数学建模-概率模型
数学建模-概率模型
确定性现象的特征
条件完全决定结果
随机现象
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象.
实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察 正反两面出现的情况.
结果有可能出现正面也可能出现反面.
实例2 明天的天气可
特征: 条件不能完全决定结果
能是晴 , 也可能是多云
或雨.
说明 1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联 系 , 其数量关系无法用函数加以描述. 2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然 性, 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具有 一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象这 种本质规律的一门数学学科. 如何来研究随机现象?
P( A)
m n
A
所包含样本点的个数 样本点总数
.
古典概型的基本模型:摸球模型
(1) 无放回地摸球
(2) 有放回地摸球
例1 某接待站在某一周曾接待过 12次来访,已知 所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的,问是 否可以推断接待时间是有规定的.
解 假设接待站的接待时间没有
规定,且各来访者在一周的任一天
0.0000003 .
小概率事件在实际中几乎是不可能发生的 , 从 而可知接待时间是有规定的.
例2 假设每人的生日在一年 365 天中的任一天 是等可能的 , 即都等于 1/365 ,求 64 个人中至少 有2人生日相同的概率.
解 64 个人生日各不相同的概率为
p1
365
364
(365 36564
2. 假设遗传基因是由两个基因A和B控制的，则有 三种可能基因型：AA、AB和BB。
例如：金鱼草是由两个基因决定它开花的颜色，AA 型开红花，AB型开粉花，而BB型开白花。这里AA型 和AB型表示了同一外部特征，此时可以认为基因A 支配了基因B，也可以说基因B对基因A是隐性的。
概率模型(定稿)
数学建模培训之概率统计模型§ 1 概率初等模型一. 遗传模型为了揭示生命的奥秘，现代人越来越重视遗传学的研究，特别是遗传特征的逐代传播，引起人们更多的重视.无论是人还是动植物都会将本身的特征遗传给下一代，这是因为后代继承了双亲的基因，形成了自己的基因对，而基因对则确定了后代所应具有的特征.以下仅就常染色体遗传方式建立遗传数学模型，来分析逐代总体的基因型分布趋势，为有目的的遗传控制提供依据。
1．问题分析所谓常染色体遗传，是指后代从每个亲体的基因中各继承一个基因从而形成自己的基因型.如果所考虑的遗传特征是由两个基因A 和B 控制的，那么就有三种可能的基因型：AA ，AB 和BB .例如，金鱼草是由两个遗传基因决定它开花的颜色，AA 型开红花，AB 型的开粉花，而BB 型的开白花.这里的AA 型和AB 型表示了同一外部特征(红色)，则人们认为基因A 支配基因B ，也说成基因B 对于A 是隐性的.当一个亲体的基因型为AB ，另一个亲体的基因型为BB ，那么后代便可从BB 型中得到基因B ，从AB 型中得到A 或B ，且是等可能性地得到.问题：某植物园中一种植物的基因型为AA ，AB 和BB .现计划采用AA 型植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代，试预测，若干年后，这种植物的任一代的三种基因型分布情况.2．模型假设 （1）按问题分析，后代从上一代亲体中继承基因A 或B 是等可能的,即有双亲体基因型的所有可能结合使其后代形成每种基因型的概率分布情况如表5－1.表5-1(2) 以n n b a ,和n c 分别表示第n 代植物中基因型为AA ，AB 和BB 的植物总数的百分率，)(n x 表示第n 代植物的基因型分布，即有,)(⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n n n n c b a x ,2,1,0=n (1) 特别当n =0时，T c b a x ),,(000)0(=表示植物基因型的初始分布(培育开始时所选取各种基因型分布)，显然有.1000=++c b a3．模型建立注意到原问题是采用AA 型与每种基因型相结合，因此这里只考虑遗传分布表的前三列. 首先考虑第n 代中的AA 型，按上表所给数据，第n 代AA 型所占百分率为1110211---⋅+⋅+⋅=n n n n c b a a 即第n-1代的AA 与AA 型结合全部进入第n 代的AA 型，第n -1代的AB 型与AA 型结合只有一半进入第n 代AA 型，第n -1代的BB 型与AA 型结合没有一个成为AA 型而进入第n 代AA 型，故有1121--+=n n n b a a (2)同理，第n 代的AB 型和BB 型所占有比率分别为1121--+=n n n c b b (3)0=n c (4)将(2)、(3)、(4) 式联立，并用矩阵形式表示，得到,)1()(-=n n Mx x),2,1( =n (5)其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00012/1002/11M利用(5)进行递推，便可获得第n 代基因型分布的数学模型)0()2(2)1()(x M x M Mx x n n n n ====-- (6)(6)式明确表示了历代基因型分布均可由初始分布)0(x与矩阵M 确定.4．模型求解这里的关键是计算nM .为计算简便，将M 对角化，即求出可逆阵P ，使Λ=-MP P 1，即有1-Λ=P P M从而可计算 1-Λ=P P M nn),2,1( =n其中Λ为对角阵，其对角元素为M 的特征值，P 为M 的特征值所对应的特征向量.