2014-2015人教版高三模拟联考数学试题及答案(理科)
高三2014-2015学年度第二次联考(参考答案)(4月28日定稿)
江西省新八校2014-2015学年度第二次联考高三数学理科试题卷参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
ACADA BCDAD CA二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡上.13.7114．023=+-y x 15.π10 16．),21[+∞-三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请把答案做在答题卡上.17.解：（1）()1cos(2)3cos 21sin 23cos 212sin(2).23f x x x x x x ππ⎡⎤=-+-=+-=+-⎢⎥⎣⎦----3分 又,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则32326πππ≤-≤x ，故当232x ππ-=， 即512x πα==时，max () 3.f x = -------------------------------------------------------------------------------6分（2）由（1）知123A ππα=-=，由2sin sin sin B C A =即2bc a =，又222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-， 则22b c bc bc +-=即2()0b c -=，故0.b c -= c b =∴ 又123A ππα=-=所以三角形为等边三角形. 12分18.解：（1）依题意可得，任意抽取一位市民会购买口罩的概率为41， 从而任意抽取一位市民不会购买口罩的概率为43． 设“至少有一位市民会购买口罩”为事件A ，则，()6437642714313==⎪⎭⎫⎝⎛=--A P ，故至少有一位市民会购买口罩的概率6437． --------------------- 5分 （2）X 的所有可能取值为：0,1，2，3，4．-------------------------------6分()25681430404=⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P ，()642725610841431314==⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==C X P ()1282725654414322224==⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==C X P ，()6432561241433334==⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==C X P ，()25614144=⎪⎭⎫⎝⎛==X P 所以X 的分布列为：X0 1 234P256816427 12827 643 2561 ---------------------------------------------------------------- 10分 ()125614643312827264271256810=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E 12分 或⎪⎭⎫ ⎝⎛414，B ~X ，1==∴np EX -----------------------------12分19．【解析】【方法一】（1）证明：由题意知23,D C = 则222B C D B D C B D D C+∴⊥=，， P D A B C D B D P D P D C D D ⊥∴⊥= 面而，，，..B D P DC P C PD C B D P C ∴⊥∴⊥ 面在面内，（6分） （2）过E 作EH CD ⊥交CD 于H ，再过H 作HN ⊥AB 交AB 于N ，连结EN ，则AB EN ⊥，故ENH ∠为所求角。
2015年高三数学理科模拟试卷及参考答案
2015年高三数学理科模拟试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若复数221z i i=++，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为( )A.22B. 2C. 3D. 2 2．设a ∈R ，则“4a =”是“直线1:230l ax y +-=与直线2:20l x y a +-=平行”的( )条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要3．设函数()2xf x =，则下列结论中正确的是( ) A. (1)(2)(2)f f f -<<- B. (2)(1)(2)f f f -<-<C. (2)(2)(1)f f f <-<-D. (1)(2)(2)f f f -<-<4．设等差数列{n a 的前n 项和是n S ，若11m m a a a +-<<-(m ∈N *,且2m ≥)，则必定有( )A. 0m S >，且10m S +<B. 0m S <，且10m S +>C. 0m S >，且10m S +>D. 0m S <，且10m S +<5．已知实数x ∈[1，9]，执行如图所示的流程图， 则输出的x 不小于55的概率为( ) A.14B.23C.28D.386．某几何体的立体图如图所示，该几何体的三视图不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．设函数()log (01)a f x x a =<<的定义域为[,](m n m <)n ,值域为[0,1],若n m -的最小值为13,则实数a 的值为( )A. 14B.14或23C.23D.23或348．设双曲线22143x y-=的左,右焦点分别为12,F F,过1F的直线l交双曲线左支于,A B两点,则22BF AF+的最小值为( )A.192B. 11C. 12D. 169．已知集合{}(,)(1)(1)A x y x x y y r=-+-≤，集合{}222(,)B x y x y r=+≤，若BA⊂，则实数r可以取的一个值是( )A. 21+ B. 3 C. 2 D.212+10．设函数11,(,2)()1(2),[2,)2x xf xf x x⎧--∈-∞⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，则函数()()1F x xf x=-的零点的个数为( )A. 4B. 5C. 6D. 711．设等差数列{}na满足：22222233363645sin cos cos cos sin sin1sin()a a a a a aa a-+-=+，公差(1,0)d∈-.若当且仅当9n=时，数列{}n a的前n项和n S取得最大值，则首项1a的取值范围是( )A.74,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭B.43,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭C.74,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.43,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．已知椭圆，过椭圆右焦点F的直线L交椭圆于A、B两点，交y轴于P点．设，则λ1+λ2等于（）A．B．C．D．第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13．从3,2,1,0中任取三个数字，组成无重复数字的三位数中，偶数的个数是(用数字回答)．14．若整数．．,x y满足不等式组70y xx yx-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩,则2x y+的最大值为15．已知正三棱锥P﹣ABC中，E、F分别是AC，PC的中点，若EF⊥BF，AB=2，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为．16．设P（x，y）为函数y=x2﹣1图象上一动点，记，则当m最小时，点P的坐标为．三．解答题。
2014年高三联考数学试卷(理科)(二)
2014年高三联考数学试卷（理科）（二）注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答。
答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名；2．本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式 1221ˆni ii nii x y nx ybxnx ==-⋅=-∑∑，ˆay bx =- 方差∑=+=n i i x n x n s 1222)(1如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）第Ⅰ卷（40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．已知集合{}{}2|12,|log 2A x x B x x =-<=<，则A B I = A ．(-1,3) B ．(0,4) C ．(0,3) D ．(-1,4)2. 已知向量(1,2)a =-r ,(3,)b m =r ,R m ∈,则“6m =-”是“//()a a b +r r r”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3. 双曲线22145x y -=的渐近线方程为 A ．5y x =±B ．5y x =C ．5y x =D ．25y x = 4. 函数22cos ()2y x π=+图象的一条对称轴方程可以为A ．4x π=B ．3x π=C ．34x π=D ．x π= 5. 执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为2，则输出的x 的值为A ．3B ．126C ．127D ．1286. 如图所示，曲线12-=x y ，2,0,y=0x x ==围成的阴影部分的面积为A ．dx x⎰-22|1| B ．|)1(|202dx x ⎰-C ．dx x ⎰-22)1( D ．122201(1)(1)x dx x dx -+-⎰⎰7. 将三个分别标有A ，B ，C 的小球随机地放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，则编号为1的盒子内有球的不同放法的总数为A ．27B ．37C ．64D ．818. 设有直线m 、n 和平面α、β.下列四个命题中，正确的是A.若m ∥α,n ∥α,则m ∥nB.若m ⊂α,n ⊂α,m ∥β,n ∥β,则α∥βC.若α⊥β，m ⊂α,则m ⊥βD.若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α,则m ∥α9. 如果实数,x y 满足等式2y x =，那么1yx +的最大值是 A ．-1 B.1C ．-21 D ．2110. 设函数()y f x =是定义在R 上奇函数，且满足(2)()f x f x -=-对一切x R ∈都成立， 又当[]1,1x ∈-时3()f x x =，则下列四个命题：①函数()y f x =是以4为周期的周期函数②当[]1,3x ∈时3()(2)f x x =-③函数()y f x =图像的对称轴中有1x =④当[]3,5x ∈时3()(2)f x x =-,其中正确的命题个数为A.1B.2C.3D.4第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二：填空题：（本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上。
河北省保定市2015届高三数学上学期期末考试试题 理(含解析)新人教A版
2014—2015学年度第一学期高三期末考研考试数学试题（理科）第Ⅰ卷【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、函数的性质及图象、三角函数、解三角形、数列、平面向量、立体几何、导数的应用、圆锥曲线、复数、集合、程序框图、二项式定理等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.【题文】一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）【题文】1、若复数z=，则z=（）A．12B．2C．1 D．2【知识点】复数的运算L4【答案】【解析】C解析：()211422z===-，,所以1z==，则选C. 【思路点拨】掌握复数的除法运算是解答的关键.【题文】2、若集合2{0,1},{1,}A B a==-，则“{}1A B =”是“1a=”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【知识点】充分、必要条件A2【答案】【解析】B解析：若{}1A B =，则21,1a a==±，所以充分性不满足，必要性满足,则选B.【思路点拨】判断充分必要条件时，可先分清条件与结论，若由条件能推出结论，则充分性满足，若由结论能推出条件，则必要性满足.【题文】3、已知函数()sin()(0)4f x wx wπ=+>的最小正周期为π，则()8fπ=（）A．1 B．12C．-1 D．12-【知识点】三角函数的性质C3解析：因为函数()sin()(0)4f x wx w π=+>的最小正周期为π，所以22πωπ==，则sin 2sin 18842f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以选A.【思路点拨】可先由最小正周期求函数解析式，再代入求所求函数值.【题文】4、在区间[]5,5-内随机取出一个实数a ，则()0,1a ∈的概率为（ ） A ．0.5 B ．0.3 C ．0.2 D ．0.1 【知识点】几何概型K3【答案】【解析】D解析：因为所求事件对应的区间长度为1，所以()0,1a ∈的概率为10.110=，则选D. 【思路点拨】由已知条件可知所求概率为几何概型，分别求出所求事件对应的长度区间与总体对应的长度区间，代入公式求值即可.【题文】5、运行如图所示的程序框图，则输出的结果S 为（ ） A ．2014 B ．2013 C ．1008 D ．1007【知识点】程序框图L1 【答案】【解析】D解析：由程序框图可知12320131110061007S =-+-+=+⨯=，所以选D.【思路点拨】遇到循环结构程序框图问题，可依次执行循环体发现所求值的规律，再进行解答.【题文】6、已知实数,x y 满足约束条件5000x y x y y ++≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则24z x y =+的最大值是（ ）A ．2B ．0C ．-10D ．-1 5 【知识点】简单的线性规划E5解析：实数,x y 满足约束条件5000x y x y y ++≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩对应的平面区域如图为ABO 对应的三角形区域，当动直线24z x y =+经过原点时，目标函数取得最大值为z=0，所以选 B..【思路点拨】由x,y 满足的约束条件求最值问题，通常结合目标函数的几何意义数形结合寻求取得最值的点，再代入目标函数求最值.【题文】7、如图12,e e 为互相垂直的两个单位向量，则a b +=（ ） A ．20 B ．10 C ．25 D ．15【知识点】向量的坐标运算F2 【答案】【解析】C解析：分别以12,e e 的方向为x,y 轴方向建立直角坐标系，则1731,,,2222a b ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2,4,41625a b a b +=--+=+= C.【思路点拨】遇到向量的运算时，若直接计算不方便，可建立直角坐标系转化为坐标运算进行解答.【题文】8、湖面上飘着一个小球，湖水结冰后讲球取出，冰面上留下一个半径为6cm ，深2cm 的空穴，则取出该球前，球面上的点到冰面的最大距离为（ ）A ．20cmB ．