中考热点题型第2章探索与开放题(2)

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中考数学专题复习(二十三) 开放与探索的思想(考点例题精讲习

开放与探索考纲解读：开放与探索性问题是中考题多样化和时代发展要求的产物。

单一的题型和测试目标限制了考生应用知识解决实际问题的能力，不利于激发学生的创造性。

开放与探索性问题能为考生提供更大的考虑问题的空间，在解决途径方面也是多样的，这样的题是十分有利于考生发挥水平的，也有利于考生创新意识的培养。

考试热点： 1、探索、补充条件 2、探索、确定结论 3、探索存在性4、有关方案设计与动手操作的题目（如作图、画图及图形的剪、拼、折叠）例题演练：考点1 条件开放的探索命题规律给出问题的结论，让解题者分析探索使结论成立应具备的条件，而满足结论的条件往往不唯一，这样的问题是条件开放性问题，解决这样问题的一般思路是：从结论出发，执过索因，逆向推理，逐步探求结论成立的条件或把可能产生结论的条件一一列出，逐个分析。

【例1】如图，抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B ．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上求点M ，使△MOB 的面积是△AOB 面积的3倍；（3）连结OA ，AB ，在x 轴下方的抛物线上是否存在点N ，使△OBN 与△OAB相似？若存在，求出N 点的坐标；若不存在，说明理由．y xOAB第24题图【答案】（1）由题意，可设抛物线的解析式为2(2)1y a x =-+，∵抛物线过原点，∴2(02)10a -+=， 14a =-．∴抛物线的解析式为21(2)14y x =--+214x x =-+．（2）AOB △和所求MOB △同底不等高，3MOB AOB S S =△△且，∴MOB △的高是AOB △高的3倍，即M 点的纵坐标是3-．∴2134x x -=-+，即24120x x --=．解之，得 16x =，22x =-．∴满足条件的点有两个：1(63)M -，，2(23)M --，．（3）不存在．由抛物线的对称性，知AO AB =，AOB ABO ∠=∠．若OBN △与OAB △相似，必有BON BOA BNO ∠=∠=∠．设ON 交抛物线的对称轴于A '点，显然(21)A '-，． ∴直线ON 的解析式为12y x =-．由21124x x x -=-+，得10x =，26x =．∴ (63)N -，．过N 作NE x ⊥轴，垂足为E ．在Rt BEN △中，2BE =，3NE =， ∴222313NB =+=．又OB =4，∴NB OB ≠，BON BNO ∠≠∠，OBN △与OAB △不相似．同理，在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的N 点．所以在该抛物线上不存在点N ，使OBN △与OAB △相似．y xOA B ENA 'A ′考点2 结论开放的探索命题规律给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论，并且符合条件的结论往往呈现多样性，或者相应的结论的“存在性”需要解题者进行推断，甚至要求探求条件在变化中的结论，这些问题都是结论开放性问题，它要求解题者充分利用条件进行大胆合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考察解题者的发散思维和应用所学基础知识的能力。

九年级数学专题复习创新、开放与探究型问题

中考冲刺：创新、开放与探究型问题【中考展望】所谓开放探索型问题指的是有些数学问题的条件、结论或解决方法不确定或不唯一，需要根据题目的特点进行分析、探索，从而确定出符合要求的答案(一个、多个或所有答案)或探索出解决问题的多种方法．由于开放探究型问题对考查学生思维能力和创造能力有积极的作用，是近几年中考命题的一个热点．通常这类题目有以下几种类型：条件开放与探索，结论开放和探索，条件与结论都开放与探索及方案设计、命题组合型、问题开放型等．【方法点拨】由于开放探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：1．利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律．2．反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致．3．分类讨论法．当命题的题设和结论不唯一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果．4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证．以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用．【典型例题】类型一、探索规律例1．如图，△ABC面积为1，第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B=AB，C1B=CB，C1A=CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1．第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1=A1B1，B2C1=B1C1，C2A1=C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2014，最少经过（）次操作．A．7 B．6 C．5 D．4举一反三：【变式】如图，△A1A2A3，△A4A5A5，△A7A8A9，…，△A3n﹣2A3n﹣1A3n（n为正整数）均为等边三角形，它们的边长依次为2，4，6，…，2n，顶点A3，A6，A9，…，A3n均在y轴上，点O是所有等边三角形的中心，则点A2016的坐标为 .类型二、条件开放型、结论开放型例2．在平面直角坐标系中，等腰三角形ABC的顶点A的坐标为（2，2）．（1）若底边BC在x轴上，请写出一组满足条件的点B、点C的坐标：；（2）若底边BC的两端点分别在x轴、y轴上，请写出一组满足条件的点B、点C的坐标： .举一反三：【变式】在平面直角坐标系中，等腰三角形ABC的顶点A的坐标为(2，2)．(1)若底边BC在x轴上，请写出一组满足条件的点B，点C的坐标：________________；设点B，点C的坐标分别为(m，0)，(n，0)，你认为m，n应满足怎样的条件？(2)若底边BC的两个端点分别在x轴，y轴上，请写出一组满足条件的点B，点C的坐标：______________；设点B，点C的坐标分别为(m，0)，(0，n)，你认为m，n应满足怎样的条件?类型三、条件和结论都开放的问题例3．如图(1)，四边形ABCD中，AD与BC不平行，现给出三个条件：①∠CAB＝∠DBA，②AC＝BD，③AD＝BC．请你从上述三个条件中选择两个条件，使得加上这两个条件后能够推出ABCD是等腰梯形，并加以证明(只需证明一种情况)．举一反三：【变式】如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1,AB=CD=5．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK．（1）若∠1=70°，求∠MNK的度数．（2）△MNK的面积能否小于12？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由．（3）如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你利用备用图探究可能出现的情况，求出最大值．（备用图）类型四、动态探究型例4．如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F．另一边交CB的延长线于点G．（1）求证：EF=EG；（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB=a、BC=b，求EFEG的值．【思路点拨】（1）由∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，可得∠DEF=∠GEB，又由正方形的性质，可利用SAS证得Rt△FED≌Rt△GEB，则问题得证；（2）首先点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，然后利用SAS证得Rt△FEI≌Rt△GEH，则问题得证；（3）首先过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，易证EM∥AB，EN∥AD，则可证得△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，又由有两角对应相等的三角形相似，证得△GME∽△FNE，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．举一反三：【变式1】已知：如图(a)，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm／s；连接PQ．若设运动的时间为t(s)(0＜t＜2)，解答下列问题：(1)当t为何值时，PQ∥BC?(2)设△AQP的面积为y(cm2)，求y与t之间的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t 的值．若不存在，说明理由；(4)如图(b)，连接PC，并把△POC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．举一反三：【变式2】如图，点D，E在△ABC的边BC上，连接AD，AE. ①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE.以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①.（1）以上三个命题是真命题的为（直接作答）；（2）请选择一个真命题进行证明（先写出所选命题，然后证明）.ED CBA类型五、创新型例5．先阅读下列材料，然后解答问题：从A B C ，，三张卡片中选两张，有三种不同选法，抽象成数学问题就是从3个元素中选取2个元素组合，记作2332C 321⨯==⨯．一般地，从m 个元素中选取n 个元素组合，记作：(1)(1)C (1)321n m m m m n n n --+=-⨯⨯⨯例从7个元素中选5个元素，共有5776543C 2154321⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯种不同的选法．问题：从某学习小组10人中选取3人参加活动，不同的选法共有种．【巩固练习】一、选择题1.下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有1个空心小圆圈，第②个图形中一共有6个空心小圆圈，第③个图形中一共有13个空心小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中空心圆圈的个数为（）A．61 B．63 C．76 D．782．如图，直角三角形纸片ABC中，AB=3，AC=4，D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D 重合，折痕与AD交与点P1；设P1D的中点为D1，第2次将纸片折叠，使点A与点D1重合，折痕与AD交于点P2；设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A与点D2重合，折痕与AD交于点P3；…；设P n﹣1D n﹣2的中点为D n﹣1，第n次将纸片折叠，使点A与点D n﹣1重合，折痕与AD交于点P n（n＞2），则AP6的长为（）A．512532⨯B．69352⨯C．614532⨯D．711352⨯3．下面两个多位数1248624…、6248624…，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位．对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是( ) A．495 B．497 C．501 D．5034.如图，一个3×2的矩形（即长为3，宽为2）可以用两种不同方式分割成3或6个边长是正整数的小正方形，即：小正方形的个数最多是6个，最少是3个．（1）一个5×2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数可以是个，最少是个；（2）一个7×2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数最多是个，最少是个；（3）一个（2n+1）×2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数最多是个；最少是个．（n 是正整数）5. 一园林设计师要使用长度为4L 的材料建造如图1所示的花圃，该花圃是由四个形状、大小完全一样的扇环面组成，每个扇环面如图2所示，它是以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过O 点的两条直线段围成，为使得绿化效果最佳，还须使得扇环面积最大．(1)使图①花圃面积为最大时R －r 的值为，以及此时花圃面积为，其中R 、r 分别为大圆和小圆的半径；(2)若L ＝160 m ，r ＝10 m ，使图面积为最大时的θ值为．6．如图所示，已知△ABC 的面积1ABC S =△，在图(a)中，若11112AA BB CC AB BC CA ===，则11114A B C S =△；在图(b)中，若22213AA BB CC AB BC CA ===，则222A B C 13S =△；在图(c)，若33314AA BB CC AB BC CA ===，则333716A B C S =△．…按此规律，若88819AA BB CC AB BC CA ===，则888A B C S =△________．7．（2016•丹东模拟）已知，点D为直线BC上一动点（点D不与点B、C重合），∠BAC=90°，AB=AC，∠DAE=90°，AD=AE，连接CE．（l）如图1，当点D在线段BC上时，求证：①BD⊥CE，②CE=BC﹣CD；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CE、BC、CD三条线段之间的关系；（3）如图3，当点O在线段BC的反向延长线上时，且点A、E分别在直线BC的两侧，点F是DE的中点，连接AF、CF，其他条件不变，请判断△ACF的形状，并说明理由．8.如图(a)、(b)、(c)，在△ABC中，分别以AB，AC为边，向△ABC外作正三角形、正四边形、正五边形，BE，CD相交于点O．(1)①如图(a)，求证：△ADC≌△ABE；②探究：图(a)中，∠BOC＝________；图(b)中，∠BOC＝________；图(c)中，∠BOC＝________；(2)如图(d)，已知：AB，AD是以AB为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边；AC，AE是以AC为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边．BE，CD的延长相交于点O．①猜想：图(d)中，∠BOC＝________________；(用含n的式子表示)②根据图(d)证明你的猜想．9. 如图(a)，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°， AD＝9，BC＝12，AB＝a，在线段BC上任取一点P(P 不与B，C重合)，连接DP，作射线．PE⊥DP，PE与直线AB交于点E．(1)试确定CP＝3时，点E的位置；(2)若设CP＝x(x＞0)，BE＝y(y＞0)，试写出y关于自变量x的函数关系式；(3)若在线段BC上能找到不同的两点P1，P2，使按上述作法得到的点E都与点A重合，试求出此时a的取值范围．10. 点A，B分别是两条平行线m，n上任意两点，在直线n上找一点C，使BC＝k·AB．连接AC，在直线AC上任取一点E，作∠BEF＝∠ABC，EF交直线m于点F．(1)如图(a)，当k＝1时，探究线段EF与EB的关系，并加以说明；说明：①如果你经过反复探索没有解决问题，请写出探索过程(要求至少写三步)；②在完成①之后，可以自己添加条件(添加的条件限定为∠ABC为特殊角)，在图(b)中补全图形，完成证明．(2)如图(c)，若∠ABC＝90°，k≠l，探究线段EF与EB的关系，并说明理由．。

