新人教A必修二平面向量的数量积(一)当堂检测
高中数学第六章平面向量及其应用6.2.4向量的数量积同步练习含解析新人教A版必修第二册
课时素养评价五向量的数量积(15分钟30分)1.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=,且a与b的夹角为,则(a+b)·(2a-b)= (A. B.- C.- D.【解析】选A. =2a2-b2+a·b=2-3+1××=.2.(2020·广州高一检测)已知向量a,b满足|a|=,|b|=2,a·b=-3,则a与b的夹角是( )A.150°B.120C.60D.30°【解析】选B.设a与b的夹角为θ,则cos θ===-,因为0°≤θ≤180°,所以θ=120°.【补偿训练】已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a·b=1,则向量a与a-b的夹角为 ( )A. B. C. D.【解析】选A.|a-b|=设向量a与a-b的夹角为θ,则cos θ===,又因为θ∈[0,π],所以θ=.3.如图,已知正六边形P1P2P3P4P5P6,下列向量的数量积中最大的是(A.·B.·C.·D.·【解析】选A.由于⊥,故其数量积是0,可排除C;与的夹角是,故其数量积小于零,可排除D;设正六边形的边长是a,则·=||||c os 30°=a2,·=||||c os 60°=a2.4.如图,AB是圆C的弦,设=a,=b,则向量在向量上的投影向量为(用a或b表示).【解析】如图所示,过点C作CD⊥AB,垂足为D,连接CB,则向量在向量上的投影向量为.因为CA=CB,所以D是AB的中点,所以==.答案:5.△ABC三边的长分别为AC=3,BC=4,AB=5,若=,=,则·= __.【解析】由题知·=(+)·=(+)·=·=+·=×42+0=.答案:6.已知非零向量a,b满足a+3b与7a-5b互相垂直,a-4b与7a-2b互相垂直,求a与b的夹角. 【解析】设a与b的夹角为θ,由已知条件得即②-①得23b2-46a·b=0,所以2a·b=b2,代入①得a2=b2,所以|a|=|b|,所以因为θ∈[0,π],所以θ=.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.在△ABC中,若·+=0,则在上的投影向量为(A. B. C. D.【解析】选A.因为0=·+=·(+)=·,所以⊥,又与的夹角为锐角,所以在上的投影向量为.2.设a,b是非零向量.“a·b=|a||b|”是“a∥b”的(A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.设a与b的夹角为θ.因为a·b=|a|·|b|cos θ=|a|·|b|,所以cos θ=1,即a与b的夹角为0°,故a∥b;而当a∥b时,a与b的夹角为0°或180°,所以a·b=|a|·|b|cos θ=±|a|·|b|,所以“a·b=|a||b|”是“a∥b”的充分不必要条件.【补偿训练】若|a|=1,|b|=2,则|a·b|的值不可能是 ( )A.0B.C.2D.3【解析】选D.由向量数量积的性质知|a·b|≤|a||b|=2.3.如图,AB是圆O的直径,P是圆弧AB上的点,M,N是AB上的两个三等分点,且AB=6,则·= ()A.3B.4C.6D.8【解析】选D.·=(+)·(+)=-=8.【补偿训练】已知正三角形ABC的边长为1,设=c,=a,=b,那么a·b+b·c+c·a的值是( )A. B. C.- D.-【解析】选C.因为a+b+c=0,所以(a+b+c)2=0,即|a|2+|b|2+|c|2+2(a·b+b·c+c·a)=0,所以3+2(a·b+b·c+c·a)=0,所以a·b+b·c+c·a=-.4.已知下列说法:①若a2+b2=0,则a=b=0;②已知a,b,c是三个非零向量,若a+b=0,则|a·c|=|b·c|;③|a||b|<a·b;④a·a·a=|a|3.其中正确说法的个数是( A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选C.对于①,因为a2+b2=0,所以|a|2+|b|2=0,所以|a|=|b|=0,所以a=b=0,故①正确;对于②,因为a+b=0,所以a与b互为相反向量,设a与c的夹角为θ,则b与c的夹角为π-θ,则a·c=|a||c|cos θ,b·c=|b||c|cos(π-θ)=-|b||c|cos θ,所以|a·c|=|b·c|,故②正确;对于③,由于a·b=|a||b|cos θ≤|a||b|,故③错误;对于④,由于a·a·a=|a|2a,其结果为向量,故④错误.【误区警示】解答本题容易将向量数量积与实数运算混淆而出错.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.已知两个单位向量a,b的夹角为60°,则下列向量是单位向量的是(A. B.a-bC.a+bD.a-b【解析】选AD.因为a,b是单位向量,且夹角为60°,所以a·b=,|a|=|b|=1;所以=×3=1,(a-b)2=a2-2a·b+b2=1,所以和a-b是单位向量.6.已知e1,e2是两个单位向量,λ∈R时,|e1+λe2|的最小值为,则下列结论正确的是(A.e1,e2的夹角是B.e1,e2的夹角是或C.|=1或D.|e1+e2|=1或【解析】选BC.因为e1,e2是两个单位向量,且|e1+λe2|的最小值为,所以(e1+λe2)2的最小值为,所以(e1+λe2)2=λ2+2e1·e2λ+1=+,所以e1与e2的夹角为或,所以|e1+e2|2=1或3,所以|e1+e2|=1或.三、填空题(每小题5分,共10分)7.已知向量a,b的夹角为45°,且|a|=4,·(2a-3b)=12,则|b|= ;b在a 上的投影向量的模等于.【解析】a·b=|a||b|cos 45°=4|b|cos 45°=2|b|,又·(2a-3b)=|a|2+a·b-3|b|2=16+|b|-3|b|2=12,解得|b|=或|b|=-(舍去).b在a上的投影向量的模为||b|cos 45°|=cos 45°=1.答案: 18.(2020·浙江高考)设e1,e2为单位向量,满足|2e1-e2|≤,a=e1+e2,b=3e1+e2,设a,b的夹角为θ,则cos2θ的最小值为.【解析】(a·b)2=|a|2·|b|2·cos2θ=(e1+e2)2(3e1+e2)2cos2θ=(2+2e1·e2)(10+6e1·e2)cos2θ=[(e1+e2)·(3e1+e2)]2=(3++4e1·e2)2=(4+4e1·e2)2,所以cos2θ=(10+6e1·e2)cos2θ=8(1+e1·e2),(6cos2θ-8)e1·e2=8-10cos2θ,又因为4+-4e1·e2≤2,5-4e1·e2≤2,所以e1·e2≥,所以e1·e2=≥,-≥0,≤0, ≤cos2θ<,所以cos2θ的最小值为.答案:四、解答题(每小题10分,共20分)9.(2020·株洲高一检测)如图所示,在平行四边形ABCD中,若AB=8,AD=5,=3,(1)若∠BAD=,求||的值;(2)若·=2,求·的值.【解析】(1)在平行四边形ABCD中,AB=8,AD=5,=3,当∠BAD=时,=+=+,所以=+·+=52+×5×8×c os +×82=39,所以||=;(2)=+=+,=+=-,所以·=·=-·-=25-·-×64=2,解得·=22.【补偿训练】已知向量a,b的长度|a|=4,|b|=2.(1)若a,b的夹角为120°,求|3a-4b|;(2)若|a+b|=2,求a与b的夹角θ.【解析】(1)a·b=|a||b|cos 120°=4×2×=-4.又|3a-4b|2=(3a-4b)2=9a2-24a·b+16b2=9×42-24×(-4)+16×22=304,所以|3a-4b|=4.(2)因为|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=42+2a·b+22=(2)2,所以a·b=-4,所以cos θ===-.又θ∈[0,π],所以θ=.10.设两个向量e1,e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2的夹角为60°,若向量2t e1+7e2与e1+t e2的夹角θ为钝角,求实数t的取值范围.【解析】当夹角为π时,也有(2t e1+7e2)·(e1+t e2)<0,但此时夹角不是钝角.设2t e1+7e2=λ(e1+t e2),λ<0,则所以由向量2t e1+7e2与e1+t e2的夹角θ为钝角,得cos θ=<0,所以(2t e1+7e2)·(e1+t e2)<0,化简得2t2+15t+7<0.解得-7<t<-.所以所求实数t的取值范围是∪.【补偿训练】已知两个向量a,b满足|a|=2,|b|=3,a,b的夹角为60°,若向量a+λb与λa+b的夹角为锐角,求实数λ的取值范围.【解析】由题意得a·b=|a||b|cos 60°=2×3×=3,又(a+λb)·(λa+b)=λa2+(λ2+1)a·b+λb2,而向量a+λb与λa+b的夹角为锐角,所以λa2+(λ2+1)a·b+λb2>0,又|a|2=4,|b|2=9,a·b=3,所以3λ2+13λ+3>0,解得λ>或λ<.但是当λ=1时,向量a+λb与λa+b共线,其夹角不是锐角,故λ的取值范围是∪∪(1,+∞).1.八卦是中国文化的基本哲学概念,如图1是八卦模型图,其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH,其中|OA|=1,则给出下列结论:①·=-;②+=-;③在向量上的投影向量的模为.其中正确结论的个数为(A.3B.2C.1D.0【解析】选B.·=1×1×cos 135°=-,所以①正确;+==-,所以②正确;显然||≠1,在向量上的投影向量的模为≠,所以③错误.2.已知a,b是非零向量,t为实数,设u=a+t b.(1)当|u|取最小值时,求实数t的值;(2)当|u|取最小值时,向量b与u是否垂直?【解析】(1)|u|2=|a+t b|2=(a+t b)·(a+t b)=|b|2t2+2(a·b)t+|a|2因为b是非零向量,所以|b|≠0,所以当t=时,|u|=|a+t b|的值最小.(2)垂直.因为b·(a+t b)=a·b+t|b|2=a·b+=a·b-a·b=0,所以b⊥(a+t b),即b⊥u.。
人教A版高中数学必修4第二章 平面向量2.4 平面向量的数量积习题(1)
高中数学教案学案平面向量的数量积及其应用学习目标： 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．1．向量数量积的定义(1)向量数量积的定义：____________________________________________，其中|a |cos 〈a ，b 〉叫做向量a 在b 方向上的投影．(2)向量数量积的性质：①如果e 是单位向量，则a·e ＝e·a ＝__________________； ②非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔________________； ③a·a ＝________________或|a |＝________________； ④cos 〈a ，b 〉＝________； ⑤|a·b |____|a||b |.2．向量数量积的运算律 (1)交换律：a·b ＝________； (2)分配律：(a ＋b )·c ＝________________； (3)数乘向量结合律：(λa )·b ＝________________. 3．向量数量积的坐标运算与度量公式(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a·b ＝________________________；(2)设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ⊥b ⇔________________________； (3)设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则|a |＝________________，cos 〈a ，b 〉＝____________________________.(4)若A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则|AB →＝________________________，所以|AB →|＝_____________________.1.（2010·湖南）在Rt △ABC 中，∠C =90°,AC =4,则AB →·AC →等于 ( ) A ．－16 B ．－8 C ．8 D ．16 2．(2010·重庆)已知向量a ，b 满足a·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |＝ ( ) A ．0 B ．2 2 C ．4 D ．8 3．(2011·福州月考)已知a ＝(1,0)，b ＝(1,1)，(a ＋λb )⊥b ，则λ等于 ( )A ．－2B ．2 C.12 D ．－124.平面上有三个点A （-2，y ），B （0，2y ），C （x ，y ），若A B →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为________________．5.（2009·天津）若等边△ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM →＝16CB →＋23CA →，则MA →·MB →＝________.考点一 向量的模及夹角问题 例1 (2011·马鞍山月考)已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ；(2)求|a ＋b |；（3）若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积．举一反三1 (1)已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是 ( )A ．1B ．2C. 2D.22(2)已知i ，j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，实数λ的取值范围为________．考点二 两向量的平行与垂直问题 例2 已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，且k a ＋b 的长度是a －k b 的长度的3倍(k >0)．(1)求证：a ＋b 与a －b 垂直； (2)用k 表示a ·b ； (3)求a ·b 的最小值以及此时a 与b 的夹角θ.举一反三2 (2009·江苏)设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)．(1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b ＋c |的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b .考点三 向量的数量积在三角函数中的应用例3 已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos 32x ，sin 32x ， b ＝⎝⎛⎭⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4. (1)求a·b 及|a ＋b |； (2)若f (x )＝a·b －|a ＋b |，求f (x )的最大值和最小值．举一反三3 （2010·四川）已知△ABC 的面积S =12AB →·AC →·＝3，且cos B ＝35，求cos C .1．一些常见的错误结论：(1)若|a |＝|b |，则a ＝b ；(2)若a 2＝b 2，则a ＝b ；(3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；(4)若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0；(5)|a·b |＝|a |·|b |；(6)(a·b )c ＝a (b·c )；(7)若a·b ＝a·c ，则b ＝c .以上结论都是错误的，应用时要注意．2．平面向量的坐标表示与向量表示的比较：1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是向量a 与b 的夹角.向量表示 坐标表示（1）要证AB =CD ，可转化证明AB →2＝CD →2或|AB →|＝|CD →|.（2）要证两线段AB ∥CD ，只要证存在唯一实数λ≠0，使等式AB →＝λCD →成立即可．