27.1.2圆的对称性

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27.1.2圆的对称性⑴

27.1.2圆的对称性⑴
27.1.2圆的对称性
想一想?
一.圆的对称性.
.
1.轴的对称性.圆是轴对称图形,过圆心的每一条直线 (直径所在的直线)都是圆的对称轴,无数条。
2、中心对称性.圆是中心对称图形,对称中心 是圆心. 3.旋转不变性(独有). 圆是旋转对称图形,旋转中心是圆心. 即圆绕圆心旋转任意一个角度α,都能与原来的图形重合。
o
C
N
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧 、弦心距有什么 关系? A M 如图: B AOB= COD
o
C
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下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧 、弦心距有什 么关系? A M 如图: B AOB= COD
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下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧 、弦心距有什么 关系? A M 如图: B AOB= COD
A E B






O
·
F
D
四一三定理的应用: ⌒ ⌒ ⌒ 例1.如图,AB是⊙O 的直径, BC=CD=DE, ∠COD=35°,求∠AOE 的度数. ⌒ ⌒ ⌒ 解: Q BC=CD=DE
E D 35° 35° 35° O C
BOC=COD=DOE=35
B
A
·
AOE 180 3 35 75
圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理
D
A

D
A

B
O
B
O

O′
┏ A′ D′ B′
题设
( 条 件 )
结论
┏ A′ D′ B′
在 同 前 圆 提 或 等 圆 中 ( )

初中数学 教案:27.1.2 圆的对称性

初中数学 教案:27.1.2 圆的对称性

27.1.2圆的对称性教学目标:使学生知道圆是中心对称图形和轴对称图形,并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系,能运用这些关系解决问题,培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法.重点难点: 1.重点:由实验得到同一个圆中,圆心角、弧、弦三者之间的关系.2.难点:运用同一个圆中,圆心角、弧、弦三者之间的关系解决问题.教学过程:一、由问题引入新课:要同学们画两个等圆,并把其中一个圆剪下,让两个圆的圆心重合,使得其中一个圆绕着圆心旋转,可以发现,两个圆都是互相重合的.如果沿着任意一条直径所在的直线折叠,圆在这条直线两旁的部分会完全重合.由以上实验,同学们发现圆是中心对称图形吗?对称中心是哪一点?圆不仅是中心对称圆形,而且还是轴对称图形,过圆心的每一条直线都是圆的对称轴.二、新课1.同一个圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等.垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.实验1.将图形28.1.3中的扇形AOB 绕点O 逆时针旋转某个角度,得到图28.1.4中的图形,同学们可以通过比较前后两个图形,发现AOB AOB ∠=∠,AB AB =,.AB=AB实质上,AOB ∠确定了扇形AOB 的大小,所以,在同一个圆中,如果圆心角相等,那么它所对的弧相等,所对的弦相等.图23.1.3图23.1.4问题:在同一个圆中,如果弧相等,那么所对的圆心角,所对的弦是否相等呢? 在同一个圆中,如果弦相等,那么所对的圆心角,所对的弧是否相等呢?实验2、如图28.1.7,如果在图形纸片上任意画一条垂直于直径CD 的弦AB ,垂足为P ,再将纸片沿着直径CD 对折,比较AP 与PB 、AC ︵与CB ︵,你能发现什么结论? 显然,如果CD 是直径,AB 是⊙O 中垂直于直径的弦,那么AP BP =,AC=BC ,AD=BD .请同学们用一句话加以概括. ( 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧) 2.同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系的应用.(1)思考:如图,在一个半径为6米的圆形花坛里,准备种植六种不同颜色的花卉,要求每种花卉的种植面积相等,请你帮助设计图28.1.5,在⊙O 中,AC BC =,145∠=︒,求2∠种植方案.(2)如的度数.3、课堂练习:P38练习1、2、3 三、课堂小结本节课我们通过实验得到了圆不仅是中心对称图形,而且还是轴对称图形,而由圆的对称性又得出许多圆的许多性质,即(1)同一个圆中,相等的圆心角所对弧相等,所对的弦相等.(2)在同一个圆中,如果弧相等,那么所对的圆心角,所对的弦相等.(3)在同一个圆中,如果弦相等,那么所对的圆心角,所对的弧相等.(4)垂直于弦的直径平分弦,并图23.1.7图 23.1.5且平分弦所对的两条弧.四、作业P42 习题28.1 1、2、3、4、5。

