全等几何模型讲解
全等三角形的10个模型(一)
全等三角形的10个模型（一）引言概述：全等三角形是指两个或多个三角形的对应边和对应角完全相等的情况。
全等三角形在几何学中有广泛的应用，不仅在证明和推导定理时起到重要的作用，还在实际问题的解决中提供了有力的工具。
本文将介绍十个关于全等三角形的模型。
这些模型旨在帮助读者更好地理解和运用全等三角形的性质和应用。
正文：1. 模型一：完全相等的三边- 全等三角形的基本条件就是三边相等。
- 通过边的对应关系确定两个三角形是否全等。
- 证明时可利用边长相等的性质进行推导。
2. 模型二：完全相等的两边和夹角- 如果已知两个三角形的两边和夹角都相等，则这两个三角形全等。
- 通过边角边（SAS）或角边角（ASA）的条件可以判定两个三角形相等。
3. 模型三：完全相等的两角和夹边- 如果已知两个三角形的两角和夹边都相等，则这两个三角形全等。
- 边角边（SAS）或角边角（ASA）的条件可以判定两个三角形相等。
4. 模型四：等腰三角形和全等条件- 等腰三角形是指两边相等或两角相等的三角形。
- 如果两个三角形中有一个是等腰三角形，且两个等腰三角形的两边或两角都相等，则这两个三角形全等。
5. 模型五：直角三角形和全等条件- 直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。
- 如果两个三角形中有一个是直角三角形，且两个直角三角形的两边或两个锐角均相等，则这两个三角形全等。
总结：通过十个模型的介绍，我们可以看到全等三角形是几何学中一个重要而广泛应用的概念。
理解全等三角形的性质和应用对于解决几何问题具有重要意义。
在实际问题中，我们常常可以利用全等三角形的模型来推导和证明定理，从而得出更深入的结论。
初中数学全等几何模型
初中数学全等几何模型
初中数学全等几何模型是初中数学中非常重要的一个概念，也是初中数学中比较难理解的一个概念。
全等是指具有相同形状和大小的两个或多个图形，全等的概念是几何学中最基本的概念之一。
本文将对初中数学全等几何模型进行详细介绍。
首先，全等的概念非常重要，因为在几何学中，全等是进行几何证明的基础。
全等的证明方法有很多种，包括SSS、SAS、ASA、AAS
等方法。
其中，SSS法是指两个三角形的三边相等，SAS法是指两个
三角形的两边和夹角相等，ASA法是指两个三角形的一边和两个夹角相等，AAS法是指两个三角形的两个夹角和一边相等。
其次，全等的几何模型也非常重要。
全等的几何模型有很多种，其中包括三角形、平行四边形、矩形、正方形、菱形等。
这些几何模型具有相同的形状和大小，因此它们可以相互转化。
例如，一个矩形可以通过对角线对折变成两个全等的直角三角形，而一个平行四边形可以通过平移和旋转变成另一个全等的平行四边形。
最后，全等的几何模型在初中数学中也有很多应用。
例如，可以利用全等的几何模型来解决关于角度、距离和面积等问题。
在解决这些问题时，需要注意到全等的几何模型在转化过程中必须保证形状和大小不变，否则结果可能会出现错误。
总之，初中数学全等几何模型是初中数学中非常重要的一个概念。
掌握全等的概念和几何模型可以帮助学生更好地理解几何学的基础
知识，同时也有助于学生在应用数学中更加准确地解决问题。
6、全等模型汇总--陆老师
全等模型汇总编辑：陆老师2023.10.15【模型解读】把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，图②是常见的平移型全等三角线.【常见模型】【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等.【常见模型】【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件. 【常见模型】【模型解读】基本图形如下：此类图形通常告诉BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B=∠CAE.【常见模型】【模型解读】模型主体为两个直角三角形，且两条斜边互相垂直。
【常见模型】将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。
【模型图示】公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。
对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得。
共顶点模型，亦称“手拉手模型”，是指两个顶角相等的等腰或者等边三角形的顶点重合，两个三角形的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。
寻找共顶点旋转模型的步骤如下： （1）寻找公共的顶点（2）列出两组相等的边或者对应成比例的边（3）将两组相等的边分别分散到两个三角形中去，证明全等或相似即可。
两等边三角形 两等腰直角三角形 两任意等腰三角形 *常见结论：连接BD 、AE 交于点F ，连接CF ，则有以下结论： （1）BCD ACE ≅△△ （2）AE BD = （3）AFB DFE ∠=∠ （4）FC BFE ∠平分【常见模型】（等腰）（等边）（等腰直角）一、等边三角形手拉手-出全等二、等腰直角三角形手拉手-出全等两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中（B、C、D不共线）始终有：①△BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置关系）且BD=AE（数量关系）；③FC平分∠BFE；旋转全等模型半角：有一个角含1/2角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题旋转半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
全等模型-手拉手模型--常见几何模型归纳(学生版)
全等模型-手拉手模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型(手拉手(旋转)模型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.手拉手模型(三角形)【模型解读】将两个三角形绕着公共顶点(即头)旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。
公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。
对应操作：左手拉左手(即连结BD)，右手拉右手(即连结CE)，得△ABD≅△ACE。
【常见模型及证法】(等边)(等腰直角)(等腰)1(2022·北京东城·九年级期末)如图，在等边三角形ABC中，点P为△ABC内一点，连接AP，BP，CP，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到AP ，连接PP ，BP ．(1)用等式表示BP 与CP的数量关系，并证明；(2)当∠BPC=120°时， ①直接写出∠P BP的度数为；②若M为BC的中点，连接PM，请用等式表示PM与AP的数量关系，并证明．2(2022·黑龙江·中考真题)△ABC和△ADE都是等边三角形．(1)将△ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P(点P与点A重合)，有PA+ PB=PC(或PA+PC=PB)成立；请证明．(2)将△ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；(3)将△ADE绕点A 旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．3(2023·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则∠C′BA的度数为()A.15°B.20°C.30°D.45°4(2022·青海·中考真题)两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.(1)问题发现：如图1，若△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：BD= CE；(2)解决问题：如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.图1 图25(2022秋·江苏·八年级期中)点D为△ABC外一点，∠ACB=90°，AC=BC．(1)如图1，∠DCE=90°，CD=CE，求证：∠ADC=∠BEC；(2)如图2，若∠CDB=45°，AE∥BD，CE⊥CD，求证：AE=BD；模型2.手拉手模型(正多边形型)【模型解读】将两个多边形绕着公共顶点(即头)旋转某一角度后能完全重合，则这两个多边形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。