（3）要证两线段AB ⊥CD ，只需证AB →·CD →＝0.一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2010·重庆)若向量a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a·b ＝0，则实数m 的值为 ( )A ．－32 B.32C ．2D ．62．已知非零向量a ，b ，若|a |＝|b |＝1，且a ⊥b ，又知(2a ＋3b )⊥(k a －4b )，则实数k 的值为 ( )A ．－6B ．－3C ．3D ．63.已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，a·b <0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则∠BAC 等于 ( )A ．30°B ．－150°C ．150°D ．30°或150° 4．(2010·湖南)若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为 ( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 5．已知a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 上的投影为 ( )A.135B.655C.65D.136．(2010·湖南长沙一中月考)设a ＝(cos 2α，sin α)，b ＝(1，2sin α－1)，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，若a·b ＝25，则sin α＝________. 7．(2010·广东金山中学高三第二次月考)若|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为________．8．已知向量m ＝(1,1)，向量n 与向量m 夹角为3π4，且m·n ＝－1，则向量n ＝__________________.三、解答题(共38分)9.(12分)已知OA →＝(2,5)，OB →＝(3,1)，OC →＝(6,3)，在线段OC 上是否存在点M ，使MA →⊥MB →，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．10．(12分)(2011·杭州调研)已知向量a ＝(cos(－θ)，sin(－θ))，b ＝(cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ，sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ)． (1)求证：a ⊥b ；(2)若存在不等于0的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t 2＋3)b ，y ＝－k a ＋t b ，满足x ⊥y ，试求此时k ＋t 2t 的最小值．11．(14分)(2011·济南模拟)已知a ＝(1,2sin x )，b ＝⎝⎛⎭⎫2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，1，函数f (x )＝a·b (x ∈R )．(1)求函数f (x )的单调递减区间；(2)若f (x )＝85，求cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的值．答案1．(1)a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉 (2)①|a |cos 〈a ，e 〉 ②a·b ＝0 ③|a |2 a·a ④a·b|a||b |⑤≤ 2.(1)b·a(2)a·c ＋b·c (3)λ(a ·b ) 3.(1)a 1b 1＋a 2b 2 (2)a 1b 1＋a 2b 2＝0 (3)a 21＋a 22 a 1b 1＋a 2b 2a 21＋a 22b 21＋b 22(4)(x 2－x 1，y 2－y 1)(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)22．B [|2a －b |＝(2a －b )2 ＝4a 2－4a·b ＋b 2＝8＝2 2.] 3．D [由(a ＋λb )·b ＝0得a·b ＋λ|b |2＝0，∴1＋2λ＝0，∴λ＝－12.]4．y 2＝8x (x ≠0)解析 由题意得AB →＝⎝⎛⎭⎫2，－y 2， BC →＝⎝⎛⎭⎫x ，y 2，又AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0， 即⎝⎛⎭⎫2，－y 2·⎝⎛⎭⎫x ，y 2＝0，化简得y 2＝8x (x ≠0)． 5．－2解析 合理建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设C (0,0)，A (23，0)，B (3，3)，这样利用向量关系式，求得MA →＝⎝⎛⎭⎫32，－12，MB →＝⎝⎛⎭⎫32，－12，MB →＝⎝⎛⎭⎫－32，52，所以MA →·MB →＝－2.课堂活动区例1 解 (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， ∴4|a |2－4a·b －3|b |2＝61. 又|a |＝4，|b |＝3，∴64－4a·b －27＝61， ∴a·b ＝－6.∴cos θ＝a·b|a||b |＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)|a ＋b |＝(a ＋b )2 ＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝16＋2×(－6)＋9＝13.(3)∵AB →与BC →的夹角θ＝2π3，∴∠ABC ＝π－2π3＝π3.又|AB →|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3，∴S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC＝12×4×3×32＝3 3. 举一反三1 (1)C [∵|a |＝|b |＝1，a·b ＝0， 展开(a －c )·(b －c )＝0⇒|c |2＝c·(a ＋b ) ＝|c |·|a ＋b |cos θ，∴|c |＝|a ＋b |cos θ＝2cos θ， ∴|c |的最大值是 2.](2)λ<12且λ≠－2解析 ∵〈a ，b 〉∈(0，π2)，∴a ·b >0且a ·b 不同向．即|i |2－2λ|j |2>0，∴λ<12.当a ·b 同向时，由a ＝k b (k >0)得λ＝－2.∴λ<12且λ≠－2.例2 解题思路 1.非零向量a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.2．当向量a 与b 是非坐标形式时，要把a 、b 用已知的不共线的向量表示．但要注意运算技巧，有时把向量都用坐标表示，并不一定都能够简化运算，要因题而异．解 (1)由题意得，|a |＝|b |＝1， ∴(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0， ∴a ＋b 与a －b 垂直． (2)|k a ＋b |2＝k 2a 2＋2k a ·b ＋b 2＝k 2＋2k a ·b ＋1， (3|a －k b |)2＝3(1＋k 2)－6k a ·b . 由条件知，k 2＋2k a ·b ＋1＝3(1＋k 2)－6k a ·b ，从而有，a ·b ＝1＋k24k(k >0)．(3)由(2)知a ·b ＝1＋k 24k ＝14(k ＋1k )≥12，当k ＝1k时，等号成立，即k ＝±1.∵k >0，∴k ＝1.此时cos θ＝a ·b |a ||b |＝12，而θ∈[0，π]，∴θ＝π3.故a ·b 的最小值为12，此时θ＝π3.举一反三2 (1)解 因为a 与b －2c 垂直， 所以a ·(b －2c )＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β ＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0. 因此tan(α＋β)＝2.(2)解 由b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)， 得|b ＋c |＝(sin β＋cos β)2＋(4cos β－4sin β)2 ＝17－15sin 2β≤4 2.又当β＝－π4时，等号成立，所以|b ＋c |的最大值为4 2.(3)证明 由tan αtan β＝16得4cos αsin β＝sin α4cos β，所以a ∥b .例3 解题思路 与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型．解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式，向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识．解 (1)a·b ＝cos 32x cos x 2－sin 32x sin x2＝cos 2x ，|a ＋b |＝⎝⎛⎭⎫cos 32x ＋cos x 22＋⎝⎛⎭⎫sin 32x －sin x 22 ＝2＋2cos 2x ＝2|cos x |，∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4，∴cos x >0， ∴|a ＋b |＝2cos x .(2)f (x )＝cos 2x －2cos x ＝2cos 2x －2cos x －1＝2⎝⎛⎭⎫cos x －122－32. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4，∴12≤cos x ≤1， ∴当cos x ＝12时，f (x )取得最小值－32；当cos x ＝1时，f (x )取得最大值－1.举一反三3 解 由题意，设△ABC 的角B 、C 的对边分别为b 、c ，则S ＝12bc sin A ＝12.AB →·AC →＝bc cos A ＝3>0，∴A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos A ＝3sin A . 又sin 2A ＋cos 2A ＝1，∴sin A ＝1010，cos A ＝31010.由题意cos B ＝35，得sin B ＝45.∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝1010.∴cos C ＝cos [π－(A ＋B )]＝－1010.课后练习区 1．D [因为a·b ＝6－m ＝0，所以m ＝6.] 2．D [由(2a ＋3b )·(k a －4b )＝0得2k －12＝0，∴k ＝6.]3．C [∵S △ABC ＝12|a ||b |sin ∠BAC ＝154，∴sin ∠BAC ＝12.又a·b <0，∴∠BAC 为钝角．∴∠BAC ＝150°.] 4．C [由(2a ＋b )·b ＝0，得2a·b ＝－|b |2.cos 〈a ，b 〉＝a·b|a||b |＝－12|b |2|b |2＝－12.∵〈a ，b 〉∈[0°，180°]，∴〈a ，b 〉＝120°.] 5．B [因为a·b ＝|a|·|b |·cos 〈a ，b 〉， 所以，a 在b 上的投影为|a |·cos 〈a ，b 〉＝a·b |b |＝21－842＋72＝1365＝655.] 6.35解析 ∵a·b ＝cos 2α＋2sin 2α－sin α＝25，∴1－2sin 2α＋2sin 2α－sin α＝25，∴sin α＝35.7．120°解析 设a 与b 的夹角为θ，∵c ＝a ＋b ，c ⊥a ， ∴c·a ＝0，即(a ＋b )·a ＝0.∴a 2＋a·b ＝0. 又|a |＝1，|b |＝2，∴1＋2cos θ＝0.∴cos θ＝－12，θ∈[0°，180°]即θ＝120°.8．(－1,0)或(0，－1)解析 设n ＝(x ，y )，由m·n ＝－1， 有x ＋y ＝－1.①由m 与n 夹角为3π4，有m·n ＝|m|·|n |cos 3π4，∴|n |＝1，则x 2＋y 2＝1.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝－1，∴n ＝(－1,0)或n ＝(0，－1)．9．解 设存在点M ，且OM →＝λOC →＝(6λ，3λ) (0≤λ≤1)， MA →＝(2－6λ，5－3λ)，MB →＝(3－6λ，1－3λ)．…………………………………………(4分) ∵MA →⊥MB →，∴(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0，………………………………………………(8分)即45λ2－48λ＋11＝0，解得λ＝13或λ＝1115.∴M 点坐标为(2,1)或⎝⎛⎭⎫225，115.故在线段OC 上存在点M ，使MA →⊥MB →，且点M 的坐标为(2,1)或(225，115)．………(12分)10．(1)证明 ∵a·b ＝cos(－θ)·cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＋sin ()－θ·sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ ＝sin θcos θ－sin θcos θ＝0.∴a ⊥b .……………………………………………………(4分) (2)解 由x ⊥y 得，x·y ＝0，即[a ＋(t 2＋3)b ]·(－k a ＋t b )＝0， ∴－k a 2＋(t 3＋3t )b 2＋[t －k (t 2＋3)]a·b ＝0，∴－k |a |2＋(t 3＋3t )|b |2＝0.………………………………………………………………(6分) 又|a |2＝1，|b |2＝1，∴－k ＋t 3＋3t ＝0，∴k ＝t 3＋3t .…………………………………………………………(8分) ∴k ＋t 2t ＝t 3＋t 2＋3t t ＝t 2＋t ＋3＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋114.……………………………………………………………………………(10分) 故当t ＝－12时，k ＋t 2t 有最小值114.………………………………………………………(12分)11．解 (1)f (x )＝a·b ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋2sin x ＝2cos x cos π6－2sin x sin π6＋2sin x＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3.…………………………………………………………(5分) 由π2＋2k π≤x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得π6＋2k π≤x ≤7π6＋2k π，k ∈Z . 所以f (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π6＋2k π，7π6＋2k π (k ∈Z )．……………………………………………………………(8分)(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. 又因为2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝85， 所以sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝45，……………………………………………………………………(11分) 即sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝45. 所以cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π6－1＝725.………………………………………………(14分)。
平面向量的数量积(一轮复习)
＝________；特殊地|，a|a|·ba|＝|a|2 或|a|＝ a·a.
C D (4)cos θ＝________．
(5)|a·b|≤|a|·|b|.
B
A 3．向量数量积的运算律
(1)交换律：a·b＝b·a.
