弃九法讲解

数量关系重点公式及例题讲解

数量关系重点公式及例题讲解数量关系重点公式：重点公式1、弃9验算法利用被9除所得余数的性质，对四则运算的结果进行检验的一种方法，叫“弃9验算法”。

用此方法验算，首先要找出一个数的“弃9数”，即把一个数的各个数位上的数字相加，如果和大于9或等于9都要减去9，直至剩下的一个小于9的数，我们把这个数称为原数的“弃9数”。

对于加减乘运算，可利用原数的弃九数替代进行运算，结果弃九数与原数运算后的弃九数相等注：1.弃九法不适合除法2.当一个数的几个数码相同，但0的个数不同，或数字顺序颠倒，或小数点的位置不同时，它的弃9数却是相等的。

这样就导致弃9数虽相同，而数的实际大小却不相同的情况，这一点要特别注意重点公式2、传球问题重点公式N个人传M次球，记X=N-1^M/N，则与X最接近的整数为传给“非自己的某人”的方法数，与X第二接近的整数便是传给自己的方法数重点公式3、整体消去法在较复杂的计算中，可以将近似的数化为相同，从而作为一个整体消去重点公式4、裂项公式1/nn-k =1/k 1/n-k-1/n重点公式5、平方数列求和公式1^2+2^2+3^2…+n^2=1/6 nn+12n+1重点公式6、立方数列求和公式1^3+2^3+3^3…+n^3=[1/2 nn+1 ]^2重点公式7、行程问题1分别从两地同时出发的多次相遇问题中，第N次相遇时，每人走过的路程等于他们第一次相遇时各自所走路程的2n-1倍2A.B距离为S，从A到B速度为V_1,从B回到A速度为V_2，则全程平均速度V= 〖2V〗_1 V_2/V_1+V_2 ，3沿途数车问题：同方向相邻两车的发车时间间隔×车速=同方向相邻两车的间隔4环形运动问题：异向而行，则相邻两次相遇间所走的路程和为周长同向而行，则相邻两次相遇间所走的路程差为周长5自动扶梯问题能看到的级数=人速+扶梯速×顺行运动所需时间能看到的级数=人速-扶梯速×逆行运动所需时间6错车问题对方车长为路程和，是相遇问题路程和=速度和×时间7队伍行走问题V_1为传令兵速度，V_2为队伍速度，L为队伍长度，则从队尾到队首的时间为：L/V_1-V_2从队首到队尾的时间为：L/V_1+V_2重点公式8、比赛场次问题N为参赛选手数，淘汰赛仅需决出冠亚军比赛场次=N-1，淘汰赛需决出前四名比赛场次=N，单循环赛比赛场次=_N^2，双循环赛比赛场次=A_N^2重点公式9、植树问题两端植树：距离/间隔+1 = 棵数一端植树环形植树：距离/间隔= 棵数俩端均不植树：距离/间隔-1=棵数双边植树：距离/间隔-1*2=棵数重点公式10、方阵问题最为层每边人数为N方阵总人数=N^2最外层总人数=N-1×4相邻两层总人数差=8行数和列数>3去掉一行一列则少2N-1人空心方阵总人数=最外层每边人数-层数×层数×4重点公式11、几何问题N边形内角和=N-2×180°球体体积=4/3 πr^3圆柱体积=πr^2 h圆柱体积=1/3 πr^2 h重点公式12、牛吃草问题牛头数-每天长草量×天数=最初总草量重点公式13、日期问题一年加1，闰年加2，小月30天加2，大月31天加3，28年一周期 4年1闰，100年不闰，400年再闰重点公式14、页码问题如：一本书的页码一共用了270个数字，求这本书的页数。

四年级数学上册弃九法讲解

四年级数学上册弃九法讲解从第4讲知道，如果一个数的各个数位上的数字之和能被9整除，那么这个数能被9整除；如果一个数各个数位上的数字之和被9除余数是几，那么这个数被9除的余数也一定是几。

