经济高数课件5-4教学内容
经济数学基础精品课件
(1)解析法（又称公式法）① 需要在定义域的不同部分用不 同的式子来表示，这样的函数称为分段函数。 ②如果因变量y可 以表示成一个只包含自变量x的式子，那么我们将这样的函数称 为显函数。③由方程F(x, y) = 0确定的函数y=f (x)称为隐函数。
经济数学基础
郑必平
2003.02 浙江广播电视大学淳安分校欢迎您
第一编 一元函数微积分学
主要内容 1 .函数
函数概念，几内基本初等函数，函数的运算，
经济分析中常见的函数 2.极限与连续
极限概念，极限的运算，函数的连续性 3.导数与微分
导数与微分的概念，导数的计算 4.导数的应用
函数的单调性，函数极值， 导数在经济分析中的应用
（ｎ为自然数）称为多项式函数.
1.2.3 指数函数 函数 y=ax(a>0, a≠1)称为指数函数
函数 y=ex 的底数， （其中 e=2.718 28 ）
浙江广播电视大学淳安分校欢迎您
1.2.4 对数函数
函数 y loga x （a＞0,a≠1) 称为对数函数
其中以e为底的对数函数 y loge x称为自然对数，
通过u有唯一的y与之对应，即y是x的函数， 记为 y=f [(x)] 这种函数称为复合函数，其中u称为中间变量。 1.3.2初等函数
函数之间除复合运算之外，还有加、减、乘、除等几 种运算，由基本初等函数经过有限次加、减、乘、除或 复合而得到的函数，称为初等函数。
浙江广播电视大学淳安分校欢迎您
微积分所研究的函数主要是初等函数 例6.将下列初等函数分解为基本初等函数的运算：
经济数学ppt课件
向量与线性变换
总结词
向量是具有大小和方向的量，线性变换是向量空间中的一种变换。
详细描述
向量是具有大小和方向的量，它可以用来表示经济变量，如需求量、供给量等。线性变 换是向量空间中的一种变换，它可以用来描述经济变量之间的线性关系，如价格和需求
量之间的比例关系。在经济问题中，线性变换可以用来描述经济增长、消费变化等。
06 案例分析
经济增长模型的数学分析
总结词
经济增长模型是研究一个国家或地区 在一定时期内经济增长的规律和影响 因素的数学模型。
公式和定理
经济增长模型通常使用微分方程、差 分方程等数学工具来描述经济增长的 过程，并运用数学定理和公式来求解 。
详细描述
经济增长模型通过建立数学方程来描 述一个国家或地区经济增长的过程， 并分析影响经济增长的各种因素，如 劳动力、资本、技术等。
详细描述
市场供需模型通常包括供给曲线和需求曲线，通过分析这些曲线的形 状和交点来研究市场均衡和价格形成机制。
公式和定理
市场供需模型通常使用线性方程、不等式等数学工具来描述供给和需 求的关系，并运用数学定理和公式来求解市场均衡点。
应用实例
市场供需模型可以用于分析商品或服务的价格波动、预测市场趋势以 及制定价格策略等。
特征值与特征向量
总结词
特征值和特征向量是矩阵分析中的重要概念 ，它们可以用来描述线性变换的性质。
详细描述
特征值和特征向量是矩阵分析中的重要概念 ，它们可以用来描述线性变换的性质。在经 济问题中，特征值和特征向量可以用来描述 经济系统的动态性质，如经济增长的稳定性 、市场波动的幅度等。通过分析特征值和特 征向量的性质，可以对经济系统的未来发展
不定积分与定积分
高数第4章第5节——二阶常系数线性微分方程
例3 已知 y = x 及 y = sinx 为某二阶齐次线性 微分 方程的解 , 求该方程 .
解
例4
解
(1)
由题设可得：
2 2
p( x)2x
0, 1
x3
p( x)( ) x2
f ( x),
解此方程组，得
p( x) 1 , x
线性相关
存在不全为 0 的
使
线性无关
常数
思考:
中有一个恒为 0, 则 必线性 相关
例如 y y 0, 有解 y1 cos x, y2 sin x,
复习: 一阶线性方程 通解:
齐次方程通解Y 非齐次方程特解
2.二阶非齐次线性微分方程解的结构
定理 4.5.3
是二阶非齐次方程 ①
的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解,则 ②
的方程称为二阶常系数齐次线性微分方程.