初中数学全等几何模型
初中数学全等几何模型
初中数学全等几何模型是初中数学教学中一个非常重要的概念。
全等几何模型是指两个几何图形在形状和大小上完全相同。
在初中数学中，我们常常使用全等几何模型来解决各种问题。
例如，在计算几何图形的面积和周长时，我们需要先判断这些图形是否全等。
在初中数学中，我们学习了很多关于全等几何模型的知识。
首先，我们需要学习如何判断两个几何图形是否全等。
这包括学习各种全等条件，如SSS、SAS、ASA、AAS等。
其次，我们需要学习全等几何模型的性质，例如：对于全等的三角形，对应的角度和边长是相等的；对于全等的平行四边形，对应的角度和对边是相等的；对于全等的圆，半径和直径是相等的。
最后，我们需要学习如何利用全等几何模型来解决各种问题。
例如，在解决角度问题时，我们可以利用全等三角形的角度相等的性质来求解。
在解决长度问题时，我们可以利用全等三角形的边长比例相等的性质来求解。
总之，初中数学全等几何模型是初中数学教学中非常重要的一部分，它帮助我们更好地理解几何图形的性质和关系，提高了我们的数学思维水平和解题能力。
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(完整版)全等正方体常见的几何模型
(完整版)全等正方体常见的几何模型全等正方体常见的几何模型
全等正方体是指具有相同边长和相同角度的正方体。
它是一种非常常见的几何模型，广泛应用于数学、工程和制造领域。
下面介绍几种常见的全等正方体模型。
1. 立方体：立方体是最基本的全等正方体模型。
它具有六个相等的正方形面和八个相等的顶点，每个角度都为90度。
立方体常用于几何学教学、建筑设计和游戏开发等领域。
2. 魔方：魔方，也称为魔方立方体或鲁比克方块，是一种三维拼图游戏。
它由27个小正方体组成，每个面上有一个大正方体。
魔方的六个面都是全等并且可以自由旋转，目标是将魔方还原成六个完整的单色面。
3. 雪花立方体：雪花立方体是指一种全等正方体模型，其六个面上各有一个凹入，使得整个模型形状类似于雪花的外观。
雪花立方体常用于装饰和艺术领域，为空间增添独特的美感。
4. 六面体骰子：六面体骰子，也称作骰子或者色子，是一种常用的博弈工具。
每个面上分别标有1至6个点数，六个面都是全等的正方形。
骰子常用于各种棋类游戏和赌博等活动。
5. 三维液晶显示器：三维液晶显示器是一种先进的显示技术，其中的像素采用全等正方体结构排列。
这种显示器可以呈现更加真实和立体的图像，广泛应用于电视、电脑和虚拟现实等领域。
以上是几种常见的全等正方体模型，它们在不同领域发挥着重要的作用。
全等正方体的几何特性和结构使得它们成为设计和制造中不可或缺的元素。
专题02 全等模型-一线三等角(K字)模型(解析版)
专题02全等模型--一线三等角（K 字）模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（一线三等角（K 字）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.一线三等角（K 型图）模型（同侧型）【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。
【常见模型及证法】同侧型一线三等角（常见）：锐角一线三等角直角一线三等角（“K 型图”）钝角一线三等角条件：A CED B ∠=∠=∠+CE=DE证明思路：,A B C BED ∠=∠∠=∠+任一边相等BED ACE⇒≅ 例1．（2023·江苏·八年级假期作业）探究：如图①，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线m 经过点A ，BD m ⊥于点D ，CE m ⊥于点E ，求证：ABD CAE ≌ ．应用：如图②，在ABC 中，AB AC =，,,D A E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC ∠=∠=∠．求出,DE BD 和CE 的关系．拓展：如图①中，若10DE =，梯形BCED 的面积______．【答案】探究：证明过程见详解；应用：DE BD CE =+，理由见详解；拓展：50【分析】探究：90BAC ∠=︒，AB AC =，可知ABC 是等腰直角三角形，BD m ⊥，CE m ⊥，可知90BDA AEC ∠=∠=︒，可求出BAD ACE ∠=∠，根据角角边即可求证；应用：AB AC =，,,D A E 三点都在(1)如图①，若AB AC ⊥，则BD 与AE 的数量关系为___________，CE 与AD 的数量关系为(2)如图②，判断并说明线段BD ，CE 与DE 的数量关系；(3)如图③，若只保持7BDA AEC BD EF cm ∠=∠==，，点A 在线段DE 上以2cm/s 的速度由点例3．（2022·陕西七年级期末）（1）【问题发现】如图1，△ABC与△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在同一直线上，AB＝3，ED＝4，则BE＝_____．（2）【问题提出】如图2，在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，BC＝4，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积．（3）【问题解决】如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面积为12且CD的长为6，求△BCD的面积．【答案】（1）7；（2）S△BCD＝8；（3）S△BCD＝6．【分析】(1)∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，据同角的余角相等，可得∠ACB＝∠D，由已知条件可证△ABC≌△CED，运动（D 不与B 、C 重合），连接AD ，作40ADE ∠=︒，DE 交线段AC 于E ．(1)当115BDA ∠=︒时，EDC ∠=_____︒，BAD ∠=_____︒，AED =∠_____︒；点D 从B 向C 运动时，BDA ∠逐渐变_____（填“大”或“小”）；(2)当DC 等于多少时，ABD DCE ≌△△，请说明理由；(3)在点D 的运动过程中，ADE V 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出BDA ∠的度数，若不可以，请说明理由．【答案】(1)25，25，65，小(2)当2DC =时，ABD DCE ≌△△，理由见解析；(3)当BDA ∠的度数为110︒或80︒时，ADE V 的形状是等腰三角形．【分析】（1）先求出ADC ∠的度数，即可求出EDC ∠的度数，再利用三角形的外角性质即可求出AED ∠的度数，根据点D 从B 向C 运动时，BAD ∠逐渐增大，而B ∠不变化，180B BAD BDA ∠+∠+∠=︒，即可得到答案；（2）根据全等三角形的判定条件求解即可；（3）先证明当ADE V 时等腰三角形，只存在AD ED =或AE DE =两种情况，然后分这两种情况讨论求解即可；【详解】（1）解：∵115BDA ∠=︒，∴18011565ADC ∠=︒-︒=︒，∵40ADE ∠=︒，∴25EDC ADC ADE ∠︒=∠-∠=，∵ADC ADE EDC B BAD ∠=∠+∠=∠+∠，∴25BAD EDC ∠=∠=︒，∴65AED EDC C ︒∠=∠+∠=；∵点D 从B 向C 运动时，BAD ∠逐渐增大，而B ∠不变化，180B BAD BDA ∠+∠+∠=︒，∴点D 从B 向C 运动时，BDA ∠逐渐变小，故答案为：25，25，65，小；（2）解：当2DC =时，ABD DCE ≌△△，理由：∵40B C ∠=∠=︒，∴140DEC EDC ∠+∠=︒，又∵40ADE ∠=︒，∴140ADB EDC ∠+∠=︒，∴ADB DEC ∠=∠，又∵2AB AC ==，∴()AAS ABD DCE ≌△△；（3）解：当BDA ∠的度数为110°或80°时，ADE V 的形状是等腰三角形，理由：∵40C ADE ∠=∠=︒，AED C EDC ∠=∠+∠，∴AED ADE ∠>∠，∴当ADE V 时等腰三角形，只存在AD ED =或AE DE =两种情况，模型2.一线三等角（K 型图）模型（异侧型）【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。