利用这个性质可以迅速地判断一个数能否被9整除或者求出被9除的余数是几。

例如，3645732这个数，各个数位上的数字之和为3＋6＋4＋5＋7＋3＋2＝30，30被9除余3，所以3645732这个数不能被9整除，且被9除后余数为3。

但是，当一个数的数位较多时，这种计算麻烦且易错。

有没有更简便的方法呢？因为我们只是判断这个式子被9除的余数，所以凡是若干个数的和是9时，就把这些数划掉，如3＋6＝9，4＋5＝9，7＋2＝9，把这些数划掉后，最多只剩下一个3（如下图），所以这个数除以9的余数是3。

这种将和为9或9的倍数的数字划掉，用剩下的数字和求除以9的余数的方法，叫做弃九法。

一个数被9除的余数叫做这个数的九余数。

利用弃九法可以计算一个数的九余数，还可以检验四则运算的正确性。

例1 求多位数7645821369815436715除以9的余数。

分析与解：利用弃九法，将和为9的数依次划掉。

只剩下7，6，1，5四个数，这时口算一下即可。

口算知，7，6，5的和是9的倍数，又可划掉，只剩下1。

所以这个多位数除以9余1。

例2 将自然数1，2，3，…依次无间隔地写下去组成一个数1234567891011213…如果一直写到自然数100，那么所得的数除以9的余数是多少？分析与解：因为这个数太大，全部写出来很麻烦，在使用弃九法时不能逐个划掉和为9或9的倍数的数，所以要配合适当的分析。

我们已经熟知1＋2＋3＋…＋9＝45，而45是9的倍数，所以每一组1，2，3，…，9都可以划掉。

在1～99这九十九个数中，个位数有十组1，2，3，…，9，都可划掉；十位数也有十组1，2，3，…，9，也都划掉。

这样在这个大数中，除了0以外，只剩下最后的100中的数字1。

四年级弃九法讲解

四年级弃九法讲解从第4四年级弃九法讲解9整除，那么这个数能被9整除；如果一个数各个数位上的数字之和被9除余数是几，那么这个数被9除的余数也一定是几。

利用这个性质可以迅速地判断一个数能否被9整除或者求出被9除的余数是几。

例如，3645732这个数，各个数位上的数字之和为3＋6＋4＋5＋7＋3＋2＝30，30被9除余3，所以3645732这个数不能被9整除，且被9除后余数为3。

但是，当一个数的数位较多时，这种计算麻烦且易错。

有没有更简便的方法呢？因为我们只是判断这个式子被9除的余数，所以凡是若干个数的和是9时，就把这些数划掉，如3＋6＝9，4＋5＝9，7＋2＝9，把这些数划掉后，最多只剩下一个3（如下图），所以这个数除以9的余数是3。

这种将和为9或9的倍数的数字划掉，用剩下的数字和求除以9的余数的方法，叫做弃九法。

一个数被9除的余数叫做这个数的九余数。

利用弃九法可以计算一个数的九余数，还可以检验四则运算的正确性。

例1 求多位数7645821369815436715除以9的余数。

分析与解：利用弃九法，将和为9的数依次划掉。

只剩下7，6，1，5四个数，这时口算一下即可。

口算知，7，6，5的和是9的倍数，又可划掉，只剩下1。

所以这个多位数除以9余1。

例2 将自然数1，2，3，…依次无间隔地写下去组成一个数1234567891011213…如果一直写到自然数100，那么所得的数除以9的余数是多少？分析与解：因为这个数太大，全部写出来很麻烦，在使用弃九法时不能逐个划掉和为9或9的倍数的数，所以要配合适当的分析。

我们已经熟知1＋2＋3＋…＋9＝45，而45是9的倍数，所以每一组1，2，3，…，9都可以划掉。

在1～99这九十九个数中，个位数有十组1，2，3，…，9，都可划掉；十位数也有十组1，2，3，…，9，也都划掉。

这样在这个大数中，除了0以外，只剩下最后的100中的数字1。

所以这个数除以9余1。

在上面的解法中，并没有计算出这个数各个数位上的数字和，而是利用弃九法分析求解。

小学思维数学讲义：余数性质(二)-带详解

余数性质（二）1. 学习余数的三大定理及综合运用2. 理解弃9法，并运用其解题一、三大余数定理：1.余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22.余数的加法定理a 与b 的差除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。

例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝43.余数的乘法定理a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a 与b 除以m 的余数相同，那么n a 与n b 除以m 的余数也相同．二、弃九法原理在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234189818922678967178902889923++++=1234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。

