广东省吴川二中2015届高三11月月考数学(理)试题 Word版含答案
广东省湛江二中2015届高三数学(理)模拟测试试卷(三)
广东省湛江二中2015届高三数学（理）模拟测试试卷（三）本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卷上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先选做题的对应题号，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卷的整洁。
考试结束后，将答题卷交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}2M x x 30=-≤，则下列关系式正确的是A ．0M ∈ B.0M ∉C.0M ⊆D.3M ∈2．设i 是虚数单位，则()()321i 1i -+=A ．1i -B ．1i -+C ．i +1D ．1i --3．下列命题中，真命题的个数有 ①21x R,x x 04∀∈-+≥；②2x R,x 2x 20∃∈++<；③函数x y 2-=是单调递减函数. A.0个B.1个C.2个D.3个4．如右图，一个简单空间几何体的三视图，其主视图与左视 图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其 体积是 AD.835．已知椭机变量X 服从正态分布N （4，1），且()P 3x 50.6826≤≤=，则()P X 3=< A ．0.0912B ．0.3413C ．0.3174D ．0.15876．若()()()()8280128x 1a a 1x a 1x a 1x ,-=+++++⋅⋅⋅++则6a =A ．112 B.28C.28-D.112-7. 已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它们的前n 项和n S 有最大值，则使0>n S 的n 的最大值为A ．11 B. 19 C. 20 D. 218．对于函数()f x ，若存在区间[]M a,b =（其中b a <），使得(){}y y f x ,x M M =∈=，则称区间M 为函数)(x f 的一个“稳定区间”．给出下列4个函数：①2)1()(-=x x f ；②12)(-=x x f ；③)2cos()(x x f π=；④x e x f =)(．其中存在“稳定区间”的函数有A ．①③B ．①②③C ．①②③④D ．①②二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. (一）必做题(9〜13题）9．已知函数2()321f x x x =++，若11()2()(0)f x dx f a a -=>⎰成立，则a ＝________.10．如图给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值，若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值有 _______个.11. 已知某随机变量ξ的概率分布列如右表，其中0,0x y >>，则随机变量ξ的数学期望=ξE .12．若正实数y x ,满足：211111=+++y x ，则y x 的取值范围为 . 13．已知点(1,1),(1,1)A B -，点P 是直线:2l y x =-上的一动点，当APB ∠最大时，则过,,A B P 的圆的方程是 ；(二）选做题（14〜15题，考生只能从中选做一题） 14．极坐标系中，点P (2,)6π-到直线：:sin()16l πρθ-=的距离是 ． 15．如图所示，过圆C 外一点P 作一条直线与圆C 交于A B ，两点，2BA AP =，PT 与圆C 相切于T 点.已知圆C 的半径为2，30CAB ∠=，则PT =_____.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．(本小题满分12分)某游乐场将要举行狙击移动靶比赛. 比赛规则是：每位选手可以选择在A 区射击3次或选择在B 区射击2次，在A 区每射中一次得3分，射不中得0分；在B 区每射中一次得2分，射不中得0分. 已知参赛选手甲在A 区和B 区每次射中移动靶的概率分别是41和)10(<<p p . (Ⅰ) 若选手甲在A 区射击，求选手甲至少得3分的概率；(Ⅱ) 我们把在A 、B 两区射击得分的数学期望高者作为选择射击区的标准，如果选手甲最终选择了在B 区射击，求p 的取值范围.17.（本小题满分12分）ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且.tan 222A a c b bc=-+(1)求角A ；(2)设函数x A x x f cos sin 2sin )(+=，将函数)(x f y =的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的21，把所得图象向右平移6π个单位，得到函数)(x g y =的图象，求函数)(x g y =的对称中心及单调递增区间.18.（本小题满分14分）在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，122AA AB ==，E 为AD 中点，F 为1CC 中点. （Ⅰ）求证:1AD D F ⊥；（Ⅱ）求证://CE 平面1AD F ；(Ⅲ) 求平面1AD F 与底面ABCD 所成二面角的余弦值.19.( 本小题满分14分)设函数x xppx x f ln 2)(--=． （Ⅰ）若1=p ，函数)(x f y =是否有极值，若有，请求出极值，若没有，请说明理由. （Ⅱ）若)(x f 在其定义域内为单调函数，求实数p 的取值范围.20．（本小题满分14分）已知1>m ，直线2:02m l x my --=，椭圆C ：2221x y m+=，1F 、2F 分别为椭圆C 的左、右焦点. （Ⅰ）当直线过右焦点2F 时，求直线的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆C 交于A 、B 两点，△A 1F 2F 、△B 1F 2F 的重心分别为G 、H ．若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围．21．（本小题满分14分）已知{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列（Ⅰ）若31n a n =+，是否存在*,m n N ∈，有1m m k a a a ++=？请说明理由；（Ⅱ）若n n b aq =（a 、q 为常数，且0≠aq ），对任意m ，存在k ，有1m m k b b b +⋅=，试求a 、q 满足的充要条件；（Ⅲ）若21,3nn n a n b =+=，试确定所有的p ，使数列{}n b 中存在某个连续p 项的和是数列{}n a中的一项，请证明.参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．A 2．B 3．C 4．C 5．D 6．A 7．B 8．B二、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题。
2015年高考试题Word版分类解析三
试题部分 第1页考点19 空间几何体与三视图【1】（A ，新课标I ，文6理6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛 【2】（A ，新课标I ，文11理11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为1620π+，则r =A.1B.2C.4D.8俯视图俯视图侧视图正视图第2题图 第3题图【3】（A ，浙江，文2理2）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是A.8cm 3B.12cm3C.332cm 3 D.340cm 3【4】（A ，福建，文9）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于A.8+B.11+C.14+D.15俯视图俯视图左视图第4题图 第5题图【5】（A ，陕西，文5理5）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A.π3B.π4C.42+πD.43+π【6】（B ，新课标Ⅱ，文10理9）已知A ，B 是球O 的球面上两点，90AOB ∠=，C 为该球面上的动点，若三棱锥ABC O -体积的最大值为36，则球O 的表面积为A.36πB.64πC.144πD.256πOBAC第6题图 第7题图【7】（B ，新课标Ⅱ，文6理6）一个正方体被一个 平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的的比值为A.81B.71C.61 D.51 【8】（B ，北京，文7）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为A.1B.2C.3D.2俯视图侧（左）视图正（主）视图俯视图侧（左）视图第8题图 第9题图【9】（B ，北京，理5）某三棱锥的三视图如图所示， 则该三棱锥的表面积是A.52+B.54+C.522+D.5 【10】（B ，重庆，文5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.123π+ B.136π C.73π D.52π左视图左视图正视图第10题图 第11题图第1题图第2页 试题部分【11】（B ，重庆，理5）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.π+31B.π+32C.π231+D.π232+【12】（B ，山东，文9）已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为A.322πC.π22D.π24 【13】（B ，山东，理7）在梯形ABCD 中，2ABC π∠=，//AD BC ，222BC AD AB ===，将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为A.23π B.43π C.53π D.2π【14】（B ，安徽，理7）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是A.31+B.32+C.221+D.22 【15】（C ，安徽，文9）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是A.31+B.221+C.32+D.22俯视图第14、15题图 第16题图【16】（C ，湖南，理10）某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料的利用率原工件的体积新工件的体积=） A.π98 B.π916【17】（C ，湖南，文10）某工作的三视图如图3所示，现将该工作通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）A.π98B.827πC.21)πD.21)π俯视图俯视图侧视图第17题图 第18题图【18】（A ，天津，文10理10）一个几何体的三视图如图所示(单位：m ),该几何体的体积为_____3m . 【19】（A,上海,理6）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π,则其母线与轴的夹角的大小为 . 【20】（A ，上海，文6理4）若正三棱柱所有棱长都为a，且体积为a = .【21】（B ，四川，文14）在三棱锥111C B A ABC -中，90=∠BAC ，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形.设点P N M ,,分别是棱11,,C B BC AB 的中点，则三棱锥MN A P 1-的体积是 .【22】（B ，江苏，文理9）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 .【23】（A ，上海，文19）如图，圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，底面的一条直径为,AB C 为半圆弧AB 的中点，E 为劣弧CB 的中点.已知2,1PO OA ==.求三棱锥P AOC -的体积，并求异面直线PA 与OE 所成的角的大小.【24】（B ，陕西，文18）如图1，在直角梯形ABCD 中，BC AD //，2π=∠BAD ，21==BC AB ， a AD =，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点，将ABE ∆沿BE 折起到图2中BE A 1∆的位置，得到四棱锥BCDE A -1.(I )证明：⊥CD 平面OC A 1;(II)当平面⊥BE A 1平面BCDE 时，四棱锥BCDE A -1的体积为236，求a 的值.BEC OAP第23题图试题部分 第3页DO EACBA 1(A )DCBOE第24题图1 第24题图2考点20 点、直线、平面之间的位置关系 【1】（A ，浙江，文4）设βα,是两个不同的平面，m l ,是两条不同的直线，且βα⊂⊂m l ,A.若β⊥l ，则βα⊥B.若βα⊥，则m l ⊥C.若β//l ，则β//D.若βα//，则m l // 【2】（A ，福建，理7）若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α ，则“l m ⊥”是“//l α”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【3】（B ，广东，文6）若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是A.l 与1l ，2l 都不相交B.l 与1l ，2l 都相交C.l 至多与1l ，2l 中的一条相交D.l 至少与1l ，2l 中的一条相交【4】（B ，安徽，理5）已知n ,m 是两条不同直线，βα,是两个不同平面，则下列命题正确的是A.若βα,垂直于同一平面，则α与β平行B.若n ,m 平行于同一平面，则m 与n 平行C.若βα,不平行，则在α内不存在与β平行的直线D.若n ,m 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面【5】（A ，新课标I ，文18）如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ⊥平面ABCD .(I)证明：平面AEC ⊥平面BED ； (II)若120ABC ∠=，AE EC ⊥，三棱锥E ACD -. EDGCBA第5题图【6】（A ，广东，理18）如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD =PC =4，AB =6，BC =3.点E 是CD 边的中点，点F 、G 分别在线段AB 、BC 上，且AF =2FB ，CG =2GB .(1)证明：PE FG ⊥；(2)求二面角P -AD -C 的正切值；(3)求直线P A 与直线FG 所成角的余弦值.【7】（A ，江苏，文理16）如图，在直三棱柱ABC 111A B C -中，已知BC AC ⊥，1CC BC =.设1AB 的中点为D ，E BC C B =11 . 求证：(1)//DE 平面11CC AA ；(2)11AB BC ⊥.CBEC 1B 1A 1D AOMACBV第7题图 第8题图【8】（B ，北京，文18）如图，在三棱锥ABC V -中，平面⊥VAB 平面ABC ，VAB ∆为等边三角形，AB AC ⊥且2==BC AC ，O 、M 分别为AB 、VA 的中点．(I)求证：//VB 平面MOC ； (II)求证：平面MOC ⊥平面VAB ； (III)求三棱锥ABC V -的体积．【9】（B ，重庆，文20）如图，三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，ABC ∠2π=，点D 、E在线段AC 上，且AD =DE =EC =2，PD =PC =4，点F 在线段AB 上，且EF //BC .EGBFCPDA第6题图(II)若四棱锥P -DFBC 的体积为7，求线段BC 的长.BEDC FAPDCGB EA FHED ABC第9题图 第10题图【10】（B ，四川，文18）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(1)请将字母H G F ,,标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；(2)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系，并证明你的结论；(3)证明：直线⊥DF 平面BEG .【11】（B ，广东，文18）如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD =4PC =，6AB =，3BC =．(1)证明：//BC 平面PDA ； (2)证明：BC PD ⊥；(3)求点C 到平面PDA 的距离．CPDBAEF CH GBAD第11题图 第12题图【12】（B ，山东，文18）如图，在三棱台ABC DEF -中，H G DE AB ,,2=分别为BC AC ,的中点.(I)求证：BD ∥平面FGH(II)若CF BC ⊥，AB BC ⊥，求证：平面⊥BCD 平面EGH .【13】（B ，福建，文20）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且PO OB =1=．(I)若D 为线段AC 的中点，求证AC ⊥平面PDO ；(II)求三棱锥P ABC -体积的最大值；(III)若BC=点E 在【14】（B ，湖南，文18）如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形，,E F 分别是BC ，1CC 的中点.(I)证明：平面AEF ⊥平面11B BCC ；(II)若直线1AC 与平面11A ABB 所成的角为45，求三棱锥F AEC -的体积.考点21 空间向量与立体几何【1】（C ，浙江，理8）如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆翻折成A CD '∆，所成二面角A CD B '--的平面角为α，则A.A DB α'∠≤B.A DB α'∠≥C.A CB α'∠≤D.α≥'∠CB APMQEA DCFB第1题图 第2题图【2】（B ，四川，理14）如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，F E ,分别为BC AB ,的中点，设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则θcos 的最大值为 .【3】（B ，浙江，理13）如图，三棱锥A BCD -中，AB AC =BD ==3CD =，AD BC =2=，点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是 ．【4】（C ，浙江，理15）已知12,e e是空间单位向量，1212e e ⋅= ．若空间向量b 满足12b e ⋅= ，2e b ⋅25=，且对于任B 1C 1FCEBAA 1第14题图ABCDEPO第13题图ACDBA'第3题图试题部分 第5页意∈y x ,R ，12|()|b xe ye -+? 0102|()|b x e y e -+001(,R)x y =?,则0x = ，0y = ，||b =.【5】（A ，新课标Ⅱ，文19）如图，长方体1111D C B A ABCD -中，AB =16，BC =10，1AA 8=，点E ，F 分别在11B A ，11D C 上，11A E D F =4=．过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(I)在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；(II)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．【6】（A ，新课标Ⅱ，理19）如图，长方体ABCD -1111A B C D 中，16AB = ，10BC = ，18AA =，点E ，F 分别在1111,A B DC 上，114A E D F ==，过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.(I)在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；(II)求直线AF 与平面α所成角的正弦值.A1B'DA'D'C ‘CFBEA第6题图 第7题图【7】（A ，上海，理19）如图，在长方体ABCD A B C D ''''-中，1,2AA AB AD '===，,E F 分别是棱,AB BC 的中点.证明,,,A C F E ''四点共面，并求直线CD '与平面A C FE ''所成的角的大小.【8】（A ，湖北，文20）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 在如图所示的阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ,且PD CD =,点E 是PC 的中点，连接,,DE BD BE .(I)证明：DE ⊥平面PBC . 试判断四面体EBCD 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；(II)记阳马P ABCD -的体积为1V ，四面体EBCD 的体积为2V ，求12V V 的值． 【9】（A ，湖北，理19）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马ABCD P -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，过棱PC 的中点E ，作EF PB ⊥交PB 于点F ，连接,,,.DE DF BD BE(I)证明：PB ⊥平面DEF ．试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；(II)若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，求DC BC的值． 【10】（A ，山东，理17）如图，在三棱台DEF ABC -中，2AB DE =，G ，H 分别为AC ，BC 的中点．(I)求证：//BD 平面FGH ；(II)若CF ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，CF =DE ，45BAC ∠= ，求平面FGH 与平面ACFD 所成的角（锐角）的大小．EFCHGBADEFDBA第10题图 第11题图【11】（A ，新课标I ，理18）如图，四边形ABCD 为菱形，120ABC ∠=，,E F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ,2BE DF =,AE ⊥EC .(I)证明：平面AEC ⊥平面AFC ； (II)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值. 【12】（A ，福建，理17）如图，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，AB ⊥平面BEC ，BE ⊥EC ，AB =BE =EC =2，G ，F 分别是线段BE ，DC 的中点.DFPECBA第9题图DPECBA第8题图1A第5题图第6页 试题部分(I)求证：//GF 平面ADE ；(II)求平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值．