新 3.4.1导数的加法与减法法则
导数四则运算说课稿[1]
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导数四则运算（1）加法与减法法则说课稿一、 说教材（一）地位和作用1. 导数的四则运算是本章的导数计算的一部分，是本章的重点，为后面的学习做铺垫。
2. 教材中对于导数计算及计算法则，均从导数定义出发进行相应的推到。
导数的加法与减法法则均是通过具体实例的计算，归纳出相应的法则。
3. 通过计算法则的学习，要淡化导数计算的技巧，重视导数运算的意义，重视绘图识图的能力及识别导数的几何意义。
（二）说学情分析1. 学生理解导数的加减法则，掌握求导法则的应用。
2. 学生在已有的知识基础上，借助导数定义，对具体两个函数和的求导结果与两个函数导数的对比，归纳出结论。
3. 学生层次参差不齐，个体差异比较明显。
（三）说教学目标1. 知识与技能：了解两函数的和差求导法则，会用求导公式求含有和、差综合运算的函数的导数；能运用导数几何意义求过曲线上一点的切线。
2. 规程与方法：经历有两个函数和、炸运算法则的求导过程，注意培养学生的归纳、类比能力。
3. 情感、态度价值观：通过本节课的学习，提高学生对导数重要性的认识，体会导数在解决问题中的作用。
（四）教学重点：函数和、差导数公式的应用（五）教学难点：函数和、差导数公式的应用（六）教学方法：问题探究、讲练结合二、 说教法通过复习基本初等函数导数公式及倒数的定义，推到两个简单函数和的导数，对比结果和两个简单函数导数的关系，归纳出结论。
重在学生发现规律，形成结论。
通过例题学习，使学生更好的掌握加、减法求导法则，提高求导及应用导数公式的能力。
三、 说学法1. 通过已学知识，推出具体两个简单函数和的导数，引出课题，激发学生学习的动机。
2. 通过推到导数的加法减法法则，归纳结论，在例、习题训练中巩固求导公式的应用。
3. 解决与切线和切点有关的问题时，要先根据题目要求画出简图，然后求解。
四、 说教学过程（一）复习回顾及问题引入1. ()n x '= ()2x '= x '=2.导数的定义：()f x '=0lim x y x → =()()0lim x f x x f x x→+-3.提问：如何求2y x x =+的导数？4.学生利用导数定义求()f x =2x x +的导数。
高中数学知识点精讲精析 导数的加法与减法法则
4.1 导数的加法与减法法则1．如果函数u (x )、v (x )均为可导函数，则有[ u (x )±v (x ) ]ˊ= u ˊ(x ) ± v ˊ(x )2．导数的基本公式（1）幂函数、指数函数、和三角函数、双曲函数还是幂函数、指数函数、和三角函数、双曲函数。
这四类函数的导数仍是同类函数，而对数函数和反三角函数的导数是代数函数。
（2）正弦、正切、反正弦、反正切的导数带正号；余弦、余切、反余弦、反余切的导数带负号。
（3）正弦与正切的导数分别是余弦与正割的平方；余弦与余切的导数分别是正弦与余割的平方但要加负号。
（4）反正弦与反余弦的导数仅差一负号；反正切与反余切的导数也仅差一负号。
（5）双曲正弦、双曲余弦、双曲正切的导数带正号。
3．对求导公式作如下两点说明:(1) 求导公式})]([{'x f ϕ表示函数)]([x f ϕ对自变量x 的导数，即})]([{'x f ϕ=xx f d )]([d ϕ, (2) 求导公式)]([x f ϕ'表示函数)]([x f ϕ对函数)(x ϕ的导数，即)]([x f ϕ'=)(d )]([d x x f ϕϕ.1．已知函数),2()(31)(,2)1(31)(23+∞-=+-=在区间且x f kx x g x k x x f 上为增函数. （1）求k 的取值范围；（2）若函数)()(x g x f 与的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围.【解析】（1）由题意x k x x f )1()(2+-='………………因为),2()(+∞在区间x f 上为增函数所以),2(0)1()(2+∞≥+-='在x k x x f 上恒成立，……即2,1>≤+x x k 又恒成立所以1,21≤≤+k k 故……当k=1时，),2(1)1(2)(22+∞∈--=-='x x x x x f 在恒大于0，故),2()(+∞在x f 上单增，符合题意.所以k 的取值范围为k ≤1.………（2）设312)1(3)()()(23-++-=-=kx x k x x g x f x h )1)(()1()(2--=++-='x k x k x k x x h令10)(==='x k x x h 或得………由（1）知k ≤1，①当k=1时，)(,0)1()(2x h x x h ≥-='在R 上递增，显然不合题意…②当k<1时，x x h x h 随)(),('的变化情况如下表：……………………11分由于)()(,021x g x f k 与欲使>-图象有三个不同的交点， 即方程)()(x g x f =也即0)(=x h 有三个不同的实根故需0312623>-+-k k 即,0)22)(1(2<---k k k 所以,02212⎩⎨⎧>--<k k k 解得31-<k 综上，所求k 的范围为31-<k .……………………14分2．已知某质点的运动方程为32(),s t t bt ct d =+++下图是其运动轨迹的一部分，若1,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2()3s t d <恒成立，求d 的取值范围. 【解析】2()32s t t bt c '=++由图象可知，()s t 在t=1和t=3处取得极值则(1)0,(3)0s s ''==即320627609b c b b c c ++==-⎧⎧⇒⎨⎨++==⎩⎩ 2()31293(1)(3)1,121,4,()2s t t t t t s t '∴=-+=--⎡⎫'∈⎪⎢⎣⎭'∈'∈⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦当t 时,s (t)>0当t (1,3)时,s (t)<0当t (3,4)时,s (t)>0则当t=1时,s(t)取得极大值4+d又s(4)=4+d故t 时的最大值为4+d. 221()3,423413s t d d dd d ⎡⎤<⎢⎥⎣⎦∴+<><-2max 已知在上恒成立s(t)<3d 即4解得或。