《圆的对称性》

《圆的对称性》

01
在古希腊和古埃及,数学家们开始研究圆的对称性,并探索其
几何性质。
欧几里得几何
02
在欧几里得几何中,圆被定义为所有到定点距离相等的点的集
合,这个定点被称为圆心。
反射对称性
03
圆的反射对称性是指,如果一个点在圆上,那么与它关于圆心
对称的点也在圆上。
圆的对称性的发展现状
微积分学的发展
在微积分学中,圆的对称性被进一步研究,并应用于解决各种 问题。
更广泛的应用
随着科技的发展,圆的对称性将会在更多的领域得到应用,例如 计算机图形学、人工智能等。
感谢您的观看
THANKS

03
工程学
在工程学中,圆的对称性被广泛应用于机械设计、建筑设计等领域。
例如,许多机械零件和建筑结构都采用了旋转对称性和反射对称性的
பைடு நூலகம்
原理进行设计和建造。
02
圆的基本性质
圆的定义
圆是平面上所有与给定点(称为圆心)的距离等于给定长度(称为半径)的点的 集合。
圆的方程通常表示为(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2,其中(h, k)是圆心的坐标,r是 半径。
测量与计算
圆的对称性在测量和计算 中也经常用到,如计算圆 的周长、面积等。
在物理学中的应用
运动学
圆的对称性在运动学中有着重要的应用,如物体 做圆周运动时的向心力和离心力。
光学
圆的对称性在光学中也有着重要的应用,如各种 光学仪器(如望远镜、显微镜等)的设计。
电磁学
在电磁学中,圆的对称性对于理解电磁场的分布 和性质非常重要。
在日常生活中的应用
建筑设计
圆的对称性在建筑设计中有着广泛的应用,如圆形屋顶、圆形窗 户等。

《圆的对称性》圆

《圆的对称性》圆

《圆的对称性》圆日期:目录•圆的定义与基本性质•圆的对称性概述•圆的轴对称性•圆的中心对称性•圆的对称性在日常生活中的应用•总结与展望圆的定义与基本性质定义圆是平面上所有与给定点(称为圆心)距离相等的点的集合。

