第31讲复数的概念及运算
小学数学十年级认识复数的加减乘除运算
小学数学十年级认识复数的加减乘除运算复数在数学中是一个非常重要的概念，它扩展了实数概念，使得数学的运算更加广泛和灵活。
小学数学十年级，学生需要开始认识复数以及复数的加减乘除运算。
本文将详细介绍小学数学十年级认识复数的加减乘除运算。
1. 复数的定义复数是由实数和虚数构成的数，可以表示为 a+bi 的形式，其中 a 和b 都是实数，i 是虚数单位，满足 i^2 = -1。
在复数中，a 称为实部，b称为虚部。
2. 复数的加减运算复数的加减运算与实数的加减运算类似。
当两个复数相加时，实部与实部相加，虚部与虚部相加；当两个复数相减时，实部与实部相减，虚部与虚部相减。
例如，(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i，(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i。
3. 复数的乘法运算复数的乘法运算也可以采用分配律来进行计算。
当两个复数相乘时，实部与实部相乘减去虚部与虚部相乘的结果，再加上实部与虚部相乘的结果。
例如，(a+bi) * (c+di) = (ac - bd) + (ad + bc)i。
4. 复数的除法运算复数的除法运算和乘法运算类似，也可以用分配律进行计算。
首先，将被除数和除数都乘以除数的共轭复数，然后按照乘法运算的规则进行计算。
最后，用除数的实部的平方加上虚部的平方作为分母进行约分。
例如，(a+bi) / (c+di) = ((ac+bd) / (c^2+d^2)) + ((bc-ad) / (c^2+d^2))i。
在小学数学十年级，学生需要掌握复数的加减乘除运算，并能熟练地应用到各种实际问题中。
通过多做练习，学生可以逐渐提高对复数运算的理解和运用能力，进一步拓宽数学思维和解决问题的能力。
总结起来，小学数学十年级认识复数的加减乘除运算，包括复数的定义、加减运算、乘法运算和除法运算。
掌握这些运算规则，并能够熟练地应用到实际问题中，对学生的数学学习和发展都具有重要的促进作用。
复数的知识点总结
复数的知识点总结一、复数概述复数是数学中的一个重要概念，它由实数和虚数部分组成。
虚数单位i定义为i² = -1，其中i是一个虚数。
复数可表示为a + bi的形式，其中a是实数部分，bi 是虚数部分。
二、复数运算1. 复数加法和减法复数的加法和减法按照实部和虚部分别进行运算，即将实部相加或相减，并将虚部相加或相减。
例如，给定复数z₁ = a₁ + b₁i和z₂ = a₂ + b₂i，它们的和可以表示为z₁ + z₂ = (a₁ + a₂) + (b₁ + b₂)i，差可以表示为z₁ - z₂ = (a₁ - a₂) + (b₁ - b₂)i。
2. 复数乘法复数乘法采用分配律和虚数单位的平方等于-1的性质进行计算。
例如，给定复数z₁ = a₁ + b₁i和z₂ = a₂ + b₂i，它们的乘积可以表示为z₁ * z₂ = (a₁ * a₂ - b₁ * b₂) + (a₁ * b₂ + a₂ * b₁)i。
3. 复数除法复数除法是将分子和分母同乘以分母的共轭，并利用虚数单位的平方等于-1的性质进行计算。
例如，给定复数z₁ = a₁ + b₁i和z₂ = a₂ + b₂i，它们的除法可以表示为z₁ / z₂ = ((a₁ * a₂ + b₁ * b₂) / (a₂² + b₂²)) + ((a₂ * b₁ - a₁ * b₂) / (a₂² + b₂²))i。
三、复数的共轭和模1. 复数的共轭复数的共轭是保持实部相同而虚部变号的操作。
复数a + bi的共轭可以表示为a - bi，其中a是实部，b是虚部。
2. 复数的模复数的模是复数到原点的距离，可以用勾股定理计算。
复数a + bi的模可以表示为√(a² + b²)。
四、复数的指数形式和三角形式1. 复数的指数形式复数可以用指数形式表示为re^(iθ)，其中r是模，θ是辐角。
2. 复数的三角形式复数的三角形式是指使用三角函数表示复数。
第31讲复数的概念及运算
第31讲 复数的概念及运算【学习目标】1．理解复数的有关概念，掌握复数相等的充要条件，并会应用．2．了解复数的代数形式的表示方法，能进行复数的代数形式的四则运算． 3．了解复数代数形式的几何意义及复数的加、减法的几何意义，会简单应用．【基础检测】1．若z ＝(x 2－1)2＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．－1或12．已知a ＋2i i ＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3 3．i 是虚数单位，复数－1＋3i 1＋2i ＝( )A ．1＋iB ．5＋5iC ．－5－5iD ．－1－i 4．复数(1＋2i )(2＋i )(1－i )2等于( ) A.52 B ．－52 C.52i D ．－52i5．若复数(1＋i)z ＝1－3i ，则复数z 在复平面上对应的点在第 象限，|z |＝ . 【知识要点】 1．复数的概念 (1)复数：我们把集合C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中的数，即形如a ＋b i(a ，b∈R )的数叫做 ．其中i 叫做 ，全体复数所组成的集合C 叫做 ．(2)复数的代数形式：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．这一表示形式叫做复数的 ．其中的a 与b 分别叫做复数z 的实部与虚部．(3)复数的相等：复数z 1＝a ＋b i 与z 2＝c ＋d i(其中a 、b 、c 、d ∈R )相等的充要条件是 ，即a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d . (4)复数的分类：对于复数a ＋b i ， 当且仅当 时，它是实数； 当且仅当 时，它是实数0； 当b ≠0时，叫做 ；当a ＝0且b ≠0时，叫做 ．2．复数的几何意义(1)复平面：如图，点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z ＝a ＋b i 可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫复平面，x 轴叫实轴，y 轴叫虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．(2)复数与点：复数集C 和复平面内所有点所成的集合是一一对应的，即复数z ＝a ＋b i ←――→一一对应复平面内的点Z (a ，b ) ，这是复数的一种几何意义．(3)复数与向量：复数集C 与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z ＝a ＋b i ←――→一一对应平面向量OZ →＝(a ，b )，这是复数的另一种几何意义(如图所示)．即有： (4)复数的模：向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的 ，记作|z |或|a ＋b i|.特别地，若b ＝0，则z ＝a ＋b i ＝a 是 ，它的模为|a |(即a 的绝对值)． 显然，|z |＝|a ＋b i|＝r ＝ (r ≥0，r ∈R )． (5)复平面内两点间距离公式：设复数z 1，z 2对应的点分别为A ，B ，则|AB |＝|z 1－z 2|.3．复数的加减法及其几何意义 (1)复数的加法 ①法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，那么z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝ ，显然，两个复数的和仍然是一个确定的复数．②运算律：∀z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1， (z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)． ③几何意义：设OZ 1→，OZ 2→分别与复数a ＋b i ，c ＋d i 对应，则有OZ1→＝(a ，b )，OZ 2→＝(c ，d )，由平面向量的坐标运算，有OZ 1→＋OZ 2→＝(a ＋c ，b ＋d )，即OZ 1→＋OZ 2→是与复数(a ＋c )＋(b ＋d )i 对应的向量，故复数的加法可以按照向量的加法来进行，这是复数加法的几何意义． (2)复数的减法 ①法则：(a ＋b i)－(c ＋d i)＝ ，显然，两个复数的差是一个确定的复数．②减法的几何意义：复数的减法满足向量的三角形法则，如图所示，OZ1→－OZ 2→＝ ，即向量OZ 1→－OZ 2→与复数 对应． 4．复数的乘除法 (1)复数的乘法①法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，那么它们的积(a ＋b i)(c ＋d i)＝ac ＋bc i ＋ad i ＋bd i 2＝ .由此可见，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i 2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．显然，两个复数的积仍是一个确定的复数．②运算律：∀z 1，z 2，z 3∈C ，有： z 1·z 2＝z 2·z 1， (z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)， z 1·(z 2＋z 3)＝z 1·z 2＋z 1·z 3.(2)共轭复数①定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数(实数的共轭复数是它本身)．如a ＋b i 与a －b i 互为 ． 复数z 的共轭复数常记为z .②几何意义：若z 1与z 2是共轭复数，那么在复平面内z 1与z 2对应的点关于实轴对称．③运算：z 1＝a ＋b i 与z 2＝a －b i 是共轭复数，则z 1·z 2＝(a ＋b i)·(a －b i)＝ ， 显然，z 1·z 2＝ .(3)复数的除法(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝(a ＋b i )·(c －d i )(c ＋d i )·(c －d i )＝(ac ＋bd )＋(bc －ad )i c 2＋d 2＝，(c ＋d i ≠0)．