3.4.1《导数的加法与减法法则》课件(北师大版选修1-1)
一、选择题（每题5分，共15分） 1.已知曲线y=x6在点P处的切线与直线y= 1 x +3垂直，则此切线
6
的方程为(
)
(A)x+6y+5=0
(C)x-6y+5=0
(B)6x+y+5=0
(D)6x-y+5=0
【解析】选B.设切点坐标为（x0,x06），则切线的斜率 k=6x05=-6,∴x0=-1,∴切点为(-1,1)，∴切线方程为y-1= -6(x+1)即6x+y+5=0.
∵直线过原点，∴（0，0）符合上述方程，
∴ x0ex =ex , x 0 =1,
0 0
∴切点为（1，e），斜率为e. 答案：(1,e) e
三、解答题（6题12分，7题13分，共25分） 6.求下列函数的导数：
xm + n x （1）y=cotx-cosx;(2)y=ex+log3x;(3)y= (n≠0). x
【解析】∵f′(x)=cosx+ 1 ,∴f′(1)=cos1+1. x 答案：1+cos1
5.过原点作曲线y=ex的切线，则切点的坐标为 ______，切线 的斜率为 ______.
【解析】设切点坐标为 (x 0 ,ex ), 则过该切点的直线的斜率为
0
x x ex0 , ∴切线方程为 y-e 0 =e 0 (x-x0 ).
)
2.（5分）曲线y=x3-x与直线y=2x+b相切，则实数b= ______.
【解析】设切点为（x0,x03-x0），则f′(x0)=3x02-1=2, ∴x0=〒1,当x0=1时，切点为（1，0）代入y=2x+b得b=-2, 当x0=-1时，切点为（-1，0），代入y=2x+b得b=2. 答案：〒2
导数的四则运算法则课件
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第三章 变化率与导数
4．求下列函数的导数． (1)y＝x4－x3－x＋3；(2)y＝x22＋x33； (3)y＝x·ax(a>0)；(4)lnxx(x>0)． 解析： (1)y′＝(x4－x3－x＋3)′ ＝(x4)′－(x3)′－(x)′＋3′ ＝4x3－3x2－1.
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第三章 变化率与导数
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第三章 变化率与导数
4．两函数商的求导法则的特例 gfxx′＝f′xgxg－2xfxg′x(g(x)≠0)， 当 f(x)＝1 时，g1x′＝1′·gxg－2x1·g′x＝－gg′2xx (g(x)≠0)． 这是一个函数倒数的求导法则．
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第三章 变化率与导数
2．函数四则运算的求导法则 (1)和(或差)的导数：(u±v)′＝u′±v′， 推广：(u1±u2±…±un)′＝u′1±u′2±…±u′n. (2)积的导数：(u·v)′＝u′v＋uv′， 特别地：(cu)′＝cu′. (3)商的导数：uv′＝u′v－v2 uv′(v≠0)
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第三章 变化率与导数
(3)y′＝(x)′·ax＋x·(ax)′＝ax＋x·axlna ＝ax(1＋xlna)． (4)y′＝lnxx′＝lnx′·x－x2 lnx·x′＝1x·x－x2 lnx ＝1－x2lnx.
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第三章 变化率与导数
求下列函数的导数 (1)y＝x5－3x3－5x2＋6；(2)y＝x22＋x33； (3)f(x)＝1＋sinsixnx；(4)f(x)＝xlg x.
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第三章 变化率与导数
5．两函数积与商求导公式的说明
(1)
类
比
：
(uv)′
＝
u′v
＋
uv′
导数的四则运算法则课件高二下学期数学北师大版(2019)选择性必修第二册
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二 求导法则在实际中的应用
例2 日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需进化费用不断增加，已知
5284
将1t水进化到纯净度为%所需费用（单位：元），为() = 100− (80 < < 100).
求进化到下列纯净度时，所需进化费用的瞬时变化率：
（1） 90% ；（2） 98%
解:净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数；
′ ()
=
5284 ′ 5284’ ×(100−)−5284 (100−)’
(100−) =
(100−)2
（1）因为 ′ (90) =
5284
100−90 2
=
0×(100−)−5284 ×(−1)
(100−)2
（2） ’ = (2 + cos)’ = (2 )’ +(cos)’ = 2 ln2 − sin.
