第29-30讲 振动与波1
第十三章 机械振动与机械波1 第1讲 机械振动-2024-2025学年高考物理一轮复习课件
对点练1．(多选)如图甲所示，悬挂在 竖直方向上的弹簧振子，在C、D两点 之间做简谐运动，O点为平衡位置。振 子到达D点时开始计时，以竖直向上为 正方向，一个周期内的振动图像如图乙所示，下列说法正确的是
√A．振子在O点受到的弹簧弹力等于小球的重力
B．振子在C点和D点的回复力相同
√C．t＝0.3 s时，振子的速度方向为竖直向上
√√BC．．小弹球簧的振质子量的为频率F1为－2gF432t0
D．若弹簧振子的振幅为A，则从计时开始到13t0时，小球的路程为36A
由题图乙可知，t＝0时刻小球所受弹力最 大，方向竖直向上，所以小球处于最低点， 故A错误；根据对称性，小球在最高点和 最低点的加速度大小相等、方向相反，根 据 F解1－得牛mf顿＝g第＝43t二m0 ，a定；故律解C，得正小m确球＝；在F由1最－2于g高F132点，t0＝，故9有BT正F＋2确＋34；Tm，由g＝所题m以图a小；乙球小可的球知路在34T程最＝为低t0s，点＝T，9＝·4有A1f ， ＋3A＝39A，故D错误。故选BC。
位移大小相等
对称性 (2)物体由P到O所用的时间等于由O到P′所用的时间，即tPO＝tOP′
(3)物体往复过程中通过同一段路程(如OP段)所用的时间相等，即tOP
＝tPO
(4)相隔
T 2
或
（2n＋1）T 2
(n为正整数)的两个时刻，物体位置关于平
衡位置对称，位移、速度、加速度大小相等、方向相反
考向1 简谐运动的基本物理量 例1 如图所示，在光滑水平面上有一质量为m的小物块与左端固定的轻 质弹簧相连，构成一个水平弹簧振子，弹簧处于原长时小物块位于O点。 现使小物块在M、N两点间沿光滑水平面做简谐运动，在此过程中 A．小物块运动到M点时回复力与位移方向相同
超声波探伤教材
第一章 超声波检测的物理基础
一、波动 (一)振动与波 物体或质点在某一平衡位置附近作往复运
动，这种运动状态就叫做机械振动，简称 振动。如果物体或质点作周期性直线振动， 它离开平衡位置的距离与时间可以用正弦 或余弦函数表示，称为简谐振动。 这是最基本最重要的周期性直线振动。
适用的频率
超声波探伤常用的频率为 0.25MHz~15MHz。
对金属材料一般频率为 0.5~10MHz。
钢结构焊缝常用频率为1~5MHz。 陶瓷常用频率则为2.25~10MHz。 对铸铁、非金属声衰减强烈的粗晶材料，
甚至采用25KHz~0.25MHz 的频率。
(二)超声波的特性之一
T为周期，振子Q在平衡位置附近振动一次所需要的时间；
f为频率，单位时间内振子Q振动次数，与周期互为倒数， 即f=1/T。赫兹（Hz）单位为每秒振动一次1兆赫为1MHz；
（ωt+φ)为相位角，振子Q在振动过程中某一瞬间（t时刻） 所处的位置。在t=0时刻的相位角，称为初始相位；
ω为圆频率，表示在秒内的振动周期数? (每振动一次时间为360度)。
思考
为什么超声波会在工件中衰减？什么是第一、 第二、第三临界角？什么时候纵波入射会产生 横波全反射现象？超声检测底波高度法调节仪 器应满足的条件是什么？为什么超声纵波直探 头在钢中近场长度比水中的短？
横波 振动方向垂直于播向 固体介质
焊缝、钢管探伤
表面波 质点椭圆运动，
长轴垂直播向
固体介质
钢管、薄板探伤
短轴平行播向
板波 对称(S)型
上下表面：椭圆运动
伤
中心：纵向振动
固体介质(波长薄板)薄板薄壁管探
振动与波
基于金属材料 非对称循环疲劳极限的估 算公式 ，提 出了根据 一组对称载荷下 的
ｍｅｉ 刊，中］郭磊（ ｄａ［ ， 同济大学应 用力 学
界面强度是薄膜涂层材料 的最重要 的性 能指标之一 ， 目前 尚缺乏有效 的测量方 法 ．测量界面强度 的主要 困难在于 寻求 种便于试验 的试件 形状和加载方 式，
非对称 加载下疲劳 ＰＲ Ⅳ 曲面族的构 —一 建＝ ｈ ｏ ｓ ｕ ｔ ｎ ｏ ａ ｇ ｅＰＲ Ⅳ Ｔ ｅ ｃ ｎｔ ｃ ｏ ｆｆｔ ｕ —一 ｒ ｉ ｉ
ｓ ｒａ ｅ ｆｍｉｙ ｕ ｄ ｒ ａｙ ｕ ｆｃ ａ ｌ ｎ ｅ ｓｍｍｅｒ ａ ｏ ｄ ｔｉ ｌｌａ — ｃ
薄膜涂层材料界面纯剪破坏标准试验法
荣林（ 同济大学 航空航天与力学学院，
上 海 ２ ０ ９ ）， 方 如 华 ， 力 学 季 ００２ ／ 刊． ０ ５ ６４ ． ５９ ９ 一２ ｏ ，２ （） ８ ￣５ ４ －
在单晶形状记忆合金试 样中 ，由于没有 晶粒 之间的约束 ，它 的马 氏体相 界面移 动比多晶容易，用实验 方法研究其相变 的特 点，对建立新 的理 论模 型有意义 ， 因而对 它的实验分析显得 重要 ．该文利 用高分辨 率的 Ｃ Ｄ 系统 监测到 ＮＴ 单 Ｃ ｉ ｉ 晶形 状记忆合金在拉伸 时的相变伪弹性 的过程 ； 利用 Ｘ射线衍 射法得到 了 Ｎｉｉ Ｔ 单晶试样 在拉伸方 向的 晶向：运用高分 辨率的云纹干 涉技 术 ，获得 了应力引起 的Ｎｉｉ 晶形状记忆合金 相变时的变形 Ｔ单 场 ；利用 高分辨率 、高灵敏 度的红外相 机记录 了ＮＴ单 晶在拉伸状 态下 的温度 ｉｉ 变化规律 ； 对低温下 Ｎｉｉ Ｔ 单晶的拉伸性 能做 了初 步的研究 ，得到一 些有意义的 现象 ．图 １ Ｏ参 ４ 关键 词；Ｎｉｉ ｒｌ ［ ｎ ｍ ｔｉ ｓ 刊，中］ ｇ ｅａ ／ 于秦（ 上海交通大 学 船 舶 海 洋 与 建 筑 工 程 学 院 ， 上 海 ２０４） ０ ２ ０ ，许 金 泉，力 学季 刊 ． ｏ ５ ／ —２ ｏ ，
振动与波(Oscillation and Wave)
arctg A1 sin 1 A2 sin 2 A1 cos1 A2 cos2
xx
x1
x2
t
结论：两个同方向、同频率的谐振动合成后 仍为同频率 的谐振动
（2）、旋转矢量法 Y t 0时
A
x1 A1 cos(t 1) A2
x2 A2 cos(t 2 )
则AA与
A1 A2 角速度相同
解： （1）不是简谐振动。 原因：皮球受重力作用， mg不随位移而变化。
（2）不是简谐振动。无平衡位置。但是 在竖直平面上的投影的 运动是简谐 运动。
l
T
m
mg
x Acos(t ) 为圆周运动角速率，
A为圆周运动的半径。
（3）是简谐振动。
切向方向
mg sin
m
d2 dt
x
2
(负号表示力指向平衡位置，使 减少）
2 2
T
一个振动系统的周期、频率或圆频率决定于什么因素？ 弹簧振子：
k m
T 2
m k
k为弹簧的倔强系数 m为质点质量
由系统本身性质决定，
称固有圆频率（或角 频率）；T称固有周期。
例1：试确定单摆的固有圆频率及周期。
小球受的切向分力： mg sin
小球受的切向加速度：a
l
d 2
dt 2
2
（3）、振幅A、初位相 的确定：
振幅和初相的值是由初始条件决定的；
初始条件：t=0时的初位移 x0 、初速度v0
由：
{
x v
Acos(t ) A sin( t
)
以t=0代入：{
解之：
x0 v0
Acos A sin
A
x02
振动与波
ｂ ｒｔｎｇ ｏ ｔｒ ｓ旰０ ｕｓ ｉ ｅｍａｅｉ ｌ ａ ，中］ 高明仕（ ／ 中国矿业 大学煤炭 资源 与安全 开采国家重点实验室 ，徐州 ２ １０ ） ２ ０ ８，窦林名，张农 ， 牟 宗 龙 ， 恺 ， 百顺 ∥ 岩石 力 学 与 工 程 学报 、 ２ ０ ， ６７． 王 杨 一 ０ ７ ２ （） 一
０ ７０１ ５ ８０ ９ １ ３０ ・１ ５
岩 土 介 质 中 冲击 震 动 波传 播 规 律 的微 震 试验 研 究＝Ｅ ｐｒ ｘｅ— ｉ
ｍｅ ｔ ｌｓｕ ｙ ｏ ａ ｔ ｑ ａ ｅ ｔｅ ｒ ｆ ｒ ｔａ ｓ ｔ ｎ ａ ｏ ｏ ｋ ｎ ａ ｔ ｄ ｎ ｅ ｒｈ ｕ ｋ ｒ ｍｏ ｏ ｎ ｍｉｔ ｇ ｌ ｗ ｆｒ ｃ — ｒ ｉ