分别为,11=λ 212=λ，03=λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=121,011,001321p p p故有1100210111,0211-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ΛP P即得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1002101110211100210111nnM ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=--00021210211211111n n n n 于是 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--00011)(000212102112111c b a c b a x n nn nn n n n或写为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=--=--0)21()21()21()21(1010010n n n n n n nc c b b c b a 由上式可见，当∞→n 时，有0,0,1→→→n n n c b a即当繁殖代数很大时，所培育出的植物基本上呈现的是AA 型，AB 型的极少，BB 型不存在.5．模型分析（1）完全类似地，可以选用AB 型和BB 型植物与每一个其它基因型植物相结合从而给出类似的结果.特别是将具有相同基因植物相结合，并利用前表的第1、4、6列数据使用类似模型及解法而得到以下结果：000021,0,,21b c c b b a a n n n +→→+→这就是说，如果用基因型相同的植物培育后代，在极限情形下，后代仅具有基因AA 与BB ，而AB 消失了.（2）本例巧妙地利用了矩阵来表示概率分布，从而充分利用特征值与特征向量，通过对角化方法解决了矩阵n 次幂的计算问题，可算得上高等代数方法应用于解决实际的一个范例.二. 传送系统的效率模型1.问题的提出在机械化生产车间里你可以看到这样的情景：排列整齐的工作台旁工人们紧张地生产同一种产品，工作台上方一条传送带在运转，带上设置着若干钩子，工人们将产品挂在经过他上方的钩子上带走，如图1．当生产进入稳定状态后，每个工人生产出一件产品所需时间是不变的，而他要挂产品的时刻却是随机的．衡量这种传送系统的效率可以看它能否及时地把工人们生产的产品带走，显然在工人数目不变的情况下传送带速度越快，带上钩子越多，效率会越高．我们要构造一个衡量传送系统效率的指标，并且在一些简化假设下建立一个模型来描述这个指标与工人数目、钩子数量等参数的关系．2.问题的分析进入稳态后为保证生产系统的周期性运转，应假定工人们的生产周期相同，即每人作完一件产品后，要么恰有空钩经过他的工作台，使他可将产品挂上运走，要么没有空钩经过，迫使他放下这件产品并立即投入下件产品的生产。
数学建模常用算法模型
按模型的数学方法分：几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模型、马氏链模型等按模型的特征分：静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线性模型和非线性模型等按模型的应用领域分：人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
按建模的目的分：预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往往也和建模的目的对应按对模型结构的了解程度分：有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
按比赛命题方向分：国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016美赛六个题目（离散、连续、运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）数学建模十大算法1、蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法）2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具）3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现）4、图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备）5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中）6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用）7、网格算法和穷举法（当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具）8、一些连续离散化方法（很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的）9、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用）10、图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处理）算法简介1、灰色预测模型（必掌握）解决预测类型题目。
数学建模中的概率统计模型1
残差及其置信区间可以用rcoplot(r,rint)画图。
3、将变量t、x、y的数据保存在文件data中。 save data t x y 4、进行统计分析时，调用数据文件data中的数 据。 load data 方法2 1、输入矩阵：
data=[78,79,80,81,82,83,84,85,86,87; 23.8,27.6,31.6,32.4,33.7,34.9,43.2,52.8,63.8,73.4; 41.4,51.8,61.7,67.9,68.7,77.5,95.9,137.4,155.0,175.0]
线性模型 (Y , X , I n ) 考虑的主要问题是： （1） 用试验值（样本值）对未知参数 和 2 作点估计和假设检验，从而建立 y 与
x1 , x 2 ,..., x k 之间的数量关系；
（2）在 x1 x01 , x2 x02 ,..., xk x0 k , 处对 y 的值作预测与控制，即对 y 作区间估计.