(2)分配律：(a＋b)·c＝________．
(3)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
2、（2016 年浙江高考）已知向量 a、b, ｜a｜ =1，｜b｜ =2，若对任意单位向量
1
题型五：平面向量的范围问题 e，均有 ｜a·e｜+｜b·e｜ 6 ,则 a·b 的最大值是
．【答案】 2
3、（2016 年上海高考）在平面直角坐标系中，已知 A（1,0），B（0，-1），P 是
曲线 y 1 x2 上一个动点，则 BP BA 的取值范围是
01
平面向课量堂总向结量：的模
02
、转化为坐标
向量的夹角 cos 0 3 a b
ab
转化思想、数形结合
1 、（ 2013 年 高 考 四 川 卷 ） 在 ABC 中 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a,b,c , 且
2 cos2
A B cos B sin( A B)sin B cos( A C) 2
（2）已知单位向量 e1，e2 的夹角为 α，且 cos α＝13.若向量
a＝3e1－2e2，则题|a|＝型__二___：___平． 面向量的[答模案] 3
变式练习 (1) [2014·全国卷] 若向量 a, b 满足：| a | 1， (a b) a ，
(2a b) b ，则 | b | （ ）
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2022秋新教材高中数学课时跟踪检测二空间向量的数量积运算新人教A版选择性必修第一册 (1)
课时跟踪检测（二） 空间向量的数量积运算1．[多选]下列各命题中，正确的命题是( )A．＝|a|B．m(λa)·b＝(mλ)a·b(m，λ∈R)C．a·(b＋c)＝(b＋c)·aD．a2b＝b2a解析：选ABC ∵a·a＝|a|2，∴＝|a|，故A正确．m(λa)·b＝(mλa)·b＝mλa·b＝(mλ)a·b，故B正确．a·(b＋c)＝a·b＋a·c，(b＋c)·a＝b·a＋c·a＝a·b＋a·c＝a·(b＋c)，故C正确．a2·b＝|a|2·b，b2·a＝|b|2·a，故D不一定正确．2．已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2，若a＝2e1＋3e2，b＝k e1－4e2，a⊥b，则实数k的值为( )A．－6 B．6C．3 D．－3解析：选B 由题意可得a·b＝0，e1·e2＝0，|e1|＝|e2|＝1，∴(2e1＋3e2)·(k e1－4e2)＝0，∴2k－12＝0，∴k＝6.3．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD 的中点，则AE·AF的值为( )A．a2B．a2C．a2D．a2解析：选C AE·AF＝(AB＋AC)·AD＝(AB·AD＋AC·AD)＝＝a2.4．已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱的长度都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长是( )A．2 B．C． D．解析：选C 由于EF＝EA＋AA1＋A1F，所以|EF|＝＝＝，即EF的长是.5.如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于( )A．6 B．6C．12 D．144解析：选C 因为PC＝PA＋AB＋BC，所以PC2＝PA2＋AB2＋BC2＋2PA·AB＋2PA·BC＋2AB·BC＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144，所以PC＝12.6．已知|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|＝________.解析：|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝132＋2a·b＋192＝242，∴2a·b＝46，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝530－46＝484，故|a－b|＝22.答案：227.如图，已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是矩形，AB＝4，AA1＝3，∠BAA1＝60°，E为棱C1D1的中点，则AB·AE＝________.解析：AE＝AA1＋AD＋AB，AB·AE＝AB·AA1＋AB·AD＋AB2＝4×3×cos 60°＋0＋×42＝14.答案：148．已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a＝e1＋e2与b＝e1－2e2的夹角是________．解析：a·b＝(e1＋e2)·(e1－2e2)＝e－e1·e2－2e＝1－1×1×－2＝－，|a|＝＝＝＝＝，|b|＝＝＝＝＝.∴cos〈a，b〉＝＝＝－.∴〈a，b〉＝120°.答案：120°9.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，D1D的中点，正方体的棱长为1.(1)求〈CE，AF〉的余弦值；C1E(2)求证：BD1⊥EF.解：(1)AF＝AD＋DF＝AD＋AA1，CE＝CC1＋C1E＝AA1＋CD＝AA1－AB.因为AB·AD＝0，AB·AA1＝0，AD·AA1＝0，所以CE·AF＝·＝.又|AF|＝|CE|＝，所以cos〈CE，AF〉＝.(2)证明：因为BD1＝BD＋DD1＝AD－AB＋AA1，EF＝ED1＋D1F＝－(AB＋AA1)，所以BD1·EF＝0，所以BD1⊥EF.即BD1⊥EF.10.如图，正四棱锥PABCD的各棱长都为a.(1)用向量法证明：BD⊥PC；(2)求|AC＋PC|的值．解：(1)证明：∵BD＝BC＋CD，∴BD·PC＝(BC＋CD)·PC＝BC·PC＋CD·PC＝|BC||PC|·cos 60°＋|CD||PC|cos 120°＝a2－a2＝0.∴BD⊥PC.(2)∵AC＋PC＝AB＋BC＋PC，∴|AC＋PC|2＝|AB|2＋|BC|2＋|PC|2＋2AB·BC＋2AB·PC＋2BC·PC＝a2＋a2＋a2＋0＋2a2cos 60°＋2a2cos 60°＝5a2，∴|AC＋PC|＝a.1．[多选]在正方体ABCDA1B1C1D1中，则下列命题正确的是( )A．(AA1＋AD＋AB)2＝3AB2B．A1C·(A1B1－A1A)＝0C．AD1与A1B的夹角为60°D．正方体的体积为|AB·AA1·AD|解析：选AB 如图所示，(AA1＋AD＋AB)2＝(AA1＋A1D1＋D1C1)2＝AC12＝3AB2；A1C·(A1B1－A1A)＝A1C·AB1＝0；AD1与A1B的夹角是D1C与D1A夹角的补角，而D1C与D1A的夹角为60°，故AD1与A1B的夹角为120°；正方体的体积为|AB||AA1|| AD|.综上可知，A、B正确．2．设空间上有四个互异的点A，B，C，D，已知(DB＋DC－2DA)·(AB－AC)＝0，则△ABC是( )A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形解析：选B 因为DB＋DC－2DA＝(DB－DA)＋(DC－DA)＝AB＋AC，所以(AB＋AC)·(AB－AC)＝|AB|2－|AC|2＝0，所以|AB|＝|AC|，即△ABC是等腰三角形．3.如图，在长方体ABCDAB1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点，则B1C与A1P所成角的大小为________，B1C·A1P＝________.解析：法一：连接A1D，则∠PA1D就是B1C与A1P所成角．连接PD，在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD＝，即△PA1D为等边三角形，从而∠PA1D＝60°，即B1C与A1P所成角的大小为60°.因此B1C·A1P＝××cos 60°＝1.法二：根据向量的线性运算可得B1C·A1P＝(A1A＋)·＝AD2＝1.由题意可得PA1＝B1C＝，则××cos〈B1C，A1P〉＝1，从而〈B1C，A1P〉＝60°.答案：60° 14.在四面体OABC中，各棱长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，求异面直线OE 与BF所成角的余弦值．解：取OA＝a，OB＝b，OC＝c，且|a|＝|b|＝|c|＝1，则a·b＝b·c＝c·a＝.又∵OE＝(a＋b)，BF＝c－b，∴OE·BF＝(a＋b)·＝a·c＋b·c－a·b－|b|2＝－.又|OE|＝，|BF|＝，∴cos〈OE，BF〉＝＝－，∵异面直线夹角的范围为，∴异面直线OE与BF所成角的余弦值为.5．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D间的距离．解：∵∠ACD＝90°，∴AC·CD＝0，同理可得AC·BA＝0.∵AB与CD成60°角，∴〈BA，CD〉＝60°或〈BA，CD〉＝120°.又BD＝BA＋AC＋CD，∴|BD|2＝|BA|2＋|AC|2＋|CD|2＋2BA·AC＋2BA·CD＋2AC·CD＝3＋2×1×1×cos〈BA，CD〉．∴当〈BA，CD〉＝60°时，|BD|2＝4，此时B，D间的距离为2；当〈BA，CD〉＝120°时，|BD|2＝2，此时B，D间的距离为.。
平面向量的数量积(人教A版)(含答案)
平面向量的数量积（人教A版）一、单选题(共10道，每道10分)1.若向量，满足，与的夹角为60°，则( )A. B.C. D.2答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面向量数量积的运算2.已知向量与的夹角为120°，且，，则( )A.13B.3C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面向量数量积的运算3.已知两个单位向量，的夹角为，若向量，，则( )A.-6B.-7C.-3D.9答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面向量数量积的运算4.若单位向量，，满足且，则=( )A.4B.3C.2D.0答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面向量数量积的运算5.若向量，，满足，，，，则( )A.1B.2C.4D.5答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面向量数量积的运算6.已知向量，满足，，，则=( )A.0B.C.4D.8答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面向量数量积的运算7.已知单位向量，的夹角为，且，若向量，则( )A.11B.C.9D.3答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面向量数量积的运算8.已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为( )A. B.C.1D.-1答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面向量数量积的运算9.若平面上三点A，B，C满足，，，则( )A.-25B.-7C.12D.25答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面向量数量积的运算10.如图，四个边长为1的小正方形排成一个大正方形，AB是大正方形的一条边，是小正方形的其余顶点，则的不同值的个数为( )A.7B.5C.3D.1答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面向量数量积的运算。
新人教A版必修二 平面向量的数量积 学案
2019-2020学年新人教A 版必修二 平面向量的数量积 学案1．平面向量的数量积 (1)向量的夹角①定义：已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角。
②范围：设θ是向量a 与b 的夹角，则0°≤θ≤180°。
③共线与垂直：若θ＝0°，则a 与b 同向共线；若θ＝180°，则a 与b 反向共线；若θ＝90°，则a 与b 垂直。
(2)平面向量的数量积①定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0。
②几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积。
2．平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角。
(1)数量积：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2。
(2)模：|a |＝a ·a ＝x 21＋y 21。
(3)夹角：cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22。
(4)两非零向量a ⊥b 的充要条件：a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0。
(5)|a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)⇔|x 1x 2＋y 1y 2|≤x 21＋y 21·x 22＋y 22。
3．平面向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a (交换律)。
(2)λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律)。
新人教A版必修二 平面向量的数量积 学案 (1)