一
０８ ０１ ０７ ９９
１ ０ ・２ ３ ０
移 动 列 车 荷 载 作 用 下 路 轨 系 统 及 饱 和 半 空 间 土 体 动 力 响 应 ＝
Ｄｙ ａ ｃｒ ｓ ｏ ｓ ｓｏ ａ ｋ ｓ ｓｅ ａ ｄ ｓ ｔ ｒ ｔｄ ｓ ｉ ｉ ａ ｆ ｐ ｃ ｎ ｍｉ ｅ ｐ ｎ ｅ ｆ ｃ ｙ ｔｍ ａｕ ａｅ ｏ ｌ ｎ ｈ ａ ｅ ｒ ｔ ｎ ｌ ｓ
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２０ 年 第 １ ０８ ４卷 第 ７期
中 国学 术 期 刊文 摘
０８ ０１ ０７ ９８ １ ０ ・２ ３ ０
具有显著 的影响 ，忽略两者关联性 的解耦算法 在滑 动方 向上的 响应 加速度 幅值和 累计滑 移量 与基于上 述算 法 的计 算结 果存 在较大差异 ，累计滑动位移和加速度 的卓越 周期为上述算法 的 ２倍左右 ，计算结果较 为保 守． 图 ６参 １ ５ 关 键 词 ：土 力 学 ；解 耦 ；耦 合 ；振 动 台 试 验 ；地 震 响 应 ；滑 动 位 移 ；挡 土 墙
2020_2021学年新教材高中物理第三章机械波1简谐运动课件新人教版选择性必修第一册
复习提问
问题一：什么是机械振动？什么是简谐运动？ 机械振动：物体在平衡位置附近的往复运动． 简谐运动：物体在跟位移大小成正比，并且总是 指向平衡位置的力的作用下的振动．
问题二：向平静水中,投石子会看到什么现象？
以石子击水点为中心，振动（波浪）远离中心向 四周传播，直到很远
问题三：绳子一端固定，手拿另一端水平拉直， 上下抖动．看到什么现象？
观察弹簧形成的波
在图3.1-4所示的波中，质 点左右振动，波向右传播， 二者的方向在同一直线上。 质点的振动方向与波的传 播方向在同一直线上的波， 叫作纵波（longitudinal wave）。
发声体振动时在空气中产生的声 波是纵波。例如振动的音叉，它 的叉股向一侧振动时，压缩邻近 的空气，使这部分空气变密，叉 股向另一侧振动时，又使这部分 空气变得稀疏。这种疏密相间的 状态向外传播就形成声波（图 3.1-5）。声波传入人耳，使鼓 膜振动，就引起声音的感觉。声 波不仅能在空气中传播，也能在 液体、固体中传播。
（1）都是周期性的运动：波动周期等于质点的 振动周期．
（2）从构成介质的某一质点来看，所呈现的现 象是振动，从构成介质的整体来看，所呈现的现象是 波动．
（3）振动是形成波动的必要条件，但有振动不 一定存在波动．
（4）波动是振动形式（信息）的传播过程．
小结：
形成 和 Байду номын сангаас播
机械波
分类
课堂练习
1．一列横波沿绳子向右传播，某时刻绳子形成如图 所示的形状，对此时绳上A、B、C、D、E、F六个质点
声波是纵波
三、机械波
1. 波源和介质： 波源——能够产生振动的物体或质点． 介质——波借以传播的物质．
2.机械波： 机械振动在介质中的传播，形成机械波。
第六章 振动和波
x2 A12
y2 A22
2 xy A1 A2
cos
sin2
上式是个椭圆方程，具体形状由 相位差决定。
(20 10 )
质点的运动方向与 有关。当 0 时，
质点沿顺时针方向运动；当 2 时，
质点沿逆时针方向运动。
当 A1 A2 时，正椭圆退化为圆。
21
4.4 垂直方向、不同频率简谐振动的合成
Acos[ (t
x u
)
0
]
y( x, t)
A cos [(t
0 )
2
x ]
2 /T u /T
也即p点的相位落后于O点相位：2x
O
y
u
x
p
这就是右行波的波方程。
x
定义 k 为角波数
k 2 T
u T
2
2 2 ； T u u 因此下述几式等价
T
27
左行波的波函数：
0 20超前10
20 10 0 20落后10
=（2n1） 反相 =2n 同相
4
1-3 简谐振动的动力学方程
• 简谐振动的动力学方程 弹性力
mx kx
U ( x) 1 kx2 2
令k
m
2 0
x
2 0
x
0
其解：x(t)
结论
A
cos( 0 t
0
)
质点所受的外力与对平衡位置的位移成正比
且反向，或质点的势能与位移（角位移）的
以横波为例说明平面简谐波的波函数。
已知O点振动表达式： y Acos(t 0 )
y表示各质点在y方向上的
位移，A是振幅，是角频
率或叫圆频率， 0为O点在
大学物理力学与热学-2024鲜版
在相变过程中，当系统达到平衡时，各相的温度、压力 和化学势必须分别相等。这些条件称为相平衡条件。
相图分析
相图是表示物质相态与温度、压力等热力学参量之间关 系的图形。通过相图分析，可以了解物质的相变过程、 相变温度和压力等信息。例如，水的相图显示了水在不 同温度和压力下的固、液、气三相之间的转变关系。
01
物体在不受外力作用时，将保持静止状态或匀速直线运动状态。
牛顿第二定律
02
物体的加速度与作用力成正比，与物体质量成反比，方向与作
用力方向相同。
牛顿第三定律
03
两个物体间的作用力和反作用力总是大小相等、方向相反，作
用在同一直线上。
4
动量与冲量
动量
物体质量与速度的乘积，表示物体运动的惯性。
冲量
力对时间的积累效应，等于力与作用时间的乘积。
解释
液体分子间的相互作用力在液体内部和表面是不平衡的。 在液体内部，每个分子受到周围分子的吸引力在各个方向 上基本相等，因此内部分子受力平衡。而在液体表面，分 子受到的吸引力主要来自液体内部，使得表面分子受到指 向液体内部的净吸引力，这种净吸引力就是表面张力的来 源。
2024/3/28
30
相平衡条件及相图分析
大学物理力学与热学
2024/3/28
1
contents
目录
2024/3/28
• 力学基本概念与原理 • 刚体定轴转动 • 弹性力学基础 • 热学基本概念与原理 • 气体动理论及热力学过程 • 固体、液体与相变现象
2
01
力学基本概念与原理
2024/3/28
3
牛顿运动定律
2024/3/28
牛顿第一定律
振动与波
ｒ ｌａｉｎａ ｏ ｔｍ ［ ，中］杜永峰（ ｅ ｉ ｔ ｇ ｒｈ 刊 ａｚ ｏ ｌ ｉ ， 兰 州 理 工 大 学 防震 减 灾 研 究 所 ， 兰 州 ７０ ５） 工程 力学 ． ０ ６ ２ （ ． １ ３ ０ ０， ， —２ ０ ， ３１） ～ １一
８
有初 始 间隙 摩擦 接触 问题 的有 限元 混
ｏ ０ Ｏ ５ ７５２２ １ ｏ ・１ ３ ５
研究岩土材料破损机制必须考虑其非均 质性．岩土破损力学将岩土材料抽象成 由胶结元和摩擦元组成的二元结构体 ， 在细观尺度上分别把胶结元看成理想弹 脆性的和把摩擦元看成理想弹塑性 的材 料，通过受荷过程中胶结元破损并逐渐 向摩擦 元转化来模拟岩土材料的破损过 程，最后给出平面应变单轴受压应力状 态下的数 值算例．数值算例结果表 明， 基于岩土 二元介质概念的细观有 限元方 法可 较好地模 拟岩土材料的破损过程和 变形特性 ．图 ６参 １ ５ 关键 词：数值 模拟 ；非均质性；细观尺 度 ；二元介质模型 ；破损过程
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中国学术期刊文摘 （ 中文版）
２０ ０ ７年 １ ３卷 第 ５期 的所有应力解 ．基于 界面分离过程 的能 量 平衡 ，获得 了分 离 能释 放 率 的表达 式 ．通过 引入 一个界面分离准 则，给 出
海洋环境与生态教育部重 点实验室 ，青 岛 ２６０） ６０ ３，张建 民，贾永刚 ，刘 红军 ， 许 国辉， ， 岩石力学与工程学报 ． ２ ０ ， 一 ０ ６
ｏ００５ ７ ５ ２４ １ ０・１ ３ ５
