP ·k BP ＝12-，可得x 02＝a 2－2y 02，代入①并整理得(a 2－2b 2)y 02＝0． 由于y 0≠0，故a 2＝2b 2．于是222212a b e a -==， 所以椭圆的离心率22e =．答案：解：证明：(方法一)依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得00220022,1,y kx x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 0并整理得2220222a b x k a b =+．②由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0， 得(x 0＋a )2＋k 2x 02＝a 2．整理得 (1＋k 2)x 02＋2ax 0＝0．而x 0≠0， 于是0221ax k -=+，代入②，整理得 (1＋k 2)2＝2244a k b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．由a ＞b ＞0，故(1＋k 2)2＞4k 2＋4，即k 2＋1＞4，因此k 2＞3．所以||>3k ． (方法二)依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)，由点P 在椭圆上，有2220022=1x k x a b+． 因为a ＞b ＞0，kx 0≠0，所以2220022<1x k x a a+，即(1＋k 2)x 02＜a 2．③ 由|AP |＝|OA |，A (－a,0)， 得(x 0＋a )2＋k 2x 02＝a 2，整理得(1＋k 2)x 02＋2ax 0＝0，于是x 0＝221ak -+． 代入③，得(1＋k 2)2224(1)a k +＜a 2，解得k 2＞3， 所以||3k >．。
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第二章 圆锥曲线与方程测试(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)1．方程x 2sin θ－1＋y22sin θ＋3＝1所表示的曲线是( )A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在y 轴上的椭圆C ．焦点在x 轴上的双曲线D ．焦点在y 轴上的双曲线解析 ∵sin θ－1<0,2sin θ＋3>0，∴方程表示焦点在y 轴上的双曲线． 答案 D 2．双曲线3mx 2－my 2＝3的一个焦点是(0,2)，则m 的值是( ) A ．－1 B ．1 C ．－1020 D.102解析 把方程化为标准形式－x 2－1m ＋y 2－3m ＝1，则a 2＝－3m ，b 2＝－1m ，∴c 2＝a 2＋b 2＝－4m ＝4，∴m ＝－1. 答案 A3．如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(1,2) C ．(12，1) D ．(0,1)解析 把方程x 2＋ky 2＝2化为标准形式x 22＋y 22k＝1，依题意有2k>2，∴0<k <1. 答案 D4．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，则k 的值为( ) A ．1 B ．0 C ．1或0 D ．1或3解析 验证知，当k ＝0时，有⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，y 2＝8x ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝2.适合题意．当k ＝1时，有⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋2，y 2＝8x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4.也适合题意， ∴k ＝0或1.答案 C 5．已知曲线x 2a ＋y 2b ＝1和直线ax ＋by ＋1＝0(a ，b 为非零实数)在同一坐标系中，它们的图像可能为( )解析 直线ax ＋by ＋1＝0中，与x 轴的交点为P (－1a ，0)，与y轴的交点为(0，－1b)，在图A ，B 中，曲线表示椭圆，则a >b >0，直线与坐标轴负半轴相交，图形不符合．在图C 中，a >0，b <0，曲线为双曲线，直线与x 轴负半轴相交，与y 轴正半轴相交，适合．答案 C6．已知F 是抛物线y ＝14x 2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是( )A ．x 2＝y －12B ．x 2＝2y －116C ．x 2＝2y －1D ．x 2＝2y －2解析 由y ＝14x 2⇒x 2＝4y ，焦点F (0,1)，设PF 中点为Q (x ，y )，P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝0＋x 0，2y ＝1＋y 0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y －1.又P (x 0，y 0)在抛物线上，∴(2x )2＝4(2y －1)，即x 2＝2y －1. 答案 C 7．“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析 将方程mx 2＋ny 2＝1变形为x 21m ＋y 21n＝1，它表示焦点在y 轴上的椭圆的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧1m>0，1n >0，1m <1n，⇔⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n >0，m >n .⇔m >n >0.答案 C 8．