第2课整式及其运算
整式及其运算复习
（2）一般的，
a m n 幂的乘方： （1）法则： mn (a ) = a p mn p m n （2）一般的， [(a ) ] = a
a a
m. n.
…
a
p =
m+n+ … p
（1）法则：(ab)n=anbn ）法则： (2) 一般的：(abcd)n=anbn cndn 一般的：
分解因式的方法：
一般地,我们有 一般地 我们有 (a+b)2=a2+2ab+b2, (a-b) =
2 2-2ab a 2. +b
即两数和(或差 的平方,等于它们的平 两数和 或差)的平方 等于它们的平 或差 的平方 方和,加 或减 它们的积的2倍 或减)它们的积的 方和 加(或减 它们的积的 倍. 这两个公式叫做(乘法的 完全平方公 这两个公式叫做 乘法的)完全平方公 乘法的 式.
新知识新环节
m ÷ an 同底数幂除法的性质 a = m-n a
同底数幂相除，底数不变， 同底数幂相除，底数不变， 相除 指数相减 指数相减
零指数幂： 零指数幂：
任何不等于零的数的0次幂都等于1 任何不等于零的数的0次幂都等于1。
a0=1 (a≠0)
负指数幂：
a
−p
1 = p (a≠0) a
单项式除以单项式： 把系数、同底数幂分别相除，作为商 的因式，对于只在被除式里含有的字母， 则连同他的指数作为商的一个因式。 多项式除以单项式： 先把这个多项式的每一项除以这个单项 式，再把所得的商相加。
典型例题解析
【 例 5】 (1)多项式-2+4x y+6x(1)多项式-2+4x2y+6x-x3y2是 五 次 四 多项式 高次项的系数是 -1 ，常数项是 -2 排列为 . 2+6x+4x -2+6x+4x2y-x3y2 ( 2 ) 若由同类项的定义可知： 解： (2)由同类项的定义可知： 项式， 项式，其中最 ，按x的升幂
第2课 整式及其运算
(
)
【答案】
C
4．(2016· 江西)下列运算中，正确的是 ( A．a2＋a2＝a4 B．(－b2)3＝－b6 C．2x· 2x2 ＝ 2x3 D．(m－n)2＝m2－n2
)
【答案】
B
5．(2016· 杭州)下列各式变形中，正确的是 ( ) A．x2· x3＝x6 B． x2＝|x| 1 1 1 C．(x2－x)÷ x＝ x－ 1 D．x2－x＋1＝(x－x)2＋ 4
(4)同底数幂相除： － a m÷ an＝am n(m，n 都是整数，a≠0)．
6．整式乘法： 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别 相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式． 单项式乘多项式：m (a＋b)＝ma＋mb． 多项式乘多项式：(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd．
1．(2016· 柳州)在下列单项式中，与 2xy 是同类项的是( A．2x2y2 B． 3y C．xy D ． 4x
)
【答案】
C
2．(2016· 丽水)计算 32× 3 1 的结果是 A．3 B．－3 C．2 D．－2
－
(
)
【答案】
A
3．(2016· 泸州)计算 3a2－a2 的结果是 A．4a2 B． 3a2 C．2a2 D．2
【答案】
B
【类题演练 2】 (2016· 岳阳)下列运算结果正确的是( A．a2＋a3＝a5 B．(a2)3＝a6 C．a2· a3＝a6 D．3a－2a＝1
)
【解析】 A．a2 与 a3 不是同类项，不能合并，故本选项 错误． B．(a2)3＝a2×3＝a6，故本选项正确． ＋ C．a2· a3＝a2 3＝a5，故本选项错误． D．3a－2a＝a，故本选项错误．
2015届九年级数学中考复习课件：第一章第2讲
去一边长为(a＋2)的小正方形(a＞2)，将剩余部分剪
开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积
为( C )
A．a2＋4
C．3a2－4a－4
B．2a2＋4a
D．4a2－a－2
整式的加减运算 【例1】 (1)(2014·邵阳)下列计算正确的是( A ) B．a3· a2＝a6 D．(a＋b)(a－b)＝a2＋b2
(3)(2014· 厦门)先化简下式，再求值：
(－x2＋3－7x)＋(5x－7＋2x2)，其中 x＝ 2＋1.
解：原式＝x2－2x－4＝(x－1)2－5，把 x＝ 2＋1 代入原 式，原式＝( 2＋1－1)2－5＝－3
同类项的概念及合并同类项 【例2】 3 ． 若－4xay＋x2yb＝－3x2y，则a＋b＝____
A．2x－x＝x C．(a－b)2＝a2－b2
(2)(2014·威海)已知x2－2＝y，则x(x－3y)＋y(3x－1) －2的值是( B )
A．－2
B．0
C．2
4xy－3y
D．4
．
(3)计算：3(2xy－y)－2xy＝
【点评】
整式的加减，实质上就是合并同类项，
有括号的，先去括号，只要算式中没有同类项，就
1．(2014·河南)下列各式计算正确的是( B )
A．a＋2a＝3a2
C．a3· a2＝a6
B．(－a3)2＝a6
D．(a＋b)2＝a2＋b2
2．(2014·江西)下列运算正确的是( D )
A．a2＋a3＝a5
B．(－2a2)3＝－6a5
C．(2a＋1)(2a－1)＝2a2－1
D．(2a3－a2)÷a2＝2a－1
是最后的结果．
1．(1)(2014· 威海)下列运算正确的是( C ) A．2x ÷x ＝2x C．3x2＋2x2＝5x2
2.2.2整式的加减-去括号法则教学设计人教版数学七年级上册
整式的加减去括号法则教学设计一、案例背景七年级数学二章第二节第2课时“整式的加减去括号法则”二、教学设计（一）教学目标（基于学科核心素养的教学目标）1．知识与技能:能运用运算律探究去括号法则，并且利用去括号法则将整式化简．2．过程与方法:经历类比带有括号的有理数的运算，发现去括号时的符号变化的规律，归纳出去括号法则，培养学生观察、分析、归纳能力3．情感态度与价值观:培养学生主动探究、由生活中的实例体会数学来源于生活又高于生活．（二）内容分析1．教材分析：本节课的教学内容《去括号》是中学数学部分的一个基础知识点，是在前面学习了有理数、单项式、多项式、同类项、合并同类项的基础上来学习的，它是整式的化简和整式的加减的基础，为进一步学习下一章一元一次方程等后续数学知识做好准备，同时也是是以后分解因式、解方程（组）与不等式（组）、函数等知识点当中的重要环节之一，对于七年级学生来说接受这个知识点存在一个思维上的转换过程，同时它也是一个难点，因此去括号在初中数学教材中有其特殊地位和重要作用。
2.学生分析:七年级的学生在前面已经学习了有理数的运算、单项式、多项式、整式、合并同类项，而且在小学就学习了乘法分配律并用其进行简便运算，已经积累了一定的学习经验，但是对于七年级的学生用字母表示数以及式的运算还不太熟悉，前面学生已经学习了“字母表示数”的问题，接下来要让学生理解字母可以像数一样进行计算，所以本节课类比数学习式，数的运算性质和运算律在式的运算中仍然成立，让学生通过类比学习充分体会“数式通性”，为学习整式的加减运算打好基础，从而实现数到式的飞跃。
3．教学重点、难点：教学重点：去括号法则，准确应用法则将整式化简．教学难点：括号前面是“－”号去括号时，括号内各项变号容易产生错误。
（三）教学策略设计1．教学方法设计:根据七年级学生的思维所呈现出的具体、直观、形象之特点，为突破本节课的难点，我选用“类比——探索——发现”的教学模式。
七年级数学-第02讲 整式的乘法(解析版)
2021-2022学年七年级数学【赢在寒假】同步精讲精练系列第1章整式的乘除第02讲整式的乘法【考点梳理】考点1：单项式、多项式及整式的概念1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。
单独的一个数或一个字母也是单项式。
单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。
如：bc a 22-的系数为2-，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。
2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。
多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。
如：122++-x ab a ，项有2a 、ab 2-、x 、1，二次项为2a 、ab 2-，一次项为x ，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。
3、整式：单项式和多项式统称整式。
注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。
也不是单项式和多项式。
4、多项式按字母的升（降）幂排列：如：1223223--+-y xy y x x 按x 的升幂排列：3223221x y x xy y +-+--按x 的降幂排列：1223223--+-y xy y x x 按y 的升幂排列：3223221yy x xy x --++-按y 的降幂排列：1223223-++--x xy y x y 考点2：单项式及多项式的乘法法则1、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
注意：①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。
②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。
③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。
⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。
如：=∙-xy z y x 32322.单项式乘以多项式就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式)注意：①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。
备战九年级中考数学一轮复习第2课整式(含因式分解)(全国通用)
13.(202X·哈尔滨)把多项式m2n＋6mn＋9n分解因式的结果 是_____n_(m__＋__3_)2_____.