了求解 临界分离长度 的方法 ，获得 了临 界 分 离 应 力 和 桥 联 本 构 关 系 的表 达 式． 对纤维增 强复合材料 ＳＣＴ．Ａ —Ｖ ｉ／ｉ １ ６ ４ 作数值计算 ，结果表 明建立的模型 比剪 滞模型更准确．图 ５参 １ ３ 关键词 ：纤维拔 出；摩擦滑移 ；泊松效 应 ；能量释放率 ；桥联本构关系
高中物理的振动与波动教案
高中物理的振动与波动教案教学目标：1. 理解振动和波动的概念，掌握相关词汇和定义。
2. 掌握振动和波动的特点和分类。
3. 理解振动和波动在日常生活中的应用。
4. 训练学生观察、实验和逻辑思维能力。
教学重点与难点：1. 振动和波动的概念及其特点。
2. 振动和波动的分类及日常应用。
教学准备：1. 教师准备：教案、教学PPT、实验器材、振动和波测量仪器等。
2. 学生准备：学习笔记、实验记录本等。
教学过程：一、引入振动和波动概念（10分钟）1.1师生互动，讨论振动和波动的概念及特点。
1.2通过图片、实物等展示振动和波动的例子，引导学生理解概念。
二、振动的特点与分类（20分钟）2.1讲解振动的定义、特点及种类。
2.2进行实验观察不同种类的振动现象，让学生亲自实验、感受振动。
三、波动的特点与分类（20分钟）3.1讲解波动的定义、特点及种类。
3.2展示各种类型的波动实例，帮助学生理解波动的本质及分类。
四、振动和波动在日常生活中的应用（15分钟）4.1探讨振动和波动在日常生活中的各种应用，如声波、光波的传播与应用等。
4.2展示相关实例，让学生体会振动和波动的实际应用价值。
五、实验操作与总结（15分钟）5.1学生根据教师指导进行相关实验操作。
5.2总结振动和波动的知识点，检查学生对概念的掌握程度。
六、课堂讨论与提升（10分钟）6.1师生讨论振动和波动相关问题，梳理知识点，解决学生疑问。
6.2鼓励学生展示自己对振动和波动的理解，提出自己的见解。
教学反馈：1. 收集学生对本节课程的反馈意见，帮助教师改进教学方法与内容。
2. 师生共同总结学生在振动和波动方面的学习成果和不足之处，为下节课的教学做准备。
布置作业：1. 作业：根据本节课内容，写一篇关于振动和波动的简单作文。
2. 预习：预习下节课的内容，做好相关概念的准备。
教学反思：通过本节课的教学，学生对振动和波动的概念有了更深入的理解，实验操作增加了学生的学习兴趣与参与度。
振动测试分析技术 ppt课件
ppt课件
36
§ 3.3振动测试方案
3 测试位置（监测点）
电涡流位移传感器测量轴振动的示意图
ppt课件
37
§ 3.3 振动测试方案
3 测试位置（监测点）
ppt课件
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§ 3.3 振动测试方案
3 测试位置（监测点）
ppt课件
39
§ 3.3 振动测试方案
23ppt课件32振动测试的仪器设备传感器的安装24ppt课件32振动测试的仪器设备传感器的安装表31测量典型设备时振动传感器的安装法25ppt课件32振动测试的仪器设备2数据采集器频谱分析仪26ppt课件32振动测试的仪器设备2数据采集器频谱分析仪27ppt课件32振动测试的仪器设备2数据采集器频谱分析仪28ppt课件32振动测试的仪器设备2数据采集器频谱分析仪29ppt课件32振动测试的仪器设备22数据采集器频谱分析仪图39数据采集器的工作过程30ppt课件32振动测试的仪器设备22数据采集器频谱分析仪功能参数
表3-2 水电部汽轮机发电机组振动标准(轴承振幅允许值)
转速/rpm
标准/mm
优
良 合格
1500 3000
30
50
70
20
30
50
ppt课件
45
§ 3.2 振动测试方案
5 振动评定标准：
绝对法 （1）以轴承振动位移峰峰值作评定标准：
表3-3 机电部离心风机和压缩机振动标准
标准
转速 / (rmin1)
振动测试的基本参数：幅值、频率和相位
✓ 幅值 幅值是振动强度大小的标志，它可以用不同 的方法表示，如单峰值、有效值、峰—峰值等；
高中物理振动和波教案
高中物理振动和波教案
教学内容：振动和波
教学目标：
1. 了解振动和波的基本概念；
2. 能够区分不同类型的振动和波；
3. 能够应用振动和波的知识解决相关问题。
教学重难点：
1. 振动的特点和分类；
2. 波的传播和性质。
教学准备：
1. 实验装置和材料；
2. 教学PPT。
教学步骤：
一、导入（5分钟）
通过展示一些生活中的振动和波的例子引起学生的兴趣，激发学生对本课知识的探究欲望。
二、讲授（25分钟）
1. 振动的定义、特点和分类；
2. 波的定义、传播和性质。
三、实验（20分钟）
进行一个关于波的实验，让学生亲自观察和实验，加深他们对波的理解。
四、练习（15分钟）
进行一些与振动和波相关的练习题，检验学生对本课知识的掌握情况。
五、讨论（10分钟）
学生分组讨论，探讨振动和波的应用及相关问题，提高他们的思维能力。
六、作业布置（5分钟）
布置相关作业，巩固学生对本课知识的理解，并做好定期检查。
教学反思：
在教学过程中，要注重引导学生从生活中的实际例子中理解振动和波的概念，激发学生的学习兴趣，提高他们的学习效果。
同时，要注重培养学生的实验能力和动手能力，让学生亲自实践和操作，加深对知识的理解和掌握。
振动基础知识PPT课件
障诊断中有重要作用。
2021/3/7
CHENLI
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旋转机械的振动图示 (定转速)
2021/3/7
波形图 (Wave)
时间域内的振动波形
频谱图 (Spectrum)
组成振动的各谐波成分
轴心轨迹 (Orbit)
转轴中心的振动轨迹，由水平和铅垂两 方向波形合成
CHENLI
44
波形图、频谱图及轴心轨迹
峰值，单位为米/秒2（m/s2）
2021/3/7
CHENLI
8
振动信号的频率分析
把振动信号中所包含的各种频率成分分别分解出来 的方法。 频率分析的数学基础是傅里叶变换和快速傅里叶算 法（FFT）。 频率分析可用频率分析仪来实现，也可在计算机上 用软件来完成。 频率分析的结果得到各种频谱图，这是故障诊断的 有力工具。
2021/3/7
CHENLI
12
单自由度振动系统
确定系统运动所需的独立坐标数称为系统的自由度
2021/3/7
CHENLI
13
多自由度振动系统
2
5
3
6
2
图中数字为系统的自由度数
2021/3/7
CHENLI
14
振动系统的模态
单自由度系统有一个 模态 模态参数为：
固有频率
（模态频率）
阻尼比
（模态阻尼）
测量非转动部件的绝对 振动的速度。 不适于测量瞬态振动和 很快的变速过程。 输出阻抗低，抗干扰力 强。 传感器质量较大，对小 型对象有影响。
CHENLI
29
典型的磁电速度传感器及其特性
2021/3/7
CHENLI
30
压电加速度传感器
第三章 振动与波 声
A A2
A1
o
x
o
x1 反相
T
t
x2
x
3.3.2 两个频率不同、振动方向相同的简谐振动的合成
设振动 :
x1 A1 cosω1 t x2 A2 cosω2t
1. 旋转矢量法合成: x x1 x2
随 t 变, 不恒定
当 (ω2 ω1) t 2kπ 时,
A 有最大值 A A1 A2 当 (ω2 ω1) t (2k 1)π 时，
2
2
特例:
当 2 1 时 , 2 - 1 2 + 1 ， 令 x A(t) cos t
其中 A(t) 2Acos( 2 1 t)
2
随 t 缓变
cos t cos( 2 1 t)
2
随 t 快变
结论：合振动 x 可看作是振幅缓变的简谐振动。
拍的现象:两振动方向相同, 频率接近的谐振动合成时, 其合振幅时强时弱, 有规律交替出现的现象.