（3） ’ = ( 3 e )’ = ( 3 )’ e + 3 (e )’ = 3 2 e + 3 e .
（4） ’
=
2sin ’ (2sin)’ 2 − 3 ( 2 )’
北师大版
随堂小测
1.已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，则a的值为 ( A )
A．1
B． 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C．－1
D．0
3
2.已知物体的运动方程为s＝t2＋ (t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为 ( D )
19
A. 4
17
B. 4
15
C. 4
13
D. 4
§4 导数的加法与减法法则
一、学习目标知识与技能：1.能根据定义求函数的导数。
2.能根据导数公式和四则运算法则，求简单函数的导数。
过程与方法：通过求导公式的推导，培养学生从具体到抽象，从特殊到一般的概括能力。
情感态度与价值观：发展学生善于质疑，善于交流，善于协作的情感。
二、学习重、难点重点：导数公式和导数的四则运算。
难点：灵活运用导数公式和导数的四则运算进行相关运算三、提炼精要，理清脉络1、温故：基本初等函数的导数公式：（1）='C (C 为常数)； （2）=)'(αx (为常数α)； （3）=)'(sin x ； （4）=)'(cos x ； （5）(tan )'x = ； （6）(cot )'x = ；（7）=)'(x e ； （8）=)'(xa ；（9）=)'(ln x ； （10）=)'(log x a2、探究：用定义求解()2y f x x x ==+的导函数.3、导数的加减运算法则：])()(['±x g x f = 4、如何求解在曲线上某点的切线方程？5、预习自测： P48 T1(1)(2) P44 T1四、典例探究，深化理解例1（P43例1）求下列函数的导数：（1）22x y x =+ （2）ln y x=变式练习（P44）T2求下列函数的导数： （1）x x y 22+= (2) 33x y x=- (3) 12ln y x x =+ (4) 131xy xex =-+例2、（P43例2）求曲线31y x x=-上点（1,0）处的切线方程.变式练习：过原点作曲线x e y =的切线，求切线斜率和切线方程.五、学而练之，消化新知1、设f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若()'14f -=，则a 的值等于( )A.193B.163C.133D.1032、函数2(0)y x x =>的图像在点2(,)k k a a 处的切线与x 轴的交点的横坐标为1k a +，其中*k N ∈，116a =，求135a a a ++的值。
导数的加法与减法法则
2．(2005年高考·江苏卷14)曲线 在点（1，3）处的切线方程是_____________________。
3．已知函数 的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为 .求函数 的解析式.
由于d=2，所以
由在 处的切线方程是 ，知
二、抽象概括四、小结与练习
教学反思
三、实例分析
例1求下列函数的导数：
（1） （2）
分析：可利用四则运算法则予以讨论。
解（1） （2）
例2求曲线 上点（1,0）处的切线方程。
解首先求处函数 在 处的导数
将 代入导函数的3×1+1=4
即曲线 在点（1,0）处的切线斜率为4，从而其切线方程为
即
四、练习（选做）
1．下列求导运算正确的是
A．(x+ B．(log2x =
情感态度、价值观
1．体会从特殊到一般的知识发现过程，养成科学的思维习惯。
2．激发学生的求知欲，使学生树立健康心态。教学重点来自函数和、差导数公式的的应用
教学难点
理解导数的加法与减法法则并能简单应用。
教学方法
观察、、探究、类比、应用举例
学法指导
分析、思考、训练
教具、仪器
配套光盘
教学过程
教师活动
学生活动
备注
故所求的解析式是
五、课堂小结
1、导数的加法与减法法则
2、注重对问题的分析，会计算函数在一点处的切线方程。
六、作业
课本P48，习题2-4，1题，2题
类比分析
建议让学生先独立
完成
切线的求法。
学生
练习
导数的定义与计算方法
导数的定义与计算方法导数是微积分中的重要概念，用于描述函数的变化率。
本文将介绍导数的定义以及计算方法，帮助读者更好地理解导数的概念和运用。
一、导数的定义导数是函数在某一点处的变化率。
数学上，对于函数f(x)，其在点x处的导数记为f'(x)，可以通过以下极限定义得到：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，lim表示极限，h表示自变量x的增量。
这个极限定义可以理解为当自变量x的增量趋近于0时，函数f(x)在点x处的变化率。
二、导数的计算方法导数的计算方法可以根据函数的具体形式来进行。
下面介绍几种常见的计算方法：1. 可导函数的导数计算法则- 常数法则：如果f(x) = c，其中c为常数，则f'(x) = 0。
- 幂函数法则：如果f(x) = x^n，其中n为常数，则f'(x) = n * x^(n-1)。
- 指数函数法则：如果f(x) = e^x，则f'(x) = e^x。
- 对数函数法则：如果f(x) = log_a(x)，其中a为常数且a > 0，则f'(x) = 1 / (x * ln(a))。
- 三角函数法则：如果f(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)；如果f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)。
- 复合函数法则：如果f(x) = g(h(x))，则f'(x) = g'(h(x)) * h'(x)，其中g'表示函数g的导数。
2. 基本初等函数的导数以下是一些基本初等函数的导数计算公式：- (sin x)' = cos x- (cos x)' = -sin x- (tan x)' = sec^2 x- (cot x)' = -csc^2 x- (sec x)' = sec x * tan x- (csc x)' = -csc x * cot x- (log_a x)' = 1 / (x * ln a)- (e^x)' = e^x3. 导数的加法、减法法则如果有两个函数f(x)和g(x)在某点处的导数分别为f'(x)和g'(x)，则它们的和、差、常数倍的导数可以通过以下法则计算：- (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)- (f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)- (k * f(x))' = k * f'(x)，其中k为常数4. 导数的乘法、除法法则如果有两个函数f(x)和g(x)在某点处的导数分别为f'(x)和g'(x)，则它们的乘积和商的导数可以通过以下法则计算：- (f(x) * g(x))' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)- (f(x) / g(x))' = [f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)] / (g(x))^2，其中g(x) ≠ 0以上是导数的一些基本计算方法，能够满足大多数函数的求导需求。
第二章4.1导数的加法与减法法则