14.(202X·重庆)已知a＋b＝4，则代数式1＋ a ＋b 的值 22
为( A )
A.3
B．1
C．0
D．－1
考点3 求代数式的值
15.【例3】(202X·广东)已知x＝5－y，xy＝2，计算代数式 3x＋3y－4xy＝____7____.
第2课 整式(含因式分解)
1．(1)单项式：数与字母的积所表示的代数式叫做单项式，单 独一个数或者一个字母也是单项式． (2)多项式：几个单项式的和叫做多项式． (3)整式：单项式与多项式统称为整式.
1．(1)单项式－3xy2的系数是__－__3____，次数是____3____； (2)多项式2x－5xy3－1是____4____次____三____项式，其中 一次项为____2_x___，一次项系数为____2____．
23．(202X·天水)分解因式：m3n－mn＝ mn(m＋1)(m－1) .
24．(海南中考)某工厂去年的产值是a万元，今年比去年 增加10%，今年的产值是__1_._1_a___万元．
25．(广东中考)下列计算正确的是( C )
A．b6＋b3＝b2
B．b3·b3＝b9
C．a2＋a2＝2a2
C．2kk
D．k2＋k
31.(202X·苏州)若单项式2xm－1y2与单项式1 x2yn＋1是同类项， 3
则m＋n＝___4_____.
32．(202X·枣庄)若a＋b＝3，a2＋b2＝7，则ab＝___1_____.
C组 33．(202X·聊城)因式分解：x(x－2)－x＋2＝ (x－1)(x－2) .
第2章整式及其加减 小结与复习 课件(共24张PPT)沪科版七年级数学上册
整式
单项式
多项式
整式加减
合并同类项
去括号、添括号
一、整式的有关概念1. 代数式：用加、减、乘、除及乘方等运算符号将数或表示数的字母连接而成的式子，叫作代数式. 单个的数或字母也是代数式.2. 单项式：都是数与字母的____，这样的式子叫作单项式，单个的字母或数也是单项式．3. 单项式的系数：单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数．4. 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数．
相同
相同
三、去括号、添括号1. 去括号法则：（1）如果括号前面是“+”号，去括号时括号内的各项都不改变符号；（2）如果括号前面是“-”号，去括号时括号内的各项都改变符号.
2. 添括号法则：（1）如果所添括号前面是“+”号，括到括号内的各项都不改变符号；（2）如果所添括号前面是“-”号，括到括号内的各项都改变符号.
解：5A - 3B = 5(3a2b - ab2) - 3(ab2 + 5a2b)
= 15a2b - 5ab2 - 3ab2 - 15a2b
= -8ab2
6. (兰州市期末) 已知多项式 M = (2x2 + 3xy + 2y) - 2(x2 + x + yx + 1).(1) 当 x = 1，y = 2，求 M 的值；(2) 若多项式 M 与字母 x 的取值无关，求 y 的值.
解：(1) M = (2x2 + 3xy + 2y) - 2(x2 + x + yx + 1)
= 2x2 + 3xy + 2y - 2x2 - 2x - 2yx - 2
= xy + 2y - 2x - 2.
数与代数复习 第一章 数与式 第2课 整式及其运算
课前准备：调音量、草稿本、笔等
请计算： 6 6 6 6 6 =3
解：设 : x 6 6 6 6 6
两边都平方得：x2 6 6 6 6 6
x2 6 x
即x2 x 6 0
解得：x 3, x 2(舍去）
1
2
字母的引入帮我们解决了一些复杂的问题. 代数式是传统数上的一种质的飞跃，你还知道 它的其他作用么？
并的结果是 2a 2b3 .
海宁名师云课堂
知识点二：整式的运算
2.整式的乘除运算
（1）幂的运算法则（m，n均为常数，a，b不为零）
①am an amn 请计算：4m 2n 请计算：2x2 (3xy2 )
②(am )n amn
22m 2n
6x3 y2
③(ab)m ambm
22mn 请计算：2x2 (3xy2 1)
了如图所示的三种方案：
ab
ab
b a
ab a
a
b
b
方案一
方案二
方案三
小明发现这三种方案都能验证公式： a2+2ab+b2=（a+b）2 ， 对于方案一，小明是这样验证的： a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2 请你根据方案二，方案三，写出公式的验证过程。
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整式及其运算中考热点四：乘法公式的几何背景
a 2a3 2 x2 y 6 3
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知识点二：整式的运算
1.整式的加减运算 整式的加减实质上就是合并同类项，遇到括号要先去括号
a 2a 3a
a2 (2a2 b2 ) a2 2a2 b2 3a2 b2 (x2 3x 4) (2x 4) x2 3x 4 2x 4 x2 5x
中考数学复习 第一章数与式数与式 第2课 整式及其运课件
解：(2)∵(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy， ∴2xy＝(x＋y)2－(x2＋y2)＝72－25＝24， ∴x－y)2＝x2＋y2－2xy＝25－24＝1. ∵x>y，∴x－y＝ 1 ＝1.
探究提高 1.算式中的局部直接使用乘法公式、简化运算，
任何时候都要遵循先化简，再求值的原则. 2.在利用完全平方公式求值时，通常用到以下
探究提高 整式的加减，实质上就是合并同类项，有括号的，先 去括号．只要算式中没有同类项，就是最后的结果．
知能迁移1 (1)(2011·义乌)下列计算正确的是( D )
A．x2＋x4＝x6
B．2x＋3y＝5xy
C．x6÷x3＝x2
D．(x3)2＝x6
解析：(x3)2＝x3×2＝x6.
