第5章 层次分析法..

j
W1
W
j 1
n
则所求特征向量： W= [0.106，0.634，0.261] T
W2
W2
W
j 1
n

j
1.900 0.634 2.998
W3
27
W3
W
j 1
n
0.781 0.261 2.998
j
二.和积法
（4）计算判断矩阵的最大特征根 max
( BW )i n ( BW )i i 1 Wi max n i 1 nW i
29
S5.NUDT
二.和积法
( BW )i n ( BW )i i 1 Wi max n i 1 nW i
( BW )1 ( BW ) 2 ( BW )3 [ ]/ 3 W1 W2 W3
0.320 1.941 0.785 [ ]/ 3 0.160 0.634 0.261
n
28
二.和积法
本例有：
1
1/5
1/3
0.106
(BW)1 =
BW =
5
3
1
1/3
3
1
0.634
0.261
(BW)2
(BW)3
(BW)1= 1 0.106 + 1/5 0.634 + 1/3 0.261= 0.320 (BW)2= 5 0.106 + 1 0.634 + 3 0.261 = 1.941 (BW)3= 3 0.106 + 1/3 0.634 + 1 0.261 = 0.785
Pn b1n b2n ... 矩 阵 B
P1 P2
Pn
15
...
bn1
bn2
bnn
二、构造判断矩阵
其中bij通常取为1,2,3,…9及它们的倒数，其含义是： bij=1,表示Pi与Pj一样重要； bij=3,表示Pi比Pj重要一点（稍微重要）； bij=5,表示Pi比Pj重要（明显重要）； bij=7,表示Pi比Pj重要得多（强烈重要）； bij=9,表示Pi比Pj极端重要（绝对重要）。 其间的数2,4,6,8及各数的倒数具有相应的类似意义。
C2
1/5 1 1/3
C3 1/3 3 1
解：（1）将判断矩阵每一列正规化
bi j
25
bij
b
k 1
n
,
i, j 1,2,...,n
kj
二.和积法
本例得到按列正规化后的判断矩阵为：
0.111 0.130 0.077 0.556 0.652 0.692 0.333 0.217 0.231
18
CI RI
S5.NUDT
五、层次总排序
利用单排序结果，可综合计算最底层 ( 方案层 ) 相对最高层 (目标层)重要性顺序的组合权值。层次总排序从上到下进行。
假设已知
目标A
C层因素C1、C2、C3对A层目标的单排序 结果为c1、c2、c3 C1 P层因素P1、P2、P3对 C2 的单排序 C3 结果为 准则C3
12
二、构造判断矩阵
准则层C 重量
方案层P
西瓜1
西瓜2
西瓜3 设计方案
西瓜4
西瓜5
目标层A 准则层C 功能
…
可靠性
…
预期效益
方案层P
13
方案P1
方案P2
方案P3
方案P4
方案P5
二、构造判断矩阵
• 同样，对于复杂的社会、经济、科技等问题，通过 建立层次分析结构模型，构造出判断矩阵，利用特 征值方法即可确定各种方案和措施的重要性排序权 值，以供决策者参考。
23
一.幂法
计算步骤如下:
(1)取与判断矩阵B同阶的正规化的初值向量W。
(2)计算 W k 1 BW k , k 0,1,2,... (3)令 Wi
i 1 n k 1
,
计算
W
k 1
(4)给定一个精度
i 1,2,..., n 成立时停止计算 ，则 W W k 1 就是
判断矩阵是针对上一层次某因素而言，本层次与 之有关的各因素之间的相对重要性的数量表示。这是 将定性判断转变为定量表示的一个过程。 设准则层中因素 Ck 与下一层 P 中的因素 P1,P2,…,Pn 有关，则构造的判断矩阵如下表：
Ck
P1
b11 b21 ...
P2 b12 b22 ...
… ... ... ...
人才考核评价等方面得到了应用。
5
第五章 层次分析法
（AHP）
6
主要内容
• 5.1 分析步骤
建立层次结构模型 构造判断矩阵 层次单排序 层次总排序 一致性检验
•
5.2 计算方法
幂法 和积法 方根法 方案排序 评价干部 结构调整 质量管理
引言 改进的AHP
•
5.3 应用
i 1 i 1 m
m
CI CR RI
• 同样，当CR ≤ 0.1时，我们认为层次总排序具有 满意的一致性，其结果可提供决策者参考。
21
主要内容
• 5.1 分析步骤
建立层次结构模型 构造判断矩阵 层次单排序 层次总排序 一致性检验
•
5.2 计算方法
幂法 和积法 方根法 方案排序 评价干部 结构调整 质量管理
1 b11 、b2 、b31
准则C1
准则C2
b12 、b22 、b32
b13 、b23 、b33
方案P1
19
方案P2
方案P3
五、层次总排序
• 则综合计算P1、P2、P3相对A的总排序结果可用 下表表示：
C对A P对C P1 P2 ... Pn
20
C1 c1 b11 b21 ... bn1
C2 c2 b1
n
则
3.036
30
国防科技大学信息系统与管理学院
二.和积法
一致性检验（检验该矩阵是否具有满意的一致性）
…… … …… … … … … … … ...
＝ (aij)n×n
Wn/W1 Wn/W2 … Wn/Wn
显然
aii=1， aij=1/aji， aij= aik/ajk(i,j,k=1，2， …n)
11
二、构造判断矩阵
W1/W1 W1/W2 … W1/Wn W2/W1 W2/W2 … W2/Wn
… … … … … … … … … … …
所需求的特征向量。