二阶常系数齐次线性方程解法
-----特征方程法
设 y erx , 将其代入上方程, 得
(r 2 pr q)erx 0
erx 0,
故有
特征方程
特征根
r1,2 p
p2 4q , 2
特征根
(1) 特征方程有两个不相等的实根
特征根为r1 p
6Ax 2B x,
A 1,B0, 6
原方程通解为
例13
解 对应齐次方程为 特征方程为 r 2 2r 1 0,
特征根为 r1 r2 1, 故对应齐次方程的通解为 Y (C1 C2 x)e x . 1 是特征方程二重根, 可设 y x2( Ax B)e x ,
代入原方程, 得 6Ax 2B x 1, A 1 , B 1 ,
高职《经济应用数学》系列精品课件
市场供需模型案例
总结词
市场供需模型案例将展示如何运用数学知识来分析市 场供需关系，帮助学生理解市场价格的决定因素。
详细描述
市场供需模型是用来描述市场供求关系对商品价格影 响的数学模型。在高职《经济应用数学》精品课件中 ，可以通过具体案例来展示市场供需模型的建立和分 析过程。学生通过学习，能够了解市场供需关系对商 品价格的影响，掌握如何运用数学工具来分析市场数 据和预测市场变化趋势。同时，学生还能够了解如何 根据市场供需情况制定合理的商业策略。
宏观经济学应用
宏观经济学概述
介绍宏观经济学的基本概念、研究方法和主要理论，帮助学生了解 宏观经济学在经济学科中的地位和作用。
国民收入与经济增长
分析国民收入的计算方法，以及影响经济增长的因素和政策措施。
失业与通货膨胀
探讨失业和通货膨胀的形成原因，以及政府如何通过宏观经济政策 来应对这些问题。
国际经济学应用
课程定位
为财经类专业学生学习其他专业 课程提供必要的数学基础，同时 提高学生的综合素质和就业竞争 力。
课程目标
1 2
知识目标
掌握微积分、线性代数、概率论与数理统计的基 本概念、原理和方法，了解经济应用中的数学模 型。
能力目标
培养学生运用数学知识解决实际经济问题的能力， 提高学生的逻辑思维、数学思维和创新能力。
高职《经济应用数学》系 列精品课件
• 引言 • 基础知识 • 数学建模 • 经济应用 • 案例分析 • 习题与答案
01
引言
课程简介
课程性质
经济应用数学是高职高专院校财 经类专业的一门必修基础理论课， 旨在培养学生运用数学知识解决 实际经济问题的能力。
应用高等数学(经管类) 配套课件
（经管类）
应用型高等数学
第1章 函数 第2章 极限与连续 第3章 经济分析的基础工具—导数、微分 第4章 导数在经济中的作用 第5章 积分的概念与计算 第6章 定积分的应用 第7章 Mathematica数学实训 第8章 综合实训
实践导向型高职教育系列教材
（经管类）
应用型高等数学
的函数
函数概念的定义经过三百多年的锤炼、变革，形成了函数的现代 定义形式，随着以数学为基础的其他学科的发展，函数的概念还会继 续扩展.
第1章 函数
1．函数的定义
1.1.2 函数的概念
在某一过程中始终保持固定数值的 量称为常量,常用a、b、c 等符号表示;而 在过程进行中可以取不同数值的量称为 变量,常用x、y、z 等符号表示.
第1章 函数
1.2.1 需求量、供给量和价格之间的关系
引例1-2的分析和求解
分析 设需求量为Q,供给量为S,市场价格为p.由“单价每提高100 元,则需求量减少200个”和“单价每提高100元,生产厂家可以多提供 50个”,可知需求量Q 与价格p之间、供给量S 与价格p 之间都是线性 函数关系.
解 ①设需求量Q 与价格p 之间的单调递减关系为:Q=a-bp,由题 意可得:
f(x+T)=f(x),则称f(x)为周期函数. 若T 为函数f(x)的周期,则±nT(n 为正整数)都是f(x)的周期.
通常所说的周期是指函数的最小正周期.
第1章 函数
1.1.3 反函数
定义1-6 设函数y=f(x),且变量x,y 是一一对应的.如果把y 当作自变量,x 当 作 因 变 量 , 则 关 系 式 x=φ(y) 称 为 函 数 y=f(x) 的 反 函 数 , 通 常 我 们 更 习 惯 记 作 y=f-1(x).
经济数学课件PPT课件
80%
极限的四则运算
极限的四则运算包括加减乘除， 以及复合函数的极限运算。这些 运算法则是微积分中处理函数极 限的重要手段。
导数与微分
导数的定义与几何意义
导数描述了函数在某一点的切 线斜率，是函数局部变化快慢 的量度。导数的几何意义是切 线的斜率。
微分的概念与运算
微分是函数增量的线性部分， 即函数在某一点附近的小变化 。微分的运算包括基本初等函 数的微分公式和微分法则。
最简形式，从而得到方程组的解。
线性方程组的解的性质
线性方程组的解具有一些重要的性质，如唯一解、无穷多解等 。这些性质可以通过对方程组进行分类和讨论来得到。
特征值与特征向量
特征值与特征向量的定义
特征值和特征向量是线性代数中非常重要的概念之一。对于给定的 矩阵A，如果存在一个非零向量x和实数λ，使得Ax=λx成立，则称λ 为矩阵A的特征值，x为A的对应于λ的特征向量。
定积分的计算方法
定积分的计算方法包括直接法、 换元法和分部积分法等。这些方 法可以帮助我们解决各种复杂的 定积分问题。
03
线性代数
向量与矩阵
01
02
03
04
向量
向量是具有大小和方向的几何 对象，可以表示为有序数列。 在数学中，向量通常用黑体字 母表示，如$mathbf{a}$。
矩阵
矩阵是一个由数字组成的矩形 阵列，可以表示为二维数组。 矩阵的行和列都有明确的数量 和顺序。
导数与微分的应用
导数和微分在经济、工程和科 学等领域有广泛的应用，如边 际分析、优化问题、近似计算 等。
积分
定积分的概念与性
质
定积分是积分的一种，它描述了 函数在某个区间上的面积。定积 分有严格的定义和性质，是微积 分的重要组成部分。
经济数学课件完整版
fprintf语句
fprintf 为 输 出 命 令 , 其 格 式 为 :fprintf('text
format',val),
其中,text为需要输出的文本内容,val 为需要输
出的变量值,format是对变量值val的显示格式说
明.说明val的值为整数时用%d;说明val的值为以
科学记数法显示时用%e;说明val的值以浮点数
1.0 学习任务1 等额本金还款法还房贷
等额本金还款法是在还款期内把贷款总额按还款期数(贷款分几次还清就是几期)均分,每期偿
还同等数额的本金和剩余贷款在该期所产生的利息.
若贷款总额为b,银行月利率(年利率的1/12)为r,每月一期,总还款期数为n,第k期的还款额记为
f(k),请完成如下任务:
的定义域是各部分的自变量取值集合的并集.求分段函数
的函数值f(x0)时,要根据x0所在的范围选用相应的解析式,
其图形要在同一坐标系中分段作出.