正方体中常见的全等模型
正方体中常见的全等模型引言正方体是一种常见的三维几何形体，具有六个面、八个顶点和十二条棱。
在正方体中，有许多有趣的全等模型，即通过旋转、镜像等操作可以重合的模型。
本文将介绍一些常见的正方体中的全等模型。
1. 底面相同的正方体首先，考虑两个正方体，其底面相同，边长分别为a和b。
若满足a=b，则可以通过共面旋转将两个正方体重合，因为它们的底面相同。
这样的全等模型称为底面相同的正方体。
2. 对角面对应的正方体其次，考虑两个正方体，它们的对角面分别为A和B。
若满足正方体A的一面与正方体B的一面完全重合，且另一面与另一面完全重合，则可以通过旋转将两个正方体重合。
这样的全等模型称为对角面对应的正方体。
3. 棱对应的正方体再次，考虑两个正方体，它们的一个棱分别为a和b。
若满足正方体A的一条棱与正方体B的一条棱完全重合，且其它棱也对应地重合，则可以通过旋转将两个正方体重合。
这样的全等模型称为棱对应的正方体。
4. 面对应的正方体最后，考虑两个正方体，它们的一个面分别为A和B。
若满足正方体A的一面与正方体B的一面完全重合，而其它面也对应地重合，则可以通过旋转将两个正方体重合。
这样的全等模型称为面对应的正方体。
结论在正方体中，有许多不同类型的全等模型。
本文介绍了底面相同的正方体、对角面对应的正方体、棱对应的正方体和面对应的正方体。
这些全等模型让我们可以更好地理解和探索正方体的性质和特点。
希望本文能对读者在研究和应用正方体时提供帮助。
以上就是正方体中常见的全等模型的介绍。
希望本文能够启发您对正方体的认识，并能够在具体问题中应用这些全等模型。
专题2 全等模型——一线三等角(K字)
初中数学 ︵一线三等角 ︶培优篇全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（一线三等角（K 字）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握．【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等．【常见模型及证法】 同侧型一线三等角（常见）：锐角一线三等角 直角一线三等角（“K 型图”） 钝角一线三等角 条件：A CED B + CE=DE证明思路：,A B C BED +任一边相等⇒△BED ≅△ACE例1．（1）如图1，已知：在△ABC 中，90BAC AB AC ，，直线m 经过点A ，BD 直线m ，CE 直线m ，垂足分别为点D 、E ．证明：DE BD CE ．（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC ，其中α为任意钝角，请问结论DE =BD +CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．初中数学 ︵ 一线三等角 ︶培优篇例2．在直线m 上依次取互不重合的三个点D 、A 、E ，在直线m 上方有AB AC ，且满足BDA AEC BAC ．（1）如图1，当90 时，猜想线段,,DE BD CE 之间的数量关系是____________； （2）如图2，当0180 时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；初中数学 ︵ 一线三等角 ︶培优篇 例3．如图（1）AB ＝9cm ，AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AC ＝BD ＝7cm ，点P 在线段AB 上以2cm /s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动，它们运动的时间为t （s ）．（1）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当t ＝1时，△ACP 与△BPQ 是否全等，请说明理由；（2）在（1）的前提条件下，判断此时线段PC 和线段PQ 的位置关系，并证明； （3）如图（2），将图（1）中的“AC ⊥AB ，BD ⊥AB ”为改“∠CAB ＝∠DBA ＝50°”，其他条件不变．设点Q 的运动速度为xcm /s ，是否存在实数x ，使得△ACP 与△BPQ 全等？若存在，求出相应的x 、t 的值；若不存在，请说明理由．初中数学 ︵ 一线三等角 ︶培优篇【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等．【常见模型及证法】 异侧型一线三等角：锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角条件：FAC ABD CED + 任意一边相等证明思路：,A B C BED +任一边相等⇒△BED ≅△ACE例1．老师在上课时，在黑板上写了一道题：“如图，ABCD 是正方形，点E 在BC 上，DF ⊥AE 于F ，请问图中是否存在一组全等三角形？”小杰同学经过思考发现：△ADF ≌△EAB ．理由如下：因为ABCD 是正方形（已知）所以∠B ＝90°且AD ＝AB 和AD ∥BC 又因为DF ⊥AE （已知）即∠DF A ＝90°（垂直的意义） 所以∠DF A ＝∠B （等量代换）又AD ∥BC 所以∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）在△ADF 和△EAB 中12DFA B AD AB所以△ADF ≌△EAB （AAS ）小胖却说这题是错误的，这两个三角形根本不全等．初中数学 ︵ 一线三等角 ︶培优篇 你知道小杰的错误原因是什么吗？我们再添加一条线段，就能找到与△ADF 全等的三角形，请能说出此线段的做法吗？并说明理由．初中数学 ︵ 一线三等角 ︶培优篇 例2．过正方形ABCD （四边都相等，四个角都是直角）的顶点A 作一条直线MN ．（1）当MN 不与正方形任何一边相交时，过点B 作BE MN 于点E ，过点D 作DF MN 于点F 如图（1），请写出EF ，BE ，DF 之间的数量关系，并证明你的结论．（2）若改变直线MN 的位置，使MN 与CD 边相交如图（2），其它条件不变，EF 、BE 、DF 的关系会发生变化，请直接写出EF 、BE 、DF 的数量关系，不必证明；（3）若继续改变直线MN 的位置，使MN 与BC 边相交如图（3），其它条件不变，EF 、BE 、DF 的关系又会发生变化，请直接写出EF 、BE 、DF 的数量关系，不必证明．初中数学 ︵ 一线三等角 ︶培优篇1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝9，点E 在边AC 上，AE 的中垂线交BC 于点D ，若∠ADE ＝∠B ，CD ＝3BD ，则CE 等于（ ）A ．3 B．22．如图，桌面上竖直放置着一个等腰直角三角板面的距离分别为AD 、BE ．（1）求证：ADC CEB △≌△3．（1）【问题发现】如图1，△ABC 与△CDE 中，∠B ＝∠E ＝∠ACD ＝90°，AC ＝CD ，B 、C 、E 三点在同一直线上，AB ＝3，ED ＝4，则BE ＝_____．（2）【问题提出】如图2，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，BC ＝4，过点C 作CD ⊥AC ，且CD ＝AC ，求△BCD 的面积．初中数学 ︵ 一线三等角 ︶培优篇4．已知：CD是经过∠BCA 的顶点C 的一条直线，CA ＝CB ，E 、F 是直线CD 上两点，∠BEC ＝∠CF A ＝∠α．（1）若直线CD 经过∠BCA 的内部，∠BCD ＞∠ACD ．①如图1，∠BCA ＝90°，∠α＝90°，写出BE ，EF ，AF 间的等量关系： ． ②如图2，∠α与∠BCA 具有怎样的数量关系，能使①中的结论仍然成立？写出∠α与∠BCA 的数量关系 ．（2）如图3．若直线CD 经过∠BCA 的外部，∠α＝∠BCA ，①中的结论是否成立？若成立，进行证明；若不成立，写出新结论并进行证明．初中数学 ︵ 一线三等角 ︶培优篇。