,当 Wi
k 1
W ，对所有
k i

1
W
k 1
, k 0,1,2,...;
（5）计算最大特征值： max
24
W nW
n i i 1
k 1 k
i
二.和积法
[例1]用和积法计算下述判断矩阵的最大特征根及其 对应的特征向量。
B
C1 C2 C3 C1 1 5 3

•
7
5.4 AHP的改进

主要内容
• 5.1 分析步骤
建立层次结构模型 构造判断矩阵 层次单排序 层次总排序 一致性检验
•
5.2 计算方法
幂法 和积法 方根法 方案排序 评价干部 结构调整 质量管理
引言 改进的AHP
•
5.3 应用

•
8
W3 b3 j 0.333 0.217 0.231 0.781
j 1
二.和积法
（3）将向量 W [W ,W ,...,W ] 正规化 Wi 1 2 n 本例有：
T
Wi
W
j 1
n
, i 1,2,...,n
j
W
j 1
n
j
0.317 1.900 0.781 2.998 W1 0.317 0.106 2.998
…
…
…
…
…
…
学员1
2
…
学员2
…
学员n
引子
• 例：某军工企业计划开发一种民用支柱产品，可选方
案有n种。主要从以下三个方面分析： • 经济效益：投资省、利润高、见效快、适销对路、潜 在市场广阔 • 社会效益：充分利用资源、振兴地区经济、促进科技 进步、扩大外贸出口、增加就业机会、有效环境保护 • 技术可行性：军工优势发挥、军民兼容能力
引言 改进的AHP
•
5.3 应用

•
22
5.4 AHP的改进

计算方法
• AHP计算的根本问题是计算判断矩阵的最大特征 根max及其对应的特征向量W.
• 三种常用的计算方法：幂法、和积法、方根法
幂 法：计算机进行，可得到任意精确度的最大 特征根max及其相应的特征向量W。 和积法：近似算法。 方根法：近似算法。
• 使用AHP，判断矩阵A的一致性很重要，但要求所 有判断都有完全的一致性不大可能。因此，一般只 要求A具有满意的一致性，此时λmax稍大于矩阵阶 数n，其余特征根接近零。这时，基于AHP得出的 结论才基本合理。为使所有判断保持一定程度上的 一致，AHP步骤中需要进行一致性检验。
14
二、构造判断矩阵
（2）列正规化后的判断矩阵按行相加 Wi 本例有：
n
b , j 1,2,...,n
j 1 ij
n
W1 b1 j 0.111 0.130 0.077 0.317
j 1 n
W2 b2 j 0.556 0.652 0.692 1.900
j 1 n
26
5.4 AHP的改进

