福建省龙岩二中2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)试题(解析版)

2018-2019学年高二上期中数学理科试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若命题p：∀x∈R,2x2＋1>0，则p是( )A. ∀x∈R,2x2＋1≤0B. ∃x∈R,2x2＋1>0C. ∃x∈R,2x2＋1<0D. ∃x∈R,2x2＋1≤0【答案】D【解析】试题分析：全称命题的否定是特称命题，否定时将结论加以否定，因此p是∃x∈R，2x2＋1≤0考点：全称命题与特称命题2.在△ABC中，“A＞60°”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为为的内角，则，又由，则，而当时，，所以“”是“”的必要不充分条件，故选B.3. 统计某校1000名学生的数学水平测试成绩，得到样本频率分布直方图如图所示，若满分为100分，规定不低于60分为及格，则及格率是（）A. 20%B. 25%C. 6%D. 80%【答案】D【解析】解：及格的频率为（0.025+0.035+0.01+0.01）×10=0.8=80%故选D：4. 为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )A. 简单随机抽样B. 按性别分层抽样C. 按学段分层抽样D. 系统抽样【答案】C【解析】试题分析：符合分层抽样法的定义，故选C.考点：分层抽样．5.阅读下面的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为( )A. 15B. 105C. 245D. 945【答案】B【解析】试题分析：采用列举法列出运算各步结果结束算法，输出，故选B．考点：算法与程序框图．6.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1530石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得253粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( )A. 144石B. 169石C. 338石D. 1365石【答案】B【解析】试题分析：设这批米内夹谷约为考点：抽样7.椭圆的一个焦点是，那么实数的值为（）A. B. C. D. 1【答案】D【解析】【分析】把椭圆化为标准方程后，找出a与b的值，然后根据a2＝b2+c2，表示出c，并根据焦点坐标求出c的值，两者相等即可列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．【详解】椭圆方程化为标准方程得：x21，因为焦点坐标为（0，2），所以长半轴在y轴上，则c2，解得k＝1．故选：D．【点睛】本题考查椭圆的标准方程及椭圆的简单性质．8.从1，2，3，4，5中任意选取3个不同的数，则取出的3个数能够作为三角形的三边边长的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先列举出所有可能的基本事件，再找到满足取出的3个数可作为三角形的三边边长的基本事件，最后利用古典概型概率公式计算即可.【详解】从中任取 3 个不同的数的基本事件有，共10 个,取出的3个数可作为三角形的三边边长，根据两边之和大于第三边求得滿足条件的基本事件有共3个，故取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率，故选A.【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.9.命题p：关于x的不等式(x－2的解集为{x|x≥2}，命题q：若函数y＝kx2－kx－1的值恒小于0，则－4<k≤0，那么不．正确的是( )A. “ p”为假命题B. “ q”为假命题C. “p且q”为真命题D. “p或q”为假命题【答案】C【解析】试题分析：命题p：关于x的不等式（x－2）≥0的解集为{x|x≥2}为真命题；命题q：若函数y＝kx2－kx －1的值恒小于0得或，命题为真命题；所以“p或q”为假命题是不正确的考点：1．函数性质；2．不等式解法；3．复合命题10. 甲、乙两队进行排球决赛．现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】包括两种情况，第一局甲胜或第一局甲输第二局甲赢.都是甲获冠军.所以所求事件的概率为.11.过双曲线的右焦点作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A，B，若，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：因为双曲线的右焦点F 2作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A,B ．若联立解得双曲线的渐近线方程为，选A12.如图，已知椭圆的左，右焦点分别为，，是轴正半轴上一点，交椭圆于A ，若，且的内切圆半径为，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】 【分析】由直角三角形的内切圆半径可得，结合，可得，从而可求，即可求得椭圆的离心率.【详解】直角三角形的内切圆半径，，，，，，，椭圆的离心率是，故选B.【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解.二、填空题：把答案填在第Ⅱ卷对应横线上.13.下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：由其散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是＝－0.7x＋，则＝__________【答案】5.25【解析】＝2.5，＝3.5，∵回归直线方程过定点(，)，∴3.5＝－0.7×2.5＋a.∴a＝5.25.14.已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线方程为____________【答案】【解析】试题分析：由题意可得，双曲线方程为考点：双曲线方程及性质15.如图，四边形ABCD为矩形，AB=，BC=1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE，在圆弧DE上任取一点P，则直线AP与线段BC有公共点的概率是。

【答案】【解析】解：由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是∠BAD，如图，连接AC交弧DE于P，则tan∠CAB=，∴∠CAB=30°，满足条件的事件是直线AP在∠CAB内时AP与BC相交时，即直线AP与线段BC有公共点∴概率P=，故答案为16.在△中，边长为，、边上的中线长之和等于．若以边中点为原点，边所在直线为轴建立直角坐标系，则△的重心的轨迹方程为：。

