2012《新高考全案》高考数学 17-4几何证明选讲(2)课件 人教版

• 8．圆内接四边形的判定
• 如果一个四边形的一组对角 互补 内接于圆． • 9．圆内接四边形的性质 • 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都 等于 ，那么这个四边形
它的内对角．
• 1．(2011·广州一模)(几何证明选讲选做题)如下图所示，
CD是圆O的切线，切点为C，点A、B在圆O上，BC＝1， ∠BCD＝30°，则圆O的面积为________．
[解析]
∵P 是弦 AB 的中点，∴OP⊥AB.
在 Rt△AOP 中，∠OAP＝30° ，OA＝a， 3 ∴AP＝ a＝BP.又∵CP· PD＝PA· PB， 2 3 2 a 2 PA2 9 ∴CP＝ PD ＝ 2 ＝8a. a 3

9 [答案] 8a
•
如图，梯形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，求证：A
、B、C、D共圆．
• [证明] ∵梯形ABCD是等腰梯形．
• ∴∠A＝∠D
• 又∵AD∥BC • ∴∠C＋∠D＝180° • ∵∠A＋∠C＝180° • ∴A、B、C、D共圆． • [点评与警示] 证明四点共圆通常证四边形的对角互补或
它的一个外角等于它的内角的对角．
•
(2009·宁夏海南卷理 ) 如图，已知△ ABC 的两条角平分
• 圆周角的度数 等于
它所对弧的度数的一半．
．
• 推论：①直径(或半圆)所对的圆周角是 直角 • ②同弧或等弧所对的圆周角 相等 ． ． • ③等于直角的圆周角所对的弦是圆的 直径
• 5．弦切角定理
• 弦切角的度数 等于 它所夹的弧的度数的一半．
• 推论：弦切角 等于 它所夹弧所对的圆周角． • 6．相交弦定理 • 圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的积 相等 ． • 7．切割线定理 • 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆 交点的两条线段长的 比例中项 ．
• (2)连结BH，则BH为∠ABC的平分线，得∠HBD＝30°.
• 由 (1) 知 B ， D ， H ， E 四点共圆，所以 ∠ CED ＝ ∠ HBD ＝
30°.又∠AHE＝∠EBD＝60°，由已知可得EF⊥AD，可得 ∠CEF＝30°，所以CE平分∠DEF.
•
(2010· 天津，11)如图，四边形 ABCD 是圆 O 的内接四 BC 边形， 延长 AB 和 DC 相交于点 P.若 PB＝1， PD＝3， 则AD的 值为________．
[解析]
由切割线定理知 PB· PA＝PC· PD.
令 PB＝x，则 PA＝2x， PC＝y，则 PD＝3y， ∴PB· PA＝2x2，PC· PD＝3y2， y ∴2x ＝3y ，x＝
2 2
2 3.
∵△PBC∽△PDA，
BC PC y 1 ∴DA＝ PA ＝2x＝2 [答案] 6 6
2 6 3＝ 6 .
•
如图：PA 与圆 O 相切于 A，PCB 为圆 O 的割线，并且
不过圆心 O，已知∠BPA＝30° ，PA＝2 3，PC＝1，则圆 O 的半径等于__________．
• [解析]
由圆的性质PA2＝PC·PB，得PB＝12，连接OA并
反向延长交圆于点 E ，在直角三角形 APD 中可以求得 PD＝ 4 ， DA ＝ 2 ， 故 CD ＝ 3 ， DB ＝ 8 ， 记 圆 的 半 径 为 R ， 由 于 ED·DA＝CD·DB • 因此，(2R－2)·2＝3·8，解得R＝7.
线AD和CE相交于H，∠B＝60°，F在AC上，且AE＝AF.
• (1)证明：B，D，H，E四点共圆； • (2)证明：CE平分∠DEF.