中考数学一轮复习课件：专题二开放探索题

专题二开放探索题
开放探索型试题在中考中越来越受到重视，由于条件或结论的不确定性，使得解题的方法与答案呈多样性.学生犹如八仙过海，各显神通.
探索性问题的特点：问题一般没有明确的条件或结论，没有固定的形式和方法，需要自己通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需的条件、方法或结论.这类题主要考查学生分析问题、解决问题的能力和创新意识.
(1)解：△ADE≌△BDE，△ABC∽△BCD. (2)证明：∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠C＝72°. ∵BD为∠ABC的角平分线， ∴∠ABD＝12∠ABC＝36°＝∠A.
在△ADE 和△BDE 中，
∠A＝∠DBA， ∠AED＝∠BED， ED＝ED， ∴△ADE≌△BDE(AAS). ∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°. ∵BD 为∠ABC 的角平分线， ∴∠DBC＝12∠ABC＝36°＝∠A. 又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BCD.
[解题技巧]寻找全等三角形时，注意形状和大小必须相同；寻找相似三角形时，注意形状相同.此类题目可能结论唯一，也可能结论有多种可能.
条件开放与探索例2：(2015年山东东营)如图Z2-2，在△ABC中，AB＞AC，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F在BC边上，连接DE， DF，EF，则添加下列哪一个条件后，仍无法判断△FCE与 △EDF全等( )
解：由题意，考虑圆心在顶点、直角边和斜边上，设计出符合题意的方案示意图如图 Z2-3 所示四种方案：
图 Z2-3 半径分别为 r1＝2 2，r2＝ 24＋1，r3＝2，r4＝4. [思想方法]策略开放题要结合分类讨论思想来解题，先选择一个分类的标准，再进行讨论解题，做到不重不漏.
开放探索题常见的类型有：(1)条件开放型，即问题的条件不完备或满足结论的条件不唯一；(2)结论开放型，即在给定的条件下，结论不唯一；(3)综合性开放型，一般没有明确的条件和结论，需要运用信息发现规律并解答；(4)策略开放型，即思维策略与解题方法不唯一.

