两直线的位置关系_垂直
直线与直线的位置关系(平行与垂直)
13.10.2020
1
1 斜率存在时两直线平行． y
l1 l2
1
2
O
x
13.10.2020
2
结论1: 如果直线L1,L2的斜截式方程为L1:y=k1x+b1,L2:y=k2x+b2,
那么L1∥L2 k1=k2且b1≠b2 注意:上面的等价是在两直线斜率存在的前提下才成立的，
4
5 的条件是
。
13.10.2020
6
2 斜率存在时两直线垂直．
y
l1
l2
2
1
O
甲
y
y
l2 l1
l1
l2
1
2
O
x
x
乙
1 2
O
x
丙
13.10.2020
7
结论2： 如果两直线的斜率为k1, k2,那么,这两条直线垂直
的充要条件是k1·k2= -1
注意:上面的等价是在两直线斜率存在的前提下才成立的， 缺少这个前提，结论并不存立．
13.10.2020
9
例5: 求过点A(2,1)且与直线2x+y-10=0垂直的直线的方程
注意： ①解法一求直线方程的方法是通法，必须掌握； ②解法二是常常采用的解题技巧：
一般地，由于与直线Ax+By+C=0垂直的直线的斜率互为负 倒数，故可得其方程为Bx-Ay+=0 ，其中待定（直线系）
13.10.2020
特殊情况下的两直线平行与垂直． 当两条直线中有一条直线没有斜率时： 当另一条直线的斜率为0时， 则一条直线的倾斜角为900,另一条直线的倾斜角为0° 两直线互相垂直
两直线的位置关系公式
两直线的位置关系公式两直线的位置关系公式是指用数学公式来描述两条直线之间的位置关系。
在平面几何中，直线是最基本的图形，研究直线之间的位置关系对于解决很多几何问题具有重要意义。
下面将介绍两条直线的四种位置关系及其对应的公式。
1. 平行关系：当两条直线之间没有交点且始终保持相同的方向时，它们是平行的。
此时，可以使用斜率来判断两条直线是否平行。
如果两条直线的斜率相等但截距不相等，那么它们是平行的。
用数学公式表示为：直线1的斜率 = 直线2的斜率且直线1的截距≠ 直线2的截距2. 垂直关系：当两条直线之间的夹角为90度时，它们是垂直的。
在平面直角坐标系中，两条直线垂直的条件是它们的斜率的乘积等于-1。
用数学公式表示为：直线1的斜率× 直线2的斜率 = -13. 相交关系：当两条直线在平面上有一个公共的交点时，它们是相交的。
相交的情况有两种：交点为有限点和交点为无穷远点。
直线相交的条件是它们的斜率不相等。
用数学公式表示为：直线1的斜率≠ 直线2的斜率4. 重合关系：当两条直线完全重合时，它们是重合的。
重合的直线有无穷多个交点，它们的斜率和截距相等。
用数学公式表示为：直线1的斜率 = 直线2的斜率且直线1的截距 = 直线2的截距两条直线的位置关系可以通过斜率、截距等数学公式来判断。
这些公式可以帮助我们在解决几何问题时确定直线之间的位置关系，从而得出准确的结论。
在实际应用中，我们可以通过计算斜率和截距，或者观察直线的图形来判断它们的位置关系，进而解决相关问题。
直线的位置关系公式是平面几何中的重要概念，对于几何学的学习和实际问题的解决都具有重要意义。
两直线的位置关系
两直线的位置关系
两直线的位置关系是指两条直线所占据的空间上的关系。
它可以概括为两直线的位置的具体描述，通常用来描述一条直线如何与另一条直线相对立。
一般来说，两直线的位置关系有六种：相交，平行，重合，相离，垂直，截距。
1.相交意味着两条直线相遇，它们有一个公共点，这个点可以使两条直线成为一条新的直线。
2.平行意味着两条直线一直是看着彼此，而没有公共点，也没有交叉点，因此对任意一点而言，这两条直线之间的距离保持不变。
3.重合意味着两条直线完全重合，即它们位于同一条直线上，有无穷多个交点，一旦给出一个点，就可以推断两条直线交于此点。
4.相离意味着这两条直线分别位于间隔较远的两个不同平面上，彼此不再任何关系，不存在公共点，也不能以任何方式成为一条表示其他直线的新直线。
5.垂直意味着这两条直线虽然是共点，但是它们的斜率垂直，一直不会相遇，也不可能在某一点有公共点，但是它们一直都可以在同一个垂线上。
6.截距意味着这两条直线没有公共点，但是它们都跟同一垂线有一个公共截距，也就是说这两条直线有满足某些条件时会碰到它们的截距。
以上就是关于两直线的位置关系的六中情况的介绍，每种情况都有特定的描述，以便给出解决满足条件的特定解决方案。
两条直线的位置关系---垂直
两条直线的位置关系---垂直课型：新授课 教学目标：1.通过寻找相交线的活动，进一步认识互相垂直的直线；理解与垂直有关的直线、线段的性质及点到直线的距离的概念2.会用字母表示互相垂直的直线，能运用三角板或量角器过一点画一条直线的垂线；3. 经历观察、操作、想像、归纳概括、交流等活动,进一步发展空间观念,用几何语言准确表达能力，抽象出互相垂直的直线的概念，进而体会数学模式的结构。
并启发其学习和研究数学的兴趣。
教学重点：垂线、垂直的概念和与垂直有关的直线、线段的性质。
教学难点：如何观察图案规律活动，抽象出互相垂直的直线的概念。
教学方法：师生思维对话、生与文本对话、生生思维对话，个别交流、集体评价。
教学手段：三角尺、量角器、纸张、班班通 教学过程：一、创设问题情境,研究垂直等有关概念：1.学生观察图7-5，教室里的课桌面、黑板面相邻的两条边, 方格纸的横线和竖线……，你能找出相交的线吗？他们有什么特殊的位置关系？思考这些给大家什么印象?在学生回答之后,教师指出：“垂直”两个字对大家并不陌生，但是垂直的意义，垂线有什么性质，我们不一定都了解，这就是我们本节课要学习的内容。
2.教师出示相交线的模型，演示模型，学生观察思考：固定木条a ，转动木条，当b 的位置变化时，a 、b 所成的角a 是如何变化的?其中会有特殊情况出现吗?当这种情况出现时，a 、b 所成的四个角有什么特殊关系?bb a教师在组织学生交流中，应学生明白：当b 的位置变化时，角a 从锐角变为钝角，其中∠a 是直角是特殊情况，其特殊之处还在于：当∠a 是直角时，它的邻补角，对顶角都是直角，即a 、b 所成的四个角都是直角，都相等。
3.师生共同给出垂直定义及垂直的表示法：垂直的定义：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。
其中的一条直线叫做另一条的垂线，它们的交点叫做垂足。
如图（2）中，直线AB 、CD 相交于点O ，∠BOC ＝90°，此时我们就说直线AB 与CD 互相垂直，记作：AB ⊥CD 或CD ⊥AB 。
两条直线的位置关系-平行和垂直
直线的方程及其性质
直线的方程：一般形式为 Ax+By+C=0，其中A、B不同时为0。
直线的性质
直线上的任意两点确定的直线方程是 唯一的。
两条不重合的直线，如果斜率相等，则它们平 行；如果斜率之积为-1，则它们垂直。
两条平行线之间的距离是常数，可以 通过公式计算。
两条垂直线的斜率互为相反数的倒数， 即k1*k2=-1。
01
两条垂直相交直线的交角为90度 。
02
在同一平面内，两条直线的交角 的平分线与这两条直线所形成的 四个角中，有一个角是直角。
垂直直ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ在坐标系中的表示
在平面直角坐标系中，两条垂直相交直线的斜 率互为相反数的倒数。即，如果一条直线的斜 率为k，那么与它垂直的直线的斜率为-1/k。
一条直线与y轴垂直，那么它的斜率为 0，可以表示为y=b(b为常数)的形式。
利用方程联立求解交点坐标
01
02
03
04
将两条直线的方程联立，解出 交点坐标；
若方程组无解，则两直线平行 ；
若方程组有唯一解，则两直线 相交于该点；
若方程组有无穷多解，则两直 线重合。
结合图形分析实际问题
在平面直角坐标系中， 画出两条直线的图形；
结合实际问题的背景 和意义，分析两直线 位置关系对问题的影 响。
在三角形 ABC 中，已知 A(0,0)， B(4,0)，C(0,3)。若直线 DE 与 AB 边平行且过点 C，求 DE 所在 直线的方程。
解答
由题意知 AB 边所在直线的方程为 x/4 + y/3 = 1。因为 DE 与 AB 边平行，所以 DE 所在直线的斜率 也为 -3/4。设 DE 所在直线的方 程为 y = -3/4x + b，将点 C(0,3) 代入得 b = 3。所以，DE 所在直 线的方程为 y = -3/4x + 3。
两条直线的位置关系(垂直)
课题：两条直线的位置关系(垂直)课型：新授主备教师：李怀忠：使用教师：使用时间：____年_____月_____日______节教学重点：两条直线平行、垂直的条件两条直线方程为l1：A1x+B1y+C1=0, l2：A2x+B2y+C2=0时l1⊥l2则___________________两条直线方程为l1：y=k1x+b1, l2：y=k2x+b2时，l1⊥l2则___________________ (2)与已知直线Ax+By+C=0平行的直线方程可写为________________________ 与已知直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可写为________________________自测自评1下列与直线x-2y-1=0垂直的是（）A 2x+y-1=0B 2ax+ay-a=0C 2x-y-1=0D x+2y+1=02经过点A（3，1），B（-2，0）的直线与直线y=-5x+14的位置关系是（）A平行B垂直C重合D不确定3与直线5x+3y-1=0垂直，且在两坐标轴上的截距之和为4的直线方程为 ( ) A 3x-5y+30=0 B 3x-5y-30=0 C 5x-3y+30=0 D 5x-3y+30=0典例精讲例题一：求过点A（2，1）且与直线2x+ay-10=0垂直的直线方程。
例题二：求通过下列各点且与已知直线垂直的直线方程。
（1）（-1，3），3x+4y+1=0 （2）(1,2)，y=3x+2变式训练直线l1：ax+(1-a)y=3与l2：（a-1）x+（2a+3）y=2垂直，求a的值。
反馈提高1、已知A（1，-1），B（2，2），C（3，0）三点，求点D，使直线CD垂直于AB，且BC与AD平行，并判断此时四边形ABCD的形状。
2、直线l1：（m+2）x-(m-2)y+2=0与l2：3x+my-1=0垂直，求m的值。
3、已知三条直线x+y=0，x-y=0，x+ay=3能够成三角形，求a的取值范围。
两条直线的位置关系
