【精准解析】2021学年高中数学人教B版必修第二册训练：4.5+增长速度的比较

函数增长越来越慢，而 B 中的函数增长速度保持不变，只有 C 表示的函数符合题意．
5．如果函数 y＝ax＋b 在区间[1,2]上的平均变化率为 3，则 a＝( C )
A．－3
B．2
C．3
D．－2
[解析] 根据平均变化率的定义，可知ΔΔyx＝2a＋b2－－1a＋b＝a＝3．
-1-
二、填空题
6．函数 y＝－2x＋1 在任意区间上的平均变化率为__－2__，也就是说自变量每增加一个 单位，函数值将__减小 2__个单位．
-5-
[解析] ΔΔyx＝yx11－－yx22＝－2x1＋1x－1－－x2 2x2＋1＝－2，∴自变量每增加一个单位，函数值将减 小 2 个单位．
7．函数 y＝x2 与函数 y＝xln x 在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是__y＝x2__． [解析] 当 x 变大时，x 比 ln x 增长要快，∴x2 要比 xln x 增长的要快． 8．质点运动规律 s＝1gt2，则在时间区间(3,3＋Δt)内的平均速度等于__30＋5Δt__.(g＝10
C．f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越慢
D．f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越快
1 [解析] 观察函数 f(x)＝log1 x，g(x)＝ 2 x 与 h(x)＝x－12 在区间(0，＋∞)上的大致图像如图，
2
可知：函数 f(x)的图像在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢，在区间(1，＋∞)上，递
来形容爬十八盘的感受．下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从 A 处到 B 处会感觉比
较轻松，而从 B 处到 C 处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化 BC 段
曲线的陡峭程度吗？
[解析] 山路从 A 处到 B 处高度的平均变化率为 hAB＝1500－－00＝15，山路从 B 处到 C 处高度 的平均变化率为 hBC＝1750－ －1500＝14，因为 hBC＞hAB，所以山路从 B 处到 C 处比从 A 处到 B 处要 陡峭的多．
由 2×3a＞3 时，得 a＞log332．
所以
a∈
log33，＋∞ 2
．
2．某公司为适应市场需求，对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后
期增长越来越慢．若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润 y 与时间 x 的关系，可选
用( D )
A．一次函数
B．二次函数
C．指数型函数
D．对数型函数
∴m＋1＝3，∴m＝2．
4．有一组实验数据如表所示：
t
1
2
3
4
5
s
1.5
5.9
13.4
24.1
37
下列所给函数模型较适合的是( C )
A．y＝logax(a＞1)
B．y＝ax＋b(a＞1)
C．y＝ax2＋b(a＞0)
D．y＝logax＋b(a＞1)
[解析] 通过所给数据可知 s 随 t 的增大而增大，其增长速度越来越快，而 A，D 表示的
减较慢，且越来越慢；同样，函数 g(x)的图像在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越
来越慢；函数 h(x)的图像在区间(0,1)上递减较快，但递减速度变慢，在区间(1，＋∞)上，递减 较慢，且越来越慢．
-3-
二、填空题
0，1 5．函数 y＝log3x 在[a，a＋1](a＞0)上平均变化率大于 1，则 a 的取值范围为__ 2 __．
Hale Waihona Puke B 级 素养提升一、选择题
1．f(x)＝3x 与 f(x)＝3x 在[a，a＋1]上的平均变化率分别为 k1，k2，当 k2＞k1 时，a 的取值 范围为( D )
A．(0，＋∞)
B．(－∞，0)
-2-
C．
－∞，log33 2
D． log332，＋∞
[解析]
对
f(x)＝3x，Δy＝3，对 Δx
f(x)＝3x，ΔΔyx＝a3＋a＋11－－3aa＝2×3a，
第四章 4.5
请同学们认真完成 [练案 10]
A 级 基础巩固
一、选择题
1．已知函数 y＝f(x)＝2x2 的图像上点 P(1,2)及邻近点 Q(1＋Δx,2＋Δy)，则Δy的值为 Δx
(D) A．4
B．4x
C．4＋2(Δx)2
D．4＋2Δx
[解析] Δy＝21＋Δx2－2×12＝4＋2Δx．
