【配套K12】2018年秋高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2 对数函数 2.2.1 对数与对
配套K12高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.2对数函数2.2.1对数与对数运算教学设计
2.2.1 对数与对数运算整体设计教学内容分析本节课是新课标高中数学A版必修1中第二章对数函数内容的第1课时，也就是对数函数的入门．对数函数对于学生来说是一个全新的函数模型，学习起来比较困难．而对数函数又是本章的重要内容，在高考中占有一定的分量，它是在指数函数的基础上，对函数类型的拓广，同时在解决一些日常生活问题及科研中起着十分重要的作用．通过本节课的学习，可以让学生理解对数的概念，从而进一步深化对对数模型的认识与理解，为学习对数函数做好准备．同时，通过对对数概念的学习，对培养学生对立统一、相互联系、相互转化的思想，培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义．学生学习情况分析现阶段大部分学生学习的自主性较差，主动性不够，学习有依赖性，且学习的信心不足，对数学存在或多或少的恐惧感．通过对指数与指数幂的运算的学习，学生已多次体会了对立统一、相互联系、相互转化的思想，并且探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻炼．因此，学生已具备了探索、发现、研究对数定义的认识基础，故应通过指导，教会学生独立思考、大胆探索和灵活运用类比、转化、归纳等数学思想的学习方法．设计思想学生是教学的主体，本节课要给学生提供各种参与机会．为了调动学生学习的积极性，使学生化被动为主动，本节课可利用多媒体辅助教学，引导学生从实例中认识对数模型，体会引入对数的必要性．在教学重难点上，步步设问、启发学生的思维，通过课堂练习、探究活动、学生讨论的方式来加深理解，更好地突破难点和提高教学效率．让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权．教学目标1．理解对数的概念，了解对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的互化；理解对数的性质，掌握以上知识并形成技能．2．通过实例使学生认识对数模型，体会引入对数的必要性；通过师生观察分析得出对数的概念及对数式与指数式的互化．3．通过学生分组进行探究活动，掌握对数的重要性质．通过做练习，使学生感受到理论与实践的统一．4．培养学生的类比、分析、归纳能力，培养学生严谨的思维品质以及在学习过程中培养学生的探究意识．重点难点重点：(1)对数的概念；(2)对数式与指数式的相互转化．难点：(1)对数概念的理解；(2)对数性质的理解．教学过程幂底数←a→对数底数．对数的基本性质负数和零没有对数；log a1＝0；教学反思本教学设计先由引例出发，创设情境，激发学生对对数的学习兴趣；在讲授新课部分，通过结合多媒体教学以及一系列的课堂探究活动，加深学生对对数的认识；最后通过课堂练习来巩固学生对对数的掌握．第2课时整体设计教学目标1．知识与技能(1)通过实例推导对数的运算性质，准确地运用对数的运算性质进行运算、求值、化简，并掌握化简求值的技能．(2)运用对数的运算性质解决有关问题．(3)培养学生分析、解决问题的能力．培养学生的数学应用意识和科学分析问题的精神和态度．2．过程与方法(1)让学生经历并推导出对数的运算性质．(2)让学生归纳整理本节所学的知识．3．情感态度与价值观让学生感觉对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性．重点难点重点：对数运算的性质与对数知识的应用．难点：正确使用对数的运算性质．教学过程导入新课思路1．上节课我们学习了以下内容：1．对数的定义．2．指数式与对数式的互化．a b＝N⇔log a N＝b.3．重要性质：(1)负数与零没有对数；(2)log a1＝0，log a a＝1；(3)对数恒等式log Naa＝N.下面我们接着讲对数的运算性质〔教师板书课题：对数与对数运算(2)〕．思路2.我们在学习指数的时候，知道指数有相应的运算法则，即指数运算法则：a m·a n＝a m＋n；a m÷a n＝a m－n；(a m)n＝a mn；ma n＝nma.(a＞0且a≠1)从上节课我们还知道指数与对数都是一种运算，而且它们互为逆运算，对数是否也有和指数相类似的运算法则呢？答案是肯定的，这就是本堂课的主要内容，点出课题：对数与对数运算(2)．推进新课新知探究 提出问题(1)在上节课中，我们知道，对数运算可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算的性质，得出相应的对数运算的性质吗？(2)如我们知道a m＝M ，a n＝N ，a m·a n＝am ＋n，那m ＋n 如何表示，能用对数式运算吗？(3)在上述(2)的条件下，类比指数运算性质能得出其他对数运算性质吗？ (4)你能否用最简练的语言描述上述结论？如果能，请描述. (5)上述运算性质中的字母的取值有什么限制吗？ (6)上述结论能否推广呢？(7)学习这些性质能对我们进行对数运算带来哪些方便呢？ 讨论结果：(1)通过问题(2)来说明． (2)若a m·a n＝am ＋n，M ＝a m ，N ＝a n ，于是MN ＝am ＋n，由对数的定义得到M ＝a m⇔m ＝log a M ，N ＝a n ⇔n ＝log a N ，MN ＝a m ＋n ⇔m ＋n ＝log a MN ，log a MN ＝log a M ＋log a N .因此m ＋n 可以用对数式表示． (3)令M ＝a m，N ＝a n，则M N＝a m ÷a n ＝am －n，所以m －n ＝log a M N.又由M ＝a m，N ＝a n，所以m ＝log a M ，n ＝log a N .所以log a M －log a N ＝m －n ＝log a MN ，即log a M N＝log a M －log a N . 设M ＝a m，则M n＝(a m )n＝a mn.由对数的定义，所以log a M ＝m ，log a M n＝mn .所以log a M n＝mn ＝n log a M ，即log a M n＝n log a M . 这样我们得到对数的三个运算性质： 如果a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则有 log a (MN )＝log a M ＋log a N ；① log a M N＝log a M －log a N ；② log a M n＝n log a M (n ∈R )．③ (4)以上三个性质可以归纳为：性质①：两数积的对数，等于各数的对数的和；性质②：两数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数； 性质③：幂的对数等于幂指数乘以底数的对数．(5)利用对数运算性质进行运算，所以要求a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0. (6)性质①可以推广到n 个数的情形：即log a (M 1M 2M 3…M n )＝log a M 1＋log a M 2＋log a M 3＋…＋log a M n (其中a ＞0，a ≠1，M 1，M 2，M 3，…，M n 均大于0)．(7)纵观这三个性质我们知道，性质①的等号左端是乘积的对数，右端是对数的和，从左往右看是一个降级运算． 性质②的等号左端是商的对数，右端是对数的差，从左往右是一个降级运算，从右往左是一个升级运算．性质③从左往右仍然是降级运算．利用对数的性质①②可以使两正数的积、商的对数转化为两正数的各自的对数的和、差运算，方便了对数式的化简和求值．应用示例例1 用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式：(1)log a xy z ；(2)log a x 2y 3z.活动：学生思考观察，教师巡视，检查学生解题情况，发现问题及时纠正． 利用对数的运算性质，把整体分解成部分． 对(1)log axyz，可先利用性质②，转化为两数对数的差，再利用性质①，把积的对数转化为两数对数的和．对(2)log ax 2y3z，可先利用性质②，转化为两数对数的差，再利用性质①，把积的对数转化为两数对数的和，最后利用性质③，转化为幂指数与底数的对数的积．解：(1)log a xy z＝log a (xy )－log a z ＝log a x ＋log a y －log a z ；(2)log ax 2y3z＝log a (x2y )－log a 3z＝log a x 2＋log a y －log a 3z ＝2log a x ＋12log a y －13log a z .点评：对数的运算性质实质上是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算．例2 求值：(1)；(2)log 327.解：(1)解法一：设x =，则(3)x ＝33＝(3)3，所以x ＝3.解法二：33==.(2)解法一：令x ＝log 3127，则3x ＝127，即3x ＝3－3，所以x ＝－3.解法二：log 3127＝log 33－3＝－3.例3 计算：(1)lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18；(2)lg 243lg 9；(3)lg 27＋lg 8－3lg 10lg 1.2.解：(1)解法一：lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.解法二：lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18＝lg 14－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫732＋lg 7－lg 18＝lg 14×7⎝ ⎛⎭⎪⎫732×18＝lg 1＝0.(2)lg 243lg 9＝lg 35lg 32＝5lg 32lg 3＝52.(3)lg 27＋lg 8－3lg 10lg 1.2＝1133222lg(3)lg23lg(10)32lg10+-⨯＝32(lg 3＋2lg 2－1)lg 3＋2lg 2－1＝32.点评：此例题体现对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧，如(3)题各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系；(2)题要避免错用对数的运算性质．对数运算性质的灵活运用、运算性质的逆用常被学生所忽视．例4 设x ＝log 23，求23x－2－3x2x －2－x 的值．活动：学生思考观察，教师引导，学生有困难及时提示并评价学生的思考过程．本题主要考查对数的定义及其运算性质．先利用对数的定义求2x，再求23x，从而可求，或先化简再代入求值．解法一：由x ＝log 23，得2x ＝3,2－x ＝13，所以23x －2－3x2x －2－x ＝33－⎝ ⎛⎭⎪⎫1333－13＝32＋3×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝919. 解法二：由x ＝log 23，得2x＝3,2－x＝13，所以23x－2－3x2x －2－x ＝(2x －2－x )(22x ＋1＋2－2x)2x －2－x＝22x＋1＋2－2x＝32＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝919.知能训练课本本节练习第1,2,3题． 【补充练习】1．用log a x ，log a y ，log a z ，log a (x ＋y )，log a (x －y )表示下列各式：(1)log a 3x y 2z ；(2)log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·4z 3y 2；(3)2132log ()a xy z -；(4)log a xy x 2－y 2； (5)log a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y x －y ·y ；(6)log a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤y x (x －y )3.解：(1)log a3x y 2z ＝log a 3x －log a y 2z ＝13log a x －(2log a y ＋log a z )＝13log a x －2log a y －log a z ； (2)log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·4z 3y 2＝log a x ＋log a 4z 3y 2＝log a x ＋14(log a z 3－log a y 2)＝log a x －24log a y ＋34log a z ＝log a x －12log a y ＋34log a z ；(3)2132log ()a xy z-＝log a x ＋12log a y ＋23log a z-＝log a x ＋12log a y －23log a z ；(4)log axyx 2－y2＝log a xy －log a (x 2－y 2)＝log a x ＋log a y －log a (x ＋y )(x －y )＝log a x ＋log a y －log a (x ＋y )－log a (x －y )； (5)log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y x －y ·y ＝log a x ＋y x －y ＋log a y ＝log a (x ＋y )－log a (x －y )＋log ay ；(6)log a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤y x (x －y )3＝3[log a y －log a x －log a (x －y )]＝3log a y －3log a x －3log a(x －y )．2．已知f (x 6)＝log 2x ，则f (8)等于( ) A ．43 B ．8 C ．18 D ．12解析：因为f (x 6)＝log 2x ，x ＞0，令x 6＝8，得316222x ==，所以f (8)＝122log 2＝12.另解：因为f (x 6)＝log 2x ＝16log 2x 6，所以f (x )＝16log 2x .所以f (8)＝16log 28＝16log 223＝12.答案：D拓展提升已知x ，y ，z ＞0，且lg x ＋lg y ＋lg z ＝0，求111111lg lg lg lg lg lg y zz xx yxyz+++⋅⋅的值．活动：学生讨论、交流、思考，教师可以引导．大胆设想，运用对数的运算性质．由于所求的式子是三项积的形式，每一项都有指数，指数中又有对数，因此想到用对数的运算性质，如果能对所求式子取对数，那可能会好解决些，故想到用参数法，设所求式子的值为t .解：令111111lg lg lg lg lg lg y zz xx yxyzt +++⋅⋅=，则lg t ＝⎝⎛⎭⎪⎫1lg y ＋1lg z lg x ＋⎝⎛⎭⎪⎫1lg z ＋1lg x lg y ＋⎝⎛⎭⎪⎫1lg x ＋1lg y lg z ＝lg x lg y ＋lg x lg z ＋lg y lg z ＋lg y lg x ＋lg z lg x ＋lg z lg y ＝lg x ＋lg z lg y ＋lg x ＋lg ylg z ＋lg y ＋lg z lg x ＝－lg y lg y ＋－lg z lg z ＋－lg x lg x ＝－3，所以t ＝10－3＝11 000即为所求．课堂小结1．对数的运算性质．2．对数的运算性质的综合应用，特别是性质的逆向使用．3．对数与指数形式比较：作业课本习题2.2A组3,4,5.设计感想在前面研究了对数概念的基础上，为了运算的方便，本节课我们借助指数的运算性质，推出了对数的运算性质，引导学生自己完成推导过程，加深对公式的理解和记忆，对运算性质的认识类比指数的运算性质来理解记忆，强化性质的使用条件，注意对数式中每一个字母的取值范围，由于它是以后学习对数函数的基础，所以安排教学时，要反复练习，加大练习的量，多结合信息化的教学手段，顺利完成本堂课的任务．第3课时作者：刘菲整体设计教学目标1．知识与技能推导对数的换底公式，培养学生分析、解决问题的能力，培养学生的数学应用意识和科学分析问题的精神和态度．2．过程与方法让学生经历推导对数的换底公式的过程，归纳整理本节所学知识．3．情感态度与价值观通过对数的运算性质、对数换底公式的学习，培养学生的探究意识，培养学生的严谨的思维品质；感受对数的广泛应用．重点难点重点：对数的运算性质、换底公式及其应用．难点：正确使用对数的运算性质和换底公式．教学过程导入新课思路1．问题：你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗？a ＞0，且a ≠1，c ＞0，且c ≠1，b ＞0，log a b ＝log c blog c a .教师直接点出课题：对数与对数运算(3)——对数的换底公式及其应用．思路2．前两节课我们学习了以下内容：1．对数的定义及性质；2．对数恒等式；3．对数的运算性质，用对数的运算性质我们能就同底数的对数进行运算，那么不同底数的对数集中在一起，如何解决呢？这就是本堂课的主要内容．教师板书课题：对数与对数运算(3)——对数的换底公式及其应用．思路3．从对数的定义可以知道，任意不等于1的正数都可作为对数的底，数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数，这样，如果能将其他底的对数转换为以10为底或以e 为底的对数就能方便地求出任意不等于1的正数为底的对数，那么，怎么转化呢？这就需要一个公式，即对数的换底公式，从而引出课题：对数与对数运算(3)——对数的换底公式及其应用．推进新课新知探究 提出问题(1)已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，求log 23的值；(2)根据(1)，如a ＞0，a ≠1，你能用含a 的对数式来表示log 23吗？ (3)更一般地，我们有log a b ＝log c blog c a ，如何证明？(4)证明log a b ＝log c blog c a 的依据是什么？(5)你能用自己的话概括出换底公式吗？ (6)换底公式的意义是什么？有什么作用？活动：学生针对提出的问题，交流讨论，回顾所学，力求转化，教师适时指导，必要时提示学生解题的思路，给学生创造一个互动的学习环境，培养学生的创造性思维能力．对(1)目前还没有学习对数的换底公式，它们又不是同底，因此可考虑对数的定义，转化成方程来解；对(2)参考(1)的思路和结果的形式，借助对数的定义可以表示；对(3)借助(1)(2)的思路，利用对数的定义来证明；对(4)根据证明的过程来说明；对(5)抓住问题的实质，用准确的语言描述出来，一般是按照从左到右的形式；对(6)换底公式的意义就在于对数的底数变了，与我们的要求接近了．讨论结果：(1)因为lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，根据对数的定义，所以100.301 0＝2,100.477 1＝3.不妨设log 23＝x ，则2x＝3，所以(100.301 0)x＝100.477 1,100.301 0×x＝100.477 1，即0.301 0x ＝0.477 1，x ＝0.477 10.301 0＝lg 3lg 2.因此log 23＝lg 3lg 2＝0.477 10.301 0≈1.585 0.(2)根据(1)我们看到，最后的结果是log 23用lg 2与lg 3表示，是通过对数的定义转化的，这就给我们以启发，本来是以2为底的对数转换成了以10为底的对数，不妨设log 23＝x ，由对数定义知道，2x＝3，两边都取以a 为底的对数，得log a 2x＝log a 3，x log a 2＝log a 3，x ＝log a 3log a 2，也就是log 23＝log a 3log a 2.这样log 23就表示成了以a 为底的3的对数与以a 为底的2的对数的商． (3)证明log a b ＝log c blog c a.证明：设log a b ＝x ，由对数定义知道，a x ＝b ；两边取以c 为底的对数，得log c a x＝log c b ⇒x log c a ＝log c b ； 所以x ＝log c b log c a ，即log a b ＝log c blog c a.一般地，log a b ＝log c blog c a (a ＞0，a ≠1，c ＞0，c ≠1，b ＞0)称为对数的换底公式．(4)由(3)的证明过程来看，换底公式的证明要紧扣对数的定义，证明的依据是：若M ＞0，N ＞0，M ＝N ，则log a M ＝log a N .(5)一个数的对数，等于同一底数的真数的对数与底数的对数的商，这样就把一个对数变成了与原来对数的底数不同的两个对数的商．(6)换底公式的意义就在于把对数式的底数改变，把不同底问题转化为同底问题，为使用运算性质创造条件，更方便化简求值．说明：我们使用的计算器中，“log”通常是常用对数，因此要使用计算器计算对数，一定要先用换底公式转化为常用对数．如log 23＝lg 3lg 2，即计算log 23的值的按键顺序为：“log”→“3”→“÷”→“log”→“2”→“＝”． 