第六讲神奇的9

2013-2014 学年·秋季五年级知识点总结的形式：
品升 2 ï ï þ 1 而思}余？ 2 3、、、、 4 6 7 8、 9 备选数：、品格ü ï ï ï 兴趣ï ý余？ ï ï +2 升 3 ï ï þ 2 而思}余？ 1、 3、、、、 4 6 7 8、 9 备选数：
3 25 45
225 15 1
5 9 75
【第三单元 4】有写有 1~9 的九张牌，A 和 B 各抽 3 张，A 看了自己的三张牌后，对 B 说：你的三个数之和不可能是 15. 请问 A 是如何知道的？他抽到的可能是哪三张牌？【答案】（4,5,6）或（2,5,8）【分析】从 1～9 的三阶幻方辅助分析：
【第一单元 2】将 1～2013 写成一排：1234……20122013，求这个数除以 9 的余数. 【答案】3 【分析】这个多位数与 1 + 2 + 3 + + 2013 对 9 同余（数码相同）； 1 + 2 + 3 + + 2013 = 2013´1007 6 ´ 8 = 48 º 3(mod 9) 【点评】此题孩子容易把数拆成 1 + 2 + 3 + 4 + + 9 + 1 + 0 + 1 + 1 + 1 + 2 + + 2 + 0 + 1 + 3 ，确实是拆成了各个数位数字和，但此式根本无法计算. 并不是全拆开一定最好，而是拆到容易计算最好. 反正无论怎么拆，数字从未变过，故除以 9 的余数不会变. 【第一单元 4】已知 2 的 29 次方由 9 个不同数字组成，那么缺少哪个数字？【答案】4 【分析】乘方数太大，不要死算，找余数的周期规律. 由于 26 = 64 º 1(mod 9) ，则 229 º 25 º 5(mod 9) ；而 0 + 1 + 2 + 3 + + 9 = 45 是 9 的倍数；因此缺的数字是 9 - 5 = 4 . 学而思培优北京分校·小学理科教研组出品 2

弃九数法

弃九数法一个数除以9的余数叫弃九数。

如84÷9=9……3，84的弃九数是3。

我们可以把一个数，每位数字加起来，继续加，直到结果是一位数（如果是9再减9是0），如8+4=12。

1+2=3。

在考试中，对计算（尤其是整数、小数）四则运算的结果，如果去检验，总是感觉时间成本太大，现在向同学们隆重推荐“弃9法快速验题”，可以大幅度节约时间。

利用被9除所得余数的性质，对四则运算的结果进行检验的一种方法，叫“弃9验算法”。

用此方法验算，首先要找出一个数的“弃9数”，即把一个数的各个数位上的数字相加，如果和大于9或等于9都要减去9，直至剩下的一个小于9的数，我们把这个数称为原数的“弃9数”。

在应用中，可以把数值为9的数字或相加得9的几个数字直接划去，然后将剩下来的数字相加得到一个小于9的数，这个数就是原数的弃9数。

乘法弃9验算看“被乘数的弃9数×乘数的弃9数”所得的积是否等于“原来积的弃9数”，如果相等，此题为对（大至如此），否则为错。

如200×75=15000 被乘数的弃9数：2+0+0=12，弃9为2.乘数的弃9数：7+5=12，弃9得3. 两个弃9数相乘：2×3=6。

等号左边为6. 等号右边的原积的弃9数：1+5+0+0+0=6，弃9数为6.则等号右边也为6，该题为对。

除法弃9验算看“商的弃9数×除数的弃9数”所得的积是否等于“被除数的弃9数”，如果相等，此题为对（大至如此），否则为错。

如238/4=59.5 除数是4弃9是4;商5+9+5=19弃9的1;被除数2+3+8=13弃9的4;4*1=4对.加法弃9验算看“两个加数的弃9数”的和是否等于“和的弃9数”，如果相等，此题为对（大至如此），否则为错。

如12231+58799=71030;加数1+2+2+3+1=0弃9得0;加数5+8+7+9+9=38弃9得2;和7+1+0+3+0=11弃9得2;0+2=2对减法弃9验算看“差的弃9数＋减数的弃9数”所得的和是否等于“被减数的弃9数”，如果相等，此题为对（大至如此），否则为错。

