大一微积分专题
大一上学期微积分知识点
大一上学期微积分知识点微积分是数学的一个重要分支，主要研究变化率和积分两个方面。
在大一上学期的微积分课程中，我们学习了许多基本的知识点，这些知识点是我们进一步深入学习微积分的基础。
下面将对大一上学期微积分的知识点进行详细介绍。
一、导数导数是微积分中的重要概念，表示函数在某一点的变化率。
在求导的过程中，我们用到了一些基本的求导法则，如常数法则、幂函数法则、指数函数法则、对数函数法则以及三角函数法则等。
这些法则可以帮助我们求得各种类型函数的导数。
此外，我们还学习了一些特殊函数的导数，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。
二、微分微分是导数的应用，它主要用于求函数的局部线性近似。
我们通过微分可以求得函数在某一点的切线方程，进而可以得到函数在该点的局部变化情况。
微分还有一些基本的性质，如微分可加性和微分可乘性等。
三、积分积分是导数的逆运算，它表示函数在某一区间上的累积变化量。
在求积分的过程中，我们使用了一些基本的积分法则，如幂函数积分法则、三角函数积分法则、反三角函数积分法则以及换元积分法等。
这些法则可以帮助我们求得各种类型函数的不定积分和定积分。
此外，我们还学习了一些常见函数的积分，如指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等的积分。
四、微分方程微分方程是微积分的一个重要应用领域，它描述了函数与其导数之间的关系。
在大一上学期微积分课程中，我们简单介绍了一阶常微分方程和二阶常微分方程的解法。
对于一阶常微分方程，我们学习了分离变量法和常数变易法两种解法。
对于二阶常微分方程，我们学习了特征方程法和待定系数法两种解法。
五、曲线的图形与性质在微积分中，我们还学习了分析曲线的图形与性质。
通过求导和求导数表的方法，我们可以确定函数的单调性、极值点、拐点和图像的凹凸性等。
这些性质对于我们理解函数的特点和变化趋势非常重要。
综上所述，大一上学期微积分课程中涵盖了导数、微分、积分、微分方程以及曲线的图形与性质等知识点。
大一微积分前五章知识点
大一微积分前五章知识点微积分是数学的一门重要分支，广泛应用于自然科学、工程技术、经济管理等领域。
作为大一学生的你，将要学习微积分的前五章内容。
下面将介绍这五章的主要知识点和概念。
第一章：数列与极限1. 数列的概念：数列是由一系列有序的数按一定规律排列而成的。
2. 数列的极限：当数列的项随着自变量的变化而趋近于一个确定的常数时，称该常数为数列的极限。
3. 收敛数列与发散数列：若数列存在极限，则称为收敛数列，否则称为发散数列。
4. 数列极限的性质：数列极限具有唯一性、有界性和保号性等重要性质。
第二章：函数与极限1. 函数的概念：函数是一个自变量和因变量之间的映射关系。
2. 函数的极限：当函数的自变量趋近于某个值时，函数的值根据一定的规则趋近于一个确定的常数，称该常数为函数的极限。
3. 函数极限的运算法则：极限有四则运算法则、复合函数的极限法则等。
4. 无穷小量与无穷大量：在函数极限的计算中，我们常常会用到无穷小量和无穷大量的概念。
第三章：连续函数与导数1. 连续函数的定义：函数在某一点上的函数值等于该点的极限，我们称该函数在该点连续。
2. 连续函数的性质：连续函数具有保号性、介值性和局部有界性等重要性质。
3. 导数的概念：导数是描述函数变化快慢程度的量，用于研究函数在任意点的切线斜率。
4. 导数的计算方法：导数具有基本运算法则、常用函数的导数公式等。
第四章：微分学的应用1. 微分的几何应用：微分学常用于求曲线的切线和法线、求曲率等几何问题的解决。
2. 最值与最值问题：利用微分学的知识，可以求函数的最大值、最小值及其所对应的自变量。
3. 函数的单调性与曲线的凹凸性：通过函数的导数可以判断函数的单调性和曲线的凹凸性。
第五章：不定积分1. 不定积分的概念：不定积分是反导数的概念，表示求函数的原函数的过程。
2. 基本积分表：基本积分表是常见函数的积分公式，学习时需要熟记并掌握应用。
3. 不定积分的计算方法：通过基本积分表、换元积分法、分部积分法等方法可以计算不定积分。
大一微积分试题及答案详解
大一微积分试题及答案详解一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x) = x^2在区间(-∞, +∞)上是：A. 增函数B. 减函数C. 先减后增D. 先增后减答案：A解析：函数f(x) = x^2的导数为f'(x) = 2x，当x > 0时，f'(x) > 0，说明函数在x > 0的区间内是增函数；当x < 0时，f'(x) < 0，说明函数在x < 0的区间内是减函数。
由于整个定义域内没有区间使得函数单调递减，所以函数在整个定义域上是增函数。
2. 下列函数中，满足f(-x) = -f(x)的是：A. f(x) = x^3B. f(x) = x^2C. f(x) = |x|D. f(x) = sin(x)答案：A解析：选项A中的函数f(x) = x^3是奇函数，因为对于所有x，都有f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)。
选项B是偶函数，选项C和D不满足奇函数的性质。
3-10. （类似上述格式，继续编写选择题及答案详解）二、填空题（每题4分，共20分）1. 极限lim (x→0) [sin(x)/x] 的值是 _______。
答案：1解析：根据极限的性质，我们知道sin(x)/x在x趋近于0时的极限是1，这是著名的极限lim (x→0) [sin(x)/x] = 1。
2. 函数f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 9x + 1在x = 2处的导数是 _______。
答案：23解析：首先求出函数f(x)的导数f'(x) = 6x^2 - 12x + 9，然后将x = 2代入得到f'(2) = 6(2)^2 - 12(2) + 9 = 24 - 24 + 9 = 9。
3-5. （类似上述格式，继续编写填空题及答案详解）三、解答题（共50分）1. （15分）求曲线y = x^3 - 3x + 2在点(1, 0)处的切线方程。
大一微积分期末试卷及答案
微积分期末试卷选择题（6×２）cos sin 1.()2,()()22()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π==1设在区间（0，）内（ ）。
Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数2x 1n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin21C X (1) xn e x x n a D a π→-=--==>、x 时，与相比是（ ）Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（ ）Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ）n 1X cosn=200000001()5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X oC X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（ ）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ）Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线1~6 DDBDBD一、填空题1d 12lim 2,,x d xax ba b →++=ｘｘ２２１１、（ ）＝ｘ+1、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。
这条直线方程为：ｘ２３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是：２＋１ｘ５、若则的值分别为：ｘ＋2x-31 In 1x + ;2 322y x x =-; 3 2log ,(0,1),1xy R x=-; 4(0,0) 5解：原式=11(1)()1mlimlim 2(1)(3)3477,6x x x x m x m x x x m b a →→-+++===-++∴=∴=-= 二、判断题1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（ ）2、 0sin limx xx→-∞+∞在区间（，）是连续函数（）3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（）4、 若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ）5、 设函数ｆ(x)在[]0,1上二阶可导且'()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有1~5 FFFFT三、计算题1用洛必达法则求极限212lim x x x e →解：原式=222111330002(2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x--→→→-===+∞- 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 解：33223333232233432'()4(10)312(10)''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+⋅=+=⋅++⋅⋅+⋅=⋅+++∴= 3 24lim(cos )x x x →求极限4I cos 224I cos lim 022000002lim 1(sin )4cos tan cos lim cos lim lim lim lim 22224n xx x n x xx x x x x x e e x In x x x x In x x x x xx e →→→→→→→-=---=====-∴=Q 解：原式=原式4 (3y x =-求511I 31123221531111'3312122511'(3312(1)2(2)n y In x In x In x y y x x x y x x x x =-+---=⋅+⋅-⋅---⎤=-+-⎥---⎦解：5 3tan xdx ⎰2222tan tan sec 1)tan sec tan tan sin tan tan cos 1tan tan cos cos 1tan cos 2x xdx x xdx x xdx xdx xxd x dx x xd x d xxx In x c=----++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解：原式=（ = = = =6arctan x xdx ⎰求22222222211arctan ()(arctan arctan )22111(arctan )2111arctan (1)211arctan 22xd x x x x d x x x x dx x x x dx x x xx c=-+--+⎡⎤--⎢⎥+⎣⎦+-+⎰⎰⎰⎰解：原式= = = =四、证明题。
微积分大一基础知识经典讲解
Chapter1 Functions(函数)1.Definition 1)A function f is a rule that assigns to each element x in a set A exactly one element, called f (x ), in a set B.2)The set A is called the domain(定义域) of the function.3)The range(值域) of f is the set of all possible values of f (x ) as x varies through out the domain.⇔=)()(x g x f :Note1)(,11)(2+=--=x x g x x x f E xample )()(x g x f ≠⇒ 2.Basic Elementary Functions(基本初等函数)1) constant functionsf (x )=c2) power functions0,)(≠=a x x f a3) exponential functions1,0,)(≠>=a a a x f x domain: R range: ),0(∞4) logarithmic functions1,0,log )(≠>=a a x x f a domain: ),0(∞ range: R5) trigonometric functionsf (x )=sin x f (x )=cos x f (x )=tan x f (x )=cot x f (x )=sec x f (x )=csc xGiven two functions f and g , the composite function(复合函数) g f is defined by))(())((x g f x g f =Note )))((())((x h g f x h g f =Example If ,2)()(x x g and x x f -== find each function and its domain.g g d f f c f g b g f a ))))))(())(()x g f x g f a = Solution )2(x f -=422x x -=-=]2,(}2{:domain -∞≤or x xx x g x f g x f g b -===2)())(())(()]4,0[:02,0domain x x ⇒⎩⎨⎧≥-≥ 4)())(())(()x x x f x f f x f f c ==== )[0, :domain ∞x x g x g g x g g d --=-==22)2())(())(()]2,2[:022,02-⇒⎩⎨⎧≥--≥-domain x x 4.Definition An elementary function(初等函数) is constructed using combinations(addition 加, subtraction 减, multiplication 乘, division 除) and compositionstarting with basic elementary functions.Example )9(cos )(2+=x x F is an elementary function.)))