最新人教版九年级数学下册第二十七章《相似三角形的判定(2)》课后训练(第2课时)
人教版 九年级数学下册 第27章 相似 课时作业(含答案)
人教版九年级数学下册第27章相似课时作业一、选择题1. 如图，在平面直角坐标系中，以原点O为中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A′B′O.若点A的坐标是(1,2)，则点A′的坐标是()A．(2,4) B．(－1，－2)C．(－2，－4) D．(－2，－1)2. 已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为() A．3 B．2 C．4 D．53. （2020·绍兴）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2︰5，且三角板的一边长为8cm．则投影三角板的对应边长为（）A．20cm B．10cm C．8cm D．3.2cm4. （2020·河南）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，边BC在x轴上，顶点A，B 的坐标分别为(-2，6)和(7，0).将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为( )A. (32，2) B. (2，2) C. (114，2) D. (4，2)5. （2020·云南）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E 是CD的中点．则△DEO与△BCD的面积的比等于（）A ．B ．C ．D ．6. （2020·重庆B 卷）如图，△ABC 与△DEF 位似，点O 为位似中心．已知OA :OD =1:2，则△ABC 与△DEF 的面积比为（ ） A ．1:2 B ．1:3 C ．1:4 D ．1:57. （2020·嘉兴）如图，在直角坐标系中，△OAB 的顶点为O （0，0），A （4，3），B （3，0）．以点O 为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为13的位似图形△OCD ，则点C 坐标为（ ）A ．（﹣1，﹣1）B ．（4,13--） C ．（41,3--） D ．（﹣2，﹣1）8. （2020•丽水）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD 与正方形EFGH ．连结EG ，BD 相交于点O 、BD 与HC 相交于点P ．若GO ＝GP ，则ABCD EFGHS S 正方形正方形的值是（ ）A ．12B ．22+C ．52-D ．154二、填空题9. （2020·吉林）如图，////AB CD EF ．若12=AC CE ，5BD =，则DF =______．10. (2019•百色)如图，ABC △与A'B'C'△是以坐标原点O 为位似中心的位似图形，若点()22A ，， ()34B ，，()61C ，，()68B'，，则A'B'C'△的面积为__________．11. (2019•吉林)在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m ，同时同地测得一栋楼的影长为90m ，则这栋楼的高度为__________m ．12.（2020·临沂）如图，在ABC ∆中，D ，E 为边AB 的三等分点，////EF DG AC ，H 为AF 与DG 的交点.若6AC =，则DH =_________.13. （2020·东营）如图，P为平行四边形ABCD 边BC 边上一点，E 、F 分别为PA 、PD 上的点，且PA=3PE ，PD=3PF ，△PEF 、△PDC 、△PAB 的面积分别记为S 、1S 、2S ，若S =2，则1S +2S = ．14. 在由边长均为1的小正方形组成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图27－Y －7，已知Rt △ABC 是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt △ABC 相似的格点三角形中，面积最大的三角形的斜边长是________．15. 如图，直线y ＝－34x －3交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，P 是x 轴上一动点，以点P 为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P ，当⊙P 与直线AB 相切时，点P 的坐标是________________．16. （2020·长沙）如图，点P 在以MN 为直径的半圆上运动，（点P 与M ,N 不重合）PQ ⊥MN ，NE 平分∠MNP ，交PM 于点E ，交PQ 于点F . (1)PMPEPQ PF ＋＝____________． (2)若MN PM PN •＝2,则NQMQ＝____________．FEQ NOMP三、解答题17. 在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ(0°<θ<180°)，得到△A′B′C.(1)如图①，当AB∥CB′时，设A′B′与CB相交于点D.证明：△A′CD是等边三角形；(2)如图②，连接A′A、B′B，设△ACA′和△BCB′的面积分别为S△ACA′和S△BCB′.求证：S△ACA′∶S△BCB′＝1∶3；(3)如图③，设AC中点为E，A′B′中点为P，AC＝a，连接EP，当θ＝________°时，EP长度最大，最大值为________．图①图②图③18. 如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G.(1)写出图中两对相似三角形，并证明其中的一对；(2)请连接FG，如果α＝45°，AB＝42，AF＝3，求FG的长．19.（2020·达州）如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，90B ∠=︒，6AB cm =，2CD cm =．P 为线段BC 上的一动点，且和B 、C 不重合，连接PA ，过点P 作PE PA ⊥交射线CD 于点E ．聪聪根据学习函数的经验，对这个问题进行了研究：BD PAC E E（1）通过推理，他发现△ABP ∽△PCE ，请你帮他完成证明．（2）利用几何画板，他改变BC 的长度，运动点P ，得到不同位置时，CE 、BP 的长度的对应值：当6BC cm =时，得表1：当8BC cm =时，得表2：这说明，点P 在线段BC 上运动时，要保证点E 总在线段CD 上，BC 的长度应有一定的限制．①填空：根据函数的定义，我们可以确定，在BP 和CE 的长度这两个变量中，______的长度为自变量，______的长度为因变量；②设BC mcm =，当点P 在线段BC 上运动时，点E 总在线段CD 上，求m 的取值范围．人教版 九年级数学下册 第27章 相似 课时作业-答案一、选择题1. 【答案】C 解析：根据以原点O 为位似中心，图形的坐标特点得出，对应点的坐标应乘以－2，故点A 的坐标是(1,2)，则点A ′的坐标是(－2，－4)．2. 【答案】A3. 【答案】A【解析】本题考查了相似三角形的性质．相似三角形的对应边之比等于相似比，所以8︰（投影三角形的对应边长）=2︰5，则投影三角形的对应边长是20 cm．因此本题选A．4. 【答案】B【解析】∵点A，B的坐标分别为(-2，6)和(7，0)，∴OC=2，AC=6，OB=7，∴BC=9，正方形的边长为2．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，设正方形与x轴的两个交点分别为G、F，∵EF⊥x轴，EF=GF=DG=2，∴EF∥AC，D，E两点的纵坐标均为2，∴EF BF ACBC，即269BF，解得BF=3.∴OG=OB-BF-GF=7-3-2=2，∴ D点的横坐标为2，∴点D的坐标为(2，2)．5. 【答案】B．【解析】利用平行四边形的性质可得出点O为线段BD的中点，结合点E是CD 的中点可得出线段OE为△DBC的中位线，利用三角形中位线定理可得出OE∥BC，OE＝BC，进而可得出△DOE∽△DBC，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平分，即可求出△DEO与△BCD的面积的比为1：4．6. 【答案】C【解析】本题考查了相似三角形的性质，∵△ABC与△DEF位似，且1=2OAOD，∴211=24ABCDEFSS⎛⎫=⎪⎝⎭，因此本题选C．7. 【答案】B【解析】本题考查了在坐标系中，位似图形点的坐标.在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点（x，y）对应的位似图形上的点的坐标为（kx，ky）或（–kx，–ky）.由A（4,3），位似比k＝13，可得C（413,--）因此本题选B．8. 【答案】C【解析】∵四边形EFGH为正方形，∴∠EGH＝45°，∠FGH＝90°，∵OG＝GP，∴∠GOP＝∠OPG＝67.5°，∴∠PBG＝22.5°，又∵∠DBC＝45°，∴∠GBC＝22.5°，∴∠PBG＝∠GBC，∵∠BGP ＝∠BG ＝90°，BG ＝BG ，∴△BPG ≌△BCG ，∴PG ＝CG ．设OG ＝PG ＝CG ＝x ，∵O 为EG ，BD 的交点，∴EG ＝2x ，FG =.∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，∴BF ＝CG ＝x ， ∴BG ＝x ，∴BC2＝BG2+CG2(22221)4x x x =+=+，∴(22422ABCD EFGHx S S x +==正方形正方形D ．二、填空题 9. 【答案】10【解析】∵////AB CD EF ，∴AC BDCE DF=， 又∵12=AC CE ，5BD =，∴512DF =，∴10DF =，故答案为：10．10. 【答案】18【解析】∵ABC △与A'B'C'△是以坐标原点O 为位似中心的位似图形，若点()34B ，，()68B'，，∴位似比为31=62， ∵()22A ，，()61C ，， ∴()()44122A'C'，，，， ∴A'B'C'△的面积为：1116824662818222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=，故答案为：18．11. 【答案】54【解析】设这栋楼的高度为h m ，∵在某一时刻，测得一根高为1.8 m 的竹竿的影长为3 m ，同时测得一栋楼的影长为60 m ，∴1.8390h=，解得h =54(m)．故答案为：54．12. 【答案】1【解析】 ∵D 、E 为边AB 的三等分点， ∴BE=ED=AD=13AB.∵////EF DG AC ，∴123EF AC ==∴112DH EF ==.13. 【答案】18【解析】本题考查了相似三角形的判定、性质，三角形的面积，解题的关键是根据已知条件推出相似三角形，并由相似比得到面积比．∵PA=3PE ，PD=3PF ，∠APD =∠EPF ，∴△PEF ∽△PAD ，相似比为1︰3， ∵△PEF 的面积为S =2，∴PAD S ∆=9S=9×2=18，∴1S +2S =PAD S ∆=18．14. 【答案】5 2 [解析] ∵在Rt △ABC 中，AC ＝1，BC ＝2，∴AB ＝5，AC ∶BC ＝1∶2，∴与Rt △ABC 相似的格点三角形的两直角边的比值为1∶2.若该三角形最短边长为4，则另一直角边长为8，但在6×6网格图形中，最长线段为6 2，∴画不出端点都在格点且长为8的线段，故最短直角边长应小于4.在图中尝试，可画出DE ＝10，EF ＝2 10，DF ＝5 2的格点三角形． ∵101＝2 102＝5 25＝10， ∴△ABC ∽△DFE ，∴∠DEF ＝∠C ＝90°，∴此时△DEF 的面积为10×2 10÷2＝10，△DEF 为面积最大的三角形，其斜边长为5 2.15. 【答案】(－73，0)或(－173，0)[解析] 如图，依题意可知A (－4，0)，B (0，－3)，∴OA ＝4，OB ＝3，∴AB ＝OA 2＋OB 2＝5.设⊙P 与直线AB 相切于点D ，连接PD ，则PD ⊥AB ，PD ＝1.易得△APD ∽△ABO ，∴PD OB ＝AP AB ，即13＝AP 5， ∴AP ＝53，∴OP ＝73或OP ＝173， ∴点P 的坐标是(－73，0)或(－173，0)．16. 【答案】1；215－ 【解析】本题考查了圆的基本性质，角平分线性质，平行相似，相似判定与性质，（1）作EH ⊥MN ，又∵MN 是直径，NE 平分∠MNP ，PQ ⊥MN ，∴易证出PE ＝EH ＝HF ＝PF ，EH ∥PQ ，∴△EMH ∽△PMQ ，∴PQPF PQ EH PM ME ＝＝，∴1＝＋＝＋PM PE PM ME PM PE PQ PF ； （2）由相似基本图射影型得：解得MN QN PN •＝2又∵MN PM PN •＝2，∴QN ＝PM ，设QN ＝PM ＝a ，MQ ＝b ，由相似基本图射影型得：解得MN MQ PM •＝2，∴()b a b a ＋＝2解得()251a b ＋－＝或()251a b －－＝（舍去）∴215－＝＝a b NQ MQ ； 因此本题答案为1；215－．三、解答题17. 【答案】(1)证：∵AB ∥CB ′，∴∠BCB ′＝∠ABC ＝30°，∴∠ACA ′＝30°；又∵∠ACB ＝90°，∴A ′CD ＝60°，又∠CA ′B ′＝∠CAB ＝60°.∴△A ′CD 是等边三角形．(2)证：∵AC ＝A ′C ，BC ＝B ′C ，∴AC BC ＝A ′C B ′C. 又∠ACA ′＝∠BCB ′，∴△ACA ′∽△BCB ′.∵AC BC ＝tan30°＝33，∴S △ACA ′∶S △BCB ′＝AC 2∶BC 2＝1∶3.(3)120，3a 2.18. 【答案】解：(1)△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM等．(写出两对即可)以下证明△AMF∽△BGM.由题知∠A＝∠B＝∠DME＝α，而∠AFM＝∠DME＋∠E，∠BMG＝∠A＋∠E，∴∠AFM＝∠BMG，∴△AMF∽△BGM.(2)当α＝45°时，可得AC⊥BC且AC＝BC，∵M为AB中点，∴AM＝BM＝2 2.由△AMF∽△BGM得，AF·BG＝AM·BM，∴BG＝8 3.又AC＝BC＝42cos45°＝4，∴CG＝4－83＝43，CF＝4－3＝1，∴FG＝（43）2＋12＝53.19. 【答案】（1）∵AB∥CD，∠B=90°，∴∠C=90°，∵PE⊥PA，∠B=90°，∴∠APB＋∠EPC=90°，∠APB＋∠PAB=90°，∴∠PAB=∠EPC，在△APB和△EPC中，∠PAB=∠EPC，∠B=∠C=90°，∴△APB∽△EPC. （2）①BP；CE；②∵△APB∽△EPC，∴，∵CD=2，∴CE的最大值为2，，即BP·CP=12，由表格可知：当BP=2时，CE=2，此时CP=6，BC=BP＋CP=8，∴BC的最大值为8，即0＜m＜8.。
2017-2018 人教版九年级数学下册 第27章 相似 27.2 相似三角形 27.2.1相似三角形的判定 同步练习 含答案
人教版九年级数学下册 第27章 相似 27.2 相似三角形 27.2.1相似三角形的判定同步练习1．如图，DF ∥AC ，若AF BF ＝35，则△DBF 和△CBA 的相似比为( )A.53 B ．35 C ．32D ．582．如图，在平行四边形ABCD 中，EF ∥AB 交AD 于E ，交BD 于F ，DE ∶EA ＝3∶4，EF ＝3，则CD 的长为( )A ．4B ．7C ．3D ．123．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交l 1、l 2、l 3于点A 、B 、C ；直线DF 分别交l 1、l 2、l 3于点D 、E 、F.AC 与DF 相交于点H ，且AH ＝2，HB ＝1，BC ＝5，则DEEF 的值为( ) A.12 B ．2 C ．25D ．354．如图，若DE∥BC，DE＝12，BC＝15，则△OED∽，相似比为，△ABC ∽△ADE，相似比为.5．如图，直线l1、l2、…、l6是一组等距离的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3、l6相交于点B、E、C、F，若BC＝2，则EF的长是.6．已知△ABC和△DEF，∠C＝∠E＝75°，AC＝4cm，BC＝5cm，DE＝6cm，要使△ABC ∽△DFE，则EF的长应为.7．如图所示，在△ABC中，D、E分别在边AC、AB上，且AD∶AB＝AE∶AC＝1∶3，BC ＝12，则DE＝.8．如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝60°，∠B＝40°，∠A′＝60°，当∠C′＝时，则△ABC∽△A′B′C′.9．如图，点D、E分别在AB、AC上，且∠ABC＝∠AED.若DE＝4，AE＝5，BC＝8，则AB的长为.10．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，M 为DE 中点，CM 的延长线交AB 于N ，若AD ∶AB ＝2∶3，求ND ∶BD.11．如图所示，l 1∥l 2∥l 3，且AB ＝2BC ，DF ＝5cm ，AG ＝4cm ，求GF 、AF 、EF 的长．12．已知线段OA ⊥OB ，C 为OB 的中点，D 为AO 上一点，连接AC 、BD 交于P 点． (1)如图①，当OA ＝OB 且D 为AO 中点时，求APPC 的值；(2)如图②，当OA ＝OB ，AD AO ＝14时，求APAC的值．答案： 1. D 2. B 3. D4. △OBC 45 545. 56.7.5cm 7. 48. 80°9. 1010. 解：∵DE∥BC ，∴△ADE∽△ABC.∴DE BC ＝AD AB ＝23.∵M 为DE 中点，∴DMBC ＝13.∵DM∥BC，∴△NDM∽△NBC.∴ND NB ＝DM BC ＝13，∴ND∶BD＝1∶2. 11. 解：∵l 1∥l 2∥l 3，∴AB BC ＝DE EF .又∵AB＝2BC ，∴DE EF ＝2，∴DF＝3EF.∴EF＝13DF ＝13×5＝53cm.∵l 1∥l 2∥l 3，∴AB BC ＝AG GF ，∴2＝AG GF ，∴GF＝42＝2cm ，∴AF＝AG ＋GF ＝4＋2＝6cm.故GF ＝2cm ，AF ＝6cm ，EF ＝53cm.12. 解：(1)过C 作CE∥OA 交BD 于E ，则△BCE∽△BOD，得CE ＝12OD ＝12AD.再由△ECP∽△DAP 得AP PC ＝ADCE＝2；(2)过C 作CE∥OA 交BD 于E ，设AD ＝x ，则AO ＝OB ＝4x ，则OD ＝3x.由△BCE∽△BOD 得CE ＝12OD ＝32x.再由△ECP∽△DAP 得AP PC ＝AD EC ＝23.则AP AC ＝25.。
人教版九年级数学第二十七章第2节《相似三角形》训练题(较难) (2)(含答案解析)
PD= 10-x= 2或8，
即PD = 2或8.
故选: D.
本题主要考查圆周角定理和相似三角形的判定与性质及矩形的性质，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键.