18cmC ．10cmD ．8cm 【知识点】球的截面性质G8 【答案】【解析】B解析：设球半径为R ，则有()22236R R =-+,解得R=10，所以球面上的点到冰面的最大距离为R+R －2=18cm ，则选B. 【思路点拨】一般遇到球的截面问题，通常利用球的截面性质寻求截面圆的半径与球半径的关系进行解答.【题文】9、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，则21a a 等于（ ） A ．1 B ．1或2 C ．1或3 D ．3 【知识点】等差数列 等比数列D2 D3 【答案】【解析】C解析：设等差数列的公差为d ，则有()()2111246a d a a d +=+，得d=0或d=12a ，若d=0,则211a a =，若d=12a ，则211133a aa a ==，所以选C. 【思路点拨】可结合等差数列的求和公式得到公差与首项关系，再求所求的比值即可. 【题文】10、已知函数()()322,2,03a f x x ax cx g x ax ax c a =++=++≠，则它们的图象可能是（ ）【知识点】函数与导数的关系B11 【答案】【解析】B解析：因为二次函数g(x)的对称轴为x=－1,所以排除A,D ，又因为函数g(x)为函数f(x)的导数，由函数单调性与其导数的关系可排除C ，所以选B.【思路点拨】发现函数g(x)与f(x)的导数关系是本题解题的关键.【题文】11、已知0,2b a ab >>=，则22a b a b+-的取值范围是（ ）A ．(],4-∞-B ．(),4-∞-C ．(],2-∞-D ．(),2-∞- 【知识点】基本不等式E6 【答案】【解析】A解析：因为()2222444a b ab a b a b b a a b a b a b b a -++⎛⎫==-+=--+≤- ⎪----⎝⎭，当且仅当b －a=4b a-时等号成立，所以选A. 【思路点拨】可结合已知条件把所求的式子进行转化，再利用基本不等式求范围.【题文】12、在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且BC 边上的高为6，则c bb c+取得最大值时，内角A 的值为（ ） A ．2π B ．6π C ．23π D ．3π【知识点】解三角形C8【答案】【解析】D解析：因为11sin 262a a bc A ⨯⨯=，得2sin a A =，则2222cos2cos 4sin 6c b c b a bc A A A A b c bc bc π++⎛⎫+===+=+ ⎪⎝⎭，所以当,623A A πππ+==时c bb c+取得最大值，则选D. 【思路点拨】结合已知条件利用三角形面积公式及余弦定理把c bb c+转化为关于角A 的三角函数问题，再进行解答即可.第Ⅱ卷【题文】二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
2014年高三数学二模试卷(理科含答案)
1 / 42014年高考模拟考试试卷高三数学（理科）（考试时间120分钟，满分150分）考生注意：1． 每位考生应同时领到试卷与答题纸两份材料，所有解答必须写在答题纸上规定位置，写在试卷上或答题纸上非规定位置一律无效；2． 答卷前，考生务必将姓名、准考证号码等相关信息在答题纸上填写清楚； 3． 本试卷共23道试题，满分150分，考试时间120分钟。
一、填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1、经过点 (1, 0)A 且法向量为(2, 1)n =-的直线l 的方程是 ．2、已知集合1|1, A x x R x ⎧⎫=<∈⎨⎬⎩⎭，集合B 是函数lg (1)y x =+的定义域，则A B = ．3、方程22124x y m +=+表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 取值范围是 ．4、已知数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，()n S n N *∈表示数列{}n a 的前n 项和，则2lim1nn S n →∞=- ．5、在261)x x-（的展开式中，含3x 项的系数等于 ．（结果用数值作答） 6、方程sin cos 1x x +=-的解集是 ． 7、实系数一元二次方程20x ax b ++=的一根为131ix i+=+（其中i 为虚数单位），则 a b += ．8、某高中共有学生1000名，其中高一年级共有学生380人，高二年级男生有180人．如果在 全校学生中抽取1名学生，抽到高二年级女生的概率为0.19，现采用分层抽样（按年级分层） 在全校抽取100人，则应在高三年级中抽取的人数等于 ．9、已知()2x f x =的反函数为111(), ()(1)(1)y f x g x f x f x ---==--+，则不等式()0g x <的解集是．10、已知圆柱M 的底面圆的半径与球O 的半径相同，若圆柱M 与球O 的表面积相等，则它们的体积之比V V 圆柱球：= （结果用数值作答）． 11、在极坐标系中，圆4sin ρθ=的圆心到直线 ()6R πθρ=∈的距离等于 ．12、如果函数(]()210,1()311,ax x f x ax x ⎧-∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，2()log g x x =，关于x 的不等式()()0f x g x ⋅≥ 对于任意(0, )x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是 ．2 / 413、已知二次函数2() ()f x x ax a x R =-+∈同时满足：①不等式()0f x ≤的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在120x x <<，使得不等式12()()f x f x >成立．设数列{}n a 的前n 项 和为n S ，且()n S f n =．规定：各项均不为零的数列{}n b 中，所有满足10i i b b +⋅<的正整数i 的个数称为这个数列{}n b 的变号数．若令1n nab a =-（*n N ∈），则数列{}n b 的变号数等 于 ．14、已知圆22: (01)O x y c c +=<≤，点 (, )P a b 是该圆面（包括⊙O 圆周及内部）上一点，则a b c ++的最小值等于 ．二、选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。
2014—2015学年度第二学期阶段检测高三数学(理)附答案
2014—2015学年度第二学期阶段检测高三数学(理)一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一选项是符合题目要求的）1. 已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧=2121,,A , {}A x x y yB ∈==,|2， 则B A = （ ）A. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧21 B. {}2 C. {}1 D. Φ 2. 在复平面内，复数iiz 212+-=的共轭复数的虚部为 ( )A ．- 25B ． 25C ．25 iD ．- 25 i3．将函数)sin(ϕ+=x y 2的图象沿x 轴向左平移8π个 单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取 值为( )A.43π B. 4π C. 0 D. - 4π 4．阅读程序框图，若输入64==n m ,， 则输出i a ,分别是（ ）A ．312==i a ,B ．412==i a ,C ．38==i a ,D ．48==i a ,5．某校在一次期中考试结束后，把全校文、理科总分前10名学生的数学成绩（满分150分）抽出来进行对比分析，得到如图所示的茎叶图. 若从数学成绩高于120分的学生中抽取3人， 分别到三个班级进行数学学习方法交流， 则满足理科人数多于文科人数的情况有( )种A ． 3081B ． 1512C ． 1848D ． 20146．某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为 （ ）A ．34πB ．23πC ．πD ．π37．下列说法正确的是（ ）A ．命题“若1<x , 则 11<≤-x ”的逆否命题是“若1≥x , 则1-<x 或1≥x ”;正视图侧视图俯视图理科 文科1413 1211 8 6 6 9 8 810 9 8 9 80 1 2 6 8 8 6 9 9 6 第（5）题 图B ．命题“R x ∈∀, 0>x e ”的否定是“R x ∈∀, 0≤xe ”；C ．“0>a ”是“函数x ax x f )()(1-=在区间),(0-∞上单调递减”的充要条件；D ．已知命题x x R x p lg ln ,:<∈∀；命题203001x x R x q -=∈∃,: , 则 “)()(q p ⌝∨⌝为真命题”. 8. 已知点M 是AB C 的重心，若A =60°，3=⋅AC AB ，则||的最小值为（ ）A B C ．3D ．2 9．设21x x ,分别是方程1=⋅xa x 和1=⋅x x a log 的根(其中1>a ), 则212x x +的取值范围是( )A. ),(+∞3B. ),[+∞3C. ),(+∞22D. ),[+∞2210．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且)(,*N n S a a n n ∈+==+12111，在等差数列{}n b 中，52=b ，且公差2=d .使得n b a b a b a n n 602211>+++ 成立的最小正整数n 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．511．已知F 为抛物线x y =2的焦点，点A 、B 在该抛物线上且位于x 轴两侧，且 6=⋅OB OA （O 为坐标原点），则ABO ∆与AOF ∆面积之和的最小值为( ) A. 4 B.3132 C. 1724 D.1012．已知函数;)(201543212015432x x x x x x f ++-+-+= ;)(201543212015432x x x x x x g --+-+-= 设函数),()()(43-⋅+=x g x f x F 且函数)(x F 的零点均在区间),,](,[Z b a b a b a ∈<内,则a b -的最小值为（ ）8.A 9.B 10.C 11.D二．填空题（本题共4个小题，每小5分，满分20分）13．已知11(1a dx -=+⎰，则61[(1)]2a x xπ---展开式中的常数项为_____ 14．任取],[11-∈k ,直线)(2+=x k y 与圆422=+y x 相交于N M ,两点，则32≥||MN 的概率是15. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ， 满足322211-=≥=++a n a S S n n n ),(， 则=n S第18题图16．已知)()(02≠+=a bx ax x f ， 若,)(,)(412211≤≤≤-≤-f f 且02=-+b bc ac （a,b,c R ），则实数c 的取值范围是三．解答题(本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．( 本小题满分12分) 在ABC ∆中，若32=||AC ，且.sin cos cos B C A ⋅=⋅+⋅ （1）求角B 的大小；（2）求ABC ∆的面积S .18. ( 本小题满分12分) 某高校在上学期依次举行了“法律、环保、交通”三次知识竞赛活动，要求每位同学至少参加一次活动.该高校2014级某班50名学生在上学期参加该项活动的次数统计如图所示. （1）从该班中任意选两名学生，求他们参加活动次数不相等的概率.（2）从该班中任意选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ.（3）从该班中任意选两名学生，用η表示 这两人参加活动次数之和，记“函数2()1f x x x η=--在区间（3，5）上有且只有一个零点”为事件A ，求事件A 发生的概率.19．(本题满分12分)已知四棱锥ABCD P -中，ABCD PC 底面⊥，2=PC ，且底面ABCD 是边长为1的正方形，E 是侧棱PC 上的一点(如图所示).（1）如果点F 在线段BD 上，BF DF 3=，且PAB EF 平面//，求ECPE的值； （2）在（1）的条件下，求二面角C EF B --的余弦值.20．(本题满分12分)已知椭圆)(:0122221>>=+b a b y a x C 的离心率为23=e ,且过点),(231,抛物线)(:0222>-=p py x C 的焦点坐标为),(210-.P C D A BEF 第19题图（1）求椭圆1C 和抛物线2C 的方程；(2)若点M 是直线0342=+-y x l :上的动点，过点M 作抛物线2C 的两条切线，切点分别是B A ,，直线AB 交椭圆1C 于Q P ,两点.(i)求证：直线AB 过定点，并求出该定点的坐标； (ii)当OPQ ∆的面积取最大值时，求直线AB 的方程.21.(本小题满分12分)已知函数.ln )(x x f = （1）若直线m x y +=21是曲线)(x f y =的切线，求m 的值； （2）若直线b ax y +=是曲线)(x f y =的切线，求ab 的最大值；（3）设),(),,(),,(332211y x C y x B y x A 是曲线)(x f y =上相异三点，其中.3210x x x <<< 求证：.)()()()(23231212x x x f x f x x x f x f -->--选做题：请考生在22,23,24题中任选一题作答，如果多选则按所做的第一题记分，作答时，请涂明题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图,⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ,E 为⊙O 上一点,AE ＝AC ,DE 交AB 于点F ,且42==BP AB , （I ）求PF 的长度.（II ）若圆F 与圆O 内切，直线PT 与圆F 切于点T ，求线段PT 的长度 23.(本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==，圆C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=． (1)求圆心C 的直角坐标；(2)由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 24.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲AC PDOE F B第20 题图已知函数()|2|,()|3|.f x x g x x m =-=-++ (1) 解关于x 的不等式()10()f x a a R +->∈；(2) 若函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，求m 的取值范围.高三数学参考答案一．CBBAC BDBAC BC 二．13． __-20___ ；14. 33；15.- n+1n+2 ；16. [-3-212 , -3+212 ]三．解答题17. 解：（1）由题可知：在∆ABC 中，⎪AC uuu r⎪ = 2 3 , AB uuu r⋅cosC + BC uuu r⋅cosA = AC uuu r⋅sinB ，因为： AC ＝ + ，AB uuu r⋅cosC + BC uuu r ⋅cosA = （AB uuu r +BC uuur ）⋅sinB ， 即：（cosC － sinB ）AB uuu r+ （cosA － sinB ）BC uuu r＝ 0-------2分而AB uuu r 、BC uuu r是两不共线向量，所以：⎩⎨⎧==B A BC sin cos sin cos ⇒ cosC ＝ cosA ，0 < A,C < π , ∴ A = C , ∆ABC 为等腰三角形.