高一数学必修4模块训练1(答案版)
高一数学训练习题参考答案
数学必修（4）同步练习参考答案§1.1任意角和弧度制一、CDDCBA二、7.{x|x=k•3600+1800, k∈Z}, {x|x=k•1800+450,k∈Z} ; 8.-345°; 9. ;10.第二或第四象限, 第一或第二象限或终边在y轴的正半轴上三、11.{ α|α=k•3600+1200或α=k•3600+3000, k∈Z } -60° 120°12.由7θ=θ+k•360°，得θ=k•60°（k∈Z）∴θ=60°，120°，180°，240°，300°13.∵l=20－2r,∴S= lr= (20-2r)•r=－r2+10r=-(r-5)2+25∴当半径r=5 cm时，扇形的面积最大为25 cm2,此时，α= = =2(rad)14.A点2分钟转过2θ，且π＜2θ＜π,14分钟后回到原位，∴14θ=2kπ,θ= ，且 <θ< π，∴θ= π或π§1.2.1 任意角的三角函数一、CCDBCD二、7.一、三； 8. 0 ； 9. 或π； 10.二、四三、11.[2kπ, 2kπ,+ ( k∈Z)12.13.∵sinθ= - ，∴角θ终边与单位圆的交点（cosθ，sinθ）=（ ,- ）又∵P(-2, y)是角θ终边上一点, ∴cosθ<0,∴cosθ= - .14.略.§1.2.2同角三角函数的基本关系式一、BCDBBA二、7. ; 8.0; 9. ; 10.三、11.12.原式= － ==sinx+cosx13.左边=tan2θ－sin2θ= －sin2θ=sin2θ• =sin2θ• =sin2θ•tan2θ=右边14.(1)当m=0时, α=kπ, k∈Z ,cosα=±1, tanα=0(2)当|m|=1时, α=kπ+ , k∈Z ,cosα=0, tanα=0不存在(3)当0<|m|<1时,若α在第一或第四象限,则cosα= tanα= ;若α在第二或第三象限,则cosα=- tanα=- .§1.3 三角函数的诱导公式一、BBCCBC二、7. ; 8.1 ; 9.1 ; 10.三、11. 112. f(θ)= = =cosθ-1∴f( )=cos -1=-13.∵cos(α+β)=1, ∴α+β=2kπ, k∈Z. ∴cos(2α+β)= cos(α+α+β)= cos(π+α)=- cosα= - .14. 由已知条件得：sinα= sinβ①, cos α=- cosβ②，两式推出sinα= ，因为α∈(- , )，所以α= 或- ；回代②，注意到β∈(0,π)，均解出β= ，于是存在α= ，β= 或α=- ，β= ，使两等式同时成立。
高中数学 模块1 高考真题(含解析)新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学试题
模块1高考真题对应学生用书P81剖析解读高考全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷都是由教育部按照普通高考考试大纲统一命题，适用于不同省份的考生．但在难度上会有一些差异，但在试卷结构、命题方向上基本上都是相同的．“稳定”是高考的主旋律．在今年的高考试卷中，试题分布和考核内容没有太大的变动，三角、数列、立体几何、圆锥曲线、函数与导数等都是历年考查的重点．每套试卷都注重了对数学通性通法的考查，淡化特殊技巧，都是运用基本概念分析问题，基本公式运算求解、基本定理推理论证、基本数学思想方法分析和解决问题，这有利于引导中学数学教学回归基础．试卷难度结构合理，由易到难，循序渐进，具有一定的梯度．今年数学试题与去年相比整体难度有所降低．“创新”是高考的生命线．与历年试卷对比，Ⅰ、Ⅱ卷解答题顺序有变，这也体现了对于套路性解题的变革，单纯地通过模仿老师的解题步骤而不用心去理解归纳，是难以拿到高分的．在数据处理能力以及应用意识和创新意识上的考查有所提升，也符合当前社会的大数据处理热潮和青少年创新性的趋势．全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷对必修1集合与函数知识的考查，相对来说比较常规，难度不大，变化小，综合性低，属于基础类必得分试题，主要考查集合的概念及运算，函数的图象及定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期、最值等基本性质．做题时若能熟练应用概念及性质，掌握转化的技巧和方法，基本不会丢分。
若综合其他省市自主命题卷研究，必修1的知识又能与命题、不等式、导数、分段函数等知识综合，强化了数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归的数学思想的运用，提高了试题的难度，所以作为高一学生来说，从必修1就应该打好牢固的基础，培养最基本的能力．下面列出了2018年全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷及其他自主命题省市试卷必修1所考查的全部试题，请同学们根据所学必修1的知识，测试自己的能力，寻找自己的差距，把握高考的方向，认清命题的趋势！(说明：有些试题带有综合性，是与以后要学习内容的小综合试题，同学们可根据目前所学内容，有选择性地试做！)穿越自测一、选择题1．(2018·全国卷Ⅰ，文1)已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝( ) A．{0,2} B．{1,2}C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}答案A解析根据集合交集中元素的特征，可以求得A∩B＝{0,2}，故选A.2．(2018·全国卷Ⅱ，文2)已知集合A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,4,5}，则A∩B＝( ) A．{3} B．{5}C．{3,5} D．{1,2,3,4,5,7}答案C解析∵A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,4,5}，∴A∩B＝{3,5}，故选C.3．(2018·某某卷，1)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，则∁U A＝( )A．∅B．{1,3}C．{2,4,5} D．{1,2,3,4,5}答案C解析因为全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，所以根据补集的定义得，∁U A＝{2,4,5}，故选C.4．(2018·全国卷Ⅲ，文1)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝( ) A．{0} B．{1} C．{1,2} D．{0,1,2}答案C解析由集合A＝{x∈R|x≥1}，所以A∩B＝{1,2}，故选C.5．(2018·某某卷，文1)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1，0,2,3}，C＝{x∈R|－1≤x<2}，则(A∪B)∩C＝( )A．{－1,1} B．{0,1}C．{－1,0,1} D．{2,3,4}答案 C解析由并集的定义可得，A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}，结合交集的定义可知，(A∪B)∩C ＝{－1,0,1}．故选C.6．(2018·某某卷，理1)设全集为R，集合A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁R B)＝( )A．{x|0<x≤1} B．{x|0<x<1}C．{x|1≤x<2} D．{x|0<x<2}答案 B解析由题意可得，∁R B＝{x|x<1}，结合交集的定义可得，A∩(∁R B)＝{x|0<x<1}．故选B.7．(2018·卷，文1)已知集合A ＝{x ||x |<2}，B ＝{－2,0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0,1} B ．{－1,0,1} C ．{－2,0,1,2} D ．{－1,0,1,2} 答案 A解析 A ＝{x ||x |<2}＝{x |－2<x <2}，B ＝{－2,0,1,2}，∴A ∩B ＝{0,1}．故选A. 8．(2018·全国卷Ⅰ，理2)已知集合A ＝{x |x 2－x －2>0}，则∁R A ＝( ) A ．{x |－1<x <2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x <－1}∪{x |x >2} D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2} 答案 B解析 解不等式x 2－x －2>0，得x <－1或x >2，所以A ＝{x |x <－1或x >2}，于是∁R A ＝{x |－1≤x ≤2}，故选B.9．(2018·全国卷Ⅲ，文7)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( )A ．y ＝ln (1－x )B ．y ＝ln (2－x )C ．y ＝ln (1＋x )D ．y ＝ln (2＋x ) 答案 B解析 函数y ＝ln x 过定点(1,0)，(1,0)关于x ＝1对称的点还是(1,0)，只有y ＝ln (2－x )过此点．故B 正确．10．(2018·某某卷，理5)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b 答案 D解析 由题意结合对数函数的性质可知，a ＝log 2e>1，b ＝ln 2＝1log 2e ∈(0,1)，c ＝log1213＝log 23>log 2e ，据此可得，c >a >b .故选D.11．(2018·全国卷Ⅱ，文3)函数f (x )＝e x －e－xx2的图象大致为( )答案 B解析 ∵x ≠0，f (－x )＝e －x－e xx2＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数，排除A ，∵f (1)＝e －e －1>0，∴排除D ；∵f (2)＝e 2－e －24＝4e 2－4e 216；f (4)＝e 4－e－416＝e 2·e 2－1e 416，∴f (2)<f (4)，排除C.因此选B.12．(2018·全国卷Ⅰ，理9)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值X 围是( )A ．[－1,0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) 答案 C解析 画出函数f (x )的图象，再画出直线y ＝－x ，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图象有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图象有两个交点，即方程f (x )＝－x －a 有两个解，也就是函数g (x )有两个零点，此时满足－a ≤1，即a ≥－1，故选C.13．(2018·全国卷Ⅰ，文12)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值X 围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0) 答案 D解析 将函数f (x )的图象画出来，观察图象可知⎩⎪⎨⎪⎧2x <0，2x <x ＋1，解得x <0，所以满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值X 围是(－∞，0)，故选D.14．(2018·全国卷Ⅲ，理12)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A ．a ＋b <ab <0 B ．ab <a ＋b <0 C ．a ＋b <0<ab D ．ab <0<a ＋b 答案 B解析 ∵a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，∴1a ＝log 0.30.2，1b ＝log 0.32，∴1a ＋1b＝log 0.30.4，∴0<1a ＋1b <1，即0<a ＋b ab<1.又∵a >0，b <0，∴ab <0，即ab <a ＋b <0，故选B.二、填空题15．(2018·某某卷，1)已知集合A ＝{0,1,2,8}，B ＝{－1，1,6,8}，那么A ∩B ＝________. 答案 {1,8}解析 由题设和交集的定义可知，A ∩B ＝{1,8}．16．(2018·某某卷，5)函数f (x )＝log 2x －1的定义域为________． 答案 [2，＋∞)解析 要使函数f (x )有意义，则log 2x －1≥0，解得x ≥2，即函数f (x )的定义域为[2，＋∞)．17．(2018·全国卷Ⅰ，文13)已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a )，若f (3)＝1，则a ＝________. 答案 －7解析 根据题意有f (3)＝log 2(9＋a )＝1，可得9＋a ＝2，所以a ＝－7.18．(2018·全国卷Ⅲ，文16)已知函数f (x )＝ln (1＋x 2－x )＋1，f (a )＝4，则f (－a )＝________.答案 －2解析 f (x )＋f (－x )＝ln (1＋x 2－x )＋1＋ln (1＋x 2＋x )＋1＝ln (1＋x 2－x 2)＋2＝2，∴f (a )＋f (－a )＝2，则f (－a )＝－2.19．(2018·卷，理13)能说明“若f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，则f (x )在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________．答案 y ＝sin x (答案不唯一)解析 令f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ＝0，4－x ，x ∈0，2]，则f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，但f (x )在[0,2]上不是增函数．又如，令f (x )＝sin x ，则f (0)＝0，f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，但f (x )在[0,2]上不是增函数．20．(2018·某某卷，9)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2,2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2，0<x ≤2，x ＋12，－2<x ≤0，则f [f (15)]的值为________．答案22解析 由f (x ＋4)＝f (x )得函数f (x )的周期为4，所以f (15)＝f (16－1)＝f (－1)＝－1＋12＝12，因此f [f (15)]＝f 12＝cos π4＝22. 21．(2018·某某卷，15)已知λ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x <λ，当λ＝2时，不等式f (x )<0的解集是________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值X 围是________．答案 (1,4) (1,3]∪(4，＋∞)解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －4<0或⎩⎪⎨⎪⎧x <2，x 2－4x ＋3<0，所以2≤x <4或1<x <2，即1<x <4，不等式f (x )<0的解集是(1,4)，当λ>4时，f (x )＝x －4>0，此时f (x )＝x 2－4x ＋3＝0，x ＝1,3，即在(－∞，λ)上有两个零点；当λ≤4时，f (x )＝x －4＝0，x ＝4，由f (x )＝x 2－4x ＋3在(－∞，λ)上只能有一个零点，得1<λ≤3.综上，λ的取值X 围为(1,3]∪(4，＋∞)．22．(2018·某某卷，理14)已知a >0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ＋a ，x ≤0，－x 2＋2ax －2a ，x >0.若关于x的方程f (x )＝ax 恰有2个互异的实数解，则a 的取值X 围是________．答案 (4,8)解析 当x ≤0时，方程f (x )＝ax ，即x 2＋2ax ＋a ＝ax ，整理可得，x 2＝－a (x ＋1)，很明显x ＝－1不是方程的实数解，则a ＝－x 2x ＋1，当x >0时，方程f (x )＝ax ，即－x 2＋2ax －2a ＝ax ，整理可得，x 2＝a (x －2)，很明显x ＝2不是方程的实数解，则a ＝x 2x －2，令g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2x ＋1，x ≤0，x 2x －2，x >0，其中－x 2x ＋1＝－x ＋1＋1x ＋1－2，x 2x －2＝x －2＋4x －2＋4，原问题等价于函数g (x )与函数y ＝a 有两个不同的交点，求a 的取值X 围．结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数g (x )的图象，同时绘制函数y ＝a 的图象如图所示，考查临界条件，结合a >0观察可得，实数a 的取值X 围是(4,8)．。