2019-2020学年新人教A 版必修二 平面向量的数量积 学案知识点一 平面向量的数量积1．两个向量的夹角 (1)定义已知两个非零向量a 和b ，作O A →＝a ，O B →＝b ，则∠AOB ＝θ叫作向量a 与b 的夹角．(2)范围向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°，a 与b 同向时，夹角θ＝0°；a 与b 反向时，夹角θ＝180°.(3)向量垂直如果向量a 与b 的夹角是90°，则a 与b 垂直，记作a ⊥b . 2．平面向量数量积(1)a ，b 是两个非零向量，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |·cos θ叫作a 与b 的数量积，记作a·b ，即a·b ＝|a ||b |·cos θ.规定0·a ＝0.当a ⊥b 时，θ＝90°，这时a·b ＝0. (2)a·b 的几何意义a·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 易误提醒1．两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角．2．在向量数量积的几何意义中，投影是一个数量，不是向量．3．在实数运算中，若a ，b ∈R ，则|ab |＝|a |·|b |，但对于向量a ，b 却有|a ·b |≤|a |·|b |，当且仅当a ∥b 时等号成立．这是因为|a ·b |＝|a |·|b |·|cos θ|，而|cos θ|≤1.必记结论 两向量a 与b 的夹角为锐角⇒cos 〈a ，b 〉>0且a 与b 不共线；两向量a 与b 的夹角为钝角⇒cos 〈a ，b 〉<0，且a 与b 不共线．[自测练习]1. 已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a·b ＝2，则a 与b 的夹角为( ) A.π6B.π4C.π3D.π2解析：向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a·b ＝2， 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝12， ∴θ＝π3.答案：C2．已知a ，b 为单位向量，其夹角为60°，则(2a －b )·b ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2 解析：(2a －b )·b ＝2a ·b －b 2＝2|a |·|b |·cos a ，b －|b |2＝2×1×1×cos 60°－1＝0. 答案：B3．已知|a |＝4，|b |＝3，a 与b 的夹角为120°，则b 在a 方向上的投影为( ) A ．2 B.32 C ．－2D ．－32解析：b 在a 方向上的投影为|b |cos 120°＝－32.故选D.答案：D知识点二 数量积的性质及坐标运算 1．向量数量积的性质(1)如果e 是单位向量，则a·e ＝e·a ＝|a |cos 〈a ，e 〉． (2)a ⊥b ⇔a·b ＝0. (3)a·a ＝|a |2，|a |＝a·a . (4)cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|.(5)|a·b |≤|a||b |. 2．数量积的运算律 (1)交换律：a ·b ＝b ·a .(2)分配律：(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c . (3)对λ∈R ，λ(a·b )＝(λa )·b ＝a ·(λb )． 3．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)结论几何表示坐标表示模 |a |＝a ·a |a |＝x 21＋y 21夹角 cos θ＝a ·b|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22a ⊥b 的充要条件 a·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0|a ·b |与|a ||b |的关系 |a ·b |≤|a ||b ||x 1x 2＋y 1y 2|≤(x 21＋y 21)(x 22＋y 22)易误提醒1．实数运算满足消去律：若bc ＝ca ，c ≠0，则有b ＝a .在向量数量积的运算中，若a ·b ＝a ·c (a ≠0)，则不一定得到b ＝c .2．实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a ·b )·c 不一定等于a ·(b ·c )，这是由于(a ·b )·c 表示一个与c 共线的向量，而a ·(b ·c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线．[自测练习]4．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝________. 解析：∵m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)， 又(m ＋n )⊥(m －n )，∴(m ＋n )·(m －n )＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝0， 从而λ＝－3. 答案：－35．已知向量a 与b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝ . 解析：由a·b ＝|a |·|b |cos 〈a ，b 〉＝1×3×cos 120°＝－32，得|5a －b |＝(5a －b )2＝25a 2＋b 2－10a·b＝25＋9－10×⎝⎛⎭⎫－32＝7. 答案：7考点一 平面向量数量积的运算|1．(2015·高考全国卷Ⅱ)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，∴(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1. 答案：C2．(2015·高考山东卷)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →＝( ) A ．－32a 2B ．－34a 2C.34a 2 D.32a 2 解析：在菱形ABCD 中，BA →＝CD →，BD →＝BA →＋BC →，所以BD →·CD →＝(BA →＋BC →)·CD →＝BA →·CD →＋BC →·CD →＝a 2＋a ×a ×cos 60°＝a 2＋12a 2＝32a 2.答案：D3．如图，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是弧AB 的三等分点，M ，N 是线段AB 的三等分点，若OA ＝6，则MC →·ND →＝________.解析：法一：因为MC →·ND →＝(MO →＋OC →)·(NO →＋OD →)＝MO →·NO →＋MO →·OD →＋OC →·NO →＋OC →·OD →＝|MO →|·|NO →|cos 180°＋|MO →|·|OD →|cos 60°＋|OC →|·|NO →|·cos 60°＋|OC →|·|OD →|·cos 60°＝－4＋6＋6＋18＝26.法二：以点O 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则M (－2,0)，N (2,0)，C (－3,33)，D (3，33)，所以MC →＝(－1,33)，ND →＝(1,33)，MC →·ND →＝－1＋27＝26.答案：26向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉． (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.考点二 平面向量数量积的性质应用|平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题．归纳起来常见的命题探究角度有：1．平面向量的模． 2．平面向量的夹角． 3．平面向量的垂直． 探究一 平面向量的模1．(2015·太原一模)已知向量e 1，e 2是夹角为45°的两个单位向量，则|2e 1－e 2|＝( ) A.22B.12 C ．1D. 2解析：由题意可得e 1·e 2＝22，所以|2e 1－e 2|＝(2e 1－e 2)2＝2－22e 1·e 2＋1＝1.答案：C2．已知平面向量a ＝(1，3)，|a －b |＝1，则|b |的取值范围是________. 解析：设b ＝(x ，y )，则|a －b |＝(x －1)2＋(y －3)2＝1，即点(x ，y )在圆(x －1)2＋(y －3)2＝1上，则|b |的几何意义是圆上点到原点的距离．又圆心到原点的距离为2，所以|b |的取值范围是[1,3]．答案：[1,3]探究二 平面向量的夹角3．若向量a 与b 不共线，a·b ≠0，且c ＝a －⎝⎛⎭⎫a·a a·b b ，则向量a 与c 的夹角为( ) A ．0 B.π6 C.π3D.π2解析：∵c·a ＝⎣⎡⎦⎤a －⎝⎛⎭⎫a·a a·b b ·a ＝a·a －⎝⎛⎭⎫a·a a·b b·a ＝a·a －a·a ＝0，∴c ⊥a ，即向量a 与c 的夹角为π2，故选D. 答案：D4．(2015·苏州二模)设向量a ＝(x,2)，b ＝(2,1)，若a ，b 的夹角为锐角，则实数x 的取值范围为________．解析：由题意可得，a·b ＝2x ＋2>0，且x －4≠0，故实数x 的取值范围为(－1,4)∪(4，＋∞)．答案：(－1,4)∪(4，＋∞) 探究三 平面向量的垂直5．(2015·高考福建卷)设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋k b ，若b ⊥c ，则实数k 值等于( ) A ．－32B ．－53C.53D.32解析：因为c ＝(1＋k,2＋k )，b·c ＝0，所以1＋k ＋2＋k ＝0，解得k ＝－32，故选A.答案：A6．(2015·高考重庆卷)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( )A.π4B.π2C.3π4D ．π解析：由条件，得(a －b )·(3a ＋2b )＝3a 2－2b 2－a·b ＝0，即a·b ＝3a 2－2b 2.又|a |＝223|b |，所以a·b ＝3·⎝⎛⎭⎫223|b |2－2b 2＝23b 2，所以cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |＝23b 2223b 2＝22，所以〈a ，b 〉＝π4，故选A.答案：A平面向量数量积求解问题的三个策略(1)求两向量的夹角：cos θ＝a·b|a |·|b |，要注意θ∈[0，π]． (2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a －b |＝|a ＋b |. (3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： ①a 2＝a ·a ＝|a |2或|a |＝a·a . ②|a ±b |＝(a ±b )2＝a 2±2a·b ＋b 2.③若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.考点三 平面向量与三角函数的综合应用|在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A (1,0)和点B (－1，0)，|OC →|＝1，且∠AOC ＝x ，其中O 为坐标原点．(1)若x ＝34π，设点D 为线段OA 上的动点，求|OC →＋OD →|的最小值；(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，向量m ＝BC →，n ＝(1－cos x ，sin x －2cos x )，求m·n 的最小值及对应的x 值．[解] (1)设D (t,0)(0≤t ≤1)，由题易知 C ⎝⎛⎭⎫－22，22，所以OC →＋OD →＝⎝⎛⎭⎫－22＋t ，22，所以|OC →＋OD →|2＝12－2t ＋t 2＋12＝t 2－2t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t －222＋12(0≤t ≤1)， 所以当t ＝22时，|OC →＋OD →|最小，为22. (2)由题意得C (cos x ，sin x )，m ＝BC →＝(cos x ＋1，sin x )，则m·n ＝1－cos 2x ＋sin 2x －2sin x cos x ＝1－cos 2x －sin 2x ＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以π4≤2x ＋π4≤5π4， 所以当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4取得最大值1， 所以m·n 的最小值为1－2，此时x ＝π8.平面向量与三角函数的综合问题的两个解题策略(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．(2015·惠州二调)设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a·b ，求f (x )的最大值． 解：(1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ， |b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1. 又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2 ，从而sin x ＝12，所以x ＝π6. (2)f (x )＝a·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12， 当x ＝π3∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6取最大值1. 所以f (x )的最大值为32.8.忽视向量夹角范围致误【典例】 设两个向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．[解] 因为e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos 60°＝2×1×12＝1，所以(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＝2t e 21＋7t e 22＋(2t 2＋7)e 1·e 2＝8t ＋7t ＋2t 2＋7＝2t 2＋15t ＋7.因为向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，所以(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，即2t 2＋15t ＋7<0，解得－7<t <－12.当向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2反向时， 设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，λt ＝7⇒2t 2＝7⇒t ＝－142或t ＝142(舍去)．因为向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角， 所以t ≠－142， 故t 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－7，－142∪⎝⎛⎭⎫－142，－12. [易误点评] 向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角可得(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0.易忽略，共线反向的情况导致出错．[防范措施] (1)切记向量夹角的范围是[0，π]．(2)a 与b 夹角为锐角⇔a·b >0且a ·b ≠1，a 与b 夹角为钝角⇔a ·b <0且a ·b ≠－1.[跟踪练习] 已知a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．解：∵a 与a ＋λb 均为非零向量，且夹角为锐角， ∴a ·(a ＋λb )>0，即(1,2)·(1＋λ，2＋λ)>0. ∴(1＋λ)＋2(2＋λ)>0. ∴λ>－53.当a 与a ＋λb 共线时，存在实数m ，使a ＋λb ＝m a ， 即(1＋λ，2＋λ)＝m (1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋λ＝m ，2＋λ＝2m ，解得λ＝0. 即当λ＝0时，a 与a ＋λb 共线，综上可知，实数λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫－53，0∪(0，＋∞).A 组 考点能力演练1．(2015·陕西模拟)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝20，a ·b ＝4，则|a －b |＝( ) A. 2 B ．2 3 C ．2D. 6解析：∵|a ＋b |＝20，a·b ＝4，∴|a ＋b |2－|a －b |2＝4a·b ＝16，∴|a －b |＝2，选C. 答案：C2．对于任意向量a ，b ，c ，下列命题中正确的是( ) A ．|a·b |＝|a ||b | B ．|a ＋b |＝|a |＋|b | C ．(a·b )·c ＝a ·(b·c ) D ．a·a ＝|a |2解析：法一：因为|a·b |＝|a ||b ||cos 〈a ，b 〉|，只有当a ，b 共线时，才有|a·b |＝|a ||b |，A不正确；因为|a ＋b |≤|a |＋|b |，所以B 不正确；向量的数量积运算不满足结合律，即(a·b )·c ≠a·(b·c )，C 不正确；由数量积的定义可得a·a ＝|a |2，D 正确，故选D.法二：令a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(1,1)，易验证A ，B ，C 错误，故选D. 答案：D3．(2015·湘潭调研)在三角形ABC 中，E ，F 分别为边AB ，AC 上的点，且AE →＝2EB →，AF →＝FC →，若|AB |＝3，|AC |＝2，A ＝60°，则BF →·EF →等于( )A.92 B.72 C.154D.134解析：因为AE →＝2EB →，AF →＝FC →，所以AE →＝23AB →，AF →＝12AC →，所以BF →·EF →＝(AF →－AB →)·(AF→－AE →)＝⎝⎛⎭⎫12AC →－AB →·⎝⎛⎭⎫12AC →－23AB →＝14AC →2＋23AB →2－56AB →·AC →＝14×22＋23×32－56×2×3×12＝92，故选A.