全等正方形9种经典几何模型
全等正方形9种经典几何模型
正方形是一种特殊的四边形，具有相等的边长和直角的特点。
在几何学中，全等正方形是指具有相等边长和角度的正方形。
以下是全等正方形的九种经典几何模型：
1. 基本模型：全等正方形的基本模型是具有四个相等边长和四个直角的正方形。
它是其他九个模型的基础。
2. 反射模型：通过沿对角线折叠，将一个全等正方形的两个角度重叠，可以得到一个全等的镜像状正方形。
3. 旋转模型：将一个全等正方形绕其中心旋转180度，可以得到一个全等于原正方形的旋转状正方形。
4. 拉伸模型：将一个全等正方形的一条边分成两段，使其中一段变长，另一段变短，可以得到一个全等于原正方形的拉伸状正方形。
5. 缩放模型：将一个全等正方形的四条边同时拉伸或收缩，使边长不变，可以得到一个全等于原正方形的缩放状正方形。
6. 组合模型：通过组合两个或多个全等正方形，可以得到一个全等于原正方形的多组合状正方形。
7. 平移模型：将一个全等正方形平移一段距离，可以得到一个全等于原正方形的平移状正方形。
8. 对称模型：以某个点为中心，将一个全等正方形对称成一个全等的对称状正方形。
9. 重叠模型：将两个全等正方形重叠在一起，可以得到一个全等于原正方形的重叠状正方形。
这些全等正方形的几何模型在建筑设计、工程制图和数学研究等领域中具有重要的应用价值。
对于理解正方形的性质和特点，了解这些模型是非常有帮助的。
全等椭圆 六大模型
全等椭圆六大模型
全等椭圆是指在平面上的两个椭圆，在保持形状和大小不变的条件下可以进行相应的平移、旋转、翻转等操作而重合的现象。
这种模型在数学和几何学中具有重要的应用。
下面将介绍全等椭圆的六种常见模型。
1. 旋转模型
旋转模型是指通过将一个椭圆绕指定点旋转一定角度，使其重合于另一个椭圆的模型。
在旋转过程中，保持椭圆的大小和形状不变。
2. 平移模型
平移模型是指通过将一个椭圆沿指定的方向和距离平移，使其重合于另一个椭圆的模型。
在平移过程中，保持椭圆的大小和形状不变。
3. 缩放模型
缩放模型是指通过改变一个椭圆的长轴和短轴的比例，使其重
合于另一个椭圆的模型。
在缩放过程中，保持椭圆的形状不变，但
可以改变其大小。
4. 对称模型
对称模型是指通过将一个椭圆关于某条线对称，使其重合于另
一个椭圆的模型。
在对称过程中，保持椭圆的大小和形状不变。
5. 翻转模型
翻转模型是指通过将一个椭圆绕指定的轴进行翻转，使其重合
于另一个椭圆的模型。
在翻转过程中，保持椭圆的大小和形状不变。
6. 综合模型
综合模型是指在一个全等椭圆模型中，通过组合使用旋转、平移、缩放、对称和翻转等操作，使两个椭圆重合的模型。
在综合模
型中，可以采用不同的操作顺序和组合方法。
以上是全等椭圆的六大模型的简要介绍。
这些模型在几何学中有着广泛的应用，帮助我们理解椭圆的特性和形态变化。
通过研究和探索这些模型，我们可以更加深入地了解椭圆的性质和应用。
(完整版)全等立方体常见的几何模型
(完整版)全等立方体常见的几何模型全等立方体常见的几何模型
简介
全等立方体是一种非常常见的几何模型，具有六个平面面以及
八条边的特点。
它所具备的对称性和均匀性使其在各个领域中得到
广泛应用。
本文将介绍全等立方体的定义、性质和一些常见的应用
场景。
定义
全等立方体是指具有相等边长的立方体。
立方体是一种多面体，每个面都是正方形。
性质
全等立方体具有以下性质：
- 具有六个相等的平面面，每个面都是正方形。
- 具有八条相等的边，每条边的长度都相等。
- 每个顶点都是四个边的交点，每个顶点所连接的三条边围成
的平面角度均为90度。
- 具有对称性，绕任意一条对角线翻转180度仍然保持原样。
应用场景
全等立方体在各个领域中都有广泛的应用，以下是一些常见的
应用场景：
- 数学：全等立方体是立体几何的一个重要概念，它在数学中
被广泛研究和应用。
- 建筑：全等立方体的对称性和稳定性使其成为建筑领域中常
见的立方体结构的基础。
- 工程：全等立方体在工程设计中经常被用于制作模型，用于
模拟和研究不同结构的性能。
- 游戏：全等立方体在游戏设计中经常被用作游戏场景中的基
本模块，具有易于处理和组合的特点。
总结：
全等立方体是一种常见的几何模型，具有六个平面面和八条边。
它具有对称性和均匀性，被广泛应用于数学、建筑、工程和游戏等
领域。
专题02 全等模型-半角模型(解析版)
专题02 全等模型-半角模型(解析版)全等模型-半角模型(解析版)全等模型是高中数学中的重要概念之一，它在几何图形的研究和证明中占据着重要地位。
而半角模型则是全等模型的一种特殊形式，在解题过程中起到简化问题的作用。
本文将深入探讨全等模型和半角模型，分析其定义、性质以及解题方法。
一、全等模型的定义与性质全等模型是指两个几何图形的各个对应部分完全相等。
当两个几何图形的所有对应角相等，对应边相等时，我们可以称这两个图形是全等的。
全等模型不仅包括了普通的三角形全等模型，还包括了平行四边形、直角三角形等特殊图形的全等模型。
全等模型的性质有以下几点：1. 全等模型的对应边和对应角相等。
2. 全等模型的对应线段相等。
3. 全等模型的对应角度相等。
二、半角模型的定义与性质半角模型是指含有一个角的两个图形，其中一个角为已知角，另一个角为未知角。
半角模型常见于求解未知角度的问题，特别是在解三角形问题时经常使用。
半角模型的性质有以下特点：1. 已知角和未知角的对应边是相等的。
2. 已知角和未知角的对应边可以通过等式关系来求解。
3. 半角模型可以通过运用角平分线的性质来简化问题。
三、全等模型与半角模型的关系全等模型包含了半角模型，因为当一个图形是全等模型时，我们可以通过已知角和对应边的关系来推导出未知角的值。
而半角模型是全等模型的一种特殊情况，它将求解未知角度的问题简化为已知角和对应边之间的关系。
在解题过程中，我们可以将全等模型转化为半角模型，通过已知条件等式的关系求解未知角度。
这种转化能够帮助我们更好地理解和解决几何问题，并且降低解题的难度。
四、利用半角模型解题的具体方法利用半角模型解题的具体方法如下：1. 根据已知条件画出给定图形，并标出已知角度和对应边。
2. 将问题转化为半角模型，确定未知角度。
3. 利用已知角度和对应边之间的关系，建立方程或等式。
4. 解方程或等式，求解未知角度的值。
5. 检验解的合理性，并进行必要的推理和证明。
专题01 全等模型-倍长中线与截长补短(解析版)
专题01 全等模型-倍长中线与截长补短全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.倍长中线模型【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。
【常见模型及证法】1、基本型：如图1，在三角形ABC 中，AD 为BC 边上的中线.证明思路：延长AD 至点E ，使得AD =DE . 若连结BE ，则BDE CDA ∆≅∆；若连结EC ，则ABD ECD ∆≅∆；2、中点型:如图2，C 为AB 的中点.证明思路：若延长EC 至点F ，使得CF EC =，连结AF ，则BCE ACF ∆≅∆;若延长DC 至点G ，使得CG DC =，连结BG ，则ACD BCG ∆≅∆.3、中点+平行线型：如图3, //AB CD ，点E 为线段AD 的中点.证明思路：延长CE 交AB 于点F (或交BA 延长线于点F )，则EDC EAF ∆≅∆.例1．（2023·成都市·八年级课时练习）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，△ABC 中，若AB ＝8，AC ＝6，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长AD 到点E ，使DE ＝AD ，连结BE ．请根据小明的方法思考：(1)由已知和作图能得到ADC EDB ≌△△的理由是（ ）．A ．SSSB ．SASC ．AASD ．ASA(2)AD 的取值范围是（ ）．A ．68AD <<B ．1216AD <<C ．17AD << D ．214AD <<(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．【问题解决】如图，AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于点E ，交AD 于F ，且AE ＝EF ．