在等腰∆ABC 中，A + B + C ＝ π ， ∴ 2A + B = π , A = π2 - B 2 ；由上知：cosA = cos( π2 - B2 )= sin B 2 = sinB, ∴sin B 2 = 2sin B 2 cos B 2 , ∴ cos B 2 ＝ 12 , 0 < B 2 < π2,∴ B 2 = π3 , B = 2π3,-------------6分 （2）由（1）知：则A = C = π6 , 由正弦定理得：⎪AC ⎪sin 2π3= ⎪BC ⎪sin π6 ,∴⎪⎪ = 2 , S ∆ABC = 12 ⎪AC uuu r⎪⋅⎪⎪sin π6 = 12 ×2 3 ×2 ×12 = 3 --12分18.解：（1）从该班任取两名学生，他们参加活动的次数恰好相等的概率：P = 25022022525C C C C ++ = 2049 ,故P = 1 - 2049 = 2949 .-----4分 (2) 从该班中任选两名学生，用ξ表示这两学生参加活动次数之差的绝对值，则ξ的可能取值分别为：0 ，1，2，于是P(ξ = 0)= 2049 , P(ξ = 1)= 25012512012515CC C C C += 2549 ,P(ξ = 2)= 25012015C C C = 449 , 从而ξ的分布列为： E ξ = 0⨯2049 + 1⨯ 2549 + 2⨯ 449 = 3349.---------------8分(3) 因为函数f(x) = x 2- ηx – 1 在区间(3,5)上有且只有一个零点，则 f(3)⋅f(5) < 0 , 即：(8 - 3η)(24- 5η) < 0 , ∴83 < η < 245 -------10分又由于η的取值分别为：2,3,4,5,6,故η = 3或4,故所求的概率为：P(A)= 2502251512012515C C C C C C ++ = 37 .------------------12分 19．解：(1)连接CF 并延长交AB 于K ，连接PK ，因为：EF//平面PAB ,EF ⊂ 平面PCK ，平面PCK ⋂平面PAB = PK ， ∴ EF// PK ，因为DF=3FB ，AB//CD ，∴ CF=3KF ， 又因为：EF// PK ，∴ CE= 3PE, ∴ PE EC = 13-----4分(2) 以C 为原点，CD ，CB ，CP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间坐标系 （如图所示）则有：C(0,0,0) , D(1,0,0),A(1,1,0)B(0,1,0),P(0,0,2), E(0,0, 32 ),F(14 ,34 ,0)故EFuu u r= (14 ,34 ,- 32),BF uu u r= (14 ,- 14,0) zCFuu r= (14 ,34,0)-----------6分 设1n u r= (x 1,y 1,z 1)是平面BEF 的一个法向量则有：11113044211044n EF x y z n BF x y ìïï?+-=ïïíïï?-=ïïîu r uu u r u r uu u r ,取x=1得：1n u r = (1，1，23) ----------------------------------8分 同理：平面CEF 的一个法向量为：2n ur= (3,-1,0) -----------------10分cos<1n u r ,2n ur > = 1n u r ⋅2n ur|1n u r |⋅|2n ur | = 35555 所以：二面角B —EF —C 的余弦值为：- 35555 .-----------12分20．解：(1)椭圆C 1：x 24+ y 2=1；C 2：x 2=-2y ----4分(2)(i)设点M(x 0,y 0),且满足2x 0-4y 0+3=0,点A(x 1,y 1) ,B(x 2 ,y 2), 对于抛物线y= - x22 ,y ' = - x , 则切线MA 的斜率为-x 1 ,从而切线MA 的方程为：y –y 1=-x 1(x-x 1),即：x 1x+y+y 1=0 ,同理：切线MB 的方程为：x 2x+y+y 2=0 ，又因为同时过M 点，所以分别有：x 1x 0+y 0+y 1=0和x 2x 0+y 0+y 2=0，因此A ，B 同时在直线x 0x+y+y 0=0上，又因为：2x 0-4y 0+3=0，所以：AB 方程可写成：y 0(4x+2)+(2y-3x)= 0,显然直线AB 过定点：(- 12 ,- 34 ).---------6分(ii)直线AB 的方程为：x 0x+y+y 0=0，代入椭圆方程中得：(1+4x 02)x 2+8x 0y 0x+4y 02-4=0令P(x 3,y 3),Q(x 4,y 4) , ∆ = 16(4x 02- y 02+1)>0, x 3+x 4 = - 8x 0y 04x 02+1 ；x 3x 4 = 4y 02-44x 02+1|PQ | = 1+x 02·(x 3+x 4)2-4x 3x 4 = 1+x 02·16(4x 02-y 02+1)1+4x 02-------8分 点O 到PQ 的距离为：d= |y 0|1+x 02从而S ∆OPQ = 12 ·|PQ |·d = 12 ×1+x 02·16(4x 02-y 02+1)1+4x 02 ×|y 0|1+x 02= 2×y 02(4x 02-y 02+1)1+4x 02 ≤ y 02+(4x 02- y 02+1)1+4x 02=1 ---------10分A C PDOE F B 当且仅当y 02 = 4x 02- y 02+1时等号成立,又2x 0-4y 0+3=0联立解得：x 0= 12 ,y 0= 1或x 0= - 114 ,y 0= 57 ；从而所求直线AB 的方程为：x+2y+2=0 或x-14y-10=0------------12分 21.解：(1)设切点为(x 0,lnx 0), k=f '(x)= 1x 0 = 12 ,x 0 = 2 ,∴切点为(2,ln2),代入y= 12x + m 得：m = ln2-1.----------------4分(2)设y = ax+b 切f(x)于(t,lnt)(t>0), f '(x)= 1x , ∴ f '(t)= 1t ,则切线方程为：y = 1t (x-t)+lnt ,y = 1t x+lnx-1 , a= 1t ,b= lnt-1∴ab= 1t (lnt-1), 令g(t)= 1t (lnt-1), g '(t)= - 1t 2 (lnt-1)+ 1t 2 = 2-lntt2若t ∈(0,e 2)时，g '(t)>0，∴ g(t)在(0,e 2)上单调增；t ∈(e 2,+∞)时，g '(t)<0, ∴ g(t)在(e 2,+∞)上单调递减；所以，当t= e 2时，ab 的最大值为：g(e 2)= 1e 2 (lne 2-1)= 1e 2 ------------------------8分(3)先证：1x 2 <f(x 2)-f(x 1)x 2-x 1 < 1x 1 ,即证：1x 2 <lnx 2-lnx 1x 2-x 1 < 1x 1,只证：1- x 1x 2 <ln x 2x 1 < x 2x 1 - 1 , 令x 2x 1= t >1, 设h(m) =lnt –t +1 ,h '(m)= 1t - 1<0 , 所以：h(t)在(1,+ ∞)上单调递减，则h(t)<h(1)=ln1-1+1=0,即证：ln x 2x 1 < x 2x 1 – 1. 以下证明：1- x 1x 2 <ln x 2x 1令p(t)= lnt+1t -1 , p '(t)= 1t - 1t 2 >0 , 所以：p(t)= lnt+1t -1在(1,+ ∞)上单调递增，即：p(t)>p(1)=0 ,即有：lnt+1t -1>0, ∴1- x 1x 2 <ln x 2x 1获证.故1x 2 <f(x 2)-f(x 1)x 2-x 1 < 1x 1 成立 ,同理可证：1x 3 <f(x 3)-f(x 2)x 3-x 2 < 1x 2 ，综上可知：：f(x 2)-f(x 1)x 2-x 1 > f(x 3)-f(x 2)x 3-x 2 成立------------12分选做题：请考生在22,23,24题中任选一题作答，如果多选则按所做的第一题记分，作答时，请涂明题号. 22.解：（I ）连结,,OC OD OE ,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系结合题中条件弧长AE 等于弧长AC 可得CDE AOC ∠=∠,又CDE P PFD ∠=∠+∠,AOC P OCP ∠=∠+∠, 从而PFD OCP ∠=∠,故PFD ∆∽PCO ∆,∴PF PD PC PO=, …………4分 由割线定理知12PC PD PA PB ⋅=⋅=,故1234PC PD PF PO ⋅===. …………6分 （II ）若圆F 与圆O 内切，设圆F 的半径为r ，因为21OF r =-=即1r =所以OB 是圆F 的直径，且过P 点圆F 的切线为PT则2PT 248PB PO =⋅=⨯=，即PT = …………10分 23.解：（I ）θθρsin 2cos 2-= ，θρθρρsin 2cos 22-=∴， ………（2分） 02222=+-+∴y x y x C 的直角坐标方程为圆， …………（3分） 即1)22()22(22=++-y x ，)22,22(-∴圆心直角坐标为．…………（5分） （II ）：直线l 上的点向圆C 引切线长是6224)4(4081)242222()2222(2222≥++=++=-+++-t t t t t ， …………（8分） ∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是62 ………（10分） 24.解：(1)不等式()10f x a +->，即210x a -+->。
数学_2014-2015学年山东省某校高三(上)期末数学模拟试卷(理科)(三)_(含答案)
2014-2015学年山东省某校高三（上）期末数学模拟试卷（理科）（三）一、选择题1. 设集合M={x|x2+x−6<0}，N={x|(12)x≥4}，则M∩∁R N()A (−2, 2]B (−2, 2)C (−3, −2]D (−3, −2)2. 复数z=i1−i （i是虚数单位）的共轭复数z¯在复平面内对应的点在（）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限3. “a=−1”是“直线a2x−y+1=0与直线x−ay−2=0互相垂直”的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件4. 函数y=|log2x|−(12)x的零点个数是（）A 0B lC 2D 45. 函数y=xsinx+cosx的图象大致是（）A B C D6. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A 43√5 B 83C 4√5D 437. 函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π，若其图象向右平移π3个单位后关于y轴对称，则（）A ω=2,φ=π3 B ω=2,φ=π6C ω=4,φ=π6D ω=2,φ=−π68. 已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的顶点恰好是椭圆x29+y25=1的两个顶点，且焦距是6√3，则此双曲线的渐近线方程是（）A y=±12x B y=±√22x C y=±√2x D y=±2x9. 已知不等式x+2x+1<0的解集为{x|a<x<b}，点A(a, b)在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0，则2m +1n的最小值为()A 4√2B 8C 9D 1210. 已知函数f(x)={√x ，x >0−x 2+4x ，x ≤0，若|f(x)|≥ax −1恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A (−∞, −6]B [−6, 0]C (−∞, −1]D [−1, 0]二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11. 二项式(ax +2)6的展开式的第二项的系数为12，则∫x 2a−2dx =________．12. 在边长为1的正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、DC 的中点，则向量AE →⋅AF →=________． 13. 甲和乙等五名志愿者被随机地分到A ，B ，C 三个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．若甲和乙不在同一岗位服务，则不同的分法有________种．（用数字作答） 14. 过抛物线y 2=4x 的焦点且倾斜角为60∘的直线被圆x 2+y 2−4x +4√3y =0截得的弦长是________．15. 已知正四棱柱ABCD −A′B′C′D′的外接球直径为√6，底面边长AB =1，则侧棱BB′与平面AB′C 所成角的正切值为________．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知向量m →=(cosx, −1)，n →=(sinx, −32)，f(x)=(m →−n →)⋅m →．． （1）求函数f(x)的单调增区间；（2）已知锐角△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．其面积S =√3，f(A −π8)=−√24，a =3，求b +c 的值．17. 如图，在几何体ABC −A 1B 1C 1中，点A 1，B 1，C 1在平面ABC 内的正投影分别为A ，B ，C ，且AB ⊥BC ，AA 1=BB 1=4，AB =BC =CC 1=2，E 为AB 1中点， (Ⅰ)求证；CE // 平面A 1B 1C 1，(Ⅱ)求证：求二面角B 1−AC 1−C 的大小．18. 已知各项均不为零的数列{a n }，其前n 项和S n 满足S n =2−a n ；等差数列{b n }中b 1=4，且b 2−1是b 1−1与b 4−1的等比中项（1）求a n和b n，（2）记c n=b nan，求{c n}的前n项和T n．19. 交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为T．其范围为[0, 10]，分别有五个级别：T∈[0, 2)畅通；T∈[2, 4)基本畅通；T∈[4, 6)轻度拥堵；T∈[6, 8)中度拥堵；T∈[8, 10]严重拥堵，晚高峰时段，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制直方图如图所示．（1）这20个路段轻度拥堵、中度拥堵的路段各有多少个？（2）从这20个路段中随机抽出的3个路段，用X表示抽取的中度拥堵的路段的个数，求X 的分布列及期望．20. 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为√22，P是椭圆上一点，且△PF1F2面积的最大值等于2．（1）求椭圆的方程；（2）直线y=2上是否存在点Q，使得从该店向椭圆所引的两条切线互相垂直？若存在求点Q的坐标；若不存在，说明理由．21. 已知函数f(x)的定义域为(−∞, −1)∪(1, +∞)，对定义域内的任意x，满足f(x)+f(−x)=0，当x<−1时，f(x)=1+ln(−x−1)x+a（a为常），且x=2是函数f(x)的一个极值点，（1）求实数a的值；（2）如果当x≥2时，不等式f(x)≥mx恒成立，求实数m的最大值；（3）求证：n−2(12+23+34+⋯+nn+1)<ln(n+1)．2014-2015学年山东省某校高三（上）期末数学模拟试卷（理科）（三）答案1. B2. C3. A4. C5. A6. B7. B8. C9. C10. B11. 312. 113. 13814. √3715. √2416. 解：（1）∵ m→=(cosx, −1)，n→=(sinx, −32)，∴ m→−n→=(cosx−sinx, 12)，∴ f(x)=(m→−n→)⋅m→=(cosx−sinx)cosx−12=cos2x−sinxcosx−12=12cos2x−1 2sin2x=√22cos(2x+π4)，2kπ−π≤2x+π4≤2kπ，得kπ−5π8≤x≤kπ−π8，k∈Z．即函数的单调性递增区间为：[kπ−5π8，kπ−π8]．（2）∵ f(A−π8)=√22cos(2A−π4+π4)=√22cos2A=−√24，∴ cos2A=−12，∵ 0<A<π2，∴ 0<2A<π，∴ 2A=2π3，即A=π3，∵ S=√3=12bcsinA=√34bc=√3，∴ bc=4．