中考数学复习第二讲《开放探究型问题》经典题型含答案

中考数学复习专题第二讲开放探究型问题【要点梳理】开放探究型问题的内涵：所谓开放探究型问题是指已知条件、解题依据、解题方法、问题结论这四项要素中，缺少解题要素两个或两个以上，需要通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需求的条件或结论或方法．(1)常规题的结论往往是唯一确定的，而多数开放探究题的结论是不确定或不是唯一的，它是给学生有自由思考的余地和充分展示思想的广阔空间；(2)解决此类问题的方法，可以不拘形式，有时需要发现问题的结论，有时需要尽可能多地找出解决问题的方法，有时则需要指出解题的思路等．对于开放探究型问题，需要通过观察、比较、分析、综合及猜想，展开发散性思维，充分运用已学过的数学知识和数学方法，经过归纳、类比、联想等推理的手段，得出正确的结论．在解开放探究题时，常通过确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题．【学法指导】三个解题方法(1)条件开放型问题：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，结合图形挖掘条件，逆向追索，逐步探寻，是一种分析型思维方式．它要求解题者善于从问题的结论出发，逆向追索，多途寻因；(2)结论开放型问题：从剖析题意入手，充分捕捉题设信息，通过由因导果，顺向推理或联想、类比、猜测等，从而获得所求的结论；(3)条件和结论都开放型：此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，需将已知的信息集中进行分析，探索问题成立所必须具备的条件或特定的条件应该有什么结论，通过这一思维活动得出事物内在联系，从而把握事物的整体性和一般性．【考点解析】条件开放型问题（2017贵州安顺）如图，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，（1）求证：BC=DE；（2）连接AD、BE，若要使四边形DBEA是矩形，则给△ABC添加什么条件，为什么？【考点】LC：矩形的判定；L7：平行四边形的判定与性质．【分析】（1）要证明BC=DE，只要证四边形BCED是平行四边形．通过给出的已知条件便可．（2）矩形的判定方法有多种，可选择利用“对角线相等的平行四边形为矩形”来解决．【解答】（1）证明：∵E是AC中点，∴EC=AC．∵DB=AC，∴DB∥EC．又∵DB∥EC，∴四边形DBCE是平行四边形．∴BC=DE．（2）添加AB=BC．（ 5分）理由：∵DB AE，∴四边形DBEA是平行四边形．∵BC=DE，AB=BC，∴AB=DE．∴▭ADBE是矩形．结论开放型问题（2017广西河池）（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD 上，AE⊥BF于点M，求证：AE=BF；（2）如图2，将（1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=2，BC=3，AE ⊥BF于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论．【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质．【分析】（1）根据正方形的性质，可得∠ABC与∠C的关系，AB与BC的关系，根据两直线垂直，可得∠AMB的度数，根据直角三角形锐角的关系，可得∠ABM与∠BAM的关系，根据同角的余角相等，可得∠BAM与∠CBF的关系，根据ASA，可得△ABE≌△BCF，根据全等三角形的性质，可得答案；（2）根据矩形的性质得到∠ABC=∠C，由余角的性质得到∠BAM=∠CBF，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠C，AB=BC．∵AE⊥BF，∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，∵∠ABM+∠CBF=90°，∴∠BAM=∠CBF．在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE=BF；（2）解：AB=BC，理由：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠C，∵AE⊥BF，∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，∵∠ABM+∠CBF=90°，∴∠BAM=∠CBF，∴△ABE∽△BCF，∴=，∴AB=BC．存在开放型问题（2017广东）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．（1）填空：点B的坐标为（2，2）；（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD 的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证： =；②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．【考点】SO：相似形综合题．【分析】（1）求出AB、BC的长即可解决问题；（2）存在．连接BE，取BE的中点K，连接DK、KC．首先证明B、D、E、C 四点共圆，可得∠DBC=∠DCE，∠EDC=∠EBC，由tan∠ACO==，推出∠ACO=30°，∠ACD=60°由△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，推出∠DBC=∠DCE=∠EDC=∠EBC=30°，推出∠DBC=∠BCD=60°，可得△DBC是等边三角形，推出DC=BC=2，由此即可解决问题；（3）①由（2）可知，B、D、E、C四点共圆，推出∠DBC=∠DCE=30°，由此即可解决问题；②作DH⊥AB于H．想办法用x表示BD、DE的长，构建二次函数即可解决问题；【解答】解：（1）∵四边形AOCB是矩形，∴BC=OA=2，OC=AB=2，∠BCO=∠BAO=90°，∴B（2，2）．故答案为（2，2）．（2）存在．理由如下：连接BE，取BE的中点K，连接DK、KC．∵∠BDE=∠BCE=90°，∴KD=KB=KE=KC，∴B、D、E、C四点共圆，∴∠DBC=∠DCE，∠EDC=∠EBC，∵tan∠ACO==，∴∠ACO=30°，∠ACB=60°①如图1中，△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，∴∠DBC=∠DCE=∠EDC=∠EBC=30°，∴∠DBC=∠BCD=60°，∴△DBC是等边三角形，∴DC=BC=2，在Rt△AOC中，∵∠ACO=30°，OA=2，∴AC=2AO=4，∴AD=AC﹣CD=4﹣2=2．∴当AD=2时，△DEC是等腰三角形．②如图2中，∵△DCE是等腰三角形，易知CD=CE，∠DBC=∠DEC=∠CDE=15°，∴∠ABD=∠ADB=75°，∴AB=AD=2，综上所述，满足条件的AD的值为2或2．（3）①由（2）可知，B、D、E、C四点共圆，∴∠DBC=∠DCE=30°，∴tan∠DBE=，∴=．②如图2中，作DH⊥AB于H．在Rt△ADH中，∵AD=x，∠DAH=∠ACO=30°，∴DH=AD=x，AH==x，∴BH=2﹣x，在Rt△BDH中，BD==，∴DE=BD=•，∴矩形BDEF的面积为y= []2=（x2﹣6x+12），即y=x2﹣2x+4，∴y=（x﹣3）2+，∵＞0，∴x=3时，y有最小值．综合开放型问题（2017山东泰安）如图，四边形ABCD是平行四边形，AD=AC，AD⊥AC，E 是AB的中点，F是AC延长线上一点．（1）若ED⊥EF，求证：ED=EF；（2）在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判定四边形ACPE 是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）；（3）若ED=EF，ED与EF垂直吗？若垂直给出证明．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）根据平行四边形的想知道的AD=AC，AD⊥AC，连接CE，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到CF=AD，等量代换得到AC=CF，于是得到CP=AB=AE，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形ACPE为平行四边形；（3）过E作EM⊥DA交DA的延长线于M，过E作EN⊥FC交FC的延长线于N，证得△AME≌△CNE，△ADE≌△CFE，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：在▱ABCD中，∵AD=AC，AD⊥AC，∴AC=BC，AC⊥BC，连接CE，∵E是AB的中点，∴AE=EC，CE⊥AB，∴∠ACE=∠BCE=45°，∴∠ECF=∠EAD=135°，∵ED⊥EF，∴∠CEF=∠AED=90°﹣∠CED，在△CEF和△AED中，，∴△CEF≌△AED，∴ED=EF；（2）解：由（1）知△CEF≌△AED，CF=AD，∵AD=AC，∴AC=CF，∵DP∥AB，∴FP=PB，∴CP=AB=AE，∴四边形ACPE为平行四边形；（3）解：垂直，理由：过E作EM⊥DA交DA的延长线于M，过E作EN⊥FC交FC的延长线于N，在△AME与△CNE中，，∴△AME≌△CNE，∴∠ADE=∠CFE，在△ADE与△CFE中，，∴△ADE≌△CFE，∴∠DEA=∠FEC，∵∠DEA+∠DEC=90°，∴∠CEF+∠DEC=90°，∴∠DEF=90°，∴ED⊥EF．【真题训练】训练一：（2017日照）如图，已知BA=AE=DC，AD=EC，CE⊥AE，垂足为E．（1）求证：△DCA≌△EAC；（2）只需添加一个条件，即AD=BC（答案不唯一），可使四边形ABCD 为矩形．请加以证明．训练二：（2017湖北荆州）如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC、BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE．（1）求证：△ACD≌△EDC；（2）请探究△BDE的形状，并说明理由．训练三：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF=2DF，连接CE、AF．（1）证明：AF=CE；（2）当∠B=30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．训练四：（2017广东）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO 是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB 为邻边作矩形BDEF．（1）填空：点B的坐标为（2，2）；（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD 的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证： =；②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．训练五：（2017•黑龙江）在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若四边形ABCD是正方形如图1：则有AC=BD，AC⊥BD．旋转图1中的Rt△COD到图2所示的位置，AC′与BD′有什么关系？（直接写出）若四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，旋转Rt△COD至图3所示的位置，AC′与BD′又有什么关系？写出结论并证明．参考答案：训练一：（2017日照）如图，已知BA=AE=DC，AD=EC，CE⊥AE，垂足为E．（1）求证：△DCA≌△EAC；（2）只需添加一个条件，即AD=BC（答案不唯一），可使四边形ABCD 为矩形．请加以证明．【考点】LC：矩形的判定；KD：全等三角形的判定与性质．【分析】（1）由SSS证明△DCA≌△EAC即可；（2）先证明四边形ABCD是平行四边形，再由全等三角形的性质得出∠D=90°，即可得出结论．【解答】（1）证明：在△DCA和△EAC中，，∴△DCA≌△EAC（SSS）；（2）解：添加AD=BC，可使四边形ABCD为矩形；理由如下：∵AB=DC，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵CE⊥AE，∴∠E=90°，由（1）得：△DCA≌△EAC，∴∠D=∠E=90°，∴四边形ABCD为矩形；故答案为：AD=BC（答案不唯一）．训练二：（2017湖北荆州）如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC、BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE．（1）求证：△ACD≌△EDC；（2）请探究△BDE的形状，并说明理由．【考点】LB：矩形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；Q2：平移的性质．【分析】（1）由矩形的性质得出AB=DC，AC=BD，AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°，由平移的性质得：DE=AC，CE=BC，∠DCE=∠ABC=90°，DC=AB，得出AD=EC，由SAS即可得出结论；（2）由AC=BD，DE=AC，得出BD=DE即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，AC=BD，AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°，由平移的性质得：DE=AC，CE=BC，∠DCE=∠ABC=90°，DC=AB，∴AD=EC，在△ACD和△EDC中，，∴△ACD≌△EDC（SAS）；（2）解：△BDE是等腰三角形；理由如下：∵AC=BD，DE=AC，∴BD=DE，∴△BDE是等腰三角形．训练三：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF=2DF，连接CE、AF．（1）证明：AF=CE；（2）当∠B=30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．【考点】L9：菱形的判定；KX：三角形中位线定理；L7：平行四边形的判定与性质．【分析】（1）由三角形中位线定理得出DE∥AC，AC=2DE，求出EF∥AC，EF=AC，得出四边形ACEF是平行四边形，即可得出AF=CE；（2）由直角三角形的性质得出∠BAC=60°，AC=AB=AE，证出△AEC是等边三角形，得出AC=CE，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵点D，E分别是边BC，AB上的中点，∴DE∥AC，AC=2DE，∵EF=2DE，∴EF∥AC，EF=AC，∴四边形ACEF是平行四边形，∴AF=CE；（2）解：当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形；理由如下：∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，AC=AB=AE，∴△AEC是等边三角形，∴AC=CE，又∵四边形ACEF是平行四边形，∴四边形ACEF是菱形．训练四：（2017广东）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO 是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB 为邻边作矩形BDEF．（1）填空：点B的坐标为（2，2）；（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD 的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证： =；②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．【考点】SO：相似形综合题．【分析】（1）求出AB、BC的长即可解决问题；（2）存在．连接BE，取BE的中点K，连接DK、KC．首先证明B、D、E、C 四点共圆，可得∠DBC=∠DCE，∠EDC=∠EBC，由tan∠ACO==，推出∠ACO=30°，∠ACD=60°由△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，推出∠DBC=∠DCE=∠EDC=∠EBC=30°，推出∠DBC=∠BCD=60°，可得△DBC是等边三角形，推出DC=BC=2，由此即可解决问题；（3）①由（2）可知，B、D、E、C四点共圆，推出∠DBC=∠DCE=30°，由此即可解决问题；②作DH⊥AB于H．想办法用x表示BD、DE的长，构建二次函数即可解决问题；【解答】解：（1）∵四边形AOCB是矩形，∴BC=OA=2，OC=AB=2，∠BCO=∠BAO=90°，∴B（2，2）．故答案为（2，2）．（2）存在．理由如下：连接BE，取BE的中点K，连接DK、KC．∵∠BDE=∠BCE=90°，∴KD=KB=KE=KC，∴B、D、E、C四点共圆，∴∠DBC=∠DCE，∠EDC=∠EBC，∵tan∠ACO==，∴∠ACO=30°，∠ACB=60°①如图1中，△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，∴∠DBC=∠DCE=∠EDC=∠EBC=30°，∴∠DBC=∠BCD=60°，∴△DBC是等边三角形，∴DC=BC=2，在Rt△AOC中，∵∠ACO=30°，OA=2，∴AC=2AO=4，∴AD=AC﹣CD=4﹣2=2．∴当AD=2时，△DEC是等腰三角形．②如图2中，∵△DCE是等腰三角形，易知CD=CE，∠DBC=∠DEC=∠CDE=15°，∴∠ABD=∠ADB=75°，∴AB=AD=2，综上所述，满足条件的AD的值为2或2．（3）①由（2）可知，B、D、E、C四点共圆，∴∠DBC=∠DCE=30°，∴tan∠DBE=，∴=．②如图2中，作DH⊥AB于H．在Rt△ADH中，∵AD=x，∠DAH=∠ACO=30°，∴DH=AD=x，AH==x，∴BH=2﹣x，在Rt△BDH中，BD==，∴DE=BD=•，∴矩形BDEF的面积为y= []2=（x2﹣6x+12），即y=x2﹣2x+4，∴y=（x﹣3）2+，∵＞0，∴x=3时，y有最小值．训练五：（2017•黑龙江）在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若四边形ABCD是正方形如图1：则有AC=BD，AC⊥BD．旋转图1中的Rt△COD到图2所示的位置，AC′与BD′有什么关系？（直接写出）若四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，旋转Rt△COD至图3所示的位置，AC′与BD′又有什么关系？写出结论并证明．【考点】LE：正方形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；L8：菱形的性质；R2：旋转的性质．【分析】图2：根据四边形ABCD是正方形，得到AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，根据旋转的性质得到OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，等量代换得到AO=BO，OC′=OD′，∠AOC′=∠BOD′，根据全等三角形的性质得到AC′=BD′，∠OAC′=∠OBD′，于是得到结论；图3：根据四边形ABCD是菱形，得到AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，求得OB=√3OA，OD=√3OC，根据旋转的性质得到OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，求得OD′=√3OC′，∠AOC′=∠BOD′，根据相似三角形的性质得到BD′=√3AC′，于是得到结论．【解答】解：图2结论：AC′=BD′，AC′⊥BD′，理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，∵将Rt△COD旋转得到Rt△C′OD′，∴OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，∴AO=BO，OC′=OD′，∠AOC′=∠BOD′，在△AOC′与△BOD′中，{AO=BO∠AOC′=∠BOD′OC′=OD′，∴△AOC′≌△BOD′，∴AC′=BD′，∠OAC′=∠OBD′，∵∠AO′D′=∠BO′O，∠O′BO+∠BO′O=90°，∴∠O′AC′+∠AO′D′=90°，∴AC′⊥BD′；图3结论：BD′=√3AC′，AC′⊥BD’理由：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，∵∠ABC=60°，∴∠ABO=30°，∴OB=√3OA，OD=√3OC，∵将Rt△COD旋转得到Rt△C′OD′，∴OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，∴OD′=√3OC′，∠AOC′=∠BOD′，∴OBOA =OD′OC′=√3，∴△AOC′∽△BOD′，∴BD′AC′=OBOA=√3，∠OAC′=∠OBD′，∴BD′=√3AC′，∵∠AO′D′=∠BO′O，∠O′BO+∠BO′O=90°，∴∠O′AC′+∠AO′D′=90°，∴AC′⊥BD′．【点评】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键．。

九年级数学中考综合复习：开放与探索性问题复习讲义

综合复习.开放与探索性问题＆.综合评述：开放与探索性问题改变了过去试题形式单一，知识点考查僵硬，不能充分调动学生的创新意识和探究兴趣的缺点，为学生提供了更广阔的思维空间，正因为如此，开放与探究性题成为近几年中考的热点题型之一。

一、开放性问题这类题一般没有具体的标准答案，解题时要灵活运用所学基础知识，多层次、多角度地思考问题，解决问题，一般答案只要符合题意即可。

二、探究性问题探究性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断、补充并加以证明的题型，探究性问题一般分为三类：1、条件探索型题；2、结论探究型题；3、探究存在型题。

条件型题是指所给问题中结论明确，需要完备条件的题目；结论探究型题是指题目中的结论不确定，不唯一，或题目结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论。

探究存在型题是指在一定的基础上，需探究发现某种数学关系是否存在的题目。

这类问题具有较强的综合性，涉及的数学基础知识非常广泛。

这种题型既能考查学生对基础知识掌握的熟练程度，又能较好的考查学生的观察、分析、概括能力，因此复习时，既要重视基础知识，又要强化数学思想方法训练，切实提高自己分析问题、解决问题的能力。

＆.典型例题剖析：§.例1、多项式192+x 加上一个单项式后，使它成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是 .（填上一个你认为正确的即可）思路点拨：本题主要考查了完全平方式。

解：按完全平方公式得()2213619+=++x x x ，()2213619-=-+x x x ，另外22919x x -+21=，()22239119x x x ==-+，224212948119⎪⎭⎫⎝⎛+=++x x x ，故其答案是x 6±或29x -或1-或4481x .规律总结：本题属于条件探索题，可以从完全平方式入手，多层次、多角度思考问题，可繁可简，可难可易，一般答案只要符合题意即可。