【答案】（）【解析】设AC和AB边的中点分别是D,E,,,所以重心的轨迹是长轴长为26，焦距为24的椭圆，故方程为，因A,B,C不能在同一条直线上，故三.解答题。

17.已知命题p：方程表示焦点在轴上的双曲线，命题q：f(x)=－(5－2m)x是减函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围【答案】或【解析】【分析】利用双曲线方程的性质化简命题可得，利用指数函数的性质化简命题可得，由为真命题，为假命题，可得一真一假，分两种情况讨论，对于真假以及假真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数的取值范围.【详解】若p是真，1<m <3f(x)=－(5－2m)x是减函数，须5－2m>1即q是真命题，m<2由于p或q为真命题，p且q为假命题故p、q中一个真，另一个为假命题因此，或【点睛】本题通过判断或命题、且命题的真假，综合考查指数函数的单调性以及双曲线的标准方程，属于中档题.解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.18. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数。

乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中经X 表示。

（1）如果X=8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差（2）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率【答案】（1）10,1；（2）.【解析】茎叶图中间表示十位，两边表示个位，当x=8，表示出甲乙的植树棵数，求解；甲、乙两组中随机选取一名同学需将甲乙的各种情况表示出来，排列出所有情况，（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（A3，B1），（A2，B2），（A3，B3），（A1，B4），（A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），（A4，B4），其中满足条件的共4个，古典概型，求解。

解（Ⅰ）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，所以平均数为方差为（Ⅱ）记甲组四名同学为A1，A2，A3，A4，他们植树的棵数依次为9，9，11，11；乙组四名同学为B1，B2，B3，B4，他们植树的棵数依次为9，8，9，10，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（A3，B1），（A2，B2），（A3，B3），（A1，B4），（A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），（A4，B4），用C表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C中的结果有4个，它们是：（A1，B4），（A2，B4），（A3，B2），（A4，B2），故所求概率为19. （本题满分12分）已知椭圆C的两焦点分别为，长轴长为6。

⑴求椭圆C的标准方程; ⑵已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C于A 、B两点,求线段AB的长度。

【答案】（1）；（2）【解析】(1)由焦点坐标可求c值，a值，然后可求出b的值。

进而求出椭圆C的标准方程。

（2）先求出直线方程然后与椭圆方程联立利用韦达定理及弦长公式求出|AB|的长度。

解：⑴由，长轴长为6得：所以∴椭圆方程为⑵设,由⑴可知椭圆方程为①,∵直线AB的方程为②把②代入①得化简并整理得所以又20.某城市户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，，，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？【答案】（1）；（2），；（3）．【解析】试题分析：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为a，解方程（0.002+0.0095++0.011）×20+0.0125×（a-220）=0.5可得；（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数试题解析：(1)由直方图的性质可得(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x＋0.005＋0.0025)×20＝1得：x＝0.0075，所以直方图中x的值是0.0075. ------------- 3分(2)月平均用电量的众数是＝230. ------------- 5分因为(0.002＋0.0095＋0.011)×20＝0.45<0.5，所以月平均用电量的中位数在[220,240)内，设中位数为a，由(0.002＋0.0095＋0.011)×20＋0.0125×(a－220)＝0.5得：a＝224，所以月平均用电量的中位数是224. ------------ 8分(3)月平均用电量为[220,240]的用户有0.0125×20×100＝25户，月平均用电量为[240,260)的用户有0.0075×20×100＝15户，月平均用电量为[260,280)的用户有0. 005×20×100＝10户，月平均用电量为[280,300]的用户有0.0025×20×100＝5户，-------------10分抽取比例＝＝，所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×＝5户．-- 12分考点：频率分布直方图及分层抽样21.某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入（单位：千元）的数据如下表：年份代号人均纯收入（1）求y关于的线性回归方程；（2）判断y与之间是正相关还是负相关？（3）预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，【答案】（1）；（2）正相关；（3）6千8百元【解析】【分析】(1)根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和,与横标的平方和，代入公式求出的值，再求出的值，写出线性回归方程；(2)根据，可得与之间是正相关；（3）根据上一问求出的线性回归方程，代入所给的值，可预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.【详解】（1）因为，设回归方程为，代入公式，经计算得，所以关于的回归方程为（2）因为，所以与之间是正相关（3）预计到2015年，该地区人均纯收入，所以，预计到2015年，该地区人均纯收入约为6千8百元.【点睛】本题主要考查线性回归方程的求解与应用，属于中档题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.22.已知椭圆与轴，轴的正半轴分别交于A，B两点，原点O到直线AB的距离为该椭圆的离心率为（1）求椭圆的方程（2）是否存在过点P（的直线与椭圆交于M，N两个不同的点，使成立？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由。