数学建模模版之人口增长问题
数学建模论文-基于双线性系统、差分方程的人口增长模型模板
基于双线性系统、差分方程的人口增长模型摘要社会经济的许多领域的规划都必须考虑人口这一重要因素。
而人口普查只能为我们提供某几个时间点的横截面数值，但在现实生活中，人们常常需要其他时间点的人口总数及其构成。
于是一个迫切的任务就是如何用少数的几个时点的信息比较准确的得到较详尽的其他时点的人口数据。
人口系统发展是一个动力学过程，为强惯性系统，人口死亡率和出生率构成人口增长的双线性系统。
针对中短期预测，基于统计理论，将5年的死亡出生率，死亡率求期望，建立了人口增长的定常差分方程模型，预测至2015的人口发展趋势，通过MATLAB求解得到2015年的总人口为14.17亿，乡村城镇化趋势明显；并且人口在2025左右出现峰值，约为15.1亿。
针对长期预测，根据动力学发展过程理论，当时间尺度接近惯性系统的时间常数（社会人口的平均寿命）时，人口状态将发生明显改变。
由此建立了人口增长的时变差分模型。
并通过MATLAB求解，预测2050年的人口总数为14.33亿，人口系统达稳定状态。
然后，利用Leslie矩阵分析模型的稳定性。
当时间t（年）充分大时人口增长也趋于稳定。
针对长期模型的检验，对不同的总和生育率做出了人口总数的变化曲线。
得出当总和生育率的更替水平临界值略大于2.0。
关键词：差分方程，强惯性系统，Leslie矩阵，总和生育率一.问题重述与分析1.1问题重述中国乃泱泱人口大国，人口规模是城市规划和土地利用总体规划中一项重要的控制性指标，人口规模是否合理，不仅影响到未来地区经济和社会发展，而且会影响到地区生态环境可持续发展。
因此准确地预测未来人口的发展趋势，制定合理的人口规划和人口布局方案具有重大的理论意义和现实意义。
根据国家人口报告，对短期、中期和长期人口预测作如下定义：十年内为短期，十到十五年为中期，五十年及其以上为长期。
人口发展过程是一个很缓慢的过程。
它的“时间常数”接近平均期望寿命约七、八十年的时间。
人口状态随时间变化的过程称为人口发展过程。
数学建模-人口增长模型
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亚太区数学建模c题
亚太区数学建模c题数学建模在现代科学研究和工程技术领域中扮演着重要的角色。
本文将讨论亚太区数学建模竞赛的C题，并提供一种解决方案。
这个题目是关于人口增长和资源分配的问题。
在这个问题中，我们需要分析一个城市的人口增长和资源分配情况。
根据题目要求，我们需要考虑城市的建筑密度、土地利用率以及资源的供应和需求。
我们的目标是找到一种资源分配方案，使得城市的人口增长和资源利用达到最佳的平衡。
首先，我们需要建立一个数学模型来描述城市的人口增长和资源分配。
我们可以使用差分方程来模拟人口增长的变化，如下所示：$\frac{dP}{dt} = rP(1-\frac{P}{K})$其中，P表示城市的人口数量，t表示时间，r表示人口的增长率，K表示城市的容量上限。
这个方程描述了人口数量随时间变化的规律，考虑到城市的容量限制，人口的增长率会随着人口数量的增加而减小。
接下来，我们需要考虑资源的供应和需求。
假设资源的供应量为S，人口的需求量为D。
我们可以使用一个资源分配模型来描述资源的供应和需求之间的关系，如下所示：$\frac{dS}{dt} = rS(1-\frac{S}{K}) - aD$其中，S表示资源的供应量，D表示人口的需求量，r表示资源的增长率，K表示资源的容量上限，a表示资源供应量对人口需求的影响系数。
这个方程描述了资源供应量随时间变化的规律，考虑到资源的容量限制，资源的增长率会随着资源供应量的增加而减小，而资源的供应量还受到人口需求的影响。
为了找到最佳的资源分配方案，我们需要优化资源供应和人口增长的平衡。
我们可以使用最优化方法，比如说最大化人口增长和资源利用的效率。
我们可以定义一个目标函数，如下所示：$maximize \quad \frac{dP}{dt} - \frac{dS}{dt}$这个目标函数表示了人口增长和资源利用的效率，我们的目标是找到使得目标函数达到最大值的资源分配方案。
最后，我们可以使用数值方法，如Euler方法，来求解这个数学模型。
数学建模 之 人口模型
数学建模———关于人口增长的模型摘要：本文讨论了人口的增长问题，并预测出了2010、2020年的美国人口。
首先，我们给出了两种预测方法：第一，在假定人口增长率不变的情况下，建立指数增长模型；第二，假定人口增长率呈线性下降的情况下，建立阻滞增长模型。
对两种模型的求解，我们引入了微分方程。
其次，为了选择一种较好的预测方法，我们分别对两种模型进行了检验和讨论。
先列图表对预测值与真实值进行比较，然后定性的对模型进行讨论，最后一个阶段选择绝对误差、均方差和相关系数对两个模型的优劣进行定量的评价，选出最好的预测方法。
一、 问题的提出：人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一，认识人口数量的变化规律，做出较为准确的预报，是有效控制人口增长前提，现根据下表给出的近两百模型一（指数增长模型）1、模型的提出背景：我们对所给的数据进行了认真仔细的分析之后，对其进行处理：将年份进行编号（i X ），人口数量计为（i Y ），以i X 为横坐标，以i Y 为纵坐标，建立直角坐标系。
然后将表格中所给的数据绘在直角坐标系中附表A ，我们发现这些点大体呈指数增长趋势固提出此模型。