高一数学 必修4模块训练1答案
高中数学必修4模块训练1一.选择题：1．－215°是 （ B ）（A ）第一象限角 （B ）第二象限角（C ）第三象限角 （D ）第四象限角2．角α的终边过点P （4，－3），则αcos 的值为 （ C ）（A ）4 （B ）－3 （C ）54（D ）53-3．若0cos sin <αα，则角α的终边在 （ C ）（A ）第二象限 （B ）第四象限 （C ）第二、四象限 （D ）第三、四象限4．函数x x y 22sin cos -=的最小正周期是 （ A ）（A ）π （B ）2π（C ）4π（D ）π25．给出下面四个命题：① =+；②=+B ；③=－； ④00=⋅AB 。
其中正确的个数为 （ B ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个6．向量)2,1(-=a ，)1,2(=b ，则 （ B ）（A ）a ∥ （B ）⊥（C ）a 与b 的夹角为60° （D ）a 与b 的夹角为30°7. 在下面给出的四个函数中，既是区间)2,0(π上的增函数，又是以π为周期的偶函数的是(D ) （A ）x y 2cos = （B ）x y 2sin = （C ）|cos |x y = （D ）|sin |x y =8.若=(2,1)，=(3,4)，则向量在向量方向上的投影为（ B ）（A ）52 （B ）2 （C ）5 （D ）10二.填空题：9．已知点A （2，－4），B （－6,2），则AB 的中点M 的坐标为 （－2，－1） ；10．若21tan =α，则ααααcos 3sin 2cos sin -+= －3 ；三．解答题：11．求值：（1）)623tan(π-； （2）︒75sin解：（1）336tan )64tan()623tan(==+-=-ππππ（2）原式=︒︒+︒︒=︒+︒30sin 45cos 30cos 45sin )3045sin(=42621222322+=⨯+⨯12．设)1,3(=OA ，)2,1(-=OB ，⊥，∥，试求满足 OC OA OD =+的OD 的坐标（O 为坐标原点）。
高中数学 课时跟踪训练1 任意角 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学试题
课时跟踪训练(一)(时间45分钟) 题型对点练(时间20分钟)题组一 任意角的概念 1．给出下列说法： ①锐角都是第一象限角； ②第一象限角一定不是负角； ③第二象限角是钝角；④小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中正确命题的序号为________(把正确命题的序号都写上)．[解析]①正确；②错，若顺时针旋转终边落在第一象限，则为负角；③错，第二象限角不都是钝角，钝角都是第二象限角；④错，小于180°的角包括负角和零角．[答案]①2．将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是________．[解析] 时钟拨快20分钟，相当于转了13小时．因为时针转过1小时，分针转－360°，所以时针转13小时，分针转过的度数为13×(－360°)＝－120°.[答案] －120°3．写出图(1)，(2)中的角α，β，γ的度数．[解] 题干图(1)中，α＝360°－30°＝330°； 题干图(2)中，β＝－360°＋60°＋150°＝－150°；γ＝360°＋60°＋(－β)＝360°＋60°＋150°＝570°.题组二 终边相同的角与象限角4．与405°角终边相同的角是( )A ．k ·360°－45°，k ∈ZB ．k ·180°－45°，k ∈ZC ．k ·360°＋45°，k ∈ZD ．k ·180°＋45°，k ∈Z[解析] 因为405°＝360°＋45°，所以与405°终边相同的角为k ·360°＋45°，k ∈Z .[答案] C5．－435°角的终边所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] 因为－435°＝－360°－75°，而－75°为第四象限角，所以－435°为第四象限角．[答案] D6．若角α，β的终边相同，则α－β的终边在( ) A ．x 轴的非负半轴 B ．y 轴的非负半轴 C ．x 轴的非正半轴D ．y 轴的非正半轴[解析]∵角α，β终边相同，∴α＝k ·360°＋β(k ∈Z )，∴α－β＝k ·360°(k ∈Z )，故α－β的终边在x 轴的非负半轴上．[答案] A题组三 角αn，(n ∈N *)所在象限的确定7．已知α为第一象限角，则α2所在的象限是( )A ．第一象限或第二象限B ．第一象限或第三象限C ．第二象限或第四象限D ．第二象限或第三象限[解析] 由于k ·360°<α<k ·360°＋90°，k ∈Z ， 得k ·180°<α2<k ·180°＋45°，当k 为偶数时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，α2为第三象限角．[答案] B8．已知角2α的终边在x 轴的上方，那么α是( ) A ．第一象限角 B ．第一、二象限角 C ．第一、三象限角D ．第一、四角限角[解析] 由题意知k ·360°<2α<180°＋k ·360°(k ∈Z )，故k ·180°<α<90°＋k ·180°(k ∈Z )，按照k 的奇偶性进行讨论．当k ＝2n (n ∈Z )时，n ·360°<α<90°＋n ·360°(n ∈Z )，∴α在第一象限；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，180°＋n ·360°<α<270°＋n ·360°(n ∈Z )，∴α在第三象限．故α在第一或第三象限．[答案] C综合提升练(时间25分钟)一、选择题1．给出下列四个命题：①－75°角是第四象限角；②225°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－315°角是第一象限角，其中真命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[解析]①正确；②正确；③中475°＝360°＋115°，因为115°为第二象限角，所以475°也为第二象限角，正确；④中－315°＝－360°＋45°，因为45°为第一象限角，所以－315°也为第一象限角，正确．[答案] D2．终边在直线y ＝－x 上的所有角的集合是( ) A ．{α|α＝k ·360°＋135°，k ∈Z } B ．{α|α＝k ·360°－45°，k ∈Z } C ．{α|α＝k ·180°＋225°，k ∈Z } D ．{α|α＝k ·180°－45°，k ∈Z }[解析] 因为直线y ＝－x 为二、四象限角平分线，所以角终边落到第四象限可表示为k ·360°－45°＝2k ·180°－45°，k ∈Z ；终边落到第二象限可表示为k ·360°－180°－45°＝(2k －1)·180°－45°，k ∈Z ，综上可得终边在直线y ＝－x 上的所有角的集合为{α|α＝k ·180°－45°，k ∈Z }．[答案] D3．若φ是第二象限角，那么φ2和90°－φ都不是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角[解析]∵φ是第二象限角，∴k ·360°＋90°<φ<k ·360°＋180°，k ∈Z ， ∴k ·180°＋45°<φ2<k ·180°＋90°，k ∈Z ，∴φ2是第一或第三象限角，而－φ是第三象限角， ∴90°－φ是第四象限角，故选B. [答案] B 二、填空题4．与角－1560°终边相同的角的集合中，最小正角是________，最大负角是________． [解析] 由于－1560°÷360°＝－4×360°－120° 即最大负角为－120°，最小正角为240°. [答案] 240° －120°5．若α，β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝________. [解析] 由题意知，β角的终边与60°角终边相同，则β＝k ·360°＋60°，k ∈Z . [答案]k ·360°＋60°，k ∈Z 三、解答题6．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．[解] 由题意可知，α＋β＝－280°＋k ·360°，k ∈Z ，∵α，β都是锐角，∴0°<α＋β<180°. 取k ＝1，得α＋β＝80°.① ∵α－β＝670°＋k ·360°，k ∈Z .∵α，β都是锐角，∴{ 0°<α<90°－90°<－β<0°， ∴－90°<α－β<90°.取k ＝－2，得α－β＝－50°.② 由①②，得α＝15°，β＝65°.7．如图，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OB上；(2)终边落在直线OA上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．[解](1)终边落在射线OB上的角的集合为S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}．(2)终边落在直线OA上的角的集合为S2＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}．(3)终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为S3＝{α|30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}．。
高一数学必修4：高一数学必修4模块训练12答案
高一数学必修4模块训练12一.选择题：1.下列各角中与角3π终边相同的是 （ ） A.-3π B.-3000 C. 23π D.24002.角α的始边在x 轴正半轴、终边过点P （3,4）,则sin α的值为 （ ） A.34 B. 43 C. 35 D. 453. 角α的始边在x 轴正半轴、终边过点P y ）,且cos α=12，则y 的值为（ ） A.3 B. 1 C.±3 D.±14. 式子sin3000的值等于 （ ）A.12B. 2C.- 12D.- 2 5．设角α是第二象限角，且2cos 2cos αα-=，则2α角的终边在（ ） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限6．若α是第四象限角，则πα-是 （ ） A 第一象限角 B 第二象限角 C 第三象限角 D 第四象限角7. 式子sin2cos3tan4的值 （ ） A 小于0 B 大于0 C 等于0 D 不存在8. 若角α的终边落在直线x +y =0上，则ααααcos cos 1sin 1sin 22-+-的值等于（ ） A 2 B 2- C 2-或2 D 0二.填空题：9．设θ分别是第二象限角，则点)cos ,(sin θθP 落在第_________象限10．若角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系是___________三．解答题：11、已知1tan tan αα，是关于x 的方程2230x kx k -+-=的两个实根，且παπ273<<，求ααsin cos +的值12. 一个扇形OAB 的周长为20，试问：当扇形的半径和圆心角各取何值时，此扇形的面积最大？参考答案一、选择题：BDCDCCAD二、填空题：9．（四），10．（2k αβππ+=+，k ∈Z ），三、解答题： 11、解：21tan 31,2tan k k αα⋅=-=∴=±Q ，而παπ273<<，则1tan 2,tan k αα+==得tan 1α=，则sin cos 2αα==-，cos sin αα∴+=12、解：设扇形的半径为r ，则21(202)102S r r r r =-=-+ 当5r =时，S 取最大值，此时10,2l l rα===。
2021-2022学年新教材高中数学 模块综合训练课后练习(含解析)新人教B版选择性必修第一册
模块综合训练一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.“ab=4”是“直线2x+ay-1=0与直线bx+2y-2=0平行”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件两直线平行,∴斜率相等.即可得ab=4,又因为不能重合,当a=1,b=4时,满足ab=4,但是重合,故“ab=4”是“直线2x+ay-1=0与直线bx+2y-2=0平行”的必要不充分条件.2.如图,四面体S-ABC 中,D 为BC 中点,点E 在AD 上,AD=3AE ,则SE ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.13SA⃗⃗⃗⃗⃗ +12SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13SC ⃗⃗⃗⃗ B.23SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SC ⃗⃗⃗⃗ C.12SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14SC ⃗⃗⃗⃗ D.12SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SC ⃗⃗⃗⃗S-ABC 中,D 为BC 中点,点E 在AD 上,AD=3AE ,∴SE ⃗⃗⃗⃗⃗ =SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =SA⃗⃗⃗⃗⃗ +13×12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16(SC ⃗⃗⃗⃗ −SA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+16(SB ⃗⃗⃗⃗⃗ −SA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SC ⃗⃗⃗⃗ .3.圆P :(x+3)2+(y-4)2=1关于直线x+y-2=0对称的圆Q 的标准方程是( ) A.(x+2)2+(y-1)2=1 B.(x+2)2+(y-5)2=1 C.(x-2)2+(y+5)2=1 D.(x-4)2+(y+3)2=1P :(x+3)2+(y-4)2=1,圆心(-3,4),半径1,关于直线x+y-2=0对称的圆半径不变,设对称圆的圆心为(a ,b ),则{a -32+b+42-2=0,b -4a+3=1,解得{a =-2,b =5,所求圆Q 的标准方程为(x+2)2+(y-5)2=1.4.(2021新高考Ⅰ,5)已知F 1,F 2是椭圆C :x 29+y 24=1的两个焦点,点M 在C 上,则|MF 1|·|MF 2|的最大值为( )A.13B.12C.9D.6|MF 1|+|MF 2|=2a=6,则√|MF 1|·|MF 2|≤|MF 1|+|MF 2|2=3, 则|MF 1|·|MF 2|≤9,当且仅当|MF 1|=|MF 2|=3时,等号成立. 故|MF 1|·|MF 2|的最大值为9.故选C .5.坐标原点O(0,0)在动直线mx+ny-2m-2n=0上的投影为点P,若点Q(-1,-1),那么|PQ|的取值范围为()A.[√2,3√2]B.[√2,2√2]C.[2√2,3√2]D.[1,3√2]mx+ny-2m-2n=0,可化为m(x-2)+n(y-2)=0,故直线过定点M(2,2),坐标原点O(0,0)在动直线mx+ny-2m-2n=0上的投影为点P,故∠OPM=90°,所以P 在以OM为直径的圆上,圆的圆心N为(1,1),半径为√2,根据点与圆的关系,|NQ|=√(1+1)2+(1+1)2=2√2,故√2=2√2−√2≤|PQ|≤√2+2√2=3√2.6.正确使用远光灯对于夜间行车很重要.已知某家用汽车远光灯(如图)的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点处,若灯口直径是20 cm,灯深10 cm,则光源到反光镜顶点的距离是()A.2.5 cmB.3.5 cmC.4.5 cmD.5.5 cmxOy ,如图所示,设对应抛物线的标准方程为y 2=2px ,由题意知抛物线过点(10,10),得100=2p×10,得p=5,则p 2=2.5,即焦点坐标为(2.5,0), 则光源到反光镜顶点的距离是2.5cm .7.