到的新波面。 说明
S1
S2
(1) 知某一时刻波前， 可用几何方法决定 下一时刻波前；
t 5T
t 5T 4
4
t 3T
2
横波
纵波
结论
(1) 波动中各质点并不随波前进
yy
u
(2) 各个质点的相位依次落后,波
t
动是相位的传播
x
(3) 波动曲线与振动曲线不同
振动波曲动线曲线
3.4.1 波的描述
1. 波的几何描述 波面 在波传播过程中，任一时刻媒质中 振动相位相同的点联结成的面
波线 沿波的传播方向作的有方向的线 波前 在某一时刻，波传播到的最前面的波面
2
x A1
y A2
第4章_振动与波动 (1)
第4章 振动与波动题目无答案一、选择题1. 已知四个质点在x 轴上运动, 某时刻质点位移x 与其所受合外力F 的关系分别由下列四式表示(式中a 、b 为正常数)．其中不能使质点作简谐振动的力是[ ] (A) abx F = (B) abx F -=(C) b ax F +-= (D) a bx F /-=2. 在下列所述的各种物体运动中, 可视为简谐振动的是[ ] (A) 将木块投入水中, 完全浸没并潜入一定深度, 然后释放(B) 将弹簧振子置于光滑斜面上, 让其振动(C) 从光滑的半圆弧槽的边缘释放一个小滑块(D) 拍皮球时球的运动3. 欲使弹簧振子系统的振动是简谐振动, 下列条件中不满足简谐振动条件的是[ ] (A) 摩擦阻力及其它阻力略去不计(B) 弹簧本身的质量略去不计(C) 振子的质量略去不计(D) 弹簧的形变在弹性限度内4. 当用正弦函数或余弦函数形式表示同一个简谐振动时, 振动方程中不同的量是[ ] (A) 振幅 (B) 角频率(C) 初相位 (D) 振幅、圆频率和初相位5. 如T4-1-5图所示，一弹簧振子周期为T ．现将弹簧截去一半，仍挂上原来的物体, 则新的弹簧振子周期为[ ] (A) T (B) 2T(C) 3T (D) 0.7T6. 三只相同的弹簧(质量忽略不计)都一端固定, 另一端连接质量为m 的物体, 但放置情况不同．如T4-1-6图所示，其中一个平放, 一个斜放, 另一个竖直放．如果让它们振动起来, 则三者的[ ] (A) 周期和平衡位置都不相同(B) 周期和平衡位置都相同(C) 周期相同, 平衡位置不同 (D) 周期不同, 平衡位置相同7. 如T4-1-7图所示，升降机中有一个做谐振动的单摆, 当升降机静止时, 其振动周期为2秒; 当升降机以加速度上升时, 升降机中的观察者观察到其单摆的振动周期与原来的振动周期相比，将[ ] (A) 增大 (B ) 不变(C) 减小 (D) 不能确定T 4-1-6图T 4-1-7图 T 4-1-5图8. 在简谐振动的运动方程中，振动相位)(ϕω+t 的物理意义是[ ] (A) 表征了简谐振子t 时刻所在的位置(B) 表征了简谐振子t 时刻的振动状态(C) 给出了简谐振子t 时刻加速度的方向(D) 给出了简谐振子t 时刻所受回复力的方向9. 如T4-1-9图所示，把单摆从平衡位置拉开, 使摆线与竖直方向成 θ 角, 然后放手任其作微小的摆动．若以放手时刻为开始观察的时刻,用余弦函数表示这一振动, 则其振动的初位相为 [ ] (A) θ (B) 2π 或π23 (C) 0 (D) π 10. 两质点在同一方向上作同振幅、同频率的简谐振动．在振动过程中, 每当它们经过振幅一半的地方时, 其运动方向都相反．则这两个振动的位相差为[ ] (A) π (B) π32 (C) π34 (D) π54 11. 在简谐振动的速度和加速度表达式中，都有一个负号, 这是意味着[ ] (A) 速度和加速度总是负值(B) 速度的相位比位移的相位超前π21, 加速度的位相与位移的相位相差π (C) 速度和加速度的方向总是相同(D) 速度和加速度的方向总是相反12. 一质点作简谐振动, 振动方程为)cos(ϕω+=t A x ． 则在2T t =(T 为振动周期) 时, 质点的速度为[ ] (A) ϕωsin A - (B) ϕωsin A(C) ϕωcos A - (D) ϕωcos A13. 一物体作简谐振动, 其振动方程为)4πcos(+=t A x ω．则在2T t = (T 为周期)时, 质点的加速度为(A) 222ωA - (B) 222ωA (C) 223ωA - (D) 223ωA 14. 一质点以周期T 作简谐振动, 则质点由平衡位置正向运动到最大位移一半处的最短时间为[ ] (A) 6T (B) 8T (C) 12T (D) T 127 15. 某物体按余弦函数规律作简谐振动, 它的初相位为2π3, 则该物体振动的初始状态为[ ] (A) x 0 = 0 , v 0 > 0 (B) x 0 = 0 , v 0＜0(C) x 0 = 0 , v 0 = 0 (D) x 0 = -A , v 0 = 0T 4-1-9图16. 一作简谐运动质点的振动方程为π)21π2cos(5+=t x , 它从计时开始, 在运动一个周期后[ ] (A) 相位为零 (B) 速度为零(C) 加速度为零 (D) 振动能量为零17. 沿x 轴振动的质点的振动方程为)1π3cos(1032-⨯=-t x (SI 制), 则[ ] (A) 初相位为1° (B) 振动周期为T ＝3 s(C) 振幅A = 3 m (D) 振动频率 23=νHz 18. 有一谐振子沿x 轴运动, 平衡位置在x = 0处, 周期为T , 振幅为A ，t = 0时刻振子过2A x =处向x 轴正方向运动, 则其运动方程可表示为 [ ] (A) )21cos(t A x ω= (B) )cos(2t A x ω= (C) )3π2sin(--=T t A x ω (D) )3π2cos(-=T t A x ω 19. 一质点作简谐振动, 其速度随时间变化的规律为t A v ωωcos -=, 则质点的振动方程为[ ] (A) t A x ωsin = (B) t A x ωcos =(C) π)sin(+=t A x ω (D) π)cos(+=t A x ω20. 当一质点作简谐振动时, 它的动能和势能随时间作周期变化．如果f 是质点振动的频率, 则其动能变化的频率为[ ] (A) 4f (B) 2f (C) f (D) f ／221. 已知一简谐振动系统的振幅为A , 该简谐振动动能为其最大值之半的位置是[ ] (A) 12A (B) 22A (C) 32A (D) A 22. 一弹簧振子作简谐振动, 其振动方程为: π)21cos(+=t A x ω．则该物体在t = 0时刻的动能与t = T ／8 (T 为周期)时刻的动能之比为[ ] (A) 1:4 (B) 2:1 (C) 1:1 (D) 1:223. 一作简谐振动的质点某时刻位移为x , 系统的振动势能恰为振动动能的n 倍, 则该振动的振幅为[ ] (A) A n x =+⎛⎝ ⎫⎭⎪11 (B) A n x =-⎛⎝ ⎫⎭⎪11 (C) A n x =-11 (D) A n x =+1124. 一弹簧振子作简谐振动, 当其偏离平衡位置的位移大小为振幅的1/4时, 其动能为振动总能量的[ ] (A) 167 (B) 1615 (C) 169 (D) 1613 25. 一长为l 、质量为m 的单摆, 与一劲度系数为k 、质量为m 的弹簧振子周期相等．则k 、l 、m 、g 之间的关系为[ ] (A) lmg k = (B) g ml k = (C) gl m k = (D) 不能确定 26. 一轻质弹簧, 上端固定, 下端挂有质量为m 的重物, 其自由端振动的周期为T ． 已知振子离开平衡位置为x 时其振动速度为v , 加速度为a , 且其动能与势能相等．试判断下列计算该振子劲度系数的表达式中哪个是错误的?[ ] (A) a mg k = (B) 22xm k v = (C) x ma k = (D) 22π4T m k = 27. 简谐振动的振幅由哪些因素决定?[ ] (A) 谐振子所受的合外力 (B) 谐振子的初始加速度(C) 谐振子的能量和力常数 (D) 谐振子的放置位置28. 设卫星绕地球作匀速圆周运动．若卫星中有一单摆, 下述哪个说法是对的?[ ] (A) 它仍作简谐振动, 周期比在地面时大(B) 它仍作简谐振动, 周期比在地面时小(C) 它不会再作简谐振动(D) 要视卫星运动速度决定其周期的大小29. 已知一单摆装置, 摆球质量为m ，摆的周期为T ．对它的摆动过程, 下述说法中错误的是[ ] (A) 按谐振动规律, 摆线中的最大张力只与振幅有关, 而与m 无关(B) T 与m 无关(C) 按谐振动规律, T 与振幅无关(D) 摆的机械能与m 和振幅都有关30. 弹簧振子在光滑水平面上作谐振动时, 弹性力在半个周期内所作的功为[ ] (A) 2kA (B)221kA (C) 241kA (D) 0 T 4-1-26图31. 如果两个同方向同频率简谐振动的振动方程分别为π)433cos(73.11+=t x cm 和 π)413cos(2+=t x cm, 则它们的合振动方程为 [ ] (A) π)433cos(73.0+=t x cm (B) π)413cos(73.0+=t x cm (C) π)1273cos(2+=t x cm (D) π)1253cos(2+=t x cm32. 