弃九验算法

弃九验算法什么是弃九数一个数除以9的余数叫弃九数。

如84÷9=9……3，84的弃九数是3。

我们可以把一个数，每位数字加起来，继续加，直到结果是一位数（如果是9再减9是0），如8+4=12。

1+2=3。

在考试中，对计算（尤其是整数、小数）四则运算的结果，如果去检验，总是感觉时间成本太大，现在向同学们隆重推荐“弃9法快速验题”，可以大幅度节约时间。

利用被9除所得余数的性质，对四则运算的结果进行检验的一种方法，叫“弃9验算法”。

用此方法验算，首先要找出一个数的“弃9数”，即把一个数的各个数位上的数字相加，如果和大于9或等于9都要减去9，直至剩下的一个小于9的数，我们把这个数称为原数的“弃9数”。

在应用中，可以把数值为9的数字或相加得9的几个数字直接划去，然后将剩下来的数字相加得到一个小于9的数，这个数就是原数的弃9数。

乘法弃9验算看“被乘数的弃9数×乘数的弃9数”所得的积是否等于“原来积的弃9数”，如果相等，此题为对（大至如此），否则为错。

如200×75=15000 被乘数的弃9数：2+0+0=2，弃9为2。

乘数的弃9数：7+5=12，弃9得3。

两个弃9数相乘：2×3=6。

等号左边为6.。

等号右边的原积的弃9数：1+5+0+0+0=6，弃9数为6.则等号右边也为6，该题为对。

除法弃9验算看“商的弃9数×除数的弃9数”所得的积是否等于“被除数的弃9数”，如果相等，此题为对（大致如此），否则为错。

如238/4=59.5 除数是4弃9是4;商5+9+5=19弃9的1;被除数2+3+8=13弃9的4;4*1=4对.加法弃9验算看“两个加数的弃9数”的和是否等于“和的弃9数”，如果相等，此题为对（大至如此），否则为错。

如：12231+58799=71030；加数1+2+2+3+1=9，弃9得0；加数5+8+7+9+9=38，弃9得2；和7+1+0+3+0=11，弃9得2；0+2=2对。

弃九法讲解从第4弃九法讲解9整除，那么这个数能被9弃九法讲解9除余数是几，那么这个数被9除的余数也一定是几。

利用这个性质可以迅速地判断一个数能否被9整除或者求出被9除的余数是几。

例如，3645732这个数，各个数位上的数字之和为3＋6＋4＋5＋7＋3＋2＝30，30被9除余3，所以3645732这个数不能被9整除，且被9除后余数为3。

但是，当一个数的数位较多时，这种计算麻烦且易错。

有没有更简便的方法呢？因为我们只是判断这个式子被9除的余数，所以凡是若干个数的和是9时，就把这些数划掉，如3＋6＝9，4＋5＝9，7＋2＝9，把这些数划掉后，最多只剩下一个3（如下图），所以这个数除以9的余数是3。

这种将和为9或9的倍数的数字划掉，用剩下的数字和求除以9的余数的方法，叫做弃九法。

一个数被9除的余数叫做这个数的九余数。

利用弃九法可以计算一个数的九余数，还可以检验四则运算的正确性。

例1 求多位数7645821369815436715除以9的余数。

分析与解：利用弃九法，将和为9的数依次划掉。

只剩下7，6，1，5四个数，这时口算一下即可。

口算知，7，6，5的和是9的倍数，又可划掉，只剩下1。

所以这个多位数除以9余1。

例2 将自然数1，2，3，…依次无间隔地写下去组成一个数1234567891011213…如果一直写到自然数100，那么所得的数除以9的余数是多少？分析与解：因为这个数太大，全部写出来很麻烦，在使用弃九法时不能逐个划掉和为9或9的倍数的数，所以要配合适当的分析。