如图,四棱锥S-ABCD 中,底面是正方形,各棱长都相等,记直线SA 与直线AD 所成角为α,直线SA 与平面ABCD 所成角为β,二面角S-AB-C 的平面角为γ,则( ) A.α>β>γ B.γ>α>β C.α>γ>β D.γ>β>αAC ,BD ,交于点O ,连接OS ,则OA ,OB ,OS 两两垂直,以O 为原点,OA 为x 轴,OB 为y 轴,OS 为z 轴,建立空间直角坐标系,设|AB|=2,则S (0,0,√2),A (√2,0,0),D (0,-√2,0),B (0,√2,0),SA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0,-√2),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√2,-√2,0),SB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,-√2),cos α=|SA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||SA ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√4×√4=12,平面ABCD 的法向量n =(0,0,1),cos β=|n ·SA ⃗⃗⃗⃗⃗||n |·|SA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2√4=√22,设平面SAB 的法向量m =(x ,y ,z ),则{m ·SA ⃗⃗⃗⃗⃗=√2x -√2z =0,m ·SB ⃗⃗⃗⃗⃗=√2y -√2z =0,取x=1,得m =(1,1,1),cos γ=|m ·n ||m |·|n |=√3=√33, ∵cos α<cos γ<cos β,∴α>γ>β.8.设F 1,F 2是双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O 是坐标原点,过F 2作C 的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF 1|=√6|OP|,则C 的离心率为( ) A.√5 B.√3 C.2 D.√2|PF 2|=b ,|OF 2|=c ,∴|PO|=a.在Rt △POF 2中,cos ∠PF 2O=|PF 2||OF 2|=bc ,∵在△PF 1F 2中,cos ∠PF 2F 1=|PF 2|2+|F 1F 2|2-|PF 1|22|PF 2||F 1F 2|=bc ,∴b 2+4c 2-(√6a )22b ·2c=bc ⇒c2=3a 2,∴e=√3.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对得3分.9.(2021新高考Ⅰ,11)已知点P 在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A (4,0),B (0,2),则( ) A.点P 到直线AB 的距离小于10 B.点P 到直线AB 的距离大于2 C.当∠PBA 最小时,|PB|=3√2 D.当∠PBA 最大时,|PB|=3√2,记圆心为M ,半径为r ,则M (5,5),r=4.由条件得,直线AB 的方程为x 4+y2=1,整理得x+2y-4=0,过点M 作MN 垂直于直线AB ,垂足为N ,直线MN 与圆M 分别交于点P 1,P 2,圆心M (5,5)到直线AB 的距离|MN|=√12+22=√5,于是点P 到直线AB 的距离最小值为|P 2N|=|MN|-r=√5-4,最大值为|P 1N|=|MN|+r=√5+4. 又√5-4<2,√5+4<10,故A 正确,B 错误; 过点B 分别作圆的两条切线BP 3,BP 4,切点分别为点P 3,P 4,则当点P 在P 3处时∠PBA 最大,在P 4处时∠PBA 最小.又|BP 3|=|BP 4|=√|BM |2-r 2=√52+(5-2)2-42=3√2,故C,D 正确.故选A,C,D .10.若a =(-1,λ,-2),b =(2,-1,1),a 与b 的夹角为120°,则λ的值为( ) A.17 B.-17 C.-1 D.1a =(-1,λ,-2),b =(2,-1,1),a 与b 的夹角为120°,∴cos120°=a ·b |a |·|b |=√5+λ2·√6,解得λ=-1或λ=17.11.已知P 是椭圆C :x 26+y 2=1上的动点,Q 是圆D :(x+1)2+y 2=15上的动点,则( ) A.C 的焦距为√5B.C 的离心率为√306C.圆D 在C 的内部D.|PQ|的最小值为2√55c=√6-1=√5,则C的焦距为2√5,e=√5√6=√306.设P(x,y)(-√6≤x≤√6),则|PD|2=(x+1)2+y2=(x+1)2+1-x26=56(x+65)2+45≥45>15,所以圆D在C的内部,且|PQ|的最小值为√45−√15=√55.12.已知直线l过点P(1,0,-1),平行于向量a=(2,1,1),平面α过直线l与点M(1,2,3),则平面α的法向量可能是()A.(1,-4,2)B.(14,-1,12)C.(-14,1,-12) D.(0,-1,1),所研究平面的法向量垂直于向量a=(2,1,1)和向量PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,而PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,3)-(1,0,-1)=(0,2,4),选项A,(2,1,1)·(1,-4,2)=0,(0,2,4)·(1,-4,2)=0满足垂直,故正确;选项B,(2,1,1)·(14,-1,12)=0,(0,2,4)·(14,-1,12)=0满足垂直,故正确;选项C,(2,1,1)·(-14,1,-12)=0,(0,2,4)·(-14,1,-12)=0满足垂直,故正确;选项D,(2,1,1)·(0,-1,1)=0,但(0,2,4)·(0,-1,1)≠0,故错误.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.过点(1,√2)的直线l将圆x2+y2-4x=0分成两段弧,当劣弧所对圆心角最小时,直线l 的斜率k= .(1,√2)的直线l将圆(x-2)2+y2=4分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,就是弦长最小,就是与圆心(2,0)和点(1,√2)的连线垂直的直线,连线的斜率是√2-01-2=-√2,直线l的斜率k=√22.14.(2021新高考Ⅰ,14)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为.x=-32PF⊥x轴,∴x P=x F=p2,将x P=p2代入y2=2px,得y=±p.不妨设点P在x轴的上方,则P(p2,p),即|PF|=p.如图,由条件得,△PFO∽△QFP,∴|OF||PF|=|PF||QF|,即p2p=p6,解得p=3.故C的准线方程为x=-32.15.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AA1=AC=BC=1,则异面直线BC1与A1B1所成角为;二面角A-BC1-C的余弦值是.√33C 为原点建立如图空间直角坐标系,则A (0,1,0),B (1,0,0),C 1(0,0,1),A 1(0,1,1),B 1(1,0,1),BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1),A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,0),AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,0).由cos <BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=|√2×√2|=12,故异面直线BC 1与A 1B 1所成角为π3, 设平面ABC 1的一个法向量为m =(a ,b ,c ),由{m ·BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-a +c =0,m ·AB⃗⃗⃗⃗⃗ =a -b =0,设a=1,得m =(1,1,1),平面BC 1C 的一个法向量n =(0,1,0),cos <m ,n >=√3=√33.16.已知抛物线的方程为x 2=2py (p>0),过抛物线的焦点,且斜率为1的直线与抛物线交于A ,B 两点,|AB|=8,则p= ,M 为抛物线弧AOB⏜上的动点,△AMB 面积的最大值是 .4√2抛物线的方程为x 2=2py (p>0),过抛物线的焦点F ,且斜率为1的直线与抛物线交于A ,B 两点,故直线AB 的方程为y-p 2=x-0,即y=x+p2,且直线AB 的倾斜角为45°. 代入抛物线的方程x 2=2py ,可得x 2-2px-p 2=0.设A ,B 两点的横坐标分别为m ,n ,m<n ,由根与系数的关系可得m+n=2p ,mn=-p 2.∵|AB|=|AF|+|BF|=(yA +p2)+y B+p2=(m+p2)+p2+(n+p2)+p2=8=m+n+2p=4p=8,∴p=2,故抛物线的方程为x2=4y,直线AB为y=x+1.设与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为y=x+m,代入抛物线方程,得x2-4x-4m=0.由Δ=42+16m=0,得m=-1.与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为y=x-1,两直线间的距离为d=√2=√2,∴△AMB面积的最大值为12·|AB|·d=12×8×√2=4√2.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)求分别满足下列条件的直线l的方程.(1)已知点P(2,1),l过点A(1,3),P到l距离为1;(2)l过点P(2,1)且在x轴,y轴上截距的绝对值相等.当l斜率不存在时,l的方程为x=1,满足条件.当l斜率存在时,设l:y-3=k(x-1),即kx-y+3-k=0,由d=√k2+1=1,得k=-34,即l:3x+4y-15=0.故直线l的方程为x=1或3x+4y-15=0.(2)当直线过原点时,直线的斜率为1-02-0=12,直线l的方程为x-2y=0.当直线截距相等时,设为xa +ya=1,代入(2,1),则a=3,即x+y-3=0.当直线截距互为相反数时,设为xa +y-a=1代入(2,1),则a=1,即x-y-1=0.综上,要求的直线l 的方程为x-2y=0或x+y-3=0或x-y-1=0. 18.(12分)(2021新高考Ⅰ,21)在平面直角坐标系xOy 中,已知点F 1(-√17,0),F 2(√17,0),点M 满足|MF 1|-|MF 2|=2.记M 的轨迹为C.(1)求C 的方程;(2)设点T 在直线x=12上,过T 的两条直线分别交C 于A ,B 两点和P ,Q 两点,且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.∵|MF 1|-|MF 2|=2,且F 1(-√17,0),F 2(√17,0),∴点M的轨迹为双曲线的右支,且满足{2a =2,c =√17,c 2=a 2+b 2,∴{a 2=1,b 2=16,c 2=17.∴C 的方程为x 2-y 216=1(x ≥1).(2)设T (12,m),显然直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率都存在.设直线AB 的方程为y=k 1(x -12)+m ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 由{y =k 1(x -12)+m ,16x 2-y 2=16,得16x 2-k 12(x 2-x +14)+2k 1m (x -12)+m2=16,即(16-k 12)x 2+(k 12-2k 1m )x-14k 12+k 1m-m 2-16=0. ∴|TA|·|TB|=(1+k 12)x 1-12x 2-12=(1+k 12)x 1x 2-12(x 1+x 2)+14=(1+k 12)k 1m -14k 12-m 2-1616-k 12−12·2k 1m -k 1216-k 12+14=(1+k 12)-m 2-1216-k 12=(1+k 12)·m 2+12k 12-16.设k PQ =k 2,同理可得|TP|·|TQ|=(1+k 22)·m 2+12k 22-16. ∵|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,∴(1+k 12)·m 2+12k 12-16=(1+k 22)·m 2+12k 22-16. ∴k 22-16k 12=k 12-16k 22.∴k 12=k 22.∵k 1≠k 2,∴k 1=-k 2. ∴k 1+k 2=0.19.(12分)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)过点A (-2,0),点B 为其上顶点,且直线AB 的斜率为√32.(1)求椭圆C 的方程;(2)设P 为第四象限内一点且在椭圆C 上,直线PA 与y 轴交于点M ,直线PB 与x 轴交于点N ,求证:四边形ABNM 的面积是定值.,设直线AB :y-0=√32(x+2),令x=0,则y=√3,于是B (0,√3), 所以a=2,b=√3, 故椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(2)设P (x 0,y 0)(x 0>0,y 0<0),且3x 02+4y 02=12,又A (-2,0),B (0,√3),所以直线AP :y -0y 0-0=x+2x 0+2,令x=0,y M =2y 0x 0+2,则|BM|=√3-y M =√3−2y 0x 0+2=√3x 0+2√3-2y 0x 0+2. 直线BP :√3y -√3=x -0x 0-0,令y=0,x N =√3x 0y -√3,则|AN|=2+x N=2+√3x0y-√3=0√3-√3x0y-√3.所以四边形ABNM的面积为S=12|BM|·|AN|=1 2×√3x0+2√3-2y0x0+2×0√3-√3x0y-√3=0202√3x000√3y02(x y-√3x+2y-2√3)=√3(00√3x00√3)2(λy-√3x+2y-2√3)=2√3,所以四边形ABNM的面积为定值2√3.20.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠ABC=120°,PA=PC,PB=PD,AC∩BD=O.(1)证明:PO⊥平面ABCD;(2)若PA与平面ABCD所成的角为30°,求二面角B-PC-D的余弦值.四边形ABCD是菱形,∴O为AC,BD的中点.又PA=PC,PB=PD,∴PO⊥AC,PO⊥BD.∵AC∩BD=O,且AC,BD⊂平面ABCD,∴PO⊥平面ABCD.ABCD的边长为2t(t>0).∵∠ABC=120°,∴∠BAD=60°,∴OA=√3t.由(1)知PO ⊥平面ABCD ,∴PA 与平面ABCD 所成的角为∠PAO=30°,得到PO=t ,建立如图所示的空间直角坐标系,则B (0,t ,0),C (-√3t ,0,0),P (0,0,t ),D (0,-t ,0),得到BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-t ,t ),CP⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3t ,0,t ). 设平面PBC 的法向量n 1=(x 1,y 1,z 1),平面PCD 的法向量n 2=(x 2,y 2,z 2).则{n 1·BP ⃗⃗⃗⃗⃗=0,n 1·CP ⃗⃗⃗⃗⃗=0,即{-ty 1+tz 1=0,√3tx 1+tz 1=0.令x=1,则y=z=-√3,得到n 1=(1,-√3,-√3). 同理可得n 2=(1,√3,-√3),所以|cos <n 1,n 2>|=|n 1·n 2||n 1||n 2|=17.因为二面角B-PC-D 为钝二面角,则余弦值为-17.21.(12分)在平面直角坐标系xOy 中,曲线Γ:y=x 2-mx+2m (m ∈R )与x 轴交于不同的两点A ,B ,曲线Γ与y 轴交于点C.(1)是否存在以AB 为直径的圆过点C ?若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由. (2)求证:过A ,B ,C 三点的圆过定点,并求出该定点的坐标.