((()()(cos )(9)(2x h g f x F x x f x x g x x h ===+=2sin 1log )(x e x x f x a -+=E xample is an elementary function.1)Polynomial(多项式) FunctionsR x a x a x a x a x P n n n n ∈++++=--0111)( where n is a nonnegative integer.The leading coefficient(系数) ⇒≠.0n a The degree of the polynomial isIn particular(特别地),The leading coefficient ⇒≠.00a constant functionThe leading coefficient ⇒≠.01a linear functionThe leading coefficient ⇒≠.02a quadratic(二次) functionThe leading coefficient ⇒≠.03a cubic(三次) function2)Rational(有理) Functions}.0)(such that is {,)()()(≠=x Q x x x Q x P x f where P and Q are polynomials.3) Root Functions4.Piecewise Defined Functions(分段函数)⎩⎨⎧>≤-=111)(x if xx if x x f Example 5.6.Properties(性质)1)Symmetry(对称性)even function : x x f x f ∀=-),()( in its domain.symmetric w.r.t.(with respect to 关于) the y -axis.odd function : x x f x f ∀-=-),()( in its domain.symmetric about the origin.2) monotonicity(单调性)A function f is called increasing on interval(区间) I if I in x x x f x f 2121)()(<∀<It is called decreasing on I if I in x x x f x f 2121)()(<∀>3) boundedness(有界性)below bounded )(x e x f =E xample1abovebounded )(x e x f -=E xamp le2below and above from bounded sin )(x x f =Example34) periodicity (周期性)Example f (x )=sin xChapter 2 Limits and Continuity1.Definition We write L x f ax =→)(lim and say “f (x ) approaches(tends to 趋向于) L as x tends to a ”if we can make the values of f (x ) arbitrarily(任意地) close to L by taking x to be sufficiently(足够地) close to a (on either side of a ) but not equal to a .Note a x ≠means that in finding the limit of f (x ) as x tends to a , we never consider x =a . In fact, f (x ) need not even be defined when x =a . The only thing that matters is how f is defined near a .2.Limit LawsSuppose that c is a constant and the limits )(lim and )(lim x g x f ax a x →→exist. Then )(lim )(lim )]()([lim )1x g x f x g x f ax a x a x →→→±=± )(lim )(lim )]()([lim )2x g x f x g x f ax a x a x →→→⋅= 0)(lim )(lim )(lim )()(lim )3≠=→→→→x g if x g x f x g x f a x ax a x a x Note From 2), we have)(lim )(lim x f c x cf ax a x →→= integer. positive a is ,)](lim [)]([lim n x f x f n ax n a x →→= 3.2)Note4.One-Sided Limits1)left-hand limitDefinition We write L x f ax =-→)(lim and say “f (x ) tends to L as x tends to a from left ”if we can make the values of f (x ) arbitrarily close to L by taking x to be sufficiently close to a and x less than a .2)right-hand limitDefinition We write L x f ax =+→)(lim and say “f (x ) tends to L as x tends to a from right ”if we can make the values of f (x ) arbitrarily close to L by taking x to be sufficiently close to a and x greater than a .5.Theorem)(lim )(lim )(lim x f L x f L x f ax a x a x +-→→→==⇔= ||lim Find 0x x → Example1 Solutionxx x ||limFind 0→ Example2 Solution6.Infinitesimals(无穷小量) and infinities(无穷大量)1)Definition ⇒=∆→0)(lim x f x We say f (x ) is an infinitesimal as ∆∆→ where ,x is some number or .