再如：在前面要求我国人口达到18亿的年份，就是要计算x ＝log 1.011813，所以x ＝log 1.011813＝lg1813lg 1.01＝lg 18－lg 13lg1.01≈1.255 3－1.0390.004 3＝32.883 7≈33(年)．可以看到运用对数换底公式，有时要方便得多．应用示例例1 求log 89·log 2732的值．活动：学生观察题目，思考讨论，互相交流，教师适时提示，学生板演，利用换底公式统一底数；根据题目的特点，底数不同，所以考虑把底数统一起来，可以化成常用对数或以2为底的对数，以3为底的对数也可．解法一：log 89·log 2732＝lg 9lg 8·lg 32lg 27＝2lg 33lg 2·5lg 23lg 3＝109.解法二：log 89·log 2732＝log 29log 28·log 232log 227＝2log 233·53log 23＝109.解法三：log 89·log 2732＝log 39log 38·log 332log 327＝23log 32·5log 323＝109.点评：灵活运用对数的换底公式是解决问题的关键． 例2 计算：(1)log 52·log 4981log 2513·log 734；(2)log 43·log 92－12log .活动：学生积极交流，教师引导，学生展示自己的思维过程，教师对学生的表现及时评价．先利用对数运算性质和换底公式进行化简，然后再求值；对(1)根据题目的特点，底数不同，所以考虑把底数统一起来，再利用对数的运算性质化简．对(2)利用换底公式把底数统一起来，再化简求值．解：(1)原式＝lg 2lg 5·lg 34lg 72lg 3－1lg 52·lg 22lg 73＝12·lg 2lg 5·4lg 32lg 7－lg 32lg 5·2lg 23lg 7＝－3. (2)log 43·log 92－12log ＝log 23log 24·log 22log 29－1422log (32)1log 2＝12log 23·12log 32＋54log 22 ＝14＋54＝32. 点评：在利用对数的换底公式进行化简求值时，一般情况是根据题中所给的对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底，如果题目中所给的真数和底数互不相同，我们常选择以10为底的对数进行换底．例3 (1)证明log a x log ab x＝1＋log a b ；(2)已知11log a b ＝22log a b ＝…＝log a n n b ＝λ，求证：1212log ()a a a n nb b b λ=.活动：学生思考、讨论，教师适当提示：(1)运用对数换底公式，统一成以a 为底的对数可直接得解，或利用对数的定义，分别把三个式子设出，再由定义转化成指数形式，利用指数幂的性质得解；(2)这是条件证明问题，应在现有条件下利用换底公式，转化成积的形式，从题目的结论来看，真数是积的形式，因此要创造对数的和的形式，这就想到先换底，再利用等比性质来解．(1)证法一：设log a x ＝p ，log ab x ＝q ，log a b ＝r ，则x ＝a p，x ＝(ab )q＝a q b q，b ＝a r. 所以a p＝(ab )q＝aq (1＋r )，从而p ＝q (1＋r )．因为q ≠0，所以p q＝1＋r ，即log a xlog ab x＝1＋log a b . 证法二：显然x ＞0且x ≠1，x 可作为底数，左边＝log a x log ab x ＝log x ablog x a ＝log a ab ＝1＋log a b＝右边．(2)证明：因为log a 1b 1＝log a 2b 2＝…＝log a n b n ＝λ，所以由换底公式得lg b 1lg a 1＝lg b 2lg a 2＝…＝lg b n lg a n ＝λ.由等比定理，所以lg b 1＋lg b 2＋…＋lg b n lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a n ＝λ.所以lg(b 1b 2…b n )lg(a 1a 2…a n )＝λ. 所以1212log ()a aa n nb b b ＝lg(b 1b 2…b n )lg(a 1a 2…a n )＝λ.点评：在解题过程中，根据题目的需要，把底数转化，换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，该公式既可正用，又可逆用，使用时的关键是选择底数，换底的目的是实现对数式的化简．例4 20世纪30年代，里克特(C.F.Richter)制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大．这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为M ＝lg A －lg A 0，其中，A 是被测地震的最大振幅，A 0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差)．(1)假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级(精确到0.1)；(2)5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍(精确到1)?活动：学生审题，教师引导，学生交流，展示自己的思维过程，教师强调实际问题的注意事项．根据题目给出的数学模型及其含义来解决．这是实际问题，但题目给出了数学模型即关系式，关系式是以常用对数的形式给出，因此要利用对数的定义和运算性质，同时注意要使实际问题有意义．解：(1)M ＝lg 20－lg 0.001＝lg 200.001＝lg 20 000＝lg 2＋lg 104≈4.3.因此，这是一次约为里氏4.3级的地震．(2)由M ＝lg A －lg A 0可得M ＝lg A A 0，即A A 0＝10M ，所以A ＝A 0·10M. 当M ＝7.6时，地震的最大振幅为A 1＝A 0·107.6； 当M ＝5时，地震的最大振幅为A 2＝A 0·105.所以，两次地震的最大振幅之比是A 1A 2＝A 0×107.6A 0×105＝107.6－5＝102.6≈398. 答：7.6级地震的最大振幅大约是5级地震的最大振幅的398倍． 点评：利用所学知识解决实际问题，是教学的一个难点．知能训练课本本节练习4. 【补充练习】(1)已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则lg 12lg 15等于( )A ．2a ＋b 1＋a ＋bB ．a ＋2b 1＋a ＋bC ．2a ＋b 1－a ＋bD ．a ＋2b 1－a ＋b (2)已知2lg(x －2y )＝lg x ＋lg y ，则x y的值为( ) A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．4或－1 (3)若3a＝2，则log 38－2log 36＝__________. (4)lg 12.5－lg 58＋lg 0.5＝__________.答案：(1)C (2)B (3)a －2 (4)1拓展提升探究换底公式的其他证明方法：活动：学生讨论、交流、思考，教师可以引导，大胆设想，运用对数的定义及运算性质和指数幂的运算性质．证法一：设log a N ＝x ，则a x＝N ，两边取以c (c ＞0且c ≠1)为底的对数，得log c a x＝log c N ，所以x log c a ＝log c N ，即x ＝log c N log c a .故log a N ＝log c Nlog c a. 证法二：由对数恒等式，得log Na N a，两边取以c (c ＞0且c ≠1)为底的对数，得log c N ＝log a N ·log c a ，所以log a N ＝log c Nlog c a.证法三：令log c a ＝m ，log a N ＝n ，则a ＝c m，N ＝a n，所以N ＝(c m )n＝c mn.两边取以c (c ＞0且c ≠1)为底的对数，得mn ＝log c N ，所以n ＝log c N m ，即log a N ＝log c Nlog c a .对数换底公式的应用：换底公式log a N ＝log c Nlog c a (c ＞0且c ≠1，a ＞0且a ≠1，N ＞0)的应用包括两个方面，即由左端到右端的应用和由右端到左端的应用，前者较为容易，而后者则易被学生忽视，因此，教学时应重视后者的用法，下面仅就后者举例说明：例：化简：log a M log a N ＋log b M log b N ＋log c M log c N ＋log d Mlog d N .解：原式＝log N M ＋log N M ＋log N M ＋log N M ＝4log N M .课堂小结1．对数换底公式；2．换底公式可用于对数式的化简、求值或证明．若对数式的底数和真数可转化成同底数的幂的形式，则该幂底数可被选作换底公式的底数，也可把对数式转化成以10为底的常用对数或以任意数a (a ＞0且a ≠1)为底的对数式的形式．作业课本习题2.2A 组 6,11,12. 【补充作业】 1．已知1271log 7a =，131log 5b =，求log 81175的值． 解：因为1271log 7＝log 277＝13log 37＝a ，所以log 37＝3a .又因为131log 5＝log 35＝b ， 所以log 81175＝14log 3(25×7)＝14(log 325＋log 37)＝14(2log 35＋log 37)＝3a ＋2b4.2．求证：(log 23＋log 49＋log 827＋…＋2log 3n n )log 9n32＝52.证明：左边＝(log 23＋log 49＋log 827＋…＋log 2n 3n)log 9n32 ＝(2222log 3+log 3+log 3++log 3n)·1n log 932＝n log 23·1n log 332＝log 23·52log 32＝52＝右边．设计感想本堂课主要是学习对数的换底公式，它在以后的学习中有着非常重要的应用，由于对数的运算性质是在同底的基础上，因此利用对数换底公式把不同底数的对数转化为同底显得非常重要，有时也可以逆用对数的换底公式达到我们的目的，特别是实际问题的应用十分广泛，因此要反复训练，强化记忆，所以设计了大量的例题与练习，授课时要加快速度，激发学生学习的兴趣，多运用多媒体的教学手段．备课资料【备选例题】【例1】化简：log a M log b N ·log b M log c N ·log c M log d N ·log d Mlog a N.解：原式＝log a M log a N ·log b M log b N ·log c M log c N ·log d M log d N ＝log N M ·log N M ·log N M ·log N M ＝(log N M )4.【例2】求证：log a b ＝1log b a (a ＞0，b ＞0且a ≠1，b ≠1)．证法一：log a b ＝log b b log b a ＝1log b a .证法二：1log b a ＝log b blog b a＝log a b .【例3】试证：1log 2x ＋1log 3x ＋1log 4x ＋…＋1log n x ＝1log n ！x .证明：1log 2x ＋1log 3x ＋1log 4x ＋…＋1log n x＝log x (2×3×4×…×n ) ＝log x (1×2×3×4×…×n )＝log x n ！＝1log n ！x .【知识拓展】对数的创立对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢？在数学史上，一般认为对数的发明者是16世纪末到17世纪初的苏格兰数学家——纳皮尔(J.Napier ，1550—1617)男爵．在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科．可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间．纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数．当然，纳皮尔所发明的对数，在形式上与现代数学中的对数理论并不完全一样．在纳皮尔那个时代，“指数”这个概念还尚未形成，因此纳皮尔并不是像现行代数课本中那样，通过指数来引出对数，而是通过研究直线运动得出对数概念的．那么，当时纳皮尔所发明的对数运算，是怎么一回事呢？在那个时代，计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法．让我们来看看下面这个例子：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、…1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1 024、2 048、4 096、8 192、16 384、… 这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂．如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的和来实现．比如，计算64×256的值，就可以先查询第一行的对应数字：64对应6,256对应8；然后再把第一行中的对应数字加起来：6＋8＝14；第一行中的14，对应第二行中的16 384，所以有64×256＝16 384.纳皮尔的这种计算方法，实际上已经完全是现代数学中“对数运算”的思想了．回忆一下，我们在中学学习“运用对数简化计算”的时候，采用的不正是这种思路吗？计算两个复杂数的乘积，先查《常用对数表》，找到这两个复杂数的常用对数，再把这两个常用对数值相加，再通过《常用对数的反对数表》查出值的反对数值，就是原先那两个复杂数的乘积了．这种“化乘除为加减”，从而达到简化计算的思路，不正是对数运算的明显特征吗？经过多年的探索，纳皮尔男爵于1614年出版了他的名著《奇妙的对数定律说明书》，向世人公布了他的这项发明，并且解释了这项发明的特点．所以，纳皮尔是当之无愧的“对数缔造者”，理应在数学史上享有这份殊荣．伟大的导师恩格斯在他的著作《自然辩证法》中，曾经把笛卡儿的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼茨的微积分共同称为17世纪的三大数学发明．法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯(Pierre Simon Laplace,1749—1827)曾说：“对数，可以缩短计算时间，在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”．。
2018-2019学年度高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2 对数函数 2.2.2 第二课
第二课时对数函数的图象及性质的应用(习题课)【选题明细表】1.若m∈(,1),a=lg m,b=lg m2,c=(lg m)3,则( C )(A)a<b<c (B)c<a<b(C)b<a<c (D)b<c<a解析:因为m∈(,1),所以a=lg m<0,1>m>m2>0,所以a>b,c=(lg m)3>lg m=a,所以c>a>b.故选C.2.若函数y=f(x)与函数y=ln+1的图象关于直线y=x对称,则f(x)等于( A )(A)e2x-2(B)e2x(C)e2x+1(D)e2x+2解析:若两个函数的图象关于直线y=x对称,那么这两个函数互为反函数,而y=ln+1的反函数为y=e2x-2,故选A.3.若log m3<log n3<0,则m,n应满足的条件是( D )(A)m>n>1 (B)n>m>1(C)1>n>m>0 (D)1>m>n>0解析:因为log m3<log n3<0,所以0<n<1,0<m<1且<<0,即lg 3(-)<0⇔lg 3()<0.因为lg 3>0,lg m<0,lg n<0,所以lg n-lg m<0,即lg n<lg m⇔n<m,所以1>m>n>0.故选D.4.已知函数f(x)=log(a-1)(2x+1)在(-,0)内恒有f(x)>0,则a的取值范围是( D )(A)(1,+∞) (B)(0,1)(C)(0,2) (D)(1,2)解析:由-<x<0,得0<2x+1<1.若f(x)>0恒成立,则0<a-1<1.所以1<a<2.5.函数f(x)=lo(x2-2x)的单调递增区间是( D )(A)(1,+∞) (B)(2,+∞)(C)(-∞,1) (D)(-∞,0)解析:函数f(x)=lo(x2-2x)的定义域为(2,+∞)∪(-∞,0),设函数的单调增区间即u=x2-2x的单调减区间,u=x2-2x的单调减区间为(-∞,0).故选D.6.若函数f(x)=ln(x2+ax+1)是偶函数,则实数a的值为.解析:函数f(x)=ln(x2+ax+1)是偶函数,所以f(x)=f(-x),即ln(x2+ax+1)=ln(x2-ax+1),所以ax=-ax在函数的定义域中总成立,所以a=0.答案:07.不等式lo(4x+2x+1)>0的解集为 .解析:由lo(4x+2x+1)>0,得4x+2x+1<1,即(2x)2+2·2x<1,配方得(2x+1)2<2, 所以2x<-1,两边取以2为底的对数,得x<log2(-1).答案:(-∞,log2(-1))8.已知函数f(x)=lg(1+x)+lg(1-x).(1)求函数f(x)的定义域;(2)判断函数f(x)的奇偶性;(3)求函数f(x)的值域.解:(1)由求得-1<x<1,所以函数f(x)的定义域为(-1,1).(2)定义域关于原点对称,对于任意的x∈(-1,1),因为f(-x)=lg(1-x)+lg(1+x)=f(x),所以f(x)为偶函数.(3)f(x)=lg[(1+x)(1-x)]=lg(1-x2).由x∈(-1,1)可得t=1-x2∈(0,1],所以y≤lg 1=0,所以函数f(x)的值域为(-∞,0].9.已知log2b<log2a<log2c,则( A )(A)()b>()a>()c(B)()a>()b>()c(C)()c>()b>()a(D)()c>()a>()b解析:因为log2b<log2a<log2c,所以c>a>b,所以()b>()a>()c.故选A.10.(2018·许昌五校高一联考)函数f(x)=log a|x-1|在(0,1)上是减函数,那么f(x)在(1,+∞)上( A )(A)递增且无最大值 (B)递减且无最小值(C)递增且有最大值 (D)递减且有最小值解析:由|x-1|>0得,函数y=log a|x-1|的定义域为{x|x≠1}.设g(x)=|x-1|=则有g(x)在(-∞,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数.因为f(x)=log a|x-1|在(0,1)上是减函数,所以a>1.所以f(x)=log a|x-1|在(1,+∞)上递增且无最大值.11.函数y=lo(-x2+6x-5)在区间(m,m+1)上为减函数,则m的取值范围为.解析:令t=-x2+6x-5,由t>0得x∈(1,5),因为y=lo t为减函数,所以要使y=lo(-x2+6x-5)在区间(m,m+1)上为减函数,则需要t=-x2+6x-5在区间(m,m+1)上为增函数,又函数t=-x2+6x-5的对称轴方程为x=3,所以解得1≤m≤2.答案:[1,2]12.已知函数f(x)=log a(a>0,且a≠1)的图象关于原点对称,求m 的值.解:根据已知条件,对于定义域内的一切x,都有f(-x)=-f(x),即f(-x)+f(x)=0,所以log a+log a=0.整理得log a=0,所以=1,即(m2-1)x2=0.所以m2-1=0.所以m=1或m=-1.若m=1,=-1,f(x)无意义,则舍去m=1,所以m=-1.13.已知f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求y=[f(x)]2+f(x2)的最大值以及y取最大值时x的值. 解:因为f(x)=2+log3x,所以y=[f(x)]2+f(x2)=(2+log3x)2+2+log3x2=(2+log3x)2+2+2log3x=(log3x)2+6log3x+6=(log3x+3)2-3.因为函数f(x)的定义域为[1,9],所以要使函数y=[f(x)]2+f(x2)有意义,必须满足所以1≤x≤3,所以0≤log3x≤1.所以6≤y=(log3x+3)2-3≤13.当log3x=1,即x=3时,y=13.所以当x=3时,函数y=[f(x)]2+f(x2)取得最大值13.。
2018-2019学年度高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2 对数函数 2.2.2 第一课时