CFG B EDAEBO FCA第12题图 第13题图【13】（B ，北京，理17）如图，在四棱锥A EFCB -中，AEF ∆为等边三角形，平面⊥∆AEF 平面EFCB ，EF ∥BC ，BC =4,2EF a =,EBC ∠=FCB ∠60= ，O 为EF 的中点．(Ⅰ)求证：AO BE ⊥；(Ⅱ)求二面角F AE B --的余弦值； (Ⅲ)若BE ⊥平面AOC ，求a 的值． 【14】（B ，天津，文17）如图，已知⊥1AA 平面ABC ，,//11AA BB 3==AC AB ，52=BC，1AA =1BB =，点F ,E 分别是C A ,BC 1的中点，(I)求证：//EF 平面BA B A 11；(II)求证：平面⊥1AEA 平面1BCB ;(III)求直线11B A 与平面1BCB 所成角的大小. 【15】（B ，天津，理17）如图，在四棱柱ABCD -1111A B C D 中，侧棱⊥A A 1底面ABCD ,AC AB ⊥,1=AB ,21==AA AC ,5==CD AD ,且点M和N 分别为C B 1和D D 1的中点.(I)求证：//MN 平面ABCD ； (II)求二面角11B AC D --的正弦值； (III)设E 为棱11B A 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为31，求线段E A 1的长.DNCBAMC 1B 1A 1D 1第15题图 第16题图【16】（B ，重庆，理19）如图，三棱锥ABC P -中，ABC PC 平面⊥，3=PC ，2π=∠ACB ，,D E 分别为线段BC AB ,上的点，且2==DE CD ，22==EB CE .(I)证明：PCD DE 平面⊥； (II)求二面角D PC A --的余弦值. 【17】（B ，四川，理18）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.在正方体中，设BC 的中点为M ，GH 的中点为N .（1）请将字母H G F ,,标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；（2）证明：直线//MN 平面BDH ； （3）求二面角M EG A --的余弦值. 【18】（B ，湖南，理19）如图，在四棱台1111D C B A ABCD -的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，61=AA ，且⊥1AA 底面ABCD ，点,P Q 分别在棱1DD ，BC上.(I)若点P 是1DD 的中点，证明：PQ AB ⊥1；(II)若//PQ 平面11A ABB ，二面角A QD P --的余弦值为73，求四面体ADPQ 的体积. 【19】（B ，浙江，文18）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，90BAC ∠= ，2AB AC ==，14A A =在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11C B 的中点.(I)证明: BC A D A 11平面⊥；(II)求直线1A B 和平面11BB CC 所成的角的正弦值.C MBA DEHFAEB G CD第17题图 AFCEBA 1B 1第14题图C 1AB 1A 1D 1PDCQB第18题图试题部分 第7页A 1C 1DB 1C AB BACB 1DC 1A 1第19题图 第20题图【20】（B ，浙江，理17）如图,在三棱柱111C B A ABC -中,90BAC ∠=，=AB 2=AC ，41=A A ，1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11C B 的中点.(Ⅰ)证明：⊥D A 1平面BC A 1；(Ⅱ)求二面角11B BD A --的平面角的余弦值. 【21】（B ，陕西，理18）如图1，在直角梯形ABCD 中，BC AD //，2π=∠BAD ，1==BC AB ，2=AD ，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将ABE ∆沿BE 折起到BE A 1∆的位置，如图2．(I)证明：⊥CD 平面OC A 1;(II)若平面⊥BE A 1平面BCDE ，求平面BC A 1与平面CD A 1夹角的余弦值．BCAEODA 1(A)DCBOE第21题图1 第21题图2【22】（C ，江苏，理22）如图，在四棱锥ABCD P -中，已知⊥PA 平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，2π=∠=∠BAD ABC ，2==AD PA ，1==BC AB .(1)求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；(2)点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成角最小时，求线段BQ 的长..A BDCPQPCBA第22题图 第23题图【23】（C ，安徽，文19）如图，三棱锥ABC P -中， ⊥PA 平面ABC ，1PA =，1PB =，2AC =，60BAC ∠= .(1)求三棱锥ABC P -的体积； (2)证明：在线段PC 上存在点M ，使得BM AC ⊥，并求MCPM的值． 【24】（C ，安徽，理19）如图所示，在多面体DCBA D B A 111，四边形ABCDA ADDB B AA ,,1111均为正方形，E 为11D B 的中点，过E D A ,,1的平面交1CD 于F .(I)证明：C B EF 1//;(II)求二面角11B D A E --的余弦值.考点22 算法初步与框图【1】（A ，新课标I ，文9理9）执行右面的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出的n =A.5B.6C.7D.8第1题图 第2题图【2】（A ，北京，理3）执行如图所示的程序框图输出的结果为A.)2,2(-B.)0,4(-C.)4,4(-D.)8,0(- 【3】（A ，天津，文3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为A.2B.3C.4D.5A 1EA D FD 1B 1B第24题图则输出s 的值为A.34B.5C.1112D.2524第5题图 第6题图【6】（A ，重庆，理7）执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为8，则判断框内可填入的条件是A.43≤sB.65≤sC.1211≤s D.2425≤s【7】（A ，四川，文6理3）执行如图所示的程序框图，输出S 的值为A.23-B.23 C.21-D.21第7题图 第8题图【8】（A,福建,文4）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入x 的值为1，则输出y 的值为A.2B.7C.8D.128第9题图 第10题图【10】（A ，湖南，文5理3）执行如图所示的程序框图，如果输入3n =，则输出的S =A.67 B.37 C.89 D.49【11】（A ，陕西，文7）根据如图所示的框图，当输入x 为6时，输出的=yA.1B.2C.5D.10第11题图 第12题图【12】（B ，陕西，理8）根据如图所示的框图，当输入x 为2006时，输出的=yA.2B.4C.10D.28 【13】（B ，北京，文5）执行如图所示的程序框图，输出的k 值为A.3B.4C.5D.6第13题图 第14题图试题部分 第9页【14】（B ，新课标Ⅱ，文8理8）如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a ，b 分别为14，18，则输出的a =A.0B.2C.4D.14【15】（B ，安徽，文7）执行如图所示的程序框图(算法流程图)，输出的n 为A.3B.4C.5D.6第15题图 第16题图【16】（A ，山东，文11）执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的y 的值是______. 【17】（A ，江苏，文理4）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 .【18】（B ，山东，理13）执行如图所示的程序框图，输出的T 的值为.第18题图 第19题图【19】（B ，安徽，理13）执行如图所示的程序框图(算法流程图)，输出的n 为 .考点23 计数原理【1】（A ，新课标I ，理10）25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为A.10B.20C.30D.60【2】（A ，湖北，理3）已知nx )1(+的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为A.122 B.112 C.102 D.92【3】（A ，广东，理4）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。
吴川市高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
吴川市高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 在△ABC 中，AB 边上的中线CO=2，若动点P 满足=（sin 2θ）+（cos 2θ）（θ∈R ），则（+）•的最小值是（ ）A ．1B ．﹣1C ．﹣2D ．02． 设集合A={x|2x ≤4}，集合B={x|y=lg （x ﹣1）}，则A ∩B 等于（ ）A ．（1，2）B ．[1，2]C ．[1，2）D ．（1，2]3． 经过点且在两轴上截距相等的直线是（ ）()1,1M A ． B ．20x y +-=10x y +-=C ．或D ．或1x =1y =20x y +-=0x y -=4． 函数是周期为4的奇函数，且在上的解析式为，则()()f x x R Î02[,](1),01()sin ,12x x x f x x x ì-££ï=íp <£ïî（ ）1741((46f f +=A ． B ． C ． D ．71691611161316【命题意图】本题考查函数的奇偶性和周期性、分段函数等基础知识，意在考查转化和化归思想和基本运算能力．5． 已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P （x ，y ），则点P 的坐标满足不等式x 2+y 2≤2的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．6． 已知集合A={0，1，2}，则集合B={x ﹣y|x ∈A ，y ∈A}中元素的个数是（ ）A ．1B ．3C ．5D ．97． 半径R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ ）A ．πR 3B ．πR 3C ．πR 3D ．πR 38． 已知F 1，F 2分别是双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左右两个焦点，若在双曲线C 上存在点P 使∠F 1PF 2=90°，且满足2∠PF 1F 2=∠PF 2F 1，那么双曲线C 的离心率为（ ）A ．+1B ．2C ．D ．9． 在中，，那么一定是（ ）ABC ∆22tan sin tan sin A B B A =gg ABC ∆A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________10．已知f （x ）为R 上的偶函数，对任意x ∈R 都有f （x+6）=f （x ）+f （3），x 1，x 2∈[0，3]，x 1≠x 2时，有成立，下列结论中错误的是（）A ．f （3）=0B ．直线x=﹣6是函数y=f （x ）的图象的一条对称轴C ．函数y=f （x ）在[﹣9，9]上有四个零点D ．函数y=f （x ）在[﹣9，﹣6]上为增函数11．已知集合M={0，1，2}，则下列关系式正确的是（ ）A ．{0}∈MB ．{0}MC ．0∈MD ．0M∉⊆12．已知等比数列{a n }的第5项是二项式（x+）4展开式的常数项，则a 3•a 7（ ）A ．5B ．18C ．24D ．36二、填空题13．如图所示，圆中，弦的长度为，则的值为_______．C AB 4AB AC ×u u u r u u u r【命题意图】本题考查平面向量数量积、垂径定理等基础知识，意在考查对概念理解和转化化归的数学思想．14．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中①与平行；②与是异面直线；BM ED CN BE ③与成角；④与是异面直线．CN BM 60︒DM BN 以上四个命题中，正确命题的序号是（写出所有你认为正确的命题）．15．曲线y=x 2和直线x=0，x=1，y= 所围成的图形的面积为 ．16．方程22x ﹣1=的解x= ．17．抛物线的焦点为，经过其准线与轴的交点的直线与抛物线切于点，则24x y =F y Q P FPQ ∆外接圆的标准方程为_________.18．已知f（x）=，x≥0，若f1（x）=f（x），f n+1（x）=f（f n（x）），n∈N+，则f2015（x）的表达式为 ．三、解答题19．已知在△ABC中，A（2，4），B（﹣1，﹣2），C（4，3），BC边上的高为AD．（1）求证：AB⊥AC；（2）求向量．20．已知函数f（x）=lg（2016+x），g（x）=lg（2016﹣x）（1）判断函数f（x）﹣g（x）的奇偶性，并予以证明．（2）求使f（x）﹣g（x）＜0成立x的集合．21．如图，F1，F2是椭圆C：+y2=1的左、右焦点，A，B是椭圆C上的两个动点，且线段AB的中点M在直线l：x=﹣上．（1）若B的坐标为（0，1），求点M的坐标；（2）求•的取值范围．22．在锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2csinA=a ．（1）求角C 的大小；（2）若c=2，a 2+b 2=6，求△ABC 的面积．23． （本题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形为矩形，直线平面，ABCD ⊥AF ABCD ，AB EF //，点在棱上.12,2====EF AF AB AD P DF （1）求证：；BF AD ⊥（2）若是的中点，求异面直线与所成角的余弦值；P DF BE CP（3）若的余弦值.FP =C APD --24．如图，过抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点F的直线交C于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，且x1x2=﹣4．（Ⅰ）p的值；（Ⅱ）R，Q是C上的两动点，R，Q的纵坐标之和为1，RQ的垂直平分线交y轴于点T，求△MNT的面积的最小值．吴川市高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题题号12345678910答案C D DCDCAADD题号1112答案CD二、填空题13．814．③④15． ．16． ﹣ ．17．或()2212x y -+=()2212x y ++=18． ．三、解答题19． 20． 21．22．23．24．。
广东省百所高中2015届高三理科数学联考试题及答案
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广东省2015年高三普通高考测试数学理试题及答案
湛江市2015年普通高考测试（二）数学（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合{}231x x M =-<，集合{}13x x N =-<<，则MN =（ ）． A ．M B ．N C ．{}12x x -<< D ．{}3x x < 2．已知z 是复数，i 是虚数单位，若i zi +=1，则z =（ ）．A ．i +1B ．i -1C ．i +-1D ．i --13．随机变量ξ服从正态分布)4,3(N ，若)2()32(+>=-<a P a P ξξ，则a 的值为（ ）．A ．37B ．34C ．3D ．44．一个几何体的三视图如图，正视图和侧视图都是由一个半圆和一个边长为2的正方形组成，俯视图是一个圆，则这个几何体的表面积是（ ）．A ．5πB ．6πC ．7πD ．9π5．在右图所示的程序框图中，输出的i 和s 的值分别为（ ）．A ．3,21B ．3,22C ．4,21D ．4,226．设)(x f 是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间]1,2[-上的图像，则)2015()2014(f f +=（ ）．A ．3B ．2C ．1D ．07．若平面向量()1,2a =-与b 的夹角是0180，且53||=b ，则b 的坐标为（ ）．A ．)6,3(-B ．)6,3(-C ．)3,6(-D ．)3,6(-8．对于任意正整数n ，定义“!!n ”如下：当n 是偶数时，()()!!24642n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅；当n 是偶数时，()()!!24531n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅；且有()()!12321n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅．则如下四个命题：①()()2015!!2016!!2016!⋅=；②10082016!!21008!=⨯；③2015!!的个位数是5；④2014!!的个位数是0．其中正确的命题有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（9～13题）9．曲线x x y sin +=在点（0,0）处的切线方程是________________．10．双曲线C :221916x y -=的离心率是 ． 11．=-⎰dx x |1|20_______________．12．某所学校计划招聘男教师x 名，女教师y 名，x 和y 须满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧<≤-≥-6252x y x y x ，则该校招聘的教师最多是 名．13．已知全集}8,7,6,5,4,3,2,1{=U ，在U 中任取四个元素组成的集合记为},,,{4321a a a a A =，余下的四个元素组成的集合记为},,,{4321b b b b A C U =，43214321b b b b a a a a +++<+++，则集合A 的取法共有____________种．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）直线l 的参数方程为31x t y t ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），则直线l 的倾斜角是 ．15．（几何证明选讲选做题）如图，在梯形CD AB 中，D//C A B ，D 2A =，C 5B =，点E ．F 分别在AB ．CD 上，且F//DE A ，若34AE =EB ，则F E 的长是 ．三．解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．）16．（本小题满分12分）设函数)(,sin 3cos )(R x x x x f ∈-=（1）求函数)(x f 在区间]2,0[π上的值域（2）记AB C ∆内角C B A ,,的对应边分别为c b a ,,，若1)3(=-πA f ，且b a 23=，求B s i n 的值．17．（本小题满分12分）某中学一名数学教师对全班50名学生某次考试成绩分男生女生进行了统计（满分150分），得到右面频率分布表：其中120分（含120分）以上为优秀．（1）根据以上频率表的数据，完成下面的2⨯2列联表；（2）根据（1）中表格的数据计算，你有多大把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系？（3）若从成绩在[130,140]的学生中任取3人，已知取到的第一个人是男生，求取到的另外2人中至少一名女生的概率．18．（本小题满分14分）如图，四棱锥ABCD P -中，045BCD 1AD AB 2CD ,,//AB ABCD =∠===⊥⊥，，且，平面DC AD DC PD ．（1）若点M 是PD 的中点，证明：PBC AM//平面;（2）若PBC ∆得面积为2，求二面角D -PC -B 的余弦值．19．（本小题满分14分）数列{}n a 的前n 项和记为n S ，对任意正整数n ，均有()241n n S a =+，且0n a >． ()1求1a 及数列{}n a 的通项公式；()2令114)1(+--=n n n n a a n b ，求数列}{n b 的前n 项和n T ．20．（本小题满分14分）已知曲线E 上的任一点到点)3,0(1-F 和点)3,0(F 的距离之和为4．（1）求曲线E 的方程；（2）已知点)0,1(),2,0(C A ，设直线)0(,>=k kx y 与曲线E 交于B ．D 两点（B 在第一象限），求四边形ABCD 面积的最大值．21．（本小题满分14分）已知函数b a bx ax x f ,(,1)(2++=为实数，),0R x a ∈≠．（1）若0)1(=-f ，且函数)(x f 的值域为),0[+∞，求)(x f ； （2）设0,0,)()()(<>⎩⎨⎧-=x x x f x f x F ，0,0,0>>+<a n m mn ，且函数)(x f 为偶函数． 证明：0)()(>+n F m F ；（3）设)(,1ln )(x g ex x g x +=的导函数是),(x g '当1==b a 时，证明：对任意实数0>x ，21)(]1)([-+<'-e x g x f ．。
2015年广东省高考数学试卷(理科)及答案