由余弦定理得a2=b2+2−2bccosA，∴ 9=b2+c2−bc，∵ (b+c)2=b2+c2+2bc=9+3bc=21，∴ b+c=√21．17. (Ⅰ)证明：∵ 点A1，B1，C1在平面ABC内的正投影分别为A，B，C，∴ AA1 // BB1 // CC1，取A1B1中点F，连接EF，FC，则EF // 12A1A，EF=12A1A，∵ AA14，CC1=2，∴ CC1 // 12A1A，CC1=12A1A，∴ CC 1 // EF ，CC 1=EF ，∴ 四边形EFC 1C 为平行四边形， ∴ CE // C 1F ，∵ CE ⊄平面A 1B 1C 1，C 1F ⊂平面A 1B 1C 1， ∴ CE // 平面A 1B 1C 1；(Ⅱ)建立如图所示的坐标系，则A(2, 0, 0)，C(0, 2, 0)，B 1(0, 0, 4)，C 1(0, 2, 2)， ∴ AC →=(−2, 2, 0)，CC 1→=(0, 0, 2)，AB 1→=(−2, 0, 4)，B 1C 1→=(0, 2, −2)． 设平面ACC 1的法向量为n →=(x, y, z)，则{−2x +2y =02z =0，令x =1，则n →=(1, 1, 0)．同理可得平面AB 1C 1的法向量为m →=(2, 1, 1)， ∴ cos <n →，m →>=m →∗n→|m →||n →|=√32． 由图可知二面角B 1−AC 1−C 为钝角， ∴ 二面角B 1−AC 1−C 的大小为150∘．18. 解：（1）对于数列{a n }，由题意知S n =2−a n ，① 当n ≥2时，S n−1=2−a n−1，②①-②得S n −S n−1=−a n +a n+1(n ≥2)， 即a n =−a n +a n−1， ∴ 2a n =a n−1(n ≥2)， ∵ a n ≠0，∴a n a n−1=12，(n ≥2)∵ a 1=2−a 1，∴ a 1=1，∴ {a n }是以1为首项，12为公比的等比数列， ∴ a n =(12)n−1．设等差数列{b n }的公差为d ，∵ b 1=4，且b 2−1是b 1−1与b 4−1的等比中项， b 1=4，b 2=4+d ，b 3=4+3d ，∴ (3+d)2=3(3+d)，解得d=0，或d=3．当d=0时，b n=4；当d=3时，b n=3n+1．（2）当b n=4时，c n=b na n=(3n1)⋅2n−1，∴ T n=4(1−2n)1−2=2n+2−4．当b n=3n+1时，C n=b na n=(3n+1)⋅2n，T n=4⋅20+7⋅2+10⋅22+⋯+(3n+1)⋅2n−1，③2T n=4⋅2+7⋅22+10⋅23+...+(3n+1)⋅2n，④③-④得−T n=4+3(2+22+...+2n−1)−(3n+1)⋅2n=4+3⋅2(1−2n−1)1−2−(3n+1)⋅2n=4+2⋅2n−6−(3n+1)⋅2n=(2−3n)⋅2n−2，∴ T n=2+(3n−2)⋅2n．综上：b n=4时，T n=2n+2−4；b n=3n+1时，T n=2+(3n−2)⋅2n．19. 解：（1）由直方图得：轻度拥堵的路段落个数是(0.1+0.2)×1×20=6个，中度拥堵的路段落个数是(0.3+0.2)×1×20=10个．（2）由题意知X的可能取值为0，1，2，3，P(X=0)=C100C103C203=219，P(X=1)=C101C102C203=1538，P(X=2)=C102C101C203=1538，P(X=3)=C103C100C203=219，∴ X的分布列为：EX=0×219+1×1538+2×1538+3×219=32．20. 解：（1）∵ 点P在椭圆上，∴ −b≤y p≤b，∴ 当|y p|=b时，△PF1F2面积最大，且最大值为12⋅2c⋅b−bc=2，又∵ e=ca =√22，∴ a2=4，b2=c2=2，∴ 椭圆方程为x24+y22=1．（2）假设直线y=2上存在点Q满足题意，设Q(m, 2)，当m=±2时，从Q点所引的两条切线不垂直．当m≠±2时，设过点Q向椭圆所引的切线的斜率为k，则l的方程为y=k(x−m)+2，代入椭圆方程，消去y，整理得：(1+2k2)x2−4k(mk−2)x+2(mk−2)2−4=0，∵ △=16k2(mk−2)2−4(1+2k2)[2(mk−2)2−4]=0，∴ (m2−4)k2−4mk+2=0，*设两条切线的斜率分别为k1，k2，则k1，k2是方程(m2−4)k2−4mk+2=0的两个根，∴ k1k2=2m2−4=−1，解得m=±√2，点Q坐标为(√2, 2)，或(−√2, 2)．∴ 直线y=2上两点(√2, 2)，(−√2, 2)满足题意．21. （1）解：∵ 函数f(x)的定义域为(−∞, −1)∪(1, +∞)，对定义域内的任意x，满足f(x)+f(−x)=0，∴ f(x)为奇函数，当x>1时，−x<−1，∴ f(x)=−f(−x)=1+ln(x−1)x−a，∴ 当x>1时，f′(x)=x−ax−1−1−ln(x−1)(x−a)2∵ x=2是函数f(x)的一个极值点，∴ f′(2)=1−a(2−a)2=0，∴ a=1；（2）解：由（1）知，当x>1时，f(x)=1+ln(x−1)x−1当x≥2时，不等式f(x)≥mx 恒成立，等价于m≤x⋅1+ln(x−1)x−1，令g(x)=x⋅1+ln(x−1)x−1=1+1+xln(x−1)x−1，则g′(x)=(x−1)−ln(x−1)(x−1)2，令ℎ(x)=(x−1)−ln(x−1)(x≥2)，则ℎ′(x)=x−2x−1，当x>2时，ℎ′(x)=x−2x−1>0，函数ℎ(x)在[2, +∞)上单调递增，∴ ℎ(x)≥ℎ(2)=1>0，∴ 当x≥2时，g′(x)=(x−1)−ln(x−1)(x−1)2>0，∴ g(x)在[2, +∞)上单调递增，∴ g(x)min=g(2)=2，∴ m≤2，∴ 实数m的最大值为2；（3）证明：由（2）知，当x ≥2时，f(x)≥2x ，即1+ln(x−1)x−1≥2x ，则ln(x −1)≥1−2x >1−2x−1，令x −1=k+1k，则1−2x−1=1−2kk+1，∴ 1−2×11+1<ln 21；1−2×22+1<ln 32， (1)2n n+1<lnn+1n，累加可得n −2(12+23+34+⋯+nn+1)<ln(n +1)．。
2014～2015学年度第二学期高三年级总复习质量检测(二)数学试卷(理工类)附答案
2014～2015学年度第二学期高三年级总复习质量检测（二）数学试卷（理工类） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页．祝各位考生考试顺利！第 Ⅰ 卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上；2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．本卷共8小题，每小题5分，共40分． 参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么 ·如果事件A ，B 相互独立，那么P (A ∪B )=P (A )+P (B )． P (AB )=P (A )•P (B )．·棱柱的体积公式V 柱体=Sh ， ·球的体积公式V 球=34πR 3，其中S 表示棱柱的底面积， 其中R 表示球的半径． h 表示棱柱的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）设i 是虚数单位，则复数ii65-=（ ）． （A ）6–5i （B ）6+5i （C ）–6+5i （D ）–6–5i （2）已知命题p ：x 1，x 2∈R ，(f (x 2)–f (x 1))(x 2–x 1)≥0，则⌝p 是（ ）．（A ）x 1，x 2∈R ，(f (x 2)–f (x 1))(x 2–x 1)≤0 （B ）x 1，x 2∈R ，(f (x 2)–f (x 1))(x 2–x 1)≤0 （C ）x 1，x 2∈R ，(f (x 2)–f (x 1))(x 2–x 1)＜0 （D ）x 1，x 2∈R ，(f (x 2)–f (x 1))(x 2–x 1)＜0（3）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（ ）．（A ）10 （B ）11（C ）12（D ）13（4）如图所示的程序框图表示求算式“2×4×8×16×32×64”的值，则判断框内可以填入（ ）．（A ）k ＜132? （B ）k ＜70? （C ）k ＜64? （D ）k ＜63?（5）已知双曲线C ：22x a –22y b=1的焦距为10，点P (2，1)在C 的渐近线上，则C 的方程为（ ）．（A ）220x –25y =1 （B ）25x –220y =1（C ）280x –220y =1 （D ）220x –280y =1（6）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知8b=5c ，C=2B ，则cos C=（ ）． （A ）725 （B ）725- （C ）725± （D ）2425（7）由曲线y=x 2，y=x 围成的封闭图形的面积为（ ）． （A ）61 （B ）31（C ）32（D ）1（8）在△ABC 中，若|AB +|=|AB –|，AB=2，AC=1，E ，F 为BC 边的三等分点，则AE •AF =（ ）．（A ）98 （B ）910（C ）925（D ）926南开区2014～2015学年度第二学期高三年级总复习质量检测（二）答 题 纸（理工类）第 Ⅱ 卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题； 2．本卷共12小题，共110分．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上。
高三数学二模考试试卷 理(含解析)-人教版高三全册数学试题
某某市耀华中学2015届高考数学二模试卷（理科）一．选择题：共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z=在复平面上对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．△ABC中，“A＞”是“sinA＞”的( )A．必要不充分条件B．充分必要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件3．已知变量x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，则实数a的取值X围( )A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（，+∞）D．（，+∞）4．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=cos2x的图象( )A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度5．数列{a n}满足a1=1，a2=，并且a n（a n﹣1+a n+1）=2a n+1a n﹣1（n≥2），则该数列的第2015项为( ) A．B．C．D．6．设直线l：y=2x+2，若l与椭圆x2+=1的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为﹣1的点P的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．37．已知函数f（x）满足f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}（max（p，q）表示p，q中的较大值，min（p，q）表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=( )A．a2﹣2a﹣16 B．a2+2a﹣16 C．﹣16 D．168．已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=且f（x+2）=f （x），g（x）=，则方程f（x）=g（x）在区间上的所有实根之和为( )A．﹣8 B．﹣7 C．﹣6 D．0二．填空题：共6个小题，每小题5分，共30分．9．为了了解2015届高三学生的身体状况，抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图）．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是__________．10．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为__________．11．求曲线y=，y=2﹣x，y=﹣x所围成图形的面积为__________．12．在极坐标系中，圆C1的方程为ρ=4cos（），以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面坐标系，圆C2的参数方程（θ为参数），若圆C1与C2相切，则实数a=__________．13．若至少存在一个x＞0，使得关于x的不等式x2＜2﹣|x﹣a|成立，则实数a的取值X围为__________．14．设O是△A BC的外心，a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边，且b2﹣2b+c2=0，则•的取值X围是__________．三．解答题：共6个小题，总计80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值及取得最值时x的值．16．为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响．（Ⅰ）求该产品不能销售的概率；（Ⅱ）如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80元（即获利﹣80元）．已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利X元，求X的分布列，并求出均值E（X）．17．正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A﹣DC﹣B（Ⅰ）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）求二面角E﹣DF﹣C的余弦值；（Ⅲ）在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？证明你的结论．18．已知函数f（x）=log3（ax+b）的图象经过点A（2，1）和B（5，2），记a n=3f（n），n∈N*（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，T n=b1+b2+…b n，若T n＜m（m∈Z），求m的最小值；（3）求使不等式≥对一切n∈N*，均成立的最大实数p．19．已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点（，）．（1）求椭圆的方程；（2）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值X围．20．已知函数f（x）=e x（其中e为自然对数的底数，且e=2.71828…），g（x）=x+m（m，n∈R）．（Ⅰ）若T（x）=f（x）g（x），m=1﹣，求T（x）在上的最大值φ（n）的表达式；（Ⅱ）若n=4时方程f（x）=g（x）在上恰有两个相异实根，某某数m的取值X围；（Ⅲ）若m=﹣，n∈N*，求使f（x）的图象恒在g（x）图象上方的最大正整数n．某某市耀华中学2015届高考数学二模试卷（理科）一．选择题：共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z=在复平面上对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母根据平方差公式得到一个实数，分子进行复数的乘法运算，得到最简结果，写出对应的点的坐标，得到位置．解答：解：∵z===+i，∴复数z在复平面上对应的点位于第一象限．故选A．点评：本题考查复数的乘除运算，考查复数与复平面上的点的对应，是一个基础题，在解题过程中，注意复数是数形结合的典型工具．2．△ABC中，“A＞”是“sinA＞”的( )A．必要不充分条件B．充分必要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：解三角形．