几何表示通常,我们用圆心O和半径r来表示一个圆,记为⊙O(r)。

圆的定义圆中心的点,记作O,是圆的对称中心。

圆心、半径与直径圆心从圆心到圆上任一点的线段,记作r,长度等于圆的半径。

半径通过圆心,且两个端点都在圆上的线段,记作d,长度等于半径的两倍,即d=2r。

直径圆的基本性质同心性:所有与给定圆同心的圆都共享同一个圆心。

等距性:圆上任意两点到圆心的距离相等。

这些基本性质不仅定义了圆,也为后续研究圆的性质和其在各种应用中的作用奠定了基础。

圆周角定理:同弧所对的圆周角相等,等于圆心角的一半。

对称性:圆具有旋转对称性,任何经过圆心的角度旋转后,圆保持不变。

圆的对称性概述对称性,在几何学中,是指图形在某个变换下保持不变的性质。

例如,一个图形在旋转、翻折等操作后,如果与原图形重合,那么这个图形就具有对称性。

对称性定义几何变换包括旋转、翻折、平移等。

如果一个图形在这些变换下保持不变,我们说这个图形具有相应的对称性。

变换的种类对称性的定义实际应用圆的对称性在建筑设计、艺术设计、工程学等领域都有广泛应用,对这些应用的理解和分析需要深入研究圆的对称性。

几何基本图形圆是最基本的几何图形之一,对于理解更复杂的几何形状和结构至关重要。

数学理论圆的对称性研究也有助于推动数学理论的发展,如群论、拓扑学等。

为何研究圆的对称性圆的对称性的种类旋转对称性:圆具有旋转对称性,即无论沿着哪个方向旋转,只要旋转的角度相同,都能与原始图形重合。

平移对称性:由于圆是各向同性的,它在任何方向的平移都不会改变它的形状,这也是圆的一种对称性。

翻折对称性:圆也具有翻折对称性,即无论沿着哪条直径翻折,都能与原始图形重合。

总结起来,圆的对称性是其在各个方向上均匀性的体现,这也是它在几何学和应用领域中重要地位的原因之一。

初中数学课件-圆的对称性课件北师大版2

初中数学课件-圆的对称性课件北师大版2

(1)此图是轴对称图形,对称轴是 直径CD所在的直线
(2)AP=BP, A⌒C=B⌒C,A⌒D=B⌒D
初中数学课件-圆的对称性课件北师大 版2( 精品课 件)
D
O
P
A
B
C
初中数学课件-圆的对称性课件北师大 版2( 精品课 件)
已知:在☉O中,CD是直径,AB是弦,AB⊥CD,
垂足为P. 求证:AP=BP, A⌒C =B⌒C,A⌒D =B⌒D.
初中数学课件-圆的对称性课件北师大 版2( 精品课 件)
初中数学课件-圆的对称性课件北师大 版2( 精品课 件)
在等圆中探究
如图,在等圆中,如果∠AOB=∠CO ′ D,你发现
的等量关系是否依然成立?为什么?
FB
C
ED
O· A
·O'
初中数学课件-圆的对称性课件北师大 版2( 精品课 件)
通过平移和旋转将两个等圆变成同圆
初中数学课件-圆的对称性课件北师大 版2( 精品课 件)
初中数学课件-圆的对称性课件北师大 版2COD,那么,A⌒B与C⌒D,
弦AB与弦CD有怎样的数量关系?
由圆的旋转不变性,我们发现: D
在⊙O中,如果∠AOB= ∠COD,
C B
· OA
那么,A⌒B=C⌒D,弦AB=弦CD
课堂小结
圆心角
概念:顶点在圆心的角
弦、弧、圆心 角的关系定理
应用提醒
在同圆或等圆中 圆心角 相等
初中数学课件-圆的对称性课件北师大 版2( 精品课 件)
①要注意前提条件; ②要灵活转化.
弧 相等
弦 相等
初中数学课件-圆的对称性课件北师大 版2( 精品课 件)
27.1.2 圆的对称性 第2课时 垂径定理

27.1.2圆的对称性(华师版)

27.1.2圆的对称性(华师版)

C
P
O B
第58页,共60页。
A D
4、已知:如图, ⊙O的两条半径 OA⊥OB,C、D是弧AB的三等分点。
求证:CD=AE=BF。
A C
E
FD
O
B
第59页,共60页。
弧、弦、弦心距之间的不等量关系
在同圆或等圆中,是不是弧越长,它所对 的弦越长?是不是弦越长,它所对的弧越 长?
AB和CD是⊙O的两条弦,OM和ON分别 是AB和CD的弦心距,如果AB>CD,那么 OM和ON有什么关系?为什么?
A
如图: AOB= COD
B
o
C
D
第36页,共60页。
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系?
A
如图: AOB= COD
B

o
C
D
第37页,共60页。
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系?
A
如图: AOB= COD
B
o
C
D
第38页,共60页。
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系?
()
注意:等弧的度数一定相等,但度 数相等的弧不一定是等弧!
第56页,共60页。
1、已知:在⊙O中,弦AB所对的劣弧为圆的 1/3,圆的半径为2cm。求AB的长。
2、已知AB和CD为⊙O的两条直径,弦EC//AB,弧EC
的度数为40°,求∠BOD的度数。
E
A
C
O
D B
第57页,共60页。
3、已知:如图, PB=PD. 求证: AB=CD 。
意一个角度α,都能与原来的图形重合。
第3页,共60页。

27.1.2圆的对称性(1)

27.1.2圆的对称性(1)

2.在同一个圆(或等圆)中,如果弧相等,那么所 对的圆心角_相__等__、所对的弦__相__等__, 所对的弦
的弦心距_相__等__。
倍 3.在同一个圆(或等圆)中,如果弦相等,那么所
速 课 时 学 练
对的圆心角_相__等__、所对的弧_相__等___,所对的弦的
弦心距_相__等__。
以上三句话如没有在
O

速C


学 练
N
D
圆是轴对称图形,
经过圆心的 每一条直线都是 它的对称轴。
B
M
A
D 或: 任意一条
直径所在的直线
都是圆的对称轴。
O
任意一条直径都是
倍 速C
圆的对称轴(

课 时
B


N
探究一:
将图中的扇形AOB绕点O逆时针旋转 某个角度。在得到的图形中,同学们可 以通过比较前后两个图形,发现有何关 系?
倍 速 课 时 学 练
C
B O
你会做吗?
如图,在⊙O中,AC=BD,
1 45 ,求∠2的度数。
解:∵ AC=BD (已知)
∴ AC-BC=BD-BC (等式的性质)
倍 速
∴ AB=CD
图 23.1.5

时 学
∴∠1=∠2=45°(在同圆中,相等的弧

所对的圆心角相等)
例1: 已知:如图,A,B,C,D是⊙O上的点, ∠1=∠2。 求证:AC=BD
的弦心距中,有一组量相等,
倍 那么它们所对应的其余各组量
速 课
也分别相等.