2015年广东省高考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M ∩N=（）A．{1，4}B．{﹣1，﹣4}C．{0}D．∅2．（5分）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则=（）A．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i3．（5分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y=B．y=x+C．y=2x+ D．y=x+e x4．（5分）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A．B．C．D．15．（5分）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=06．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）A．4 B．C．6 D．7．（5分）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=18．（5分）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）9．（5分）在（﹣1）4的展开式中，x 的系数为．10．（5分）在等差数列{a n}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8=．11．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b=．12．（5分）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）13．（5分）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=．14．（5分）已知直线l的极坐标方程为2ρsi n（θ﹣）=，点A的极坐标为A （2，），则点A到直线l的距离为．15．如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD=．三、解答题16．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若⊥，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求x的值．17．（12分）某工厂36名工人年龄数据如图：工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄1 2 3 4 5 6 7 8 9404440413340454243101112131415161718363138394345393836192021222324252627274341373442374442282930313233343536343943384253374939（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）36名工人中年龄在﹣s 和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？18．（14分）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．（1）证明：PE⊥FG；（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．19．（14分）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）e x﹣a．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：m ≤﹣1．20．（14分）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．21．（14分）数列{a n}满足：a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．（1）求a3的值；（2）求数列{a n}的前n项和T n；（3）令b1=a1，b n=+（1+++…+）a n（n≥2），证明：数列{b n}的前n 项和S n满足S n＜2+2lnn．2015年广东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）（2015•广东）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M∩N=（）A．{1，4}B．{﹣1，﹣4}C．{0}D．∅【分析】求出两个集合，然后求解交集即可．【解答】解：集合M={x|（x+4）（x+1）=0}={﹣1，﹣4}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}={1，4}，则M∩N=∅．故选：D．2．（5分）（2015•广东）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则=（）A．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i【分析】直接利用复数的乘法运算法则化简求解即可．【解答】解：复数z=i（3﹣2i）=2+3i，则=2﹣3i，故选：A．3．（5分）（2015•广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y=B．y=x+C．y=2x+ D．y=x+e x【分析】直接利用函数的奇偶性判断选项即可．【解答】解：对于A，y=是偶函数，所以A不正确；对于B，y=x+函数是奇函数，所以B不正确；对于C，y=2x+是偶函数，所以C不正确；对于D，不满足f（﹣x）=f（x）也不满足f（﹣x）=﹣f（x），所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以D正确．故选：D．4．（5分）（2015•广东）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A．B．C．D．1【分析】首先判断这是一个古典概型，从而求基本事件总数和“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件包含的基本事件个数，容易知道基本事件总数便是从15个球任取2球的取法，而在求“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件的基本事件个数时，可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可．【解答】解：这是一个古典概型，从15个球中任取2个球的取法有；∴基本事件总数为105；设“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”为事件A；则A包含的基本事件个数为=50；∴P（A）=．故选：B．5．（5分）（2015•广东）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0【分析】设出所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程中的变量，即可求出直线方程．【解答】解：设所求直线方程为2x+y+b=0，则，所以=，所以b=±5，所以所求直线方程为：2x+y+5=0或2x+y﹣5=0故选：A．6．（5分）（2015•广东）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）A．4 B．C．6 D．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到最小值．【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+2y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，则由图象可知当直线y=﹣x+，经过点A时直线y=﹣x+的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（1，），此时z=3×1+2×=，故选：B．7．（5分）（2015•广东）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【分析】利用已知条件，列出方程，求出双曲线的几何量，即可得到双曲线方程．【解答】解：双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），可得：，c=5，∴a=4，b==3，所求双曲线方程为：﹣=1．故选：C．8．（5分）（2015•广东）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5【分析】先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球和三角形三边的关系，即可判断．【解答】解：考虑平面上，3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；4个点两两距离相等，由三角形的两边之和大于第三边，则不成立；n大于4，也不成立；在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；若n＞4，由于任三点不共线，当n=5时，考虑四个点构成的正四面体，第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，且球的半径等于边长，即有球心与正四面体的底面的中心重合，故不成立；同理n＞5，不成立．故选：B．二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）9．（5分）（2015•广东）在（﹣1）4的展开式中，x的系数为6．【分析】根据题意二项式（﹣1）4的展开式的通项公式为T r=•（﹣1）+1r•，分析可得，r=2时，有x的项，将r=2代入可得答案．=•（﹣1）r•，【解答】解：二项式（﹣1）4的展开式的通项公式为T r+1令2﹣=1，求得r=2，∴二项式（﹣1）4的展开式中x的系数为=6，故答案为：6．10．（5分）（2015•广东）在等差数列{a n}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8=10．【分析】根据等差数列的性质，化简已知的等式即可求出a5的值，然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简后，将a5的值代入即可求出值．【解答】解：由a3+a4+a5+a6+a7=（a3+a7）+（a4+a6）+a5=5a5=25，得到a5=5，则a2+a8=2a5=10．故答案为：10．11．（5分）（2015•广东）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b=1．【分析】由sinB=，可得B=或B=，结合a=，C=及正弦定理可求b 【解答】解：∵sinB=，∴B=或B=当B=时，a=，C=，A=，由正弦定理可得，则b=1当B=时，C=，与三角形的内角和为π矛盾故答案为：112．（5分）（2015•广东）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了1560条毕业留言．（用数字作答）【分析】通过题意，列出排列关系式，求解即可．【解答】解：某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了=40×39=1560条．故答案为：1560．13．（5分）（2015•广东）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=．【分析】直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可．【解答】解：随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，可得np=30，npq=20，q=，则p=，故答案为：．14．（5分）（2015•广东）已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，点A 的极坐标为A（2，），则点A到直线l的距离为．【分析】把极坐标方程转化为直角坐标方程，然后求出极坐标表示的直角坐标，利用点到直线的距离求解即可．【解答】解：直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，对应的直角坐标方程为：y﹣x=1，点A的极坐标为A（2，），它的直角坐标为（2，﹣2）．点A到直线l的距离为：=．故答案为：．15．（2015•广东）如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD= 8．【分析】连接OC，确定OP⊥AC，OP=BC=，Rt△OCD中，由射影定理可得OC2=OP•OD，即可得出结论．【解答】解：连接OC，则OC⊥CD，∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，∵OP∥BC，∴OP⊥AC，OP=BC=，Rt△OCD中，由射影定理可得OC2=OP•OD，∴4=OD，∴OD=8．故答案为：8．三、解答题16．（12分）（2015•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若⊥，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求x的值．【分析】（1）若⊥，则•=0，结合三角函数的关系式即可求tanx的值；（2）若与的夹角为，利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求x的值．【解答】解：（1）若⊥，则•=（，﹣）•（sinx，cosx）=sinx ﹣cosx=0，即sinx=cosxsinx=cosx，即tanx=1；（2）∵||=，||==1，•=（，﹣）•（sinx，cosx）=sinx ﹣cosx，∴若与的夹角为，则•=||•||cos =，即sinx ﹣cosx=，则sin（x ﹣）=，∵x∈（0，）．∴x ﹣∈（﹣，）．则x ﹣=即x=+=．17．（12分）（2015•广东）某工厂36名工人年龄数据如图：工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄1 2 3 4404440411011121336313839192021222743413728293031343943385 6 7 8 93340454243141516171843453938362324252627344237444232333435364253374939（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）36名工人中年龄在﹣s 和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？【分析】（1）利用系统抽样的定义进行求解即可；（2）根据均值和方差公式即可计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）求出样本和方差即可得到结论．【解答】解：（1）由系统抽样知，36人分成9组，每组4人，其中第一组的工人年龄为44，所以其编号为2，∴所有样本数据的编号为：4n﹣2，（n=1，2，…，9），其数据为：44，40，36，43，36，37，44，43，37．（2）由平均值公式得=（44+40+36+43+36+37+44+43+37）=40．由方差公式得s2=[（44﹣40）2+（40﹣40）2+…+（37﹣40）2]=．（3）∵s2=．∴s=∈（3，4），∴36名工人中年龄在﹣s 和+s之间的人数等于区间[37，43]的人数，即40，40，41，…，39，共23人．∴36名工人中年龄在﹣s 和+s 之间所占百分比为≈63.89%．18．（14分）（2015•广东）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．（1）证明：PE⊥FG；（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．【分析】（1）通过△PDC为等腰三角形可得PE⊥CD，利用线面垂直判定定理及性质定理即得结论；（2）通过（1）及面面垂直定理可得PG⊥AD，则∠PDC为二面角P﹣AD﹣C的平面角，利用勾股定理即得结论；（3）连结AC，利用勾股定理及已知条件可得FG∥AC，在△PAC中，利用余弦定理即得直线PA与直线FG所成角即为直线PA与直线AC所成角∠PAC的余弦值．【解答】（1）证明：在△PDC中PO=PC且E为CD中点，∴PE⊥CD，又∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，PE⊂平面PCD，∴PE⊥平面ABCD，又∵FG⊂平面ABCD，∴PE⊥FG；（2）解：由（1）知PE⊥平面ABCD，∴PE⊥AD，又∵CD⊥AD且PE∩CD=E，∴AD⊥平面PDC，又∵PD⊂平面PDC，∴AD⊥PD，又∵AD⊥CD，∴∠PDC为二面角P﹣AD﹣C的平面角，在Rt△PDE中，由勾股定理可得：PE===，∴tan∠PDC==；（3）解：连结AC，则AC==3，在Rt△ADP中，AP===5，∵AF=2FB，CG=2GB，∴FG∥AC，∴直线PA与直线FG所成角即为直线PA与直线AC所成角∠PAC，在△PAC中，由余弦定理得cos∠PAC===．19．（14分）（2015•广东）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）e x﹣a．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：m≤﹣1．【分析】（1）利用f′（x）＞0，求出函数单调增区间．（2）证明只有1个零点，需要说明两个方面：①函数单调；②函数有零点．（3）利用导数的最值求解方法证明，思路较为复杂．【解答】解：（1）f′（x）=e x（x2+2x+1）=e x（x+1）2，∴f′（x）＞0，∴f（x）=（1+x2）e x﹣a在（﹣∞，+∞）上为增函数．（2）证明：∵f（0）=1﹣a，a＞1，∴1﹣a＜0，即f（0）＜0，∵f（）=（1+a）﹣a=+a（﹣1），a＞1，∴＞1，﹣1＞0，即f（）＞0，且由（1）问知函数在（﹣∞，+∞）上为增函数，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上有且只有一个零点．（3）证明：f′（x）=e x（x+1）2，设点P（x0，y0）则）f'（x）=e x0（x0+1）2，∵y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，∴f′（x0）=0，即：e x0（x0+1）2=0，∴x0=﹣1，将x0=﹣1代入y=f（x）得y0=．∴，∴，要证m≤﹣1，即证（m+1）3≤a﹣，需要证（m+1）3≤e m（m+1）2，即证m+1≤e m，因此构造函数g（m）=e m﹣（m+1），则g′（m）=e m﹣1，由g′（m）=0得m=0．当m∈（0，+∞）时，g′（m）＞0，当m∈（﹣∞，0）时，g′（m）＜0，∴g（m）的最小值为g（0）=0，∴g（m）=e m﹣（m+1）≥0，∴e m≥m+1，∴e m（m+1）2≥（m+1）3，即：，∴m≤．20．（14分）（2015•广东）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．【分析】（1）通过将圆C1的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线l的方程为y=kx，通过联立直线l与圆C1的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；（3）通过联立直线L与圆C1的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论．【解答】解：（1）∵圆C1：x2+y2﹣6x+5=0，整理，得其标准方程为：（x﹣3）2+y2=4，∴圆C1的圆心坐标为（3，0）；（2）设当直线l的方程为y=kx、A（x1，y1）、B（x2，y2），联立方程组，消去y可得：（1+k2）x2﹣6x+5=0，由△=36﹣4（1+k2）×5＞0，可得k2＜由韦达定理，可得x1+x2=，∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为，其中﹣＜k＜，∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为：（x﹣）2+y2=，其中＜x≤3；（3）结论：当k∈（﹣，）∪{﹣，}时，直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点．理由如下：联立方程组，消去y，可得：（1+k2）x2﹣（3+8k2）x+16k2=0，令△=（3+8k2）2﹣4（1+k2）•16k2=0，解得k=±，又∵轨迹C的端点（，±）与点（4，0）决定的直线斜率为±，∴当直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点时，k的取值范围为（﹣，）∪{﹣，}．21．（14分）（2015•广东）数列{a n}满足：a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．（1）求a3的值；（2）求数列{a n}的前n项和T n；（3）令b1=a1，b n=+（1+++…+）a n（n≥2），证明：数列{b n}的前n 项和S n满足S n＜2+2lnn．【分析】（1）利用数列的递推关系即可求a3的值；（2）利用作差法求出数列{a n}的通项公式，利用等比数列的前n项和公式即可求数列{a n}的前n项和T n；（3）利用构造法，结合裂项法进行求解即可证明不等式．【解答】解：（1）∵a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．∴a1=4﹣3=1，1+2a2=4﹣=2，解得a2=，∵a1+2a2+…+na n=4﹣，n∈N+．∴a1+2a2+…+（n﹣1）a n﹣1=4﹣，n∈N+．两式相减得na n=4﹣﹣（4﹣）=，n≥2，则a n=，n≥2，当n=1时，a1=1也满足，∴a n=，n≥1，则a3=；（2）∵a n=，n≥1，∴数列{a n}是公比q=，则数列{a n}的前n项和T n==2﹣21﹣n．（3）b n=+（1+++…+）a n，∴b1=a1，b2=+（1+）a2，b3=（1++）a3，∴b n=+（1+++…+）a n，∴S n=b1+b2+…+b n=（1+++…+）a1+（1+++…+）a2+…+（1+++…+）a n=（1+++…+）（a1+a2+…+a n）=（1+++…+）T n=（1+++…+）（2﹣21﹣n）＜2×（1+++…+），设f（x）=lnx+﹣1，x＞1，则f′（x）=﹣．即f（x）在（1，+∞）上为增函数，∵f（1）=0，即f（x）＞0，∵k≥2，且k∈N•时，，∴f（）=ln+﹣1＞0，即ln＞，∴ln，，…，即=lnn，∴2×（1+++…+）=2+2×（++…+）＜2+2lnn，即S n＜2（1+lnn）=2+2lnn．。
2015高考二模 广东省重点中学2015届高三模拟理科数学试题 Word版含答案