求证：AC ＝BF ．【答案】(1)B (2)C (3)见解析【分析】（1）根据AD =DE ，∠ADC =∠BDE ，BD =DC 推出△ADC 和△EDB 全等即可；（2）根据全等得出BE =AC=6，AE =2AD ，由三角形三边关系定理得出8-6＜2AD ＜8+6，求出即可；（3）延长AD 到M ，使AD =DM ，连接BM ，根据SAS 证△ADC ≌△MDB ，推出BM =AC ，∠CAD =∠M ，根据AE =EF ，推出∠CAD =∠AFE =∠BFD ，求出∠BFD =∠M ，根据等腰三角形的性质求出即可．（1）∵在△ADC 和△EDB 中AD DE ADC BDE BD CD ìïÐÐíïî＝＝＝，∴△ADC ≌△EDB （SAS ），故选B ；（2）∵由（1）知：△ADC ≌△EDB ，∴BE =AC =6，AE =2AD ，∵在△ABE 中，AB =8，由三角形三边关系定理得：8-6＜2AD ＜8+6，∴1＜AD ＜7，故选：C ．（3）延长AD 到点M ，使AD ＝DM ，连接BM ．∵AD 是△ABC 中线∴CD ＝BD∵在△ADC 和△MDB 中DC DB ADC MDB DA DM =ìïÐ=Ðíï=î∴()SAS ADC MDB ≌△△∴BM ＝AC （全等三角形的对应边相等）∠CAD ＝∠M （全等三角形的对应角相等）∵AE ＝EF ，∴∠CAD ＝∠AFE （等边对等角）∵∠AFE ＝∠BFD ，∴∠BFD ＝∠M ，∴BF ＝BM （等角对等边）又∵BM ＝AC ，∴AC ＝BF ．【点睛】本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力．例2．（2022·河南南阳·中考模拟）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容：如图，在ABC V 中，D 是边BC 的中点，过点C 画直线CE ，使//CE AB ，交AD 的延长线于点E ，求证：AD ED=证明∵//CE AB （已知）∴ABD ECD Ð=Ð，BAD CED Ð=Ð（两直线平行，内错角相等）．在ABD △与ECD V 中，∵ABD ECD Ð=Ð，BAD CED Ð=Ð（已证），BD CD =（已知），∴()A.A.S ABD ECD △△≌，∴AD ED =（全等三角形的对应边相等）．（1）【方法应用】如图①，在ABC V 中，6AB =，4AC =，则BC 边上的中线AD 长度的取值范围是______．（2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD 中，//AB CD ，点E 是BC 的中点，若AE 是BAD Ð的平分线，试猜想线段AB 、AD 、DC 之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）【拓展延伸】如图③，已知//AB CF ，点E 是BC 的中点，点D 在线段AE 上，EDF BAE Ð=Ð，若5AB =，2CF =，求出线段DF 的长．【答案】（1）1＜AD ＜5；（2）AD =AB +DC ．理由见解析；（3）DF =3．【分析】（1）延长AD 到E ，使AD =DE ，连接BE ，证△ADC ≌△EDB ，推出AC =BE =4，在△ABE 中，根据三角形三边关系定理得出AB -BE ＜AE ＜AB +BE ，代入求出即可；（2）结论：AD =AB +DC ．延长AE ，DC 交于点F ，证明△ABE ≌△FEC （AAS ），推出AB =CF ，再证明DA =DF 即可解决问题；（3）如图③，延长AE 交CF 的延长线于点G ，证明AB =DF +CF ，可得结论．【详解】解：（1）延长AD 到E ，使AD =DE ，连接BE ，∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，在△ADC和△EDB中，AD DEADC EDBDC DB=ìïÐ=Ðíï=î，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC=BE=4，在△ABE中，AB-BE＜AE＜AB+BE，∴6-4＜2AD＜6+4，∴1＜AD＜5，故答案为：1＜AD＜5；（2）结论：AD=AB+DC．理由：如图②中，延长AE，DC交于点F，∵AB∥CD，∴∠BAF=∠F，在△ABE和△FCE中，AEB FECBAE FBE CEÐ=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△ABE≌△FCE（AAS），∴CF=AB，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAF=∠FAD，∴∠FAD=∠F，∴AD=DF，∵DC+CF=DF，∴DC+AB=AD；（3）如图③，延长AE交CF的延长线于点G，∵E是BC的中点，∴CE=BE，∵AB∥CF，∴∠BAE=∠G，在△AEB和△GEC中，BAE GAEB GECBE CEÐ=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△AEB≌△GEC（AAS），∴AB=GC，∵∠EDF=∠BAE，∴∠FDG=∠G，∴FD=FG，∴AB=DF+CF，∵AB=5，CF=2，∴DF=AB-CF=3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形三边关系等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．例3．（2022·贵州毕节·二模）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：(1)如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程．(2)如图2，AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 干E ，交AD 于F ，且AE =EF ．请判昕AC 与BF 的数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)AC =BF ，理由见解析【解析】（1）解：如图，延长AD 到点E ，使DE =AD ，连接BE ，在△ADC 和△EDB 中∵AD DE ADC EDB CD DB =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ADC ≌△EDB （SAS ）．∴BE =AC =3．∵AB -BE <AE <AB +BE ∵2<AE <8．∵AE =2AD ∴1<AD <4．（2）AC =BF ，理由如下：延长AD 至点G ，使GD =AD ，连接BG ，在△ADC 和△GDB 中，AD DG ADC GDB BD CD =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ADC ≌△GDB （SAS ）．∴BG =AC ，∠G =∠DAC ．．∵AE =EF ∴∠AFE =∠FAE ． ∴∠DAC =∠AFE =∠BFG ∴∠G =∠BFG ∴BG =BF ∴AC =BF ．【点睛】本题考查全等三角形判定与性质，三角形三边的关系，作辅助线：延长AD 到点E ，使DE =AD ，构造全等三角形是解题的关键．例4．（2022·山东·安丘市一模）阅读材料：如图1，在ABC V 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，小亮在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE 到点F ，使EF DE =，连接CF ，证明ADE CFE V V ≌，再证四边形DBCF 是平行四边形即得证．类比迁移：（1）如图2，AD 是ABC V 的中线，E 是AC 上的一点，BE 交AD 于点F ，且AE EF =，求证：AC BF =．小亮发现可以类比材料中的思路进行证明．证明：如图2，延长AD 至点M ，使MD FD =，连接MC ，……请根据小亮的思路完成证明过程．方法运用：（2）如图3，在等边ABC V 中，D 是射线BC 上一动点（点D 在点C 的右侧），连接AD ．把线段CD 绕点D 逆时针旋转120°得到线段DE ，F 是线段BE 的中点，连接DF 、CF ．