3．D
【解析】
先求出BP，进而利用勾股定理求出AP的平方，即可求AI=8，最后判断出QG∥AC，即可通过全等得出结论．
第二十七章第2节《相似三角形》训练题(较难) (2)
一、单选题
1．如图， 中， 于D，下列条件中：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，⑥ ，一定能确定 为直角三角形的条件的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
2．如图，矩形 中， ， ，点 是 上的动点，当 时，线段 的长应是（）
A．2B．6C．2或6D．2或8
5．A
【解析】
先根据AD∥BC，得到△AOD∽△COB，从而得出△COB的面积，再根据△AOB与△COB等高，从而得出△AOB的面积，同理得出△DOC的面积即可得出梯形ABCD的面积．
解：∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB
∵AD=2，BC=4，
∴
∴
∴ =4
∵△AOB与△COB等高，
又∵
∴
∴ =2
同理， =2
（3）如果 ，求证： ．
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线y＝－ x＋3经过B，C两点，已知A（1，0）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）D是抛物线上一点，过点D作DE∥y轴交直线BC于点E，当以O，C，D，E为顶点的四边形是平行四边形时，求点D的坐标；
任务：
（1）如图1，在 中， ， ， 的平分线 交腰 于点 ．请你根据上述材料利用所学知识，证明点 为腰 的黄金分割点；
九年级数学下册第二十七章相似27.2相似三角形27.2.1相似三角形的判定同步练习新版新人教版
相似三角形的判定一、基础题目1．如图，△ADE ∽△ACB ，∠AED ＝∠B ，那么下列比例式成立的是( ) A.AD AC ＝AE AB ＝DE BC B.AD AB ＝AE AC C.AD AE ＝AC AB ＝DE BC D.AE EC ＝DE BC2．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC ，若BD ＝2AD ，则( ) A.AD AB ＝12 B.AE EC ＝12 C.AD EC ＝12 D.DE BC ＝123．如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ，直线n 交直线a ，b ，c 于点D ，E ，F ，若AB BC ＝12，则DEEF＝( ) A.13 B.12 C.23D ．1第1题图 第2题图 第3题图4． 如果△ABC ∽△A′B′C′，△ABC 与△A′B′C′的相似比为2，那么△A′B′C′与△ABC 的相似比为 ．5．如图，AB ∥CD ∥EF ，AF 与BE 相交于点G ，且AG ＝2，GD ＝1，DF ＝5，那么BCCE 的值等于 ．6．如图，AB 、CD 相交于点O ，OC ＝2，OD ＝3，AC ∥BD.EF 是△ODB 的中位线，且EF ＝2，则AC 的长为 ． 7．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，且AD ＝2，DB ＝3，则DEBC＝ ．第5题图 第6题图 第7题图 8．如图，EG ∥BC ，GF ∥CD ，AE ＝3，EB ＝2，AF ＝6，求AD 的值．二、训练题目9．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则图中相似三角形的对数是( ) A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对10.如图，在▱ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则EF ∶FC 等于( ) A ．3∶2 B ．3∶1 C ．1∶1 D ．1∶211．如图,在ABC ∆中,DE ∥BC ,3,2AD BD ==,则ADE ∆和ABC ∆的相似比是 ；若6DE =，则BC =第9题图 第10题图 第11题图12．一个三角形的三边长分别为8 cm,6 cm,12 cm,另一个与它相似的三角形的最短边为3 cm ，则其余两边长为______________.13.如图,在ABC ∆中,DE ∥BC ,DE 分别与,AB AC 相交于D E 、，若4AD =,2DB =,求:DE BC 的值。
人教版九年级数学下册 第27章 相似 相似三角形 相似三角形的判定 第2课时 相似三角形的判定(1)
是( C )
A．23
B．1 C．32
D．2
平行线分线段成比例的基本事实及推论
DE
DE
2．(8分)如图，若l3∥l4∥l5，则有
AB BC
＝___E__F______，
AB AC
＝____D_F_____，
EF
BC AC
＝____D__F___.若a＝2，b＝3，则c∶d＝___2_∶__3____．
(变式)如图，已知AB∥CD∥EF，有如下说法：其中正确的有_③___． ①ADDF ＝BBCE ；②DAFF ＝EBCC ；③ABFE ＝ABDC ；④DCEF ＝ABDC .
4．(4分)已知△ABC的三边长分别为6 cm，7.5 cm，9 cm，△DEF的一边长为4 cm，若想使这两个三角形相似，则△DEF的另两边长是( C )
3．(8 分)(教材 P34 练习 T1 变式)依据下列条件，判断△ABC 和△A′B′C′是否相
似，并说明理由． (1)AB＝1，AC＝1.5，BC＝2，A′B′＝12，A′C′＝8，B′C′＝16； (2)BC＝2，AC＝3，AB＝4，B′C′＝ 2 ，A′C′＝ 3 ，A′B′＝2.
解：(1)∵AA′CB′ ＝18 ，AA′CB′ ＝11.25 ＝18 ，BB′CC′ ＝126 ＝18 ，∴AA′BC′ ＝AA′BC′ ＝BB′CC′ ，
A．2 cm，3 cm B．4 cm，5 cm C．5 cm，6 cm D．6 cm，7 cm 5．(4分)如图，下面是四位同学用无刻度直尺在网格中画的钝角三角形，其中 会相似的两个三角形是( D ) A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①和④
6．(4 分)如图，在△ABC 和△ACD 中， AC＝ 6 ，AD＝2，AB＝3，BC＝ 3 ， 当 CD＝___2_时，△ABC∽△ACD.
九年级数学下册第二十七章相似27.2相似三角形27.2.1第2课时相似三角形判定定理1,2课时训练
九年级数学下册第二十七章相似27.2 相似三角形27.2.1 第2课时相似三角形判定定理1，2课时训练（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学下册第二十七章相似27.2 相似三角形27.2.1 第2课时相似三角形判定定理1，2课时训练（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为九年级数学下册第二十七章相似27.2 相似三角形27.2.1 第2课时相似三角形判定定理1，2课时训练（新版）新人教版的全部内容。
第2课时相似三角形判定定理1，2关键问答①△A′B′C′的第三边只可能和△ABC的哪条边是对应边，为什么？②两个等腰三角形（非等边三角形）相似，一个等腰三角形的顶角可能和另一个等腰三角形的底角是对应角吗？③是否可以利用“边边角”判定两个三角形相似？1．①在△ABC中，三条边的长分别为2，3，4，△A′B′C′的两边长分别为1，1.5，如果要使△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三边长是( ）A．2 B. 2 C．4 D．2 22．②已知△ABC如图27－2－20所示，则图27－2－21中与△ABC相似的是( )图27－2－20图27－2－213．③在△ABC与△DEF中，AB∶AC＝DE∶DF，∠B＝∠E，则这两个三角形（）A．相似,但不全等 B．全等或相似C．不相似 D．无法判断是否相似4．如图27－2－22，已知错误!＝错误!，∠BAD＝∠CAE，且∠C＝60°，求∠E的度数．图27－2－22命题点 1 利用三边对应成比例判定两个三角形相似[热度：95%]5．要做甲、乙两个形状相同（相似）的三角形框架，已知甲三角形框架的三边长分别为30 cm,50 cm,60 cm，乙三角形框架的一边长为20 cm，那么符合条件的乙三角形框架一共有( )A．1种 B．2种C．3种 D．4种6.④在如图27－2－23所示的正方形网格中，除△ABC外还有4个三角形,其中与△ABC相似的有( ）图27－2－23A．0个 B．1个C．2个 D．3个方法点拨④利用勾股定理分别求出各个三角形的三边长,然后利用三边对应成比例的两个三角形相似进行判断.7。
人教版九年级数学第二十七章第2节《相似三角形》训练题(较难) (11)(含答案解析)
第二十七章第2节《相似三角形》训练题(较难) (11)一、单选题1．如图，A 、P 、B 、C 是O 上的四个点，60APC CPB ∠=∠=︒，AB 与CP 相交于点E ，则下列说法中错误的是（ ）A ．AB AC BC == B ．+=AP PB AC C ．PBE PCA ∽D ．+=AP PB BC2．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”得到正方形ABCD 与正方形EFGH ．连结EG ，BD 相交于点O ，BD 与HC 相交于点P ．若GO GP =，下列结论：①GOP BCP ∠=∠，②BC BP =，③:1BG PG =，④DP PO =．正确的是（ ）A ．②③④B ．①③④C ．①②④D ．①②③二、解答题3．在ABC 中，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，将ABC 绕顶点C 顺时针旋转，旋转角为θ（0180θ︒<<︒），得到AB C '．（1）如图①，当//AB CB '时，设A B ''与CB 相交于点D ．求证：A CD '△是等边三角形．图①（2）如图②，连接A A '、B B '，在旋转的过程中，AA BB ''的值是否发生变化？如果不变，请求出这个值；如果变化，请说明理由．图②（3）如图③，设AC 中点为E ，A B ''中点为P ，AC a =，连接EP ，当θ=______︒时，EP 长度最大，最大值为______．图③4．如图，点M N ，分别在ABC 的边AB AC ，的延长线上，5AB ACBM CN==，ABC 的周长为15cm ．（1）求MNBC的值； （2）求AMN 的周长．5．如图，在Rt ABC ∆中，90?B ∠=，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ，点E 在AC 上，以AE 为直径的O 经过点D ．求证： （1）BC 是O 的切线；（2）2•CD CE CA ＝．（3）若点F 是劣弧AD 的中点，且3CE =，试求阴影部分的面积．6．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，AC 、BC 的长恰好为方程2140x x a -+=的两根，且2AC BC -=．（1）求a 的值．（2）动点P 从点A 出发，沿A B →的路线向点B 运动（不包括端点）；点Q 从点B 出发，沿B C →的路线向点C 运动（不包括端点）．若点P 、Q 同时出发，速度都为每秒2个单位．当其中有一点到达终点时整个运动随之结束．设运动时间为t 秒，在整个运动过程中，设PCQ △的面积为S ，试求S 与t 之间的函数关系式；并指出自变量t 的取值范围和S 的范围．7．如图，在矩形ABCD 中，6cm AB =，8cm BC =，对角线AC ，BD 交于点O ．动点P 从点B 开始沿BC 边以2cm/s 的速度运动，动点Q 从点A 开始沿AD 边以lcm/s 的速度运动，过点Q 作//QM AC ，QM 交CD 于点M ，交BD 于点N ，点E ，F 分别是PQ ，PM 与AC 的交点．点P 和点Q 同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设动点的运动时间为ts ，解答下列问题：（1）当t 为何值时，//MP BD ？（2）设PQM 的面积为2cm S ，写出S 与t 的关系式；（3）是否存在某一时刻，使AC 将PQM 分成PEF 和四边形EFMQ 面积比为4:5？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（4）是否存在某一时刻t ，使NP 平分BNM ∠？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由． 8．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，以点C 为圆心，CB 为半径的圆与AB 交于点D ，直线DE 与C 相切，并且交AC 于点E ，与CB 的延长线交于点F ．（1）求证：DE AE =；（2）若3CE =，4CF =，求AE 的长． 9．如图，直线AM 与O 相切于点A ，弦//BC AM ，连接BO 并延长，交O 于点E ，交AM于点F ，连接CE 并延长，交AM 于点D ． （1）求证：//CE OA ； （2）若O 的半径13R =，24BC =，求AF 的长．10．问题情景：在数学活动课上，同学们对等腰三角形进行探究．在ACB △中，CA CB =，在AED 中，EA ED =，已知ACB AED ∠=∠，直线BD ，CE 交于点F ．（1）观察猜想：如图①，当ACB AED 60∠=∠=︒线段BD 与CE 之间的数量关系是_______，CFB ∠ 的度数是________．（2）合作交流：小华受上述问题启发，在图②的基础上（90ACB AED ∠=∠=︒），探究线段BD 与CE 之间的数量关系和CFB ∠的度数，请你帮小华完成任务．（3）类比探究：在小华探究的基础上，同学们又提出了新的问题，如图③，当ACB AED α∠=∠=时，CA EAk AB AD==时，线段DB 与CE 之间的数量关系是_______，CFB ∠的度数是______．11．如图，ABC 内接于O ，AC 为O 的直径，PB 是O 的切线，B 为切点，OP BC ⊥，垂足为E ．交O 于点D 连接BD ．（1）求证：BD 平分PBC ∠， （2）若O 的半径为1，3PD DE =，求OE 及AB 的长．12．如图1，两等腰直角三角形ABC 和DEF 有一条边BC 与EF 在同一直线上，4DE =，2AB =．设()04=≤≤EC m m ，点M 在线段AD 上，45MEB ∠=︒．（1）当4m =时，=AMDM； （2）如图2，当4m =时，ABC 绕点C 逆时针旋转90︒，求AMDM的值； （3）如图3，当04m <<时，ABC 绕点C 逆时针旋转a 度()090a <<︒，原题中其它条件不变．请直接写出AMDM 的值（用含m 的代数式表示）． 13．抛物线239344y x x =--与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．线段OA 上有一动点P (不与O A 、重合)，过点P 作y 轴的平行线交直线AB 于点C ，交抛物线于点M（1）求直线AB 的解析式；（2）点N 为线段AB 下方抛物线上一动点，点D 是线段AB 上一动点； ①若四边形CMND 是平行四边形，证明：点M N 、横坐标之和为定值；②在点P N D 、、运动过程中，平行四边形CMND 的周长是否存在最大值？若存在，求出此时点D 的坐标，若不存在，说明理由14．如图，在ABC 中，AB BC =，以AB 为直径作O 分别交BC 、AC 于D 、F 两点，连接AD ，E 为AC 延长线上一点，连接BE ，若E DAC ∠=∠．（1）求证：BE 为O 的切线；（2）若CE =，1BD =，求O 半径．15．如图1，抛物线2(3)3(0)y ax a x a =+++≠与x 轴交于点(4,0)A ，与y 轴于点B ，在x 轴上有动点(,0)(04)E m m <<，过点E 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ，交抛物线于点P ，过点P 作PM AB ⊥于点M ．（1）求a 的值和直线AB 的函数表达式；（2）设PMN 的周长为1C AEN ，的周长为2C ，若1245C C =，求m 的值； （3）如图2，当3OE =，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE '，旋转角为()090a α︒︒<≤，连接E A E B ''、，求34E A E B ''+的最小值． 16．如图，ABC 内接于⊙O ，过点A 作直线AD ，使CAD ABC ∠=∠． （1）求证：直线AD 与⊙O 相切．（2）若E 是AB 的中点，连接OE 并延长交直线AD 于点F ，24AB =，25OF =，则⊙O 的半径是__________．17．操作：如图，在正方形ABCD 中，P 是CD 上一动点(与C 、D 不重合)，使三角板的直角顶点与点P 重合，并且一条直角边始终经过点B ，另一直角边与正方形的某一边所在直线交于点E ． 探究：①观察操作结果，哪一个三角形与△BPC 相似，写出你的结论，并说明理由； ②当点P 位于CD 的中点时，你找到的三角形与△BPC 的周长比和面积比分别是多少？18．如图，已知△ABC ，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，点E 为AD 的中点，连结CE 交AB 于点F ，且BF ＝BC ．（1）判断直线BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若⊙O 的半径为2，sin B ＝45，求CE 的长． 19．如图，ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，5AB =，3AC =．连结OC ，弦AD 分别交OC ，BC 于点E ，F ，其中点E 是AD 的中点．（1）求证：CAD CBA ∠=∠． （2）求:EF FD 的值．20．如图，在ABCD 中，点E 在AB 上，13AE AB =，ED 和AC 相交于点F ，过点F 作//FG AB ，交AD 于点G ．（1）求:FG AE 的值．（2）若:2AB AC =，①求证：AEF ACB ∠=∠． ②求证：2DF DG DA =⋅．21．已知抛物线2y ax bx c =++过点(0,2)A ．（1）若点(1,0)-也在该抛物线上，求a ，b 满足的关系式；（2）该抛物线上任意不同两点()11,M x y ，()22,N x y 都满足：当120x x <<时，12120y y x x ->-；当120x x <<时，12120y y x x -<-，抛物线与x 轴交于点B ，C ，若ABC 为等腰直角三角形．①求抛物线的解析式；②点P 与点O 关于点A 对称，点D 在抛物线上，点D 关于抛物线对称轴的对称点为E ，若直线PD 与抛物线存在另一交点F ，求证：E ，O ，F 三点在同一条直线上．22．如图，已知点P 在矩形ABCD 外，90APB ∠=︒，PA PB =，点E ，F 分别在AD ，BC 上运动，且45EPF ∠=︒，连接EF ．（1）求证：APE BFP △∽△； （2）若PEF 是等腰直角三角形，求AEBF的值； （3）试探究线段AE ，BF ，EF 之间满足的等量关系，并证明你的结论． 23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线(:0)1l y kx k =+≠与函数(0)my x x=>的图象G 交于点(1,2)A ，与x 轴交于点B ．（1）求k ，m 的值；（2）点P 为图象G 上一点，过点P 作x 轴的平行线PQ 交直线l 于点Q ，作直线PA 交x 轴于点C ，若:1:4APQ ACB S S =△△，求点P 的坐标．三、填空题24．如图，点A 为双曲线2y x=-在第二象限上的动点，AO 的延长线与双曲线的另一个交点为B ，以AB 为边的矩形ABCD 满足:3:2AB BC =，对角线AC ，BD 交于点P ，设P 的坐标为(,)m n ，则m ，n 满足的关系式为_____．25．如图，有一个池塘，要测量池塘两端A 、B 的距离，可先在平地上取一点O ，从O 点不经过池塘可以直接到达点A 和点B ，连接AO 并延长到点C ，连接BO 并延长到点D ，使3AO BO CO DO==，测得36CD m =，则池塘两端AB 的距离为________m ．26．如图，在ABC 中，8AB =，6AC =，D 是AC 上一点，4=AD ，在AB 上取一点E ，使A 、D 、E 为定点的三角形与ABC 相似，则AE 的长为_______________．27．如图，小明晚上由路灯A 下的点B 处走到点C 处时，测得自身影子CD 的长为1米，他继续往CE=米），测得自己影子EF的长为2米，已知小明的身高为1.5米，那前走3米到达E处（即3么路灯A的高度AB是__________米．