广东重点中学2015届高三理科数学模拟试题本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知z 是z 的共轭复数，若1z i =+（i 是虚数单位），则z z ⋅=A ．2-B ．1-C ．0D ．22．已知集合2{|20}A x xx =--…，{|ln(1)}B x y x ==-，则A B =A ．(1,2)B ．(1,2]C ．[1,1)-D ．(1,1)-3．已知椭圆E 的焦点与双曲线221412x y -=的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10，那么椭圆E 的离心率等于 A.35 B. 45 C. 54 D. 344. 已知数列{}n a 为等比数列，191,3a a ==，则5a =A. 2B.C. D. 5. 给出下列四个命题，其中假．命题是 A ．从匀速传递的新产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件新产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；B ．样本方差反映了样本数据与样本平均值的偏离程度；C ．在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好；D ．设随机变量X 服从正态分布(0,1)N ，若(1),P x p >=则1(10)2P x p -<<=-. 6. 若如下框图所给的程序运行结果为35S =,那么判断框中应填入的关于k 的条件是A. 7k =？B. 6k …？C. 6<k ？D. 6>k ？7．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下列结论一定正确的是ODCBAPA. 14l l ⊥B. 14//l lC. 14,l l 既不垂直也不平行D. 14,l l 的位置关系不确定8. 对于各数互不相等的正数数组(12,,...,n i i i )(n 是不小于2的正整数),如果在p q <时有p q i i <,则称“p i 与q i ”是该数组的一个“顺序”,一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”.例如,数组(2,4,3,1)中有“顺序”“2,4”、“2,3”,其“顺序数”等于2.若各数互不相等的正数数组1234(,,,a a a a ,5)a 的“顺序数”是4,则54321(,,,,)a a a a a 的“顺序数”是A. 7B. 6C. 5D. 4二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9—13题） 9. 不等式112x x +≥-的解集是_________.10. 曲线ln1)y x =-（2在点(1,0)处的切线方程为_________. 11. 从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是5的概率为_________. 12. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝14a ，2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为_________.13. 已知实数,a b 满足13a b ≤+≤且11a b -≤-≤，则42a b +的取值范围为_________. （二）选做题（14—15题，考生只能从中选做一题）14. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,圆θρsin 4=的圆心到直线3πθ= 的距离是________.15．（几何证明选讲选做题）如图所示，AB 是半径等于3的圆O 的直径，CD 是圆O 的弦，BA ,CD 的延长线交于点P ，若4PA =，5PD =，则CBD ∠=_________.三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知函数.cos 2sin cos 32)(2x x x x f += （1）求()6f π;(2) 求()f x 的最小正周期； （3）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，求函数)(x f 的值域. 17.（本小题满分12分）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得200-分）.设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立. （1）设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； （2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了。
【新课标Ⅱ-2】2015届高三上月考(1)数学(理)试题(含答案)
2015届上学期高三一轮复习第一次月考数学（理）试题【新课标II-2】考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.做答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效.3.做答第Ⅱ卷时，请按题号顺序在各题目规定的答题区域内做答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸，试题卷上答题无效.4.保持答题卡面清洁，不得折叠，不要弄破，弄皱，不准用涂改液，修正带，刮纸刀.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一，选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足i z i 31)3(+-=-（其中i 是虚数单位），则z 的实部为（ ） （A ）6 （B ）1 （C ）1- （D ）6-2．某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加视力测试，则一班和二班分别被抽取的人数是（ ） （A ）8，8 （B ）9，7 （C ）10，6 （D ）12，4 3．一个简单几何体的正视图，侧视图如图所示，则其俯视图可能为：①长，宽不相等的长方形；②正方形；③圆；④椭圆． 其中正确的是（ ） （A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）①④ 4．函数xx x f 1ln )(-=的零点所在区间是（ ） （A ）1(0,)2（B ）1(,1)2（C ）(1,2) （D ）(2,3)5．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出S 的值为（ ） （A ）4 （B ）8 （C ）10 （D ）126．“n ＝10”是 “n”的展开式中有常数项的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件7．双曲线22221x y a b-=的渐近线与圆22(2)1x y +-=相切，则双曲线的离心率为（ ）（A （B （C ）2 （D ）38．已知函数①x x y cos sin +=，②x x y cos sin 22=，则下列结论正确的是（ ） （A ）两个函数的图象均关于点(,0)4π-成中心对称 （B ）两个函数的图象均关于直线4x π=-成轴对称 （C ）两个函数在区间(,)44ππ-上都是单调递增函数 （D ）两个函数的最小正周期相同9．设c b ,表示两条直线，βα,表示两个平面，则下列命题是真命题的是（ ）10．已知等比数列{}n a 的前10项的积为32，则以下说法中正确的个数是（ ）①数列{}n a 的各项均为正数； ②数列{}n a③数列{}n a 的公比必是正数； ④数列{}n a 中的首项和公比中必有一个大于1． （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个11．已知函数2)(x e x f x -=，b ax x g +=)((0>a )，若对]2,0[1∈∀x ，]2,0[2∈∃x ，使得)()(21x g x f =，则实数a ,b 的取值范围是（ ）（A ）2502-≤<e a ,1≥b （B ）2502-≤<e a ,1≤b（C ）252-≥e a ,1≥b （D ）252-≥e a ,1≤b12．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左右焦点分别为12,F F ，两条曲线在第一象限的交点记为P ，12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形．若110PF =，椭圆与双曲线的离心率分别为12,e e ，则12e e ⋅的取值范围是（ ）（A ）)51,0( （B ）)31,51( （C ）1(,)3+∞ （D ）1(,)5+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题~24题为选考题，考生根据要求做答． 二，填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．设n 为正整数，n n f 131211)(++++= ，经计算得25)8(,2)4(,23)2(>>=f f f ，27)32(,3)16(>>f f ，观察上述结果，对任意正整数n ，可推测出一般结论是____________ 14．设,,是单位向量，且+=，则向量,的夹角等于____________15．已知抛物线)0(2:2>=p px y C 的准线为l ，过点)0,1(M 且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ，若MB AM =，则p 等于____________16．正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为1，此时四面体ABCD 外接球表面积为____________三，解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的一段图象如图所示．（1）求函数)(x f 的解析式；（2）求函数)(x f 的单调减区间，并求出)(x f 的最大值及取到最大值时x 的集合；（19）（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥ABCD P -中，四边形ABCD 为菱形，PAD ∆为等边三角形，平面⊥PAD 平面ABCD ，且2,60=︒=∠AB DAB ，E 为AD 的中点．（1）求证：PB AD ⊥；（2）在棱AB 上是否存在点F ，使EF 与平面PDC 成角正弦值为515，若存在，确定线段AF 的长度，不存在，请说明理由．（20）（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为1，过点(3,0)M 的直线与椭圆C 相交于两点,A B （1）求椭圆C 的方程；（2）设P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP +=（O 为坐标原点），当3||<AB 时，求实数t 的取值范围．请考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分．做题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． （22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，弦CA BD ,的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F ． 求证：（1）2CE CE AC DE BE =⋅+⋅； （2）B C F E ,,,四点共圆．（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=--=ty tx 322（t为参数），直线l 与曲线1)2(:22=--x y C 交于B A ,两点（1）求||AB 的长；（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P 的极坐标为)43,22(π，求点P 到线段AB 中点M 的距离．（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数)|5||1(|log )(2a x x x f --+-= （1）当5=a 时，求函数)(x f 的定义域；（2）当函数)(x f 的值域为R 时，求实数a 的取值范围．参考答案一，选择题1A 2B 3D 4C 5 B 6A 7C 8C 9D 10A 11D 12C 二，填空题13，22)2(+≥n f n14，3π 15，2 16，313π三，解答题17．（本小题满分12分） 解（1）由图知πππ4154443,3=-==T A ， ∴π5=T ，∴52=ω，∴)52sin(3)(ϕ+=x x f …… 2分 ∵)(x f 的图象过点)3,4(-π，∴)58sin(33ϕπ+=-， ∴Z k k ∈-=+,2258ππϕπ，∴Z k k ∈-=,10212ππϕ， ∵2||πϕ<，∴10πϕ-=，∴)1052sin(3)(π-=x x f …… 6分 （2）由Z k k x k ∈+≤-≤+,232105222πππππ 解得函数)(x f 的单调减区间为Z k k k ∈++],45,235[ππππ，…… 9分 函数)(x f 的最大值为3，取到最大值时x 的集合为},235|{Z k k x x ∈+=ππ .…… 12分 18（本小题满分12分）解：（1）设得分为60分为事件A …… 1分 得分为60分，12道题必须全做对．在其余的3道题中，有1道题答对的概率为12，有1道题答对的概率为13，还有1道答对的概率为14， …… 4分 所以得分为60分的概率为241413121)(=⋅⋅=A P …… 5分 （2）依题意，该考生得分ξ的取值范围为｛45，50，55，60｝ …… 6分解（1）证明：连接PE ，EB ，因为平面⊥PAD 平面ABCD ，PAD ∆为等边三角形，E 为AD 的中点，所以⊥PE 平面ABCD ，AD PE ⊥ …… 2分因为四边形ABCD 为菱形，且︒=∠60DAB ，E 为AD 的中点，所以AD BE ⊥…… 4分E BE PE = ，所以⊥AD 面PBE ，所以PB AD ⊥ …… 6分（2）以E 为原点，EP EB EA ,,分别为z y x ,,轴建立空间直角坐标系…… 7分)3,0,0(),0,0,1(),0,3,2(),0,3,0(),0,0,1(P D C B A --因为点F 在棱AB 上，设)0),1(3,(x x F -，面PDC 法向量),,(c b a =03=+=⋅c a ，03=+-=⋅b a所以)1,1,3(-=， …… 9分515)1(353|,cos |22=-+=><x x EF u ，解得21=x ， …… 11分所以存在点F ，1=AF …… 12分 20（本小题满分12分）解（1） 由已知c e a ==，所以2234c a =，所以22224,3a b c b ==所以222214x y b b+= …… 1分又由过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为221b a= 所以1b = …… 3分所以2214x y += …… 4分 （2）设1122(,),(,),(,)A x y B x y P x y设:(3)AB y k x =-与椭圆联立得22(3)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 整理得2222(14)243640k x k x k +-+-=24222416(91)(14)0k k k ∆=--+>得215k < 2212122224364,1414k k x x x x k k-+=⋅=++ …… 6分1212(,)(,)OA OB x x y y t x y +=++= 121()x x x t =+=2224(14)k t k +[]12122116()()6(14)ky y y k x x k t t t k -=+=+-=+由点P 在椭圆上得22222(24)(14)k t k ++22221444(14)k t k =+ 22236(14)k t k =+ …… 8分又由12AB x =-<, 所以2212(1)()3k x x +-<221212(1)()43k x x x x ⎡⎤++-<⎣⎦21（本小题满分12分）解：（1）222)1(1)1(21)(-+=-+='x x x x x x ϕ …… 2分 1,0≠>x x ，0)(>'∴x ϕ，增区间为（0,1）和（1，+∞） …… 4分（2）,1)(,1)(00x x f x x f ='∴=' 切线方程为)(1ln 000x x x x y -=-① ……6分 设)(x g y l =与切于点),,(11xe x 010ln ,1,)(1x x x ee x g x x-=∴=∴=' ， l ∴方程00001ln 1x x x x x y ++=，② …… 8分 由①②可得11ln ,1ln 1ln 0000000-+=∴+=-x x x x x x x ， 由（1）知，11ln )(-+-=x x x x ϕ在区间),1(+∞上单调递增， 又01211ln )(<--=-+-=e e e e e ϕ，01311ln )(222222>--=-+-=e e e e e e ϕ， 由零点存在性定理，知方程0)(=x ϕ必在区间),(2e e 上有唯一的根，这个根就是0x ，故在区间),1(+∞上存在唯一的0x ，使得直线l 与曲线)(x g y =相切 …… 12分22（本小题满分10分）证明：（1）,~CDE ABE ∆∆ DE AE CE BE ::=∴，∴2CE CE AC DE BE =⋅+⋅ …… 5分（2） AB 是⊙O 的直径，所以︒=∠90ECB ，BE CD 21=∴， BF EF ⊥，BE FD 21=∴，∴B C F E ,,,四点与点D 等距，∴B C F E ,,,四点共圆 …… 10分23（本小题满分10分）解（1）直线l 的参数方程化为标准型⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=t y t x 232212（t 为参数） …… 2分代入曲线C 方程得01042=-+t t设B A ,对应的参数分别为21,t t ，则421-=+t t ，1021-=t t ， 所以142||||21=-=t t AB ……5分（2）由极坐标与直角坐标互化公式得P 直角坐标)2,2(-， …… 6分所以点P 在直线l ， …… 7分中点M 对应参数为2221-=+t t ， 由参数t 几何意义，所以点P 到线段AB 中点M 的距离2||=PM ……1 0分。
吴川一中2015届高三级第二次月考
2015届吴川一中高三级第二次月考试题数学 (理科)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,2,3}A =，集合{02}B x x =≤≤，则AB =( ).A ．∅B ．[1,2]C ．{1,2}D ．{1,2,3} 2．复数21(i )i-=( ).A ．4B ．2C ．2-D ．4- 3．已知()cos(2)2f x x π=+，则()f x 是( ). A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为2π的奇函数 D ．周期为2π的偶函数 4．函数()xf x xe =的单调递增区间为( ).A ．(,)-∞+∞B ．(1,)-+∞C ．(0,)+∞D ．(1,)+∞ 5．已知向量(1,),(,4)a x b x ==，若//a b ，则x 的值等于( ). A ．2或2- B ．4或4- C ．2 D ．2-6．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列说法中，正确的是( ). A ．若//m n ，n α⊂，则//m α B ．若αβ⊥，m α⊂，则m β⊥ C ．若//m α，//n α，则//m n D ．若m β⊥，m α⊂，则αβ⊥7．已知随机变量ξ服从正态分布2(,)N a σ，且(0)(2)P P ξξ<=>，则不等式x a x -≥的解集为( ).A ．1[,)2+∞ B ．1(,]2-∞ C ．1[0,]2D ．(,1]-∞ONMBA8．设实数x 、y 满足24240,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩，则{}min 221,1z x y x y =+-++的取值范围是( ).A ．[1,3]-B ．11[3,]3C ．11[1,]3-D ．13[1,]3-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填在题中的横线上． (一)必做题(9~13题) 9．二项式91(x+的展开式中3x 的系数为 . 10．已知数列{}n a 是首项与公比均为2的等比数列，数列2211{}(log )(log )n n a a +的前n 项和为n S ，则10S = .11．图1若输入91m =，21n =，则输出=m ． (注:框图中的的赋值符号“＝”也可以写成“←”或“：＝”) 12．已知点A 在曲线x y e =上，点B 在曲线ln y x =上，则AB 的最小值为 .13．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线22:4C y x =的焦点与2F 重合， 椭圆1C 与抛物线2C 在第一象限交于点P ，且12F PF △ 是以1PF 为底边的等腰三角形，则椭圆1C 的离心率等于 . (二)选做题(14~15题，考生只能从中选做一题)14．(坐标系与参数方程选讲选做题)过点(2,)3π且平行于 极轴的直线的极坐标方程为____．15．(几何证明选讲选做题)如图，点M 为O 的弦AB 上 的一点，连接MO .MN OM ⊥，MN 交圆于N ，1图若2MA =，4MB =，则MN = .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．(本小题满分12分)在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且sin B =，cos C =. (1)求sin A 的值；(2)若1a =，求ABC △的面积.17．(本小题满分12分) 某商场进行促销活动，到商场购物消费满100元就可转动转盘(转盘为十二等分的圆盘)一次进行抽奖，满200元转两次，以此类推(奖金累加)；转盘的指针落在A 区域中一等奖，奖10元，落在B 、C 区域中二等奖，奖5元，落在其它区域则不中奖．一位顾客一次购物消费268元，(1)求该顾客中一等奖的概率；(2)记ξ为该顾客所得的奖金数，求10ξ≥的概率.18．(本小题满分14分)如图，AB 是圆柱ABFG 的母线，C 是点A 关于点B 对称的点，O 是圆柱上底面的圆心，BF 过O 点，DE 是过O 点的动直径，且AB =2，BF =2AB . (1)求证：BE ⊥平面ACD ；(2)当BD BE =时，求直线CE 与平面ADE 所成角的 正弦值.19．(本小题满分14分)已知数列{}n a 、{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-，1n n b a =-，数列{}n b 的前n 项和为n S .(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)当0x >时，证明：ln(1)x x +<； (3)当n *∈N 时，证明：ln(1)n n S +<．20．(本小题满分14分)已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一个焦点为(1)求双曲线C 的标准方程；(2)若动点00(,)P x y 满足220x a <，且点P 到双曲线C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.21．(本小题满分14分)设a ∈R ，函数()ln f x x ax =-.(1)若2a =，求曲线()y f x =在()1,2P -处的切线方程； (2)若()f x 无零点，求实数a 的取值范围；(3)若()f x 有两个相异零点12,x x ，求证: 212x x e ⋅>.2015届吴川一中高三级第二次月考理科数学参考答案及评分标准一、选择题：1～4 CDAB 5～8 ADBC 二、填空题：9．9 10．101111．7 12131 14．sin ρθ= 15．8．C 作出可行域如图所示，得44(,)33A ，当2211x y x y +-≥++，即2x y +≥时，1z x y =++有12z y x -=-+， 则min 0213z =++=，max44111333z =++=， ∴11[3,]3z ∈，当2211x y x y +-<++，即2x y +<时，221z x y =+-，有12z y x +=-+，则min 0011z =+-=-，max 202213z =⨯+⨯-=，∴[1,3)z ∈-， ∴1111[1,3)[3,][1,]33-=-.13．可得1(1,0)F -、2(1,0)F ，设11(,)P x y ，由12F PF △是以1PF 为底边的等腰三角形，得2122PF F F ==，由抛物线的定义知2112PF x =+=，有11x =，则21144y x ==，∴12y =，这时212PF F F ⊥， 则1PF ==1222a PF PF =+=，∴1a =，即1c e a ===.三、解答题：16．解：(1)由cos C =知C 为钝角，则B为锐角，而sin 2B =，……………1分∴sin C ==cos B ==，…………………………4分 ∴sin sin[]sin sin cos cos sin A B C B C B C B C =π-(+)=(+)=+(=⨯+=；…………………………………………7分 (2)若1a =，由正弦定理得sin sin a bA B=，∴sin sin a b B A =⨯== ………………………………………………10分 ∴ABC △的面积11sin 1122S ab C ==⨯⨯=. ……………………………12分 17．