分析：利用充要条件的概念即可判断是什么条件，从而得到答案．要注意三角形内角和是π，不要丢掉这个大前提．解答：解：在△ABC中，“sinA＞”⇒“＞A＞”⇒“A＞”．必要性成立；反之，“A＞不能⇒“sinA＞”，如A=时，sinA=sin=sin＜sin=，即sinA，即充分性不成立，∴可判断A＞是sinA＞的必要而不充分条件．故选A．点评：本题考查充分条件、必要条件与充要条件的定义，正弦函数的值，本题解题的关键是通过举反例来说明某个命题不正确，这是一种简单有效的方法，本题是一个基础题．此题要注意思维的全面性，不能因为细节大意失分．3．已知变量x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，则实数a的取值X围( )A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（，+∞）D．（，+∞）考点：简单线性规划．专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．分析：由题意作出其平面区域，由目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，将z=ax+y 化为y=﹣a（x﹣3）+z，z相当于直线y=﹣a（x﹣3）+z的纵截距，则﹣a．解答：解：由题意作出其平面区域，由目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，将z=ax+y化为y=﹣a（x﹣3）+z，z相当于直线y=﹣a（x﹣3）+z的纵截距，则﹣a，则a，故选C．点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．4．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=cos2x的图象( ) A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：先根据诱导公式进行化简，再由左加右减上加下减的原则可确定函数y=sin（2x﹣）到y=cos2x的路线，确定选项．解答：解：∵y=sin（2x﹣）=cos=cos（﹣2x）=cos（2x﹣）=cos，∴将函数y=cos2x的图象向右平移个单位长度．故选B．点评：本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．注意变换顺序．5．数列{a n}满足a1=1，a2=，并且a n（a n﹣1+a n+1）=2a n+1a n﹣1（n≥2），则该数列的第2015项为( ) A．B．C．D．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：利用递推关系式推出{}为等差数列，然后求出结果即可．解答：解：∵a n（a n﹣1+a n+1）=2a n+1a n﹣1（n≥2），∴a n a n﹣1+a n a n+1=2a n+1a n﹣1（n≥2），两边同除以a n﹣1a n a n+1得：=+，即﹣=﹣，即数列{}为等差数列，∵a1=1，a2=，∴数列{}的公差d=﹣=1，∴=n，∴a n=，即a2015=，故选：C．点评：本题考查数列的递推关系式的应用，判断数列是等差数列是解题的关键，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．6．设直线l：y=2x+2，若l与椭圆x2+=1的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为﹣1的点P的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由直线l的方程与椭圆x2+=1的方程组成方程组，求出弦长AB，计算AB边上的高h，设出P的坐标，由点P到直线y=2x+2的距离d=h，结合椭圆的方程，求出点P的个数来．解答：解：由直线l的方程与椭圆x2+=1的方程组成方程组，解得或，则A（0，2），B（﹣1，0），∴AB==，∵△PAB的面积为﹣1，∴AB边上的高为h==．设P的坐标为（a，b），代入椭圆方程得：a2+=1，P到直线y=2x+2的距离d==，即2a﹣b=2﹣4或2a﹣b=﹣2；联立得：①或②，①中的b消去得：2a2﹣2（﹣2）a+5﹣4=0，∵△=4（﹣2）2﹣4×2×（5﹣4）＞0，∴a有两个不相等的根，∴满足题意的P的坐标有2个；由②消去b得：2a2+2a+1=0，∵△=（2）2﹣4×2×1=0，∴a有两个相等的根，满足题意的P的坐标有1个．综上，使△PAB面积为﹣1的点P的个数为3．故选：D．点评：本题考查了直线与椭圆方程的综合应用问题，考查了直线方程与椭圆方程组成方程组的求弦长的问题，是综合性题目．7．已知函数f（x）满足f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}（max（p，q）表示p，q中的较大值，min（p，q）表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=( )A．a2﹣2a﹣16 B．a2+2a﹣16 C．﹣16 D．16考点：函数最值的应用．专题：压轴题；函数的性质及应用．分析：本选择题宜采用特殊值法．取a=﹣2，则f（x）=x2+4，g（x）=﹣x2﹣8x+4．画出它们的图象，如图所示．从而得出H1（x）的最小值为两图象右边交点的纵坐标，H2（x）的最大值为两图象左边交点的纵坐标，再将两函数图象对应的方程组成方程组，求解即得．解答：解：取a=﹣2，则f（x）=x2+4，g（x）=﹣x2﹣8x+4．画出它们的图象，如图所示．则H1（x）的最小值为两图象右边交点的纵坐标，H2（x）的最大值为两图象左边交点的纵坐标，由解得或，∴A=4，B=20，A﹣B=﹣16．故选C．点评：本题主要考查了二次函数的图象与性质、函数最值的应用等，考查了数形结合的思想，属于中档题．8．已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=且f（x+2）=f （x），g（x）=，则方程f（x）=g（x）在区间上的所有实根之和为( ) A．﹣8 B．﹣7 C．﹣6 D．0考点：分段函数的应用．专题：计算题；数形结合；函数的性质及应用．分析：化简g（x）的表达式，得到g（x）的图象关于点（﹣2，1）对称，由f（x）的周期性，画出f（x），g（x）的图象，通过图象观察上的交点的横坐标的特点，求出它们的和解答：解：由题意知g（x）==2+，函数f（x）的周期为2，则函数f（x），g（x）在区间上的图象如右图所示：由图形可知函数f（x），g（x）在区间上的交点为A，B，C，易知点B的横坐标为﹣3，若设C 的横坐标为t（0＜t＜1），则点A的横坐标为﹣4﹣t，所以方程f（x）=g（x）在区间上的所有实数根之和为﹣3+（﹣4﹣t）+t=﹣7．故选：B．点评：本题考查分段函数的图象和运用，考查函数的周期性、对称性和应用，同时考查数形结合的能力，属于中档题．二．填空题：共6个小题，每小题5分，共30分．9．为了了解2015届高三学生的身体状况，抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图）．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是48．考点：频率分布直方图．专题：常规题型．分析：根据前3个小组的频率之比为1：2：3，可设前三组的频率为x，2x，3x，再根据所以矩形的面积和为1建立等量关系，求出x，最后根据样本容量等于频数除以频率求出所求．解答：解：由题意可设前三组的频率为x，2x，3x，则6x+（0.0375+0.0125）×5=1解可得，x=0.125所以抽取的男生的人数为故答案为：48．点评：频率分布直方图：小长方形的面积=组距×，各个矩形面积之和等于1，样本容量等于频数除以频率等知识，属于基础题．10．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为36（π+2）．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的锥体，分别计算底面面积和高，代入锥体体积公式，可得答案．解答：解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的锥体，其底面面积S=×12×6+×62=18π+36，锥体的高h==6，故锥体的体积V==36（π+2），故答案为：36（π+2）点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．11．求曲线y=，y=2﹣x，y=﹣x所围成图形的面积为．考点：定积分在求面积中的应用．专题：导数的综合应用．分析：分别求出曲线的交点坐标，然后利用积分的应用求区域面积即可．解答：解：由解得，即A（1，1）．由，解得，即B（3，﹣1），∴曲线y=，y=2﹣x，y=﹣x所围成图形的面积为==+=，故答案为：；点评：本题主要考查定积分的应用，根据曲线方程求出曲线交点是解决本题的关键，要求熟练掌握常见函数的积分公式．12．在极坐标系中，圆C1的方程为ρ=4cos（），以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面坐标系，圆C2的参数方程（θ为参数），若圆C1与C2相切，则实数a=±或±5．考点：圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程．专题：直线与圆．分析：先根据ρ2=x2+y2，x=ρcos θ，y=ρsin θ，将圆C1的方程化成直角坐标方程，再利用同角三角函数关系消去θ，可得圆C2的直角坐标方程，最后根据圆C1与圆C2相切，分为外切的内切两种情况讨论，利用圆心距与半径之间的关系建立方程，某某数a的值．解答：解：∵圆C1的方程为ρ=4cos（），∴⊙C1的方程化为ρ=4cos θ+4sin θ，则ρ2=4ρcos θ+4ρsin θ，由ρ2=x2+y2，x=ρcos θ，y=ρsin θ，得x2+y2﹣4x﹣4y=0，∴圆心C1坐标为（2，2），半径r1=2，∵圆C2的参数方程是，∴其普通方程是（x+1）2+（y+1）2=a2，∴以C2的坐标是（﹣1，﹣1），r2=|a|，∵两圆相切，∴当外切时|C1C2|=|a|+2==3，解得a=±，内切时|C1C2|=|a|﹣2==3，解得a=±5∴a=±或±5．故答案为：±或±5．点评：本题考查参数方程化成普通方程、简单曲线的极坐标方程、圆与圆的位置关系及其应用．解题时要认真审题，把极坐标方程合理地转化为普通方程．13．若至少存在一个x＞0，使得关于x的不等式x2＜2﹣|x﹣a|成立，则实数a的取值X围为（）．考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：原不等式为：2﹣x2＞|x﹣a|，在同一坐标系画出y=2﹣x2（y≥0，x＞0）和 y=|x|两个图象，利用数形结合思想，易得实数a的取值X围．解答：解：不等式等价为：2﹣x2＞|x﹣a|，且2﹣x2＞0，在同一坐标系画出y=2﹣x2（y≥0，x＞0）和 y=|x|两个函数图象，将绝对值函数 y=|x|向左移动，当右支经过（0，2）点，a=﹣2；将绝对值函数 y=|x|向右移动让左支与抛物线y=2﹣x2（y≥0，x＞0）相切时，由，即x2﹣x+a﹣2=0，由△=0 解得a=．由数形结合可得，实数a的取值X围是（﹣2，）．故答案为：（﹣2，）．点评：本题考查的知识点是一元二次函数的图象，及绝对值函数图象，其中在同一坐标中，画出y=2﹣x2（y≥0，x＞0）和 y=|x|两个图象，结合数形结合的思想得到答案，是解答本题的关键．14．设O是△ABC的外心，a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边，且b2﹣2b+c2=0，则•的取值X围是∴∠MNE是二面角E﹣DF﹣C的平面角在Rt△EMN中，EM=1，MN=∴tan∠MNE=，cos∠MNE=．（Ⅲ）在线段BC上存在点P，使AP⊥DE证明如下：在线段BC上取点P．使，过P作PQ⊥CD与点Q，∴PQ⊥平面ACD∵在等边△ADE中，∠DAQ=30°∴AQ⊥DE∴AP⊥DE．法二：（Ⅱ）以点D为坐标原点，直线DB、DC为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，2）B（2，0，0）C（0，平面CDF的法向量为设平面EDF的法向量为则即所以二面角E﹣DF﹣C的余弦值为（Ⅲ）在平面坐标系xDy中，直线BC的方程为设∴所以在线段BC上存在点P，使AP⊥DE另解：设又∵把代入上式得，∴所以在线段BC上存在点P使AP⊥DE点评：判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a⊂α，b⊄α，a∥b⇒a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a⊂α⇒a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a⊄α，a⊄，a∥α⇒a∥β）．线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．本题也可以用空间向量来解决，其步骤是：建立空间直角坐标系⇒明确相关点的坐标⇒明确相关向量的坐标⇒通过空间向量的坐标运算求解．18．已知函数f（x）=log3（ax+b）的图象经过点A（2，1）和B（5，2），记a n=3f（n），n∈N*（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，T n=b1+b2+…b n，若T n＜m（m∈Z），求m的最小值；（3）求使不等式≥对一切n∈N*，均成立的最大实数p．考点：数列与函数的综合；数列与不等式的综合．专题：计算题．分析：（1）先由函数f（x）=log3（ax+b）的图象经过点A（2，1）和B（5，2），求出a，b，进而求得函数f（x）的解析式，即可求出数列{a n}的通项公式；（2）用错位相减法求出T n的表达式即可求出对应的m的最小值；（3）先把原不等式转化为恒成立，再利用函数的单调性求不等式右边的最小值即可求出最大实数p．解答：解：（1）由题意得，解得，∴f（x）=log3（2x﹣1）（2）由（1）得，∴①②①﹣②得=，∴，设，则由得随n的增大而减小，T n随n的增大而增大．∴当n→+∞时，T n→3又T n＜m（m∈Z）恒成立，∴m min=3（3）由题意得恒成立记，则∵F（n）＞0，∴F（n+1）＞F（n），即F（n）是随n的增大而增大F（n）的最小值为，∴，即点评：本题的第二问考查了数列求和的错位相减法．错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．19．已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点（，）．（1）求椭圆的方程；（2）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值X围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题．分析：（1）设出椭圆的方程，将已知点代入椭圆的方程及利用椭圆的离心率公式得到关于椭圆的三个参数的等式，解方程组求出a，b，c的值，代入椭圆方程即可．（2）设出直线的方程，将直线方程与椭圆方程联立，消去x得到关于y的二次方程，利用韦达定理得到关于两个交点的坐标的关系，将直线OP，PQ，OQ的斜率用坐标表示，据已知三个斜率成等比数列，列出方程，将韦达定理得到的等式代入，求出k的值，利用判别式大于0得到m的X围，将△OPQ面积用m表示，求出面积的X围．解答：解：（1）由题意可设椭圆方程为（a＞b＞0），则则故所以，椭圆方程为．（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由消去y得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，则△=64k2b2﹣16（1+4k2b2）（b2﹣1）=16（4k2﹣m2+1）＞0，且，．故y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2．因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，所以=k2，即+m2=0，又m≠0，所以k2=，即k=．由于直线OP，OQ的斜率存在，且△＞0，得0＜m2＜2且m2≠1．