【教育资料】【四川专用(理)】【步步高】届高三数学大一轮复习讲义【配套word版文档】4.7学习专用
【四川专用(理)】【步步高】2014届高三数学大一轮复习讲义【配套课件】中档题目强化练——三角函数第四章
2x＝
43＋12sin2x＋3π，
∴当 sin2x＋3π＝1 时，ymax＝2＋4
3 .
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6．函数 y＝tan2x＋π6的对称中心为__________________．
解析
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6．函数 y＝tan2x＋π6的对称中心为_－__1_π2_＋__k_4π_，__0__(k_∈__Z__) ．
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3．对于函数 f(x)＝2sin xcos x，下列选项中正确的是
()
A．f(x)在π4，π2上是递增的
B．f(x)的图象关于原点对称
C．f(x)的最小正周期为 2π
D．f(x)的最大值为 2
解析
A组 专项基础训练
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3．对于函数 f(x)＝2sin xcos x，下列选项中正确的是
数学 川（理）
中档题目强化练——三角函数
第四章 三角函数、解三角形
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A组 专项基础训练
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1．已知角 A 是△ABC 的一个内角，若 sin A＋cos A＝173，则 tan A
等于
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§4.3 三角函数的图象与性质2019高考会这样考 1.考查三角函数的图象：五点法作简图、图象变换、图象的解析式；2.考查三角函数的性质：值域或最值，单调区间、对称性等；3.考查数形结合思想． 复习备考要这样做 1.会作三角函数的图象，通过图象研究三角函数性质；2.对三角函数进行恒等变形，然后讨论图象、性质；3.注重函数与方程、转化、数形结合等数学思想方法的应用．1． “五点法”作图原理在确定正弦函数y ＝sin x 在[0,2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是(0,0)、⎝⎛⎭⎫π2，1、(π，0)、⎝⎛⎭⎫32π，－1、(2π，0)．余弦函数呢？ 2． 三角函数的图象和性质[难点正本 疑点清源] 1． 函数的周期性若f (ωx ＋φ＋T )＝f (ωx ＋φ) (ω>0)，常数T 不能说是函数f (ωx ＋φ)的周期．因为f (ωx ＋φ＋T )＝f ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x ＋T ω＋φ，即自变量由x 增加到x ＋T ω，T ω是函数的周期． 2． 求三角函数值域(最值)的方法(1)利用sin x 、cos x 的有界性；(2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数的单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题． 1． 设点P 是函数f (x )＝sin ωx (ω≠0)的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴的距离的最小值是π4，则f (x )的最小正周期是________．答案 π解析 由正弦函数的图象知对称中心与对称轴的距离的最小值为最小正周期的14，故f (x )的最小正周期为T ＝4×π4＝π.2． 函数y ＝2－3cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为______，此时x ＝______________. 答案 5 34π＋2k π，k ∈Z解析 当cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－1时，函数y ＝2－3cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4取得最大值5，此时x ＋π4＝π＋2k π (k ∈Z )，从而x ＝34π＋2k π，k ∈Z .3． (2019·福建)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2答案 C解析 方法一 ∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点， 故令x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π＋3π4，k ∈Z .取k ＝－1，则x ＝－π4.方法二 用验证法．x ＝π4时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－π4＝0，不合题意，排除A ； x ＝π2时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－π4＝22，不合题意，排除B ； x ＝－π4时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4－π4＝－1，符合题意，C 项正确； x ＝－π2时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π2－π4＝－22，不合题意，故D 项也不正确． 4．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－x 的定义域为( )A ．{x |x ≠k π－π4，k ∈Z }B ．{x |x ≠2k π－π4，k ∈Z }C ．{x |x ≠k π＋π4，k ∈Z }D ．{x |x ≠2k π＋π4，k ∈Z }答案 A解析 令π4－x ≠k π＋π2，k ∈Z ，∴x ≠k π－π4，k ∈Z .5． 给出下列四个命题，其中不正确的命题为( )①若cos α＝cos β，则α－β＝2k π，k ∈Z ； ②函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象关于x ＝π12对称； ③函数y ＝cos(sin x )(x ∈R )为偶函数； ④函数y ＝sin|x |是周期函数，且周期为2π. A ．①②B ．①④C ．①②③D ．①②④答案 D解析 命题①：若α＝－β，则cos α＝cos β，假命题；命题②：x ＝π12，cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝cos π2＝0，故x ＝π12不是y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的对称轴；命题④：函数y ＝sin|x |不是周期函数． 题型一 三角函数的定义域、值域问题例1 (1)求函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域；(2)求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值与最小值． 思维启迪：求函数的定义域可利用三角函数的图象或数轴；求函数值域时要利用正弦函数的值域或化为二次函数．解 (1)由⎩⎨⎧sin 2x >09－x 2≥0， 得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<2x <2k π＋π，k ∈Z ，－3≤x ≤3. ∴－3≤x <－π2或0<x <π2.∴函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域为{x |－3≤x <－π2或0<x <π2}．(2)令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎡⎦⎤－22，22.∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54， ∴当t ＝12时，y max ＝54，t ＝－22时，y min ＝1－22.∴函数y ＝cos 2x ＋sin x (|x |≤π4)的最大值为54，最小值为1－22.探究提高 (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)； ②形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(1)求函数y ＝sin x －cos x 的定义域；(2)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π2上的最大值与最小值．解 (1)要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标 系中画出[0,2π]内y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为{x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z }． (2)由题意得：f (x )＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋(sin x －cos x )·(sin x ＋cos x )＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 又x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，π2，∴2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π3，5π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，1. 故当x ＝π3时，f (x )取最大值1；当x ＝－π12时，f (x )取最小值－32.题型二 三角函数的单调性与周期性 例2 写出下列函数的单调区间及周期：(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3；(2)y ＝|tan x |. 思维启迪：(1)化为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，再求单调区间及周期．(2)由y ＝tan x 的图象→y ＝|tan x |的图象→求单调性及周期． 解 (1)y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 它的增区间是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的减区间， 它的减区间是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的增区间． 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12，k ∈Z .故所给函数的减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ； 增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z . 最小正周期T ＝2π2＝π.(2)观察图象可知，y ＝|tan x |的增区间是⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，减区间是⎝⎛⎦⎤k π－π2，k π，k ∈Z . 最小正周期T ＝π.探究提高 (1)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ) (其中A ≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答．列不等式的原则：①把“ωx ＋φ (ω>0)”视为一个“整体”；②A >0 (A <0)时，所列不等式的方向与y ＝sin x (x ∈R )，y ＝cos x (x ∈R )的单调区间对应的不等式方向相同(反)．(2)对于y ＝A tan(ωx ＋φ) (A 、ω、φ为常数)，其周期T ＝π|ω|，单调区间利用ωx ＋φ∈⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2，解出x 的取值范围，即为其单调区间．对于复合函数y ＝f (v )，v ＝φ(x )，其单调性的判定方法：若y ＝f (v )和v ＝φ(x )同为增(减)函数时，y ＝f (φ(x ))为增函数；若y ＝f (v )和v ＝φ(x )一增一减时，y ＝f (φ(x ))为减函数．(3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＋cos ⎝⎛⎭⎫4x －π6的周期、单调区间及最大、最小值． 解 ∵⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＋⎝⎛⎭⎫π6－4x ＝π2， ∴cos ⎝⎛⎭⎫4x －π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－4x ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋4x . ∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3，周期T ＝2π4＝π2. 当－π2＋2k π≤4x ＋π3≤π2＋2k π (k ∈Z )时，函数单调递增，∴函数的递增区间为⎣⎡⎦⎤－5π24＋k π2，π24＋k π2 (k ∈Z )． 当π2＋2k π≤4x ＋π3≤3π2＋2k π (k ∈Z )时，函数单调递减， ∴函数的递减区间为⎣⎡⎦⎤π24＋k π2，7π24＋k π2(k ∈Z )．当x ＝π24＋k π2 (k ∈Z )时，y max ＝2；当x ＝－5π24＋k π2(k ∈Z )时，y min ＝－2.题型三 三角函数的对称性与奇偶性例3 (1)已知f (x )＝sin x ＋3cos x (x ∈R )，函数y ＝f (x ＋φ) ⎝⎛⎭⎫|φ|≤π2的图象关于直线x ＝0对称，则φ的值为________．(2)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π6B.π4C.π3D.π2答案 (1)π6(2)A解析 (1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， y ＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋φ图象关于x ＝0对称， 即f (x ＋φ)为偶函数．∴π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，φ＝k π＋π6，k ∈Z ， 又∵|φ|≤π2，∴φ＝π6.(2)由题意得3cos ⎝⎛⎭⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＋2π ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π－π6，k ∈Z ， 取k ＝0，得|φ|的最小值为π6.故选A.探究提高 若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大值或最小值． 若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0. 如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π (k ∈Z )，求x .如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π (k ∈Z )即可．(1)定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，则函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 3sin x 1 cos x 的图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝5π6B ．x ＝2π3C ．x ＝π3D ．x ＝π6(2)若函数f (x )＝a sin ωx ＋b cos ωx (0<ω<5，ab ≠0)的图象的一条对称轴方程是x ＝π4ω，函数f ′(x )的图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π8，0，则f (x )的最小正周期是________． 答案 (1)A (2)π 解析 (1)f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 3sin x 1 cos x ＝3cos x －3sin x＝23cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 所以当x ＝5π6时，f (x )＝23cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋π6＝－2 3. (2)由题设，有f ⎝⎛⎭⎫π4ω＝±a 2＋b 2， 即22(a ＋b )＝±a 2＋b 2，由此得到a ＝b . 又f ′⎝⎛⎭⎫π8＝0，∴aω⎝⎛⎭⎫cos ωπ8－sin ωπ8＝0， 从而tanωπ8＝1，ωπ8＝k π＋π4，k ∈Z ， 即ω＝8k ＋2，k ∈Z ，而0<ω<5，∴ω＝2， 于是f (x )＝a (sin 2x ＋cos 2x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 故f (x )的最小正周期是π.方程思想在三角函数中的应用典例：(12分)已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎡⎦⎤0，π2，函数的最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．审题视角 (1)求出2x －π3的范围，求出sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的值域．(2)系数a 的正、负影响着f (x )的值，因而要分a >0，a <0两种情况讨论．(3)根据a >0或a <0求f (x )的最值，列方程组求解． 规范解答解 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤23π，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1，[3分]若a >0，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝1－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝12－63b ＝－23＋123；[7分]若a <0，则⎩⎨⎧2a ＋b ＝－5－3a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－12＋63b ＝19－123.[11分]综上可知，a ＝12－63，b ＝－23＋123或a ＝－12＋63， b ＝19－12 3.[12分]温馨提醒 (1)对此类问题的解决，首先利用正弦函数、余弦函数的有界性或单调性求出y ＝Aa sin(ωx ＋φ)或y ＝Aa cos(ωx ＋φ)的最值，但要注意对a 的正负进行讨论，以便确定是最大值还是最小值．(2)再由已知列方程求解．(3)本题的易错点是忽视对参数a >0或a <0的分类讨论，导致漏解. 方法与技巧1．利用函数的有界性(－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1)，求三角函数的值域(最值)． 2．利用函数的单调性求函数的值域或最值．3．利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x 系数的正负号)． 失误与防范1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω>0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x 所在的区间．应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内考虑．注意区分下列两题的单调增区间的不同： (1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4；(2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x . 3．利用换元法求三角函数最值时注意三角函数的有界性，如：y ＝sin 2x －4sin x ＋5，令t ＝sin x (|t |≤1)，则y ＝(t －2)2＋1≥1，解法错误．A 组 专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分) 1． 