第一课时对数函数的图象及性质【选题明细表】1.对数函数的图象过点M(16,4),则此对数函数的解析式为( D )(A)y=log4x (B)y=lo x(C)y=lo x (D)y=log2x解析:设对数函数为y=log a x(a>0,且a≠1),由于对数函数的图象过点M(16,4),所以4=log a16,得a=2.所以对数函数的解析式为y=log2x,故选D.2.下列函数①y=2x;②y=log0.5(x+1);③y=;④y=|x-1|中,在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( D )(A)①③ (B)②③ (C)①④ (D)②④解析:函数①y=2x在区间(0,1)上单调递增;②y=log0.5(x+1)在区间(0,1)上单调递减;③y=在区间(0,1)上单调递增;④y=|x-1|在区间(0,1)上单调递减.故选D.3.(2018·长沙高一月考)函数f(x)=+lg(1+x)的定义域是( C )(A)(-∞,-1) (B)(1,+∞)(C)(-1,1)∪(1,+∞) (D)(-∞,+∞)解析:由题意知解得x>-1,且x≠1.故选C.4.(2018·唐山高一检测)若函数f(x)=log a(x+b)的图象如图,其中a,b为常数,则函数g(x)=a x+b 的图象大致是( D )解析:由函数f(x)=log a(x+b)的图象可知,函数f(x)=log a(x+b)在(-b, +∞)上是减函数,所以0<a<1且0<b<1,所以g(x)=a x+b在R上是减函数,故排除A,B.由g(x)的值域为(b,+∞),所以g(x)=a x+b的图象应在直线y=b的上方,故排除C.故选D.5.若函数y=f(x)是函数y=3x的反函数,则f()的值为( B )(A)-log23 (B)-log32 (C) (D)解析:由题意可知f(x)=log3x,所以f()=log3=-log32,故选B.6.函数f(x)=|lo x|的单调增区间为.解析:由函数f(x)=|lo x|可得函数的大致图象如图所示,所以函数的单调增区间为[1,+∞).答案:[1,+∞)7.函数f(x)=log2(4-x2)的定义域为,值域为 ,不等式f(x)>1的解集为.解析:依题意得4-x2>0,解得-2<x<2,所以该函数的定义域为(-2,2).因为4-x2>0,所以(4-x2)max=4,所以在(-2,2)上,该函数的值域为(-∞,2].由f(x)>1得到log2(4-x2)>1,则4-x2>2,解得-<x<.故不等式f(x)>1的解集为(-,).答案:(-2,2) (-∞,2] (-,)8.已知函数f(x)=log a(1+x),g(x)=log a(1-x)(a>0且a≠1).(1)设a=2,函数f(x)的定义域为[3,63],求函数f(x)的最值;(2)求使f(x)-g(x)>0的x的取值范围.解:(1)当a=2时,函数f(x)=log2(x+1)为[3,63]上的增函数,故f(x)max=f(63)=log2(63+1)=6,f(x)min=f(3)=log2(3+1)=2.(2)f(x)-g(x)>0,即log a(1+x)>log a(1-x).①当a>1时,1+x>1-x>0,得0<x<1.②当0<a<1时,0<1+x<1-x,得-1<x<0.综上,a>1时,x∈(0,1),0<a<1时,x∈(-1,0).9.函数y=log2|x|的图象大致是( A )解析:因为函数y=log2|x|是偶函数,且在(0,+∞)上为增函数,结合图象可知A正确.10.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,若当x∈(0,+∞)时,f(x)=lg x,则满足f(x)>0的x的取值范围是.解析:根据题意画出f(x)的草图,由图象可知,f(x)>0的x的取值范围是-1<x<0或x>1.答案:(-1,0)∪(1,+∞)11.函数f(x)=log2(-1)(x>8)的值域是 .解析:因为x>8,所以-1>2,由于对数函数的底数2大于1,说明函数为增函数.所以f(x)>log22=1,故函数的值域为(1,+∞).答案:(1,+∞)12.设f(x)=(1)求f(log2)的值;(2)求f(x)的最小值.解:(1)因为log2<log22=1,所以f(log2)===.(2)当x∈(-∞,1]时,f(x)=2-x=()x在(-∞,1]上是减函数,所以f(x)的最小值为f(1)=.当x∈(1,+∞)时,f(x)=(log3x-1)(log3x-2),令t=log3x,则t∈(0,+∞),f(x)=g(t)=(t-1)(t-2)=(t-)2-,所以f(x)的最小值为g()=-.综上可知,f(x)的最小值为-.13.已知函数f(x)=2x-.(1)若f(x)=2,求x的值;(2)若2t f(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围. 解:(1)当x<0时,f(x)=0;当x≥0时,f(x)=2x-.由条件可知2x-=2,即22x-2·2x-1=0,解得2x=1±.因为2x>0,所以2x=1+,x=log2(1+).(2)当t∈[1,2]时,2t(22t-)+m(2t-)≥0,即m(22t-1)≥-(24t-1).因为22t-1>0,所以m≥-(22t+1).因为t∈[1,2],所以-(1+22t)∈[-17,-5].故m的取值范围是[-5,+∞).。
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2 对数函数 2.2.1 对数与对数运算教学设计 新人教A版必修1
2.2.1 对数与对数运算整体设计教学内容分析本节课是新课标高中数学A版必修1中第二章对数函数内容的第1课时，也就是对数函数的入门．对数函数对于学生来说是一个全新的函数模型，学习起来比较困难．而对数函数又是本章的重要内容，在高考中占有一定的分量，它是在指数函数的基础上，对函数类型的拓广，同时在解决一些日常生活问题及科研中起着十分重要的作用．通过本节课的学习，可以让学生理解对数的概念，从而进一步深化对对数模型的认识与理解，为学习对数函数做好准备．同时，通过对对数概念的学习，对培养学生对立统一、相互联系、相互转化的思想，培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义．学生学习情况分析现阶段大部分学生学习的自主性较差，主动性不够，学习有依赖性，且学习的信心不足，对数学存在或多或少的恐惧感．通过对指数与指数幂的运算的学习，学生已多次体会了对立统一、相互联系、相互转化的思想，并且探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻炼．因此，学生已具备了探索、发现、研究对数定义的认识基础，故应通过指导，教会学生独立思考、大胆探索和灵活运用类比、转化、归纳等数学思想的学习方法．设计思想学生是教学的主体，本节课要给学生提供各种参与机会．为了调动学生学习的积极性，使学生化被动为主动，本节课可利用多媒体辅助教学，引导学生从实例中认识对数模型，体会引入对数的必要性．在教学重难点上，步步设问、启发学生的思维，通过课堂练习、探究活动、学生讨论的方式来加深理解，更好地突破难点和提高教学效率．让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权．教学目标1．理解对数的概念，了解对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的互化；理解对数的性质，掌握以上知识并形成技能．2．通过实例使学生认识对数模型，体会引入对数的必要性；通过师生观察分析得出对数的概念及对数式与指数式的互化．3．通过学生分组进行探究活动，掌握对数的重要性质．通过做练习，使学生感受到理论与实践的统一．4．培养学生的类比、分析、归纳能力，培养学生严谨的思维品质以及在学习过程中培养学生的探究意识．重点难点重点：(1)对数的概念；(2)对数式与指数式的相互转化．难点：(1)对数概念的理解；(2)对数性质的理解．教学过程幂底数←a→对数底数．对数的基本性质负数和零没有对数；log a1＝0；教学反思本教学设计先由引例出发，创设情境，激发学生对对数的学习兴趣；在讲授新课部分，通过结合多媒体教学以及一系列的课堂探究活动，加深学生对对数的认识；最后通过课堂练习来巩固学生对对数的掌握．第2课时整体设计教学目标1．知识与技能(1)通过实例推导对数的运算性质，准确地运用对数的运算性质进行运算、求值、化简，并掌握化简求值的技能．(2)运用对数的运算性质解决有关问题．(3)培养学生分析、解决问题的能力．培养学生的数学应用意识和科学分析问题的精神和态度．2．过程与方法(1)让学生经历并推导出对数的运算性质．(2)让学生归纳整理本节所学的知识．3．情感态度与价值观让学生感觉对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性．重点难点重点：对数运算的性质与对数知识的应用．难点：正确使用对数的运算性质．教学过程导入新课思路1．上节课我们学习了以下内容：1．对数的定义．2．指数式与对数式的互化．a b＝N⇔log a N＝b.3．重要性质：(1)负数与零没有对数；(2)log a1＝0，log a a＝1；(3)对数恒等式log Naa＝N.下面我们接着讲对数的运算性质〔教师板书课题：对数与对数运算(2)〕．思路2.我们在学习指数的时候，知道指数有相应的运算法则，即指数运算法则：a m·a n＝a m＋n；a m÷a n＝a m－n；(a m)n＝a mn；ma n＝nma.(a＞0且a≠1)从上节课我们还知道指数与对数都是一种运算，而且它们互为逆运算，对数是否也有和指数相类似的运算法则呢？答案是肯定的，这就是本堂课的主要内容，点出课题：对数与对数运算(2)．推进新课新知探究 提出问题(1)在上节课中，我们知道，对数运算可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算的性质，得出相应的对数运算的性质吗？(2)如我们知道a m＝M ，a n＝N ，a m·a n＝am ＋n，那m ＋n 如何表示，能用对数式运算吗？(3)在上述(2)的条件下，类比指数运算性质能得出其他对数运算性质吗？ (4)你能否用最简练的语言描述上述结论？如果能，请描述. (5)上述运算性质中的字母的取值有什么限制吗？ (6)上述结论能否推广呢？(7)学习这些性质能对我们进行对数运算带来哪些方便呢？ 讨论结果：(1)通过问题(2)来说明． (2)若a m·a n＝am ＋n，M ＝a m ，N ＝a n ，于是MN ＝am ＋n，由对数的定义得到M ＝a m⇔m ＝log a M ，N ＝a n ⇔n ＝log a N ，MN ＝a m ＋n ⇔m ＋n ＝log a MN ，log a MN ＝log a M ＋log a N .因此m ＋n 可以用对数式表示． (3)令M ＝a m，N ＝a n，则M N＝a m ÷a n ＝am －n，所以m －n ＝log a M N.又由M ＝a m，N ＝a n，所以m ＝log a M ，n ＝log a N .所以log a M －log a N ＝m －n ＝log a MN ，即log a M N＝log a M －log a N . 设M ＝a m，则M n＝(a m )n＝a mn.由对数的定义，所以log a M ＝m ，log a M n＝mn .所以log a M n＝mn ＝n log a M ，即log a M n＝n log a M . 这样我们得到对数的三个运算性质： 如果a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则有 log a (MN )＝log a M ＋log a N ；① log a M N＝log a M －log a N ；② log a M n＝n log a M (n ∈R )．③ (4)以上三个性质可以归纳为：性质①：两数积的对数，等于各数的对数的和；性质②：两数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数； 性质③：幂的对数等于幂指数乘以底数的对数．(5)利用对数运算性质进行运算，所以要求a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0. (6)性质①可以推广到n 个数的情形：即log a (M 1M 2M 3…M n )＝log a M 1＋log a M 2＋log a M 3＋…＋log a M n (其中a ＞0，a ≠1，M 1，M 2，M 3，…，M n 均大于0)．(7)纵观这三个性质我们知道，性质①的等号左端是乘积的对数，右端是对数的和，从左往右看是一个降级运算． 性质②的等号左端是商的对数，右端是对数的差，从左往右是一个降级运算，从右往左是一个升级运算．性质③从左往右仍然是降级运算．利用对数的性质①②可以使两正数的积、商的对数转化为两正数的各自的对数的和、差运算，方便了对数式的化简和求值．应用示例例1 用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式：(1)log a xy z ；(2)log a x 2y 3z.活动：学生思考观察，教师巡视，检查学生解题情况，发现问题及时纠正． 利用对数的运算性质，把整体分解成部分． 对(1)log axyz，可先利用性质②，转化为两数对数的差，再利用性质①，把积的对数转化为两数对数的和．对(2)log ax 2y3z，可先利用性质②，转化为两数对数的差，再利用性质①，把积的对数转化为两数对数的和，最后利用性质③，转化为幂指数与底数的对数的积．解：(1)log a xy z＝log a (xy )－log a z ＝log a x ＋log a y －log a z ；(2)log ax 2y3z＝log a (x2y )－log a 3z＝log a x 2＋log a y －log a 3z ＝2log a x ＋12log a y －13log a z .点评：对数的运算性质实质上是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算．例2 求值：(1)；(2)log 327.解：(1)解法一：设x =，则(3)x ＝33＝(3)3，所以x ＝3.解法二：33==.(2)解法一：令x ＝log 3127，则3x ＝127，即3x ＝3－3，所以x ＝－3.解法二：log 3127＝log 33－3＝－3.例3 计算：(1)lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18；(2)lg 243lg 9；(3)lg 27＋lg 8－3lg 10lg 1.2.解：(1)解法一：lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.解法二：lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18＝lg 14－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫732＋lg 7－lg 18＝lg 14×7⎝ ⎛⎭⎪⎫732×18＝lg 1＝0.(2)lg 243lg 9＝lg 35lg 32＝5lg 32lg 3＝52.(3)lg 27＋lg 8－3lg 10lg 1.2＝1133222lg(3)lg23lg(10)32lg10+-⨯＝32(lg 3＋2lg 2－1)lg 3＋2lg 2－1＝32.点评：此例题体现对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧，如(3)题各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系；(2)题要避免错用对数的运算性质．对数运算性质的灵活运用、运算性质的逆用常被学生所忽视．例4 设x ＝log 23，求23x－2－3x2x －2－x 的值．活动：学生思考观察，教师引导，学生有困难及时提示并评价学生的思考过程．本题主要考查对数的定义及其运算性质．先利用对数的定义求2x，再求23x，从而可求，或先化简再代入求值．解法一：由x ＝log 23，得2x ＝3,2－x ＝13，所以23x －2－3x2x －2－x ＝33－⎝ ⎛⎭⎪⎫1333－13＝32＋3×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝919. 解法二：由x ＝log 23，得2x＝3,2－x＝13，所以23x－2－3x2x －2－x ＝(2x －2－x )(22x ＋1＋2－2x)2x －2－x＝22x＋1＋2－2x＝32＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝919.知能训练课本本节练习第1,2,3题． 【补充练习】1．用log a x ，log a y ，log a z ，log a (x ＋y )，log a (x －y )表示下列各式：(1)log a 3x y 2z ；(2)log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·4z 3y 2；(3)2132log ()a xy z -；(4)log a xy x 2－y 2； (5)log a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y x －y ·y ；(6)log a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤y x (x －y )3.解：(1)log a3x y 2z ＝log a 3x －log a y 2z ＝13log a x －(2log a y ＋log a z )＝13log a x －2log a y －log a z ； (2)log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·4z 3y 2＝log a x ＋log a 4z 3y 2＝log a x ＋14(log a z 3－log a y 2)＝log a x －24log a y ＋34log a z ＝log a x －12log a y ＋34log a z ；(3)2132log ()a xy z-＝log a x ＋12log a y ＋23log a z-＝log a x ＋12log a y －23log a z ；(4)log axyx 2－y2＝log a xy －log a (x 2－y 2)＝log a x ＋log a y －log a (x ＋y )(x －y )＝log a x ＋log a y －log a (x ＋y )－log a (x －y )； (5)log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y x －y ·y ＝log a x ＋y x －y ＋log a y ＝log a (x ＋y )－log a (x －y )＋log ay ；(6)log a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤y x (x －y )3＝3[log a y －log a x －log a (x －y )]＝3log a y －3log a x －3log a(x －y )．2．已知f (x 6)＝log 2x ，则f (8)等于( ) A ．43 B ．8 C ．18 D ．12解析：因为f (x 6)＝log 2x ，x ＞0，令x 6＝8，得316222x ==，所以f (8)＝122log 2＝12.另解：因为f (x 6)＝log 2x ＝16log 2x 6，所以f (x )＝16log 2x .所以f (8)＝16log 28＝16log 223＝12.答案：D拓展提升已知x ，y ，z ＞0，且lg x ＋lg y ＋lg z ＝0，求111111lg lg lg lg lg lg y zz xx yxyz+++⋅⋅的值．活动：学生讨论、交流、思考，教师可以引导．大胆设想，运用对数的运算性质．由于所求的式子是三项积的形式，每一项都有指数，指数中又有对数，因此想到用对数的运算性质，如果能对所求式子取对数，那可能会好解决些，故想到用参数法，设所求式子的值为t .解：令111111lg lg lg lg lg lg y zz xx yxyzt +++⋅⋅=，则lg t ＝⎝⎛⎭⎪⎫1lg y ＋1lg z lg x ＋⎝⎛⎭⎪⎫1lg z ＋1lg x lg y ＋⎝⎛⎭⎪⎫1lg x ＋1lg y lg z ＝lg x lg y ＋lg x lg z ＋lg y lg z ＋lg y lg x ＋lg z lg x ＋lg z lg y ＝lg x ＋lg z lg y ＋lg x ＋lg ylg z ＋lg y ＋lg z lg x ＝－lg y lg y ＋－lg z lg z ＋－lg x lg x ＝－3，所以t ＝10－3＝11 000即为所求．课堂小结1．对数的运算性质．2．对数的运算性质的综合应用，特别是性质的逆向使用．3．对数与指数形式比较：作业课本习题2.2A组3,4,5.设计感想在前面研究了对数概念的基础上，为了运算的方便，本节课我们借助指数的运算性质，推出了对数的运算性质，引导学生自己完成推导过程，加深对公式的理解和记忆，对运算性质的认识类比指数的运算性质来理解记忆，强化性质的使用条件，注意对数式中每一个字母的取值范围，由于它是以后学习对数函数的基础，所以安排教学时，要反复练习，加大练习的量，多结合信息化的教学手段，顺利完成本堂课的任务．第3课时作者：刘菲整体设计教学目标1．知识与技能推导对数的换底公式，培养学生分析、解决问题的能力，培养学生的数学应用意识和科学分析问题的精神和态度．2．过程与方法让学生经历推导对数的换底公式的过程，归纳整理本节所学知识．3．情感态度与价值观通过对数的运算性质、对数换底公式的学习，培养学生的探究意识，培养学生的严谨的思维品质；感受对数的广泛应用．重点难点重点：对数的运算性质、换底公式及其应用．难点：正确使用对数的运算性质和换底公式．教学过程导入新课思路1．问题：你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗？a ＞0，且a ≠1，c ＞0，且c ≠1，b ＞0，log a b ＝log c blog c a .教师直接点出课题：对数与对数运算(3)——对数的换底公式及其应用．思路2．前两节课我们学习了以下内容：1．对数的定义及性质；2．对数恒等式；3．对数的运算性质，用对数的运算性质我们能就同底数的对数进行运算，那么不同底数的对数集中在一起，如何解决呢？这就是本堂课的主要内容．教师板书课题：对数与对数运算(3)——对数的换底公式及其应用．思路3．从对数的定义可以知道，任意不等于1的正数都可作为对数的底，数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数，这样，如果能将其他底的对数转换为以10为底或以e 为底的对数就能方便地求出任意不等于1的正数为底的对数，那么，怎么转化呢？这就需要一个公式，即对数的换底公式，从而引出课题：对数与对数运算(3)——对数的换底公式及其应用．推进新课新知探究 提出问题(1)已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，求log 23的值；(2)根据(1)，如a ＞0，a ≠1，你能用含a 的对数式来表示log 23吗？ (3)更一般地，我们有log a b ＝log c blog c a ，如何证明？(4)证明log a b ＝log c blog c a 的依据是什么？(5)你能用自己的话概括出换底公式吗？ (6)换底公式的意义是什么？有什么作用？活动：学生针对提出的问题，交流讨论，回顾所学，力求转化，教师适时指导，必要时提示学生解题的思路，给学生创造一个互动的学习环境，培养学生的创造性思维能力．对(1)目前还没有学习对数的换底公式，它们又不是同底，因此可考虑对数的定义，转化成方程来解；对(2)参考(1)的思路和结果的形式，借助对数的定义可以表示；对(3)借助(1)(2)的思路，利用对数的定义来证明；对(4)根据证明的过程来说明；对(5)抓住问题的实质，用准确的语言描述出来，一般是按照从左到右的形式；对(6)换底公式的意义就在于对数的底数变了，与我们的要求接近了．讨论结果：(1)因为lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，根据对数的定义，所以100.301 0＝2,100.477 1＝3.不妨设log 23＝x ，则2x＝3，所以(100.301 0)x＝100.477 1,100.301 0×x＝100.477 1，即0.301 0x ＝0.477 1，x ＝0.477 10.301 0＝lg 3lg 2.因此log 23＝lg 3lg 2＝0.477 10.301 0≈1.585 0.(2)根据(1)我们看到，最后的结果是log 23用lg 2与lg 3表示，是通过对数的定义转化的，这就给我们以启发，本来是以2为底的对数转换成了以10为底的对数，不妨设log 23＝x ，由对数定义知道，2x＝3，两边都取以a 为底的对数，得log a 2x＝log a 3，x log a 2＝log a 3，x ＝log a 3log a 2，也就是log 23＝log a 3log a 2.这样log 23就表示成了以a 为底的3的对数与以a 为底的2的对数的商． (3)证明log a b ＝log c blog c a.证明：设log a b ＝x ，由对数定义知道，a x ＝b ；两边取以c 为底的对数，得log c a x＝log c b ⇒x log c a ＝log c b ； 所以x ＝log c b log c a ，即log a b ＝log c blog c a.一般地，log a b ＝log c blog c a (a ＞0，a ≠1，c ＞0，c ≠1，b ＞0)称为对数的换底公式．(4)由(3)的证明过程来看，换底公式的证明要紧扣对数的定义，证明的依据是：若M ＞0，N ＞0，M ＝N ，则log a M ＝log a N .(5)一个数的对数，等于同一底数的真数的对数与底数的对数的商，这样就把一个对数变成了与原来对数的底数不同的两个对数的商．(6)换底公式的意义就在于把对数式的底数改变，把不同底问题转化为同底问题，为使用运算性质创造条件，更方便化简求值．说明：我们使用的计算器中，“log”通常是常用对数，因此要使用计算器计算对数，一定要先用换底公式转化为常用对数．如log 23＝lg 3lg 2，即计算log 23的值的按键顺序为：“log”→“3”→“÷”→“log”→“2”→“＝”． 再如：在前面要求我国人口达到18亿的年份，就是要计算x ＝log 1.011813，所以x ＝log 1.011813＝lg1813lg 1.01＝lg 18－lg 13lg1.01≈1.255 3－1.0390.004 3＝32.883 7≈33(年)．可以看到运用对数换底公式，有时要方便得多．应用示例例1 求log 89·log 2732的值．活动：学生观察题目，思考讨论，互相交流，教师适时提示，学生板演，利用换底公式统一底数；根据题目的特点，底数不同，所以考虑把底数统一起来，可以化成常用对数或以2为底的对数，以3为底的对数也可．解法一：log 89·log 2732＝lg 9lg 8·lg 32lg 27＝2lg 33lg 2·5lg 23lg 3＝109.解法二：log 89·log 2732＝log 29log 28·log 232log 227＝2log 233·53log 23＝109.解法三：log 89·log 2732＝log 39log 38·log 332log 327＝23log 32·5log 323＝109.点评：灵活运用对数的换底公式是解决问题的关键． 例2 计算：(1)log 52·log 4981log 2513·log 734；(2)log 43·log 92－12log .活动：学生积极交流，教师引导，学生展示自己的思维过程，教师对学生的表现及时评价．先利用对数运算性质和换底公式进行化简，然后再求值；对(1)根据题目的特点，底数不同，所以考虑把底数统一起来，再利用对数的运算性质化简．对(2)利用换底公式把底数统一起来，再化简求值．解：(1)原式＝lg 2lg 5·lg 34lg 72lg 3－1lg 52·lg 22lg 73＝12·lg 2lg 5·4lg 32lg 7－lg 32lg 5·2lg 23lg 7＝－3. (2)log 43·log 92－12log ＝log 23log 24·log 22log 29－1422log (32)1log 2＝12log 23·12log 32＋54log 22 ＝14＋54＝32. 点评：在利用对数的换底公式进行化简求值时，一般情况是根据题中所给的对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底，如果题目中所给的真数和底数互不相同，我们常选择以10为底的对数进行换底．例3 (1)证明log a x log ab x＝1＋log a b ；(2)已知11log a b ＝22log a b ＝…＝log a n n b ＝λ，求证：1212log ()a a a n nb b b λ=.活动：学生思考、讨论，教师适当提示：(1)运用对数换底公式，统一成以a 为底的对数可直接得解，或利用对数的定义，分别把三个式子设出，再由定义转化成指数形式，利用指数幂的性质得解；(2)这是条件证明问题，应在现有条件下利用换底公式，转化成积的形式，从题目的结论来看，真数是积的形式，因此要创造对数的和的形式，这就想到先换底，再利用等比性质来解．(1)证法一：设log a x ＝p ，log ab x ＝q ，log a b ＝r ，则x ＝a p ，x ＝(ab )q ＝a q b q ，b ＝a r. 所以a p＝(ab )q＝aq (1＋r )，从而p ＝q (1＋r )．因为q ≠0，所以p q＝1＋r ，即log a xlog ab x＝1＋log a b . 证法二：显然x ＞0且x ≠1，x 可作为底数，左边＝log a x log ab x ＝log x ablog x a ＝log a ab ＝1＋log a b＝右边．(2)证明：因为log a 1b 1＝log a 2b 2＝…＝log a n b n ＝λ，所以由换底公式得lg b 1lg a 1＝lg b 2lg a 2＝…＝lg b n lg a n ＝λ.由等比定理，所以lg b 1＋lg b 2＋…＋lg b n lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a n ＝λ.所以lg(b 1b 2…b n )lg(a 1a 2…a n )＝λ. 所以1212log ()a aa n nb b b ＝lg(b 1b 2…b n )lg(a 1a 2…a n )＝λ.点评：在解题过程中，根据题目的需要，把底数转化，换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，该公式既可正用，又可逆用，使用时的关键是选择底数，换底的目的是实现对数式的化简．例4 20世纪30年代，里克特(C.F.Richter)制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大．这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为M ＝lg A －lg A 0，其中，A 是被测地震的最大振幅，A 0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差)．(1)假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级(精确到0.1)；(2)5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍(精确到1)?活动：学生审题，教师引导，学生交流，展示自己的思维过程，教师强调实际问题的注意事项．根据题目给出的数学模型及其含义来解决．这是实际问题，但题目给出了数学模型即关系式，关系式是以常用对数的形式给出，因此要利用对数的定义和运算性质，同时注意要使实际问题有意义．解：(1)M ＝lg 20－lg 0.001＝lg 200.001＝lg 20 000＝lg 2＋lg 104≈4.3.因此，这是一次约为里氏4.3级的地震．(2)由M ＝lg A －lg A 0可得M ＝lg A A 0，即A A 0＝10M ，所以A ＝A 0·10M. 当M ＝7.6时，地震的最大振幅为A 1＝A 0·107.6； 当M ＝5时，地震的最大振幅为A 2＝A 0·105.所以，两次地震的最大振幅之比是A 1A 2＝A 0×107.6A 0×105＝107.6－5＝102.6≈398. 答：7.6级地震的最大振幅大约是5级地震的最大振幅的398倍． 点评：利用所学知识解决实际问题，是教学的一个难点．知能训练课本本节练习4. 【补充练习】(1)已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则lg 12lg 15等于( )A ．2a ＋b 1＋a ＋bB ．a ＋2b 1＋a ＋bC ．2a ＋b 1－a ＋bD ．a ＋2b 1－a ＋b (2)已知2lg(x －2y )＝lg x ＋lg y ，则x y的值为( ) A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．4或－1 (3)若3a＝2，则log 38－2log 36＝__________. (4)lg 12.5－lg 58＋lg 0.5＝__________.答案：(1)C (2)B (3)a －2 (4)1拓展提升探究换底公式的其他证明方法：活动：学生讨论、交流、思考，教师可以引导，大胆设想，运用对数的定义及运算性质和指数幂的运算性质．证法一：设log a N ＝x ，则a x＝N ，两边取以c (c ＞0且c ≠1)为底的对数，得log c a x＝log c N ，所以x log c a ＝log c N ，即x ＝log c N log c a .故log a N ＝log c Nlog c a. 证法二：由对数恒等式，得log Na N a，两边取以c (c ＞0且c ≠1)为底的对数，得log c N ＝log a N ·log c a ，所以log a N ＝log c Nlog c a.证法三：令log c a ＝m ，log a N ＝n ，则a ＝c m，N ＝a n，所以N ＝(c m )n＝c mn.两边取以c (c ＞0且c ≠1)为底的对数，得mn ＝log c N ，所以n ＝log c N m ，即log a N ＝log c Nlog c a .对数换底公式的应用：换底公式log a N ＝log c Nlog c a (c ＞0且c ≠1，a ＞0且a ≠1，N ＞0)的应用包括两个方面，即由左端到右端的应用和由右端到左端的应用，前者较为容易，而后者则易被学生忽视，因此，教学时应重视后者的用法，下面仅就后者举例说明：例：化简：log a M log a N ＋log b M log b N ＋log c M log c N ＋log d Mlog d N .解：原式＝log N M ＋log N M ＋log N M ＋log N M ＝4log N M .课堂小结1．对数换底公式；2．换底公式可用于对数式的化简、求值或证明．若对数式的底数和真数可转化成同底数的幂的形式，则该幂底数可被选作换底公式的底数，也可把对数式转化成以10为底的常用对数或以任意数a (a ＞0且a ≠1)为底的对数式的形式．作业课本习题2.2A 组 6,11,12. 【补充作业】 1．已知1271log 7a =，131log 5b =，求log 81175的值． 解：因为1271log 7＝log 277＝13log 37＝a ，所以log 37＝3a .又因为131log 5＝log 35＝b ， 所以log 81175＝14log 3(25×7)＝14(log 325＋log 37)＝14(2log 35＋log 37)＝3a ＋2b4.2．求证：(log 23＋log 49＋log 827＋…＋2log 3n n )log 9n32＝52.证明：左边＝(log 23＋log 49＋log 827＋…＋log 2n 3n)log 9n32 ＝(2222log 3+log 3+log 3++log 3n)·1n log 932＝n log 23·1n log 332＝log 23·52log 32＝52＝右边．设计感想本堂课主要是学习对数的换底公式，它在以后的学习中有着非常重要的应用，由于对数的运算性质是在同底的基础上，因此利用对数换底公式把不同底数的对数转化为同底显得非常重要，有时也可以逆用对数的换底公式达到我们的目的，特别是实际问题的应用十分广泛，因此要反复训练，强化记忆，所以设计了大量的例题与练习，授课时要加快速度，激发学生学习的兴趣，多运用多媒体的教学手段．备课资料【备选例题】【例1】化简：log a M log b N ·log b M log c N ·log c M log d N ·log d Mlog a N.解：原式＝log a M log a N ·log b M log b N ·log c M log c N ·log d M log d N ＝log N M ·log N M ·log N M ·log N M ＝(log N M )4.【例2】求证：log a b ＝1log b a (a ＞0，b ＞0且a ≠1，b ≠1)．证法一：log a b ＝log b b log b a ＝1log b a .证法二：1log b a ＝log b blog b a＝log a b .【例3】试证：1log 2x ＋1log 3x ＋1log 4x ＋…＋1log n x ＝1log n ！x .证明：1log 2x ＋1log 3x ＋1log 4x ＋…＋1log n x＝log x (2×3×4×…×n ) ＝log x (1×2×3×4×…×n )＝log x n ！＝1log n ！x .【知识拓展】对数的创立对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢？在数学史上，一般认为对数的发明者是16世纪末到17世纪初的苏格兰数学家——纳皮尔(J.Napier ，1550—1617)男爵．在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科．可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间．纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数．当然，纳皮尔所发明的对数，在形式上与现代数学中的对数理论并不完全一样．在纳皮尔那个时代，“指数”这个概念还尚未形成，因此纳皮尔并不是像现行代数课本中那样，通过指数来引出对数，而是通过研究直线运动得出对数概念的．那么，当时纳皮尔所发明的对数运算，是怎么一回事呢？在那个时代，计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法．让我们来看看下面这个例子：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、…1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1 024、2 048、4 096、8 192、16 384、… 这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂．如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的和来实现．比如，计算64×256的值，就可以先查询第一行的对应数字：64对应6,256对应8；然后再把第一行中的对应数字加起来：6＋8＝14；第一行中的14，对应第二行中的16 384，所以有64×256＝16 384.纳皮尔的这种计算方法，实际上已经完全是现代数学中“对数运算”的思想了．回忆一下，我们在中学学习“运用对数简化计算”的时候，采用的不正是这种思路吗？计算两个复杂数的乘积，先查《常用对数表》，找到这两个复杂数的常用对数，再把这两个常用对数值相加，再通过《常用对数的反对数表》查出值的反对数值，就是原先那两个复杂数的乘积了．这种“化乘除为加减”，从而达到简化计算的思路，不正是对数运算的明显特征吗？经过多年的探索，纳皮尔男爵于1614年出版了他的名著《奇妙的对数定律说明书》，向世人公布了他的这项发明，并且解释了这项发明的特点．所以，纳皮尔是当之无愧的“对数缔造者”，理应在数学史上享有这份殊荣．伟大的导师恩格斯在他的著作《自然辩证法》中，曾经把笛卡儿的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼茨的微积分共同称为17世纪的三大数学发明．法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯(Pierre Simon Laplace,1749—1827)曾说：“对数，可以缩短计算时间，在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”．。
2018年秋高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2 对数函数 2.2.2 对数函数及其性质 第1