1.1 函数及其性质
显示时用%f,如果该语句的输出完成后需要换行
的话用\n说明.
0.2 数学软件MATLAB的基本用法
0.2.7
平面图形
在MATLB系统中,用plot(x,y)绘制平面曲线y=f(x)的图形,
其中x是自变量的取值范围;y是对应于自变量x函数值.
自变量x的取值常用如下两种形式给出:
(1)x = a∶d∶b,表示自变量x从a开始,以d为间距,在闭区
Out[3]=1.74755
(*这里的1.74755是系统给出的运算结果*)
更一般地,用N [exp,n]得到表达式具有n位有效数字的数值结果.
0.1 数学软件Mathematica的基本用法
高数课件第五章
1 1 1 第n天截下的杖长总和为 X n 2 n ; 2 2 2 1 Xn 1 n 1 2
1 、数列的定义
定义:按自然数1,2,3, 编号依次排列的一列数
x1 , x 2 , , x n ,
(1)
称为无穷数列 ,简称数列 .其中的每个数称为数 列的项, x n 称为通项(一般项).数列(1)记为{ x n }.
xn 1 ( 1)
n 1
1 1 n n
1 1 1 1 给定 ,由 , 只要 n 100时, 有 x n 1 , 100 n 100 100 1 给定 , 1000
只要 n 1000时,
1 有 xn 1 , 1பைடு நூலகம்00
1 1 给定 , 只要 n 10000时, 有 x n 1 , 10000 10000
lim x n a ,
n
或 x n a ( n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的. 注意： 1.不等式 x n a 刻划了x n与a的无限接近;
2. N与任意给定的正数有关.
N定义 : lim x n a
n
0, N 0, 使n N时, 恒有 x n a .
第五节 数列的极限
一、数列的概念
割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” ——刘徽
播放
正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2
R
正 6 2 n 1形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,, An ,
S
截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 1 第一天截下的杖长为 X 1 ; 2 1 1 第二天截下的杖长总和为 X 2 2 ; 2 2
《经济数学》课件 《经济数学》第四章
决定自己的跑道，而且每次比赛抽签前都无法预测自己在哪条跑道。
引例3 如果问“苹果从树上脱离，会往地上落吗？”，会得到
肯定的回答。
引例4 掷一枚骰子，问“能否出现7点？”，会得到回答“不能”。
在一定条件下，必然发生或必然不发生的现象称为确定性现象 （必然现象），如引例3和引例4；在一定条件下，事先不能断定会 出现哪种结果的现象称为随机现象（偶然现象），如引例1和引例2。
解 所有基本事件如下
A1 {正品，正品}，A2 {正品，次品}， A3 {次品，正品}， A4 {次品，次品}
4.1.2 事件间的关系与运算
引例5 在检验一批圆柱形产品时，需要产品的长度和直径都合 格才算合格。我们来考察以下事件：
A1 {产品合格}， A2 {产品不合格}， A3 {长度合格}， A4 {长度不合格}， A5 {直径合格}， A6 {直径不合格}， A7 {长度合格而直径不合格}， A8 {长度不合格而直径合格}。
（即每一个可能出现的不可再分解的简单结果）。
复合事件
由若干个基本事件组合而成的事件（可分解为若干个 基本事件）。复合事件发生，当且仅当其中一个基本 事件发生。
必然事件
即每次试验中都发生的事件，通常用大写希腊字母 Ω 表示。
不可能事件 即每次试验中都必定不发生的事件，通常用大写希腊
字母 表示。
例1 随机试验E：10件产品中有8件正品、2件次品，无放回地任意 从中抽取2件，并且1次抽取1件，观察正品、次品出现的情况。请 写出这次试验的所有基本事件，并用大写英文字母表示。
例1 盒中有10只晶体管，其中有3只是次品，分别有放回和无 放回地从中抽取2次，每次1只，试求下列事件的概率： （1）取到的两只都是正品； （2）取到的两只，一只是正品，一只是次品； （3）取到的两只至少有一只次品。
大一高数课件第五章 5-4-1
0
a
在 ∫− a f ( x )dx 中令 x = − t ,
∫− a
f ( x )dx = − ∫a f ( − t )dt = ∫0 f ( − t )dt ,
0
a
∫− a
a ∫− a
a
f ( x )dx = ∫0 f ( − t )dt + ∫0 f ( x )dx ,
a
a
① f ( x ) 为偶函数，则 f ( − t ) = f ( t ), 为偶函数，
上连续， 例 5 当 f ( x ) 在[− a , a ]上连续，且有 为偶函数， ① f ( x ) 为偶函数，则 ∫− a f ( x )dx = 2∫0 f ( x )dx ； 为奇函数， ② f ( x ) 为奇函数，则 ∫− a f ( x )dx = 0 .
证
a a a
∫− a
0
a
f ( x )dx = ∫− a f ( x )dx + ∫0 f ( x )dx ,
π
3 2 dx
− ∫ cos x (sin x )
2
π π
3 2 dx
= ∫02 (sin x )
4 = . 5
π
3 2 d sin
x−∫
π π
2
(sin x )
3 2 d sin
2 x = (sin x ) 5
5 2
π
2
−
0
2 (sin x ) 5
5π 2
π
2
例3 计算 解
∫
3 e4
e
3 e4
dx . x ln x (1 − ln x ) d (ln x ) ln x (1 − ln x ) = ∫ d ln x 1 − ( ln x )
经济数学第四章ppt课件
第一 lim ln(cot x) . x0 ln x
解
lim
ln(cot
x)
lim
1 cot
x
( csc2
x)
lim
x
( lim x )( lim 1 ) 1
x0 ln x
x0
1
x0 sin x cos x
x0 sin x x0 cos x
x
关于 x→∞时的未定式 型，上述洛比达法则同样适合.
f (x x) f (x) f / (x x)x. 这里 是介于 0 与 1 之间的一个数，也就是说，函数 f(x)在 x 处的改变量 y f / (x x)x ， 0＜ ＜1.（微分中值定理.）
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
页码：11
例 3 求 lim sin mx . x0 sin nx
解 lim sin mx lim m cos mx m . x0 sin nx x0 n cos nx n
上述关于
x
x0
时未定式
0 0
型的洛比达法则，对于
x→∞时未定式
0 0
型同样适合.