由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商仍是一个确定的复数．一、复数的分类 例1已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R )，试求实数a 分别取什么值时，z 分别为： (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 二、复数的四则运算 例2计算下列复数：(1)设z ＝1＋i ，化简w ＝2z＋z 2；(2)z ＝3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i ；(3)z ＝i (2＋i )1－2i＋(1－i)2.三、复数相等的充要条件及其应用例3(1)已知x，y∈R，i为虚数单位，且(x－2)i－y ＝－1＋i，求(1＋i)x＋y；(2)若z＝cosθ＋isinθ(θ∈[0,2π])，求使z2＝－1的θ的值．四、复数的几何意义及应用例4已知复数z满足|z＋2－2i|＝1，求|z－3－2i|的最小值．〔备选题〕例5若复数z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)的共轭复数z对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．(1)(2011安徽)设i是虚数单位，复数1＋a i2－i为纯虚数，则实数a 为( )A．2 B．－2 C．－12 D.12(2)(2011辽宁)a为正实数，i为虚数单位，|a＋ii|＝2，则a＝( ) A．2 B.3 C.2 D．11．设z的共轭复数是z，若z＋z＝4，z·z＝8，则zz等于( )A．1 B．－i C．±1 D．±i 2．复数z满足(1＋2i)z＝4＋3i，那么z＝( ) A．2＋i B．2－iC．2＋2i D．2－2i3．已知复数z＝52－i，则复数z2－2z等于( ) A．－1＋2i B．－1－2iC．－2＋i D．2－i4．复数z满足|z＋1|＝|z－i|，那么z在复平面内对应的点所表示的图形是( )A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线5．若复数z＝cosθ＋isinθ且z2＋z2＝1，则sin2θ＝( )A.12 B.14 C.34D．－146．已知复数z与(z＋2)2－8i均是纯虚数，则z＝____.7．已知a∈R，则复数z＝(a2－2a＋4)－(a2－2a＋2)i所对应的点在第象限，复数z对应点的轨迹是．8．若复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1(3－i)＝z2(1＋3i)，|z1|＝2，求z1.9．已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i,8}，集合N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}同时满足M∩N M，M∩N≠∅，求整数a、b.第31讲 复数的概念及运算【学习目标】1．理解复数的有关概念，掌握复数相等的充要条件，并会应用．2．了解复数的代数形式的表示方法，能进行复数的代数形式的四则运算． 3．了解复数代数形式的几何意义及复数的加、减法的几何意义，会简单应用．【基础检测】1．若z ＝(x 2－1)2＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．－1或12．已知a ＋2i i ＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3 3．i 是虚数单位，复数－1＋3i 1＋2i ＝( )A ．1＋iB ．5＋5iC ．－5－5iD ．－1－i 4．复数(1＋2i )(2＋i )(1－i )2等于( ) A.52 B ．－52 C.52i D ．－52i5．若复数(1＋i)z ＝1－3i ，则复数z 在复平面上对应的点在第 象限，|z |＝ . 【知识要点】 1．复数的概念 (1)复数：我们把集合C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中的数，即形如a ＋b i(a ，b∈R )的数叫做 ．其中i 叫做 ，全体复数所组成的集合C 叫做 ．(2)复数的代数形式：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．这一表示形式叫做复数的 ．其中的a 与b 分别叫做复数z 的实部与虚部．(3)复数的相等：复数z 1＝a ＋b i 与z 2＝c ＋d i(其中a 、b 、c 、d ∈R )相等的充要条件是 ，即a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d . (4)复数的分类：对于复数a ＋b i ， 当且仅当 时，它是实数； 当且仅当 时，它是实数0； 当b ≠0时，叫做 ；当a ＝0且b ≠0时，叫做 ．2．复数的几何意义(1)复平面：如图，点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z ＝a ＋b i 可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫复平面，x 轴叫实轴，y 轴叫虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．(2)复数与点：复数集C 和复平面内所有点所成的集合是一一对应的，即复数z ＝a ＋b i ←――→一一对应复平面内的点Z (a ，b ) ，这是复数的一种几何意义．(3)复数与向量：复数集C 与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z ＝a ＋b i ←――→一一对应平面向量OZ →＝(a ，b )，这是复数的另一种几何意义(如图所示)．即有： (4)复数的模：向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的 ，记作|z |或|a ＋b i|.特别地，若b ＝0，则z ＝a ＋b i ＝a 是 ，它的模为|a |(即a 的绝对值)． 显然，|z |＝|a ＋b i|＝r ＝ (r ≥0，r ∈R )． (5)复平面内两点间距离公式：设复数z 1，z 2对应的点分别为A ，B ，则|AB |＝|z 1－z 2|.3．复数的加减法及其几何意义 (1)复数的加法 ①法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，那么z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝ ，显然，两个复数的和仍然是一个确定的复数．②运算律：∀z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1， (z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)． ③几何意义：设OZ 1→，OZ 2→分别与复数a ＋b i ，c ＋d i 对应，则有OZ1→＝(a ，b )，OZ 2→＝(c ，d )，由平面向量的坐标运算，有OZ 1→＋OZ 2→＝(a ＋c ，b ＋d )，即OZ 1→＋OZ 2→是与复数(a ＋c )＋(b ＋d )i 对应的向量，故复数的加法可以按照向量的加法来进行，这是复数加法的几何意义． (2)复数的减法 ①法则：(a ＋b i)－(c ＋d i)＝ ，显然，两个复数的差是一个确定的复数．②减法的几何意义：复数的减法满足向量的三角形法则，如图所示，OZ1→－OZ 2→＝ ，即向量OZ 1→－OZ 2→与复数 对应． 4．复数的乘除法 (1)复数的乘法①法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，那么它们的积(a ＋b i)(c ＋d i)＝ac ＋bc i ＋ad i ＋bd i 2＝ .由此可见，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i 2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．显然，两个复数的积仍是一个确定的复数．②运算律：∀z 1，z 2，z 3∈C ，有： z 1·z 2＝z 2·z 1， (z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)， z 1·(z 2＋z 3)＝z 1·z 2＋z 1·z 3.(2)共轭复数①定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数(实数的共轭复数是它本身)．如a ＋b i 与a －b i 互为 ． 复数z 的共轭复数常记为z .②几何意义：若z 1与z 2是共轭复数，那么在复平面内z 1与z 2对应的点关于实轴对称．③运算：z 1＝a ＋b i 与z 2＝a －b i 是共轭复数，则z 1·z 2＝(a ＋b i)·(a －b i)＝ ， 显然，z 1·z 2＝ .(3)复数的除法(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝(a ＋b i )·(c －d i )(c ＋d i )·(c －d i )＝(ac ＋bd )＋(bc －ad )i c 2＋d 2＝，(c ＋d i ≠0)．由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商仍是一个确定的复数．一、复数的分类 例1已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R )，试求实数a 分别取什么值时，z 分别为： (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 【解析】(1)当⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6＝0a 2－1≠0即a ＝6时，z ∈R ； (2)当⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0a 2－1≠0即a ≠6且a ≠±1时，z 是虚数； (3)⎩⎪⎨⎪⎧a 2－7a ＋6a 2－1＝0a 2－5a －6≠0，故不存在实数a ，使z 为纯虚数． 