数学建模-概率模型

如对均值为mu、标准差为sigma的正态分布，举例如下：
1．密度函数：p=normpdf(x,mu,sigma) (当mu=0,sigma=1时可缺省)
例 1 画出正态分布 N (0,1) 和 N (0,22 ) 的概率密度函数图形.
在MATLAB中输入以下命令： x=-6:0.01:6; y=normpdf(x); z=normpdf(x,0,2); plot(x,y,x,z)
正态分布
f (x)
1
( x)2
e , 2 2
2
记为X ~ N（， 2 )
背景:如果决定试验结果X的是大量随机因素的总和，假设
各个因素之间近似独立，并且每个因素的单独作用相对均匀 地小，那么X的分布近似正态分布。
如：同龄人的身高、体重、考试分数、某地区年降水量等。
3、数学期望的概念和计算 描述了随机变量的概率取值中心—均值
例：现有100个零件，其中95个长度合格，94个直径和格， 92个两个尺寸都合格。任取一个，发现长度合格，问直径 合格的概率。
设A=‘长度合格’，B=‘直径合
格’
P( A) 95 , P( AB) 92
100
100
P(B | A) P( AB) 92 P( A) 95
全概率公式和贝叶斯公式
例3 有10台机床,每台发生故障的概率为0.08,而10台机床工作 独立,每台故障只需一个维修工人排除.问至少要配备几个维修 工人,才能保证有故障而不能及时排除的概率不大于5%。
解：随机变量X示发生故障的机床的台数,则 X ~ B(10,0.08)
即P{X n} 0.95
4．均值与方差：[m,v]=normstat(mu,sigma)
随机模型 确定性因素和随机性因素
随机因素可以忽略
随机因素影响可以简单 地以平均值的作用出现
确定性模型
随机因素影响必须考虑
随机性模型
概率模型 统计回归模型 马氏链模型
概率模型
一、概率论基本知识 二、概率模型的典型案例
一、概率论基础知识
1、古典概型
条件概率：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率
P( A | B) P( AB) P(B)
优化问题的目标函数应是长期的日平均收入 等于每天收入的期望
准 调查需求量的随机规律——每天 备 需求量为 r 的概率 f(r), r=0,1,2…
建 • 设每天购进 n 份，日平均收入为 G(n) 模 • 已知售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c
r n 售出r 赚(a b)r
退回n r 赔(b c)(n r)
u0 u0
L(
x)
c 2
x
0
(
x
r
)
p(r
)dr
c 3
x
(r
x)
p(r
)dr
若订货u, u+x=S, 总费用为 J1 c0 c1(S x) L(S) 若不订货, u=0, 总费用为 J2 L(x)
J2 J1
L(x) c0 c1(S x) L(S)
不订货
c1x L(x) c0 c1S L(S)
如 设每只挂钩为空的概率为q，则 p=1-q
何 求
设每只挂钩不被一工人触到的概率为r，则 q=rn
概 设每只挂钩被一工人触到的概率为u，则 r=1-u
率 一周期内有m个挂钩通过每一工作台的上方
u=1/m
p=1-(1-1/m)n
D=m[1-(1-1/m)n]/n
模型解释
传送带效率(一周期内运走 产品数与生产总数之比）
r n 售出n 赚(a b)n
n
G(n) [(a b)r (b c)(n r)] f (r) (a b)nf (r)
r0
r n1
求 n 使 G(n) 最大
求解 将r视为连续变量
f (r) p(r) (概率密度)
G(n)
n
0
[(
a
b)r
(b
c)(n
r
)]
p(r
)dr
n
(a
b)np(r
设B1,B2,…,Bn为样本空间S的一个划分，且有P(Bi)>0， i=1,2,…,n,则对E的任一事件A，有:
n
P( A) P(Bi )P( A｜Bi ) i 1
全概率公式
P(Bi
A)
P(ABi ) P( A)
P(A Bi )P(Bi ) ,
n
P(A Bj )P(Bj )
i 1,2, , n
2 分布：chi2
t 分布：t F 分布：F
MATLAB工具箱对每一种分布都提供5类函数，其命令字符为：
概率密度：pdf 概率分布：cdf 逆概率分布：inv 均值与方差：stat 随机数生成：rnd
当需要一种分布的某一类函数时，将以上所列的分布 命令字符与函数命令字符接起来，并输入自变量（可以是 标量、数组或矩阵）和参数即可.