我们已经熟知1＋2＋3＋…＋9＝45，而45是9的倍数，所以每一组1，2，3，…，9都可以划掉。

在1～99这九十九个数中，个位数有十组1，2，3，…，9，都可划掉；十位数也有十组1，2，3，…，9，也都划掉。

这样在这个大数中，除了0以外，只剩下最后的100中的数字1。

所以这个数除以9余1。

在上面的解法中，并没有计算出这个数各个数位上的数字和，而是利用弃九法分析求解。

弃九法验算乘法原理

弃九法验算乘法原理弃九法的原理是通过将乘法计算过程中的九位法下的数位舍弃掉，而保留十位数位进行计算。

这样做的目的是减少计算过程中的操作步骤，提高计算速度，同时还能够减少错误发生的概率。

弃九法的核心思想是利用九的零配列法则。

这个法则指出，一个数和九的乘积的个位数之和再减去这个数的个位数，所得的差就是这个数舍弃个位所得的数。

例如，我们来计算12×9，首先，我们将12的个位数2舍弃掉，然后计算1+2-2=1、所以，12×9=108弃九法也适用于更复杂的乘法运算。

例如计算27×8，首先，我们将27的个位数7舍弃掉，然后计算2+7-7=2、所以，27×8=216弃九法还可以用于计算带有进位的乘法。

例如计算45×9，首先，我们将45的个位数5舍弃掉，然后计算4+5-5=4，所以得到的个位数为4、接下来，我们将45的十位数4与45×9的个位数4相加，所得的和为8、所以，45×9=405弃九法也适用于更大的数字。

例如计算125×9，首先我们将125的个位数5舍弃掉，然后计算12+5-5=12、所以得到的个位数为2、接下来，我们将125的十位数2与125×9的个位数2相加，所得的和为4、最后，我们将125的百位数1与125×9的十位数4相加，所得的和为5、所以，125×9=1125弃九法不仅适用于乘法，也适用于除法。

例如计算36÷9，我们可以将36的个位数6舍弃掉，然后计算3+6-6=3、所以，36÷9=4弃九法的应用不仅仅局限于乘法和除法的计算，还可以应用于解决实际生活中的问题。

例如，我们可以使用弃九法来计算商品的折扣价格。

假设一件商品原价为300元，打7折后的价格是多少？首先，我们将300的个位数0舍弃掉，然后计算3+0-0=3、所以，打7折后的价格为210元。

总之，弃九法是一种简单易懂、计算速度快的乘法验算原理。

小学数学中的弃九法原理以及应用

小学数学中的弃九法原理以及应用弃九法原理弃九法是一种在小学数学中常用的计算方法。

它的原理是在计算过程中，将所有含有数字9的计算式都忽略不计，从而简化计算步骤，提高计算效率。

弃九法的应用1. 加减法中的弃九法在加法和减法中，弃九法适用于两个数的计算。

假设有两个数分别为a和b，其中a≥b。

按照弃九法原理，我们先找出a和b中是否存在数字9。

如果存在，我们将其替换为数字0，然后进行计算。

例如，计算36 + 109的结果。

首先我们找出36和109中是否包含数字9，发现109中有数字9。

我们将109替换为100，然后进行相加。

36 + 109 = 36 + 100 = 136同样地，计算89 - 29的结果。

我们发现89中包含数字9，所以将89替换为80。

89 - 29 = 80 - 29 = 512. 乘法中的弃九法在乘法中，弃九法通常适用于一个较大的数与一个个位数的乘法计算。

假设有一个较大的数a和一个个位数b。

按照弃九法原理，我们将a中的数字9都替换为0，然后进行计算。

例如，计算97 × 6的结果。

我们将97中的数字9替换为0。

97 × 6 = 70 × 6 = 420同样地，计算89 × 9的结果。

我们将89中的数字9替换为0。

89 × 9 = 80 × 9 = 7203. 除法中的弃九法在除法中，弃九法通常适用于一个较大的数与一个个位数的除法计算。

假设有一个较大的数a和一个个位数b。

按照弃九法原理，我们将a中的数字9都替换为0，然后进行计算。

例如，计算450 ÷ 9的结果。

因为450中不包含数字9，所以计算结果不受弃九法影响。

450 ÷ 9 = 50再例如，计算810 ÷ 7的结果。

我们将810中的数字9替换为0。

810 ÷ 7 = 800 ÷ 7 = 1144. 注意事项在应用弃九法时，需要注意以下几点：•弃九法适用于小学数学中的简单计算，对于复杂计算不一定适用。

小学五年级奥数—数论之同余问题

数论之同余问题余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。

许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。

知识点拨：一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(1)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商(2)当0一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。