§4 导数的四则运算法则 4．1 导数的加法与减法法则[学习目标]1．理解导数的加法与减法法则的推导方法． 2．掌握导数的加法与减法法则．3．会利用导数的加法与减法法则进行简单导数计算． [知识链接]利用导数的和(差)公式进行导数运算的前提条件是什么答 应用的前提条件是：①必须是有限个函数和(差)的形式；②其中每个函数的导数都存在且利用公式能容易求出．[预习导引]1．导数的加法与减法法则 (1)符号语言①[f (x )＋g (x )]′＝f ′(x )＋g ′(x )． ②[f (x )－g (x )]′＝f ′(x )－g ′(x )． (2)文字语言两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差)． 2．两个函数和差的求导法则的推广(1)[af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )(a ，b 为常数)． (2)[f 1(x )±f 2(x )±f 3(x )±…±f n (x )]′＝f ′1(x )±f ′2(x )±f ′3(x )±…±f ′n (x )．要点一 直接利用法则求导数 例1 求下列函数的导数： (1)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x ＋2x 2；(2)y ＝1＋sin x 2cos x2；(3)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(4)y ＝(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1. 解 观察式子的特点，可以先化简再求导． (1)∵y ＝x ＋2＋2x ，∴y ′＝1－2x2.(2)∵y ＝1＋sin x2cos x2＝1＋12sin x ，∴y ′＝12cos x .(3)∵y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3.(4)∵y ＝(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1＝－x ＋1x ，∴y ′＝(－x )′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－12－12＝－12x ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x . 规律方法 对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，在不利于直接应用导数公式时，可适当运用代数、三角恒等变换手段，对函数进行化简，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．跟踪演练1 求下列函数的导数： (1)y ＝15x 5－43x 3＋3x ＋2；(2)y ＝sin 4x 4＋cos 4x4.解 (1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x 5－43x 3＋3x ＋2′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x 5′－⎝ ⎛⎭⎪⎫43x 3′＋(3x )′＋(2)′＝x 4－4x 2＋3. (2)∵y ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin 2x 4＋cos 2x 42－2sin 2x 4cos 2x 4＝1－12sin 2x 2＝1－12·1－cos x 2＝34＋14cos x ， ∴y ′＝－14sin x .要点二 求导法则的逆向应用例2 已知f ′(x )是一次函数，x 2·f ′(x )－(2x －1)·f (x )＝1对一切x ∈R 恒成立，求f (x )的解析式．解 由f ′(x )为一次函数可知，f (x )为二次函数，设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ，把f (x )，f ′(x )代入关于x 的方程得x 2(2ax ＋b )－(2x －1)·(ax 2＋bx ＋c )＝1，即(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c －1＝0，又该方程对一切x ∈R 恒成立，所以⎩⎨⎧a －b ＝0，b －2c ＝0，c －1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，c ＝1，所以f (x )＝2x 2＋2x ＋1.规律方法 待定系数法就是用设未知数的方法分析所要解决的问题，然后利用已知条件解出所设未知数，进而将问题解决．待定系数法常用来求函数解析式，特别是已知具有某些特征的函数．跟踪演练2 设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋1.求y ＝f (x )的函数表达式．解 ∵f ′(x )＝2x ＋1， ∴f (x )＝x 2＋x ＋c (c 为常数)，又∵方程f (x )＝0有两个相等的实根，即x 2＋x ＋c ＝0有两个相等的实根，Δ＝12－4c ＝0，即c ＝14，∴f (x )的表达式为f (x )＝x 2＋x ＋14.要点三 导数的应用例3 已知函数f (x )＝x 3＋x ，求函数在点(2,10)处的切线方程． 解 f ′(x )＝(x 3＋x )′＝(x 3)′＋(x )′＝3x 2＋1. ∴f ′(2)＝3×22＋1＝13. ∴所求切线的斜率是13.∴切线方程为y －10＝13(x －2)， 即13x －y －16＝0.∴所求切线的方程是13x －y －16＝0.规律方法 导数的几何意义是曲线的切线的斜率，对较复杂函数的求导，可利用导数公式和运算法则．跟踪演练3 已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，求曲线y ＝f (x )在x ＝π4处的切线方程．解 ∵f ′(x )＝(sin x ＋cos x )′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x ， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos π4－sin π4＝0.∴曲线y ＝f (x )在x ＝π4处的切线斜率为0. 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，∴所求切线方程为y ＝ 2.1．函数f (x )＝sin x ＋x 的导数是( ) A ．f ′(x )＝cos x ＋1B ．f ′(x )＝cos x －1C ．f ′(x )＝－cos x ＋1D ．f ′(x )＝－cos x ＋x 答案 A2．曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －4 B ．y ＝－3x ＋2 C ．y ＝－4x ＋3 D ．y ＝4x －5答案 B解析 ∵y ′＝3x 2－6x ，∴曲线在点(1，－1)处的切线斜率为－3. ∴切线方程为y ＝－3x ＋2.3．已知f ′(1)＝13，则函数g (x )＝f (x )＋x 在x ＝1处的导数为________． 答案 14解析 g ′(x )＝f ′(x )＋1， ∴g ′(1)＝f ′(1)＋1＝14.4．过原点作曲线y ＝e x 的切线，则切点坐标为________． 答案 (1，e)解析 ∵(e x )′＝e x .设切点坐标为(x 0，e x 0)，则过该切点的切线斜率为e x 0，令＝e x 0e x 0－0x 0－0.