由曲线Γ:y=x 2-mx+2m (m ∈R ),令y=0,得x 2-mx+2m=0. 设A (x 1,0),B (x 2,0),则可得Δ=m 2-8m>0,x 1+x 2=m ,x 1x 2=2m. 令x=0,得y=2m ,即C (0,2m ).若存在以AB 为直径的圆过点C ,则AC⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得x 1x 2+4m 2=0,即2m+4m 2=0, 所以m=0或m=-12.由Δ>0,得m<0或m>8,所以m=-12,此时C (0,-1),AB 的中点M (-14,0)即圆心,半径r=|CM|=√174.故所求圆的方程为(x +14)2+y 2=1716. (2)设过A ,B ,C 的圆P 的方程为(x-a )2+(y-b )2=r 2满足{(x 1-a )2+b 2=r 2,(x 2-a )2+b 2=r 2,a 2+(2m -b )2=r 2,x 1x 2=2m ,x 1+x 2=m⇒{ a =m2,r 2=5m 24-m +14,b =m +12,代入P 得(x -m 2)2+y-m-122=5m 24-m+14,展开得(-x-2y+2)m+x 2+y 2-y=0, 当{-x -2y +2=0,x 2+y 2-y =0,即{x =0,y =1或{x =25,y =45时方程恒成立, ∴圆P 方程恒过定点(0,1)或(25,45).22.(12分)某高速公路隧道设计为单向三车道,每条车道宽4米,要求通行车辆限高5米,隧道全长1.5千米,隧道的断面轮廓线近似地看成半个椭圆形状(如图所示).(1)若最大拱高h 为6米,则隧道设计的拱宽l 至少是多少米?(结果取整数)(2)如何设计拱高h 和拱宽l ,才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小?(结果取整数) 参考数据:√11≈3.3,椭圆的面积公式为S=πab ,其中a ,b 分别为椭圆的长半轴和短半轴长.建立直角坐标系xOy如图所示,则点P(6,5)在椭圆x2a2+y2b2=1上,将b=h=6与点P(6,5)代入椭圆方程,得a=√11,此时l=2a=√11≈21.8,因此隧道设计的拱宽l至少是22米.(2)由椭圆方程x2a2+y2b2=1,得36a2+25b2≤1,因为1≥36a2+25b2≥2×6×5ab,即ab≥60,S=πab2≥30π,当且仅当6a=5b时,等号成立.由于隧道长度为1.5千米,故隧道的土方工程量V=1.5S≥45π,当V取得最小值时,有6a =5b,且ab=60,得a=6√2,b=5√2,此时l=2a=12√2≈16.97,h=b≈7.07.①若h=b=8,此时l=2a=17,此时V1=3πab4=3×17×8π8=51π,②若h=b=7,此时l=2a=18,此时V2=3πab4=3×9×7π4=47.25π,因为V1>V2,故当拱高为7米、拱宽为18米时,土方工程量最小.。
高一数学(必修一)《第四章-指数函数与对数函数》练习题及答案解析-人教版
高一数学(必修一)《第四章 指数函数与对数函数》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．某超市宣传在“双十一”期间对顾客购物实行一定的优惠，超市规定：①如一次性购物不超过200元不予以折扣；②如一次性购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；③如一次性购物超过500元的，其中500元给予9折优惠，超过500元的部分给予八五折优惠.某人两次去该超市购物分别付款176元和441元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款（ ）A ．608元B ．591.1元C ．582.6元D ．456.8元2．德国天文学家，数学家开普勒（J. Kepier ，1571—1630）发现了八大行星的运动规律：它们公转时间的平方与离太阳平均距离的立方成正比．已知天王星离太阳平均距离是土星离太阳平均距离的2倍，土星的公转时间约为10753d ．则天王星的公转时间约为（ ）A ．4329dB ．30323dC ．60150dD ．90670d3．函数()f x = ）A ．()1,0-B ．(),1-∞-和()0,1C ．()0,1D ．(),1-∞-和()0,∞+4．将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a （元/个）的取值范围应是（ ）A ．90100a <<B ．90110a <<C ．100110a <<D ．80100a <<5．某市工业生产总值2018年和2019年连续两年持续增加，其中2018年的年增长率为p ，2019年的年增长率为q ，则该市这两年工业生产总值的年平均增长率为（ ）A ．2p q +；B ．()()1112p q ++-；C ；D 1．6．某污水处理厂为使处理后的污水达到排放标准，需要加入某种药剂，加入该药剂后，药剂的浓度C （单位：3mg/m ）随时间t （单位：h ）的变化关系可近似的用函数()()()210010419t C t t t t +=>++刻画．由此可以判断，若使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过（ ）A ．3hB ．4hC ．5hD ．6h7．某同学参加研究性学习活动，得到如下实验数据：以下函数中最符合变量y 与x 的对应关系的是（ ）A ．129y x =+B ．245y x x =-+C ．112410x y =⨯- D ．3log 1y x =+ 8．某种植物生命力旺盛，生长蔓延的速度越来越快，经研究，该一定量的植物在一定环境中经过1个月，其覆盖面积为6平方米，经过3个月，其覆盖面积为13.5平方米，该植物覆盖面积y (单位：平方米)与经过时间x (x ∈N )(单位：月)的关系有三种函数模型x y pa =(0p >，1a >)､log a y m x =(0m >，1a >)和y nx α=(0n >，01α<<)可供选择，则下列说法正确的是（ ）A ．应选x y pa =(0p >，1a >)B ．应选log a y m x =(0m >，1a >)C ．应选y nx α=(0n >，01α<<)D ．三种函数模型都可以9．已知函数()21,1,8, 1.x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩若()8f x =，则x =（ ） A ．3-或1 B ．3- C ．1 D ．310．函数e 1()sin 2e 1x x f x x +=⋅-的部分图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．二、填空题11．2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京开幕．研讨会聚焦于5G 的持续创新和演进、信息通信的未来技术前瞻与发展、信息通信技术与其他前沿科技的融合创新．香农公式2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N 叫作信噪比．若不改变信道带宽W ，而将信噪比S N从11提升至499，则最大信息传递速率C 大约会提升到原来的______倍（结果保留1位小数）．（参考数据：2log 3 1.58≈和2log 5 2.32≈）12．已测得(,)x y 的两组值为(1,2)和(2,5)，现有两个拟合模型，甲21y x =+，乙31y x =-.若又测得(,)x y 的一组对应值为(3,10.2)，则选用________作为拟合模型较好．13．半径为1的半圆中，作如图所示的等腰梯形ABCD ，设梯形的上底2BC x =，则梯形ABCD 的最长周长为_________．三、解答题14．如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD ，已知院墙MN 长为25米，篱笆长50米（篱笆全部用完），设篱笆的一面AB 的长为x 米．(1)当AB 的长为多少米时，矩形花园的面积为300平方米？(2)若围成的矩形ABCD 的面积为 S 平方米，当 x 为何值时， S 有最大值，最大值是多少？15．以贯彻“节能减排，绿色生态”为目的，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (百元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为212800200y x x =-+． (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（提示：平均处理成本为y x） (2)该单位每月处理成本y 的最小值和最大值分别是多少百元？ 16．如图，以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系O xyz -，点P 在线段AB 上，点Q 在线段DC 上．(1)当2PB AP =，且点P 关于y 轴的对称点为M 时，求PM ；(2)当点P 是面对角线AB 的中点，点Q 在面对角线DC 上运动时，探究PQ 的最小值．17．经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X （单位： t ，100150)X ）表示下一个销售季度内的市场需求量，T （单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T 表示为X 的函数；(2)根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若需求量[100X ∈，110），则取105X =，且105X =的概率等于需求量落入[100，110)的频率），求T 的分布列．18．为发展空间互联网，抢占6G 技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入()0a a >万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x 名（*x ∈N 且4575x ≤≤），调整后研发人员的年人均投入增加4x %，技术人员的年人均投入调整为275x a m ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元. (1)要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？(2)是否存在实数m 同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.19．某公司今年年初用81万元收购了一个项目，若该公司从第1年到第x （N x +∈且1x >）年花在该项目的其他费用（不包括收购费用）为()20x x +万元，该项目每年运行的总收入为50万元．(1)试问该项目运行到第几年开始盈利？(2)该项目运行若干年后，公司提出了两种方案：①当盈利总额最大时，以56万元的价格卖出；②当年平均盈利最大时，以92万元的价格卖出．假如要在这两种方案中选择一种，你会选择哪一种？请说明理由．20．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5％．已知在过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为0ekt P P -=⋅（k 为常数，0P 为原污染物总量）．若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80％，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤n 小时，求正整数n 的最小值．21．某科技企业生产一种电子设备的年固定成本为600万元，除此之外每台机器的额外生产成本与产量满足一定的关系式.设年产量为x （0200x <，N x ∈）台，若年产量不足70台，则每台设备的额外成本为11402y x =+万元；若年产量大于等于70台不超过200台，则每台设备的额外成本为2264002080101y x x =+-万元.每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完.(1)写出年利润W （万元）关于年产量x （台）的关系式；(2)当年产量为多少台时，年利润最大，最大值为多少？22．为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，决定近期投放市场，根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价y （单位：元）与上市时间x （单位：天）的数据如下表：(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述每枚该纪念章的市场价y 与上市时间x 的变化关系并说明理由：①(0)y ax b a =+≠，②()20y ax bx c a =++≠，③()log 0,0,1b y a x a b b =≠>≠，④(0)a y b a x=+≠； (2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低市场价；(3)利用你选取的函数，若存在()10,x ∈+∞，使得不等式()010f x k x -≤-成立，求实数k 的取值范围．四、多选题23．函数()()22x x af x a R =+∈的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．五、双空题24．某种病毒经30分钟可繁殖为原来的2倍,且已知病毒的繁殖规律为y=e kt (其中k 为常数;t 表示时间,单位:小时;y 表示病毒个数),则k=____,经过5小时,1个病毒能繁殖为____个.25．已知长为4，宽为3的矩形，若长增加x ，宽减少2x ，则面积最大，此时x ＝__________，面积S ＝__________.参考答案与解析1．【答案】B【分析】根据题意求出付款441元时的实际标价，再求出一次性购买实际标价金额商品应付款即可.【详解】由题意得购物付款441元，实际标价为10441=4909元 如果一次购买标价176+490=666元的商品应付款5000.9+1660.85=591.1元.故选：B.2．【答案】B【分析】设天王星和土星的公转时间为分别为T 和T '，距离太阳的平均距离为r 和r '，根据2323T r T r =''2r r '= 结合已知条件即可求解.【详解】设天王星的公转时间为T ，距离太阳的平均距离为r土星的公转时间为T '，距离太阳的平均距离为r '由题意知2r r '= 10753T d '= 所以323238T r r T r r ⎛⎫=== ⎪'''⎝⎭所以1075310753 2.82830409.484T d '==≈⨯=故选：B.3．【答案】B【分析】分别讨论0x ≥和0x <，利用二次函数的性质即可求单调递减区间.【详解】当0x ≥时()f x 210x -+≥解得11x -≤≤，又21y x =-+为开口向下的抛物线，对称轴为0x =，此时在区间()0,1单调递减当0x <时()f x == ()21y x =+为开口向上的抛物线，对称轴为1x =-，此时在(),1-∞-单调递减综上所述：函数()f x =(),1-∞-和()0,1.故选：B.4．【答案】A【分析】首先设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元，结合条件列式，根据0y >，求x 的取值范围，即可得到a 的取值范围.【详解】设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元则290,(10)(40020)1040020200a x y x x x x =+=+⋅--⨯=-+.要使商家利润有所增加，则必须使0y >，即2100x x -<，得010,9090100x x <<∴<+<，所以a 的取值为90100a <<.故选：A5．【答案】D【分析】设出平均增长率，并根据题意列出方程，进行求解【详解】设该市2018、2019这两年工业生产总值的年平均增长率为x ，则由题意得：()()()2111x p q +=++解得11x =，21x =因为20x <不合题意，舍去 故选D ．6．【答案】A【分析】利用基本不等式求最值可得．【详解】依题意，0t >，所以11t +>所以()()()()()()221001100110010010164191012116121t t C t t t t t t t ++===≤==++++++++++ 当且仅当1611t t +=+，即t ＝3时等号成立，故由此可判断，若使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过3h ．故选：A ．7．