二、复数的四则运算 例2计算下列复数：(1)设z ＝1＋i ，化简w ＝2z＋z 2；(2)z ＝3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i ；(3)z ＝i (2＋i )1－2i＋(1－i)2.【解析】(1)w ＝21＋i ＋(1＋i)2＝2(1－i )(1＋i )(1－i )＋2i ＝1－i ＋2i ＝1＋i. (2)z ＝－3i 2＋2i 2－3i －－3i 2－2i 2＋3i ＝i (2－3i )2－3i －－i (2＋3i )2＋3i ＝i ＋i ＝2i. (3)z ＝－1＋2i 1－2i －2i ＝－(1－2i )1－2i －2i ＝－1－2i.三、复数相等的充要条件及其应用例3(1)已知x ，y ∈R ，i 为虚数单位，且(x －2)i －y ＝－1＋i ，求(1＋i)x ＋y ；(2)若z ＝cos θ＋isin θ(θ∈[0,2π])，求使z 2＝－1的θ的值．【解析】(1)由复数相等的充要条件，有⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝1－y ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝1(1＋i)x ＋y ＝(1＋i)4＝(2i)2＝－4. (2)z 2＝cos 2θ－sin 2θ＋2sin θcos θ·i ∵z2＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos 2θ－sin 2θ＝－1sin θcos θ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝0sin θ＝±1又θ∈[0,2π]，∴θ＝π2或32π.四、复数的几何意义及应用 例4已知复数z 满足|z ＋2－2i|＝1，求|z －3－2i|的最小值． 【解析】解法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )， 则|x ＋y i ＋2－2i|＝1，即|(x ＋2)＋(y －2)i|＝1. ∴(x ＋2)2＋(y －2)2＝1.① ∴|z －3－2i|＝(x －3)2＋(y －2)2＝(x －3)2＋1－(x ＋2)2＝－10x ＋6. 由①知，(y －2)2＝1－(x ＋2)2≥0， ∴－3≤x ≤－1. ∴16≤－10x ＋6≤36， ∴4≤－10x ＋6≤6. ∴x ＝－1时，|z －3－2i|min ＝4.解法二：由复数及其模的几何意义知：满足|z ＋2－2i|＝1，即|z －(－2＋2i)|＝1.复数z 所对应的点是以C (－2,2)为圆心，r ＝1为半径的圆． 而|z －3－2i|＝|z －(3＋2i)|的几何意义是：复数z 对应的点与点A (3,2)的距离．由圆的知识可知|z －3－2i|的最小值为AC －r .∴|z －3－2i|min ＝(3＋2)2＋(2－2)2－1＝4. 解法三：|z －3－2i|＝|(z ＋2－2i)－5|≥||z ＋2－2i|－|5||＝|1－5|＝4，∴|z －3－2i|min ＝4.〔备选题〕例5若复数z ＝(m 2＋m －1)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R )的共轭复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围．【解析】z ＝(m 2＋m －1)＋(4m 2－8m ＋3)i 的共轭复数是z ＝(m 2＋m －1)－(4m 2－8m ＋3)i ，故其对应的点是A (m 2＋m －1，－4m 2＋8m －3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＞0－4m 2＋8m －3＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＞04m 2－8m ＋3＜0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＜－1＋52或m ＞5－1212＜m ＜32⇒5－12＜m ＜32. ∴实数m 的取值范围是{m |5－12＜m ＜32}．(1)(2011安徽)设i 是虚数单位，复数1＋a i 2－i 为纯虚数，则实数a 为( )A ．2B ．－2C ．－12 D.12(2)(2011辽宁)a 为正实数，i 为虚数单位，|a ＋i i |＝2，则a ＝( )A ．2 B.3 C.2 D ．1 【解析】(1)1＋a i 2－i ＝1＋a i 2－i ·2＋i2＋i＝2－a ＋(2a ＋1)i5， ∵1＋a i 2－i 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＝02a ＋1≠0，∴a ＝2. (2)|a ＋ii|＝|1－a i|＝a 2＋1＝2，∴a ＝±3，而a 是正实数，∴a ＝ 3.1．设z 的共轭复数是z ，若z ＋z ＝4，z ·z ＝8，则z z 等于( ) A ．1 B ．－i C ．±1 D ．±i 【解析】设z ＝a ＋b i ，(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，由题意有2a ＝4，a 2＋b 2＝8， ∴a ＝2，b ＝±2. ∴⎩⎨⎧ z ＝2＋2i z ＝2－2i 或⎩⎨⎧z ＝2－2i z ＝2＋2i . ∴z z ＝2＋2i 2－2i ＝i (2－2i )2－2i ＝i 或1i ＝－i.故选D.2．复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i ，那么z ＝( ) A ．2＋i B ．2－i C ．2＋2i D ．2－2i【解析】设z ＝x ＋y i ，则z ＝x －y i ，(1＋2i)z ＝x ＋2y ＋(2x －y )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝42x －y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1，故选A.3．已知复数z ＝52－i，则复数z 2－2z 等于( )A ．－1＋2iB ．－1－2iC ．－2＋iD ．2－i【解析】∵z ＝52－i ＝5(2＋i )5＝2＋i ，∴z 2－2z ＝(2＋i)2－2(2＋i)＝3＋4i －4－2i ＝－1＋2i.4．复数z 满足|z ＋1|＝|z －i|，那么z 在复平面内对应的点所表示的图形是( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线 【解析】由几何意义知，正确答案为A. 5．若复数z ＝cos θ＋isin θ且z 2＋z 2＝1，则sin 2θ＝( )A.12B.14C.34 D ．－146．已知复数z 与(z ＋2)2－8i 均是纯虚数，则z ＝____. 【解析】设z ＝a i ，a ∈R 且a ≠0， 则(z ＋2)2－8i ＝4－a 2＋(4a －8)i. 因为(z ＋2)2－8i 是纯虚数， 所以4－a 2＝0且4a －8≠0， 所以a ＝－2，则z ＝－2i. 7．已知a ∈R ，则复数z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第 象限，复数z 对应点的轨迹是 ．8．若复数z 1与z 2在复平面上所对应的点关于y 轴对称，且z 1(3－i)＝z 2(1＋3i)，|z 1|＝2，求z 1.【解析】设z 1＝a ＋b i ，则z 2＝－a ＋b i ， ∵z 1(3－i)＝z 2(1＋3i)，且|z 1|＝2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋b i )(3－i )＝(－a ＋b i )(1＋3i )，a 2＋b 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，则z 1＝1－i 或z 1＝－1＋i.9．已知集合M ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i,8}，集合N ＝{3i ，(a 2－1)＋(b ＋2)i}同时满足M ∩N M ，M ∩N ≠∅，求整数a 、b . 【解析】依题意得(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝3i ，① 或8＝(a 2－1)＋(b ＋2)i ，②或(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝(a 2－1)＋(b ＋2)i.③ 由①得a ＝－3，b ＝±2，经检验，a ＝－3，b ＝－2不合题意，舍去． ∴a ＝－3，b ＝2. 由②得a ＝±3，b ＝－2.又a ＝－3，b ＝－2不合题意． ∴a ＝3，b ＝－2.③中，a ，b 无整数解，不符合题意．综合①、②得a ＝－3，b ＝2或a ＝3，b ＝－2.。
复数的基本概念及运算ppt课件
8.点M是△ABC所在平面内的一点,且满足 AM =
3 4
AB +
1 4
AC
,
则△ABM与△ABC的面积之比为_____.
类似题：《作业手册》P251 选做2
（10分）已知△ABC中, AB = a , AC = b ,对于平面ABC上 任意一点O,动点P满足 OP = OA +λa +λ b ,则动点P的轨. 迹是什么?其轨迹是否过定点,并说明理由.
（1）i4n=1; i4n+1=i; i4n+2=-1 i4n+3=-i
(2)in+in+1+in+2+in+3=0；
(3) (1±i)2=±2i ；
(4) 1 i i, 1 i i; 1i 1 i
(5) 设 ω - 1 3 i 则 22
ω3 1，ω2 ω，ω2 ω 1 0.
EX1:《创新》P213 例3
今晚自修①《作业手册》P315
4. 复数 z = a+bi 的模、共轭复数的概念:
| z | a2 b2
z a bi
5. 复数相等:
a=c
a+bi=c+di (a,b,c,d∈R)
b=d
注意 : 两个虚数不能比较大小!