解：该顾客一次购物消费268元，可抽奖2次，……………………………………1分 (1)方法一：设事件A 表示该顾客中一等奖，………………………………………………2分则1111123()212121212144P A =⨯+⨯⨯=，…………………………………………………5分 所以该顾客中一等奖的概率是23144； …………………………………………………6分方法二：该顾客抽奖一次，中一等奖的概率为112p =，设事件A 表示该顾客中一等奖，…………………………………………………………………………………………………2分则11122022111123()C ()(1)C ()(1)12121212144P A =-+-=，………………………………5分 所以该顾客中一等奖的概率是23144； …………………………………………………6分(2)方法一：当10ξ≥时，ξ的取值为20，15，10， …………………………………7分111(20)1212144P ξ==⨯=， 121(15)2121236P ξ==⨯⨯=，221911(10)21212121272P ξ==⨯+⨯⨯=，………………………………………………10分 ∴(10)(20)(15)(10)P P P P ξξξξ≥==+=+=11113144367216=++=.………12分 方法二：当10ξ≥时，ξ的取值为20，15，10，而10ξ<时，ξ的取值为5，0，…………………………………………………………8分又291(5)212124P ξ==⨯⨯=，999(0)121216P ξ==⨯=，…………………………10分 ∴193(10)1(5)(0)141616P P P ξξξ≥=-=-==--=.…………………………12分18．(1)证明:AB 是圆柱ABFG 的母线，C 是点A 关于点B 对称的点， ∴AC 垂直圆柱的底面，即AC ⊥平面BDF ，………………1分 ∵BE ⊂平面BDF ，∴BE AC ⊥， …………………………2分 ∵DE 是圆柱上底面的直径，∴BE BD ⊥，…………………3分 ∵而AC BD B =，……………………………………………4分 ∴BE ⊥平面ACD ；……………………………………………5分(2)方法一：当BD BE =时，DBE △为等腰直角三角形， 而2,24AB BF AB ===，则4DE BF ==，∴BD BE ==6分 由Rt Rt CBD CBE △≌△，得CD CE =，又O 为DE 的中点， 连接CO ，则CO DE ⊥，……………………………………7分由ABO △与CBO △均为等腰直角三角形，知45COB AOB ∠=∠=， ∴90AOC ∠=，即CO AO ⊥，而AODE O =，∴CO ⊥平面ADE ，………………………………………………………………………9分 ∴CEO ∠为直线CE 与平面ADE 所成的角，…………………………………………10分又2BC BO AB ===，则CO ==而CE =∴sin CO CEO CE ∠===………………………………………………………13分xy∴直线CE 与平面ADE所成角的正弦值为3………………………………………14分 方法二：当BD BE =时，DBE △为等腰直角三角形， 而2,24AB BF AB ===，则4DE BF ==，∴BD BE ==2BC AB ==，………………6分如图，以B 为原点，,,BD BE BC 分别为,,x y z 轴建立空间 直角坐标系，………………………………………………7分则(0,0,2),(0,0,2),A C D -，E ， ………………………………8分 有(0,22,2),(22,0,2),(0,2CE AD AE =-==，……………………………9分 设平面ADE 的法向量为(,,)n x y z =，由00n AD n AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩得2020zz ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，取z =1,1x y ==， ∴(1,1,n =，…………………………………………………………………………11分cos ,2CE n CE n CE n<>===，……………………………………13分 ∴直线CE 与平面ADE 所成角的正弦值为3………………………………………14分 19．解：(1)方法一：由1n n b a =-得1n n a b =+代入11(1)n n n a a a +-=-得1(1)n n n b b b +=+， 整理得11n n n n b b b b ++-=， …………………………………………………………………1分 ∵0n b ≠否则1n a =，与12a =矛盾，从而得1111n nb b +-=， ………………………3分 ∵1111b a =-=，∴数列1{}nb 是首项为1，公差为1的等差数列，∴1nn b =，即1n b n =． ……………………………………………………………………5分方法二：由112,1(1)n n n a a a a +=-=-，得232a =，343a =， 又1n nb a =-，得2311,23b b ==， ………………………………………………………1分 猜想1n b n=，…………………………………………………………………………………2分 当1n =时，11b =成立，假设n k =时，1k b k=，……………………………………………………………………3分 那么，当1n k =+时，由11(1)k k k a a a +-=-得111(1)(1)k a k k+=+-，∴1111k a k +-=+，即111k b k +=+，………………………………………………………4分∴1n b n=；……………………………………………………………………………………5分(2)证明：当0x >时，令()ln(1)f x x x =+-，则1()1011x f x x x -'=-=<++，…6分 ∴()f x 在(0,)+∞上单调递减，有()(0)0f x f <=，即ln(1)x x +<，∴ln(1)x x +<；……………………………………………………………………………8分(3)方法一：由(1)得111123n S n=++++，由(2)得ln(1)x x +<， …………………9分 取1x n =有11ln(1)n n +<，即11lnn n n +<，……………………………………………10分 ∴21ln 11<，31ln 22<，41ln 33<，，11lnn n n+<，………………………………11分 把以各式累加得：23111ln ln ln1122n n S n n++++<+++=，…………………12分 ∴231ln()12n n S n+<， ………………………………………………………………13分 即ln(1)n n S +<.……………………………………………………………………………14分 方法二：由(1)得111123n S n=++++，要证ln(1)n n S +<，只证：111ln(1)123n n+<++++，……………………………………………………9分 当1n =时，ln 21<成立，假设n k =时，111ln(1)123k k +<++++成立，……………………………………10分 那么，当1n k =+时，111111ln(1)2311k k k k +++++>++++，………………11分下面证明：1ln(1)ln(2)1k k k ++>++，………………………………………………12分 只证：1ln(2)ln(1)1k k k +-+<+，只证：21ln 11k k k +<++， 只证：11ln(1)11k k +<++，……………………………………………………………13分 由(2)知上式成立，∴ln(1)n nS +<成立. ……………………………………………………………………14分 20．解：(1)由题意知cc a ==a =， ∴21b ===,……………………………………………………………3分∴双曲线C 的标准方程为2212x y -=； …………………………………………………4分 (2)设过点00(,)P x y 作双曲线C ：2212x y -=两条切线，切点分别为,A B ， 设切线PA 的方程为00()y y k x x -=-，…………………………………………………5分联立方程0022()12y y k x x x y -=-⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得22002[()]20x kx y kx -+--=，展开并化简得2220000(12)4()2()20k x k y kx x y kx ------=， …………………8分 令2220000[4()]4(12)[2()2]0k y kx k y kx ∆=-------=，即2200()120y kx k -+-=，2220000(2)210x k x y k y ∴--++=， ………………10分又202x <以上方程必有两实根12,k k ，且12,PA PB k k k k ==，由PA PB ⊥得121k k ⋅=-, ………………………………………………………………11分 ∴201220112y k k x +⋅==--，即22001x y +=， …………………………………………12分 ∴点P 的轨迹方程为221x y +=. ………………………………………………………14分21．解：在区间()0,+∞上，11()ax f x a x x-'=-=. ………………………………1分 (1)当2a =时，(1)121f '=-=-，则切线方程为(2)(1)y x --=--，即10x y ++=； ……………………………………………………………………………3分(2)方法一：①若0a <，则()0f x '>，()f x 是区间()0,+∞上的增函数， (1)0f a =->Q ，()(1)0a a a f e a ae a e =-=-<，(1)()0a f f e ∴⋅<，函数()f x 在区间()0,+∞有唯一零点. ………………………6分 ②若0a =，()ln f x x =有唯一零点1x =. ……………………………7分 ③若0a >，令()0f x '=得: 1x a=. 在区间1(0,)a 上，()0f x '>，函数()f x 是增函数; 在区间1(,)a +∞上，()0f x '<，函数()f x 是减函数;故在区间()0,+∞上，()f x 的极大值为11()ln1ln 1f a a a =-=--. 由1()0,f a <即ln 10a --<，解得:1a e>. 故所求实数a 的取值范围是1(,)e+∞. …………………………………9分 方法二：函数()f x 无零点⇔方程ln x ax =无实根，∴ln x a x=在()0,+∞上无实数解， ……………………………………………………4分 令ln ()x g x x =，则21ln ()x g x x -'=， 由()0g x '=即21ln 0x x -=得：x e = …………………………………6分 在区间(0,)e 上，()0g x '>，函数()g x 是增函数;在区间(,)e +∞上，()0g x '<，函数()g x 是减函数;故在区间()0,+∞上，()g x 的极大值为1()g e e=. ………………………7分 注意到(0,1)x ∈时，()(),0g x ∈-∞；1x =时(1)0g =；()1,x ∈+∞时，1()(0,]g x e∈ 故方程ln x a x =在()0,+∞上无实数解⇔1a e>. 即所求实数a 的取值范围是1(,)e +∞. ……………………9分 方法三：函数()f x 无零点⇔方程ln x ax =无实根， …………………………………4分 令ln y x =、y ax =，当直线y ax =与曲线ln y x =相切时，设切点为00(,)x y ，…5分由ln y x =得1y x '=，则000001ln ax y ax y x ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，有01ax =，01y =，则0x e =， 即1a e=，……………………………………………………………………………………7分 当1a e>时，直线y ax =与曲线ln y x =没有交点，方程ln x ax =无实根，…………8分 故所求实数a 的取值范围是1(,)e+∞. …………………………………9分 (3)证明：设120,x x >>12()0,()0,f x f x ==Q 1122ln 0,ln 0x ax x ax ∴-=-=， 1212ln ln ()x x a x x ∴+=+，1212ln ln ()x x a x x -=-，原不等式21212ln ln 2x x e x x ⋅>⇔+>12()2a x x ⇔+>121212ln ln 2x x x x x x -⇔>-+1122122()ln x x x x x x -⇔>+， 令12x t x =，则1t >，于是1122122()2(1)ln ln 1x x x t t x x x t -->⇔>++. ………………12分 设函数2(1)()ln 1t g t t t -=-+(1)t >，求导得: 22214(1)()0(1)(1)t g t t t t t -'=-=>++，故函数()g t 是()1,+∞上的增函数，()(1)0g t g ∴>=， 即不等式2(1)ln 1t t t ->+成立，故所证不等式212x x e ⋅>成立. (14)分。
2015年广东理科数学试题考及参考答案(热身卷)word
图174321098782015年广东理科高考数学卷 （热身卷）及参考答案参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集{}1,2,3,4,5U =, 集合{}3,4,5M =, {}1,2,5N =, 则集合{}1,2可以表示为（ ） A ．M N B ．()U M N ð C ．()U MN ð D ．()()U U M N 痧2.复数512ii-=（ ） A ．2-i B ．12-i C ．2i -+ D ．12i -+3．已知向量()3,4a =，若5λ=a ，则实数λ的值为（ ）A ．15 B ．1 C ．15± D ．1± 4. 若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图1），其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数和平均数分别是（ ）A. 91, 91.5B. 91, 92C. 91.5, 91.5D. 91.5, 925. 直线10x ay ++=与圆()2214x y +-=的位置关系是（ ）A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定286.,04,2().03.7.8.10.11x y x y x z x y y A B C D +≤⎧⎪≤≤=+⎨⎪≤≤⎩若变量满足约束条件则的最大值等于 7. 下列函数为奇函数的是（ ）.A.x x y e e -=-B.2x y =C.sin y x =D.ln y x x =⋅8.,,,,,,cos cos ().....ABC A B C a b c a b A B A B C D ∆≤≥在中角所对应的边分别为则“”是“”的充分必要条件充分非必要条件必要非充分条件非充分非必要条件二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）图39. 已知1sin 2α=，则cos 2α的值为 . 10. 已知e 为自然对数的底数，若曲线y x =e x在点()1,e 处的切线斜率为 .11. 已知随机变量X 服从正态分布()2,1N . 若()130.6826P X ≤≤=，则()3P X > 等于 .12. 已知幂函数()223(mm f x xm --+=∈Z )为偶函数，且在区间()0,+∞上是单调增函数，则()2f -的值为 .13．等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则212223242l o g +l o g +l o g +l o g +l o g =a aa a a ________.（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14. （坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为cos sin ,(cos sin x y θθθθθ=+⎧⎨=-⎩为参数)和2,(x t t y t =-⎧⎨=⎩为参数).以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴， 建立极坐标系，则曲线1C 与2C 的交点的极坐标．．．为 .15. （几何证明选讲选做题）如图3，BC 是圆O 的一条弦，延长BC 至点E ， 使得22BC CE ==，过E 作圆O 的切线，A 为 切点，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ，则DE 的长为 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数()sin(),3f x A x x R π=+∈，且5()122f π=（1） 求A 的值；（2） 若()()(0,)2f f πθθθ--=∈，求()6f πθ-图4O FEDCB A 图5FE PODB A袋子中装有大小相同的白球和红球共7个，从袋子中任取2个球都是白球的概率为17，每个球被取到的机会均等. 现从袋子中每次取1个球，如果取出的是白球则不再放回，设在取得红球之前已取出的白球个数为X .（1）求袋子中白球的个数； （2）求X 的分布列和数学期望.18. （本小题满分14分）如图4，在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ︒∠=，点E ，F 分别是边CD ，CB 的 中点，ACEF O =，沿EF 将△CEF 翻折到△PEF ，连接PA,PB,PD ，得到如图5的五棱锥P ABFED -，且PB （1）求证：BD ⊥平面POA ；（2）求二面角--B AP O 的正切值.19. （本小题满分14分）已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足21-=a ，*)(0231N n S a n n ∈=+++。
2015年全国各地高考数学试题及解答分类大全（导数及其应用）（2..
2015年全国各地高考数学试题及解答分类大全（导数及其应用）一、选择题：1.（2015安徽文）函数32f x ax bx cx d的图像如图所示，则下列结论成立的是（）（A）a>0，b<0，c>0，d>0 （B）a>0，b<0，c<0，d>0（C）a<0，b<0，c<0，d>0 （D）a>0，b>0，c>0，d<02．（2015福建理）若定义在R上的函数f x满足01f，其导函数f x满足1f x k，则下列结论中一定错误的是（）A．11fk kB．111fk kC．1111fk kD．111kfk k【答案】C考点：函数与导数．3．（2015福建文）“对任意(0,)2x，sin cos k x x x ”是“1k ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】 B考点：导数的应用．4.(2015全国新课标Ⅰ卷理)设函数()f x =(21)x e x ax a ,其中a 1，若存在唯一的整数x 0，使得0()f x 0，则a 的取值范围是（）A.[-，1） B. [-，） C. [，）D. [，1）【答案】D 【解析】试题分析：设()g x =(21)x e x ，yax a ，由题知存在唯一的整数0x ，使得0()g x 在直线yaxa 的下方.因为()(21)xg x e x ，所以当12x时，()g x ＜0，当12x 时，()g x ＞0，所以当12x时，max [()]g x =12-2e ，当0x时，(0)g =-1，(1)30g e，直线y axa 恒过（1,0）斜率且a ，故(0)1ag ，且1(1)3g ea a ，解得32e≤a ＜1，故选D.考点：导数的综合应用5．(2015全国新课标Ⅱ卷理)设函数'()f x 是奇函数()()f x xR 的导函数，(1)0f ，当0x 时，'()()0xf x f x ，则使得()0f x 成立的x 的取值范围是（）A ．(,1)(0,1)B ．(1,0)(1,)C ．(,1)(1,0)D ．(0,1)(1,)【答案】A 【解析】试题分析：记函数()()f xg x x，则''2()()()xf x f x g x x，因为当0x 时，'()()0xf x f x ，故当0x时，'()0g x ，所以()g x 在(0,)单调递减；又因为函数()()f x x R 是奇函数，故函数()g x 是偶函数，所以()g x 在(,0)单调递减，且(1)(1)0g g ．当01x 时，()0g x ，则()0f x ；当1x 时，()0g x ，则()0f x ，综上所述，使得()0f x 成立的x 的取值范围是(,1)(0,1)，故选A ．考点：导数的应用、函数的图象与性质．6.(2015陕西理)对二次函数2()f x axbx c （a 为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A ．-1是()f x 的零点 B ．1是()f x 的极值点C ．3是()f x 的极值 D. 点(2,8)在曲线()yf x 上【答案】A考点：1、函数的零点； 2、利用导数研究函数的极值．二、填空题：1.（2015安徽理）设30x ax b，其中,a b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 .（写出所有正确条件的编号）①3,3a b ；②3,2ab；③3,2ab；④0,2ab；⑤1,2ab.与最值；函数零点问题考查时，要经常性使用零点存在性定理.2. (2015湖南理)20(1)x dx.【答案】0.【考点定位】定积分的计算.【名师点睛】本题主要考查定积分的计算，意在考查学生的运算求解能力，属于容易题，定积分的计算通常有两类基本方法：一是利用牛顿-莱布尼茨定理；二是利用定积分的几何意义求解.3、(2015全国新课标Ⅰ卷文)已知函数31f x axx 的图像在点1,1f 的处的切线过点2,7，则a .4. (2015全国新课标Ⅱ卷文)已知曲线ln y xx 在点1,1处的切线与曲线221y axa x 相切,则a= ．【答案】8 【解析】试题分析：由11y x可得曲线ln y xx 在点1,1处的切线斜率为2,故切线方程为21y x ,与221y axa x 联立得220axax ,显然0a ,所以由2808aa a .考点：导数的几何意义.5、(2015陕西文)函数xy xe 在其极值点处的切线方程为____________.【答案】1ye考点：导数的几何意义.6.(2015陕西理)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为．【答案】1.2【解析】试题分析：建立空间直角坐标系，如图所示：原始的最大流量是11010222162，设抛物线的方程为22xpy （0p ），因为该抛物线过点5,2，所以2225p ，解得254p ，所以2252x y ，即2225y x ，所以当前最大流量是5323535522224022255255257575753xdxxx，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是16 1.2403，所以答案应填： 1.2．考点：1、定积分；2、抛物线的方程；3、定积分的几何意义．7.(2015陕西理)设曲线xy e 在点（0,1）处的切线与曲线1(0)yx x上点p 处的切线垂直，则p的坐标为．