1 ( x0 x ) 2 ˆ 1 d n t (n 2) n Lxx 2
Q ˆ n2
2
设y在某个区间(y1, y2)取值时, 应如何控制x 的取值范围, 这样的问题称为控制问题。
可线性化的一元非线性回归 需要配曲线，配曲线的一般方法是： • 先对两个变量x和y 作n次试验观察得画出 散点图。 • 根据散点图确定须配曲线的类型。 • 由n对试验数据确定每一类曲线的未知参数 a和b采用的方法是通过变量代换把非线性 回归化成线性回归，即采用非线性回归线 性化的方法。
如何在数学建模中运用概率统计知识
如何在数学建模中运用概率统计知识在数学建模中，概率统计是一项非常重要的知识。
概率统计是数学中的一个分支，主要研究随机事件的概率问题。
概率统计是一门极其实用的学科，不仅能够用在科研领域，也能够应用在日常生活中。
随着计算机技术不断发展，概率统计的应用越来越广泛。
接下来我们将探讨如何在数学建模中运用概率统计知识。
一、概率基础知识在数学建模中运用概率统计知识，首先需要了解概率基础知识。
概率是一个事件发生的可能性大小，通常用一个介于0和1之间的数值来表示。
在实际应用中，我们需要根据具体情况来估计概率值。
在数学建模中，我们通常使用统计数据来估算概率值。
因此，对于收集和整理数据的能力至关重要。
二、统计分析概率统计的核心是统计分析。
统计分析是指通过采集、整理、展示数据，从中发现数据之间的关系和规律性，并以此来作出预测或者推断的过程。
数学建模往往需要进行统计分析，以确定数据之间的关系以及影响的因素，从而建立模型。
通过统计分析，我们可以找出数据之间的相关关系。
例如，如果我们想研究温度和降水量之间的相关性，那么我们需要收集一定的数据，然后通过统计学方法计算出它们之间的相关系数。
这样就可以通过建立模型来预测未来的降水量。
三、分布和抽样在实际应用中，我们通常会进行大量的数据采集和统计分析，但是由于数据量非常大，我们无法对所有数据进行统计分析。
因此，我们需要进行抽样，即从总体数据中随机选择一部分进行分析。
而抽样的合理性很大程度上取决于样本的分布情况。
因此，在进行抽样时，必须要了解分布的特点。
分布是指随机变量的取值情况概率分布，是对一系列可能的取值的概率的描述。
在数学建模中，我们通常通过对数据的分布进行分析来判断所采用的统计方法是否合理。
例如，在正态分布的情况下，我们可以用平均数来描述数据的中心位置，用标准差来描述数据的分布情况。
四、模型建立在进行数学建模时，我们需要通过分析数据的规律性来建立模型。
模型是指用公式或者图形等方法来描述或者预测实际问题的方法。
常见数学建模模型
常见数学建模模型一、线性规划模型线性规划是一种常见的数学优化方法，广泛应用于工程、经济、管理等领域。
线性规划模型的目标是在给定的约束条件下，求解一个线性目标函数的最优解。
其中，约束条件通常是线性等式或不等式，而目标函数是一个线性函数。
在实际应用中，线性规划模型可以用于生产计划、资源分配、运输问题等。
例如，一个工厂的生产计划中需要确定每种产品的产量，以最大化利润为目标，并且需要满足一定的生产能力和市场需求的约束条件。
二、整数规划模型整数规划是线性规划的一种扩展形式，其目标函数和约束条件仍然是线性的，但变量需要取整数值。
整数规划模型常用于离散决策问题，如项目选择、设备配置等。
例如，一个公司需要决定购买哪些设备以满足生产需求，设备的数量必须是整数，且需要考虑成本和产能的约束。
三、动态规划模型动态规划是一种求解多阶段决策问题的数学方法。
该模型通常包含一个阶段决策序列和一个状态转移方程，通过递推求解最优解。
动态规划模型被广泛应用于资源分配、路径规划、项目管理等领域。
例如，一个工程项目需要确定每个阶段的最佳决策，以最小化总成本或最大化总效益。
在每个阶段，决策的结果会影响到下一个阶段的状态和决策空间，因此需要使用动态规划模型进行求解。
四、图论模型图论是研究图和网络的数学理论。
图论模型常用于解决网络优化、路径规划、最短路径等问题。
例如，一个物流公司需要确定最佳的送货路径，以最小化运输成本或最短时间。
可以将各个地点看作图中的节点，道路或路径看作边，利用图论模型求解最优路径。
五、回归分析模型回归分析是研究变量之间关系的一种统计方法。
回归分析模型通常用于预测和建立变量之间的数学关系。
例如，一个销售公司需要预测未来销售额与广告投入、市场份额等因素的关系。
可以通过回归分析模型建立销售额与这些因素之间的数学关系，并进行预测和决策。
六、排队论模型排队论是研究排队系统的数学理论。
排队论模型常用于优化服务质量、降低排队成本等问题。
数学建模的原理
数学建模的原理
数学建模是一种以数学方法和工具为基础，对现实问题进行抽象和表达的过程。
其原理可以简单概括为以下几个步骤。
1. 问题抽象：将现实问题转化为数学模型。
在这一步骤中，需要明确问题的目标、限制条件和相关因素，并对它们进行数学化的描述。
2. 假设建立：基于对问题的理解和分析，提出相关的假设并建立相应的数学关系。
这些数学关系可以是方程、函数、概率模型等，用来表达问题中的变量间的关系。
3. 模型求解：利用数学方法，对所建立的数学模型进行求解。
这包括求解方程组、优化问题、概率分布等。
通常需要运用数学分析、优化方法、概率统计等工具以及计算机编程进行模型求解。
4. 模型评价：对得到的解进行评价，检验模型的有效性和可行性。
这可以通过与现实数据对比、敏感性分析、误差分析等方式来进行。
