最优控制复习题
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课后习题解答 最优控制理论与系统 December 27, 2013 2 / 33
x = c1 t + c2
第二章习题
习题2-6
x(1) = 4，x(tf ) = 4，tf 自由且tf > 1。求x∗ (t)使
tf
J=
1
1 2 ˙ (t)] dt [2x(t) + x 2
取极小值 解：这时始端固定，末端受约束的泛函极值问 题，F = 2x(t) + 1 ˙ 2 (t)，x(tf ) = c(tf ) = 4。由欧拉方程 2x ∂L d ∂ d − =2− x ˙ (t) = 2 − x ¨(t) = 0 ∂x dt ∂ x ˙ dt x ˙ (t) = 2t + c1 , 由x(1) = 4得 1 + c1 + c2 = 4 ⇒ c1 + c2 = 3 由x(tf ) = 4得 t2 f + c1 tf + c2 = 4
图 A-1 : 天然气管道网络
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E 2
4 H
G 1 2 3 3 K J 4 L
第四章习题
解：首先由L开始逆向计算每一个压缩机站的最大流通能力，并标注在 站点编号右侧，为了便于区别，同时用加粗线条标注由该站点出发的最 优路径。首先，G，J，I，K四个站点只有一条路径（一种决策）通向下 一个站点，只须标注最大流通能力，无需给出最优路径。 B 3 A 4 C 2 2 2 3 D 3 5 2 1 4 2 F 5 I(5) E 2 H 2 3 3 K(3) 4 G(5) 1 J(4) 4 L
课后习题解答
最优控制理论与系统
December 27, 2013
8 / 33
第三章习题
习题3-8
设一阶系统 x ˙ (t) = u(t) − x(t), x(0) = 2 控制约束为 u(t) ≤ 1。试确定最优控制u∗ (t)，使性能指标
1
J=
0
[2x(t) − u(t)] dt
为极小值。 解：本题为定常系统，积分型性能指标，tf 固定，x(tf )自由的最优控制 问题。取哈密顿函数 H = L + λf = 2x(t) − u(t) + λ(t)[u(t) − x(t)] = [λ(t) − 1]u(t) + [2 − λ(t)]x(t)
u∗ (2) = 1,
x∗ (2) = 0,
J ∗ (2) = 0
当k = 1，有x∗ (2) = 0，且 J (1) = x3 (1) + u(1)x(1) + u2 (1)x(1) = 因此 −3, 1, u=1 u = −1
u∗ (1) = 1,
x∗ (1) = −1,
J ∗ (1) = −3
图 A-2 : 天然气管道网络
课后习题解答
最优控制理论与系统
December 27, 2013
13 / 33
第四章习题
对于站点H，有两条决策路径，代价相等，因此两条路径均为最优路 径。 B 3 A 4 C 2 2 2 3 D 3 5 2 1 4 2 F 5 I(5) E 2 H(6) 2 3 3 K(3) 4 G(5) 1 J(4) 4 L
6 / 33
第三章习题
令哈密顿函数 1 H = 2 + u2 (t) + λ(t)u(t) 2 1 2 = [u (t) + 2λ(t)u(t) + λ2 (t) − λ2 (t) + 4] 2 1 = {[u(t) + λ(t)]2 − λ2 (t) + 4}. 2 使H 取极小的最优控制U ∗ (t) = −λ(t)。由协态方程 ˙ (t) = − ∂H = 0 ⇒ λ(t) = c1 . λ ∂x 由状态方程 x ˙ (t) = u(t) = −c1 ⇒ x(t) = −tc1 + c2 . 因为x(0) = 1，故c2 = 1。 x(t) = 1 − tc1 ⇒ x(tf ) = 1 − tf c1 = 0 ⇒ tf =
(A -5)
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最优控制理论与系统
December 27, 2013
4 / 33
第二章习题
化简得
t2 f − 2tf − 15 = 0
解得tf = 5, −3，因tf > 1舍去−3 将tf 代入(A -4)c1 = −6，c1 代 入(A -1)得c2 = 9 最优极值轨线 x∗ (t) = t2 − 6t + 9 根据第二个勒让德条件 d ∂2L ∂2L − = 0, ∂x2 dt ∂x∂ x ˙ ∂2L =1>0 ∂x ˙2 (A -6)
图 A-6 : 天然气管道网络
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最优控制理论与系统
December 27, 2013
17 / 33
第四章习题
站点A的最上方和最下方路径代价相同，为19。 B(16) 3 A(19) 4 C(15) 2 3 D(13) 2 2 3 5 2 1 4 2 F(10) 5 I(5) E(9) 2 H(6) 2 3 3 K(3) 4 G(5) 1 J(4) 4 L
课后习题解答
3, u=1 27, u Fra bibliotek −1u∗ (3) = 1,
x∗ (3) = 1,