函数y ＝cos x －12的定义域为( )A.⎣⎡⎦⎤－π3，π3 B.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π3，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π3，k ∈Z D ．R 答案 C解析 由题意得cos x ≥12，即2k π－π3≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z ，故函数定义域为⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π3，k ∈Z . 2． y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一个对称中心是( )A ．(－π，0) B.⎝⎛⎭⎫－3π4，0 C.⎝⎛⎭⎫3π2，0D.⎝⎛⎭⎫π2，0答案 B解析 ∵y ＝sin x 的对称中心为(k π，0) (k ∈Z )， ∴令x －π4＝k π (k ∈Z )，x ＝k π＋π4(k ∈Z )，由k ＝－1，x ＝－3π4得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫－3π4，0. 3． (2019·山东)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω等于( )A.23B.32C ．2D ．3答案 B解析 ∵f (x )＝sin ωx (ω>0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数． 由f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增， 在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32. 4． 函数f (x )＝cos 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋x 是( )A ．非奇非偶函数B ．仅有最小值的奇函数C ．仅有最大值的偶函数D ．有最大值又有最小值的偶函数 答案 D解析 f (x )＝cos 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋x ＝2cos 2x －1＋cos x ＝2⎝⎛⎭⎫cos x ＋142－98.显然有最大值又有最小值，而且在R 上有f (－x )＝f (x )，所以正确答案为D. 二、填空题(每小题5分，共15分) 5． 函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为____________________．答案 ⎝⎛⎦⎤2k π，π3＋2k π (k ∈Z ) 解析 要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )， ∴2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z ，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .6． 已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈[0，π2]，则f (x )的取值范围是________．答案 [－32，3]解析 由对称轴完全相同知两函数周期相同，∴ω＝2，∴f (x )＝3sin(2x －π6)．由x ∈[0，π2]，得－π6≤2x －π6≤56π，∴－32≤f (x )≤3.7． 函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，那么ω＝________. 答案 43解析 因为f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，所以2sin π4ω＝3，且0<π4ω<π2，因此ω＝43.三、解答题(共22分)8． (10分)设函数f (x )＝sin ()2x ＋φ (－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间． 解 (1)令2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋π4，k ∈Z ，又－π<φ<0，则－54<k <－14，k ∈Z .∴k ＝－1，则φ＝－3π4.(2)由(1)得：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4， 令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，可解得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，因此y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z . 9． (12分)(1)求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 (－π6<x <π6)的值域； (2)求函数y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域．解 (1)∵－π6<x <π6，∴0<2x ＋π3<2π3，∴0<sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1， ∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的值域为(0,2]． (2)y ＝2cos 2x ＋5sin x －4＝2(1－sin 2x )＋5sin x －4 ＝－2sin 2x ＋5sin x －2 ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －542＋98. ∴当sin x ＝1时，y max ＝1，当sin x ＝－1时，y min ＝－9， ∴y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为[－9,1]．B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． (2019·天津)将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是 ( )A.13B ．1C.53D ．2答案 D解析 根据题意平移后函数的解析式为y ＝sin ω⎝⎛⎭⎫x －π4， 将⎝⎛⎭⎫3π4，0代入得sin ωπ2＝0，则ω＝2k ，k ∈Z ，且ω>0， 故ω的最小值为2.2． (2019·上海)若S n ＝sin π7＋sin 2π7＋…＋sin n π7(n ∈N *)，则在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是( )A ．16B ．72C ．86D ．100答案 C解析 易知S 1>0，S 2>0，S 3>0，S 4>0，S 5>0，S 6>0，S 7>0. S 8＝sin π7＋sin 2π7＋…＋sin 7π7＋sin 8π7＝sin2π7＋sin 3π7＋…＋sin 7π7>0， S 9＝sin3π7＋sin 4π7＋…＋sin 7π7>0， S 10＝sin 4π7＋…＋sin 7π7>0， S 11＝sin 5π7＋sin 6π7＋sin 7π7>0， S 12＝sin 6π7＋sin 7π7>0， S 13＝sin 7π7＝0， S 14＝sin7π7＋sin 14π7＝0， ∴S 1，S 2，…，S 100中，S 13＝0，S 14＝0，S 27＝0，S 28＝0，S 41＝0，S 42＝0，S 55＝0，S 56＝0，S 69＝0，S 70＝0，S 83＝0，S 84＝0，S 97＝0，S 98＝0，共14个． ∴在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是100－14＝86(个)．3． 已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23B.32C ．2D ．3答案 B解析 ∵f (x )＝2sin ωx (ω>0)的最小值是－2， ∴x ＝2k πω－π2ω，k ∈Z ，∴－π3≤2k πω－π2ω≤π4，k ∈Z ，∴ω≥－6k ＋32且ω≥8k －2，k ∈Z ，∴ωmin ＝32，故选B.二、填空题(每小题5分，共15分)4． 函数y ＝2sin(3x ＋φ) (|φ|<π2)的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝________.答案 π4解析 由题意得3×π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋π4，k ∈Z ，又|φ|<π2，∴φ＝π4.5． 函数y ＝sin x ＋1sin x(0<x <π)的最小值为________．答案 2解析 令sin x ＝t ∈(0,1]，则函数y ＝1＋1t ，t ∈(0,1]．又y ＝1＋1t 在t ∈(0,1]上是减函数，所以当t ＝1时，y 取得最小值2.6． 已知定义在R 上的函数f (x )满足：当sin x ≤cos x 时，f (x )＝cos x ，当sin x >cos x 时，f (x )＝sin x . 给出以下结论： ①f (x )是周期函数； ②f (x )的最小值为－1；③当且仅当x ＝2k π (k ∈Z )时，f (x )取得最小值； ④当且仅当2k π－π2<x <(2k ＋1)π(k ∈Z )时，f (x )>0；⑤f (x )的图象上相邻两个最低点的距离是2π. 其中正确的结论序号是________．答案 ①④⑤解析 易知函数f (x )是周期为2π的周期函数． 函数f (x )在一个周期内的图象如图所示． 由图象可得，f (x )的最小值为－22，当且仅当x ＝2k π＋5π4(k ∈Z )时，f (x )取得最小值；当且仅当2k π－π2<x <(2k ＋1)π (k ∈Z )时，f (x )>0；f (x )的图象上相邻两个最低点的距离是2π.所以正确的结论的序号是①④⑤. 三、解答题7． (13分)已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间． 解 (1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6－1 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π6，k ∈Z . 又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。
步步高大一轮复习讲义数学答案
步步高大一轮复习讲义数学答案第一章：概率论基础1.1 集合与概率题目：设集合A={1,2,3,4,5}，B={3,4,5,6,7}，求A与B的交集、并集和差集。
答案：•交集：A∩B = {3,4,5}•并集：A∪B = {1,2,3,4,5,6,7}•差集：A-B = {1,2}1.2 条件概率与事件独立题目：某班级有40名男生和30名女生，从中随机抽取一名学生，求抽到男生的概率。
答案： - 总人数：40 + 30 = 70 - 抽到男生的概率：40/70 = 4/72.1 随机变量与离散型随机变量题目：设随机变量X表示投掷一枚骰子出现的点数，求X 的概率分布。
答案：X123456P(X)1/61/61/61/61/61/62.2 连续型随机变量与概率密度函数题目：设随机变量X表示一位学生的身高，其概率密度函数为f(x) = 0.01，0<x<100，求X在区间[50,70]的概率。
答案： - X在区间[50,70]的概率：P(50<=X<=70) =∫(50,70)0.01dx = 0.01*(70-50) = 0.23.1 矩阵与线性方程组题目：解下列线性方程组： - 2x + 3y = 8 - 3x + 2y = 7答案： - 通过消元法可得：x = 1，y = 23.2 行列式与矩阵的逆题目：求下列矩阵的逆矩阵： - A = [1, 2; 3, 4]答案： - A的逆矩阵：A^(-1) = [ -2, 1/2; 3/2, -1/2]第四章：数学分析基础4.1 极限与连续题目：求极限lim(x->0)(sinx/x)的值。
答案： - 极限lim(x->0)(sinx/x) = 14.2 导数与微分题目：求函数y=3x^2的导数。
答案： - y的导数：dy/dx = 6x以上是《步步高大一轮复习讲义》中关于数学部分的答案，希望对你的复习有所帮助。
祝你学习顺利！。
【步步高】高考数学(理)(人教)大一轮复习文档讲义：第十章排列与组合
1．排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列组合合成一组2.排列数与组合数(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A m n表示．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫作从n 个不同元素中取出m个元素的组合数，用C m n表示．3．排列数、组合数的公式及性质公式(1)A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！(n－m)！(2)C m n＝A m nA m m＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！＝n！m！(n－m)！性质(1)0！＝1；A n n＝n！(2)C m n＝C n－mn ；C m n＋1＝C m n＋C m－1n【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(×)(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．(×)(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(√)(4)(n＋1)！－n！＝n·n！.(√)(5)A m n＝n A m－1n－1.(√)(6)k C k n＝n C k－1n－1.(√)1．(2016·四川)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为() A．24 B．48C．60 D．72答案D解析由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1,3,5；分为两步：先从1,3,5三个数中选一个作为个位数有C13种情况，再将剩下的4个数字排列得到A44种情况，则满足条件的五位数有C13·A44＝72(个)．故选D.2．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A．144 B．120 C．72 D．24答案D解析“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A34＝4×3×2＝24.3．(教材改编)用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位数，其中偶数的个数为()A．8 B．24 C．48 D．120答案C解析末位数字排法有A12种，其他位置排法有A34种，共有A12A34＝48(种)．4．某高三毕业班有40人，同学这间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)答案 1 560解析依题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A240＝40×39＝1 560(条)留言．5．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有________种．答案14解析分两类：①有1名女生：C12C34＝8.②有2名女生：C22C24＝6.∴不同的选派方案有8＋6＝14(种).题型一排列问题例1(1)3名男生，4名女生，选其中5人排成一排，则有________种不同的排法．(2)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有________种．答案(1)2 520(2)216解析(1)问题即为从7个元素中选出5个全排列，有A57＝2 520(种)排法．(2)当最左端排甲时，不同的排法共有A55种；当最左端排乙时，甲只能排在中间四个位置之一，则不同的排法共有C14A44种．故不同的排法共有A55＋C14A44＝120＋96＝216(种)．引申探究1．本例(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“排成前后两排，前排3人，后排4人”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？解前排3人，后排4人，相当于排成一排，共有A77＝5 040(种)排法．2．本例(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“全体站成一排，男、女各站在一起”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？解相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列，有A33种排法；女生必须站在一起，是女生的全排列，有A44种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有A22种排法．根据分步乘法计数原理，共有A33·A44·A22＝288(种)排法.3．本例(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“全体站成一排，男生不能站在一起”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？解不相邻问题(插空法)：先安排女生共有A44种排法，男生在4个女生隔成的5个空中安排共有A35种排法，故共有A44·A35＝1 440(种)排法．4．本例(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“全体站成一排，甲不站排头也不站排尾”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？解先安排甲，从除去排头和排尾的5个位置中安排甲，有A15＝5(种)排法；再安排其他人，有A66＝720(种)排法．所以共有A15·A66＝3 600(种)排法．思维升华排列应用问题的分类与解法(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.由0,1,2,3,4,5这六个数字组成的无重复数字的自然数．求：(1)有多少个含2,3，但它们不相邻的五位数？(2)有多少个含数字1,2,3，且必须按由大到小顺序排列的六位数？解(1)先不考虑0是否在首位，0,1,4,5先排三个位置，则有A34个，2,3去排四个空档，有A24个，即有A34A24个；而0在首位时，有A23A23个，即有A34A24－A23A23＝252(个)含有2,3，但它们不相邻的五位数．(2)在六个位置先排0,4,5，先不考虑0是否在首位，则有A36个，去掉0在首位，即有A36－A25个，0,4,5三个元素排在六个位置上留下了三个空位，1,2,3必须由大到小进入相应位置，并不能自由排列，所以有A36－A25＝100(个)六位数．题型二组合问题例2(1)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法的种数是()A．60 B．63C．65 D．66(2)要从12人中选出5人去参加一项活动，A，B，C三人必须入选，则有________种不同选法．答案(1)D(2)36解析(1)因为1,2,3，…，9中共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数或全为偶数或2个奇数和2个偶数，故有C45＋C44＋C25C24＝66(种)不同的取法．(2)只需从A，B，C之外的9人中选择2人，即有C29＝36(种)不同的选法．引申探究1．本例(2)中若将条件“A，B，C三人必须入选”改为“A，B，C三人都不能入选”，其他条件不变，则不同的选法有多少种？解由A，B，C三人都不能入选只需从余下9人中选择5人，即有C59＝C49＝126(种)不同的选法．2．本例(2)中若将条件“A，B，C三人必须入选”改为“A，B，C三人只有一人入选”，其他条件不变，则不同的选法有多少种？解可分两步，先从A，B，C三人中选出1人，有C13种选法，再从余下的9人中选4人，有C49种选法，所以共有C13×C49＝378(种)不同的选法．3．本例(2)中若将条件“A，B，C三人必须入选”改为“A，B，C三人至少一人入选”，其他条件不变，则不同的选法有多少种？解可考虑间接法，从12人中选5人共有C512种，再减去A，B，C三人都不入选的情况C59种，共有C512－C59＝666(种)不同的选法．思维升华组合问题常有以下两类题型变化(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？解(1)从余下的34种商品中，选取2种有C234＝561(种)，∴某一种假货必须在内的不同取法有561种．