∵把圆心角等分成360份,则每一份的圆心 角是1º.同时整个圆也被分成了360份. 则每一份这样的弧叫做1º的弧.

2712圆的对称性

2712圆的对称性

第1页2圆的对第2课时圆的对称性教学目标一、基本目标1.理解并掌握圆的对称性,知道圆既是轴对称图形,乂是中心对称图形.2.理解同圆或等圆中,圆心角、弧、弦之间的关系.二、重难点目标【教学重点】圆的对称性、圆心角、弧、弦之间的关系.【教学难点】利用同圆或等圆中,圆心角、弧、弦之间的关系解决问题.教学过程环节1 口学提纲,生成问题[5 nrni阅读】阅读教材P37〜P39的内容,完成下面练习.[3 nmi反馈】1.圆是一个旋转对称图形,无论绕圆心旋转多少度,它都能与自身重合,一对称中心即为其圆心 ___ .2.(1)在同圆或等圆中,如果圆心角相等,那么它们所对的弧相等,所对的弦也相等. (2)在同圆或等圆中,如果两弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等一一一(3)在同圆或等圆中,如果弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧相等 ------------ .3,圆是轴对称图形,它的任意一条直径都是它的对称轴 ---------4.如图,在00 中,若ZA0B=ZC0D,则AB = CD, AB— =CD— : _若AB— =CD—,则ZA0B = ZC0D, AB = CD: -------------------若AB = CD, WlJZA0B = ZC0D, AB— =CD— , ADB— =CBD..环节2合作探究,解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图,AB、DE是(30的直径,c是Oo上的一点,H AD—=CE—.BE与CE 的第2页大小有什么关系?为什么?【互动探索】(引发学生思考)根据圆心角、弦、弧之间的关系可得AD-二BE-,再结合已知条件AD-二CE-即可通过等量代换及同圆中相等的弧所对的弦相等得出结论.【解答】BE二CE.理由:TZAOD — ZBOE , ••-AD-—二BE—** .―# ・*-BE CE.【互动总结】(学生总结,老师点评)解此类题时,应从同圆中圆心角、弦、弧之间的关系进行判断.【例2】如图,A、B、C是G>0上三点,ZAOB=120° , C是AB—的中点,试判断四边形OACB的形状,并说明理由.【互动探索】(引发学生思考)观察法:由ZAOB二120° ,(2是AB-的中点,可想到连结OC — OA = AC = OC = BC = OB —四边形OACB 是菱形.[解答]四边形OACB是菱形.理由如下:如图,连结OC. TZAOB二120° , C是的中点,/.ZAOC = ZBOC = 12ZAOB = 60°.又TCO = BO ,•••△OBC是等边三角形,/.OB = BC.同理可得,AOCA 是等边三角形,.•.OA 二AC.又TOA 二OB , .*.OA = AC = BC = BO , 四边形OACB是菱形.【互动总结】(学生总结,老师点评)解此类题时,由弧中点联想到弧、弦、圆心角的关系定理,作辅助线(连结弧中点和圆心)解决问题■活动2巩固练习(学生独学)第3页1.如图,在€>0中,己知AB— =CD—,则AC与BD的关系是(A)A. AC = BDB.AC<BDC. AC>BDD・不确定2.如图,AB 是00 的直径,BC、CD. DA 是G>0 的弦,XL BC = CD=DA,求ZBOD 的度数.解:连结OC.TBC、CD、DA 是O0 的弦,且BC 二CD 二DA ,・・・ZA0D 二ZD0C 二ZB0C.又IAB 是00 的直径「・ZB0D 二23X180° = 120°.3.如图,在G)O中,弦AB = CD,那么ZA0C和ZBOD相等吗?请说明理由.解:ZAOC = ZBOD.理由如下:•・•在O0 中,弦AB 二CD ,・・・ZA0B = ZCOD # /.ZA0B - Z COB = ZCOD - ZCOB # /.ZAOC = ZBOD.4.如图,AB、CD 为00 的直径,AC— =CE—.求证:BD = CE.证明:连结AC/.-AC— = CE— ,・・・AC = CE//ZAOC = ZBOD「•AC = BD f /.BD = CE•活动3拓展延伸(学生对学)【例3】如图,已知AB是<30的直径,M、N分别是AO、B0的中点,CM丄AB, DN丄AB.求证:AC— =BD—.【互动探索】求证AC-二BD-,由弧、弦、圆心角的关系定理,考虑作辅助线连结OC、0D ,从而通过证明ZC0M = ZD0N来得到AC—二BD—.【证明】如图,连结OC、0D.TAB是的直径,M、N分别是AO、B0的中点,/.OM 二ON.TCM 丄AB f DN 丄AB ,/.ZOMC = ZOND = 90°.在Rt^OMC 和R20ND 中,T????? OC = OD , OM = ON r/.Rt^OMC^Rt-OND(HL),・・・ZC0M二ZDON「・・AC—二BD—・第4页【互动总结】(学生总结,老师点评)在同圆或等圆中,如果两条弧(一般同为优弧或劣弧)、两条弦、两个圆心角中有一组量相等,另吆它们所对应的其余各组量都分别相等• 环节3课堂小结,当堂达标(学生总结,老师点评)圆的对称性?????圆是旋转对称图形弧、眩、圆心角的关系圆是轴对称图形练习设计请完成本课时对应训练!第3课时*垂径定理教学目标一、基本目标1 •理解与掌握垂径定理及其推论.2.运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题.二、重难点目标【教学重点】垂径定理及其推论.【教学难点】利用垂径定理及其推论解决相关计算或证明问题.