【答案】D 【分析】结合表格所给数据以及函数的增长快慢确定正确选项.【详解】根据表格所给数据可知，函数的增长速度越来越慢A 选项，函数129y x =+增长速度不变，不符合题意. BC 选项，当3x ≥时，函数245y x x =-+、112410x y =⨯-增长越来越快，不符合题意. D 选项，当3x ≥时，函数3log 1y x =+的增长速度越来越慢，符合题意.故选：D8．【答案】A【解析】根据指数函数和幂函数的增长速度结合题意即可得结果.【详解】该植物生长蔓延的速度越来越快，而x y pa =(0p >，1a >)的增长速度越来越快 log a y m x =(0m >，1a >)和y nx α=(0n >，01α<<)的增长速度越来越慢故应选择x y pa =(0p >，1a >).故选：A.9．【答案】B【分析】根据分段函数的解析式，分段求解即可.【详解】根据题意得x ≤1x2−1=8或188x x >⎧⎨=⎩ 解得3,x =-故选：B10．【答案】B【分析】结合图象，先判断奇偶性，然后根据x 趋近0时判断排除得选项.【详解】解：()e 1sin 2e 1x x f x x +=⋅-的定义域为()(),00,∞-+∞()()()e 1e 1sin 2sin 2e 1e 1x x x xf x x x f x --++-=⋅-=⋅=⎡⎤⎣⎦-- ()f x ∴是偶函数，排除A ，C . 又0x >且无限接近0时，101x x e e +>-且sin 20x >，∴此时()0f x >，排除D故选：B .11．【答案】2.5【分析】设提升前最大信息传递速率为1C ，提升后最大信息传递速率为2C ，根据题意求出21C C ，再利用指数、对数的运算性质化简计算即可【详解】设提升前最大信息传递速率为1C ，提升后最大信息传递速率为2C ，则由题意可知()122log 111log 12C W W =+= ()222log 1499log 500C W W =+= 所以()()232322222222122222log 25log 500log 2log 523log 523 2.328.96 2.5log 12log 2log 32log 32 1.58 3.58log 23C W C W ⨯+++⨯====≈=≈+++⨯所以最大信息传递速率C 会提升到原来的2.5倍．故答案为：2.512．【答案】甲【分析】将3x =分别代入甲乙两个拟合模型计算，即可判断.【详解】对于甲：3x =时23110y =+=，对于乙：3x =时8y =因此用甲作为拟合模型较好．故答案为：甲13．【答案】5【分析】计算得出AB CD ==ABCD 的周长为y，可得出22y x =++()0,1t，可得出224y t =-++，利用二次函数的相关知识可求得y 的最大值.【详解】过点B 、C 分别作BE AD ⊥、CF AD ⊥垂足分别为E 、F则//BE CF ，//BC EF 且90BEF ∠=，所以，四边形BCFE 为矩形所以2EF BC x ==AB CD =，BAE CDF ∠=∠和90AEB DFC ∠=∠= 所以，Rt ABE Rt DCF ≅所以12AD EF AE DF x -===-，则OF OD DF x =-= CF =AB CD ∴===设梯形ABCD 的周长为y ，则2222y x x =++=++其中01x <<令()0,1t =，则21x t =-所以()2222212425y t t t ⎛=+-+=-++=-+ ⎝⎭所以，当t =y 取最大值，即max 5y =. 故答案为：5.【点睛】思路点睛：解函数应用题的一般程序：第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．14．【答案】(1)15米；(2)当 x 为12.5米时， S 有最大值，最大值是312.5平方米.【分析】（1）设篱笆的一面AB 的长为 x 米，则(502)m BC x =-，根据“矩形花园的面积为300平方米”列一元二次方程，求解即可；（2）根据题意，可得(502)S x x =-，根据二次函数最值的求法求解即可．（1）设篱笆的一面AB 的长为 x 米，则(502)m BC x =-由题意得(502)300x x -=解得1215,10x x ==50225x -≤12.5x ∴≥15x ∴=所以，AB 的长为15米时，矩形花园的面积为300平方米；（2）由题意得()()22502250212.5312.5,12.525S x x x x x x =-=-+=--+≤<12.5x ∴=时， S 取得最大值，此时312.5S =所以，当 x 为12.5米时， S 有最大值，最大值是312.5平方米．15．【答案】(1)400吨 (2)最小值800百元，最大值1400百元【分析】（1）求出平均处理成本的函数解析式，利用基本不等式求出最值；（2）利用二次函数单调性求解最值.（1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为18002200y x x x =+-，显然[]400,600x ∈由基本不等式得：1800222200y x x x =+-≥= 当且仅当1800200x x =，即400x =时，等号成立 故每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低；（2）212800200y x x =-+ 对称轴220012200x -=-=⨯ 函数212800200y x x =-+在[400，600]单调递增 当400x =时，则2min 14002400800800200y =⨯-⨯+= 当600x =时，则2max 160026008001400200y =⨯-⨯+= 答：该单位每月处理成本y 的最小值800百元，最大值1400百元.16．【答案】【分析】（1）根据空间直角坐标系写出各顶点的坐标，再由2PB AP =求得121,,33OP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得到P 与M 的坐标，再利用两点距离公式求解即可；（2）由中点坐标公式求得111,,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再根据题意设点(,1,)Q a a ，最后利用两点间的距离公式与一元二次函数配方法求PQ 的最小值.（1）所以()22211222131133333PM ⎛⎫⎛⎫=++-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）因为点P 是面对角线AB 的中点，所以111,,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，而点Q 在面对角线DC 上运动，故设点(,1,)Q a a[0,1]a ∈则(PQ a ===[0,1]a ∈所以当34a =时，PQ 取得最小值33,1,44Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 17．【答案】(1)80039000,[100,130)65000,[130,150]X X T X -∈⎧=⎨∈⎩(2)0.7(3)59400 【分析】（1）由题意先分段写出，当[100x ∈，130)和[130x ∈，150)时的利润值，利用分段函数写出即可；（2）由（1）知，利润T 不少于57000元，当且仅当120150x ，再由直方图知需求量[120X ∈，150]的频率为0.7，由此估计得出结论；（3）先求出利润与X 的关系，再利用直方图中的频率计算利润分布列，最后利用公式求其数学期望．（1）解：由题意得，当[100X ∈，130)时500300(130)80039000T X X X =--=-当[130X ∈，150]时50013065000T =⨯=80039000,[100,130)65000,[130,150]X X T X -∈⎧∴=⎨∈⎩（2）解：由（1）知，利润T 不少于57000元，当且仅当120150X ．由直方图知需求量[120X ∈，150]的频率为0.7所以下一个销售季度的利润T 不少于57000元的概率的估计值为0.7；（3）解：由题意及（1）可得：所以T 的分布列为：18．【答案】(1)最多有75人 (2)存在 7m =【分析】（1）根据题目要求列出方程求解即可得到结果（2）根据题目要求①先求解出m 关于x 的取值范围，再根据x 的取值范围求得m 的取值范围，之后根据题目要求②列出不等式利用基本不等式求解出m 的取值范围，综上取交集即可 （1）依题意可得调整后研发人员有()100x -人，年人均投入为()14%x a +万元则()()10014%100x x a a -+≥，解得075x ≤≤.又4575x ≤≤，*x ∈N 所以调整后的奇数人员最多有75人.（2）假设存在实数m 满足条件.由条件①，得225x a m a ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，得2125x m ≥+. 又4575x ≤≤，*x ∈N 所以当75x =时，2125x +取得最大值7，所以7m ≥. 由条件②，得()()210014%25x x x a a m x ⎛⎫-+≥- ⎪⎝⎭，不等式两边同除以ax 得1002112525x x m x ⎛⎫⎛⎫-+≥- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得100325x m x ≤++因为10033725x x ++≥=，当且仅当10025x x =，即50x =时等号成立，所以7m ≤. 综上，得7m =.故存在实数m 为7满足条件.19．【答案】(1)第4年 (2)选择方案②，理由见解析【分析】（1）设项目运行到第x 年的盈利为y 万元，可求得y 关于x 的函数关系式，解不等式0y >可得x 的取值范围，即可得出结论；（2）计算出两种方案获利，结合两种方案的用时可得出结论.（1）解：设项目运行到第x 年的盈利为y 万元则()25020813081=-+-=-+-y x x x x x由0y >，得230810x x -+<，解得327x <<所以该项目运行到第4年开始盈利．（2）解：方案①()22308115144=-+-=--+y x x x当15x =时，y 有最大值144．即项目运行到第15年，盈利最大，且此时公司的总盈利为14456200+=万元方案②818130303012y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+≤- ⎪⎝⎭ 当且仅当81x x=，即9x =时，等号成立． 即项目运行到第9年，年平均盈利最大，且此时公司的总盈利为12992200⨯+=万元.综上，两种方案获利相等，但方案②时间更短，所以选择方案②．20．【答案】10【分析】由题可得()400180%e k P P --=，求得ln 54k =，再由000.5%e kt P P -≥可求解. 【详解】由题意，前4个小时消除了80％的污染物因为0e kt P P -=⋅，所以()400180%ek P P --= 所以40.2e k -=，即4ln0.2ln5k -==-，所以ln 54k =则由000.5%e kt P P -≥，得ln 5ln 0.0054t ≥- 所以4ln 20013.2ln 5t ≥≈ 故正整数n 的最小值为14410-=．21．【答案】(1)2**160600,070,N 264001480,70200,N x x x x W x x x x ⎧-+-<<∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+∈ ⎪⎪⎝⎭⎩；(2)当年产量为80台时，年利润最大，最大值为1320万元.【分析】（1）根据题意，分段表示出函数模型，即可求解；（2）根据题意，结合一元二次函数以及均值不等式，即可求解.（1）当070x <<，*N x ∈时 211100406006060022W x x x x x ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭； 当70200x ≤≤，*N x ∈时26400208064001001016001480W x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∴.2**160600,070,N 264001480,70200,N x x x x W x x x x ⎧-+-<<∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+∈ ⎪⎪⎝⎭⎩； （2）①当070x <<，*N x ∈时 221160600(60)120022W x x x =-+-=--+ ∴当60x =时，y 取得最大值，最大值为1200万元.②当70200x ≤≤，*N x ∈时6400148014801320W x x ⎛⎫=-+≤- ⎪⎝⎭ 当且仅当6400x x =，即80x =时，y 取得最大值1320∵13201200>∴当年产量为80台时，年利润最大，最大值为1320万元.22．【答案】(1)选择()20y ax bx c a =++≠，理由见解析(2)当该纪念章上市10天时，市场价最低，最低市场价为每枚70元(3)k ≥【分析】(1)由表格数据分析变量x 与变量y 的关系，由此选择对应的函数关系；(2)由已知数据求出函数解析式，再结合函数性质求其最值；(3)不等式可化为()17010210x k x -+≤-，由条件可得()min 17010210x k x ⎡⎤-+≤⎢⎥-⎣⎦，利用函数的单调性求()17010210y x x =-+-的最小值，由此可得k 的取值范围． （1）由题表知，随着时间x 的增大，y 的值随x 的增大，先减小后增大，而所给的函数(0)y ax b a =+≠ ()log 0,0,1b y a x a b b =≠>≠和(0)a y b a x =+≠在(0,)+∞上显然都是单调函数，不满足题意，故选择()20y ax bx c a =++≠．（2）得42102,36678,40020120,a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩∴当10x =时，y 有最小值，且min 70y =．故当该纪念章上市10天时，市场价最低，最低市场价为每枚70元．（3）令()()()1701010210f x g x x x x ==-+--(10,)x ∞∈+因为存在()10,x ∈+∞，使得不等式()0g x k -≤成立则()min k g x ≥．又()()17010210g x x x =-+-在(10,10+上单调递减，在()10++∞上单调递增 ∴当10x =+()g x取得最小值，且最小值为(10g +=∴k ≥23．【答案】ABD【解析】根据函数解析式的形式，以及图象的特征，合理给a 赋值，判断选项.【详解】当0a =时()2x f x =，图象A 满足； 满足；图象C 过点()0,1，此时0a =，故C 不成立.故选：ABD【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.24．【答案】2ln2 1024【详解】当t=0.5时,y=2,∴2=12e k ,∴k=2ln 2,∴y=e 2t ln 2 当t=5时,y=e 10ln 2=210=1 024.25．【答案】1 1212【详解】S ＝(4＋x) 32x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－22x ＋x ＋12＝－12 (x 2－2x)＋12＝－12 (x －1)2＋252. 当x ＝1时，S max ＝252,故填1和252.。
高一数学必修4模块训练10答案