5. 结果分析：根据模型的求解结果，对问题的解释和分析。
分析模型的局限性、推断模型的适用范围，探究问题的深层次原因等。
6. 结论表达：将建模过程和结果进行总结和表达。
可以通过报告、论文、演示等形式对建模过程和结果进行系统化的呈现。
在数学建模过程中，需要深入理解问题本质和实际应用背景，结合数学理论和方法，进行抽象和简化，以符合现实问题的特点和需求。
同时，建模者需要具备良好的数学基础、逻辑思维能力、计算机编程技能等，并注重模型的可靠性、有效性和实用性。
概率方法建模
解出： x 494 .521 也就是说，这个分数相当于去 年的494.5分。而连续两年之 间的招生计划、高考人数等应 该变化不大，可以参照去年的 录取情况报考志愿。 这里，我们就建立了一个简单 的数学模型。
专 科
文200 文200 理200 理200
2.从包汤圆（饺子）说起
通常，1公斤面， 1公斤馅，包100个汤圆（饺子） 今天，1公斤面不变，馅比 1公斤多了，问应多包几 个（小一些），还是少包几个（大一些）？
3 l 画出w对 的图像近似得到一条过原点的直线，因此有理 由认为模型是精确的。
• 过原点的直线的斜率大约是0.0398，这 就给出： 3
W 0.0398l
• 下图是对原来的数据模型画图
200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
第五步：模型应用
12.5529 11.6590 10.7965 9.9632 9.1569 8.3754 7.6169 6.8793 6.1607 5.4594 4.7734
14
15 16
13.2075
13.0024 12.8304
• 首先，这个问题比较模糊。题目中只是要求 我们“获知有关’骇鸟’的更多信息”，什 么信息呢?题目中没有明说，需要我们自己去 寻找。寻找问题，发现问题，提出问题的过 程，是数学建模的第一个步骤，叫做“识别 问题”。 • 识别问题这一步通常比较困难。因为现实生 活中，没有人简单给你一个有待解决的数学 问题，通常要从大量数据中搜索及识别所研 究问题的某些特定的方面。此外，还要把描 述问题的口头陈述翻译成数学符号来表示。 • 当然，‘骇鸟尺寸’问题相对简单容易，通 常要考虑其“体重”
数学建模 四大模型总结
四类基本模型1 优化模型1.1 数学规划模型线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。
1.2 微分方程组模型阻滞增长模型、SARS 传播模型。
1.3 图论与网络优化问题最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。
1.4 概率模型决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov 链模型。
1.5 组合优化经典问题● 多维背包问题(MKP)背包问题：n 个物品，对物品i ，体积为i w ，背包容量为W 。
如何将尽可能多的物品装入背包。
多维背包问题：n 个物品，对物品i ，价值为i p ，体积为i w ，背包容量为W 。
如何选取物品装入背包，是背包中物品的总价值最大。
多维背包问题在实际中的应用有：资源分配、货物装载和存储分配等问题。
该问题属于NP 难问题。
● 二维指派问题(QAP)工作指派问题：n 个工作可以由n 个工人分别完成。
工人i 完成工作j 的时间为ij d 。
如何安排使总工作时间最小。
二维指派问题（常以机器布局问题为例）：n 台机器要布置在n 个地方，机器i 与k 之间的物流量为ik f ，位置j 与l 之间的距离为jl d ，如何布置使费用最小。
二维指派问题在实际中的应用有：校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。
● 旅行商问题(TSP)旅行商问题：有n 个城市，城市i 与j 之间的距离为ij d ，找一条经过n 个城市的巡回（每个城市经过且只经过一次，最后回到出发点），使得总路程最小。
● 车辆路径问题(VRP)车辆路径问题（也称车辆计划）：已知n 个客户的位置坐标和货物需求，在可供使用车辆数量及运载能力条件的约束下，每辆车都从起点出发，完成若干客户点的运送任务后再回到起点，要求以最少的车辆数、最小的车辆总行程完成货物的派送任务。
TSP 问题是VRP 问题的特例。
● 车间作业调度问题(JSP)车间调度问题：存在j 个工作和m 台机器，每个工作由一系列操作组成，操作的执行次序遵循严格的串行顺序，在特定的时间每个操作需要一台特定的机器完成，每台机器在同一时刻不能同时完成不同的工作，同一时刻同一工作的各个操作不能并发执行。
数学建模面试基础知识
数学建模面试基础知识在数学建模的面试过程中，掌握一些基础知识是非常重要的。
这些基础知识可以帮助面试者更好地理解和应用数学建模方法，从而在面试中展现自己的能力。
本文将介绍数学建模面试中的一些基础知识。
1. 数学建模的定义和意义数学建模是指利用数学方法和技巧来解决实际问题的过程。
它是将实际问题转化为数学问题，并通过数学模型来描述和解决这些问题。
数学建模不仅可以提供解决问题的途径，还可以提供问题的定性和定量分析，从而更好地理解问题本质和规律。
2. 数学建模的基本步骤数学建模通常包括以下几个基本步骤：2.1. 问题的分析和理解在进行数学建模之前，首先需要对问题进行分析和理解。