泊松分布 P{ X k} k e ,(k 0,1,2,..., 0为 常 数)
k!
n重贝努利试验中小概率事件出现的次数近似地服从泊松分布.
指数分布
e x ,
f (x)
x 0 ( 0为常数）
0,
x0
❖ 背景:指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命，
动物的寿命，电话问题中的通话时间，服务时间等.
例5 求正态分布N(3,52)的均值与方差. 命令为：[m,v]=normstat(3,5) 结果为：m=3,v=25
5．随机数生成：normrnd(mu,sigma,m,n).产生m×n阶 的正态分布随机数矩阵.
例6 命令：M=normrnd(0,3,100,1)
二、概率模型的典型案例
9.1 传送系统的效率 9.2 报童的诀窍 9.3 随机存贮策略 9.4 轧钢中的浪费 9.5 随机人口模型
取n使
n
0
p(r)dr
P1 ,
n
p(r)dr
P2
p
P ab 1
P bc 2
a-b ~售出一份赚的钱 b-c ~退回一份赔的钱
P1 P2
0
n
r
(a b) n , (b c) n
9.3 随机存贮策略
问 以周为时间单位；一周的商品销售量为随机； 题 周末根据库存决定是否订货，供下周销售。
（s, S) 存贮策略 制订下界s, 上界S，当周末库存小于s 时订货， 使下周初的库存达到S; 否则，不订货。
数学期望
Y gX
E( X ) xk pk k 1
E( X ) xf ( x)dx E(Y ) EgX g( xk ) pk k 1
E(Y ) Eg( X )
g( x) f ( x)dx
4、MATLAB中相关的的概率命令
常见的几种分布的命令字符为： 正态分布：norm 指数分布：exp 泊松分布：poiss 二项分布：bino
u0 u0
L(
x)
c2
x
0
(
x
r)
p(r
)dr
c3
x
(r
x)
p(r
)dr
建建模模与与求求解解
1）设 x<s, 求 u 使
J (u) cL0(x)c1u L(x u),
u0 u0
J(u) 最小，确定S
L(
x)
c 2
x
0
(
x
r
)
p(r
)dr
c 3
x
(r
x)
p(r
)dr
dJ du
c1
c2
xu
0
p(r)dr
2．概率分布：P=normcdf(x,mu,sigma)
例 2． 计算标准正态分布的概率 P{-1<X<1}. 命令为：P=normcdf(1)-normcdf(-1) 结果为：P =0.6827
3．逆概率分布：x=norminv(P,mu,sigma). 即求出x ，使得P{X<x}=P，此命令可用来求分位数.
贝叶斯公式
j 1
2、随机变量及其分布
二项分布
P{
X
k}C
k n
pk
(1
p)nk
,
k 0,1, , n
贝努利试验: 设随机试验E只有两种可能的结果:A及 A ,且
P(A)=p,（0<p<1), 将试验E独立地重复进行n次, 简称n重贝努 利试验(Bernoulli)。 n重贝努利试验中事件A出现的次数服从 二项分布
考虑订货费、存贮费、缺货费、购进费，制订 （s, S) 存贮策略,使(平均意义下)总费用最小
模型假设
• 每次订货费c0, 每件商品购进价c1,每件商品 一周贮存费c2,每件商品缺货损失费c3 (c1<c3) • 每周销售量 r 随机、连续，概率密度 p(r)
• 周末库存量x, 订货量 u, 周初库存量 x+u • 每周贮存量按 x+u-r 计
记c x L(x) I(x) 1
I (x) c0 I (S )
订货点 s 是
I(x) c I(S) 的最小正根 0
建模与求解 I(x) c0 I(S) 最小正根的图解法
J (u) cL0(x)c1u L(x u),
u0 u0
I (x) c1x L(x)
L(
x)
c2
x
0
(
x
r
)
p(r
)dr
c3
建模与求解 （s, S) 存贮策略
x s u 0 x s u 0, x u S
确定(s, S), 使目标函数——每周总费用的平均值最小
s ~ 订货点， S ~ 订货值