关于
x
x0
时未定式
型的情形，有如下定理.
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
(3) f (a) f (b) .
那么在(a，b)内至少存在一点ξ(a＜ξ＜b)，使得 f / ( ) 0 图 4-1
证明从略.
页码：1
罗尔定理的几何意义：如果函数 y f (x) 在闭区间［a，b］上连续，在开区间(a，b)内可导，且在曲线段 AB 两端点的纵坐标相等，即 f (a) f (b) ，那么在曲线段 AB 上至少有一点 C( ， f / ( ) )，使得过该点的 切线平行于 x 轴(如图 4－1).
高教五版高数经济类空间曲面及其方程多元函数随堂讲解.ppt
与起点无关的向量.
起点为原点的向量.
单位向量:
模为 1 的向量,
零向量:
模为 0 的向量,
有向线段 M1 M2 ,
或 a ,
*
*
规定: 零向量与任何向量平行 ;
若向量 a 与 b大小相等, 方向相同,
则称 a 与 b 相等,
记作 a＝b ;
若向量 a 与 b 方向相同或相反,
则称 a 与 b 平行,
平面平行于 x 轴;
• A x+C z+D = 0 表示
• A x+B y+D = 0 表示
• C z + D = 0 表示
• A x + D =0 表示
• B y + D =0 表示
平行于 y 轴的平面;
平行于 z 轴的平面;
平行于 xoy 面 的平面;
平行于 yoz 面 的平面；
平行于 zox 面 的平面.
解:绕 x 轴旋转
绕 z 轴旋转
这两种曲面都叫做旋转双曲面.
所成曲面方程为
所成曲面方程为
例9 求坐标面 xoz 上的双曲线
(旋转双叶双曲面）
(旋转单叶双曲面）
*
*
5、二次曲面
三元二次方程
适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,
下面仅
就几种常见标准型的特点进行介绍 .
研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
(2) 双叶双曲面(Hyperboloid of Two Sheets)
（a、b、c 是正数）
*
*
内容小结
1. 空间曲面
三元方程
球面
旋转曲面
如, 曲线
《经济数学》电子教案 第5章
y
o
下方，则定积分
在几何
上表示上述曲边梯形的面积A的相反数.
如果在[a,b]上f(x)既可取正值又可取负值，则定 积分 在几何上表示介于曲线y=f(x)，直线
x=a，x=b及x轴之间的各部分面积的代数和. y
y= f (x)
A3 A2 A4
A1
b
o
a
x
5.1.4 定积分的基本性质
设下面函数f (x)， fi (x)， g(x)在[a,b]上可积. 性质1 两个函数代数和的定积分等于它们定积分的代数 和，即 推论 有限个函数的代数和的定积分等于各函数的定积 分的代数和，即
质6，有
即数值
介于f(x)在[a,b]上的最大值M和最
小值m之间.根据闭区间上连续函数的介值定理,至少存在 一点 ,使得
即 性质7的几何意义： 在 上至少存在一点 ,使
得曲边梯形的面积等于同一底 边而高为 的矩形的面积.
如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，我们称 为函数f(x)在[a,b]上的平均值. 如已知某地某时自0至24时天气温度曲线为f(t), t为时间，则 表示该地、该日的平均气温.
可以证明:若函数f (x)在在区间[a,b]上连续,或只有有
限个第一类间断点,则f (x)在在区间[a,b]上可积.
关于定积分的概念，还应注意两点: (1)定积分 是积分和式的极限，是一个数值，
定积分值只与被积函数f(x)及积分区间[a,b]有关， 而与积分变量的记法无关.即有
(2)在定积分
的定义中，总假设
引例2
变力做功
解 (1) 分割 在 插入n个分点
将闭区间[a,b]分成n个小区间:
小区间的长度 (2)近似 在每一个小区间 上任取一点 ,把 做为 质点在小区间上受力的近似值,于是,力F在小区间 上对质点所做的功的近似值为
高职《经济应用数学》系列精品课件5
=0
实例训练1【设备折旧费】某厂对一生产设备的投
资额是1万元,每年的折旧费为该设备账面价格(即
以前各年折旧费用提取后余下的价格)的 1 ,那么
10
这一设备的账面价格(单位:万元)第一年为1,第二
年为109
,第三年为(
9 10
)
2,第四年为(
9 10
),3---,那么按此
变化趋势,随着年数的增加,账面价格如何变化?