∞±Example1 2200lim x x x ⇒=→ is an infinitesimal as .0→x Example2 xx x 101lim ⇒=±∞→ is an infinitesimal as .±∞→x 2)Theorem 0)(lim =∆→x f x and g(x) is bounded.0)()(lim =⇒∆→x g x f xNote Example 01sin lim 0=→xx x 3)Definition ⇒±∞=∆→)(lim x f x We say f (x ) is an infinity as ∆∆→ where ,x is some number or .∞± Example1 1111lim 1-⇒∞=-+→x x x is an infinity as .1+→x Example2 22lim x x x ⇒∞=∞→ is an infinity as .∞→x 4)Theorem0)(1lim )(lim )=⇒±∞=∆→∆→x f x f a x x ±∞=⇒∆∆≠=∆→∆→)(1lim at possibly ex cept near 0)(,0)(lim )x f x f x f b x x 13124lim 423+-+∞→x x x x E xample1 44213124lim xx x x x +-+=∞→ 0= 13322lim 22++-∞→n n n n E xample2 2213322lim nn n n ++-=∞→ 32= x x x x 7812lim 23++∞→E xample3 237812lim x x x x ++=∞→ ∞=Note ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>∞<==++++++-----∞→m n if m n if mn if b a b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 011011 ,0,0and constants are ),,0(),,,0(where 00≠≠==b a m j b n i a j i m , n are nonnegative integer.Exercises)6(),0(3122lim )1.12==⇒=-++∞→b a n bn an n )1(),1(1)1(lim )22-==⇒=--+∞→b a b ax xx x )2(),2(21lim )31-==⇒=-+→b a x b ax x 43143lim )1.222=++∞→n n n n 51)2(5)2(5lim )211=-+-+++∞→n n n n n 343131121211lim )3=++++++∞→n n n 1)1231(lim )4222=-+++∞→n n n n n 1))1(1321211(lim )5=+++•+•∞→n n n 21)1(lim )6=-+∞→n n n n ∞=---→443lim )1.3222x x x x 23303)(lim )2x h x h x h =-+→ 343153lim )322=++++∞→x x x x x 503020503020532)15()23()32(lim )4•=+++-∞→x x x x 2)12)(11(lim )52=-+∞→xx x 0724132lim )653=++++∞→x x x x x 42113lim )721-=-+--→x x x x 1)1311(lim )831-=---→x x x 3211lim )931=--→x x x 61)31)(21)(1(lim )100=-+++→x x x x x21))1)(2((lim )11=--++∞→x x x x ∞=-+→223)3(3lim )1.4x x x x ∞=++∞→432lim )23x x x ∞=+-∞→)325(lim )32x x x 1)2544(lim .52-=+++-∞→x x x x（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
完整版)大一期末考试微积分试题带答案
完整版)大一期末考试微积分试题带答案第一学期期末考试试卷一、填空题（将正确答案写在答题纸的相应位置。
答错或未答，该题不得分。
每小题3分，共15分。
）1.XXX→0sinx/x = ___1___.2.设f(x) = lim(n-1)x(n→∞) / (nx+1)，则f(x)的间断点是___x=0___.3.已知f(1)=2，f'(1)=-1/4，则df-1(x)/dx4x=2.4.(xx)' = ___1___。
5.函数f(x)=4x3-x4的极大值点为___x=0___。
二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在答题纸的相应位置。
答案选错或未选者，该题不得分。
每小题3分，共15分。
）1.设f(x)的定义域为(1,2)，则f(lgx)的定义域为___[ln1,ln2]___。
2.设对任意的x，总有φ(x)≤f(x)≤g(x)，使lim[g(x)-φ(x)] = a，则limf(x) x→∞ = ___存在但不一定等于零___。
3.极限limex/(1-2x) x→∞ = ___e___。
4.曲线y=(2x)/(1+x2)的渐近线的条数为___2___。
5.曲线y=(2x)/(1+x2)的渐近线的条数为___2___。
三、（请写出主要计算步骤及结果，8分。
）4.设f(x)=(ex-sinx-1)/(sinx2)，f'(x)=(ex-cosx)/sinx2，lim(x→sinx/2)f(x) = lim(x→sinx/2)(ex-sinx-1)/(sinx2) =___1/2___。
四、（请写出主要计算步骤及结果，8分。
）1.lim(x→0)(cosx1/x)x = ___1___。
五、（请写出主要计算步骤及结果，8分。
）确定常数a,b，使函数f(x)={x(secx)-2x。
x≤a。
ax+b。
x>a}处处可导。
因为f(x)处处可导，所以f(x)在x=a处连续，即a(sec(a))-2a=lim(x→a)(ax+b)，得到a=1/2.根据f(x)在x=a处可导，得到a(sec(a))-2=lim(x→a)(ax+b)/(x-a)，得到b=-1/2.六、（请写出主要计算步骤及结果，8分。
大一微积分期末考试题