请你判断线段DF 与AD 的数量关系，并给出证明．【答案】（1）证明见解析；（2）2AD DF =，证明见解析【分析】(1) 延长AD 至M ，使MD FD =，连接MC ，证明BDF CDM △≌△，结合等角对等边证明即可．(2) 延长DF 至点M ，使DF FM=，连接BM 、AM ，证明(SAS)ABM ACD △≌△，△ABM 是等边三角形，代换后得证．【详解】（1）证明：延长AD 至M ，使MD FD =，连接MC ．在BDF V 和CDM V 中，BD CD BDF CDM DF DM =ìïÐ=Ðíï=î，∴BDF CDM △≌△，∴MC BF =，M BFM Ð=Ð，∵AE EF =，∴EAF EFA Ð=Ð，∵EFA BFM Ð=Ð，∴M MAC Ð=Ð，∴AC MC =，∴AC BF =．（2）线段DF 与AD 的数量关系为：2AD DF =．证明如下：延长DF 至点M ，使DF FM =，连接BM 、AM ，如图2所示：∵点F 为BE 的中点，∴BF EF=在BFM V 和EFD △中，∵BF EF BFM EFD FM DF =ìïÐ=Ðíï=î，∴(SAS)BFM EFD △≌△∴BM DE =，MBF DEF Ð=Ð，∴BM DE∥∵线段CD 绕点D 逆时针旋转120°得到线段DE∴CD DE BM ==，120Ð=°BDE ，∴18012060MBD Ð=-=°°°∵ABC V 是等边三角形∵AB AC =，60ABC ACB Ð=Ð=°，∴6060120ABM ABC MBD ÐÐа°=+=+=°∵180********ACD ACB Ð=°-Ð=°-°=°，∴ABM ACDÐ=Ð在ABM V 和ACD △中，∵AB AC ABM ACD BM CD =ìïÐ=Ðíï=î，∴(SAS)ABM ACD △≌△∴AM AD =，BAM CAD Ð=Ð，∴60MAD MAC CAD MAC BAM BAC ÐÐÐÐÐÐ=+=+==°∴AMD V 是等边三角形，∴2==AD DM DF ．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．模型2.截长补短模型【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。
初中数学三角形全等模型
初中数学三角形全等模型你有没有想过，为什么你在学校做几何题的时候，老师总是那么兴致勃勃地讲三角形全等的事情？三角形全等可不是什么高深的数学理论，它就像是一张万能的“通行证”，能帮助你解决很多几何难题。
今天我们就来聊聊这个看似简单但又特别有趣的东西——三角形全等。
相信我，学会了它，你会觉得数学其实没那么可怕，反而挺有意思的。
三角形全等这四个字听起来是不是有点高大上？别担心，咱们用最简单的方式来说。
你想象一下，你有两块完全一样的拼图块，不论怎么旋转、翻转，它们都能完美拼合到一起。
这就是全等的基本意思。
简单来说，如果两个三角形的形状和大小完全一样，那它们就是全等三角形。
是的，完全一样！就像是你和你的小伙伴穿了一模一样的T恤，那就可以自豪地说，你们俩是全等三角形啦！有些同学可能会觉得，哎呀，这个概念好像没什么特别的呀。
可你知道吗，三角形全等可是解决很多数学难题的秘密武器啊！比如，你们班上有一位同学总是喜欢在作业本上画三角形，他画的三角形比别人画得更整齐、更规范。
老师一看他画的三角形，就能知道他是按着标准来做的。
所以，如果我们知道两个三角形全等，那我们就能推导出它们的很多性质。
比如，边长、角度什么的，统统能一模一样。
就像你跟别人说：“我和你一样高，体重大致也差不多。
”你一说对方就知道你们差不多，是不是？说到这，你是不是开始觉得，哎，这三角形全等不是那么简单的东西了？很多时候我们在做几何题的时候，都会用到这个知识点。
比如，考察某些图形的对称性，或者是要证明两个角相等，很多时候就能通过三角形全等来解决。
你看，像那种特别刁钻的题目，往往一用全等三角形，就能一下子搞定。
真的是“画龙点睛”的感觉，分分钟就能拿到满分！三角形全等是有几个条件的。
你别以为随便两个三角形就能说它们是全等的，得满足一定的条件才行。
比如，边边边（SSS）、边角边（SAS）、角边角（ASA）这些都是常见的全等条件。
听起来好像有点复杂，但是只要你理解了这些条件，它们就像是一个个小钥匙，帮助你解锁全等三角形的大门。
八年级全等模型第1讲一线三等角课件
中位线定理
证明角度相等方法
④角度的和差关系
⑤证明角所在的三角形全等或类似
⑥四点共圆，对角互补
⑦圆周角定理
⑧等（同）角的余（补）角相等
课堂练习
例1、已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90° ，过点A作直线l，过B，C分别作BD⊥l于点D，CE⊥l于点E．
(1)如图1，当直线l在△ABC的外部时，求证：DE= BD+CE;
CD= DE，∠CDE=45°求证：BD= BC．
【解答】已知在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°
∴∠B=45°∵CD= DE，∠CDE=45°
∴∠DCE=
180°−∠
2
= 67.5°
在△DCB中，同理∠CDB=180°-∠DCE-∠B=67.5°
∴∠DCE=∠CDB
∴BD= BC
对应边相等即可，再根据线段的和差关系不难解出答案。
课堂练习
二、等边三角形中的“一线三等角”
例1、如图，△ABC为等边三角形，D，E，F分别AB ， BC，AC上的点，∠DEF= 60°， BD=CE．求证：BE= CF．
【解答】
已知△ABC为等边三角形
∴∠B=∠C=60°
∴∠BED+∠BDE=120°
∵∠DEF=60°
∴∠BED+∠FEC=120°
∴∠BDE=∠FEC
在△BED和△FCE中
∠ = ∠ = 60°
∵ ቐ =
∠ = ∠
∴△BED≌△FCE（ASA）
∴BE=CF
【分析】本题关键在于求证△BED≌△FCE（ASA）
一线三等角
全等模型知识点总结
全等模型知识点总结在几何学中，全等模型是指两个图形在形状和大小上完全相同，被称为全等图形。
这意味着它们的所有对应边长度相等，对应角度相等，因此它们是相似的。
全等模型是几何学中的重要概念，它在解决问题和证明定理时起着重要的作用。
本文将对全等模型的相关知识点进行总结，包括全等模型的定义、性质、判定条件、应用以及相关定理等内容。
一、全等模型的定义全等模型是指两个图形在形状和大小上完全相同，其定义如下：定义1：如果两个图形A和B，它们之间存在一个一一对应关系，使得A中的每一个点都与B中的一个点对应，并且对应的边和对应的角度相等，则称图形A和图形B是全等的。
符号表示为A≌B。
根据这个定义，全等图形必顋满足以下条件：1. 对应的边相等：即A和B中的每一条边都有对应的边，且这些对应的边的长度相等。
2. 对应的角度相等：A和B中的每一个角度都有对应的角度，且这些对应的角度相等。
3. 所有对应的点都在同一直线上：即A和B中的每一个点都有对应的点，并且这些对应的点在同一条直线上。
二、全等模型的性质全等模型具有许多重要的性质，其中一些性质如下：1. 对应边和对应角相等：全等图形的对应边和对应角都相等，即它们所对应的边长度相等，对应的角度也相等。
2. 全等模型是相似的：由全等模型的定义可知，全等图形必须是相似的。
因此，全等模型也满足相似三角形的性质，如正弦定理、余弦定理等。
3. 全等模型的对应边相等性质：如果两个全等模型A和B，那么它们的对应边是两两相等的。
4. 全等模型的对应角相等性质：如果两个全等模型A和B，那么它们的对应角是两两相等的。
5. 全等模型的角平分线相等性质：如果两个全等模型A和B，那么它们的对应角的角平分线也相等。
6. 全等模型的对应中线相等性质：如果两个全等模型A和B，那么它们的对应中线也相等。
7. 全等模型的对应高相等性质：如果两个全等模型A和B，那么它们的对应高也相等。
8. 全等模型的对应中线、高线所成角相等性质：如果两个全等模型A和B，那么它们的对应中线、高线所成角相等。
全等模型知识点总结归纳
全等模型知识点总结归纳全等模型的性质和应用可以总结为以下几个方面：1. 全等模型的定义和性质全等模型的定义是指，当两个几何图形（通常是多边形）的对应部分完全相等时，这两个几何图形就是全等的。
在全等模型中，对应的边长相等，对应的角度相等，对应的面积相等。
这些性质是判断两个几何图形是否全等的重要依据。
2. 全等模型的判定在实际问题中，我们需要对给定的几何图形进行全等模型的判定。