(2)从34种可选商品中，选取3种，有C334种或者C335－C234＝C334＝5 984(种)．∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种．(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有C120C215＝2 100(种)．∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种．(4)选取2件假货有C120C215种，选取3件假货有C315种，共有选取方式C120C215＋C315＝2 100＋455＝2 555(种)．∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种．(5)选取3件的总数为C335，因此共有选取方式C335－C315＝6 545－455＝6 090(种)．∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种．题型三排列与组合问题的综合应用命题点1相邻问题例3(2017·济南调研)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为()A．3×3! B．3×(3！)3C．(3！)4D．9!答案C解析把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种坐法．命题点2相间问题例4某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是________．答案120解析先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空．安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”，“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”．对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”，有A22C13A23＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品1□相声□小品2□”，有A22A34＝48(种)安排方法．由分类加法计数原理知共有36＋36＋48＝120(种)安排方法．命题点3特殊元素(位置)问题例5(2016·郑州检测)从1,2,3,4,5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有________个．答案51解析分三类：第一类，没有2,3，由其他三个数字组成三位数，有A33＝6(个)；第二类，只有2或3其中的一个，需从1,4,5中选两个数字组成三位数，有2C23A33＝36(个)；第三类，2,3均有，再从1,4,5中选一个，因为2需排在3的前面，所以可组成12C13A33＝9(个)．由分类加法计数原理，知这样的三位数共有51个．思维升华排列与组合综合问题的常见类型及解题策略(1)相邻问题捆绑法．在特定条件下，将几个相关元素视为一个元素来考虑，待整个问题排好之后，再考虑它们“内部”的排列．(2)相间问题插空法．先把一般元素排好，然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中，它与捆绑法有同等作用．(3)特殊元素(位置)优先安排法．优先考虑问题中的特殊元素或位置，然后再排列其他一般元素或位置．(4)多元问题分类法．将符合条件的排列分为几类，而每一类的排列数较易求出，然后根据分类加法计数原理求出排列总数．(1)(2016·山西四校联考三)有5名优秀毕业生到母校的3个班去做学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为( ) A ．150 B ．180 C ．200D ．280(2)将甲、乙、丙、丁、戊五位同学分别保送到北大、上海交大和浙大3所大学，若每所大学至少保送1人，甲不能被保送到北大，则不同的保送方案共有( ) A ．150种 B ．114种 C ．100种 D ．72种答案 (1)A (2)C解析 (1)分两类：一类，3个班分派的毕业生人数分别为2,2,1，则有C 25C 23A 22·A 33＝90(种)分派方法；另一类，3个班分派的毕业生人数分别为1,1,3，则有C 35·A 33＝60(种)分派方法，所以不同分派方法种数为90＋60＝150，故选A.(2)先将五人分成三组，因为要求每组至少一人，所以可选择的只有2,2,1或者3,1,1，所以共有C 25C 23C 112＋C 35C 12C 112＝25(种)分组方法．因为甲不能被保送到北大，所以有甲的那组只有上海交大和浙大两个选择，剩下的两组无限制，一共有4种方法，所以不同的保送方案共有25×4＝100(种)．14．排列、组合问题典例有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有________种．错解展示解析先从一等品中取1个，有C116种取法；再从余下的19个零件中任取2个，有C219种不同取法，共有C116×C219＝2 736(种)不同取法．答案 2 736现场纠错解析方法一将“至少有1个是一等品的不同取法”分三类：“恰有1个一等品”，“恰有2个一等品”，“恰有3个一等品”，由分类加法计数原理，知有C116C24＋C216C14＋C316＝1 136(种)．方法二考虑其对立事件“3个都是二等品”，用间接法：C320－C34＝1 136(种)．答案 1 136纠错心得(1)解排列、组合问题的基本原则：特殊优先，先分组再分解，先取后排；较复杂问题可采用间接法，转化为求它的对立事件．(2)解题时要细心、周全，做到不重不漏.1．两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为() A．48 B．36 C．24 D．12答案C解析(捆绑法)爸爸排法有A22种，两个小孩排在一起故看成一体，有A22种排法，妈妈和孩子共有A33种排法，∴排法种数共有A22A22A33＝24(种)．故选C.2．(2016·黄山月考)某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为()A．16 B．18 C．24 D．32答案C解析将四个车位捆绑在一起，看成一个元素，先排3辆不同型号的车，在三个车位上任意排列，有A33＝6(种)排法，再将捆绑在一起的四个车位插入4个空档中，有4种方法，故共有4×6＝24(种)方法．3．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有()A．34种B．48种C．96种D．144种答案C解析程序A有A12＝2(种)结果，将程序B和C看作一个元素与除A外的3个元素排列有A22 A44＝48(种)，由分步乘法计数原理，知实验编排共有2×48＝96(种)方法．4．将A，B，C，D，E排成一列，要求A，B，C在排列中顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)，这样的排列数有()A．12种B．20种C．40种D．60种答案C解析(消序法)五个元素没有限制全排列为A55，由于要求A，B，C的次序一定(按A，B，C或C，B，A)，故除以这三个元素的全排列A33，可得A55A33×2＝40(种)．5．(2016·长沙模拟)某校高二年级共有6个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为( )A ．A 26C 24 B.12A 26C 24 C ．A 26A 24D ．2A 26答案 B解析 方法一 将4人平均分成两组有12C 24种方法，将此两组分配到6个班级中的2个班有A 26种．所以不同的安排方法有12C 24A 26(种)．方法二 先从6个班级中选2个班级有26C 种不同方法，然后安排学生有C 24C 22种，故有222642C C C ＝12A 26C 24(种)． 6．(2017·汉中质检)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有( ) A ．24对 B ．30对 C ．48对 D ．60对答案 C解析 正方体中共有12条面对角线，任取两条作为一对共有C 212＝66(对)，12条对角线中的两条所构成的关系有平行、垂直、成60°角．相对两面上的4条对角线组成的C 24＝6(对)组合中，平行有2对，垂直有4对，所以所有的平行和垂直共有3C 24＝18(对)．所以成60°角的有C 212－3C 24＝66－18＝48(对)． 7．(2016·北京西城区期末)现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有________种．(用数字作答) 答案 54解析 第一类，把甲、乙看作一个复合元素，另外3人分成两组，再分配到3个小组中，有C 23A 33＝18(种)；第二类，先把另外的3人分配到3个小组，再把甲、乙分配到其中2个小组，有A33A23＝36(种)．根据分类加法计数原理可得，共有36＋18＝54(种)．8．(2017·福州质检)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种．(用数字作答)答案60解析分两类：第一类：3张中奖奖券分给3个人，共A34种分法；第二类：3张中奖奖券分给2个人相当于把3张中奖奖券分两组再分给4人中的2人，共有C23A24种分法．总获奖情况共有A34＋C23A24＝60(种)．9．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．答案36解析先考虑产品A与B相邻，把A，B作为一个元素有A44种方法，而A，B可交换位置，所以有2A44＝48(种)摆法，又当A，B相邻且又满足A，C相邻，有2A33＝12(种)摆法，故满足条件的摆法有48－12＝36(种)．10．若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有________种．答案11解析把g、o、o、d 4个字母排一列，可分两步进行，第一步：排g和d，共有A24种排法；第二步：排两个o.共一种排法，所以总的排法种数为A24＝12.其中正确的有一种，所以错误的共有A24－1＝12－1＝11(种)．11．将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种．(用数字作答)答案480解析从左往右看，若C排在第1位，共有A55＝120(种)排法；若C排在第2位，A和B有C右边的4个位置可以选，共有A24·A33＝72(种)排法；若C排在第3位，则A，B可排C的左侧或右侧，共有A22·A33＋A23·A33＝48(种)排法；若C排在第4,5,6位时，其排法数与排在第3,2,1位相同，故共有2×(120＋72＋48)＝480(种)排法．12．(2017·青岛月考)2016年某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，后四位数从“0000”到“9999”共10 000个号码中选择．公司规定：凡卡号的后四位恰带有两个数字“6”或恰带有两个数字“8”的一律作为“金猴卡”，享受一定优惠政策．如后四位数为“2663”，“8685”为“金猴卡”，求这组号码中“金猴卡”的张数．解①当后四位数恰有2个6时，“金猴卡”共有C24×9×9＝486(张)；②当后四位数恰有2个8时，“金猴卡”也共有C24×9×9＝486(张)．但这两种情况都包含了后四位数是由2个6和2个8组成的这种情况，所以要减掉C24＝6，即“金猴卡”共有486×2－6＝966(张)．13．有9名学生，其中2名会下象棋但不会下围棋，3名会下围棋但不会下象棋，4名既会下围棋又会下象棋．现在要从这9名学生中选出2名学生，一名参加象棋比赛，另一名参加围棋比赛，共有多少种不同的选派方法？解设2名会下象棋但不会下围棋的同学组成集合A,3名会下围棋但不会下象棋的同学组成集合B,4名既会下围棋又会下象棋的同学组成集合C，则选派2名参赛同学的方法可以分为以下4类：第一类：A中选1人参加象棋比赛，B中选1人参加围棋比赛，方法数为C12·C13＝6(种)；第二类：C中选1人参加象棋比赛，B中选1人参加围棋比赛，方法数为C14·C13＝12(种)；第三类：C中选1人参加围棋比赛，A中选1人参加象棋比赛，方法数为C14·C12＝8(种)；第四类：C中选2人分别参加两项比赛，方法数为A24＝12(种)．由分类加法计数原理，知不同的选派方法共有6＋12＋8＋12＝38(种)．*14.(2017·洛阳预测)设三位数n＝abc，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n有多少个？解a，b，c要能构成三角形的边长，显然均不为0，即a，b，c∈{1,2,3，…，9}．①若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为n1，由于三位数中三个数字都相同，所以n1＝C19＝9；②若构成等腰(非等边)三角形，设这样的三位数的个数为n2，由于三位数中只有2个不同数字，设为a，b，注意到三角形腰与底可以互换，所以可取的数组(a，b)共有2C29组，但当大数为底时，设a>b，必须满足b<a<2b，此时，不能构成三角形的数字是共20种情况．同时，每个数组(a，b)中的两个数字填上三个数位，有C23种情况，故n2＝C23(2C29－20)＝156.综上，n＝n1＋n2＝165.。
2020届【步步高】高考数学大一轮复习讲义
2020届【步步高】高考数学大一轮复习讲义第一章集合与常用逻辑用语第一节集合知识点一元素与集合1．集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．2．集合与元素的关系：若a属于A，记作a∈A；若b不属于A，记作b∉A.3．集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．4．常用数集及其符号表示1．判断题(1)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.(×)(2)已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A＝B＝C.(×)(3)任何集合都有两个子集．(×)2．(1)已知集合A＝{0,1，x2－5x}，若－4∈A，则实数x的值为1或4.(2)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是5.(3)集合A＝{x∈N|0<x<4}的真子集个数为7.(4)已知集合A＝{0,1}，B＝{－1,0，a＋3}，且A⊆B，则a＝－2.解析：(1)∵－4∈A，∴x2－5x＝－4，∴x＝1或x＝4.(2)∵A＝{0,1,2}，∴B＝{x－y|x∈A，y∈A}＝{0，－1，－2,1,2}．故集合B中有5个元素．(3)因为A＝{1,2,3}，所以其真子集的个数为23－1＝7.(4)∵A⊆B，∴a＋3＝1，∴a＝－2.知识点二集合间的基本关系3．(必修1P12习题 1.1A组第5(2)题改编)若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下面结论中正确的是(D)A．{a}⊆A B．a⊆AC．{a}∈A D．a∉A解析：因为22不是自然数，所以a∉A.4．满足{0,1,2}A⊆{0,1,2,3,4,5}的集合A的个数为7.解析：集合A除含元素0,1,2外，还至少含有3,4,5中的一个元素，所以集合A的个数等于{3,4,5}的非空子集的个数，即为23－1＝7.知识点三集合的基本运算1．集合的三种基本运算2.活用集合的三类运算性质并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A.5．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁R A＝(B) A．{x|－1<x<2}B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x<－1}∪{x|x>2}D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}解析：解法1：A＝{x|(x－2)(x＋1)>0}＝{x|x<－1或x>2}，所以∁R A＝{x|－1≤x≤2}，故选B.解法2：因为A＝{x|x2－x－2>0}，所以∁R A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，故选B.6．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是(3，＋∞)．解析：A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，∵A⊆B，B＝{x|x<a}，∴a>3.1．集合中子集的性质(1)一个集合的真子集必是其子集，一个集合的子集不一定是其真子集；(2)任何一个集合是它本身的子集；(3)对于集合A，B，C，若A⊆B，B⊆C，则A⊆C(真子集也满足)；(4)若A⊆B，则有A＝∅和A≠∅两种可能．2．集合子集的个数：集合A中有n个元素，则集合A有2n个子集、2n －1个真子集、2n －1个非空子集、2n －2个非空真子集．3．注意补集的两个性质∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )；∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )．4．在解决含参数的集合问题时，要注意分类讨论和集合的互异性的应用．考向一 集合的概念【例1】 (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．4(2)设A ＝{2,3，a 2－3a ，a ＋2a ＋7}，B ＝{|a －2|,2}，已知4∈A 且4∉B ，则a 的取值集合为________．【解析】 (1)解法1：由x 2＋y 2≤3知，－3≤x ≤3，－3≤y ≤ 3.又x ∈Z ，y ∈Z ，所以x ∈{－1,0,1}，y ∈{－1，0,1}，所以A 中元素的个数为3×3＝9，故选A.解法2：根据集合A 的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x 2＋y 2＝3中有9个整点，即为集合A 的元素个数，故选A.(2)因为4∈A ，即4∈{2,3，a 2－3a ，a ＋2a ＋7}， 所以a 2－3a ＝4或a ＋2a ＋7＝4. 若a 2－3a ＝4，则a ＝－1或a ＝4；若a ＋2a ＋7＝4，即a ＋2a ＋3＝0，a 2＋3a ＋2＝0，则a ＝－1或a ＝－2.由a 2－3a 与a ＋2a ＋7互异，得a ≠－1. 故a ＝－2或a ＝4.又4∉B ，即4∉{|a －2|,2}，所以|a －2|≠4，解得a ≠－2且a ≠6.综上所述，a的取值集合为{4}．【答案】(1)A(2){4}(1)研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合，然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的意义.(2)依据元素与集合的关系确定参数时，往往要对集合中含参数的元素取值情况进行分类讨论，并要注意检验集合中的元素是否满足互异性.(1)设集合A＝{－1,0,2}，集合B＝{－x|x∈A且2－x∉A}，则B＝(A)A．{1} B．{－2}C．{－1，－2} D．{－1,0}(2)已知集合A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，则下列表示正确的是(C)A．－1∉A B．－11∈AC．3k2－1∈A D．－34∉A解析：(1)若x＝－1，则2－x＝3∉A，此时－x＝1；若x＝0，则2－x＝2∈A，此时不符合要求；若x＝2，则2－x＝0∈A，此时不符合要求．所以B＝{1}．(2)当k＝0时，x＝－1，所以－1∈A，所以A错误；令－11＝3k －1，得k＝－103∉Z，所以－11∉A，所以B错误；令－34＝3k－1，得k＝－11，所以－34∈A，所以D错误；因为k∈Z，所以k2∈Z，则3k2－1∈A，所以C正确．考向二集合的基本关系【例2】(1)已知集合A＝{x|y＝1－x2，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则()A．A B B．B A C．A⊆B D．B＝A(2)已知集合A＝{x|x2－2 019x＋2 018<0}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是________．【解析】(1)易知A＝{x|－1≤x≤1}，所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}．因此B A.故选B.(2)由x2－2 019x＋2 018<0，解得1<x<2 018，故A＝{x|1<x<2 018}．又B＝{x|x<a}，A⊆B，如图所示，可得a≥2 018.【答案】(1)B(2)[2 018，＋∞)本例(2)中，若将集合B改为{x|x≥a}，其他条件不变，则实数a 的取值范围是(－∞，1]．解析：A ＝{x |1<x <2 018}，B ＝{x |x ≥a }，A ⊆B ，如图所示，可得a ≤1.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题.