第1课时对数函数的图象及性质学习目标：1.理解对数函数的概念，会求对数函数的定义域．(重点、难点)2.能画出具体对数函数的图象，并能根据对数函数的图象说明对数函数的性质．(重点)[自主预习·探新知]1．对数函数的概念函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．思考1：函数y＝2log3x，y＝log3(2x)是对数函数吗？[提示]不是，其不符合对数函数的形式．2．对数函数的图象及性质[提示]底数a与1的关系决定了对数函数的升降；当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0<a<1时，对数函数的图象“下降”．3．反函数指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)和对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)互为反函数．[基础自测]1．思考辨析(1)对数函数的定义域为R.( )(2)y＝log2x2与log x3都不是对数函数．( )(3)对数函数的图象一定在y轴右侧．( )(4)函数y＝log2x与y＝x2互为反函数．( )[答案](1)×(2)√(3)√(4)×2．函数y＝log a x的图象如图221所示，则实数a的可能取值为( )图221A ．5 B.15 C.1eD.12A [由图可知，a >1，故选A.]3．若对数函数过点(4,2)，则其解析式为________．f (x )＝log 2x [设对数函数的解析式为f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)．由f (4)＝2得log a 4＝2，∴a＝2，即f (x )＝log 2x .]4．函数f (x )＝log 2(x ＋1)的定义域为________.【导学号：37102283】(－1，＋∞) [由x ＋1>0得x >－1，故f (x )的定义域为(－1，＋∞)．][合 作 探 究·攻 重 难]对数函数的概念及应用(1)下列给出的函数：①y ＝log 5x ＋1； ②y ＝log a x 2(a >0，且a ≠1)；③y ＝log (3－1)x ；④y ＝13log 3x ；⑤y ＝log x 3(x >0，且x ≠1)；⑥y ＝log 2πx .其中是对数函数的为( )A ．③④⑤B ．②④⑥C ．①③⑤⑥D ．③⑥(2)若函数y ＝log (2a －1)x ＋(a 2－5a ＋4)是对数函数，则a ＝________.【导学号：37102284】(3)已知对数函数的图象过点(16,4)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________. (1)D (2)4 (3)－1 [(1)由对数函数定义知，③⑥是对数函数，故选D. (2)因为函数y ＝log (2a －1)x ＋(a 2－5a ＋4)是对数函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1>0，2a －1≠1，a 2－5a ＋4＝0，解得a ＝4.(3)设对数函数为f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)， 由f (16)＝4可知log a 16＝4，∴a ＝2， ∴f (x )＝log 2x ， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log 212＝－1.]1．若函数f (x )＝(a 2＋a －5)log a x 是对数函数，则a ＝________. 2 [由a 2＋a －5＝1得a ＝－3或a ＝2. 又a >0且a ≠1，所以a ＝2.]对数函数的定义域求下列函数的定义域． (1)f (x )＝1log 12x ＋1；(2)f (x )＝12－x＋ln(x ＋1)； (3)f (x )＝log (2x －1)(－4x ＋8).【导学号：37102285】[解] (1)要使函数f (x )有意义，则log 12x ＋1>0，即log 12x >－1，解得0<x <2，即函数f (x )的定义域为(0,2)．(2)函数式若有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2－x ≥0，2－x ≠0即⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x <2，解得－1<x <2，故函数的定义域为(－1,2)．(3)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＋8>0，2x －1>0，2x －1≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x <2，x >12，x ≠1.故函数y ＝log (2x －1)(－4x ＋8)的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <2，且x ≠1. 分母不能为根指数为偶数时，被开方数非负 对数的真数大于，底数大于且不为提醒：定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于数大于0且不等于2．求下列函数的定义域： (1)f (x )＝lg(x －2)＋1x －3； (2)f (x )＝log x ＋1(16－4x )．[解] (1)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，x －3≠0，解得x >2且x ≠3，所以函数定义域为(2,3)∪(3，＋∞)． (2)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧16－4x >0，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0或0<x <4，所以函数定义域为(－1,0)∪(0,4)．对数函数的图象问题 [探究问题]1．如图222，曲线C 1，C 2，C 3，C 4分别对应y ＝log a 1x ，y ＝log a 2x ，y ＝log a 3x ，y ＝log a 4x 的图象，你能指出a 1，a 2，a 3，a 4以及1的大小关系吗？图222提示：作直线y ＝1，它与各曲线C 1，C 2，C 3，C 4的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小必有a 4>a 3>1>a 2>a 1>0.2．函数y ＝a x与y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象有何特点？ 提示：两函数的图象关于直线y ＝x 对称．(1)当a >1时，在同一坐标系中，函数y ＝a －x与y ＝log a x 的图象为( )A B C D(2)已知f (x )＝log a |x |，满足f (－5)＝1，试画出函数f (x )的图象.【导学号：37102286】思路探究：(1)结合a >1时y ＝a －x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax及y ＝log a x 的图象求解．(2)由f (－5)＝1求得a ，然后借助函数的奇偶性作图．(1)C [(1)∵a >1，∴0<1a<1，∴y ＝a －x是减函数，y ＝log a x 是增函数，故选C.](2)[解] ∵f (x )＝log a |x |，∴f (－5)＝log a 5＝1，即a ＝5， ∴f (x )＝log 5|x |，∴f (x )是偶函数，其图象如图所示．中，－x ＞0，∴x ＜0， 轴的左侧，故排除A ，D ； 是减函数，|2x ＋＋的图象，如图(1)(1) (2)x 轴向左平移1个单位长度，得y (3) (4)函数图象的变换规律一般地，x ±a ＋b a ，b 为实数的图象是由函数x 的图象沿左或向右平移个单位长,度，再沿y 轴向上或向下平移个单位长度得到的.含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到f x －a的图象是关于直线轴对称图形；函数x 的图象与x 的图象在,f x的部分相同，在x的部分关于.[当 堂 达 标·固 双 基]1．下列函数是对数函数的是( ) A ．y ＝2＋log 3xB ．y ＝log a (2a )(a >0，且a ≠1)C ．y ＝log a x 2(a >0，且a ≠1) D ．y ＝ln xD [结合对数函数的形式y ＝log a x (a >0且a ≠1)可知D 正确．] 2．函数f (x )＝lg x ＋lg(5－3x )的定义域是( )【导学号：37102287】A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，53B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，53C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，53 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，53C [由⎩⎪⎨⎪⎧lg x ≥0，5－3x >0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x <53，即1≤x <53.]3．（2018·全国卷Ⅲ）下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( ) A ．y ＝ln(1－x ) B ．y ＝ln(2－x ) C ．y ＝ln(1＋x )D ．y ＝ln(2＋x )B [法一：设所求函数图象上任一点的坐标为(x ，y )，则其关于直线x ＝1的对称点的坐标为(2－x ，y )，由对称性知点(2－x ，y )在函数f (x )＝ln x 的图象上，所以y ＝ln(2－x )．故选B. 法二：由题意知，对称轴上的点(1,0)既在函数y ＝ln x 的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A ，C ，D ，选B.] 4．函数f (x )＝log a (2x －5)的图象恒过定点________． (3,0) [由2x －5＝1得x ＝3， ∴f (3)＝log a 1＝0.即函数f (x )恒过定点(3,0)．] 5．已知f (x )＝log 3x . (1)作出这个函数的图象；(2)若f (a )<f (2)，利用图象求a 的取值范围.【导学号：37102288】[解] (1)作出函数y ＝log 3x 的图象如图所示．(2)令f (x )＝f (2)， 即log 3x ＝log 32，解得x ＝2. 由图象知：当0<a <2时，恒有f (a )<f (2)． 所以所求a 的取值范围为0<a <2.百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2.2 对数函数及其性质(第2课时)对数函数及其性质的应用学
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第2课时对数函数及其性质的应用1．掌握对数函数的单调性，会进行同底对数和不同底对数大小的比较．(重点)2．了解反函数的概念，知道互为反函数的两个函数之间的联系及两个图象的特征．（难点）3．通过指数函数、对数函数的学习，加深理解分类讨论、数形结合这两种重要数学思想的意义和作用．（重点）[小组合作型]比较对数值的大小（1)已知a＝0.7 1.1b,c的大小关系为( ) A．a＜b＜c B．a＜c＜bC．b＜a＜c D．c＜a＜b（2)下列不等式成立的是（其中a＞0且a≠1)（）A．log a5。
1＜log a5.92.1〉log错误!2.2B．log12C．log1.1（a＋1）〈log1。
1aD．log32.9＜log0。
52。
2（3）若a＝log23，b＝log32，c＝log46，则下列结论正确的是( )A．b〈a<c B．a<b<cC．c<b〈a D．b〈c〈a【精彩点拨】利用对数函数的单调性或中间量(0或1)比较大小．【自主解答】（1）根据对数函数y＝log0.7x，y＝log1.1x的图象和性质，可知0＜log0。
【K12教育学习资料】2018版高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.2.2第1课时对数函数的图象及性质学
2.2.2 第1课时 对数函数的图象及性质(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知下列函数：①y ＝log 12(－x )(x <0)；②y ＝2log 4(x －1)(x >1)；③y ＝ln x (x >0)；④y ＝log (a 2＋a )x (x >0，a 是常数)．其中为对数函数的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】 对于①，自变量是－x ，故①不是对数函数；对于②，2log 4(x －1)的系数为2，而不是1，且自变量是x －1，不是x ，故②不是对数函数；对于③，l n x 的系数为1，自变量是x ，故③是对数函数；对于④，底数a 2＋a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122－14，当a ＝－12时，底数小于0，故④不是对数函数．故选A .【答案】 A2．函数y ＝1＋log 12(x －1)的图象一定经过点( )A ．(1,1)B ．(1,0)C ．(2,1)D ．(2,0)【解析】 ∵函数y ＝log 12x 恒过定点(1,0)，而y ＝1＋log 12(x －1)的图象是由y ＝log12x 的图象向右平移一个单位，向上平移一个单位得到，故函数y ＝1＋log 12(x －1)恒过的定点为(2,1)．故选C.【答案】 C 3．函数y ＝1log 2x －2的定义域为( ) A ．(－∞，2) B ．(2，＋∞) C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞)【解析】 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0log 2x －，解得x ＞2且x ≠3，所以原函数的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．故选C. 【答案】 C4．已知0＜a ＜1，函数y ＝a x与y ＝log a (－x )的图象可能是( )【解析】 函数y ＝a x与y ＝log a x 互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，y ＝log a (－x )与y ＝log a x 的图象关于y 轴对称，又0＜a ＜1，根据函数的单调性即可得D 正确．故选D.【答案】 D5．函数f (x )＝log a (x ＋2)(0<a <1)的图象必不过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【解析】 ∵f (x )＝log a (x ＋2)(0＜a ＜1)，∴其图象如下图所示，故选A .【答案】 A 二、填空题 6．函数f (x )＝log12－的定义域是________．【解析】 要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧3x －2>0 log 12x －，即⎩⎪⎨⎪⎧3x －2>03x －2≤1，解得23＜x ≤1，故函数的定义域的⎝ ⎛⎦⎥⎤23，1.【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤23，17．已知对数函数f (x )的图象过点(8，－3)，则f (22)＝________. 【解析】 设f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)， 则－3＝log a 8，∴a ＝12，∴f (x )＝log 12x ，f (22)＝log 12(22)＝－log 2(22)＝－32.【答案】 －328．已知函数y ＝log 22－x2＋x，下列说法：①关于原点对称；②关于y 轴对称；③过原点．其中正确的是________. 【解析】 由于函数的定义域为(－2,2)，关于原点对称，又f (－x )＝log 22＋x2－x＝－log 22－x 2＋x ＝－f (x )，故函数为奇函数，故其图象关于原点对称，①正确；因为当x ＝0时，y＝0，所以③正确．【答案】 ①③ 三、解答题9．已知函数f (x )＝log a x ＋1x －1(a >0，且a ≠1)． (1)求f (x )的定义域； (2)判断函数的奇偶性．【解】 (1)要使函数有意义，则有x ＋1x －1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0x －1>0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0x －1<0，解得x >1或x <－1，此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．(2)由于f (x )的定义域关于原点对称，且f (－x )＝log a －x ＋1－x －1＝log a x ＋1x －1＝－log a x ＋1x －1＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．10．若函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg(x ＋1)，求f (x )的表达式，并画出大致图象．【解】 ∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 又当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)， ∴f (－x )＝lg(1－x )．又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－lg(1－x )，∴f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋，x >00，x ＝0－－x ，x <0，∴f (x )的大致图象如图所示．[能力提升]1．满足“对定义域内任意实数x ，y ，f (x ·y )＝f (x )＋f (y )”的函数可以是( ) A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝2xC ．f (x )＝log 2xD ．f (x )＝el n x【解析】 ∵对数运算律中有log a M ＋log a N ＝log a MN ，∴f (x )＝log 2x ，满足“对定义域内任意实数x ，y ，f (x ·y )＝f (x )＋f (y )”．故选C.【答案】 C2．已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f (x )＝a x与函数g(x )＝－log b x 的图象可能是( )【解析】 由lg a ＋lg b ＝0，得lg (ab )＝0，所以ab ＝1，故a ＝1b ，所以当0＜b ＜1时，a ＞1；当b ＞1时，0＜a ＜1.又因为函数y ＝－log b x 与函数y ＝log b x 的图象关于x 轴对称．利用这些信息可知选项B 符合0＜b ＜1且a ＞1的情况．【答案】 B3．设函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2017)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22017)的值等于________．【解析】 ∵f (x 21)＋f (x 22)＋f (x 23)＋…＋f (x 22017) ＝log a x 21＋log a x 22＋log a x 23＋…＋log a x 22017 ＝log a (x 1x 2x 3…x 2017)2＝2log a (x 1x 2x 3…x 2017) ＝2f (x 1x 2x 3…x 2017)， ∴原式＝2×8＝16. 【答案】 164．若不等式x 2－log m x <0在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内恒成立，求实数m 的取值范围.【解】 由x 2－log m x <0，得x 2<log m x ，在同一坐标系中作y ＝x 2和y ＝log m x 的草图，如图所示．要使x 2<log m x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内恒成立，只要y ＝log m x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内的图象在y ＝x 2的上方，于是0<m<1.∵x ＝12时，y ＝x 2＝14，∴只要x ＝12时，y ＝log m 12≥14＝log m m 14，∴12≤m 14，即116≤m . 又0<m <1，∴116≤m <1，即实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫116，1.。
秋高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2对数函数2.2.2对数函数及其性质第2课时对数函数及其性质
2018年秋高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）2.2 对数函数2.2.2 对数函数及其性质第2课时对数函数及其性质的应用课时分层作业20 新人教A版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）2.2 对数函数2.2.2 对数函数及其性质第2课时对数函数及其性质的应用课时分层作业20 新人教A版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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课时分层作业(二十）对数函数及其性质的应用（建议用时:40分钟)［学业达标练]一、选择题1．若lg(2x－4)≤1，则x的取值范围是（）A．(－∞,7］B．（2，7]C．[7,＋∞) D．(2,＋∞)B［由lg(2x－4)≤1，得0<2x－4≤10，即2〈x≤7，故选B。
]2．函数f(x）＝｜log错误!x|的单调递增区间是（）【导学号：37102301】A。
错误!B．（0，1］C．(0，＋∞) D．[1,＋∞)D[f（x）的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为［1，＋∞)．］3．已知log a错误!>log b错误!>0,则下列关系正确的是（)A．0<b〈a<1 B．0〈a<b〈1C．1〈b<a D．1<a〈bA[由log a错误!>0，log b错误!〉0，可知a，b∈(0,1），又log a错误!>log b错误!，作出图象如图所示，结合图象易知a〉b，∴0<b〈a<1。