最优控制理论与系统
J ∗ (3) = 3
December 27, 2013 20 / 33
第四章习题
当k = 2，有x∗ (3) = 1，且 J (2) = x3 (2) + u(2)x(2) + u2 (2)x(2) = 因此 0, u = 1 8, u = −1
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第三章习题
因此有
λ(t) − 1 > 0 −1, ∗ u (t) = 不确定, λ(t) − 1 = 0 . 1, λ(t) − 1 < 0 ˙ (t) = − ∂ H = 2 − λ(t) λ ∂x λ(t) = cet + 2
试求最优控制u∗ (t)，使性能指标 J = 2tf + 1 2
tf 0
u2 (t) dt
极小。设tf 自由。 解：此问题属于定常系统、积分型性能指标，tf 自由和末端固定的最优 控制问题。性能指标可写为如下形式： J= 1 2
tf 0
[4 + u2 (t)] dt
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最优控制理论与系统
December 27, 2013
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1 . c1
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第三章习题
因为 c1 = −2与tf =
1 2 2 H ∗ (t∗ f ) = 0 = 2 + c1 − c1 ⇒ c1 = ±2, 2
1 c1 不符，所以c1
= 2。所以有最优控制
u∗ (t) = −2, 最优状态 x∗ (t) = 1 − 2t, t∗ f = 0.5, 以及 J ∗ = 2.
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x(t) = t2 + c1 t + c2 (A -1) (A -2)
December 27, 2013 3 / 33
第二章习题
由起点固定，末端受约束的横截条件 L + (c ˙−x ˙ )T (A -1)代入(A -2)，
2 t2 f + c1 tf − c1 − 1 = 0 ⇒ tf − 1 + c1 (tf − 1) = 0
图 A-4 : 天然气管道网络
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最优控制理论与系统
December 27, 2013
15 / 33
第四章习题
站点D的最佳路径为最下方的一条，代价为13。 B 3 A 4 C 2 3 D(13) 2 2 3 5 2 1 4 2 F(10) 5 I(5) E(9) 2 H(6) 2 3 3 K(3) 4 G(5) 1 J(4) 4 L
可知(A -6)的极值轨线使泛函取极小值。且有泛函极值
tf
J=
1
4 [4(t2 − 6t + 9)]dt = (t − 3)3 3
5
=
1
64 3
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最优控制理论与系统
December 27, 2013
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第三章习题
习题3-3
设一阶系统方程 x ˙ (t) = u(t), x(0) = 1, x(tf ) = 0
图 A-3 : 天然气管道网络
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最优控制理论与系统
December 27, 2013
14 / 33
第四章习题
对于站点E，最佳决策代价为9，站点F两条路径代价相等，均为10。 B 3 A 4 C 2 2 2 3 D 3 5 2 1 4 2 F(10) 5 I(5) E(9) 2 H(6) 2 3 3 K(3) 4 G(5) 1 J(4) 4 L
由协态方程 解得
由tf 固定、末端自由的边界条件有 λ(tf ) = λ(1) = ce + 2 = 0 ⇒ c = − 因此有 2 e
λ(t) = −2et−1 + 2
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第三章习题
由λ(t) − 1 = 0 = 1 − 2et−1 ，解得t ≈ 0.3069 因此有 t > 0.3069 −1, ∗ u (t) = 不确定, t = 0.3069 . 1, t < 0.3069
图 A-8 : 天然气管道网络
共有6中不同的路径组合：
ABDFHJL ACDFHJL
ABDFHKL ACDFHKL
ABDFIKL ACDFIKL
December 27, 2013 19 / 33
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最优控制理论与系统
第四章习题
习题4-3
设离散系统方程 x(k + 1) = x(k ) + u(k ) 性能指标 J=
最优控制理论与系统