⊥，垂足为点H，分别与AD、AB及CB的延长线交于点E、28．如图，菱形ABCD中，EF ACM、F，且:1:2AH AC的值为______．AE FB=，则:29．如图，若ABC与DEF都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），则DEF与ABC的周长比为_________．【答案与解析】1．D【解析】证明△ABC 是等边三角形即可判断A ；根据等弦对等弧可判断B ；根据有2个角相等的三角形相似可判断C ；根据三角形三条边的关系可判断D ．A.由圆周角定理得，∠ABC=∠CPB=60°，∠BAC=∠CPB=60°，∴∠ABC=∠BAC =60°，∴△ABC 是等边三角形∴AB AC BC ==，故A 正确；B.∵AB=AC ，∴AB AC =，∵AB AP BP =+，∴AP BP AC +=，故B 正确；C.∵∠BPC=∠PC=60°，∠ABP=∠ACP ， ∴PBE PCA ∽，故C 正确；D.∵AP+BP>AB ，AB=BC ，∴AP+BP>BC ，故D 错误；故选D ．本题考查的是圆周角定理，等边三角形的判定与性质，弧弦圆心角的关系，相似三角形的判定，三角形三条边的关系，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的弦所对的弧相等是解题的关键．2．D【解析】由正方形的性质证明180BOG BCG ∠+∠=︒，结合180BOG GOP ∠+∠=︒， 从而可判断①；由GO GP =，可得,GOP GPO ∠=∠从而可得,GPO BCP ∠=∠可判断②；设,,BG a CG b == 则,DH CG BF b === 再证明,DHP BGP ∽ 可得,DH HP BG PG = 求解2,b HP a= 再证明,PG b = 利用,HG HP PG =+ 列方程2,b a b b a-=+解关于a 的方程并检验即可判断③；证明,DHP CHD ∽求解DP = 再证明,BCP GPO ∽ 求解PO =由,a b ≠ 可判断④，从而可得答案． 解： 正方形ABCD 与正方形EFGH ． 45,45,DBC EGF ∴∠=︒∠=︒90,BGC ∠=︒4590135,EGC ∴∠=︒+︒=︒36036045135180,BOG BCP OBC OGC ∴∠+∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒180,BOG GOP ∠+∠=︒∴ GOP BCP ∠=∠，故①符合题意；GO GP =，,GOP GPO ∴∠=∠,GPO BCP ∴∠=∠,BC BP ∴= 故②符合题意；正方形,FGHE//,EH FG ∴,DHP BGP ∴∽,DH HP BG PG∴= 设,,BG a CG b == 则,DH CG BF b ===,,BC BP BG PC =⊥,PG CG b ∴==,b HP a b∴= 2,b HP a∴= ,FG HG HP PG a b ==+=-2,b a b b a∴-=+ 2220,a ba b ∴--=(1,a b ∴==±经检验：(1a b =不合题意，舍去，(1,a b ∴=+(11b BG a PG b b+∴=== 故③符合题意；,,BC BP BG CP =⊥ ,CBG PBG ∴∠=∠//,DE BG,HDP PBG ∴∠=∠,CBG DCH ∠=∠,HDP DCH ∴∠=∠,DHP CHD ∠=∠,DHP CHD ∴∽,DH DP CH CD∴= ,,DH b CH BG a ===CD ∴b a ∴=DP ∴= 45,,,CBP PGO BC BP GP GO ∠=︒=∠==,BC BP PG GO∴=,BCP GPO ∴∽,BC CP GP PO∴=22,BC CD PC CG b ====2,b PO=PO ∴= ,a b ≠,DP PO ∴≠ 故④不符合题意；故选：.D本题考查的是四边形的内角和定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，正方形的性质，二次根式的运算，一元二次方程的解法，三角形相似的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．3．（1）见解析；（2）AA BB ''（3）120︒，32a ． 【解析】（1）画出示意图，根据两直线平行，内错角相等，可得30B BCB '∠=∠=︒，再根据旋转的性质得到60'∠=︒A ，继而由三角形内角和180°解得60A CD '∠=︒，最后根据等边三角形的判定方法解题；（2）由旋转的性质可知，,,AC A C BC B C ACA BCB ''''==∠=∠，解得3AC A C BC B C '=='证明ACA '()BCB SAS '，最后根据相似三角形对应边成比例解题即可；（3）由含30°角直角三角形的性质，解得2AB a =，由中点的性质，解得12CE a =，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半解得12CP A B a ''==，接着由三角形三边关系得PE CE PC <+，由此可知当PE CE PC =+，此时PE 最大，据此解题．（1）证明：∵//AB CB '，∴30B BCB '∠=∠=︒，∴60A CD '∠=︒，∵90A B ∠+∠=︒，∴60A ∠=︒，∴60A A '∠=∠=︒，∴60A CD A A DC '''∠=∠=∠=︒，∴A CD '△是等边三角形；（2）AA BB ''的值不变，恒为3．理由如下： ∵30ABC A B C ''∠=∠=︒，90ACB A CB ''∠=∠=︒，∴12AC AB =，12A C A B '''=，,22BC AB B C A B '''==∴AC BC ==，A C B C '==' ∵ACA BCB θ''∠=∠=，∴ACA '()BCB SAS '∴AA AC BB BC '=='；（3）连接CP ，如图，90,30ACB ABC ∠=︒∠=︒22AB AC a ∴== E 是AC 的中点，12CE a ∴= ABC 绕顶点C 顺时针旋转，旋转角为(0180)θθ<<︒，2A B AB a ''∴== P 点为A B ''的中点12CP A B a ''∴==， PE CE PC <+只有当点P 在EC 的延长线上时，PE CE PC =+，此时PE 最大，如图，即PE 的最大值为1322a a a +=， P '点为AB 的中点12OP AB BP ''∴== 30P CB P BC ''∴∠=∠=︒此时3090120P CB BCP θ'=∠+∠=︒+︒=︒，故答案为：120︒，32a ． 本题考查几何变换综合题，涉及旋转的性质、平行线的性质、等边三角形的判定、相似三角形的判定、含30°的直角三角形、直角三角形斜边的中线、三角形三边关系等知识，是重要考点，综合性较强，难度一般，掌握相关知识是解题关键．4．（1）65MN BC =；（2）AMN 的周长为18cm ． 【解析】（1）根据相似三角形的判定与性质即可求出答案．（2）根据相似三角形的性质即可求出△AMN 的周长．解：（1）5AB AC BM CN==， 56AB AC AM AN ∴== 又∵,A A ∠=∠ABC AMN ∴△∽△，65MN AM BC AB ∴==． （2）由（1）可知：ABC AMN △∽△，记AMN 的周长为1l ABC ，的周长为2,l1265l AM l AB ∴==， 即16155l =． AMN ∴的周长1l 为18cm ．本题考查相似三角形，解题的关键是熟练应用相似三角形的性质与判定定理，本题属于基础题型．5．（1）见解析；（2）见解析；（3））S 阴影3=2π． 【解析】（1）连接OD ，利用等腰三角形的性质和角平分线的定义可得∠DAB ＝∠ODA ，再根据平行线的判定可证DO ∥AB ，即可证得结论；（2）连接DE ，利用相似三角形的判定证明CDE ∽△CAD ，再由相似三角形的性质得CD CE CA DC=，即可证得结论；（3）连接DF、OF，根据角的相等关系可得DF∥AC，则可得S阴影＝S扇形DFO，利用圆周角与圆心角的关系可证明△OFA和△DOF是等边三角形，则得∠BAC的度数，从而求得∠C，再根据直角三角形的性质求得O半径，最后利用扇形面积计算公式计算即可．解：（1）连接OD，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB＝∠DAO，∵OD＝OA，∴∠DAO＝∠ODA，则∠DAB＝∠ODA，∴DO∥AB，且∠B＝90°，∴∠ODB＝90°，∴BC是⊙O的切线；（2）连接DE，∵BC是⊙O的切线，∴∠CDE＝∠DAC，∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAD，∴CD CE CA DC，∴CD2＝CE•CA；（3）连接DF、OF，设圆的半径为R，∵点F是劣弧AD的中点，∴DF＝AF，∴∠FDA＝∠FAD，∵∠OAD ＝∠FAD ，∴∠FDA ＝∠OAD ，∴DF ∥AC ，∴S △ADF ＝S △ODF ，故S 阴影＝S 扇形DFO ，∵∠DOF ＝2∠DAF ，∠DAB ＝∠ODA ＝∠FDA ，∴∠DOF ＝∠ODF ，∴DF ＝OF ，∴AF ＝OA ＝OF=OD ，∴△OFA 、△DOF 是等边三角形，∴∠BAC ＝∠AOF ＝60°，∴∠C ＝30°，∴OD ＝12OC ＝12（OE ＋EC ），而OE ＝OD ， ∴CE ＝OE ＝R ＝3，∵∠DOF ＝∠AOF ＝60°，S 阴影＝S 扇形DFO 260333602ππ=⨯⨯=． 此题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质及扇形的面积计算等知识，综合性较强，解题的关键是熟练掌握相关的知识，并灵活运用所学知识解决问题．6．（1）a=48；（2）S=21.612.824t t -+，当03t <<时，024S <<【解析】(1)由根与系数关系，得AC+BC=14，结合已知AC-BC=2，可求AC 、BC 的值，由AC·BC=a ，求a 的值；(2)由勾股定理得AB=10，过点P 作PH ⊥BC ，可得△BHP ∽△BCA ，再根据对应边成比例，求出 S 与t 之间的函数关系式．解：（1）AC 、BC 的长为方程2140x x a -+=的两根14AC BC =∴+，又2AC BC -=，8AC ∴=，6BC =，8648a ∴=⨯=（2）作PH BC ⊥，垂足为H ，90ACB ∠=︒，10AB ∴=．由PH AC //得，BHP BCA ∽，PH PB AC AB ， 即102810PH t -=， 解得()41025PH t =- ()()11462102225S CQ PH t t =⨯⨯=-⨯-21.612.824t t =-+， 当03t <<时，024S <<本题考查了根与系数关系、勾股定理、平行线分线段成比例定理的运用．解题关键是根据比例表示△PCQ 的高，写出S 与t 之间的函数关系式．7．（1）当t 为8s 3时，//MP BD ；（2）S 与t 的函数关系式是236248S t t =-+；（3）t 的值为2s 时，AC 将PQM 分成PEF 和四边形EFMQ 面积比为4:5；（4）当t 为8s 3时，NP 平分BNM ∠ 【解析】（1）根据平行列比例式即可；（2）用运动时间t 表示AQ 、BP 、DQ 、CP 、DM 、CM 的长，再用面积和差表示即可；（3）根据面积比求出PEF 与PMQ 的相似比为2:3，再列比例式，把（2）中表示的线段长代入即可；（4）过点O 作OG BC ⊥于点G ，可知OG 平分BOC ∠，若NP 平分BNM ∠，//NP OG ，又因为//QM AC ，根据平行列比例式即可．解：（1）//QM AC ，CM AQ CD AD∴=，即68CM t =，34CM t ∴=， 若//MP BD ，CM CP CD CB ∴=， 即382468t t -=，83t ∴=． 答：当t 为8s 3时，//MP BD ． （2）PCM DMQ ABCD ABPQ S S S S S =---矩形梯形1131368(2)6(82)(8)622424t t t t t t ⎛⎫=⨯-+⋅--⋅--⋅- ⎪⎝⎭ 236248t t =-+， 答：y 与t 的函数关系式是236248S t t =-+． （3）若:4:5PEF EFMQ S S =四边形，则:4:9PEF PMQ S S =，//QM AC ，PEF PQM ∠∠∴=，PFE PMQ ∠∠=，PEF PMQ ∴∽，PEF ∴与PMQ 的相似比为2:3，即:2:3PE PQ =，:2:1PE EQ ∴=，四边形ABCD 是矩形，//AD BC ∴，EAQ ACB ∠∠∴=，AQE QPC ∠∠=，AQE CPE ∴∽，PE PC EQ AQ∴=， 即8221t t -=，2t ∴=， 答：t 的值为2s 时，AC 将PQM 分成PEF 和四边形EFMQ 面积比为4:5．（4）过点O 作OG BC ⊥于点G ，四边形ABCD 是矩形，OB OC ∴=，OG ∴平分BOC ∠，12BOG BOC ∠∠∴=， //QM AC ，BOC BNM ∠∠∴=，若NP 平分BNM ∠，12BNP BNM ∠∠∴=， BOG BNP ∠∠∴=，//NP OG ∴，//NP CD ∴，BP BN BC BD ∴=，即2810t BN =， //QM AC ，AQ ON AD OD∴=， 即85t ON =，58ON t ∴=， 558BN t ∴=+，5528810t t +∴=，83t ∴=， 答：当t 为8s 3时，NP 平分BNM ∠．本题考查了相似三角形判定与性质、矩形的性质、平行线分线段成比例定理和动点问题，能够用速度和时间表示线段长，灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．8．（1）见解析；（2）95AE =． 【解析】(1)连接CD ，根据互余原理，等腰三角形性质可证∠A=∠BDF ，利用∠ADE=∠BDF 等量传递即可得证；(2)利用勾股定理求EF ，利用CED FEC ∽△△计算即可.（1）证明：连接CD ．∵DE 与C 相切，∴CD DE ⊥，即90CDE ∠=︒．∴90EDA BDC ∠+∠=︒．∵CB CD =，∴CBD CDB ∠=∠．∵18090A ABC ACB ∠+∠=︒-∠=︒，∴EDA EAD ∠=∠，∴DE AE =．（2）∵3CE =，4CF =，根据勾股定理，得5EF ==．∵90ECD FCD ∠+∠=︒，90FCD F ∠+∠=︒，∴ECD F ∠=∠．∵CED FEC ∠=∠，∴CED FEC ∽△△． ∴CE ED EF CE=， ∴353ED =． 解得95ED =． ∴95AE =． 本题考查了圆的切线,等腰三角形的判定,勾股定理,三角形的相似,熟练运用三角形相似的判定和性质是解题的关键.9．（1）见解析；（2）1565AF =【解析】（1）根据BE 是O 的直径，可得CE BC ⊥，由//BC AM ，可推出CD AM ⊥，由AM 是O 的切线，可得OA AM ⊥，利用在同一平面内垂直同一直线两直线平行//CE OA ；（2）O 的半径13R =，可得13OA =，26BE =，由24BC =，利用勾股定理10CE ==，由//BC AM ，可证BCE FAO ∽△△，利用性质BC CE AF OA =，代入数据241013AF =计算即可． （1）证明：∵BE 是O 的直径，∴CE BC ⊥，∵//BC AM ，∴CD AM ⊥，∵AM 是O 的切线，∴OA AM ⊥，∴//CE OA ；（2）解：∵O 的半径13R =，∴13OA =，26BE =，∵24BC =，∴10CE ==，∵//BC AM ，∴B AFO ∠=∠，又∵90C A ∠=∠=︒，∴BCE FAO ∽△△，∴BC CE AF OA=， ∴241013AF =， ∴1565AF =． 本题考查了圆周角定理，切线的性质，平行线的判断与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，综合运用以上知识是解题的关键．10．（1）BD CE =，60CFB ∠=︒；（2）BD =，45CFB ∠=︒；理由见解析；（3）CE kBD =，1902CFB α∠=︒-． 【解析】（1）根据已知条件可得AED 、ACB △是等边三角形，可得△ACE ≌△ABD ；可得出BD=CE ，∠ACE=∠ABF,可得∠CFB=∠CAB=60°；（2）由△ABC ，△ADE 是等腰直角三角形可得出△ACE ∽△ABD ，可得CE AE BD AD ==BD =，ACE ABD ∠=∠，可得出45CFB CAB ∠=∠=︒；（3）同理可得出△ACE ∽△ABD ，可得CE kBD =，ACE ABD ∠=∠，1902CFB CAB α∠=∠=︒-． （1）） CA CB =，EA AD =，ACB AED 60∠=∠=︒∴ AED 、ACB △是等边三角形∴AC=AB ，AE=DA ，∠CAB=∠EAD=60°∴∠CAE=∠BAD∴△ACE ≌△ABD∴BD CE =，∠ACE=∠ABD∴∠CAB=60CFB ∠=︒故答案：BD CE =，60CFB ∠=︒；（2）BD =，45CFB ∠=︒，理由如下：在ACB △中，CA CB =，90ACB ∠=︒，45CAB ∴∠=︒222CA CB AB ∴+=AB AC ∴= 同理AD AE=AB AD AC AE∴=CAE CAB BAE ∠=∠+∠，BAD EAD BAE ∠=∠+∠，CAE BAD ∴∠=∠，ACE ABD ∴∽CE AE BD AD ∴==BD =，ACE ABD ∠=∠ 在△AOC 和△FOB 中AOC FOB ∠=∠，ACE ABD ∠=∠45CFB CAB ∴∠=∠=︒（3）∵ACB AED α∠=∠=，CA CB =，EA ED =∴∠EAD=∠CAB=1802α︒- ∴∠EAC=∠BAD ∵CA EA k AB AD== ∴△ACE ∽△ABD ∴CE EA k BD AD==，∠ACE=∠ABD ∴CE kBD =， ∴1=902CFB CAB α∠=∠︒-故答案：CE kBD =，1902CFB α∠=︒-．本题是几何综合题，考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．11．（1）见解析；（2）23 【解析】（1）由∠PBD+∠OBD=90°，∠DBE+∠BDO=90°利用等角的余角相等即可解决问题． （2）利用面积法首先证明13BE ED PB PD ==，再证明△BEO ∽△PEB ，得BO OE PB BE=，即13OE BE BO PB ==，由此即可解决问题． （1）如图，连接OB ．PB 是O 的切线，OB PB ∴⊥．90PBO ∴∠=︒．90PBD OBD ∴∠+∠=︒．OB OD =，OBD ODB ∴∠=∠，OP BC90BED ∴∠=︒．90DBE BDE ∴∠+∠=︒．PBD EBD ∴∠=∠．BD ∴平分PBC ∠．（2）如图，作DK PB ⊥于点K ，1212BDE BDP BE DE S DE S DP BE DP ⋅∴==⋅ BD 平分PBE ∠，DE BE ⊥，DK PB ⊥，DK DE ∴=．13BE DK ED PB PD PD ∴===． 90OBE PBE ∠+∠=︒，90PBE P ∠+∠=︒OBE P ∴∠=∠90OEB BEP ∠=∠=︒，BEO PEB ∴∽．BO OE PB BE∴=． 13OE BE BO PB ∴== 1BO =13OE ∴= OE BC ⊥BE EC ∴=AO OC =223AB OE ∴== 本题考查切线的性质、相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是添加辅助线，学会利用面积法解决问题．12．（1）1；（2）1AM DM =；（3）4m 【解析】（1）如图，当m=4时，C 与F 重合．设EM 交DF 于N ．只要证明EM ∥AF ，EM ⊥DF 即可解决问题；（2）只要证明△AEM ∽△FEB ，可得AM AE BF EF =，推出AM DM ＝AD−AM ，由此即可解决问题；（3）如图3中，过B 作BE 的垂线交直线EM 于点G ，连接AG 、BG ．只要证明△ABG ≌△CBE ，推出AG=EC=m ，∠AGB=∠CEB ，推出∠AGM=∠DEM ，推出AG ∥DE ，推出△AGM ∽△DEM ．可得4AM AG m DM DE ==； 解：（1）如图，当m=4时，C 与F 重合．设EM 交DF 于N ．∵∠DFE=∠AFB=45°，∴∠DFA=90°，∵∠MEB=∠DFE=45°，∴∠ENF=90°，∴EM ⊥DF ，∠ENF=∠DFA ，∴EM ∥AF ，DN=NF ， ∴1DM DN AM NF==， ∴DM=AM ．故答案为：1；（2）如图2中，连接AE 、BE ．∵△ABC ，△DEF 均为等腰直角三角形，DE=4，AB=2，∴EF=4，BC=2，∠DEF=90°∴DF=AC=∠EFB=90°，∴DF=2AC ，AD=∴点A 为CD 的中点，∴EA ⊥DF ，EA 平分∠DEF ，∴∠MAE=90°，∠AEF=45°，AE=∵∠BEM=45°，∴∠AEM=∠FEB ，∴△AEM ∽△FEB ， ∴AM AE BF EF=，∴AM ，∴DM ＝AD−AM ， ∴1AM DM=． （3）如图3中，过B 作BE 的垂线交直线EM 于点G ，连接AG 、BG ．