大一微积分期末考试题一、选择题（共10题，每题2分，共20分）1.下列哪个选项是微积分的基本概念？A. 导数B. 积分C. 极限D. 无穷小量2.函数f(x)在x=2处的导数为3，那么函数f(x)在x=2处的切线斜率为：A. 2B. 3C. 4D. 53.函数y = x^2 + 3x - 2 的最大值是：A. -2B. 1C. 2D. 44.设函数y = e^x，则函数y = e^(-x)的导数为：A. e^xB. -e^(-x)C. -e^xD. e^(-x)5.曲线y = sin(x)在点（0，0）处的切线斜率为：A. 0B. 1C. -1D. 无穷大6.函数y = ln(x)的导数为：A. 1/xB. ln(x)C. -1/xD. 17.若函数f(x)满足f'(x) = 2x，则f(x)的原函数为：A. x^2 + CB. x^2 + 1C. x^3 + CD. x^3 + 18.函数y = sin^2(x)在区间[0, π]上的定积分值为：A. 0B. 1C. π/2D. π9.函数y = x^3在区间[0, 1]上的定积分值为：A. -1/4B. 1/4C. 1/3D. 110.若函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1，则在区间[0, 2]上的定积分值为：A. 6B. 8C. 10D. 12二、计算题（共3题，共30分）1.计算函数y = sin(x) + cos(x)在区间[-π/4, π/4]上的定积分值。
解：∫[ -π/4, π/4 ] (sin(x) + cos(x)) dx = [-cos(x) + sin(x)]│[-π/4, π/4]= [(sin(π/4) + cos(π/4)) - (sin(-π/4) + cos(-π/4))]= [(1/√2 + 1/√2) - (1/√2 - 1/√2)]= 2/√2= √22.计算函数y = ln(x)在区间[1, e]上的定积分值。
微积分知识点大一
微积分知识点大一微积分是数学的重要分支之一，是研究变化率与积分的数学学科。
作为大一学生，学习微积分的基本知识是非常重要的。
本文将介绍微积分的几个重要知识点，帮助大一学生更好地理解和掌握微积分。
一、导数和微分导数是微积分的基本概念之一，它描述了函数在某一点的变化率。
在微积分中，我们使用极限的概念来定义导数。
如果一个函数在某一点存在导数，那么我们可以求出该点的斜率，进而研究函数在这一点的特征和性质。
微分是导数的另一种形式，描述了函数在某一点的线性逼近。
通过微分，我们可以求出函数在某一点的切线方程，进一步研究函数的局部特征。
二、积分和不定积分积分是微积分的另一个重要概念，它描述了函数的累积效应。
通过积分，我们可以求解函数的面积、体积等问题，也可以计算函数的平均值和期望值等。
不定积分是积分的一种形式，它表示了求解函数原函数的过程。
不定积分常用的方法有换元法、分部积分法和常用积分公式等。
三、微分方程微分方程是描述变化过程的数学模型，广泛应用于自然科学和工程技术领域。
微积分提供了研究微分方程的基本工具和方法。
常见的微分方程包括一阶和二阶线性微分方程、常微分方程和偏微分方程等。
解微分方程的方法有很多种，常见的方法包括分离变量法、齐次化和特解法等。
通过解微分方程，我们可以求解出函数随时间变化的规律，进而预测和控制物理过程和现象。
四、泰勒展开和级数泰勒展开是一种将函数表示为幂级数的方法，它在微积分中有着重要的应用。
通过泰勒展开，我们可以将复杂的函数近似为简单的多项式，进而研究函数的特性和计算函数的近似值。
级数是无穷多项式的和，也是微积分的重要内容之一。
级数具有收敛和发散的性质，通过研究级数的收敛性，可以判断函数的特性和计算函数的值。
五、微积分在实际问题中的应用微积分在自然科学和工程技术领域中有着广泛的应用。
例如，通过微积分可以研究物体的运动状态和轨迹，计算速度和加速度等；可以求解最优化问题，比如最小化成本、最大化效益等；还可以用于信号处理、图像处理等领域。
大一上学期微积分期末试卷
微积分期末试卷1兀、.设f(x)=2cos x,g(x)=(—)sin x在区间(0,)内()。
22A f(x)是增函数，g(x)是减函数B f(x)是减函数，g(x)是增函数C二者都是增函数口二者都是减函数2、T0时，e2x-cos x与sin x相比是()A高阶无穷小B低阶无穷小C等价无穷小D同阶但不等价无价小3、x0是函数y(1x的()A连续点B可去间断点C跳跃间断点D无穷型间断点4、下列数列有极限并且极限为1的选项为()I n冗AX=(-1)n-—BX=sinn-n n n2IICX=(a>1)D X=cos—n n nn a5、若f"(x)在X处取得最大值，则必有()0A'(X)=oB f X)<o00C f X)=0且''(X)<0D''(X)不存在或'(X)=000006、曲线y=xe(x2)()A仅有水平渐近线B仅有铅直渐近线C既有铅直又有水平渐近线D既有铅直渐近线1~6DDBDBD一、填空题1、()=-^―d xx1相切。
这条直线方程为：x 2、求过点(2,0)的一条直线，使它与曲线y=2x3、函数y=，^的反函数及其定义域与值域分别是：2x+14、y=&X的拐点为：5、若lim-:ax>"=2,则a/的值分别为：x-1X2+x2y—x3-2x2；3y=log--,(0,1),R；4(0,0)21-x(x-1)(x+m)x+m1+mlim=lim==25解：原式=彳-1(x-1)(x+3)x-1x+34m=7b=—7,a=6二、判断题1、无穷多个无穷小的和是无穷小()2、limsi吧在区间(-如+8)是连续函数()x f 0x3、f”(x )一定为的拐点()04、若f(X)在x 处取得极值，则必有f(x)在x 处连续不可导()005、设函数f (x)在[0,1]上二阶可导且f '(x )<0令A =f '(0),B =f '(1),C =f (1)-f (0),则必有A>B>C()1~5FFFFT三、计算题-11用洛必达法则求极限lim x 2e x2x f 0ex2e x 2(-2x -3)1.一解：原式=lim 丁=lim =lim e x 2=+8x f 0x f 0-2x -3x f 0x 22若f (x )=(x 3+10)4,求"(0)解：f '(x )=4(x 3+10)3•3x 2=12x 2(x 3+10)3f "(x )=24x -(x 3+10)3+12x 2・3•(x 3+10)2•3x 2=24x •(x 3+10)3+108x 4(x 3+10)2・•.f "(x )=03求极限lim(cos x )x 2x f044,解：原式lim e ；2历cos x=e x —0x 21n cos xx —04In cos xlim_In cos x =lim x ―0x2x —0x 21 (-sin x ) =lim cos x x —0x=lim x —0一tan x =lim x =-2x —o x 24求y =(3x -1)；：士1的导数x -2 解：I 〃y = —In3x —1+—Inx —1一y ，1=5y 3 331—十2 113x 一12x 一122Inx-2J tan 3xdx5解：原式J tan 2x tan xdx =J(sec 2x -1)tan xdx=J sec 2x tan xdx -Jtan xdxsin x tan xd tan x - cos xJJ1tan xd tan x - dxd cos xltan 2x +In cos x +c 2求J x arctan xdxy'=(3x -1)x 一213x -12(x -1)2(x 一2)5 3BM +解：原式1J arctan xd (x 2)=1(x 2arctan x -J x 2d arctan x )221,J x 2+1-1,、 (x 2arctan x -dx ) 21+x 21 x 2arctan x -J(1-)dx 1+x 21+x 2x arctan x --+c四、证明题。