(2)(2011·台北)化简(－4x＋8)－3(4－5x)，
题型四 整式的混合运算及求值
【例4】 (本题5分)先化简，再求值： 3x(x2－x－1)－(x＋1)(3x2－x)，其中x＝－1 . 2
解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！
解：原式＝3x3－3x2－3x－(3x3－x2＋3x2－x)
[2分]
＝3x3－3x2－3x－3x3＋x2－3x2＋x
＝－5x2－2x.
3．整式： 单项式和多项式 统称为整式． 4．同类项：多项式中所含 字母 相同并且 相同字母的指数 也
相同的项，叫做同类项．
6．整式乘法： 单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘作为积 的因式，只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作 为积的一个因式． 单项式乘多项式：m(a＋b)＝ ma＋mb . 多项式乘多项式：(a＋b)(c＋d)＝ ac＋ad＋bc＋bd .
第2个图形所需的棋子数为11＝6×2－1. 第3个图形所需的棋子数为17＝6×3－1， …… 第n个图形所需的棋子数为6n－1.
整式、分式、二次根式
第二讲 整式、分式一、课标下复习指南 (一)代数式1．代数式用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式．单独一个数或表示数的字母也叫做代数式．2．求代数式的值用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算计算出结果，叫做求代数式的值． 3．代数式的分类(二)整式1．整式的有关概念(1)单项式及有关概念由数字和字母的积组成的代数式叫单项式，单独的一个数和单独的一个字母也叫单项式．单项式的数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数．(2)多项式及有关概念几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫多项式的项，其中，不含字母的项叫做常数项．多项式里次数最高的项的次数叫多项式的次数．(3)同类项的概念 多项式中，所含字母相同，相同字母的指数也相同的项，叫做同类项．两个常数项也是同类项．2．整式的运算(1)整式的加减 ①合并同类项把多项式中的同类项合并成一项，即把它们的系数相加作为新的系数，而字母部分不变，叫做合并同类项．②添(去)括号法则如果括号前面是正号，括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括号里的各项都改变符号．③整式的加减几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号，合并同类项．(2)整数指数幂及其运算性质①整数指数幂正整数指数幂：⎪⎩⎪⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅==),2(),1(为正整数个n n a a a a n aa n n零指数幂：10=a (a ≠0)．负整数指数幂：n n aa 1=-(a ≠0，n 为正整数)． ②整数指数幂的运算性质(以下四式中m ，n 都是整数) a m ·a n ＝a m ＋n ： (a m )n ＝a mn ；(ab )m ＝a m ·b m ． a m ÷a n ＝a m －n(a ≠0)． (3)整式的乘法①单项式乘以单项式，把它们的系数、相同字母分别相乘；对于只在一个单项式里含的字母，连同它的指数作为积的一个因式．②单项式乘以多项式，根据分配律用这个单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．③多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．④乘法公式：(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2； (a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2；常用的几个乘法公式的变形：a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝(a －b )2＋2ab ；(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ．(4)整式的除法(结果为整式的)①单项式除以单项式，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，只在被除式里含有的字母，连同它的指数也作为商的一个因式．②多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．3．因式分解的概念 (1)因式分解的概念把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解． 在因式分解时，应注意：①在指定数(有理数、实数)的范围内进行因式分解，一定要分解到不能再分解为止，若题目中没有指定数的范围，一般是指在有理数范围内因式分解．②因式分解后，如果有相同的因式，应写成幂的形式，并且要把各个因式化简，同时，每个因式的首项不含负号．③多项式的因式分解是多项式乘法的逆变形． (2)因式分解的方法 ①提公因式法：ma ＋mb ＋mc ＝m (a ＋b ＋c )． ②运用公式法： a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )； a 2±2ab ＋b 2＝(a ±b )2：*③十字相乘法：x 2＋(a ＋b )x ＋ab ＝(x ＋a )(x ＋b )．④用一元二次方程求根公式分解二次三项式的方法：ax 2＋bx ＋c ＝a (x －x 1)(x －x 2)．(当b 2－4ac ≥0时，,2421a acb b x -+-=)2422aac b b x ---=(3)因式分解的步骤①多项式的各项有公因式时，应先提取公因式； ②考虑所给多项式是否能用乘法公式分解；③对于二次三项式，可先尝试用十字相乘法分解；④检查每一个因式是否都已分解彻底，是否符合要求．必要时，可用多项式的乘法运算从结果逆推回去，以检验因式分解所得结果是否正确． 4．分式(1)分式的有关概念①分式：若A 和B 均为整式(其中B 中含有字母)，则形如BA的式子叫做分式． 注意 对于一个分式BA，字母的取值必须使分母B 的值不为零． ②最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式． 注意 关于分式概念的应用，一般有以下几种： 分式有意义⇔分母≠0； 分式无意义⇔分母＝0；分式值为0⇔⎩⎨⎧≠=.0,0分母分子分式值为1⇔⎩⎨⎧==.0,分母分母分子分式值为正⇔分子、分母同号． 分式值为负⇔分子、分母异号．(2)分式的基本性质分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．M B MA MB M A B A ÷÷=⨯⨯=(其中M 是不等于零的整式)． (3)分式的运算①加减法：bd bc ad d c b a ±=±．特别地，当b ＝d 时，b c a b c b a ±=±． ②乘法：⋅=bdacd c b a . ③除法：bcadc d b a d c b a ==÷.(此法则将分式的除法转化为乘法)． ④乘方：n nn b a ba =)((n 为正整数)．二、例题分析例1 下列运算中，计算结果正确的个数是( )．(1)a 4·a 3＝a 12；(2)a 6÷a 3＝a 2；(3)a 5＋a 5＝a 10；(4)(a 3)2＝a 9；(5)(－ab 2)2＝ab 4；(6)⋅=-22212x x A ．无 B ．1个 C ．2个 D ．3个 解 A ．说明 整数指数幂的运算性质是整式运算的基础，容易混淆．其原因是做题时不按性质做，而是跟着感觉走，必须培养良好的做题习惯．例2 如果关于x ，y 的单项式2ax my 与5bx 2m －3y 是同类项，(1)求(9m －28)2009的值；(2)若2ax m y ＋5bx 2m －3y ＝0，并且xy ≠0，求(2a ＋5b )2009的值． 