∴∠EBG=90°∵∠BEM=45°，∴∠EGB=∠BEM=45°，∴BE=BG∵△ABC 为等腰直角三角形，∴BA=BC ，∠ABC=90°，∴∠ABG=∠CBE ，∴△ABG ≌△CBE ，∴AG=EC=m ，∠AGB=∠CEB ，∵∠AGB+∠AGM=∠CEB+∠DEM=45°，∴∠AGM=∠DEM ，∴AG ∥DE ，∴△AGM ∽△DEM ． ∴4AM AG m DM DE ==． 本题考查相似形综合题、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．13．（1）334y x =-；（2）①证明见解析；②存在；点D 的坐标为111111,,3434⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；． 【解析】（1）分别在抛物线解析式中令x=0，y=0，可以得到B 和A 的坐标，然后应用待定系数法可以得到直线AB 的解析式；（2）①分别设点M 、N 的横坐标为m 、n ，则由平行四边形的性质可以证得m+n=4,即m 、n 的和为定值；②作DE ⊥PM ，结合①可以求得平行四边形CMND 的周长是关于m 的二次函数，由二次函数的知识可以求得平行四边形CMND 的周长取最大值时m 的值，从而得到对应的D 点坐标． 解：（1）令2393044x x --=，可 得()121,4,4,0x x A =-=， 令抛物线解析式中x=0可得()0,3B -，设直线AB 的解析式为：y kx b =+代入,A B 两点坐标，求得334y x =-； ()2①设点P 的横坐标为m ，则点M 坐标为239,344m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭点C 的坐标为3,34m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 23394,33444AP m MC m m m ⎛⎫∴=-=---- ⎪⎝⎭ 2334m m =-+ 设点N 的横坐标为n ，同理得2334DN n n =-+ 22333344m m n n ∴-+=-+ 整理得：()()()334n m n m n m -+=- m n ≠4m n ∴+=为定值②作DE PM ⊥，则442DE n m m m m =-=--=-易证DEC AOB ∆∆∽()455,42344ED CD DE m EC ∴===- 平行四边形CMND 的周长()()2235322324210442MC CD m m m m m ⎛⎫=+=-++⨯-=-++ ⎪⎝⎭ 302-< 13m =∴时，周长有最大值 此时点D 的坐标为111,34⎛⎫- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为111,34⎛⎫- ⎪⎝⎭当点M N 、位置对调，点C D 、位置相应对调时，依然满足条件 ∴点D 的坐标为111111,,3434⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或．本题考查一次函数、二次函数与平行四边形的综合应用，熟练掌握一次函数解析式的求法、平行四边形的性质及二次函数的图象和性质是解题关键．14．（1）见解析；（2）O 的半径为36． 【解析】（1）证∠CBE ＝∠BAD ，由圆周角定理得出∠ADB ＝90°，证得AB ⊥BE ，则可得出答案；（2）连接BF ，证明△ADC ～△EBA ，得出4DC AC AB AE ==-AB 则可得出答案． （1）证明：AB BC =，BAC ACB ∴∠=∠．BAC BAD CAD ∠=∠+∠，ACB CBE E ∠=∠+∠，E DAC ∠=∠，CBE BAD ∴∠=∠． AB 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，90ABE ABD CBE ABD DAB ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，AB BE ∴⊥，BE ∴为O 的切线．（2）如图，连接BF ， AB 是O 的直径，90AFB ∴∠=︒．又AB BC =，AF CF ∴=． 3CE =，4AC AE ∴==- E CAD ∠=∠，90ABE ADC ∠=∠=︒，ADC EBA ∴△∽△，4DC AC AB AE∴==- 1BD =，AB BC =，14AB AB-∴=-，AB ∴=，O ∴的半径为36．本题考查了切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定，三角形相似的性质和判定，利用相似三角形的性质求线段的长度是本题的关键．15．（1）34a =-，334y x =-+；（2）m =43；（3）154． 【解析】（1）把点(4,0)A 代入抛物线解析式，得方程即可求出a ，再根据AB 两点用待定系数法可以确定直线AB 解析式；（2）由△PNM ∽△ANE ，推出54=PN AN ，列出方程即可解决问题； （3）在y 轴上 取一点A '使得94OA '=，构造相似三角形，可以证明A B '就是34E A E B ''+的最小值 解：（1）把点(4,0)A 代入抛物线解析式得：16a +4(a +3)+3=0， 解得：34a =-， ∴抛物线解析式为：239344y x x =-++， ∴A （4，0），B （0，3），设直线AB 解析式为y =kx +b ，则340b k b =⎧⎨+=⎩， 解得343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB 解析式为334y x =-+ （2）如图1，∵PM ⊥AB ，PE ⊥OA ，∴∠PMN =∠AEN ，∵∠PNM =∠ANE ，∴△PNM ∽△ANE ，45PN AN ∴= ∵NE //OB ， AN AE AB OA ∴=， ∵A （4，0），B （0，3），∴5AB =，4-AE m =， ∴454AN m -=， ∴5(4)4AN m =-， ∵抛物线解析式为239344y x x =-++， ∴2239333(3)34444m P m N m m m =-++--+=-+， ∴233455(4)44-+=-m m m ， 解得m =43或4， 经检验m =4是分式方程的增根，∴m =43；（3）如图2，在y 轴上 取一点A '使得94OA '=连接A E ''，∵=3OE '，4949OA OA '=⨯=， ∴2'OE OA OA '=， OE OA OA OE '∴=''， ∵AOE AOE ∠'=∠'' ，∴A OE E OA '''∽，34A E OE AE OA ''∴=='， ∴34A E AE '''=， ∴34E A E E E B B A '''+=+''， ∴当B 、'A 、E '三点共线时，3'4E A E B A B ''+=最小（两点间线段最短），此时旋转角为90α︒=， 即最小值=15'4A B ==． 本题主要考查了二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、旋转的性质，列出关于m 的方程是解题答问题（2）的关键，解题的关键是构造相似三角形，找到线段'A B 就是34E A E B ''+． 16．（1）见解析；（2）15或20【解析】（1）连接AO 并延长交⊙O 于点G ，连接BG ，则90GBA ∠=︒，由同弧所对的圆周角相等得到CBG CAG ∠=∠，利用等式的性质得到ABC CBG CAD CAG ∠-∠=∠-∠，即90GAD GBA ∠=∠=︒，即可得证；（2）由E 是AB 的中点，得到OE AB ⊥，易证OAEOFA ∆∆，根据根据三角形相似对应边成比例，即可求解.（1）如图，连接AO 并延长交⊙O 于点G ，连接BG∵AG 为直径，∴90GBA ∠=︒，在⊙O 中，CBG CAG ∠=∠，∵ABC CAD ∠=∠，∴ABC CBG CAD CAG ∠-∠=∠-∠，即90GAD GBA ∠=∠=︒，∵OA 为半径，∴直线AD 与⊙O 相切；（2）如图：ABC 内接于⊙O ，且E 是AB 的中点，OE AB ∴⊥，在Rt OAF ∆中，OF=25，OA=r ，在Rt OAE ∆中，OA=r ，AE=1122AB =， OEA OAF EOA AOF ∠=∠∠=∠，，OAE OFA ∴∆∆，OA AEOF AF ∴=，即25r = 解得r=15，或r=20，故答案为：15或20本题考查圆的切线的判定定理，相似三角形的性质及与圆有关的比例线段，其中根据已知线段与求知线段的位置关系，分析后选取恰当的定理进行解答时解决本题的关键.17．①见解析；②PED 和BPC △的周长比是：1:2，PED 和BPC △的面积比是：1:4；PEC 和BPC △的周长比是：1:2，PEC 和BPC △的面积比是：1:4；BEP △和BPC △的周长比2，BEP △和BPC △的面积比是：5:4【解析】①利用同角的余角相等得到相等的角，根据两组对应角相等的三角形相似证明即可；②根据周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，求出结果．解：①在第一幅图中，BPC PED ， 证明：∵90BPE ∠=︒，∴90BPC DPE ∠+∠=︒，∵90BPC PBC +=︒∠∠，∴PBC DPE ∠=∠，∵90C D ∠=∠=︒，∴BPC PED ；在第二幅图中，BPCBEP PEC 证明：∵90BPE ∠=︒，∴90BPC EPC ∠+∠=︒，∵90BPC PBC +=︒∠∠，∴EPC PBC ∠=∠，∵PEC BEP ∠=∠，∴BEP PEC ，∵EPC PBC ∠=∠，90ECP PCB ∠=∠=︒，∴BPC PEC ， ∴BPC BEP PEC ；②在第一幅图中，∵P 是CD 的中点， ∴12PD CD =， ∵BPC PED ，∴相似比是：:2:1BC PD =，∴PED 和BPC △的周长比是：1:2， PED 和BPC △的面积比是：1:4；在第二幅图中，∵BPC PEC ， ∴21BC PC PC EC ==， ∴PEC 和BPC △的周长比是：1:2， PEC 和BPC △的面积比是：1:4，设PC x =，则2BC x =，12EC x =，根据勾股定理，PB =，PE x =， ∵BEP BPC ，∴相似比是：:2BP BC =，∴BEP △和BPC △2，BEP △和BPC △的面积比是：5:4．本题考查相似三角形，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定．18．（1）BC 与⊙O 相切，理由见解析；（2）CE ． 【解析】（1）连接AE ，由∠AEC=90°求出∠EAD+∠AFE=90°，由BF=BC 得∠BCE=∠BFC ，由同圆中等弧所对的圆周角相等得∠EAD=∠ACE ，从而求出∠BCE+∠ACE=90°，根据切线的判定推出即可．（2）根据半径为2，得AC=4，4sin5B=，求出BC=3，AB=5，BF=3，AF=2，根据∠EAD=∠ACE，∠E=∠E证△AEF∽△CEA，推出EC=2EA，设EA=x，EC=2x，由勾股定理得出x2+4x2=16，求出即可．（1）BC与⊙O相切证明：连接AE，∵AC是⊙O的直径∴∠E＝90°，∴∠EAD+∠AFE＝90°，∵BF＝BC，∴∠BCE＝∠BFC，∵E为弧AD中点，∴∠EAD＝∠ACE，∴∠BCE+∠ACE＝90°，∴AC⊥BC，∵AC为直径，∴BC是⊙O的切线．（2）解：∵⊙O的半为2∴AC＝4，∵sin B＝45ACAB =，∴AB＝5，∴BC3，∵BF＝BC，∴BF＝3，AF＝5﹣3＝2，∵∠EAD＝∠ACE，∠E＝∠E，∴△AEF ∽△CEA ， ∴12EA AF EC AC ==， ∴EC ＝2EA ，设EA ＝x ，EC ＝2x ，由勾股定理得：x 2+4x 2＝16，x ，即CE ＝5． 本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．19．（1）见解析；（2）:9:7EF FD =【解析】（1）利用垂径定理以及圆周角定理解决问题即可；（2）证明△AEC ∽△BCA ，根据对应边成比例可以求出CE 的长，从而求出OE ，再根据中位线定理求出BD 的长，继而证△ECF ∽△DBF ，根据相似三角形的性质即可解决问题．（1）证明：∵OC 为半径，E 为AD 中点.∴OC AD ⊥，AC CD =∴∠CAD=∠CBA（2）解：如图：∵AB 是直径，∴∠ACB=90°，∵AE=DE ，∴OC ⊥AD ，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ACB ，又∠CAD=∠CBA∴△AEC ∽△BCA ，∴CE AC AC AB=， ∴335CE =， ∴CE=1.8，∵OC=12AB=2.5， ∴OE=OC ﹣EC=2.5﹣1.8=0.7．∵E 为AD 的中点，O 为AB 的中点，∴OE 为△ABD 的中位线，∴OE ∥BD∴BD=2OE=2×0.7=1.4，∵OC ∥BD∴△ECF ∽△DBF ∴ 1.891.47EF CE FD BD === 故EF:FD=9:7本题考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，证明△AEC ∽△BCA ，△ECF ∽△DBF 是解题关键．20．（1）:3:4FG AE =；（2）①证明见解析；②证明见解析【解析】（1）结合题意，根据平行线的性质，通过证明AFE CFD ∽△△，得3FD EF =；再结合//FG AB ，根据平行线性质，通过证明ADE GDF △∽△，根据相似比的性质计算，即可得到答案； （2）①AC 2a =，根据题意计算得AB 、AE ；结合（1）的结论，得AF ，从而推导得AE AF AC AB=，通过证明EAF CAB △∽△，即可完成证明；②根据（2）①的结论以及平行线的性质，证明DFG DAF ∽，根据相似三角形的性质计算，即可完成证明．（1）∵ABCD∴//AB CD∴EAF DCF ∠=∠∵AFE CFD ∠=∠∴AFE CFD ∽△△ ∴EF AE AF FD CD FC== ∵13AE AB =，AB CD = ∴13EF AE AE FD CD AB ===，即3FD EF = ∵//FG AB∴AED GFD ∠=∠∵ADE GDF ∠=∠∴ADE GDF △∽△ ∴3334FG FD FD EF AE ED EF FD EF EF ====++，即:3:4FG AE = （2）①设AC 2a =∵:2AB AC =∴AB =∴AE = 由（1）的结论，得：13AE EF AF CD FD FC === ∴142a AF AC == ∴2AE AB a AF AC ⋅==⋅ 即：AE AF AC AB= ∵EAF CAB ∠=∠∴EAF CAB △∽△∴AEF ACB ∠=∠。
人教版九年级数学下册第二十七章27.2.1《相似三角形的判定2》教案
-学会运用上述判定定理解决实际问题，如线段长度求解、角度计算等。
-能够通过实际操作，如作图、测量，验证相似三角形的判定定理。
-举例：讲解AA和SAS判定定理时，通过具体图形进行演示，强调定理的条件和应用步骤，确保学生能够熟练掌握。
五、教学反思
在今天的课堂中，我发现学生们对于相似三角形的判定，尤其是AA和SAS判定定理的理解和应用，存在一些挑战。我尝试通过生动的案例和实际操作，让学生们更直观地感受这些判定定理在几何解题中的应用。从教学过程来看，以下几点值得我深思：
首先，学生们在理解判定定理的条件时，容易混淆。这让我意识到，在讲解理论知识时，需要更加细化、分步骤地解释，通过对比和举例，让学生更好地抓住每个定理的核心特点。
人教版九年级数学下册第二十七章27.2.1《相似三角形的判定2》教案
一、教学内容
人教版九年级数学下册第二十七章27.2.1《相似三角形的判定2》：
1.熟练掌握相似三角形的判定方法：AA（角-角-角）相似判定定理、SAS（边-角-边）相似判定定理。
2.应用AA和SAS判定定理，解决实际问题，如求三角形中未知线段长度、角度大小等。
2.教学难点
-难点一：理解并区分AA和SAS判定定理的使用条件。学生容易混淆两种判定定理的适用场景。
-举例：解释AA定理要求两个三角形有两个角分别相等，而SAS定理要求一个三角形有两边和夹角分别与另一个三角形的两边和夹角相等。
-难点二：在实际问题中，准确识别和构造相似三角形。
-举例：指导学生通过观察实际问题的图形，学会识别可构成相似三角形的元素，如对应角和对应边。
-难点三：熟练运用相似三角形的判定定理解决综合问题。
人教版九年级数学第二十七章第2节《相似三角形》训练题(较难) (10)(含答案解析)
第二十七章第2节《相似三角形》训练题(较难) (10)一、单选题1．正方形ABCD 的边长AB ＝2，E 为AB 的中点，F 为BC 的中点，AF 分别与DE 、BD 相交于点M ，N ，则MN 的长为（ ）A B C D 2．如图，在ABC 中，60BC =，高30AD =，正方形EFGH 一边在BC 上，点E ，F 分别在AB ，AC 上，AD 交EF 于点N ，则正方形EFGH 的面积为（ ）A ．20B ．200C ．400D ．9003．在ABC 中，D ，E 分别为,BC AC 上的点，且2AC EC =，连结,AD BE ，交于点F ，设:,:x CD BD y AF FD ==，则（ ）A ．1y x =+B ．1x y x +=C ．413y x =+D ．21x y x-=- 4．如图，在平面直角坐标系中，Rt ABO 的顶点O 与原点重合，顶点B 在x 轴上，90,ABO OA ︒∠=与反比例函数k y x=的图象交于点D ，且2OD AD =，过点D 作x 轴的垂线交x 轴于点C ．若10ABCD S =四边形，则k 的值为（ ）A ．10B ．16C ．10-D ．16- 5．如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，G 是弧BC 上任意一点，线段AG 与DC 交于点F ，连接,,AD GD CG ．若15,AG AF CD ⋅==，则O 的直径为（ ）A ．4B ．CD ．6．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点，连结AP ，BP ，则2AP+BP 的最小值为（ ）A ．B ．12C ．2D ．87．如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别为,AB BC 的中点，则三角形BEF 与多边形EFCDA 的面积之比为（ ）A ．1∶4B ．1∶5C ．1∶7D ．1∶8二、填空题 8．如图，在矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，O 为矩形ABCD 的中心，以D 为圆心，1为半径作⊙D ，P 为⊙D 上的一个动点，连接AP ，OP ，AO ，则△AOP 面积的最大值为____．9．如图，在等腰直角ABC 中，8,90AB AC A ==∠=︒，点E 是BC 边上一点，点D 是AC 边上的中点，连接ED ，过点E 作EF ED ⊥，满足ED EF =，连接DF ，交BC 于点M ，将DEM △沿DE 翻折．得到DEN ，连接NF ，交DE 于点P ，若BE =NEP 的周长是______．10．如图，矩形EFGH 内接于△ABC ，AD ⊥BC 于点D ，交EH 于点M ，若BC ＝16cm ，AD ＝8cm ，EH ＝3EF ，EH ＝___cm ．11．已知矩形ABCD ，8,6,AB AD E ==是BC 边上一点且2,CE BE F =是CD 边的中点，连接AF BF DE 、、相交于M N 、两点，则FMN ∆的面积是________．12．如图，四边形ABCD 中，对角线AC BD 、相交于点E ，且CAB CBD ∠=∠，已知4,6,5, 5.5AB AC BC BD ====，则DE 的长为___________13．如图，将一张面积为10的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张平行四边形纸片．根据图中标示的长度，则平行四边形纸片的面积为__________．14．如图，在矩形ABCD 中，4,7AB BC ==，EA 平分BAD ∠交BC 于点E ，连接DE ，将矩形ABCD 沿DE 翻折，翻折后点D 与点D 点对应，再将所得C D E ''∆绕着点E 旋转，线段C D ''与线段ED 交于点P ．当PD PC '=时，则DC '的长为_________．三、解答题15．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边分别在x 轴和y 轴上，OA=10cm ，OC=6cm ．现有两动点P 、Q 分别从O 、A 同时出发，点P 在线段OA 上，沿OA 方向作匀速运动，点Q 在线段AB 上沿AB 方向作匀速运动，已知点P 的运动速度为1cm/s ．