这包括理解问题的背景和要解决的具体内容，确定问题的目标和约束条件。
2.2. 建立数学模型在理解问题之后，需要建立数学模型来描述问题。
数学模型可以是代数模型、几何模型、概率模型等，根据问题的特点选择合适的数学模型进行描述。
2.3. 模型的求解和分析建立数学模型之后，需要对模型进行求解和分析。
这可以通过数学方法和工具来实现，如求解方程组、优化算法等。
求解和分析的结果可以帮助我们理解问题的规律和特点。
2.4. 结果的验证和解释在完成模型求解之后，需要对结果进行验证和解释。
这包括对结果进行统计分析、敏感性分析等，以验证结果的可靠性和合理性。
同时，还需要将结果进行解释，给出问题的解决方案和结论。
3. 数学建模中常用的数学方法和技巧在数学建模中，常常使用一些数学方法和技巧来解决问题。
以下是一些常用的数学方法和技巧：3.1. 微积分微积分是数学建模中最常用的方法之一。
它可以用来描述变化率、极值、积分等概念，对于建立函数关系和求解问题非常有用。
3.2. 线性代数线性代数是研究向量空间和线性映射的数学分支。
它在数学建模中常用于矩阵运算、线性方程组的求解等问题。
3.3. 概率统计概率统计是对随机现象进行研究的数学分支。
它在数学建模中常用于描述不确定性和风险，对于分析和预测问题非常有用。
数学建模—概率模型
2随机数生成
v1 随机数 用于信息安全，网络游戏，计算机仿真和模拟计算等。
Rand [0,1] Randn 标准正态 Randstream 适合于7.7及其以后版本，调用类函数
统计工具箱中以rnd结尾的用来生成符合某种分布的随机数，如 Normrnd 正态分布 Binornd 二项分布 Exprnd 指数分布等 v2 histrate函数（非自带）
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1数据处理
Ø1.1 用菜单导入数据 对txt文档，直接使用file－import data 例如example 02-01;02-05(长短不齐)
Ø1.2 调用高级函数导入数据 importdata(‘examp02-01.txt’),把文件复制到目录下，重命名
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4方差分析
预备知识 有关术语简介 因素或因子：所要检验的对象 水平：因子的不同表现 观察值：在每个因素水平下得到的样本值 方差分析能做： 1 检验多个总体均值是否相等（不同院系的高数成绩） 2 需要研究生产条件或实验条件的改变对产品的质量或产量有无影响，比如 种植业研究诸多因素对因变量的影响（品种、施肥量、密度对产量）。在诸多 影响因素中哪些是主要的？ 3 确定最优组合
3参数估计
1 参数估计 统计工具箱中以fit结尾的函数，用来求常见分布的参数的最大似然估计和 置信区间估计。
概率论与数理统计在数学建模中的应用
概率论与数理统计在数学建模中的应用概率论与数理统计在数学建模中的应用——国 冰。
第一节 概率模型一、初等概率模型初等概率模型主要介绍了可靠性模型、传染病流行估计、常染色体遗传模型等三类问题：1、复合系统工作的可靠性问题的数学模型设某种机器的工作系统由N 个部件组成，各部件之间是串联的，即只要有一个部件失灵，整个系统就不能正常工作．为了提高系统的可靠性，在每个部件上都装有主要元件的备用件及自动投入装置(即当所使用元件损坏时，备用元件可自动替代之而开始工作)明显地，备用件越多，整个系统正常工作的可靠性就越大. 但是，备用件过多势必导至整个系统的成本、重量和体积相应增大，工作精度也会降低. 因此，配置的最优化问题便被提出来了：在某些限制性条件之下，如何确定各部件的备用件数量，使整个系统的工作可靠性最大? 这是一个整体系统的可靠性问题.我们假设第i 个部件上装有i x 个备用件(1,2,,)i N =,此时该部件正常工作的概率为()i p x ，那么整个系统正常工作的可靠度便可用1()ni i p p x ==∏ （9.1）来表示.又设第i 个部件上的每个备用件的费用为i C ，重量为i W ，并要求总费用不超过C ，总重量不超过W ，则问题的数学模型便写成为1max ()ni i p p x ==∏合理的决策必须具备三个条件：（1）目标合理；（2）决策结果满足预定目标的要求；（3）决策本身符合效率、满意、有限合理、经济性的原则。
所谓风险型决策是指在作出决策时，往往有某些随机性的因素影响，而决策者对于这些因素的了解不足，但是对各种因素发生的概率已知或者可估算出来，因此这种决策存在一定的风险.①风险决策模型的基本要素决策者——进行决策的个人、委员会或某个组织.在问题比较重大和严肃时，通常应以后者形式出现.方案或策略——参谋人员为决策者提供的各种可行计划和谋略. 如渔民要决定出海打鱼与否便是两个方案或称两个策略.准则——衡量所选方案正确性的标准.作为风险型决策，采用的比较多的准则是期望效益值准则，也即根据每个方案的数学期望值作出判断.对收益讲，期望效益值越大的方案越好；反之对于损失来讲，期望效益值越小的方案越好.事件或状态——不为决策者可控制的客观存在的且将发生的自然状态称为状态(事件)，如下小雨，下大雨和下暴雨即为三个事件或称三种状态，均为人所不可控因素.结果——某事件(状态)发生带来的收益或损失值.②风险决策方法•利用树形图法表示决策过程具有直观简便的特点，将其称为决策树的方法.•充分利用灵敏度分析(即优化后分析)方法对决策结果作进一步的推广和分析.决策树一般都是自上而下的来生成的。