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December 27, 2013
第二章习题
习题2-5
x(0) = 1，x(1) = 2，求x∗ (t)使
tf
J=
t0
(1 + x ˙ 2 ) dt
取极值 解：两端固定无约束泛函极值问题，应用欧拉方程。 d ∂ d ∂L − = − 2x ˙ = −2¨ x=0 ∂x dt ∂ x ˙ dt x ˙ = c1 , 代入终端条件 x(0) = 1 ⇒ c2 = 1 x(1) = 2 ⇒ c1 + 1 = 2 ⇒ c1 = 1 则极值轨迹x∗ (t) = t + 1
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December 27, 2013
11 / 33
第四章习题
习题4-1
设拟建设的天然气管道如下图所示，图中A，B，C，· · · ，L表示压缩机 站，各线段上的箭头表示确定的天然气流动方向，线段上的数字则表示 各管段的流通能力。试求该网络从起点A到终点L的最大流通能力及相应 的最优路径。 B 3 A 4 C 2 2 2 3 D 3 5 2 1 4 2 F 5 I
∂L ∂x ˙
tf
1 2 = 2x − x ˙ =0 2
(A -3)
c1 = − 由(A -3)得： (A -4)代入(A -5)得
t2 f −1 tf − 1
= −(tf + 1)
(A -4)
1 2 8 − 2t2 f − 2c1 tf − c1 = 0 2 1 2 8 − 2t2 f + 2(tf + 1)tf − (tf + 1) = 0 2
k=0 3
[x3 (k ) + u(k )x(k ) + u2 (k )x(k )] ≥ 0
式中u(k )限取+1或−1。要求末端状态为x(4) = 2。试求最优控 制u∗ (k )和最优轨线x∗ (k )，k = 0, 1, 2, 3。解：由末端逆向递推， 当k = 3，有 J (3) = x3 (3) + u(3)x(3) + u2 (3)x(3) = 因此
图 A-5 : 天然气管道网络
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最优控制理论与系统
December 27, 2013
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第四章习题
站点B的最佳路径为下方的一条，其代价为16；站点C的最佳路径较上 方的一条，其代价为15。 B(16) 3 A 4 C(15) 2 3 D(13) 2 2 3 5 2 1 4 2 F(10) 5 I(5) E(9) 2 H(6) 2 3 3 K(3) 4 G(5) 1 J(4) 4 L
图 A-7 : 天然气管道网络
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December 27, 2013
18 / 33
第四章习题
至此，各站点最佳路径及其代价已经得到，删去无法到达的路径E-G， 最佳路径如下： B(16) 3 A(19) 4 C(15) 2 3 D(13) 2 2 3 5 2 1 4 2 F(10) 5 I(5) E(9) 2 H(6) 4 G(5) 1 J(4) 2 3 3 K(3) 4 L
x = c1 t + c2
第二章习题
习题2-6
x(1) = 4，x(tf ) = 4，tf 自由且tf > 1。求x∗ (t)使
tf
J=
1
1 2 ˙ (t)] dt [2x(t) + x 2
取极小值 解：这时始端固定，末端受约束的泛函极值问 题，F = 2x(t) + 1 ˙ 2 (t)，x(tf ) = c(tf ) = 4。由欧拉方程 2x ∂L d ∂ d − =2− x ˙ (t) = 2 − x ¨(t) = 0 ∂x dt ∂ x ˙ dt x ˙ (t) = 2t + c1 , 由x(1) = 4得 1 + c1 + c2 = 4 ⇒ c1 + c2 = 3 由x(tf ) = 4得 t2 f + c1 tf + c2 = 4
图 A-1 : 天然气管道网络
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E 2
4 H
G 1 2 3 3 K J 4 L
第四章习题
解：首先由L开始逆向计算每一个压缩机站的最大流通能力，并标注在 站点编号右侧，为了便于区别，同时用加粗线条标注由该站点出发的最 优路径。首先，G，J，I，K四个站点只有一条路径（一种决策）通向下 一个站点，只须标注最大流通能力，无需给出最优路径。 B 3 A 4 C 2 2 2 3 D 3 5 2 1 4 2 F 5 I(5) E 2 H 2 3 3 K(3) 4 G(5) 1 J(4) 4 L
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第三章习题
习题3-8
设一阶系统 x ˙ (t) = u(t) − x(t), x(0) = 2 控制约束为 u(t) ≤ 1。试确定最优控制u∗ (t)，使性能指标
1
J=
0
[2x(t) − u(t)] dt
