2013年高考数学必修5课件：第1章1.2

描点：在平面直角坐标系中描出下列各点即得 数列{an}的图像： (1，－7)，(2，－12)，(3，－15)，(4，－16)， (5，－15)，(6，－12)，(7，－7)，(8,0)， (9,9)，…
图像如图所示．
(2)数列{an}的图像既不是上
升的，也不是下降的，则{an}
既不是递增的，也不是递减
知新益能
1．数列与函数
正整数集N＋(或 数列可以看作是一个定义域为______________ 它的有限子集{1,2,3，…，n}) ____________________________的函数，当自 变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列 函数值就是这个数列． 2．数列的单调性
名称
定义
表达式 an＋1>an an＋1<an an＋1＝an
2．如何判定数列的单调性？ 提示：(1)作差比较法 ①若an＋1 －an>0恒成立，则数列{an}是递增数 列.
②若an＋1 －an<0恒成立，则数列{an}是递减数
列.
③若an＋1－an＝0恒成立，则数列{an}是常数列.
(2)作商比较法 ①若an>0，则
an＋1 当 a >1 时，数列{an}是递增数列； n an＋1 当 a <1 时，数列{an}是递减数列； n an＋1 当 ＝1 时，数列{an} 是常数列． an ②若 an<0，则 an＋1 当 a <1 时，数列{an}是递增数列； n
(2)由通项公式an ＝－2n＋5，写出数列的前5
项3,1，－1，－3，－5，描点可得数列{an}的
图像如图(2)所示．由图像知它是递减数列．
判断数列的单调性 判断数列的单调性，一般地，根据数列的通 项公式比较an＋1与an的大小，比较an＋1与an的 大小常用作差法，此外还可用作商法、函数 法．
an＋1 当 a >1 时，数列{an}是递减数列； n an＋1 当 a ＝1 时，数列{an}是常数列． n (3)函数法：将通项公式转化为函数的形式，通 过判断函数的单调性来确定数列的单调性．
课堂互动讲练
考点突破 数列的图像 数列是一个特殊的函数，因此也可以用图像 来表示，以位置序号n为横坐标，相应的项为 纵坐标，即坐标为(n，an)描点画图，就可以 得到数列的图像．因为它的定义域是正整数 集N ＋ (或它的有限子集{1,2,3，…，n})，所以 其图像是一群孤立的点，这些点的个数可以 是有限的，也可以是无限的．
又an＝n2＋kn(n∈N＋)，
所以(n＋1)2＋k(n＋1)－(n2＋kn)>0恒成立，
即2n＋1＋k>0，
所以k>－(2n＋1)(n∈N＋)恒成立．
当n＝1时，－(2n＋1)的最大值为－3，
所以k>－3即为所求范围．
方法感悟
1．明确数列的分类：按项数可分为有穷数列
和无穷数列；而按相邻项的大小又可分为递
【规律小结】
判断一个数列的增减性，常常
用作差的方法，通过判断差的符号来确定．对
n∈N ＋ ，当an＋1 －an>0时，{an}为递增数列；
当an＋1 －an<0时，{an}为递减数列；当an＋1 －
an＝0时，{an}为常数列；当an＋1－an的符号不
确定时，{an}既不是递增的，也不是递减的，
也不是常数列．
【思路点拨】 不妨令 f(n)＝S3n－Sn.易得 f(n) 1 1 1 ＝ ＋ ＋…＋ ，问题转化为 f(n)>2m 3n n＋1 n＋2 －3 对一切大于 1 的自然数 n 都成立，只需 f(n)min>2m－3，最终将问题归结为判断 f(n)的 单调性．
【解】
设 f(n)＝S3n－Sn，则
1 1 1 f(n)＝ ＋ ＋…＋ . 3n n＋1 n＋2 1 1 1 ∵f(n＋1)－f(n)＝( ＋ ＋…＋ )－ n＋2 n＋3 3n＋3
9n＋5 1 1 1 ( ＋ ＋…＋ )＝ >0， 3n 3n＋13n＋23n＋3 n＋1 n＋2
∴f(n＋1)>f(n)，
即 f(n)在其定义域上单调递增． 19 f(n)min＝f(2)＝ . 20 由于 f(n)>2m－3 对 n>1 且 n∈N＋恒成立， ∴只需 f(n)min>2m－3， 19 79 即 2m－3< ，∴m< . 20 40
增数列、递减数列、摆动数列、常数数列
等． 2．在判定数列的增减性时有两种常用方法： 一是作差(或作商)比较an与an＋1的大小；二是 利用数列的图像或相应函数的单调性．
3． 要明确数列是一种特殊的函数， 能用函数的 观点、方法研究数列的增减性、最值、图像等 问题． 4． 数列中的最大项或最小项的探求可通过数列 的增减性加以解决，若求最大项 an，则 an 应满
n 例2 判断数列{ }的增减性． 3n＋1
【思路点拨】 知识求解． 利用数列的性质，或利用函数
n 【解】 ∵an＝ ， 3n＋1 n＋1 n＋1 ∴an＋1＝ ＝ . 3n＋1＋1 3n＋4
n＋1 n 法一：an＋1－an＝ － 3n＋4 3n＋1 n＋13n＋1－n3n＋4 1 ＝ ＝ ， 3n＋43n＋1 3n＋43n＋1 ∵n∈N＋，∴an＋1－an>0，即 an＋1>an， n ∴数列{ }为递增数列． 3n＋1
an≥an＋1， 足 若求最小项 an，则 an 应满足 an≥an－1；
an≤an＋1， 另外一种方法就是将数列看作一 an≤an－1.