解 ∵2ax m y 与5bx 2m －3y 是同类项， ∴2m －3＝m ．解得m ＝3． (1)(9m －28)2009＝(9×3－28)2009＝－1．(2)∵m ＝3，且2ax my ＋5bx 2m －3y ＝0， ∴2ax 3y ＋5bx 3y ＝0，即(2a ＋5b )x 3y ＝0． 又∵xy ≠0，∴2a ＋5b ＝0． ∴(2a ＋5b )2009＝02009＝0．说明 此题考查了同类项的概念，要注意同类项与单项式的系数无关．在合并同类项时，只要将它们的系数合并，而字母及字母的指数不变．例3 计算： (1);)3()41(212335a b a b a -⋅-÷ (2)(3xy 3－9x 4y 2)÷3xy －(x 2－2xy )·4x 2．解 (1)原式＝23359)41(21a b a b a ⋅-÷.189)4(21242335b a a ba b a -=⋅-⨯=(2)原式＝y 2－3x 3y －4x 4＋8x 3y＝y 2＋5x 3y －4x 4．说明 正确运用幂的运算法则是进行幂的运算的关键．单项式相乘除时，要注意运算顺序，先做乘方，然后按从左到右的顺序做乘除法．例4 计算：(1)8x 2－(x －2)(3x ＋1)－2(x ＋1)(x －5)； (2)(a ＋b －1)(a －b ＋1)－a 2＋(b ＋2)2． 解 (1)原式＝8x 2－(3x 2－5x －2)－2(x 2－4x －5) ＝8x 2－3x 2＋5x ＋2－2x 2＋8x ＋10 ＝3x 2＋13x ＋12．(2)原式＝[a ＋(b －1)][a －(b －1)]－a 2＋(b ＋2)2 ＝a 2－(b －1)2－a 2＋(b ＋2)2＝(b ＋2)2－(b －1)2＝(b ＋2＋b －1)(b ＋2－b ＋1) ＝(2b ＋1)×3＝6b ＋3．说明 在整式运算中，要注意：(1)灵活运用运算律、运算法则和乘法公式，寻找合理、简捷的运算途径；(2)利用乘法公式进行计算时，要分析式子的特点，正确选择公式，尤其要注意公式中字母的顺序及符号；(3)当几个多项式乘积前面出现负号时，处理负号的方法是可将负号视为(－1)先与其中的一个因式相乘，或将负号后面的多项式结合在一起先相乘，然后利用去括号法则去括号．例5 把下列各式分解因式：(1)6(a －b )2＋8a (b －a )； (2)(x ＋y )2－4(x ＋y )＋4； (3)16x 2－(x 2＋4)2； (4).4412+-x 解 (1)原式＝6(a －b )2－8a (a －b ) ＝2(a －b )[3(a －b )－4a ] ＝2(a －b )(3a －3b －4a ) ＝－2(a －b )(a ＋3b )．(2)原式＝[(x ＋y )－2]2＝(x ＋y －2)2． (3)原式＝(4x )2－(x 2＋4)2 ＝[4x ＋(x 2＋4)][4x －(x 2＋4)] ＝－(x 2＋4x ＋4)(x 2－4x ＋4) ＝－(x ＋2)2(x －2)2．(4)原式)16(412--=x).4)(4(41-+-=x x说明 (1)分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止(每个因式分别整理、化简后，一般要按降幂排列)；(2)如果多项式最高次项的系数是负数，一般要提出负号，使括号内该项的系数是正数；(3)遇到有多项式乘方时，应注意下面的规律：(b －a )2k ＝(a －b )2k ；(b －a )2k ＋1＝－(a －b )2k ＋1(k 为整数)．(4)注意换元思想在因式分解中的应用：将题目中相同的代数式看成一个整体去提取公因式、运用乘法公式或进行十字相乘．例6 (1)当x 取何值时，分式6532+--x x x 无意义?(2)当x 取何值时，分式12922---x x x 有意义?值为零?解 (1)要使分式无意义，只需x 2－5x ＋6＝0．解得x 1＝2，x 2＝3．∴当x ＝2或x ＝3时，分式无意义．(2)要使分式有意义，只要使x 2－x －12≠0，解得x ≠－3且x ≠4． ∴当x ≠－3且x ≠4时，分式有意义．要使分式的值为零，只⎪⎩⎪⎨⎧=/--=-.012,0922x x x解得⎩⎨⎧≠-=/-==.43,33x x x x 且或∴当x ＝3时，分式的值等于零．说明 (1)确定分式有无意义时，一定要对原分式进行讨论，而不能讨论化简后的分式；(2)只有当字母的取值使分子的值等于零且分母的值不等于零时，分式的值才等于零；(3)注意准确使用“或”和“且”字．例7 计算： (1)2121111x x x ++++-； (2)⋅--++--÷++-+296.4144222222x x x x x x x x x x 解 (1)原式212)1)(1(11x x x x x +++--++=)1)(1()1(2)1(21212222222x x x x x x +--++=++-= 414x-=． (2)原式.1)2)(2(.)2()2)(1(2--+++-=x x x x x x ⋅+++=++=-++1961)3()2)(1()3(222x x x x x x x x说明 对异分母的分式相加减时，一般先通分，变为同分母的分式，然后再加减．对于某些具体的分式运算也可以采取一些特殊的方法，如(1)题采用逐步合并的方法．对于分子、分母都是多项式的分式进行乘除运算时，一定要先将每个多项式分解因式，然后将除法统一为乘法，最后再进行约分，如(2)题．对于运算结果，一般的，二次的多项式应乘开．例8 已知12-=a ，化简求值：⋅+-÷++--+-24)44122(22a a a a a a a a解法一 原式42])2(1)2(2[2-+⨯+--+-=a a a a a a a 41)212(-⨯+---=a a a a a ⋅+=-⨯+-=)2(141)2(4a a a a a a .122,12+=+∴-=a a ∴原式.1)12)(12(1=+-=解法二 由12-=a ，得21=+a ，平方，移项，可得a 2＋2a ＝1．∴将原式化简为aa 212+后，立即得其值为1． 例9 已知x ＋y ＝－4，xy ＝－12，求+++11x y 11++y x 的值． 解 原式)1)(1()1()1(22+++++=y x x y＝1121222++++++++y x xy x x y y1)(2)(22)(2++++++-+=y x xy y x xy y x 将x ＋y ＝－4，xy ＝－12代入上式，∴原式⋅-=+--+-⨯++-=153414122)4(224)4(2说明 求代数式的值的问题，一般先将所求代数式进行化简，然后利用已知条件求值．在使用条件时有三种方式：(1)将已知条件直接代入计算；(2)将已知条件变形后再代入计算；(3)将已知条件整体代入再计算求值．例10 已知321=+xx ，求441x x +的值．解 2)1(122244-+=+xx x x2]2)32[(2]2)1[(2222--=--+=xx＝102－2＝98．说明 此题是反复运用完全平方公式把所求代数式变形，使问题得解． 三、课标下新题展示例11 在解题目“当x ＝1949时，求代数式x x x x x x x 122444.222-+-÷-+-＋1的值．”时，聪聪认为x 只要任取一个使原式有意义的值代入都有相同结果．你认为他说得有道理吗?请说明理由．解 聪聪说得有道理．∵原式11)2(2.)2)(2()2(2+--+-+-=xx x x x x x ,1111=+-=xx ∴只要使原式有意义，无论x 取何值，原式的值都相同，为常数1．例12 某种长途电话的收费方式如下：接通电话的第＝分钟收费a (a ＜8)元，之后的每＝分钟收费b 元．如果某人打该长途电话被收费8元钱，则此人打长途电话的时间是( )．A ．ba-8分钟 B ．b a +8分钟 C ．bba +-8分钟D ．bba --8分钟解 C ．说明 用代数式表示实际问题中的数量关系，是一类常见的考题．二次根式一、课标下复习指南 (一)二次根式的有关概念 1．二次根式形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式． 2．