并且可以看出余数一定要比除数小。

二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

小学奥数余数问题[1]

余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。

许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。

一、带余除法的定义及性质一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里：(1)当0r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(2)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。

并且可以看出余数一定要比除数小。

二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2。

2.余数的乘法定理5-6余数问题教学目标知识点拨例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。

弃九法原理以及应用

弃九法原理以及应用弃九法是一种古老的中国传统文化中的数学原理，它源自《九章算术》，是一种在数学运算中常常使用的方法。

弃九法原理的核心思想是将数字中的九去掉，然后进行运算，最后再将九加回去。

这种方法简单易行，而且在实际运算中有着广泛的应用。

下面我们将详细介绍弃九法的原理以及其在实际运用中的一些案例。

首先，我们来了解一下弃九法的原理。

弃九法的原理可以简单地概括为，将数字中的九去掉，然后进行运算，最后再将九加回去。

这个原理的核心在于数字中的九是一个特殊的数字，它在运算中有着独特的作用。

通过去掉九进行运算，可以简化计算过程，提高计算效率。

接下来，我们来看一些弃九法在实际运用中的案例。

比如，在进行加法运算时，如果遇到数字中含有九的情况，我们可以先将九去掉，然后进行运算，最后再将九加回去。

这样可以大大简化加法运算的步骤，提高计算效率。

同样，在进行减法、乘法和除法运算时，弃九法也可以起到同样的作用，使得运算过程更加简单高效。

除了在基本的数学运算中，弃九法还可以在一些实际问题中得到应用。

比如，在商业运营中，我们经常会遇到一些数字运算的问题，而弃九法可以帮助我们简化这些运算，提高运营效率。

又比如，在日常生活中，我们需要进行一些简单的数字运算，比如计算购物总额、账单金额等，弃九法也可以帮助我们简化这些运算过程，提高计算效率。

总之，弃九法是一种古老而实用的数学原理，它在数学运算中有着广泛的应用。

通过将数字中的九去掉，然后进行运算，最后再将九加回去，可以简化运算过程，提高计算效率。

在实际运用中，弃九法可以帮助我们简化各种数学运算，提高运算效率，是一种非常实用的数学方法。

希望大家能够认真学习并灵活运用弃九法，提高自己的数学运算能力。

四年级数学弃九法讲解

四年级数学弃九法讲解从第4四年级数学弃九法讲解9整除.那么这个数能被9整除；如果一个数各个数位上的数字之和被9除余数是几.那么这个数被9除的余数也一定是几。

利用这个性质可以迅速地判断一个数能否被9整除或者求出被9除的余数是几。

例如.3645732这个数.各个数位上的数字之和为3＋6＋4＋5＋7＋3＋2＝30.30被9除余3.所以3645732这个数不能被9整除.且被9除后余数为3。

但是.当一个数的数位较多时.这种计算麻烦且易错。

有没有更简便的方法呢？因为我们只是判断这个式子被9除的余数.所以凡是若干个数的和是9时.就把这些数划掉.如3＋6＝9.4＋5＝9.7＋2＝9.把这些数划掉后.最多只剩下一个3（如下图）.所以这个数除以9的余数是3。

这种将和为9或9的倍数的数字划掉.用剩下的数字和求除以9的余数的方法.叫做弃九法。

一个数被9除的余数叫做这个数的九余数。

利用弃九法可以计算一个数的九余数.还可以检验四则运算的正确性。

例1 求多位数7645821369815436715除以9的余数。

分析与解：利用弃九法.将和为9的数依次划掉。

只剩下7.6.1.5四个数.这时口算一下即可。

口算知.7.6.5的和是9的倍数.又可划掉.只剩下1。

所以这个多位数除以9余1。

例2 将自然数1.2.3.…依次无间隔地写下去组成一个数1234567891011213…如果一直写到自然数100.那么所得的数除以9的余数是多少？分析与解：因为这个数太大.全部写出来很麻烦.在使用弃九法时不能逐个划掉和为9或9的倍数的数.所以要配合适当的分析。