全等模型的判定方法包括SSS、SAS、ASA和HL四种判定条件。
其中SSS表示三边全等，SAS表示两边及夹角全等，ASA表示两角及一边全等，HL表示斜边和一条直角边全等。
利用这些判定条件，我们可以快速准确地判断两个几何图形是否全等。
3. 全等模型的性质和应用全等模型在几何学中有着许多重要的性质和应用。
例如，全等模型可以用来证明几何定理，如等腰三角形的性质、垂直平分线的性质等；它也可以用来解决实际问题，如在建筑设计中确定不规则图形的面积，或者在工程测量中确定地图上不同地点之间的距离等。
全等模型还可以帮助我们理解和推导其他几何图形的性质，如相似图形、对称图形等。
4. 全等模型的应用举例全等模型在实际问题中有着广泛的应用。
下面举几个例子来说明全等模型的应用：例1：建筑设计中的全等模型应用在建筑设计中，经常需要计算不规则图形的面积。
我们可以利用全等模型来帮助计算。
例如，一块不规则形状的瓷砖需要计算其面积，可以将其分割成多个三角形或梯形，通过计算这些三角形或梯形的面积，然后将它们相加，即可得到整个不规则图形的面积。
这种方法利用了全等模型中对应部分面积相等的性质，简化了面积的计算过程。
例2：工程测量中的全等模型应用在工程测量中，经常需要测量不同地点之间的距离。
我们可以利用全等模型来帮助测量。
例如，要测量两座山之间的距离，可以在地面上测量两个位置到山顶的距离，并测量出山顶之间的夹角。
然后利用全等模型中斜边和一个直角边全等的性质，可以计算出两座山之间的距离。
奥数几何-三角形五大模型带解析
奥数几何-三角形五大模型带解析三角形是几何学中的基本图形之一，具有丰富的性质和应用。
在奥数竞赛中，常常会涉及到三角形的题目。
为了更好地应对这类题目，我们需要掌握三角形的五大模型，即：全等模型、相似模型、正弦定理模型、余弦定理模型和面积模型。
下面将对这五大模型进行详细解析。
一、全等模型全等模型是指两个三角形的对应边长和对应角度都相等。
利用全等模型，我们可以简化一些繁杂的计算，直接得到结论。
例如，已知三角形ABC和三角形DEF的对应边长和对应角度分别相等，我们就可以得出它们全等的结论，即△ABC≌△DEF。
利用全等模型，我们可以将问题简化为求解另一个已知三角形的性质，从而得到答案。
二、相似模型相似模型是指两个三角形的对应角度相等，但对应边长不一定相等。
相似模型在解决一些比例问题时非常有用。
例如，已知△ABC和△DEF的对应角度分别相等，我们可以推出它们相似的结论，即△ABC∽△DEF。
利用相似模型，我们可以通过已知比例关系，求解未知的边长或角度。
三、正弦定理模型正弦定理是指在一个三角形中，三个角的正弦值与对应边的长度之间存在着一定的比例关系。
正弦定理模型在求解三角形的边长和角度时非常有用。
正弦定理的公式为：sinA/a = sinB/b = sinC/c，其中A、B、C为三角形的角度，a、b、c为对应边的长度。
利用正弦定理模型，我们可以通过已知的角度和边长，求解未知的边长或角度。
四、余弦定理模型余弦定理是指在一个三角形中，三个角的余弦值与对应边的长度之间存在着一定的比例关系。
余弦定理模型在求解三角形的边长和角度时非常有用。
余弦定理的公式为：c² = a² + b² - 2abcosC，其中a、b、c为三角形的边长，C为对应的角度。
利用余弦定理模型，我们可以通过已知的边长和角度，求解未知的边长或角度。
五、面积模型面积模型是指通过三角形的面积关系求解三角形的边长或角度。
在面积模型中，我们常常使用海伦公式或高度公式来求解三角形的面积。
全等几何模型讲解
常见的几何模型一、旋转主要分四大类：绕点、空翻、弦图、半角。
这四类旋转的分类似于平行四边形、矩形、菱形、正方形的分类1.绕点型（手拉手模型）遇60°旋60°,造等边三角形遇90°旋90°，造等腰直角遇等腰旋顶角，造旋转全等遇中点旋180 0，造中心对称图(M)图（2-5图（1-1-庄）图（1-1七）（1 ）自旋转：自旋转构造方法图C1-2)例题讲解:1.如图所示，P 是等边三角形 ABC 内的一个点，PA=2 PB=2j3，PC=4,求^ ABC 的边长。
2.如图，0是等边三角形 ABC 内一点，已知：/ A0B=115°, / BOC=125,则以线段 0A 、 0B 、0C 为边构成三角形的各角度数是多少？3.如图，P 是正方形 ABCD 内一点，且满足 PA PD PC=1: 2: 3，则/ APD=.4.如图（2-1）： P 是正方形ABCD 内一点，点P 到正方形的三个顶点 A 、B 、C 的距离分别 为PA=1，PB=2，PC=3。
求此正方形 ABCD 面积。
图(2-1)图（2二）ZCC(2)共旋转(典型的手拉手模型)模型变形:共顶点等腰三角形例题讲解：1.已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B,C重合），以AD 为边作菱形ADEF（按A,D,E,F逆时针排列），使/ DAF=60，连接CF.（1）如图1,当点D在边BC上时，求证：① BD=CF ?②AC=CF+CD.（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时,补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系。
2. （13北京中考）在^ ABC AB=AC, / BAC=a （0°<a <60。
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常见的几何模型一、旋转主要分四大类：绕点、空翻、弦图、半角。
这四类旋转的分类似于平行四边形、矩形、菱形、正方形的分类。
１．绕点型(手拉手模型）（１）自旋转:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧，造中心对称遇中点旋全等遇等腰旋顶角，造旋转，造等腰直角旋遇，造等边三角形旋遇自旋转构造方法0000018090906060例题讲解：1. 如图所示,P 是等边三角形ＡＢC 内的一个点,PA=2，PB=32，PC ＝４,求△ABC 的边长。
CA BP2. 如图，O 是等边三角形ABC 内一点,已知:∠A ＯB=11５°,∠B ＯC=１２5°，则以线段OA 、OB 、OC 为边构成三角形的各角度数是多少？3。
如图,Ｐ是正方形ABCD 内一点,且满足PA ：ＰD ：P Ｃ＝1：２:３，则∠AP Ｄ= ．A BCO4．如图(2—１）:P是正方形AＢCＤ内一点，点Ｐ到正方形的三个顶点Ａ、B、Ｃ的距离分别为PA=１，ＰＢ=2，PC=3.求此正方形ABCＤ面积.（2）共旋转(典型的手拉手模型）模型变形：等边三角形共顶点共顶点等腰直角三角形共顶点等腰三角形共顶点等腰三角形例题讲解：1。
已知△ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上的一动点（点Ｄ不与B ，C 重合）,以AD 为边作菱形A ＤEF(按A,D,Ｅ,F 逆时针排列)，使∠ＤA Ｆ=60°，连接CF. （１） 如图1，当点D 在边BC 上时，求证：① BD=CF ‚ ②AC=ＣF+C Ｄ.(２）如图2,当点D 在边ＢC 的延长线上且其他条件不变时，结论AC ＝CF+CD 是否成立?若不成立,请写出A Ｃ、C Ｆ、CD 之间存在的数量关系,并说明理由;(３)如图3，当点Ｄ在边BC 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出A Ｃ、CF 、CD 之间存在的数量关系.2．(13北京中考）在△ABC 中，AB=AC,∠BAC ＝α(︒<<︒600α），将线段BC 绕点Ｂ逆时针旋转60°得 到线段B Ｄ。
（1)如图1,直接写出∠AB Ｄ的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，∠BC Ｅ＝1５0°，∠ABE=60°,判断△ABE 的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下，连结ＤE,若∠D ＥＣ=45°，求α的值。
２.半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角,通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
例题：1。
在等腰直角△ABCD 的斜边上取两点M ，N ，使得45=︒∠MCN ，记ＡM=m ，ＭN=x,ＢN=n ， 求证以m ，x,n 为边长的三角形为直角三角形。