答案：A4．已知O ，A ，B 三点的坐标分别为O (0,0)，A (3,0)，B (0，3)，且P 在线段AB 上，AP →＝tAB →(0≤t ≤1)，则OA →·OP →的最大值为( )A. 3 B ．3 C ．2 2D ．9解析：设P (x ，y )，x ∈[0,3]，则(x －3，y )＝t (－3,3)，⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝－3t ，y ＝3t ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－3t ，y ＝3t ，t∈[0,1]，所以OA →·OP →＝3x ＝9(1－t )∈[0,9]，即OA →·OP →的最大值为9.答案：D5．已知向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝1，且对于任意实数x ，不等式|a ＋x b |≥|a ＋b |恒成立，设a ，b 的夹角为θ，则sin θ＝( )A.22 B.13 C.33D.63解析：如图所示，当(a ＋b )⊥b 时，对于任意实数x ，a ＋x b ＝OA →或a ＋x b ＝OB →，三角形中斜边大于直角边恒成立，不等式恒成立，因为(a ＋b )⊥b ，|a |＝3，|b |＝1，所以tan α＝2，tan θ＝－2，sin θ＝63. 答案：D6．已知平面向量a ，b 满足a ·(a ＋b )＝3，且|a |＝2，|b |＝1，则向量a 与b 的夹角的大小为________．解析：因为a ·(a ＋b )＝3，|a |＝2，|b |＝1，所以a ·(a ＋b )＝|a |2＋a·b ＝3，得a·b ＝－1.设向量a 与b 的夹角为θ，θ∈[0，π]，则cos θ＝a·b |a |·|b |＝－12，解得θ＝2π3. 答案：2π37．(2016·石家庄质检)若a ，b 是两个互相垂直的单位向量，则向量a －3b 在向量b 方向上的投影为________．解析：依题意得(a －3b )·b ＝a·b －3b 2＝－3，因此a －3b 在向量b 方向上的投影为(a －3b )·b |b |＝－ 3. 答案：－ 38.在边长为1的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，DC 的中点，则AE →·AF→＝________. 解析：因为AE →＝AB →＋12AD →，AF →＝AD →＋12AB →，AD →·AB →＝0，所以AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋12AD →·⎝⎛⎭⎫AD →＋12AB →＝12AB →2＋12AD →2＝1.答案：19．已知△ABC 的面积为2，且满足0<AB →·AC →≤4，AB →和AC →的夹角为θ.(1)求θ的取值范围；(2)求函数f (θ)＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋θ－3cos 2θ的取值范围．解：(1)设△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则由题意得12bc sin θ＝2,0<bc cos θ≤4，可得tan θ≥1，又θ∈[0，π]， ∴θ∈⎣⎡⎭⎫π4，π2.(2)f (θ)＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋θ－3cos 2θ＝⎣⎡⎦⎤1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2θ－3cos 2θ＝(1＋sin 2θ)－3cos 2θ＝sin 2θ－3cos 2θ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＋1， ∵θ∈⎣⎡⎭⎫π4，π2，∴2θ－π3∈⎣⎡⎭⎫π6，2π3. ∴2≤2sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＋1≤3， ∴函数f (θ)的取值范围是[2,3]．10.(2015·杭州模拟)设△ABC 是边长为1的正三角形，点P 1，P 2，P 3四等分线段BC (如图所示)．(1)求AB →·AP 1→＋AP 1→·AP 2→的值；(2)设动点P 在边BC 上，①请写出一个|BP →|的值使P A →·PC →>0，并说明理由；②当P A →·PC →取得最小值时，求cos ∠P AB 的值．解：(1)原式＝AP 1→·(AB →＋AP 2→)＝2AP →21＝138. (2)①写0到12(0可取到，12取不到)之间的任何一个值均可，理由：此时向量P A →与PC →之间的夹角为锐角．②P A →·PC →＝|PC →||P A →|cos ∠APC .a ．当P 在线段BP 2上时，P A →·PC →≥0.b ．当P 在线段P 2C 上时，P A →·PC →≤0，要使P A →·PC →最小，则P 必在线段P 2C 上．设|PC →|＝x ，则P A →·PC →＝|PC →||P A →|cos ∠APB ＝|PC →|·(－|PP 2→|)＝x 2－12x ， 当x ＝14，即当P 在P 3时，P A →·PC →最小， 此时cos ∠P AB ＝52613.B 组 高考题型专练1．(2014·高考四川卷)平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，则c ＝m a ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)，|a |＝5，|b |＝25，a ·c ＝5m ＋8，b ·c ＝8m ＋20.∵c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，∴c ·a |c |·|a |＝c ·b |c |·|b |，∴5m ＋85＝8m ＋2025， 解得m ＝2.答案：D2．(2014·高考山东卷)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )，若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m ＝( ) A ．2 3 B. 3 C ．0 D ．－ 3解析：a ·b ＝|a ||b |cos π6，则3＋3m ＝2·9＋m 2·32.(3＋m )2＝9＋m 2，解得m ＝ 3. 答案：B3．(2015·高考广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB→＝(1，－2)，AD →＝(2,1)，则AD →·AC →＝( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：由AC →＝AB →＋AD →＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，得AD →·AC →＝(2,1)·(3，－1)＝5，故选A.答案：A4．(2015·高考广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值；(2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值． 解：(1)∵m ⊥n ，∴m·n ＝0. 故22sin x －22cos x ＝0，∴tan x ＝1. (2)∵m 与n 的夹角为π3，∴cos 〈m ，n 〉＝m·n |m |·|n |＝22sin x －22cos x 1×1＝12，∴sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12，又x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴x －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4，x －π4＝π6，即x ＝5π12，∴x 的值为512π.。
6.2.4向量的数量积-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第二册课前检测(含解析)
人教A 版6.2.4向量的数量积课前检测题一、单选题1．已知单位向量a 满足2a b =，1a b ⋅= ，则a 与b 的夹角为（ ） A ．π6 B ．π3 C ．π2 D ．2π3 2．已知向量a ，b 满足1a =，2b =，a 与b 夹角为30，那么a b ⋅等于（ ）A ．1-BCD ．2 3．已知向量a ，b 满足1a =，2b =，且a 与b 的夹角为3π，则向量a b -与b 的夹角为（ ）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π 4．设a ，b 均为单位向量，且14a b ⋅=，则2a b +=（ ）A ．3 BC ．6D ．9 5．在正方形ABCD 中，E 为CD 边上一点，且60ABE ∠=︒，9AB AC ⋅=，则AB BE ⋅=（ ）A ．-B ．C ．-D ． 6．在ABC 中，5AB =，2BC =，60B ∠=︒，则AB BC ⋅的值为（ ）A ．B ．5C ．-D ．5- 7．已知向量,a b 满足2=a ，1=b ，2a b ⋅=，则向量,a b 的夹角为（ ）A ．3πB ．23πC ．πD ．4π-8．已知两个单位向量a ，b 满足|23|7a b +=，则a 与b 的夹角是（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 9．已知向量a ，b 满足||1a =，||2b =，且向量a ，b 的夹角为4π，若a b λ-与b 垂直，则实数λ的值为（ ） A ．12- B ．12 C ．24- D ．24 10．如图，在边长为1的菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒，则-BA BC =（ ）A 3B ．12C ．1D 3 11．已知向量a ，b 满足||2a =，1a b ⋅=，则()a b a ⋅-=（ ）A ．0B ．1-C ．2-D ．3- 12．已知向量a ，b 满足3a b =，6a b ⋅=，,3a b π=，则a =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．6二、填空题 13．已知向量a 与b 的夹角为120°，且4a b ==，那么()3b a b ⋅+的值为______.14．设向量1e →，2e →的夹角为23π，且12e →=，23e →=，则向量1e →在2e →方向上的投影为______.15．已知向量a b ，满足436a b a b ==⋅=-，，，则a 与b 的夹角大小为_______. 16．已知正方形ABCD 边长为3，点E 是AB 边上的动点，则DE DC ⋅的最大值为______．三、解答题17．已知2a =，4b =，a 与b 的夹角为60︒. （1）计算()a ab ⋅+的值； （2）若()0a a kb ⋅-=，求实数k 的值.18．已知非零向量a ，b 满足2a b =，且()a b b -⊥. （1）求a 与b 的夹角；（2）若14a b +=，求b .19．已知||3a =，||4b =，a 与b 的夹角为60°．试求：（1）||a b +；（2）a b +与a b -的夹角θ的余弦值．20．已知2,1a b ==，向量,a b 的夹角为60°，5c a b =+，2d ma b =-．求m 为何值时，c 与d 垂直．21．若2a =，2b =，2a 和b 的夹角为135︒，求22a b a b ++-的值.22．已知2a =，3b =，在下列情况下，求()2()a b a b +-的值： （1）//a b ；（2）a b ⊥；（3）a 与b 的夹角为120°.参考答案1．B【分析】 由条件有12a b ==，，由公式,cos ,a ba b a b =⋅可得答案. 【详解】 单位向量a 满足2a b =，则12a b ==， 11cos ,122a b a b a b ⋅===⨯⋅ 又a 与b 的夹角的范围是[]0π，所以a 与b 的夹角为π3故选：B 2．C【分析】 根据数量积的定义计算．【详解】cos30122a b a b ⋅=︒=⨯⨯= 故选：C ．3．D【分析】先求a b ⋅，进而可求()a b b -，再求()2a b -，即可求a b -，利用()cos a b b a b b θ-⋅=-⋅结合[]0,θπ∈，即可求解.【详解】 1cos 12132a b a b π⋅=⨯⨯=⨯⨯=， ()22212521232a b a b a b -=+-⋅=-⨯⨯⨯=， ()2·143a b b a b b -=⋅-=-=-，设向量a b -与b 的夹角为θ， ()cos 223a b b a b b θ-⋅===--⋅， 因为[]0,θπ∈，所以56πθ=， 所以a b -与b 的夹角为56π. 故选：D4．B【分析】利用向量的模的运算法则，结合向量的数量积求解即可.【详解】a ，b 均为单位向量，且14a b ⋅=，则222224414a b a b a a b b +=+=+⋅+=+=故选：B【点睛】 本小题主要考查向量模的运算，属于基础题. 5．A【分析】根据9AB AC ⋅=求出3AB =，再解三角形求出23BE =.【详解】 因为222||||||2||922AB AC AB AC AB AB AB ⋅=⨯=⨯⨯==， 所以3AB =．因为60ABE ∠=︒，所以30CBE ∠=︒，所以23BE =故3cos120AB BE ⋅=⨯︒=-故选：A【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 6．D【分析】由向量数量积的定义直接计算即可.【详解】5AB =，2BC =，60B ∠=︒，152cos 180601052AB BC .故选：D.【点睛】本题考查向量数量积的运算，属于基础题. 7．C【分析】根据平面向量的夹角公式计算即可得到结果.【详解】设向量,a b 的夹角为θ，则[]0,θπ∈，由2=a ，1=b ，2a b ⋅=得：2cos 2a b a b θ⋅===⨯⨯， ∴向量,a b 的夹角为4πθ=. 故选：C.【点睛】本题考查利用平面向量数量积和模长求解向量夹角的问题，属于基础题. 8．C【分析】将|23|7a b +=平方整理求出12a b ⋅=-，再由cos ,a b a b a b ⋅〈〉=⋅即可求解. 【详解】 由|23|7a b +=，所以2222341297a b a a b b +=+⋅+=， 又因为单位向量,a b ，所以11262a b a b ⋅=-⇒⋅=-， 所以向量,a b 的夹角为1cos ,2a b a b a b ⋅〈〉==-⋅， 且,[0,]a b π∈，所以2,3a b π〈〉=， 故选：C .【点睛】 本题考查了转化法求向量的数量积、求向量夹角，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 9．D【分析】根据a b λ-与b 垂直得到（a b λ-）·b =0，再利用向量数量积的运算法则化简即得解.【详解】 根据a b λ-与b 垂直得到（a b λ-）·b =0，所以20,12cos 40,4a b b πλλλ⋅-=∴⨯⨯-=∴=. 故答案为D【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.10．D【分析】 求出23BA BC -=，即得解. 【详解】 根据题意1BA BC ==，,120BA BC =︒，∴222121121132BA BC BA BC BA BC -=+-⋅=++⨯⨯⨯=， ∴3BA BC -=故选：D.【点睛】本题主要考查平面向量的模和数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 11．D 【分析】直接利用数量积的运算律计算即得解.【详解】由题得22()123a b a a b a ⋅-=⋅-=-=-.故选：D【点睛】本题主要考查数量积的运算律，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12．