二、复数的代数形式及运算法则
设 z1 a bi, z2 c di (a,b,c,d R) 加减法：(a bi) (c di) (a c) (b d)i
(2)(3 4i) (1 2i) 2 2i (3)a = 0是复数z = a + bi为纯虚数的必要不充分条件 (4)z = z是复数z R的充要条件 (5)若z z 0，则复数z为纯虚数 (6)任意两个复数不能比较大小 以上说法正确的有 __________
初三复数的概念及运算
初三复数的概念及运算复数是数学中一个重要的概念，它在我们的日常生活中起着重要的作用。
在初三数学中，学生会学习到复数的概念和运算。
本文将介绍初三复数的概念及运算，并探讨它在数学中的应用。
1. 复数的概念复数是由实数和虚数组成的数，并可以表示为a+bi的形式，其中a 和b分别为实数，i为虚数单位，满足i²=-1。
实数部分a与虚数部分bi 可以分别称为复数的实部和虚部。
当虚数部分b为0时，复数称为实数。
2. 复数的表示形式复数可以有多种表示形式，包括代数形式、几何形式和指数形式。
代数形式即复数的标准表示形式a+bi，例如2+3i。
几何形式将复数表示为平面上的一个点，实部为横坐标，虚部为纵坐标，例如(2,3)。
指数形式可以通过欧拉公式e^(ix)=cosx+isinx将复数表示为e^ix的形式。
3. 复数的运算复数的加减法与实数的加减法类似，要将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。
例如，(2+3i)+(4+5i)=6+8i。
复数的乘法可以使用分配律展开，然后根据i²=-1来简化计算。
例如，(2+3i)(4+5i)=8+10i+12i+15i²=8+22i-15=|-7+22i|。
复数的除法可以通过先进行乘法逆元的乘法再进行分子和分母的除法计算。
复数的乘法和除法也可以在指数形式下进行简化计算。
4. 复数在数学中的应用复数在数学中有广泛的应用，特别在代数、解析几何和物理学等领域中。
在代数中，复数可以用来求解多项式的根，包括二次方程、三次方程和四次方程等。
在解析几何中，复数可以用来表示平面上的点或向量，进行平面上的运算。
在物理学中，复数可以用来描述波动现象，如电磁波的振幅、频率和相位等。
综上所述，初三复数的概念及运算是数学中的重要内容。
通过学习复数的概念和运算，我们可以更好地理解数学中的抽象概念，并应用于解决实际问题。
希望本文对初三学生的学习有所帮助，让他们更好地掌握和应用复数的知识。
复数总结笔记
复数总结笔记一、什么是复数？复数是数学中的一个概念，由实数和虚数构成。
复数的形式为a + bi，其中a 表示实数部分，bi表示虚数部分，i是虚数单位。
复数可以表示为一个有序对(a, b)，其中a是实部，b是虚部。
复数的定义包含实数，即当虚部为0时，复数变为实数，例如3 + 0i变为3。
二、复数的运算1. 加法和减法复数的加法和减法与实数的加法和减法类似。
当两个复数相加（或相减）时，实部与实部相加（或相减），虚部与虚部相加（或相减）。
例如，(3 + 2i) + (4 + 5i) = 7 + 7i。
2. 乘法两个复数的乘法可以使用如下公式计算：(a + bi) * (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i例如，(3 + 2i) * (4 + 5i) = 2 + 23i。
3. 除法两个复数的除法可以使用如下公式计算：(a + bi) / (c + di) = [(ac + bd) + (bc - ad)i] / (c^2 + d^2)其中除数的模不为零，即c^2 + d^2 ≠ 0。
4. 共轭复数的共轭是将复数的虚部取相反数。
例如，对于复数a + bi，它的共轭为a - bi。
三、复数的性质1. 模（绝对值）复数的模表示复数到原点的距离，可以通过如下公式计算：|a + bi| = √(a^2 + b^2)2. 平方根给定一个复数z，它的平方根可以表示为±√|z| * e^(iθ/2)，其中θ是复数z 的辐角。
3. 欧拉公式欧拉公式是一个重要的公式，它将指数函数、三角函数和复数联系起来，可以表示为e^(ix) = cos(x) + isin(x)。
根据欧拉公式，我们可以使用复数来简洁地表示三角函数。
四、应用领域复数在物理学、工程学和计算机科学等领域中有广泛应用，例如：•电路分析中用于计算交流电路中的电压和电流•信号处理中用于频域分析•控制系统中用于描述系统的动态特性•图像处理中用于表示图像的频域信息•数据压缩中用于傅里叶变换•量子力学中用于描述量子态和操作五、总结复数是实数和虚数的组合，在数学和应用领域中有重要的作用。
复数概念初中数学教学中的复数概念与运算
复数概念初中数学教学中的复数概念与运算复数是初中数学中的一个重要概念，它在数学的应用领域具有广泛的实用性。
本文将对初中数学教学中的复数概念与运算进行详细阐述。
1. 复数的定义和表示方法在数学中，复数是由一个实数部分和一个虚数部分组成的。
我们通常用a + bi的形式表示复数，其中a是实数部分，b是虚数部分，i是虚数单位。
虚数单位i定义为i^2 = -1。
2. 复数的运算法则在初中数学教学中，复数的运算法则同实数运算有很多相似之处。
复数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法。
2.1 加法与减法当复数相加或相减时，实数部分和虚数部分分别相加或相减。
例如，(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i。
2.2 乘法复数的乘法是将实数部分和虚数部分分别相乘，并使用虚数单位的平方等于-1的关系进行计算。
例如，(a + bi) * (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i。
2.3 除法复数的除法需要涉及到共轭复数的概念。
共轭复数是将复数的虚数部分取负号得到的。
例如，对于复数a + bi，其共轭复数为a - bi。
复数的除法可以通过将分子和分母同除以分母的共轭复数，并简化得到结果。
例如，(a + bi) / (c + di) = [(a + bi) * (c - di)] / [(c + di) * (c - di)]。
3. 复数的图像表示复数可以在平面直角坐标系中表示为一个有序对(a, b)，其中a是实数部分，b是虚数部分。
实轴表示实数部分，虚轴表示虚数部分。
复数的图像表示使得复数加减法的运算更加直观形象。
4. 复数在初中数学教学中的应用复数不仅在数学学科内具有重要地位，在初中数学教学中也存在广泛的应用。
复数的引入可以帮助学生更好地理解实数的概念，并为后续学习提供了铺垫。
4.1 解方程通过引入复数概念，可以求解一些实数范围内无解的方程。
例如，对于方程x^2 + 1 = 0，在实数范围内无解，但可以运用复数的概念，得到x = ±√(-1)，从而得到了方程的解。
复数的基本运算与性质
复数的基本运算与性质复数是数学中的一个重要概念，在实际问题中也有广泛的应用。
复数包括实部和虚部，通常用a + bi（a是实部，b是虚部）的形式表示。
本文将介绍复数的基本运算与性质。
1. 复数的加法和减法复数的加法和减法定义如下：(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i其中，a、b、c、d都是实数。
2. 复数的乘法复数的乘法定义如下：(a + bi) * (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i3. 复数的除法复数的除法可以通过乘法来实现，假设除数不为零，可将除法转化为乘法的倒数。
(a + bi) / (c + di) = [(a + bi) * (c - di)] / [(c + di) * (c - di)]4. 虚数单位在复数运算中，虚数单位i的平方等于-1，即i² = -1。
虚数单位i可以方便地用于表示复数的虚部。
5. 共轭复数对于复数a + bi，其共轭复数定义为a - bi。
共轭复数与原复数的实部相同，虚部相反。
6. 复数的模复数的模定义为：|a + bi| = √(a² + b²)复数的模表示了复数的长度，可以参考欧几里得距离的概念。
7. 复数的实部和虚部对于复数a + bi，实部为a，虚部为b。
8. 欧拉公式欧拉公式是数学中一个重要的公式，将复数、三角函数和指数函数联系起来。
欧拉公式表达式如下：e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)其中，e是自然对数的底数，i是虚数单位，x是一个实数。
9. 复数的指数函数对于复数a + bi，指数函数的定义如下：e^(a + bi) = e^a * e^(bi) = e^a * [cos(b) + i*sin(b)]复数的指数函数主要依赖于欧拉公式。
10. 复数的幂运算对于复数a + bi和自然数n，复数的幂运算定义如下：(a + bi)^n = (a + bi) * (a + bi) * ... * (a + bi)11. 复数的根对于复数a + bi和自然数n，复数的根与复数的幂运算相对应，定义如下：(z)^n = a + bi其中，z的n次方等于a + bi。
复数的概念及运算
CHENLI
5
④除法：zz21＝ac＋＋dbii＝（（ac＋＋dbii））（（cc－－ddii）） ＝（ac＋bd）c2＋＋（d2bc－ad）i(c＋di≠0). (2)复数加法的运算律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有： z1＋z2＝_z_2_＋__z_1 ，(z1＋z2)＋z3＝_z_1＋__(_z_2＋__z_3_)._.
答案：A
CHENLI
23
CHENLI
20
【互动探究】 3．(2015 年广东江门一模)i 是虚数单位，1＋1 i＋i＝( A )
A.1＋2 i
B.1－2 i
C.1＋2 3i
D.－12－i
CHENLI
21
●易错、易混、易漏●
⊙对复数概念理解不透彻致误
例题：(1)(2012 年广东韶关三模)若复数 z＝(x2－1)＋(x－1)i
图 10-2-1
A．A
B．B
C．C
D．D
解析：z 的共轭复数与 z 实部相等，虚部相反，所对应的点
与 z 所对应的点关于 x 轴对称．故选 B.
答案：B
CHENLI15源自(2)(2013 年山东)复数 z＝2－i i2(i 为虚数单位)，则|z|＝
()
A．25
B. 41
C．5
D. 5
解析：z＝2－i i2＝3－i 4i＝3－i24ii＝4－＋13i＝－4－3i， 则|z|＝ －42＋－32＝5.
CHENLI
13
【互动探究】 1．(2014年湖南)复数3＋i2 i(i为虚数单位)的实部等于 ___－__3___．
解析：由题意，得3＋i2 i＝－3－i，－3－i 的实部为－3.