（1）设点Q 的运动速度为12cm/s ，运动时间为ts ． ①当△CPQ 的面积最小时，求点Q 的坐标；②当△COP 和△PAQ 相似时，求点Q 的坐标；（2）设点Q 的运动速度为acm/s ，问是否存在a 的值，使得△OCP 与△PAQ 、△CBQ 都相似？若存在，请求出a 的值，并写出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，已知AD ＝3cm ，AC ＝6cm ，BC ＝9cm ，∠B ＝36°，∠D ＝117°，△ABC ∽△DAC ．（1）求AB 的长；（2）求∠BAD 的大小．17．已知：如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，B ACD ∠=∠，12AB =，4=AD ，求AC 的长．18．已知：如图，在△ABC 中，∠ABC =2∠C ．（1）作∠ABC 的平分线BD ，交AC 于点D ．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，求证：AB ·BC =AC ·CD ．19．如图，在Rt ABC 中，90,ACB CD AB ∠=︒⊥于点D ，过A 作直线分别交,CB CD 于点E ，F ，且CE CF =．（1）求证：ACF ABE ∽△△； （2）若45,4ACD AE ∠=︒=，求AF 的长．20．如图①，AB 是⊙O 的直径，弧AC ＝弧BC ，连接AC ．（1）∠CAB= _________；（2）如图②，直线l 经过点C ，在直线l 上取一点D ，使BD=AB ，BD 与AC 相交于点E ，连接AD ，且AD=AE ．①求证：直线l 是⊙O 的切线；②求CD EB的值．21．如图，Rt △ABO 的直角顶点O 为坐标原点，∠OAB =30°，点A 在反比例函数6y x =(x >0)的图象上，点B 在反比例函数k y x=(x <0)的图象上． （1）当OA 是第一象限的角平分线时，求点A 的坐标．（2）点A 在运动过程中，k 的值是否发生变化？如果变化，请说明理由，如果不变，请求出k 的值．22．如图，已知小屋的高4m AB =，小屋窗户的最低点G 距离地面1m ，某一时刻，AB 在阳光下的影长2m AF =，在点A 的正西方向5m 处选择点C ，在此处拟建高为12m 的楼房CD ．（设点C 、A 、F 在同一水平线上）（1）按比例较准确地画出楼房CD 及同一时刻它的影长；（2）若楼房CD 建成后，请判断是否影响小屋的采光，并说明理由．23．已知正方形ABCD 的边长为4，一个以点A 为顶点的45°角绕点A 旋转，角的两边分别与边BC 、DC 的延长线交于点E 、F ，连接EF ．设,CE a CF b ==．（1）如图1，当EAF ∠被对角线AC 平分时，求a 、b 的值；（2）当AEF 是直角三角形时，求a 、b 的值；（3）如图3，探索EAF ∠绕点A 旋转的过程中，CEF △的面积是否发生变化？请说明理由． 24．如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC 和AFG 摆放在一起，A 为公共顶点，90,2BAC AGF BC AF ∠=∠=︒==，若ABC 固定不动，AFG 绕点A 旋转，边AF 、AG 与边BC 的交点分别为D 、E （点D 不与点B 重合，点E 不与点C 重合）．（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明．（2）设,BE m CD n ==，①若32m =，求n ； ②直接写出n 的取值范围．（3）你觉得ADE 的面积有最大值吗？有最小值吗？请说明理由．25．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴的两个交点分别为()()3,0,1,0A D -，与y 轴交于点C ，点B 在y 轴正半轴上，且OB OD =．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，抛物线的顶点为点E ，对称轴交x 轴于点M ，连接BE 、AB ，请在抛物线的对称轴上找一点Q ，使QBA BEM ∠=∠，求出点Q 的坐标；（3）如图2，过点C 作//CF x 轴，交抛物线于点F ，连接BF ，点G 是x 轴上一点，在抛物线上存在点N ，使以点B 、F 、G 、N 为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点N 的坐标． 26．如图，在正方形ABCD 中，AB =4，动点P 从点A 出发，以每秒2个单位的速度，沿线段AB 方向匀速运动，到达点B 停止．连接DP 交AC 于点E ，以DP 为直径作⊙O 交AC 于点F ，连接DF 、PF ．（1）则△DPF 是 三角形；（2）若点P 的运动时间t 秒．①当t 为何值时，点E 恰好为AC 的一个三等分点；②将△EFP 沿PF 翻折，得到△QFP ，当点Q 恰好落在BC 上时，求t 的值．27．在如图平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点B 的坐标为(4,2)，OA 、OC 分别落在x 轴和y 轴上，OB 是矩形的对角线．将OAB ∆绕点O 逆时针旋转，使点B 落在y 轴上，得到ODE ∆，OD 与CB 相交于点F ，反比例函数(0)ky x x=>的图象经过点F ，交AB 于点G ．（1）求k 的值和点G 的坐标；（2）连接FG ，求∠OFG 的大小．28．如图，在矩形ABCD 中，()3,20AB a BC a a ==>，E 为BC 边上的一个动点，以AE 为边作正方形AEFG ，EF 与CD 交于点H ，CD 的延长线交AG 于点M ，连结,,DE DF DG ．（1）当3CE BE =时，求CH 的长（用含a 的代数式表示）；（2）试证GDMADM S S 是一个定值；（3）直接写出GD 的取值范围（用含a 的代数式表示）．29．如图，已知AB 为O 直径，C 为O 外一点，（连结,AC BC 交O 于点F ，取弧BF 的中点D ，连接AD 交BC 于点E ，过点E 作EH AB ⊥于H ，且满足BH BC BE AB ⋅=⋅．（1）求证：AC 是O 的切线；（2）若8,10CF BF ==，求AC 和EH 的长30．已知，矩形ABCD ，点E 在AB 的延长线上，AG ⊥CE ，垂足为G ．（1）如图1，若AB=AD ，求证：；（2）如图2，若，则AG ，CG ，BG 之间又存在怎样的数量关系？请写出你的结论，并证明你的结论．【答案与解析】1．C【解析】首先过F作FH⊥AD于H，交ED于O，于是得到FH＝AB＝2，根据勾股定理求得AF，根据平行线分线段成比例定理求得OH，由相似三角形的性质求得AM与AN的长，即可得到结论．过F作FH⊥AD于H，交ED于O，则FH＝AB＝2，∵BF＝FC，BC＝AD＝2，∴BF＝AH＝1，FC＝HD＝1，∴AF=∵OH∥AE，∴12 HO DHAE AD==，∴OH＝12AE＝12，∴OF＝FH−OH＝2−12＝32，∵AE∥FO，∴△AME∽△FMO，∴23 AM AEFM OF==，∴AM＝25AF，∵AD∥BF，∴△AND∽△FNB，∴AN ADFN BF=＝2，∴AN＝2NF＝3，∴MN＝AN−AM故选：C．本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，比例的性质，准确作出辅助线，求出AN与AM的长是解题的关键．2．C【解析】设正方形EFGH的边长EF=EH=x，易证四边形EHDN是矩形，则DN=x，根据正方形的性质得出EF∥BC，推出△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质计算即可得解．解：设正方形EFGH的边长EF=EH=x，∵四边形EFGH是正方形，∴∠HEF=∠EHG=90°，EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AD是△ABC的高，∴∠HDN=90°，∴四边形EHDN是矩形，∴DN=EH=x，∵△AEF∽△ABC，∴AN EF AD BC=，∵BC=60，AD=30，∴AN=30-x，∴303060x x-=，解得：x=20，∴EF=20∴正方形EFGH的面积为20×20=400．故选：C．本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比，题目是一道中等题，难度适中．3．A【解析】过D 作DG ∥AC 交BE 于G ，可得△BDG ∽△BCE ，△DGF ∽△AEF ，根据相似三角形的性质可得x 与y 的数量关系.解：如图，过D 作DG ∥AC 交BE 于G ，∴△BDG ∽△BCE ，△DGF ∽△AEF ， ∴BD DG BC CE =，DG DF AE AF=， ∵AC ＝2EC ，∴AE ＝CE ， 则BD DF BC AF= ∴BD DF BD CDAF =+， ∴BD CD AF BD DF+=， ∵x ＝CD ：BD ，y ＝AF ：FD ，∴1+x ＝y ，∴y ＝x +1，故选：A ．．本题考查相似三角形的性质和应用，恰当作辅助线构建相似三角形是解题的关键．4．D【解析】根据条件可证明DCO ABO ，从而得到两个三角形的面积比，接着求解出ODC △的面积，最后得到OC CD 的值，即可得出最终结果． 解：OD=2AD ，23OD OA ∴=，90ABO DC OB ∠=︒⊥，，//AB DC ∴，DCOABO ∴， 23DC OC OD AB OB OA ∴===， 22439ODC OAB S S ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭， 94OAB ODC SS ∴=， 又ODC OAB ABCD S S S =-四边形，10ABCD S =四边形，∴9104ODC ODC S S =-，8ODC S ∴=，182OC CD ∴=， 16OC CD ∴=，双曲线在第二象限，16k ∴=-．故选：D ．本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出ODC △的面积．5．C【解析】（1）连接AC ，由垂径定理可得AC=AD ，再根据圆周角定理推导出=ACD ∠∠AGC ,得到△ACF ∽△AGC ，得AC 2=15AG AF ⋅=,12DE CD ==AE ，连接BD 最后用△ADE ∽△ABD 即可得直径AB ；连接AC, BD弦CD AB ⊥于点E∴ AC=AD, 12DE CD ==∴=ACD ∠∠AGC =CAF ∠∠CAG∴ △ACF ∽△AGC ∴AC AF AG AC=∴ AC 2=15AG AF ⋅=△ADE 是直角三角形，∠AED ＝90°，∴AE ===,=∠BAD ∠DAE ,∠AED ＝∠AD B=90°∴△ADE ∽△ABD=AD AE AB AD,2AD AB AE =⋅2AD AB AE === 故答案选：C本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理及推论、垂径定理，相似三角形，解题关键是熟练掌握直径所对的圆周角是直角，过圆心且垂直于弦的直线平分这条弦．满足勾股定理的各边关系，相似三角对应边成比例是重要等量关系．6．A【解析】首先连接CP ，在CB 上取点D ，使CD=1，连结AD ，则有12CD CP CP BC ==；然后根据相似三角形判定的方法，判断出△PCD ∽△BCP ，即可推得12PD BP =，AP+12BP=AP+PD ，即2AP+BP=2(AP+PD)，再应用勾股定理，求出AP+12BP 的最小值为多少即可． 解： 如图，连接CP ，在CB 上取点D ，使CD=1，连结AD ，， ∴12CD CP CP CB ==， 又∵∠PCD=∠BCP ，∴△PCD ∽△BCP ． ∴12PD BP =， ∴PD=12BP ， ∴AP+12BP=AP+PD ， ∴2AP+BP=2(AP+PD)要使2AP+BP 最小，只要AP+AD 最小，当点A ，P ，D 在同一条直线时，AP+AD 最小， 即：AP+12BP=AP+PD 最小值为AD ， 在Rt △ACD 中，CD=1，AC=6，∴，2AP+BP 的最小值为，故选：A ．此题主要考查了最短路线问题，圆周角定理的应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握. 7．C【解析】连接AC ，根据中位线定理得//EF AC ，12EF AC =，即可由BEF BAC ，根据相似比求出面积比，设BEF S k =，则4BAC S k =，再用k 表示出多边形EFCDA 的面积，即可求出结果． 解：如图，连接AC ，∵E 、F 分别是AB 和BC 的中点，∴//EF AC ，12EF AC =， ∴BEF BAC ， ∴221124BEF BAC S EF SAC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 设BEF S k =，则4BAC Sk =， ∴3AEFC BAC BEFS S S k =-=， ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴4ACD BAC S S k ==，∴7EFCDA AEFC ACD S S S k =+=， ∴::71:7BEF EFCDA S S k k ==．故选：C ．本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比等于相似比的平方的性质． 8．174． 【解析】当P 点移动到过点P 的直线平行于OA 且与⊙D 相切时，△AOP 面积的最大，由于P 为切点，得出MP 垂直于切线，进而得出PM ⊥AC ，根据勾股定理先求得AC 的长，进而求得OA 的长，根据△ADM ∽△ACD，求得DM 的长，从而求得PM 的长，最后根据三角形的面积公式即可求得． 解：当P 点移动到过点P 的直线平行于OA 且与⊙D 相切时，△AOP 面积的最大，如图，∵过P的直线是⊙D的切线，∴DP垂直于切线，延长PD交AC于M，则DM⊥AC，∵在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∴AC=5∴OA＝52，∵∠AMD＝∠ADC＝90°，∠DAM＝∠CAD，∴△ADM∽△ACD，∴DM AD CD AC=，即4 35 DM=∴DM=12 5∴PM=PD+DM=1+125=175∴△AOP的最大面积＝12OA•PM＝1517225⨯⨯=174故答案为：174．本题考查了圆的切线的性质，矩形的性质，平行线的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，本题的关键是判断出P处于什么位置时面积最大．9．【解析】作出如图的辅助线，先证明四边形ABFC为正方形，利用等腰直角三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质结合勾股定理即可求解．∵AB=AC=8，∠BAC=90︒，，∴==EC==∠ACB=45︒，过E作EQ⊥AC于Q，过F作FK⊥EQ交QE延长线于K，连接BK，连接MN交ED于H，∴△CEQ 为等腰直角三角形，∴CQ=EQ=6，∵点D 是AC 边上的中点，∴CD=AD=4，QD=2，∵EF ED ⊥，ED EF =，∴∠QED+∠KEF=90︒，∠QED+∠QDE=90︒，∴∠KEF=∠QDE ，在Rt △KEF 和Rt △QDE 中，EKF DQE KEF QDE EF DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴Rt △KEF ≅Rt △QDE ，∴KF=QE=6，KE=QD=2，∴KF=QC=6，==又∵∠EQC=∠EKF=90︒，∴四边形CQKF 为矩形，∴FC=QK=AB=8，∠ACF=∠A=90︒，∴四边形AQKB 为矩形，∴∠EKB=∠EKF=90︒，∴点B 、K 、F 在同一直线上，∴四边形ABFC 为正方形，在Rt △CDF 中，DF===∵CD ∥FB ，∴△MDC ~△MFB ， ∴CD DM CM BF MF MB ==，即48DM CM MF MB==，∴∴ ∵EF ED ⊥，ED EF =，DEN 是DEM △沿DE 翻折得到的，∴∠EDF=45︒， ∠MDH=∠NDH=45︒，DE 是MN 的垂直平分线，∴△DMN ，△MDH 和△NDH 都是等腰直角三角形，∴EH=ED-DH==， ∵DE 是MN 的垂直平分线，∴∠NHE=∠FED=90︒，∴NH ∥FE ，∴△NHP ~△FEP ，∴NH HP EF PE =HP PE=，∴=，在Rt △NHP 中，==∴△NEP 的周长为：=故答案为：本题考查了正方形的判定和性质，翻折变换，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握折叠的性质及判定四边形ABFC 为正方形．10．485． 【解析】设EF=x ，由相似三角形的性质和矩形的性质列出比例式，求出x 即可．解： 设EF=x ，则EH=3x ，∵四边形EFGH 是矩形且AD ⊥BC ，∴EH ∥BC ，EF ∥AD ，∴△AEH ∽△ABC ，△BEF ∽△BDA ， ∴=EH AE BC AB ，EF BE AD AB=， ∴3=16x AE AB ，8x BE AB= ∴3+=1168x x AE BE AB AB +=， 解得：165x =， ∴4835EH EF ==， 故答案为：485． 本题考查相似三角形的性质和判定和矩形的性质，解题关键是熟练掌握相似三角性的性质和判定．11．3【解析】如图，过点F 作FG//BC ，交DE 于点G ，过点M 作MH ⊥FG ，过点N 作PN ⊥FG ，根据题意及中位线性质，解得CE 、BE 的长，再根据相似三角形的判定方法，可证明FNG BNE ，ADM FGM ，然后结合相似三角形对应边成比例，分别解得N 到FG 的距离、M 到FG 的距离，继而根据三角形面积公式解题即可．如图，过点F 作FG//BC ，交DE 于点G ，过点M 作MH ⊥FG ，过点N 作PN ⊥FG ，在矩形ABCD 中，86AB AD ==，，2CE BE =22433CE BC AD ∴===, 11233BE BC AD === FG//BC ，F 是CD 边的中点，114222FG EC ∴==⨯=， 1=23=4∠∠∠∠，FNG BNE ∴1FG BE= ∴N 到FG 的距离1h =1111822444FC DC AB ===⨯= 111S 22222FNG FG h =⋅=⨯⨯=， 同理可得，==DAF AFG ADM DGF ∠∠∠∠， ADM FGM ∴ 2163FG AD == ∴M 到FG 的距离2h =11181488DF AB ==⨯=， 211S21122FMG FG h =⋅=⨯⨯= S S S 213FMN FNG FMG =+=+=， 故答案为：3．本题考查相似三角形的判断与性质、矩形的性质、中位线性质、三角形面积等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．12．136【解析】直接利用相似三角形的判定方法得出△ABC ∽△BEC ，进而利用相似三角形的性质得出答案． 解：CAB CBD ACB BCE ∠=∠∠=∠，， ABCBEC ∴， AB AC BE BC∴=，4,6,5, 5.5AB AC BC BD ====，465.5-5DE ∴=， 136DE ∴=． 故答案为：136． 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确得出ABC BEC 并求出BE 的长是解决本题的关键．13．245【解析】如图，由DE ∥BC ，可得△ADE ∽△ABC ，利用相似三角形的性质，可求得△ADE 的高，进而求得平行四边形的高，则问题可解．解：如图，设△ABC 的BC 边上的高为1h ，DFEG 的FG 边上的高为2h∵四边形DEFG 为平行四边形，∴DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，DE=2，BC=5， ∴12125h h DE h BC -==， ∵S △ABC =10， ∴110245h ⨯==， ∴24245h -=，解得2125h =， ∴平行四边形纸片的面积为=21224255DE h ⋅=⨯=． 故答案为：245.本题考查平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定．理解相似三角形对应高之比等于相似比是解题关键．14【解析】可先根据题意画出大致图形，根据旋转和翻折前后对应边和对应角相等可得3,90C E EC EC D C ''==∠=∠=︒,再利用勾股定理求得PD 和PE ，证明PC E '∆∽PFD ∆，可求得DF ，C F '，进一步利用勾股定理即可求得DC '．解：如图所示，假设当C D E ''∆旋转到如下位置时，PD PC '=，过DF ⊥C D ''交于F ．