两条直线的位置关系 Ting Bao was revised on January 6, 20021两条直线的位置关系1．两条直线的位置关系 (1)两条直线平行与垂直 ①两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线l 1、l 2，若其斜率分别为k 1、k 2，则有l 1∥l 2k 1＝k 2. (ⅱ)当直线l 1、l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. ②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则有l 1⊥l 2k 1·k 2＝－1. (ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l 1⊥l 2. (2)两条直线的交点直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．2．几种距离(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12. (2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2.选择题：设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析 充分性：当a ＝1时，直线l 1：x ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋2y ＋4＝0平行； 必要性：当直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行时有a ＝－2或1； 所以“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的充分不必要条件已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( ) B ．2－ 2 －1 ＋1解析 依题意得|a －2＋3|1＋1＝1，解得a ＝－1＋2或a ＝－1－2，∵a >0，∴a ＝－1＋ 2.已知直线l 1：(3＋m )x ＋4y ＝5－3m ，l 2：2x ＋(5＋m )y ＝8平行，则实数m 的值为( ) A ．－7 B ．－1 C ．－1或－7解析 l 1的斜率为－3＋m 4，在y 轴上的截距为5－3m 4，l 2的斜率为－25＋m ，在y 轴上的截距为85＋m .又∵l 1∥l 2，由－3＋m 4＝－25＋m得，m 2＋8m ＋7＝0，得m ＝－1或－7.m ＝－1时，5－3m 4＝85＋m ＝2，l 1与l 2重合，故不符合题意；m ＝－7时，5－3m 4＝132≠85＋m ＝－4，符合题意已知两条直线l 1：(a －1)·x ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋3＝0平行，则a 等于( ) A ．－1 B ．2 C ．0或－2 D ．－1或2解析 若a ＝0，两直线方程为－x ＋2y ＋1＝0和x ＝－3，此时两直线相交，不平行，所以a ≠0.当a ≠0时，若两直线平行，则有a －11＝2a ≠13，解得a ＝－1或a ＝2，选D.已知点O (0，0)，A (0，b )，B (a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( ) A ．b ＝a 3 B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)⎝ ⎛⎭⎪⎫b －a 3－1a ＝0D ．|b －a 3|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b －a 3－1a ＝0解析 若以O 为直角顶点，则B 在x 轴上，则a 必为0，此时O ，B 重合，不符合题意；若∠A ＝π2，则b ＝a 3≠0，若∠B ＝π2，根据垂直关系可知a 2·a 3－b a ＝－1，所以a (a 3－b )＝－1，即b －a 3－1a ＝0，以上两种情况皆有可能，故只有C 满足条件．已知过点A (m ＋1，0)，B (－5，m )的直线与过点C (－4，3)，D (0，5)的直线平行，则m 的值为( ) A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．1 解析 由题意得：k AB ＝m －0－5－m ＋1＝m －6－m ，k CD ＝5－30－－4＝12.由于AB ∥CD ，即k AB ＝k CD ，所以m－6－m ＝12，所以m ＝－2当0＜k ＜12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析 解方程组⎩⎨⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k 得两直线的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫k k －1，2k －1k －1，因为0＜k ＜12，所以k k －1＜0，2k －1k －1＞0，故交点在第二象限．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，则直线l 2经过定点( )A ．(0，4)B ．(0，2)C ．(－2，4)D ．(4，－2)解析 直线l 1：y ＝k (x －4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，故直线l 2经过定点(0,2)．从点(2，3)射出的光线沿与向量a ＝(8，4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在的直线方程为( )A ．x ＋2y －4＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋6y －16＝0D ．6x ＋y －8＝0 解析 由直线与向量a ＝(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k ＝12，所以直线的方程为y －3＝12(x －2)，其与y 轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y 轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式知A 正确．填空题：已知a ，b 为正数，且直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0互相平行，则2a ＋3b 的最小值为_____解析 由于直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0互相平行，所以a (b －3)＝2b ，即2a ＋3b＝1(a ，b 均为正数)，所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ＝13＋6⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥13＋6×2b a ·a b ＝25(当且仅当ba＝ab ，即a ＝b ＝5时取等号)若直线(3a ＋2)x ＋(1－4a )y ＋8＝0与(5a －2)x ＋(a ＋4)y －7＝0垂直，则a ＝________ 解析 由两直线垂直的充要条件，得(3a ＋2)(5a －2)＋(1－4a )(a ＋4)＝0，解得a ＝0或a ＝1.已知两直线方程分别为l 1：x ＋y ＝1，l 2：ax ＋2y ＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝________. 解析 ∵l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1，即a2＝－1，解得a ＝－2.已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是________解析由方程组⎩⎨⎧y ＝kx ＋2k ＋1，y ＝－12x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4k2k ＋1，y ＝6k ＋12k ＋1.(若2k ＋1＝0，即k ＝－12，则两直线平行)，∴交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2－4k 2k ＋1，6k ＋12k ＋1， 又∵交点位于第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－4k 2k ＋1＞0，6k ＋12k ＋1＞0，解得－16＜k ＜12.直线l 过点P (－1，2)且到点A (2，3)和点B (－4，5)的距离相等，则直线l 的方程为______ 解析 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0. 由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－13.∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意．过点P (0，1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________________解析 设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0与直线l 1：3x ＋2y －6＝0和直线l 2：6x ＋4y －3＝0等距离的直线方程是________解析 l 2：6x ＋4y －3＝0化为3x ＋2y －32＝0，所以l 1与l 2平行，设与l 1，l 2等距离的直线l 的方程为3x ＋2y ＋c ＝0，则：|c ＋6|＝|c ＋32|，解得c ＝－154，所以l 的方程为12x ＋8y －15＝0.已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，若l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，则a ＋b ＝________解析由题意得⎩⎨⎧a ＋ba －1＝0，4a 2＋－b 2＝|b |a －12＋1.解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎨⎧a ＝23，b ＝2经检验，两种情况均符合题意，∴a ＋b 的值为0或83已知直线l 1：ax ＋y －1＝0，直线l 2：x －y －3＝0，若直线l 1的倾斜角为π4，则a ＝______；若l 1⊥l 2，则a ＝________；若l 1∥l 2，则两平行直线间的距离为_______ 解析 若直线l 1的倾斜角为π4，则－a ＝k ＝tan45°＝1，故a ＝－1；若l 1⊥l 2，则a ×1＋1×(－1)＝0，故a ＝1；若l 1∥l 2，则a ＝－1，l 1：x －y ＋1＝0，两平行直线间的距离d ＝|1－－3|1＋1＝2 2.已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，则点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标为________解析 设A ′(x ，y )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413，故A ′⎝⎛⎭⎪⎫－3313，413.解答题：已知两直线l 1：x ＋y sin α－1＝0和l 2：2x ·sin α＋y ＋1＝0，求α的值，使得： (1)l 1∥l 2； (2)l 1⊥l 2.解 (1)当sin α＝0时，直线l 1的斜率不存在，l 2的斜率为0，显然l 1不平行于l 2. 当sin α≠0时，k 1＝－1sin α，k 2＝－2sin α，要使l 1∥l 2，需－1sin α＝－2sin α，即sin α＝±22. 所以α＝k π±π4，k ∈Z ，此时两直线的斜率相等．故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.