Δx
Δx
2．已知函数 y＝f(x)＝x2＋1，则在 x＝2，Δx＝0.1 时，Δy 的值为( B )
A．0.40
B．0.41
C．0.43
D．0.44
3．函数 f(x)＝x2－1 在区间[1，m]上的平均变化率为 3，则实数 m 的值为( B )
A．3
B．2
C．1
D．4
[解析] 由已知得：m2－1m－－112－1＝3，
[解析]
因为Δy＝log3a＋1－log3a
Δx
a＋1－a
＝log3
1＋1 a
＞1＝log33，a＞0，
所以 1＋1＞3，所以 0＜a＜1．
a
2
6．已知函数 f(x)的定义域为 R．
(1)若 f(x)在任意区间内的平均变化率均为正数，则 f(x)是__增__函数(填“增”或“减”)；
(2)若 f(x)在任意区间内的平均变化率均比 g(x)＝2 在同一区间内的平均变化率小，则 f(x)
10．已知 f(x)＝2x，g(x)＝3x，分别计算这两个函数在区间[2,3]上的平均变化率，并比较它
们的大小．
[解析] f(x)＝2x 在[2,3]上的平均变化率为ΔΔxf＝233－－222＝4， g(x)＝3x 在[2,3]上的平均变化率为ΔΔgx＝333－－322＝18． ∴f(x)在[2,3]上的平均变化率小于 g(x)在[2,3]上的平均变化率．
y＝x12在
x0
到
x0＋Δx
之间的平均变化率为__－ 2x0＋Δx __． x0＋Δx2x20
[解析] ∵Δy＝x0＋1Δx2－x120，
∴Δy＝x0＋1Δx2－x120＝－ 2x0＋Δx ．
Δx
Δx
x0＋Δx2x20
三、解答题
8．下面是 y 随 x 的增大而得到的函数值表：
x
12
3
4
5
6
7
8
9
10
是__减__函数(填“增”或“减”)． [解析] 设 x1，x2∈R，且 x1≠x2， (1)则有ΔΔxf ＝fxx22－ －fx1x1＞0，∴f(x)是增函数． (2)由于 g(x)＝2 在[x1，x2]上的平均变化率为 0， ∴ΔΔxf ＝fxx22－ －fx1x1＜0， ∴f(x)是减函数．
7．函数
a－1＝ 1 a－1 1＋
＝1，解得 a＝9． a4
1
4．(多选题)下面对函数 f(x)＝log1x，g(x)＝ 2
2
x 与 h(x)＝x－12
在区间(0，＋∞)上的衰减情
况说法错误的是( ABD )
A．f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越慢
B．f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越快
2 m/s2)
[解析] Δs＝1g×(3＋Δt)2－1g×32＝1×10×[6Δt＋(Δt)2]＝30Δt＋5(Δt)2， v ＝Δs＝30＋
2
2
2
Δt
5Δt．
三、解答题
9．计算函数 y＝log3x 在区间[1,2]与[2,3]上的平均变化率，并以此说明函数值变化的规律．
[解析]
因为Δy＝log3x2－log3x1，所以
y＝2x
24
8
16 32
64 128 256 512 1 024
y＝x2
14
9
16 25
36 49 64 81 100
-4-
y＝2x＋7 9 11
13
15
17
19 21 23 25
27
y＝log2x 0 1 1.585
2 2.322 2.585 2.807 3 3.170 3.322
试问：
(1)随着 x 的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋势？
Δx
x2－x1
y＝log3x
在区间[1,2]上的平均变化率为log322－－l1og31
＝log32．
在区间[2,3]上的平均变化率为log333－－l2og32＝log332，
∴函数 y＝log3x 在区间[1,2]与[2,3]上均是增函数，
又 log32＞log332∴函数值 y 增加的速度越来越慢．
(2)各函数增长速度的快慢有什么不同？ [解析] (1)随着 x 的增大，各函数的函数值都在增大． (2)由题表可以看出：各函数增长速度的快慢不同，其中 y＝2x 的增长速度最快，而且越来 越快；其次为 y＝x2，增长速度也在变快；而 y＝2x＋7 的增长速度不变；增长速度最慢的是 y ＝log2x，其增长速度越来越慢． 9．巍巍泰山为五岳之首，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语
[解析] 本题考查对常见函数模型不同增长特点的理解．四种函数模型中只有对数型函数
具有初期利润增长迅速、后来增长越来越慢的特点，故选 D．
3．函数 f(x)＝ x从 1 到 a 的平均变化率为1，则实数 a 的值为( B ) 4
A．10
B．9
C．8
D．7
[解析]
f(x)＝
x从
1
到
a
的平均变化率为Δy＝ Δx