最简二次根式(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 满足上述两个条件的二次根式叫做最简二次根式． (二)二次根式的主要性质1．)0(≥a a 是一个非负数； 2．);0()(2≥=a a a 3．⎩⎨⎧<-≥==);0(),0(||2a a a a a a4．);0,0(≥≥⋅=b a b a ab5．);0,0(>≥=b a ba ba6．若a ＞b ≥0，则.b a > (三)二次根式的运算1．二次根式的加减二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．2．二次根式的乘除二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变． *3．分母有理化把分母中的根号化去，分式值不变，叫做分母有理化．常用的二次根式的有理化因式： (1)a 与a 互为有理化因式；(2)b a +与b a -，一般的，b c a +与b c a -互为有理化因式；(3)b a +与b a -，一般的，b d a c +与b d a c -互为有理化因式． 二、例题分析例1 当x 为何值时，下列代数式有意义? .1)2(;322)1(232x x x x x -+----解 (1)欲使3222---x x x 有意义，只要使⎩⎨⎧=/--≥-.032,022x x x 即⎩⎨⎧≠-=/≥.31,2x x x 且 解得x ≥2且x ≠3． ∴当x ≥2且x ≠3时，3222---x x x 有意义．(2)欲使231x x -+-有意义，只要使－x 2≥0，解得x ＝0． ∴当x ＝0时，231x x -+-有意义．说明 代数式有意义的条件：分式有意义的条件是分式的分母不为零；二次根式有意义的条件是被开方数为非负数；由实际意义得到的代数式还要符合实际意义．例2 化简：(1);14962123xx x x x -+ *(2)已知1＜x ＜2，化简122+-x x .442x x +-+ 解 (1)原式x x x x x x 4221-+=x x 23-=(2)∵1＜x ＜2，∴x －1＞0，2－x ＞0． 224412x x x x +-++-∴22)2()1(x x -+-=＝|x －1|＋|2－x |＝(x －1)＋(2－x )＝1．说明 (1)二次根式的化简要考虑最简二次根式的两个条件，根号内是多项式时，要考虑是否是完全平方式；(2)化简2a 时，要考虑字母a 的取值范围；(3)在二次根式运算中，根号外的因式可以平方后作为被开方数的因式移进根号内，从而使运算简化．例3 计算：(1);22)8321464(÷+- (2)+⋅-+-5()625()2332(202.)6219 解 (1)原式22)262264(÷+-=.232+=(2)原式＝5)(625[()1861212(-++-62561230)625()]6219-+-=-⋅+.61435-=说明 整式和分式的运算性质在二次根式的运算中同样适用，乘法公式、分配律、约分等都有可能简化运算过程，要根据式子的结构特征灵活使用．例4 已知xy ＝3，求yxyx y x+的值． 分析 因为xy ＝3，所以x ，y 同正或同负，要分情况讨论． 解 当x ＞0，y ＞0时， 原式.322==+=xy xy xy 当x ＜0，y ＜0时，原式.322-=-=--=xy xy xy 综上可知，原式.32±= 三、课标下新题展示例5 若n 20是整数，则满足条件的最小正数n 为( )． A ．2B ．3C ．4D ．5解 D ．说明 对于二次根式的性质：||);0()(22a a a a a =≥=，会有多种形式进行考查，要熟练掌握．例6 对正实数a ，b ，定义,*b a ab b a +-=若4*x ＝44，则x 的值是______． 解 依题意，得.4444=+-x x 整理，得.484=+x x 变形，得.4912)(2=++x x.49)1(2=+∴x71=+∴x 或,71-=+x 6=x 或8-=x (舍)． ∴x ＝36．经检验，x ＝36是原方程的解． ∴x 的值是36．说明 此题考查了阅读理解能力、完全平方公式、二次根式的性质、配方法解方程，是一道代数综合题，要求每个基本知识点都熟练掌握．四、课标考试达标题(一)选择题1．下列各式中正确的是( )． A ．－2(a －b )＝－2a －b B ．(－x )2÷x 3＝xC ．xyz ÷(x ＋y ＋z )＝yz ＋xz ＋xyD ．(－m －n )(m －n )＝n 2－m 2 2．下列等式中不成立的是( )．A ．y x y x y x -=--22 B ．y x yx y xy x -=-+-222 C ．y x yxyx xy -=-2 D ．xyx y y x x y 22-=-3．若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式．．．．．，如a ＋b ＋c 就是完全对称式．下列三个代数式：①(a －b )2；②ab ＋bc ＋ca ；③a 2b ＋b 2c ＋c 2a ．其中是完全对称式的是( )． A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 4．用配方法将代数式a 2＋4a －5变形，结果正确的是( )． A ．(a ＋2)2－1B ．(a ＋2)2－5C ．(a ＋2)2＋4 D ．(a ＋2)2－95．已知411=-b a ，则ab b a b ab a 7222+---的值等于( )．A ．6B ．－6C ．152D ．72-(二)填空题6．某公司2009年5月份的纯利润是a 万元，如果每个月纯利润的增长率都是x ，那么预计7月份的纯利润将达到______万元(用代数式表示)． 7．多项式9x 2＋1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是______ (填上一个正确的即可)．8．若2x＝3，4y＝5，则2x －2y的值为______． 9．观察下面的单项式：x ，－2x 2，4x 3，－8x 4，…根据你发现的规律，写出第7个式子是______．10．已知),3,2,1()1(12=+=n n a n ， b 1＝2(1－a 1)，b 2＝2(1－a 1)(1－a 2)，…，b n ＝2(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，则通过计算推测出b n 的表达式为b n ＝______．(用含n 的代数式表示) (三)解答题 11．求63)(41)(21ba b a b a b a --++++-的值，其中|a －1|＝－(b ＋2)2．12．在实数范围内分解因式：(1)4x 4－1；(2)x 2＋2x －5．13．观察下列等式：,322322,211211-=⨯-=⨯＝.,433433 -=⨯(1)猜想并写出第n 个等式；(2)证明你写出的等式的正确性．14．按下列程序计算，把答案填写在表格内，然后看看有什么规律，想想为什么会有这个规律?(1)填写表内空格：(2)发现的规律是：(3)用简要的过程证明你发现的规律．(一)选择题1．在根式⑤④③②①;2;15;;5223ab a a -2;12a a ⑥中，最简二次根式是( )．A ．②③⑤B ．②③⑥C ．②③④⑥D ．①③⑤⑥2．如果最简根式ab b -3和22+-a b 是同类二次根式，那么a 、b 的值分别是( )．A ．a ＝0，b ＝2B ．a ＝2，b ＝0C ．a ＝－1，b ＝1D ．a ＝1，b ＝－23．下列各式中，运算正确的是( )． A ．553322=+ B ．236=÷ C ．632=D ．12233=-(二)填空题4．当x 满足______条件时，32++-x x在实数范围内有意义． 5．若式子|2|)1(2-+-x x 化简的结果为2x －3，则x 的取值范围是______． 6．已知x 为整数，且满足32≤≤-x ，则x ＝______．7．观察下列各式：=+=+412,312311514513,413=+…请你将发现的规律用含自然数n 的等式表示出来______．(n ≥1)(三)解答题 8．计算：.)2(xy yxxyxy ⋅+-9．化简：.)23(36329180-++--10．先化简，再求值：423)225(--÷---a a a a ，其中.33-=a。