复数知识点归纳
复数知识点归纳复数是高中数学中的一个重要概念，它既包含实数，又包含虚数，是实数和虚数的统一。
复数的概念和性质在数学的许多领域都有着广泛的应用，如在微积分、线性代数、信号处理等领域。
下面是对复数知识点较为详细的归纳和介绍。
一、复数的基本概念1. 复数的定义：复数是由实数和虚数构成的数，一般形式为a + bi，其中a 和b 都是实数，i 是虚数单位，满足i^2 = -1。
2. 复数的分类：-纯虚数：当a = 0，b ≠0 时，复数z = bi 称为纯虚数。
-实数：当b = 0 时，复数z = a 称为实数。
-非纯虚数：当a ≠0，b ≠0 时，复数z = a + bi 称为非纯虚数。
3. 复数的几何意义：复数可以表示为复平面上的点，实部表示点在x 轴上的位置，虚部表示点在y 轴上的位置。
二、复数的四则运算1. 加法：两个复数相加，实部相加，虚部相加，即(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i。
2. 减法：两个复数相减，实部相减，虚部相减，即(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i。
3. 乘法：两个复数相乘，实部乘实部，虚部乘虚部，实部加虚部的乘积，即(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i。
4. 除法：两个复数相除，先乘以共轭复数，即(a + bi)/(c + di) = (ac + bd)/(c^2 + d^2) + (bc -ad)/(c^2 + d^2)i。
三、复数的特殊性质1. 复数的模：复数z = a + bi 的模定义为|z| = √(a^2 + b^2)，表示复数z 在复平面上到原点的距离。
2. 复数的共轭：复数z = a + bi 的共轭复数为z 的实部不变，虚部变号，即z 的共轭复数为a - bi。
3. 复数的乘方和开方：复数乘方遵循实数乘方规则，即(a + bi)^n = (a^n + n*a^(n-1)*bi) + ... + b^n*i^(n-1)。
复数概念及公式总结
复数概念及公式总结复数是数学中一个重要的概念，用来表示两个实数的有序对。
复数可以用实数两部分，实部和虚部来表示，形式为a + bi，其中a和b都是实数，i是虚数单位，满足i^2 = -1。
复数的实部是a，表示复数在实数轴上的投影，而虚部是b，表示复数在虚数轴上的投影。
当虚部b为0时，复数就是一个实数; 当实部a为0时，复数就是一个虚数。
例如，3 + 4i是一个复数，它的实部是3，虚部是4；而5是一个实数，实部为5，虚部为0；而4i是一个虚数，实部为0，虚部为4。
对于复数的加法和减法，实部和虚部分别进行相加和相减。
例如(3 + 4i) + (2 + 5i) = (3 + 2) + (4 + 5)i = 5 + 9i; (3 + 4i) - (2 + 5i) = (3 - 2) + (4 - 5)i = 1 - i。
复数的乘法使用分配律进行计算。
例如，(3 + 4i) * (2 + 5i) = 3 * 2 + 3 * 5i + 4i * 2 + 4i * 5i = 6 + 15i + 8i + 20i^2 = 6 + 23i - 20 = -14 + 23i。
复数的除法可以通过将分子和分母的实部和虚部分别相乘，然后使用有理化的方法消去虚数i得到结果。
例如，(3 + 4i) / (2 + 5i) = (3 + 4i)(2 - 5i) / (2 + 5i)(2 - 5i) = (6 - 15i + 8i - 20i^2) / (4 + 25) = (-14 - 7i) / 29 = -14/29 - 7i/29。
复数还可以使用极坐标形式表示，其中模长表示复数到原点的距离，参数表示复数的辐角。
复数的极坐标形式为a * cosθ + a * sinθi，其中a是模长，θ是辐角。
例如，3 + 4i的极坐标形式为5 * cos(arctan(4/3)) + 5 * sin(arctan(4/3))i。
复数的乘方运算可以通过将复数转换为极坐标形式，并使用欧拉公式进行计算。
高一数学必修课件复数的概念与运算
复数的模
复数$a+bi$的模定义为 $sqrt{a^2+b^2}$，记作$|z|$。模表 示复数在复平面上的点到原点的距离 。
02
复数的四则运算
复数的加法与减法
复数加法定义
设$z_1 = a + bi$，$z_2 = c + di$（$a,b,c,d in mathbf{R}$） 是任意两个复数，则它们的和是
复数与圆的对应关系
一个圆可以用一个复数表示，该复数的模等于圆的半径，辐角等于圆心的横坐 标。通过复数的运算，可以方便地求出圆的方程、判断点与圆的位置关系等。
复数在立体几何中的应用
复数与空间向量的对应关系
在立体几何中，空间向量可以用复数表示。通过复数的运算 ，可以方便地进行向量的加、减、数乘和点积等运算，从而 解决立体几何中的一些问题。
复数与向量的对应关系
复数可以表示为向量，向量的模等于复数的模，向量的辐角等于复数的辐角。因 此，复数的加、减、数乘等运算可以转化为向量的相应运算。
复数在解析几何中的应用
复数与直线的对应关系
在解析几何中，一条直线可以用一个复数表示，该复数的实部和虚部分别对应 直线的斜率和截距。通过复数的运算，可以方便地求出两直线的交点、判断两 直线是否平行等。
复数与旋转的对应关系
复数在极坐标下的表示形式为$r(costheta+isintheta)$，其 中$r$为模长，$theta$为辐角。当复数乘以$i$时，相当于逆 时针旋转$90^circ$，因此可以利用复数进行旋转操作。这在 立体几何中求解旋转体等问题时非常有用。
06
复数在物理和工程中的应用
复数在定义
对于任意非零复数z = a + bi，可以表示为z = r(cos θ + i sin θ)的形式，其中r = |z|，θ为z的辐角。
复数与虚数概念与运算
复数与虚数概念与运算复数与虚数是数学中的重要概念，它们在许多领域中起着重要作用，尤其是在电气工程、物理学和工程学中。
本文将详细介绍复数与虚数的概念、运算规则及其在实际应用中的重要性。
1. 复数的定义和表示复数是由实数和虚数部分组成的数，通常用 a + bi 的形式表示，其中 a 是实数部分，b 是虚数部分，而 i 是虚单位，满足 i²=-1。
例如，3+ 2i 是一个复数，其中实数部分为 3，虚数部分为 2。
2. 虚数的定义和性质虚数是实数乘以虚单位 i 所得到的数，例如，5i 是一个虚数。
虚数有一些特殊的性质，例如虚数的平方为负数，虚数与虚数的乘积还是虚数等等。
3. 复数的运算规则复数的运算包括加法、减法、乘法和除法。
下面将介绍每一种运算的规则。
3.1 复数的加法和减法复数的加法和减法都是按照实数部分和虚数部分分别进行运算的。
例如，(3 + 2i) + (1 + 4i) = 4 + 6i，(3 + 2i) - (1 + 4i) = 2 - 2i。
3.2 复数的乘法复数的乘法是按照分配律进行计算的。
例如，(3 + 2i) × (1 + 4i) = 3 + 12i + 2i + 8i² = 3 + 14i - 8 = -5 + 14i。
3.3 复数的除法复数的除法是通过乘以共轭复数进行计算的。
共轭复数是将虚数部分取负，例如，共轭复数 of (3 + 2i) 是 (3 - 2i)。
因此，(3 + 2i) ÷ (1 + 4i) = (3 + 2i) × (1 - 4i) ÷ (1 + 4i) × (1 - 4i) = (-5 - 10i) ÷ 17 = -5/17 - (10/17)i。
4. 复数的重要性和应用领域复数在电气工程和物理学中具有重要的应用。
在电路分析中，复数用于描述交流电路中的电压、电流等。
在物理学中，复数被用于描述波动现象、量子力学等。
复数的基本概念和运算
• 向量表示
–模
| z | r x2 y2
– 幅角 q Argz arg z 2k
q0 arg z, q0
z=0时辐角不确定
y
q
O
• 三角表示： z r(cosq i sinq )
• 指数表示： z reiq eiq cosq i sinq
z x iy ( x,y )
复平面内，下列各式连续：
w zn
多项 式：w= P(z) a0 a1z L an zn
有理式：w= P(z) 在Q(z) 0 Q(z)
9
3、导数 导数定义形式与实变相同，求导法则与实变相同。
w
f (z)
定义在区域D内，z0
D，如果
lim
z 0
f (z0 z) z
f (z0 )
存在，称 f (z)在z0 可导
x
P
z=x+iy x
2
y
辐角主值公式： arc tg y
2
x2
2
1
q0
x
3
4
arc
tg
y x
当 x 0, y 0 (1，4象限） 0
arc
tg
y x
当 x 0, y （ 0 2象限）
q0
arg
z
arc tg
y x
当 x 0, y （ 0 3象限）
2
当 x 0, y 0（y轴上） 0
3.乘幂与幂函数：ab、zb
乘幂 ab ebLna.
由于 Lna ln a i(arg a 2k ) 是多值的, 因而ab 也是多值的.