教学过程环节1 口学提纲,生成问题[5 mm阅读】阅读教材P39〜F40的内容,完成下而练习.[3 mm反馈】1. •垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且半分这条弦所对的两条弧.——----- 即一条直线如果满足:①直线经过圆心0且与圆交于C、D两点:②AB丄CD 交CD 于M.那么AM = BM=12AB, AC— =BC— , AD— =BD— .2.垂径定理的推论:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直丁这条弦- 并且半分这条弦所对的两条弧.(2)平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦. -------------环节2合作探究,解决问题活动1小组讨论(师生互学)第5页【例1】一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米,管内有少量的污水(如图1),此时的水面宽AB为0.6米,求此时的水深(即阴影部分的弓形高). 图1 图2【互动探索】(引发学生思考)要求此时的水深,即阴影部分的弓形高一结合垂径定理, 作辅助线(如图2)-构造直角三角形求出CD长即可.【解答】如图2 ,过点0作OD丄AB于点C ,交OO于点D ,连结OB.根据垂径定理,得C是AB的中点’D是AB—的中点,CD就是水深,贝9 BC = 1- 2AB = 0.3 米.又由题意可知,0D二0B二0.5米,所以在R2OBC中,由勾股定理,得OCV = OB2 - BC2二0.4米,所以CD = OD - OC = 0.1 米,即此时的水深为0」米.【互动总结】(学生总结,老师点评)在圆中求半径、弦等线段的长时,常常借助垂径定理构造直角三角形,再在直角三角形中运用勾股定理来解决•【例2】如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD-,点0是CD-所在圆的圆心),其中CD=600m, E为CD—上一点,且OE丄CD,垂足为F, EF = 90m,求这段弯路的半径.【互动探索】(引发学生思考)要求这段弯路的半径,可转化为求OC的长,结合已知条件,在R2OCF中利用勾股定理即可求得OC的长.【解答】连结OC-设弯路的半径为Rm,则OF二(R - 90)m. TOE丄CD ,.•.CF 二12CD 二1_ 2X600 = 300(m).在Rt^OCF中,根据勾股定理,得0C2 = CF2 + 0F2 ,即R2 = 3002 + (R - 90)2.解得R = 545.第6页.••这段弯路的半径为545讥【互动总结】(学生总结,老师点评)常用辅助线:连结半径,由半径、半弦、弦心距构造直角三角形■活动2巩固练习(学生独学)1.如图,AB为O0的弦,O0的半径为5, OC丄AB于点D,交00 T点C, J1CD=1, 则弦AB的长是多少?解:弦AB的长是6.2. 一条排水管的截面如图所示.已知排水管的半径OB = 10cm,水面宽AB=16cm.求截面圆心0到水面的距离.解:截面圆心0到水面的距离为6 cm.3.如图,AB为半圆的直径,0为圆心,C为半圆上一点,E是——AC的中点,0E交弦AC于点D,若AC = 8 cm, DE=2 cm,求OD的长.解:OD 二 3 cm.4.有一石拱桥的桥拱是圆弧形,如图所示,正常水位下水面宽AB = 60m,水而到拱顶距离CD=18m,当洪水泛滥时,水面到拱顶距离为3.5 m时需要采取紧急措施,当水面宽MN = 32m时是否需要釆取紧急措施?请说明理由.解:不需要采取紧急措施•理由如下:如图,连结0M ,设OA = Rm.由题意知,在Rt △AOC 中,AC 二12AB 二30 m , CD 二18 m , .•.由勾股定理,得Rz = 30: + (R - 18)2 ,解得R =34.又在R2MOE 中,ME 二丄2MN = 16 m , .*.342 = I62 + (34 - DE)2 ,解得DE 二4 m 或64 m(不合题意,舍去),/.DE二4 m . T4 > 3.5 ,二不需要采取紧急措施.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】已知O0的半径为13,弦AB = 24,弦CD=10, AB//CD,求这两条平行弦AB、CD之间的距离.【互动探索】画出几何示意图一要求两条平行弦AB、CD之间的距离一利用垂径定理求解一作辅助线,构造直角三角形【解答】分两种情况讨论:当弦AB和CD在圆心同侧时,如图1 ,过点O作OF丄CD于点F ,交AB于点E ,连结OC、OA.由题意可知,OA = OC=13.第7页TABIICD , OF丄CD r .\OE±AB.又TAB = 24 # CD= 10 r・•・由垂径定理,得AE二1_ 2AB = 12 f CF= 12CD = 5 #・・・由勾股定= OC2 - CFz= 12 f /.EF = OF - 0E = 7.当弦AB和CD在圆心异侧时#如图2 ,过点0作OF丄CD于点F ,反向延长OF交AB于点E ,连结OC、OA.同理可得,EO = 5 , OF = 12 , /.EF = OF + OE= 17.综上,两条平行弦AB与CD之间的距离为7或17.[互动总结](学生总结,老师点评)解此类题时,要考虑两弦在圆心的同侧还是异侧, 再结合实际作出半径和弦心距,利用勾股定理和垂径定理求解即可•要注意分类讨论思根的应用,”心别漏解•环节3课堂小结,当堂达标(学生总结,老师点评)垂径定理及其逆定理,以及常用的辅助线(作垂径)和解题思路(构造由半径、半弦、眩心距组成的直角三角形).练习设计请完成本课时对应训练!。