高一数学必修4模块训练10一.选择题：1、设34sin ,cos 55α=-α=，那么下列的点在角α的终边上的是（ ） （A ） （4，－3） （B ） (－4,3) (C) (3,－4) (D) (－3,4) 2、与向量a =（12，5）平行的单位向量为（ ）A ．125,1313⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．125,1313⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．125125,,13131313⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或D ．125125,,13131313⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或 3、已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的中心角的弧度数是（ ）A ．1B 、4C 、1或4D 、2或44、将函数))(6sin(R x x y ∈+=π的图象上所有的点向左平行移动4π个单位长度，再把图象上各点的横坐标 扩大到到原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的解析式为（）A 、))(1252sin(R x x y ∈+=πB 、))(1252sin(R x x y ∈+=πC 、))(122sin(R x x y ∈-=πD 、))(2452sin(R x x y ∈+=π 5、已知D 、E 、F 分别是△ABC 三边，AB 、BC 、CA 的中点，则()BF DE FD BF AB ⋅+⋅的值为（ ） （A ） 2 （B ） 1 （C ）12 (D) 136、如右图所示，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 边中点，CE 与AF 交于点H ，设a AB =，b BC =，则等于（ ）A ．b a 5452-B ．b a 5452+ C ．b a 5452+- D ．b a 5452-- 7、若sin cos αβ=，22ππα-<<，0βπ<<，则αβ+值为（ ） （A ） 32π （B ） π （C ） 2π （D ） 0 8、定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()2(x f x f =+且)(x f 在]2,3[--上是减函数，又βα,是锐角三角形的两个内角，则（ ）A 、)(cos )(sin βαf f >B 、)(cos )(sin βαf f <C 、)(sin )(sin βαf f >D 、)(cos )(cos βαf f < 二.填空题：9、已知正方形ABCD 的边长为1，设,,,c a ===则c b a +-的模为10、下面给出的四个命题：①若a b ⊥，则2()a b a b ⋅=⋅②若//,//a b b c ，则//a c③若,a b 的夹角为θ，那么sin 0θ> ④对一切向量,a b ，都有22||()a b a b +=+成立，正确的命题的序号为_______（将所有正确命题都填上）.三．解答题：11、设,i j 是直角坐标系中，x 轴、y 轴正方向上的单位向量，设a (m 1)i 3j =+- b i (m 1)j =+-(1)若(()()a b a b +⊥-,求m .(2)若3m =时，求,a b 的夹角θ的余弦值.(3)是否存在实数m ，使//a b ，若存在求出m 的值，不存在说明理由.12. 设、是两个不共线的非零向量（R t ∈） （1）记),(31,,t +===那么当实数t 为何值时，A 、B 、C 三点共线？ （2）若 1201||||夹角为与且b a b a ==，那么实数x 为何值时||b x a -的值最小？参考答案一、选择题：ACCBCBCB二、填空题：9．3； 10．①④；三、解答题： 11、解：（1）2-=m ；（2）552cos -=θ；（3）m 不存在；12、解： （1）t=21 （2）当21-=x 时，||x -的值最小。
高一数学必修4模块训练1答案
高一数学必修4模块训练1一.选择题：1．－215°是 （ B ）（A ）第一象限角 （B ）第二象限角（C ）第三象限角 （D ）第四象限角2．角α的终边过点P （4，－3），则αcos 的值为 （ C ）（A ）4 （B ）－3 （C ）54（D ）53-3．若0cos sin <αα，则角α的终边在 （ C ）（A ）第二象限 （B ）第四象限 （C ）第二、四象限 （D ）第三、四象限4．函数x x y 22sin cos -=的最小正周期是 （ A ）（A ）π （B ）2π（C ）4π（D ）π25．给出下面四个命题：① 0=+BA AB ；②AC C =+B AB ；③BC AC =－AB ； ④00=⋅。
其中正确的个数为 （ B ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个6．向量)2,1(-=a ，)1,2(=b ，则 （ B ）（A ）∥ （B ）⊥（C ）与的夹角为60° （D ）与的夹角为30°7. 在下面给出的四个函数中，既是区间)2,0(π上的增函数，又是以π为周期的偶函数的是(D )（A ）x y 2cos = （B ）x y 2sin = （C ）|cos |x y = （D ）|sin |x y =8.若a =(2,1)，=(3,4)，则向量在向量方向上的投影为（ B ）（A ）52 （B ）2 （C ）5 （D ）10二.填空题：9．已知点A （2，－4），B （－6,2），则AB 的中点M 的坐标为 （－2，－1） ；10．若21tan =α，则ααααcos 3sin 2cos sin -+= －3 ；三．解答题：11．求值：（1）)623tan(π-； （2）︒75sin 解：（1）336tan )64tan()623tan(==+-=-ππππ （2）原式=︒︒+︒︒=︒+︒30sin 45cos 30cos 45sin )3045sin(=42621222322+=⨯+⨯12．设)1,3(=，)2,1(-=，⊥，∥，试求满足 =+的的坐标（O 为坐标原点）。
高一数学必修4模块训练11答案
高一数学必修4模块训练11一.选择题：1.O 为平面中一定点，动点P 在A 、B 、C 三点确定嘚平面内且满足（OA OP -）·（AC AB -）=0，则点P 嘚轨迹一定过△ABC 嘚（ ）A.外心B.内心C.重心D.垂心2．设向量,,a b c 满足0a b c ++=,,||1,||2a b a b ⊥==,则2||c =（ ）A ．1B ．2C ．4D ．53．若向量a =（1，1），b =（1，－1），c =（－1，－2），则c =（ ）A ．1322a b --B ．1322a b -+C ．3122a b -D ．3122a b -+ 4．在ABC ∆中，6cos 4sin 3=+B A ，1sin 4cos 3=+B A ，那么C ∠嘚大小为__6π_________． 5. △ABC 中三个内角为A 、B 、C ，若关于x 嘚方程22cos cos cos 02C x x A B --=有一根为1，则△ABC 一定是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形6．设OA =a ，OB =b ，OC =c ，当(),λμλμ=+∈R c a b ，且1λμ+=时，点C 在（ ）A ．线段AB 上 B ．直线AB 上C ．直线AB 上，但除去A 点D ．直线AB 上，但除去B 点7．函数y ＝cos(4π－2x)嘚单调递增区间是 （ ） A ．[kπ＋8π，kπ＋85π] B ．[kπ－83π，kπ＋8π] C ．[2kπ＋8π，2kπ＋85π] D．[2kπ－83π，2kπ＋8π]（以上k∈Z） 8．已知()20πα∈，，()2πβπ∈，，且sin sin αβ>，则α与β嘚关系是（ ） A ．20πβα<<<B ．2παβπ<+<C ．32ππαβ<+<D ．322παβπ<+<9. 已知33cos ,,tan 524πθπθπθ⎛⎫=-<<- ⎪⎝⎭且则= . 10．在△ABC 中，已知15,3,5,4AB CA AB AC BAC ⋅===∠则= . 三．解答题：11、（1）已知2tan -=α，且α是第二象限嘚角,求αsin 和αcos ;（2）已知044513<<-⎛⎝ ⎫⎭⎪=x x ππ,sin ,求cos cos 24x x π+⎛⎝ ⎫⎭⎪嘚值.12. 已知函数25()5sin cos 53cos 32f x x x x =-+（其中x ∈R ），求： (1)函数()f x 嘚最小正周期;(2)函数()f x 嘚单调区间;(3)函数()f x 图象嘚对称轴和对称中心．参考答案DDDABBBB 二、填空题：9. 1710.23π三、解答题：11、(1)255sin,cos55αα==-(2)241312、解：(1)π(2)增区间：5,1212k kππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，减区间：511,1212k kππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，其中k∈Z(3)对称轴方程：5,212kxππ=+对称中心：,026kππ⎛⎫+⎪⎝⎭，其中k∈Z。
人教版高一数学必修四测试题(含详细答案)
高一数学试题（必修4）（特别适合按14523顺序的省份）必修4 第一章三角函数(1)一、选择题：1.已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（）A．B=A∩C B．B∪C=C C．AC D．A=B=C2 等于（）A B C D3.已知的值为（）A．－2 B．2 C．D．－4．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是（）A.y=sin2xB.y=cos C .sin2x+cos2x D. y=5 若角的终边上有一点，则的值是（）A B C D6．要得到函数y=cos()的图象，只需将y=sin的图象（）A．向左平移个单位 B.同右平移个单位C．向左平移个单位 D.向右平移个单位7．若函数y=f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再将整个图象沿x轴向左平移个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到函数y=sinx的图象则y=f(x)是（）A．y= B.y=C.y=D.8. 函数y=sin(2x+)的图像的一条对轴方程是（）A.x=-B. x=- C .x=D.x=9．若，则下列结论中一定成立的是（）A. B． C． D．10.函数的图象（）A．关于原点对称 B．关于点（－，0）对称 C．关于y轴对称 D．关于直线x=对称11.函数是（）A．上是增函数 B．上是减函数C．上是减函数D．上是减函数12.函数的定义域是（）A．B．C． D．二、填空题：13. 函数的最小值是 .14 与终边相同的最小正角是_______________15. 已知则 .16 若集合，，则=_______________________________________三、解答题：17．已知，且．a)求sinx、cosx、tanx的值．b)求sin3x – cos3x的值．18 已知，（1）求的值（2）求的值19. 已知α是第三角限的角，化简20．已知曲线上最高点为（2，），由此最高点到相邻的最低点间曲线与x轴交于一点（6，0），求函数解析式，并求函数取最小值x的值及单调区间必修4 第一章三角函数(2)一、选择题：1．已知，则化简的结果为（）A． B. C． D. 以上都不对2．若角的终边过点(-3，-2)，则( )A．sin tan＞0 B．cos tan＞0C．sin cos＞0 D．sin cot＞03 已知，，那么的值是（）A B C D4．函数的图象的一条对称轴方程是（）A． B. C. D.5．已知，,则tan2x= ( ) A． B. C. D.6．已知，则的值为（）A． B. 1 C. D. 2 7．函数的最小正周期为（）A．1 B. C. D.8．函数的单调递增区间是（）A． B.C． D.9．函数，的最大值为（）A．1 B. 2 C. D.10．要得到的图象只需将y=3sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位11．已知sin(+α)=，则sin(-α)值为（）A. B. — C. D. —12．若，则（）A. B. C. D.二、填空题13．函数的定义域是14．的振幅为初相为15．求值：=_______________16．把函数先向右平移个单位，然后向下平移2个单位后所得的函数解析式为________________________________三、解答题17 已知是关于的方程的两个实根，且，求的值18．已知函数，求：（1）函数y的最大值，最小值及最小正周期；（2）函数y的单调递增区间19．已知是方程的两根，且，求的值20．如下图为函数图像的一部分（1）求此函数的周期及最大值和最小值（2）求与这个函数图像关于直线对称的函数解析式必修4 第三章三角恒等变换(1)一、选择题:1.的值为 ( ）A 0BC D2.，，，是第三象限角，则（）A B C D3.设则的值是( )A B C D4. 已知，则的值为（）A B C D5.都是锐角，且，，则的值是（）A B C D6. 且则cos2x的值是（）A B C D7.在中，的取值域范围是 ( )A B C D8. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于,则这个三角形底角的正弦值为（）A B C D9.要得到函数的图像，只需将的图像（）A、向右平移个单位B、向右平移个单位C、向左平移个单位D、向左平移个单位10. 函数的图像的一条对称轴方程是（）A、 B、 C、 D、11.若是一个三角形的最小内角，则函数的值域是( )A B C D12.在中，，则等于 ( )A B C D二、填空题:13.若是方程的两根，且则等于14. .在中，已知tanA ,tanB是方程的两个实根，则15. 已知，则的值为16. 关于函数，下列命题：①若存在，有时，成立；②在区间上是单调递增；③函数的图像关于点成中心对称图像；④将函数的图像向左平移个单位后将与的图像重合．其中正确的命题序号（注：把你认为正确的序号都填上）三、解答题：17. 化简18. 求的值．19. 已知α为第二象限角，且sinα=求的值.20.已知函数，求（1）函数的最小值及此时的的集合。
高一数学必修4模块训练4答案
高一数学必修4模块训练4一.选择题：1、化简8cos 228cos 12+-+的结果是（C ）（A ）（sin4 （B ） （C ）（cos4 （D ）2、已知tan α，tan β是方程x 2+33x+4=0的两根，且－2π<α<2π，－2π<β<2π，则 α+β等于（ B ）（A ）3π （B ）－32π （C ）3π或－32π （D ）－3π或－32π 3、函数y=sin(2x+25π)的图象的一条对称轴的方程是( A ) （A ）x=－2π （B ）x=－4π （C ）x=8π （D ）x=45π 4、已知sin αcos α=83，且4π＜α＜2π，则cos α－sin α的值是 （ A ） (A)－21 (B)21 (C)－41 (D) 41 5、下列命题①函数y=sin2x 的单调增区间是[ππππk k ++45,43]，（k ∈Z ） ②函数y=tanx 在它的定义域内是增函数③函数y=|cos2x|的周期是π④函数y=sin(x +25π)是偶函数 其中正确的是 （ D ）(A)①② (B)②③ (C)①③ (D)①④ 6、已知|a |=5，|b |=4，a 与b 的夹角为60°，则|a －2b |的值是（ B ） （A ）9 （B ）7 （C ）129 （D ）107、若a =（3，5cosx ），b =（2sinx ，cosx ），则a ·b 的范围是（ B ）（A ）[－6，+∞] （B ）[－6，534] （C ）[6，+∞] （D ）[0，534] 8、若△ABC 是边长为1的等边三角形,向量AB =c ，BC =a ，CA =b ，有下列命题①a ·b =1 ②a +b 与a －b 垂直 ③a 与b 夹角为60° ④a +b =c其中正确命题的个数是 （ B ）(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个二.填空题：9、函数y=Asin(ωx+φ)( A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)，在同一个周期内，当x=3π时， y 有最大值2,当x=0时,y 有最小值－2,则这个函数的解析式为____________。
2022-2021学年高一数学北师大版必修4学案：2.7.1 点到直线的距离公式 Word版含答案