数学建模之概率统计-1
概率与统计
概率论中所研究的随机变量的分布都是 已知的。 统计学中所研究的随机变量的分布是未 知的或部分未知的，必须通过对所研究 的随机变量进行重复独立的观察和试验， 得到所需的观察值（数据），对这些数 据分析后才能对其分布做出种种判断， 即“从局部推断总体”。
统计学
给定一组数据，统计学可以摘要并且描述这
……
……
Matlab相关命令介绍
normfit 正态分布中的参数估计
[muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(x,alpha) 对样本数据 x 进行参数估计，并计算置信度为 1-alpha 的置信区间 alpha 可以省略，缺省值为 0.05，即置信度为 95%
频率
随机试验进行次数
概率
基本知识
随机变量 数字特征（均值、方差、相关系数、特征函数…）
统计分析（假设检验、相关分析、回归分析…)
Matlab 中的随机函数
rand(m,n)
生成一个满足均匀分布的 m n 随机矩阵，矩阵的每
个元素都在 (0,1) 之间。
注：rand(n)=rand(n,n)
Matlab中的取整函数
fix(x) floor(x) ceil(x) round(x)
: 截尾取整，直接将小数部分舍去 : 不超过 x 的最大整数 : 不小于 x 的最小整数
: 四舍五入取整
取整函数举例
x1=fix(3.9);
x2=fix(-3.9); x3=floor(3.9); x4=floor(-3.2); x5=ceil(3.1); x6=ceil(-3.9); x7=round(3.9); x1=3 x2=-3 x3=3 x4=-4 x5=4 x6=-3 x7=4 x8=-3 x9=-4
应用性问题中常见的数学建模
应用性问题中常见的数学建模【摘要】数统计、格式要求等。
谢谢！在解决实际应用性问题时，数学建模是一个重要的工具。
本文将介绍常见的数学建模方法，包括线性规划模型、整数规划模型、图论模型、动态规划模型和概率模型。
通过这些建模方法，我们可以有效地分析和解决各种实际问题。
结合实际情况进行灵活应用是数学建模的关键，不同类型的数学建模适用于不同类型的应用性问题。
数学建模在解决实际问题中起着重要作用，并且为决策提供了有力的支持。
通过数学建模，我们可以更好地理解问题的本质、优化决策方案，并提高解决问题的效率和准确性。
掌握不同类型的数学建模方法对于解决实际问题具有重要意义。
【关键词】数学建模、应用性问题、线性规划、整数规划、图论、动态规划、概率、实际问题、重要作用、灵活应用1. 引言1.1 应用性问题中常见的数学建模应用性问题中常见的数学建模指的是将实际生活中的问题抽象化为数学形式，并通过数学方法进行求解和分析的过程。
数学建模可以帮助人们更好地理解和解决各种实际问题，包括工程、经济、环境等领域的相关问题。
在现实生活中，人们遇到的问题往往是复杂多样的，而数学建模能够帮助我们系统地分析和解决这些问题。
数学建模的过程通常包括问题的定义、建立数学模型、模型求解和结果的分析等步骤。
通过数学建模，我们可以利用数学工具和方法对问题进行深入分析，并找到最优解或者最优策略。
在实际应用中，数学建模多种多样，包括线性规划模型、整数规划模型、图论模型、动态规划模型、概率模型等。
通过数学建模，我们可以更好地理解实际问题的本质，为决策提供科学依据。
数学建模在解决实际问题中起着重要作用，不同类型的数学建模适用于不同类型的应用性问题，同时数学建模需要结合实际情况进行灵活应用。
数学建模的发展将为人类社会的进步和发展提供更多可能性和机会。
2. 正文2.1 线性规划模型线性规划模型是一种常见的数学建模方法，它在解决各种应用性问题中都具有重要作用。
在线性规划模型中，我们需要定义一个目标函数以及一组约束条件，通过最大化或最小化目标函数来找到最优解。
数学建模概率模型
1
2
3
4
5
• 练习题：一报童每天从邮局订购一种报纸，沿街 叫卖。已知每100份报纸报童全部卖出可获利7元。
如销售不出而屯积于仓库，则每吨需保养费1 万元。问题是要确定应组织多少货源，才能使 国家的收益最大。
7
解 若以y为组织某年出口的此种商品量 （显然可以只考虑 2000 y 4000的情况），则收益（单位万元）为源自H3y3
y
因为 的概率密度为
y y
f
x
1 2000
0
x 2000,4000 x 2000,4000
如果当天卖不掉，第二天削价可以全部卖出，但 这时报童每100份报纸要赔4元。报童每天售出的
报纸数 是随机x 变量，概率分布表 x
售出报纸数x（百
份）
概率 p(x)
0 x1 2 3 4 5 0.05 0.1 0.25 0.35 0.15 0.1
• 问：报童每天订购多少份报纸最佳？
6
例4.10 假定在国际市场上每年对我国某种 出口商品的需求量是随机变量 （单位吨）， 它服从〔2 000，4 000〕的均匀分布。设售出 这种商品1吨，可为国家挣得外汇3万元，但假
8
于是收益的期望值为
E H x f x dx 1 4000 H x dx
2000 2000
1 y 4x y dx 1 4000 3ydx
2000 2000