x
x
x
实例训练 建立一项奖励基金，每年年终发放一次， 资金总额为10万元，若以年复利率5%计算，试求： （1）、奖金发放年限为10年，基金P应为多少？ （2）、若奖金发放永远继续下去，即奖金发放年数 （此时称为永续性奖金），基金P又应为多少？
解：设P为第n年末年金现值，Ｓn为第n年末年金，Ｒ 为年利率，则按年复利基本计算公式为 Sn P(1R)n
子任务分析
基金的投入资金取决于基金的年限，投入资金的 固定收益计算等，因此，要科学地作出该项基金的资 金投入决策，必须解决如下几方面的问题： 1．单利或复利形式下的资金本息的计算； 2．资金的现值计算； 3．函数值的计算和函数极限的计算
知识回顾
Ⅰ单利或复利形式下的资金本息的计算
设某笔贷（存）款本金为 A 0 元 ，年利率为 r ，投资
f(t)
在函数极限的定义中 ，t→t0 的方
式是任意的。该函数为分段函数，
在t = 4的左、右两侧，函数f (t )的
表达式不同，此时只能先对
0
4
8
t
t = 4 的左、右两侧的变化趋势进行
讨论。
图1-12
定义4:
如果当 xx0(或 xx0)趋于 x 0 , 即 x x0
经济数学基础第五章讲稿
F ( x) F ( x)dx
其中右端不定积分中出现的积分常数C，由其它已 知条件确定。
注意：当由边际收入求总收入函数时，积分常 数C需依据隐含条件：R(0)=0来确定。
（2）利用变上限定积分
若已知某经济函数F(x)的边际函数F´(x)及初始 值F(0)，由牛顿――莱布尼茨公式
xy ' 2 y sin x ① y xy y ③
'' ' 3
xdy ydx 0 ②
yy e y 1 ④
'' x '
均为常微分方程。
⑶ 微分方程的阶：微分方程中所含未 知函数的导数（或微分）的最高阶数， 称为微分方程的阶。例如，上面方程 ①，②均为一阶微分方程，③，④分 别为二阶、三阶微分方程。
第五章 积分应用
一、积分的几何应用 1．已知切线斜率求曲线方程 若已知某一曲线y=F(x)(未知)在其上任意一点x 处的切线斜率为k=f(x),且过点(x0 ，y0)，那么求 此曲线的方程的方法为：
(1)
由F(x) f(x)dx,求得切线斜率为f(x )的一族曲线
（含任意常数C).
(2)把（x0,y0）代入上式，确定出任意常数C，即得所 求方程。
x
2．求平面图形的面积 ⑴ 定积分的几何意义
若f ( x )在[ a, b]上连续且f ( x ) 0，则
b a f ( x)dx表示曲线y f(x) 与x轴及直线
x a，x b所围成的曲边梯形的面 积，如 右图。即：A
a f ( x)dx f ( x) 0
b
当f ( x ) 0时， f ( x ) dx是由曲线 y f ( x )与x轴及直线x a, x b所围成的
人教版高数必修五第4讲：等差数列的概念、性质(教师版)
等差数列的概念、性质教学重点： 掌握等差数列的概念、通项公式及性质；求等差中项，判断等差数列及与函数的关系； 教学难点： 通项公式的求解及等差数列的判定。
1. 等差数列的概念一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 来表示。
用递推关系系表示为()1n n a a d n N ++-=∈或()12,n n a a d n n N -+-=≥∈ 2. 等差数列的通项公式若{}n a 为等差数列，首项为1a ，公差为d ，则()11n a a n d =+- 3. 等差中项如果三个数,,x A y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项 4. 通项公式的变形对任意的,p q N +∈，在等差数列中，有：()11p a a p d =+-()11q a a q d =+- 两式相减，得()p q a a p q d =+- 其中,p q 的关系可以为,,p q p q p q <>=5. 等差数列与函数的关系由等差数列的通项公式()11n a a n d =+-可得()1n a dn a d =+-，这里1,a d 是常数，n 是自变量，n a 是n 的函数，如果设1,,d a a d b =-=则n a an b =+与函数y ax b =+对比，点(),n n a 在函数y ax b =+的图像上。
6. 等差数列的性质及应用（1）12132...n n n a a a a a a --+=+=+=（2）若2,m n p q w +=+=则2m n p q w a a a a a +=+=（,,,,m n p q w 都是正整数） （3）若,,m p n 成等差数列，则,,m p n a a a 也成等差数列（,,m n p 都是正整数）（4）()n m a a n m d =+-（,m n 都是正整数）（5）若数列{}n a 成等差数列，则(),n a pn q p q R =+∈（6）若数列{}n a 成等差数列，则数列{}n a b λ+（,b λ为常数）仍为等差数列 （7）若{}n a 和{}n b 均为等差数列，则{}n n a b ±也是等差数列类型一： 等差数列的判定、项及公差的求解、通项公式的求解例1.（2015河北唐山月考）数列{}n a 是首项11a =-，公差3d =的等差数列，若2015,n a = 则n = A.672 B.673 C.662 D.663 解析：由题意得()()1111334,n a a n d n n =+-=-+-⨯=-令2015n a =，解得673n = 答案：B练习1. 数列{}n a 是首项11a =-，公差3d =的等差数列，若2003,n a = 则n = A.669 B.673 C.662 D.663 答案：A练习2. 数列{}n a 是首项11a =-，公差3d =的等差数列，若2000,n a = 则n = A.669 B.668 C.662 D.663 答案：B例2.（2015山西太原段考）一个首项为23、公差为整数的等差数列从第7项开始为负数，则其公差d 为（）A.-2B.-3C.-4D.-6 解析：由题意知670,0a a ≥<所以有115235062360a d d a d d +=+≥+=+<解得2323,456d d Z d -≤<-∈∴=- 答案：C练习3. 一个首项为23、公差为整数的等差数列从第6项开始为负数，则其公差d 为（） A.-2 B.-3 C.-4 D.-5 答案：D练习4.等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B例3.（2014浙江绍兴一中期中）已知数列{}n a 满足1111,1,4n na a a +==-其中n N +∈设221n n b a =-（1） 求证：数列{}n b 是等差数列 （2） 求数列{}n a 的通项公式 解析：（1）1144222222121212121n n n n n n n n n a a b b a a a a a ++--=-=-==----- 所以数列{}n b 是等差数列（2）()111121,21221212,212n n n a b b b n d n a n n a a n=∴==∴=+-=-+∴==-答案：（1）略 （2）12n n a n+=练习5.已知数列{}n a 满足()1114,21n n n a a a n a --==≥+令1n nb a =（1） 求证：数列{}n b 是等差数列（2） 求数列{}n b 与{}n a 的通项公式 答案：（1）数列{}n b 是公差为1的等差数列 （2）443n a n =- ，34n b n =- 练习6.