拍现象是由怎样的两个简谐振动合成的?[ ] (A) 同方向、同频率的两个简谐振动(B) 同方向、频率很大但相差甚小的两个简谐振动(C) 振动方向互相垂直、同频率的两个简谐振动(D) 振动方向互相垂直、频率成整数倍的两个简谐振动合成33. 两个同方向、同频率、等振幅的谐振动合成, 如果其合成振动的振幅仍不变, 则此二分振动的相位差为[ ] (A) 2π (B) 3π2 (C) 4π (D) π 34. 二同频率相互垂直的振动方程分别为)cos(11αω+=t A x 和)cos(22αω+=t A y ．其合振动的轨迹[ ] (A) 不会是一条直线(B) 不会为一个圆(C) 不能是一封闭曲线(D) 曲线形状要由相位差和两振动振幅而定35. 下面的结论哪一个可以成立?[ ] (A) 一个简谐振动不可以看成是两个同频率相互垂直谐振动的合振动(B) 一个简谐振动只可以看成是两个同频率同方向谐振动的合振动(C) 一个简谐振动可以是两个同频率相互垂直谐振动的合振动(D) 一个简谐振动只可以是两个以上同频率谐振动的合振动36. 一质点同时参与两个相互垂直的简谐振动, 如果两振动的振动方程分别为π)π2cos(+=t x 和)π2sin(t y =, 则该质点的运动轨迹是[ ] (A) 直线 (B) 椭圆 (C) 抛物线 (D) 圆37. 将一个弹簧振子分别拉离平衡位置1厘米和2厘米后, 由静止释放（弹簧形变在弹性范围内）, 则它们作谐振动的[ ] (A) 周期相同 (B) 振幅相同(C) 最大速度相同 (D) 最大加速度相同38. 谐振子作简谐振动时, 速度和加速度的方向[ ] (A) 始终相同(B) 始终相反(C) 在某两个1/4周期内相同, 另外两个1/4周期内相反(D) 在某两个1/2周期内相同, 另外两个1/2周期内相反39. 下列说法正确的是[ ] (A) 谐振子从平衡位置运动到最远点所需的时间为T 81(B) 谐振子从平衡位置运动到最远点的一半距离所需时间为8T (C) 谐振子从平衡位置出发经历T 121，运动的位移是A 31 (D) 谐振子从平衡位置运动到最远点所需的时间为T 4140. 关于振动和波, 下面几句叙述中正确的是[ ] (A) 有机械振动就一定有机械波(B) 机械波的频率与波源的振动频率相同(C) 机械波的波速与波源的振动速度相同(D) 机械波的波速与波源的振动速度总是不相等的41. 关于波，下面叙述中正确的是[ ] (A) 波动方程中的坐标原点一定要放在波源位置(B) 机械振动一定能产生机械波(C) 质点振动的周期与波的周期数值相等(D) 振动的速度与波的传播速度大小相等42. 按照定义，振动状态在一个周期内传播的距离就是波长．下列计算波长的方法中错误的是[ ] (A) 用波速除以波的频率(B) 用振动状态传播过的距离除以这段距离内的波数(C) 测量相邻两个波峰的距离(D) 测量波线上相邻两个静止质点的距离43. 一正弦波在海面上沿一定方向传播, 波长为λ, 振幅为A , 波的传播速率为u ． 假设海面上漂浮的一块木块随水波上下运动, 则木块上下运动的周期是[ ] (A) u π2λ (B) uλ (C) λπ2u (D) λu 1 44. 当x 为某一定值时, 波动方程)π(2cos λx T t A x -=所反映的物理意义是 [ ] (A) 表示出某时刻的波形 (B) 说明能量的传播(C) 表示出x 处质点的振动规律 (D) 表示出各质点振动状态的分布45. 下列方程和文字所描述的运动中，哪一种运动是简谐振动?[ ] (A) x A t =1cos ω(B) x A t A t =+123cos cos ωω(C) d d 2222xt x =-ω(D) 两个同方向、频率相近的谐振动的合成46. 下列方程和文字所描述的运动中，哪一种运动是简谐波?[ ] (A) t xA y ωλcos π2cos =(B) )sin(2x cx bt A y ++=(C) 波形图始终是正弦或余弦曲线的平面波(D) 波源是谐振动但振幅始终衰减的平面波47. 下列函数f ( x , t )可以用来表示弹性介质的一维波动, 其中a 和b 是正常数．则下列函数中, 表示沿x 轴负方向传播的行波是[ ] (A) )sin(),(bt ax A t x f += (B) )sin(),(bt ax A t x f -=(C) )cos()cos(),(bt ax A t x f = (D) )sin()sin(),(bt ax A t x f =48. 已知一波源位于x = 5m 处, 其振动方程为: )cos(ϕω+=t A y m ．当这波源产生的平面简谐波以波速u 沿x 轴正向传播时, 其波动方程为[ ] (A) )(cos u x t A y -=ω (B) ])(cos[ϕω+-=ux t A y (C) ])5(cos[ϕω++-=u x t A y (D) ])5(cos[ϕω+--=u x t A y 49. 一平面简谐波的波动方程为)2π(sin 5.0x t y --=m, 则此波动的频率、波速及各质点的振幅依次为[ ] (A)21、21、05.0- (B) 21、1、05.0- (C) 21、21、0.05 (D)2、2、0.0550. 已知一列机械波的波速为u , 频率为ν, 沿着x 轴负方向传播．在x 轴的正坐标上有两个点x 1和x 2．如果x 1＜x 2 , 则x 1和x 2的相位差为[ ] (A) 0 (B) )(π221x x u -ν (C) π (D) )(π212x x u-ν51. 已知一平面余弦波的波动方程为)01.05.2π(cos 2x t y -=, 式中 x 、y 均以厘米计．则在同一波线上, 离x = 5cm 最近、且与 x = 5cm 处质元振动相位相反的点的坐标为[ ] (A) 7.5 cm (B) 55 cm (C) 105 cm (D) 205 cm52. 两端固定的一根弦线, 长为2m, 受外力作用后开始振动．已知此弦产生了一个波腹的波, 若该振动的频率为340 Hz, 则此振动传播的速度是____m ⋅s -1．[ ] (A) 0 (B) 170 (C) 680 (D) 136053. 一波源在XOY 坐标系中(3, 0)处, 其振动方程是)π120cos(t y = cm, 其中 t 以秒计, 波速为50 cm.s -1 ．设介质无吸收, 则此波在x ＜3 cm 的区域内的波动方程为[ ] (A) )50π(120cos x t y +=cm (B) π]2.7)50π(120cos[-+=x t y cm (C) )50π(120cos x t y -=cm (D) π]2.1)50π(120cos[-+=x t y cm54. 若一平面简谐波的波动方程为)cos(cx bt A y -=, 式中A 、b 、c 为正值恒量．则[ ] (A) 波速为c (B) 周期为b 1 (C) 波长为c π2 (4) 角频率为bπ2 55. 一平面简谐横波沿着OX 轴传播．若在OX 轴上的两点相距8λ（其中λ为波长）, 则在波的传播过程中, 这两点振动速度的[ ] (A) 方向总是相同 (B) 方向有时相同有时相反(C) 方向总是相反 (D) 大小总是不相等56. 一简谐波沿Ox 轴正方向传播，t ＝0时刻波形曲线如左下图所示，其周期为2 s ．则P 点处质点的振动速度v 与时间t 的关系曲线为：[ ]57. 当波动方程为)01.05.2π(cos 20x t y +=cm 的平面波传到x =100cm 处时, 该处质点的振动速度为[ ] (A) )π5.2sin(50t cm.s -1 (B) )π5.2sin(50t -cm.s -1(C) )π5.2sin(π50t cm.s -1 (D) )π5.2sin(π50t -cm.s -1Aω)D ω)ω-ω-))58. 平面简谐机械波在弹性媒质中传播时, 在传播方向上某媒质元在负的最大位移处, 则它的能量是[ ] (A) 动能为零, 势能最大 (B) 动能为零, 势能为零(C) 动能最大, 势能最大 (D) 动能最大, 势能为零59. 一平面简谐波在弹性媒质中传播, 在媒质元从最大位移处回到平衡位置的过程中[ ] (A) 它的势能转换成动能(B) 它的动能转换成势能(C) 它从相邻的一段媒质元中获得能量, 其能量逐渐增大(D) 它把自己的能量传给相邻的一媒质元, 其能量逐渐减小60. 已知在某一媒质中两列相干的平面简谐波的强度之比是421=I I ，则这两列波的振幅之比21A A 是 [ ] (A) 4 (B) 2 (C) 16 (D) 861. 一点波源发出的波在无吸收媒质中传播, 波前为半球面, 该波强度I 与离波源距离r 之间的关系是[ ] (A) r I 1∝ (B) 31r I ∝ (C) r I 1∝ (D) 21r I ∝ 62. 当机械波在媒质中传播时, 某一媒质元的最大形变发生在(其中A 是振幅)[ ] (A) 媒质质元离开其平衡位置的最大位移处(B) 媒质质元离开平衡位置2/2A 处(C) 媒质元在其平衡位置处(D) 媒质元离开平衡位置2/A 处63. 