2000 y
1 y2 7000 y 4000000
如何培养学生的数学建模能力
爱生交流119如何培养学生的数学建模能力*陈会玉数学建模是新课程理念提出着力培养的数学六大核心素养之一，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并解决实际问题的一种强有力的数学手段，能有效提高学生学习效率.因此，教师要合理开展数学建模教学，引导学生在较短的时间内融入课堂，完成数学学习任务.教师要选择合适的教学模式，让学生通过建模的方式将抽象数学理论知识点具体呈现出来，使得学习过程变得具有条理性，优化自身的数学学习途径，这对他们未来的数学发展起到了积极影响。
一、数学建模意义分析第一，能帮助学生深入掌握数学基础理论。
初中阶段的数学理论具有较强的抽象性，如函数、变量、方程等概念，会使逻辑思维较差的学生很难对其理解，而利用数学建模，则能将这些概念转化为既能看见又能解得出的数学算式或几何图形，能使学生轻松理解与深入掌握数学基础理论知识。
第二，能培养学生的数学应用意识。
目前较多初中生之所以认为数学学习很枯燥乏味，其原因是由于老师理论实践教学环节脱离导致的，久而久之，学生会对数学学习的价值产生怀疑。
而培养学生的建模能力，则能使学生深入生活中发现问题，并利用建模来解决问题，能有效培养学生的应用意识及能力。
第三，能培养学生的创新思维。
培养学生数学建模能力的过程中，可以将具体的问题抽象为数学模型，能使问题不断简化，通过对模型的多角度分析，自然能实现解题思路的创新。
二、对常见数学模型类型的简述第一，方程组模型。
即将多个方程组合在一起对其展开研究，使存在的未知数可以同时满足各方程组中的一组方程，此模型是研究现实数量关系的一个基础性的数据模型，现实生活中有较多等量关系，比如：顺风逆风、工程、银行利率等问题，这些问题都可以抽象为方程组模型，从而更为快速的解决问题。
第二，不等式模型。
现实生活中的产品价格、市场营销等这些具有限制范围的问题，都是比较常见的不等关系，通过对这些数据的分析，能将不等问题转化为不等式问题，从而针对性的解决。
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如对均值为mu、标准差为sigma的正态分布，举例如下：
1．密度函数：p=normpdf(x,mu,sigma) (当mu=0,sigma=1时可缺省)
例 1 画出正态分布 N (0,1) 和 N (0,22 ) 的概率密度函数图形.
在MATLAB中输入以下命令： x=-6:0.01:6; y=normpdf(x); z=normpdf(x,0,2); plot(x,y,x,z)
9.1 传送系统的效率
背
传送带
景 挂钩
产品
工作台
工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩上运走，若 工作台数固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多。
在生产进入稳态后，给出衡量传送带效 率的指标，研究提高传送带效率的途径
模型分析
• 进入稳态后为保证生产系统的周期性运转，应 假定工人们的生产周期相同，即每人作完一件产 品后，要么恰有空钩经过他的工作台，使他可将 产品挂上运走，要么没有空钩经过，迫使他放下 这件产品并立即投入下件产品的生产。 • 工人们生产周期虽然相同，但稳态下每人生产 完一件产品的时刻不会一致，可以认为是随机的， 并且在一个周期内任一时刻的可能性相同。
例：现有100个零件，其中95个长度合格，94个直径和格， 92个两个尺寸都合格。任取一个，发现长度合格，问直径 合格的概率。
设A=‘长度合格’，B=‘直径合
格’
P( A) 95 , P( AB) 92
100
100
P(B | A) P( AB) 92 P( A) 95
全概率公式和贝叶斯公式
u0 u0
L(
x)
c 2
x
0
(
x
r
)
p(r
)dr
c 3
x
(r
x)
p(r
)dr
若订货u, u+x=S, 总费用为 J1 c0 c1(S x) L(S) 若不订货, u=0, 总费用为 J2 L(x)
J2 J1
L(x) c0 c1(S x) L(S)
不订货
c1x L(x) c0 c1S L(S)
考虑订货费、存贮费、缺货费、购进费，制订 （s, S) 存贮策略,使(平均意义下)总费用最小
模型假设
• 每次订货费c0, 每件商品购进价c1,每件商品 一周贮存费c2,每件商品缺货损失费c3 (c1<c3) • 每周销售量 r 随机、连续，概率密度 p(r)
• 周末库存量x, 订货量 u, 周初库存量 x+u • 每周贮存量按 x+u-r 计
记c x L(x) I(x) 1
I (x) c0 I (S )
订货点 s 是
I(x) c I(S) 的最小正根 0
建模与求解 I(x) c0 I(S) 最小正根的图解法
J (u) cL0(x)c1u L(x u),
u0 u0
I (x) c1x L(x)
L(
x)
c2
x
0
(
x
u0 u0
L(
x)
c2
x
0
(
x
r)
p(r
)dr
c3
x
(r
x)
p(r
)dr
建建模模与与求求解解
1）设 x<s, 求 u 使
J (u) cL0(x)c1u L(x u),
u0 u0
J(u) 最小，确定S
L(
x)
c 2
x