设d为点O到直线l的距离，则S△OPQ=d|PQ|=|x1﹣x2||m|=，所以S△OPQ的取值X围为（0，1）．点评：求圆锥曲线的方程，一般利用待定系数法；解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般设出直线方程，将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个未知数，得到关于一个未知数的二次方程，利用韦达定理，找突破口．注意设直线方程时，一定要讨论直线的斜率是否存在．20．已知函数f（x）=e x（其中e为自然对数的底数，且e=2.71828…），g（x）=x+m（m，n∈R）．（Ⅰ）若T（x）=f（x）g（x），m=1﹣，求T（x）在上的最大值φ（n）的表达式；（Ⅱ）若n=4时方程f（x）=g（x）在上恰有两个相异实根，某某数m的取值X围；（Ⅲ）若m=﹣，n∈N*，求使f（x）的图象恒在g（x）图象上方的最大正整数n．考点：利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．专题：导数的综合应用．分析：（1）T（x）=e x（x+1﹣），求导T′（x）=e x（x+1）；从而确定函数的最大值；（2）n=4时，方程f（x）=g（x）可化为m=e x﹣2x；求导m′=e x﹣2，从而得到函数的单调性及取值，从而求m的取值X围；（3）由题意，p（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣x+，故f（x）的图象恒在g（x）图象上方可化为p（x）＞0恒成立；从而化为最值问题．解答：解：（Ⅰ）m=1﹣时，T（x）=e x（x+1﹣），n∈R，∴T′（x）=e x（x+1），①当n=0时，T′（x）=e x＞0，T（x）在上为增函数，则此时φ（n）=T（1）=e；②当n＞0时，T′（x）=e x（x+）在（﹣，+∞）上为增函数，故T（x）在上为增函数，此时φ（n）=T（1）=e；③当n＜0时，T′（x）=e x（x+），T（x）在（﹣∞，﹣）上为增函数，在（﹣，+∞）上为减函数，若0＜﹣＜1，即n＜﹣2时，故T（x）在上为增函数，在上为减函数，此时φ（n）=T（﹣）=（﹣1+m）=﹣•，若﹣≥1﹣2≤n＜0时，T（x）在上为增函数，则此时φ（n）=T（1）=e；∴综上所述：φ（n）=；（Ⅱ）设F（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣2x﹣m，∴F′（x）=e x﹣2，∴F（x）在（0，ln2）上单调递减；在（ln2，+∞）上单调递增；∴F（x）=e x﹣2x﹣m在上恰有两个相异实根，∴，解得2﹣2ln2＜m≤1，∴实数m的取值X围是{m|2﹣2ln2＜m≤1}；（Ⅲ）由题设：∀x∈R，p（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣x+＞0，（*），∵p′（x）=e x﹣，∴p（x）在（﹣∞，ln）上单调递减；在（ln，+∞）上单调递增，∴（*）⇔p（x）min=p（ln）=﹣ln+=（n﹣nln+15）＞0，设h（x）=x﹣xln+15=x﹣x（lnx﹣ln2）+15，则h′（x）=1﹣ln﹣1=﹣ln，∴h（x）在（0，2）上单调递增；在（2，+∞）上单调递减，而h（2e2）=15﹣2e2＞0，且h（15）=15（lne2﹣ln）＜0，故存在x0∈（2e2，15）使 h（x0）=0，且x∈。
2014-2015学年普通高中高三教学质量监测 (理科数学解析版)
2014-2015学年普通高中高三教学质量监测理科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第II 卷第22题为选考题，其他题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚． 3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．5．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设集合M ＝{x |x ≥0，x ∈R }，N ＝{x |x 2<1，x ∈R }，则M ∩N ＝( )A. [0,1]B. [0,1)C. (0,1]D. (0,1)[解析] ∵N ＝(－1,1)，∴M ∩N ＝[0,1)，故选B. [答案] B2. 设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，集合B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a >0}，若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是( )A. (0，34) B. [34，43) C. [34，＋∞)D. (1，＋∞)[解析] A ＝{x |x 2＋2x －3>0}＝{x |x >1或x <－3}，∵函数y ＝f (x )＝x 2－2ax －1的对称轴为x ＝a >0，f (0)＝－1<0，根据对称性可知要使A ∩B 中恰含有一个整数，则这个整数解为2，∴有f (2)≤0且f (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－4a －1≤0，9－6a －1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥34，a <43，即34≤a <43，选B.[答案] B3. 下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A. y ＝x ＋1 B. y ＝(x －1)2 C. y ＝2－xD. y ＝log 0.5(x ＋1)[解析] y ＝(x －1)2仅在[1，＋∞)上为增函数，排除B ；y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x为减函数，排除C ；因为y ＝log 0.5t 为减函数，t ＝x ＋1为增函数，所以y ＝log 0.5(x ＋1)为减函数，排除D ；y ＝t 和t ＝x ＋1均为增函数，所以y ＝x ＋1为增函数，故选A.[答案] A4. 定积分⎰10(2x ＋e x )d x 的值为( ) A . e ＋2 B . e ＋1 C . eD . e －1[解析]⎰1(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x)⎪⎪⎪1＝1＋e 1－1＝e ，故选C .[答案] C5. 已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f(x 2)－f(x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f(－12)，b ＝f(2)，c ＝f(3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A . c>a>bB . c>b>aC . a>c>bD . b>a>c[解析] 由于函数f(x)的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称，故函数y ＝f(x)的图象本身关于直线x ＝1对称，所以a ＝f(－12)＝f(52)．当x 2>x 1>1时，[f(x 2)－f(x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，等价于函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以b>a>c.故选D .[答案] D6. 图中阴影部分的面积S 是h 的函数(0≤h ≤H)，则该函数的大致图象是( )[解析] 由图知，随着h 的增大，阴影部分的面积S 逐渐减小，且减小得越来越慢，结合选项可知选B .[答案] B7. 函数y ＝log a (x ＋3)－1(a>0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上(其中m ，n>0)，则1m ＋2n 的最小值等于( )A . 16B . 12C . 9D . 8[解析] 依题意，点A 的坐标为(－2，－1)，则－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1(m>0，n>0)，所以1m ＋2n ＝(1m ＋2n )(2m ＋n)＝4＋(n m ＋4mn )≥4＋2n m ×4m n ＝8，当且仅当n m ＝4m n ，即n ＝2m ＝12时取等号，即1m ＋2n 的最小值是8，选D .[答案] D8. 若a>b>0，c<d<0，则一定有( ) A . a c >b d B . a c <b d C . a d >b cD . a d <b c[解析] 解法一：⎭⎬⎫c<d<0⇒cd>0 c<d<0⇒c cd <d cd <0⇒1d <1c <0⇒⎭⎬⎫－1d >－1c >0a>b>0⇒－a d >－bc ⇒ad <b c .解法二：依题意取a ＝2，b ＝1，c ＝－2，d ＝－1，代入验证得A 、B 、C 均错，只有D 正确．[答案] D9. 已知直线y ＝mx 与函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－(13)x，x ≤012x 2＋1，x>0的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是( )A ．(3，4)B ．(2，＋∞)C ．(2，5)D ．(3，22)[解析]作出函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－(13)x，x ≤012x 2＋1，x>0的图象，如图所示．直线y ＝mx 的图象是绕坐标原点旋转的动直线．当斜率m ≤0时，直线y ＝mx 与函数f(x)的图象只有一个公共点；当m>0时，直线y ＝mx 始终与函数y ＝2－(13)x(x ≤0)的图象有一个公共点，故要使直线y ＝mx 与函数f(x)的图象有三个公共点，必须使直线y ＝mx 与函数y ＝12x 2＋1(x>0)的图象有两个公共点，即方程mx ＝12x 2＋1有两个不相等的正实数根，由⎩⎨⎧y ＝mx y ＝12x 2＋1，可得x 2－2mx ＋2＝0，即⎩⎨⎧Δ＝4m 2－4×2>02m>0，解得m> 2.故选B . [答案] B10.若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n ＝( )A . 5B . 6C . 7D . 8[解析]画出可行域如右图所示， 由z ＝2x ＋y 得y ＝－2x ＋z.当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，z 取得最小值n ＝－3； 当直线y ＝－2x ＋z 经过点C 时，z 取得最大值m ＝3. ∴m －n ＝6，故选B . [答案] B11.已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0<f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，则( )A . c ≤3B . 3<c ≤6C . 6<c ≤9D . c>9[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)＝f (－2)，f (－1)＝f (－3)得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －b ＝7，4a －b ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝11.则有f(－1)＝f(－2)＝f(－3)＝c －6，由0<f(－1)≤3，得6<c ≤9. [答案] C12. 设函数f(x)＝3sin πx m .若存在f(x)的极值点x 0满足x 20＋[f(x 0)]2<m 2，则m 的取值范围是( )A . (－∞，－6)∪(6，＋∞)B . (－∞，－4)∪(4，＋∞)C . (－∞，－2)∪(2，＋∞)D . (－∞，－1)∪(1，＋∞) [解析] f ′(x)＝3πm cos πx m ， ∵f(x)的极值点为x 0，∴f ′(x 0)＝0，∴3πm cos πx 0m ＝0， ∴πm x 0＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴x 0＝mk ＋m2，k ∈Z ，又∵x 20＋[f (x 0)]2<m 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫mk ＋m 22＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π22<m 2，k ∈Z ， 即m 2⎝⎛⎭⎪⎫k ＋122＋3<m 2，k ∈Z ，∵m ≠0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122<m 2－3m 2，k ∈Z ， 又∵存在x 0满足x 20＋[f (x 0)]2<m 2，即存在k ∈Z 满足上式，∴m 2－3m 2>⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122min ，∴m 2－3m 2>⎝ ⎛⎭⎪⎫122，∴m 2－3>m 24，CBFAOyx∴m 2>4，∴m >2或m <－2，故选C. [答案] C第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题．请把正确答案填在题中的横线上)13. 设全集U ＝{n ∈N |1≤n ≤10}，A ＝{1,2,3,5,8}，B ＝{1,3,5,7,9}，则(∁U A )∩B ＝________.[解析] ∵U ＝{n ∈N |1≤n ≤10}，A ＝{1,2,3,5,8}， ∴∁U A ＝{4,6,7,9,10}，又∵B ＝{1,3,5,7,9}， ∴(∁U A )∩B ＝{7,9}． [答案] {7,9}14. 曲线y ＝x e x －1在点(1,1)处切线的斜率等于________．[解析] 由题意可得y ′＝ex －1＋x ex －1，所以曲线在点(1,1)处切线的斜率等于2.[答案] 215. 已知不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为{x |－2<x <1}，则不等式cx 2＋bx ＋a >c (2x －1)＋b 的解集为________．[解析] 由题意可知a >0，且－2,1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，则⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－1ca ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝ac ＝－2a ，所以不等式cx 2＋bx ＋a >c (2x －1)＋b 可化为－2ax 2＋ax ＋a >－2a (2x －1)＋a ，整理得2x 2－5x ＋2<0， 解得12<x <2.∴原不等式的解集为(12，2)． [答案] (12，2)16. 已知定义在R 上的偶函数满足：f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且当x ∈[0,2]时，y ＝f (x )单调递减，给出以下四个命题：①f (2)＝0；②x ＝－4为函数y ＝f (x )图象的一条对称轴； ③函数y ＝f (x )在[8,10]上单调递增；④若方程f (x )＝m 在[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－8.以上命题中所有正确命题的序号为________．[解析] 令x ＝－2，得f (2)＝f (－2)＋f (2)，又函数f (x )是偶函数，故f (2)＝0；根据①可得f (x ＋4)＝f (x )，可得函数f (x )的周期是4，由于偶函数的图象关于y 轴对称，故x ＝－4也是函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴；根据函数的周期性可知，函数f (x )在[8,10]上单调递减，③不正确；由于函数f (x )的图象关于直线x ＝－4对称，故如果方程f (x )＝m 在区间[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 22＝－4，即x 1＋x 2＝－8.