27.1.2圆的对称性

27.1.2圆的对称性

圆心角、弧、弦之间的关系定理
• 在同圆 或等圆 中,相等的圆心角所对的弧相等,所对
的弦相等.
上由面条这件句: 话如没有“在同圆或
等①圆∠中AO”B=的∠条A′件O,′这B′个结论还
不会一可成定推立.出举吗出?反例②:⌒AB=A⌒′B′B D
如图,∠AOB=∠C③ODA,B=AO′B′
但AB CD,⌒AB ⌒CD.
点,试确定四边形OACB的形状.
C
B
解:四边形OACB是菱形.
理由是:连接OC,则有OA=OB=OC. A
O
∵C是AB的中点,∴AC=BC.
又∵∠AOB=120°, ∴∠AOC=∠BOC=60°,
∴△AOC与△BOC都是等边三角形.
∴OA=OB=AC=BC.∴四边形OACB是菱形.
3.判断下列说法是否正确:
2.圆是中心对称图形,其对称中心是圆心.
3.在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧, ③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么 它们所对应的其余各组量都分别相等.
6.大(用于两半个圆字的母弧表叫示做)优. 弧,如图记作:A⌒DB
(用三个字母表示).
圆的对称性
平行四边形绕对角线交点O旋转
O
180度后与原来的平行四边形重合.
所以平行四边形是中心对称图形. O是旋转中心.
O

问题:
圆是中心对称图形吗?对称中心在哪里?
圆是中心对称图形,对称中心为圆心.
在两张透明的纸上,分别作半径相等的⊙O和
AC
A
(O′)
B
●O
A′
B′
拓展与深化
在同圆或等圆中,如果轮换下面各组条件:
①两个圆心角,②两条弧,③两条弦, 你能得出什么 结论?与同伴交流你的想法和理由.