附图A2、基本假设：人口的增长率是常数增长率——单位时间内人口增长率与当时人口之比。
故假设等价于：单位时间人口增长量与当时人口成正比。
设人口增长率为常数r 。
时刻t 的人口为X(t),并设X(t)可微，X(0)=X O由假设，对任意△t>0 ，有)()()(t rx tt x t t x =∆-∆+即：单位时间人口增长量=r ×当时人口数当△t 趋向于0时，上式两边取极限，即：o t →∆lim)()()(t rx tt x t t x =∆-∆+ 引入微分方程：)1( )0()(0⎪⎩⎪⎨⎧==x x t rx dtdx3、模型求解： 从（1）得rdt xdx= 两边求不定积分：c rt x +=ln∵t=0时0x x =，∴C x =0lnrt e x rt x x 00ln ln ln =+=∴rte x t x 0)(= (2) 当r>0时.表明人口按指数变化规律增长.备注； r 的确定方法：要用（4.2）式来预测人口,必须对其中的参数r 进行估计: 十年的增长率307.0ln 9.33.5==r,359.1307.0=e,则(2)式现为: t t x )359.1(9.3)(⨯=4、结论：由上函数可预测得:2010的人口为x(22):x(22)=3325.772020的人口为x(23):x(23)=4519.735、检验：根据所建立的指数模型预测1790以后近两百年的美国人口数量,在此6、模型讨论：由表可见，当人口数较少时，模型的预测结果与实际情况相差不大（不超过5%）。
数学建模之中国人口增长的预测和人口结构的简析
中国人口增长的预测和人口结构的简析摘要本文根据过去数十年的人口数据，通过建立不同的数学模型，对中国人口的增长进行了短期和中长期的预测。
模型一：从中国统计年鉴—2008，查找得到2000-2007年的人口数据，然后用灰色模型进行人口的短期（2008-2017）预测。
这里，我们采用两种算法进行人口总数的预测。
一种是用灰色模型分别对城镇人口和乡村人口进行人口预测，然后求加和得到总的人口数；另一种是用灰色模型对实际的总人口数进行预测，预测未来10年的总人口数。
通过比较相对误差率知道第二种方法预测得到的数据误差较小，故采用第二种方法预测的未来10年的人口数为：模型二：对于中长期的预测我们采用Leslie模型进行预测。
我们利用题中所提供的人口数据的比例，将人分为6种类型，在考虑年龄结构的基础上，对各类人中的女性人数分别进行预测，然后根据男女的性别比例，求出男性的人口数，再将预测得到的各类人数进行汇总加和，最终得到总的人口数。
由于我们是根据年龄结构进行的预测，所以可以对人口进行简单的分析，得到老龄化变化趋势，乡镇市的人口所占比例的变化等。
关键词：人口预测；灰色模型；分类计算；Leslie模型一、模型假设模型一的假设：1、不考虑国际迁移，认为国家内部迁移不改变人口总量；2、不考虑自然灾害、疾病等因素对人口数量的影响；3、文中短期预测到2017年4、大面积自然灾害、疾病的发生以及人们的生育观念等因素会对当年的生育率和人口数量产生影响，认为这些因素在预测误差允许的范围内．模型二的假设：1、每一年龄组的女性在每一个时间段内有相同的生育率和死亡率；2、在预测的时间段内男女的性别比例保持现状不变；3、不考虑人口的迁入和迁出；4、不考虑空间等自然因素的影响，不考虑自然灾害对人口数量的影响。
二、问题分析中国是一个人口大国，随着经济的不断发展，生产力达到较高的水平，现在的问题已不是仅仅满足个人的需要，而是要考虑社会的需要。
中国未富先老，对经济的发展产生很大的影响。
6.2 人口增长模型 数学建模
一、粮食生产 19501950-1984 世界粮食产量的增幅超过人口增 长速度。但84年以后粮食产量增幅一直落后 长速度。但84年以后粮食产量增幅一直落后 于人口增长速度。 原因：缺少新垦土、灌溉量减少、土地生 产率的提高越来越难。
二、水资源的匮乏 国际水资源管理研究预测，到2050年， 国际水资源管理研究预测，到2050年， 约有10亿人口将面临缺水的状况。 约有10亿人口将面临缺水的状况。 三、海洋捕捞
2005年11月 世界人口状况报告》 2005年11月《世界人口状况报告》显示目 前世界总人口为64.647亿，我国占了约20% 前世界总人口为64.647亿，我国占了约20% 2050年世界人口将达77-112亿，若采取94 2050年世界人口将达77-112亿，若采取94 亿的预测值。会带来什么影响？
例题2齐次微分方程3一阶线性非线性微分方程其他模型malthusmalthus11模型假设模型假设33美国的实际人口数据美国的实际人口数据22模型建立模型建立33模型检验分析模型检验分析1人口预测人口预测22景区游客人数增长景区游客人数增长3城市人口增长城市人口增长
第六章鱼类减少
饲料
渔业养殖
四、森林覆盖率、生物多样性、能源危机等等
2、复习
1、微分方程：含有导数 或微分的方程 2、微分方程的类型：
（1）可分离变量的微分方程，形如 dy = f ( x) ⋅ g ( y ) dx
（2）齐次微分方程 （3）一阶线性、非线性微分方程 其他
例题 模型
2、模型建立
3、模型分析检验
美国的实际人口数据
二、阻滞增长模型
1、 模型假设 设人口增长率r是人口数N的线性递减函数， 记为r ( N ), K 是自然资源和环境条件的最大人 口容量，r 表示人口很少时的增长率（固有增 长率）
人口增长问题数学模型
人口增长问题数学模型人口增长问题是一个复杂的社会现象，它涉及到众多因素，如生育率、死亡率、移民、出生性别比等。