即x 0·e x 0＝e x 0 ∴x 0＝1.∴切点坐标为(1，e)．1．导数公式和导数的运算法则是计算导数的重要工具．2．利用导数解决曲线的切线问题要分清所给点是否是切点．一、基础达标1．下列结论不正确的是( ) A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3C ．若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－12x ＋1D ．若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x 答案 D解析 利用求导公式和导数的加、减运算法则求解．D 项，∵y ＝sin x ＋cosx ，∴y ′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x . 2．函数y ＝x －(2x －1)2的导数是( ) A ．3－4x B ．3＋4x C ．5＋8x D ．5－8x 答案 D解析 y ＝x －(4x 2－4x ＋1)＝－4x 2＋5x －1，y ′＝－8x ＋5.3．曲线f (x )＝x 3＋x －2在P 0点处的切线平行于直线y ＝4x －1，则P 0点的坐标为( ) A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)和(－1，－4)D ．(2,8)和(－1，－4)答案 C解析 ∵f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1.4．曲线f (x )＝x 2＋bx ＋c 在点(1,2)处的切线与其平行直线bx ＋y ＋c ＝0间的距离是( )答案 C解析 因为曲线过点(1,2)， 所以b ＋c ＝1，又f ′(1)＝2＋b ，由题意得2＋b ＝－b ， ∴b ＝－1，c ＝2.所以所求的切线方程为y －2＝x －1， 即x －y ＋1＝0，故两平行直线x －y ＋1＝0和x －y －2＝0的距离为d ＝|1＋2|2＝322.5．过点P (－1,2)且与曲线f (x )＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程是______________________________． 答案 2x －y ＋4＝0解析 易求f ′(x )＝6x －4，f ′(1)＝2. ∴所求直线的斜率k ＝2. 则直线方程为y －2＝2(x ＋1)， 即2x －y ＋4＝0.6．某物体做直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t(t 的单位是s ，s 的单位是m)，则它在第4 s 末的瞬时速度应该为________________________． 答案 71316m/s解析 ∵s ′＝2t －3t2，∴v ＝s ′(4)＝8－316＝71316(m/s)．7．已知函数f (x )＝2x ＋x 2－x ，求f ′(1)，f ′(4)． 解 f ′(x )＝(2x ＋x 2－x )′＝(2x )′＋(x 2)′－x ′ ＝2x ln 2＋2x －1， ∴f ′(1)＝2ln 2＋1，f ′(4)＝24·ln 2＋2×4－1＝16ln 2＋7. 二、能力提升8．函数y ＝2x 2－x x ＋3x －2x的导数为( )⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1x 2＋1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－1x 2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫3－1x 2＋1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1x 2－1答案 D 解析 ∵y ＝－x ＋3－，＝3x ＋1x x －1＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1x 2－1.9．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )A ．4B ．－14C ．2D ．－12答案 A解析 依题意得f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4.10．(2013·江西)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________. 答案 2解析 令t ＝e x ，则x ＝ln t ，所以函数为f (t )＝ln t ＋t ，即f (x )＝ln x ＋x ，所以f ′(x )＝1x ＋1，即f ′(1)＝11＋1＝2.11．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a 、b 、c 的值． 解 因为y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)， 所以a ＋b ＋c ＝1.y ′＝2ax ＋b ，曲线在点(2，－1)处的切线的斜率为4a ＋b ＝1. 又曲线过点(2，－1)， 所以4a ＋2b ＋c ＝－1.由⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＝1，4a ＋b ＝1，4a ＋2b ＋c ＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝－11，c ＝9.所以a 、b 、c 的值分别为3、－11、9.12．已知函数f (x )＝ax －6x 2＋b 的图像在点M (－1，f (－1))处的切线方程为x＋2y ＋5＝0.求函数y ＝f (x )的解析式． 解 由M (－1，f (－1))在x ＋2y ＋5＝0上得 －1＋2f (－1)＋5＝0，即f (－1)＝－2. 即－a －61＋b＝－2，① 又f ′(x )＝a ?x 2＋b ?－2x ?ax －6??x 2＋b ?2.由f ′(－1)＝－12得 a ?1＋b ?＋2?－a －6??1＋b ?2＝－12.② 由①②得a ＝2，b ＝3，∴函数f (x )的解析式为f (x )＝2x －6x 2＋3. 三、探究与创新13．设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．(1)解 由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12，①又f ′(x )＝a ＋b x2， ∴f ′(2)＝74，②由①，②得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74.解之得⎩⎨⎧a ＝1b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)证明 设P (x 0，y 0)为曲线上任一点， 由y ′＝1＋3x2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)． 所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0||2x 0＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。
新教材2023版高中数学北师大版选择性必修第二册：导数的四则运算法则课件
解析：由例2知y′＝－
1 x−1
2.