D【分析】直接用平面向量的数量积公式求解.【详解】 因为1cos ,cos 633a b a b a b a a π⋅=⋅=⋅⋅=，所以6a =. 故选：D.【点睛】本题考查了平面向量数量积公式，属于基础题.13．－8【分析】先根据数量积的分配律将所求式子展开，再由平面向量数量积的运算法则即可得解.【详解】解：()2233344cos12048b a b a b b ⋅+=⋅+=⨯⨯⨯︒+=-. 故答案为： -8. 【点睛】本题考查数量积的计算，此类问题一般利用数量积的运算律和定义来处理，本题属于基础题. 14．1-【分析】根据向量的数量积的定义和几何意义，代入可得答案.【详解】因为向量1e →，2e →的夹角为23π，且12e →=，23e →=，所以向量1e →在2e →方向上的投影为121cos 2132e π→⎛⎫⋅=⨯-=- ⎪⎝⎭， 故答案为：1-.【点睛】本题考查向量数量积和几何意义：投影，属于基础题.15．23π 【分析】直接利用平面向量的夹角公式求解即可.【详解】设a 与b 的夹角为θ，由夹角公式61cos 342a ba b θ⋅-===-⨯， 因为[0,]θπ∈，所以23πθ=． 故答案为：23π. 【点睛】此题考查求向量的夹角，属于基础题.16．9【分析】根据平面向量数量积的几何意义可知DE 在DC 方向上的投影的最大值为3，进一步得到答案.【详解】根据平面向量数量积的几何意义得：当点E 在点B 时，DE DC ⋅值的最大，此时DE 在DC 方向上的投影为3，又=3DC所以DE DC ⋅的最大值为9.故答案为：9.【点睛】本题考查平面向量数量积的几何意义，涉及到向量的投影，属于常见的基础题型． 17．（1）8；（2）1.【分析】利用平面向量的数量积直接计算即可.【详解】（1）()2424cos 608a a b a a b ⋅+=+⋅=+⨯⨯︒=， （2）()0a a kb ⋅-=，即2424cos 60440a ka b k k -⋅=-⨯⨯⨯︒=-=， 1k ∴=.【点晴】此题考平面向量的数量积的计算，属于简单题.18．（1）3π；（2. 【分析】（1）由()a b b -⊥，得()0a b b -⋅=，则20a b b ⋅-=，再结数量积的公式和2a b =可求得a 与b 的夹角；（2）由14a b +=，得214a b +=，将此式展开，把2a b =代入可求得结果【详解】（1）∵()a b b -⊥，∴()0a b b -⋅=， ∴20a b b ⋅-=， ∴2cos ,0a b a b b ⋅-=， ∵2a b =，∴222cos ,0b a b b -=， ∴1cos ,2a b =， ∵[),0,a b π∈，∴a 与b 的夹角为3π. （2）∵14a b +=，∴214a b +=， ∵2a b =，又由（1）知1cos ,2a b =， ∴2714b =，∴2b =.【点睛】 此题考查平面向量的数量积的有关运算，考查计算能力，属于基础题19．（1）37a b +=（2）【分析】（1）由向量的模的运算及数量积运算即可得解；（2）由()()cos ||||a b a b a b a b θ+⋅-=+-，结合向量的数量积求解即可. 【详解】解：（1）∵222||2916234cos6037a b a b a b ︒+=++⋅=++⨯⨯⨯=， ∴||37a b +=．（2）∵222||2916234cos6013a b a b a b ︒-=+-⋅=+-⨯⨯⨯=， ∴||13a b -=．∴()()cos ||||37a b a b a b a b θ+⋅-===+-． 【点睛】本题考查了向量模的运算，重点考查了向量的数量积运算及向量夹角的运算，属基础题. 20．43m = 【分析】由c d ⊥，则0c d ⋅=，再结合向量的数量积运算即可得解.【详解】解：由已知得21cos 601a b ︒⋅=⨯⨯=．又c d ⊥，则0c d ⋅=．即22(5)(2)(52)10452109120c d a b ma b ma m a b b m m m ⋅=+⋅-=+-⋅-=+--=-=． 解得：43m =， 故当43m =时，c 与d 垂直． 【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，重点考察了向量垂直的充要条件，属基础题.21【分析】 先求出2,2a b a b +-，再求22a b a b ++-的值.【详解】由已知得，cos1352a b a b ⋅=⋅︒=-， ()222a b a b +=+10== 222+4425a b a b a b -=-⋅=， 所以22102a b a b ++-=+【点睛】本题主要考查向量的模的计算和数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 22．（1）-8或-20；（2）-14；（3）-17；【分析】结合已知条件，由向量数量积的运算律可得)(214()a b a b a b +-=⋅-，进而根据,a b 间不同的关系求值即可.【详解】22()()||2|2|14a b a b a a b b a b +-+⋅-=⋅-=，（1）//a b 时，当,a b 同向时146148a b ⋅-=-=-，当,a b 反向时1461420a b ⋅-=--=-；（2）a b ⊥时，1401414a b ⋅-=-=-；（3）a 与b 的夹角为120°时，1423cos1201417a b ⋅-=⨯⨯︒-=-；【点睛】本题考查了向量数量积的运算，结合向量不同的位置关系求值，属于简单题.。
2021-2022年高中数学专题09平面向量的数量积同步单元双基双测卷A卷新人教A版
2021-2022年高中数学专题09平面向量的数量积同步单元双基双测卷A 卷新人教A 版一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若向量，则下列结论正确的是（ ）A ． B. C ． D ． 【答案】【解析】试题分析：计算得，，(1,1),()110a b a b b -=--⋅=-= ，故选.2.已知向量 ， ，则（ ）(A) (B) (C) (D)【答案】A【解析】由题意，得，所以，故选A ．3.若，，且，则与的夹角是（ ）A. B. C. D.【答案】D4.中，D 是BC 中点，，，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由已知，，2222221()()()()()24n AB AC AD DB AD DC AD DB AD DB AD DB m m n ⋅=+⋅+=+⋅-=-=-=-.5.已知向量，，则（ ）A ．2B ．-2C ．-3D ．4【答案】A【解析】 因)4,1(2),1,2(-=-=+b a b a ，故224412)1()2()(=-=⨯+⨯-=-⋅+b a b a ，应选A.6.已知向量与的夹角为60°，，，则在方向上的投影为（ ）A ．B ．2C ．D ．3【答案】A7.【xx 辽宁省大连育明高级中学、本溪市高级中学高三10月月考】在边长为1的正三角形中，设，，，则等于（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】，故选：C8.已知向量的夹角为，且，，则（ ）A. B. C. D.【答案】D.【解析】∵，∴22222(2)4410a b a b a a b b -=-=-⋅+=，又∵的夹角为，且，∴，解得或（舍去），即.9.【xx 广西河池市高级中学高三上第三次月考】已知向量， ，若向量与垂直，则（ ）A. 2B. -2C. 0D. 1【答案】A【解析】因为向量， ，且向量与垂直，所以，解得，故选A.10.【xx 河北省石家庄市普通高中高三10月份月考】设向量，则下列选项正确的是( )A. B. C. D.【答案】B11.已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（ ）（A ）（B ） （C ） （D ）【答案】B【解析】设，，∴，， 1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=，故选B. 12.在矩形中，3,3,2AB BC BE EC ===，点在边上，若，则的值为（ ）A ．0B ．C ．-4D ．4【答案】C【解析】 如图所示，2232,3cos 1133BE EC BE BC AB AF AF DF α=⇒==⋅=⇒=⇒=．以为原点建立平面直角坐标系，为轴，为轴，则()()230,3,3,1,3B F E ⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，因此()233,2,3232643BF AE BF =-⋅=⨯-⨯=-=-，故选C.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
(2019新教材)人教A版高中数学必修第二册：向量的数量积 课时同步练习
向量的数量积[A 基础达标]1．已知▱ABCD 中∠DAB ＝30°，则AD →与CD →的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析：选D.如图，AD →与CD →的夹角为∠ABC ＝150°.2．已知单位向量a ，b ，则(2a ＋b )·(2a －b )的值为( ) A. 3 B. 5 C ．3D ．5解析：选C.由题意得(2a ＋b )·(2a －b )＝4a 2－b 2＝4－1＝3.3．(2019·北京市十一中学检测)已知平面向量a ，b 满足a ·(a ＋b )＝3且|a |＝2，|b |＝1，则向量a 与b 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选C.因为a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝4＋2cos 〈a ，b 〉＝3，所以cos 〈a ，b 〉＝－12，又因为〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉＝2π3.4．若向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则|a |＝( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．12解析：选C.因为(a ＋2b )·(a －3b )＝a 2－a ·b －6b 2 ＝|a |2－|a |·|b |cos 60°－6|b |2 ＝|a |2－2|a |－96＝－72. 所以|a |2－2|a |－24＝0.解得|a |＝6或|a |＝－4(舍去)．故选C.5．(2019·广东佛山质检)如图所示，△ABC 是顶角为120°的等腰三角形，且AB ＝1，则AB →·BC →等于( )A ．－32B ．32C ．－32D ．32解析：选C.因为△ABC 是顶角为120°的等腰三角形，且AB ＝1，所以BC ＝3，所以AB →·BC →＝1×3×cos 150°＝－32.6．若向量a 的方向是正南方向，向量b 的方向是北偏东60°方向，且|a |＝|b |＝1，则(－3a )·(a ＋b )＝________．解析：设a 与b 的夹角为θ，则θ＝120°，所以(－3a )·(a ＋b )＝－3|a |2－3a ·b ＝－3－3×1×1×cos 120°＝－3＋3×12＝－32.答案：－327．已知向量a 与b 的夹角是π3，且|a |＝1，|b |＝2，若(3a ＋λb )⊥a ，则实数λ＝________．解析：根据题意得a ·b ＝|a |·|b |cos π3＝1，因为(3a ＋λb )⊥a ，所以(3a ＋λb )·a ＝3a 2＋λa ·b ＝3＋λ＝0，所以λ＝－ 3.答案：－ 38．已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，AB →·AC →＝8，则△ABC 的形状是________． 解析：因为AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ，即8＝4×4cos ∠BAC ，于是cos ∠BAC ＝12，所以∠BAC ＝60°.又AB ＝AC ，故△ABC 是等边三角形．答案：等边三角形9．已知非零向量a ，b ，满足|a |＝1，(a －b )·(a ＋b )＝12，且a ·b ＝12.(1)求向量a ，b 的夹角； (2)求|a －b |.解：(1)因为(a －b )·(a ＋b )＝12，所以a 2－b 2＝12，即|a |2－|b |2＝12，又|a |＝1，所以|b |＝22.设向量a ，b 的夹角为θ，因为a ·b ＝12，所以|a |·|b |cos θ＝12，所以cos θ＝22，因为0°≤θ≤180°，所以θ＝45°，所以向量a ，b 的夹角为45°. (2)因为|a －b |2＝(a －b )2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝12，所以|a －b |＝22. 10．已知|a |＝2|b |＝2，e 是与b 方向相同的单位向量，且向量a 在向量b 方向上的投影向量为－e .(1)求a 与b 的夹角θ； (2)求(a －2b )·b ；(3)当λ为何值时，向量λa ＋b 与向量a －3b 互相垂直？ 解：(1)由题意知|a |＝2，|b |＝1.又a 在b 方向上的投影向量为|a |cos θ e ＝－e ， 所以cos θ＝－12，所以θ＝2π3.(2)易知a ·b ＝|a |·|b |cos θ＝－1，则(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2＝－1－2＝－3. (3)因为λa ＋b 与a －3b 互相垂直， 所以(λa ＋b )·(a －3b )＝λa 2－3λa ·b ＋b ·a －3b 2 ＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0， 所以λ＝47.[B 能力提升]11．在△ABC 中，若AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．直角三角形解析：选D.因为AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →，所以AB →2－AB →·AC →＝BA →·BC →＋CA →·CB →， 所以AB →·(AB →－AC →)＝BC →·(BA →－CA →)， 所以AB →·CB →＝BC →2，所以BC →·(BC →＋AB →)＝0， 所以BC →·AC →＝0，所以AC ⊥BC ，所以△ABC 是直角三角形．12．若|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a －b 与b 的夹角为( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选D.由|a ＋b |＝|a －b |可得a·b ＝0，由|a －b |＝2|a |可得3a 2＝b 2，所以|b |＝3|a |，设向量a －b 与b 的夹角为θ，则cos θ＝（a －b ）·b |a －b ||b |＝－|b |22|a |·3|a |＝－3|a |223|a |2＝－32，又θ∈[0，π]，所以θ＝5π6.13．在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝1，D 是边BC 上一点，DC →＝2BD →，则AD →·BC →＝________．解析：由DC →＝2BD →，所以BD →＝13BC →，BC →＝AC →－AB →，故AD →·BC →＝(AB →＋BD →)·BC →＝⎣⎡⎦⎤AB →＋13·（AC →－AB →）·(AC →－AB →) ＝⎝⎛⎭⎫23AB →＋13AC →·(AC →－AB →) ＝13AB →·AC →＋13AC →2－23AB →2 ＝13|AB →||AC →|cos 120°＋13|AC →|2－23|AB →|2＝13×2×1×⎝⎛⎭⎫－12＋13×1－23×22＝－83. 答案：－8314．设向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．解：由向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角， 得（2t e 1＋7e 2）·（e 1＋t e 2）|2t e 1＋7e 2|·|e 1＋t e 2|<0，即(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0， 化简即得2t 2＋15t ＋7<0，画出y ＝2t 2＋15t ＋7的图象，如图．