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2 对数函数 2.2.2 对数函数及其性质 第1课时 对数函
2.2.2 对数函数及其性质第1课时 对数函数的图象及性质学习目标 1.理解对数函数的概念(易错点).2.初步掌握对数函数的图象和性质(重点).知识点1 对数函数的概念一般地，把函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝log x 12是对数函数.( )(2)函数y ＝2log 3x 是对数函数.( )(3)函数y ＝log 3(x ＋1)的定义域是(0，＋∞).( )提示 (1)× 对数函数中自变量x 在真数的位置上，且x >0，所以(1)错； (2)× 在解析式y ＝log a x 中，log a x 的系数必须是1，所以(2)错；(3)× 由对数式y ＝log 3(x ＋1)的真数x ＋1>0可得x >－1，所以函数的定义域为(－1，＋∞)，所以(3)错.知识点2 对数函数的图象和性质a ＞1 0＜a ＜1图象性质定义域 (0，＋∞)值域 R过定点 过定点(1，0)，即x ＝1时，y ＝0函数值当0＜x ＜1时，y ＜0当0＜x ＜1时，y ＞0的变化当x＞1时，y＞0当x＞1时，y＜0单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数【预习评价】(1)函数f(x)＝log a(2x－1)＋2的图象恒过定点________.(2)若函数y＝log(2a－3)x在(0，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________.解析(1)令2x－1＝1，得x＝1，又f(1)＝2，故f(x)的图象恒过定点(1，2).(2)由题意2a－3>1，得a>2，即a的取值范围是(2，＋∞).答案(1)(1，2) (2)(2，＋∞)知识点3 反函数对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)与指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)互为反函数.【预习评价】设函数f(x)＝2x的反函数为g(x)，若g(2x－3)>0，则x的取值范围是________.解析易知f(x)＝2x的反函数为y＝log2x，即g(x)＝log2x，g(2x－3)＝log2(2x－3)>0，所以2x－3>1，解得x>2.答案(2，＋∞)题型一对数函数的概念及应用【例1】(1)下列函数表达式中，是对数函数的有( )①y＝log x2；②y＝log a x(a∈R)；③y＝log8x；④y＝ln x；⑤y＝log x(x＋2)；⑥y＝2log4x；⑦y＝log2(x＋1).A.1个B.2个C.3个D.4个(2)若对数函数f(x)的图象过点(4，－2)，则f(8)＝________.解析(1)由于①中自变量出现在底数上，∴①不是对数函数；由于②中底数a∈R不能保证a>0，且a≠1，∴②不是对数函数；由于⑤⑦的真数分别为(x＋2)，(x＋1)，∴⑤⑦也不是对数函数；由于⑥中log 4x 的系数为2，∴⑥也不是对数函数；只有③④符合对数函数的定义.(2)由题意设f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，则f (4)＝log a 4＝－2，所以a －2＝4，故a ＝12，f (x )＝log 12x ，所以f (8)＝log 128＝－3.答案 (1)B (2)－3规律方法 判断一个函数是对数函数的方法【训练1】 若函数f (x )＝log (a ＋1)x ＋(a 2－2a －8)是对数函数，则a ＝________.解析 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －8＝0，a ＋1>0，a ＋1≠1，解得a ＝4. 答案 4题型二 对数型函数的定义域 【例2】 (1)函数f (x )＝12－x ＋ln(x ＋1)的定义域为________；(2)函数f (x )＝1log 12（2x ＋1）的定义域为________.解析 (1)若使函数式有意义需满足条件：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>02－x >0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x <2，解得：x ∈(－1，2)，故函数的定义域为(－1，2).(2)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1>0，2x ＋1≠1，解得x >－12且x ≠0，则f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0，＋∞).答案 (1)(－1，2) (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0，＋∞)规律方法 求与对数函数有关的函数的定义域时应遵循的原则(1)分母不能为0.(2)根指数为偶数时，被开方数非负. (3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1. 【训练2】 求下列函数的定义域： (1)f (x )＝lg(x －2)＋1x －3； (2)f (x )＝log (x ＋1)(16－4x ).解 (1)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，x －3≠0，解得x ＞2且x ≠3.∴函数的定义域为(2，3)∪(3，＋∞). (2)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧16－4x ＞0，x ＋1＞0，x ＋1≠1，解得－1＜x ＜0或0＜x ＜4.∴函数的定义域为(－1，0)∪(0，4). 题型三 对数函数的图象问题【例3】 (1)函数y ＝log a (x ＋2)＋1的图象过定点( ) A.(1，2) B.(2，1) C.(－2，1)D.(－1，1)(2)如图，曲线C 1，C 2，C 3，C 4分别对应函数y ＝log a 1x ，y ＝log a 2x ，y ＝log a 3x ，y ＝log a 4x 的图象，则( )A.a 4>a 3>1>a 2>a 1>0B.a 3>a 4>1>a 1>a 2>0C.a 2>a 1>1>a 4>a 3>0D.a1>a2>1>a3>a4>0(3)作出函数y＝|log2(x＋1)|＋2的图象.解析(1)令x＋2＝1，即x＝－1，得y＝log a1＋1＝1，故函数y＝log a(x＋2)＋1的图象过定点(－1，1).(2)作直线y＝1，它与各曲线C1，C2，C3，C4的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小必有a4>a3>1>a2>a1>0.答案(1)D (2)A(3)解第一步：作y＝log2x的图象，如图(1)所示.第二步：将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得y＝log2(x＋1)的图象，如图(2)所示.第三步：将y＝log2(1＋x)的图象在x轴下方的部分作关于x轴的对称变换，得y＝|log2(x ＋1)|的图象，如图(3)所示.第四步：将y＝|log2(x＋1)|的图象沿y轴向上平移2个单位长度，即得到所求的函数图象，如图(4)所示.规律方法 1.对数函数图象过定点问题求函数y＝m＋log a f(x)(a>0，且a≠1)的图象过定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m).2.根据对数函数图象判断底数大小的方法作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小.3.函数图象的变换规律：(1)一般地，函数y＝f(x±a)＋b(a，b为实数)的图象是由函数y＝f(x)的图象沿x轴向左或向右平移，再沿y轴向上或向下平移得到的.(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.【训练3】已知a>0且a≠1，函数y＝log a x，y＝a x，y＝x＋a在同一坐标系中的图象可能是( )解析函数y＝log a x与y＝a x的单调性相同，故排除B；A中，由y＝log a x与y＝a x的图象知a＞1，而由y＝x＋a的图象知0＜a＜1，矛盾；D中，由y＝log a x与y＝a x的图象知0＜a＜1，而由y＝x＋a的图象知a＞1，矛盾，故选C.答案 C课堂达标1.下列函数是对数函数的是( )A.y＝log a(2x)B.y＝log22xC.y＝log2x＋1D.y＝lg x解析选项A，B，C中的函数都不具有“y＝log a x(a＞0且a≠1)”的形式，只有D选项符合.答案 D2.设函数y＝4－x2的定义域为A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B＝( )A.(1，2)B.(1，2]C.(－2，1)D.[－2，1)解析由4－x2≥0得－2≤x≤2，∴A＝[－2，2]，由1－x＞0得x＜1，∴B＝(－∞，1).∴A∩B＝[－2，1)，故选D.答案 D3.若函数f(x)＝a x－1的反函数的图象过点(4，2)，则a＝________.解析∵f(x)的反函数的图象过(4，2)，∴f(x)的图象过(2，4)，∴a2－1＝4，∴a＝4.答案 44.函数f(x)＝1log12x＋1的定义域为________.解析要使函数f(x)有意义，则log12x＋1>0，即log12x>－1，解得0<x<2，即函数f(x)的定义域为(0，2).答案(0，2)5.已知f(x)＝log3x.(1)作出这个函数的图象；(2)当0<a<2时，利用图象判断是否有满足f(a)>f(2)的a值.解(1)作出函数y＝log3x的图象如图所示.(2)令f(x)＝f(2)，即log3x＝log32，解得x＝2.由如图所示的图象知：当0<a<2时，恒有f(a)<f(2).故当0<a<2时，不存在满足f(a)>f(2)的a值.课堂小结1.判断一个函数是不是对数函数，关键是分析所给函数是否具有y＝log a x(a＞0，且a≠1)这种形式.2.在对数函数y＝log a x中，底数a对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质.3.涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析.基础过关1.函数y ＝1＋log 12(x －1)的图象一定经过点( )A.(1，1)B.(1，0)C.(2，1)D.(2，0)解析 ∵函数y ＝log 12x 恒过定点(1，0)，而y ＝1＋log 12(x －1)的图象是由y ＝log 12x 的图象向右平移一个单位，向上平移一个单位得到，∴定点(1，0)也是向右平移一个单位，向上平移一个单位，∴定点(1，0)平移以后即为定点(2，1)，故函数y ＝1＋log 12(x －1)恒过的定点为(2，1).故选C. 答案 C 2.函数y ＝1log 2（x －2）的定义域为( )A.(－∞，2)B.(2，＋∞)C.(2，3)∪(3，＋∞)D.(2，4)∪(4，＋∞)解析 要使原函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，log 2（x －2）≠0，解得2<x <3或x >3，所以原函数的定义域为(2，3)∪(3，＋∞)，故选C. 答案 C3.函数y ＝a x与y ＝－log a x (a ＞0，且a ≠1)在同一坐标系中的图象形状可能是( )解析 函数y ＝－log a x 恒过定点(1，0)，排除B 项；当a ＞1时，y ＝a x是增函数，y ＝－log a x 是减函数，当0<a <1时，y ＝a x是减函数，y ＝－log a x 是增函数，排除C 项和D 项，故A 项正确. 答案 A4.已知f (x )为对数函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2，则f ⎝⎛⎭⎫34＝________.解析 设f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)， 则log a 12＝－2，∴1a 2＝12，即a ＝2， ∴f (x )＝log2x ，∴f (34)＝log 234＝log 2(34)2＝log 2243＝43.答案 435.设函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 017)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 017)＝______.解析 ∵f (x 21)＋f (x 22)＋f (x 23)＋…＋f (x 22 017) ＝log a x 21＋log a x 22＋log a x 23＋…＋log a x 22 017 ＝log a (x 1x 2x 3…x 2 017)2＝2log a (x 1x 2x 3…x 2 017) ＝2f (x 1x 2x 3…x 2 017)， ∴原式＝2×8＝16. 答案 166.求下列函数的定义域： (1)f (x )＝log (x －1)(3－x )； (2)f (x )＝2x ＋3x －1＋log 2(3x －1). 解 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，x －1>0，x －1≠1，解得1<x <3，且x ≠2，故f (x )的定义域为(1，2)∪(2，3).(2)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，x －1≠0，3x －1>0，解得x >13且x ≠1，故f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1∪(1，＋∞).7.若函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg(x ＋1)，求f (x )的表达式，并画出大致图象.解 ∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 又当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)， ∴f (－x )＝lg(1－x ).又f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝－lg(1－x )，∴f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg （x ＋1），x >0，0，x ＝0，－lg （1－x ），x <0，∴f (x )的大致图象如图所示：能力提升8.已知0<a <1，函数y ＝a x与y ＝log a (－x )的图象可能是( )解析 当0＜a ＜1时，函数y ＝a x在R 上是减函数，排除A ，B ；y ＝log a (－x )与y ＝log a x 的图象关于y 轴对称，故选D. 答案 D9.若函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )解析 由题意y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象过(3，1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，显然图象错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图象可知正确；选项C 中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图象不符；选项D 中，y ＝log 3(－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称，显然不符，故选B.答案 A10.已知函数y ＝log 22－x 2＋x，关于其图象有下列说法： ①关于原点对称；②关于y 轴对称；③过原点.其中正确的是________.解析 由于函数定义域为(－2，2)，关于原点对称，又f (－x )＝log 22＋x 2－x ＝－log 22－x 2＋x ＝－f (x )，故函数为奇函数，故其图象关于原点对称，①正确；因为当x ＝0，y ＝0，所以③正确.答案 ①③11.已知f (x )＝|log 3x |，若f (a )>f (2)，则a 的取值范围为________.解析 作出函数f (x )的图象，如图所示，由于f (2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，故结合图象可知0<a <12或a >2. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) 12.已知函数f (x )＝log 21＋x 1－x. (1)求证：f (x 1)＋f (x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 21＋x 1x 2；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 1＋ab ＝1，f (－b )＝12，求f (a )的值. (1)证明 左边＝log 21＋x 11－x 1＋log 21＋x 21－x 2＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 11－x 1·1＋x 21－x 2 ＝log 21＋x 1＋x 2＋x 1x 21－x 1－x 2＋x 1x 2， 右边＝log 21＋x 1＋x 21＋x 1x 21－x 1＋x 21＋x 1x 2＝log 21＋x 1＋x 2＋x 1x 21＋x 1x 2－x 1－x 2， 所以左边＝右边，所以f (x 1)＋f (x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 21＋x 1x 2. (2)解 因为f (－b )＝log 21－b 1＋b＝－log 21＋b 1－b ＝12， 所以f (b )＝log 21＋b 1－b ＝－12， 利用(1)可知：f (a )＋f (b )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 1＋ab ， 所以f (a )－12＝1， 解得f (a )＝32. 13.(选做题)已知f (x )为定义在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x .(1)当x ∈(－∞，0)时，求函数f (x )的解析式；(2)在给出的坐标系中画出函数f (x )的图象，写出函数f (x )的单调区间，并指出单调性. 解 (1)设x ∈(－∞，0)，则－x ∈(0，＋∞)，所以f (－x )＝log 2(－x )，又f (x )为定义在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，得f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝log 2(－x )(x ∈(－∞，0)).(2)函数图象如图.f(x)的单调增区间是(0，＋∞)，单调减区间是(－∞，0).。
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2对数函数2.2.2第1
[典例 3] 如图所示的曲线 C1、C2、C3、C4 是对数函数 y＝logax 的图象，而 a∈{12，13， 3，π}，则图象 C1、C2、C3、C4 对应函 数的底数依次是________． [解析] 解法一：由对数函数图象特征：图象在 y 轴右侧，x>1 时，图象顺时针 方向，底数逐渐增大，而 a>1 图象是上升的，0<a<1 图象是下降的，或者整体记 忆为：在 x 轴上方，按顺时针方向，底数逐渐增大，即 C3<C4<C1<C2，故答案为 C3＝13，C4＝12，C1＝ 3，C2＝π. 故 C1、C2、C3、C4 对应的函数底数为 3、π、13、12.
解法二：在图中作 y＝1，分别与 C3、C4、C1、C2 交于
A，B，C，D 四点，则 A(a1,1)，B(a2,1)，C(a3,1)，D(a4,1)
(其中 a1，a2，a3，a4 分别为对数函数的底)．由图可知
a1<a2<a3<a4.
∴C3<C4<C1<C2 故 C1、C2、C3、C4 分别为 3、π、13、12.
[答案]
3
π
1 3
1 2
根据对数函数图象判断底数大小的方法： 作直线 y＝1 与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内， 自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．
3．当 a>1 时，函数 y＝logax 和 y＝(1－a)x 的图象只能是( )
解析：∵a>1，∴y＝logax 的图象是上升的；而 y＝(1－a)x 的图象是下降的． 答案：B
对数函数的判断： 判断一个函数是否是对数函数，必须严格符合形如 y＝logax(a＞0 且 a≠1)的形式， 即满足以下条件： (1)系数为 1. (2)底数为大于 0 且不等于 1 的常数． (3)对数的真数仅有自变量 x.