27.1.2圆的中心对称性

27.1.2圆的中心对称性

圆的中心对称性
如下图所示,已知在⊙O中,AB、CD是两条弦,OE⊥AB, OF⊥CD.垂足分别为E、F.
(1)如果∠AOB=∠COD,那么OE与OF的大小有什么 关系?为什么?
(2)如果OE=OF,那么 A⌒B, ⌒CD 的大小有什么关系?
∠AOB与∠COD呢?为什么?
思考:通过此例的解答,大家有什么新的发现吗?
第27章 圆
27.1.2 ----圆的中心对称性
回忆、交流:
(1):你能说说什么是旋转对称图形?怎样的图形是中心对称图形吗? (2):圆是旋转对称图形吗?是中心对称图形吗?为什么?
结论:圆是旋转对称图形,同时也是中心对称图形。
圆心就是对称中心。
圆的中心对称性
观察,实验、发现:
将图(1)中的扇形AOB(阴影部分)绕点O逆时针旋转 一个角度,得到旋转后图(2)的图形,比较这两个图形, 你发现了什么等量关系?和同桌交流一下你得到的结论;
圆的中心对称性
如图所示, AB,DE是 ⊙O的直径,C是⊙O上一点,且 ⌒AD = ⌒CE .
那么BE与CE的大小有什么关系?为什么?
圆的中心对称性
在同圆或等圆中,圆心角、它所对的弧、 它所对的弦,所对的弦的弦心距这四个量中,若 有一个量相等,则其余三个量也都相等(注意 “所对的”这个关键词)。
A⌒B =

CD
本节课你的收获是什简单地说:在同圆或等圆中,圆心角、它 所对的弧、它所对的弦,所对的弦的弦心距这四 个量中,若有一个量相等,则其余三个量也都 相等(注意“所对的”这个关键词)。
圆的中心对称性
A⌒C = ⌒BD
圆的中心对称性
A⌒C
圆的中心对称性
如图所示,⊙O中,弦AB=CD,求证:AD=BC.

6.《28.1.2 圆的对称性》课件(三)

6.《28.1.2 圆的对称性》课件(三)

A
B
E
P
O F
D
例3:如图,P是 C ⊙O外一点,射
线PAB,PCD分 别交⊙O于A、B 和C、D,已知 AB=CD,
求证:PO平分∠BPD
若把上题改为:P
B
C 是⊙O内一点,
E
直线APB,CPD
A 分别交⊙O于A、
P O
F
B和C、D,已知 AB=CD,
结论还成立吗?
D
挑战自我填一填
判断:
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条
y x
圆的对称性(1) -----垂径定理
定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平
分弦所的两条弧.
由 ① CD是直径
C
② CD⊥AB
可推得
③AM=BM,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
A M└
B
●O
如果交换垂径定理的题设和结论
的部分语句,会有一些什么样的结论呢?
D
二、垂
D
径定理
的推论 O
P A
探索一:
例1、如图,在⊙O中,CD是直径,AB是弦,且CD⊥AB,
已知CD = 20,CM = 4,求AB。 解:连接OA ∵ CD = 20 ∴ AO = CO = 10
C
A
M └
B
∴ OM = OC – CM = 10 – 4 = 6
O
△OMA是Rt △
在Rt △OMA中,AO = 10,OM = 6
(2)A︵E=︵BFOFra bibliotekC A
E
D B
F
10:如图,已知圆O的直径AB与 弦CD相交于G,AE⊥CD于E, BF⊥CD于F,且圆O的半径为 A
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∴ AC=BD
讲解
3 已知⊙O的直径是50 cm,⊙O的两 条平行弦AB=40 cm ,CD=48cm, 求弦AB与CD之间的距离。
A
20 E
B
A
. 25
15
C
25
C
O7
D
24
E
B
.F
D
O
EF有两解:15+7=22cm 15-7=8cm
请你谈谈这节课 的收获和体会。
O
OA2=AD2+OD2

R2=18.72+(R-7.2)2
解得:R≈27.9(m)
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
检测题
1.如图,在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心O到
弦AB的距离(弦心距)为3cm,求⊙O的半径.
解:过点O做OE ⊥AB于E,连结OA
A
E
B
则AE 1 AB 1 8 4 22
如图,理由是: 连结OA,OB, 则OA=OB.
∵ CD⊥AB
D
∴AP=BP ∠AOC= ∠BOC