为了更好地理解和预测人口增长趋势，人们常常建立数学模型来描述人口变化的规律。
下面是一个简单的人口增长问题数学模型的示例。
假设人口数量为P(t)，时间t为以年为单位。
则人口增长可以用以下微分方程表示：dP(t)/dt = rP(t)其中，r是人口自然增长率，是一个常数。
这个微分方程描述了人口数量随着时间的变化情况，即人口数量呈指数增长。
然而，实际情况要复杂得多。
以下是一个更复杂的人口增长模型，考虑到生育率、死亡率和移民等因素：dP(t)/dt = (b - d)P(t) + I其中，b是每单位时间的出生率，d是每单位时间的死亡率，I是每单位时间的移民人数。
这个模型可以更好地描述人口增长的趋势，特别是当存在外部干扰（如战争、自然灾害等）时。
除了以上两个模型，还有其他更复杂的模型，如Logistic增长模型、Malthusian模型等。
这些模型考虑的因素更加全面，可以更准确地描述人口增长的趋势。
例如，Logistic增长模型考虑了环境承载能力对人口增长的限制，而Malthusian 模型则考虑了人口增长与资源供给之间的关系。
建立数学模型有助于我们更好地理解和预测人口增长趋势。
这些模型可以帮助我们评估不同政策对人口增长的影响，如计划生育政策、移民政策等。
此外，这些模型还可以帮助我们预测未来人口数量和结构的变化情况，从而为社会发展规划提供科学依据。
然而，需要注意的是，数学模型只是对现实世界的近似描述，它可能无法完全准确地预测未来情况。
因此，在使用数学模型进行人口增长预测时，需要结合实际情况和专家意见进行综合分析。
总之，数学模型是研究人口增长问题的重要工具之一。
通过建立数学模型，我们可以更好地理解和预测人口增长的规律和趋势。
这些模型可以帮助我们评估不同政策对人口增长的影响，为社会发展规划提供科学依据。
数学建模模版之人口增长问题
“公平”分配方法
人数 席位 A方 B方 p1 p2 n1 n2
衡量公平分配的数量指标 当p1/n1= p2/n2 时，分配公平
若 p1/n1> p2/n2 ，对 A 不公平
p1/n1– p2/n2 ~ 对A的绝对不公平度
p1=150, n1=10, p1/n1=15 p2=100, n2=10, p2/n2=10 p1/n1– p2/n2=5 虽二者的绝对 不公平度相同
存贮模型
配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设 备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂 生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。 已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费 每日每件1元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产 一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。
一种确定参数的办法是测量或调查，请设计测量方法。
参数估计ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
另一种确定参数的方法——测试分析
2
将模型改记作 t an bn ,
只需估计 a,b
理论上，已知t=184, n=6061, 再有一组(t, n)数据即可
实际上，由于测试有误差，最好用足够多的数据作拟合
现有一批测试数据： 用最小二乘法可得
存贮模型
生猪的出售时机 森林救火
3.4
最优价格
3.5 血管分支
3.6 消费者均衡
3.7 冰山运输
静 态 优 化 模 型
• 现实世界中普遍存在着优化问题
• 静态优化问题指最优解是数(不是函数) • 建立静态优化模型的关键之一是 根据建模目的确定恰当的目标函数 • 求解静态优化模型一般用微分法
问题
3.1
x(t ) x0 e
数学建模习题-人口问题
数学建模报告——浙江省人口增长预测模型的建立与分析问题综述:为了加快中国的经济建设进程，全面落实科学的发展观，按照构建社会主义和谐社会的要求，实现人口与经济社会资源环境的协调和可持续发展。
我们确定人口发展战略，必须既着眼于人口本身的问题，又处理好人口与经济社会资源环境之间的相互关系，构建社会主义和谐社会，统筹解决人口数量、素质、结构、分布等问题。
人口增长预测的研究是国家（地区）制定未来人口发展目标和生育政策等有关人口政策的基础，对于经济计划的制定和社会战略目标的决策具有重要参考价值。
一般的人口预测统计学模型，其预测精度难以保证。
所以选择一个好的人口预测模型，首先应符合人口基本理论和数学建模的要求，这是选择模型的关键，其次要保证模型数据可得一致性与可比性，在数据预测检验阶段应充分拟合原始数据。
浙江省是人口大省、地域小省(资源小省)，虽然从“资源小省、经济小省(国家投入小省)、工业小省”迅速发展成为“经济大省”，但人口问题始终是制约浙江省发展的关键因素之一。
根据已有数据，运用数学建模的方法，对浙江省做出分析和预测是一个重要问题。
近年来浙江省的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着浙江省人口的增长。
从浙江省的实际情况和人口增长的特点出发, 建立浙江省人口增长的数学模型，并由此对浙江省人口增长的中短期和长期趋势做出预测。