7．1 点到直线的距离公式明目标、知重点 1.理解直线方向向量和法向量的含义.2.能应用直线的法向量推导点到直线的距离公式.3.能应用直线的方向向量、法向量解决有关问题．1．直线的法向量(1)直线l ：ax ＋by ＋c ＝0 (a 2＋b 2≠0)的一个方向向量是(b ，－a )，它的一个法向量是(a ，b )． (2)直线l ：y ＝kx ＋b 的一个方向向量是(1，k )，它的一个法向量是(k ，－1)． 所以，一条直线的法向量有很多多个，它们都是共线向量． 2．点到直线的距离公式设点M (x 0，y 0)为平面内任一点，则点M 到直线l ：ax ＋by ＋c ＝0 (a 2＋b 2≠0)的距离d ＝|ax 0＋by 0＋c |a 2＋b 2.3．两平行线间距离直线l 1：ax ＋by ＋c 1＝0与直线l 2：ax ＋by ＋c 2＝0 (a 2＋b 2≠0且c 1≠c 2)的距离d ＝|c 1－c 2|a 2＋b 2.4．两直线的位置关系设直线l 1：a 1x ＋b 1y ＋c 1＝0，直线l 2：a 2x ＋b 2y ＋c 2＝0的法向量依次为n 1，n 2.则： (1)l 1⊥l 2⇔n 1·n 2＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＝0；(2)l 1与l 2重合或平行⇔n 1∥n 2⇔a 1b 2－a 2b 1＝0.探究点一 直线的方向向量与两直线的夹角导引1 直线y ＝kx ＋b 的方向向量：假如向量v 与直线l 共线，则称向量v 为直线l 的方向向量． 对于任意一条直线l ：y ＝kx ＋b ，在它上面任取两点A (x 0，y 0)，B (x ，y )，则向量AB →＝(x －x 0，y －y 0)与直线l共线，即AB →为直线l 的方向向量．由于(x －x 0，y －y 0)＝1x －x 0(1，y －y 0x －x 0)＝1x －x 0(1，k )，所以向量(x －x 0，y －y 0)与向量(1，k )共线，从而向量(1，k )是直线y ＝kx ＋b 的一个方向向量． 导引2 直线Ax ＋By ＋C ＝0的方向向量当B ≠0时，k ＝－AB ，所以向量(B ，－A )与(1，k )共线，所以向量(B ，－A )是直线Ax ＋By ＋C ＝0的一个方向向量；当B ＝0时，A ≠0，直线x ＝－CA 的一个方向向量为(0，－A )，即(B ，－A )．综上所述，直线Ax ＋By ＋C ＝0的一个方向向量为v ＝(B ，－A )． 思考1 已知直线l ：2x －y ＋1＝0和下列向量：①v 1＝(1,2)；②v 2＝(2,1)；③v 3＝⎝⎛⎭⎫－12，－1；④v 4＝(－2，－4)．其中能作为直线l 方向向量的有________． 答 ①③④导引3 应用直线的方向向量求两直线的夹角已知直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2，它们的方向向量依次为v 1＝(1，k 1)，v 2＝(1，k 2)．当v 1⊥v 2，即v 1·v 2＝1＋k 1k 2＝0时，l 1⊥l 2，夹角为直角；当k 1k 2≠－1时，v 1·v 2≠0，直线l 1与l 2的夹角为θ(0°<θ<90°)．不难推导利用k 1、k 2表示cos θ的夹角公式： cos θ＝|v 1·v 2||v 1||v 2|＝|1＋k 1k 2|1＋k 21·1＋k 22.思考2 直线x －2y ＋1＝0与直线2x ＋y －3＝0的夹角为________；直线2x －y －1＝0与直线3x ＋y ＋1＝0的夹角为________． 答 90° 45°探究点二 直线的法向量与两直线的位置关系导引 (1)直线Ax ＋By ＋C ＝0的法向量：假如向量n 与直线l 垂直，则称向量n 为直线l 的法向量．因此若直线的方向向量为v ，则n ·v ＝0.从而对于直线Ax ＋By ＋C ＝0而言，其方向向量为v ＝(B ，－A )，则由于n ·v ＝0，于是可取n ＝(A ，B )，这时由于(B ，－A )·(A ，B )＝AB －AB ＝0.直线的法向量也有很多个．(2)直线法向量的简洁应用：利用直线的法向量推断两直线的位置关系：对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，它们的法向量分别为n 1＝(A 1，B 1)，n 2＝(A 2，B 2)． 当n 1∥n 2时，l 1∥l 2或l 1与l 2重合．即A 1B 2－A 2B 1＝0⇔l 1∥l 2或l 1与l 2重合； 当n 1⊥n 2时，l 1⊥l 2.即A 1A 2＋B 1B 2＝0⇔l 1⊥l 2.思考 直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －3＝0与直线l 2：(a －1)·x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0垂直，则a 的值为________． 答案 ±1解析 n 1＝(a ＋2,1－a )，n 2＝(a －1,2a ＋3)， ∵l 1⊥l 2，∴n 1·n 2＝(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3) ＝(a －1)(－a －1)＝0， ∴a ＝±1.例1 已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0与l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0平行，求实数a 的值． 解 直线l 1的法向量n 1＝(a,2)， 直线l 2的法向量n 2＝(1，a －1)， ∵l 1∥l 2，∴n 1∥n 2，∴a (a －1)－1×2＝0，解得：a ＝－1或a ＝2. 当a ＝－1时，l 1：x －2y －6＝0，l 2：x －2y ＝0， ∴l 1∥l 2.当a ＝2时，l 1：x ＋y ＋3＝0，l 2：x ＋y ＋3＝0. ∴l 1与l 2重合，则a ＝2(舍去)． 综上所述，a ＝－1.反思与感悟 由n 1∥n 2解出参数a 的值后要留意检验，由n 1·n 2＝0推断两直线垂直，则不需要检验． 跟踪训练1 已知直线l 1：(m ＋3)x ＋(m －1)y －5＝0与直线l 2：(m －1)x ＋(3m ＋9)y －1＝0相互垂直，求实数m 的值．解 l 1的法向量n 1＝(m ＋3，m －1)，l 2的法向量n 2＝(m －1,3m ＋9)，∵l 1⊥l 2，∴n 1⊥n 2. ∴n 1·n 2＝(m ＋3)(m －1)＋(m －1)(3m ＋9) ＝(m －1)(4m ＋12)＝0.∴m ＝1或m ＝－3. 探究点三 直线的法向量与点到直线的距离公式思考1 如何应用直线l ：ax ＋by ＋c ＝0的法向量推导点M (x 0，y 0)到直线l 的距离公式． 答 设P (x 1，y 1)是直线l ：ax ＋by ＋c ＝0上任一点，n 是直线l 的一个法向量，不妨取n ＝(a ，b )．则M (x 0，y 0)到直线l ：ax ＋by ＋c ＝0的距离d 等于向量PM →在n 方向上射影的长度，如图所示：设PM →与n 的夹角为θ， d ＝|PM →|·|cos θ| ＝|PM →·n ||n |＝|(x 0－x 1，y 0－y 1)·(a ，b )|a 2＋b 2＝|a (x 0－x 1)＋b (y 0－y 1)|a 2＋b 2＝|ax 0＋by 0－(ax 1＋by 1)|a 2＋b2. ∵点P (x 1，y 1)在直线l 上，∴ax 1＋by 1＋c ＝0，∴ax 1＋by 1＝－c ， ∴d ＝|ax 0＋by 0＋c |a 2＋b 2.思考2 利用直线的法向量推导两条平行线之间的距离公式．答 设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)分别为直线l 1：ax ＋by ＋c 1＝0，直线l 2：ax ＋by ＋c 2＝0上任意两点，取直线l 1，l 2的一个法向量n ＝(a ，b )，则P 1P 2→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)在向量n 上的射影的长度，就是两平行线l 1、l 2的距离． 设P 1P 2→与n 的夹角为θ， d ＝|P 1P 2→||cos θ| ＝|P 1P 2→·n ||n |＝|(x 2－x 1，y 2－y 1)·(a ，b )|a 2＋b 2＝|a (x 2－x 1)＋b (y 2－y 1)|a 2＋b 2＝|(ax 2＋by 2)－(ax 1＋by 1)|a 2＋b 2＝|c 1－c 2|a 2＋b 2. 例2 求点P 0(－1,2)到直线l ：2x ＋y －10＝0的距离． 解 方法一 取直线l 的一个法向量为n ＝(2,1)， 在直线l 上任取一点P (5,0)，∴PP 0→＝(－6,2)，∴点到直线l 的距离d 就是PP 0→在法向量n 上的射影． 设PP 0→与n 的夹角为θ. ∴d ＝|PP 0→||cos θ|＝|PP 0→|·|PP 0→·n ||PP 0→|·|n |＝|PP 0→·n ||n |＝|－12＋25|＝2 5.故点P 0到直线l 的距离为2 5. 方法二 由点到直线的距离公式得d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2＝|2×(－1)＋1×2＋(－10)|5＝2 5.反思与感悟 求点到直线的距离公式时，既可以利用向量法，也可以直接带入点到直线的距离公式计算．利用向量法时留意公式d ＝|P 0P →·n ||n |中每个符号的含义．跟踪训练2 求两条平行线l 1：3x ＋4y －2＝0与l 2：6x ＋8y －3＝0之间的距离． 解 取直线l 2的一个方向向量为(－8,6)． 则直线l 2的一个法向量为n ＝(6,8)，分别在直线l 1和l 2上任取一点M (0，12)和P (12，0)．则PM →＝(－12，12)，设PM →与n 的夹角为θ.∴点M 到直线l 2的距离 d ＝|PM →|·|cos θ|＝|PM →|·|PM →·n |PM →|·|n ||＝|PM →·n ||n |＝|－3＋410|＝110.又∵两条平行线间的距离处处相等，∴点M 到直线l 2的距离即为两平行线l 1与l 2间的距离，∴两平行线l 1：3x ＋4y －2＝0与l 2：6x ＋8y －3＝0之间的距离为110.例3 已知△ABC 的三个顶点A (0，－4)，B (4,0)，C (－6,2)，点D 、E 、F 分别为边BC 、CA 、AB 的中点． (1)求直线DE 、EF 、FD 的方程；(2)求AB 边上的高线CH 所在的直线方程．解 (1)由已知得点D (－1,1)，E (－3，－1)，F (2，－2)． 设点M (x ，y )是直线DE 上任意一点，则DM →∥DE →，DM →＝(x ＋1，y －1)，DE →＝(－2，－2)， ∴(－2)×(x ＋1)－(－2)×(y －1)＝0， 即x －y ＋2＝0为直线DE 的方程．同理可求，直线EF ，FD 的方程分别为x ＋5y ＋8＝0，x ＋y ＝0. (2)设点N (x ，y )是CH 所在直线上任意一点， 则CN →⊥AB →，∴CN →·AB →＝0. 又CN →＝(x ＋6，y －2)，AB →＝(4,4)， ∴4(x ＋6)＋4(y －2)＝0，即x ＋y ＋4＝0为所求直线CH 所在的直线方程．反思与感悟 对于解析几何中有关直线平行与垂直的问题，经常可以转而考虑与直线相关的向量的共线与垂直，这样就将形的问题转化为相关数的问题，从而更简洁将问题解决． 跟踪训练3 已知M (x 0，y 0)为直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0 (AB ≠0)外一点． (1)求过点M 与直线l 垂直的直线l 1； (2)求过点M 与直线l 平行的直线l 2. 解 (1)设P (x ，y )为直线l 1上任一点． 由MP →·(B ，－A )＝0，得(x －x 0，y －y 0)·(B ，－A )＝0， ∴B (x －x 0)－A (y －y 0)＝0.(2)设P (x ，y )为直线l 2上任一点，由MP →·(A ，B )＝0. ∴(x －x 0，y －y 0)·(A ，B )＝0.∴A (x －x 0)＋B (y －y 0)＝0.1．已知A (1,2)，B (－2,1)，以AB 为直径的圆的方程是__________________． 答案x 2＋y 2＋x －3y ＝0解析 设P (x ，y )为圆上任一点，则 AP →＝(x －1，y －2)，BP →＝(x ＋2，y －1)， 由AP →·BP →＝(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y －1)＝0， 化简得x 2＋y 2＋x －3y ＝0.2．已知直线l 1：ax ＋2y －1＝0，l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0.若l 1∥l 2，则a ＝________. 答案 －2或1解析 l 1的法向量n 1＝(a,2)，l 2的法向量n 2＝(1，a ＋1)． ∵l 1∥l 2，∴a (a ＋1)－2＝0.解得a ＝－2或a ＝1.经检验，都符合题意．3．已知直线l 1：3x ＋y －2＝0与直线l 2：mx －y ＋1＝0的夹角为45°，则实数m 的值为________． 答案 2或－12解析 设直线l 1，l 2的法向量为n 1，n 2， 则n 1＝(3,1)，n 2＝(m ，－1)． 由题意： cos 45°＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|＝|3m －1|10·1＋m 2＝22. 整理得：2m 2－3m －2＝0， 解得：m ＝2或m ＝－12.4．已知三点A (－1,2)，B (3,4)，C (－2,5)，求符合下列条件的直线l . (1)经过点A ，且平行BC ； (2)经过点A ，且垂直BC .解 BC →＝(－5,1)，设P (x ，y )为直线l 上任一点．(1)当l ∥BC 时，P A →＝(x ＋1，y －2)，P A →∥BC →， ∴(x ＋1)－(－5)×(y －2)＝0，化简得x ＋5y －9＝0.(2)当l ⊥BC 时，P A →＝(x ＋1，y －2)，P A →⊥BC →. ∴(x ＋1)×(－5)＋1×(y －2)＝0， 化简得5x －y ＋7＝0. [呈重点、现规律]1．利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．2．在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)上任取两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1P 2→(λ∈R 且λ≠0)也是直线l 的方向向量．所以，一条直线的方向向量有很多多个，它们都共线．同理，与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)垂直的向量都叫直线l 的法向量．一条直线的法向量也有很多多个．熟知以下结论，在解题时可以直接应用． ①y ＝kx ＋b 的方向向量v ＝(1，k )，法向量为n ＝(k ，－1)．②Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)的方向向量v ＝(B ，－A )，法向量n ＝(A ，B )．一、基础过关1．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( ) A.12 B.32 C.22D.322答案 D2．已知三点A (－2，－3)，B (19,4)，C (－1，－6)，则△ABC 是( ) A ．以A 为直角顶点的直角三角形 B ．以B 为直角顶点的直角三角形 C ．以C 为直角顶点的直角三角形 D ．锐角三角形或钝角三角形 答案 A3．已知直线l 1：(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线l 2：(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直，则实数m 的值是( )A ．－2 B.12 C ．－2或12D ．－12或2答案 C解析 (m ＋2)(m －2)＋3m (m ＋2)＝(m ＋2)(4m －2)＝0， ∴m ＝－2或12.4．过点A (4，a )和点B (5，b )的直线与直线y ＝x ＋m 平行，则|AB |的值为________． 答案25．过点A (－2,1)且平行于向量a ＝(3,1)的直线方程为________________． 答案 x －3y ＋5＝0解析 设P (x ，y )是所求直线上的任一点，AP →＝(x ＋2，y －1)．∵AP →∥a .∴(x ＋2)×1－3(y －1)＝0. 即所求直线方程为x －3y ＋5＝0.6．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB →＝(k,1)，AC →＝(2,3)，则k 的值是________． 答案 5解析 ∵BC →＝AC →－AB →＝(2,3)－(k,1)＝(2－k,2)，AC →＝(2,3)，∴BC →·AC →＝2(2－k )＋6＝0，∴k ＝5. 7．已知直线l 1：3x ＋4y －12＝0，l 2：7x ＋y －28＝0，求直线l 1与l 2的夹角θ. 解 设l 1、l 2的方向向量为v 1、v 2，则 v 1＝(4，－3)，v 2＝(1，－7)， ∴|cos θ|＝|v 1·v 2||v 1|·|v 2|＝255×52＝22. ∴l 1与l 2的夹角θ为45°. 二、力气提升8．已知直线l 1的方向向量为a ＝(1,3)，直线l 2的方向向量为b ＝(－1，k )，若直线l 2过点(0,5)，且l 1⊥l 2，则直线l 2的方程是( ) A ．x ＋3y －5＝0 B ．x ＋3y －15＝0 C ．x －3y ＋5＝0 D ．x －3y ＋15＝0答案 B解析 ∵l 1⊥l 2，∴a ⊥b ，∴a ·b ＝－1＋3k ＝0，∴k ＝13，∴l 2的方程为y ＝－13x ＋5，即x ＋3y －15＝0.故选B.9．过点(1,2)且与直线3x －y ＋1＝0垂直的直线的方程是____________． 