订货费c0, 购进价c1, 贮存费c2, 缺货费c3, 销售量 r
平均 费用
J (u) cL0(x)c1u L(x u),
)dr
dG (a b)np(n)
n
(b c) p(r)dr
dn
0
(a b)np(n) n (a b) p(r)dr
n
(b c)0 p(r)dr (a b)n p(r)dr
dG 0 dn
n
0
n
p(r)dr p(r)dr
a b bc
结果解释
n
0
n
p(r)dr p(r)dr
ab bc
提高效率 的途径：
• 增加m
9.2 报童的诀窍
报童售报： a (零售价) > b(购进价) > c(退回价)
问 售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c 题 每天购进多少份可使收入最大？
购进太多卖不完退回赔钱
分 析
购进太少不够销售赚钱少
应根据需求确定购进量
百度文库
存在一个合 适的购进量
每天需求量是随机的
每天收入是随机的
c 3 xu
p(r)dr
xu S
0
p(r)dr
1
(c1
c2 )
S 0
p(r)dr
(c3
c1
)
S
p(r
)dr
dJ 0 du
S
0
p(r)dr
S
p
(r
)dr
c3 c
2
c1 c
1
P1 P2
p
P1 P2
c3 S , c2 S 0 S
r
建模与求解
2）对库存 x， 确定订货点s
J (u) cL0(x)c1u L(x u),
9.1 传送系统的效率
背
传送带
景 挂钩
产品
工作台
工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩上运走，若 工作台数固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多。
在生产进入稳态后，给出衡量传送带效 率的指标，研究提高传送带效率的途径
模型分析
• 进入稳态后为保证生产系统的周期性运转，应 假定工人们的生产周期相同，即每人作完一件产 品后，要么恰有空钩经过他的工作台，使他可将 产品挂上运走，要么没有空钩经过，迫使他放下 这件产品并立即投入下件产品的生产。 • 工人们生产周期虽然相同，但稳态下每人生产 完一件产品的时刻不会一致，可以认为是随机的， 并且在一个周期内任一时刻的可能性相同。
• 可以用一个周期内传送带运走的产品数占产品 总数的比例，作为衡量传送带效率的数量指标。
模型假设
1）n个工作台均匀排列，n个工人生产相互独立， 生产周期是常数；
2）生产进入稳态，每人生产完一件产品的时刻在 一个周期内是等可能的；
3）一周期内m个均匀排列的挂钩通过每一工作台 的上方，到达第一个工作台的挂钩都是空的；
D m [1 (1 1 )n ]
n
m
若(一周期运行的)挂钩数m远大于工作台数n, 则
D
m [1 (1 n
n m
n(n 1) 2m2 )]
1
n 1 2m
定义E=1-D (一周期内未运走产品数与生产总数之比）
当n远大于1时, E n/2m ~ E与n成正比，与m成反比
若n=10, m=40, D87.5% (89.4%)
数学建模之概率模型
主讲人： 侯致武 Email: houzhiwu99@126.com
2020年4月16日星期四
概率模型
现实世界的变化受着众多因素的影响，包括 确定的和随机的。如果从建模的背景、目的和手 段看，主要因素是确定的，随机因素可以忽略， 或者随机因素的影响可以简单地以平均值的作用 出现，那么就能够建立确定性模型。如果随机因 素对研究对象的影响必须考虑，就应建立随机模 型。本章讨论如何用随机变量和概率分布描述随 机因素的影响，建立随机模型——概率模型。
4）每人在生产完一件产品时都能且只能触到一只 挂钩，若这只挂钩是空的，则可将产品挂上运走； 若该钩非空，则这件产品被放下，退出运送系统。
模型建立
• 定义传送带效率为一周期内运走的产品数（记作s, 待定）与生产总数 n（已知）之比，记作 D=s /n
为确定s，从工人考虑还是从挂钩考虑，哪个方便？
• 若求出一周期内每只挂钩非空的概率p，则 s=mp