(1) b 为整数:
a e e e e b bLna b[ln a i(arga2k )]
八年级数学复数的概念与运算
八年级数学复数的概念与运算复数是数学中一个重要的概念，它在代数学、几何学和物理学等领域中都有广泛的应用。
复数由实数部分和虚数部分组成，可以用形如a+bi的形式表示，其中a为实数部分，b为虚数部分，i为虚数单位。
在八年级数学中，我们将学习复数的概念与运算。
一、复数的概念复数的定义是通过实数和虚数单位i来表示一个数。
实数部分可以为任意实数，虚数部分则是以i为系数的一个实数。
虚数单位i满足i²=-1的性质。
例如，2+3i就是一个复数，其中实数部分为2，虚数部分为3i。
二、复数的表示形式复数有三种一般表示形式：代数形式、极坐标形式和指数形式。
1. 代数形式代数形式是最常见的复数表示形式，即a+bi，其中a为实数部分，bi为虚数部分。
2. 极坐标形式复数还可以用极坐标表示形式，即r(cosθ+isinθ)。
其中，r为复数的模，θ为复数的辐角。
根据三角函数的性质，可以将复数转换成极坐标形式，也可以将极坐标形式转换成代数形式。
3. 指数形式对于一个复数a+bi，我们可以将它表示为reⁱθ的指数形式，其中r 为复数的模，θ为复数的辐角。
指数形式在复数的乘方和开方运算中非常有用。
三、复数的运算与实数类似，复数也可以进行基本的四则运算，包括加法、减法、乘法和除法。
1. 复数的加法和减法复数的加法和减法实际上是对应实部和虚部的运算。
例如，(2+3i) + (4+5i) = 6+8i；(2+3i) - (4+5i) = -2-2i。
2. 复数的乘法复数的乘法是将每一个部分都相乘然后合并。
例如，(2+3i) × (4+5i) = (-7+22i)。
3. 复数的除法复数的除法可以通过乘以共轭复数转换为乘法运算。
共轭复数是将复数的虚数部分取负，例如，(2+3i) ÷ (4+5i) = (2+3i) × (4-5i) ÷ ((4+5i) ×(4-5i)) = (23/41) + (2/41)i。
初中数学知识归纳复数的定义与运算规则
初中数学知识归纳复数的定义与运算规则初中数学知识归纳：复数的定义与运算规则初中数学中，复数是一个重要的概念。
本文将对复数的定义与运算规则进行详细的归纳总结。
掌握了这些知识，同学们对于复数的概念与运算将有更深刻的理解。
一、复数的定义复数，顾名思义，由实数部分和虚数部分组成。
其中，实数部分由实数所表示，虚数部分由虚数单位 i（虚数单位 i 定义为：i^2=-1）与实数相乘得到。
一般形式下，复数可以用 a+bi 的形式表示，其中 a 表示实数部分，b 表示虚数部分。
二、复数的运算规则1. 相加与相减复数相加时，实部与实部相加，虚部与虚部相加。
例如，(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
复数相减时，实部与实部相减，虚部与虚部相减。
例如，(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。
2. 相乘复数相乘时，可以采用分配律的原则进行计算。
例如，(a+bi)×(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
3. 共轭复数共轭复数是指在复数的虚数部分前面加上负号得到的数。
例如，对于复数 a+bi，其共轭复数为 a-bi。
两个复数的乘积等于它们的模的乘积。
即：(a+bi)×(a-bi)=a^2+b^2。
4. 模复数的模表示复数距离原点的距离，也称为复数的绝对值。
对于复数 a+bi，其模可以计算为√(a^2+b^2)。
三、复数的表示形式复数有两种常见的表示形式：代数形式和三角形式。
1. 代数形式代数形式是指以 a+bi 形式表示的复数，其中 a 和 b 都是实数。
代数形式便于进行复数的加减乘除运算。
2. 三角形式三角形式是指以模与辐角表示的复数形式。
在三角形式中，复数z=a+bi 对应的模记为 |z|，辐角记为θ。
其中，模 |z| 的计算公式为√(a^2+b^2)，辐角θ 的计算公式为 tan^(-1)(b/a)。
三角形式下，复数可以表示为z=|z|×cosθ+|z|×sinθ×i。
数学知识点在教学复数的定义与运算
数学知识点在教学复数的定义与运算数学中，复数是一个重要的概念，广泛应用于各个领域。
在教学中，复数的定义与运算是数学学习的基础，掌握好这些知识点对于学生的数学学习起到至关重要的作用。
一、复数的定义复数是由实数和虚数构成的数。
实数由有理数和无理数组成，而虚数是无理数的平方根。
复数的表示形式为a+bi，其中a为实数部分，bi为虚数部分，i为虚数单位。
二、复数的运算1. 加法和减法：对于复数a+bi和c+di，实部相加（减），虚部相加（减），得到的结果为：(a+bi)+(c+di) = (a+c) + (b+d)i(a+bi)-(c+di) = (a-c) + (b-d)i2. 乘法：对于复数a+bi和c+di，使用分配律展开并合并同类项，得到结果为：(a+bi)*(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i3. 除法：将复数相乘的结果化简，得到复数的商。
具体的计算公式如下：(a+bi)/(c+di) = [(a+bi)*(c-di)] / [(c+di)*(c-di)]= [(a*c + b*d) + (b*c - a*d)i] / (c^2 + d^2)三、复数的特性及应用1. 共轭复数：对于复数a+bi，其共轭复数为a-bi。
共轭复数的性质包括：- 两个复数的和的共轭等于两个复数的共轭之和。
- 两个复数的差的共轭等于两个复数的共轭之差。
- 两个复数的积的共轭等于两个复数的共轭之积。
- 两个复数的商的共轭等于两个复数的共轭之商。
2. 模和幅角：对于复数a+bi，模表示复数到原点的距离，计算公式为：|a+bi| = √(a^2 + b^2)幅角表示复数与正实轴的夹角，计算公式为：θ = arctan(b/a)，其中arctan表示反正切函数。
复数的特性使其在代数、几何、物理等领域有广泛的应用。
例如，复数可以用来表示旋转的向量，解析几何中的平面曲线等等。
四、教学方法在教学复数的定义与运算时，教师可以采取以下方法提高学生的学习兴趣和理解能力：1. 生活化教学：将复数与实际生活中的问题联系起来，例如电路中的交流电、物体的振动等，以便学生更好地理解和应用复数的概念。
复数的定义和运算公式
复数的定义和运算公式我们把形如z=a+bi(a，b均为实数)的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。
接下来分享有关复数的定义及运算公式，供参考。
复数的定义复数是形如a＋bi的数。
式中a，b为实数，i是一个满足i^2＝－1的数，因为任何实数的平方不等于－1，所以i不是实数，而是实数以外的新的数。
在复数a＋bi中，a称为复数的实部，b称为复数的虚部，i称为虚数单位。
当虚部等于零时，这个复数就是实数；当虚部不等于零时，这个复数称为虚数，虚数的实部如果等于零，则称为纯虚数。
由上可知，复数集包含了实数集，因而是实数集的扩张。
复数常用形式z＝a ＋bi叫做代数式。
复数的运算公式(1)加法运算设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和：(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i。
(2)乘法运算设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，则：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i。
其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i2=-1，把实部与虚部分别合并。
两个复数的积仍然是一个复数。
(3)除法运算复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商。
运算方法：可以把除法换算成乘法做，将分子分母同时乘上分母的共轭复数，再用乘法运算。
复数的性质1.共轭复数所对应的点关于实轴对称。
2.两个复数：x+yi与x-yi称为共轭复数，它们的实部相等，虚部互为相反数。
3.在复平面上，表示两个共轭复数的点关于X轴对称。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第31讲 复数的概念及运算【学习目标】 1．理解复数的有关概念，掌握复数相等的充要条件，并会应用． 2．了解复数的代数形式的表示方法，能进行复数的代数形式的四则运算． 3．了解复数代数形式的几何意义及复数的加、减法的几何意义，会简单应用．【基础检测】 1．若z ＝(x 2－1)2＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－1或1 2．已知a ＋2i i ＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3 3．i 是虚数单位，复数－1＋3i 1＋2i ＝( )A ．1＋iB ．5＋5iC ．－5－5iD ．－1－i 4．复数(1＋2i )(2＋i )(1－i )2等于( ) A.52 B ．－52 C.52i D ．－52i5．若复数(1＋i)z ＝1－3i ，则复数z 在复平面上对应的点在第 象限，|z |＝ . 【知识要点】 1．复数的概念(1)复数：我们把集合C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中的数，即形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做 ．其中i 叫做 ，全体复数所组成的集合C 叫做 ．(2)复数的代数形式：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．这一表示形式叫做复数的 ．其中的a 与b 分别叫做复数z 的实部与虚部．(3)复数的相等：复数z 1＝a ＋b i 与z 2＝c ＋d i(其中a 、b 、c 、d ∈R )相等的充要条件是 ，即a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d . (4)复数的分类：对于复数a ＋b i ， 当且仅当 时，它是实数； 当且仅当 时，它是实数0； 当b ≠0时，叫做 ；当a ＝0且b ≠0时，叫做 ．2．复数的几何意义(1)复平面：如图，点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z ＝a ＋b i 可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫复平面，x 轴叫实轴，y 轴叫虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．(2)复数与点：复数集C 和复平面内所有点所成的集合是一一对应的，即复数z ＝a ＋b i ←――→一一对应复平面内的点Z (a ，b ) ，这是复数的一种几何意义．(3)复数与向量：复数集C 与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z ＝a ＋b i ←――→一一对应平面向量OZ →＝(a ，b )，这是复数的另一种几何意义(如图所示)．即有： (4)复数的模：向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的 ，记作|z |或|a ＋b i|.