第2课时整式加减、幂的运算
第二课时 整式的加减、幂的运算【基础知识梳理】1.整式的有关概念__________________________________叫做单项式，__________________叫做单项式的系数，____________________叫做单项式的次数。
__________________________________叫做多项式，____________________叫做多项式的次数。
__________和__________统称为整式。
2.同类项所含字母__________，且___________________指数也相同的项叫做同类项 ，几个常数项也是同类项。
3.合并同类项把一个多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项，合并同类项的法则为： ____________________________________________________________________. 4.去括号法则：________________________________________________. 5.幂的运算法则 同底数幂相乘，底数__________，指数_________，用字母表示为_____________________. 幂的乘方，底数___________，指数____________，用字母表示为_____________________.积的乘方，__________________________________________，用字母表示为_____________________.同底数幂相除，底数__________，指数_________，用字母表示为_____________________.0_______.(0)a a =≠p p aa 1=-（a ≠0，p 为正整数） 【基础诊断】1.下列说法错误的是（ ）A . 0和x 都是单项式;B . 3n xy 的系数是3n ,次数是2C . －3x y +和1x 都不是单项式; D . 21x x +和8x y+都是多项式 2.（2013广州市）下面的计算正确的是（ ）A. 6a －5a=1B. a+2a 2=3a 3C.－(a －b)=－a+bD.2(a+b)=2a+b3. （2013珠海）计算22a -+2a 的结果为( )A ． a 3-B ．a -C ．23a -D ．2a -6.当k 为__________时，233k x y -和264x y 是同类项.7．（2013浙江省温州市）化简：2(1)_______.a a +-=8.计算：23()m -=_____________，324[()]x =_____________，83()x x ÷-=_____________ 【精典例题】例1、（2013•新疆）若a ，b 为实数，且|a+1|+=0，则（ab ）2013的值是（ ）A. 6a －5a=1B. a+2a 2=3a 3C.－(a －b)=－a+bD.2(a+b)=2a+b【解析】根据合并同类项法则、积的乘方的性质、单项式除法法则和幂的乘方的性质解答．【答案】解：A 、合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变，应为6a －5a=a ，故本选项错误；B 、a 与2a 2，不是同类项，不能合并故本选项错误；C 、根据去括号法则－(a －b)=－a+b ，故本选项正确；D 、应为2(a+b)=2a+2b ，故本选项错误． 故选C ．【点评】本题主要考查合并同类项法则和去括号的法则，需要熟练掌握认真计算．例3（2013江苏泰州市）若2a-b=5,则多项式6a-3b 的值是 ．【解析】对原代数式变形得6a-3b=3（2a-b ），将2a-b=5代入可得15 【答案】15【点评】本题考查了分解因式、利用整体代入进行代数式求值的相关知识．整体代入是初中代数求值型题目常用的方法，解题的关键是学生对代数特征的观察把握能力．【自测训练】 A —基础训练一、选择题（每小题有四个选项，只有一个选项是正确的.）2、（2013东营中考）下列运算正确的是（ ） A ．a a a=-23B ．632a a a =⋅C ．326()a a = D ． ()3393a a =3、（2013泰安）下列运算正确的是（ ） A ．3x 3﹣5x 3=﹣2x B ．6x 3÷2x ﹣2=3x C ．（）2=x 6D ．﹣3（2x ﹣4）=﹣6x ﹣124、(2013年广东省)下列等式正确的是 A.1)1(3=-- B. 1)4(0=- C. 6322)2()2(-=-⨯- D. 2245)5()5(-=-÷-5．（2012济宁）下列运算正确的是（ ）A. ﹣2（3x ﹣1）=﹣6x ﹣1B. ﹣2（3x ﹣1）=﹣6x+1C. ﹣2（3x ﹣1）=﹣6x ﹣2D. ﹣2（3x ﹣1）=﹣6x+2 二、填空题6.（2012梅州）若代数式﹣4x 6y 与x 2n y 是同类项，则常数n 的值为 ．7．（2013贵州铜仁，）照下图所示的操作步骤，若输入x 的值为5，则输出的值为_______________；8．（2013江苏泰州市）若2a-b=5,则多项式6a-3b 的值是 ．9.（2013四川成都）已知当1x =时，22ax bx +的值为3，则当2x =时，2ax bx + 的值为________三、解答题10.先化简，再求值：222224()(4)y x y x y -++-，其中，x =－28，y =18.11.当x =2时，代数式73-+bx ax 的值等于－19，求当x = －2时代数式的值． B 提升训练一、选择题（每小题有四个选项，只有一个选项是正确的.）1、(2013年深圳市)下列计算正确的是（ ）A.222)(b a b a +=+ B.22)ab (ab = C.523)(a a = D.32a a a =⋅ 2、(2013年江西省)下列计算正确的是（ ）． A ．a 3+a 2=a 5 B ．(3a －b )2=9a 2－b 2 C ．a 6b ÷a 2=a 3bD ．(－ab 3)2=a 2b 63. （2013安徽）某企业今年3月份产值为a 万元，4月份比3月份减少了10％，5月份比4月份增加了15％，则5月份的产值是（ ）A.（a -10％）（a +15％）万元B. a （1-10％）（1+15％）万元C.（a -10％+15％）万元D. a （1-10％+15％）万元4.如果423a b x y --与313a b x y +是同类项，那么这两个单项式的和为（ ）A. 32x y -B. 64x y -C. 3283x y - D. 64x y5.（2011浙江宁波）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m cm ，宽为n cm ）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（ ）A 、4mcmB 、4ncmC 、2（m+n ）cmD 、4（m －n ）cm二、填空题6、（2013福省福州）已知实数a ，b 满足a+b=2，a ﹣b=5，则（a+b ）3（a ﹣b ）3的值是 ．7.化简2x 2+(-x 2+3xy +2y 2)-(x 2-xy +2y 2) ．；8.（2012滨州）根据你学习的数学知识，写出一个运算结果为a 6的算式 ．9.（2013河北省）已知y=x-1，则()()12+-+-x y y x 的值为_________10.已知3a b -=-，2c d +=，则()()b c a d +--=_________. 11.若0a >且2x a =，3y a =，则x y a -=_________.12．（2013浙江省温州市）某校艺术班同学，每人都会弹钢琴或古筝，其中会弹钢琴的人数比会弹古筝的人数多10人，两种都会的有7人。
《整式及其运算 》课件
目
CONTENCT
录
• 整式的概念 • 整式的乘法 • 整式的除法 • 整式的混合运算 • 整式的简化 • 整式
02
01
03
整式是由常数、变量、加、减、乘、乘方等基本运算 组成的代数式。 整式中不含除法运算或开方运算。
整式可以看作是多项式的特殊情况。
多项式乘多项式
总结词
分别相乘，合并同类项
详细描述