解：假设：不考虑特别年份的特殊性,例如特大自然灾害等对人口增长的影响；在研究 Logistic生物模型,假设其研究对象p(t) {p(t)表示在t时刻种群的大小}是连续的；不考虑男女出生比例对人口增长的影响。
模型建立：1.短期人口预测影响人口增长的因素有很多，有经济、政策、科学技术、自然环境等，这些众多的因素之间的关系难以准确描述出来, 它们对人口增长的作用不是用几个指标就能精确计算出来的。
人口系统具有明显的灰色性, 是一个部分信息已知而部分信息未知的系统。
数学建模 人口增长详解
摘要:人口的增长是当前世界上引起普遍关注的问题作为世界上人口最多的国家，我国的人口问题是十分突出的由于人口基数大尽管我国已经实行了20多年的计划生育政策人口的增长依然很快，巨大人口压力会给我国的社会 政治经济医疗就业等带来了一系列的问题。
因此研究和解决人口问题在我国显得尤为重要。
我们经常在报刊上看见关于人口增长预报，说到本世纪，或下世纪中叶，全世界的人口将达到多少亿。
你可能注意到不同报刊对同一时间人口的预报在数字商场有较大的区别，这显然是由于用了不同的人口整张模型计算出来的结果。
人类社会进入20世纪以来，在科学和技术和生产力飞速发展的同时世界人口也以空前的规模增长。
人口每增加十亿的时间，有一百年缩短为十几年。
我们赖以生存的地球已经携带着他的60亿子民踏入下一个世纪。
长期以来，人类的繁殖一直在自然地进行着，只是由于人口数量的迅速膨胀和环境质量的急剧恶化，人们才猛然醒悟，开始研究人类和自然的关系、人口数量的变化规律以及如何惊醒人口控制等问题。
本文件里两个模型： （1）：中国人口的指数增长模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。
（2）：中国人口的Logistic 图形，标出中国人口的实际统计数据进行比较。
而且利用MATLAB 图形 ，标出中国人口的实际统计数据，并画出两种模型的预测曲线和两种预测模型的误差比较图，并分别标出其误差。
关键词：指数增长模型 Logistic 模型 MATLAB 软件 人口增长预测1.问题的提出下表列出了中国1982-1998年的人口统计数据，取1982年为起始年（0=t ），1016540=N 万人，200000=m N 万人。
要求：（1）建立中国人口的指数增长模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。
（2）建立中国人口的Logistic 模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。
（3）利用MA TLAB 图形，标出中国人口的实际统计数据，并画出两种模型的预测曲线。
数学建模与人口增长问题
跨学科合作：加强数学建模与其他学科 的合作，如生物学、经济学等，共同研 究人口增长问题，推动相关领域的发展。
数学建模在人口增长问题中的应用：通过建立数学模型，对人口增长进行预测和模拟， 为政策制定提供科学依据。
未来发展方向：随着大数据和人工智能技术的不断发展，数学建模将更加精准地预 测人口增长趋势，为可持续发展提供有力支持。
定义变量：人口数量、出生率、死 亡率等
求解模型：通过数学方法求解模型， 得到未来人口数量
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建立模型：根据人口增长规律和影 响因素，建立数学模型
应用模型：将模型应用于实际人口 数据，预测未来人口趋势
模型假设：对人口增长进行合理假设，简化问题 模型建立：根据假设建立数学模型，描述人口增长规律 模型求解：采用适当的数学方法求解模型，得出人口增长预测结果 模型验证：通过实际数据与预测结果进行对比，检验模型的准确性和可靠性
模型验证与评估：验证所建模型的准确性和可靠性，以及在实际应用中的效果和价值
预测未来人口趋势，为政策制定提供科学依据 优化资源配置，提高人口管理和服务水平 揭示人口发展规律，促进人口与经济社会协调发展 创新人口研究方法，推动人口科学的发展
挑战：数据获取与处理
机遇：预测未来人口增长趋势
添加标题
和可靠性
拓展研究领域， 探究人口增长与 其他领域（如气 候变化、资源利 用等）之间的联
系和影响
汇报人：XX
通过数学建模， 我们可以评估不 同的人口政策对 人口增长的影响，增长的规律和趋 势，为经济和社 会发展提供参考。
深入研究不同 数学模型在人 口增长问题中 的应用和效果
探索人口增长 与社会、经济、 环境等多因素 之间的相互作
数学建模人口增长模型
人口增长预测模型摘要本文建立了我国人口增长的预测模型，对各年份全国人口总量增长的中短期和长期趋势作出了预测，并对人口老龄化、人口抚养比等一系列评价指标进行了预测。
最后提出了有关人口控制与管理的措施。
模型Ⅰ：建立了Logistic人口阻滞增长模型，利用附件2中数据，结合网上查找补充的数据，分别根据从1954年、1963年、1980年到2005年三组总人口数据建立模型，进行预测，把预测结果与附件1《国家人口发展战略研究报告》中提供的预测值进行分析比较。
得出运用1980年到2005年的总人口数建立模型预测效果好，拟合的曲线的可决系数为0.9987。
运用1980年到2005年总人口数据预测得到2010年、2020年、2033年我国的总人口数分别为13.55357亿、14.18440亿、14.70172亿。
模型Ⅱ：考虑到人口年龄结构对人口增长的影响，建立了按年龄分布的女性模型（Leslie模型）：以附件2中提供的2001年的有关数据，构造Leslie矩阵，建立相应Leslie模型；然后，根据中外专家给出的人口更替率1.8，构造Leslie矩阵，建立相应的 Leslie模型。