特别地，若b ＝0，则z ＝a ＋b i ＝a 是 ，它的模为|a |(即a 的绝对值)． 显然，|z |＝|a ＋b i|＝r ＝ (r ≥0，r ∈R )． (5)复平面内两点间距离公式：设复数z 1，z 2对应的点分别为A ，B ，则|AB |＝|z 1－z 2|. 3．复数的加减法及其几何意义 (1)复数的加法 ①法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，那么z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝ ，显然，两个复数的和仍然是一个确定的复数．②运算律：∀z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1， (z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．③几何意义：设OZ 1→，OZ 2→分别与复数a ＋b i ，c ＋d i 对应，则有OZ 1→＝(a ，b )，OZ 2→＝(c ，d )，由平面向量的坐标运算，有OZ1→＋OZ 2→＝(a ＋c ，b ＋d )，即OZ 1→＋OZ 2→是与复数(a ＋c )＋(b ＋d )i 对应的向量，故复数的加法可以按照向量的加法来进行，这是复数加法的几何意义． 4．复数的乘除法(1)复数的乘法①法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，那么它们的积(a ＋b i)(c ＋d i)＝ac ＋bc i ＋ad i ＋bd i 2＝ . 由此可见，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i 2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．显然，两个复数的积仍是一个确定的复数．②运算律：∀z 1，z 2，z 3∈C ，有： z 1·z 2＝z 2·z 1， (z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)，z 1·(z 2＋z 3)＝z 1·z 2＋z 1·z 3.(2)复数的减法 ①法则：(a ＋b i)－(c ＋d i)＝ ，显然，两个复数的差是一个确定的复数．②减法的几何意义：复数的减法满足向量的三角形法则，如图所示，OZ1→－OZ 2→＝ ，即向量OZ 1→－OZ 2→与复数 对应． (2)共轭复数①定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数(实数的共轭复数是它本身)．如a ＋b i 与a －b i 互为 ． 复数z 的共轭复数常记为z .②几何意义：若z 1与z 2是共轭复数，那么在复平面内z 1与z 2对应的点关于实轴对称．③运算：z 1＝a ＋b i 与z 2＝a －b i 是共轭复数，则z 1·z 2＝(a ＋b i)·(a －b i)＝ ， 显然，z 1·z 2＝ .(3)复数的除法(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝(a ＋b i )·(c －d i )(c ＋d i )·(c －d i )＝(ac ＋bd )＋(bc －ad )i c 2＋d 2＝ ，(c ＋d i ≠0)．由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商仍是一个确定的复数．一、复数的分类 例1已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R )，试求实数a 分别取什么值时，z 分别为： (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 二、复数的四则运算 例2计算下列复数：(1)设z ＝1＋i ，化简w ＝2z＋z 2；(2)z ＝3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i ；(3)z ＝i (2＋i )1－2i＋(1－i)2.三、复数相等的充要条件及其应用例3(1)已知x ，y ∈R ，i 为虚数单位，且(x －2)i －y ＝－1＋i ，求(1＋i)x ＋y ； (2)若z ＝cos θ＋isin θ(θ∈[0,2π])，求使z 2＝－1的θ的值． 四、复数的几何意义及应用例4已知复数z 满足|z ＋2－2i|＝1，求|z －3－2i|的最小值．〔备选题〕例5若复数z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)的共轭复数z对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．(1)(2011安徽)设i是虚数单位，复数1＋a i2－i为纯虚数，则实数a 为( )A．2 B．－2 C．－12 D.12(2)(2011辽宁)a为正实数，i为虚数单位，|a＋ii|＝2，则a＝( ) A．2 B.3 C.2 D．12．复数z满足(1＋2i)z＝4＋3i，那么z＝( ) A．2＋i B．2－iC．2＋2i D．2－2i1．设z的共轭复数是z，若z＋z＝4，z·z＝8，则zz等于( )A．1 B．－i C．±1 D．±i3．已知复数z＝52－i，则复数z2－2z等于( ) A．－1＋2i B．－1－2iC．－2＋i D．2－i4．复数z满足|z＋1|＝|z－i|，那么z在复平面内对应的点所表示的图形是( )A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线5．若复数z＝cosθ＋isinθ且z2＋z2＝1，则sin2θ＝( )A.12 B.14 C.34D．－146．已知复数z与(z＋2)2－8i均是纯虚数，则z＝____.7．已知a∈R，则复数z＝(a2－2a＋4)－(a2－2a＋2)i所对应的点在第象限，复数z对应点的轨迹是．8．若复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1(3－i)＝z2(1＋3i)，|z1|＝2，求z1.9．已知集合M＝{(a＋3)＋(b 2－1)i,8}，集合N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}同时满足M∩N M，M∩N≠∅，求整数a、b.第31讲复数的概念及运算1．理解复数的有关概念，掌握复数相等的充要条件，并会应用． 2．了解复数的代数形式的表示方法，能进行复数的代数形式的四则运算．3．了解复数代数形式的几何意义及复数的加、减法的几何意义，会简单应用．【基础检测】 1．若z ＝(x 2－1)2＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－1或1 2．已知a ＋2i i ＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3 3．i 是虚数单位，复数－1＋3i 1＋2i ＝( )A ．1＋iB ．5＋5iC ．－5－5iD ．－1－i 4．复数(1＋2i )(2＋i )(1－i )2等于( ) A.52 B ．－52 C.52i D ．－52i5．若复数(1＋i)z ＝1－3i ，则复数z 在复平面上对应的点在第 象限，|z |＝ . 【知识要点】 1．复数的概念 (1)复数：我们把集合C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中的数，即形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做 ．其中i 叫做 ，全体复数所组成的集合C 叫做 ．(2)复数的代数形式：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．这一表示形式叫做复数的 ．其中的a 与b 分别叫做复数z 的实部与虚部．(3)复数的相等：复数z 1＝a ＋b i 与z 2＝c ＋d i(其中a 、b 、c 、d ∈R )相等的充要条件是 ，即a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d . (4)复数的分类：对于复数a ＋b i ， 当且仅当 时，它是实数； 当且仅当 时，它是实数0； 当b ≠0时，叫做 ；当a ＝0且b ≠0时，叫做 ．2．复数的几何意义(1)复平面：如图，点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z ＝a ＋b i 可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫复平面，x 轴叫实轴，y 轴叫虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．(2)复数与点：复数集C 和复平面内所有点所成的集合是一一对应的，即复数z ＝a ＋b i ←――→一一对应复平面内的点Z (a ，b ) ，这是复数的一种几何意义．(3)复数与向量：复数集C 与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z ＝a ＋b i ←――→一一对应平面向量OZ →＝(a ，b )，这是复数的另一种几何意义(如图所示)．即有： (4)复数的模：向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的 ，记作|z |或|a ＋b i|.特别地，若b ＝0，则z ＝a ＋b i ＝a 是 ，它的模为|a |(即a 的绝对值)． 显然，|z |＝|a ＋b i|＝r ＝ (r ≥0，r ∈R )． (5)复平面内两点间距离公式：设复数z 1，z 2对应的点分别为A ，B ，则|AB |＝|z 1－z 2|. 3．复数的加减法及其几何意义 (1)复数的加法 ①法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，那么z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝ ，显然，两个复数的和仍然是一个确定的复数．②运算律：∀z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1， (z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．③几何意义：设OZ 1→，OZ 2→分别与复数a ＋b i ，c ＋d i 对应，则有OZ 1→＝(a ，b )，OZ 2→＝(c ，d )，由平面向量的坐标运算，有OZ 1→＋OZ 2→＝(a ＋c ，b ＋d )，即OZ 1→＋OZ 2→是与复数(a ＋c )＋(b ＋d )i 对应的向量，故复数的加法可以按照向量的加法来进行，这是复数加法的几何意义． 4．复数的乘除法 (1)复数的乘法 ①法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，那么它们的积(a ＋b i)(c ＋d i)＝ac ＋bc i ＋ad i ＋bd i 2＝ . 由此可见，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i 2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．