中考探索开放性问题第2讲：开放探究题

A′D′ A′B′
＝
AD AB
，即
AD－（a＋c） 2 2AB－（a＋c） 2 a＋c AB－（b＋d）＝1，即 AB－（b＋d）＝1，即b＋d＝2.
第2讲┃ 开放探究题
• 解结论开放型问题时要充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、归纳、类比，透彻分析出给定条件下可能存在的结论现象，然后经过论证作出取舍，这是一种归纳类比型思维．它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查解题者的发散性思维能力和知识应用能力．
第2讲┃ 开放探究题
► 类型之二结论开放型问题
• 例2 [2011·南通] 比较正五边形与正六边形，可以发现它们的相同点和不同点．例如：它们的一个相同点：正五边形的各边相等，正六边形的各边也相等．它们的一个不同点：正五边形不是中心对称图形，正六边形是中心对称图形．
• 请你再写出它们的两个相同点和不同点．
第2讲┃ 开放探究题
• 解：设矩形蔬菜种植区域的宽为x_m，则长为2x_m．？ • 根据题意，得x·2x＝288. • 解这个方程，得x1＝－12(不合题意，舍去)，x2＝12. • 所以温室的长为2×12＋3＋1＝28(m), • 宽为12＋1＋1＝14(m)． • 答：当温室的长为28 m，宽为14 m时，矩形蔬菜种植
第2讲┃ 开放探究题
• 开放探究性问题是相对于有明确条件和结论的封闭式问题而言的，它的特点是条件或结论的不确定性、不唯一性．解此类题没有固定的方法，学生需要通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需求的条件或结论或方法，此类题往往作为中考试卷中的压轴题出现．
•
专第题2突讲破┃ 开五放┃ 开探放究探题究题

中考数学总复习第二篇专题突破专题十规律探索与开放性问题课件

8 P1(3
3，43
3)，P2(－23
3，43
3)．
当∠PAO＝90°时，P3(394 3，43 3)；
当∠POA＝90°时，P4(－196 3，43 3)．
能力评估检测
一、选择题
1．(2013·防城港)一列数 a1，a2，a3，…，其中 a1
＝12，
an＝
1 1－an－1(n
为不小于
2
的整数)，则
答案：C
3．(2013·绵阳)把所有正奇数从小到大排列，并按
如下规律分组： (1) ， (3,5,7) ， (9,11,13,15,17) ，
(19,21,23,25,27,29,31)，…，现用等式 AM＝(i，j)表示
正奇数 M 是第 i 组第 j 个数(从左往右数)，如 A7＝(2,3)，
答案：B
5．(2013·百色)如图，在平面直角坐标系中，直线 l：y＝
33x＋1 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，点 A1，A2，A3，…在 x 轴的正半轴上，点 B1，B2，B3，…在直线 l 上，若△ OB1A1， △ A1B2A2，△ A2B3A3，…均为等边三角形，则△ A5B6A6 的周长为( )
解析：第 1 行的第一列与第 2 列相差 2，第二列与第三列相差 3，第三列与第四列相差 4，…，第六列与第七列相差 7；
第 2 行的第一列与第二列相差 3，第二列与第三列相差 4，第三列与第四列相差 5，…，第五列与第六列相差 7；
第 3 行的第一列与第二列相差 4，第二列与第三列相差 5，第三列与第四列相差 6，第四列与第五列相差 7；
(2013·云南)如图，点 B 在 AE 上，点 D 在 AC 上， AB＝AD.请你添加一个适当的条件，使△ABC≌△ADE (只能添加一个)．

中考探究与开放题解法初探新课标人教版.doc

中考探究与开放题解法初探科学探究是学生自主学习的主要方式，贯穿于敕体教学的各个环节。

近两年来，开放型试题在屮考试卷上的权重越來越人，这也是新课程标准的具体体现。

然而，在教学和考试屮发现大多数学生面对这一类试题是，还仅仅是“凭感觉做题”，就如“脚踩術瓜皮，滑到哪里算哪里”，于是得分率就偏低，如何有效引导学生解答这一•类试题就成了语文教师的当务Z急。

其实，这一•类试题在解题思路上也人有规律可循，只要我们能够变“凭感觉做题”为“靠规律解题”，自然就可以人人提髙其得分率。

笔者在认真研究各地中招试题及相关资料的基础上，总结了一些开放型试题的解题技巧，以期能给人家带来些帮助。

一熟悉类型。

通过研究近儿年的中考试题，开放型试题可分为：1模拟仿写类。

模拟仿写类开放题对于考察学生的情感态度、思维方式、语言表达等有着直接效果，适合语文新课要求仿照原有句子的修辞手法、句式写出答案。

这些仿句往往是名言警句、讲究修辞的优美句子。

如谅解是-•股和煦的春风，能消融结在人们心屮的坚冰；谅解是__________________________ , 能________________________________________ 3谅解是___________ ，能____________________2筛选提取类。

筛选捉取类的特点在于考察学生的语文综合能力，主要是读写结合、归纳概括、提炼整合、重组表达。

这类题在近儿年中考中占有一席之地，比较热。

解题要注意以下两点：一是, 整体感知文段，并思考内容要点；二是，从文段屮搜索选择关键词语，提炼成一句简明的话。

如提取下而文段屮的关键信息，将其写在横线上“为了 '神舟五号'的发射成功，长征而号F型火箭在历时多年的研制过程屮始终将可靠性、安全性放在首位。

火箭上多个系统采用了 '双保险'设计；同时，提高了元器件质量等级和筛选标准，提高了发动机的可靠性。

由于严格的质量控制，该型火箭可靠性指标提高到了日前的0。

专题68 开放探究类问题(2)(解析版)-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题68 开放探究类问题（2）【规律总结】这类试题不仅考查了学生观察、实验、类比、归纳、猜想、判断、探究等能力而且把解题的过程、考试的过程，变成了学生研究的过程，变成了探索规律、发现规律的过程。

尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用.开放题常见的题型：开放性试题从结构特征上看主要分为三类：条件开放题、结论开放题及条件和结论都开放的试题。