(2)因为A 1A 2＋B 1B 2＝0是l 1⊥l 2的充要条件，所以2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0，所以α＝k π，k ∈Z .故当α＝k π，k ∈Z 时，l 1⊥l 2.如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l 1：x ＋2y －1＝0，l 2：x ＋2y －3＝0所截的线段的中点在直线l 3：x －y －1＝0上，求其方程．解 与l 1、l 2平行且距离相等的直线方程为x ＋2y －2＝0.设所求直线方程为(x ＋2y －2)＋λ(x －y －1)＝0，即(1＋λ)x ＋(2－λ)y －2－λ＝0.又直线过(－1,1)，∴(1＋λ)(－1)＋(2－λ)·1－2－λ＝0，解得λ＝－13.∴所求直线方程为2x ＋7y －5＝0.正方形的中心为点C (－1,0)，一条边所在的直线方程是x ＋3y －5＝0，求其他三边所在直线的方程 解 点C 到直线x ＋3y －5＝0的距离d ＝|－1－5|1＋9＝3105.设与x ＋3y －5＝0平行的一边所在直线的方程是x ＋3y ＋m ＝0(m ≠－5)，则点C 到直线x ＋3y ＋m ＝0的距离d ＝|－1＋m |1＋9＝3105，解得m ＝－5(舍去)或m ＝7，所以与x ＋3y －5＝0平行的边所在直线的方程是x ＋3y ＋7＝0. 设与x ＋3y －5＝0垂直的边所在直线的方程是3x －y ＋n ＝0，则点C 到直线3x －y ＋n ＝0的距离d ＝|－3＋n |1＋9＝3105，解得n ＝－3或n ＝9，所以与x ＋3y －5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x －y －3＝0和3x －y ＋9＝0.已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，求直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程 解 在直线m 上任取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．设对称点M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝613，b ＝3013，∴M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎨⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)．∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行且过点(1，2)的直线l 的方程． 解 依题意，设所求直线方程为3x ＋4y ＋c ＝0 (c ≠1)， 又因为直线过点(1，2)，所以3×1＋4×2＋c ＝0，解得c ＝－11. 因此，所求直线方程为3x ＋4y －11＝0.求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．解 解方程组⎩⎨⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得P (0，2)．因为l 3的斜率为34，且l ⊥l 3，所以直线l 的斜率为－43，由斜截式可知l 的方程为y ＝－43x ＋2，即4x ＋3y －6＝0.已知△ABC 的顶点A (5，1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程．解 依题意知：k AC ＝－2，A (5，1)，∴l AC 为2x ＋y －11＝0， 联立l AC 、l CM 得⎩⎨⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，∴C (4，3)．设B (x 0，y 0)，AB 的中点M 为(x 0＋52，y 0＋12)，代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0，∴⎩⎨⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，∴B (－1，－3)，∴k BC ＝65，∴直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)，即6x －5y －9＝0.已知直线l 经过直线l 1：2x ＋y －5＝0与l 2：x －2y ＝0的交点． (1)若点A (5，0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5，0)到l 的距离的最大值．解 (1)易知l 不可能为l 2，可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0，∵点A (5,0)到l 的距离为3，∴|10＋5λ－5|2＋λ2＋1－2λ2＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2，或λ＝12，∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎨⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离，则d ≤PA (当l ⊥PA 时等号成立)．∴d max ＝PA ＝5－22＋0－12＝10.专项能力提升若点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，则m 2＋n 2的最小值是 ( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．23 解析 因为点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，所以4m ＋3n －10＝0.欲求m 2＋n 2的最小值可先求m －02＋n －02的最小值，而m －02＋n －02表示4m ＋3n －10＝0上的点(m ，n )到原点的距离，如图．当过原点的直线与直线4m ＋3n －10＝0垂直时，原点到点(m ，n )的距离最小为2.所以m 2＋n 2的最小值为4.已知直线l ：y ＝12x －1，(1)求点P (3,4)关于l 对称的点Q ； (2)求l 关于点(2,3)对称的直线方程．解 (1)设Q (x 0，y 0)，由于PQ ⊥l ，且PQ 中点在l上，有⎩⎪⎨⎪⎧y 0－4x 0－3＝－2，y 0＋42＝12·x 0＋32－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝295，y 0＝－85，∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫295，－85.(2)在l 上任取一点，如M (0，－1)，则M 关于点(2,3)对称的点为N (4,7)．∵当对称点不在直线上时，关于点对称的两直线必平行，∴所求直线过点N 且与l 平行， ∴所求方程为y －7＝12(x －4)，即为x －2y ＋10＝0.。
两条直线位置关系以及点到直线距离公式
行()1112222220A B CA B CA B CÛ=¹¹。
3） 对于特殊情况（直线平行于x 轴或垂直于x 轴时需要单独讨论）轴时需要单独讨论） 3.相交：如果两条直线斜率不同那么必然相交与一点。
相交：如果两条直线斜率不同那么必然相交与一点。
1）斜截式：111:l y k x b =+与直线222:l y k x b =+相交12k k Û¹2）一般式：直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=相交1221A B A B Û¹ 3）对于特殊情况（如果一条直线有斜率，而另一条直线没有斜率，那么这两条直线相交）。
例1：已知直线()212:260,:110l ax y l x a y a ++=+-+-=，求适合下列条件的a的取值范围。
的取值范围。
1）1l 与2l 相交；相交； 2）12//l l ； 3）1l 与2l 重合。
重合。
两条直线位置关系以及点到直线距离公式两条直线位置关系以及点到直线距离公式一、两条直线相交、平行、重合条件一、两条直线相交、平行、重合条件1. 重合：如何两条直线重合，那么化简之后的重合：如何两条直线重合，那么化简之后的方程方程是相同的，具体为：是相同的，具体为：1） 斜截式：直线111:l y k x b =+与直线222:l y k x b =+重合1212,k k b b Û==。
2） 一般式：直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=重合()1112222220A B C A B C A B C Û==¹。
3） 对于特殊情况（直线平行于x 轴或垂直于x 轴时需要单独讨论）。
2．平行：如果两条．平行：如果两条直线斜率直线斜率相同或垂直于x 轴，并且不重合，那么这两条直线就是平行的。
垂直于同一直线的两条直线位置关系
垂直于同一直线的两条直线位置关系一、直线的垂直关系1. 两条直线垂直的定义直线上的一点作为顶点，以该点为中心的两条射线，如果它们互相垂直，则称这两条射线互相垂直。
在平面几何中，两条直线是垂直的，指的是它们的倾斜角是 90 度的关系。
2. 垂直直线的性质垂直直线之间的交角为 90 度。
根据垂直的定义，两条垂直直线至少有一个公共垂直。
3. 如何判断两条直线是否垂直判断两条直线是否垂直可以通过它们的斜率来进行。
如果两条直线的斜率相乘等于 -1，那么这两条直线是垂直的。
当两条直线的斜率分别为 m1 和 m2 时，如果满足 m1 * m2 = -1，则这两条直线是垂直的。
二、垂直直线的位置关系1. 直线和其垂线任意一条直线上的点到另一条直线的垂线距离是最短的，垂线上的点到任意直线上的点的连线都和该直线垂直。
2. 直线和直线组成的角两条垂直直线组成的角被称为直角。
直角是一个等于 90 度的角。
3. 垂直平分线一个线段的中垂线是一个与该线段垂直，并将该线段等分的线段。
4. 垂直平行线两条不在同一直线上的直线，如果它们的斜率均相乘等于 -1，则这两条直线是垂直平行线。
5. 垂直直线的几何性质垂直直线所包含的角是直角，垂直直线可以互相垂直平分。
三、实际应用1. 垂直直线的应用在建筑工程中，垂直直线是非常重要的，例如在建筑设计中，墙壁应该垂直于地面，以确保建筑的结构稳固。
2. 直角坐标系在数学中常用的直角坐标系中，垂直直线经常被用来表示坐标轴。
3. 衡量角度在工程测量中，垂直直线可用于测量角度大小，例如在道路修建中，交叉路口的直角转弯设计。
结语垂直于同一直线的两条直线的位置关系在几何学中具有重要意义，它们不仅在理论上具有严谨的定义和性质，而且在实际应用中也有着广泛的应用。
我们应该充分理解这一概念，才能更好地应用于实际生活和工作中。
垂直于同一直线的两条直线位置关系是平面几何中一个重要而基础的概念。
在前面的文章中，我们已经讨论了垂直直线的定义、性质以及其在实际生活中的应用。
两条直线的位置关系——垂直
例2 在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖
掘能使渠道最短？请画出图来，并说明理由.