在等差数列{}n a 中，已知581,2,a a =-= 求1,a d 答案：15,1a d =-=例4.已知数列8,,2,,a b c 是等差数列，则,,a b c 的值分别为____________ 解析：a 为8与2的等差中项，得8252a +== ；2为,ab 的等差中项得1b =-；由b 为2与c 的等差数列，得4c =- 答案：5，-1，-4练习7. 已知数列8,,2,,a b 是等差数列，则,a b 的值分别为____________ 答案：5，-1练习8. 已知数列2,,8,,a b c 是等差数列，则,,a b c 的值分别为____________答案：5，11,14类型二：等差数列的性质及与函数的关系例5.等差数列{}n a 中，已知100110142015a a +=，则12014a a +=（）A.2014B.2015C.2013D.2016解析：1001101412014+=+，且{}n a 为等差数列，12014100110142015a a a a ∴+=+=故选B 答案：B练习9.在等差数列{}n a 中，若4681012120,a a a a a ++++=则10122a a -的值为 （） A.24 B.22 C.20 D.18 答案：A练习10.（2015山东青岛检测）已知等差数列{}n a 中，1007100812015,1,a a a +==-则2014a = _____ 答案：2016例6.已知数列{}n a 中，220132013,2a a ==且n a 是n 的一次函数，则 2015a =________ 解析：n a 是 n 的一次函数，所以设()0n a kn b k =+≠代入22013,a a 解得20151,20152015201520150n k b a n a =-=∴=-+∴=-+=答案：0练习11.若,,a b c 成等差数列，则二次函数()22f x ax bx c =-+的零点个数为（）A.0B.1C.2D.1或2 答案：D练习12.已知无穷等差数列{}n a 中，首项13,a = 公差5d =-，依次取出序号被4除余3的项组成数列{}n b （1） 求1b 和2b （2） 求{}n b 的通项公式 （3）{}n b 中的第503项是{}n a 的第几项答案：数列{}n b 是数列{}n a 的一个子集列，其序号构成以3为首项，4为公差的等差数列，由于{}n a 是等差数列，所以{}n b 也是等差数列 （1）()()13,5,31585n a d a n n ==∴=+--=- 数列{}n a 中序号被4除余3的项是{}n a 中的第3项，第7项，第11项，…13277,27b a b a ∴==-==-（2）设{}n a 中的第m 项是{}n b 的第n 项即n mb a =()()413414185411320n m n m n n b a a n n -=+-=-∴===--=- 则1320n b n =-（3）503132*********b =-⨯=- ，设它是{}n a 中的第m 项，则1004785m -=-，则2011m =，即{}n b 中的第503项是{}n a 中的第2011项1. 在等差数列{a n }中，a 1＋a 9＝10，则a 5的值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10 答案：A2. 在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1＝2a n ＋1，则a 101的值为( )A ．49B ．50C ．51D ．52 答案：D3. 如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝( )A ．14B ．21C ．28D ．35 答案：C4. 已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( ) A ．a 1＋a 101>0 B ．a 2＋a 100<0 C ．a 3＋a 100≤0 D ．a 51＝0答案：D5. 等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 2＋a 5＋a 8＝33，则a 3＋a 6＋a 9的值为( ) A ．30 B ．27 C ．24 D ．21 答案：B6. 等差数列{a n }中，a 5＝33，a 45＝153，则201是该数列的第( )项( ) A ．60 B ．61 C ．62 D ．63 答案： B_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1. 在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝( )A ．11B ．12C ．13D ．14 答案：C2. 若数列{a n }是等差数列，且a 1＋a 4＝45，a 2＋a 5＝39，则a 3＋a 6＝( )A ．24B ．27C ．30D ．33 答案：D3. 已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12等于( )A ．15B ．30C ．31D ．64 答案：A4. 等差数列中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝420，则a 2＋a 10等于( )A ．100B ．120C ．140D ．160 答案：B 5. 已知a ＝13＋2，b ＝13－2，则a ，b 的等差中项为( ) A.3 B.2 C.13 D.12答案：A6. 在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________. 答案： 747. 等差数列{a n }中，公差为12，且a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝60，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100＝_______.答案： 858. 在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11的值为( )A ．14B ．15C ．16D ．17 答案：C9. 在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6＝________. 答案：4210. 等差数列{a n }的前三项依次为x,2x ＋1,4x ＋2，则它的第5项为__________． 答案：411. 已知等差数列6,3,0，…，试求此数列的第100项． 答案：设此数列为{a n }，则首项a 1＝6，公差d ＝3－6＝－3，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝6－3(n －1)＝－3n ＋9. ∴a 100＝－3×100＋9＝－291.能力提升12. 等差数列的首项为125，且从第10项开始为比1大的项，则公差d 的取值范围是( )A ．d >875B ．d <325 C.875<d <325 D.875<d ≤325答案：D13. 设等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 是( )A ．48B ．49C ．50D ．51 答案：C14. 