【K12教育学习资料】2018年秋高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2 对数函数 2.2.1
第1课时对数学习目标：1.理解对数的概念，掌握对数的性质，能进行简单的对数计算．(重点、难点)2.理解指数式与对数式的等价关系，会进行对数式与指数式的互化．(重点)3.理解常用对数、自然对数的概念及记法．[自主预习·探新知]1．对数(1)指数式与对数式的互化及有关概念：(2)底数a的范围是a>0，且a≠1.2．常用对数与自然对数3．对数的基本性质(1)负数和零没有对数．(2)log a 1＝0(a>0，且a≠1)．(3)log a a＝1(a>0，且a≠1)．思考：为什么零和负数没有对数？[提示]由对数的定义：a x＝N(a>0且a≠1)，则总有N>0，所以转化为对数式x＝log a N时，不存在N≤0的情况．[基础自测]1．思考辨析(1)log a N是log a与N的乘积．( )(2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.( )(3)对数运算的实质是求幂指数．( )[答案](1)×(2)×(3)√2．若a2＝M(a>0且a≠1)，则有( )A．log2M＝a B．log a M＝2C．log22＝M D．log2a＝MB[∵a2＝M，∴log a M＝2，故选B.]3．若log3x＝3，则x＝( )【导学号：37102256】A ．1B ．3C ．9D ．27D [∵log 3x ＝3，∴x ＝33＝27.]4．ln 1＝________，lg 10＝________.0 1 [∵log a 1＝0，∴ln 1＝0，又log a a ＝1，∴lg 10＝1.][合 作 探 究·攻 重 难]对数的概念(1)对数式log (x －2)(x ＋2)中实数x 的取值范围是________． (2)将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式： ①2－7＝1128；②log 1232＝－5； ③lg 1 000＝3；④ln x ＝2.【导学号：37102257】(1)(2,3)∪(3，＋∞) [(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，x －2>0，x －2≠1，解得x >2，且x ≠3，所以实数x 的取值范围是(2,3)∪(3，＋∞)．] [解] (2)①由2－7＝1128，可得log 21128＝－7. ②由log 1232＝－5，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－5＝32.③由lg 1 000＝3，可得103＝1 000. ④由ln x ＝2，可得e 2＝x .将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式；将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式[跟踪训练]1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)3－2＝19； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫14－2＝16；(3)log 1327＝－3; (4)logx64＝－6.【导学号：37102258】[解] (1)log 319＝－2；(2)log 1416＝－2；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫13－3＝27；(4)(x )－6＝64.利用指数式与对数式的互化求值求下列各式中的x 的值： (1)log 64x ＝－23； (2)log x 8＝6；(3)lg 100＝x; (4)－ln e 2＝x .[解] (1)x ＝(64)－23＝(43)－23＝4－2＝116.(2)x 6＝8，所以x ＝(x 6)16＝816＝(23) 16＝212＝ 2. (3)10x ＝100＝102，于是x ＝2.(4)由－ln e 2＝x ，得－x ＝ln e 2，即e －x＝e 2， 所以x ＝－2.[规律方法]要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解.应用对数的基本性质求值 [探究问题]1．你能推出对数恒等式a log a N＝N (a >0且a ≠1，N >0)吗？ 提示：因为a x＝N ，所以x ＝log a N ，代入a x＝N 可得a log a N ＝N .2．如何解方程log 4(log 3x )＝0?提示：借助对数的性质求解，由log 4(log 3x )＝log 41，得log 3x ＝1，∴x ＝3.设5log 5(2x －1)＝25，则x 的值等于( ) A ．10 B ．13 C ．100D ．±100(2)若log 3(lg x )＝0，则x 的值等于________.【导学号：37102259】思路探究：(1)利用对数恒等式a log a N＝N 求解； (2)利用log a a ＝1，log a 1＝0求解．(1)B (2)10 [(1)由5log 5(2x －1)＝25得2x －1＝25，所以x ＝13，故选B. (2)由log 3(lg x )＝0得lg x ＝1，∴x ＝10.][规律方法] 1.利用对数性质求解的2类问题的解法1求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求log a log b c 的值，先求log b c 的值，再求log a log b c 的值.2已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解.2.性质a log a N＝N 与log a a b＝b 的作用1a log a N ＝N 的作用在于能把任意一个正实数转化为以a 为底的指数形式.2log a a b＝b 的作用在于能把以a 为底的指数转化为一个实数.[当 堂 达 标·固 双 基]1．在b ＝log 3(m －1)中，实数m 的取值范围是( )【导学号：37102260】A ．RB ．(0，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)D [由m －1>0得m >1，故选D.]2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A ．100＝1与lg 1＝0B ．27－13＝13与log 2713＝－13C ．log 39＝2与912＝3 D ．log 55＝1与51＝5C [C 不正确，由log 39＝2可得32＝9.] 3．若log 2(log x 9)＝1，则x ＝________.【导学号：37102261】3 [由log 2(log x 9)＝1可知log x 9＝2，即x 2＝9，∴x ＝3(x ＝－3舍去)．]4．log 33＋3log 32＝________.3 [log 33＋3log 32＝1＋2＝3.] 5．求下列各式中的x 值：(1)log x 27＝32； (2)log 2 x ＝－23；(3)x ＝log 2719； (4)x ＝log 1216.【导学号：37102262】[解] (1)由log x 27＝32，可得x 32＝27，∴x ＝2723＝(33)23＝32＝9.(2)由log 2x ＝－23，可得x ＝2－23，∴x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223＝314＝322. (3)由x ＝log 2719，可得27x＝19，∴33x ＝3－2，∴x ＝－23.(4)由x ＝log 1216，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＝16， ∴2－x＝24，∴x ＝－4.。
高中数学第二章基本初等函数(ⅰ)2.2对数函数2.2.1第2课时对数的运算aa高一数学
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解：方法一：由 18b＝5，得 log185＝b，又 log189＝a，所以 log3645＝lloogg11884356＝lolgo1g811889××925× 9
＝lologg1811898＋2－lologg181589＝2a－＋ab.
方法二：a＝log189＝llgg198＝lg
2
13
1
－lg 3分别化为 lg 95 ，lg 272 ×5 ，lg 3－2 ，再逆用性质把分
子、12/分12/20母21 分别合并成一个对数，再化简．
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解：方法一：正用公式．
lg 原式＝
3＋45lg 3＋190lg 4lg 3－3lg
3－12lg 3
3
＝1＋454＋－1390－lg 123lg 3＝151. 方法二：逆用公式．
2lg 3 2＋2lg
， 3
所以 lg 2＝21－aalg 3.①
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又
18b＝5，则
b＝log185＝llgg158＝lg
lg 5 2＋2lg
， 3
所以 lg 5＝2ablg 3.②
log3645＝llgg 4356＝2llgg 92＋＋l2glg53＝22llgg23＋＋2llgg53，
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解析：(1)10lg 2＝2.
(2)31＋log34＝3×3log34＝3×4＝12.
(3)22log25－1＝2lo2g252＝522＝225.
(4)13log34－2＝32－log34＝3l3og234＝94.
答案：(1)2
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2 对数函数 2.2.1 第一课时 对数 新人教A版必修1
方法技巧 解决此类问题应抓住对数的两条性质loga1=0和logaa=1 (a>0,且a≠1),这是将对数式化简、求简单对数值的基础,若已知对数值求 真数,则可将其化为指数式运算求解.
即时训练
2-1:计算:(1)log927;(2) log4 3
81;(3) log 3 54
625.
解:(1)设 x=log927,则 9x=27,32x=33,所以 x= 3 . 2
所以原式=3+2=5. …………………………………3 分
(2)原式=22×
2
log
2
1 3
=4×
1
=
4
.………………6
分
33
(3)原式=10×10lg 2=10×2=20.……………………9 分
(4)原式=e-1×eln 3= 1 ×3= 3 .……………………12 分
e键是利用指数幂的相关运算性质把式子 转化为 aloga N 的形式.
解:(1)因为 log2x2 1 (3x2+2x-1)=1,所以 3x2+2x-1=2x2-1, 解之得 x=-2 或 x=0,又当 x=0 时,3x2+2x-1<0,故 x=0 舍去,所以 x=-2. (2)因为log2[log3(log4x)]=0, 所以log3(log4x)=1,所以log4x=3,所以x=43=64.
知识探究
1.对数的概念 一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作 中a叫做对数的 底数,N叫做 真.数
x=log,a其N
2.常用对数与自然对数 (1)常用对数:通常我们将以 10为底的对数叫做常用对数,记作 (2)自然对数:以 e为底的对数称为自然对数,记作 ln .N
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2对数函数2.2.1对数
探究一 对数运算性质的应用
【例 1】计算下列各式的值: (1)log2 (2)lg
7 96 2 52+ lg 3
+log224- log284;
2
1
8+lg 5· lg 20+(lg 2) 2.
1 1 √7×24 =log2 =- . √96× √84 √2 2
分析:利用对数的运算性质进行计算 . 解:(1)(方法一 )原式=log2 (方法二 )原式 1 7 1 = log2 +log2(23×3)- log2(22×3×7) = log27- log2(25×3)+3+log23- 1- log23- log27=- ×5- log23+2+ l og23=- +2=- . (2)原式 =2lg 5+2lg 2+lg 5×(1+lg 2)+(lg 2)2 =2(lg 5+lg 2)+lg 5+lg 2(lg 5+lg 2) =2+lg 5+lg 2=2+1= 3.
lg243 lg9
= lg 32 = 2lg3 = 2.
lg 35
5lg3
5
探究二 换底公式的应用
【例 2】 计算下列各式的值: (1)log89· log2732; 解:(1)原式= (2)原式 = =
lg3 2lg2 lg2 lg3 lg9 lg2 lg3 10
(2)(log43+log83)
第二章 基本初等函数（I）
2.2 对数函数 2.2.1 对数与对数运算
第二课时 对数的运算性质
学习目标
学 习 目 标 1.掌握对数的运算性质,并能运 用运算性质化简、求值. 2.了解对数的换底公式及其应 用. 3.初步掌握对数在生活中的应 用. 思 维 脉 络
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2 对数函数 2.2.2 对数函数及其性质讲义3 新人教A版必修1
[解析] 解法一 首先，曲线y＝ax只可能在上半平面，y＝
loga(－x)只可能在左半平面，从而排除A、C. 其次，从单调性着眼．y＝ax与y＝loga(－x)的增减性正好相反 ，又可排除D.∴应选B.
∴由对数函数的单调性，得 log0.71.1>log0.71.2. 又∵log0.71.2<log0.71.1<0， ∴log01.71.1<log01.71.2， 即 log1.10.7<log1.20.7. 另外，也可以利用对数函数图象，当底数大于 1 时，底数 越大，在直线 x＝1 左侧图象越靠近 x 轴，由右图所示，可知 log1.10.7<log1.20.7.
[解析] (1)方法一：∵f(x)是定义域为 R 的奇函数， ∴f(0)＝0，∴k－1＝0，∴k＝1， ∴f(x)＝ax－a－x，f(－x)＝a－x－ax＝－(ax－a－x)＝－f(x)， ∴k＝1 符合题意． 方法二：∵f(－x)＝ka－x－ax，－f(x)＝－kax＋a－x， 又 f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)恒成立， ∴k－＝11＝，－k， 解得 k＝1.
2．要注意从多角度分析问题，培养思维的灵活性．
跟踪练习
将本例中条件改为 a>1，则函数 y＝a－x 与 y＝logax 的图象 是( )
[答案] A
[解析] ∵a>1，∴y＝logax 在(0，＋∞)上为增函数，∴C、 D 排除．
又∵y＝a－x＝(1a)x,0<1a<1， ∴y＝a－x 在(－∞，＋∞)上为减函数，故选 A.
题型讲解
命题方向一 指、对数式的运算
【配套K12】[学习]2018年秋高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)阶段复习课 第3课 基本初等函
![【配套K12】[学习]2018年秋高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)阶段复习课 第3课 基本初等函](https://img.taocdn.com/s3/m/8f97f7376bd97f192279e9ce.png)
章末综合测评(二) 基本初等函数(Ⅰ)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若a <12，则化简4a －2的结果是( ) A.2a －1 B ．－2a －1 C.1－2aD ．－1－2aC [∵a <12，∴2a －1<0.于是，原式＝4－2a2＝1－2a .]2．计算：log 225·log 522＝( )【导学号：37102334】A ．3B ．4C ．5D ．6A [log 225·log 522＝lg 25lg 2·lg 22lg 5＝2lg 5lg 232lg 2·lg 5＝2×32＝3.]3．函数y ＝1log 2x －的定义域是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞)C [由⎩⎪⎨⎪⎧log 2x －，x －2>0，得x >2且x ≠3，故选C.]4．已知幂函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝9，则f (x )的图象所分布的象限是( )【导学号：37102335】A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第一、四象限D ．只在第一象限A [设f (x )＝x n ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫13n＝9，n ＝－2，∴f (x )＝x －2，因此f (x )的图象在第一、第二象限．]5．在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a(x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )D [法一(排除法)：当a >1时，y ＝x a 与y ＝log a x 均为增函数，但y ＝x a递增较快，排除C ；当0<a <1时，y ＝x a 为增函数，y ＝log a x 为减函数，排除A.由于y ＝x a递增较慢，所以选D.法二(直接法)：幂函数f (x )＝x a的图象不过(0,1)点，故A 错；B 项中由对数函数f (x )＝log a x 的图象知0<a <1，而此时幂函数f (x )＝x a的图象应是增长越来越慢的变化趋势，故B 错，D 对；C 项中由对数函数f (x )＝log a x 的图象知a >1，而此时幂函数f (x )＝x a的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C 错．]6．若0<a <1，在区间(－1,0)上函数f (x )＝log a (x ＋1)是( )【导学号：37102336】A ．增函数且f (x )>0B ．增函数且f (x )<0C ．减函数且f (x )>0D ．减函数且f (x )<0C [当－1<x <0，即0<x ＋1<1，且0<a <1时，有f (x )>0，排除B 、D.设u ＝x ＋1，则u 在(－1,0)上是增函数，且y ＝log a u 在(0，＋∞)上是减函数，故f (x )在(－1，0)上是减函数．] 7．函数f (x )＝4x＋12x 的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称D [易知f (x )的定义域为R ，关于原点对称．∵f (－x )＝4－x＋12－x ＝1＋4x2x ＝f (x )，∴f (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称．]8．若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( )【导学号：37102337】A ．(0,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(0,1)∪(1，＋∞)C [由题意得a >0且a ≠1，故必有a 2＋1>2a . 又log a (a 2＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1， 同时2a >1，∴a >12，综上，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.] 9．已知a ＝5log 23.4，b ＝5log 43.6，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15log 30.3，则( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >a >bC [c ＝5log 3103，只需比较log 23.4，log 43.6，log 3103的大小，又0<log 43.6<1，log 23.4>log 33.4>log 3103>1，所以a >c >b .]10．函数f (x )＝a|x ＋1|(a >0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的关系是( )【导学号：37102338】A ．f (－4)＝f (1)B ．f (－4)>f (1)C ．f (－4)<f (1)D ．不能确定B [因为函数f (x )＝a|x ＋1|(a >0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a >1，又函数f (x )＝a|x ＋1|(a >0，且a ≠1)的图象关于直线x ＝－1对称，所以f (－4)>f (1)．]11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x ，x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，x <2满足对任意的实数x 1≠x 2都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，2) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，138 C ．(－∞，2]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫138，2 B [由题意知函数f (x )是R 上的减函数，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，a －⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1，由此解得a ≤138，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，138，选B.]12．函数f (x )＝ax 5－bx ＋1，若f (lg(log 510))＝5，则f (lg(lg 5))的值为( )【导学号：37102339】A ．－3B ．5C ．－5D ．－9A [lg(log 510)＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1lg 5＝－lg(lg 5)，设t ＝lg(lg 5)，则f (lg(log 510))＝f (－t )＝5. 因为f (x )＝ax 5－bx ＋1， 所以f (－t )＝－at 5＋bt ＋1＝5， 则f (t )＝at 5－bt ＋1， 两式相加得f (t )＋5＝2， 则f (t )＝2－5＝－3， 即f (lg(lg 5)的值为－3.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．函数f (x )＝ax －1＋3的图象一定过定点P ，则P 点的坐标是________．(1,4) [由于函数y ＝a x恒过(0,1)，而y ＝a x －1＋3的图象可看作由y ＝a x的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到的，则P 点坐标为(1,4)．] 14．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________.【导学号：37102340】⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ [函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞， 令t ＝2x ＋1(t >0)．因为y ＝log 5t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数，t ＝2x ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上为增函数，所以函数y ＝log 5(2x ＋1)的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.]15．已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a ＞0，且a ≠1)，若f (x )＞1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83 [当a ＞1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数，由于f (x )＞1恒成立，所以f (x )min ＝log a (8－2a )＞1，故1＜a ＜83.