∵四边形ABCD 为矩形，DC=AB=4，∴∠BAD=∠B=∠C=90°，∵EA 平分BAD ∠，∴∠BAE=45°，∠AEB=90°-∠BAE=45°，∴BE=AB=4,EC=BC-BE=3，在Rt △DCE 中，根据勾股定理5DE ==，根据翻折和旋转的性质可得3,90C E EC EC D C ''==∠=∠=︒,设PD PC x '==，∴5EP x =-，在Rt C PE '∆中根据勾股定理，222C E C P PE ''+=，即2223(5)x x +=-，解得85x =， 即817,55PD C P PE '===， 在PC E '∆和PFD ∆中，∵90PC E PFD C PE FPD ∠=∠=︒=∠'∠'⎧⎨⎩, ∴PC E '∆∽PFD ∆， ∴PF DF PD PC EC PE =='' ，即85817553PF DF ==， 解得2464,1785DF PF ==, ∴4017C F PF C P ''=+=，∴DC '===,本题考查相似三角形的性质和判定，勾股定理，旋转和翻折的性质，矩形的性质等．能结合题意画出大致图形分析是解题关键．15．（1）①()103Q ，；②Q 点的坐标是()10,3.5或(10,3-+；（2）4,3a = Q 点的坐标是8103⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 【解析】（1）①利用：CPQ COP APQ QCOA S S S S =--梯形，得到CPQ S △关于t 的二次函数，利用二次函数的性质求最小值，从而得到t 的值，即可求出Q 的坐标．②分两种情况讨论，当△COP ∽△PAQ 时，可得,OP AQ OC AP= 当△COP ∽△QAP 时，OP AP OC AQ =， 列方程解方程，求出t 的值，就可以求出Q 点的坐标．（2）当0t s =,10t s =，显然不合题意，再判断6t s =时，,,COP APQ CBQ 不相似，再分两种情况：当0＜t ＜6时，CB ＞,BQ CO ＞OP ，当6＜t ＜10时，CB ＞,BQ CO ＜OP ， 再在每一种情况中分AQ ＜,AP AQ ＞AP ，由,,COP APQ CBQ 相似，利用相似三角形的对应边的对应关系，可得比例式，再列方程组，解方程组并检验即可得到答案．解：（1）①设两点运动的时间是t 时，△CPQ 面积最小．CPQ COP APQ QCOA SS S S =--梯形， OA=10cm ，OC=6cm ．()111222CPQ S AQ CO OA AP AQ OC OP ∴=+-- ()()1110.56100.5106222t t t t =+⨯-⨯⨯--⨯ ()216214t =-+ ∵14a =＞0， ∴当t=6时，CPQ S △有最小值，那么AQ=0.5t=0.5×6=3， ∴Q 点的坐标是()103，． ②△COP 和△PAQ 相似，有△COP ∽△PAQ 和△COP ∽△QAP 两种情况：当△COP ∽△PAQ 时：∴,OP AQ OC AP= ∴ 0.5,610t t t =- 即270,t t -= 120,7,t t ∴==经检验：120,7t t ==都是原方程的根，但0t =不符合题意，取7,t =∴AQ=0.5t=0.5×7=3.5．∴Q 点的坐标是()10,3.5． 当△COP ∽△QAP 时：OP AP OC AQ ∴=， ∴10,60.5t t t -= 即2121200,t t +-=解得：1266t t =-+=--经检验：1266t t =-+=--都是原方程的根，但6t =--6t =-+∴132AQ t ==-+∴Q 点的坐标是(10,3-+；（2）6OC =， 10BC =，P ∴从O 至A 的最长运动时间为10,s当0t =时，显然不合题意，舍去，当6t s =时，6OP =，4AP =， 当4AQ =时， ,COP APQ 都是等腰直角三角形，但CBQ △不是等腰直角三角形，所以,COP APQ 与CBQ △不相似，由题意知：,,COP PAQ CBQ 都是直角三角形，当0＜t ＜6时，CB ＞,BQ CO ＞OP ，当AP ＞AQ 时， 当OP AQ BQ OC AP BC==时，,,COP PAQ CBQ 相似， ∴ 661010t at at t -==-， 2610,63610at t t at t⎧=-∴⎨=-⎩ 解得，122,18,t t == 经检验它们都是原方程的解；但18t =不合题意，舍去，取t=2．4,3a ∴= ∴482,33AQ at ==⨯= ∴Q 点的坐标是8103⎛⎫ ⎪⎝⎭，．当AP ＜AQ 时， 当OP AP BQ OC AQ BC==时，,,COP PAQ CBQ 相似， 106610t t at at --∴== 2260661001063610at t at at t at t ⎧=-⎪∴-=-⎨⎪=-⎩整理得：361060610010t t t --+=-623t ∴=， 经检验，623t =是原方程的根，但不符合题意，舍去， 当6＜t ＜10时，CB ＞,BQ CO ＜OP ，当AP ＞AQ 时， 当OP AP BC OC AQ BQ==时，,,COP PAQ CBQ 相似， 101066t t at at-∴==-， 22606660at t at t ⎧=-⎪∴⎨=-⎪⎩ 解得：100t a =⎧⎨=⎩ ， 经检验：100t a =⎧⎨=⎩是原方程的增根，舍去， 当AP ＜AQ 时， 当OP AQ BC OC AP BQ==时，,,COP PAQ CBQ 相似， 106106t at t at∴==-- 222610660100106at t t at t t at at ⎧=-⎪∴=-⎨⎪-=-⎩整理得：214400,t t -+= ()()4100,t t ∴--=124,10,t t ∴==经检验：10t =是原方程的增根，取4,t = 但4t =不符合题意舍去，当10t =时，APQ 不存在，故舍去， 综上：4,3a = Q 点的坐标是8103⎛⎫ ⎪⎝⎭，．本题利用了梯形、三角形的面积公式，方程组与一元二次方程的解法，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，解题的关键要会用含t 的代数式表示线段的长，合理的进行分类讨论． 16．（1） 4.5AB cm =；（2）153BAD ∠=︒．【解析】（1）根据相似三角形的性质找出对应边，然后根据已知边的长求出边AB 的长；（2）根据相似三角形对应角相等，求出BAD ∠的大小．解：（1）∵△ABC ∽△DAC ， ∴AB BC AD AC=， 又AD ＝3，AC ＝6，BC ＝9，∴AB ＝4.5cm ．（2）∵△ABC ∽△DAC ，∴∠DAC ＝∠B ＝36°，∠BAC ＝∠D ＝117°，∴∠BAD ＝∠DAC +∠BAC ＝36°+117°＝153°．本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力，找准对应边及对应角是解决此类题目的关键．17．AC =【解析】此题根据条件∠B=∠ACD 及AC 平分∠BAD 可以求证△ABC 与△ACD 相似，根据相似即可求AC 的长．∵AC 平分∠BAD ，∴∠BAC=∠DAC ，又∠B=∠ACD ，∴A ABC CD ∽△△ ∴AB AC AC AD=， ∵AB=12，AD=4， ∴124AC AC =∴AC == 此题考查了三角形相似的判定条件及相似三角形的性质定理，难度一般，找准对应角，对应边是关键．18．（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）利用尺规作图-角平分线作图即可；（2）根据等边对等角得到BD =CD ，通过证明△ABD ∽△ACB ，利用相似三角形的性质即可求解． （1）解：如图，射线BD 即为所求：（2）证明：∵BD 平分∠ABC ， ∴12ABD DBC ABC ∠=∠=∠， ∵∠ABC =2∠C ，∴∠ABD =∠C =∠DBC ，∴BD =CD ，又∵∠A =∠A ，∴△ABD ∽△ACB ． ∴AB BD AC CB=， ∴AB ·BC =AC ·BD ，又∵BD =CD ，∴AB ·BC =AC ·CD ．本题考查尺规作图-角平分线、相似的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．19．（1）见解析；（2） ．【解析】（1）根据题意可知90ACD BCD ∠+∠=︒，90DBC BCD ∠+∠=︒．即可证明ACF ABE ∠=∠．由CE =CF ，可得CFE CEF ∠=∠．再根据三角形外角性质可知CFE CAF ACF ∠=∠+∠，CEF BAE ABE ∠=∠+∠，即可得出CAF BAE ∠=∠，即证明ACF ABE ．（2）由（1）可知CAE DAF ∠=∠，再根据=90ACE ADF ∠=∠︒，即可证明ACE ADF ，得出结论=AC AE AD AF，再根据题意=45ACD ∠︒，可证明AC =，即可求出AF 的长． （1）∵90ACB ∠=︒，CD ⊥AB ．∴90ACD BCD ∠+∠=︒，90DBC BCD ∠+∠=︒．∴ACF ABE ∠=∠．∵CE =CF ，∴CFE CEF ∠=∠，∵CFE CAF ACF ∠=∠+∠，CEF BAE ABE ∠=∠+∠，∴CAF BAE ∠=∠．∴ACF ABE ．（2）由（1）可知CAE DAF ∠=∠，∵=90ACE ADF ∠=∠︒，∴ACE ADF ， ∴=AC AE AD AF， 又∵=45ACD ∠︒，∴AC =，∴4AF∴AF =本题考查三角形相似的判定和性质、三角形外角的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理．熟练掌握判定三角形相似的条件是解答本题的关键．20．（1）45°；（2）①见解析；②12． 【解析】（1）连接BC ，根据AC BC =可知∠CAB=∠ABC ，根据AB 为⊙O 的直径可得∠ACB=90°，即可求出∠CBA ．（2）①连接OC 、作DP ⊥AB 于点P ，设∠ABD=α，先根据AD=DE 、BA=BD 求得∠ABD=∠DAE=30°，据此可知PD=12BD=12AB ，结合OC=12AB 可得：DP=OC ，即可证明四边形DPOC 是矩形，即可得出结论直线l 是⊙O 的切线；②根据①易证△ACD ∽△BAE ，得出结论CD AE =AC AB ，作EI ⊥AB 于点I ，由∠CAB=45°、∠ABD=30°可知BE=2EI，AE，即可得出结果．（1）如图，连接BC，∵AC BC，∴∠CAB=∠ABC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB=∠CBA=45°；（2）①如图，连接OC、作DP⊥AB于点P，设∠ABD=α，∵BA=BD，∴∠BAD=∠BDA，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，∴∠AED=∠BAD，∴∠DAE=∠DBA=α，∵∠CAB=45°，∴∠ADE=∠AED=∠CAB+∠ABD=45°+α，∵∠DAE+∠ADE+∠AED=180°，∴α+α+45°+α+45°=180°，解得：α=30°，即∠ABD=∠DAE=30°，在Rt△BPD中，PD=12BD=12AB，又∵OC=12 AB，∴OC=PD，根据（1）可知CO ⊥AB ，又∵DP ⊥AB ，∴四边形DPOC 是矩形，∴∠OCD=90°，∴直线l 是⊙O 的切线；②由①知，∠CAD=∠ABE=30°，CD ∥AB ，∴∠ACD=∠EAB=45°，则△ACD ∽△BAE ，根据（1）知2AC AB ．∴CD AE =AC AB =2，∴CD ，如图，作EI ⊥AB 于点I ，∵∠CAB=45°、∠ABD=30°，∴BE=2EI ，EI=2AE ，∴CD=2CD ． ∴CD EB =12．本题考查圆的几何综合，熟练掌握切线的判定、等腰直角三角形的判定与性质、圆周角定理以及相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．21．（1）点A 的坐标是)．（2）不变，k =－2【解析】（1）过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，得OD =AD ，OD ·AD =6，于是可求出OD 和AD 的长，点D 坐标可求；（2）过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，过点B 作BC ⊥x 轴于点C ， 直接利用相似三角形的判定与性质得出13BCO AOD S S ∆∆=，进而得出S △BOC =1，即可得出答案． 解：（1）如图，过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，∵OA 是第一象限的角平分线，∴OD =AD ，∵OD ·AD =6，∴OD AD ==，∴点A 的坐标是)．（2）k 的值不会发生变化．理由如下：如图，过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，∵∠BOA =90°，∴∠BOC +∠AOD =90°，∵∠AOD +∠OAD =90°，∴∠BOC =∠OAD ，又∵∠BCO =∠ADO =90°，∴△BCO ∽△ODA ，又∵BO AO = ∴13BCO AOD S S =△△． ∵116322AD DO ⨯⨯=⨯=， ∴11123BCOAOD S BC CO S =⨯⨯==△△， 即1|k |12=， ∵经过点B 的反比例函数图象在第二象限，∴k =－2．此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及反比例函数的性质，根据相似求出面积是解题关键．22．（1）见解析；（2）楼房CD 建成后会影响小屋的采光，理由见解析【解析】（1）因为在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值是相同的，即可按比例较准确地画出楼房CD 及同一时刻它的影长；（2）因为在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值是相同的，可以求出大楼的影子长CM ，然后可以知道AM=1，再算2AE AG =>，就可以判断是否影响采光．解：（1）如图所示即为所求：（2）楼房CD 建成后会影响小屋的采光．理由：∵//CD AB ，//DM BF ，∴DCM BAF ∠=∠，DMC BFA ∠=∠，∴DCM BAF ∽， ∴CD CM AB AF =，1242CM =， ∴6CM =，∴651AM CM CA =-=-=， ∵AM AE AF AB =，124AE =， ∴2AE AG =>，∴楼房CD 建成后会影响小屋的采光．本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的对应边成比例即可解决问题．23．（1）a b ==（2）当90AEF ∠=︒时，4a =，8b =；当90AFE ∠=︒时，8a =，4b =；（3）CEF △的面积不变，证明见解析【解析】（1）利用正方形的性质可得ACF ACE ∠=∠，由EAF ∠被对角线AC 平分可得CAF CAE ∠=∠，从而可证ACF ≌ACE △，根据全等三角形的性质可得CF CE =，然后根据角度关系可得CAE AEC ∠=∠，即可得到a 、b 的值；（2）由题意可知，分两种情况计算，①当90AEF ∠=︒时，首先根据题意得到AEF 是等腰直角三角形，再根据勾股定理得到28(4)CF CE =+,根据已知条件可得ABE △∽ECF △，根据相似三角形的性质得出4(4)CF CE CE =+，两式联立解方程组即可；②当90AFE ∠=︒时，方法和上面的方法一致，即可解答；（3）先利用平行线的性质和正方形的性质得到45AFC CAF ∠+=︒,再利用三角形的内角和得到45AFC AEC ∠+∠=︒,从而求出AEC ∠，而135ACF ACE ∠=∠=︒，得到ACF ∽ECA △，然后再利用相似三角形的对应边成比例，即可求出ab 的值，进而可知CEF △的面积是否变化． （1）∵四边形ABCD 是正方形，∴90BCF DCE ∠=∠=︒，∵AC 是正方形ABCD 的对角线，∴45ACB ACD ∠=∠=︒，∴ACF ACE ∠=∠,∵EAF ∠被对角线AC 平分，∴CAF CAE ∠=∠，在ACF 和ACE △中，ACF ACE AC ACCAF CAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴ACF ≌ACE △，∴AEF AFE ∠=∠，CE CF =，∵CE a =，CF b =，∴a b =，∵45EAF ∠=︒,∴67.5AEF AFE ∠=∠=︒，∵CE CF =，90ECF ∠=︒,∴22.5AEC AFC ∠=∠=︒，∵22.5CAF CAE ∠=∠=︒，∴CAE AEC ∠=∠,∴CE AC ==a b ==（2）当AFE △是直角三角形时，①当90AEF ∠=︒时，∵45EAF ∠=︒，∴45AFE ∠=︒，∴AEF 是等腰直角三角形，∴222222()AF FE CE CF ==+，∵222AE AB BE =+，∴2222()AF AD BE =+，∴22222()2()CE CF AD BE +=+，∴2222CE CF AD BE +=+，∴22216(4)CE CF CE +=++，∴28(4)CF CE =+①∵90AEB BEF ∠+∠=︒，90AEB BAE ∠+∠=︒,∴BEF BAE ∠=∠，∴ABE △∽ECF △，∴AB BE CE CF=， ∴44CE CE CF+=， ∴4(4)CF CE CE =+②，联立①②得，4CE =，8=CF ，∴4a =，8b =；②当90AFE ∠=︒时，同①的方法得，4CF =，8CE =，∴8a =，4b =；（3）∵//AB CD ，∴BAF AFC ∠=∠，∵45BAC ∠=︒，∴45BAF CAF ∠+∠=︒，∴45AFC CAF ∠+∠=︒，∵180()180904545AFC AEC CFE CEF EAF ∠+∠=︒-∠+∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴CAF AEC ∠=∠，∵135ACF ACE ∠=∠=︒，∴ACF ∽ECA △ ∴AC CF CE AC=， ∴22232CE CF AC AB ⨯===，∴32ab =， ∵12S CEF ab =△， ∴16S CEF =△，∴CEF △的面积不变．此题是四边形的综合题，本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定，解本题的关键是判断ACF ∽ECA △，也是本题的难点．24．（1）ABE DAE ∽△△，DCA DAE △∽△，选取其中一对进行证明见解析；（2）①34；②12n <<；（3）不存在最大值，存在最小值，理由见解析【解析】（1）根据题意找到,ABE DAE DCA DAE ∽∽，对于 ABE DAE ∽△△找到两对对应角相等即可证明；（2）由 ,ABE DAE DCA DAE ∽∽可以得到 ABE DCA △△∽进而得到对应边成比例，再由△ABC 是等腰直角三角形，且BC=2得出AB=AC= ，把m ，n 代入可得mn=2即可得到结果；再由m ，n 的关系及m 的取值范围即可得到n 的取值范围；（3）作AH BC ⊥，根据题意求证出1AH HB HC ===，根据 12ADE S DE AH =⋅⋅结合第二问用m ，n 表示DE 代入化为含n 的代数式找出最小值即可；当点D 靠近点B 或点E 靠近点C 时，△ADE 的面积最大，但点D 不与点B 重合，点E 不与点C 重合，故面积不存在最大值． 解：（1）,ABE DAE DCA DAE ，证明如下：∵两个全等的等腰直角三角形ABC 和AFG ，∴∠FAG=∠B=∠C=45︒，∵AEG DEA ∠=∠∴ABE DAE ．∵ADC EDA ∠=∠ ∴DCA DAE（2）①由（1）可知,ABEDAE DCA DAE ，则有ABE DCA ． ∴AB BE CD AC=， 又∵ABC 是等腰直角三角形，且2BC =，∴AB AC ==,BE m CD n ==，∴n=，即2mn =，或2(12)m n n =<<． 当32m =时，34n =． ②由题意：1<m<2，代入到mn=2中得：12n <<．（3）如图，作AH BC ⊥于H ．∵,90,AB AC BAC AH BC =∠=︒⊥，∴1AH HB HC ===，∴11121(2)1222222ADE S DE AH m n n n ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=+-⋅=+-≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴1ADE S =．∴ADE 1．当点D 靠近点B 或点E 靠近点C 时，ADE 的面积最大，∵点D 不与点B 重合，点E 不与点C 重合，∴ADE 的面积不存在最大值．此题利用两个等腰直角三角形展开的对三角形相似及三角形面积相关知识的考查，有一定难度，熟练掌握三角形相似的判定及性质是关键．25．（1）2y x 2x 3=-++；（2）()11，或114⎛⎫ ⎪⎝⎭，；（3）()1N 或()1N 或()12N -或()12N -或()14.N ， 【解析】 （1）把把()30A ，，()10D -，代入2y x bx c =-++，利用待定系数法即可解决问题； （2）如图1中， 过E 作EJ y ⊥轴于,J 证明BE ⊥AB ，分两种情形求解①作BQ ⊥EM 交EM 于Q ，由∠ABQ+∠EBQ=90°，∠EBQ+∠BEM=90°，推出∠ABQ=∠BEM ，满足条件，此时()11Q ，．②当点Q 在AB 的下方时，设()1,Q m '，AB 交EM 于K ．求解213K ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，由Q BK Q EB ''∽，可得2Q B Q E Q K '''=，列出方程即可解决问题；（3）当以FB 为平行四边形的边时，如图2中，如图3，画出符合题意的图形，设()2,23N x x x -++，再利用平行四边形的性质与平移的性质表示G 的坐标，利用G 的纵坐标为0列方程，解方程可得。