个特殊的函数，通过求函数的最值来解决数列 的最值问题，但此时应注意 n∈N＋这一条件．
例1
已知数列{an}中，an＝n2－8n，
(1)画出{an}的图像； (2)根据图像写出数列{an}的增减性．
【思路点拨】
(1)当n∈N＋时，分别在平面
直角坐标系中描出点(n，an)即可．(2)图像的
上升或下降显示数列的增减性．
【解】
(1)列表n 1 2 3来自4 5 6 7 8 9 … an －7 －12 －15 －16 －15 －12 －7 0 9 …
大于 递增 从第二项起，每一项都_____它 数列 前面的一项 小于 递减 从第二项起，每一项都_____它 数列 前面的一项 常数 相等 各项都_____ 列 从第2项起，有些项大于它的前 摆动 1项，有些项小于它的前1项的 数列 数列
问题探究 1．数列与函数有什么关系？ 提示：数列可以看作是定义域为正整数集N＋(或 它的有限子集{1,2,3，…，n})的函数．数列的项 是函数值，序号是自变量，数列的通项公式也就 是相应函数的解析式．数列是一种特殊的函数， 可以用图像直观地表示，其图像是无限个或有限 个孤立的点．由于函数有三种表示法，所以数列 也有三种表示法：列表法、图像法和通项公式 法．通常用通项公式法表示数列． 由于函数存在最值问题，则数列的项也存在最值 问题，其讨论方法是转化为函数问题．
1．2
数列的函数特性
学习目标
1．理解数列的函数特性．
2．掌握三种特殊数列．
1.2 数 列 的 函 数 特 性
课前自主学案
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
温故夯基
解析法 1．函数的基本表示方法有_______、列表法和
图像法 _______ ． 2．数列{an}的前4项为0,2,4,6，则其一个通项公 an＝2(n－1) 式为___________ ．
法二：∵n∈N＋，∴an>0. n＋1 3n＋4 n＋13n＋1 3n2＋4n＋1 an＋1 ∵ ＝ ＝ ＝ an n 3n＋4n 3n2＋4n 3n＋1 1 ＝1＋ 2 >1. 3n ＋4n n ∴an＋1>an，∴数列{ }为递增数列． 3n＋1
x 法三：令 f(x)＝ (x≥1)，则 3x＋1 1 3x＋1－1 1 1 f(x)＝ ( )＝ (1－ )， 3 3x＋1 3 3x＋1 ∴函数 f(x)在[1，＋∞)上是增函数， n ∴数列{ }是递增数列． 3n＋1
【名师点评】
数列问题转化为函数问题，
体现了化归转化的思想、函数的思想．函数
单调性的运用为数列问题的解决增添了新的
途径．
自我挑战2
设数列{an}的通项公式为an＝n2＋
kn(n∈N ＋ )，若数列{an}是单调递增数列，求 实数k的取值范围． 解：因为数列{an}是单调递增数列，所以an＋1
>an(n∈N＋)恒成立．
的．
【误区警示】
画数列的图像的方法仅有描点
法，其步骤是：①列表；②描点．要注意描点
后不能连线，这是由于数列的定义域是N＋.
自我挑战1
画出下列数列的图像，并判断数
列的增减性．
(1)2,4,6,8,10，…；(2)an＝－2n＋5.
解：(1)数列2,4,6,8,10，…的图像如图(1)所示. 由图像知它是递增数列．
数列单调性的应用 一个数列是递增数列其首项是这列数的最小 值；一个数列是递减数列其首项是这列数的
最大值．此外，数列的单调性有时与函数的
性质结合起来．此时应注意数列函数的定义
域．
例3
1 已知数列{an}的通项公式为 an＝ ， 其前 n
n 项和为 Sn.若 S3n－Sn>2m－3 对一切大于 1 的 自然数 n 都成立，求 m 的取值范围．