(1)(2019·中原名校联考)已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围为( B )A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)(2)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y|y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}，若A ⊆B ，则实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. 解析：(1)解法1：由题意知，A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝{x |0<x <1}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝{x |0<x <c }．由A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1，故选B.解法2：A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝{x |0<x <1}，取c ＝1，得B ＝{x |0<x <1}，则A ⊆B 成立，可排除C 、D ；取c ＝2，得B ＝{x |0<x <2}，则A ⊆B 成立，可排除A ，故选B.(2)因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋716，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2， 所以y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤716，2.又因为A ⊆B ， 所以1－m 2≤716， 解得m ≥34或m ≤－34.考向三 集合的基本运算方向1 集合的交、并、补运算【例3】 (1)(2018·天津卷)设全集为R ，集合A ＝{x |0<x <2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩(∁R B )＝( )A ．{x |0<x ≤1}B ．{x |0<x <1}C ．{x |1≤x <2}D ．{x |0<x <2}(2)(2019·山东临沂模拟)设集合U ＝R ，A ＝{x |2x (x －2)<1}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分表示的集合为( )A．{x|x≥1} B．{x|1≤x<2}C．{x|0<x≤1} D．{x|x≤1}【解析】(1)因为B＝{x|x≥1}，所以∁R B＝{x|x<1}．因为A＝{x|0<x<2}，所以A∩(∁R B)＝{x|0<x<1}，故选B.(2)A＝{x|2x(x－2)<1}＝{x|x(x－2)<0}＝{x|0<x<2}，B＝{x|y＝ln(1－x)}＝{x|1－x>0}＝{x|x<1}，则∁U B＝{x|x≥1}，阴影部分表示的集合为A∩(∁U B)＝{x|1≤x<2}．【答案】(1)B(2)B方向2利用集合运算求参数【例4】(1)(2019·邯郸二模)已知集合A＝{x∈Z|x2－4x－5<0}，B＝{x|4x>2m}，若A∩B有三个元素，则实数m的取值范围是()A．[3,6) B．[1,2)C．[2,4) D．(2,4](2)(2019·泰安二模)设全集U＝R，集合A＝{x|x>1}，集合B＝{x|x>p}，若(∁U A)∩B＝∅，则p应该满足的条件是()A．p>1 B．p≥1C．p<1 D．p≤1【解析】(1)集合A＝{x∈Z|x2－4x－5<0}＝{0,1,2,3,4}，B＝{x |4x >2m}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x >m 2，∵A ∩B 有三个元素，∴1≤m 2<2，解得2≤m <4，∴实数m 的取值范围是[2,4)．(2)∵全集U ＝R ，集合A ＝{x |x >1}，集合B ＝{x |x >p }，∴∁U A ＝{x |x ≤1}，又(∁U A )∩B ＝∅，∴p ≥1.【答案】 (1)C (2)B集合的基本运算包括集合的交、并、补，解决此类运算问题一般应注意以下几点：一是看元素构成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决运算问题的前提；二是对集合进行化简，有些集合是可以化简的，利用化简，可使问题变得简单明了，易于解决；三是注意数形结合思想的应用，集合运算常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩(Venn )图.1．(方向1)(2019·江西南昌中学模拟)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝{x |(x －3)(x ＋1)≥0}，则(∁U B )∩A ＝( D )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，－1]∪(0,3)C ．[0,3)D ．(0,3)解析：集合A ＝{x |log 2x ≤2}＝{x |0<x ≤4}，集合B ＝{x |(x －3)(x ＋1)≥0}＝{x |x ≥3或x ≤－1}．因为全集U ＝R ，所以∁U B ＝{x |－1<x <3}，所以(∁U B )∩A ＝(0,3)，故选D.2．(方向2)设A ＝{x |(x －a )2<1}，且2∈A,3∉A ，则实数a 的取值范围为1<a ≤2.解析：依题设得：⎩⎨⎧ (2－a )2<1，(3－a )2≥1，即⎩⎨⎧ 1<a <3，a ≤2或a ≥4.所以1<a ≤2.3．(方向2)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝－1，n ＝1.解析：A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}＝{x ∈R |－5<x <1}，由A ∩B ＝(－1，n )，可知m <1，则B ＝{x |m <x <2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.考向四 集合的新定义问题【例5】 (2019·沈阳模拟)已知集合A ＝{x ∈N |x 2－2x －3≤0}，B ＝{1,3}，定义集合A ，B 之间的运算“*”：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，则A *B 中的所有元素之和为( )A ．15B ．16C ．20D ．21【解析】 由x 2－2x －3≤0，得(x ＋1)(x －3)≤0，又x ∈N ，故集合A ＝{0,1,2,3}．∵A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，∴A *B 中的元素有0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，∴A*B＝{1,2,3,4,5,6}，∴A*B中的所有元素之和为21.【答案】D与集合相关的新定义问题的解题思路(1)紧扣“新”定义：分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在．(2)把握“新”性质：集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．(3)遵守“新”法则：准确把握新定义的运算法则，将其转化为集合的交集、并集与补集的运算即可．设集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{0,1,2,3}，定义A*B＝{(x，y)|x ∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B中元素的个数是(B)A．7 B．10C．25D．52解析：因为A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，所以A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}．由x∈A∩B，可知x可取0,1；由y∈A∪B，可知y可取－1,0,1,2,3.所以元素(x，y)的所有结果如下表所示：易错点：忽略空集是任何集合的子集出错勿忘空集和集合本身．由于∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，任何集合的本身是该集合的子集，所以在进行列举时千万不要忘记．典例已知集合A＝{x|x2－x－12≤0}，B＝{x|2m－1<x<m＋1}，且A∩B＝B，则实数m的取值范围为()A．[－1,2)B．[－1,3]C．[2，＋∞) D．[－1，＋∞)【易错分析】集合B为不等式2m－1<x<m＋1的解集，但m 取值不同，解集也不同．当m＋1≤2m－1时，集合B为空集，而空集是任何集合的子集，且是任何非空集合的真子集，求解时应分B＝∅和B≠∅两种情况，结合数轴，讨论求解．【解析】由x2－x－12≤0，得(x＋3)(x－4)≤0，得－3≤x≤4，所以A＝{x|－3≤x≤4}．又A∩B＝B，所以B⊆A.(1)当B＝∅时，有m＋1≤2m－1，解得m≥2.(2)当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧ －3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2.综上，得m ≥－1.【答案】 D 易错警示 当题目中出现A ⊆B 或A ∩B ＝A 或A ∪B ＝B 时，在解题过程中务必注意对集合A 进行分类讨论，即分A ＝∅和A ≠∅两种情况进行讨论，并注意对端点值的检验．(2019·吉林长春检测)已知集合A ＝{x |ax －1＝0}，B ＝{x |1<log 2x ≤2，x ∈N *}，且A ∩B ＝A ，则a 的所有可能取值组成的集合是( D )A ．∅B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫13C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，14D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，14 解析：由A ∩B ＝A ，得A ⊆B .∵B ＝{x |1<log 2x ≤2，x ∈N *}＝{x |2<x ≤4，x ∈N *}＝{3,4}．当A ＝∅时，则方程ax －1＝0无实数解，∴a ＝0，此时显然有A ⊆B ，符合题意；当A ≠∅时，则由方程ax －1＝0，得x ＝1a .要使A ⊆B ，则1a ＝3或1a ＝4，即a ＝13或14.综上所述，a的所有可能取值组成的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，14，故选D. 第二节命题及其关系、充分条件与必要条件知识点一 命题及四种命题1．命题的概念 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．1．对于命题“单调函数不是周期函数”，下列陈述正确的是(D)A．逆命题为“周期函数不是单调函数”B．否命题为“单调函数是周期函数”C．逆否命题为“周期函数是单调函数”D．以上三者都不正确解析：原命题可以改写为“若函数是单调函数，则函数不是周期函数”．其逆命题为“若函数不是周期函数，则函数是单调函数”，故选项A不正确；其否命题为“若函数不是单调函数，则函数是周期函数”，故选项B不正确；其逆否命题为“若函数是周期函数，则函数不是单调函数”，故选项C 不正确． 2．“若a ，b 都是偶数，则ab 是偶数”的逆否命题为若ab 不是偶数，则a ，b 不都是偶数．解析：“a ，b 都是偶数”的否定为“a ，b 不都是偶数”，“ab 是偶数”的否定为“ab 不是偶数”，故其逆否命题为“若ab 不是偶数，则a ，b 不都是偶数”．3．在命题“若m >－n ，则m 2>n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是3.解析：原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，逆命题也是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.知识点二 充分条件与必要条件1．若p ⇒q 且q ⇒/p ，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件；若p ⇒q 且q ⇒p ，则p 是q 的充分必要条件，q 也是p 的充分必要条件．2．若A 、B 为两个集合，满足A B ，则A 是B 的充分不必要条件，B 是A 的必要不充分条件；若A ＝B ，则A 是B 的充分必要条件．4．(2018·天津卷)设x ∈R ，则“|x －12|<12”是“x 3<1”的( A )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：解法1：由|x －12|<12，得0<x <1，所以0<x 3<1；由x 3<1，得x <1，不能推出0<x <1.所以“|x －12|<12”是“x 3<1”的充分而不必要条件．故选A.解法2：由|x －12|<12，得0<x <1，所以0<x 3<1，所以充分性成立；取x ＝－14，则|－14－12|＝34>12，(－14)3＝－164<1，所以必要性不成立．故选A.5．(选修2－1P12A 组第3题改编)在△ABC 中，“A >B ”是“sin A >sin B ”的( C )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由正弦定理知a sin A ＝b sin B ＝2R (R 为△ABC 外接圆半径)．若sin A >sin B ，则a 2R >b 2R ，即a >b ，所以A >B ；若A >B ，则a >b ，所以2R sin A >2R sin B ，即sin A >sin B ，所以“A >B ”是“sin A >sin B ”成立的充要条件．1．区别两个说法(1)“A是B的充分不必要条件”中，A是条件，B是结论．(2)“A的充分不必要条件是B”中，B是条件，A是结论．2．充要条件的两个特征(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件．(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件．3．充要关系与集合的子集之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．考向一四种命题及其关系【例1】(1)已知x∈R，命题“若x2>0，则x>0”的逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3(2)已知命题p：若a<1，则a2<1，下列说法正确的是()A．命题p是真命题B．命题p的逆命题是真命题C．命题p的否命题是“若a<1，则a2≥1”D．命题p的逆否命题是“若a2≥1，则a<1”【解析】(1)命题“若x2>0，则x>0”的逆命题是“若x>0，则x2>0”，是真命题；否命题是“若x2≤0，则x≤0”，是真命题；逆否命题是“若x≤0，则x2≤0”，是假命题．综上，以上三个命题中真命题的个数是2.故选C.(2)已知命题p：若a<1，则a2<1，如a＝－2，则(－2)2>1，命题p为假命题，所以A不正确；命题p的逆命题是“若a2<1，则a<1”，为真命题，所以B正确；命题p的否命题是“若a≥1，则a2≥1”，所以C不正确；命题p的逆否命题是“若a2≥1，则a≥1”，所以D 不正确．故选B.【答案】(1)C(2)B(1)四种命题在书写时，要注意词语的否定形式，如“都是”的否定应为“不都是”，“大于”的否定为“不大于”等．(2)命题真假的判断方法①联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．②利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断．(1)命题“若x2≠4，则x≠2且x≠－2”的否命题为(D)A．若x2＝4，则x≠2且x≠－2B．若x2≠4，则x＝2且x＝－2C．若x2≠4，则x＝2或x＝－2D．若x2＝4，则x＝2或x＝－2(2)下列命题的逆命题为真命题的是(B)A．若x>2，则(x－2)(x＋1)>0B．若x2＋y2≥4，则xy＝2C．若x＋y＝2，则xy≤1D．若a≥b，则ac2≥bc2解析：(1)“若x2≠4，则x≠2且x≠－2”的否命题是“若x2＝4，则x＝2或x＝－2”．故选D.(2)选项A，“若x>2，则(x－2)(x＋1)>0”的逆命题为“若(x－2)(x ＋1)>0，则x>2”，因为由(x－2)(x＋1)>0得到x>2或x<－1，所以是假命题；选项B，“若x2＋y2≥4，则xy＝2”的逆命题为“若xy＝2，则x2＋y2≥4”是真命题；选项C，“若x＋y＝2，则xy≤1”的逆命，满足xy≤1，但不题为“若xy≤1，则x＋y＝2”；因为x＝2，y＝12满足x＋y＝2，所以是假命题；选项D，“若a≥b，则ac2≥bc2”的逆命题为“若ac2≥bc2，则a≥b”，因为若c＝0，a＝1，b＝2，满足ac2≥bc2，但不满足a≥b，所以是假命题．故选B.考向二充分条件与必要条件的判断【例2】(1)设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，则“|q|＝1”是“S6＝3S2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)已知p：x＋y≠－2，q：x，y不都是－1，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(3)若集合A＝{x|x－x2>0}，B＝{x|(x＋1)(m－x)>0}，则“m>1”是“A∩B≠∅”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】(1)由S6＝3S2，得a1(1＋q＋q2＋q3＋q4＋q5)＝3a1(1＋q)，即q5＋q4＋q3＋q2－2－2q＝0，(q＋1)2(q－1)·(q2＋2)＝0，解得q ＝±1，所以“|q|＝1”是“S6＝3S2”的充要条件，故选C.(2)因为p：x＋y≠－2，q：x，y不都是－1，所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1，且y＝－1.因为綈q⇒綈p，但綈⇒/綈q，所以綈q 是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．故选A.(3)化简集合A＝{x|0<x<1}，若m>1，则B＝{x|－1<x<m}，此时A∩B≠∅，反之，若A∩B≠∅，则m>0，因(1，＋∞)(0，＋∞)，故选A.【答案】(1)C(2)A(3)A充分条件、必要条件的三种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．(1)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的(C)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2019·山东日照联考)“m<0”是“函数f(x)＝m＋log2x(x≥1)存在零点”的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(3)已知p：a<0，q：a2>a，则綈p是綈q的(B)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：(1)∵|a－3b|＝|3a＋b|，∴(a－3b)2＝(3a＋b)2，∴a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2，又∵|a|＝|b|＝1，∴a·b＝0，∴a⊥b；反之也成立．故选C.(2)当m<0时，由图象的平移变换可知，函数f(x)必有零点；当函数f(x)有零点时，m≤0，所以“m<0”是“函数f(x)＝m＋log2x(x≥1)存在零点”的充分不必要条件，故选A.(3)因为綈p：a≥0，綈q：0≤a≤1，所以綈q⇒綈p且綈p⇒/綈q，所以綈p是綈q的必要不充分条件．考向三 充分条件、必要条件的应用【例3】 (1)若“x >2m 2－3”是“－1<x <4”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[－1,2](2)已知条件p ：4x －1≤－1，条件q ：x 2＋x <a 2－a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 C ．[－1,2] D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－2，12∪[2，＋∞) 【解析】 (1)∵x >2m 2－3是－1<x <4的必要不充分条件，∴(－1,4)⊆(2m 2－3，＋∞)，∴2m 2－3≤－1，解得－1≤m ≤1.故选A.(2)由4x －1≤－1，解得－3≤x <1；由x 2＋x <a 2－a ，得x 2＋x －a 2＋a <0.由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，可知p 是q 的必要不充分条件，即条件q 对应的x 取值集合是条件p 对应的x 取值集合的真子集．设f (x )＝x 2＋x －a 2＋a ，其大致图象如图，则⎩⎨⎧ f (－3)＝－a 2＋a ＋6≥0，f (1)＝－a 2＋a ＋2≥0，所以⎩⎨⎧ －2≤a ≤3，－1≤a ≤2，解得－1≤a ≤2.