0
(
x
r
)
p(r
)dr
c 3
x
(r
x)
p(r
)dr
dJ du
c1
c2
xu
0
p(r)dr
c 3 xu
p(r)dr
xu S
0
p(r)dr
1
(c1
c2 )
S 0
p(r)dr
(c3
c1
)
S
p(r
)dr
dJ 0 du
S
0
p(r)dr
S
p
(r
)dr
c3 c
2
c1 c
1
P1 P2
p
P1 P2
c3 S , c2 S 0 S
r
建模与求解
2）对库存 x， 确定订货点s
J (u) cL0(x)c1u L(x u),
取n使
n
0
p(r)dr
P1 ,
n
p(r)dr
P2
p
P ab 1
P bc 2
a-b ~售出一份赚的钱 b-c ~退回一份赔的钱
P1 P2
0
n
r
(a b) n , (b c) n
9.3 随机存贮策略
问 以周为时间单位；一周的商品销售量为随机； 题 周末根据库存决定是否订货，供下周销售。
（s, S) 存贮策略 制订下界s, 上界S，当周末库存小于s 时订货， 使下周初的库存达到S; 否则，不订货。
4）每人在生产完一件产品时都能且只能触到一只 挂钩，若这只挂钩是空的，则可将产品挂上运走； 若该钩非空，则这件产品被放下，退出运送系统。
模型建立
• 定义传送带效率为一周期内运走的产品数（记作s, 待定）与生产总数 n（已知）之比，记作 D=s /n
为确定s，从工人考虑还是从挂钩考虑，哪个方便？
• 若求出一周期内每只挂钩非空的概率p，则 s=mp
随机模型 确定性因素和随机性因素
随机因素可以忽略
随机因素影响可以简单 地以平均值的作用出现
确定性模型
随机因素影响必须考虑
随机性模型
概率模型 统计回归模型 马氏链模型
概率模型
一、概率论基本知识 二、概率模型的典型案例
一、概率论基础知识
1、古典概型
条件概率：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率
P( A | B) P( AB) P(B)
2．概率分布：P=normcdf(x,mu,sigma)
例 2． 计算标准正态分布的概率 P{-1<X<1}. 命令为：P=normcdf(1)-normcdf(-1) 结果为：P =0.6827
3．逆概率分布：x=norminv(P,mu,sigma). 即求出x ，使得P{X<x}=P，此命令可用来求分位数.
建模与求解 （s, S) 存贮策略
x s u 0 x s u 0, x u S
确定(s, S), 使目标函数——每周总费用的平均值最小
s ~ 订货点， S ~ 订货值
订货费c0, 购进价c1, 贮存费c2, 缺货费c3, 销售量 r
平均 费用
J (u) cL0(x)c1u L(x u),
如 设每只挂钩为空的概率为q，则 p=1-q
何 求
设每只挂钩不被一工人触到的概率为r，则 q=rn
概 设每只挂钩被一工人触到的概率为u，则 r=1-u
率 一周期内有m个挂钩通过每一工作台的上方
u=1/m
p=1-(1-1/m)n
D=m[1-(1-1/m)n]/n
模型解释
传送带效率(一周期内运走 产品数与生产总数之比）
r
)
p(r
)dr
c3
贝叶斯公式
j 1
2、随机变量及其分布
二项分布
P{
X
k}C
k n
pk
(1
p)nk
,
k 0,1, , n
贝努利试验: 设随机试验E只有两种可能的结果:A及 A ,且
P(A)=p,（0<p<1), 将试验E独立地重复进行n次, 简称n重贝努 利试验(Bernoulli)。 n重贝努利试验中事件A出现的次数服从 二项分布
D m [1 (1 1 )n ]
n
m
若(一周期运行的)挂钩数m远大于工作台数n, 则
D
m [1 (1 n
n m
n(n 1) 2m2 )]
1
n 1 2m
定义E=1-D (一周期内未运走产品数与生产总数之比）
当n远大于1时, E n/2m ~ E与n成正比，与m成反比
若n=10, m=40, D87.5% (89.4%)
泊松分布 P{ X k} k e ,(k 0,1,2,..., 0为 常 数)
k!
n重贝努利试验中小概率事件出现的次数近似地服从泊松分布.
指数分布
e x ,
f (x)
x 0 ( 0为常数）
0,
，
动物的寿命，电话问题中的通话时间，服务时间等.
2 分布：chi2
t 分布：t F 分布：F
MATLAB工具箱对每一种分布都提供5类函数，其命令字符为：
概率密度：pdf 概率分布：cdf 逆概率分布：inv 均值与方差：stat 随机数生成：rnd
当需要一种分布的某一类函数时，将以上所列的分布 命令字符与函数命令字符接起来，并输入自变量（可以是 标量、数组或矩阵）和参数即可.
)dr
dG (a b)np(n)
n
(b c) p(r)dr
dn
0
(a b)np(n) n (a b) p(r)dr
n
(b c)0 p(r)dr (a b)n p(r)dr
dG 0 dn
n
0
n
p(r)dr p(r)dr
a b bc
结果解释
n
0
n
p(r)dr p(r)dr
ab bc
例5 求正态分布N(3,52)的均值与方差. 命令为：[m,v]=normstat(3,5) 结果为：m=3,v=25
5．随机数生成：normrnd(mu,sigma,m,n).产生m×n阶 的正态分布随机数矩阵.
例6 命令：M=normrnd(0,3,100,1)