已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，又数列{1a n ＋1}是等差数列，则a 11等于( )A ．0 B.12 C.23 D ．－1答案：B15. 若a ≠b ，两个等差数列a ，x 1，x 2，b 与a ，y 1，y 2，y 3，b 的公差分别为d 1、d 2，则d 1d 2等于( )A.32B.23C.43D.34 答案：C16. 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升． 答案：676617. 等差数列{a n }中，a 2＋a 5＋a 8＝9，那么关于x 的方程：x 2＋(a 4＋a 6)x ＋10＝0( ) A ．无实根 B ．有两个相等实根 C ．有两个不等实根 D ．不能确定有无实根答案：A18. 在a 和b 之间插入n 个数构成一个等差数列，则其公差为( ) A.b －a n B.a －b n ＋1 C.b －a n ＋1 D.b －a n －1答案：C19. 在等差数列{a n }中，已知a m ＋n ＝A ，a m －n ＝B ，，则a m ＝__________. 答案：12(A ＋B )20．三个数成等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，则这三个数为__________． 答案：4,6,821. 在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________. 答案：2022. 已知数列{a n }是等差数列，且a 1＝11，a 2＝8.(1)求a 13的值；(2)判断－101是不是数列中的项； (3)从第几项开始出现负数？ (4)在区间(－31,0)中有几项？答案：(1)由题意知a 1＝11，d ＝a 2－a 1＝8－11＝－3，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝11＋(n －1)×(－3)＝－3n ＋14. ∴a 13＝－3×13＋14＝－25.(2)设－101＝a n ，则－101＝－3n ＋14， ∴3n ＝115，n ＝1153＝3813∉N ＋.∴－101不是数列{a n }中的项．(3)设从第n 项开始出现负数，即a n <0， ∴－3n ＋14<0，∴n >143＝423.∵n ∈N ＋，∴n ≥5， 即从第5 项开始出现负数． (4)设a n ∈(－31,0)，即－31<a n <0， ∴－31<－3n ＋14<0， ∴423<n <15，∴n ∈N ＋， ∴n ＝5,6,7，…，14，共10项.23. 已知等差数列{a n }中，a 15＝33，a 61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？ 答案：设首项为a 1，公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋(15－1)d ＝33a 1＋(61－1)d ＝217，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－23d ＝4，∴a n ＝－23＋(n －1)×4＝4n －27，令a n ＝153，即4n －27＝153，得n ＝45∈N *， ∴153是所给数列的第45项． 24. 已知函数f (x )＝3xx ＋3，数列{x n }的通项由x n ＝f (x n －1)(n ≥2，且n ∈N *)确定． (1)求证：{1x n }是等差数列；(2)当x 1＝12时，求x 100的值．答案：(1)∵x n ＝f (x n －1)＝3x n －1x n －1＋3(n ≥2，n ∈N *)，∴1x n ＝x n －1＋33x n －1＝13＋1x n －1， ∴1x n －1x n －1＝13(n ≥2，n ∈N *)． ∴数列{1x n }是等差数列．(2)由(1)知{1x n }的公差为13，又x 1＝12，∴1x n ＝1x 1＋(n －1)·13＝13n ＋53.∴1x 100＝1003＋53＝35，即x 100＝135.25. 四个数成等差数列，其平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求此四个数．答案：设四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，据题意得，(a －3d )2＋(a －d )2＋(a ＋d )2＋(a ＋3d )2＝94 ⇒2a 2＋10d 2＝47.①又(a －3d )(a ＋3d )＝(a －d )(a ＋d )－18⇒8d 2＝18⇒d ＝±32代入①得a ＝±72，故所求四个数为8,5,2，－1或1，－2，－5，－8或－1,2,5,8或－8，－5，－2，1. 26. 已知等差数列{a n }中，a 2＋a 6＋a 10＝1，求a 3＋a 9.答案：解法一：a 2＋a 6＋a 10＝a 1＋d ＋a 1＋5d ＋a 1＋9d ＝3a 1＋15d ＝1，∴a 1＋5d ＝13.∴a 3＋a 9＝a 1＋2d ＋a 1＋8d ＝2a 1＋10d ＝2(a 1＋5d )＝23.解法二：∵{a n }为等差数列，∴2a 6＝a 2＋a 10＝a 3＋a 9，∴a 2＋a 6＋a 10＝3a 6＝1， ∴a 6＝13，∴a 3＋a 9＝2a 6＝23.27. 在△ABC 中，若lgsin A ，lgsin B ，lgsin C 成等差数列，且三个内角A ，B ，C 也成等差数列，试判断三角形的形状．答案：∵A ，B ，C 成等差数列，∴2B ＝A ＋C ，又∵A ＋B ＋C ＝π，∴3B ＝π，B ＝π3.∵lgsin A ，lgsin B ，lgsin C 成等差数列， ∴2lgsin B ＝lgsin A ＋lgsin C ， 即sin 2B ＝sin A ·sin C ， ∴sin A sin C ＝34.又∵cos(A ＋C )＝cos A cos C －sin A sin C ，cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ， ∴sin A sin C ＝cos (A －C )－cos (A ＋C )2，∴34＝12[cos(A －C )－cos 2π3]， ∴34＝12cos(A －C )＋14， ∴cos(A －C )＝1，∵A －C ∈(－π，π)，∴A －C ＝0， 即A ＝C ＝π3，A ＝B ＝C .故△ABC 为等边三角形．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(3)以所求U量的元素 f(x)dx为被积表达式，
在区间 [a,b]上作定积分U，得 ab f (x)dx，
即为所求U量 的积分表达 .这式个方法通常 叫做元素. 法
应用方面 平面图形的面积；体积等．
二 平面图形的面积
1 直角坐标系情形
y yf(x)
o a b xxx x 曲边梯形的面积
b
Aa f(x)dx
由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．
a
0
A
4 0
ydx4 bsitnd(acot)s
2
4ab2sin2td t ab. 0
2 极坐标系情形
在 平 面 直 角 坐 标 系 中 可 以 建 立 平 面 上 的 点 与 二 个 •
有 序 数 组 之 间 的 对 应 关 系 .
也 可 以 进 一 步 讨 论 平 面 曲 线 与 其 方 程 .