我们已经熟知1＋2＋3＋…＋9＝45.而45是9的倍数.所以每一组1.2.3.….9都可以划掉。

在1～99这九十九个数中.个位数有十组1.2.3.….9.都可划掉；十位数也有十组1.2.3.….9.也都划掉。

这样在这个大数中.除了0以外.只剩下最后的100中的数字1。

所以这个数除以9余1。

在上面的解法中.并没有计算出这个数各个数位上的数字和.而是利用弃九法分析求解。

一目三行弃九法

教学案课题一目三行弃九法课型新授教学目的和要求知识目标使学生掌握计算要领，灵活运用简捷的方法算题。

能力目标通过本课的学习锻炼学生的心算能力，化繁为简，减少拨珠次数德育目标培养学生严谨的学习态度，为民理财，精益求精教学重点正确掌握一目三行弃九法的计算要领。

教学难点怎样正确应用计算要领算竖式连续加法题。

教学关键确定哪位是前位教学方法引导型教学方法观察法、分析法、巩固练习实践法教具多媒体教学过程教程教材简析教师活动学生活动随记组织教学传授新知识导入新课教师提出要点激发学生的求知欲调动学生的学习积极性为新课做铺垫课件演示导出本课内容讲授新课1、集体练习：百子练习（60秒）定数练习（20秒）2、一目三行直加法练习题（学生板前演示）1、什么叫弃九法？2、计算要领：前位加1、逐位弃9、末位弃10、少借多进。

一本课重点例（1）：例（2）：教程教材简析教师活动学生活动随记例（3）：请同学到板前做题，并讲解。

其他同学在下面做。

（课件显示）传授新知识讲授新课巩固小结本节课把问题作为出发点激发学生的求知欲使学生的学习由被动变为主动培养学生的观察力及归纳总结能力引起兴趣解决问题通过学生总结教师归纳课堂练习或检测加减算练习题P1-2加法题（课件显示）要求：1、必须用一目三行弃九法计算 2、必须写清记位点 3、数学书写要清晰 4、记时十分钟练习矫正补缺布置作业 P1-2 板书设计§2.4一目三行弃九法一、弃九法定义利用“补数”原理，按照整加零减的规律，先加一个整数，中间各位减九，最后一位减十，使整加零减正好抵销二、计算要领前位加一，逐位弃九，末位弃十，少借多进三、例题例（1）：例（2）：例（3）：课后小记通过本节课学习估计学生能够达到：1、100%的学生掌握一目三行弃九法的计算要领。

2、90%的学生能够正确应用计算要领算竖式连续加法题。

3、10%的学生还需个别辅导，巩固练习提高。

弃九法验算乘法原理(二)

弃九法验算乘法原理(二)弃九法验算乘法原理的解析什么是弃九法验算乘法原理？弃九法验算乘法原理是一种计算乘法结果的简化方法。

它可以用于验证乘法结果的准确性，尤其在手算过程中非常有用。

弃九法的特点是以九为基数进行计算，消除进位和提醒进位数的出现。

弃九法的步骤使用弃九法验算乘法时，可以遵循以下步骤：1.将两个乘数和乘积按照竖式排列，乘数的个位数放在下面。

2.从右往左逐位相乘，将每一位的乘积写在对应位置上。

3.找到乘积中所有的数字9，将其替换为0。

4.如果在乘积中存在两个以上的数字9，将每一位数字9都替换为0，并在乘积的左边写下一个数字1。

5.将乘积中所有的数字相加，得到最后的结果。

为什么弃九法能够验证乘法结果？弃九法可以验证乘法结果的原理是基于乘法的位积和进位制的运算规则。

在进行乘法计算时，进位会产生变化，而进位的变化可以通过弃九法来进行检验。

由于九是一个十进制数中的最大位数，当乘法计算中存在进位时，该进位数必然是大于等于1的。

而弃九法中将所有9都替换为0，即将所有进位数消除，只保留位积，相当于将乘法中的进位去除。

如果使用弃九法计算得到的乘积与实际计算结果一致，那么说明乘法计算中没有出现进位，进一步验证了乘法结果的准确性。

弃九法的示例以下是一个使用弃九法验算乘法的示例：26× 23-----156（弃九法结果）+520（进位数）-----598（实际计算结果）根据示例，我们可以看到，通过弃九法得到的结果156与实际计算结果598是一致的，说明乘法计算的结果是正确的。