若2t 2＋15t ＋7<0， 则t ∈⎝⎛⎭⎫－7，－12. 当夹角为π时，也有(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0， 但此时夹角不是钝角，设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ<0，可得 ⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，7＝λt ，λ<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－14，t ＝－142. 所以所求实数t 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－7，－142∪⎝⎛⎭⎫－142，－12. [C 拓展探究]15．在四边形ABCD 中，已知AB ＝9，BC ＝6，CP →＝2PD →. (1)若四边形ABCD 是矩形，求AP →·BP →的值；(2)若四边形ABCD 是平行四边形，且AP →·BP →＝6，求AB →与AD →夹角的余弦值． 解：(1)因为四边形ABCD 是矩形，所以AD →·DC →＝0， 由CP →＝2PD →，得DP →＝13DC →，CP →＝23CD →＝－23DC →.所以AP →·BP →＝()AD →＋DP →·()BC →＋CP→ ＝⎝⎛⎭⎫AD →＋13DC →·⎝⎛⎭⎫AD →－23DC →＝AD →2－13AD →·DC →－29DC →2＝36－29×81＝18.(2)由题意，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋13DC →＝AD →＋13AB →，BP →＝BC →＋CP →＝BC →＋23CD →＝AD →－23AB →，所以AP →·BP →＝⎝⎛⎭⎫AD →＋13AB →·⎝⎛⎭⎫AD →－23AB → ＝AD →2－13AB →·AD →－29AB →2＝36－13AB →·AD →－18＝18－13AB →·AD →.又AP →·BP →＝6， 所以18－13AB →·AD →＝6，所以AB →·AD →＝36. 设AB →与AD →的夹角为θ，又AB →·AD →＝|AB →|·|AD →|cos θ＝9×6×cos θ＝54cos θ，所以54cos θ＝36，即cos θ＝23.所以AB →与AD →夹角的余弦值为23.。
2021年高考数学专题复习 第26讲 平面向量的数量积练习 新人教A版
2021年高考数学专题复习第26讲平面向量的数量积练习新人教A版[考情展望] 1.以客观题的形式考查平面向量数量积的计算，向量垂直条件与数量积的性质.2.以平面向量数量积为工具，与平面几何、三角函数、解析几何等知识交汇命题，主要考查运算能力及数形结合思想．一、平面向量的数量积1．数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则向量a 与b的数量积是数量|a||b|cos θ，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0.2．向量的投影：设θ为a与b的夹角，则向量a在b方向上的投影是|a|cos θ；向量b在a方向上的投影是|b|cos θ.3．数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．二、平面向量数量积的运算律1．交换律：a·b＝b·a；2．数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；3．分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.三、平面向量数量积的性质及其坐标表示已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．1．已知a＝(1，－3)，b＝(4,6)，c＝(2,3)，则(b·c)a等于( ) A．(26，－78) B．(－28，－42)C．－52 D．－78【解析】∵b·c＝4×2＋6×3＝26，∴(b·c)a＝(26，－78)．【答案】 A2．已知向量a、b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为( )A.π6B.π4C.π3D.π2【解析】向量a、b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，设a与b的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a|·|b|＝12，∴θ＝π3.【答案】 C3．已知向量a，b和实数λ，下列选项中错误的是( )A．|a|＝a·a B．|a·b|＝|a|·|b|C．λ(a·b)＝λa·b D．|a·b|≤|a|·|b|【解析】|a·b|＝|a||b||cos θ|，故B错误．【答案】 B4．已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝( ) A．0 B．2 2C ．4D ．8【解析】 ∵|a|＝1，|b|＝2，a·b ＝0 ∴|2a －b |＝4a 2－4a·b ＋b 2＝4＋4＝2 2. 【答案】 B5．(xx·湖北高考)已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A.322B.3152C ．－322D ．－3152【解析】 由已知得AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，因此AB →在CD →方向上的投影为AB →·CD →|CD →|＝1552＝322.【答案】 A6．(xx·课标全国卷Ⅰ)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t )b ，若b ·c ＝0，则t ＝________.【解析】 |a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°.∵c ＝ta ＋(1－t )b ，∴b ·c ＝ta ·b ＋(1－t )b 2＝t ×1×1×12＋(1－t )×1＝t 2＋1－t ＝1－t2.∵b ·c ＝0，∴1－t2＝0，∴t ＝2.【答案】 2考向一 [077] 平面向量数量积的运算(1)(xx·浙江高考)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________. (2)(xx·北京高考)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________．【思路点拨】 (1)把AB →，AC →用AM →，MB →或MC →表示；(2)建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示．或用数量积的几何意义求解【尝试解答】 (1)如图所示，AB →＝AM →＋MB →，AC →＝AM →＋MC →＝AM →－MB →，∴AB →·AC →＝(AM →＋MB →)·(AM →－MB →)＝AM →2－MB →2＝|AM →|2－|MB →|2＝9－25＝－16. (2)法一 如图所示，以AB ，AD 所在的直线分别为x 轴和y 轴建立平面直角坐标系，由于正方形边长为1，故B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)．又E 在AB 边上，故设E (t,0)(0≤t ≤1)． 则DE →＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)． 故DE →·CB →＝1. 又DC →＝(1,0)，∴DE →·DC →＝(t ，－1)·(1,0)＝t . 又0≤t ≤1，∴DE →·DC →的最大值为1. 法二 ∵ABCD 是正方形，∴DA →＝CB →. ∴DE →·CB →＝DE →·DA →＝|DE →||DA →|cos ∠EDA ＝|DA →||DE →|cos ∠EDA ＝|DA →|·|DA →|＝|DA →|2＝1.又E 点在线段AB 上运动，故为点E 与点B 重合时，DE →在DC →上的投影最大，此时DC →·DE →＝|DC →||DE →|cos 45°＝2×22＝1.所以DE →·DC →的最大值为1. 【答案】 (1)－16 (2)1 1规律方法1 1.平面向量的数量积的运算有两种形式，一是依据长度与夹角，二是利用坐标来计算.2.要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量，如本例1中用AM →、MB → 表示AB → 、AC →等.注意向量夹角的大小，以及夹角θ＝0°，90°，180°三种特殊情形.对点训练 (1)(xx·江西高考)设e 1，e 2为单位向量， 且e 1，e 2的夹角为π3，若a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，则向量a 在b 方向上的投影为________．(2)(xx·济南模拟)在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE →＝________.【解析】 (1)由于a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，所以|b |＝2，a ·b ＝(e 1＋3e 2)·2e 1＝2e 21＋6e 1·e 2＝2＋6×12＝5，所以a 在b 方向上的投影为|a |·cos a ，b ＝a·b |b |＝52.(2)∵BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，∴点D 是线段BC 的中点，点E 是线段CA 的三等分点， 以向量AB →，AC →作为基向量， ∴AD →＝12(AB →＋AC →)，BE →＝23AC →－AB →，∴AD →·BE →＝12(AB →＋AC →)·(23AC →－AB →)＝13AC →2－12AB →2－16AB →·AC →， 又|AB →|＝|AC →|＝1， 且〈AB →，AC →〉＝π3.∴AD →·BE →＝13－12－16|AB →||AC →|cos π3＝－14.【答案】 (1)52 (2)－14考向二 [078] 平面向量的夹角与垂直(1)(xx·安徽高考)若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a 与b 夹角的余弦值为________．(2)(xx·山东高考)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．【思路点拨】 (1)由|a |＝|a ＋2b |平方得出a·b ，然后代入夹角公式cos 〈a ，b 〉＝a·b|a||b |求解．(2)把BC →转化为AC →－AB →，再通过AP →·BC →＝0求解．【尝试解答】 (1)由|a |＝|a ＋2b |，两边平方，得|a |2＝(a ＋2b )2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ，所以a ·b ＝－|b |2.又|a |＝3|b |，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－|b |23|b |2＝－13.(2)∵AP →⊥BC →，∴AP →·BC →＝0. 又AP →＝λAB →＋AC →，BC →＝AC →－AB →， ∴(λAB →＋AC →)(AC →－AB →)＝0， 即(λ－1)AC →·AB →－λAB →2＋AC →2＝0， ∴(λ－1)|AC →||AB →|cos 120°－9λ＋4＝0. ∴(λ－1)×3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－9λ＋4＝0.解得λ＝712. 【答案】 (1)－13 (2)712规律方法2 1.当a ，b 以非坐标形式给出时，求〈a ，b 〉的关键是借助已知条件求出|a |、|b |与a·b 的关系.2.1非零向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a ＋b |＝|a －b |⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.2本例2中常见的错误是不会借助向量减法法则把BC → 表示成AC → －AB →，导致求解受阻.对点训练 (1)已知a ，b 都是非零向量，且|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为________．(2)已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量ka －b 垂直，则k ＝________.【解析】 (1)由|a |＝|b |＝|a －b |得，|a |2＝|b |2，|b |2＝a 2－2a·b ＋b 2，所以a·b ＝12a 2.而|a ＋b |2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝2|a |2＋2×12|a |2＝3|a |2，所以|a ＋b |＝3|a |. 设a 与a ＋b 的夹角为θ，则cos θ＝a·a ＋b |a ||a ＋b |＝a 2＋12a 23|a |2＝32，由于0°≤θ≤180°，所以θ＝30°.(2)∵a 与b 是不共线的单位向量，∴|a |＝|b |＝1. 又ka －b 与a ＋b 垂直，∴(a ＋b )·(ka －b )＝0， 即ka 2＋ka ·b －a ·b －b 2＝0.∴k －1＋ka ·b －a ·b ＝0.即k －1＋k cos θ－cos θ＝0.(θ为a 与b 的夹角) ∴(k －1)(1＋cos θ)＝0.又a 与b 不共线， ∴cos θ≠－1，∴k ＝1. 【答案】 (1)30° (2)1考向三 [079] 平面向量的模及其应用(1)(xx·威海模拟)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A. 5B.10 C ．2 5D ．10(2)(xx·郑州模拟)已知OP →＝(cos θ，sin θ)，OQ →＝(1＋sin θ，1＋cos θ)，其中0≤θ≤π，求|PQ →|的取值范围及|PQ →|取得最大值时θ的值．【思路点拨】 (1)由a⊥c 求x 的值，由b∥c 求y 的值，求a ＋b ，求|a ＋b |. (2)PQ →＝OQ →－OP →→|PQ →|2→借助恒等变换求解【尝试解答】 (1)∵a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)， 由a ⊥c 得a ·c ＝0，即2x －4＝0，∴x ＝2. 由b ∥c 得1×(－4)－2y ＝0，∴y ＝－2. ∴a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)． ∴a ＋b ＝(3，－1)，∴|a ＋b |＝32＋－12＝10.【答案】 B(2)∵PQ →＝OQ →－OP →＝(1＋sin θ－cos θ，1＋cos θ－sin θ)， ∴|P Q →|2＝(1＋sin θ－cos θ)2＋(1＋cos θ－sin θ)2＝4－4sin θcos θ＝4－2sin 2θ. ∵0≤θ≤π，∴－1≤sin 2θ≤1， ∴|PQ →|2∈[2,6]，∴|PQ →|∈[2，6]．当sin 2θ＝－1，即θ＝3π4时，|PQ →|取得最大值．规律方法3 1.x 1y 2－x 2y 1＝0与x 1x 2＋y 1y 2＝0不同，前者是a ＝x 1，y 1，z 1，b ＝x 2，y 2，z 2共线的充要条件，而后者是它们垂直的充要条件.2.求解向量的长度问题一般可以从两个方面考虑： 1利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解；2利用公式|a |＝a·a 及a ±b2＝|a |2±2a·b ＋|b |2把长度问题转化为数量积的运算问题解决.对点训练 (1)(xx·安徽高考)设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a |＝________.