假定汽笛发出的声音频率由 400 Hz 增加到1200 Hz, 而波幅保持不变, 则1200 Hz 声波对400 Hz 声波的强度比为[ ] (A) 1:3 (B) 3:1 (C) 1:9 (D) 9:164. 为了测定某个音叉C 的频率, 另选取二个频率已知而且和C 音叉频率相近的音叉A 和B, 音叉A 的频率为400 Hz, Ｂ的频率为397 Hz, 并进行下列实验: 使A 和C 同时振动每秒听到声音加强二次; 再使B 和C 同时振动, 每秒钟听到声音加强一次, 由此可知音叉C 的振动频率为[ ] (A) 401 Hz (B) 402 Hz (C) 398 Hz (D) 399 Hz65. 人耳能分辨同时传来的不同声音, 这是由于[ ] (A) 波的反射和折射 (B) 波的干涉(C) 波的独立传播特性 (D) 波的强度不同66. 两列波在空间P 点相遇, 若在某一时刻观察到P 点合振动的振幅等于两波的振幅之和, 则这两列波[ ] (A) 一定是相干波 (B) 不一定是相干波(C) 一定不是相干波 (D) 一定是初相位相同的相干波67. 有两列波在空间某点P 相遇, 某时刻观察到P 点的合振幅等于两列波的振幅之和, 由此可以判定这两列波[ ] (A) 是相干波 (B) 相干后能形成驻波(C) 是非相干波 (D) 以上三种情况都有可能68. 已知两相干波源所发出的波的相位差为π, 到达某相遇点P 的波程差为半波长的两倍, 则P 点的合成情况是[ ] (A) 始终加强(B) 始终减弱(C) 时而加强, 时而减弱, 呈周期性变化(D) 时而加强, 时而减弱, 没有一定的规律69. 两个相干波源连线的中垂线上各点[ ] (A) 合振动一定最强(B) 合振动一定最弱(C) 合振动在最强和最弱之间周期变化(D) 只能是在最强和最弱之间的某一个值70. 两初相位相同的相干波源, 在其叠加区内振幅最小的各点到两波源的波程差等于[ ] (A) 波长的偶数倍 (B) 波长的奇数倍(C) 半波长的偶数倍 (D) 半波长的奇数倍71. 在驻波中, 两个相邻波节间各质点的振动是[ ] (A) 振幅相同, 相位相同 (B) 振幅不同, 相位相同(C) 振幅相同, 相位不同 (D) 振幅不同, 相位不同72. 两列完全相同的余弦波左右相向而行, 叠加后形成驻波．下列叙述中, 不是驻波特性的是[ ] (A) 叠加后, 有些质点始终静止不动(B) 叠加后, 波形既不左行也不右行(C) 两静止而相邻的质点之间的各质点的相位相同(D) 振动质点的动能与势能之和不守恒73. 平面正弦波)π3π5sin(4y t x +=与下面哪一列波相叠加后能形成驻波?[ ] (A) )2325π(2sin 4x t y += (B) )2325π(2sin 4x t y -=(C) )2325π(2sin 4y t x += (D) )2325π(2sin 4y t x -= 74. 方程为)π100cos(01.01x t y -=m 和)π100cos(01.02x t y +=m 的两列波叠加后, 相邻两波节之间的距离为[ ] (A) 0.5 m (B) 1 m (C) π m (D) 2π m75. 1S 和2S 是波长均为λ的两个相干波的波源，相距3λ/4，1S 的相位比2S 超前2π．若两波单独传播时，在过1S 和2S 的直线上各点的强度相同，不随距离变化，且两波的强度都是0I ，则在1S 、2S 连线上1S 外侧和2S 外侧各点，合成波的强度分别是[ ] (A) 04I ，04I ; (B) 0，0;(C) 0，04I ; (D) 04I ，0．76. 在弦线上有一简谐波，其表达式为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=-3π420π100cos 100.221x t y (SI)为了在此弦线上形成驻波，并且在x ＝0处为一波腹，此弦线上还应有一简谐波，其表达式为：[ ] (A) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=-3π20π100cos 100.222x t y (SI) (B) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=-3π420π100cos 100.222x t y (SI) (C) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=-3π20π100cos 100.222x t y (SI)(D) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=-3π420π100cos 100.222x t y (SI) 二、填空题1. 一质点沿x 轴作简谐振动，平衡位置为x 轴原点，周期为T ，振幅为A ， (1) 若t = 0 时质点过x = 0处且向x 轴正方向运动，则振动方程为x = ． (2) 若t = 0时质点在x = A /2处且向x 轴负方向运动，则质点方程为x = ．2. 据报道，1976年唐山大地震时，当地居民曾被猛地向上抛起2m 高．设此地震横波为简谐波，且频率为1Hz ，波速为3km ⋅s -1, 它的波长是 ，振幅是 ．3. 一质点沿x 轴作简谐振动, 其振动方程为: π)31π2cos(4-=t x cm ．从t ＝0时刻起, 直到质点到达 2-=x cm 处、且向 x 轴正方向运动的最短时间间隔为 ．4. 一个作简谐振动的质点,其谐振动方程为π)23cos(π1052+⨯=-t x (SI 制)．它从计时开始到第一次通过负最大位移所用的时间为 ．5. 一单摆的悬线长l =1.3m, 在顶端固定点的铅直下方0.45m 处有一小钉，如T4-2-5图所示．设两方摆动均较小，则单摆的左右两方角振幅之比21θθ的近似值为 ． 6. 一质点作简谐振动, 频率为2Hz ．如果开始时质点处于平衡位置, 并以π m.s -1的速率向x 轴的负方向运动, 则该质点的振动方程为 ．7. 一谐振动系统周期为0.6s, 振子质量为200g ．若振子经过平衡位置时速度为12cm.s -1, 则再经0.2s 后该振子的动能为 ．8.劲度系数为100N ⋅m -1的轻质弹簧和质量为10g 的小球组成一弹簧振子． 第一次将小球拉离平衡位置4cm, 由静止释放任其振动; 第二次将小球拉离平衡位置2cm 并给以2m.s -1的初速度任其振动．这两次振动的能量之比为 ．9. 将一个质量为20g 的硬币放在一个劲度系数为40N.m -1的竖直放置的弹簧上, 然后向下压硬币使弹簧压缩 1.0cm, 突然释放后, 这个硬币将飞离原来位置的高度为 ．10. 质量为0.01 kg 的质点作简谐振动, 振幅为0.1m, 最大动能为0.02 J ．如果开始时质点处于负的最大位移处, 则质点的振动方程为 ．11. 一物体放在水平木板上，这木板以Hz 2=ν的频率沿水平直线作简谐运动，物体和水平木板之间的静摩擦系数50.0=s μ，物体在木板上不滑动的最大振幅max A = ．12. 如果两个同方向同频率简谐振动的振动方程分别为π)3110sin(31+=t x cm 和)π6110sin(42-=t x cm, 则它们的合振动振幅为 [ ] (A) 1 cm (B) 5 cm (C) 7 cm (D) 3 cm13. 已知由两个同方向同频率的简谐振动合成的振动， 其振动的振幅为20cm, 与第一个简谐振动的相位差为6π．若第一个简谐振动的振幅为cm 3.17310=, 则第二个简小钉m45.0l1lT 4-2-5图T 4-1-32图谐振动的振幅为 cm ，两个简谐振动的相位差为 ．14. 已知一平面简谐波的方程为: )π(2cos λνxt A y -=, 在ν1=t 时刻λ411=x 与 λ432=x 两点处介质质点的速度之比是 ． 15. 一观察者静止于铁轨旁, 测量运行中的火车汽笛的频率．若测得火车开来时的频率为2010 Hz, 离去时的频率为1990 Hz, 已知空气中的声速为330m.s -1, 则汽笛实际频率ν是 ．16. 已知一入射波的波动方程为)4π4πcos(5xt y +=(SI 制), 在坐标原点x = 0处发生反射, 反射端为一自由端．则对于x = 0和x = 1米的两振动点来说, 它们的相位关系是相位差为 ．17. 有一哨子, 其空气柱两端是打开的, 基频为5000 Hz, 由此可知，此哨子的长度最接近 厘米．18. 一质点同时参与了两个同方向的简谐振动，它们的振动方程分别为)4π/cos(05.01+=t x ω (SI) )12π/19cos(05.02+=t x ω(SI)其合成运动的运动方程为=x ．(SI)19. 已知一平面简谐波沿x 轴正向传播，振动周期T = 0.5 s ，波长λ = 10m , 振幅A = 0.1m ．当t = 0时波源振动的位移恰好为正的最大值．若波源处为原点，则沿波传播方向距离波源为2/λ处的振动方程为 ．当 t = T / 2时，4/λ=x 处质点的振动速度为 ．20. T4-2-20图表示一平面简谐波在 t = 2s 时刻的波形图，波的振幅为 0.2m ，周期为4s ．