首先，分别预测2002年到2050年我国总人口数、劳动年龄人口数、老年人口数（见附录8），然后再用预测求得的数据分别对全国总人口数、劳动年龄人口数的发展情况进行分析，得出：我国总人口在2010年达到14.2609亿人，在2020年达到14.9513亿人，在2023年达到峰值14.985亿人；预测我国在短期内劳动力不缺，但须加强劳动力结构方面的调整。
其次，对人口老龄化问题、人口抚养比进行分析。
得到我国老龄化在加速，预计本世纪40年代中后期形成老龄人口高峰平台，60岁以上老年人口达4.45亿人，比重达33.277%；65岁以上老年人口达3.51亿人，比重达25.53%；人口抚养呈现增加的趋势。
再次，讨论我国人口的控制，预测出将来我国育龄妇女人数与生育旺盛期育龄妇女人数，得到育龄妇女人数在短期内将达到高峰，随后又下降的趋势的结论。
数学建模作业-人口增长模型
论文结构合理，模型建立详细，思想明确，论述清楚程序和拟合是文章的亮点，模型建立完了没有做误差分析，如果补完整是一篇很不错的文章。
摘要•随着科学技术的发展，国内资金积累量在不断增加，但是中国人口近几年还是呈增加的趋势，这样就会影响人均收入。
由于国民收入是资金积累的一部分，国民收入变化可以反映资金积累的变化。
因此研究资金积累、国民收入与人口增长的关系可以转化成研究资金积累与人口增长的关系。
若国民平均收入与按人口平均资金积累成正比，说明仅当资金积累的相对增长率大于人口的相对增长率时，国民平均收入才是增长的。
所以认识资金积累与人口增长的关系，对国民平均收入的增长有重大意义。
本文通过微分方程建立三个模型，即人口Malthus模型、资金积累指数模型、资金积累增长率与人口增长率的二次曲线模型。
通过资金积累与人口增长的关系来分析国民平均收入。
关键词：资金积累人口增长国民平均收入资金积累增长率人口增长率一、问题的重述资金积累、国民收入、与人口增长的关系：（1）若国民平均收入x与按人口平均资金积累y成正比，说明仅当总资金积累的相对增长率k大于人口的相对增长率r时，国民平均收入才是增长的. （2）作出k(x)和r(x)的示意图，分析人口激增会引起什么后果.二、问题分析人均国民收入主要与国家资金总积累量和总人口数有关，若总人口数的增长率大于资金积累增长率，则增长的资金不能使每一位国民增加收入，只能使少量国民收入增加，因此，总体来说，国家人均收入实际上是减少的。
三、模型假设假设总资金增长和人口增长均为指数增长，资金积累增长率和人口增长率为二次曲线模型。
四、符号说明a为国民收入在总资金积累中所占比例；y(t)为总资金积累量；N（t）为总人口数；Nm为人口的峰值；x(t) 为人均国民收入；r 为人口增长率；k 为资金积累增长率。
五、模型的建立与求解（1）人口增长模型曲线如图1所示：图1通过图形，用MATLAB 编程可建立指数增长模型6110)()(⨯+=⨯tet N αα 其中0127.01=α 0058.02=α（2）总资金积累模型曲线如图2所示：图2由曲线可知资金增长是呈指数整长的并通过MATLAB编程得到指数模型：y(t)=（0.001+e x003.0） 106。
高中数学课程的数学建模实例
高中数学课程的数学建模实例一、引言在高中数学课程中，数学建模是一种运用数学工具和方法解决实际问题的过程。
通过数学建模，学生可以培养解决问题的能力，提高数学应用的实际意义。
本文将介绍一个关于人口增长的数学建模实例，以帮助读者理解数学建模的过程和应用。
二、问题描述我们的问题是研究某国家的人口增长情况。
假设该国家的初始人口为P0，年出生率为b，年死亡率为d，年移民率为m。
我们的目标是通过数学建模预测未来几年该国家的人口变化情况。
三、数学建模过程1. 建立数学模型根据问题描述，我们可以建立如下的数学模型：P(n) = P(n-1) + (b - d + m) * P(n-1)2. 参数确定为了具体分析人口增长情况，我们需要确定参数的值。
例如，我们可以设定初始人口P0为100万人，出生率b为0.02，死亡率d为0.01，移民率m为0.005。
3. 模型求解通过数学计算，我们可以得到每年的人口变化情况。
四、结果分析根据我们的数学模型和参数设定，我们可以得到未来几年该国家的人口变化情况。
通过分析结果，我们可以得出以下结论：- 该国家的人口将呈现稳定增长的趋势。
- 人口增长速度受到出生率、死亡率和移民率的影响。
- 出生率上升、死亡率下降、移民率增加都会导致人口增长速度加快。
五、讨论和改进在实际应用过程中，我们可以对模型进行改进，考虑更多的因素，如经济发展状况、教育水平等对人口增长的影响。
同时，我们还可以对模型进行优化，提高计算效率和预测准确度。
六、结论通过以上的数学建模实例，我们可以看出数学建模在高中数学课程中的重要性和实际应用价值。
通过参与数学建模，学生可以深入了解数学与现实问题的联系，培养解决问题的能力和创新思维。
综上所述，高中数学课程中的数学建模实例为学生提供了一个锻炼自己的机会，通过运用数学工具和方法解决实际问题，提高数学应用的实际意义。
学生可以通过参与数学建模，加深对数学的理解和应用，为将来的学习和工作打下坚实基础。
数学建模logistic人口增长模型