【答案】1,1【解析】试题分析：因为xy e ，所以xye ，所以曲线xye 在点0,1处的切线的斜率011x k ye，设的坐标为00,x y （00x ），则01y x ，因为1yx，所以21yx，所以曲线1yx在点处的切线的斜率0221x x k yx，因为121k k ，所以2011x，即201x ，解得01x ，因为00x ，所以01x ，所以01y ，即的坐标是1,1，所以答案应填：1,1．考点：1、导数的几何意义；2、两条直线的位置关系．8、(2015四川文)已知函数f (x )＝2x，g (x )＝x 2＋ax (其中a ∈R ).对于不相等的实数x 1，x 2，设m ＝1212()()f x f x x x ，n ＝1212()()g x g x x x ，现有如下命题：①对于任意不相等的实数x 1，x 2，都有m＞0；②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1，x 2，都有n ＞0；③对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ；④对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n .其中真命题有___________________(写出所有真命题的序号).【答案】①④【解析】对于①，因为 f '(x)＝2x ln 2＞0恒成立，故①正确对于②，取a ＝－8，即g'(x)＝2x －8，当x 1，x 2＜4时n ＜0，②错误对于③，令 f '(x)＝g'(x)，即2x ln2＝2x ＋a 记h(x)＝2x ln2－2x ，则h'(x)＝2x (ln2)2－2【考点定位】本题主要考查函数的性质、函数的单调性、导数的运算等基础知识，考查函数与方程的思想和数形结合的思想，考查分析问题和解决能提的能力.【名师点睛】本题首先要正确认识m ，n 的几何意义，它们分别是两个函数图象的某条弦的斜率，因此，借助导数研究两个函数的切线变化规律是本题的常规方法，解析中要注意“任意不相等的实数x 1，x 2”与切线斜率的关系与差别，以及“都有”与“存在”的区别，避免过失性失误.属于较难题. 9. (2015天津文)已知函数ln ,0,f x ax x x,其中a 为实数,f x 为f x 的导函数,若13f ,则a 的值为．【答案】3 【解析】试题分析：因为1ln f xa x ,所以13f a .考点：导数的运算法则.10.(2015天津理)曲线2y x与直线y x 所围成的封闭图形的面积为.【答案】16【解析】试题分析：两曲线的交点坐标为(0,0),(1,1)，所以它们所围成的封闭图形的面积11223111236Sx xdxxx.考点：定积分几何意义.三、解答题：1.（2015安徽文）已知函数)0,0()()(2ra r xax x f （Ⅰ）求)(x f 的定义域，并讨论)(x f 的单调性；（Ⅱ）若400ra ，求)(x f 在),0(内的极值.2.（2015安徽理）设函数2()f x xax b .（Ⅰ）讨论函数(sin )f x 在(,)22内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；（Ⅱ）记2000()f x xa xb ，求函数0(sin )(sin )f x f x 在[]22,上的最大值D ；（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取0a b ，求24azb满足D 1时的最大值.3.（2015北京文）设函数2ln 2xf xk x ，0k ．（Ⅰ）求f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）证明：若f x 存在零点，则f x 在区间1,e 上仅有一个零点．【答案】（1）单调递减区间是(0,)k ，单调递增区间是(,)k ；极小值(1ln )()2k k f k ；（2）证明详见解析.所以，()f x 的单调递减区间是(0,)k ，单调递增区间是(,)k ；()f x 在x k 处取得极小值(1ln )()2k k f k .（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在区间(0,)上的最小值为(1ln )()2k k f k .因为()f x 存在零点，所以(1ln )02k k ，从而ke .当k e 时，()f x 在区间(1,)e 上单调递减，且()0f e ，所以x e 是()f x 在区间(1,]e 上的唯一零点.当ke 时，()f x 在区间(0,)e 上单调递减，且1(1)02f ，()02e kf e ，所以()f x 在区间(1,]e 上仅有一个零点. 综上可知，若()f x 存在零点，则()f x 在区间(1,]e 上仅有一个零点.考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、函数零点问题.4.（2015北京理）已知函数1ln1xf x x．（Ⅰ）求曲线y f x 在点00f ，处的切线方程；（Ⅱ）求证：当01x，时，323xf xx；（Ⅲ）设实数k 使得33xf x k x对01x，恒成立，求k 的最大值．【答案】（Ⅰ）20x y ，（Ⅱ）证明见解析，（Ⅲ）k 的最大值为 2. 试题解析：（Ⅰ）212()ln,(1,1),(),(0)2,(0)011xf x x f x f f xx，曲线yf x 在点00f ，处的切线方程为20xy；（Ⅱ）当01x ，时，323xf xx，即不等式3()2()03x f x x，对(0,1)x 成立，设331()ln2()ln(1)ln(1)2()133xxxF x xx x xx，则422()1xF x x，当01x ，时，()0F x ，故()F x 在（0，1）上为增函数，则()(0)0F x F ，因此对(0,1)x ，3()2()3xf x x成立；（Ⅲ）使33xf x k x成立，01x ，，等价于31()ln()013xx F x k xx，01x，；422222()(1)11kxkF x k x xx ，当[0,2]k 时，()0F x ，函数在（0，1）上位增函数，()(0)0F x F ，符合题意；当2k时，令42()0,(0,1)k F x x k，x 0(0,)x 0x 0(,1)x ()F x -+()F x 极小值()(0)F x F ，显然不成立，综上所述可知：k 的最大值为 2.考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的单调性，证明不等式；3.含参问题讨论.5．（2015福建文）已知函数2(1)()ln 2x f x x．(Ⅰ)求函数f x 的单调递增区间；（Ⅱ）证明：当1x 时，1f xx ；（Ⅲ）确定实数k 的所有可能取值，使得存在1x ，当0(1,)xx 时，恒有1f xk x ．【答案】(Ⅰ)150,2；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）,1．【解析】(Ⅰ)求导函数21xx f xx，解不等式'()0f x 并与定义域求交集，得函数f x 的单调递增区间；（Ⅱ）构造函数F 1x f x x ，1,x ．欲证明1f x x ，只需证明()F x 的最大值小于0即可；（Ⅲ）由（II ）知，当1k 时，不存在01x 满足题意；当1k时，对于1x ，有11f x x k x ，则1f xk x ，从而不存在01x 满足题意；当1k 时，构造函数G1x f x k x ，0,x，利用导数研究函数()G x 的形状，只要存在1x ，当0(1,)xx 时()0G x 即可．试题解析：（I ）2111xx f xx xx ，0,x．由0f x 得2010x xx 解得1502x．故f x的单调递增区间是150,2．（II ）令F 1x f xx ，0,x ．则有21F x xx．当1,x 时，F 0x，所以F x 在1,上单调递减，故当1x 时，F F 10x，即当1x 时，1f x x ．（III ）由（II ）知，当1k时，不存在01x 满足题意．当1k 时，对于1x ，有11f x x k x ，则1f xk x ，从而不存在01x 满足题意．当1k时，令G 1xf x k x ，0,x，则有2111G 1xk x xx kxx．由G0x 得，2110xk x ．解得2111402kk x ，2211412k k x ．当21,xx 时，G 0x ，故G x 在21,x 内单调递增．从而当21,xx 时，G G 10x，即1f xk x ，综上，k 的取值范围是,1．考点：导数的综合应用．6.（2015福建理）已知函数f()ln(1)x x ，(),(k ),g x kx R(Ⅰ)证明：当0x x x 时，f()；(Ⅱ)证明：当1k 时，存在00x ,使得对0(0),xx 任意，恒有f()()x g x ；(Ⅲ)确定k 的所以可能取值，使得存在0t ，对任意的(0),x，t 恒有2|f()()|x g x x ．【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详见解析；(Ⅲ)=1k ．【解析】试题分析：(Ⅰ)构造函数()f()ln(1),(0,),F x x x x x x只需求值域的右端点并和0比较即可；(Ⅱ)构造函数G()f()()ln(1),(0,),x x g x x kx x即()0G x ，求导得1()1+G x kx(1k)1+kx x，利用导数研究函数()G x 的形状和最值，证明当1k时，存在00x ，使得()0G x 即可；(Ⅲ)由(Ⅰ)知，当1k 时，对于(0,),x+()f()g x x x ，故()f()g x x ，则不等式2|f()()|x g x x 变形为2k ln(1)x x x ，构造函数2M()k ln(1),[0)x xx x x ，+，只需说明()0M x ，易发现函数()M x 在22(k 2)8(k 1)0)4k x （，递增，而(0)0M ，故不存在；当1k 时，由(Ⅱ)知，存在00x ,使得对任意的任意的0(0),xx ，恒有f()()x g x ，此时不等式变形为2ln(1)k x xx ，构造2N()ln(1)k ,[0)x x x x x，+，易发现函数()N x 在2(+2(k +2)8(1k)0)4k x ）（，递增，而(0)0N ，不满足题意；当=1k 时，代入证明即可．试题解析：解法一：(1)令()f()ln(1),(0,),F x x xx x x则有1()11+1+x F x xx当(0,),x ()0F x ,所以()F x 在(0,)上单调递减；故当0x 时，()(0)0,F x F 即当0x时，x x f()．(2)令G()f()()ln(1),(0,),x x g x x kx x则有1(1k)()1+1+kx G x kx x当0kG ()0x ,所以G()x 在[0,)上单调递增, G()(0)0x G 故对任意正实数0x 均满足题意.当01k 时，令()0,x G 得11=10k x kk．取01=1x k，对任意0(0,),x x 恒有G ()0x ,所以G()x 在0[0,x )上单调递增, G()(0)0x G ,即f()()x g x .综上，当1k 时，总存在00x ,使得对任意的0(0),x x ，恒有f()()x g x ．(3)当1k 时，由（1）知，对于(0,),x +()f()g x x x ，故()f()g x x ，|f()()|()()k ln(1)x g x g x f x x x ，令2M()k ln(1),[0)x xx x x，+，则有21-2+(k-2)1M ()k2=,11x x k x x xx故当22(k 2)8(k 1)0)4k x （，时，M ()0x ,M()x 在22(k 2)8(k 1)[0)4k，上单调递增，故M()M(0)0x ,即2|f()()|x g x x ,所以满足题意的t 不存在.当1k 时，由（2）知存在00x ,使得对任意的任意的0(0),xx ，恒有f()()x g x ．此时|f()()|f()()ln(1)k x g x x g x x x ,令2N()ln(1)k ,[0)x x x x x ，+，则有2'1-2-(k+2)1()2=,11x x k N x k x xx故当2(+2(k +2)8(1k)0)4k x ）（，时，N ()0x ,M()x 在2(2)(k 2)8(1k)[0)4k ，上单调递增，故N()(0)0x N ,即2f()()x g x x ,记0x 与2(2)(k 2)8(1k)4k 中较小的为1x ，则当21(0)|f()()|xx x g x x ，时，恒有，故满足题意的t 不存在.当=1k ，由（1）知，(0,),x 当+|f()()|()()ln(1)x g x g x f x x x ，令2H()ln(1),[0)x x x x x，+，则有21-2H ()12=,11xxx x xx当0x 时，H ()0x ,所以H()x 在[0+，）上单调递减，故H()(0)0x H ,故当0x 时，恒有2|f()()|x g x x ,此时，任意实数t 满足题意.综上，=1k .解法二：（1）（2）同解法一.（3）当1k 时，由（1）知，对于(0,),x +()f()g x x x ，，故|f()()|()()k ln(1)k (k 1)x g x g x f x x x xxx ，令2(k 1),01x x xk 解得，从而得到当1k 时，(0,1)xk 对于恒有2|f()()|x g x x ,所以满足题意的t 不存在.当1k时，取11k+1=12k kk ，从而由（2）知存在00x ,使得0(0),xx 任意，恒有1f()()x k xkx g x .此时11|f()()|f()()(k)2k x g x x g x k xx ,令21k 1k ,022x x x解得，此时2f()()x g x x ,记0x 与1-k2中较小的为1x ，则当21(0)|f()()|x x x g x x ，时，恒有，故满足题意的t 不存在.当=1k ，由（1）知，(0,),x 当+|f()()|()()ln(1)x g x g x f x x x ，令2M()ln(1),[0)x x x x x ，+，则有212M ()12,11xxx xxx当0x 时，M ()0x ,所以M()x 在[0+，）上单调递减，故M()M(0)0x ,故当0x 时，恒有2|f()()|x g x x ,此时，任意实数t 满足题意综上，=1k .考点：导数的综合应用．7．（2015广东理）设1a ，函数a ex x f x)1()(2。
吴川二中11月月考理数答案.doc
吴川二中2015届11月月考理科数学答案V3 9 9. (0, 1] 10. -1 11. 80 12. 40 13. —14. -3 15.一2 2三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.(本题满分12分)解：(1)由函数最大值为2 ,得A=2 o .................. 1分TT 7T由图可得周期T = 4[——(一；)] = 〃，由—— = “，得刃=2 o .......3分 12 6G)'j I 'j I 'j I 'j I又co -- (p —H—, k E Z ,及(p E (0,—),得° = 一 o ....... 5 分12 2 2 37T:. /(%) = 2 sin(2x + 耳)。
................... 6分兀 5 _________ ] 2(2) 由G (—, , _@Lsin6Z=—, /|§cos^z=—V1 — sin2oc —--- , ..... 8 分2 13 13『。
. z_ 6Z 71 x . 71 . 71、 5-12V3 八j(―) = 2sin(2- —+ y)= 2(sin a cos — + cos a sin —)=————.... 12 分17.(本题满分 12 分)(I)山(0.006x3 + 0.01 + x + 0.054)xl0 = l ......... 1 分解得 x = 0.018. ............ 3 分(II)成绩不低于80分的学生人数有50x(0.018 + 0.006)x 10 = 12人. ....... 4分成绩在90分以上(含90分)的人数有50x0.006x10 = 3人. ............... 5分随机变量S的可能取值为0,1,2,且............... 6分"。
广东省湛江市吴川第二中学2021-2022学年高二数学理月考试题含解析
广东省湛江市吴川第二中学2021-2022学年高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知等差数列{a n}，且是方程的两根，S n是数列{a n}的前n项和，则的值为（）A. 110B. 66C. 44D. 33参考答案：B【分析】由韦达定理可得：，再由等差数列前项和公式及等差数列的性质即可计算得解。
【详解】因为是方程的两根，所以.所以故选：B【点睛】本题主要考查了韦达定理的应用，还考查了等差数列前项和公式及等差数列的性质，考查转化能力及计算能力，属于中档题。
2. 某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，其数量之比依次是3：4：7，现在用分层抽样的方法抽出样本容量为n的样本，样本中A型号产品有15件，那么n等于（）A．50 B．60 C．70 D．80参考答案：C【考点】B3：分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义和方法，可得=，由此求得n的值．【解答】解：根据分层抽样的定义和方法，可得=，解得n=70，故选：C．【点评】题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．3. 已知双曲线的两条渐进线均和圆：相切，且双曲线的右焦点为圆的圆心，则该双曲线的方程为( )A. B.C．D．参考答案：A略4. 从5位男教师和4位女教师中选出3位教师派到3个班担任班主任（每班一位班主任），要求这3位班主任中男女教师都要有，则不同的选派方案共有（）A. 210种B. 420种C. 630种D. 840种参考答案：B5. 若，则下列不等式中，正确的不等式有 ( )①②③④A.1个B.2个C. 3个D.4个参考答案：B略6. 已知变量满足约束条件，则的最大值为（）A．12 B．11 C．3 D．-1参考答案：B略7. 执行下面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的p是()A．8 B．5C．3 D．2参考答案：C8. 设函数是定义在上的函数，其中的导函数为，满足对于恒成立，则A． B．C． D．参考答案：A9. 如图，函数的图像为折线，则不等式的解集是（）A． B．C． D．参考答案：C10. 执行右图程序，若输入，要求输出，则在图中“？”处可填入的算法语句是 ( )①②③④A. ①②③B. ②③C. ②③④D. ③④参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设：关于的不等式的解集为，：函数的定义域为，如果和有且仅有一个正确，则的取值区间是 . 参考答案：12. 矩阵的特征值为_________． 参考答案：3或-1略13. 已知随机变量是ξ的概率分布为P （ξ=k ）=，k=2，3，…，n ，P （ξ=1）=a ，则P （2＜ξ≤5）=．参考答案：【考点】离散型随机变量及其分布列．【分析】由已知条件分别求出P （ξ=2）=，P （ξ=3）=，P （ξ=4）=，P （ξ=5）=，由此能求出P （2＜ξ≤5）的值．【解答】解：∵随机变量是ξ的概率分布为P （ξ=k ）=，k=2，3，…，n ，P （ξ=1）=a ， P （ξ=2）=，P （ξ=3）==，P （ξ=4）==，P （ξ=5）==，∴P（2＜ξ≤5）=P （ξ=3）+P （ξ=4）+P （ξ=5）==．故答案为：．14. 若复数满足，则参考答案：15. 已知x ，y 满足不等式组，则目标函数z=2x+y 的最大值为 ．参考答案：6【考点】简单线性规划． 【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求最大值． 【解答】6解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 由z=2x+y 得y=﹣2x+z ，平移直线y=﹣2x+z ，由图象可知当直线y=﹣2x+z 经过点A 时，直线y=﹣2x+z 的截距最大， 此时z 最大．由，解得，即A （2，2），代入目标函数z=2x+y 得z=2×2+2=6．即目标函数z=2x+y 的最大值为6． 故答案为：6．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．16. 设函数f(x)=lnx+，则函数y=f （x ）的单调递增区间是 ．参考答案：（1，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．【解答】解：∵，（x＞0），∴f′（x）=﹣=，令f′（x）＞0，解得：x＞1，故函数的递增区间是（1，+∞），故答案为：（1，+∞）．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题．17. 要使函数f（x）=x2+3（a+1）x﹣2在区间（﹣∞，3]上是减函数，则实数a的取值范围．参考答案：（﹣∞，1]【考点】3W：二次函数的性质．【分析】函数f（x）=x2+3（a+1）x﹣2在区间（﹣∞，3]上是减函数，即说明（﹣∞，3]是函数f （x）的减区间的子集．【解答】解：函数f（x）=x2+3（a+1）x﹣2的单调减区间为（﹣∞，﹣]，又f（x）在区间（﹣∞，3]上是减函数，所以有（﹣∞，3]?（﹣∞，﹣]，所以3≤﹣，解得a≤1，即实数a的取值范围为（﹣∞，1]．故答案为：（﹣∞，1]．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
《精编》广东省湛江二中高三数学11月月考试卷 理(含解析)新人教A版.doc