开放题是相对于传统的封闭题而言的，其显著特征是问题的答案不唯一（开放性），并且在设问方式上要求学生进行多方面、多角度、多层次探索．【典例分析】例1．（2020·浙江温州市·八年级期末）“勾股图”有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了以“勾股图”为背景的邮票（如图1），欧几里得在《几何原本》中曾对该图做了深入研究．如图2，在ABC 中，90ACB ∠=︒，分别以ABC 的三条边为边向外作正方形，连结EB ，CM ，DG ，CM 分别与AB ，BE 相交于点P ，Q ．若30ABE ∠=︒，则DG QM的值为（）A ．2B ．3C ．45D 1【答案】D【分析】先用已知条件利用SAS 的三角形全等的判定定理证出△EAB △△CAM ，之后利用全等三角形的性质定理分别可得30EBA CMA ==︒∠∠，60BPQ APM ==︒∠∠，12PQ PB =，然后设1AP =，继而可分别求出2PM =，PQ =，所以QM QP PM =+=；易证Rt△ACB △Rt△DCG （HL ），从而得DG AB ==然后代入所求数据即可得DG QM的值．【详解】解：△在△EAB 和△CAM 中，AE ACEAB CAM AB AM=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠，△△EAB △△CAM （SAS ），△30EBA CMA ==︒∠∠，△60BPQ APM ==︒∠∠,△90BQP ∠=︒,12PQ PB =,设1AP =，则AM =2PM =，1PB =，PQ =，△2QM QP PM =+=+=；△ 在Rt△ACB 和Rt△DCG 中，CG BC AC CD =⎧⎨=⎩，Rt△ACB△Rt△DCG（HL），△DG AB==△1DGGM==．故选D．【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形全等的判定定理和性质定理等知识．例2．（2020·北京市第十三中学分校七年级期中）定义：给定两个不等式组P和Q，若不等式组P的任意一个解，都是不等式组Q的一个解，则称不等式组P为不等式组Q的“子集”例如：不等式组：2:1xMx>⎧⎨>⎩是：2:1xNx>-⎧⎨>-⎩的“子集”．（1）若不等式组：14:15xAx+>⎧⎨-<⎩，211:3xBx->⎧⎨>-⎩，其中不等式组_________是不等式组2:1xMx>⎧⎨>⎩的“子集”（填A或B）；（2）若关于x的不等式组1x ax>⎧⎨>-⎩是不等式组21xx>⎧⎨>⎩的“子集”，则a的取值范围是________；（3）已知a b c d,,,为互不相等的整数，其中a b<，c d<，下列三个不等式组：:A a x b≤≤，:B c x d≤≤，:16C x<<满足：A是B的“子集”且B是C的“子集”，则a b c d-+-的值为__________；（4）已知不等式组2:3x mMx n≥⎧⎨<⎩有解，且:13N x<≤是不等式组M的“子集”，请写出m，n满足的条件：________________．【答案】A 2a ≥ -4 2,9m n ≤>【分析】（1）先分别求出不等式组A 、B 的解集，再利用题目中的新定义判断即可；（2）先求出不等式组21x x >⎧⎨>⎩的解集为2x >，再根据定义可知不等式组1x a x >⎧⎨>-⎩的解集在2x >的内部，即可得出a 的值；（3）先根据新定义求出a ，b ，c ，d 的值，再代入即可；（4）先求出不等式组M 的解集，再根据新定义解答即可．【详解】解：（1）△14:15x A x +>⎧⎨-<⎩的解集为：36x <<，211:3x B x ->⎧⎨>-⎩的解集为：1x >，2:1x M x >⎧⎨>⎩的解集为：2x >，△不等式组A 是不等式组M 的“子集”．故答案为：A ；（2）△不等式组21x x >⎧⎨>⎩的解集为2x >，且不等式组1x a x >⎧⎨>-⎩的解集在2x >的内部， △2a ≥．故答案为：2a ≥；（3）△a b c d ,,,为互不相等的整数，其中a b <，c d <， :A a x b ≤≤，:B c x d ≤≤，:16C x <<满足：A 是B 的“子集”且B 是C 的“子集”，△3,4,2,5a b c d ====，△34254a b c d -+-=-+-=-．故答案为：-4；（4）将不等式组M 整理得：23m x n x ⎧≥⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，又△不等式组M 有解， △23m n x ≤<， △:13N x <≤是不等式组M 的“子集”， △1,323m n ≤>，即2,9m n ≤>．故答案为：2,9m n ≤>．【点睛】本题考查的知识点是解一元一次不等式组，解此题的关键是理解不等式组子集的定义．例3．（2020·四川成都市·树德中学九年级期中）如图1，四边形ABCD 是正方形，G 是CD边上的一个动点（点G 与C ，D 不重合），以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ，连接BG ，DE ．我们探究下列图中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG ．线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系； ②将图1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2，如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断；（2）将原题中正方形改为矩形（如图4－6）且AB a ，BC b =，CE ka =，(),0CG kb a b k =≠>，第（1）题①中得到C 的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由；（3）在第（2）题图5中，连接DG 、BE ，且3a =，2b =，12k =，求22BE DG +的值．【答案】（1）①BG DE =，BG DE ⊥．②BG DE =，BG DE ⊥仍然成立．详见解析；（2）BG DE ⊥成立，BG DE =不成立，详见解析；（3）654．【分析】（1）①利用正方形的性质，证明BCG DCE ≌△△，利用全等三角形的性质可得：BG=DE ，△CBG=△CDE ，再证明：△EDC+△DGO=90°，从而可得结论；②同①，先证明：BCG DCE ≌△△，利用全等三角形的性质可得：BG DE =，CBG CDE ∠=∠，再证明：90CDE DHO ∠+∠=︒，从而可得结论；（2）利用矩形的性质，证明BCG DCE △∽△，可得：CBG CDE ∠=∠，再证明90CDE DHO ∠+∠=︒，从而可得结论；（3）连接,,BD GE 利用BG DE ⊥，结合勾股定理证明：2222BE DG BD GE +=+，再把3a =，2b =，12k =代入，即可得到答案．【详解】解：（1）①BG DE =，BG DE ⊥．理由如下：如图1，延长BG 交DE 于O ，△四边形ABCD 、CGFE 是正方形，△BC=CD=AB ，CG=CE ，△BCD=△ECD=90°，△在BCG 和DCE 中BC CD BCG DCE CG CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△BCG DCE ≌△△，△BG=DE ，△CBG=△CDE ，△△CBG+△BGC=90°，又△△DGO=△BGC ，△△EDC+△DGO=90°，△△DOG=1809090︒-︒=︒，△BG△DE ，即BG=DE ，BG△DE ；②BG DE =，BG DE ⊥仍然成立．如图2，△四边形ABCD 、四边形CEFG 都是正方形，△BC CD =，CG CE =，90BCD ECG ∠=∠=︒，△BCG DCE ∠=∠，△在BCG 与DCE 中，,BC CD BCG DCE CG CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△BCG DCE ≌△△，△BG DE =，CBG CDE ∠=∠，又△BHC DHO ∠=∠，90CBG BHC ∠+∠=︒，△90CDE DHO ∠+∠=︒，△90DOH ∠=︒，△BG DE ⊥．（2）BG DE ⊥成立，BG DE =不成立．如图5，△四边形ABCD 、四边形CEFG 都是矩形，且AB CD a ==，BC b =，CG kb =，(),0CE ka a b k =≠>， △BC CG b DC CE a==，90BCD ECG ∠=∠=︒， △BCG DCE ∠=∠，△BCG DCE △∽△，△CBG CDE ∠=∠，又△BHC DHO ∠=∠，90CBG BHC ∠+∠=︒，△90CDE DHO ∠+∠=︒，△90DOH ∠=︒，△BG DE ⊥．显然：.BG DE ≠（3）如图5，连接,,BD GE△BG DE ⊥，△222OB OD BD +=，222OE OG GE +=，222OB OE BE +=，222OG OD DG += △22222222BE DG OB OE OG OD BD GE +=+++=+，又△3a =，2b =，12k =，CE ka =，CG kb =， 2222222211323321222BD GE ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=⨯+⨯=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，， △22222236523124BD GE ⎛⎫+=+++= ⎪⎝⎭， △22654BE DG +=．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，正方形，矩形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．【好题演练】一、单选题1．（2020·河北九年级二模）在平面上，边长为2的正方形和短边长为1的矩形几何中心重合，如图①，当正方形和矩形都水平放置时，容易求出重叠面积212S =⨯=．甲、乙、丙三位同学分别给出了两个图形不同的重叠方式；甲：矩形绕着几何中心旋转，从图②到图③的过程中，重叠面积S大小不变．乙：如图④，矩形绕着几何中心继续旋转，矩形的两条长边与正方形的对角线平行时，此时的重叠面积大于图③的重叠面积．丙：如图⑤，将图④中的矩形向左上方平移，使矩形的一条长边恰好经过正方形的对角线，此时的重叠面积是5个图形中最小的．下列说法正确的是（）A．甲、乙、丙都对B．只有乙对C．只有甲不对D．甲、乙、丙都不对【答案】C【分析】本题重叠部分面积需要结合图形特点，利用对称性质，通过假设未知数表示未知线段，利用面积公式求解，并根据线段范围判别面积大小．【详解】如图一所示，设AI=x，BJ=y，则有x+y=AB-IJ=2-1=1，重叠部分四边形JILK面积为2．如图二所示，设AI=x，BJ=y，因为JM=HE=1，△JIM为直角三角形，斜边JI大于直角边JM，故有：x+y ＜1，重叠部分平行四边形JILK 面积为[]2()242()x y x y -+⨯=-+．如图三所示，设AI=x （0＜x ＜1），BJ=y=0，重叠部分四边形JIDK 面积为1242242=42()2AJCD ADI S S x x x y -=-⨯⨯•=--+．在由图一到图三的转变过程中，x+y 的取值逐渐减小，则重叠部分面积逐渐增大，故甲同学说法错误．如图四所示，设AI=AN=x （1＜x ＜2），重叠部分多边形BINDKM 面积为22124242ABCD AIN S S x x -=-⨯=-．当0＜x ＜2时，2442x x --＞，所以图四重叠部分的面积大于图三重叠部分面积，乙同学说法正确．如图五所示，设AI=AN=x ，所以重叠部分四边形INDB 面积为2211222222ABD AIN x S S x -=⨯⨯-•=-△△，因为202x ＞，所以重叠部分面积小于2，即小于图一重叠面积．综上，图一到图四重叠部分面积逐渐增大，图五面积小于图一，故图五面积最小，丙同学说法正确．故答案为C 选项．【点睛】本题考查正方形以及矩形性质，并在此基础进行知识延伸，需要假设未知数并结合对称性质化抽象问题为形象问题，利用未知量取值范围求解本题．2．（2018·全国八年级单元测试）如图，设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，黑、白两个甲壳虫同时从点A 出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是AA 1→A 1D 1→…，白甲壳虫爬行的路线是AB→BB 1→…，并且都遵循如下规则：所爬行的第n+2与第n 条棱所在的直线必须既不平行也不相交（其中n 是正整数）．那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2017条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是（）A．0B．1C D【答案】D【分析】先确定黑、白两个甲壳虫各爬行完第2017条棱分别停止的点，再根据停止点确定它们之间的距离．【详解】根据题意可知黑甲壳虫爬行一圈的路线是AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA，回到起点．乙甲壳虫爬行一圈的路线是AB→BB1→B1C1→C1D1→D1A1→A1A．因此可以判断两个甲壳虫爬行一圈都是6条棱，因为2017÷6=336…1，所以黑、白两个甲壳虫各爬行完第2017条棱分别停止的点都是A1，B.，故选D．【点睛】此题考查了立体图形的有关知识．注意找到规律：黑、白甲壳虫每爬行6条边后又重复原来的路径是解此题的关键．二、填空题3．（2020·浙江绍兴市·）如图，把边长为4的正方形纸片ABCD分成五块，其中点G为正方形的中心，点F，K，E，H分别为AB，BC，CD，DA的中点．用这五块纸片拼成与此正方形不全等的四边形NPQI（要求这五块纸片不重叠无缝隙），则四边形NPQI的周长是______．【答案】20或12+8+16+【分析】根据拆分开的图形进行拼接，拼成与正方形不同的四边形即可．【详解】△正方形边长为4，点G为正方形中心点F，K，E，H分别为AB，BC，CD，DA的中点△AF=AH=HD=HG=DE=GK=EC=CK=BF=BK=4÷2=2HF=DG=EK=22，HK=4△可构成图形如下：⨯+++=周长为：2(2242)20周长为：22323416+⨯+⨯+=周长为：224412+⨯+=周长为：4248+⨯=故答案为：20或16+8+12+【点睛】本题考查了以正方形为背景，图形的应用与设计作图问题，熟练的掌握图形的拼接技巧是解题的关键．4．（2020·四川九年级专题练习）如图，A，B，C为⊙O上相邻的三个n等分点，AB BC=，点E在BC上，EF为⊙O的直径，将⊙O沿EF折叠，使点A与A′重合，点B与B′重合，连接EB′，EC，EA′．设EB′=b，EC=c，EA′=p．现探究b，c，p三者的数量关系：发现当n=3时，p=b+c．请继续探究b，c，p三者的数量关系：当n=4时，p=_____；当n=12时，p=_____．（参考数据：sin15cos75cos15sin75︒=︒=︒=︒=，）【答案】 b【详解】如图，连接AB、AC、BC，由题意，点A、B、C为圆上的n等分点，△AB=BC，1360180ACB2n n∠=⨯=（度）．在等腰△ABC中，过顶点B作BN△AC于点N，则AC=2CN=2BC•cos△ACB=2cos 180n•BC，△AC1802cosBC n=．连接AE、BE，在AE上取一点D，使ED=EC，连接CD，△△ABC=△CED，△△ABC与△CED为顶角相等的两个等腰三角形．△△ABC△△CED．△AC CDBC EC=，△ACB=△DCE．△△ACB=△ACD+△BCD，△DCE=△BCE+△BCD，△△ACD=△BCE．在△ACD与△BCE中，△AC CDBC EC=，△ACD=△BCE，△△ACD△△BCE．△DA ACEB BC=．△AC180DA EB2cos EBBC n=⋅=⋅．△EA=ED+DA=EC+1802cos EBn⋅．由折叠性质可知，p=EA′=EA，b=EB′=EB，c=EC．△p=c+1802cos bn⋅．当n=4时，b；当n=12时，．三、解答题5．（2020·成都七中万达学校八年级期中）如图ABC与ACD△为正三角形，点O为射线CA 上的动点，作射线OM 与直线BC 相交于点E ，将射线OM 绕点O 逆时针旋转60°，得到射线ON ，射线ON 与直线CD 相交于点F ．（1）如图①，点O 与点A 重合时，点E F 、分别在线段BC CD 、上，求证：AEC AFD ≅△△．（2）如图②，当点O 在CA 的延长线上时，E F 、分别在线段BC 的延长线和线段CD 的延长线上，请写出CE CF CO 、、三条线段之间的数量关系，并说明理由．（3）点O 在线段AC 上，若6AB =，BO =1CF =时，请求出BE 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）+=CE CO CF ，理由见解析；（3）3或5或1【分析】（1）由等边三角形的性质可得AB ＝AC ＝BC ＝AD ＝CD ，△BAC ＝△BCA ＝△ADC ＝△DAC ＝60°，由旋转的性质可得AE ＝AF ，△EAF ＝60°，由“SAS”可证△AEC△△AFD ；（2）过点O 作OH△BC ，交CF 于H ，可证△COH 是等边三角形，可得OC ＝CH ＝OH ，由“SAS”可证△OHF△△OCE ，可得CE ＝FH ，即可得CE ＋CO ＝CF ；（3）分四种情形画出图形，根据等边三角形及全等三角形的判定与性质分别求解即可解决问题．【详解】（1）如图①中，△ABC ∆与ACD ∆为正三角形，△====AB AC BC AD CD ，60BAC BCA ADC DAC ∠=∠=∠=∠=︒，△将射线OM 绕点O 逆时针旋转60°，△,60AE AF EAF =∠=︒，△60BAC CAD EAF ∠=∠=∠=︒，△EAC DAF ∠=∠，且,==AC AD AE AF ，在AEC ∆与AFD ∆中AC AD EAC DAF AE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△()∆≅∆AEC AFD SAS ；（2）+=CE CO CF ，如图，过点O 作//OH BC ，交CF 于H ，△60HOC BCA ∠=∠=︒，60OHC HCE ∠=∠=︒，△∆COH 是等边三角形，△==OC CH OH ，△60EOF COH CHO BCA ∠=∠=∠=∠=︒，△,120COE FOH OCE OHF ∠=∠∠=∠=︒，且OH OC =，在OHF ∆与OCE ∆中，OHF OCE OH OCFOH COE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△()∆≅∆OHF OCE ASA ，△CE FH =，△=+CF CH FH ，△=+CF CO CE ；（3）作BH AC ⊥于H ，△6,3===AB AH CH ，△==BH如图中，当点O 在线段AH 上，点F 在线段CD 上，点E 在线段BC 上时，△OB =△1==OH ，△314=+=OC ，过点O 作//ON AB ，交BC 于N ，△ONC ∆是等边三角形，△4,60ON OC CN NOC EOF ONC OCF ===∠=∠=︒=∠=∠，△∠=∠NOE COF ，且,=∠=∠ON OC ONC OCF ，在ONE ∆与OCF ∆中，NOE COF ON OCONC OCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△()∆≅∆ONE OCF ASA ，△=CF NE ，△=+CO CE CF ，△4,1==OC CF ，△3CE =，△633=-=BE如图中：当点O 在线段AH 上，点F 在线段DC 的延长线上，点E 在线段BC 上时，同法可证：-=CE CF OC ，△415=+=CE ，△1BE =，如图中，当点O 在线段CH 上，点F 在线段CD 上，点E 在线段BC 上时，同法可证：=+OC CE CF ，△312,1=-=-==OC CH OH CF ，△1CE =，△615=-=BE ，如图中，当点O 在线段CH 上，点F 在线段DC 上，点E 在线段BC 上时，同法可知：-=CE CF OC ，△213=+=CE ，△3BE =综上所述，满足条件的BE 的值为3或5或1．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．6．（2020·陕西西安市·交大附中分校八年级期中）（1）认识模型：如图1，等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，CB CA =，直线ED 经过点C ，过A 作AD ED ⊥于D ，过B 作BE ED ⊥于E ．若2DC =．则BE =______．（2）应用模型：①已知直线24y x =-+与y 轴交于A 点，与x 轴交于B 点，过点B 作直线BC 垂直AB 于B ，且AB BC =，求点C 的坐标；②如图3，矩形ABCO ，O 为坐标原点，B 的坐标为（5，4），A ，C 分别在坐标轴上，P 是线段BC 上动点，已知点D 在第一象限，且是直线23y x =-上的一点．若ADP △是以D 为直角顶点的等腰直角三角形，请求出所有符合条件的点D 的坐标．【答案】（1）2；（2）①()6,2C ；②(2,1)D 或(4,5)D ．【分析】（1）先根据垂直的定义可得90D E ∠=∠=︒，再根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得CAD BCE ∠=∠，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得；（2）①如图（见解析），先根据（1）的方法可得AOB BDC ≅，再根据全等三角形的性质可得,OA BD OB CD ==，然后根据一次函数的解析式可得4,2OA OB ==，最后根据线段的和差可得OD 的长，由此即可得；②设点D 的坐标为(,23)D a a -，从而可得32a >，分如图1和2（见解析）的两种情况，再结合（1）的方法，分别利用矩形的性质、三角形全等的判定定理与性质求解即可得．【详解】（1）,A BE ED D ED ⊥⊥，90D E ∴∠=∠=︒，90ACB ∠=︒，90CAD ACD BCE ACD ∴∠+∠=∠+∠=︒，CAD BCE ∴∠=∠，在ACD △和CBE △中，90D E CAD BCE CA BC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD CBE AAS ∴≅，2BE CD ∴==，故答案为：2；（2）①如图，过点C 作CD x ⊥轴于点D ，同（1）可证：AOB BDC ≅，,OA BD OB CD ∴==，对于一次函数24y x =-+，当0y =时，240x -+=，解得2x =，即(2,0),2B OB =，当0x =时，4y =，即(0,4),4A OA =，4,2,6BD CD OD OB BD ∴===+=，∴点C 的坐标为()6,2C ；②设点D 的坐标为(,23)D a a -，点D 在第一象限，0230a a >⎧∴⎨->⎩，解得32a >，四边形ABCO 是矩形，(5,4)B ，4,5,,OA BC OC BC OC OA OC ∴===⊥⊥，由题意，分以下两种情况：（△）如图1，过点D 作//EF OC ，分别交OA 于点E ，交BC 于点F ，,,5,BC EF OA EF EF OC CF OE ∴⊥⊥===，,23DE a OE a ∴==-，4(23)72AE OA OE a a ∴=-=--=-，同（1）可证：AED DFP ≅，72,AE DF a DE PF a ∴==-==，5DE DF EF +==，725a a ∴+-=，解得2a =，231a ∴-=，2334PC PF CF PF OE a a ∴=+=+=+-=<，即此时点P 在线段BC 上，符合题意，则此时点D 的坐标为(2,1)D ；（△）如图2，过点D 作DE OA ⊥于点E ，延长ED ，交CB 的延长线于点F ，则,23,5,DE a OE a EF OC CF OE ==-===，27BF AE OE OA a ∴==-=-，同（1）可证：AED DFP ≅，27,AE DF a DE PF a ∴==-==，5DE DF EF +==，275a a ∴+-=，解得4a =，235a ∴-=，2314PC CF PF OE PF a a ∴=-=-=--=<，即此时点P 在线段BC 上，符合题意，则此时点D 的坐标为(4,5)D ；综上，所有符合条件的点D 的坐标为(2,1)D 或(4,5)D ．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、一次函数的几何应用、矩形的判定与性质等知识点，较难的是题（3），正确分两种情况讨论，并结合（1）的模型方法是解题关键．。