令－
1 x−1
2＝－1，
得x＝0或2(x＝0舍去)，
所以切线方程为x＋y－4＝0.
方法归纳 关于函数导数的应用及其解决方法
应用
求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以 及涉及切线问题的综合应用．
先求出函数的导数，若已知切点，则求出切线斜率、切线方
方法
x−1 − x−1 x−1 2
′x＝－
1 x−1
2，
所即以－y2a＝′|x＝－2＝1.－1，
所以a＝2.
变式探究1 本例条件不变，求该切线到直线ax＋2y＋1＝0的距离．
解析：由例2知切线方程为x＋y－4＝0， 直线方程x＋y＋12＝0， 所以所求距离d＝12+24＝942.
变式探究2 本例条件不变，求与直线y＝－x平行且与曲线相切的直 线方程．
状元随笔 法则1：函数的和(差)的导数
导数的加法与减法法则，可由两个可导函数推广到任意有限个可导 函 数 的 情 形 ( 一 般 化 ) ， 即 [u(x)±v(x)±…±w(x)]′ ＝ u ′(x)±v ′(x)±…±w ′(x)．
法则2：函数的积的导数 (1)(特殊化)当g(x)＝c(c为常数)时，法则2可简化为[cf(x)]′＝c f ′(x)＋ c[f(x)]′＝0＋cf ′(x)＝cf ′(x)，即 [cf(x)]′＝cf ′(x)． (2)由上述结论及法则1可得[af(x)＋bg(x)]′＝af ′(x)＋bg ′(x)，其中a， b为常数． (3) 函 数 的 积 的 导 数 可 以 推 广 到 有 限 个 函 数 的 乘 积 的 导 数 ， 即 [u(x)v(x)×…×w(x)]′ ＝ u ′(x)v(x)×…×w(x) ＋ u(x)v ′(x)×…×w(x) ＋…＋u(x)v(x)×…×w ′(x).
41导数加法和减法法则.doc
§ 4. 1导数的加法与减法法则姓名___________________一、学习目标：1.了解两个函数的和、差的求导公式；2.会运用上述公式，求含有和、差综合运算的函数的导数；3.能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。
二、学习过程(%1)复习【自主及时完成】：1・设函数=/(x),当自变量X从必变到孟时，函数值从/(兀())变到f(x}),函数值y关于X的平均变化率为0 二 /(兀1)—/(兀0)二 /(兀0 + 心)一/(兀0)Ax x x -x0Ar当岳趋于必，即趋于0时，如果平均变化率趋于一个 ___________________ (这个值称为：当筑趋于必时，平均变化率的极限)，那么这个值就是函数y = /(X)在点必的_____________________ 。
在数学上，称瞬时变化率为函数y = /(x)在点師的 _______________ ,通常用符号广(兀。
)或/|_0表示，记作/z(x0)= ____________________________ o2.导数(函数的瞬时变化率)的几何意义：函数y=fix)在x=x0处的导数等于在该点( _________________ , _________ )处的切线的斜率k,即广(兀o)= _____________________________ o3・函数y=/U)在点兀°处切线的方程是________________________________________________ .(1)求曲线在P点处的切线方程的基本步骤：①求出确定P 点的坐标(x(),/(x0))；②求出函数在点忑处的变化率(函数在x= X R处的导数)/z(x0) = lim = k ,得到曲线在点u AVT O Ar(勺,/(勺))的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程.4.导函数【自主完成】一般地，如果一个函数/U)在区间S，〃)上的每一点兀处都有导数，导数值记为_____________ :f (x)=lim _______________ ,则f(X)是关于X的函数，称f (工)为/U)的导函数，通常也简称为导数.5・求导公式常数函数的导数：①若f(x)=C f则f (x)= __________ :幕函数的导数：②若/U)=X"(XWN+),则/‘(x)= ___________ ；三角函数的导数：③若f(x)=sinx,则f (x)= __________ ；④若f(x)=cosx f则f (x)= ___________ ;指数函数的导数：⑤若f(x)=a x t则f (x)= _______________ («>0)；⑥若/(x)=e\则f (x)= ___________ ；对数函数的导数：⑦若f(x) = log«x ,贝U f (x) = __________________________ (<z>0 ,且aHl)；⑧若/(x)=lnx,则f (x)= _________ ・(%1)自主解答课本42页“实例分析”：求函数y=f(x)=x4-%2导函数。
导数运算法则公式加减乘除
导数运算法则公式加减乘除
导数运算法则是微积分中的重要内容，它包括加法法则、减法
法则、乘法法则和除法法则。
下面我将分别介绍这些法则的公式。