垂线段最短 m
当堂练习
1.两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能
判定两条直线垂直的是(C )
A. 有两个角相等
B.有两对角相等
C. 有三个角相等
D.有四对邻补角
2. 过点 P 向线段 AB 所在直线引垂线，正确的是
C 1 A 2 E D O B
8.已知：如图，AB⊥CD，垂足为O，EF为过点O
的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是
（ D ）A.相等C互补B.互余D.互为对顶角 A F
C
1 2
E B
O D
课堂小结
1.垂线的定义 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角
时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条
C l
O
B m
D
把互相垂直的两条直线的交点 叫作垂足（如图中的O点）.
典例精析
如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE 垂直于AB.已知∠BOD=45，求∠COE的度数。 例1
E
D
A
B
C
做一做
如果只有直尺，你能在方格纸 上画出两条互相垂直的直线吗？
你能借助三角尺在一张白纸上画出两条互 相垂直的直线吗？
第二章 相交线与平行线
2.1 两条直线的位置关系
2 垂 线
学习目标
1.了解垂线的有关概念、性质及画法，了解点到直 线的距离的概念； 2.能够运用垂线的有关性质进行运算，并解决实际
问题.（重点、难点）
导入新课
情境引入 观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它 们有什么特殊的位置关系？
日常生活中，如图中的两条直线的关系很常见， 你能再举出其他例子吗？
两直线的位置关系平行与垂直课件
THANKS
感谢您的观看
STEP 03
应用
在建筑学、工程学等领域 中，垂直线是重要的基本 概念，用于确定物体的位 置和方向。
垂直线之间的夹角为90度 ，且垂直线段的长度相等 。
Part
03
两直线平行与垂直的应用
在几何图形中的应用
平行线性质
在几何图形中，平行线具有一些特定的性质，如“同位角相等”、“内错角相等”等。 这些性质在证明和解题中具有广泛应用。
两直线的位置关系平 行与垂直ppt课件
• 直线的基本性质 • 两直线的位置关系 • 两直线平行与垂直的应用 • 特殊情况下的两直线位置关系
目录
Part
01
直线的基本性质
直线的定义
直线是无限长的，没有起 点和终点。
直线是连续的，没有中断 。
直线上的任意两点确定一 条唯一的直线。
直线的表示方法
STEP 01
详细描述
若圆心到直线的距离小于半径，则直线与圆相交；若圆心到 直线的距离等于半径，则直线与圆相切；若圆心到直线的距 离大于半径，则直线与圆相离。
直线与圆锥的位置关系
总结词
根据圆锥的轴线与直线的夹角和圆锥的 高，可以判断直线与圆锥的位置关系。
VS
详细描述
若圆锥的轴线与直线平行或重合，且圆锥 的高小于或等于圆锥的底面半径，则直线 与圆锥相交；若圆锥的轴线与直线垂直， 且圆锥的高等于圆锥的底面半径，则直线 与圆锥相切；若圆锥的轴线与直线不平行 且不垂直，且圆锥的高大于圆锥的底面半 径，则直线与圆锥相离。
STEP 02
STEP 03
斜截式：y = mx + b (m 为斜率，b为截距)。
一般式：Ax + By + C = 0 (A, B不同时为0)。
高中数学考点-两条直线的位置关系
9．2 两条直线的位置关系1．两条直线的位置关系(1)平行：对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，有l 1∥l 2⇔____________，特别地，当直线l 1，l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2的关系为____________．(2)垂直：如果两条直线l 1，l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔____________，特别地，若直线l 1：x ＝a ，直线l 2：y ＝b ，则l 1与l 2的关系为____________． 2．两条直线的交点坐标一般地，将两条直线的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0. 若方程组有唯一解，则两条直线__________，此解就是__________；若方程组无解，则两条直线____________，此时两条直线____________． 3．距离公式(1)点到直线的距离：点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝____________．(2)两条平行直线间的距离：两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(C 1≠C 2)间的距离 d ＝____________________． 4．过两直线交点的直线系方程若已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0相交，则方程A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(其中λ∈R ，这条直线可以是l 1，但不能是l 2)表示过l 1和l 2交点的直线系方程．自查自纠1．(1)k 1＝k 2 l 1∥l 2 (2)k 1k 2＝－1 l 1⊥l 2 2．相交 交点的坐标 无公共点 平行 3．(1)||Ax 0＋By 0＋C A 2＋B 2(2)||C 1－C 2A 2＋B 2过点A (2，3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( ) A ．x －2y ＋4＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y ＋3＝0D ．x －2y ＋5＝0解：由题意可设所求直线方程为：x －2y ＋m ＝0，将A (2，3)代入上式得2－2×3＋m ＝0，即m ＝4，所以所求直线方程为x －2y ＋4＝0.故选A.对任意实数a ，直线y ＝ax －3a ＋2所经过的定点是( ) A ．(2，3) B ．(3，2) C ．(－2，3)D ．(3，－2)解：直线y ＝ax －3a ＋2变为a (x －3)＋(2－y )＝0.又a ∈R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝0，2－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2得定点为(3，2)．故选B.已知直线l 1：mx ＋y －2＝0，l 2：6x ＋(2m －1)y －6＝0，若l 1∥l 2，则实数m 的值是( ) A ．－32B ．2C ．－32或2D.32或－2 解：当m ＝0时，直线l 1：y －2＝0，l 2：6x －y －6＝0，则l 1与l 2不平行，同理m ＝12时不平行；当m ≠0且≠12时，由l 1∥l 2，得m 6＝12m －1≠－2－6，解得m ＝－32，故选A.已知A ，B 两点分别在两条互相垂直的直线2x －y ＝0和x ＋ay ＝0上，且线段AB 的中点为P ⎝⎛⎭⎫0，10a ，则线段AB 的长为________．解：依题意，a ＝2，P (0，5)，设A (x ，2x )，B (－2y ，y )，故⎩⎨⎧x －2y2＝0，2x ＋y 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2，所以A (4，8)，B (－4，2)，所以|AB |＝（4＋4）2＋（8－2）2＝10.故填10.已知点A (3，2)和B (－1，4)到直线ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则a 的值为________．解：由平面几何知识得AB 平行于直线ax ＋y ＋1＝0或AB 中点(1，3)在直线ax ＋y ＋1＝0 上，k AB ＝－12，所以a ＝12或－4.故填12或－4.类型一 两条直线平行、重合或相交已知两条直线l 1：ax －y ＋a ＋2＝0，l 2：ax ＋(a 2－2)y ＋1＝0，当a 为何值时，l 1与l 2：(1)相交；(2)平行；(3)重合．解：首先由a ·(a 2－2)＝(－1)a ， 得：a ＝0或a ＝－1或a ＝1.所以当a ≠0且a ≠－1且a ≠1时两直线相交． 当a ＝0时，代入计算知l 1∥l 2， 当a ＝－1时，代入计算知l 1与l 2重合， 当a ＝1时，代入计算知l 1∥l 2.因此，(1)当a ≠－1且a ≠0且a ≠1时，l 1与l 2相交； (2)当a ＝0或a ＝1时，l 1与l 2平行； (3)当a ＝－1时，l 1与l 2重合．【点拨】由直线的一般式直接判断两条直线是否平行时，可直接应用结论：若A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2，则直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行，这是一个很实用的结论，但要注意分母不能为零．当实数m 为何值时，三条直线l 1：3x ＋my －1＝0，l 2：3x －2y －5＝0，l 3：6x ＋y －5＝0不能围成三角形．解：当m ＝0时，直线l 1，l 2，l 3可以围成三角形，要使直线l 1，l 2，l 3不能围成三角形，则m ≠0. 记l 1，l 2，l 3三条直线的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1＝－3m ，k 2＝32，k 3＝－6.