为极小值。 解：本题为定常系统，积分型性能指标，tf 固定，x(tf )自由的最优控制 问题。取哈密顿函数 H = L + λf = 2x(t) − u(t) + λ(t)[u(t) − x(t)] = [λ(t) − 1]u(t) + [2 − λ(t)]x(t)
u∗ (2) = 1,
x∗ (2) = 0,
J ∗ (2) = 0
当k = 1，有x∗ (2) = 0，且 J (1) = x3 (1) + u(1)x(1) + u2 (1)x(1) = 因此 −3, 1, u=1 u = −1
u∗ (1) = 1,
x∗ (1) = −1,
J ∗ (1) = −3
图 A-2 : 天然气管道网络
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最优控制理论与系统
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13 / 33
第四章习题
对于站点H，有两条决策路径，代价相等，因此两条路径均为最优路 径。 B 3 A 4 C 2 2 2 3 D 3 5 2 1 4 2 F 5 I(5) E 2 H(6) 2 3 3 K(3) 4 G(5) 1 J(4) 4 L
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第三章习题
令哈密顿函数 1 H = 2 + u2 (t) + λ(t)u(t) 2 1 2 = [u (t) + 2λ(t)u(t) + λ2 (t) − λ2 (t) + 4] 2 1 = {[u(t) + λ(t)]2 − λ2 (t) + 4}. 2 使H 取极小的最优控制U ∗ (t) = −λ(t)。由协态方程 ˙ (t) = − ∂H = 0 ⇒ λ(t) = c1 . λ ∂x 由状态方程 x ˙ (t) = u(t) = −c1 ⇒ x(t) = −tc1 + c2 . 因为x(0) = 1，故c2 = 1。 x(t) = 1 − tc1 ⇒ x(tf ) = 1 − tf c1 = 0 ⇒ tf =
(A -5)
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第二章习题
化简得
t2 f − 2tf − 15 = 0
解得tf = 5, −3，因tf > 1舍去−3 将tf 代入(A -4)c1 = −6，c1 代 入(A -1)得c2 = 9 最优极值轨线 x∗ (t) = t2 − 6t + 9 根据第二个勒让德条件 d ∂2L ∂2L − = 0, ∂x2 dt ∂x∂ x ˙ ∂2L =1>0 ∂x ˙2 (A -6)
图 A-6 : 天然气管道网络
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最优控制理论与系统
December 27, 2013
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第四章习题
站点A的最上方和最下方路径代价相同，为19。 B(16) 3 A(19) 4 C(15) 2 3 D(13) 2 2 3 5 2 1 4 2 F(10) 5 I(5) E(9) 2 H(6) 2 3 3 K(3) 4 G(5) 1 J(4) 4 L
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3, u=1 27, u Fra bibliotek −1u∗ (3) = 1,
x∗ (3) = 1,
最优控制理论与系统
J ∗ (3) = 3
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第四章习题
当k = 2，有x∗ (3) = 1，且 J (2) = x3 (2) + u(2)x(2) + u2 (2)x(2) = 因此 0, u = 1 8, u = −1
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第三章习题
因此有
λ(t) − 1 > 0 −1, ∗ u (t) = 不确定, λ(t) − 1 = 0 . 1, λ(t) − 1 < 0 ˙ (t) = − ∂ H = 2 − λ(t) λ ∂x λ(t) = cet + 2
试求最优控制u∗ (t)，使性能指标 J = 2tf + 1 2
tf 0
u2 (t) dt
极小。设tf 自由。 解：此问题属于定常系统、积分型性能指标，tf 自由和末端固定的最优 控制问题。性能指标可写为如下形式： J= 1 2
tf 0
[4 + u2 (t)] dt
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1 . c1
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第三章习题
因为 c1 = −2与tf =
1 2 2 H ∗ (t∗ f ) = 0 = 2 + c1 − c1 ⇒ c1 = ±2, 2
1 c1 不符，所以c1
= 2。所以有最优控制
u∗ (t) = −2, 最优状态 x∗ (t) = 1 − 2t, t∗ f = 0.5, 以及 J ∗ = 2.