故选C. 【答案】 (1)A (2)C(1)求解充分、必要条件的应用问题时，一般是把充分、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.(2)求解参数的取值范围时，一定要注意对区间端点值进行检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现错误.(1)下面四个条件中，使a >b 成立的必要而不充分条件是( B )A ．a －1>bB ．a ＋1>bC ．|a |>|b |D ．a 3>b 3(2)“直线x －y －k ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝2有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是( C )A ．－1≤k <3B ．－1≤k ≤3C ．0<k <3D ．k <－1或k >3解析：(1)“a>b”不能推出“a－1>b”，故选项A不是“a>b”的必要条件，不满足题意；“a>b”能推出“a＋1>b”，但“a＋1>b”不能推出“a>b”，故满足题意；“a>b”不能推出“|a|>|b|”，故选项C不是“a>b”的必要条件，不满足题意；“a>b”能推出“a3>b3”，且“a3>b3”能推出“a>b”，故是充要条件，不满足题意．故选B.(2)直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点等价于|1－0－k|<2，解得k∈(－1,3)．四个选项中只有(0,3)是(－1,3)的真子2集，故充分不必要条件可以是“0<k<3”．第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词知识点一简单的逻辑联结词1．命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．2．命题p且q、p或q、非p的真假判断1．(选修2－1P18B组改编)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为(B)A．1 B．2C．3 D．4解析：p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．2．已知命题p ：若复数z 满足(z －i)(－i)＝5，则z ＝6i ，命题q ：复数1＋i 1＋2i的虚部为－15i ，则下面为真命题的是( C ) A ．(綈p )∧(綈q )B ．(綈p )∧qC ．p ∧(綈q )D ．p ∧q解析：由已知可得，复数z 满足(z －i)(－i)＝5，所以z ＝5－i＋i ＝6i ，所以命题p 为真命题；复数1＋i1＋2i ＝(1＋i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝3－i 5，其虚部为－15，故命题q 为假命题，命题綈q 为真命题．所以p ∧(綈q )为真命题，故选C.知识点二 全称量词与存在量词1．全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示．2．含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”用符号简记为：∀x ∈M ，p (x )．3．含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M 中元素x 0，使p (x 0)成立”用符号简记为：∃x 0∈M ，p (x 0)．4．含有一个量词的命题的否定3．命题p：∃x0∈R，x20－x0＋1≤0的否定是(C)A．∃x0∈R，x20－x0＋1>0 B．∀x∈R，x2－x＋1≤0C．∀x∈R，x2－x＋1>0 D．∃x0∈R，x20－x0＋1<04．已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥e x”；命题q：“∃x0∈R，使得x20＋4x0＋a＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是[e,4]．解析：若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题．由∀x∈[0,1]，a≥e x，得a≥e；由∃x0∈R，使得x20＋4x0＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，a≤4，因此e≤a≤4.则实数a的取值范围为[e,4]．1．含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与綈p→真假相反．2．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．考向一 含有逻辑联结词的命题的真假判断【例1】 (1)(2019·石家庄模拟)命题p ：若sin x >sin y ，则x >y ；命题q ：x 2＋y 2≥2xy .下列命题为假命题的是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．qD ．綈p(2)给定下列命题：p 1：函数y ＝a x ＋x (a >0，且a ≠1)在R 上为增函数；p 2：∃a ，b ∈R ，a 2－ab ＋b 2<0；p 3：cos α＝cos β成立的一个充分不必要条件是α＝2k π＋β(k ∈Z )． 则下列命题中的真命题为( )A ．p 1∨p 2B ．p 2∧p 3C ．p 1∨綈p 3D ．綈p 2∧p 3 【解析】 (1)取x ＝π3，y ＝5π6，可知命题p 不正确；由(x －y )2≥0恒成立，可知命题q 正确，故綈p 为真命题，p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题．(2)对于p 1：令y ＝f (x )，当a ＝12时，f (0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋0＝1，f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1－1＝1，所以p 1为假命题；对于p 2：a 2－ab ＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b 2＋34b 2≥0，所以p 2为假命题；对于p 3：由cos α＝cos β，可得α＝2k π±β(k ∈Z )，所以p3是真命题，所以綈p2∧p3为真命题．【答案】(1)B(2)D含逻辑联结词命题真假的等价关系(1)p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(綈p)∧(綈q)假．(2)p∨q假⇔p，q均假⇔(綈p)∧(綈q)真．(3)p∧q真⇔p，q均真⇔(綈p)∨(綈q)假．(4)p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(綈p)∨(綈q)真．(5)綈p真⇔p假；綈p假⇔p真．(2019·陕西质量检测)已知命题p：对任意的x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是(D)A．p∧q B．綈p∧綈q C．綈p∧q D．p∧綈q解析：由指数函数的性质知命题p为真命题．易知x>1是x>2的必要不充分条件，所以命题q是假命题．由复合命题真值表可知p∧綈q是真命题，故选D.考向二 全称命题与特称命题【例2】 (1)若命题p ：对任意的x ∈R ，都有x 3－x 2＋1<0，则綈p 为( )A ．不存在x 0∈R ，使得x 30－x 20＋1<0B ．存在x 0∈R ，使得x 30－x 20＋1<0C ．对任意的x ∈R ，都有x 3－x 2＋1≥0D ．存在x 0∈R ，使得x 30－x 20＋1≥0(2)下列命题中为假命题的是( )A ．∃α，β∈R ，sin(α＋β)＝sin α＋sin βB ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数C ．∃x 0∈R ，x 30＋ax 20＋bx 0＋c ＝0(a ，b ，c ∈R 且为常数)D ．∀a >0，函数f (x )＝(ln x )2＋ln x －a 有零点【解析】 (1)命题p ：对任意的x ∈R ，都有x 3－x 2＋1<0的否定为綈p ：存在x 0∈R ，使得x 30－x 20＋1≥0.故选D.(2)当α＝0，β＝π2时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，A 为真命题；当φ＝π2时，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos2x 是偶函数，B 为假命题；对于三次函数y ＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，当x →－∞时，y →－∞，当x →＋∞时，y →＋∞，又该函数的图象在R 上连续不断，故∃x 0∈R ，x 30＋ax 20＋bx 0＋c ＝0，C 为真命题；当f (x )＝0时，(ln x )2＋ln x －a ＝0，则有a ＝(ln x )2＋ln x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋122－14≥－14，所以∀a >0，函数f (x )＝(ln x )2＋ln x －a有零点，D为真命题．综上可知选B.【答案】(1)D(2)B全称命题与特称命题的真假判断及其否定已知f(x)＝e x－x，g(x)＝ln x＋x＋1，命题p：∀x∈R，f(x)>0，命题q：∃x0∈(0，＋∞)，g(x0)＝0，则下列说法正确的是(C) A．p是真命题，綈p：∃x0∈R，f(x0)<0B．p是假命题，綈p：∃x0∈R，f(x0)≤0C．q是真命题，綈q：∀x∈(0，＋∞)，g(x)≠0D．q是假命题，綈q：∀x∈(0，＋∞)，g(x)≠0解析：f′(x)＝e x－1，由f′(x)>0得x>0，由f′(x)<0得x<0，故当x＝0时，函数f(x)取得极小值，同时也是最小值，f(0)＝e0－0＝1－0＝1>0，∴∀x∈R，f(x)>0成立，即p是真命题．g(x)＝ln x＋x＋1在(0，＋∞)上为增函数，当x →0时，g (x )<0，g (1)＝0＋1＋1＝2>0，则∃x 0∈(0，＋∞)，g (x 0)＝0成立，即命题q 是真命题．綈p ：∃x 0∈R ，f (x 0)≤0，綈q ：∀x ∈(0，＋∞)，g (x )≠0.综上，只有选项C 正确．考向三 根据命题的真假求参数的取值范围【例3】 已知p ：存在x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，若p 或q 为假命题，求实数m 的取值范围．【解】 依题意知p ，q 均为假命题，当p 是假命题时，mx 2＋1>0恒成立，则有m ≥0；当q 是真命题时，则有Δ＝m 2－4<0，－2<m <2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎨⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.所以实数m 的取值范围为[2，＋∞)．1．本例条件不变，若p 且q 为真，则实数m 的取值范围为(－2,0)． 解析：依题意，当p 是真命题时，有m <0；当q 是真命题时，有－2<m <2，由⎩⎨⎧ m <0，－2<m <2，可得－2<m <0.2．本例条件不变，若p 且q 为假，p 或q 为真，则实数m 的取值范围为(－∞，－2]∪[0,2)．解析：若p 且q 为假，p 或q 为真，则p ，q 一真一假．当p 真q 假时⎩⎨⎧ m <0，m ≥2或m ≤－2，所以m ≤－2； 当p 假q 真时⎩⎨⎧ m ≥0，－2<m <2，所以0≤m <2.所以m 的取值范围是(－∞，－2]∪[0,2)．3．本例中的条件q 变为：存在x 0∈R ，x 20＋mx 0＋1<0，其他不变，则实数m 的取值范围为[0,2]．解析：依题意，当q 是真命题时，Δ＝m 2－4>0，所以m >2或m <－2.由⎩⎨⎧ m ≥0，－2≤m ≤2，得0≤m ≤2，所以m 的取值范围是[0,2]．根据命题的真假求参数取值范围的策略(1)全称命题：可转化为恒成立问题，特称命题转化为存在性问题．(2)含逻辑联结词问题：①求出每个命题是真命题时参数的取值范围；②根据题意确定每个命题的真假；③由各个命题的真假列关于参数的不等式(组)求解．已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p或q是真命题，p且q是假命题，则实数a的取值范围是(C)A．(－12，－4]∪[4，＋∞)B．[－12，－4]∪[4，＋∞)C．(－∞，－12)∪(－4,4)D．[－12，＋∞)解析：命题p等价于Δ＝a2－16≥0，即a≤－4或a≥4；命题q 等价于－a4≤3，即a≥－12.由p或q是真命题，p且q是假命题知，命题p和q一真一假．若p真q假，则a<－12；若p假q真，则－4<a<4.故a的取值范围是(－∞，－12)∪(－4,4)．突破双变量任意性与存在性问题的策略典例 (1)已知函数f (x )＝2x x ＋1，g (x )＝a sin π6x －2a ＋2(a >0)，若存在x 1，x 2∈[0,1]，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，则实数a 的取值范围是________；(2)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 和g (x )＝2x ＋x ＋1，对任意x 1∈[－1，＋∞)，总存在x 2∈R 使g (x 1)＝f (x 2)成立，则实数a 的取值范围是________；(3)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋3，g (x )＝log 2x ＋m ，对任意的x 1，x 2∈[1,4]有f (x 1)>g (x 2)恒成立，则实数m 的取值范围是________；(4)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________．【解析】 (1)当x ∈[0,1]时，f (x )∈[0,1]，g (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－2a ，2－3a 2， 由题意得[0,1]∩⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－2a ，2－3a 2≠∅. 若[0,1]∩⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－2a ，2－3a 2＝∅， 则2－2a >1或2－3a 2<0，即a <12或a >43.故实数a 的取值范围是12≤a ≤43.(2)因为f (x )＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1，所以f (x )∈[a －1，＋∞)．因为g (x )＝2x ＋x ＋1在[－1，＋∞)上单调递增，所以g (x )∈[－2，＋∞)．由题意得a －1≤－2，所以a ≤－1，故实数a 的取值范围是(－∞，－1]．(3)f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，当x ∈[1,4]时，f (x )min ＝f (1)＝2，g (x )max ＝g (4)＝2＋m ，则f (x )min >g (x )max ，即2>2＋m ，解得m <0，故实数m 的取值范围是(－∞，0)．(4)当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.故实数m 的取值范围是m ≥14.【答案】 (1)12≤a ≤43 (2)(－∞，－1](3)(－∞，0) (4)m ≥14已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∃x 2∈[2,3]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围为( A )A ．a ≤1B ．a ≥1C ．a ≤2D ．a ≥2解析：由题意知f (x )min x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1≥g (x )min (x ∈[2,3])． 因为f (x )min ＝5，g (x )min ＝4＋a ，所以5≥4＋a ，即a ≤1，故选A.第二章 函数、导数及其应用第一节函数及其表示知识点一函数与映射的概念1．函数的定义一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应；那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.2．映射的定义设A，B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么称对应f：A→B为集合A到集合B的一个映射．1．(必修1P18例2改编)下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是(B)A．y＝(x＋1)2B．y＝3x3＋1C ．y ＝x 2x ＋1D ．y ＝x 2＋1 解析：对于A ，函数y ＝(x ＋1)2的定义域为{x |x ≥－1}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B ，定义域和对应法则都相同，是相等函数；对于C ，函数y ＝x 2x ＋1的定义域为{x |x ≠0}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D ，定义域相同，但对应法则不同，不是相等函数．2．(必修1P25B2改编)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( B )解析：A 中函数定义域不是[－2,2]；C 中图象不表示函数；D 中函数值域不是[0,2]．知识点二 函数的三要素及表示方法1．函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．2．函数的三要素：定义域、值域、对应关系．3．表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．函数f (x )＝2x－1＋1x －2的定义域为( C ) A ．[0,2)B ．(2，＋∞)C ．[0,2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：由题意得⎩⎨⎧ 2x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥0且x ≠2. 4．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝12. 解析：f (2)＝－f (－2)＝－[2×(－8)＋4]＝12.知识点三 分段函数若函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．5．(2019·陕西质量检测)设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则函数f (x )＝|x |sgn x 的图象大致是( C )解析：由符号函数解析式和绝对值运算，可得f (x )＝x ，故选C.6．函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2,2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ cos πx 2，0<x ≤2，|x ＋12|，－2<x ≤0，则f (f (15))2解析：因为函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，所以函数f (x )的最小正周期是4.因为在区间(－2,2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ cos πx 2，0<x ≤2，|x ＋12|，－2<x ≤0，所以f (f (15))＝f (f (－1))＝f (12)＝cos π4＝22.1．函数是特殊的映射，是定义在非空数集上的映射．直线x ＝a (a 是常数)与函数y ＝f (x )的图象有0个或1个交点．2．函数定义域是研究函数的基础依据，对函数的研究，必须坚持定义域优先的原则．3．分段函数无论分成几段，都是一个函数，必须用分类讨论的。
【四川专用(理)】【步步高】届高三数学大一轮复习讲义【配套课件】第四章4.2
思维启迪
解析
探究提高
由 sin A＋cos A＝15及 sin2A＋ cos2A＝1，可求 sin A，cos A 的值．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型一
同角三角函数基本关系式的应用
【例1】 已知在△ABC中，sin A＋cos A 思维启迪 解析 探究提高
解∴ (2)两＝ ((由12())15边1求 判s.)i∵平ns断iAns方△icnAo得AcAsoB＋A1sC＋＝Ac是o的2－s锐s值 iA12n角25＝；A<三150co，角s 且A形＝0还<215A是，<钝π∴，sin Acos A＝－1225.