结论弃九法验算乘法原理是一种简化乘法计算并验证结果准确性的方法。

通过消除乘法中的进位数，并计算位积的和，可以验证乘法结果的准确性。

弃九法的应用可以在手算过程中提高计算的准确性和效率。

所以，了解并掌握弃九法验算乘法原理对于进行乘法计算的人们来说非常重要。

弃九法知识点总结

弃九法知识点总结一、弃九法的起源弃九法起源于中国古代的书法艺术，它具有悠久的历史和深厚的文化底蕴。

弃九法的名字是在明代以后才有的，实际上它的起源要追溯到更早的时期。

弃九法最早见于晋代书法家王羲之的《兰亭序》，王羲之在书中提到："夫九法者，撇捺提摆办独削穿也。

"二、弃九法的特点弃九法的书写特点主要体现在笔势、结构、章法和笔法上。

在笔势上，弃九法追求意境沉静、笔意潇洒，富有神韵；在结构上，弃九法强调整体、严谨，追求稳重和端庄；在章法上，弃九法强调书写章法上的舒缓和韵律；在笔法上，弃九法追求巧妙和精湛的技巧。

三、弃九法的技法弃九法的基本技法即**弃寸撇提摆捺办独**，其实质是临摹古人名帖，考究其法则，潜移默化中融汇与本人风神，创造出具有自己特色的书法艺术作品。

四、弃九法的流派弃九法在明清时期有所兴盛，成为了独树一帜的书法流派。

其中，以明代书法家徐渭、李时中、王世贞和清代书法家石涛、蒋冕和袁枚等为代表，对弃九法的流派起到了重要的推动作用。

五、弃九法的名家在中国古代的书法史上，有很多著名的弃九法书法家，其中以王羲之、钟繇、颜真卿、文徵明等为代表，他们的作品多以弃九法为主，具有极高的艺术价值和历史价值。

六、弃九法的发展弃九法的发展是一个不断创新和传承的过程。

在不同的历史时期，弃九法都经历了不同的发展阶段，形成了不同的风格和特色，但它一直都保持着自己独特的魅力，对中国书法艺术产生了深远的影响。

七、结语中国书法艺术源远流长，弃九法作为其中的一种流派，无论是在技法、艺术价值还是历史价值上都具有重要的地位。

通过对弃九法的起源、特点、技法、流派、名家和发展等方面的介绍，可以更好地理解和欣赏这一独特的书法艺术流派，也可以更好地传承和发展中国传统书法艺术。

弃九法

弃九法
弃九法
“弃九法”也叫做弃九验算法，利用这种方法可以验算加、减计算的结果是否错误。

把一个数的各位数字相加，直到和是一个一位数（和是9，要减去9得0），这个数就叫做原来数的弃九数．
例如，3217：3+2+1+7=13（去掉1个9）1+3=4 （我们就称最后的4之为弃九数）．
1．验算加法
851+346=1198．
先分别求出两个加数的弃九数与和的弃九数．851的弃九数是5，346的弃九数是4，1198的弃九数是1．两个加数的弃九数相加得4+5=9，弃掉9后是0，而题目中和的弃九数是1，可以说这道题一定错误。

如果相等，则只能说明原来可能正确（正确概率约为8/9）验算时，可采用下面的简便做法：
851+346=1198
因为
5 + 4 ≠ 1
0 ≠ 1（等号两边的弃九数不相同，所以原结果一定不正确）
或
（上、下的弃九数相同，所以原结果一定不正确）
2．验算减法
1345－732=613．
因为
（等号两边的弃九数相同，所以原结果很可能正确）
或
（上下的弃九数相同，所以原结果很可能正确）
又如：3413－2546=867
2 － 8 = 3
不够减，被减数上加9再减
（2+9）－8=3（等号两边的弃九数相同，所以原结果很可能正确）
3.也可以验算乘法。

小学奥数同余问题

数论之同余问题余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。

许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。

知识点拨：一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(1)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商(2)当0一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。

并且可以看出余数一定要比除数小。

二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

弃九法讲解

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四年级数学上册弃九法讲解

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弃九数法

弃九验算法