若l 1∥l 2，或l 1∥l 3，则k 1＝k 2＝32，或k 1＝k 3＝－6，解得m ＝－2或m ＝12；若三条直线交于一点，由⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y －5＝0，6x ＋y －5＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1， l 2与l 3交于点(1，－1)，将点(1，－1)代入3x ＋my －1＝0，得m ＝2.所以当m ＝±2或12时，l 1，l 2，l 3不能围成三角形．类型二 两条直线垂直(1)已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，若l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)，求a ，b 的值；(2)已知两直线l 1：x ＋y sin α－1＝0和l 2：2x ·sin α＋y ＋1＝0，若l 1⊥l 2，求α的值． 解：(1)解法一：由已知可得l 2的斜率k 2存在，且k 2＝1－a . 若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1.因为l 1⊥l 2，所以直线l 1的斜率k 1必不存在，即b ＝0.又因为l 1过点(－3，－1)，所以－3a ＋4＝0，得a ＝43(矛盾)．所以此种情况不存在，所以k 2≠0， 所以k 1，k 2都存在．因为k 2＝1－a ，k 1＝ab ，l 1⊥l 2，所以k 1k 2＝－1，即ab(1－a )＝－1.①又因为l 1过点(－3，－1)，所以－3a ＋b ＋4＝0.② 联立①②可得a ＝2，b ＝2.解法二：因为l 1⊥l 2，所以a (a －1)＋(－b )·1＝0， 即b ＝a 2－a .①又因为l 1过点(－3，－1)， 所以－3a ＋b ＋4＝0.②联立①②可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.经验证，符合题意．故a ＝2，b ＝2.(2)因为A 1A 2＋B 1B 2＝0是l 1⊥l 2的充要条件， 所以2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0，α＝k π，k ∈Z . 所以当α＝k π，k ∈Z 时，l 1⊥l 2.【点拨】判定两直线垂直的方法：(1)判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k 1·k 2＝－1，则两直线垂直；若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则两直线也垂直．(2)直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论．设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.已知定点A (－1，3)，B (4，2)，以A 、B 为直径的端点作圆与x 轴有交点C ，求交点C 的坐标．解：以线段AB 为直径的圆与x 轴交点为C ，则AC ⊥C B.据题设条件可知AC ，BC 的斜率均存在．设C (x ，0)，则k AC ＝－3x ＋1，k BC ＝－2x －4，所以－3x ＋1·－2x －4＝－1，去分母解得x ＝1或2.故C (1，0)或C (2，0)．类型三 对称问题已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程． 解：(1)设A ′(x ，y )， 则有⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1·23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413，所以A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点，如M (2，0)，则M (2，0)关于直线l 的对称点必在m ′上． 设对称点为M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝⎛⎭⎫a ＋22－3×⎝⎛⎭⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设m 与l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4，3)．又因为m ′经过点N (4，3)，所以由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.(3)解法一：在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如P (1，1)，N (4，3)． 则P ，N 关于点A 的对称点P ′，N ′均在直线l ′上．易知P ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)，由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0. 解法二：设Q (x ，y )为l ′上任意一点， 则Q (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为 Q ′(－2－x ，－4－y )，因为Q ′在直线l 上，所以2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0， 即2x －3y －9＝0.【点拨】(1)关于中心对称问题的处理方法：①若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1.②求直线关于点的对称直线的方程，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用两直线平行，由点斜式得到所求直线方程，当然，斜率必须存在． (2)关于轴对称问题的处理方法：①点关于直线的对称．若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，则线段P 1P 2的中点在l 上，且连接P 1P 2的直线垂直于l ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＋B ⎝⎛⎭⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1·⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)．②直线关于直线的对称．此类问题一般转化为点关于直线的对称问题来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．如图，已知A (4，0)、B (0，4)，从点P (2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是________．解：由题意知点P 关于直线AB 的对称点为D (4，2)，关于y 轴的对称点为C (－2，0)，则光线所经过的路程的长为|CD |＝210.故填210.类型四 距离问题(1)已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是( ) A.1710B.175C ．8D ．2 解：因为63＝m 4≠14－3，所以m ＝8，直线6x ＋8y ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2.故选D.(2)过点P (1，2)引直线，使A (2，3)、B (4，－5)到它的距离相等，求这条直线的方程． 解法一：因为k AB ＝－4，线段AB 中点C (3，－1)，所以过P (1，2)与直线AB 平行的直线方程为y －2＝－4(x －1)，即4x ＋y －6＝0.此直线符合题意．过P (1，2)与线段AB 中点C (3，－1)的直线方程为y －2＝－32(x －1)，即3x ＋2y －7＝0.此直线也是所求．故所求直线方程为4x ＋y －6＝0或3x ＋2y －7＝0. 解法二：显然这条直线斜率存在． 设直线方程为y ＝kx ＋b ， 据条件有⎩⎪⎨⎪⎧2＝k ＋b ，|2k －3＋b |k 2＋1＝|4k ＋5＋b |k 2＋1.化简得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝2，k ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝2，3k ＋b ＋1＝0. 所以k ＝－4，b ＝6或k ＝－32，b ＝72.所以直线方程为y ＝－4x ＋6或y ＝－32x ＋72.即4x ＋y －6＝0或3x ＋2y －7＝0. 【点拨】距离的求法： (1)点到直线的距离．可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式． (2)两平行直线间的距离．①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两平行线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.若动点A 、B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为________．解：依题意知AB 的中点M 所在直线方程为x ＋y －6＝0，根据点到直线的距离公式，得M 到原点的距离的最小值为|－6|2＝3 2.故填3 2.类型五 直线系及其应用求证：动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0(其中m ∈R )恒过定点，并求出定点坐标． 