变式训练1 (1)已知tan α ＝2，求sin2α＋sin αcos α －2cos2α； (2)已知sin α＝2sin β， tan α＝3tan β，求cos α.
解 (1)sin2α＋sin αcos α－2cos2α
＝sin2α＋ssiinn2αα＋cocsoαs－2α 2cos2α ＝tan2tαa＋n2αta＋n α1－2＝45. (2)∵sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，
系反映了同一个角的不同 三角函数之间的必然联系， 它为三角函数的化简、求 值、证明等又提供了一种重
基础知识
题型分类
要的方法．
思想方法
练出高分
基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源
角 π－α 图示
与角 α 关于y 终边的 轴对称
关系
基础知识
π2－α
关于直线 y＝x对称
题型分类
π2＋α
1.同角三角函数关系式
求 sin(3π＋α)·tanα－72π的值．
(四川专用(理))(步步高)2022年高三数学大一轮复习讲义(Word版题库)4.7解三角形应用举例
(四川专用（理）)(步步高)2022年高三数学大一轮复习讲义(Word版题库)4一、选择题1．在某次测量中，在A处测得同一平面方向的B点的仰角是50°，且到A的距离为2，C点的俯角为70°，且到A的距离为3，则B、C间的距离为()A.16B.17C.18D.19解析：因∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝3.∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos ∠BAC＝4＋9－2×2×3×cos 120°＝19.∴BC＝19.答案：D2．如图所示，为了测量某障碍物两侧A，B间的距离，给定下列四组数据，不能确定A，B间距离的是()．A．α，a，b B．α，β，aC．a，b，γD．α，β，b解析选项B中由正弦定理可求b，再由余弦定理可确定AB.选项C中可由余弦定理确定AB.选项D同B类似，故选A.答案A3．某人向正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离动身点恰好是 3 km，那么x的值为()．A. 3 B．2 3 C.3或2 3 D．3解析如图所示，设此人从A动身，则AB＝x，BC＝3，AC＝3，∠ABC＝30°，由余弦定理得(3)2＝x2＋32－2x·3·cos 30°，整理得x2－33x＋6＝0，解得x＝3或2 3.答案C4．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就能够运算出A 、B 两点的距离为( )A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 m D.2522 m 解析 由题意，得B ＝30°.由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝AC sinB ， ∴AB ＝AC ·sin ∠ACB sinB＝50×2212＝502(m)． 答案 A5．两座灯塔A 和B 与海洋观看站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观看站C 的北偏东20°，灯塔B 在观看站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A ．a km B.2a kmC ．2a km D.3a km解析 依题意得∠ACB ＝120°，由余弦定理，得 cos120°＝AC2＋BC2－AB22AC ·BC. ∴AB2＝AC2＋BC2－2AC ·BCcos120°＝a2＋a2－2a2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3a2， ∴AB ＝3a ，故选D.答案 D6．据新华社报道，强台风“珍宝”在广东饶平登陆．台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严峻的灾难，许多大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是( )．A.2063米 B ．106米 C.1063米 D ．202米 解析 如图所示，设树干底部为O ，树尖着地处为B ，折断点为A ，则∠ABO ＝45°，∠AOB ＝75°，∴∠OAB ＝60°.由正弦定理知，AO sin 45°＝20sin 60°， ∴AO ＝2063(米)．答案 A7．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km ，速度为1 000 km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为30°，通过1 mi n 后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km)( )．A ．11.4B ．6.6C ．6.5D ．5.6 解析 AB ＝1 000×1 000×160＝50 0003 (m)， ∴BC ＝AB sin 45°·sin 30°＝50 00032(m)． ∴航线离山顶h ＝50 00032×sin 75°≈11.4 (km)． ∴山高为18－11.4＝6.6 (km)．答案 B二、填空题8．一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到B 处，看到那个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________ km.解析：如图所示，依题意有AB ＝15×4＝60， ∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°，在△AMB 中， 由正弦定理得60sin 45°＝BM sin 30°， 解得BM ＝302．答案：30 29．如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是________米．解析 在△BCD 中，CD ＝10，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC ＝30°，BC sin 45°＝CD sin 30°，BC ＝CDsin 45°sin 30°＝10 2.在Rt △ABC 中，tan 60°＝AB BC ，AB ＝BCtan 60°＝106(米)．答案 10610． 2021年11月12日广州亚运会上举行升旗仪式．如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB 与旗杆所在直线MN 共面，在该列的第一个座位A和最后一个座位B测得旗杆顶端N的仰角分别为60°和30°，且座位A、B的距离为106米，则旗杆的高度为________米．解析由题可知∠BAN＝105°，∠BNA＝30°，由正弦定理得ANsin 45°＝106sin 30°，解得AN＝203(米)，在Rt△AMN中，MN＝20 3 sin 60°＝30(米)．故旗杆的高度为30米．答案3011．如图，在日本地震灾区的搜救现场，一条搜救狗从A处沿正北方向行进x m到达B处发觉一个生命迹象，然后向右转105°，进行10 m到达C处发觉另一生命迹象，这时它向右转135°后连续前行回到动身点，那么x＝________.解析由题知，∠CBA＝75°，∠BCA＝45°，∴∠BAC＝180°－75°－45°＝60°，∴xsin 45°＝10 sin 60°.∴x＝1063m.答案1063m12．如图，一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东α角，前进m海里后在B处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围n海里范畴内(包括边界)有暗礁，现该船连续东行，当α与β满足条件________时，该船没有触礁危险．解析由题可知，在△ABM中，依照正弦定理得BMsin90°－α＝msinα－β，解得BM＝mcos αsinα－β，要使该船没有触礁危险需满足BMsin(90°－β)＝mcos αcos βsinα－β＞n，因此当α与β的关系满足mcos αcos β＞nsin(α－β)时，该船没有触礁危险．答案mcos αcos β＞nsin(α－β)三、解答题13．隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边先选取相距3千米的C，D两点，同时，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离．解析如图所示，在△ACD中，∵∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，∴∠CAD ＝30°，AC ＝CD ＝3(千米)， 在△BDC 中，∠CBD ＝180°－45°－75°＝60°. 由正弦定理得，BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋22(千米)． 在△ABC 中，由余弦定理，可得AB2＝AC2＋BC2－2AC ·BCcos ∠BCA ， 即AB2＝(3)2＋⎝⎛⎭⎪⎫6＋222－23·6＋22cos 75°＝5. ∴AB ＝ 5 (千米)．因此两目标A 、B 间的距离为5千米．14．如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A 动身沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处动身沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上，现在到达C 处．(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值．解析 (1)依题意知，∠BAC ＝120°，AB ＝12(海里)，AC ＝10×2＝20(海里)，∠BCA ＝α，在△ABC 中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB ·AC ·cos ∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.解得BC ＝28(海里)．因此渔船甲的速度为BC 2＝14海里/时．(2)在△ABC 中，因为AB ＝12(海里)，∠BAC ＝120°，BC ＝28(海里)，∠BCA ＝α，由正弦定理，得AB sin α＝BC sin 120°. 即sin α＝ABsin 120°BC＝12×3228＝3314. 15．如图所示，甲船由A 岛动身向北偏东45°的方向作匀速直线航行，速度为15 2 n mile/h ，在甲船从A 岛动身的同时，乙船从A 岛正南40 n mile 处的B 岛动身，朝北偏东θ⎝ ⎛⎭⎪⎫tan θ＝12的方向作匀速直线航行，速度为m n mile/h.(1)若两船能相遇，求m.(2)当m ＝105时，求两船动身后多长时刻距离最近，最近距离为多少n mile? 解析 (1)设t 小时后，两船在M 处相遇， 由tan θ＝12，得sin θ＝55，cos θ＝255，因此sin ∠AMB ＝sin(45°－θ)＝1010. 由正弦定理，AM sin θ＝AB sin ∠AMB，∴AM ＝402， 同理得BM ＝40 5.∴t ＝402152＝83，m ＝40583＝15 5. (2)以A 为原点，BA 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设在t 时刻甲、乙两船分别在P(x1，y1)，Q(x2，y2)处，则|AP|＝152t ，|BQ|＝105t.由任意角三角函数的定义，可得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x1＝152tcos45°＝15t ，y1＝152tsin45°＝15t ， 即点P 的坐标是(15t,15t)， ⎩⎪⎨⎪⎧x2＝105tsin θ＝10t ，y2＝105tcos θ－40＝20t －40， 即点Q 的坐标是(10t,20t －40)， ∴|PQ|＝－5t 2＋5t －402＝50t2－400t ＋1600＝50t －42＋800≥202，当且仅当t ＝4时，|PQ|取得最小值202，即两船动身4小时时，距离最近，最近距离为20 2 n mile.16．某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇动身时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/时的航行速度匀速行驶，通过t 小时与轮船相遇．(1)若期望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时刻与轮船相遇，并说明理由．思路分析 第(1)问建立航行距离与时刻的函数关系式；第(2)问建立速度与时刻的函数关系式．解析 (1)设相遇时小艇航行的距离为S 海里，则S ＝900t2＋400－2·30t ·20·cos 90°－30°＝900t2－600t ＋400＝ 900⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132＋300. 故当t ＝13时，Smin ＝103(海里)， 现在v ＝10313＝303(海里/时)．即小艇以303海里/时的速度航行相遇时小艇的航行距离最小． (2)设小艇与轮船在B 处相遇，则v2t2＝400＋900t2－2·20·30t ·cos(90°－30°)， 故v2＝900－600t ＋400t2，∵0＜v ≤30，∴900－600t ＋400t2≤900，即2t2－3t ≤0，解得t ≥23. 又t ＝23时，v ＝30海里/时．故v ＝30海里/时时，t 取得最小值，且最小值等于23.现在，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20海里，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时刻与轮船相遇．【点评】 解决这一类问题一样是依照余弦定理来建立函数关系式，利用函数的有关知识解决问题，充分表达了函数与方程思想的重要性.。
【教育资料】【四川专用(理)】【步步高】届高三数学大一轮复习讲义【配套word版文档】4.6学习精品
§4.6 正弦定理和余弦定理2019高考会这样考 1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查．复习备考要这样做 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合．1． 正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题．2． 余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.3． S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r .4． 在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：[1． 在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B .2． 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换． 1． 在△ABC 中，若A ＝60°，a ＝3，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________.答案 2解析 由正弦定理及等比性质知a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝2R ， 而由A ＝60°，a ＝3， 得a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝2R ＝a sin A ＝3sin 60°＝2.2． (2019·福建)已知△ABC 的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________． 答案 －24解析 设三角形的三边长从小到大依次为a ，b ，c ， 由题意得b ＝2a ，c ＝2a . 在△ABC 中，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋2a 2－4a 22×a ×2a＝－24.3． (2019·重庆)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝________. 答案145解析 在△ABC 中，∵cos A ＝35>0，∴sin A ＝45.∵cos B ＝513>0，∴sin B ＝1213.∴sin C ＝sin [π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45×513＋35×1213＝5665. 由正弦定理知b sin B ＝csin C ，∴c ＝b sin Csin B ＝3×56651213＝145.4．(2019·课标全国)在△ABC中，B＝60°，AC＝3，则AB＋2BC的最大值为________．答案27解析由正弦定理知ABsin C＝3sin 60°＝BCsin A，∴AB＝2sin C，BC＝2sin A.又A＋C＝120°，∴AB＋2BC＝2sin C＋4sin(120°－C) ＝2(sin C＋2sin 120°cos C－2cos 120°sin C)＝2(sin C＋3cos C＋sin C)＝2(2sin C＋3cos C)＝27sin(C＋α)，其中tan α＝32，α是第一象限角，由于0°＜C＜120°，且α是第一象限角，因此AB＋2BC有最大值27.5．已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝162，则三角形的面积为()A．2 2 B．8 2 C. 2 D.2 2答案 C解析∵asin A＝bsin B＝csin C＝2R＝8，∴sin C＝c8，∴S△ABC＝12ab sin C＝116abc＝116×162＝ 2.题型一利用正弦定理解三角形例1在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°.求角A、C和边c.思维启迪：已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的个数的判断．解由正弦定理得asin A＝bsin B，3sin A＝2sin 45°，∴sin A＝3 2.∵a>b，∴A＝60°或A＝120°.当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c ＝b sin Csin B ＝6＋22；当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°， c ＝b sin Csin B ＝6－22.探究提高 (1)已知两角及一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则角A 的大小为___________． 答案 π6解析 ∵A ＋C ＝2B 且A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3.由正弦定理知：sin A ＝a sin B b ＝12，又a <b ，∴A <B ，∴A ＝π6.题型二 利用余弦定理求解三角形例2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos B cos C ＝－b2a ＋c.(1)求角B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．思维启迪：由cos B cos C ＝－b2a ＋c ，利用余弦定理转化为边的关系求解．解 (1)由余弦定理知：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .将上式代入cos B cos C ＝－b2a ＋c 得：a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b 2a ＋c ， 整理得：a 2＋c 2－b 2＝－ac .∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12.∵0<B <π，∴B ＝23π.