故正确命题的序号为①②④.[答案] ①②④三、解答题(本大题共6小题．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. 已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |log 2(3－x )≤2}，集合N ＝{x |y ＝(12)x 2－x －6－1}． (1)求M ，N ； (2)求(∁U M )∩N .[解] (1)由已知得log 2(3－x )≤log 24，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≤4，3－x >0，解得－1≤x <3，所以M ＝{x |－1≤x <3}． N ＝{x |(12)x 2－x －6－1≥0} ＝{x |(x ＋2)(x －3)≤0} ＝{x |－2≤x ≤3}．(2)由(1)可得∁U M ＝{x |x <－1或x ≥3}． 故(∁U M )∩N ＝{x |－2≤x <－1或x ＝3}．18. 已知命题p ：方程a 2x 2＋ax －2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2a 的值域为[0，＋∞)．若命题“p 或q ”是假命题，求实数a 的取值范围．[解] 若命题p 为真，(ax ＋2)(ax －1)＝0，显然a ≠0， ∴x ＝－2a 或x ＝1a ，∵x ∈[－1,1]，故有|－2a |≤1或|1a |≤1， ∴|a |≥1，若命题q 为真，就有(2a )2－4×2a ＝0， ∴a ＝0或a ＝2，∴命题“p 或q ”为假命题时，a ∈(－1,0)∪(0,1)．19. 已知函数f (x )＝x 2＋2m ln x (m ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数g (x )＝2x ＋f (x )在[1,3]上是减函数，求实数m 的取值范围．[解] (1)由条件知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x ＋2mx . ①当m ≥0时，f ′(x )>0，故f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)； ②当m <0时，f ′(x )＝2(x ＋－m )(x －－m )x . 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下：由上表可知，函数f (x )的单调递减区间是(0，－m ]，单调递增区间是[－m ，＋∞)．(2)对g (x )＝2x ＋x 2＋2m ln x 求导，得g ′(x )＝－2x 2＋2x ＋2m x . 由已知函数g (x )在[1,3]上是减函数，则g ′(x )≤0在[1,3]上恒成立，即－2x 2＋2x ＋2m x ≤0在[1,3]上恒成立，即m ≤1x －x 2在[1,3]上恒成立．令h (x )＝1x －x 2，当x ∈[1,3]时，h ′(x )＝－1x 2－2x ＝－(1x 2＋2x )<0，由此知h (x )在[1,3]上为减函数，所以h (x )min ＝h (3)＝－263，故m ≤－263.于是实数m 的取值范围为(－∞，－263]．20. 旅行社为某旅行团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为16000元．旅行团中的每个人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数不超过35人，则飞机票每张收费800元；若旅行团的人数多于35人，则予以优惠，每多1人，每个人的机票费减少10元，但旅行团的人数最多不超过60人．设旅行团的人数为x 人，飞机票价格为y 元，旅行社的利润为Q 元．(1)写出飞机票价格y 与旅行团人数x 之间的函数关系式； (2)当旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？求出最大利润．[解] (1)依题意得，当1≤x ≤35时，y ＝800； 当35<x ≤60时，y ＝800－10(x －35)＝－10x ＋1150； ∴y＝{ 800(1≤x ≤35，且x ∈N *)－10x ＋1150(35<x ≤60，且x ∈N *).(2)当1≤x ≤35，且x ∈N *时，Q ＝yx －16000＝800x －16000. 则Q max ＝800×35－16000＝12000，当35<x ≤60，且x ∈N *时，Q ＝yx －16000＝－10x 2＋1150x －16000＝－10(x －1152)2＋341252，所以当x ＝57或x ＝58时，Q 取得最大值，即Q max ＝17060. 因为17060>12000，所以当旅游团人数为57或58时，旅行社可获得最大利润，为17060元．21. 已知函数f (x )＝e x－12x 2－ax (a ∈R )．(1)若函数f (x )的图象在x ＝0处的切线方程为y ＝2x ＋b ，求a ，b 的值；(2)若函数f (x )在R 上是增函数，求实数a 的取值范围； (3)如果函数g (x )＝f (x )－(a －12)x 2有两个不同的极值点x 1，x 2，证明：a >e2.[解] (1)∵f ′(x )＝e x －x －a ， ∴f ′(0)＝1－a .∴由题知1－a ＝2，解得a ＝－1， ∴f (x )＝e x －12x 2＋x . ∴f (0)＝1，∴1＝2×0＋b ，解得b ＝1.(2)由题意知，f ′(x )≥0即e x －x －a ≥0恒成立， ∴a ≤e x －x 恒成立．设h (x )＝e x －x ，则h ′(x )＝e x －1.当x 变化时，h ′(x )，h (x )的变化情况如下表：x (－∞，0)0 (0，＋∞)h ′(x ) － 0 ＋ h (x )单调递减极小值单调递增∴h (x )min ＝h (0)＝1， ∴a ≤1.(3)由已知g (x )＝e x－12x 2－ax －ax 2＋12x 2＝e x －ax 2－ax ，∴g ′(x )＝e x －2ax －a .∵x 1，x 2是函数g (x )的两个不同极值点(不妨设x 1<x 2)，∴e x －2ax －a ＝0 (*)有两个不同的实数根x 1，x 2.当x ＝－12时，方程(*)不成立，则a ＝e x 2x ＋1，令p (x )＝e x2x ＋1，则p ′(x )＝e x (2x －1)(2x ＋1)2，令p ′(x )＝0，解得x ＝12.当x 变化时，p (x )，p ′(x )的变化情况如下表： x (－∞，－12)(－12，12) 12 (12，＋∞)p ′(x ) － － 0 ＋ p (x )单调递减单调递减极小值单调递增若方程(*)有两个不同的实数根，则a >p (12)＝e2， ∴a >e 2.22. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋3(x ≤0)x 2e ax (x >0).(1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调递增区间；(2)对任意的正实数m ，关于x 的方程f (x )＝m 恒有实数解，求实数a 的取值范围．[解] (1)当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，其单调递增区间为[－1,0]；当x >0时，∵a ＝－1，∴f (x )＝x 2e －x ，∴f ′(x )＝2x e －x ＋x 2·(－1)e －x ＝－x e －x (x －2)， 令f ′(x )>0，得x <2，∴f (x )的单调递增区间为(0,2)．综上，函数f (x )的单调递增区间为[－1,0]，(0,2)．(2)“方程f (x )＝m 对任意正实数m 恒有实数解”等价转化为“函数f (x )的值取遍每一个正数”，注意到当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2≥2， 因此，当x >0时，f (x )的值域必须包含(0,2)， 以下研究x >0时的函数值域情况，当x >0时，f (x )＝x 2e ax ，∴f ′(x )＝2x e ax ＋x 2·a e ax ＝x e ax (ax ＋2)，①若a ≥0，则f ′(x )>0，此时f (x )在(0，＋∞)上单调递增，f (x )的值域为(0，＋∞)，满足要求；②若a <0，令f ′(x )>0，得0<x <－2a ，令f ′(x )<0，得x >－2a ， ∴f (x )在(0，－2a )上单调递增，在(－2a ，＋∞)上单调递减， ∴f (x )max ＝f (－2a )＝(－2a )2·e －2＝4a 2e 2， ∴f (x )的值域为(0，4a 2e 2]，由(0，4a 2e 2]⊇(0,2)得，4a 2e 2≥2，解得－2e ≤a <0. 综上，所求实数a 的取值范围是[－2e ，＋∞)．。
2014届XXX等XXX高三第二次联合模拟考试理科数学试题(含答案解析)
2014届XXX等XXX高三第二次联合模拟考试理科数学试题(含答案解析)XXX2014年高三第二次联合模拟考试（XXX、XXX、XXX）数学理试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.若$U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$，$A=\{1,2,3\}$，$B=\{5,6,7\}$，则$(C\cup A)\cap(C\cup B)$=A。
{4,8} B。
{2,4,6,8} C。
{1,3,5,7} D。
{1,2,3,5,6,7}2.已知复数$z=-\frac{1}{3}+i$，则$z+|z|$=A。
$-\frac{13}{22}-i$ B。
$-\frac{13}{22}+i$ C。
$\frac{3}{22}+i$ D。
$\frac{4}{22}-i$3.设随机变量$\xi$服从正态分布$N(2,9)$，若$P(\xi>c)=P(\xi<c-2)$，则$c$的值是A。
1 B。
2 C。
3 D。
44.已知$p:x\geq k$，$q:\frac{x+1}{3}<1$，如果$p$是$q$的充分不必要条件，则实数$k$的取值范围是A。
$(2,+\infty)$ B。
$(2,+\infty)$ C。
$[1,+\infty)$ D。
$(-\infty,-1]$5.已知$\triangle ABC$的内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，且$\frac{c-b\sin A}{c\sin C+\sin B}$，则$\angle B=$A。
$\frac{\pi}{6}$ B。
$\frac{\pi}{4}$ C。
$\frac{\pi}{3}$ D。
$\frac{3\pi}{4}$6.已知函数$f(x)=\ln(x+1)$的值域为$\{y|y\leq 1\}$，则满足这样条件的函数的个数为A。
2014高三一模理科数学试卷及答案
2014 届高三第一次模拟考试理科数学试卷满分：150 分 时量：120 分钟 一、选择题（5 分 8=40 分） 1、若 i 为虚数单位，则 A、 i 命题：高三数学备课组1 i 等于 1 i B、 i（ C、1 D、－1。
）2、已知集合 M x x 7 9 ， N x y 9 x 2 ，且 M , N 都（ ）是全集U 的子集，则右图中阴影部分表示的集合是A、 x 3 x 2B、 x x 16C、 x 3 x 2D、 x x 16 （开始）３、按照如图的程序框图执行，若输出结果为 15，则 M 处条件为 A． k 16 4、给出下列命题： ○ 1 向量 a ， b 满足 a b a b ，则 a ， b 的夹角为 30 0 ； ○ 2 a b 0 是〈 a ， b 〉为锐角的充要条件； ○ 3 将函数 y x 1 的图象按向量 a (1,0) 平移， 得到函数 y x 的图象； ○ 4 若 ( AB AC) ( AB AC) 0 ，则 ABC 为等腰三角形。
以上命题正确的个数是 A、1 个 B、2 个 C、3 个 B． k 8 C． k 16 D． k 8k=1 S=0 M?否 是S=S+kk 2 k输出 S 结束（ D、4 个）５、已知某几何体的正视图和侧视图均是边长为１的正方形，则这个几何体的体积不可能是 A、1 2B、 4C、1D、 3（）6、有下列四种说法： ①命题： “ x0 R ,使得 x 2 x 0 ”的否定是“ x R ,都有 x 2 x 0 ” ； ○ 2 已知随机变量 x 服从正态分布 N (1, 2 ) ， P( x 4) 0.79 ，则 P( x 2) 0.21； ○ 3 函数 f ( x) 2 sin x cos x 1, ( x R) 图像关于直线 x 是增函数； ○ 4 设实数 x, y 0,1 ，则满足： x 2 y 2 1 的概率为 A、0 7、已知函数3 对称，且在区间 , 上 4 4 4（ ） 。
2014-2015年安徽省滁州市高级中学联谊会联考高三上学期期末数学试卷(理科)和答案
D．5
6． （5 分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（
）
A．6π
B．7π
C．8π
D．9π ）
7． （5 分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果为（
A．7
B．8
C．9
D．10 ）
8． （5 分） “a=1”是“直线 y=x 与函数 y=ln （x+a） 的图象有且仅有一个交点”的 （ A．充分不必要条件 C．充分必要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
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18． （12 分） 如图， 在四棱台 ABCD﹣A1B1C1D1 中， DD1⊥底面 ABCD， 四边形 ABCD 为正方形，DD1=AD=2，A1B1=1，C1E∥平面 ADD1A1． （Ⅰ）证明：E 为 AB 的中点； （Ⅱ）求二面角 A﹣C1E﹣D 的余弦值．
19． （13 分）设函数 f（x）=（a﹣x）ex﹣1（e 为自然对数的底数） ． （Ⅰ）当 a=1 时，求 f（x）的最大值； （Ⅱ）当 x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）时， 20． （13 分）已知椭圆 C： + ＜1 恒成立，证明：a=1．
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分． ） 11． （5 分） （x2+ ）6 的展开式中常数项是
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． （用数字作答）
12． （5 分）设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，且 a2+2a4+5a6=32，则 S9=
．
13． （5 分）过焦点为 F 的抛物线 y2=4x 上一点 P 向其准线作垂线，垂足为 Q，若 ∠QPF=120°，则|PF|= ． ，
河北省衡水中学2015届高三数学上学期第四次联考试题 理(含解析)新人教A版
【知识点】双曲线及其几何性质H6
【答案】B
【解析】设|PF1|=2|PF2|=2a=2，P F1|=2 | P F2|,∴|PF1|=4，|PF2|=2∵|F1F2|=2
∴cos∠F1PF2= =
【思路点拨】根据双曲线的定义，结合|PF1|=2|PF2|，利用余弦定理，即可求cos∠F1PF2的值．
∴只需圆C′：（x-4）2+y2=4与直线y=kx+2有公共点即可．
设圆心C（4，0）到直线y=kx+2的距离为d，则d= ≤2，即3k2≤-4k，
∴- ≤k≤0．∴k的最小值是 ．
【思路点拨】化圆C的方程为（x-4）2+y2=1，求出圆心与半径，由题意，只需（x-4）2+y2=4与直线y=kx+2有公共点即可．
【题文】6．已知命题p︰∃x0∈R, ex－m x=0, q︰∀x∈R, x2+m x+1≥0,若p∨（ q）为假命题,则实数m的取值范围是（）
A．（-∞, 0）∪（2, +∞）B．[ 0, 2]
C．RD．Ø
【知识点】导数的应用B12
【答案】B