多项式与多项式相乘时，需要将每个多项式的每一项分别相乘，然后合并同类项 。例如，$(x^2 + x) times (x + 1) = x^3 + x^2 + x^2 + x = x^3 + 2x^2 + x$。
乘法公式
总结词
利用公式简化计算
详细描述
整式可以用来解决实际问题，例如计 算路程、时间、速度等，有助于解决 实际问题。
THANK YOU
感谢聆听
整式的分类
单项式
只包含一个项的整式，例如：5x 、6y等。
多项式
包含多个项的整式，例如：x^2 3x + 2、xy - 2y等。
整式的加减法
01
同类项是指具有相同未知数的项 ，例如：x^2和3x^2是同类项。
02
合并同类项是指将它们的系数相 加减，未知数保持不变，例如： x^2 + 3x^2 = 4x^2。
在几何中的应用
整式在几何中也有着广泛的应用，例如在平面几何和立体几何中 ，整式可以用来表示长度、面积、体积等几何量。
整式可以用来解决几何问题，例如求圆的周长、面积等，有助于 解决实际问题。
在日常生活中的应用
整式在日常生活中也有着广泛的应用 ，例如在物理学中，整式可以用来表 示物理量之间的关系和变化规律。
初一数学第2课
初一数学第2课
初一数学第2课的内容通常涉及到数学的基本概念和基础运算。
根据不同的教材和地区，具体内容可能会有所不同，但一般来说，以下是一些可能的主题和知识点：
1. 数轴和有理数：这一课通常会介绍数轴的概念，如何在数轴上表示有理数，以及有理数的加减法。
2. 整式及其运算：学生将学习整式的概念，包括单项式和多项式，以及如何进行整式的加减法和乘法。
3. 一元一次方程：在这一课中，学生将学习如何解一元一次方程，包括移项、合并同类项和系数化为1等步骤。
4. 几何图形的初步认识：学生将学习基本的几何概念，如线段、射线、直线等，以及如何比较线段的长短。
5. 二元一次方程组：这一课将介绍二元一次方程组的概念，以及如何用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组。
以上是一些可能的主题，具体内容可能会因教材和地区而有所不同。
在学习过程中，学生应该注重理解概念，多做练习题，以提高自己的数学能力。
第2课时整式加法和减法
注意：求两个代数式的差时，一定要加 括号!!
• 1、本节课我们学习了哪些知识？ • 分几种情况考虑？ • 去括号法则。去括号时从两个方面考虑。
• 2、本节课我们用了哪些数学方法？ • ⑴从特殊到一般的方法 • ⑵对比法、归纳法
• 3、本节课我们用了哪些相关的知识？ • 分配律、相反数、合并同类项
动脑筋
根据加法结合律，去掉下面式子中的括号， 填空：
a + （ b + c ） = ___a__+__b_+__c__； a + （ b - c ） = ___a_+__b_-__c___.
由上面的式子你发现了什么？
结论
一般地，有下列去括号法则： 括号前是“+”号，运用加法结合律把
括号去掉，原括号里各项的符号都不变.
课前热身：
1. 同学们，我们学过乘法对加法的分配律
请计算：⑴ 2×(0.5-3)= -5
⑵ a(b+c)= ab+ac 2. 化简：+（+2）= +2 -（+2）= -2
+（一2）= -2 一（一2）= +2
3.你能计算下列各式吗?为什么?
(1) (3a+4b)+(a+b)
(2) x+2y-(-2x-y)
解：原式=5a-3b-3a2+6b+21b+14a =19a+24b - 3a2
• 2. 3b -2c - [ - 4a+(c+3b)]+c 解：原式=3b-2c-[-4a+c+3b]+c =3b-2c+4a-c-3b+c = - 2c+4a
第二章 整式及其加减 整理与复习 课件 2024--2025学年华东师大版七上
3
53
5
= 1 x2 3 x2 8 x2 3 xy 3 xy + 3 y2 + 2 y2
3
3
55
=y2
当x= 1 ，y=2时，原式=22=4
2
B组
12. x表示一个两位数，y表示一个三位数，若把x放在y的右边组成 一个五位数，则这个五位数可以表示为___1_0_0_y_+_x____.
【选自教材P120复习题第12题】
注 （1）在确定多项式的项时，要连同它前面的符号. 意 （2）一个多项式中次数最高项的次数是几，就说这个多项式是几 的 次多项式. 问 （3）在多项式中，每个单项式都是这个多项式的项，每一项都有 题 系数，但对整个多项式来说，没有系数的概念，只有次数的概念.
总结
同类项的定义： __所__含__字__母__相__同__，__并__且__相__同__字__母__的__指__数__都__相__等__的__项_____. 规定：几个常数项也是__同__类__项___. 合并同类项概念：把多项式中的同类项合并成一项. 合并同类项法则： （1）__系__数___相加； （2）_字__母__和__字__母__的__指__数__不变.
1.用字母表示数，从数的研究过渡到代数式的研究，是数学发展的 一次飞跃. 代数式及其运算，是进一步学习数学(方程、不等式、函 数等)的基础，也是解决实际问题的工具.学习时要注意联系实际， 体会从具体到抽象、从特殊到一般的思想方法.
2.整式包括单项式和多项式.多项式可以看作几个单项式的和，其中 的每一个单项式是多项式的项.多项式的项(单项式)的系数包括正负 号，在进行整式运算时不容忽视.
5.填表：【选自教材P119复习题第5题】
1
初一数学第2课
初一数学第2课
摘要：
1.初一数学第2 课的内容概述
2.初一数学第2 课的重点知识点
3.如何学习初一数学第2 课
正文：
初一数学第2 课的内容概述：
初一数学第2 课是初中数学学习的重要组成部分，本课程的主要内容包括有理数、整式及其运算、一元一次方程、几何图形等。
这些内容都是初中数学的基础知识，对于后续学习有着重要的影响。
初一数学第2 课的重点知识点：
1.有理数：有理数的概念、分类、性质和运算是本课程的重点内容。
有理数的分类包括正数、负数和零，有理数的运算包括加、减、乘、除等。
2.整式及其运算：整式的概念、分类和运算也是本课程的重点内容。
整式包括单项式和多项式，整式的运算包括加、减、乘等。
3.一元一次方程：一元一次方程的概念、解法和应用是本课程的重点内容。
一元一次方程的形式为ax+b=0，解法包括移项法、消元法等。
4.几何图形：几何图形的性质、分类和计算是本课程的重点内容。
几何图形包括点、线、面、体等。
如何学习初一数学第2 课：
1.掌握基础知识：初一数学第2 课的知识点都是初中数学的基础知识，因此，学习本课程的首要任务是掌握基础知识。
2.多做练习：数学学习需要多做练习，通过练习可以加深对知识点的理解，提高解题能力。
3.及时复习：学习初一数学第2 课的过程中，要及时复习，防止遗忘。
4.寻求帮助：如果在学习过程中遇到困难，可以寻求老师、家长或同学的帮助。
总的来说，初一数学第2 课是初中数学学习的重要组成部分，对于后续学习有着重要的影响。
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)
【解析】 A．3a 与 2b 不是同类项，不能合并，故本选项 错误． B．3a· 2b＝6ab，故本选项正确． C．(a3)2＝a6，故本选项错误． D．(ab2)3＝a3b6，故本选项错误．
【答案】
B
题型二
整式的运算
1．进行整式的运算时，一要注意合理选择幂的运算法则， 二要注意结果的符号，三要注意同类项要合并．
【答案】 B
3．某种手机卡的市话费上次按原收费标准降低了 m 元/ 分钟，现在再次下调 20%，使收费标准为 n 元/分钟， 那么原收费标准为 ( ) 5 5 A．( n－m)元/分钟 B．( n＋m)元/分钟 4 4 1 1 C．( n－m)元/分钟 D．( n＋m)元/分钟 5 5
设原收费标准为 x 元/分钟，则 5 (x－m)(1－20%)＝n，解得 x＝ n＋m． 4
【答案】
B
【类题演练 2】 (2016· 岳阳)下列运算结果正确的是( A．a2＋a3＝a5 B．(a2)3＝a6 C．a2· a3＝a6 D．3a－2a＝1
)
【解析】 A．a2 与 a3 不是同类项，不能合并，故本选项 错误． B．(a2)3＝a2×3＝a6，故本选项正确． ＋ C．a2· a3＝a2 3＝a5，故本选项错误． D．3a－2a＝a，故本选项错误．
【答案】 B
题型一 幂的运算
熟记法则，依照法则进行计算.