2-学年广东省湛江二中高三〔上〕11月月考数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每题5分，总分值40分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．〔5分〕〔•揭阳一模〕集合A={1，2a}，B={a，b}，假设，那么A∪B为〔〕A．B．C．D．考点：子集与交集、并集运算的转换；并集及其运算．专题：计算题．分析：由集合A与B的交集求出a，b的值，再求出集合A、B和它们的并集．解答：解：由得，，，∴A={1，}，B={﹣1，}，∴A∪B={1，﹣1，}应选D．点评：此题考查了集合的交集和并集的运算，先根据交集求出参数的值，再求并集．2．〔5分〕〔•安徽〕假设a为实数，=﹣i，那么a等于〔〕A．B．﹣C．2D．﹣2考点：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．专题：计算题．分析：首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，进行复数的乘法运算，化成最简形式，根据复数相等的充要条件写出关于a的方程，解方程即可．解答：解：∵=﹣i，∴∴∴2+=0，∴a=﹣应选B．点评：此题考查复数的代数形式的乘除运算，考查复数相等的充要条件，是一个根底题，这种题目经常出现在高考题目的前三个题目中．3．〔5分〕a，b∈R，那么“log3a＞log3b〞是“〔〕a＜〔〕b〞的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；指数函数与对数函数的关系．专题：计算题．分析：根据对数函数的性质由“log3a＞log3b〞可得a＞b＞0，然后根据指数函数的性质由“〔〕a＜〔〕b，可得a＞b，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．解答：解：∵a，b∈R，那么“log3a＞log3b〞∴a＞b＞0，∵“〔〕a＜〔〕b，∴a＞b，∴“log3a＞log3b〞⇒“〔〕a＜〔〕b，反之那么不成立，∴“log3a＞log3b〞是“〔〕a＜〔〕b的充分不必要条件，应选A．点评：此题主要考查对数函数和指数函数的性质与其定义域，另外还考查了必要条件、充分条件和充要条件的定义．4．〔5分〕〔•宁德模拟〕为了得到函数y=sin2x的图象，可以将函数的图象〔〕A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位考点：函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．专题：计算题．分析：利用逆推方法求出函数y=sin2x的图象，变换为函数的图象的方法，即可得到正确选项．解答：解：函数y=sin2x的图象，变换为函数=的图象，只需向右平移个单位，所以为了得到函数y=sin2x的图象，可以将函数的图象，向左平移个单位．应选D．点评：此题是根底题，考查三角函数图象的平移变换，注意图象变换的逆应用．注意自变量的系数与方向．5．〔5分〕〔•福建模拟〕等差数列{a n}中，是一个与n无关的常数，那么该常数的可能值的集合为〔〕A．1B．C．D．考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：先根据等差数列的通项公式计算出a n=a1+〔n﹣1〕d与a2n=a1+〔2n﹣1〕d，进而表达出，再结合题中的条件以及分式的特征可得答案．解答：解：由题意可得：因为数列{a n}是等差数列，所以设数列{a n}的通项公式为：a n=a1+〔n﹣1〕d，那么a2n=a1+〔2n﹣1〕d，所以．因为是一个与n无关的常数，所以a1﹣d=0或d=0，所以可能是1或．应选B．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的通项公式，以及熟练掌握分式的性质，6．〔5分〕〔•广东〕给定以下四个命题：①假设一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②假设一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④假设两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是〔〕A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④考点：平面与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定．专题：综合题．分析：从直线与平面平行与垂直，平面与平面平行与垂直的判定与性质，考虑选项中的情况，找出其它可能情形加以判断，推出正确结果．解答：解：①假设一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；如果这两条直线平行，可能得到两个平面相交，所以不正确．②假设一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；这是判定定理，正确．③垂直于同一直线的两条直线相互平行；可能是异面直线．不正确．④假设两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．正确．应选D．点评：此题考查平面与平面垂直的判定，平面与平面平行的判定，是根底题．7．〔5分〕变量x，y满足，设目标函数z=2x+y，假设存在不同的三点〔x，y〕使目标函数z的值构成等比数列，那么以下不可能成为公比的数是〔〕A．B．C．D．4考点：简单线性规划的应用．专计算题；数形结合．题：分析：画出约束条件表示的可行域，求出目标函数的最值，然后求解出等比数列的最大公比，即可得到选项．解答：解：变量x，y满足，表示的可行域如图：目标函数经过的交点A〔5，2〕时函数取得最大值为：12，经过的交点B〔1，1〕时目标函数取得最小值3，所以，使目标函数z的值构成等比数列的最大公比为：q2=，q=2．因为4＞2．应选D．点评：此题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题．8．〔5分〕〔•韶关模拟〕设函数f〔x〕的定义域为D，假设存在非零实数l使得对于任意x∈M 〔M⊆D〕，有x+l∈D，且f〔x+l〕≥f〔x〕，那么称f〔x〕为M上的1高调函数．如果定义域为R的函数f〔x〕是奇函数，当x≥0时，f〔x〕=|x﹣a2|﹣a2，且f〔x〕为R上的4高调函数，那么实数a的取值范围是〔〕A．[﹣1，1] B．〔﹣1，1〕C．[﹣2，2] D．〔﹣2，2〕考点：函数单调性的性质．专题：压轴题；新定义．分析：定义域为R的函数f〔x〕是奇函数，当x≥0时，f〔x〕=|x﹣a2|﹣a2，画出函数图象，可得4≥3a2﹣〔﹣a2〕得﹣1≤a≤1．解解：定义域为R的函数f〔x〕是奇函数，答：当x≥0时，f〔x〕=|x﹣a2|﹣a2=，的图象如图，∵f〔x〕为R上的4高调函数，当x＜0时，函数的最大值为a2，要满足f〔x+l〕≥f 〔x〕，4大于等于区间长度3a2﹣〔﹣a2〕，∴4≥3a2﹣〔﹣a2〕，∴﹣1≤a≤1，应选A．点评：考查学生的阅读能力，应用知识分析解决问题的能力，考查数形结合的能力，用图解决问题的能力，属中档题．二．填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每题5分，总分值30分．9．〔5分〕定积分= ．考点：定积分．专题：计算题．分析：被积函数是绝对值函数的，常常是将∫12|3﹣2x|dx转化成与的和，然后利用定积分的定义进行求解即可．解答：解：∫12|3﹣2x|dx=+=〔3x﹣x2〕|+〔x2﹣3x〕| =故答案为：．点评：此题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，，同时考查了转化与划归的思想，属于根底题．10．〔5分〕在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，a=5，b=8，∠C=60°，那么= ﹣20 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：根据平面向量数量积公式，得、的夹角为180°﹣C，由此结合题中的数据代入，即可算出的值．解答：解：∵△ABC中，||=a，||=b，、的夹角为180°﹣C∴=abcos〔180°﹣C〕=5×8×cos120°=﹣20故答案为：﹣20点评：此题给出三角形的两条边长，求它们对应向量的数量积，着重考查了平面向量数量积的定义及其求法等知识，属于根底题．11．〔5分〕〔•哈尔滨模拟〕一个空间几何体的三视图如以以下图，根据图中标出的尺寸〔单位：cm〕，可得这个几何体的体积是 4 cm3．考点：由三视图求面积、体积．专计算题．题：分析：三视图复原的几何体是底面为直角梯形，一条侧棱垂直直角梯形的直角顶点的四棱锥，结合三视图的数据，求出几何体的体积．解答：解：三视图复原的几何体是底面为直角梯形，一条侧棱垂直直角梯形的直角顶点的四棱锥，所以几何体的体积为：故答案为：4．点评：此题是根底题，考查几何体的三视图，几何体的外表积的求法，准确判断几何体的形状是解题的关键．12．〔5分〕设a，b为正数，且a+b=1，那么的最小值是．考点：根本不等式；平均值不等式．专题：整体思想．分析：因为a+b=1，所以可变形为〔〕〔a+b〕，展开后即可利用均值不等式求解．解答：解：∵a，b为正数，且a+b=1，∴=〔〕〔a+b〕=+1++2=，当且仅当，即b=a时取等号．故答案为．点评：此题考查了利用均值不等式求最值，灵活运用了“1”的代换，是高考考查的重点内容．13．〔5分〕〔•赣州模拟〕如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动．设顶点P〔x，y〕的轨迹方程是y=f〔x〕，那么y=f〔x〕在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为π+1．考点：函数的零点．专题：计算题．分析：不妨考查沿x轴正方向滚动，先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续，得出函数的图象，即可得到结论．解答：解：考查P点的运动轨迹，不妨考查正方形向右滚动，P点从x轴上开始运动的时候，首先是围绕A点运动个圆，该圆半径为1，然后以B点为中心，滚动到C点落地，其间是以BP为半径，旋转90°，再以C为圆心，再旋转90°，这时候以CP为半径，因此最终构成图象如下：S=2××π+2××1×1+×2π=π+1故答案为：π+1．点评：此题考查的知识点是函数图象的变化，其中根据画出正方形转动过程中的一个周期内的图象，利用数形结合的思想对此题进行分析是解答此题的关键．14．〔5分〕〔•普宁市模拟〕〔坐标系与参数方程选做题〕直线的极坐标方程为，那么点A到这条直线的距离为．考点：简单曲线的极坐标方程；点到直线的距离公式．专计算题；压轴题．题：分析：把极坐标方程化为普通方程，把点A的极坐标化为直角坐标，利用点到直线的距离公式求出点A到这条直线的距离．解答：解：直线，可化为x+y﹣1=0，点A可化为，根据点到直线的距离公式，故答案为．点评：此题考查把极坐标方程化为普通方程的方法，两角和的正弦公式，以及点到直线的距离公式的应用．15．如图，点P在圆O的直径AB的延长线上，且PB=BO=2，PC切圆O于C，CD⊥AB于D点，那么CD= ．考点：圆的切线的性质定理的证明；与圆有关的比例线段．专题：计算题．分析：在圆中线段利用由切线定理求得∠PCO=90°，进而利用直角三角形PCO中的线段，结合解三角形求得CD即可．解答：解：∵PC是圆O的切线，∴∠PCO=90°，在直角三角形PCO中，PB=BO，∴PO=2OC，从而∠POC=60°，在直角三角形OCD中，CO=2，∴CD=．故填：．点评：此题考查的是直角三角形的性质、勾股定理的应用、与圆有关的比例线段，属于根底题．三、解答题：本大题共6小题，总分值80分．解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．〔12分〕〔•中山市模拟〕向量=〔cosx，sinx〕，=〔﹣cosx，cosx〕，=〔﹣1，0〕．〔Ⅰ〕假设，求向量、的夹角；〔Ⅱ〕当时，求函数的最大值．考点：数量积表示两个向量的夹角；三角函数的最值．专题：计算题．分析：〔Ⅰ〕先求出向量、的坐标，及向量的模，代入两个向量的夹角公式进行运算．〔Ⅱ〕利用两个向量的数量积公式及三角公式，把函数的解析式化为某个角三角函数的形式，根据角的范围，结合三角函数的单调性求出函数的值域．解答：解：〔Ⅰ〕当时，= =，∵，∴．〔Ⅱ〕=2sinxcosx﹣〔2cos2x﹣1〕=，∵，∴，故，∴当，即时，f〔x〕max =1．点评：本意考查两个向量的夹角公式，两个向量的数量积运算以及三角公式的应用，利用三角函数的单调性、有界性求其值域．17．〔12分〕某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲工程，根据市场分析知道：一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为，，；如果投资乙工程，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为α和β〔α+β=1〕．〔1〕如果把10万元投资甲工程，用ξ表示投资收益〔收益=回收资金﹣投资资金〕，求ξ的概率分布及Eξ；〔2〕假设把10万元投资乙工程的平均收益不低于投资甲工程的平均收益，求α的取值范围．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：综合题；概率与统计．分析：〔1〕依题意，ξ的可能取值为1，0，﹣1，分别求出P〔ξ=1〕，P〔ξ=0〕，P〔ξ=﹣1〕，由此能求出ξ的分布列和Eξ．〔2〕设η表示10万元投资乙工程的收益，那么η的可能取值为2，﹣2，分别求出P〔η=2〕，P〔η=﹣2〕，求出Eη，由把10万元投资乙工程的平均收益不低于投资甲工程的平均收益，能求出α的取值范围．解答：解：〔1〕依题意，ξ的可能取值为1，0，﹣1，P〔ξ=1〕=，P〔ξ=0〕=，P〔ξ=﹣1〕=，∴ξ的分布列为：ξ 1 0 ﹣1pEξ=﹣=．…〔6分〕〔2〕设η表示10万元投资乙工程的收益，那么η的可能取值为2，﹣2，P〔η=2〕=α，P〔η=﹣2〕=β，η的分布列为η 2 ﹣2p αβ∴Eη=2α﹣2β=4α﹣2，∵把10万元投资乙工程的平均收益不低于投资甲工程的平均收益，∴4α﹣2≥，解得．…〔12分〕点评：此题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是历年高考的必考题型之一．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．18．〔14分〕〔•福建〕如图，圆柱OO1内有一个三棱柱ABC﹣A1B1C1，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O的直径．〔1〕证明：平面A1ACC1⊥平面B1BCC1；〔2〕设AB=AA1，在圆柱OO1内随机选取一点，记该点取自于三棱柱ABC﹣A1B1C1内的概率为p．当点C在圆周上运动时，记平面A1ACC1与平面B1OC所成的角为θ〔0°＜θ≤90°〕，当p取最大值时，求cosθ的值．考点：平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题；平面与圆柱面的截线．专题：计算题；证明题．分析：〔1〕欲证平面A1ACC1⊥平面B1BCC1，关键是找线面垂直，根据直线与平面垂直的判定定理可知BC⊥平面A1ACC1；〔2〕根据AC2+BC2=AB2为定值可求出V1的最大值，从而得到p=的最大值，p取最大值时，OC⊥AB，于是以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz，求出平面A1ACC1的一个法向量与平面B1OC的一个法向量，然后求出两法向量的夹角从而得到二面角的余弦值．解答：解：〔Ⅰ〕因为AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC，因为AB是圆O直径，所以BC⊥AC，又AC∩AA1=A，所以BC⊥平面A1ACC1，而BC⊂平面B1BCC1，所以平面A1ACC1⊥平面B1BCC1．〔Ⅱ〕设圆柱的底面半径为r，那么AB=AA1=2r，故三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为=AC•BC•r，又因为AC2+BC2=AB2=4r2，所以=2r2，当且仅当时等号成立，从而V1≤2r3，而圆柱的体积V=πr2•2r=2πr3，故p=，当且仅当，即OC⊥AB时等号成立，所以p的最大值是．p取最大值时，OC⊥AB，于是以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz，那么C〔r，0，0〕，B〔0，r，0〕，B1〔0，r，2r〕，因为BC⊥平面A1ACC1，所以是平面A1ACC1的一个法向量，设平面B1OC的法向量，由，故，取z=1得平面B1OC的一个法向量为，因为0°＜θ≤90°，所以===．点评：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概型等根底知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想．19．〔14分〕设函数f〔x〕=﹣x3+3x+2分别在x1、x2处取得极小值、极大值．xOy平面上点A、B的坐标分别为〔x1，f〔x1〕〕、〔x2，f〔x2〕〕，该平面上动点P〔x，y〕，Q〔mx，2y〕，满足．〔1〕求点A、B的坐标；〔2〕求动点P的轨迹方程，并判断轨迹的形状．考点：函数在某点取得极值的条件；平面向量数量积的运算；轨迹方程．专题：综合题；导数的综合应用．分析：〔1〕令f′〔x〕=0求出x的解，确定函数的增减性得到函数的极值，从而得到A、B 的坐标；〔2〕利用向量的数量积运算，可得动点P的轨迹方程，分类讨论，可得轨迹的形状．解答：解：〔1〕令f'〔x〕=〔﹣x3+3x+2〕'=﹣3x2+3=0解得x=1或x=﹣1当x＜﹣1时，f'〔x〕＜0；当﹣1＜x＜1时，f'〔x〕＞0；当x＞1时，f'〔x〕＜0 所以，函数在x=﹣1处取得极小值，在x=1取得极大值，故x1=﹣1，x2=1，f〔﹣1〕=0，f〔1〕=4所以点A、B的坐标为A〔﹣1，0〕，B〔1，4〕；〔2〕由题意，∵∴〔1+x〕〔mx﹣m〕+2y2=1﹣m∴mx2+2y2=1①m=0时，y=±，表示两条平行直线；②m=2时，x2+y2=，表示原点为圆心，半径为的圆；③m＜0时，，表示焦点在y轴上的双曲线；④m＞0时，，假设0＜m＜2，表示焦点在x轴上的椭圆；假设m＞2，表示焦点在y轴上的椭圆．点评：此题考查学生利用导数研究函数极值的能力，会用平面内两个向量数量积的运算，以及会求动点的轨迹方程的能力．20．〔14分〕〔文〕数列{a n}的相邻两项a n，a n+1是关于x的方程x2﹣2n x+b n=0〔n∈N*〕的两根，且a1=1．〔1〕求数列和{b n}的通项公式；〔2〕设S n是数列{a n}的前n项和，问是否存在常数λ，使得b n﹣λS n＞0对任意n∈N*都成立，假设存在，求出λ的取值范围；假设不存在，请说明理由．考点：数列与不等式的综合．专题：综合题；方程思想；转化思想．分析：〔1〕由题意，可利用根与系数的关系得出a n+a n+1=2n ，法一：观察发现，由此方程可以得出数列是首项为，公比为﹣1的等比数列，由此数列的性质求出它的通项，再求出a n，法二：a n+a n+1=2n，两边同除以〔﹣1〕n+1，得，令，那么c n+1﹣c n=﹣〔﹣2〕n．得到新数列的递推公式，再由累加法求出c n，即可求出a n，〔2〕由〔1〕的结论，先求出数列{a n}的前n项和，代入b n﹣λS n＞0，此不等式对任意n∈N*都成立，可用别离常数法的技巧，将不等式变为对任意正偶数n 都成立，求出的最小值即可得到参数的取值范围，假设此范围是空集那么说明不存在，否那么，存在解解：〔1〕∵a n，a n+1是关于x的方程x2﹣2n x+b n=0〔n∈N*〕的两根，答：∴求数列{a n}的通项公式，给出如下二种解法：解法1：由a n+a n+1=2n，得，故数列是首项为，公比为﹣1的等比数列．∴，即．解法2：由a n+a n+1=2n，两边同除以〔﹣1〕n+1，得，令，那么c n+1﹣c n=﹣〔﹣2〕n．故c n=c1+〔c2﹣c1〕+〔c3﹣c2〕+…+〔c n﹣c n﹣1〕=﹣1﹣〔﹣2〕﹣〔﹣2〕2﹣〔﹣2〕3﹣…﹣〔﹣2〕n﹣1==〔n≥2〕．且也适合上式，∴=，即．∴b n=a n a n+1=×=〔2〕S n=a1+a2+a3+…+a n==．要使b n﹣λS n＞0对任意n∈N*都成立，即〔*〕对任意n∈N*都成立．1当n2为正奇数时，由〔*〕式得34，即，∵2n+1﹣1＞0，∴对任意正奇数n都成立．当且仅当n=1时，有最小值1．∴λ＜1．②当n为正偶数时，由〔*〕式得，即，∵2n﹣1＞0，∴对任意正偶数n都成立．当且仅当n=2时，有最小值．∴λ＜．综上所述，存在常数λ，使得b n﹣λS n＞0对任意n∈N*都成立，λ的取值范围是〔﹣∞，1〕．点评：本是考查数列与不等式的综合，此类题一般难度较大，解题的关键是熟练掌握不等式证明的技巧与数列通项求和的技巧，此题中用构造法求数列的通项，是递推关系知道的情况下求数列通项的常用方法，对于不等式恒成立求参数的问题，此题采用了别离常数法的思想将参数独立出来，通过求关于n的代数式的最小值求出参数的取值范围，此题考查了转化化归的思想，方程的思想，构造法的技巧，综合性强，技巧性强，题后应注意总结此题解法上的规律21．〔14分〕对于定义域为[0，1]的函数f〔x〕，如果同时满足以下三条：①对任意的x∈[0，1]，总有f〔x〕≥0；②f〔1〕③假设x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，都有f〔x1+x2〕≥f〔x1〕+f〔x2〕成立，那么称函数f〔x〕为理想函数．〔1〕假设函数f〔x〕为理想函数，求f〔0〕的值；〔2〕判断函数g〔x〕=2x﹣1〔x∈[0，1]〕是否为理想函数，并予以证明；〔3〕假设函数f〔x〕为理想函数，假定∃x0∈[0，1]，使得f〔x0〕∈[0，1]，且f〔f〔x0〕〕=x0，求证f〔x0〕=x0．考点：函数的值；抽象函数及其应用．专题：计算题．分析：〔1〕取x1=x2=0可得f〔0〕≥f〔0〕+f〔0〕⇒f〔0〕≤0，由此可求出f〔0〕的值．〔2〕g〔x〕=2x﹣1在[0，1]满足条件①g〔x〕≥0，也满足条件②g〔1〕=1．假设x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，满足条件③，收此知故g〔x〕理想函数．〔3〕由条件③知，任给m、n∈[0，1]，当m＜n时，由m＜n知n﹣m∈[0，1]，f〔n〕=f〔n﹣m+m〕≥f〔n﹣m〕+f〔m〕≥f〔m〕．由此能够推导出f〔x0〕=x0．解答：解：〔1〕取x1=x2=0可得f〔0〕≥f〔0〕+f〔0〕⇒f〔0〕≤0．〔1分〕又由条件①f〔0〕≥0，故f〔0〕=0．〔3分〕〔2〕显然g〔x〕=2x﹣1在[0，1]满足条件①g〔x〕≥0；〔4分〕也满足条件②g〔1〕=1．〔5分〕假设x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，那么=，即满足条件③，〔8分〕故g〔x〕理想函数．〔9分〕〔3〕由条件③知，任给m、n∈[0，1]，当m＜n时，由m＜n知n﹣m∈[0，1]，∴f〔n〕=f〔n﹣m+m〕≥f〔n﹣m〕+f〔m〕≥f〔m〕．〔11分〕假设x0＜f〔x0〕，那么f〔x0〕≤f[f〔x0〕]=x0，前后矛盾；〔13分〕假设x0＞f〔x0〕，那么f〔x0〕≥f[f〔x0〕]=x0，前后矛盾．〔15分〕故x0=f〔x0〕．〔16分〕点评：此题考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意挖掘题设的中的隐含条件，注意性质的灵活运用．。
广东省茂名市吴川第二高级中学2020年高一数学理月考试题含解析