1. 加法法则：
如果函数 f(x) 和 g(x) 都是可导的，那么它们的和的导数就
是它们各自的导数之和，即 (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)。
2. 减法法则：
同样地，如果函数 f(x) 和 g(x) 都是可导的，那么它们的差
的导数就是它们各自的导数之差，即 (f(x) g(x))' = f'(x) g'(x)。
3. 乘法法则：
对于两个可导的函数 f(x) 和 g(x)，它们的乘积的导数可以用
以下公式表示，(f(x) g(x))' = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)。
4. 除法法则：
如果函数 f(x) 和 g(x) 都是可导的，且 g(x) 不等于 0，那
么它们的商的导数可以用以下公式表示，(f(x) / g(x))' = (f'(x) g(x) f(x) g'(x)) / (g(x))^2。
这些导数的运算法则是微积分中非常基础和重要的内容，它们
帮助我们计算复杂函数的导数，从而更好地理解函数的变化规律和
性质。
在实际应用中，这些法则可以帮助我们简化计算，提高效率。
希望这些公式能够帮助你更好地理解导数运算法则。
导数运算法则加减法则ppt课件
[ f1(x) f2 (x)
fn (x)] f1(x) 解多项式函数的导数就容易了——
练习
求函数 f (x) 2x3 9x2 6x 4 的导数
f (x) (2x3) (9x2 ) (6x) (4) 和差法则
常函数
2 (x3) 9 (x2 ) 6 (x) 0 数乘法则
3x2
2x
1
23x2 9 2x 61
幂法则 整理
6x2 18x 6
求函数 f (x) 2x 1 的导数
2x
f (x) (2x) ( 1 ) 2 (x) 1 (x1)
2x
2
2
11
1 2
(
x2x)2
2
1 2x2
求函数 f (x) 3 x 1 的导数
f (x) ( 3
x ) (
点( 2, 3 )的切线方程 ( y 3) 3(x 2)
y 3x 9
函数 f (x) 1 5x 2x2
2）何处有水平切线
斜率为零 f (x) 5 4x 0 x5 4
3）何处的斜率为1 f (x) 5 4x 1
x 1
1.25
求函数 f (x) x 2 在一点( 1, 3 )的切线方程 x
1 幂法则 （xn） nxn1 2 数乘法则 [c f (x)] c f (x)
常数的导数为零 (c) 0
多项式函数
f (x) an xn an1xn1
是若干幂函数的和
a0
引入两个或两个以上函数和的导数法则是非常有用的
3 和差法则
两个可导函数和的导数等于这两个函数导数的和
[ f (x) g(x)] f (x) g(x)
( y 3) k(x 2)
点( 2, 3 )处的切线斜率值
导数的加法与减法法则
导数的加法与减法法则一、学习目标1能根据导数公式和四则运算法则，求简单函数的导数2灵活运用导数公式二、课前自学A 预习教材4244P P1．基本初等函数的导数公式：（1）='C (C 为常数)； （2）=)'(αx (为常数α)；（3）=)'(sin x ； （4）=)'(cos x ；（5）=)'(x e ； （6）=)'(x a ；（7）=)'(ln x ； （8）=)'(log x a ；2．导数的加减法运算法则：（1）])()(['±x g x f =；B 小试牛刀教材P44练习2求下列函数的导数231213(1)2(2)3(3)ln 1(4)x x y xx y x y xx y e x x =+=-=+=-+三、合作学习1：求下列函数的导数：(1) x x x f sin )(2+=； （2）3()262cos x g x x x x =--+（3）)3)(2)(1()(+++=x x x x f （4）54212x y e x x=-+2.求曲线sin 1y x =+在点3,62A π⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程3.已知抛物线c bx ax y ++=2通过点P(1,1)，且在点Q(2,-1)处与直线y=x-3相切，求实数a,b,c 的值.四、课堂训练1. 求下列函数的导数:(1) 21cos y x x=+; (2) x y x ln 22-=;(3) 2cos 2sin x x x y ∙-=; (4) )23)(32(2-+=x x y ;2．＊已知在曲线x x x f 3)(3-=上的点P 处的切线平行于直线9x-y=0，求点P 的坐标.3．＊偶函数e dx cx bx ax x f ++++=234)(的图像过点P(0,1)，且在x=1处的切线方程为y=x-2，求)(x f y =的解析式.我的收获: 我的困惑：。
导数的加减法法则
y 2 2 33 x
(1) y 3 x2 2x (2) y 4x log3 x (3) y sin x ex
y 4x ln 4 1 x ln 3
y cos x ex
(4) y x0.5 tan x
y
1 2x
1 cos2
x
2. 使得函数 y 2x3 6x 的导数等于0的 x 值有几
x)
1 x ln a