大一经济数学-微积分习题集
大一经济数学-微积分习题集第一次作业判断题1、设f(x)=ln3x，则f(x-2)+f(x+3)=ln9+ln(x-2)((x+3)。
正确2、在商品量Q和商品价格P的坐标系下，需求曲线与供给曲线的交点坐标（Q，P）的Q就是商品的市场的真实需求量。
错误3、无论0<a<1还是a>1，以a为底的对数函数的图形与以1/a为底的对数函数的图形关于X轴对称。
正确4、以3/5为指数的幂函数与以5/3为指数的幂函数互为反函数。
错误5、2sin2x是基本初等函数。
错误6、奇函数与奇函数之积为奇函数。
错误7、两函数复合时，中间变量的值域要包含在外层函数的定义域中。
正确8、若商品量是价格的函数，供给函数一定是递减函数。
错9、收入函数是利润函数与成本函数之差。
错10、分段函数是初等函数。
错11、数列每项的值都小于零，则这数列的极限肯定小于零。
错12、两函数分别的极限之积等于两函数的积的极限。
对13、函数在一点的极限存在，但在这点不连续。
则该点是函数的第一类间断点。
正14、有界量乘无穷小量是无穷小量。
正15、在某变化趋势下，f（x）是g（x）的高阶无穷大，f（x）除以g（x）的极限为0。
错16、初等函数在有定义的区间上都连续。
正17、在间断点处，函数肯定没有极限。
错18、初等函数是由基本初等函数经过有限次函数运算由一个解析式表达的函数。
正19、由连续函数所复合成的复合函数也连续。
正20、函数y = lg（x-1）在（1，2）上是有界函数。
错单选题1、以10为底的对数函数是（B：单调函数）2、产品的最大生产能力为b个单位，至少要生产a个单位才能开工。
固定成本为C，每生产一个产品的变动成本为D，则成本函数的定义域是（C：[ a , b ]）3、利润函数为L (x) = ( p―a ) x ―b，收益函数为R (x) = px，则成本函数为：（D：b + ax ）4、对市场供需平衡关系的定量讨论中，商品量关于价格的需求函数和供给函数，（C：前者递减后者递增）5、若 f (x + 1) = 3sinx + 10 , 则 f (x) =（A：3sin(x—1)+10 ）6、反正切函数y = arctgx的定义域是（D：全部实数）7、函数y = lnx是（B：严格增函数）8、下列函数为奇函数的是（B：y = 2tgx ）9、奇函数与偶函数的乘积函数是（A：奇函数）10、数列1，0，1/2，0，1/3，…，0，1/n，……（c：收敛于0）11、当x →0时，函数（tg2x）/（sin3x）的极限为（A：2/3 ）12、数列2，0，2，0，……（D：发散）13、当x→0时，与sin2x 的等价无穷小量是（B：2x ）14、若无穷小量 f (x)是关于无穷小量g (x)的高阶无穷小，则 f (x) / g (x)的极限是（C：0 ）15、当x →0时，函数的极限为0，此函数是（B：ln（1+x））第二次作业判断题1、函数在某一点处的导数是一种无穷小比无穷小的极限。
大一微积分期末知识点测试
大一微积分期末知识点测试微积分作为数学的重要分支，是大一学生必须学习和掌握的知识之一。
期末考试将对学生的微积分知识进行综合测试，下面将重点回顾和概述微积分的核心知识点。
一、函数与极限1. 函数的概念及性质在微积分中，函数被定义为一种输入与输出之间的关系。
函数的性质包括定义域、值域、奇偶性等，这些性质为后续的微积分操作提供了基础。
2. 极限与连续性极限是微积分的核心概念之一。
学生需要了解极限的定义、性质和计算方法，包括无穷大极限、无穷小极限等。
连续性是极限的重要应用，学生需要了解连续函数的性质及其在实际问题中的应用。
二、导数与微分1. 导数的定义与性质导数是函数变化率的度量，学生需要掌握导数的定义及运算法则。
此外，还需了解导数的几何意义和物理意义，以及相关概念如导函数、高阶导数等。
2. 微分与微分形式不等式微分是导数的一种应用，学生需要了解微分的概念及其与导数的关系。
微分形式不等式是微积分的常用工具，学生需要了解常见不等式如凸性、单调性、均值定理等。
三、积分与应用1. 不定积分与定积分不定积分是积分的一种形式，学生需要学习积分的计算方法和基本性质。
定积分是微积分的另一重要概念，学生需要了解定积分的定义和计算方法，以及其在面积、质量、物理等实际问题中的应用。
2. 牛顿-莱布尼兹公式与曲线长度牛顿-莱布尼兹公式是微积分的基本定理之一，学生需要掌握公式的应用方法。
曲线长度是微积分的几何应用之一，学生需要了解计算曲线长度的方法及其在曲线几何中的应用。
四、微分方程微分方程是微积分的重要应用之一，学生需要了解微分方程的定义、基本类型和解法。
特别是一阶线性微分方程和二阶常系数线性微分方程的解法，学生需要掌握其基本步骤和应用技巧。
五、一些特殊函数1. 指数函数与对数函数指数函数和对数函数是微积分中的特殊函数，学生需要了解其性质、变换和应用。
2. 三角函数与反三角函数三角函数和反三角函数是微积分中的常见函数，学生需要了解其定义、性质和图像变换，以及在微积分中的应用。
大一上学期微积分练习题带答案
16.设 ,且 ，则 , .
提示：构造函数 ，可以用罗尔定理证明.
17.设 ,且 ，则 , .
提示：构造函数 ，可以用罗尔定理证明.
18.设 , ,且 ，则 , .
提示：构造函数 ,则 可以用罗尔定理证明.
8.若 在点 处不连续，则 不存在.（√）
四、求下列各式的极限
1. ；2． ；3． ；
4#． ；5. ；6． ，7. ；8. ；9. ；
10. ；11. .12. .
13. （答:6）;14. （答: ）;
15. .16. （作变量代换）;17. ;
18.设函数 ,求 .【改】
19.已知 是多项式，且 ，又 ，求 .答案
提示：利用介值定理和中值定理证明， 在 上依次有最小值与最大值 ，
， ，再由罗尔中值定理得证.
12.证明不等式: .
提示：设 在 上利用拉格朗日定理证明.
13.证明不等式: .
提示： 在 上证明最小值是 即可.
14.证明：方程 在 内至少有一个根.
提示：设 在 上用介质定理证明.
15.设 , ,且 ，则 , .
（A） ;( B ) 为任意常数;
( C ) 为任意常数;( D ) 为任意常数.答案 （C）