(2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ， ∴13＝16－2ac ⎝⎛⎭⎫1－12，∴ac ＝3. ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝334.探究提高 (1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键．(2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A 2＋cos A ＝0. (1)求角A 的值；(2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积． 解 (1)由2cos 2A2＋cos A ＝0，得1＋cos A ＋cos A ＝0，即cos A ＝－12，∵0<A <π，∴A ＝2π3.(2)由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，A ＝2π3，则a 2＝(b ＋c )2－bc ，又a ＝23，b ＋c ＝4，有12＝42－bc ，则bc ＝4， 故S △ABC ＝12bc sin A ＝ 3.题型三 正弦定理、余弦定理的综合应用例3 (2019·课标全国)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sinC －b －c ＝0. (1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .思维启迪：利用正弦定理将边转化为角，再利用和差公式可求出A ；面积公式和余弦定理相结合，可求出b ，c .解 (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0.因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0. 由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12. 又0<A <π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.探究提高 在已知关系式中，若既含有边又含有角．通常的思路是将角都化成边或将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求角．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .(1)若c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状． 解 (1)∵c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得a 2＋b 2－ab ＝4. 又∵△ABC 的面积为3，∴12ab sin C ＝3，ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)由sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ， 得sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin A cos A ，即2sin B cos A ＝2sin A cos A ，∴cos A ·(sin A －sin B )＝0， ∴cos A ＝0或sin A －sin B ＝0，当cos A ＝0时，∵0<A <π， ∴A ＝π2，△ABC 为直角三角形；当sin A －sin B ＝0时，得sin B ＝sin A ， 由正弦定理得a ＝b ， 即△ABC 为等腰三角形．∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．高考中的解三角形问题典例：(12分)(2019·辽宁)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .角A ，B ，C 成等差数列． (1)求cos B 的值；(2)边a ，b ，c 成等比数列，求sin A sin C 的值．考点分析 本题考查三角形的性质和正弦定理、余弦定理，考查转化能力和运算求解能力．解题策略 根据三角形内角和定理可直接求得B ；利用正弦定理或余弦定理转化到只含角或只含边的式子，然后求解． 规范解答解 (1)由已知2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝180°，解得B ＝60°， 所以cos B ＝12.[4分](2)方法一 由已知b 2＝ac ，及cos B ＝12，根据正弦定理得sin 2B ＝sin A sin C ，[8分] 所以sin A sin C ＝1－cos 2B ＝34.[12分]方法二 由已知b 2＝ac ，及cos B ＝12，根据余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ＝12，解得a ＝c ，[8分]所以A ＝C ＝B ＝60°，故sin A sin C ＝34.[12分]解后反思 (1)在解三角形的有关问题中，对所给的边角关系式一般要先化为只含边之间的关系或只含角之间的关系，再进行判断．(2)在求解时要根据式子的结构特征判断使用哪个定理以及变形的方向. 方法与技巧1． 应熟练掌握和运用内角和定理：A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．2． 正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sin B ·sin C ·cos A ，可以进行化简或证明． 失误与防范1． 在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解，所以要进行分类讨论．2． 利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． (2019·广东)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC 等于( )A ．4 3B ．2 3C. 3D.32答案 B解析 在△ABC 中，AC sin B ＝BCsin A， ∴AC ＝BC ·sin Bsin A ＝32×2232＝2 3.2． (2019·浙江)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，则sinA cos A ＋cos 2B 等于( )A ．－12B.12C ．－1D ．1答案 D解析 ∵a cos A ＝b sin B ，∴sin A cos A ＝sin B sin B ， 即sin A cos A －sin 2B ＝0，∴sin A cos A －(1－cos 2B )＝0， ∴sin A cos A ＋cos 2B ＝1.3． 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形答案 C解析 因为a ＝2b cos C ，所以由余弦定理得：a ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab ，整理得b 2＝c 2，因此三角形一定是等腰三角形．4． (2019·湖南)△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )A.32B.332C.3＋62D.3＋394答案 B解析 设AB ＝a ，则由AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B 知7＝a 2＋4－2a ，即a 2－2a －3＝0，∴a ＝3(负值舍去)． ∴BC 边上的高为AB ·sin B ＝3×32＝332. 二、填空题(每小题5分，共15分)5． (2019·北京)在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，sin A ＝13，则a ＝________.答案523解析 根据正弦定理应有a sin A ＝b sin B， ∴a ＝b sin Asin B ＝5×1322＝523.6． (2019·福建)若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于________．答案 2解析 由于S △ABC ＝3，BC ＝2，C ＝60°，∴3＝12×2·AC ·32，∴AC ＝2，∴△ABC 为正三角形．∴AB ＝2.7． 在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝910，则BC ＝________.答案 4或5解析 设BC ＝x ，则由余弦定理AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C 得5＝25＋x 2－2·5·x ·910，即x 2－9x ＋20＝0，解得x ＝4或x ＝5. 三、解答题(共22分)8． (10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC→＝3.(1)求△ABC 的面积； (2)若b ＋c ＝6，求a 的值．解 (1)∵cos A 2＝255，∴cos A ＝2cos 2A 2－1＝35，∴sin A ＝45.又AB →·AC →＝3，∴bc cos A ＝3，∴bc ＝5.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×5×45＝2.(2)由(1)知，bc ＝5，又b ＋c ＝6， 根据余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ＝36－10－10×35＝20，∴a ＝2 5.9． (12分)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，4sin 2B ＋C 2－cos 2A ＝72.(1)求A 的度数；(2)若a ＝3，b ＋c ＝3，求b 、c 的值． 解 (1)∵B ＋C ＝π－A ，即B ＋C 2＝π2－A2，由4sin 2B ＋C 2－cos 2A ＝72，得4cos 2A 2－cos 2A ＝72，即2(1＋cos A )－(2cos 2A －1)＝72，整理得4cos 2A －4cos A ＋1＝0，即(2cos A －1)2＝0. ∴cos A ＝12，又0°<A <180°，∴A ＝60°.(2)由A ＝60°，根据余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc， 即b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴b 2＋c 2－bc ＝3，① 又b ＋c ＝3，②∴b 2＋c 2＋2bc ＝9.③①－③整理得：bc ＝2.④解②④联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，c ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝1.B 组 专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． (2019·上海)在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定 答案 A解析 由正弦定理知a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ， ∴sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R. ∵sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，∴a 24R 2＋b 24R 2<c 24R 2，∴a 2＋b 2<c 2， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0， ∴C 为钝角，∴△ABC 为钝角三角形．2． (2019·辽宁)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则b a等于 ( ) A ．2 3B ．2 2 C. 3 D. 2答案 D解析 ∵a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，∴sin A sin A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，∴sin B ＝2sin A ，∴b a ＝sin B sin A ＝ 2. 3． (2019·湖北)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A >B >C,3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( ) A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶4答案 D解析 ∵A >B >C ，∴a >b >c .设a ＝b ＋1，c ＝b －1，由3b ＝20a cos A 得3b ＝20(b ＋1)×b 2＋(b －1)2－(b ＋1)22b (b －1). 化简，得7b 2－27b －40＝0.解得b ＝5或b ＝－87(舍去)，∴a ＝6，c ＝4. ∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝6∶5∶4.二、填空题(每小题5分，共15分)4． 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知a ，b ，c 成等比数列，且a 2－c 2＝ac －bc ，则∠A ＝________，△ABC 的形状为__________．答案 60° 正三角形解析 ∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac .又a 2－c 2＝ac －bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc .在△ABC 中，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∴∠A ＝60°.由b 2＝ac ，即a ＝b 2c ，代入a 2－c 2＝ac －bc ，整理得(b －c )(b 3＋c 3＋cb 2)＝0，∴b ＝c .∴△ABC 为正三角形．5． 在△ABC 中，若∠A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C的值为________．答案 2393解析 ∵S △ABC ＝3，即12bc sin A ＝3，∴c ＝4. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝13，∴a ＝13，∴a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝2133＝2393.6． 在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若b a ＋a b ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan C tan B的值是______．答案 4解析 由b a ＋a b＝6cos C ，得b 2＋a 2＝6ab cos C . 化简整理得2(a 2＋b 2)＝3c 2，将tan C tan A ＋tan C tan B切化弦， 得sin C cos C ·(cos A sin A ＋cos B sin B )＝sin C cos C ·sin (A ＋B )sin A sin B ＝sin C cos C ·sin C sin A sin B ＝sin 2C cos C sin A sin B. 根据正、余弦定理得sin 2C cos C sin A sin B ＝c 2ab ·a 2＋b 2－c 22ab＝2c 2a 2＋b 2－c 2＝2c 232c 2－c 2＝4.三、解答题7． (13分)(2019·浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝23，sin B ＝5cos C .(1)求tan C 的值；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．解 (1)因为0<A <π，cos A ＝23， 得sin A ＝1－cos 2A ＝53. 又5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53cos C ＋23sin C ， 所以tan C ＝ 5.(2)由tan C ＝5，得sin C ＝56，cos C ＝16. 于是sin B ＝5cos C ＝56， 由a ＝2及正弦定理a sin A ＝c sin C，得c ＝ 3. 设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ac sin B ＝52.。
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§4.7解三角形应用举例2019高考会这样考考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中和三角形有关的角度、方向、距离等测量问题．复习备考要这样做 1.会从实际问题抽象中解三角形问题，培养建模能力；2.掌握解三角形实际应用的基本方法，体会数学在实际问题中的应用．1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．2．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．(3)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值．3．解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．[难点正本疑点清源]解三角形应用题的两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．1．在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角是70°，则∠BAC＝________.答案130°解析 由已知∠BAD ＝60°，∠CAD ＝70°，∴∠BAC ＝60°＋70°＝130°.2． (2019·上海)在相距2千米的A ，B 两点处测量目标C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A ，C 两点之间的距离是__________千米．答案 6解析 如图所示，由题意知∠C ＝45°，由正弦定理得AC sin 60°＝2sin 45°， ∴AC ＝222·32＝ 6. 3． 江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________ m. 答案 10 3解析 如图，OA 为炮台，M 、N 为两条船的位置，∠AMO ＝45°，∠ANO＝60°，OM ＝AO tan 45°＝30，ON ＝AO tan 30°＝33×30＝103， 由余弦定理得，MN ＝900＋300－2×30×103×32＝300＝103(m)． 4． 某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为45°，沿倾斜角为30°的斜坡前进1 000 m 后到达D 处，又测得山顶的仰角为60°，则山的高度BC 为____________ m.答案 500(3＋1)解析 过点D 作DE ∥AC 交BC 于E ，因为∠DAC ＝30°，故∠ADE ＝150°.于是∠ADB ＝360°－150°－60°＝150°.又∠BAD ＝45°－30°＝15°，故∠ABD ＝15°，由正弦定理得AB ＝AD sin ∠ADB sin ∠ABD＝1 000sin 150°sin 15°＝500(6＋2)(m)． 所以在Rt △ABC 中，BC ＝AB sin 45°＝500(3＋1)(m)．5． 两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站北偏东40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( ) A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°答案 B解析 灯塔A 、B 的相对位置如图所示，由已知得∠ACB ＝80°，∠CAB ＝∠CBA ＝50°，则α＝60°－50°＝10°，即北偏西10°.