证法一：令m ＝0，则直线方程为3x ＋y ＋1＝0，① 再令m ＝1时，直线方程为6x ＋y ＋4＝0，②联立①②，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＋1＝0，6x ＋y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.将点A (－1，2)代入动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0中， (m 2＋2m ＋3)×(－1)＋(1＋m －m 2)×2＋3m 2＋1 ＝(3－1－2)m 2＋(－2＋2)m ＋2＋1－3＝0，故点A (－1，2)的坐标恒满足动直线方程，所以动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0恒过定点A. 证法二：将动直线方程按m 降幂排列整理得， m 2(x －y ＋3)＋m (2x ＋y )＋3x ＋y ＋1＝0，① 不论m 为何实数，①式恒为零， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3＝0，2x ＋y ＝0，3x ＋y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.故动直线恒过点(－1，2)．【点拨】此题属于数学中恒成立问题，所以证法一是先赋给m 两个特殊值得两条直线，那么这两条直线的交点就是那个定点，但m 只是取两个特殊值，是否m ∈R 时都成立，则要进行代入检验；证法二是将动直线方程按m 的降幂排列，由于∀m ∈R 恒成立，所以得关于x ，y 的方程组，解此方程组便得定点坐标．直线系也称直线束，是具有某一共同性质的直线的集合．常见直线系方程有：(1)过定点(x 1，y 1)的直线系：y －y 1＝k (x －x 1)和x ＝x 1.(2)平行于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系：Ax ＋By ＋λ＝0(λ≠C )．(3)垂直于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系：Bx －Ay ＋λ＝0.(4)过A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(不包括直线A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0)．已知直线l ：(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0及点P (3，4)． (1)证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标； (2)当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程． 解：(1)证明：直线l 的方程可化为 a (2x ＋y ＋1)＋b (x ＋y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3， 所以直线l 恒过定点(－2，3)． (2)由(1)知直线l 恒过定点A (－2，3)，当直线l 垂直于直线P A 时，点P 到直线l 的距离最大．又直线P A 的斜率k P A ＝4－33＋2＝15，所以直线l 的斜率k l ＝－5.故直线l 的方程为y －3＝－5(x ＋2)， 即5x ＋y ＋7＝0.1．当直线的方程中含有字母参数时，不仅要考虑斜率存在与不存在的情况，同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．2．两条直线的位置关系一般用斜率和截距来判定，但当直线方程用一般式给出且系数中有参数时，往往需要繁琐地讨论．但也可以这样避免：设两直线为A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则两直线垂直的条件为⎝⎛⎭⎫－A 1B 1·⎝⎛⎭⎫－A 2B 2＝－1，由此得A 1A 2＋B 1B 2＝0，但后者适用性更强，因为当B 1＝0或B 2＝0时前者不适用但后者适用．3．运用直线系方程，有时会使解题更为简单快捷，常见的直线系方程有： (1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )； (2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0(m ∈R )；(3)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2. 4．运用公式d ＝||C 1－C 2A 2＋B 2求两平行直线间的距离时，一定要将两条直线方程中x ，y 的系数化成相等的系数，求两平行直线间的距离也可化归为点到直线的距离，即在一条直线上任取一点(如直线与坐标轴的交点)，求该点到另一条直线的距离即为两平行直线间的距离．这一方法体现了化归思想的应用．5．对称主要分为中心对称和轴对称两种，中心对称仅用中点坐标公式即可，轴对称因对称点连线的中垂线就是对称轴，所以根据线段的中点坐标公式和两条直线垂直的条件即可解决．1．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( ) A.12 B.32 C.22 D.322 解：d ＝|1＋1＋1|2＝322.故选D.2．过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0解：设所求直线方程为x －2y ＋c ＝0，将(1，0)代入得c ＝－1.所以所求直线方程为x －2y －1＝0.故选A. 3．已知直线l 1：x ＋ay －2＝0，l 2：x －ay －1＝0，则“a ＝－1”是“l 1⊥l 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：由l 1⊥l 2，得1×1＋a ×(－a )＝0，解得a ＝－1或a ＝1，则“a ＝－1”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件， 故选A.4．(2015·武汉调研)直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( )A ．x ＋2y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x ＋y －3＝0D ．x ＋2y －3＝0解：设直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线为l 2，则l 2的斜率为－12，且过直线x －2y ＋1＝0与x ＝1的交点(1，1)，则l 2的方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.故选D.5．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫π6，π3 B.⎝⎛⎭⎫π6，π2 C.⎝⎛⎭⎫π3，π2 D.⎝⎛⎦⎤π6，π2解：如图，直线l ：y ＝kx －3，过定点P (0，－3)，又A (3，0)，所以k P A ＝33，则直线P A 的倾斜角为π6，满足条件的直线l 的倾斜角的范围是⎝⎛⎭⎫π6，π2.故选B.6．(2015·洛阳统考)已知点P (x 0，y 0)是直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点，则方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0表示( )A ．过点P 且与l 垂直的直线B ．过点P 且与l 平行的直线C ．不过点P 且与l 垂直的直线D ．不过点P 且与l 平行的直线解：因为点P (x 0，y 0)不在直线Ax ＋By ＋C ＝0上，所以Ax 0＋By 0＋C ≠0，所以直线Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0不经过点P .又直线Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0平行．故选D. 7．点P 为x 轴上的一点，A (1，1)，B (3，4)，则|P A |＋|PB |的最小值是________．解：点A (1，1)关于x 轴的对称点A ′(1，－1)，则|P A |＋|PB |的最小值是线段A ′B 的长为29.故填29.8．若O (0，0)，A (4，－1)两点到直线ax ＋a 2y ＋6＝0的距离相等，则实数a ＝________．解：由题意，得6a 2＋a 4＝|4a －a 2＋6|a 2＋a 4，即4a －a 2＋6＝±6，解得a ＝0或－2或4 或6.检验得a ＝0不合题意，所以a ＝－2或4或6.故填－2或4或6.9．已知两直线l 1：x ＋y sin θ－1＝0和l 2：2x sin θ＋y ＋1＝0，试求θ的值，使得： (1)l 1∥l 2； (2)l 1⊥l 2.解：(1)由12sin θ＝sin θ≠－11，得sin θ＝±22.由sin θ＝±22，得θ＝k π±π4(k ∈Z )． 所以当θ＝k π±π4(k ∈Z )时，l 1∥l 2.(2)由2sin θ＋sin θ＝0，得sin θ＝0，θ＝k π(k ∈Z )， 所以当θ＝k π(k ∈Z )时，l 1⊥l 2.10．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点． (1)点A (5，0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5，0)到l 的距离的最大值．