【解析】若p∨（¬q）为假命题，则p，¬q都为假命题，即p是假命题，q是真命题，
三、解答题（本大题共6个小题,共7 0分,解答应写出文字说明、证明或演算步骤。）
【题文】17．（1 2分）在△A B C中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,函数 在 处取得最大值。
（1）当x∈（0, ）时,求函数 的值域;
（2）若a=7且 ,求△A B C的面积。
【知识点】单元综合C9
【答案】（1）(- ，1]（2）10
于是b-a=2lnx-lnx=lnx＜0，从而b＜a．又a-c=lnx-ln3x=a（1+a）（1-a）＜0，从而a＜c．
2014-2015联考理科综合卷 解析
2014-2015高三年级综合能力测试（一）解析2014．12数学（理科）1.解析：选A点评：本题属于集合问题，考点为解一元二次不等式和集合的运算，考法常规，难度也较低，大多数学生应该可以轻松得分。
唯一需要注意的是集合B的限制条件是整数集，个别学生如果没有注意，可能会按照实数集来计算。
2.解析：选B点评：本题属于双曲线的问题，考点为双曲线的a，b，c之间关系，难度同样很低，属于送分题，基本所有学生都应该能得分。
3.解析：选B点评：本题属于二项式问题，考点为二项式的通项公式，难度很低，只要学生掌握基本公式就可以得分。
但大部分学校都还没有复习到这个知识点，会有一些学生因为基础不扎实而忘记公式，导致失分。
4.解析：选D。
点评：本题属于框图问题，考点为循环结构的终止判断条件，题目是最简单的形式，只要对知识正确理解的学生都应该稳定得分。
5.解析：选B点评：本题属于零点问题，考点为函数零点问题与构造函数求交点问题的转化，难度不大。
部分学生可能因为对绝对值函数的图像记忆不清晰导致画错图，从而出错。
6.解析：选A。
点评：本题属于逻辑问题，考点为一元二次不等式的解集与系数成比例的关系，有一定难度，学生可能忽略无解和解集为R的情况，以及比例为负数的情况导致错选。
需要加强学生对不等式的各种性质的理解和掌握。
7.解析：选C。
点评：本题属于线性规划问题，考点为可行域范围的确定。
有一定难度，只要将两条动直线的问题转化为动点在两条定直线所确定的区域之内即可。
需要学生理解可行域的几何意义，对学生灵活运用知识的能力有一定要求。
基础不是很扎实的学生容易找不到入手点。
8.解析：选D点评：本题属于函数与不等式问题，考点为利用单调性解不等式及不等式恒成立的条件。
难度较大，部分同学能够利用单调性解出x＜a\2，但很多同学会在恒成立问题上无从下手，不知道x和a该如何确定变量与参数的关系，从而导致无法继续下去。
但作为选择题可以采取给a赋值的方法来选出答案，前提是能利用单调性解出x＜a\2。
2014-2015学年高三理科数学9月检测参考答案
合阳中学2014-2015学年高三理科数学9月检测参考答案一、BADDC DCACA二、11、12、 0或13、14、20 15、A．； B．４； C．；三、16、(1)B={x|2m<x<1};(2)-≤m≤1;(3)-≤m<-1或<m≤2解析：解：∵不等式x2-(2m+1)x+2m<0⇔(x-1)(x-2m)<0.(1)当m<时，2m<1,∴集合B={x|2m<x<1}.(2)若A∪B=A,则B⊆A,∵A={x|-1≤x≤2},①当m<时,B={x|2m<x<1},此时-1≤2m<1⇒-≤m<;②当m=时,B=Ø,有B⊆A成立;③当m>时,B={x|1<x<2m},此时1<2m≤2⇒<m≤1;综上所述，所求m的取值范围是-≤m≤1.(3)∵A={x|-1≤x≤2},∴R A={x|x<-1或x>2},①当m<时,B={x|2m<x<1},若R A∩B中只有一个整数,则-3≤2m<-2⇒-≤m<-1; ②当m=时,不符合题意;③当m>时,B={x|1<x<2m},若R A∩B 中只有一个整数,则3<2m≤4,∴<m≤2.综上知,m 的取值范围是-≤m<-1或<m ≤2. 17.（本小题满分12分）18、解析 ：解：（1）函数的定义域为，值域为R（2）（3）当设当所以19.解：（1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2∵ f(0)≠0 ∴ f(0)=1 （2）令a=x ，b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴ )x (f 1)x (f =-由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0∴ 0)x (f 1)x (f >-=又x=0时，f(0)=1>0∴ 对任意x ∈R ，f(x)>0 (3)任取x 2>x 1，则f(x 2)>0，f(x 1)>0，x 2-x 1>0 ∴1)x x (f )x (f )x (f )x (f )x (f 121212>-=-⋅= ∴ f(x 2)>f(x 1) ∴ f(x)在R 上是增函数（4）f(x)·f(2x-x 2)=f[x+(2x-x 2)]=f(-x 2+3x) 又1=f(0)，f(x)在R 上递增 ∴ 由f(3x-x 2)>f(0)得：x-x 2>0 ∴ 0<x<320、解：(1)当x ∈(－1，0)时，－x ∈(0，1)． 由f (x )为R 上的奇函数，得f (－x )＝－f (x )＝2－x ＋12－x －1＝2x ＋11－2x， ∴f (x )＝2x ＋12x －1，x ∈(－1，0)．又由f (x )为奇函数，得f (0)＝0，f (－1)＝－f (1)，且f (－1)＝f (1)， ∴f (－1)＝0，f (1)＝0，故f (x )在区间[－1，1]上的解析式为f (x )＝0，x ＝±1.，x ∈（－1，1），(2)∵x ∈(0，1)，∴f (x )＝2x ＋12x －1＝2x ＋12x ＋1－2＝1－2x ＋12. 又∵2x∈(1，2)，∴1－2x ＋12∈0，31. 若存在x ∈(0，1)，满足f (x )>m ，则m <31， 故实数m 的取值范围为－∞，31. 21题。
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2014—2015学年度高三第二次联考数学（理）试卷命题学校：鄂南高中命题人：王再盛第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若关于x 的不等式2(1)4k x k ++≤的解集是M ，则对任意实数k ，总有（ ） A ．2,0M M ∈∈ B ．2,0M M ∉∉ C ．2,0M M ∈∉ D ．2,0M M ∉∈2．定义运算a b ad bc cd=-，则符合条件12011z i ii+=-+的复数z 为（ ）A ．2i --B ．2i -+C ．2i -D ．2i +3．已知点P （2，1）在圆C ：2220x y ax y b ++-+=上，点P 关于直线10x y +-=的对称点也在圆C 上，则实数a, b 的值为（ ） A ．a =-3, b =3 B ．a =0, b =-3 C ．a =-1, b =-1D ．a =-2, b =14．若3nx ⎛+ ⎝的展开式中各项系数之和为1024，则展开式中含x 的整数次幂的项共有（ ）A ．2项B ．3项C ．5项D ．6项 5．五名篮球运动员比赛前将外衣放在休息室，比赛完后都回到休息室取外衣. 由于灯光暗淡，看不清自己的外衣，则至少有两人拿对自己的外衣的情况有（ ） A ．30种 B ．31种 C ．35种 D ．40种 6．设p : 1|21|.:0.21x x a q x -+>>-使得p 是q 的必要但不充分条件的实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0)-∞B ．(2]-∞-C ．[-2，3]D ．[3,)+∞7．若1,x b a b →=+=则（ ）A ．-2B ．0C ．2D ．48．设函数()sin()0,0.2f x x πωφωφ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭若将f (x )的图象沿x 轴向右平移16个单位湖北省 八校 鄂南高中 黄冈中学 黄石二中 华师一附中荆州中学 襄樊四中 襄樊五中 孝 感 高 中长度，得到的图象经过坐标原点；若将f (x )的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象经过点1,16⎛⎫⎪⎝⎭，则（ ） A ．,6πωπφ== B ．2,3πωπφ==C ．3,48ππωφ==D ．适合条件的,ωφ不存在9．设f (x )是定义域为R 的奇函数，g (x )是定义域为R 的恒大于零的函数，且当x >0时有()()()().f x g x f x g x ''< 若f (1)=0，则不等式f (x )>0的解集是（ ）A ．(,1)(1,)-∞-+∞B ．(1,0)(0,1)-C ．(,1)(0,1)-∞-D ．(1,0)(1,)-+∞10．为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组的频数成等比数列，设视力在4.6到4.9之间的学生数为a ，最大频率为b ，则a, b 的值分别为（ ） A ．77，0.53 B ．70，0.32 C ．77，5.3 D ．70，3.2第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 把答案填在题中横线上. 11．函数2log (0)1xy x x =>+的反函数的定义域是____________. 12．抛物线C 的顶点在坐标原点，对称轴为y 轴，若过点M （0，1）任作一条直线交抛物线C 于A (x 1, y 1), B (x 2, y 2)两点，且x 1·x 2=-2，则抛物线C 的方程为____________. 13．若正三棱柱的底面边长为3，侧棱长为_________.14．设z =2x+y ，实数x 、y 满足不等式组13525__________x x y ⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤，若当且仅当x =5, y =2时，z 取得最大值，则不等式组中应增加的不等式可以是________________.（只要写出适合条件的一个不等式即可）15．对大于1的自然数m 的n 次幂可用奇数进行如图方式的“分裂”：仿此，62的“分裂”中最大的数是_____________. 若m 3的“分裂”中有一个数是35，则m 的值为_____. 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22 321 53 5 742 ……23 33 7 1115 1719 43……16．（本小题满分12分）在△ABC 中，1, 3.AB AC AB BC ==- （1）求AB 边的长度；（2）求sin()sin A B C-的值.17．（本小题满分12分）某智力测试有5道试题. 假定任何智力正常的人答对第i 道题的概率是13（i =1, 2, 3, 4, 5）. （1）求智力正常的人将这5道试题都答错了的概率及至少答对了的4道试题的概率； （2）如果甲将这5道试题都答错了，乙答对了的4道试题，答错了1道试题. 能否判定甲的智力低于正常水平，乙的智力高于正常水平. 请运用所学概率知识表达你的观点.18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥E —ABCD 中，AB ⊥平面BCE ，CD ⊥平面BCE ，AB=BC=CE=2CD =2，120BCE ∠=. ①求证：平面ADE ⊥平面ABE ；②求点C 到平面ADE 的距离.19．（本小题满分12分）如图，,F F '分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>和双曲线22221x y a b -=的右焦点，A 、B 为椭圆和双曲线的公共顶点. P 、Q 分别为双曲线和椭圆上不同于A 、B 的第一象限内的点，且满足()(),3PA PB QA QB R PF QF λλ'+=+∈=.（1）求出椭圆和双曲线的离心率；（2）设直线P A 、PB 、QA 、QB 的斜率分别是k 1, k 2, k 3, k 4，求证：k 1+k 2+k 3+k 4=0.20．（本小题满分13分）已知数列{a n }满足：111,1(1,2,3).2n n n n a a a n +⎛⎫==+= ⎪⎝⎭（1）求证：1113;2n n n n a a +-+>-≥ （2）设1(1,2,3)n n n b a a n +=-=，求数列{b n }中的项的最大值.21．（本小题满分14分）设x =1是函数()1axx b f x e x -+=+的一个极值点（a >0，e 为自然对数的底）.（1）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求f (x )的单调区间； （2）设m >-1，若f (x )在闭区间[m, m +1]上的最小值为0，最大值为12ae -，求m 与a 的值.2006—2007学年度高三第二次联考数学（理）试卷参考答案一.1.A 2.C 3.B 4.B 5.B 6.A 7.C 8.A 9.C 10.B 二.11.()0,∞- 12.y x 22= 13.π36 14. 适合①()25+-≥x k y ②>k 53-的不等式如:2≥y , 012≥--y x 或其它曲线型只要适合即可 15. 11, 6三.16.解:（１）()BC AB AB AC AB +⋅=⋅=+⋅AB AB .132=-=⋅AB BC AB.2=即AB 边的长度为2. …………… …………5分 （２）由已知及（１）有:,1cos 2=A b (),3c o s 2-=-B a π∴A b B a cos 3cos = ……………8分 由正弦定理得: A B B A cos sin 3cos sin = ……………10分 ∴()C B A sin sin -=()()21sin cos cos sin sin cos cos sin sin sin =+-=+-B A B A B A B A B A B A …………12分 17.解:⑴智力正常的人将这5道试题都答错了的概率为132.024*******0==⎪⎭⎫ ⎝⎛-=P ……………3分答对了的4道试题的概率为041.024310311314454==⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=C P 答对了的5道试题的概率为004.024*******5==⎪⎭⎫⎝⎛=C P∴智力正常的人答对了的4道试题以上的概率为045.02431154==+=P P P …7分 ⑵智力正常的人将这5道试题都答错了的概率05.0132.00>=P 因而不能判定甲的智力低于正常水平 ……9分智力正常的人答对了的4道试题以上的概率05.0045.0<=P .根据小概率事件在一次试验中几乎不发生的原理知,假设乙的智力在正常水平, 答对了的4道试题的情况几乎不发生.从而可以认定乙的智力高于正常水平。
…………12分 18.解法1:取BE 的中点O,连OC.∵BC=CE, ∴OC ⊥BE.又AB ⊥平面BCE.以O 为原点建立空间直角坐标系O －ｘｙｚ如图，则由已知条件有:()0,0,1C ,()0,3,0B,湖北省 八校 鄂南高中 黄冈中学 黄石二中 华师一附中荆州中学 襄樊四中 襄樊五中 孝 感 高 中()0,3,0-E ()1,0,1D ,()2,3,0A ……4分设平面ADE 的法向量为ｎ=()c b a ,,，则由ｎ·=()()2,32,0,,⋅c b a .0232=+=c b 及ｎ·=()()1,3,1,,-⋅c b a .03=++-=c b a可取ｎ=()3,1,0- ……6分 又AB ⊥平面BCE. ∴AB ⊥OC.OC ⊥平面ABE ∴平面ABE 的法向量可取为m ＝()0,0,1. ∵ｎ·m =()3,1,0-·()0,0,1=0,∴ｎ⊥m ∴平面ADE ⊥平面ABE. ……8分⑵点C 到平面ADE()()2323,1,02,3,1=-⋅-=……12分 解法2:取BE 的中点O,AE 的中点F,连OC,OF,CD.则OF ∥BA 21∵AB ⊥平面BCE ，CD ⊥平面BCE ， AB=2CD ∴CD ∥BA 21，OF ∥ CD ∴OC ∥ FD ……3分 ∵BC=CE, ∴OC ⊥BE.又AB ⊥平面BCE. ∴OC ⊥平面ABE. ∴FD ⊥平面ABE. 从而平面ADE.⊥平面ABE. ……6分 ②∵CD ∥BA 21,延长AD, BC 交于T 则Ｃ为ＢT 的中点．点C 到平面ADE 的距离等于点B 到平面ADE 的距离的21.……8分 过B 作BH ⊥AE ，垂足为H 。