中考热点题型第2章探索与开放题(1)

第四部分
中考热点题型
探索与开放题(1)
课前检测
1、写一个有理数和一个无理数，使它们都小于-1的数。
课前检测
2、如图，P是∠AOB的角平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，写出图中一对相等的线段 (只需写出一对即可)。 A C
P
O
D
B
例题分析
条件的开放
例1、如图，∠DAB=∠CAE ，请你补充一个条件：，使△ABC ∽△ ADE。 D
2.结论的开放
例题分析
重点知识
结论的开放： (1)特征：结论多样性； (2)方法：多角度、多层次、多侧面地思考问题。
巩固练习
6、如图是等腰梯形ABCD，其中AD∥BC， AB=DC，图(2)是与图(1)完全相同的图形。 (1)请你在图(1)、图(2)的梯形中各画一个与 △ABD全等但位置不同的三角形，使三角形的各个顶点在梯形的边上(含顶点)； A D C B A D C
B
(1)
(2)
巩固练习
6、如图是等腰梯形ABCD，其中AD∥BC， AB=DC，图(2)是与图(1)完全相同的图形。 (2)选择(1)所画的一个三角形加以说明与 △ABD全等的理由。
A
D C B
A
D C
B
(1)
(2)
巩固练习
7、如图A、E、B、D在同一直线上，在 △ABC与△DEF中，AB=DE，AC=DF， AC∥DF。 (1)求证：△ABC≌△DEF； (2)你还可以得到的结论是 (写出一个即可，不再添 F 加其他线段，不再 E 标注或使用其他字 A D B 母)。 C
巩固练习
5、请给出一元二次方程x2+8x+ =0 的一个常数项，使这个方程有两个不相等的实数根。