(a 0, a 1)
(ln x) 1 x
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(ex ) ex 返回
谢谢您的观看！
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即 4x y 4 0 巩固练习
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＊ 导数公式： （1） C 0 (C为常数) （2） (xn ) nxn1 (n R)
（3） (sin x) cos x
（4） (cos x) sin x
（5） (a x ) a x ln a (a 0, a 1)
（6） (loga
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？？
问题：
我们前面学习了求单个函数的导数的方法， 如果给出两个函数并已知它们的导数，如何求它 们的和、差、积、商的导数呢？
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求 f (x) x x2 的导函数。
y (x x) (x x)2 x x2 x 2xx x2
y x 2xx x2
x
x
f (x) g(x) f (x) g(x)
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解答
解：
它们的导数分别
（1）设 f ( x) x2与 g( x) 2x ，则 是？依据是？
f (x) 2x g(x) 2x ln 2
导数公式
由函数和的求导法则
f (x) g(x) f (x) g(x)
数学课件第2章 4.1、4.2 导数的四则运算法则
(2)重力势能的相对性：选择不同的参考面，同一物体在同一 位置的重力势能____不_同_______，但重力势能的差值与参考 平面的选取___无_关________．
(3)Ep＝mgh中，h是相对于参考平面的高度，当物体在参考 平面以上时，重力势能取__正__值________；当物体在参考平 面以下时，重力势能取负__值__________．
(2)公式：Ep＝____m_g_h______. 物体的重力势能等于它所受_____重_力______的大小与所处 ____高__度______的乘积．
(3)单位：焦耳，符号J. (4)矢标性：重力势能是____标_量______,但有正值、负值之分
．
起点
2．重终力点做功的特点：只与运动物体的____________和
做势能．
[想一想] 4.橡皮筋拉的越长，弹性势能越大吗？ 提示：不是.在弹性限度内，橡皮筋拉的越长，弹性势能越大 ;如果超过了橡皮筋的弹性限度，弹性势能就不再随着橡皮筋 的拉长而增大.
对动能的理解
1．动能是标量 动能只与运动物体的质量以及速率有关，而与其运动方向无 关，即动能只有大小，没有方向． 2．动能是状态量 速度是状态量，一定质量的物体，速率不同，动能不同，动 能也是状态量．
[想一想] 2.从枪口射出的子弹杀伤力很大，如果用手直接将 子弹扔向目标，则杀伤力很小，这是为什么呢？乒乓球从对 面高速飞来，我们可以轻易地接住它,如果是铅球高速飞来， 你还敢去接吗？为什么？ 提示：运动物体的能量与速度和质量有关.
三、重力势能
1．重力势能 (1)定义：由物体所处位置的____高__度______决定的能量．
一、功和能的关系
1．能量 (1)概念：一个物体能够对其他物体___做__功_______，我们就 说这个物体具有能量．
高中数学课件- 导数的加法与减法法则 课件(15张)
提出问题
如果已知两个函数的导数,如何求 这两个函数的和与差的导数呢?
动手实践
求函数 f (x) x - x 2 的导函数
自变量一个改变量 x ，则函数值的改变量为
y f (x x) f (x) (x x) - (x x)2 (x - x2 )
x - 2xx - (x)2
相应的平均变化率为
f′(x)＝ αxБайду номын сангаас－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝ cos x
f(x)＝cos x
f′(x)＝ －sin x
f(x)＝ax
f′(x)＝ axln a (a>0)
f(x)＝ex
f′(x)＝ ex
f(x)＝logax
1 f′(x)＝xln a (a>0 且 a≠1)
f(x)＝ln x
1 f′(x)＝ x
(4) y x0.5 tan x
y 1 1 2 x cos2 x
2. 使得函数 y 2x3 6x 的导数等于0的 x 值有几
个？
两个，±1
例2 求曲线 y x3 1 过点 (1,0)的切线方程。
x
分析： 本题中，要求过已知点的切线方程，应求出切线
的斜率，而前面学习了导数的几何意义，导数即是切
线的斜率，所以只要求出函数在 x 1处的导数，即
可写出切线方程。
解： 设 f (x) x3和 g(x) 1 ，
由函数差的求导法则
f
x
(x)
g ( x)
f
(x)
g ( x)
及求导公式可得：
(
x3
1 x
)
(
x3
)
(
1 x