(2)已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－π2＜θ＜π2. ①若a⊥b ，则θ＝________.②若|a ＋b |的最大值为2＋1，则θ＝________. 【解析】 (1)a ＋c ＝(1,2m )＋(2，m )＝(3,3m )． ∵(a ＋c )⊥b ，∴(a ＋c )·b ＝(3,3m )·(m ＋1,1)＝6m ＋3＝0， ∴m ＝－12.∴a ＝(1，－1)，∴|a |＝ 2.(2)①由a⊥b 得sin θ＋cos θ＝0，∴tan θ＝－1. ∵－π2＜θ＜π2，∴θ＝－π4.②|a ＋b |＝a 2＋2a·b ＋b 2＝sin 2θ＋1＋22sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋cos 2θ＋1＝3＋22sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4. ∵－π2＜θ＜π2，∴－π4＜θ＋π4＜3π4.∴当θ＋π4＝π2，即θ＝π4时．|a ＋b |2最大为3＋22，而3＋22＝2＋1.∴|a＋b |取最大值2＋1时，θ＝π4. 【答案】 (1) 2 (2)－π4 π4易错易误之九 忽略向量共线条件致误———— [1个示范例] ———— [1个防错练] ———(xx·广州模拟)已知a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为________．【解析】 ∵a 与a ＋λb 均为非零向量，且夹角为锐角， ∴a ·(a ＋λb )＞0，即(1,2)·(1＋λ，2＋λ)＞0， ∴(1＋λ)＋2(2＋λ)＞0，∴λ＞－53，当a 与 a ＋λb 共线时，存在实数m ，使a ＋λb ＝ma ，此处在求解时，常因忽略“a 与a ＋λb 共线”的情形致误，出现错误的原因是误认为a·b ＞0与〈a ，b 〉为锐角等价.即(1＋λ，2＋λ)＝m (1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋λ＝m 2＋λ＝2m ，∴λ＝0，即当λ＝0时，a 与a ＋λb 共线．综上可知，λ的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫λ⎪⎪⎪λ＞－53且λ≠0. 【防范措施】 1.a ，b 的夹角为锐角并不等价于a·b ＞0，a·b ＞0等价于a 与b 夹角为锐角或0°.2.依据两向量的夹角θ求向量坐标中的参数时，要注意θ＝0°或180°的情形.其中cos 0°＝1＞0，cos 180°＝－1＜0.)已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是________． 【解析】 由a·b ＜0，即2λ－3＜0，解得λ＜32.又当a∥b 时，λ＝－6，故所求λ的范围为λ＜32且λ≠－6.【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫λ⎪⎪⎪λ＜32且λ≠－6&35802 8BDA 诚37142 9116 鄖28296 6E88 溈22492 57DC 埜I €l33932 848C 蒌m33570 8322 茢37950 943E 鐾39821 9B8D 鮍z31784 7C28 簨。
2019-2020学年新人教A版必修二 平面向量的数量积及其应用 学案
考点一数量积的定义1.(2018浙江,10,5分)如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O.记I1=·,I2=·,I3=·,则()A.I1<I2<I3B.I1<I3<I2C.I3<I1<I 2D.I2<I1<I3答案C2.(2018天津,7,5分)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则·的值为()A.-B.C.D.答案B3.(2018课标Ⅱ,3,5分)设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b=()A.1B.2C.3D.5答案A4.(2018湖北,11,5分)已知向量⊥,||=3,则·=.答案9教师用书专用(5)5.(2018湖北,6,5分)已知点A(-1,1)、B(1,2)、C(-2,-1)、D(3,4),则向量在方向上的投影为()A. B.C.-D.-答案A考点二平面向量的长度问题1.(2018北京,4,5分)设a,b是向量.则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案D2.(2018浙江,8,5分)记max{x,y}=min{x,y}=设a,b为平面向量,则()A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|}B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|}C.max{|a+b|2,|a-b|2}≤|a|2+|b|2D.max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2答案D3.(2018课标全国Ⅰ,13,5分)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=.答案2教师用书专用(4)4.(2018天津,12,5分)在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若·=1,则AB的长为.答案考点三平面向量的夹角、两向量垂直及数量积的应用1.(2018山东,8,5分)已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos<m,n>=.若n⊥(tm+n),则实数t的值为()A.4B.-4C. D.-答案B2.(2018山东,4,5分)已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则·=()A.-a2B.-a2C.a2D.a2答案D3.(2018福建,9,5分)已知⊥,||=,||=t.若点P是△ABC所在平面内的一点,且=+,则·的最大值等于()A.13B.15C.19D.21答案A4.(2018山东,12,5分)已知e1,e2是互相垂直的单位向量.若e1-e2与e1+λe2的夹角为60°,则实数λ的值是.答案教师用书专用(5—8)5.(2018重庆,6,5分)若非零向量a,b满足|a|=|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与b的夹角为()A. B. C. D.π答案A6.(2018四川,7,5分)设四边形ABCD为平行四边形,||=6,||=4.若点M,N满足=3,=2,则·=()A.20B.15C.9D.6答案C7.(2018重庆,4,5分)已知向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)⊥c,则实数k=()A.-B.0C.3D.答案C8.(2018安徽,15,5分)已知两个不相等的非零向量a,b,两组向量x1,x2,x3,x4,x5和y1,y2,y3,y4,y5均由2个a和3个b排列而成.记S=x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4+x5·y5,S min表示S所有可能取值中的最小值.则下列命题正确的是(写出所有正确命题的编号).①S有5个不同的值②若a⊥b,则S min与|a|无关③若a∥b,则S min与|b|无关④若|b|>4|a|,则S min>0⑤若|b|=2|a|,S min=8|a|2,则a与b的夹角为答案②④三年模拟A组2018—2018年模拟·基础题组考点一数量积的定义1.(2018北京朝阳期中,7)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥DC,E是CD的中点,DC=1,AB=2,则·=()A.5B.-5C.1D.-1答案D2.(2018福建龙岩二模,7)已知向量与的夹角为60°,且||=3,||=2,若=m+n,且⊥,则实数的值为()A. B. C.6 D.4答案A3.(2018江西抚州七校联考,7)在Rt△AOB中,·=0,||=,||=2,AB边上的高线为OD,点E位于线段OD上,若·=,则向量在向量上的投影为()A. B.1C.1或D.或答案D4.(2018广东惠州调研,13)已知|a|=4,|b|=2,且a与b的夹角为120°,则(a-2b)·(a+b)=.答案12考点二平面向量的长度问题5.(2018全国名校大联考,10)设向量a,b,c满足|a|=|b|=2,a·b=-2,<a-c,b-c>=60°,则|c|的最大值等于()A.4B.2C.D.1答案A6.(2018福建漳州八校4月联考,5)在△ABC中,|+|=|-|,||=||=3,则·的值为()A.3B.-3C.-D.答案D7.(2018湖南永州一模,11)已知向量a与向量b的夹角为,且|a|=|b|=2,若向量c=xa+yb(x∈R且x≠0,y∈R),则的最大值为()A. B. C. D.3答案A8.(2018江西赣南五校二模,6)△ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,2=+且||=||,则向量在方向上的投影为()A. B. C.- D.-答案A考点三平面向量的夹角、两向量垂直及数量积的应用9.(2018福建三明一中期中,8)已知O是△ABC所在平面上一点,满足||2+||2=||2+||2,则点O()A.在过点C且与AB垂直的直线上B.在∠A的平分线所在直线上C.在边AB的中线所在直线上D.以上都不对答案A10.(2018豫南九校4月联考,4)已知向量a=(m,2),b=(2,-1),且a⊥b,则等于()A.-B.1C.2D.答案B11.(人教A必4,二,2-4A,7,变式)若e1,e2是平面内夹角为60°的两个单位向量,则向量a=2e1+e2,b=-3e1+2e2的夹角为()A.30°B.60°C.90°D.120°答案D12.(2018河北衡水中学模考,15)已知在△ABC所在平面内有两点P、Q,满足+=0,++=,若||=4,||=2,S△APQ=,则·的值为. 答案±4B组2018—2018年模拟·提升题组(满分:40分时间:35分钟)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2018广东广州华南师大附中,10)如图,半径为1的扇形AOB中,∠AOB=,P是弧AB上的一点,且满足OP⊥OB,M,N分别是线段OA,OB上的动点,则·的最大值为()A. B. C.1 D.答案C2.(2018四川成都七中期中)在△ABC中,BC=5,G,O分别为△ABC的重心和外心,且·=5,则△ABC的形状是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.上述三种情况都有可能答案B3.(2018湖南郴州质量检测,9)已知A,B是单位圆O上的两点(O为圆心),∠AOB=120°,点C是线段AB上不与A、B重合的动点,MN是圆O的一条直径,则·的取值范围是()A. B.[-1,1)C. D.[-1,0)答案A4.(2018湖北黄冈二模,10)已知平面向量a,b,c满足|a|=|b|=1,a⊥(a-2b),(c-2a)·(c-b)=0,则|c|的最大值与最小值的和为()A.0B.C.D.答案D二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2018河南郑州一中模拟,14)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,其内切圆切AC边于D点,O为圆心.若||=2||=2,则·=.答案-36.(2018福建福州3月质检,14)已知在△ABC中,AB=4,AC=6,BC=,其外接圆的圆心为O,则·=.答案10三、解答题(共15分)7.(2018湖南中原名校第四次质量考评,17)已知两个不共线的向量a,b满足a=(1,),b=(cosθ,sinθ),θ∈R.(1)若2a-b与a-7b垂直,求|a+b|的值;(2)当θ∈时,若存在两个不同的θ,使得|a+b|=|ma|成立,求正数m的取值范围.解析(1)由条件知|a|=2,|b|=1,又2a-b与a-7b垂直,所以(2a-b)·(a-7b)=8-15a·b+7=0,所以a·b=1.所以|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=4+2+1=7,故|a+b|=.(2)由|a+b|=|ma|,得|a+b|2=|ma|2,即|a|2+2a·b+3|b|2=m2|a|2,即4+2a·b+3=4m2,7+2(cosθ+sinθ)=4m2,故4sin=4m2-7.由θ∈,得θ+∈,又θ要有两解,结合三角函数图象可得,6≤4m2-7≤4,即≤m2≤,因为m>0,所以≤m≤.故正数m的取值范围为.C组2018—2018年模拟·方法题组方法1求向量长度的方法1.(2018四川双流中学期中,9)已知平面向量,满足||=||=1,·=-,若||=1,则||的最大值为()A.-1B.-1C.+1D.+1答案D2.(2018河南高三4月质检,9)在△ABC中,∠BAC=60°,AB=5,AC=4,D是AB上一点,且·=5,则||等于()A.6B.4C.2D.1答案C3.(2018广东五校协作体联考,15)已知a,b是两个互相垂直的单位向量,且c·a=c·b=1,则对任意的正实数t,的最小值是.答案2方法2求向量夹角问题的方法4.(2018云南玉溪模拟,4)已知向量a=(1,1),2a+b=(4,2),则向量a,b的夹角余弦值为()A. B.- C. D.-答案C5.(2018河南天一大联考(一),7)已知|a|=,a·b=-,且(a-b)·(a+b)=-15,则向量a与b的夹角θ为()A. B. C. D.答案C6.(2018河南百校联盟4月联考,14)已知非零向量a,b满足:2a·(2a-b)=b·(b-2a),|a-b|=3|a|,则a与b的夹角为.答案90°方法3数形结合的方法和方程与函数的思想方法7.(2018广东七校3月联考,11)在等腰直角△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=2,M,N为AC边上的两个动点(M,N不与A,C重合),且满足||=,则·的取值范围为()A. B. C. D.答案C8.(2018北京西城月考,16)如图,已知边长为4的正方形ABCD,E是BC边上一动点(与B、C不重合),连接AE,作EF⊥AE交∠BCD的外角角平分线于F.设BE=x,设f(x)=·,则函数f(x)的值域是.答案(0,4]9.(2018湖南长郡中学六模,14)如图,点O为△ABC的重心,且⊥,||=6,则·的值为.答案72。
人教A版1.1.2空间向量的数量积基础练习题
A． B． C． D．
5．如图所示，已知四面体 每条棱长都等于 ，点 ， ， 分别是 ， ， 的中点，则下列向量的数量积等于 的是
A． B．
C． D．
6．设 是棱长为 的正方体， 与 相交于点 ，则有（）
A． B． C． D．
7．若向量 与 不共线， ，且 ，则向量 与 的夹角为( )
【分析】
先以 为基底进行线性转化，再利用数量积定义计算即可.
【详解】
以 为基底进行线性转化，棱长均为1，故
是 的中点，故 ，
故 .
故选：D.
【点睛】
本题考查了空间向量的线性运算和数量积运算，属于基础题.
4．C
【分析】
设正方体 的棱长为 ，以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系 ，利用空间向量数量积的坐标运算以及等式 ，可得出关于 的等式，由此可得出该正方体的棱长.
（1）求 ；
（2）求 .
参考答案
1．A
【分析】
利用向量加法化简 ，结合向量数量积运算求得正确结果.
【详解】
由长方体的性质可知 ，
，
所以
.
故选：A
2．B
【分析】
根据立方体的八个顶点分成两类：一类是：当 点是 ， ， 中的一个时；另一类是：当 点是 中的一个时，分别根据向量的乘积的几何意义进行求解即可
【详解】
【详解】
∵ ，∴ ，化简得 ，
又∵ ，
，
，
∴ ，∴ ．
故答案为： .
【点睛】
本题考查两个向量的数量积的定义，数量积的公式的应用，求出 ， ， 的值，是解题的关键.
13．5