则图中P 点处质点的振动方程为 ．21. 一简谐波沿BP 方向传播，它在B 点引起的振动方程为t A y π2cos 11=．另一简谐波沿CP 方向传播，它在C 点引起的振动方程为()ππ2cos 22+=t A y ．P 点与B 点相AT4-2-20图 T4-2-21图PB1r 2r ...C距0.40m ，与C 点相距0.50m(如T4-2-21图)．波速均为u ＝0.20m ⋅s -1．则两波在P 的相位差为 ．22. 如T4-2-22图所示，一平面简谐波沿Ox 轴正方向传播，波长为λ，若1P 点处质点的振动方程为()ϕ+=vt A y π2cos 1，则2P 点处质点的振动方程为 ，与1P 点处质点振动状态相同的那些点的位置是 ．23. 一个点波源位于O 点，以O 为圆心作两个同心球面，它们的半径分别为1R 和2R ．在两个球面上分别取相等的面积1S ∆和2S ∆，则通过它们的平均能流之比21/P P ＝_______．24. 一列平面简谐波在截面积为S 的圆管中传播, 其波的表达为)π2(cos λωxt A y -=，管中波的平均能量密度是w , 则通过截面积S 的平均能流是 ．25. 两相干波源1S 和2S 的振动方程分别是t A y ωcos 1=和π)21(cos 2+=t A y ω．1S 距P 点3个波长，2S 距P 点421个波长．两波在P 点引起的两个振动的相位差的绝对值是 ．26. 如T4-2-26图所示，1S 和2S 为同相位的两相干波源，相距为L ，P 点距1S 为r ；波源1S 在P 点引起的振动振幅为1A ，波源2S 在P 点引起的振动振幅为2A ，两波波长都是λ，则P 点的振幅A ＝ ．27. 21S S 、为振动频率、振动方向均相同的两个点波源，振动方向垂直纸面，两者相距λ23为波长)(λ如图．已知1S 的初相位为π21． (1) 若使射线C S 2上各点由两列波引起的振动均干涉相消，则2S 的初位相应为：_______________________．(2) 若使21S S 连线的中垂线M N 上各点由两列波引起的振动均干涉相消，则2S 的初位相应为：________________________________________．12T4-2-26图•••MN1S 2S CT4-2-27图x12T4-2-22图三、计算题1. 如T 4-3-1图所示，将一个盘子挂在劲度系数为k 的弹簧下端，有一个质量为m 的物体从离盘高为h 处自由下落至盘中后不再跳离盘子，由此盘子和物体一起开始运动(设盘子与弹簧的质量可忽略,如图取平衡位置为坐标原点，选物体落到盘中的瞬间为计时零点）．求盘子和物体一起运动运动时的运动方程．2. 一质量为10g 的物体在x 方向作简谐振动，振幅为24cm ，周期为4s ．当t =0时该物体位于x = 24cm 处．求：(1) 当t =0.5s 时物体的位置及作用在物体上力的大小．(2) 物体从初位置到x ＝-12cm 处所需的最短时间,此时物体的速度．3. 作简谐振动的小球，速度的最大值为-1m ax s cm 3⋅=v ，振幅为2cm =A ．若令速度具有正最大值的某时刻为计时器点，求该小球运动的运动方程和最大加速度．4如T4-3-4图所示，定滑轮半径为R ，转动惯量为J ，轻弹簧劲度系数为k ，物体质量为m ，将物体从平衡位置拉下一极小距离后放手，不计一切摩擦和空气阻力，试证明该系统将作谐振动并求其振动周期．5. 如T 4-3-5图所示，有一水平弹簧振子，弹簧的劲度系数k ＝241-m N ⋅，重物的质量m ＝6kg ．最初重物静止在平衡位置上，一水平恒力F ＝10N 向左作用于物体，（不计摩擦），使之由水平位置向左运动了0.05m ，此时撤去力F ．当重物运动到左方最远位置时开始计时，求该弹簧振子的运动方程．6. 已知某质点振动的初始位置为20Ax =，初始速度00>v (或说质点正向x 正向运动)，求质点的振动初相位．7. 如T4-3-7图所示，一半径为R 的匀质圆盘绕边缘上一点作微角摆动, 如果其周期与同样质量单摆的周期相同, 求单摆的摆线长度．8. 某人欲了解一精密摆钟的摆长, 他将摆锤上移了1 mm, 测出此钟每分钟快0.1s ．这钟的摆长是多少?T 4-3-5图T 4-3-1图T 4-3-7图T 4-3-4图9. 已知一简谐振子的振动曲线如T3-4-9图所示，求其运动方程．10. 如T4-3-10图所示，一劲度系数为k 的轻弹簧，一端固定在墙上，另一端连结一质量为m 1的物体，放在光滑的水平面上．将一质量为m 2的物体跨过一质量为M ，半径为R 的定滑轮与m 相连，求此系统的振动圆频率．11. 一个质量为m 的小球在一个光滑的半径为R 的球形碗底作微小振动，如T4-3-11图所示．设0=t 时，0=θ，小球的速度为0v ，向右运动．试求在振幅很小情况下，小球的振动方程．12. 如T4-3-12图所示，一质点作简谐振动，在一个周期内相继通过距离为12cm 的两点A 、B ，历时2s ，并且在A 、B 两点处具有相同的速度；再经过2s 后，质点又从另一方向通过B 点．试求质点运动的周期和振幅．13. 如T4-3-13图所示，在一轻质刚性杆AB 的两端，各附有一质量相同的小球，可绕通过AB 上并且垂直于杆长的水平轴O 作振幅很小的振动．设OA = a , OB = b , 且b > a ，试求振动周期．14. 有两个振动方向相同的简谐振动，其振动方程分别为(cm)2ππ2cos 3(cm)π)π2cos(421⎪⎭⎫⎝⎛+=+=t x t x (1) 求它们的合振动方程；(2) 另有一同方向的简谐振动cm )π2cos(233ϕ+=t x ，问当3ϕ为何值时，31x x +的振幅为最大值？当3ϕ为何值时，31x x +的振幅为最小值?T4-3-9 T4-3-10图RT4-3-11图OθT4-3-12图AT4-3-13图OθBba15. 一质量为M 的全息台放置在横截面均匀的密封气柱上(见T4-3-15题图)．平衡时气柱高度为h ．今地基作上、下振动，规律为t A x G ωcos =，其中A 为振幅，ω为振动圆频率．忽略大气压强和阻尼，试求全息台振动的振幅．16. 假设地球的密度是均匀的，如果能沿着地球直径挖通一穿过地球的隧道，试证明落入隧道的一个质点的运动是简谐运动，并求出其振动周期．17. 已知波线上两点A 、B 相距1m, B 点的振动比A 点的振动滞后121s, 相位落后30, 求此波的波速．18. 一简谐波，振动周期21=T s ，波长λ =10m ，振幅A = 0.1m. 当t = 0时刻，波源振动的位移恰好为正方向的最大值．若坐标原点和波源重合，且波沿Ox 轴正方向传播，求:(1) 此波的表达式；(2) 4/1T t =时刻，4/1λ=x 处质点的位移；(3) 2/2T t =时刻，4/1λ=x 处质点振动速度．19. 一列平面简谐波在介质中以波速u = 5m ⋅s -1沿x 轴正向传播，原点O 处质元的振动曲线如图所示．(1) 画出x ＝25m 处质元的振动曲线． (2) 画出t ＝3s 时的波形曲线．20. 如T4-3-20图所示为一平面简谐波在t ＝0时刻的波形图，设此简谐波的频率为250Hz ，且此时质点P 的运动方向向下，求(1) 该波的波动方程．(2) 在距原点O 为100m 处质点的振动方程与振动速度表达式．21. 已知一平面简谐波的方程为 (SI))24(πcos x t A y +=(1) 求该波的波长λ，频率ν和波速度u 的值；(2) 写出t = 4.2s 时刻各波峰位置的坐标表达式，并求出此时离坐标原点最近的那个波峰的位置；(3) 求t = 4.2s 时离坐标原点最近的那个波峰通过坐标原点的时刻t ．T4-3-19图20()cm y 42)s (t m1002/2A ()m y O A-P()m xT4-3-20图T4-3-15图h。
医用物理学振动与波
u
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34
第五节 波的能量与波的衰减
一、波的能量
简谐波在密度为ρ的弹性介质中传播，考虑介质中一体积元dV, 其动能Ek和势能Ep为
E kE p1 2(dV )A 22s
i2 n (tx)
u
总能量为:
E(dV)A22si2n(tx)
u
单位体积介质中的波动能量，称为波的能量密度，即
满足以上三个条件，能产生干涉现象的波，称为相干波，相应 的波源为相干波源。 设有两个相干波源S1和S2，其振动方程分别为
y1 0A 1co ts (1)
y2 0A 2co t s2 ()
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43
Ｐ的两个分振动分别为
yA0cos([tr)]
r
u 精选ppt
37
第六节 波的叠加和干涉
一、惠更斯原理
1）惠更斯原理的表述
介质中波动传播到的各点， 都可以看做是发射子波的波 源，任意时刻这些子波的包 络就是该时刻的新波前。
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38
2）对现象的解释
a）从某时刻的波振面得到下一时刻的波振面