5.1 分析步骤
明确问题
建立层次结构
构造判断矩阵
层次单排序
否 一致性？
是 层次总排序
否 一致性？ 是 终止
AHP分析法的步骤
9
一、建立层次结构模型
将所包含的因素分组设层，并标明各层因素之间的关系， 如对决策问题，可构造出下图所示的层次结构模型。
目标层A
目标A
准则层C
准则C1
2
... ... ... ...
Cm cm b1
m
P层次的总排序
m i=1 m
i=1
cib1i cib2i
m
b22 ... bn2
b2m ...
...
...
bnm
i c b i n i=1
六、总排序的一致性检验
• 为评价总排序的计算结果的一致性，需要计算与单 排序类似的检验量。
CI ci CI i RI ci RIi
3
引子
选择支柱产品的层次结构
支柱产品
经济效益
潜 在 市 场 广 阔 充 分 利 用 资 源
社会效益
振 兴 地 区 经 济 促 进 科 技 进 步 扩 大 外 贸 出 口 增 加 就 业 机 会 有 效 环 境 保 护
技术可行性
军 工 优 势 发 挥 军 民 兼 容 能 力
投 资 省
利 润 高
见 效 快
适 销 对 路
民品1（P1）
4
…
民品i（次分析法(Analytical Hierarchy Process, AHP)
是美国匹兹堡大学教授A.L.Saaty20世纪70年代提
出的一种定性与定量分析相结合的系统分析方法， 可以综合定性和定量分析、模拟人的决策思维过 程，以解决多因素复杂系统，特别是难以定量描 述的社会系统。 • 我国于 1982年开始引进，现已在能源政策分析、 产业结构研究、科技成果评价、发展战略规划、
准则C2
准则C3
方案层P
方案P1
方案P2
方案P3
方案P4
方案P5
10
二、构造判断矩阵
设已知n只西瓜的重量总和为 1，每只西瓜的重量分别为 W1， W2， …， Wn，很容易得到表示 n只西瓜相对重量关系的判断矩 阵A：
W1/W1 W1/W2 … W1/Wn
A＝
W2/W1 W2/W2 … W2/Wn
引子
• 进行系统分析时可能遇到这样的情况:
• 有些问题难以甚至不可能建立精确的数学模型来定 量分析，定性分析不可避免； • 由于时间紧迫，有些问题来不及细致的定量分析； • 有些问题只需初步选择或者大致判断。
1
引子
• 例：学员综合素质分析
综合素质
德
智
军
体
…
…
…
基 础 成 绩
学 术 研 究
学 科 竞 赛
AW ＝
W1 W2
nW1 nW2
＝
…
… …
＝ nW
Wn/W1 Wn/W2 … Wn/Wn
Wn
nWn
• 即n是A的一个特征根，每只西瓜的重量是 A对应于特征根n的 特征向量的各个分量。 • 反过来，如通过西瓜两两比较能得到判断矩阵 A（而不是称）， 也可推导出西瓜的相对重量。因为判断矩阵 A有完全一致性时， 可通过解特征根问题 AW = λmax W • 求出正规化特征向量（即设西瓜总重量为 1），从而得到n只 西瓜的相对重量。
• 为了检验判断矩阵的一致性，需要计算它的一致性 max－ 指标
CI=
n n－ 1
将CI与平均随机一致性指标RI比较，RI可从下表查得：
阶数 RI
1 2 3 4 5
6
7
8
9
0.00 0.00 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45
只有当随机一致性比例CR= 0.10 时，判 断矩阵才具有满意的一致性，否则就需要对判断矩阵 进行调整。
16
三、层次单排序
• 根据判断矩阵，计算对于上一层次某因素而言，本 层次与之有关的因素的重要性次序的权值。 • 层次单排序可归结为计算判断矩阵特征根和特征向 量问题。 即对判断矩阵B，计算满足 BW= maxW 的特征根与特征向量， W的各个分量 Wi 即是相应因 素单排序的权值。
17
四、层次单排序中的一致性检验