m xnBCAMN2。
如图，正方形AB ＣD 的边长为1,ＡB ，ＡＤ上各存在一点P 、ﻩQ ，若△A ＰQ 的周长为2， 求PCQ ∠的度数。
D ACBQ P3.E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点,且45EAF =︒∠，AH EF ⊥,H 为 垂足,求证:AH AB =．4。
已知,正方形ABCD 中，∠ＭAN=45°，∠MAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交ＣB 、DC （或它们的延长线）于点M 、N,A Ｈ⊥MN 于点H 。
（1）如图①，当∠MAN 点A 旋转到ＢM=D Ｎ时,请你直接写出ＡＨ与AB 的数量关系:ＡH=ＡB ；（２）如图②,当∠ＭAN 绕点A 旋转到BM≠ＤN 时,（1）中发现的AH 与A Ｂ的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由,如果成立请证明;(3)如图③，已知∠MA Ｎ=45°，A Ｈ⊥MN 于点H ，且ＭH=２，NH=3,求AH 的长．（可利用(2）得到的结论）知：正方形A 5。
已BC Ｄ中，∠M ＡN=45°，∠CHFED BAMAN绕点Ａ顺时针旋转，它的两边分别交CＢ，DC（或它们的延长线）于点Ｍ，Ｎ．当∠MＡN绕点Ａ旋转到BM=DN时（如图１）,易证BM+DN＝MN。
（1)当∠ＭAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2),线段BM，DＮ和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明。
（２)当∠MAＮ绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，ＤN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想.6．(14房山２模）。
边长为2的正方形ABCD的两顶点A、C分别在正方形EFGH的两边DE、DG上(如图1)，现将正方形ABCD绕D点顺时针旋转,当A点第一次落在DF上时停止旋转,旋转过程中,AB边交DF于点M，BC边交DG于点N。
（1)求边DA在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中,当MN和AC平行时（如图2）,求正方形ABCD旋转的度数；的周长为p，在旋转正方形ABCD的过程中,p值是否有变化？请(3)如图３，设MBN证明你的结论．7。
(２0１1石景山一模）已知：如图，正方形ABCD 中，ＡＣ，ＢD 为对角线,将∠BAC 绕顶点A 逆时针旋转α°（0<α＜45）,旋转后角的两边分别交ＢD 于点P 、点Q ，交ＢC ，ＣD 于点E 、点Ｆ，连接EF,E Ｑ．（1）在∠BＡＣ的旋转过程中，∠AＥQ 的大小是否改变？若不变写出它的度数；若改变，写出它的变化范围(直接在答题卡上写出结果，不必证明); （2）探究△APＱ与△ＡＥF 的面积的数量关系，写出结论并加以证明．8．已知在ABC △中,90=∠ACB ，26==CB CA ，AB CD ⊥于D ，点E 在直线CD 上,CD DE 21=，点F 在线段AB 上,M 是DB 的中点，直线AE 与直线CF 交于N 点．（1)如图1，若点E 在线段CD 上,请分别写出线段AE 和CM 之间的位置关系和数量关系：__＿____＿_＿＿,___＿___＿___;（2）在（１)的条件下，当点F 在线段AD 上，且2AF FD =时,求证:45=∠CNE ;(３）当点E 在线段CD 的延长线上时,在线段AB 上是否存在点F ，使得45=∠CNE 。
若存在，请直接写出AF 的长度；若不存在，请说明理由。
AB EMDCBA９.（２014平谷一模２4）(1）如图１，点E 、Ｆ分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，∠E ＡF =45°，连接EF ，则ＥF 、B Ｅ、FD 之间的数量关系是：ＥF =B Ｅ+ＦD .连结B Ｄ，交AE 、AF 于点M 、Ｎ，且MN 、ＢM 、DN 满足222DN BM MN +=，请证明这个等量关系; (2)在△AB Ｃ中， AB ＝AC ，点Ｄ、Ｅ分别为BC 边上的两点。
①如图2,当∠BAC =60°，∠DAE =3０°时,ＢD 、DE 、EC 应满足的等量关系是②如图３,当∠ＢA Ｃ=α，（0°〈α＜9０°）,∠DA Ｅ=α21时，BD 、D Ｅ、ＥC 应满足的等量关系是＿＿___＿_____．【参考：1cos sin 22=+αα】注意：2222AM BM DM =+A B CD EF 图1B CDE 图2AB CDE 图3AMN(１） 在正方形ＡBCD 中，ＡB =ＡD ，∠BAD ＝９0°,∠ABM =∠A ＤＮ=45°.NM FED CBA把△ＡBM 绕点A 逆时针旋转9０°得到M AD '∆． 连结M N '。
则，，AM AM BM M D ==''， ︒=∠='∠45ABM M AD ,BAM M DA ∠='∠．∵∠ＥAF =45°,∴∠BAM +∠DAN =４5°,∠DAM′+∠DAF =45°, ︒=∠=∠45'MAN AN M ． ∴N AM '∆≌AMN ∆. ∴N M '=M Ｎ．在N DM '∆中，︒=∠+∠=∠90''ADM ADN DN M , 222''DM DN N M +=∴222BM DN MN +=(２）① 222EC EC BD BD DE +⋅+=； ② 222cos 2EC EC BD BD DE +⋅⋅+=α3.空翻模型例题：1．如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点（点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?N E B M A DGNEB M A D【解析】 猜测DM MN =。
过点M 作MG BD ∥交AD 于点G ，AG AM =，∴GD MB =又∵120ADM DMA +∠=∠,120DMA NMB +=∠∠ ∴ADM NMB =∠∠，而120DGM MBN ==∠∠， ∴DGM MBN ∆∆≌，∴DM MN =.２．如图,点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点,MN DM ⊥且与ABC ∠外角的平分线 交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？N CDE B M A NCDEB M A【解析】 猜测DM MN =．在AD 上截取AG AM =，∴DG MB =，∴45AGM =∠∴135DGM MBN ==︒∠∠，∴ADM NMB =∠∠， ∴DGM MBN ∆∆≌，∴DM MN =。
3．【探究发现】如图１,ABC ∆是等边三角形，60AEF ︒∠=，ＥF 交等边三角形外角平分线ＣF 所在的直线于点F ．当点E 是ＢC 的中点时，有AE =EF 成立；【数学思考】某数学兴趣小组在探究ＡＥ、EF 的关系时,运用“从特殊到一般"的数学思想，通过验证得出如下结论:当点Ｅ是直线B Ｃ上(B ,C 除外）任意一点时(其它条件不变),结论ＡE =EＦ仍然成立。
假如你是该兴趣小组中的一员，请你从“点E 是线段B Ｃ上的任意一点"；“点E 是线段ＢC 延长线上的任意一点”;“ 点E 是线段BC 反向延长线上的任意一点”三种情况中，任选一种情况，在备用图1中画出图形，并进行证明。
【拓展应用】当点E 在线段B Ｃ的延长线上时，若CE ＝ ＢC ，在备用图2中画出图形，并运用上述结论求出:ABC AEF S S ∆∆的值．4。
弦图模型外弦图 内弦图 总统图 例题:１。
两个全等的30°，60°三角板ＡＤE,ＢA Ｃ，如右下图所示摆放，E 、A 、C 在一条直线BBFAB上，连接B Ｄ,取ＢD 的 中点M ,连接ＭE,ＭC 。
(1)求证：△E ＤM ≌△CAM ；（２）求证：△E ＭC 为等腰直角三角形．2.如图△AB Ｃ中，已知∠Ａ=9０°，AB=ＡC,(１)D 为AC 中点,AE ⊥ＢＤ于E ，延长ＡE 交BC 于F ，求证：∠A ＤＢ=∠C ＤF(2)若D,M 为AC 上的三等分点,如图2，连ＢD ，过A 作AE ⊥BD 于点E ，交ＢC 于点F,连MF ，判断∠ADB 与∠C ＭＦ的大小关系并证明．3。