A⌒C
=

BC,
∴A⌒D =B⌒D,
●O
P
A
B
C
定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对
的两条弧.
垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分
弦所对的两条弧。
题设
直径(或过圆心的直线) 垂直于弦
结论
动手操作,观察猜想.
CD是⊙O的直径,过直径上任一点P 作弦AB⊥CD,将⊙O沿CD对折,比 较图中的线段和弧,你有什么发现?
D
线段: AP=BP 弧: A⌒C=B⌒C, A⌒D=B⌒D.
·O
P
A
B
C
问题1. 垂直于弦的直径有什么
特点?
由 ① CD是直径 可推得 ② CD⊥AB
③AP=BP,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
平分弦 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧
判断题:
(1)过圆心的直线平分弦 错
C C
(2)垂直于弦的直线平分弦错
•o
E
(3)⊙O中,OE⊥弦AB于E,A
则AE=BE

D (1)
B
•o
E A
D
(2)
A
B
•O EB
(3)
练一练
1.半径为4cm的⊙O中,弦AB=4cm,
那么圆心O到弦AB的距离是2 3cm .
求赵州桥桥拱半径的问题
驶向胜利 的彼岸
1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的 桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)
为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).
求赵州桥桥拱半径的问题
» A B
如图,用弧AB表示主桥拱,设弧AB所在圆的圆心为
练一练
挑战自我
驶向胜利 的彼岸
1、判断:
(1)垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条 弧。
√(2)平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对 的另一条弧。
(3)经过弦的中点的直径一定垂直于弦。 √(4)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧。 √(5)平行弦所夹的弧相等。
(6)圆的两条弦所夹的弧相等,则这两条弦平行。
华师大九年级数学下册
27.1.2.圆的对称性
学习目标
理解并掌握垂径定理:垂直于弦 的直径平分这条弦,并且平分弦 所对的两条弧。
赵州桥主桥拱的半径是多少?
A
B
问题 :你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?.(精确 到0.1米)
·
O
在RT△AOE中
AO OE2 AE2 = 32 +42 =5cm
答:⊙O的半径为5cm.
检测
2 已知:如图,在以O为
圆心的两个同心圆中, 大圆的弦AB交小圆于C, D两点。试说明:AC=A C
O.
E
D
B
BD。
证明:过O作OE⊥AB,垂足为E,则 AE=BE,CE=DE
∴AE-CE=BE-DE
O,半径为R.经过圆心O 作弦AB 的垂线OC,D为
垂足,OC与弧AB 相交于点C,根据前面的结论,D
是AB 的中点,C是弧AB的中点,CD 就是拱C高.
在图中 AB=37.4,CD=7.2,
AD

1 2
AB

1 2
37.4
18.7,A
D B
OD=OC-CD=R-7.2
R
在Rt△OAD中,由勾股定理,得
▪ 你能发现直径CD与弦AB有什么关系?图
D
中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法
和理由.
发现图中有:
●O
A
┗●P
推论1C:
由 ① CD是直径
B
③ AP=BP
可推得
②CD⊥AB,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并
且平分弦所对的两条弧;
问题3:平分弧的直径有什么特点?
由 ① CD是直径
④A⌒C=B⌒C,
可推得
②CD⊥AB, ③ AP=BP
⑤A⌒D=B⌒D.
D
●O
P
推论2:
A
B
C
平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦。
问题4:弦的垂直平分线有什么特点?
D
由②CD⊥AB ③ AP=BP
可推得
① CD是直径
④⑤AA⌒⌒CD==BB⌒⌒CD,.
●O
A
●P B
D
推论3:
弦的垂直平分线经过圆心并且
O AE B
2.⊙O的直径为10cm,圆心O到弦AB的
O
距离为3cm,则弦AB的长是 8cm . A E B
3.半径为2cm的圆中,过半径OC中点E且
O
垂直于这条半径的弦AB长是 2 3cm. A E B
C
问题2 平分弦的直径有什么特点?
如图在⊙O中,直径CD交弦AB于点P,AP=BP
下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
平分弦所对的两条弧。
理解
记忆
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并 且平分弦所对的两条弧。
推论1:平 平分 分弦 弦( 所不对是的直两径条)弧的。直径垂直于弦,并且
推论2:平 并分 且弦 平所 分对弦的所一对条的弧另的一直条径弧,。垂直平分弦,
推论3: 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对
的Hale Waihona Puke 条弧。
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