13．设 在 上定义，在点 连续， ，则 是函数
的（）
（A）第一类间断点；（B）第二类间断点；（C）连续点；（D）间断点，但类型不能确定.答案D
14.设 ,则 是 的（ ）
（A）跳跃间断点;（B）可去间断点;（C）连续点;（D）第二类间断点.答案A
提示：利用拉格朗日中值定理的推论证明设 证 恒成立.
9.证明方程 在 之间至少存在一个实根.
提示：设 在 上利用介质定理证明.注意介质定理的条件.
大一微积分下学期知识点
大一微积分下学期知识点微积分是数学的一门重要分支，包括微分学和积分学。
在大一下学期的微积分课程中，我们将进一步学习微积分的知识和应用。
下面是大一微积分下学期的几个重要知识点：1. 高阶导数和应用在微积分的初级阶段，我们学习了一阶导数的概念和应用。
在大一下学期，我们将学习高阶导数的概念和应用。
高阶导数指的是对函数的导数再次求导。
通过求解高阶导数，我们可以获得更多函数的相关信息，如凸凹性、拐点等。
高阶导数在物理、经济学等领域中有广泛的应用，如加速度、边际效用等概念都与高阶导数有关。
2. 不定积分和定积分的进一步探究在上学期，我们学习了不定积分和定积分的概念。
在大一下学期，我们将进一步深入研究这两个概念，并学习更多的求积分的方法。
例如，分部积分法、换元积分法以及分数积分等。
积分在几何学、物理学等领域中有广泛的应用，如求取曲线下的面积、质心坐标、弧长等。
3. 参数方程和极坐标的运用在上学期，我们主要学习了直角坐标系中的函数和曲线。
在下学期，我们将进一步学习参数方程和极坐标的概念以及相关运算。
参数方程是指曲线上各点的坐标由参数表示，通过参数方程，我们可以更方便地描述一些复杂的曲线。
而极坐标则可以更好地描述环形曲线和极坐标函数。
参数方程和极坐标在物理、工程等领域有着广泛的应用。
4. 偏导数和多元函数的极值在大一下学期，我们将开始接触多元函数的概念和相关运算。
其中，偏导数是一种求取多元函数的导数的方法。
通过偏导数，我们可以研究多元函数在不同自变量上的变化情况。
同时，我们也将学习多元函数的极值问题，包括极大值和极小值的判定方法，如拉格朗日乘数法等。
这对于我们在实际问题中分析和优化函数具有重要意义。
5. 多重积分和曲线积分在大一下学期，我们将进一步学习多重积分和曲线积分的概念和应用。
多重积分是对多元函数在一定区域上的积分，包括二重积分和三重积分。
多重积分在物理、概率等领域中具有广泛的应用，如计算物体的质量、体积、密度等。
大一微积分期末考题
大一微积分期末考题
一、概念题
1.微积分的基本概念是什么？
2.请解释函数的导数和积分的概念。
3.什么是微分和积分运算？
4.请解释微积分中的极限概念。
二、计算题
1.已知函数f(x)=3x^2+2x-5，请计算f(x)的导数和不定积分。
2.计算函数g(x)=∫(3x^2+2x-5)dx。
3.已知函数h(x)=x^3，求函数h(x)的导数和不定积分。
4.如果已知函数f(x)的导数为f’(x)=2x+3，求函数f(x)本身。
三、证明题
1.请证明对于任意实数a，导数函数的导数等于原函数的二阶导数。
2.已知函数f(x)满足f’’(x)=0，证明函数f(x)为一次函数。
3.证明函数f(x)=e^x的导数为它本身。
4.请证明函数f(x)=sin(x)的导数为f’(x)=cos(x)。
四、应用题
1.铁丝制成的矩形围墙面积为A，围墙的长和宽相差d。
请计算出长和宽的值，使得围墙面积最大。
2.已知曲线y=x^2+2x+1在x=0处的切线方程为y=2x+1，求曲线方程所在点的曲率。
3.某人出发从A地骑自行车向B地，沿直线行驶。
已知该人的速度v(t)=5t+1，t为时间。
求该人从A骑到B所需的时间。
4.一球从地面以v0的速度竖直向上抛射，忽略空气阻力。
求该球从抛出到回落的过程中，其高度最高点的坐标。
以上为大一微积分期末考题，希望各位同学在复习时能够重点关注这些考点，并根据自己的实际情况进行准备。
祝各位同学考试顺利！。
大一微积分习题及答案
大一微积分习题及答案大一微积分习题及答案微积分是大一学生必修的一门重要课程，它是数学的一个分支，主要研究函数的变化规律和面积、体积等数学概念。
学习微积分的过程中，习题是不可或缺的一部分，通过解答习题可以巩固所学的知识，并提高解决问题的能力。
下面将介绍几个常见的微积分习题及其答案。
1. 求函数f(x) = x^2在区间[0, 2]上的定积分。
解答：根据定积分的定义，可以将区间[0, 2]划分为若干个小区间，然后计算每个小区间上函数值的乘积，并将其累加起来。
在本题中，我们可以将区间[0, 2]划分为n个小区间，每个小区间的长度为Δx = (2-0)/n。
然后，计算每个小区间上函数值的乘积，即f(xi) * Δx，其中xi为小区间的中点。
最后，将所有小区间上的乘积累加起来，即可得到定积分的近似值。
2. 求函数f(x) = sin(x)在区间[0, π/2]上的定积分。
解答：同样地，我们可以将区间[0, π/2]划分为n个小区间，每个小区间的长度为Δx = (π/2-0)/n。
然后，计算每个小区间上函数值的乘积，即f(xi) * Δx，其中xi为小区间的中点。
最后，将所有小区间上的乘积累加起来，即可得到定积分的近似值。
3. 求函数f(x) = 3x^2 + 2x - 1的不定积分。
解答：不定积分是定积分的逆运算，即求函数的原函数。
在本题中，我们可以使用求导的逆运算来求解不定积分。
首先，对函数f(x)进行求导，得到f'(x) = 6x + 2。
然后，我们可以通过反向求导的方法，找到f(x)的原函数。
在本题中，f(x)的原函数为F(x) = 2x^3 + x^2 - x + C，其中C为常数。
因此，函数f(x)的不定积分为F(x) + C。
通过以上几个习题的解答，我们可以看到微积分的应用范围是非常广泛的。
无论是求解定积分还是不定积分，都需要我们熟练掌握微积分的基本概念和计算方法。
在学习微积分的过程中，我们可以通过大量的习题来提高自己的解题能力，同时也可以加深对微积分知识的理解和掌握。
微积分大一上知识点总结
微积分大一上知识点总结在大一上学期的微积分课程中，我们学习了一些重要的微积分知识点。
以下是对这些知识点进行总结的部分内容。
1. 函数与极限函数的概念是微积分的基础。
我们学习了如何用图像来表示函数，并了解了函数的性质，例如定义域、值域和奇偶性。
在研究函数的过程中，我们引入了极限的概念。
极限描述的是函数在某一点附近的行为。
我们学习了极限的定义和性质，并通过极限的运算法则来计算函数的极限。
2. 导数与微分导数是描述函数变化率的工具。
我们学习了导数的定义，并掌握了一些基本函数的导数公式，如幂函数、指数函数和对数函数。
通过导数，我们可以研究函数的增减性、极值和凹凸性。
微分则是导数的另一种表述形式，它在近似计算中有着重要的应用，如线性化和牛顿法。
3. 积分与定积分积分是导数的逆运算。
我们学习了不定积分的概念和计算方法，如换元积分法和分部积分法。
定积分则可以看作是曲线下面积的计算。
我们了解了定积分的定义和性质，并熟练应用定积分计算函数的面积、长度、体积等物理量。