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x(t) = t2 + c1 t + c2 (A -1) (A -2)
December 27, 2013 3 / 33
第二章习题
由起点固定，末端受约束的横截条件 L + (c ˙−x ˙ )T (A -1)代入(A -2)，
2 t2 f + c1 tf − c1 − 1 = 0 ⇒ tf − 1 + c1 (tf − 1) = 0
图 A-4 : 天然气管道网络
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第四章习题
站点D的最佳路径为最下方的一条，代价为13。 B 3 A 4 C 2 3 D(13) 2 2 3 5 2 1 4 2 F(10) 5 I(5) E(9) 2 H(6) 2 3 3 K(3) 4 G(5) 1 J(4) 4 L
可知(A -6)的极值轨线使泛函取极小值。且有泛函极值
tf
J=
1
4 [4(t2 − 6t + 9)]dt = (t − 3)3 3
5
=
1
64 3
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第三章习题
习题3-3
设一阶系统方程 x ˙ (t) = u(t), x(0) = 1, x(tf ) = 0
图 A-3 : 天然气管道网络
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第四章习题
对于站点E，最佳决策代价为9，站点F两条路径代价相等，均为10。 B 3 A 4 C 2 2 2 3 D 3 5 2 1 4 2 F(10) 5 I(5) E(9) 2 H(6) 2 3 3 K(3) 4 G(5) 1 J(4) 4 L
由协态方程 解得
由tf 固定、末端自由的边界条件有 λ(tf ) = λ(1) = ce + 2 = 0 ⇒ c = − 因此有 2 e
λ(t) = −2et−1 + 2
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第三章习题
由λ(t) − 1 = 0 = 1 − 2et−1 ，解得t ≈ 0.3069 因此有 t > 0.3069 −1, ∗ u (t) = 不确定, t = 0.3069 . 1, t < 0.3069
图 A-8 : 天然气管道网络
共有6中不同的路径组合：
ABDFHJL ACDFHJL
ABDFHKL ACDFHKL
ABDFIKL ACDFIKL
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最优控制理论与系统
第四章习题
习题4-3
设离散系统方程 x(k + 1) = x(k ) + u(k ) 性能指标 J=
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第二章习题
习题2-5
x(0) = 1，x(1) = 2，求x∗ (t)使
tf
J=
t0
(1 + x ˙ 2 ) dt
取极值 解：两端固定无约束泛函极值问题，应用欧拉方程。 d ∂ d ∂L − = − 2x ˙ = −2¨ x=0 ∂x dt ∂ x ˙ dt x ˙ = c1 , 代入终端条件 x(0) = 1 ⇒ c2 = 1 x(1) = 2 ⇒ c1 + 1 = 2 ⇒ c1 = 1 则极值轨迹x∗ (t) = t + 1
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第四章习题
习题4-1
设拟建设的天然气管道如下图所示，图中A，B，C，· · · ，L表示压缩机 站，各线段上的箭头表示确定的天然气流动方向，线段上的数字则表示 各管段的流通能力。试求该网络从起点A到终点L的最大流通能力及相应 的最优路径。 B 3 A 4 C 2 2 2 3 D 3 5 2 1 4 2 F 5 I
∂L ∂x ˙
tf
1 2 = 2x − x ˙ =0 2
(A -3)
c1 = − 由(A -3)得： (A -4)代入(A -5)得
t2 f −1 tf − 1
= −(tf + 1)
(A -4)
1 2 8 − 2t2 f − 2c1 tf − c1 = 0 2 1 2 8 − 2t2 f + 2(tf + 1)tf − (tf + 1) = 0 2
k=0 3
[x3 (k ) + u(k )x(k ) + u2 (k )x(k )] ≥ 0
式中u(k )限取+1或−1。要求末端状态为x(4) = 2。试求最优控 制u∗ (k )和最优轨线x∗ (k )，k = 0, 1, 2, 3。解：由末端逆向递推， 当k = 3，有 J (3) = x3 (3) + u(3)x(3) + u2 (3)x(3) = 因此
图 A-5 : 天然气管道网络
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第四章习题
站点B的最佳路径为下方的一条，其代价为16；站点C的最佳路径较上 方的一条，其代价为15。 B(16) 3 A 4 C(15) 2 3 D(13) 2 2 3 5 2 1 4 2 F(10) 5 I(5) E(9) 2 H(6) 2 3 3 K(3) 4 G(5) 1 J(4) 4 L
图 A-7 : 天然气管道网络
课后习题解答
最优控制理论与系统
December 27, 2013
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第四章习题
至此，各站点最佳路径及其代价已经得到，删去无法到达的路径E-G， 最佳路径如下： B(16) 3 A(19) 4 C(15) 2 3 D(13) 2 2 3 5 2 1 4 2 F(10) 5 I(5) E(9) 2 H(6) 4 G(5) 1 J(4) 2 3 3 K(3) 4 L