Logistic人口发展模型一、题目描述建立Logistic人口阻滞增长模型,利用表1中的数据分别根据从1954年、1963年、1980年到2005年三组总人口数据建立模型,进行预测我国未来50年的人口情况.并把预测结果与国家人口发展战略研究报告中提供的预测值进行分析比较.二、建立模型阻滞增长模型Logistic 模型阻滞增长模型的原理：阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用,对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的.阻滞作用体现在对人口增长率r 的影响上,使得r 随着人口数量x 的增加而下降.若将r 表示为x 的函数)(x r .则它应是减函数.于是有：)0(,)(x x x x r dtdx==1对)(x r 的一个最简单的假定是,设)(x r 为x 的线性函数,即)0,0()(>>-=s r sxr x r2设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量m x ,当m x x =时人口不再增长,即增长率0)(=m x r ,代入2式得m x rs =,于是2式为 )1()(mx x r x r -= 3将3代入方程1得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)0()1(x x x x rx dtdxm 4解得：rt mme x x x t x --+=)1(1)(05三、模型求解用Matlab求解,程序如下：t=1954:1:2005;x=60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74. 5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97. 5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111. 026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122. 389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129 .988,130.756;x1=60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74 .5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97 .5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111 .026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122 .389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,12 9.988;x2=61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76 .3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98 .705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026, 112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389, 123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988 ,130.756;dx=x2-x1./x2;a=polyfitx2,dx,1;r=a2,xm=-r/a1%求出xm和rx0=61.5;f=inline'xm./1+xm/x0-1exp-rt-1954','t','xm','r','x0';%定义函数plott,ft,xm,r,x0,'-r',t,x,'+b';title'1954-2005年实际人口与理论值的比较'x2010=f2010,xm,r,x0x2020=f2020,xm,r,x0x2033=f2033,xm,r,x0解得：xm= 180.9516千万,r= 0.0327/年,x0=61.5得到1954-2005实际人口与理论值的结果：根据国家人口发展战略研究报告我国人口在未来30年还将净增2亿人左右.过去曾有专家预测按照总和生育率2.0,我国的人口峰值在2045年将达到16亿人.根据本课题专家研究,随着我国经济社会发展和计划生育工作加强,20世纪90年代中后期,总和生育率已降到1.8左右,并稳定至今.实现全面建设小康社会人均GDP达到3000美元的目标,要求把总和生育率继续稳定在1.8左右.按此预测,总人口将于2010年、2020年分别达到13.6亿人和14.5亿人,2033年前后达到峰值15亿人左右见图1.劳动年龄人口规模庞大.我国15-64岁的劳动年龄人口2000年为8.6亿人,2016年将达到高峰10.1亿人,比发达国家劳动年龄人口的总和还要多.在相当长的时期内,中国不会缺少劳动力,但考虑到素质、技能等因素,劳动力结构性短缺还将长期存在.同时,人口与资源、环境的矛盾越来越突出.而据模型求解：2010年人口：x2010= 137.0200千万专家预测13.6亿误差为0.7% 2020年人口：x2020= 146.9839千万专家预测14.5亿误差为1.3% 2033年人口：x2033= 157.2143千万专家预测 15亿误差为4.8% 2045年人口：x2045= 164.6959千万专家预测 16亿误差为4.1%五、预测1. 