积 为 体 积 元 素 ， dV [f(x)2 ]dx
旋转体的体积为 V b[f(x)2]dx a
例 6 连接坐标原点O 及点 P(h, r )的直线、直
线 x h及 x轴围成一个直角三角形．将它绕 x轴旋
转构成一个底半径为 r 、高为h的圆锥体，计算
圆锥体的体积．
y
解 直线 OP方程为
y r x
的面 . 积
解 dA 1a2(1co)s2d
d
2
利用对称性知
A21a2 (1co )2 sd
20
a 2 (1 2 co c s2 o )d s 0Leabharlann a22 32sin1 4si2n 0
3
2
a2.
三 体积
1 旋转体的体积
旋转体就是由一个平面图形绕这平面内 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴．
1
A ( 0
xx2)dx 32
3
x2
x3 3
1
0
1. 3
例 2计算y2由 2x和 曲直 y线 x 线 4所围 的图形的面积
解 两曲线的交点
y2 2x
y
x
4
(2 , 2 )(,8 ,4 ).
选 y 为积分变量， y[2,4]
yx4
y2 2x
dAy4y2dy,
4
A dA18.
2
2
如果曲边梯形的曲边为参数方程
当所求的 U符 量合下列条件： (1 )U 是与一 x的 个 变 变 [a,化 b]有 量 区 关 ； 间 的
(2)U对于区 [a,间 b]具有可加性， ，就 如是 果说 把 区间 [a,b]分成许多部分U 区相间应，地则分 许多分量U， 等而 于所有部分量之和
(3)部分 U量 i的近似值f(可 i)x表 i；示为
d
r()
d
面积元素 dA1[()]2d
2
o x
曲边扇形的面积 A12[()2]d.
例 4求双纽 2线 a2co2s所围成的平面
的面. 积
解 由对称性知总面积=4倍第 一象限部分面积
A4A 1
A44
1a2co2sda2.
02
yx
A1 2a2co2s
例 5求心r形 a(1线 co)s所围成的平
i1
(4)求极限A， 的得 精确值
n
Al im 0 i1f(i)xi
b
f(x)dx
a
提示：若用 A 表示 任意小区间 y
[x, x dx] 上的窄曲边梯形的面积，
yf(x)
则A A ，并取 A f (x)dx，
于是 A f (x)dx .
o a xxdbxx
A li m f(x )dx ab f (x)dx.
hr
3
2
.
例7 计算由椭圆 x2 y2 1 所围成的图形绕
o
h
P
r
hx
取积分变量为x，x[0,h]
在 [ 0 ,h ] 上 任 取 小 区 间 [ x ,x d ] ， x
以 d为 x 底 的 窄 边 梯 形 绕 x轴 旋 转 而 成 的 薄
片 的 体 积 为
y
dVhr x2dx
o
P
r
h
x
圆 锥 体 的 体 积
V
h
r
2
x dx
0 h
r 2
h2
x3 h 3 0
就可以考虑用定 表积 达分 这来 个 U. 量
元素法的一般步骤：
(1)根据问题的具选 体取 情一 况个 ，变量， x为积分变量，的 并变 确化 定[区 a它 ,b]间 ；
(2) 设想把区间 [a,b]分成n个小区间，取其中 任意一个小区间并记[x作 , x dx]，求出相 应于这小区间的部分U量的近似值. 如果 U 能 近 似 地 表 示[为 a,b] 上 的 一 个 连 续 函 数 在x 处的值f (x)与dx的乘积，就把f (x)dx 称为量U的元素，记作 dU，即dU f (x)dx;
圆柱
圆锥
圆台
一般地，如果旋转体是由连续曲线
yf(x)、直线xa、xb及 x 轴所围成的曲边 梯形绕x轴旋转一周而成的立体，体积为多少？
取积分变量为x，
y
yf(x)
x[a,b]
在[a,b]上任取小区 o
间[x,xdx]，
x xdx x
取 以 d为 x 底 的 窄 边 梯 形 绕 x 轴 旋 转 而 成 的 薄 片 的 体
o
称 o 为极点,带有长度单位的有向
直线 o x 为极轴.—极坐标系
过极点与平面上已知点作直线, 直线与极轴的夹角为 (极角),
两点间距离为 r (极径).
这样一对有次序的二元数 ( r , ) 组称为平面上点的极坐标.
曲线的极坐标方程
r
o
x
•
x
设曲线r ()及射线 , 围成一曲边扇 形，求其面积. 这里( ) 在[,]上连续，且 () 0.
y
yf2(x)
yf1(x)
o a xxx b x 曲边梯形的面积
b
A[f(x)f(x)d ] x
a2
1
例 1计算由两 y2条 x和 x抛 y2所 物围 线 的图形 . 的面积
解 两曲线的交点 (0,0),(1,1).
选 x为积分变量 x[0,1]
x y2 y x2
面积元素 dA ( xx2)dx
x (t)
y
(t
)
曲边梯形的面积 A t2(t)(t)d.t t1
(其中 t1和t2对应曲线的起 的点 参与 数 ) 终 值
在[t1,t2](或 [t2,t1]上 ) x(t)具有连续 , 导 y(t)连续 .
例 3求椭 a x2 2 圆 b y2 21的面 . 积
解
椭圆的参数方程
x
y
acost bsint
经济高数课件5-4
面积表示为定积分的步骤如下
(1)把区[间 a,b]分成 n个长度x为 i的小区间， 的曲边梯形n被 个分 小为 窄曲边梯i 形 个， 小
n
窄曲边梯形等 的于 面 Ai积 ,AAi；
i1
(2)计 算 A i的近似值
A if() xi, i xi;
(3) 求和，得A的近似值
n
Af(i)xi.