平面波
球面波
t 时
刻
tt
ut
动稳定方程为：
xA cofst ()
A
H
m(02f2)242f2
arct an2f 02f2
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12
三、共振
振动系统作受迫振动时，改变强迫力的角频率f使其
振幅达到极大值的现象，称为共振。
令 d A ， 0可得：
d f
r 02 22
当阻尼力趋向于零时，共振频率趋向于 系统固有频率。
Ar
2m
x1A 1co ts (1)
力学——机械振动与波
力学——机械振动与波【机械振动】物体在某一位置附近来回往复地运动，称为“机械振动”。
例如，弹簧振子、摆轮、音叉、琴弦以及蒸汽机活塞的往复运动等等。
凡有摇摆、晃动、打击、发声的地方都存在机械振动。
振动是自然界最常见的一种运动形式，波动是振动的传播过程。
振动远不止于机械运动范围，热运动、电磁运动中相应物理量的往复变化也是一种振动。
产生振动的必要条件之一是物体离开平衡位置就会受到回复力的作用；另一条件是阻力要足够小。
当然物体只有惯性，而物体的惯性使物体经过平衡位置时不会立即静止下来。
每经过一定时间后，振动体总是回复到原来的状态（或位置）的振动称为周期性振动。
不具有上述周期性规律的振动称为非周期性振动。
【回复力】能够使振动物体回到平衡位置的力称作“回复力”。
每当振动物体离开平衡位置就会受到回复力的作用。
它跟向心力的情况类似，回复力是根据力的效果而命名的，而不是根据力的性质命名的。
它可能是重力、强力等各种性质的力，也可能是它们的分力或合力。
例如单摆中，回复力是重力的切向分量；弹簧振子中，回复力是弹簧形变后产生的弹力。
【振幅】振幅是用来表示振动强弱的物理量，振动物体离开平衡位置的最大距离，叫做振动的“振幅”，通常用符号A表示。
简谐振动的振幅是不变的。
强迫振动的稳定阶段振幅也是一个常数。
阻尼振动的振幅逐渐减小，振幅是可变化的。
有的书上说：“物体离开平衡位置的最大位移，称作振幅”。
应明确振幅与位移是有区别的。
因为位移是矢量，在坐标系确定之后，位移是有正负之分的。
在中学物理教学中，振幅本身只表示“振动的幅度”。
如振动的强弱不变，振动的振幅就是一个不变的量。
振幅的单位是米或厘米。
【周期】对于任何往复循环的物理过程，都用周期表示振动的快慢。
当物体作往复运动时完成一次全振动所需要的时间称为物体振动的“周期”，简称周，用T表示。
周期的单位是秒。
振动的显著特点是重复性，即周期性。
所谓周期性，就是振动物体的位移、速度、加速度经过一定时间之后又重复地回到原来的数值，即开始的状态。
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������
������������ = ∑ ������������������ sin(������������ ������ + ������������ )
������=1
通过适当的组合这些自由度可以得到新的变量， 这些新变量会和之前讨论两自由 度问题时候的������ 一样，每个变量仅对应一种简正模式。在线性代数中这对应于二 项式对角化问题。 现实中的多数多自由度体系并不像前面讨论的那样用多个线性弹簧联系起 来。 但是当体系具有稳定平衡态的时候，当体系在平衡态附近做微小的运动总是 可以近似当作线性弹性体系的。 这是因为在稳定平衡态附近足够小的区域体系总 是会受到回复力的作用以保持体系的稳定平衡特性。 并且在足够小的变化下这个 回复力可以近似为线性的。 固体可以作为一个典型的例子。在固体中原子不能随意运动，每个原子都有 它的特定平衡位置， 这些位置形成了有序或者无序的网格结构。每个原子只能在 网格的格点位置附近做振动。这些振动也是由简正模式组成的。通过研究这些简 正模式的构成就是研究固体特性的重要手段之一。 考虑一个一维多自由度的弹性体系，它由多个弹簧和多个小球组成。当弹簧 和小球的数目增多的时候，体系的简正模式会越来越多，简正频率也越来越多。 当体系中弹簧的数目增加到无穷大的时候，简正频率也变得无穷多，这时候体系 的运动就由振动变成了波。 比如一根琴弦，它可以当作无穷多的弹簧连接到一起 形成的。从这个角度看，琴弦的运动就是振动的叠加。由于在这样的考虑下琴弦 也是由无穷多个相互紧挨的小球组成的，这些小球的振动整体来看就是波动。
������2 = ������2 sin(������2 ������ + ������)
3������ ������2 = √ ������
其中������1 , ������2 , ������, ������ 为积分常数。因此原变量������1 , ������2 的解为 1 ������1 ������2 (������1 + ������2 ) = sin(������1 ������ + ������) + sin(������2 ������ + ������) 2 2 2 1 ������1 ������2 ������2 = (������1 − ������2 ) = sin(������1 ������ + ������) − sin(������2 ������ + ������) 2 2 2 ������1 = 最后得到的一般解说明这个体系中的每个小球的运动是两种简谐振动的叠 加， 每种振动所占比例以及振动相位是由初始条件决定的。这两种简谐振动被称 为体系的简正振动模式（normal modes） 。两种简正模式的振动频率称为简正频 率。 如果将初始条件设为 ������1 (0) = ������2 (0) = ������ 则得到体系的解为 ������1 = ������2 = ������ sin(������1 ������) 这时候可以看到体系中两个小球在同步运动， 其运动方向和位移大小都是相同的。 这种时候中间的弹簧长度保持原长不变，也就是说中间的弹簧没有起作用，对于 每个小球来说仅受到了一个弹簧的弹力， 因此这时候的振动与单弹簧的时候一样， 具有相同的振动频率。而如果将初始条件设为 ������1 (0) = ������ 则得到体系的解为 ������1 = ������ sin(������2 ������) ������2 = −������ sin(������2 ������) ������2 (0) = −������ ������̇ 1 (0) = ������̇ 2 (0) = 0 ������̇ 1 (0) = ������̇ 2 (0) = 0
这时候体系中两个小球始终在做反向运动，其位移大小相同，但运动方向相反。 中间的弹簧长度的变化是两边弹簧长度变化的两步， 对于每个小球来说等于受到 了三个弹簧的弹力， 因此这时候的振动如同受到了一个弹性系数是原来三倍的单 弹簧的作用，其振动频率为√3 �����会具 有������个简正模式，也就是说会有������ 个不同频率的振动模式。每个自由度的运动都 是这������种简正模式的叠加。
课前预读： 《费曼物理学讲义》I ：Chpt.25、47 《新概念物理教程：力学》 ：第六章
第 29 讲 多自由度体系振动 之前讲述了一维线性弹簧以及小角度单摆的运动，它们都可以视为一维的简 谐振动。这样的体系仅有一个自由度，也就是说只需要用一个变量来描述。如弹 簧可以用伸长量来描述。 单摆可以用摆动的角度来描述。 这都是比较简单的情况。 经常我们会遇到多自由度的弹性物理体系， 也就是说需要用多个独立变量来描述 的物理体系。 如下图所示，两个相同质量的小球用三个相同的弹簧联系起来，其中两边的 弹簧固定在两边的墙上。 如要描述这个体系的运动，一个方便的方式是使用两个 小球对平衡位置的偏移量������1 , ������2 来描述。这两个变量是相对独立的，因此这个体 系的自由度为 2。容易得到体系的运动方程为 ������������̈ 1 = −������������1 + ������(������2 − ������1 ) = 2������������1 + ������������2 ������������̈ 2 = ������������1 − 2������2 将两个方程相加得到 ������(������̈ 1 + ������̈ 2 ) = −������(������1 + ������2 ) ������(������̈ 1 − ������̈ 2 ) = −3������(������1 − ������2 ) 重新定义变量������1 , ������2 为 ������1 = ������1 + ������2 ������2 = ������1 − ������2 则������1 , ������2 的方程为 ������������̈ 1 = −������������1 ������������̈ 2 = −3������������2 于是发现������1 , ������2 的方程为简谐振动方程，其解为 ������1 = ������1 sin(������1 ������ + ������) ������1 = √ ������ ������