显然，两个复数的积仍是一个确定的复数．②运算律：∀z 1，z 2，z 3∈C ，有： z 1·z 2＝z 2·z 1， (z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)， z 1·(z 2＋z 3)＝z 1·z 2＋z 1·z 3.(2)复数的减法 ①法则：(a ＋b i)－(c ＋d i)＝ ，显然，两个复数的差是一个确定的复数．②减法的几何意义：复数的减法满足向量的三角形法则，如图所示，OZ1→－OZ 2→＝ ，即向量OZ 1→－OZ 2→与复数 对应． (2)共轭复数①定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数(实数的共轭复数是它本身)．如a ＋b i 与a －b i 互为 ． 复数z 的共轭复数常记为z .②几何意义：若z 1与z 2是共轭复数，那么在复平面内z 1与z 2对应的点关于实轴对称．③运算：z 1＝a ＋b i 与z 2＝a －b i 是共轭复数，则z 1·z 2＝(a ＋b i)·(a －b i)＝ ， 显然，z 1·z 2＝ .(3)复数的除法(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝(a ＋b i )·(c －d i )(c ＋d i )·(c －d i )＝(ac ＋bd )＋(bc －ad )i c 2＋d 2＝，(c ＋d i ≠0)．由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商仍是一个确定的复数．一、复数的分类 例1已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R )，试求实数a 分别取什么值时，z 分别为： (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 【解析】(1)当⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6＝0a 2－1≠0即a ＝6时，z ∈R ； (2)当⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0a 2－1≠0即a ≠6且a ≠±1时，z 是虚数； (3)⎩⎪⎨⎪⎧a 2－7a ＋6a 2－1＝0a 2－5a －6≠0，故不存在实数a ，使z 为纯虚数． 二、复数的四则运算 例2计算下列复数：(1)设z ＝1＋i ，化简w ＝2z＋z 2；(2)z ＝3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i ；(3)z ＝i (2＋i )1－2i＋(1－i)2.【解析】(1)w ＝21＋i ＋(1＋i)2＝2(1－i )(1＋i )(1－i )＋2i ＝1－i ＋2i ＝1＋i. (2)z ＝－3i 2＋2i 2－3i －－3i 2－2i 2＋3i ＝i (2－3i )2－3i －－i (2＋3i )2＋3i ＝i ＋i ＝2i. (3)z ＝－1＋2i 1－2i －2i ＝－(1－2i )1－2i －2i ＝－1－2i.三、复数相等的充要条件及其应用例3(1)已知x ，y ∈R ，i 为虚数单位，且(x －2)i －y ＝－1＋i ，求(1＋i)x ＋y ；(2)若z ＝cos θ＋isin θ(θ∈[0,2π])，求使z 2＝－1的θ的值．【解析】(1)由复数相等的充要条件，有⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝1－y ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝1(1＋i)x ＋y ＝(1＋i)4＝(2i)2＝－4. (2)z 2＝cos 2θ－sin 2θ＋2sin θcos θ·i ∵z2＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos 2θ－sin 2θ＝－1sin θcos θ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝0sin θ＝±1又θ∈[0,2π]，∴θ＝π2或32π.四、复数的几何意义及应用 例4已知复数z 满足|z ＋2－2i|＝1，求|z －3－2i|的最小值． 【解析】解法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )， 则|x ＋y i ＋2－2i|＝1，即|(x ＋2)＋(y －2)i|＝1. ∴(x ＋2)2＋(y －2)2＝1.① ∴|z －3－2i|＝(x －3)2＋(y －2)2＝(x －3)2＋1－(x ＋2)2＝－10x ＋6. 由①知，(y －2)2＝1－(x ＋2)2≥0， ∴－3≤x ≤－1. ∴16≤－10x ＋6≤36， ∴4≤－10x ＋6≤6. ∴x ＝－1时，|z －3－2i|min ＝4.解法二：由复数及其模的几何意义知：满足|z ＋2－2i|＝1，即|z －(－2＋2i)|＝1.复数z 所对应的点是以C (－2,2)为圆心，r ＝1为半径的圆． 而|z －3－2i|＝|z －(3＋2i)|的几何意义是：复数z 对应的点与点A (3,2)的距离．由圆的知识可知|z －3－2i|的最小值为AC －r .∴|z －3－2i|min ＝(3＋2)2＋(2－2)2－1＝4. 解法三：|z －3－2i|＝|(z ＋2－2i)－5|≥||z ＋2－2i|－|5||＝|1－5|＝4，∴|z －3－2i|min ＝4.〔备选题〕例5若复数z ＝(m 2＋m －1)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R )的共轭复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围．【解析】z ＝(m 2＋m －1)＋(4m 2－8m ＋3)i 的共轭复数是z ＝(m 2＋m －1)－(4m 2－8m ＋3)i ，故其对应的点是A (m 2＋m －1，－4m 2＋8m －3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＞0－4m 2＋8m －3＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＞04m 2－8m ＋3＜0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＜－1＋52或m ＞5－1212＜m ＜32⇒5－12＜m ＜32. ∴实数m 的取值范围是{m |5－12＜m ＜32}．(1)(2011安徽)设i 是虚数单位，复数1＋a i 2－i 为纯虚数，则实数a 为( )A ．2B ．－2C ．－12 D.12(2)(2011辽宁)a 为正实数，i 为虚数单位，|a ＋i i |＝2，则a ＝( )A ．2 B.3 C.2 D ．1 【解析】(1)1＋a i 2－i ＝1＋a i 2－i ·2＋i2＋i＝2－a ＋(2a ＋1)i5， ∵1＋a i 2－i 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＝02a ＋1≠0，∴a ＝2. (2)|a ＋ii|＝|1－a i|＝a 2＋1＝2，∴a ＝±3，而a 是正实数，∴a ＝ 3.1．设z 的共轭复数是z ，若z ＋z ＝4，z ·z ＝8，则z z 等于( ) A ．1 B ．－i C ．±1 D ．±i 2．复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i ，那么z ＝( ) A ．2＋i B ．2－i C ．2＋2i D ．2－2i【解析】设z ＝a ＋b i ，(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，由题意有2a ＝4，a 2＋b 2＝8， ∴a ＝2，b ＝±2. ∴⎩⎨⎧ z ＝2＋2i z ＝2－2i 或⎩⎨⎧z ＝2－2i z ＝2＋2i . ∴z z ＝2＋2i 2－2i ＝i (2－2i )2－2i ＝i 或1i ＝－i.故选D.【解析】设z ＝x ＋y i ，则z ＝x －y i ，(1＋2i)z ＝x ＋2y ＋(2x －y )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝42x －y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1，故选A.3．已知复数z ＝52－i，则复数z 2－2z 等于( )A ．－1＋2iB ．－1－2iC ．－2＋iD ．2－i【解析】∵z ＝52－i ＝5(2＋i )5＝2＋i ，∴z 2－2z ＝(2＋i)2－2(2＋i)＝3＋4i －4－2i ＝－1＋2i.4．复数z 满足|z ＋1|＝|z －i|，那么z 在复平面内对应的点所表示的图形是( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线 【解析】由几何意义知，正确答案为A. 5．若复数z ＝cos θ＋isin θ且z 2＋z 2＝1，则sin 2θ＝( )A.12B.14C.34 D ．－146．已知复数z 与(z ＋2)2－8i 均是纯虚数，则z ＝____. 【解析】设z ＝a i ，a ∈R 且a ≠0， 则(z ＋2)2－8i ＝4－a 2＋(4a －8)i. 因为(z ＋2)2－8i 是纯虚数， 所以4－a 2＝0且4a －8≠0， 所以a ＝－2，则z ＝－2i. 7．已知a ∈R ，则复数z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第 象限，复数z 对应点的轨迹是 ．8．若复数z 1与z 2在复平面上所对应的点关于y 轴对称，且z 1(3－i)＝z 2(1＋3i)，|z 1|＝2，求z 1.【解析】设z 1＝a ＋b i ，则z 2＝－a ＋b i ， ∵z 1(3－i)＝z 2(1＋3i)，且|z 1|＝2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋b i )(3－i )＝(－a ＋b i )(1＋3i )，a 2＋b 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，则z 1＝1－i 或z 1＝－1＋i.9．已知集合M ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i,8}，集合N ＝{3i ，(a 2－1)＋(b ＋2)i}同时满足M ∩N M ，M ∩N ≠∅，求整数a 、b . 【解析】依题意得(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝3i ，① 或8＝(a 2－1)＋(b ＋2)i ，②或(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝(a 2－1)＋(b ＋2)i.③ 由①得a ＝－3，b ＝±2，经检验，a ＝－3，b ＝－2不合题意，舍去． ∴a ＝－3，b ＝2. 由②得a ＝±3，b ＝－2.又a ＝－3，b ＝－2不合题意．∴a ＝3，b ＝－2.③中，a ，b 无整数解，不符合题意．综合①、②得a ＝－3，b ＝2或a ＝3，b ＝－2.。