广东省廉江市2018届高考数学一轮复习第1讲绝对值不等式课件理新人教A版选修4_5

②|ax ＋ b|≤c(c>0) 和 |ax ＋ b|≥c(c>0) 型 不 等 式 的 解 法 |ax ＋
b|≤c⇔________(c>0)
，
|ax
＋
b|≥c⇔__________(c>0)．
解含绝对值不等式或含绝对值方程的关键是什么？
(1)不等式|2x＋1|≤3的解集是________． |x＋1| (2)不等式 ≥1的解集是________． |x＋2|
1．形如|x＋a|±|x－b|≥c不等式的解法常用零点分段讨论法， 其步骤为
(1)求零点；(2)划分区间、去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值
的不等式；(4)取每个结果的并集，特别注意在分段时不要漏 掉区间的端点值． 2．上述不等式也可用|x－a1|±|x－a2|的几何意义去求解集．
[变式探究]
若 不 等 式 |2x － a| ＋ a≤6 的 解 集 为 {x| －
1.
{x|－a<x<a} {x|x>a或x<－a} －c≤ax＋b≤c ax＋
b≥c或ax＋b≤－c 想一想：提示：关键是根据绝对值的意义或性质去掉绝对 值． 3 填一填：(1){x|－2≤x≤1} (2){x|x≤－ ，且x≠－2} 2
2．ab≥0
想一想：提示：关键是根据含绝对值不等式定理或性质转
1. 绝对值不等式的解法 (1) 形如 |ax ＋ b|≥|cx ＋ d| 的不等式，可以利用两边平方 的形式转化为二次不等式求解．
(2)形如|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式
①绝对值不等式|x|>a与|x|<a的解集 不等式 |x|<a |x|>a a>0 __________ __________ a＝0 ∅ {x|x≠0} a<0 ∅ R
2≤x≤3}，求实数a的值． 解：由|2x－a|＋a≤6，得|2x－a|≤6－a.
所以a－6≤2x－a≤6－a，即a－3≤x≤3.
由不等式的解集为 {x| － 2≤x≤3} ，知 a － 3 ＝－ 2 ，所以 a ＝1.
1 例2 [2012· 江苏高考]已知实数x，y满足：|x＋y|<பைடு நூலகம்3 ，|2x－ 1 5 y|<6，求证：|y|<18. [证明] 因为3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y|＋|2x－
或
1 － <x<1， x≥1， 2 或 3>0， 4x>1 1 1 ∴∅或 <x<1或x≥1，∴不等式解集为{x|x> }． 4 4
方法二：由|2x＋1|－2|x－1|>0，得|2x＋1|>2|x－1|，平方， 1 得12x>3，x>4. 1 ∴解集为{x|x>4}． 1 [答案] {x|x>4}
常数)，利用实数绝对值的几何意义求解较简便．
2. 含绝对值不等式的证明，可考虑去掉绝对值符号，也 可利用重要不等式|a＋b|≤|a|＋|b|及推广形式|a1＋a2＋„＋
an|≤|a1|＋|a2|＋„＋|an|进行放缩．
3种必会方法
1. 分离参数法：运用“f(x)≤a⇔f(x)max≤a，
f(x)≥a⇔f(x)min≥a”可解决恒成立中的参数范围问题．
化，消去自变量x. 填一填：(1)1 (2)3
核心要点研究
例1
[2012·湖南高考 ] 不等式 |2x ＋ 1| － 2|x － 1|>0 的解
集为________．
[审题视点]
应用零点分段法，不等式分情况讨论去掉绝
对值符号；也可移项两边平方解不等式．
[解析]
方法一：原不等式可化为：
1 x≤－ ， 2 －3>0
∴
m＝－3， n＝2，
∴|x－5y|＝|－3(x＋y)＋2(2x－y)|≤3|x＋y|＋2|2x
2. 更换主元法：不少含参不等式恒成立问题，若直接从
主元入手非常困难或不可能解决问题时，可转换思维角度，将
主元与参数互换，常可得到简捷的解法． 3. 数形结合法：在研究曲线交点的恒成立问题时，若能 数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象 思维各自的优势，可直观解决问题.
课前自主导学
1个重要公式 |a±b|≤|a|＋|b|，从左到右是一个放大过程，从右到左 是缩小过程，证明不等式可以直接用，也可利用它消去变量求 最值. 绝对值不等式是证明与绝对值有关的不等式的重要工 具，但有时还需要通过适当的变形使其符合绝对值不等式的条
件．
2点必须注意 1. 含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法 求解，对于形如|x－a|＋|x－b|>m或|x－a|＋|x－b|<m(m为正
2．绝对值不等式的应用
(1) 定理：如果 a ， b 是实数，那么 |a ＋ b|≤|a| ＋ |b| ，当 且仅当________时，等号成立． (2) 如果 a ， b ， c 是实数，那么 |a － c|≤|a － b| ＋ |b － c|. 当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．
(3)由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式
y|， 1 1 2 1 5 由题设知|x＋y|< ，|2x－y|< ，从而3|y|< ＋ ＝ ，所以 3 6 3 6 6 5 |y|<18.
4 奇思妙想：本例条件不变，问题改为“|x－5y|< ”，该如 3 何证明？
m＋2n＝1， 证明：令x－5y＝m(x＋y)＋n(2x－y)，则有 m－n＝－5，
①|a1＋a2＋„＋an|≤|a1|＋|a2|＋„＋|an|. ②||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|. ③||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.
如何求两个或两个以上绝对值和的函数最小值或两绝对值 差的函数最大值？
(1)函数y＝|x－1|＋|x－2|的最小值为________． (2)函数y＝|x|－|x－3|的最大值为________.
第1讲
绝对值不等式
不同寻常的一本书，不可不读哟！
1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几 何意义证明以下不等式： ①|a＋b|≤|a|＋|b|；
②|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.
2. 会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： |ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c； |x－a|＋|x－b|≥c.