如图正方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 的侧面AB 1内有动点P 到直线AB 与到直线B 1C 1的距离相等，则动点P 所在的曲线的形状( )解析 点P 到B 1的距离等于到AB 的距离，符合抛物线的定义．∵点P 在正方形ABB 1A 1内运动，当P 在BB 1的中点适合，当点P 与A 1重合时，也适合，因此选C. 答案 C9．动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过点( ) A ．(4,0) B ．(2,0) C ．(0,2) D ．(0，－2)解析 直线x ＋2＝0是抛物线的准线，又动圆圆心在抛物线上，由抛物线的定义知，动圆必过抛物线的焦点(2,0)． 答案 B10．设F 1和F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积为( )A ．1 B.52C ．2 D. 5 解析 由题设知⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝4 ①|PF 1|2＋|PF 2|2＝20 ② ②－①2得|PF 1|·|PF 2|＝2. ∴△F 1PF 2的面积S ＝12|PF 1|·|PF 2|＝1. 答案 A11．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上任意一点到两焦点的距离分别为d 1，d 2，焦距为2c ，若d 1,2c ，d 2成等差数列，则椭圆的离心率为( )A.12B.22C.32D.34 解析 由椭圆的定义可知d 1＋d 2＝2a ，又由d 1,2c ，d 2成等差数列， ∴4c ＝d 1＋d 2＝2a ，∴e ＝c a ＝12. 答案 A12．抛物线y ＝x 2上到直线2x －y ＝4距离最近的点的坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫32，54 B ．(1,1) C.⎝⎛⎭⎫32，94 D ．(2,4) 解析 设P (x ，y )为抛物线y ＝x 2上任一点，则P 到直线2x －y ＝4的距离 d ＝|2x －y －4|5＝|2x －x 2－4|5 ＝|(x －1)2＋3|5.∴当x ＝1时，d 有最小值355，此时，P (1,1)． 答案 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中横线上) 13．(2012·安徽模拟)抛物线y 2＝8x 的焦点坐标是________． 答案 (2,0)14．设中心在原点的椭圆与双曲线2x 2－2y 2＝1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程为________．解析 双曲线x 212－y 212＝1的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)．离心率e ＝ 2.设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝1，1a·2＝1，∴a 2＝2，b 2＝1. 故椭圆方程为x 22＋y 2＝1. 答案 x 22＋y 2＝115．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为________．解析 设双曲线的一条渐近线为y ＝ba x ，一个顶点A (a,0)，一个焦点F (c,0)．则|a ·0－ab |a 2＋b 2＝2，|a ·0－bc |a 2＋b 2＝6，即ab ＝2c ，bc ＝6c ， ∴b ＝6，c ＝3a ，∴e ＝ca＝3. 答案 316．过抛物线y 2＝4x 的焦点，作倾斜角为3π4的直线交抛物线于P ，Q 两点，O 为坐标原点，则△POQ的面积等于__________．解析 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，F 为抛物线焦点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－(x －1)，y 2＝4x ，得y 2＋4y －4＝0，∴|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝(－4)2＋4×4＝4 2. ∴S △POQ ＝12|OF ||y 1－y 2|＝2 2. 答案 2 2三、解答题(本大题共6小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)求与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦距，且离心率为55的椭圆的标准方程． 解 把方程4x 2＋9y 2＝36写成x 29＋y 24＝1，则其焦距2c ＝25，∴c ＝ 5.又e ＝c a ＝55，∴a ＝5. b 2＝a 2－c 2＝52－5＝20， 故所求椭圆的方程为x 225＋y 220＝1，或y 225＋x 220＝1.18．(12分)已知直线x ＋y －1＝0与椭圆x 2＋by 2＝34相交于两个不同点，求实数b 的取值范围．解 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x 2＋by 2＝34，得(4b ＋4)y 2－8y ＋1＝0. 因为直线与椭圆相交于不同的两点， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4b ＋4≠0Δ＝64－4(4b ＋4)＞0，解得b ＜3，且b ≠－1.又方程x 2＋by 2＝34表示椭圆，所以b ＞0，且b ≠1.综上，实数b 的取值范围是{b |0＜b ＜3且b ≠1}．19．(12分)已知双曲线中心在原点，且一个焦点为(7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 的中点的横坐标为－23，求此双曲线的方程．