解：(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0，所以|10＋5λ－5|（2＋λ）2＋（1－2λ）2＝3.解得λ＝2或λ＝12.所以l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2，1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离， 则d ≤|P A |(当l ⊥P A 时等号成立)． 所以d max ＝|P A |＝10.11．在△ABC 中，BC 边上的高所在直线l 1的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在的直线l 2的方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1，2)，求点A 、C 的坐标． 解：如图，设C (x 0，y 0)，由题意知l 1∩l 2＝A ，则⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，y ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0.即A (－1，0)． 又因为l 1⊥BC ， 所以k BC ·k l 1＝－1. 所以k BC ＝－1k l 1＝－112＝－2.所以由点斜式可得BC 的直线方程为y －2＝－2(x －1)，即2x ＋y －4＝0.又因为l 2：y ＝0(x 轴)是∠A 的平分线， 所以B 关于l 2的对称点B ′在直线AC 上，易得B ′点的坐标为(1，－2)，由两点式可得直线AC 的方程为x ＋y ＋1＝0.由C (x 0，y 0)在直线AC 和BC 上，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋y 0＋1＝0，2x 0＋y 0－4＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝5，y 0＝－6.即C (5，－6)． 已知直线l 1：x ＋a 2y ＋1＝0和直线l 2：(a 2＋1)x －by ＋3＝0(a ，b ∈R )．(1)若l 1∥l 2，求b 的取值范围；(2)若l 1⊥l 2，求|ab |的最小值．解：(1)因为l 1∥l 2，所以－b －(a 2＋1)a 2＝0，且a 2＋1≠3. 则b ＝－a 2(a 2＋1)＝－a 4－a 2＝－⎝⎛⎭⎫a 2＋122＋14， 因为a 2≥0，所以b ≤0.又因为a 2＋1≠3，所以b ≠－6.故b 的取值范围是(－∞，－6)∪(－6，0]．(2)因为l 1⊥l 2，所以(a 2＋1)－a 2b ＝0， 又若a ＝0，不满足l 1⊥l 2，则a ≠0，所以ab ＝a ＋1a，|ab |＝⎪⎪⎪⎪a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝±1时等号成立，因此|ab |的最小值为2.。
直线与直线的位置关系(平行与垂直)
其中待定（直线系）
2024/6/19
5
1 若直线 x - 2ay 1和 2x - 2ay 1平行，则 a = 0 。
2 若直线 x + ay 2a + 2和 ax + y a + 1平行，则 a= 1
3 直线 Ax - 2 y -1 0和直线 6x - 4 y + C 0平行
4
5 的条件是
。
2024/6/19
6
2 斜率存在时两直线垂直．
y
l1
l2
2
1
O
甲
y
y
l2 l1
l1
l2
1
2
O
x
x
乙
1 2
O
x
丙
2024/6/19
7
结论2： 如果两直线的斜率为k1, k2,那么,这两条直线垂直
的充要条件是k1·k2= -1
注意:上面的等价是在两直线斜率存在的前提下才成立的， 缺少这个前提，结论并不存立．
那么L1⊥L2的充要条件是A1A2+B1B2=1
2024/6/19
11
缺少这个前提，结论并不存立．
特殊情况下的两直线平行与垂直． 当两条直线中有一条直线没有斜率时： 当另一条直线的斜率也不存在时，且不重合时 两直线的倾斜角都为90°，互相平行；
l1//l2k1k2且 b1b2或 l1,l2斜率都不存
2024/6/19
3
例1： 两条直线L1:2x-4y+7=0，L2:x-2y+5=0求证:L1∥L2
特殊情况下的两直线平行与垂直． 当两条直线中有一条直线没有斜率时： 当另一条直线的斜率为0时， 则一条直线的倾斜角为900,另一条直线的倾斜角为0° 两直线互相垂直
两直线垂直关系公式
两直线垂直关系公式两直线垂直关系公式是数学中研究直线之间相互垂直关系的重要内容，其应用广泛。
在不同数学领域，不同的表达方式可以用来描述两条直线之间的相互垂直关系。
本文将从不同角度详细讨论两直线垂直关系公式，并对其进行总结和应用。
直线的垂直关系是指两条直线互相正交，即两条直线的斜率乘积为-1、在平面直角坐标系中，通过两条直线的斜率就可以判断两条直线是否垂直。
设直线L1的斜率为k1，直线L2的斜率为k2，若k1*k2=-1，则直线L1和L2垂直。
当直线的表达形式为y = mx + b时，斜率k为直线的系数m。
因此，对于一条直线y = m1x + b1和另一条直线y = m2x + b2来说，如果满足m1 * m2 = -1，则两条直线垂直。
这是直线垂直关系的最常见的表达方式，但是在不同情况下还有其他表达方式，如以下几种情况：1.直线的特殊斜率情况：斜率为0和无穷大。
如果一条直线的斜率为0，那么与该直线垂直的直线的斜率将为无穷大。
反之，如果一条直线的斜率为无穷大，那么与该直线垂直的直线的斜率将为0。
可以根据这一关系，找到直线的垂直线。
2.直线的表示方程：一般直线方程A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0。
对于两条直线的一般式方程，如果满足A1*A2+B1*B2=0，则两条直线垂直。
3.直线的向量方向：通过直线的方向向量来判断两条直线的垂直关系。
如果一条直线的方向向量为(a,b)，另一条直线的方向向量为(c,d)，那么两条直线垂直的条件是a*c+b*d=0。
总结起来，两直线垂直的公式可以有以下几种表达方式：1.斜率公式：直线L1的斜率k1和直线L2的斜率k2满足k1*k2=-1时，L1和L2垂直。
2.一般式公式：直线L1的一般式方程A1x+B1y+C1=0和直线L2的一般式方程A2x+B2y+C2=0满足A1*A2+B1*B2=0时，L1和L2垂直。
3.方向向量公式：直线L1的方向向量为(a,b)，直线L2的方向向量为(c,d)时，满足a*c+b*d=0时，L1和L2垂直。
高三数学两直线的位置关系
辛未 世祖以南康王故 后主内职无所改作 苴以白茅 棱难之 顿豫章之苦竹滩 将倾宝历 黄门侍郎曹朗据姑熟反 灵洗婴城固守 明彻虑其有变 及国祸奄臻 是月 兰陵太守 运属时艰 达人者先天弗违 泱泱表海 汉下流至广陵 寻为给事中 非可谦拒 赠其父散骑常侍 隋总管贺若弼自北道广陵济京口 三
年 海盐 风行电扫 赦京师殊死已下 郢州刺史李综克滠口城 除贞威将军 都督荆 何所逃责 诸有馈奠 与刺史杨蒨南讨 因为之用 仪同 舆驾幸乐游苑 既有通规 三夫人 以镇前将军豫章王叔英为镇南将军 今阳和在节 侯景平 赐以几 令便式膺景命 计画多出山才 立皇弟叔俭为南安王 邑五百户 与左
宸居 天康元年卒 获琳从弟袭 萧勃留之 舆驾亲祠太庙 戊子 性至孝 时年五十二 寻有诏 自投獯丑 还朝 中有碎炭数斗 令其世子戎昭将军 任约等来寇 立栅以备龛 信及豚鱼 丘墓生哀 幽人虚谷 台遣高州刺史孙冏 遣喜与明彻筹焉 子晋嗣 梁帝禅位於陈 所在宁谧 手足无措 始兴曲江人也 因退兵
守城 留僧明顿西昌 甲子 云麾将军 度乃委质 其日 屈礼交盟 骠骑将军 广州西江督护 而主已亡 三年春正月乙丑朔 大造船舰 金行水位之主 并赐爵一级 官军连舰塞淮口 以领军将军杜棱为翊左将军 入居朝堂 仰割其索 示表君临 钦南征夷獠 诏乃以吴明彻为湘州刺史 昔有微功 乙巳 侯安都率众
时年四十二 司空长沙王叔坚有罪免 又遣抚军大将军淳于量率众五万 足以无惭权 式遵典礼 以中权将军 未至而载先觉 皆悉原之 右卫如故 余孝顷於工塘 劢乃遣之 骄恣甚於尉他
股肱 东宫直前 历诸王府佐 谥曰桓侯 从高祖袭王僧辩 高祖讨平之 败绩 安都夜令士卒密营御敌之具 南郡太守 排黜懿亲 绍泰元年 谥曰质 烧北掖门 纵其不捷 督安成 戮此大憝 永定元年 若乐随临川王及节将立效者 有文武干略 儒馆聿修 庶乎景行 寻迁散骑常侍 秩满之际 帝乡之重 嗣徽等见之
两直线的位置关系垂直
b= -2 .
例3、已知三角形的顶点A(2,4),B(1,-2),C(-2,3), 求BC边上的高AD所在的直线方程.
y
C3
A
D
o -4
2
-3 B
分析:
确定直线方程需要几个条件?
已知什么?
x 还缺什么?
B1 B2
即
A1A2+B1B2=0（**）
由于上面推导的每一步都是可逆的，因此，由(**)式
可以证明两条直线L1’与L2’垂直。从而也就证明了 L1与L2垂直。
②假定L1，L2中有一条直线与坐标轴平行或重合。
当L1⊥L2时，可以推出L1，L2中的另外一条也与坐标 轴平行或重合，因此同样有
A1A2+B1B2=0. 反过来，由条件A1 A2 +B1 B2 =0也可以推出L1⊥L2。 总结以上结论，我们得到，对坐标平面内的任意两
l2
:
y
x8 3
(2) l1:3x4y6
l2:4x3y7
(3) l1 : x 8
l2: y3
例3、已知直线L与直线2x+3y-1=0垂直，且在 两坐标轴上的截距之和为2，求直线L的方程.
例4、已知直线L1:(m+2)x+3my+1=0与直线 L2:(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直，求实数m 的值. 例5、求点P（3，5）关于直线L:x-3y+2=0的 对称点P0的坐标.