• [证明]
(1) 在△ABC中，因为 ∠B＝ 60°，所以∠ BAC＋
∠BCA＝120°，
• 因为AD，CE是角平分线， • 所以∠HAC＋∠HCA＝60°， • 故∠AHC＝120°. • 于是∠EHD＝∠AHC＝120°， • 因为∠EBD＋∠EHD＝180°， • 所以B，D，H，E四点共圆．
• [解析]
∠ A ＝ ∠ BCD ＝ 30° ， 从 而 ∠ BOC ＝
60°.∴△OBC是等边三角形． • ∴圆的半径为1，面积为π.
• [答案] π
• 2．(2009·深圳二模)如下图所示，已知EB是半圆O的直径 ，A是BE延长线上一点，AC切半圆O于点D，BC⊥AC于点C ，DF⊥EB于点F，若BC＝6，AC＝8，则DF＝________.
[答案] 2 3. • [点评与警示]
本题根据弦切角定理推出角相等，从而转
化为相似三角Biblioteka 问题来解决．(2010· 广东，14)(几何证明选讲选做题)如图，AB，CD 是半径为 a 的圆 O 的两条弦，它们相交于 AB 的中点 P，PD 2a ＝ 3 ，∠OAP＝30° ，则 CP＝________.
[答案]
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• 1．解决平面几何问题时，当条件较分散时，可适当添作 辅助线，使得分散的条件集中，并要分析待证明的结论与已 知条件关系，逐步消除差距． • 2．在圆中证明线段的关系式首要考虑的是几个重要定理 ，结合相似三角形进行等比代换或等线代换，圆中角的关系
，则往往利用圆周角，弦切角，圆心角与弧的关系转化．
• 1．熟悉下列与圆有关的概念
• 圆的切线、割线、三角形的内切圆与旁切圆，圆心角，圆 弧的度数，圆周角，弦切角． • 2．圆的切线的判定 • 经过圆的半径的外端且 垂直 于这条半径的直线，是圆
的切线．
• 3．圆的切线的性质
• 圆的切线 垂直 过切点的半径．
• 推论：①从圆外的一个已知点所引的两条切线长 相等 ． • ②经过圆外的一个已知点和圆心的直线， 平分 从这点向 圆所作的两条切线所夹的角． • 4．圆周角定理
• [答案] 7
已知圆 O 的半径为 3，从圆 O 外一点 A 引切线 AD 和割线 ABC，圆心 O 到 AC 的距离为 2 2，AB＝3，则切线 AD 的长为 ________．
[解析] 由 OC＝3，O 到 AC 距离为 2 2知 BC＝2 由 AD2＝AB· AC＝3×5 知 AD＝ 15.
• [答案] 3
3 ． (2011· 惠州二模 )( 几何证明选讲选做题 ) 如图，已知 AB 是⊙O 的直径，AB＝2，AC 和 AD 是⊙O 的两条弦，AC ＝ 2，AD＝ 3，则∠CAD＝________.
[解析]
连结 BC、BD，则∠ACB＝∠ADB＝90° ，
AC 2 π 在 Rt△ABC 中，cos∠CAB＝ ＝ ，∴∠CAB＝ ； AB 2 4 AD 3 在 Rt△ABD 中，cos∠DAB＝ AB ＝ 2 ， π 5π ∴∠CAB＝6；∠CAD＝∠CAB＋∠DAB＝12.
5π [答案] 12.
•
如下图所示，⊙O和⊙O′都经过A、B两点，AC是⊙O′的
切线，交⊙O于点C，AD是⊙O的切线，交⊙O′于点D，若 BC＝2，BD＝6，则AB的长为________．
[解析]
∵AC、AD 分别是⊙O′、⊙O 的切线，AB 是
两圆的公共弦，由弦切角定理得∠CAB＝∠ADB， ∠DAB＝∠ACB， ∴△ABC∽△DBA， BC AB ∴ ＝ ，∴AB2＝BC· BD＝2×6， AB BD ∴AB＝2 3.