解 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，依题意c ＝7，∴方程可以化为x 2a 2－y 27－a 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 27－a 2＝1，y ＝x －1，得 (7－2a 2)x 2＋2a 2x －8a 2＋a 4＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2、y 2)，则x 1＋x 2＝－2a 27－2a 2， ∵x 1＋x 22＝－23， ∴－a 27－2a 2＝－23，解得a 2＝2.∴双曲线的方程为x 22－y 25＝1.20．(12分)如右图线段AB 过x 轴正半轴上一定点M (m,0)，端点A ，B 到x 轴距离之积为2m ，以x 轴为对称轴，过A ，O ，B 三点作抛物线．(1)求抛物线方程；(2)若OA →·OB →＝－1，求m 的值．解 (1)设直线AB 为y ＝k (x －m )，抛物线方程为y 2＝2px .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －m )，y 2＝2px ，消去x ，得ky 2－2py －2pkm ＝0. ∴y 1·y 2＝－2pm . 又∵y 1·y 2＝－2m ，∴p ＝1， ∴抛物线方程为y 2＝2x . (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则OA →＝(x 1，y 1)，OB →＝(x 2，y 2)． 则OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝y 21y 224＋y 1y 2＝m 2－2m . 又OA →·OB →＝－1，∴m 2－2m ＝－1，解得m ＝1.21．(12分)已知双曲线x 2－y 2＝4，直线l ：y ＝k (x －1)，试讨论实数k 的取值范围，使： (1)直线l 与双曲线有两个公共点； (2)直线l 与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l 与双曲线没有公共点．解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 2－y 2＝4，消去y 得x 2－k 2(x －1)2＝4， 即(1－k 2)x 2＋2k 2x －4－k 2＝0.(*)当1－k 2≠0时，Δ＝16－12k 2＝4(4－3k 2)．(1)当⎩⎪⎨⎪⎧4－3k 2＞0，1－k 2≠0，即－233＜k ＜233，且k ≠±1时，方程(*)有两个不同的实数解； (2)当⎩⎪⎨⎪⎧ 4－3k 2＝0，1－k 2≠0，即k ＝±233时，方程(*)有两个相同的实数解；(3)当⎩⎪⎨⎪⎧4－3k 2＜0，1－k 2≠0，即k ＜－233，或k ＞233时，方程(*)无实数解． 而当k ＝±1时，方程(*)变形为2x －5＝0，x ＝52，方程(*)也只有一解．∴当－233＜k ＜－1，或－1＜k ＜1，或1＜k ＜233时，直线与双曲线有两个公共点；当k ＝±1，或k ＝±233时，直线与双曲线有且只有一个公共点；当k ＜－233，或k ＞233时，直线与双曲线没有公共点．22．(12分)如图，在以点O 为圆心，|AB |＝4为直径的半圆ADB 中，OD ⊥AB ，P 是半圆弧上一点，∠POB ＝30°.曲线C 是满足||MA |－|MB ||为定值的动点M 的轨迹，且曲线C 过点P .(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程； (2)设过点D 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点E ，F . 若△OEF 的面积不小于22，求直线l 斜率的取值范围．解 (1)以O 为原点，AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，则A (－2,0)，B (2,0)，D (0,2)，P (3，1)，依题意得||MA |－|MB ||＝|P A |－|PB | ＝(2＋3)2＋12－(2－3)2＋12 ＝22<|AB |＝4，∴曲线C 是以原点为中心，A ，B 为焦点的双曲线． 设实半轴长为a ，虚半轴长为b ，半焦距为c ，则c ＝2,2a ＝22，∴a 2＝2，b 2＝c 2－a 2＝2. ∴曲线C 的方程为x 22－y 22＝1.(2)依题意，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入双曲线C 的方程并整理得(1－k 2)x 2－4kx －6＝0.① ∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－k 2≠0，Δ＝(－4k )2＋4×6(1－k 2)>0，⇒⎩⎨⎧k ≠±1，－3<k < 3.∴k ∈(－3，－1)∪(－1,1)∪(1，3)．② 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，则由①式得x 1＋x 2＝4k 1－k 2，x 1x 2＝－61－k2，于是 |EF |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·2 2 3－k 2|1－k 2|.而原点O 到直线l 的距离d ＝21＋k 2， ∴S △OEF ＝12d ·|EF | ＝12·21＋k 2·1＋k 2·223－k 2|1－k 2| ＝223－k 2|1－k 2|.若△OEF 面积不小于22，即S △OEF ≥22，则有 223－k 2|1－k 2|≥22⇔k 4－k 2－2≤0， 解得－2≤k ≤2③综合②③知，直线l 的斜率的取值范围为[－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2]．。