1954-2005总人口数据建立模型：r=0.0327 xm=180.95162010年人口：x2010= 137.0200千万专家预测13.6亿误差为0.7% 2020年人口：x2020= 146.9839千万专家预测14.5亿误差为1.3% 2033年人口：x2033= 157.2143千万专家预测 15亿误差为4.8% 2045年人口：x2045= 164.6959千万专家预测 16亿误差为4.1% 2. 1963-2005总人口数据建立模型：r=0.0493 xm=150.52612010年人口：x2010= 134.1612千万专家预测13.6亿误差为1.4% 2020年人口：x2020= 140.0873千万专家预测14.5亿误差为3.4% 2033年人口：x2033= 144.8390千万专家预测 15亿误差为3.4% 2045年人口：x2045= 147.3240千万专家预测 16亿误差为7.6% 3.1980-2005总人口数据建立模型：r=0.0441 xm=156.32972010年人口：x2010= 135.2885千万专家预测13.6亿误差为0.5% 2020年人口：x2020= 142.1083千万专家预测14.5亿误差为2.0%2033年人口：x2033= 147.9815千万专家预测 15亿误差为1.3% 2045年人口：x2045= 151.3011千万专家预测 16亿误差为5.4%总体来看,1980-2005这一组数据拟合出的人口模型比较好,即与已有数据吻合,又与专家预测误差较小.从历史原因来分析：1954年之后的1959-1961年间,有三年自然灾害故而使得实际人口数据与估计有所偏颇.1960年之后为过渡时期.1983年之后开始实施“计划生育政策”,一直至今,所以1980-2005年间的数据与预测分析最好.。
六元一次方程人口增长问题
六元一次方程人口增长问题
人口增长是一个在许多国家和地区都存在的重要问题。
通过建
立和解决方程，我们可以更好地理解人口增长的趋势和影响因素。
假设我们现在有以下六个因素来描述一个地区的人口增长情况：
- 初始人口数量（P₀）
- 年度出生率（B）
- 年度死亡率（D）
- 年度迁入人口数量（I）
- 年度迁出人口数量（E）
- 年度增长率（R）
我们可以使用以下一次方程来描述这个地区人口的变化：
P = P₀ + (B - D + I - E) * R
其中，P表示最终的人口数量。
通过观察年度出生率、死亡率、迁入人口数量和迁出人口数量
的变化，我们可以更好地理解人口增长的原因和趋势。
为了解决六元一次方程，我们需要收集并整理可靠的数据。
这
些数据可以来自政府机构、研究报告或人口普查。
然后，我们可以
将这些数据代入方程，并计算得出人口增长的结果。
值得注意的是，人口增长方程是一个简化模型，它并没有考虑
到其他可能的影响因素，如经济发展、社会政策等。
因此，在分析
和解决人口增长问题时，我们还需要考虑其他因素的影响。
总结起来，六元一次方程是一个用于描述人口增长情况的简化
模型。
通过收集和整理可靠的数据，并代入方程，我们可以更好地
了解人口增长的趋势和影响因素。
然而，我们也需要谨慎处理这些
数据，并结合其他可能的影响因素来进行分析和解决人口增长问题。
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r ( xm ) 0
r s xm
x r ( x) r (1 ) xm
阻滞增长模型(Logistic模型)
dx rx dt
dx/dt
dx x r ( x) x rx(1 ) dt xm
xx m
xm/2 x0
0
xm/2
xm x
x (t )
xm xm rt 1 ( 1)e x0
一种确定参数的办法是测量或调查，请设计测量方法。
参数估计
另一种确定参数的方法——测试分析
2
将模型改记作 t an bn ,
只需估计 a,b
理论上，已知t=184, n=6061, 再有一组(t, n)数据即可
实际上，由于测试有误差，最好用足够多的数据作拟合
现有一批测试数据： 用最小二乘法可得
x(t ) x0 e
rt
x(t ) x0 (e ) x0 (1 r )
r t
t
随着时间增加，人口按指数规律无限增长
指数增长模型的应用及局限性
• 与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合
• 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 • 可用于短期人口增长预测 • 不符合19世纪后多数地区人口增长规律 • 不能预测较长期的人口增长过程 19世纪后人口数据
系别 学生 比例
20席的分配 10.3 6.3 3.4 10 6 4
21席的分配
比 例 加 惯 例
人数 （%） 比例 结果 甲 乙 丙 103 51.5 63 34 31.5 17.0
比例 结果
10.815 11 6.615 3.570 7 3
总和 200 100.0
20.0
20
21.000 21
对 丙 系 公 平 吗
存贮模型
生猪的出售时机 森林救火
3.4
最优价格
3.5 血管分支
3.6 消费者均衡
3.7 冰山运输
静 态 优 化 模 型
• 现实世界中普遍存在着优化问题
• 静态优化问题指最优解是数(不是函数) • 建立静态优化模型的关键之一是 根据建模目的确定恰当的目标函数 • 求解静态优化模型一般用微分法
问题
3.1
•
•
时间 t=0 时读数 n=0 .