人教版九年级数学下《第27章相似》专项训练(2)含答案
人教版九年级数学下《第27章相似》专项训练(2)含答案27章相似专项训练专训1证明三角形相似的方法名师点金：要找三角形相似的条件，关键抓住以下几点：(1)已知角相等时，找两对对应角相等，若只能找到一对对应角相等，判断夹相等的角的两边是否对应成比例；(2)无法找到角相等时，判断三边是否对应成比例；(3)考虑平行线截三角形相似定理及相似三角形的“传递性．．．”．利用平行线判定两三角形相似1．如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC，CD于点P，Q.(1)请写出图中各对相似三角形(相似比为1除外)；(2)求(第1题)利用边或角的关系判定两直角三角形相似2．下面关于直角三角形相似叙述错误的是()A．有一锐角对应相等的两个直角三角形相似B．两直角边对应成比例的两个直角三角形相似C．有一条直角边相等的两个直角三角形相似D．两个等腰直角三角形相似3．如图，BC⊥AD，垂足为C，AD＝6.4，CD＝1.6，BC＝9.3，CE＝3.1，求证：△ABC∽△DEC.(第3题)利用角判定两三角形相似4．如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长，与CE交于点E.(1)求证：△ABD∽△CED；(2)若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长．(第4题)利用边角判定两三角形相似5．如图，AB＝3AC，BD＝3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．(第5题)求证：△ABD∽△CAE.利用三边判定两三角形相似6．如图，AD是△ABC的高，E，F分别是AB，AC的中点．求证：△DEF∽△ABC.(第6题)专训2巧作平行线构造相似三角形名师点金：解题时，往往会遇到要证的问题与相似三角形联系不上或者说图中根本不存在相似三角形的情况，添加辅助线构造相似三角形是这类几何证明题的一种重要方法．常作的辅助线有以下几种：(1)由比例式作平行线；(2)有中点时，作中位线；(3)根据比例式，构造相似三角形．巧连线段的中点构造相似三角形1．如图，在△ABC 中，E ，F 是边BC 上的两个三等分点，D 是AC 的中点，BD 分别交AE ，AF 于点P ，Q ，求(第1题)过顶点作平行线构造相似三角形2．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，F 为底边AB 上一点，＝，取CF 的中点D ，连接AD 并延长交BC 于点E ，求BE EC 的值．(第2题)3．如图，过△ABC 的顶点C 任作一直线，与边AB 及中线AD 分别交于点F 和点E.求证：＝(第3题)过一边上的点作平行线构造相似三角形4．如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，在边AB 上取一点D ，在AC 上取一点E ，使AD ＝AE ，直线DE 和BC 的延长线交于点P.求证：BP CP ＝BD EC .(第4题)(第5题①) 作辅助线的方法二：(第5题②)作辅助线的方法三：(第5题③)作辅助线的方法四：(第5题④)专训3用线段成比例法解四边形问题名师点金：利用线段成比例不仅能解三角形问题，还能解四边形问题．在中考中涉及相似、线段成比例的四边形的题型有填空题、选择题、解答题，是中考热门命题点之一．一、选择题)(第1题)ABCD，AB＝8，，再将△AED沿的面积为()(第2题)4．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠的延长线于F，BG⊥AE于G，BG＝42，则△9 D．8(第3题)(第4题)二、填空题4．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB＝4，BC＝2，那么线段EF的长为________．三、解答题5．如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C.(1)设Rt△CBD的面积为S1，Rt△BFC的面积为S2，Rt△DCE的面积为S3，则S1________S2＋S3(填“>”“＝”或“<”)；(2)写出图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．(第5题)6．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，沿直线MN对折，使A，C 重合，直线MN交AC于O.(1)求证：△COM∽△CBA；(2)求线段OM的长度．(第6题)7．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.(1)求证：△ADF∽△DEC；(2)若AB＝8，AD＝63，AF＝43，求AE的长．(第7题)8．如图，E，F分别是正方形ABCD的边DC，CB上的点，且DE＝CF，以AE为边作正方形AEHG，HE与BC交于点Q，连接DF.(1)求证：△ADE≌△DCF.(2)若E为CD的中点，求证：Q为CF的中点．(3)连接AQ，设S△CEQ＝S1，S△AED＝S2，S△EAQ＝S3，在(2)的条件下，判断S1＋S2＝S3是否成立？并说明理由．(第8题)CG∥AE，交BF(第9题)10．如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长交边AB于点E，连接BP并延长交边AD于点F，交CD的延长线于点G.(1)求证：△APB≌△APD；(2)已知＝，设线段DP的长为x，线段PF的长为y.①求y与x的函数关系式；②当x＝6时，求线段FG的长．(第10题)专训4用线段成比例法解与圆有关问题名师点金：线段成比例法求解有关线段问题在三角形、四边形中有着广泛的应用，是近几年中考命题的必考内容；在中考中，它的另一重点是与圆的知识相结合进行考查；题型既有选择题、填空题，也有解答题，也常以压轴题的形式出现．一、选择题1．如图，已知△ABC，AB＝BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交BC于点E.若CD＝5，CE＝4，则⊙O的半径是()A．3 B．4 C.256D.258(第1题)(第2题)2．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC 于点E，AB＝6，AD＝5，则AE的长为()A．2.5 B．2.8 C．3 D．3.23．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB＝AC，AD交BC于点E，AE＝3，ED＝4，则AB的长为()A．3 B．2 3 C.21 D．3 5(第3题)(第4题)二、填空题4．如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，CD⊥AB，DE∥BC，则图中与△ABC相似的三角形有________个．5．如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点(不与点A重合)，过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA.设PA＝x，PB＝y，则x－y的最大值是________．(第5题)三、解答题6．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点B作⊙O的切线DE，与AC的延长线交于点D，作AE⊥AC交DE于点E.(1)求证：∠BAD＝∠E；(2)若⊙O的半径为5，AC＝8，求BE的长．(第6题)7．如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径作半圆O，交AC于点D，连接DB，过点D作DE⊥BC，垂足为点E.(第7题)(1)求证：DE为半圆O的切线；(2)求证：DB2＝AB·BE.9．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，连接BC交AD于点F.(1)猜想ED与⊙O的位置关系，并证明你的猜想；(2)若AB＝6，AD＝5，求AF的长．10．如图，AB是⊙O的直径，点E是上的一点，∠DBC＝∠BED.(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)已知AD＝3，CD＝2，求BC的长．11．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC，＝(1)求证：AC平分∠BAD；(2)探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由；(3)若AD＝3，求△ABC的面积．答案∴＝．C．证明：∵AD＝6.4，CD＝3.专训21．解：如图，连接DF，∵E，F是边BC上的两个三等分点，∴BE＝EF＝FC.∵D是AC的中点，∴AD＝CD.∴DF是△ACE的中位线．∴＝＝∴＝(第1题)(第2题)AB交AE的延长线于点DF.DAF＝∠G，ADF＝∠CDG，＝CD，∴△ADF≌△GDC(AAS)．∴AF＝CG.∵F＝，∴＝AB∥CG.∴△ABE∽△GCE.BE EC＝ABCG＝ABAF＝52如图，过点∥CF交AD的延长线于点∽△NDB.∴EDDN∴＝(第3题)(第4题)∥AB交DP于点F，EFC.AED.＝∠CEP.∴EC＝CF. CF∥AB，交DE于点AM＝CM.MCF.AME≌△CMF.∴AE＝AE，∴BE＝3AE.∴∵＝，∴DG∥BE，∴△DPGPE＝PF，∴3＝x(第6题)(第7题)7．证明：(1)如图，连接OD.∵AB 为半圆O 的直径，∴∠ADB ＝90°.∵AB ＝BC ，∴D 为AC 中点．∵O 为AB 中点，∴OD ∥BC.∵DE ⊥BC ，∴∠ODE ＝∠CED ＝90°，∴DE 为半圆O 的切线．(2)∵AB ＝BC ，∠ADB ＝90°，∴∠CBD ＝∠DBA.又∠ADB ＝∠DEB ＝90°，∴△ADB ∽△DEB.∴AB DB ＝DB BE ，即DB 2＝AB·BE.8．(1)证明：连接OD ，如图．因为OA ＝OD ，所以∠OAD ＝∠ODA.又因为AD 平分∠BAC ，所以∠OAD ＝∠CAD ，所以∠ODA ＝∠CAD.所以OD ∥AE.又因为EF 垂直于AE ，所以OD 垂直于EF ，所以EF 与圆O 相切．(2)解：如图，连接CD ，BD ，BC ，则CD ＝BD.因为AB 是直径，所以∠ACB ＝∠ADB ＝90°.又因为AB ＝6，AD ＝42，所以BD ＝AB 2－AD 2＝62－（42）2＝2，所以CD ＝2.因为∠OAD ＝∠CAD ，∠ADB ＝∠E ＝90°，所以△ADE ∽△ABD ，所以AB AD ＝BD DE ，所以642＝2DE，所以DE ＝423.在Rt △CDE 中，CE ＝CD 2－DE 2＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫4232＝23.易得四边形CEDG 是矩形，所以DG ＝CE ，∠OGB ＝90°.所以DG ＝23，OG ＝3－23＝73.在Rt △OGB 中，GB ＝OB 2－OG 2＝32－⎝ ⎛⎭⎪⎫732＝423.因为∠ACB ＝∠E ＝90°，所以BC ∥EF ，所以△OGB ∽△ODF ，所以OG OD ＝GB DF ，所以733＝423DF ，所以DF ＝1227.所以EF ＝DE＋DF ＝423＋1227＝64221.(第8题) (第9题)9．解：(1)ED 与⊙O 相切．证明：如图，连接OD.∵OA ＝OD ，∴∠1＝∠2.∵AD平分∠CAB，∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠3.∴OD∥AE.∵AE⊥DE，∴OD⊥DE.∵D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线．(2)如图，连接BD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，则BD2＝AB2－AD2＝11.∵∠3＝∠4，∠3＝∠2，∴∠2＝∠4.∵∠ADB＝∠BDF＝90°，∴△DFB∽△DBA.∴BDAD＝DFBD，∴DF＝BD2AD＝115.则AF＝AD－DF＝5－115＝145.10．(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.又∵∠BAD＝∠BED，∠BED＝∠DBC，∴∠BAD＝∠DBC，∴∠BAD＋∠ABD＝∠DBC＋∠ABD ＝90°，∴∠ABC＝90°，∴BC是⊙O的切线．(2)解：∵∠BAD＝∠DBC，∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC，∴BCCD＝CABC，即BC2＝AC·CD＝(AD＋CD)·CD＝10，∴BC＝10.(第11题)11．(1)证明：如图，连接OC.∵PE与⊙O相切，∴OC⊥PE.∴∠OCP＝90°.∵AE⊥PE，∴∠AEP＝90°＝∠OCP.∴OC∥AE.∴∠CAD＝∠OCA.∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC.∴∠CAD＝∠OAC.∴AC平分∠BAD.(2)解：PB，AB之间的数量关系为AB＝3PB.理由如下：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠BAC＋∠ABC＝90°.∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠ABC.∵∠PCB＋∠OCB＝90°，∴∠PCB＝∠PAC.∵∠P＝∠P.∴△PCA∽△PBC.∴PC PB＝PAPC.∴PC2＝PB·PA.∵＝，∴PC＝2PB.∴PA＝4PB.∴AB＝3PB.(3)解：过点O作OH⊥AD于点H，如图，则AH＝12AD＝32，四边形OCEH是矩形．∴OC＝HE.∴AE＝32＋OC.∵OC∥AE，∴△PCO∽△PEA.∴OCAE＝POPA.∵AB＝3PB，AB＝2OB，∴OB＝32PB.∴OC32＋OC＝PB＋OBPB＋AB＝PB＋32PBPB＋3PB＝58，∴OC＝52，∴AB＝5.∵△PBC∽△PCA，∴PBPC＝BCAC＝12，∴AC＝2BC.在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，∴(2BC)2＋BC2＝52，∴BC＝5，∴AC＝2 5.∴S△ABC ＝12AC·BC＝5，即△ABC的面积为5.。
相似三角形判定第2课时练习与答案-数学9年级下第27章相似27.2人教版
10.如图，AB=2AC，BD=2AF，又 BD∥AC，点 B，A，E 在同一条直线上．求证：△ABD∽△CAE．
第
2 页 共 2 页
人教版 数学习题 九年级下册 第 27 章 27.2.1 第 1 课时
11. 已知：如图，在△ABC 中，∠C＝90°，D，E 分别是 AB，AC 上的两点，并且 AD·AB＝AE·AC， 求证：ED⊥AB.
5
∴△EFD∽△ABC.(三边对应成比例，两三角形相似) 6 Nhomakorabea(1) ∵
AB AC 7 ＝ ＝ ，∠A＝∠A1＝120°∴△ABC∽△A1 B1C1. A1B1 A1C1 3
第
3 页 共 3 页
人教版 数学习题 九年级下册 第 27 章 27.2.1 第 1 课时
7
AB AC 1 ＝ ＝ ，∠B＝∠B1＝120°，但∠B 与∠B1 不是 AB 与 AC、A1B1 与 A1C1 的夹角，所以 A1B1 A1C1 4 △ABC 与△A1B1C1 不相似． AB BC 计算得出 ＝ ，结合∠B＝∠ACD，证明△ABC∽△DCA，再利用相似三角形的定义得出关于AD的 CD AC
1 7. 如图，已知在四边形 ABCD 中，∠B＝∠ACD，AB＝6，BC＝4，AC＝5，CD＝7 ，求 AD 的长． 2
8.已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，点 D、E 分别 AB、CB 延长线上的点，CE=9，AD=15，连接 DE．若 BC=6， AC=8，求证：△ABC∽△DBE．
9. 如图，在 4×4 的正方形网格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为 1 的正方形的顶点上． (1)填空：∠ABC＝______°；BC＝______； (2)判断△ABC 与△DEF 是否相似，并说明理由．
九年级数学下册第27章相似27.2相似三角形1相似三角形的判定第2课时习题课件新人教版
提示:△A′DE≌△ABC.理由如下： ∵ AAB=D____B_D_CE= ____AA__CE_ . 又∵ AB BC，AC′DA=AB.
AB BC CA
∴DE=_B_C__, A′E=__A__C，
∴__△_A_′_D_E___≌___△__A_B_C_.
（3）由（1）（2）探究可得△ABC__∽__△A′B′C′.
【自主解答】把两个三角形的三边按由小到大顺序排列分别
为:7 cm,8 cm,12 cm和14 cm,16 cm,24 cm.
∵ 7 1 , 8 1 , 12 1 ,
14 2 16 2 24 2
∴ 7 8 12 .
14 16 24
∴这两个三角形相似.
【总结提升】利用三边对应成比例判断三角形相似的三步骤
AB BC CA
求证△ABC∽△A′B′C′的过程中，在线段A′B′上截取
A′D=AB，过点D作B′C′的平行线DE构造了△A′DE.
【思考】（1）△A′DE与△A′B′C′关系怎样？ 提示:_△_A__′D__E_∽__△_A_′_B_′_C_′______.
（2）△A′DE与△ABC关系怎样？为什么？
【想一想错在哪？】如图，在△ABC 中，AB=1.5 cm，AC= 2 cm，BC=2.5 cm；在△DEF中，DE=2.8 cm，EF=2.1 cm， DF=3.5 cm，试判断这两个三角形是否相似.
提示:判定两三角形是否相似，不能依图形的放置方向来判定， 而应该按两个三角形三边大小排序，计算比值，再去判定.
D.有无数个
【解析】选B.当直角边为6，8时，且另一个与它相似的直角三
角形3，4也为直角边时，x的值为5，当8，4为对应边且为直角
三角形的斜边时，x的值为 7，故x的值可以为5或 两7 种情况.
九年级数学下册 第二十七章 相似 第2课时 相似三角形
作业本
3．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、 l3于点A、B、C；过点B的直线DE分别交l1、l3于 点D、E．若AB=3，BC=6，BD=2.5，则线段BE 的长为 5．
作业本
4．如图，DE∥FG∥BC，AD：DF：FB=2：3：4， 如果EG=4，那么AC= 12．
．
作业本
5．如图，在△ABC 中，DE∥BC，DF∥AC，求 证： ．
证明:∵DE∥BC，∴
.
∵DE∥BC，DF∥AC，∴四边形DFCE是平行四
边形，
∴DF=EC，∴
．
作业本
6．如图，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB=1：3， AE=3,求EC的值.
解:∵DE∥BC，∴=
.
又= ，AE=3，∴AE= ，解得AC=9，
第业本
1．如图，AD∥BE∥CF，直线l1,l2与这三条平行 线分别交于点A,B,C和点D,E,F，若AB=2，BC=4， DF=9，则EF的长是（ ） B A．3 B．6 C．7 D．8
作业本
2．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、 BC上，DE∥AC，若DB=4，AB=6，BE=3，则EC 长是（B ） A．4 B． C．2.5 D．4.5
∴EC=AC﹣AE=9﹣3=6
作业本
7. 如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,BC上， DE∥AC，若DB=4，AB=6，BE=3，求EC长.