答案 x ＋3y －7＝0解析 设P (x ，y )是所求直线上任一点， 直线3x －y ＋1＝0的方向向量为(1,3)， 由(x －1，y －2)·(1,3)＝0得x ＋3y －7＝0.10．在直角坐标系xOy 中，已知点A (0,1)和点B (－3,4)，若点C 在∠AOB 的平分线上且|OC →|＝2，则OC →＝_____________________________________________________. 答案 ⎝⎛⎭⎫－105，3105解析 已知A (0,1)，B (－3,4)， 设E (0,5)，D (－3,9)， ∴四边形OBDE 为菱形．∴∠AOB 的角平分线是菱形OBDE 的对角线OD . 设C (x 1，y 1)，|OD →|＝310， ∴OC →＝2310OD →.∴(x 1，y 1)＝2310(－3,9)＝⎝⎛⎭⎫－105，3105，即OC →＝⎝⎛⎭⎫－105，3105.11．若两平行线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，求c 的值．解 ∵3x －2y －1＝0与6x ＋ay ＋c ＝0平行， ∴36＝－2a ≠－1c ， ∴a ＝－4，且c ≠－2. 由d ＝|c ＋2|62＋a 2＝|c ＋2|62＋(－4)2＝21313，化简得：|c ＋2|＝4， ∴c ＝－6或c ＝2.12．已知直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0，直线l 2：2x ＋my －1＝0，l 1∥l 2，两平行直线间距离为5，而过点A (m ，n )(m >0，n >0)的直线l 被l 1、l 2截得的线段长为10，求直线l 的方程． 解 ∵l 1∥l 2，∴m 2－16＝0得m ＝±4. ∵m >0，∴m ＝4.故l 1：4x ＋8y ＋n ＝0，l 2：4x ＋8y －2＝0. 又l 1与l 2间距离为5，∴|n ＋2|42＋82＝5，解得n ＝18或n ＝－22(舍)． 故A 点坐标为(4,18)．再设l 与l 1的夹角为θ，斜率为k ，l 1斜率为－12，∵sin θ＝22， ∴θ＝π4，tan π4＝1＝⎪⎪⎪⎪k －(－12)⎪⎪⎪⎪1＋(－12)k ，解得k ＝13或k ＝－3.∴直线l 的方程为y －18＝13(x －4)或y －18＝－3(x －4)．即x －3y ＋50＝0或3x ＋y －30＝0.三、探究与拓展13．已知向量c ＝(0,1)，i ＝(1,0)，经过原点O 以c ＋λi 为方向向量的直线与经过定点A (0,1)，以i －2λc 为方向向量的直线交于点P ，其中λ∈R ，求点P 的轨迹方程． 解 设P 点坐标为(x ，y )， ∵i ＝(1,0)，c ＝(0,1)，∴c ＋λi ＝(λ，1)，i －2λc ＝(1，－2λ)，直线OP 与AP 的方程分别为λy ＝x 和y －1＝－2λx ， 消去参数λ，所求的轨迹方程为2x 2＋y 2－y ＝0.。
高中数学 1.2.1任意角的三角函数的定义及应用练习(含解析)苏教版必修4-苏教版高一必修4数学试题
1．2 任意角的三角函数1．2.1 任意角的三角函数的定义及应用在初中我们已经学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量、边的比值为函数值的三角函数．你能用平面直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？改变终边上的点的位置，这个比值会改变吗？把角扩充为任意角，结论成立吗？一、任意角的三角函数1．单位圆：在平面直角坐标系中，以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆称为________．2．三角函数的定义：设角α的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合．在平面直角坐标系中，角α终边与单位圆交于一点P (x ，y )，则r ＝|OP |＝1.那么：(1)y 叫做________，记作sin α，即y ＝sin α； (2)x 叫做________，记作cos α，即x ＝cos α； (3)y x 叫做________，记作tan α，即y x＝tan α(x ≠0)．正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们把它们统称为________．答案：1.单位圆2．(1)α的正弦 (2)α的余弦 (3)α的正切 三角函数二、三角函数值在各个象限内的符号1．由三角函数的定义，以及各象限内的点的坐标的符号，可以确定三角函数在各象限的符号．sin α＝y r，其中r >0，于是sin α的符号与y 的符号相同，即：当α是第________象限角时，sin α>0；当α是第________象限角时，sin α<0.cos α＝x r，其中r >0，于是cos α的符号与x 的符号相同，即：当α是第__________象限角时，cos α>0；当α是第________象限角时，cos α<0.tan α＝y x，当x 与y 同号时，它们的比值为正，当x 与y 异号时，它们的比值为负，即：当α是第________象限角时，tan α>0；当α是第 ________象限角时，tan α<0.2．根据终边所在位置总结出形象的识记口诀1：“sin α＝yr ：上正下负横为0；cos α＝x r ：左负右正纵为0；tan α＝y x：交叉正负．” 形象的识记口诀2：“一全正、二正弦、三正切、四余弦．” 答案：1.一、二 三、四 一、四 二、三 一、三 二、四三、诱导公式一由定义可知，三角函数值是由角的终边的位置确定的，因此，终边相同的角的同一三角函数的值________，这样就有下面的一组公式(诱导公式一)：sin(2k π＋α)＝sin α，cos(2k π＋α)＝cos α，tan(2k π＋α)＝tan α，k ∈Z. 答案：相等四、三角函数线1．有向线段：有向线段是规定了方向(即起点、终点)的线段，它是________、 ________的．在平面直角坐标系中，和坐标轴同向的有向线段为正，反向的为负．2．正弦线、余弦线、正切线：三角函数线是用来形象地表示三角函数值的有向线段．有向线段的________表示三角函数值的________，有向线段的________表示三角函数值的绝对值的________．三角函数线的作法如下：设角α的终边与单位圆的交点为P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有向线段MP ，OM 就分别是角α的正弦线与余弦线，即MP ＝y ＝sin α，OM ＝x ＝cos α.过点A (1，0)作单位圆的切线，设这条切线与角α的终边(或终边的反向延长线)交于点T ，则有向线段AT 就是角α的正切线，即AT ＝tan α.3．填写下表中三角函数的定义域、值域：函数定义域值域 y ＝sin α y ＝cos α y ＝tan α答案：1.有长度 有正负 2.方向 正负 长度 大小 3.函 数定 义 域值 域 y ＝sin α R [－1，1] y ＝cos α R[－1，1]y ＝tan α⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α≠π2＋k π，k ∈ZR任意角的三角函数的定义1．正弦、余弦、正切可分别看成是从一个角的集合到一个比值的集合的映射，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．2．三角函数值是比值，是一个实数．这个实数的大小和点P (x ，y )在终边上的位置无关，而是由角α的终边位置所决定．对于确定的角α，其终边的位置也是唯一确定的．因此，三角函数是角的函数．(1)三角函数值只与角α的终边所在的位置有关，与点P 在终边上的位置无关． (2)三角函数值是一个比值，没有单位．三角函数值的符号三角函数值在各象限的符号取决于终边所在的位置，具体说取决于x，y的符号，记忆时结合三角函数定义式记，也可用口诀只记正的“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．三角函数线对于三角函数线，须明确以下几点：(1)当角α的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在．(2)当角α的终边在x轴上时，正弦线、正切线都变成点．(3)正弦线、余弦线、正切线都是与单位圆有关的有向线段，所以作某角的三角函数线时，一定要先作单位圆．(4)线段有两个端点，在用字母表示正弦线、余弦线、正切线时，要先写起点字母，再写终点字母，不能颠倒；或者说，含原点的线段，以原点为起点，不含原点的线段，以此线段与x轴的公共点为起点．(5)三种有向线段的正负与坐标轴正负方向一致，三种有向线段的长度与三种三角函数值相同．三角函数的定义域1．由三角函数的定义式可以知道，无论角α终边落在哪里，sin α，cos α都有唯一的值与之对应，但对正切则要求α终边不能落在y轴上，否则正切将无意义．2．角和实数建立了一一对应关系，三角函数就可以看成是以实数为自变量的函数，所以就可以借助单位圆，利用终边相同的角的概念求出任意角的三角函数．基础巩固1．sin 810°＋tan 765°＋tan 1125°＋cos 360°＝________．答案：42．若α的终边过点P(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值为________．答案：－3 23．若角α的终边过点P (3cos θ，－4cos θ)(θ为第二象限角)，则sin α＝________．答案：454．cos θ·tan θ＜0，则角θ是________象限角． 答案：第三或第四5．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限． 答案：二6．角α的正弦线与余弦线长度相等，且符号相同，那么α(0＜α＜2π)的值为________．答案：π4或54π7．sin 1，sin 1.2，sin 1.5三者的大小关系是________． 答案：sin 1.5＞sin 1.2＞sin 1能力升级8．函数y ＝sin x ＋－cos x 的定义域是________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，－cos x ≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ≤0，即角x 的终边落在第二象限内和两个半轴上．∴2k π＋π2≤x ≤2k π＋π，k ∈Z.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋π(k ∈Z)9．已知角α的终边在直线y ＝kx 上，若sin α＝－255，cos α<0，则k ＝________．解析：∵sin α＝－255，cos α<0，∴α的终边在第三象限．令角α的终边上一点的坐标为(a ，ka )，a <0，则r ＝－1＋k 2·a ，sin α＝－ka 1＋k 2a＝－255，∴k ＝2. 答案：210．在(0，2π)内，满足tan 2α＝－tan α的α的取值X 围是________． 解析：由tan 2α＝－tan α，知tan α≤0，在单位圆中作出角α的正切线，知π2＜α≤π或3π2＜α＜2π. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π11．解不等式2＋2cos x ≥0. 解析：2＋2cos x ≥0⇔cos x ≥－22，利用单位圆，借助三角函数线(如图)可得出解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－34π，2k π＋34π(k ∈Z)．12．若π4＜θ＜π2，则下列不等式中成立的是( )A ．sin θ＞cos θ＞tan θB ．cos θ＞tan θ＞sin θC ．sin θ＞tan θ＞cos θD ．tan θ＞sin θ＞cos θ解析：作出角θ的三角函数线(如图)，数形结合得AT ＞MP ＞OM ，即tan θ>sin θ>cosθ.答案：D13．函数y ＝sin x |sin x |＋cos x |cos x |＋tan x|tan x |的值域是( C )A ．{－1，0，1，3}B ．{－1，0，3}C ．{－1，3}D ．{－1，1}14．若0＜α＜π2，证明：(1)sin α＋cos α＞1； (2)sin α＜α＜tan α.证明：(1)在如图所示单位圆中， ∵0＜α＜π2，|OP |＝1，∴sin α＝MP ，cos α＝OM . 又在△OPM 中，有 |MP |＋|OM |＞|OP |＝1. ∴sin α＋cos α＞1.(2)如图所示，连接AP ，设△OAP 的面积为S △OAP ，扇形OAP 的面积为S 扇形OAP ，△OAT 的面积为S △OAT .∵S △OAP ＜S 扇形OAP ＜S △OAT ， ∴12OA ·MP ＜12AP ︵·OA ＜12OA ·AT .∴MP <AP ︵<AT ，即sin α＜α＜tan α.15．已知f (n )＝cosn π5(n ∈Z)，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 014)的值．解析：角n5π(n ＝1，2，…，10)表示10个不同终边的角，这10条终边分成五组，每组互为反向延长线．∴f (1)＋f (2)＋…＋f (10)＝0，f (11)＋f (12)＋…＋f (20)＝0，…f (2 001)＋f (2 002)＋…＋f (2 010)＝0.∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 010)＝0.∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 014)＝f (2 011)＋f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＝cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5.由定义知cos π5与cos 4π5，cos 2π5与cos 3π5互为相反数，故f (1)＋f (2)＋…＋f (2 014)＝0.。
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2020.8
同步训练试题及答案
高一数学必修4模块训练1
一.选择题：
1．－215°是 （ B ）
（A ）第一象限角 （B ）第二象限角
（C ）第三象限角 （D ）第四象限角
2．角α的终边过点P （4，－3），则αcos 的值为 （ C ）
（A ）4 （B ）－3 （C ）54 （D ）53
-
3．若0cos sin <αα，则角α的终边在 （ C ）
（A ）第二象限 （B ）第四象限 （C ）第二、四象限 （D ）第三、四象限
4．函数x x y 22sin cos -=的最小正周期是 （ A ）
（A ）π （B ）2π
（C ）4π
（D ）π2
5．给出下面四个命题：① =+；②=+B ；③=； ④00=⋅。
其中正确的个数为 （ B ）
（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个
6．向量)2,1(-=，)1,2(=，则 （ B ）
（A ）∥ （B ）⊥
（C ）与的夹角为60° （D ）与的夹角为30°
7. 在下面给出的四个函数中，既是区间)2,0(π
上的增函数，又是以π为周期的偶函数的是(
D ) （A ）x y 2cos = （B ）x y 2sin = （C ）|cos |x y = （D ）|sin |x y =
8.若=(2,1)，=(3,4)，则向量在向量方向上的投影为（ B ）
（A ）52 （B ）2 （C ）5 （D ）10
二.填空题：
9．已知点A （2，－4），B （－6,2），则AB 的中点M 的坐标为 （－2，－1） ；
10．若21
tan =α，则ααα
αcos 3sin 2cos sin -+= －3 ；
三．解答题：
11．求值：
（1）)6
23tan(π-； （2）︒75sin 解：（1）336tan )64tan()623tan(==+-=-
ππππ （2）原式=︒︒+︒︒=︒+︒30sin 45cos 30cos 45sin )3045sin(
=42621222322+=⨯+⨯
12．设)1,3(=，)2,1(-=，⊥，∥，试求满足 =+的的坐标（O 为坐标原点）。
解：设),(y x OC =，由题意得：
⎩⎨⎧=--=-⋅⇒⎪⎩⎪⎨⎧==⋅)1,3()2,1(),(0)2.1(),(0λλy x y x OA BC OB OC )7,14(7142312=⇒⎩⎨⎧==⇒⎪⎩
⎪⎨⎧=-=+=⇒OC y x y x y x λλ
)6,11(=-=
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