建模目的 建立时间t与读数n之间的关系 （设v,k,w ,r为已知参数）
模型建立
建立t与n的函数关系有多种方法 1. 右轮盘转第 i 圈的半径为r+wi, m圈的总长度 等于录像带在时间t内移动的长度vt, 所以
2 (r wi) vt
i 1
m
m kn
实际为281.4 (百万)
模型应用——预报美国2010年的人口 加入2000年人口数据后重新估计模型参数 r=0.2490, xm=434.0 x(2010)=306.0
Logistic 模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量)
2.1
问 题
公平的席位分配
三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表会议共20席，按比 例分配，三个系分别为10，6，4席。 现因学生转系，三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。 若增加为21席，又如何分配。
人口增长率r不是常数(逐渐下降)
阻滞增长模型(Logistic模型)
人口增长到一定数量后，增长率下降的原因： 资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用 且阻滞作用随人口数量增加而变大 假设 r是x的减函数
r ( x) r sx (r, s 0)
r~固有增长率(x很小时)
xm~人口容量（资源、环境能容纳的过快增长
常用的计算公式 k年后人口
今年人口 x0, 年增长率 r
xk x0 (1 r )
k
指数增长模型——马尔萨斯提出 (1798)
基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数
x(t) ~时刻t的人口
dx rx, x(0) x0 dt
x(t t ) x(t ) rt x(t )
当 rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 该席给A
n2 (n2 1)
定义 Qi
2 pi
2 p2
rA, rB的定义 2 p1
n1(n1 1)
该席给A 否则, 该席给B
ni (ni 1)
, i 1,2, 该席给Q值较大的一方
2 pi
推广到m方 分配席位
计算 Qi
2
思 考
m i 1
3种建模方法得到同一结果
2 (r wi ) vt
[(r wkn) r ] wvt
2 2
t
wk
v
2
(r wkn)2kdn vdt
2rk n n v
2
但仔细推算会发现稍有差别，请解释。
思 考
模型中有待定参数
r , w, v, k ,
Q1最大，第20席给甲系
1032 80.4, Q2 , Q3 同上 第21席 Q1 1112
Q值方法分配 结果
Q3最大，第 21席给丙系
甲系11席，乙系6席，丙系4席
公平吗？
进一步的讨论
Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗？
席位分配的理想化准则
已知: m方人数分别为 p1, p2,… , pm, 记总人数为 P= p1+p2+…+pm, 待分配的总席位为N。 设理想情况下m方分配的席位分别为n1,n2,… , nm (自然应有n1+n2+…+nm=N)， ni 应是 N和 p1, … , pm 的函数，即ni = ni (N, p1, … , pm ) 记qi=Npi /P, i=1,2, … , m, 若qi 均为整数，显然应 ni=qi
1.3.3 如何预报人口的增长
背景 世界人口增长概况
年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60
中国人口增长概况
年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000 人口(亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0
2
6
2
模 型 应 用
回答提出的问题：由模型算得 n = 4450 时 t = 116.4分， 剩下的录像带能录 184-116.4= 67.6分钟的节目。 揭示了“t 与 n 之间呈二次函数关系”这一普遍规律， 当录像带的状态改变时，只需重新估计 a,b 即可。
第三章
3.1
3.2 3.3
简单的优化模型
0
t
x(t)~S形曲线, x增加先快后慢
阻滞增长模型(Logistic模型)
参数估计 用指数增长模型或阻滞增长模型作人口 预报，必须先估计模型参数 r 或 r, xm
• 利用统计数据用最小二乘法作拟合 例：美国人口数据（单位~百万）
1860 1870 1880 …… 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 …… 179.3 204.0 226.5 251.4
存贮模型
配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设 备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂 生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。 已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费 每日每件1元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产 一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。
要 不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与 求 需求量、准备费、贮存费之间的关系。
模型假设
1. 产品每天的需求量为常数 r；
2. 每次生产准备费为 c1, 每天每件产品贮存费为 c2；
不仅回答问题，而且建立计数器读数与 录像带转过时间的关系。
观察 问题分析
计数器读数增长越来越慢！ 录像机计数器的工作原理
左轮盘 右轮盘
0000 计数器
主动轮 录像带 磁头 压轮 录像带运动方向 录像带运动 右轮盘半径增大 计数器读数增长变慢
录像带运动速度是常数
右轮转速不是常数
模型假设
• • •
录像带的运动速度是常数 v ； 计数器读数 n与右轮转数 m成正比，记 m=kn； 录像带厚度（加两圈间空隙）为常数 w； 空右轮盘半径记作 r ；
2）若 p1/(n1+1)< p2/n2 ， 应计算rB(n1+1, n2) 3）若 p1/n1> p2/(n2+1)， 应计算rA(n1, n2+1) 问： p1/n1<p2/(n2+1) 是否会出现？ 否! A
若rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 则这席应给 若rB(n1+1, n2) >rA(n1, n2+1), 则这席应给 B
r=0.2557, xm=392.1 专家估计
阻滞增长模型(Logistic模型)
模型检验
用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较
x(2000 x(1990 x x(1990 rx(1990 1 x(1990 / xm ] ) ) ) )[ )
x(2000 274.5 )
qi=Npi /P不全为整数时，ni 应满足的准则： 记 [qi]– =floor(qi) ~ 向 qi方向取整； [qi]+ =ceil(qi) ~ 向 qi方向取整. 1) [qi]– ni [qi]+ (i=1,2, … , m), 即ni 必取[qi]– , [qi]+ 之一 2) ni (N, p1, … , pm ) ni (N+1, p1, … , pm) (i=1,2, … , m) 即当总席位增加时， ni不应减少 “比例加惯例”方法满足 1），但不满足 2）