解：∵DE∥AC，∴DB：AB=BE：BC. ∵DB=4，AB=6，BE=3，∴4：6=3：BC， 解得BC= ，∴EC=BC﹣BE=．
作业本
8．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=5，EC=2， BD=AE=x，求BD的长．
(含答案)九年级数学人教版下册课时练第27章《27.2.3 相似三角形应用举例》(2)
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！课时练第27章相似27.2.3相似三角形应用举例一、选择题1．如图，身高1.6米的小慧同学从一盏路灯下的B处向前走了8米到达点C处时，发现自己在地面上的影子CE的长是2米，则路灯AB的高为（）A．5米B．6.4米C．8米D．10米2．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5m，测得AB＝3m，BC＝7m，则建筑物CD的高是（）mA．3.5B．4C．4.5D．53．如图所示，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于（）A．4.5米B．6米C．7.2米D．8米4．如图1，某温室屋顶结构外框为△ABC，立柱AD垂直平分横梁BC，AD=2m，斜梁AC=4m．为增大向阳面的面积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为△EBC （点E 在BA 的延长线上），立柱EF ⊥BC ，如图2所示．若EF=3m ，则斜梁增加部分AE 的长为（）A ．0.5mB ．1mC ．1.5mD ．2m5．如图所示，一张等腰三角形纸片，底边长18cm ，底边上的高为18cm ，现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm 的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（）A ．第4张B ．第5张C ．第6张D ．第7张6．一个矩形按如图1的方式分割成三个直角三角形，最小三角形的面积为1S ，把较大两个三角形纸片按图2方式放置，图2中的阴影部分面积为2S ，若212S S =，则矩形的长宽之比为（）A ．2BC ．43D 7．《九章算术》是我国数学经典，上面记载：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门三十步有木，出西门七百五十步见木．问邑方几何？”其意思是：如图，已知正方形小城ABCD ，点E ，G 分别为CD ，AD 的中点，EF ⊥CD ，GH ⊥AD ，点F ，D ，H 在一条直线上，EF ＝30步，GH ＝750步．正方形小城ABCD 的边长是（）A ．150步B ．200步C ．250步D ．300步8．如图，花丛中有一路灯杆AB ．在灯光下，小明在D 点处的影长DE ＝3米，沿BD 方向行走到达G 点，DG ＝5米，这时小明的影长GH ＝5米．如果小明的身高为1.7米，则路灯杆AB 的高度（精确到1米）为（）A ．5米B ．6米C ．7米D ．8米9．如图，某数学活动小组为测量校园内移动信号转播塔AB 的高度，他们先在水平地面上一点E 放置了一个平面镜，镜子与铁塔底端B 的距离16m BE =，当镜子与与观测者小芳的距离2m ED =时，小芳刚好从镜子中看到铁塔顶端A ，已知小芳的眼睛距地面的高度 1.5m CD =，铁塔AB 的高度为（）（根据光的反射原理，12Ð=Ð）A ．9mB ．12mC ．15mD ．18m10．一种雨伞的截面图（如图所示），伞骨AB AC =，支掌杆30OE OF cm ==，当点O 沿AD 滑动时，雨伞开闭．若3AB AE =，3AD AO =，此时B 、D 两点间的距离等于（）A ．60cmB ．80cmC ．90cmD ．120cm 二、填空题11．如图，晚上小亮在路灯下散步，在由A 点处走到B 点处这一过程中，他在点A ，B ，C 三处对应的在地上的影子，其中影子最短的是在_____点处（填A ，B ，C ）．12．如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2m ，旗杆底部与平面镜的水平距离为12m ．若小明的眼睛与地面的距离为1.5m ，则旗杆的高度为________．（单位：m ）13．如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高．下午课外活动时，她测得根长为1m 的竹杆的影长是0.8m ．但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上．她先测得留在墙壁上的影高为1.2m ，又测得地面的影长为2.6m ，请你帮她算一下，树高是________m ．14．如图，一张矩形纸片ABCD ，9AD =，12AB =，纸片折叠，使A 、C 两点重合，折线MN =________．15．学习投影后，小华利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度．如图，身高1.7m的小明从路灯灯泡A 的正下方点B 处，沿着平直的道路走8m 到达点D 处，测得影子DE 长是2m ，则路灯灯泡A 离地面的高度AB 为_______________m ．三、解答题16．如图，小丁家窗外有一堵围墙AB ，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C 射进房间地面的D 处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点E 射进房间地面的F 处，AB ⊥BD 于点B ，CE ⊥BD 于点O ，小丁测得OE ＝1m ，CE ＝1.5m ，OF ＝1.2m ，OD ＝12m ，求围墙AB 的高为多少米．17．小军想用镜子测量一棵古松树的高度，但因树旁有一条小河，不能测量镜子与树之间的距离.于是他利用镜子进行两次测量.如图，第一次他把镜子放在点C 处，人在点F 处正好在镜中看到树尖A ；第二次他把镜子放在点'C 处，人在点F 处正好在镜中看到树尖A ．已知小军的眼睛距地面1.7m ，量得'12CC =m ， 1.8CF =m ，'' 3.84C F =m.求这棵古松树的高度18．如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC ＝120mm ，高AD ＝80mm ，要把它加工成矩形零件PQMN ，使一边在BC 上，其余两个顶点分别在边AB 、AC 上．若这个矩形的边PN ∶PQ＝1∶2，则这个矩形的长、宽各是多少？19．如图所示，小杰家（点A处）和公路（l）之间竖立着一块30米长且平行于公路的巨型广告牌（BC），一辆小汽车在公路上以60千米/小时匀速行驶，小杰在家观察这辆汽车行驶时，有6秒钟被广告牌挡住．请在图中画出被广告牌挡住的那段公路DE，已知广告牌和公路的距离为35米，求小杰家到公路的距离．20．小明利用灯光下的影子来测量路灯高度，如图，当小明走到A点时，他直立时身高AM 与影子AE恰好相等；他沿着AC方向继续向前，走到B处时，他直立的身高BN的影子恰好是线段AB，此时测得AB＝1.2m．已知小明的直立身高是1.6m，求路灯的高度CD．21．如图，数学兴趣小组利用硬纸板自制的Rt△ABC来测量操场旗杆MN的高度，他们通过调整测量位置，并使边AC与旗杆顶点M在同一直线上，已知AC＝0.8米，BC＝0.5米，目测点A到地面的距离AD＝1.5米，到旗杆的水平距离AE＝20米，求旗杆MN的高度．22．大雁塔是西安市的标志性建筑和著名古迹，是古城西安的象征．因此西安市徽中央所绘制的便是这座著名古塔．我校社会实践小组为了测量大雁塔的高度AB ，在地面上立两根高为2m 的标杆CD 和GH ，两杆之间的距离62CG =米，点G 、C 、B 成一线．从C 处退行4米到点E 处，人的眼睛贴着地面观察A 点，A 、D 、E 三点成一线；从G 处退行6米到点F 处，从F 观察A 点，A 、F 、H 也成一线．请你根据以上数据，计算大雁塔的高度AB ．23．周末，小凯和同学带着皮尺去测量杨大爷家露台遮阳篷的宽度．如图，由于无法直接测量，小凯便在楼前地面上选择了一条直线EF ，通过在直线EF 上选点观测，发现当他位于N ¢点时，他的视线从M 点通过露台D 点正好落在遮阳篷A 点处；当他位于N 点时，视线从M ¢点通过D 点正好落在遮阳篷B 点处，这样观测到的两个点A 、B 间的距离即为遮阳篷的宽，已知AB CD EF ，点C 在AG 上，AG 、DE 、MN 、M N ¢¢均垂直于EF ，MN M N =¢¢，露台的宽CD GE =．测得5GE =米，12.3EN =米， 6.2NN ¢=米．请你根据以上信息，求出遮阳篷的宽AB 是多少米?（结果精确到0.1米）参考答案1．C2．D3．B4．D5．B6．A7．D8．B9．B10．C 11．C12．913．4.4514．45 415．8.516．3m17．这棵古松树的高度为10m18．矩形的长为4807mm，宽是2407mm．19．作图略，小杰家到公路的距离为50米．20．6.4m21．14米22．大雁塔的高度AB为64米23．2.5米。
九年级数学下册第二十七章相似27.2相似三角形的性质作业2新版新人教版(含参考答案)
九年级数学下册第二十七章相似:相似三角形应用举例一、基础练习1．如图1，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距离1.6m，梯上点D距墙1.4m，•BD•长0.55m，则梯子的长为_______m．（1）（2）（3）2．要做甲、乙两个形状相似的三角形框架，已知三角形框架甲的三边分别为50cm，60cm，80cm，三角形框架乙的一边长为20cm．那么，符合条件的三角形框架乙共有_____种，这种框架乙的其余两边分别为________．3．在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，现将它折叠，使点B与点C重合，则折痕长是______．4．如图2，矩形ABCD，AD=a，AB=b，要使BC边上至少存在一点P，使△ABP，△DPA，△PCD 两两相似，则a，b间的关系一定满足（）A．a≥12b B．a≥b C．a≥32b D．a≥2b5．如图3，已知三角形铁皮ABC的边BC=acm，BC边上的高AM=hcm要剪出一个正方形铁片DEFG，使D.E在BC上，G、F分别在AB.AC上，则正方形DEFG的边长=_______．6．如图4，铁道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m．当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高______m（杆的宽度忽略不计）．（4）（5）（6）7．如图5，设在小孔口前24cm处有一枝长21cm的蜡烛AB，AB经小孔O形成的像A′B′恰好浇在距小孔后面16cm处的屏幕上，则像A′B′的长是______cm．8．如图6所示，一张矩形纸片ABCD，AD=9，AB=12，将纸片折叠，使A.C两点重合，•折线MN=________．9．如图7所示，ABCD为正方形，A.E.F、G在同一条直线上，并且AE=5cm，EF=3cm，那么FG=_______cm．（7）（8）10．如图8，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，DE为Rt△CDB的斜边BC上的高，若BE=6，CE=4，则AD=_______．二、整合练习1．如图，现有两个边长比为1：2的正方形ABCD与A′B′C′D′，已知点B.C.B′、C ′在同一直线上，且点C与B′重合，请你利用这两个正方形，通过截割、平移、旋转等方法，拼出两个相似比为1：3的三角形，要求：（1）借助原图拼图；（2）简要说明方法；（3）注明相似的两个三角形．2．如图，运河边上移栽了两棵老树AB.CD，它们相距20m，分别自两树上高出地面3m、4m 的A.C处，向两侧地面上的点E和D.B和F处用绳索拉紧，以固定老树，那么绳索AD与BC 的交点P离地面的高度为多少米？3．小R 、小D.小H 在一起研究相似三角形，分别得到三个命题：（1）两个相似三角形，如果它们的周长相等，那么这两个三角形全等；（2）两个相似三角形，如果有两组边长相等，那么这两个三角形全等；（3）不等边△ABC 的边长为A.B.c与△ABC 相似．请你判定一下，这三个命题中，哪些是真命题？说说你的理由．参考答案一、基础练习1．4.42．3 若20与50对应，则另两边分别为24cm 、32cm ；若20与60对应，则另两边分别为5080,33cm cm ；若20与80对应，则另两边分别为252cm 、15cm ．3．因△ABC 为Rt△，B 与C 重合，折痕DE 为BC 的中垂线交BC 于D.AC 于E. Rt△CDE∽Rt△CAB，53152,48DE CD DE AB CA ⨯===． 4．△ABP、△DP A.△PCD 两两相似，即∠APD=90°，即以AD 为直径的圆与BC•至少有一个交点P ，所以a≥2b，选D ．5．设正方形DEFG 的边长为x ，由FG∥BC，所以△AGF∽△ABC，设AM 交GF 于N ，,,AN GF h x x ah x AM BC h a a h -===+即解得（cm ）．6．8m 7．148．设MN 与AC 交于点O ，MN 垂直平分AC ，AD=9，AB=12，， △CON∽△CDA，91545,,21224NO AD NO MN ON OC DC==⨯==． 9．设FG=xcm ，由△AFD∽△GAB 和△AED∽△GEB，得8516,833AD AE x BG EG x ====++解得FG ． 10．由DE∥AC，△BDE∽△BAC，BE BC BD AB =，CE=4，BE=6，DE 为Rt△CDB 斜边BC 上的高，△DEB∽△CED，DE2=CE·BE=24，BD2=24+36=60，BD=215，AD=4153．二、整合练习1．连结BD 并延长交A′D′于点E ，交C′D′的延长线于点F ，将△DA′E 绕点E 旋转至△FD′E 位置，则△BAD∽△FC′B，且相似比为1：3．2．过P 作PH⊥BD 于H ，由于AB⊥BD，CD⊥BD，所以AB∥CD，PH∥CD，△ABP∽△DCP，BP ：PC=AB ：CD=3：4，BP ：BC=3：7，又△BPH∽△BCD，PH BP CD BC ==37，所以PH=37×4=127，即点P 离地面的高度为127m ．（这里AB.CD 相距20m 为多余条件）．3．真命题为（1）、（3）．理由是（1）若△ABC∽△A′B′C′，它们的相似比为k ，（ k≠0）则''''''AB BC CA A B B C C A ===k ，△ABC 的周长为AB+BC+CA ，△A′B′C′的周长为A′B+B′C′+C′A′，• 又AB=A′B′k，BC=B′C′k，CA=C′A′k．由周长相等，得k=1， 所以AB=A′B′，BC=B ′C′，CA=C′A′，所以△ABC≌△A′B′C′．（2）是假命题，可举反例 若△ABC∽△A′B′C′，设AB=1，BC=2，CA=2，A′B′=2，B′C′=22，C′A′=2， 虽然有两组边长相等，但它们显然不全等．（3）不等边△ABC 中，不妨设a>b>c ，若△A′B′C′与△ABC 相似，则A.B.c==a=b=c 与△ABC 是不等边三角形矛盾，相似． （如果△ABC 的三边长分别为A.B.c ，,,.a b c b c a c a b +>⎧⎪+>⎨⎪+>⎩可证,,.a b c b c a c a b ⎧++>⎪⎪++>⎨⎪++>⎪⎩即>>>）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
27．2.1 相似三角形的判定第2课时 相似三角形的
判定(2)练习
1．如图，在正△ABC 中，D ，E 分别在AC ，AB 上，且
1
3
AD AC =，AE ＝BE ，则有( )．
A ．△AED ∽△BED
B ．△AED ∽△CBD
C ．△AE
D ∽△ABD D ．△BAD ∽△BCD
2．如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于O ，且将这个四边形分成①，②，③，④四个三角形．若OA ∶OC ＝OB ∶OD ，则下列结论中一定正确的是( )．
A ．①与②相似
B ．①与③相似
C ．①与④相似
D ．②与④相似
3．如图，用两根等长的钢条AC 和BD 交叉构成一个卡钳，可以用来测量工具内槽的宽度．设
OA OB
m OC OD
==，且量得CD ＝b ，则内槽的宽AB 等于( )．
A ．mb B.
m
b
C.
b
m
D.
1
b
m + 4．如图，∠1＝∠2，添加一个条件使得△ADE ∽△ACB ，这个条件是________．
5．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ACB 和△DCE 的顶点都在格点上，ED 的延长线交AB 于点F.
(1)求证：△ACB ∽△DCE ； (2)求证：EF ⊥AB.
6．如图，已知E 是四边形ABCD 的对角线BD 上的一点，且AB AC
AE AD
=，∠1＝∠2.求证：∠ABC ＝∠AED.
7．如图，AB＝3AC，BD＝3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．
(1)求证：△ABD∽△CAE；
(2)如果AC＝BD，AD＝，设BD＝a，求BC的长．
8．如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形．
(1)当AC，CD，DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB?
(2)当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数．
9．如图，在△ABC中，AB＝8 cm，BC＝16 cm，点P从点A出发沿AB边向点B以2 cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以4 cm/s的速度移动(有一点到达后即停止移动)，如果P，Q同时出发，经过几秒后△BPQ与△ABC相似？
创新应用
10．已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD(如图所示)，∠BAD的平分线AE交BC 于点E，连接DE.
(1)在图中，用尺规作∠BAD的平分线AE(保留作图痕迹，不写作法)，并证明四边形ABED是菱形；
(2)∠ABC＝60°，EC＝2BE，求证：ED⊥DC.
参考答案
1. 答案：B 设AD ＝k ，则AC ＝BC ＝3k ，AE ＝1.5k ，CD ＝2k ，所以
2
1.53
AD k AE k ==，2233CD k CB k ==.所以AD CD
AE CB
=.又∠A ＝∠C ＝60°，所以△AED ∽△CBD . 2. 答案：B
3. 答案：A
4. 答案：
AD AE
AC AB
= 5. 答案：证明：(1)∵32AC DC =，63
42
BC CE ==， ∴
AC BC
DC CE
=. 又∠ACB ＝∠DCE ＝90°， ∴△ACB ∽△DCE .
(2)∵△ACB ∽△DCE ，∴∠ABC ＝∠DEC .又∠ABC ＋∠A ＝90°，∴∠DEC ＋∠A ＝90°，∴∠EF A ＝90°，∴EF ⊥AB .
6. 分析：求证∠ABC ＝∠AED ，只需证△ABC ∽△AED .已知AB AC
AE AD
=，故只需证∠BAC ＝∠EAD ，这由∠1＝∠2可以解决．
证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠EAC ＝∠2＋∠EAC ，即∠BAC ＝∠EAD .又∵
AB AC
AE AD
=，∴△ABC ∽△AED .∴∠ABC ＝∠AED .
7. 答案：(1)证明：∵BD ∥AC ，点B ，A ，E 在同一条直线上，∴∠DBA ＝∠CAE .又∵
AB BD
AC AE
=＝3，∴△ABD ∽△CAE .
(2)解：∵AB ＝3AC ＝3BD ，AD ＝，∴AD 2＋BD 2＝8BD 2＋BD 2＝9BD 2＝AB 2.∴
∠D ＝90°.
由(1)得∠E ＝∠D ＝90°，
∵AE ＝
13BD ，EC ＝13AD ，AB ＝3BD ，
∴在Rt △BCE 中，BC 2＝(AB ＋AE )2＋EC 2
＝2
2
21108339BD BD BD BD ⎫⎛⎫++=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
＝12a 2，
∴BC ＝.
8. 解：(1)∵∠ACP ＝∠PDB ＝120°，
当
AC PC
PD DB =， 即AC CD
CD DB
=，也就是CD 2＝AC ·DB 时，△ACP ∽△PDB . (2)∵△ACP ∽△PDB ，∴∠A ＝∠DPB .∴∠APB ＝∠APC ＋∠CPD ＋∠DPB ＝∠APC ＋∠A ＋∠CPD ＝∠PCD ＋∠CPD ＝120°.
9. 解：设经过t 秒后△BPQ 与△ABC 相似．
∵∠B 为公共角，∴要使△BPQ 与△ABC 相似，只需
BP BQ BC BA =或BP BQ BA BC =，即8216
t
- 48
t =
或824816t t
-=，解得t ＝0.8或t ＝2(均小于4)． ∴经过0.8秒或2秒后，△BPQ 与△ABC 相似． 10. (1)解：如图，
证明：∵AB ＝AD ，AE 为∠BAD 的平分线，∴BG ＝DG ，∵AD ∥BC ，∴∠ADG ＝∠GBE ，∠DAG ＝∠GEB ，∴△ADG ≌△EBG ，∴AG ＝GE ，∴四边形ABED 为平行四边形．
∵AB ＝AD ，
∴四边形ABED 是菱形． (2)证明：∵四边形ABED 是菱形，∠ABC ＝60°，∴∠DBE ＝∠BDE ＝30°，∠BGE ＝90°.
设GE ＝a ，∴BD ＝2BG ＝，BE ＝2a ，CE ＝4a ，BC ＝6a .∴
BD BE BC BD ==
.∵∠DBE 为公共角，∴△BDE ∽△BCD ，∴∠BDE ＝∠C .∴∠C ＝30°.∵DE ∥AB ，
∴∠DEC ＝∠ABC ＝60°， ∴∠CDE ＝90°，∴ED ⊥DC .。