题型一 测量距离问题例1 要测量对岸A 、B 两点之间的距离，选取相距 3 km 的C 、D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，求A 、B 之间的距离．思维启迪：将题中距离、角度转化到一个三角形中，再利用正、余弦定理解三角形． 解 如图所示，在△ACD 中，∠ACD ＝120°，∠CAD ＝∠ADC ＝30°，∴AC ＝CD ＝ 3 km.在△BCD 中，∠BCD ＝45°，∠BDC ＝75°，∠CBD ＝60°.∴BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋22. 在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222－2×3×6＋22×cos 75° ＝3＋2＋3－3＝5， ∴AB ＝ 5 (km)，∴A 、B 之间的距离为 5 km.探究提高 这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解． 注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正、余弦定理要恰当．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2分钟，从D 沿着DC 走到C 用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米．答案 507解析 连接OC ，在△OCD 中，OD ＝100，CD ＝150，∠CDO ＝60°，由余弦定理可得OC 2＝1002＋1502－2×100×150×12＝17 500， 解得OC ＝507(米)．题型二 测量高度问题例2 某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30°，求塔高．思维启迪：依题意画图，某人在C 处，AB 为塔高，他沿CD 前进，CD ＝40米，此时∠DBF ＝45°，从C 到D 沿途测塔的仰角，只有B到测试点的距离最短时，仰角才最大，这是因为tan ∠AEB ＝AB BE，AB 为定值，BE 最小时，仰角最大．要求出塔高AB ，必须先求BE ，而要求BE ，需先求BD (或BC )．解 如图所示，某人在C 处，AB 为塔高，他沿CD 前进，CD ＝40，此时∠DBF ＝45°，过点B 作BE ⊥CD 于E ，则∠AEB ＝30°，在△BCD 中，CD ＝40，∠BCD ＝30°，∠DBC ＝135°，由正弦定理，得CD sin ∠DBC ＝BD sin ∠BCD， ∴BD ＝40sin 30°sin 135°＝202(米)．∠BDE ＝180°－135°－30°＝15°. 在Rt △BED 中，BE ＝DB sin 15°＝202×6－24＝10(3－1)(米)． 在Rt △ABE 中，∠AEB ＝30°，∴AB ＝BE tan 30°＝103(3－3)(米)． 故所求的塔高为103(3－3)米． 探究提高 在测量高度时，要正确理解仰角、俯角的概念，画出准确的示意图，恰当地选取相关的三角形和正、余弦定理逐步进行求解．注意综合应用方程和平面几何、立体几何等知识．如图所示，B ，C ，D 三点在地面的同一直线上，DC＝a ，从C ，D 两点测得A 点的仰角分别为β和α(α<β)，则A 点距地面的高AB 为_______________．答案 a sin αsin βsin (β－α)解析 AB ＝AC sin β，AC sin α＝DC sin ∠DAC ＝a sin (β－α)， 解得AB ＝a sin αsin βsin (β－α). 题型三 测量角度问题例3 某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10 n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9 n mile /h 的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．思维启迪：本题中所涉及的路程在不断变化，但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等，先设出所用时间t ，找出等量关系，然后解三角形．解 如图所示，根据题意可知AC ＝10，∠ACB ＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h ，并在B 处与渔轮相遇，则AB ＝21t ，BC ＝9t ，在△ABC中，根据余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 120°，所以212t 2＝102＋81t 2＋2×10×9t ×12，即360t 2－90t －100＝0，解得t ＝23或t ＝－512(舍去)．所以舰艇靠 近渔轮所需的时间为23h ．此时AB ＝14，BC ＝6.在△ABC 中，根据正弦定理得BC sin ∠CAB ＝AB sin 120°， 所以sin ∠CAB ＝6×3214＝3314， 即∠CAB ≈21.8°或∠CAB ≈158.2°(舍去)．即舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°.所以舰艇以66.8°的方位角航行，需23h 才能靠近渔轮． 探究提高 对于和航行有关的问题，要抓住时间和路程两个关键量，解三角形时将各种关系集中在一个三角形中利用条件．如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ等于A.217B.2114C.32114D.2128答案 B解析 如图所示，在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800，所以BC ＝207.由正弦定理，得 sin ∠ACB ＝AB BC ·sin ∠BAC ＝217. 由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，故cos ∠ACB ＝277. 故cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB cos 30°－sin ∠ACB sin 30°＝2114. 正、余弦定理在实际问题中的应用典例：(12分)如图，在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)海里的B 处有一艘走私船．在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，以B 处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．审题视角 (1)分清已知条件和未知条件(待求)．(2)将问题集中到一个三角形中，如△ABC 和△BCD .(3)利用正弦定理或余弦定理求解．规范解答解 设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则CD ＝103t (海里)，BD ＝10t (海里)，[1分]在△ABC 中，由余弦定理，有BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC＝(3－1)2＋22－2(3－1)·2·cos 120°＝6.∴BC ＝6(海里)．[3分]又∵BC sin ∠BAC ＝AC sin ∠ABC， ∴sin ∠ABC ＝AC ·sin ∠BAC BC ＝2·sin 120°6＝22， ∴∠ABC ＝45°，∴B 点在C 点的正东方向上，∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°，[5分]在△BCD 中，由正弦定理，得BD sin ∠BCD ＝CD sin ∠CBD， ∴sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝10t ·sin 120°103t＝12. ∴∠BCD ＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶．[8分]又在△BCD 中，∠CBD ＝120°，∠BCD ＝30°，∴D ＝30°，∴BD ＝BC ，即10t ＝ 6.∴t ＝610小时≈15(分钟)．[11分] ∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．[12分] 答题模板解斜三角形应用题的一般步骤为第一步：分析——理解题意，分清已知与未知，画出示意图；第二步：建模——根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；第三步：求解——利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解； 第四步：检验——检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．温馨提醒 (1)由实际出发，构建数学模型是解应用题的基本思路．如果涉及三角形问题，我们可以把它抽象为解三角形问题进行解答，之后再还原成实际问题，即利用上述模板答题．(2)本题的易错点：不能将已知和待求量转化到同一个三角形中，无法运用正、余弦定理求解.方法与技巧1．合理应用仰角、俯角、方位角、方向角等概念建立三角函数模型．2．把生活中的问题化为二维空间解决，即在一个平面上利用三角函数求值．3．合理运用换元法、代入法解决实际问题．失误与防范在解实际问题时，应正确理解如下角的含义．1．方向角——从指定方向线到目标方向线的水平角．2．方位角——从正北方向线顺时针到目标方向线的水平角．3．坡度——坡面与水平面所成的二面角的正切值．4．仰角与俯角——与目标视线在同一铅直平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时称为仰角，目标视线在水平视线下方时称为俯角．A 组 专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． 如果在测量中，某渠道斜坡的坡度为34，设α为坡角，那么cos α等于 ( ) A.35B.45C.34D.43 答案 B解析 因为tan α＝34，所以cos α＝45. 2． 有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( )A ．1B ．2sin 10°C ．2cos 10°D ．cos 20°答案 C解析 如图，∠ABC ＝20°，AB ＝1，∠ADC ＝10°，∴∠ABD ＝160°.在△ABD 中，由正弦定理得AD sin 160°＝AB sin 10°， ∴AD ＝AB ·sin 160°sin 10°＝sin 20°sin 10°＝2cos 10°. 3． 一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( ) A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m 答案 A解析 设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，∠A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝3h ，根据余弦定理得，(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m.4. 如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A 、B 两点的距离为( ) A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 mD.2522m 答案 A解析 ∵∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，∴∠ABC ＝180°－105°－45°＝30°.在△ABC 中，由正弦定理得AB sin C ＝AC sin B ， ∴AB ＝AC ·sin C sin B ＝50×2212＝50 2 (m)． 二、填空题(每小题5分，共15分)5． 甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________________．答案 203米、4033米解析 如图，依题意有甲楼的高度为AB ＝20·tan 60°＝203(米)，又CM ＝DB ＝20(米)，∠CAM ＝60°，所以AM ＝CM ·1tan 60°＝2033(米)，故乙楼的高度为CD ＝203－2033＝4033(米)． 6． 一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为______ km. 答案 30 2解析 如图所示，依题意有AB ＝15×4＝60，∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°，在△AMB 中，由正弦定理得60sin 45°＝BM sin 30°，解得BM ＝30 2 (km)．7. 如图，在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA＝60°，∠BCD ＝135°，则BC 的长为________．答案 8 2解析 在△ABD 中，设BD ＝x ，则BA 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos ∠BDA ，即142＝x 2＋102－2·10x ·cos 60°，整理得x 2－10x －96＝0，解之得x 1＝16，x 2＝－6(舍去)．在△BCD 中，由正弦定理：BC sin ∠CDB ＝BD sin ∠BCD ， ∴BC ＝16sin 135°·sin 30°＝8 2. 三、解答题(共22分)8． (10分)如图所示，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个观测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30 m ，并在点C 处测得塔顶A 的仰角为60°，求塔高AB .解 在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°，由正弦定理，得BC sin ∠BDC ＝CD sin ∠CBD， 所以BC ＝30sin 30°sin 135°＝15 2 (m)．在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·tan ∠ACB ＝152tan 60°＝15 6 (m)．所以塔高AB 为15 6 m.9． (12分)如图，在△ABC 中，已知∠B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD＝10，AC ＝14，DC ＝6，求AB 的长．解 在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC＝100＋36－1962×10×6＝－12， ∴∠ADC ＝120°，∴∠ADB ＝60°.在△ABD 中，AD ＝10，∠B ＝45°，∠ADB ＝60°，由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝AD sin B， ∴AB ＝AD ·sin ∠ADB sin B ＝10sin 60°sin 45°＝10×3222＝5 6.B 组 专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分) 1． 在△ABC 中，已知∠A ＝45°，AB ＝2，BC ＝2，则∠C 等于( ) A ．30°B ．60°C ．120°D ．30°或150°答案 A解析 利用正弦定理可得2sin 45°＝2sin C ， ∴sin C ＝12，∴∠C ＝30°或150°. 又∵∠A ＝45°，且∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴∠C ＝30°，故选A. 2． 某人向正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3 km ，结果他离出发点恰好是 3 km ，那么x 的值为 ( )A. 3B ．2 3 C.3或2 3D ．3 答案 C解析 如图所示，设此人从A 出发，则AB ＝x ，BC ＝3，AC ＝3，∠ABC＝30°，由余弦定理得(3)2＝x 2＋32－2x ·3·cos 30°，整理，得x 2－33x ＋6＝0，解得x ＝3或2 3.3． 一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直 线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( ) A ．102海里B ．103海里C ．203海里D ．202海里答案 A解析 如图，易知，在△ABC 中，AB ＝20，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝AB sin 45°，解得BC ＝102(海里)． 二、填空题(每小题5分，共15分)4． 一船由B 处向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔C 、D 恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后到达A 处，看见灯塔C 在它的南偏西60°方向，灯塔D 在它的南偏西75°方向，则这艘船的速度是______海里/小时．答案 10解析 如图所示，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10，在直角三角形ABC 中，得AB ＝5，于是这艘船的速度是50.5＝10(海里/小时)．5． 某路边一树干被大风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是__________米．答案 2063解析 如图，设树干底部为O ，树尖着地处为B ，折断点为A ，则∠ABO ＝45°，∠AOB ＝75°，∴∠OAB ＝60°.由正弦定理知，AO sin 45°＝20sin 60°， ∴AO ＝2063(米)． 6． 在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD ＝12DC ，∠ADB ＝120°，AD ＝2.若△ADC 的面积为3－3，则∠BAC ＝_____.答案 60°解析 S △ADC ＝12×2×DC ×32＝3－3， 解得DC ＝2(3－1)，∴BD ＝3－1，BC ＝3(3－1)．在△ABD 中，AB 2＝4＋(3－1)2－2×2×(3－1)×cos 120°＝6，∴AB ＝ 6.在△ACD 中，AC 2＝4＋[2(3－1)]2－2×2×2(3－1)×cos 60°＝24－123，∴AC ＝6(3－1)，则cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝12， ∴∠BAC ＝60°.三、解答题7． (13分)如图，A 、B 、C 、D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B 、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°、30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B 、D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B 、D 的距离(计算结果精确到0.01 km ，2≈1.414，6≈2.449)．解 在△ACD 中，∠DAC ＝30°，∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，所以CD ＝AC ＝0.1.又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD ＝BA .在△ABC 中，AB sin ∠BCA ＝AC sin ∠ABC，所以AB ＝AC sin 60°sin 15°＝32＋620， 即BD ＝32＋620≈0.33(km)． 故B 、D 的距离约为0.33 km.。