当0＜a ＜1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是增函数，由于f (x )＞1恒成立，所以f (x )min ＝log a (8－a )＞1，即a ＞4，且8－2a ＞0，a ＜4，显然这样的a 不存在．故a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83.]16．若函数f (x )＝lg(10x＋1)＋ax 是偶函数，g (x )＝4x－b2x 是奇函数，则a ＋b ＝________.【导学号：37102341】12[∵f (x )为偶函数， ∴f (－x )－f (x )＝0，即lg(10－x＋1)－ax －lg(10x＋1)－ax ＝0，即lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋10x10x －ax ＝lg(10x＋1)＋ax ，所以(2a ＋1)x ＝0对任意实数x 恒成立． 所以2a ＋1＝0得a ＝－12.因为g (x )是奇函数，又g (x )的定义域是R ， 所以g (0)＝1－b1＝0，得b ＝1.于是a ＋b ＝－12＋1＝12.]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)求值：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫21412－(－9.6)0－⎝ ⎛⎭⎪⎫338－23＋(1.5)－2； (2)log 2512·log 45－log 133－log 24＋5log 52.[解] (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫21412－(－9.6)0－⎝ ⎛⎭⎪⎫338－23＋(1.5)－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9412－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫278－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＝32－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝32－1－49＋49＝12. (2)log 2512·log 45－log 133－log 24＋5log 52＝－14＋1－2＋2＝34.18．(本小题满分12分)已知指数函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)过点(－2,9)． (1)求函数f (x )的解析式；(2)若f (2m －1)－f (m ＋3)<0，求实数m 的取值范围.【导学号：37102342】[解] (1)将点(－2,9)代入f (x )＝a x (a >0，a ≠1)得a －2＝9，解得a ＝13，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x.(2)∵f (2m －1)－f (m ＋3)<0， ∴f (2m －1)<f (m ＋3)．∵f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x为减函数，∴2m －1>m ＋3，解得m >4， ∴实数m 的取值范围为(4，＋∞)．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，3x，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，求实数a 的取值范围．[解] 如图，在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线在y 轴上的截距，由图可知，当a ＞1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝log 2x 只有一个交点．所以实数a 的取值范围是(1，＋∞)． 20．(本小题满分12分)已知1≤x ≤4，求函数f (x )＝log 2x 4·log 2x2的最大值与最小值.[解] ∵f (x )＝log 2x 4·log 2x2＝(log 2x －2)(log 2x －1) ＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x －322－14，又∵1≤x ≤4，∴0≤log 2x ≤2，∴当log 2x ＝32，即x ＝232＝22时，f (x )有最小值－14.当log 2x ＝0时，f (x )有最大值2，此时x ＝1. 即函数f (x )的最大值是2，最小值是－14.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log a (x －1)，g (x )＝log a (3－x )(a ＞0且a ≠1)． (1)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的定义域；(2)利用对数函数的单调性，讨论不等式f (x )≥g (x )中x 的取值范围．[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x －1＞0，3－x ＞0，得1＜x ＜3，∴函数h (x )的定义域为(1,3)． (2)不等式f (x )≥g (x )，即为log a (x －1)≥log a (3－x )．(*)①当0＜a ＜1时，不等式(*)等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －1≤3－x ，x －1>0，3－x >0，解得1＜x ≤2.②当a ＞1时，不等式(*)等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，3－x >0，x －1≥3－x ，解得2≤x ＜3.综上，当0＜a ＜1时，原不等式解集为(1,2]； 当a ＞1时，原不等式解集为[2,3)． 22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x .(1)求证：f (x )是奇函数； (2)求证：f (x )＋f (y )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy ；(3)若f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 1＋ab ＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 1－ab ＝2，求f (a )，f (b )的值.[解] (1)证明：由函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ，可得1－x 1＋x >0，即x －11＋x <0，解得－1<x <1，故函数的定义域为(－1,1)，关于原点对称．再根据f (－x )＝lg 1＋x 1－x ＝－lg 1－x1＋x ＝－f (x )，可得f (x )是奇函数．(2)证明：f (x )＋f (y )＝lg 1－x 1＋x ＋lg 1－y1＋y＝lg－x－y＋x＋y， 而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy ＝lg 1－x ＋y 1＋xy 1＋x ＋y 1＋xy＝lg 1＋xy －x －y 1＋xy ＋x ＋y ＝lg－x －y＋x＋y， ∴f (x )＋f (y )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy 成立．(3)若f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 1＋ab ＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 1－ab ＝2，则由(2)可得f (a )＋f (b )＝1，f (a )－f (b )＝2， 解得f (a )＝32，f (b )＝－12.。
2018年秋高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2对数函数2.2.2对数函数及其性质第2
第2课时对数函数及其性质的应用学习目标：1.掌握对数函数的单调性，会进行同底对数和不同底对数大小的比较.（重点）2.通过指数函数、对数函数的学习，加深理解分类讨论、数形结合这两种重要数学思想的意义和作用. （重 点）［合作探究•攻重难］I^SlI _____________________________比较对数值的大小 例 比较下列各组值的大小.3 一 4⑴log 5与log 5石;43⑵log S 与 log 12;35（3）log 23与 log 4【导学号：37102296】3 4 3 4 ［解］（1）法一（单调性法）：对数函数y = log 5X 在（0,+^）上是增函数，而二 <-，所以log 5 <log ^.4 3 4 3 3 4法二（中间值法）:因为log 54<0, log 百>0, 所以 log 5|<log 53.又因对数函数y = log 2X 在(0,+^)上是增函数, 1 1 1 1 且 1>1，所以 0>log 21>log 21， 3 5 3 5 所以 ^^<^^,所以 log 12<log 12.1 1 35log 23 log 2535⑶取中间值1,因为 log 23>log 22= 1 = log 55>log 54, 所以 log 23>log 54.(2)由于 log 12 =31 log23log 12 = 51 log25底数和真数都不同，找中间量提醒：比较数的大小时先利用性质比较出与零或［跟踪训练］ 1.比较下列各组值的大小：⑴log ?0.5 , log 206 3 3⑵log 1.51.6 , log 1.5I.4.(3)log 0.57, log 0.67.⑷log 3 n , log 2O.8.［解］(1)因为函数 y = log 2x 是减函数，且 0.5<0.6，所以 log ?0.5>log ?0.6.3 3 3 (2) 因为函数 y = log 1.5X 是增函数，且 1.6>1.4，所以 log 1.5 1.6>log 1.5 1.4. (3) 因为 0>log 70.6>log 70.5 ,的大小所以<log 70.6 log 70.5 即log 0.6 7<log 0.5 7.(4)因为 log 3n >log 31= 0, log O8<log 21 = 0，所以 log 3 n >log 20.8.|^S2|解对数不等式已知函数 f (x ) = log a (x -1) , g (x ) = log a (6 -2x )( a >0,且 a * 1).(1) 求函数$ (x ) = f (x ) + g ( x )的定义域； (2) 试确定不等式f (x ) w g (x )中x 的取值范围. 思路探究：(1)直接由对数式的真数大于 0联立不等式组求解 x 的取值集合;(2)分a > 1和0 v a < 1求解不等式得答案.x — 1>0,［解］(1)由〈解得1 <x <3,二函数$ (x )的定义域为{x |1 <x < 3}.|6 — 2x>0,⑵ 不等式 f (x ) w g (x )，即为 log a (x — 1) w log a (6 — 2x ),‘1<x <3,7①当a > 1时，不等式等价于’解得1<x w?，1<x <3,②当0<a < 1时，不等式等价于1—1》6— 2x , 解得|w x <3.3综上可得，当 a >1时，不等式的解集为当0< a< 1,不等式的解集为||, 3 i'［跟踪训练］12. ⑴已知log a2>1，求a的取值范围；⑵已知log 0.7 (2 x)<log 0.7 (x- 1)，求x的取值范围【导学号：37102297】, 1 e 1(1)由log a，>1 得log a2>log a a.①当a>1时，有a<2，此时无解.1 1②当0<a<1时，有2<a，从而2<a<1.所以a的取值范围是2，1 .⑵因为函数y = log 0.7X在(0 ,+^)上为减函数,2x>0,解得x>1.所以由log 0.72x<log 0.7(x —1)得x—1>0,2x>x —1,即x的取值范围是(1 ,+^).l^®3| ____________________________对数函数性质的综合应用［探究问题］1.函数f(x) = log 1(2x —1)的单调性如何？求出其单调区间.2提示：函数f(x) = log 1(2x —1)的定义域为2，+m ,因为函数y = log 1x是减函数，函数y = 2x2 J * 2—1是增函数，所以f(x) = log 1(2 x —1)是2，+m 上的减函数，其单调递减区间是占+^ .22.如何求形如y= log a f (x)的值域？提示：先求y= f (x)的值域，注意f (x)>0 ,在此基础上，分a>1和0<a<1两种情况，借助y = log a x的单调性求函数 y = log a f (x )的值域.A. (0,1) B . (1,2) C. (0,2)D. [2 ,+^)2⑵ 函数f (x ) = log 1(x + 2x + 3)的值域是 ___________2思路探究：(1)结合对数函数及 y =2 — ax 的单调性，构造关于 a 的不等式组，解不等式组可得. (2)先求真数的范围，再根据对数函数的单调性求解. (1) B (2)(— 1][⑴••• f (x ) = log a (2 — ax )在[0,1]上是减函数，且y = 2 — ax 在[0,1]上是减函数，2 2⑵ f (x ) = log 1(x + 2x + 3) = log 1[( x + 1) + 2],2 22因为(x + 1) + 2>2,所以 log 1[( x + 1)2+ 2] w log 12=— 1,所以函数 f (x )的值域是(一^,— 1].] 2 2母题探究：1.求本例 ⑵ 的函数f (x )在[—3,1]上的值域. [解]T x € [ — 3,1],2• 2w x + 2x + 3< 6,2• log 16w log 1(x + 2x + 3) w log 22,2 2即一log 26W f (x ) w 1, • f (x )的值域为［—log 26,1］.2.若本例 ⑵ 中的函数在(一a, a ］上单调递增，求a 的取值范围. ［解］由复合函数的单调性可知，函数g (x ) = x 2+ 2x + 3在(一a, a ］上单调递减，所以 a w — 1,即实数a 的取值范围为(一^，―1］.［规律方法］.已知对数型函数的单调性求参数的取值范围，要结合复合函数的单调性规律，注意函数的定 义域求解；若是分段函数，则需注意两段函数最值的大小关系..求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求解.［当堂达标•固双基］卜例(1)已知y = log a(2 — ax )是［0,1］上的减函数，贝U a 的取值范围为(【导学号：37102298】log a 2> log a 7 — a 即y y -a >1,a >1,••• 1 v a v 2.2 — a >0,1.设a= log 32, b= log 52, c= log 23，则()A. a>c>bB. b>c>aC. c>b>aD. c>a>bD [a= log 32<log 33 = 1; c = log 23>log 22 = 1,由对数函数的性质可知log 52<log 32,选D.]2 .函数y = log 1(2x+ 1)的值域为___________ .2【导学号: A b<a<c,故371022 99】x(—^, 0) [ T2 +1>1，函数y = log _x 是(0 ,+^)上的减函数,2/• log 1(2x+ 1)<log 11= 0,即所求函数的值域为(―汽0).］2 23. 若函数f(x) = log 2(ax+ 1)在［0,1］上单调递增，则实数a的取值范围是_______a>0,(0，+m)［由题意得* 解得a>0.］a x 0+ 1>0,4. __________________________________________ 函数f (x) = log 2(1 + 2x)的单调增区间是___________________________________________ .—2，+m［易知函数f (x)的定义域为i —^,+m，又因为函数y= log 2X和y = 函数，所以f(x)的单调增区间是一1,+^ .］5. 已知a>0且满足不等式22a+1>25a—:(1) 求实数a的取值范围；⑵求不等式log a(3x+ 1)<log a(7 —5x)的解集；⑶若函数y = log a(2x —1)在区间［1,3］上有最小值为—2，求实数a的值•【导学号: ［解］(1)；2沖1>25a—2,A2 a+ 1 >5a—2，即3a<3, A a< 1,即0v a< 1.(2) 由(1)得，0< a< 1, v log a(3x + 1)<log a(7 —5x),1 + 2x都是增371023 00】1x>—3，7即x<5, 解得4<x<5.4 53即不等式的解集为3,7.⑶•/ 0< a v 1, •••函数y = log a（2x —1）在区间［1,3］上为减函数，•••当x = 3时，y有最小值为—2, 即log a5 = —2, •2=吕=5,解得a^ -55.。
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第1课时对数
学习目标：1.理解对数的概念，掌握对数的性质，能进行简单的对数计算．(重点、难点)2.理解指数式与对数式的等价关系，会进行对数式与指数式的互化．(重点)3.理解常用对数、自然对数的概念及记法．
[自主预习·探新知]
1．对数
(1)指数式与对数式的互化及有关概念：
(2)底数a的范围是a>0，且a≠1.
2．常用对数与自然对数
3．对数的基本性质
(1)负数和零没有对数．
(2)log a 1＝0(a>0，且a≠1)．
(3)log a a＝1(a>0，且a≠1)．
思考：为什么零和负数没有对数？
[提示]由对数的定义：a x＝N(a>0且a≠1)，则总有N>0，所以转化为对数式x＝log a N时，不存在N≤0的情况．
[基础自测]
1．思考辨析
(1)log a N是log a与N的乘积．( )
(2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.( )
(3)对数运算的实质是求幂指数．( )
[答案](1)×(2)×(3)√
2．若a2＝M(a>0且a≠1)，则有( )
A．log2M＝a B．log a M＝2
C．log22＝M D．log2a＝M
B[∵a2＝M，∴log a M＝2，故选B.]
3．若log3x＝3，则x＝( )
【导学号：37102256】
A ．1
B ．3
C ．9
D ．27
D [∵log 3x ＝3，∴x ＝33
＝27.] 4．ln 1＝________，lg 10＝________.
0 1 [∵log a 1＝0，∴ln 1＝0，又log a a ＝1，∴lg 10＝1.]
[合 作 探 究·攻 重 难]
对数的概念
(1)对数式log (x －2)(x ＋2)中实数x 的取值范围是________． (2)将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式： ①2－7
＝
1
128；②log 12
32＝－5； ③lg 1 000＝3；④ln x ＝2.
【导学号：37102257】
(1)(2,3)∪(3，＋∞) [(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2>0，x －2>0，
x －2≠1，
解得x >2，且x ≠3，所以实数x 的取值
范围是(2,3)∪(3，＋∞)．] [解] (2)①由2－7
＝
1128，可得log 21
128
＝－7. ②由log 12
32＝－5，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－5
＝32.
③由lg 1 000＝3，可得103
＝1 000. ④由ln x ＝2，可得e 2
＝x .
将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式；将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式
[跟踪训练]
1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)3－2
＝19； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫14－2
＝16；
(3)log 13
27＝－3; (4)log
x
64＝－6.
【导学号：37102258】
[解] (1)log 31
9＝－2；(2)log 14
16＝－2；
(3)⎝ ⎛⎭
⎪⎫13－3
＝27；(4)(x )－6
＝64.
利用指数式与对数式的互化求值
求下列各式中的x 的值： (1)log 64x ＝－2
3； (2)log x 8＝6；
(3)lg 100＝x; (4)－ln e 2
＝x .
[解] (1)x ＝(64)－23＝(43
)－23＝4－2＝116.
(2)x 6＝8，所以x ＝(x 6)16＝816＝(23
) 16＝21
2＝ 2. (3)10x ＝100＝102
，于是x ＝2.
(4)由－ln e 2
＝x ，得－x ＝ln e 2
，即e －x
＝e 2
， 所以x ＝－2.
[规律方法]
要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解.
应用对数的基本性质求值 [探究问题]
1．你能推出对数恒等式a log a N
＝N (a >0且a ≠1，N >0)吗？ 提示：因为a x
＝N ，所以x ＝log a N ，代入a x
＝N 可得a log a N ＝N .
2．如何解方程log 4(log 3x )＝0?
提示：借助对数的性质求解，由log 4(log 3x )＝log 41，得log 3x ＝1，∴x ＝
3.
设5log 5(2x －1)＝25，则x 的值等于( ) A ．10 B ．13 C ．100
D ．±100
(2)若log 3(lg x )＝0，则x 的值等于________.
【导学号：37102259】
思路探究：(1)利用对数恒等式a log a N
＝N 求解； (2)利用log a a ＝1，log a 1＝0求解．
(1)B (2)10 [(1)由5log 5(2x －1)＝25得2x －1＝25，所以x ＝13，故选B. (2)由log 3(lg x )＝0得lg x ＝1，∴x ＝10.]
[规律方法] 1.利用对数性质求解的2类问题的解法
求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求log a b c 的值，先求log b c 的值，再求log a b c
的值.已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解.
2.性质a log a N
＝N 与log a a b
＝b 的作用
a log a N ＝N 的作用在于能把任意一个正实数转化为以a 为底的指数形式.
log a a b
＝b 的作用在于能把以a 为底的指数转化为一个实数.
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．在b ＝log 3(m －1)中，实数m 的取值范围是( )
【导学号：37102260】
A ．R
B ．(0，＋∞)
C ．(－∞，1)
D ．(1，＋∞)
D [由m －1>0得m >1，故选D.]
2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A ．100
＝1与lg 1＝0
B ．27－13
＝13与log 2713＝－13
C ．log 39＝2与91
2
＝3 D ．log 55＝1与51
＝5
C [C 不正确，由log 39＝2可得32
＝9.] 3．若log 2(log x 9)＝1，则x ＝________.
【导学号：37102261】
3 [由log 2(log x 9)＝1可知log x 9＝2，即x 2
＝9，∴x ＝3(x ＝－3舍去)．]
4．log 33＋3
log 32
＝________.
3 [log 33＋3log 32
＝1＋2＝3.] 5．求下列各式中的x 值：
(1)log x 27＝32； (2)log 2 x ＝－23；
(3)x ＝log 271
9
； (4)x ＝log 12
16.
【导学号：37102262】
[解] (1)由log x 27＝3
2，可得x 32
＝27，
∴x ＝2723＝(33)23＝32
＝9.
(2)由log 2x ＝－23，可得x ＝2－23
，
∴x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223
＝314＝322. (3)由x ＝log 2719，可得27x
＝19，
∴33x ＝3－2
，∴x ＝－23
.
(4)由x ＝log 12
16，可得⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
＝16， ∴2－x
＝24
，∴x ＝－4.。