北师大版2020中考复习：创新、开放和探究型问题

中考总复习：创新、开放与探究型问题【中考展望】所谓开放探索型问题指的是有些数学问题的条件、结论或解决方法不确定或不唯一，需要根据题目的特点进行分析、探索，从而确定出符合要求的答案(一个、多个或所有答案)或探索出解决问题的多种方法．由于开放探究型问题对考查学生思维能力和创造能力有积极的作用，是近几年中考命题的一个热点．通常这类题目有以下几种类型：条件开放与探索，结论开放和探索，条件与结论都开放与探索及方案设计、命题组合型、问题开放型等．【方法点拨】由于开放探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：1．利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律．2．反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致．3．分类讨论法．当命题的题设和结论不唯一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果．4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证．以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用．【典型例题】类型一、探究规律1．观察下列各式：，，，，…想一想，什么样的两数之积等于这两数之和？设n 表示正整数，用关于n 的等式表示这个规律．【思路点拨】所给各式中的两个数中，一个是分数，一个是整数，且分数的分子比分母大1，分子与整数相等，因此得出规律.【答案与解析】所给各式中的两个数中，一个是分数，一个是整数，且分数的分子比分母大1，分子与整数相等，因此得到规律：(n 为正整数) 【总结升华】这个规律是否正确呢？可将等式左右两边分别化简，即能得出结论．对于“数字规律”的观察，要善于发现其中的变量与不变量，以及变量与项数之间的关系，将规律用代数式表示出来．举一反三：【变式】一根绳子，弯曲成如图(a)所示的形状，当用剪刀像图(b)那样沿虚线a 把绳子剪断时，绳子被剪为5段；当用剪刀像图(c)那样沿虚线b(b ∥a)把绳子再剪一次时，绳子被剪为9段，当用剪刀在虚线a ，b 之间把绳子再剪(n-2)次(剪刀的方向与a 平行)，这样一共剪n 次时，绳子的段数是________ (用含n 的代数式表示)．【答案】222211⨯=+333322⨯=+444433⨯=+555544⨯=⨯11(1)(1)n nn n n n+++=++首先，在剪0次时，有1段绳子；其次，每剪一次，绳子上多出4个断口，即绳子的段数增加4段，剪n次之后绳子的段数多出4n段．故剪n次时，绳子的段数是4n+1(n为正整数)．类型二、条件开放型2．如图所示，四边形ABCD是矩形，O是它的中心，E，F是对角线AC上的点．(1)若________________________，则△DEC≌△BFA(请你填上能使结论成立的一个条件)；(2)证明你的结论．【思路点拨】（1）已知了一边AD=BC，和一角（AD∥BC，∠DAC=∠BCA）相等．根据全等三角形的判定AAS、SAS、ASA 等，只要符合这些条件的都可以．（2）按照（1）中的条件根据全等三角形的判定进行证明即可．【答案与解析】解：(1)AE＝CF；(OE＝OF；DE⊥AC，BF⊥AC；DE∥BF等等)(2)以AE＝CF为例．∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，∠DCE＝∠BAF．又∵AE＝CF．∴AC－AE＝AC－CF．∴AF＝CE，∴△DEG≌△BAF．【总结升华】这是一道探索条件、补充条件的开放型试题，解决这类问题的一般方法是：从结论出发，由果寻因，逆向推理，探寻出使结论成立的条件；有时也采取把可能产生结论的条件一一列出，逐个分析考察．举一反三：【创新、开放与探究型问题例1】【变式】如图，飞机沿水平方向（A ，B 两点所在直线）飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶M 到飞行路线AB 的距离MN ．飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离（因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方N 处才测飞行距离），请设计一个求距离MN 的方案，要求：（1）指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；（2）用测出的数据写出求距离MN 的步骤．【答案】解：此题为开放题，答案不唯一，只要方案设计合理，可参照给分⑴如图，测出飞机在A 处对山顶的俯角为，测出飞机在B 处对山顶的俯角为，测出AB 的距离为d ，连接AM ，BM ．⑵第一步，在中， ∴；第二步，在中， ∴；其中，解得．类型三、结论开放型 3．已知：如图(a)，Rt △ABC ≌Rt △ADE ，∠ABC ＝∠ADE ＝90°，试以图中标有字母的点为端点，连接两条线段，如果你所连接的两条线段满足相等、垂直或平行关系中的一种，那么请你把它写出来并证αβAMN Rt ∆AN MN =αtan αtan MN AN =BMN Rt ∆BN MN =βtan βtan MN BN =BN d AN +=αββαtan tan tan tan -⋅⋅=dMN明．【思路点拨】此题需分三种情况讨论：第一种相等CD=BE，第二种垂直AF⊥BD，第三种是平行DB∥CE．首先利用全等三角形的性质，再利用三角形全等的判定定理分别进行证明即可．【答案与解析】解：可以写出的结论有：CD＝BE，DB∥CE，AF⊥BD，AF⊥CE等．(1)如图(b)，连接CD，BE，得CD＝BE．证明：∵△ABC≌△ADE，∴AB＝AD，AC＝AE．又∠CAB＝∠EAD，∴∠CAD＝∠E1AB．∴△ADC≌△ABE．∴CD＝BE．(2)如图(c)，连接DB，CE，得DB∥CE．证明：∵△ABC≌△ADE，∴AD＝AB．∴∠ADB＝∠ABD．∵∠ABC＝∠ADE，∴∠BDF＝∠FBD．由AC＝AE可得∠ACE＝∠AEC．∵∠ACB＝∠AED，∴∠FCE＝∠FEC．∵∠BDF+∠FBD＝∠FCE+∠FEC，∴∠FCE＝∠DBF．∴DB∥CE．(3)如图(d)，连接DB，AF，得AF⊥BD．∵△ABC≌△ADE，∴AD＝AB，∠ABC＝∠ADE＝90°．又∵AF＝AF，∴△ADF≌△ABF．∴∠DAF＝∠BAF．∴AF⊥BD．(4)如图(e)，连接CE、AF，得AF⊥CE．同(3)得∠DAF＝∠BAF．可得∠CAF＝∠EAF．∴AF⊥BD．【总结升华】本题考查了全等三角形的判定及性质；要对全等三角形的性质及三角形全等的判断定理进行熟练掌握、反复利用，达到举一反三．举一反三：【创新、开放与探究型问题例2】【变式】数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图，正方形的边长为，P 为边延长线上的一点，E 为DP 的中点，DP 的垂直平分线交边DC 于M ，交边AB 的延长线于N.当CP=6时，EM 与EN 的比值是多少？经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过E 作直线平行于BC 交DC ，分别于F ，G ，如图，则可得：，因为，所以.可求出和的值，进而可求得EM 与EN 的比值.(1) 请按照小明的思路写出求解过程.(2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了的结论.你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由.【答案】（1）解：过作直线平行于交，分别于点，，则，，. ∵，∴.∴，. ∴. （2）证明：作∥交于点，1ABCD 12BC AB 2DF DE FC EP=DE EP =DF FC =EF EG DP MN=E BC DC AB F G DF DE FC EP =EM EF EN EG=12GF BC ==DE EP =DF FC =116322EF CP ==⨯=12315EG GF EF =+=+=31155EM EF EN EG ===MH BC AB H则，.∵，∴.∵，，∴.∴.∴.类型四、动态探究型 4．如图所示，AB ，AC 分别是⊙O 的直径和弦，D 为劣弧上一点，DE ⊥AB 于点H ，交⊙O 于点E ，交AC 于点F ，P 为．ED 的延长线一点．(1)当△PCF 满足什么条件时，PC 与⊙O 相切？为什么？(2)点D 在劣弧的什么位置时，才能使AD 2＝DE ·DF ？为什么？【思路点拨】MH CB CD ==90MHN ∠=︒1809090DCP ∠=︒-︒=︒DCP MHN ∠=∠90MNH CMN DME CDP ∠=∠=∠=︒-∠90DPC CDP ∠=︒-∠DPC MNH ∠=∠DPC MNH ∆≅∆DP MN=AC AC(1)连接OC ．要使PC 与⊙O 相切，则只需∠PCO ＝90°即可．由∠OCA ＝∠OAC ，∠PFC ＝∠AFH ，即可寻找出△PCF 所要满足的条件；(2)要使AD 2＝DE ·DF ，即，也就是要使△DAF ∽△DEA ，这样问题就较容易解决了．【答案与解析】解： (1)当PC ＝PF(或∠PCF ＝∠PFC ，或△PCF 是等边三角形)时，PC 与⊙O 相切．证明：连接OC ．∵PC ＝PF ，∴∠PCF ＝∠PFC ．∴∠PCO ＝∠PCF+∠OCA ＝∠PFC+∠OAC ＝∠AFH+∠AHF ＝90°．∴PC 与⊙O 相切．(2)当点D 是的中点时，AD 2＝DE ·DF ．连接AE ，∵，∴∠DAF ＝∠DEA ．又∴∠ADF ＝∠EDA ．∴△DAF ∽△DEA ．∴，∴AD 2＝DE ·DF ．【总结升华】本题是探索条件半开放题，在解决这类问题时，我们常从要获得的结论出发来探求该结论成立的条件．如第(1)小题中，若要PC 与⊙O 相切，则我们需要怎样的条件；第(2)小题也是如此．类型五、创新型AD DF DE AD=AC AD CD =AD DF DE AD=5．认真观察图3的4个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题：（1）请写出这四个图案都具有的两个共同特征．特征1：_________________________________________________；特征2：_________________________________________________．（2）请在图4中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征【思路点拨】本题主要考查轴对称图形，中心对称图形的知识点，以及学生的观察能力及空间想象能力．【答案与解析】（1）特征1：都是轴对称图形；特征2：都是中心对称图形；特征3：这些图形的面积都等于4个单位面积等．（2）满足条件的图形有很多，只要画正确一个，就可以得满分．图5【总结升华】本题为开放型试题，答案并不唯一，只要考生能够写出一种符合要求的情景即可，该题为考生提供了一个广阔的发挥空间，但是学生必须通过前四个图形发现其中蕴涵的规律，依照此规律来画出自己想象中的美妙图形．图4中考冲刺：创新、开放与探究型问题—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1．若自然数n使得三个数的加法运算“n+(n+1)+(n+2)”产生进位现象，则称n为“连加进位数”．例如：2不是“连加进位数”，因为2+3+4＝9不产生进位现象；4是“连加进位数”，因为4+5+6＝15产生进位现象；51是“连加进位数”，因为51+52+63＝156产生进位现象．如果从0，1，2，…，99这100个自然数中任取一个数，那么取到“连加进位数”的概率是( )A．0.88 B．0.89 C．0.90 D．0.912．如图，点A，B，P在⊙O上，且∠APB＝50°，若点M是⊙O上的动点，要使△ABM为等腰三角形，则所有符合条件的点M有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图(1)中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数，类似地，称图(2)中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数，下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A．15 B．25 C．55 D．1225二、填空题4．电子跳蚤游戏盘是如图所示的△ABC，AB＝AC＝BC＝6．如果跳蚤开始时在BC边的P0处，BP0＝2．跳蚤第一步从P0跳到AC边的P1(第1次落点)处，且CP1＝CP0；第二步从P1跳到AB边的P2(第2次落点)处，且AP2＝AP1；第三步从P2跳到BC边的P3(第3次落点)处，且BP3＝BP2；…；跳蚤按照上述规则一直跳下去，第n次落点为P n(n为正整数)，则点P2009与点P2010之间的距离为__________．5．下图为手的示意图，在各个手指间标记字母A，B，C，D，请你按图中箭头所指方向(如A→B→C→D →C→B→A→B→C→…的方式)从A开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当数到12时，对应的字母是________；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是________；当字母C第2n+1次出现时(n为正整数)，恰好数到的数是________(用含n的代数式表示)．6. (1)如图(a)，∠ABC ＝∠DCB ，请补充一个条件：________，使△ABC ≌△DCB ．(2)如图(b)，∠1＝∠2，请补充一个条件：________，使△ABC ≌△ADE ．三、解答题7．如图所示，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，对角线AC 和BD 相交于点O ，E 是BC 边上一个动点(点E 不与B ，C 两点重合)，EF ∥BD 交AC 于点F ，EG ∥AC 交BD 于点G ．(1)求证：四边形EFOG 的周长等于2OB ；(2)请你将上述题目的条件“梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论“四边形EFOG 的周长等于2OB ”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证，不必证明．8．如图所示，平面直角坐标系内有两条直线，，直线的解析式为．如果将坐标纸折叠，使直线与重合，此时点(-2，0)与点(0，2)也重合．1l 2l 1l 213y x =-+1l 2l(1)求直线的解析式；(2)设直线与相交于点M ．问：是否存在这样的直线，使得如果将坐标纸沿直线折叠，点M 恰好落在x 轴上？若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．9．解答一个问题后，将结论作为条件之一，提出与原问题有关的新问题，我们把它称为原问题的一个“逆向”问题．例如，原问题是“若矩形的两边长分别为3和4，求矩形的周长”，求出周长等于14后，它的一个“逆向”问题可以是“若矩形的周长为14，且一边长为3，求另一边的长”；也可以是“若矩形的周长为14，求矩形面积的最大值”，等等．(1)设，，求A 与B 的积； (2)提出(1)的一个“逆向”问题，并解答这个问题．10. 已知：在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，D 是AC 的中点，⊙O 经过A ，D ，B 三点，CB 的延长线交⊙O 于点E(如图(a))．在满足上述条件的情况下，当∠CAB 的大小变化时，图形也随着改变(如图(b))，在这个变化过程中，有些线段总保持着相等的关系．(1)观察上述图形，连接图(b)中已标明字母的某两点，得到一条新线段，证明它与线段CE 相等；2l 1l 2l :l y x t =+l l 322x x A x x =--+24x B x-=(2)在图(b)中，过点E 作⊙O 的切线，交AC 的延长线于点F ．①若CF ＝CD ，求sin ∠CAB 的值；②若，试用含n 的代数式表示sin ∠CAB(直接写出结果)．【答案与解析】一、选择题1.【答案】A ；【解析】不是“连加进位数”的有“0，1，2，10，11，12，20，21，22，30，31，32”共有12个．∴P(取到“连加进位数”)＝． 2.【答案】D ；【解析】如图，①过圆点O 作AB 的垂线交和于M 1，M 2．②以B 为圆心AB 为半径作弧交圆O 于M 3．(0)CF n n CD=>100120.88100-=ABAPB③以A为圆心，AB为半径弧作弧交圆O于M4．则M1，M2，M3，M4都满足要求．3.【答案】D；二、填空题4.【答案】2．【解析】如图，按要求作出P4，P5，P6…．可发现如下规律：P0，P6，P12，P18…重合；P1，P7，P13，P19…重合；P2，P8、P14，P20…重合；P3，P9、P15，P21…重合；P4，P10，P16，P22…重合；P5，P11，P17，P23…重合．(以6为周期循环)∵2009＝334×6+5，2010＝335×6，∴P2009与P5重合；P2010与P0重合；求P2009与P2010之间距离也就是求P5与P0之间距离，△BP0P5是等边三角形．∴P0P5＝2，即P2009与P2010之间距离为2．5.【答案】B； 603； 6n+3．【解析】由题意知A→B→C→D→C→B→A→B→C→D→C→B→A→B…，每隔6个数重复一次“A→B→C →D→C→B→”，所以，当数到12时对应的字母是B；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是201×3＝603；当字母C 第2n+1次出现时(n 为正整数)，恰好数到的数是(2n+1)×3＝6n+3．6.【答案】答案不唯一．(1)如图(a)中∠A ＝∠D ，或AB ＝DC ；(2)图(b)中∠D ＝∠B ，或等．三、解答题7.【答案与解析】(1)证明：∵四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，AB ＝CD ，∴∠ABC ＝∠DCB ．又∵BC ＝CB ，AB ＝DC ，∴△ABC ≌△DCB ．∴∠1＝∠2．又∵ GE ∥AC ，∴∠2＝∠3．∴∠1＝∠3．∴EG ＝BG ．∵EG ∥OC ，EF ∥OB ，∴四边形EGOF 是平行四边形．∴EG ＝OF ，EF ＝OG ． ∴四边形EGOF 的周长＝2(OG+GE)＝2(OG+GB)＝2OB ．AB AC AD AE(2)方法1：如图乙，已知矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为BC 上一个动点(点E 不与B ，C 两点重合)，EF ∥BD ，交AC 于点F ，EG ∥AC 交BD 于点G ．求证：四边形EFOG 的周长等于2OB ．图略．方法2：如图丙，已知正方形ABCD 中，……其余略．8. 【答案与解析】解：(1)直线与y 轴交点的坐标为(0，1)．由题意，直线与关于直线对称，直线与x 轴交点的坐标为(-1，0)．又∵直线与直线的交点为(-3，3)，∴直线过点(-1，0)和(3，3)．设直线的解析式为y ＝kx+b ．则有解得所求直线的解析式为． (2)∵直线与直线互相垂直，且点M(-3，3)在直线上，∴如果将坐标纸沿直线折叠，要使点M 落在x 轴上，那么点M 必须与坐标原点O 重合，此时直线过线段OM 的中点．1l 1l 2l y x =-2l 1l y x =-2l 2l 0,3 3.k b k b -+=⎧⎨-+=⎩3,23.2k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩2l 3322y x =--l y x =-y x =-l l 33,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭将，代入y ＝x+t ，解得t ＝3． ∴直线l 的解析式为y ＝x+3．9．【答案与解析】解：(1) ． (2)“逆向”问题一：已知，，求A ．解答：． “逆向”问题二：已知，，求B ．解答：． “逆向”问题三：已知A ·B ＝2x+8，A+B ＝x+10，求(A －B)2．32x =-32y =23422x x x A B x x x -⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭22(4)428(2)(2)x x x x x x x+-==+-+28A B x =+24x B x -=22228()(28)44x x x A A B B x x x +=÷=+=--28A B x =+322x x A x x =--+3()(28)22x x B A B A x x x ⎛⎫=÷=+÷- ⎪-+⎝⎭2(4)(28)(2)(2)x x x x x +=+÷-+2(2)(2)42(4)2(4)x x x x x x x-+-=+=+解答：(A －B)2＝(A+B)2－4A ·B＝(x+10)2－4(2x+8)＝x 2+12x+68．10．【答案与解析】解：(1)连接AE ．求证：AE ＝CE ．证法一：如图(a)，连接OD ．∵∠ABC ＝90°，CB 的延长线交⊙O 于点E ，∴∠ABE ＝90°．∴AE 是⊙O 的直径．∵D 是AC 的中点，O 是AE 的中点，∴． ∵， ∴AE ＝CE ．证法二：如图(b)，连接DE ．同证法一，得AE 是⊙O 的直径． ∴∠ADE ＝90°．∵D 是AC 的中点，∴DE 是线段AC 的垂直平分线．12OD CE =12OD AE =北师大版2020中考复习：创新、开放和探究型问题21 / 21 ∴AE ＝CE ．(2)①根据题意画出图形．如图(c)，连接DE ． ∵AE 是⊙O 的直径，EF 是⊙O 的切线，∴∠ADE ＝∠AEF ＝90°．∴Rt △A 1DE ∽Rt △EDF ．∴．设AD ＝k 是(k ＞0)，则DF ＝2k ．∴．∴．在Rt △CDE 中，∵ CE 2＝CD 2+DE 2＝3k 2，∴．∵∠CAB ＝∠DEC ．∴sin ∠CAB ＝sin ∠DEC ＝．②．ADDEDE DF =2kDEDE k=DE=CE=CDCE=sin 0)CAB n ∠=>。