4. 微分方程微分方程是描述变化率的方程。
我们学习了一阶和二阶微分方程的求解方法，如分离变量法、齐次方程法和特解法。
通过解微分方程，我们可以研究物理、生物和工程等领域的变化过程。
5. 泰勒级数与幂级数泰勒级数是一种用多项式无限和来表示函数的方法。
我们学习了泰勒级数的定义和计算方法，并通过泰勒级数来研究函数的性质，如收敛域、奇偶性和周期性。
幂级数是泰勒级数的一种特殊情况，我们了解了幂级数的收敛性和求和方法。
以上只是微积分大一上学期的部分知识点总结，微积分是一门广泛应用于科学和工程领域的学科，还有很多其他重要的知识点需要深入学习和掌握。
希望这个知识点总结可以帮助你回顾和巩固微积分的基础知识，为后续的学习打下坚实的基础。
大一微积分前五章知识点总结
大一微积分前五章知识点总结微积分是数学的重要分支，它的应用广泛且深远。
作为大一学生，学习微积分是我们深入理解数学和科学的基础。
在大一的微积分课程中，前五章的知识点是我们建立起微积分基础的关键。
本文将对大一微积分前五章的知识点进行总结，帮助大家更好地掌握这些重要的概念和技巧。
第一章：导数导数是微积分的核心概念之一。
它描述了函数的变化率，并且在计算曲线的斜率和速率等问题中起到了重要作用。
在学习导数时，我们需要掌握以下几个重要的知识点：1. 利用极限的定义计算导数：通过求极限的方式，我们可以得到函数的导数。
对于一个函数f(x)，它在点x处的导数可以表示为f'(x)或者dy/dx。
2. 导数的几何意义：导数可以解释为函数曲线在某一点上的切线的斜率。
这个概念有助于我们理解函数的变化趋势以及求解最值等问题。
3. 常见函数的导数：对于常见的函数（如多项式函数、三角函数、指数函数等），我们需要熟悉它们的导数公式，并能够熟练地应用这些公式进行求导。
4. 高阶导数：导数的概念可以推广到高阶导数，表示函数的变化率的变化率。
高阶导数在函数的凹凸性和曲率等问题中有重要的应用。
第二章：微分学微分学是导数的应用。
它帮助我们研究函数的性质和应用，包括函数的极值、最值、增减性以及函数模型的建立等。
下面是关于微分学的几个重要知识点：1. 微分的定义和性质：微分是导数的应用之一，它表示函数在某一点附近的近似变化。
微分的定义和求解方法对于后续的应用问题具有重要意义。
2. 函数的极值与最值：利用导数的概念，我们可以找到函数的极值点（包括最大值和最小值）。
这里需要注意的是，极值点必然是函数导数为零或不存在的点。
3. 函数的增减性：通过对函数的导数进行区间判断，我们可以得到函数的增减性。
这个概念可以帮助我们研究函数的单调性和区间划分等问题。
4. 函数模型的建立：利用微分学的知识，我们可以建立函数模型，描述实际问题中的变化规律。
这对于工程、经济等领域的问题求解具有重要意义。
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4.1
1．求3y x =的驻点，并由3y x =的图形判别驻是否为极值点。
解: 2300y x x '==⇒=，
当x ≠0时，y '>0, 即原函数在0的邻域内是严格单调增的，因此驻点不是极值点。
3．证明方程231
11026x x x +++
=只有一个实根。
证明: 设231
1()1,26f x x x x =+++
则f (x )在[-10,10]上满足 (10)(10)0,f f -<
由零点在在定理，可知 ∃x 0∈(-10,10), s. t. f ' (x 0)=0.
假设f (x )=0有两个不同的实根x 1,x 2,( x 1<x 2), 即f (x 1)=f (x 2)=0,
在区间[x 1, x 2]上函数f (x )满足罗尔中值定理条件, 则
∃ξ∈(x 1,x 2), s. t. f ' (ξ)=0.
即21
()10,2f ξξξ'=++=
由于∆=-1<0, 方程2
1
102ξξ++=没有实数根， 因此相应的ξ不在在。
从而可知原方程只有一个实根。
4．设f (x )在(a ,b )内二阶可导,且f "(x ) ≠0在x ∈(a , b )。
求证: f (x )在(a , b )内至多有一个驻点。
证明: 假设()f x 在(a , b )内至少有两个驻点, 不妨假设有两个驻点x 1, x 2,
则12()()0,''==f x f x
显然在区间[x 1, x 2]上函数f '(x )满足罗尔中值定理条件, 则
∃ξ∈(x 1,x 2), s. t. f "(ξ)=0.
与题设矛盾, 假设不成立,从而可知f (x )在(a , b )内至多有一个驻点。
5．设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，求证: 存在(0,1)ξ∈，使得
[]()()e (1)e (0)f f f f ξξξ-'+=-
. 证明: 设()e (),=x F x f x 则()e ()=x F x f x 在区间[0,1]上满足拉格朗日定理条件,
∃ξ∈(x 1,x 2), s. t. (1)(0)()(10),ξ'-=-F F F
即 [](1)e (0)()e ()(),
ξξξξ=''-==+x f f F x f f 从而，[]()()e (1)e (0)f f f f ξξξ-'+=-。
6．设()f x 在[,]a b 上连续，()f x '在(,)a b 内是常数，证明: ()f x 在[,]a b 上的表达式为
()f x Ax B =+
其中A 、B 是常数。
证明: 设(),(,),'=∀∈f x A x a b 则()f x 在区间[a , x ]上满足拉格朗日定理条件,
因此，∃ξ∈(a , x ), s. t. ()()()(),ξ'-=-f x f a f x a
即 ()(),(,)=-+=+∀∈f x A x A f a A x B x a b
7．设(),()f x g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()(),(,)f x g x x a b ''=∈ 证明: 存在常数C ，使得 ()(),[,f x g x C x a b =+
∈。
证明: 设()()(),[,],=-∀∈F x f x g x x a b 则由题设知
()()()0,(,),'''=-=∀∈F x f x g x x a b
因此在区间[a , b ]上F (x )=C , ()(),[,].=+∀∈f x g x C x a b
8．设x > -1，用拉格朗日定理证明不等式:
ln(1)1x
x x x ≤+≤+
证明: (1) 当x ≥0时，(略)
(2) 当-1<x <0时，在区间[x ,0]上对函数f (x )=ln(1+x )应用拉格朗日定理，有 (0)()[(1)](0),0θθ'
-=--<<f f x f x x 即 l n (1),01,
1(1)θθ+=<<+-x
x x 由011(1)1θ<+<+-<x x 有111,1(1)1θ<
<+-+x x 从而 ,1(1)1θ>>+-+x x x x x 即
l n (1)1x
x x x ≤+≤+。