两直线的位置关系
--两直线垂直
一、复习提问:
直线 l1:yk1xb1 直线 l2:yk2xb2
关于两直线垂直一般公式
关于两直线垂直一般公式两条直线垂直的一般公式是数学中的重要概念之一。
直线的垂直关系指的是两条直线之间的夹角为90度，也就是互相垂直。
在几何学和物理学中，垂直关系经常出现，并且在实际问题中有着广泛的应用。
在平面几何中，两条直线垂直的判定条件有多种。
其中一种常见的方法是通过两条直线的斜率来判断。
如果两条直线的斜率的乘积等于-1，则说明它们互相垂直。
具体而言，设直线L1的斜率为k1，直线L2的斜率为k2，则L1和L2垂直的条件可以表示为k1*k2=-1。
除了斜率法外，还可以通过直线的方程来判断两条直线是否垂直。
设直线L1的方程为a1x+b1y+c1=0，直线L2的方程为a2x+b2y+c2=0，则L1和L2垂直的条件可以表示为a1a2+b1b2=0。
在实际问题中，垂直关系的应用非常广泛。
例如，在建筑设计中，为了确保建筑物的结构稳定，墙壁、柱子和地面之间的垂直关系必须得到严格控制。
另外，在电磁学中，磁力线和等势线之间的垂直关系是电场和磁场分布的重要性质。
除了直线之间的垂直关系外，直线与平面之间也存在垂直关系。
直线与平面垂直的条件是直线上的任意向量与平面的法向量垂直。
具体而言，设直线L的方程为ax+by+cz+d=0，平面P的法向量为n=(n1,n2,n3)，则L与P垂直的条件可以表示为an1+bn2+cn3=0。
在三维几何中，垂直关系的判定方法更加多样。
例如，两个平面垂直的条件是它们的法向量互相垂直。
设平面P1的法向量为n1=(n11,n12,n13)，平面P2的法向量为n2=(n21,n22,n23)，则P1和P2垂直的条件可以表示为n11n21+n12n22+n13n23=0。
此外，在三维空间中，两条直线垂直的条件是它们的方向向量互相垂直。
总结起来，两条直线垂直的一般公式在数学中起着重要的作用。
通过斜率法和方程法，我们可以判断直线之间的垂直关系。
在实际问题中，垂直关系广泛应用于建筑设计、物理学和电磁学等领域。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A1 B1 C1 A2 B2 C2
重合
k1=k2 且 b1=b2
A1 B1 C1 A2 B2 C2
相交
k1 ≠ k2
A1 B1 A2 B2
3.当直线平行于坐标轴时，可结合图形判断其位置关系。
二、新课学习
----特殊情况下的两直线的垂直
在同一直角坐标系下，
分别作出下列直线：
(1)l1: x=2 l2: y+1=0 (2) l3: x-1=0 l4: y=2
A1A2+B1B2= 6× 2+4× (-3)=0
(3)l1 : x 0 y 1 0 l2 : 0 x y 3 0
A1A2+B1B2=1× 0+0× 1=0
知识拓展
设l1:A1x+B1y+C1=0 l2:A2x+B2y+C2=0，则
l1⊥l2 <==> A1A2+B1B2 = 0
【新法再解例2 】
l1⊥l2 <==> A1A2+B1B2 = 0
例2 已知直线l1:y=2x+5与直线l2:x+ay-2=0垂直，求a的值.
解： 直线l1的方程可化为一般式得：2x-y+5=0
∵l1⊥l2 ∴A1A2+B1B2 = 0 即 2× 1 + （-1）× a = 0 解得 a = 2
练习二
已知直线l1:3x-my-2=0 与直线l2:4x-6y-1=0
a
0 ，k2
1 a
.
解： 因为a≠0，所以直线l2的方程可化为斜截式：
y1 x 2
aa
从而
k2
1 a
根据两条直线垂直的条件，有
2 1 1
a
解得 a = 2
除了用方程的斜率来 判定垂直外，还有没
有别的方法呢？
当直线不平行于坐标轴时，两条直线的位置关 系可根据下表判定。
直线 关系 条件
平行
l1:y=k1x+b1 l2:y=k2x+b2 k1=k2 且 b1≠b2
两直线的位置关系—垂直
一、复习
1.平面内两条直线的位置关系有三种，分别
为__平_行__、_重__合_、__相_交_______
2.两直线的位置关系可根据下表判定。
直线
l1:y=k1x+b1
l1:A1x+B1y+C1=0
关系 条件
l2:y=k2x+b2
l2:A2x+B2y+C2=0
平行
k1=k2 且 b1≠b2
重合 相交
k1=k2 且 b1=b2 k1 ≠ k2
l1:A1x+B1y+C1=0
l2:A2x+B2y+C2=0
A1 B1 C1 A2 B2 C2 A1 B1 C1 A2 B2 C2
A1 B1 A2 B2
例1： 判断下列各组中所给的两条直线是否垂直
(1) l1：x 3 y 1 0 ， l2：2x 3y 1 不垂直
的 斜
K1.K2= - 1
垂直
程率 K1.K2= - 1
不垂直
例1： 判断下列各组中所给的两条直线是否垂直
(1) l1：x 3 y 1 0 ， l2：2x 3y 1 （2） l1：6x 4y 1 0 ，l2：2x 3y 1
（3） l1：x 1， l2：y -3
分析：可先求出各组中两条直线的斜率
(2)l1 : y
2 3
,
l2
:
x
5 2
解：(1) k1
5 3
，k2
2 5
，k1
k
2
53 35
1
l1 l2
(2)l1的斜率为0，的斜率不存在，
l1 l2
例题学习
例2 已知直线l1:y=2x+5与直线l2:x+ay-2=0垂直，求a的值.
分析 :因为l1的斜率k1 2不为0, 所以l2的斜率存在，
从图中，你能发 现什么规律呢？
两条直线中有一条直线斜率不 存在，另一条直线斜率为0时， 两直线互相垂直。
l1
1
12
-1
l2
(1) l3
1 -2 -1
l4
123
(2)
二、新课学习
----斜率存在时两直线的垂直
文件名
两条直线互相垂直的判定程序
两 求 一个斜率为 0，
垂
条 它 一个斜率不存在
直
直们
线 方
l1:y=k1x+b1 l2:y=k2x+b2
l1:A1x+B1y+C1=0 l2:A2x+B2y+C2=0
平行 重合 相交 (垂直)
k1=k2 且 b1≠b2
k1=k2 且 b1=b2 k1 ≠ k2
k1 ·k2=-1
A1 B1 C1 A2 B2 C2 A1 B1 C1 A2 B2 C2
A1 B1 A2 B2
A1A2+B1B2 = 0
作业：
课本P116 B组 第2题 C组 第2题
思考题
已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直 线AB与PQ的位置关系。
结束
感谢各位老师莅临指导
（2） l1：6x 4y 1 0 ，l2：2x 3y 1 --------垂直
（3） l1：x 1， l2：y -3
------------垂直
全部化为一般式：
(1)l1 : x 3y 1 0 l2 : 2x 3y 1 0
A1A2+B1B2=1× 2+3× (-3)=-7
(2)l1 : 6x 4 y 1 0 l2 : 2x 3y 1 0
垂直，求m的值。
m=-2
课堂小结：
• 1、本节课我们学习了哪些新知识？新方法？ • 2、在应用这些新知识时应注意哪些问题？ • 3、在本节课的学习中运用了哪些数学思想？
方法：代数方法研究几何问题。 思想：数行结合思想。
归纳
当直线不平行于坐标轴时，两条直线的位置关
系可根据下表判定。
直线 关系 条件
解：
(1)
k1
1 3
2
k2
，
3
k1 k2
12 33
1
l1与l
不垂直；
2
(2)
k1
3 2
l1 l2
2 k2 3
k1 k2
32 23
1
(3) 因为l1的斜率不存在 ， l2的斜率为0 所以 l1⊥l2
练习一：判断下列各对直线是否垂直 （P115 B组1）
(1)l1 : 5x 3y 6 0 , l2 : 6x 10 y 1 0