广东省茂名市吴川第二高级中学2020年高一数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知数列满足，则等于（）A．0 B． C． D．参考答案：B2. 函数的大致图像是（）参考答案：A3. 设函数f（x）=，则f（）的值为（）A．B．﹣C．D．18参考答案：A【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．【分析】当x＞1时，f（x）=x2+x﹣2；当x≤1时，f（x）=1﹣x2，故本题先求的值．再根据所得值代入相应的解析式求值．【解答】解：当x＞1时，f（x）=x2+x﹣2，则 f（2）=22+2﹣2=4，∴，当x≤1时，f（x）=1﹣x2，∴f（）=f（）=1﹣=．故选A．4. 设abc＞0，二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象可能是（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】二次函数的图象；函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】分别从抛物线的开口方向，对称轴，f（0）的符号进行判断即可．【解答】解：A．抛物线开口向下，∴a＜0，又f（0）=c＜0．∵abc＞0，∴b＞0，此时对称轴x=＞0，与图象不对应．B．抛物线开口向下，∴a＜0，又f（0）=c＞0．∵abc＞0，∴b＜0，此时对称轴x=＜0，与图象不对应．C．抛物线开口向上，∴a＞0，又f（0）=c＜0．∵abc＞0，∴b＜0，此时对称轴x=＞0，与图象不对应．D．抛物线开口向上，∴a＞0，又f（0）=c＜0．∵abc＞0，∴b＜0，此时对称轴x=＞0，与图象对应．故选：D．【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，要从抛物线的开口方向，对称轴，以及f（0），几个方面进行研究．5. 过点的直线将圆分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线的方程是A. B. C. D.参考答案：D6. 某四面体的三视图如右图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（）A．8 B．C．10 D．参考答案：C略7. （5分）直线y=3与函数y=|x2﹣6x|图象的交点个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个参考答案：A考点：函数的图象．专题：计算题．分析：函数y=|x2﹣6x|可讨论x去掉绝对值，得到分段函数，画出图象，然后画出y=3，观察交点个数．解答：由函数的图象可得，显然有4个交点，故选A．点评：本题考查了函数的图象与图象的变换，培养学生画图的能力，属于基础题．8. 一个人连续射击三次，事件“至少有一次击中目标”的对立事件是（）A．至多有一次击中目标B．三次都不击中目标C．三次都击中目标D．只有一次击中目标参考答案：B【分析】利用对立事件的定义直接求解．【解答】解：一个人连续射击三次，事件“至少有一次击中目标”的对立事件是“三次都不击中目标”．故选：B．9. 在△ABC中,角A．B．C的对边分别为a.b.c, 若(a+c―b)tanB=,则角B的值为（）A．B． C．或 D．或参考答案：D10. 函数的最小值等于（）A．B．C．D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 不等式|x﹣3|≤1的解集是．参考答案：[2，4]【考点】绝对值不等式的解法．【分析】去掉绝对值，求出不等式的解集即可． 【解答】解：∵|x﹣3|≤1， ∴﹣1≤x﹣3≤1， 解得：2≤x≤4， 故答案为：[2，4]．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，是一道基础题．12. （4分）用辗转相除法求得459和357的最大公约数是 _________ ．参考答案：5113. （4分）已知x 、y 的取值如下表： x 0 1 3 4 y2.24.34.86.7从散点图分析，y 与x 线性相关，且回归方程为=0.95x+a ，则a= ．参考答案：2.6考点：最小二乘法；线性回归方程． 专题： 计算题．分析： 本题考查的知识点是线性回归直线的性质，由线性回归直线方程中系数的求法，我们可知在回归直线上，满足回归直线的方程，我们根据已知表中数据计算出，再将点的坐标代入回归直线方程，即可求出对应的a 值． 解答： 点在回归直线上， 计算得；代入得a=2.6；故答案为2.6．点评： 统计也是高考新增的考点，回归直线方程的求法，又是统计中的一个重要知识点，其系数公式及性质要求大家要熟练掌握并应用．14. 函数的零点所在区间是，则正整数 .参考答案：1 ∵，又函数单调递增， ∴函数在区间内存在唯一的零点，∴． 答案：115. 已知函数，且，则_______________.参考答案：略16. 已知数列{a n }中，，，，则的值为 _____．参考答案：1275 【分析】根据递推关系式可求得，从而利用并项求和的方法将所求的和转化为，利用等差数列求和公式求得结果.【详解】由得：则，即本题正确结果：1275【点睛】本题考查并项求和法、等差数列求和公式的应用，关键是能够利用递推关系式得到数列相邻两项之间的关系，从而采用并项的方式来进行求解.17. 指数函数在定义域内是减函数，则的取值范围是参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
吴川市第二中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案
吴川市第二中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 下列说法正确的是（ ）A.圆锥的侧面展开图是一个等腰三角形；B.棱柱即是两个底面全等且其余各面都是矩形的多面体；C.任何一个棱台都可以补一个棱锥使他们组成一个新的棱锥；D.通过圆台侧面上的一点，有无数条母线.2． 《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈。
问积几何？”意思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体（如图）”，下底面宽AD ＝3丈，长AB ＝4丈，上棱EF ＝2丈，EF ∥平面ABCD .EF 与平面ABCD 的距离为1丈，问它的体积是（ ） A ．4立方丈B ．5立方丈C ．6立方丈D ．8立方丈3． 复数z=（﹣1+i ）2的虚部为（ ）A ．﹣2B ．﹣2iC ．2D ．04． 定义在R 上的偶函数()f x 满足(3)()f x f x -=-，对12,[0,3]x x ∀∈且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-，则有（ ）A ．(49)(64)(81)f f f <<B ．(49)(81)(64)f f f << C. (64)(49)(81)f f f << D ．(64)(81)(49)f f f << 5． 函数f （x ）=有且只有一个零点时，a 的取值范围是（ ）A ．a ≤0B ．0＜a＜ C．＜a ＜1 D ．a ≤0或a ＞16． 设f （x ）＝（e －x －e x ）（12x ＋1－12），则不等式f （x ）＜f （1＋x ）的解集为（ ）A ．（0，＋∞）B ．（－∞，－12）C ．（－12，＋∞）D ．（－12，0）7． 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱11A B 中点，点Q 在侧面11DCC D 内运动，若1PBQ PBD ∠=∠，则动点Q 的轨迹所在曲线为（ ）A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识，意在考查空间想象能力. 8． 已知函数x x x f 2sin )(-=，且)2(),31(log ),23(ln 3.02f c f b f a ===，则（ ） A ．c a b >> B ．a c b >> C ．a b c >> D ．b a c >>【命题意图】本题考查导数在单调性上的应用、指数值和对数值比较大小等基础知识，意在考查基本运算能力． 9． 我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举，这个伟大创举与我国古老的算法——“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图源于“辗转相除法”．当输入a ＝6 102，b ＝2 016时，输出的a 为（ ）A ．6B ．9C ．12D ．1810．执行如图所示的程序，若输入的3x =，则输出的所有x 的值的和为（ ） A ．243 B ．363 C ．729 D ．1092【命题意图】本题考查程序框图的识别和运算，意在考查识图能力、简单的计算能力．11．为了解决低收入家庭的住房问题，某城市修建了首批108套住房，已知C B A ,,三个社区分别有低收入家 庭360户，270户，180户，现采用分层抽样的方法决定各社区所分配首批经济住房的户数，则应从C 社 区抽取低收入家庭的户数为（ ）A ．48B ．36C ．24D ．18【命题意图】本题考查分层抽样的概念及其应用，在抽样考查中突出在实际中的应用，属于容易题． 12．函数2(44)xy a a a =-+是指数函数，则的值是（ ）A ．4B ．1或3C ．3D ．1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．已知函数21,0()1,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，()21xg x =-，则((2))f g = ，[()]f g x 的值域为 ．【命题意图】本题考查分段函数的函数值与值域等基础知识，意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力. 14．设m 是实数，若x ∈R 时，不等式|x ﹣m|﹣|x ﹣1|≤1恒成立，则m 的取值范围是 ．15．已知正整数m 的3次幂有如下分解规律：113=；5323+=；119733++=；1917151343+++=；…若)(3+∈N m m 的分解中最小的数为91，则m 的值为 .【命题意图】本题考查了归纳、数列等知识，问题的给出比较新颖，对逻辑推理及化归能力有较高要求，难度中等.16．某高中共有学生1000名，其中高一年级共有学生380人，高二年级男生有180人.如果在全 校学生中抽取1名学生，抽到高二年级女生的概率为19.0，先采用分层抽样（按年级分层）在全校抽取 100人，则应在高三年级中抽取的人数等于 .三、解答题（本大共6小题，共70分。
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吴川二中2015届高三11月月考数 学 (理科）本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．设集合{}|20A x x =+=，集合{}2|40B x x =-=，则AB =( )A ．{}2-B ．{}2C ．{}2,2-D ．∅2. 复数(1)z i i =⋅+（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．双曲线2228x y -=的实轴长是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2 4．设向量(1,0)a =，11,22b ⎛⎫=⎪⎝⎭，则下列结论中正确的是( ) A ．a b = B ．22a b ⋅=C ．//a bD ．a b -与b 垂直 5．“(3)0x x -<”是“|1|2x -<” 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 已知平面α、β和直线m ,给出条件:①//m α；②m α⊥；③m α⊂；④αβ⊥；⑤//αβ.由这五个条件中的两个同时成立能推导出//m β的是( )A ．①④B ．①⑤C ．②⑤D ．③⑤ 7．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，……，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷C 的人数为 （ ）.A 7 .B 9 .C 10 .D 158. 设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A 且k ＋1∉A ，那么称k 是集合A 的一个“好元素”．给定集合S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分） （一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．9．已知21ln )(x x x f -+=的定义域为 ．10．若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴,则k =______. 11．若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11221,2,a b a b ====则55a b = ．12．按右面的程序框图运行后,输出的S 应为__________.13．已知ABC ∆的内角A B C ,,的对边分别为a b c ,,，且120c b B ===︒,则ABC ∆的面积等于________.（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题.14．（极坐标与参数方程）在极坐标系中，直线1的方程是πsin 42ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，以极点为原点，以极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，在直角坐标系中，直线2的方程是31x ky +=.如果直线1与2垂直，则常数k = ．15．（几何证明选讲）如右图,在ABC ∆中,//DE BC ,//EF CD , 若3BC =,2DE =,1DF =,则AB 的长为________．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分）已知函数()sin(),(0,0,(0,))2f x A x A πωϕωϕ=+>>∈．的部分图象如图所示，其中点P 是图象的一个最高点。
(1) 求函数()f x 的解析式； (2) 已知(,)2παπ∈且5sin 13α=，求()2f α．第17题图17．（本题满分12分）某班50位学生期中考试数学成绩的 频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:[)[)40,50,50,60,[)[)60,70,70,80,[)[]80,90,90,100.(Ⅰ) 求图中x 的值;(Ⅱ) 从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ,求ξ18．（本题满分14分）如图，PDCE 为矩形，ABCD 为梯形，平面PDCE ^平面ABCD ， 90BAD ADC ∠=∠=︒1,2AB AD CD a PD ====. （1）若M 为PA 中点，求证：AC ∥平面MDE ； （2）求平面PAD 与PBC 所成锐二面角的大小．19．（本题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且*11()2n n S a n N +=∈． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设*31log (1)()n n b S n N +=-∈，求适合方程122311112551n n b b b b b b +++⋅⋅⋅+= 的正整数n 的值．20．(本题满分14分)如图，已知椭圆C ：22221x y a b +=，其左右焦点为()11,0F -及()21,0F ，过点1F 的直线交椭圆C 于,A B 两点，线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点，且1AF 、12F F 、2AF 构成等差数列. （1）求椭圆C 的方程；（2）记△1GF D 的面积为1S ，△OED （O 为原点）的面积为2S ．试问：是否存在直线AB ，使得12S S =？说明理由．21．（本小题满分14分）设函数()()21x f x x e kx =--(其中k ∈R ). (Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M .吴川二中2015届11月月考理科数学答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.9．（0，1] 10．-1 11．80 12．40 13．2314．-3 15．29三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分）解：(1)由函数最大值为2 ，得A =2 。
………………….1分 由图可得周期4[()]126T πππ=--= ，由2ππω=，得2ω= 。
…….3分 又2,122k k Z ππωϕπ⋅+=+∈，及(0,)2πϕ∈，得3πϕ= 。
……….5分 ()2sin(2)3f xx π∴=+ 。
……………………….6分 （2）51221313παπαα∈=-由（，），且sin =，得cos ，……….8分 ()2sin(2)2(sin cos cos sin )22333f ααπππαα∴=⋅+=+=． ….12分 17．（本题满分12分）(Ⅰ) 由()0.00630.010.054101x ⨯+++⨯= ………1分 解得0.018x =. ………………3分(Ⅱ)成绩不低于80分的学生人数有()500.0180.0061012⨯+⨯=人. …………4分 成绩在90分以上（含90分）的人数有500.006103⨯⨯=人. ……………5分 随机变量ξ的可能取值为0,1,2,且 …………………6分()292126011C P C ξ===,()11392129122C C P C ξ===,()232121222C P C ξ===, ………9分 所以ξ的分布列为ξ的数学期望69110121122222E ξ=⨯+⨯+⨯=. …………………12分 18．（本题满分14分）解法一：设平面PAD 与PBC 所成锐二面角的大小为θ，以D 为空间坐标系的原点，分别以,,DA DC DP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则),(,,0),(0,2,0)P B a a C a (,,2),(,,0)PB a a a BC a a =-=- ……6分设平面PAD 的单位法向量为1n ，则可设1(0,1,0)n = ………………………7分 设面PBC的法向量2(,,1)n x y =，应有22(,,1)(,,)0(,,1)(,,0)0n PB x y a a n BC x y a a ⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅-=⎪⎩即：00ax ay ax ay ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩解得：2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以22(22n =…………………………………12分 ∴121212cos 21n n n n θ⋅===⨯⋅ ………………………………………………13分所以平面PAD 与PBC 所成锐二面角为60°…………………………………14分 解法二：延长CB 、DA 相交于G ，连接PG ，过点D 作DH ⊥PG ，垂足为H ，连结HC ……………………6分 ∵矩形PDCE 中PD ⊥DC ，而AD ⊥DC ，PD ∩AD =D ∴CD ⊥平面PAD ∴CD ⊥PG ，又CD ∩DH =D ∴PG ⊥平面CDH ，从而PG ⊥HC ………………8分∴∠DHC 为平面PAD 与平面PBC 所成的锐二面角的平面角 …10分 在Rt =△PDG 中，22DG AD a ==，PD =可以计算DH=在Rt △CDH 中，2tan CD aDHC DH ∠===…13分所以平面PAD 与PBC 所成锐二面角为60°…………………………………14分 19．（本题满分14分）（1） 当1n =时，11a s =，由11112s a +=，得123a = ……………………1分 当2n ≥时，∵ 112n ns a =-， 11112n n s a --=-， …………………2分∴()1112n n n n s s a a ---=-，即()112n n n a a a -=- ∴)2(311≥=-n a a n n ……5分 ∴{}n a 是以23为首项，13为公比的等比数列．…………………………………6分 故1211()2()333n n n a -=⋅=⋅ )(*∈N n …………………………………………7分 （2）111()23n n n s a -==，13131log (1)log ()13n n n b s n ++=-==--……………9分 11111(1)(2)12n n b b n n n n +==-++++ …………………………………………11分 1223111111111111()()()23341222n n b b b b b b n n n +++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-+++…13分解方程11252251n -=+，得100n = …………………………………………14分 20．(本题满分14分)解：（1）因为1AF 、12F F 、2AF 构成等差数列， 所以4222121==+=F F AF AF a ，所以2a =.……（2分）又因为1c =，所以23b =， 所以椭圆C 的方程为22143x y +=. ……（4分）（2）假设存在直线AB ，使得 12S S =，显然直线AB 不能与,x y 轴垂直．设AB 方程为(1)y k x =+ …（5分）将其代入22143x y +=，整理得 2222(43)84120k x k x k +++-= …（6分） 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以 2122843k x x k -+=+．故点G 的横坐标为21224243x x k k +-=+．所以 22243(,)4343k kG k k -++．……（8分） 因为 DG AB ⊥，所以 2223431443Dk k k k x k +⨯=---+， 解得 2243D k x k -=+，即 22(,0)43k D k -+ ………..(10分)1Rt GDF ∆和1Rt ODE ∆相似，∴若12S S =，则GD OD = ……（11分）所以2243k k -=+， 整理得 2890k +=．…（13分） 因为此方程无解，所以不存在直线AB ，使得 12S S =． ……（14分） 21.（本题满分14分）Ⅰ)当1k =时, ()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=- 令()0f x '=,得10x =,2ln 2x = …………2分当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表:x (),0-∞0 ()0,ln 2ln 2()ln 2,+∞()f x '+-+()f x极大值极小值右表可知,函数()f x 的递减区间为()0,ln 2,递增区间为(),0-∞,()ln 2,+∞. ……5分Ⅱ)()()()1222x x x x f x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-,令()0f x '=,得10x =,()2ln 2x k =, ………6分令()()ln 2gk k k =-,则()1110k g k k k -'=-=>,所以()g k 在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上递增, 所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<,从而()ln 2k k <,所以()[]ln 20,k k ∈所以当()()0,ln 2x k ∈时,()0f x '<；当()()ln 2,x k ∈+∞时,()0f x '>；所以()(){}(){}3max 0,max 1,1k M f f k k e k ==--- ………… 9分令()()311k h k k e k =--+,则()()3k h k k e k '=-,令()3k k e kϕ=-,则()330k k e e ϕ'=-<-<所以()k ϕ在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上递减,而()()1313022e ϕϕ⎛⎫⎫⋅=-< ⎪⎪⎝⎭⎭所以存在01,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦使得()00x ϕ=,且当01,2k x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0k ϕ>,当()0,1k x ∈时,()0k ϕ<, 所以()k ϕ在01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,在()0,1x 上单调递减. ………12分因为17028h ⎛⎫=>⎪⎝⎭,()10h =,所以()0h k ≥在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上恒成立,当且仅当1k =时取得“=”. 综上,函数()f x 在[]0,k 上的最大值()31k M k e k =--. ………… 14分。