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(图1)
结论不变性的探索例1、(2)如图2，当直角三角尺的两直角边分别与矩形两边BE、EF的延长线相交于点G、H时，你在(1)中得到的结论还成立吗？简要说明理由。 H
例题分析
A B
D
C
(图2)
F EG
重点知识
结论不变性的探索：形变量不变 (1)特征：形状发生改变，但相关元素的数量关系不变； (2)方法：抓住基本图形间的变化关系，找出基本量的不变规律。
H D A O B 图2 C E E F G H D O E G I
A
B O 图1 C
B
A 图3 C
巩固练习
3、(1)如图1，求证：△ABE≌△ADC； (2)探究：如图1，∠BOC= ，如图 2，∠BOC= ，如图3，∠BOC= D ；
H D A O B 图2 C E E F G H D O E G I
A
B O 图1 C
B
A 图3 C
巩固练习
3、(3)如图4，AB、AD是以AB为边向△ ABC外所作正n边形的一组邻边；AC、 AE是以AC为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边。BE、CD的延长 O 线相交于点O。 D ①猜想：∠BOC= (用 E 含n的式子表示)； ②证明你的猜想。 A B
图4 C
D
A F B C E B
A F
C E
图(2)
图(3)
条件变化时结论的探索 (3)在图(3)中的△ABC绕点C旋转(点F不与点A、B重合)，得图(4)或图(5)。在图 (4)中，∠AFB与∠α的数量关系是；在图(5)中，∠AFB与∠α的数量关系是。 D
例题分析
A
F C E
B
F
D
A C E
B
小结
1.结论不变性的探索 2.条件变化时结论变化规律的探索识
条件变化时结论变化规律的探索：形变性不变 (1)特征：形状发生改变，但相关元素的某些性质不变；
(2)方法：抓住基本图形间的变化关系，找出基本量的变化规律。
巩固练习
3、如图1、图2、图3，在△ABC中，分别以AB、AC为边，向外作正三角形、正方形、正五边形，BE、CD相交于点 O。 D
D A F
B C E
图(1)
例题分析
例2、点B、C、E在同一直线上，点A、 D在直线CE的同侧，AB=AC，EC=ED， ∠BAC=∠CED，直线AE、BD交于F。 (1)如图(2)，若∠BAC=90°，则∠AFB D = 。
D A F
B C E A F B C E
图(1)
图(2)
例题分析
例2、点B、C、E在同一直线上，点A、 D在直线CE的同侧，AB=AC，EC=ED， ∠BAC=∠CED，直线AE、BD交于F。 (2)如图(3)，若∠BAC=α，则∠AFB D = 。
第四部分
中考热点题型
探索与开放题(2)
例题分析
例1、把两个全等的正方形拼成一个矩形ABE F，将一个足够大的直角三角尺的顶点与这个矩形的边AF的中点D重合，且将直角三角尺绕点D按逆时针方向旋转。 (1)如图1，当直角三角尺的两直角边分别与矩形两边BE、EF相交于点G、H时，通过观察 D 或测量BG与EH的长度， A F 你能得到什么结论？并 H 证明你的结论。 B G C E
巩固练习
1、(1)如图1，正方形ABCD中，AE⊥ DF，AE与DF有怎样的大小关系？为什么？ (2)如图2，正方形ABCD中，EF⊥GH， EF与GH又有怎样的大小关系？为什么？ A E D A D H F G B E B C C F
(图1) (图2)
巩固练习
2、如图，△ABC中，∠A=90°，AB= AC，D为BC的中点。 (1)如图，E、F分别是AB、AC上的点，且BE=AF，求证：△DEF为等腰直角三角形； A F E C B D
巩固练习
2、如图，△ABC中，∠A=90°，AB= AC，D为BC的中点。 (2)若E、F分别为AB、CA延长线上的点，仍有BE=AF，其 F A 他条件不变，那么 △DEF是否仍为等腰直角三角形？证明 B C 你的结论。 D E
例题分析
例2、点B、C、E在同一直线上，点A、 D在直线CE的同侧，AB=AC，EC=ED， ∠BAC=∠CED，直线AE、BD交于F。 (1)如图(1)，若∠BAC=60°，则∠AFB = 。

中考热点题型第2章 探索与开放题(2)

中考数学专题复习(二十三) 开放与探索的思想(考点 例题精讲 习