【典例 1】 A．a5
(2016· 吉林)计算(－a3)2 结果正确的是( B．－a5 C．－a6 D．a6
)
【解析】
【答案】
(－a3)2＝(－1)2· (a3)2＝a6．
D
【类题演练 1】 (2016· 贵港)下列运算中，正确的是( A．3a＋2b＝5ab B．3a· 2b＝6ab C．(a3)2＝a5 D．(ab2)3＝ab6
【典例 4】
已知 x2＋2x－1＝0，则 3x2＋6x－2＝____．
【解析】 由 x2＋2x－1＝0，得 x2＋2x＝1， ∴3(x2＋2x)＝3x2＋6x＝3， ∴3x2＋6x－2＝3－2＝1．
【答案】
1
【类题演练 4】 已知 a2＋b2＋2a－4b＋5＝0，求 2a2＋4b －3 的值．
【解析】 由 a2＋b2＋2a－4b＋5＝0，得 a2＋2a＋1＋b2－4b＋4＝0， 即(a＋1)2＋(b－2)2＝0． ∵(a＋1)2≥0，(b－2)2≥0， ∴a＋1＝0 且 b－2＝0， ∴a＝－1 且 b＝2， ∴2a2＋4b－3＝2× (－1)2＋4× 2－3＝7．
3．整式：单项式和多项式统称为整式．
4．同类项：多项式中，所含字母相同，并且相同字母的 指数也相同的项，叫做同类项．
5．幂运算法则：
(1)同底数幂相乘： ＋ a m· an＝am n(m，n 都是整数，a≠0)． (2)幂的乘方： (am)n＝amn(m，n 都是整数，a≠0)． (3)积的乘方： (ab)n＝an· bn(n 是整数，a≠0，b≠0)．
1．(2016· 柳州)在下列单项式中，与 2xy 是同类项的是( A．2x2y2 B． 3y C．xy D ． 4x
)
【答案】
C
2．(2016· 丽水)计算 32× 3 1 的结果是 A．3 B．－3 C．2 D．－2
－
(
)
【答案】
A
3．(2016· 泸州)计算 3a2－a2 的结果是 A．4a2 B． 3a2 C．2a2 D．2
1．单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式 叫做单项式，单独一个数或一个字母也叫单项式．一 个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的 次数，单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．
2．多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式， 多项式里次数最高的项的次数就是这个多项式的 次 数，不含字母的项叫做常数项．
则 M>N；若 M－N＝0，则 M＝N；若 M－N<0，则 M<N．另外也可用商除法、倒数法等来比较大小．
易错点1
幂运算法则混淆
(2)(－2x2)2． (4)(a－b)2．
【典例 1】 计算： (1)x3· x3． (3)x5÷ x．
【错解】 (1)x 3·x 3＝2x 6． (2)(－2x 2)2＝－4x 4． (3)x 5÷x ＝x 5． (4)(a－b)2＝a2－b2．
(
)
【答案】
C
4．(2016· 江西)下列运算中，正确的是 ( A．a2＋a2＝a4 B．(－b2)3＝－b6 C．2x· 2x2 ＝ 2x3 D．(m－n)2＝m2－n2
)
【答案】
B
5．(2016· 杭州)下列各式变形中，正确的是 ( ) A．x2· x3＝x6 B． x2＝|x| 1 1 1 C．(x2－x)÷ x＝ x－ 1 D．x2－x＋1＝(x－x)2＋ 4
(4)同底数幂相除： － a m÷ an＝am n(m，n 都是整数，a≠0)．
6．整式乘法： 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别 相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式． 单项式乘多项式：m (a＋b)＝ma＋mb． 多项式乘多项式：(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd．
【解析】
【答案】
B
4．若 A ＝5a2－4a＋3，B ＝3a2－4a＋2，则 A 与 B 的大小 关系是 ( ) A．A ＝B B ． A >B C ．A <B D．以上都有可能
【解析】 A－B＝(5a2－4a＋3)－(3a2－4a＋2)＝2a2＋1． ∵2a2＋1>0，∴A－B>0，即 A>B，故选 B．
)
【解析】 D 选项可变形为－(x－y)2，故 D 选项不能用平 方差公式计算．
【答案】
D
2．已知 x2－2x－3＝0，则 2x2－4x 的值为 A．－6 B．6 C．－2 或 6 D．－2 或 30
(
)
【解析】 由 x2－2x－3＝0，得 x2－2x＝3， ∴2x2－4x＝2(x2－2x)＝2× 3＝6．
2．不要把同底数幂的乘法和整式的加减法混淆，如 a3· a5 ＝a8 和 a3＋a3＝2a3．(am)n 和 an· am 也容易混淆．
3．单项式除法的关键：注意区别“系数相除”与“同底数幂 － 相除”的含义， 如 6a5÷ (3a2)＝(6÷ 3)a5 2＝2a3， 一定不能 把同底数幂的指数相除．
7．乘法公式：
(1)平方差公式： (a＋b)(a－b)＝a2－b2． (2)完全平方公式： (a± b)2＝a2± 2ab＋b2．
8．整式除法： 单项式相除，把系数、同底数幂分别 相除，作为商的 因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指 数作为商的一个因式．多项式除以单项式，先把这个 多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
【纠错】 ± 44
★名师指津
整式的乘法公式包含平方差公式： (a＋b)(a
－b)＝a2－b2 和完全平方公式 (a± b)2＝a2± 2ab＋b2，它 们都属于特殊的整式的乘法，在运用过程中，要注意 式子中符号的特征以及乘积的符号特征．
1．下列各式中，不能用平方差公式计算的是 ( A．(4x－3y)(－3y－4x) B．(2x2－y2)(2x2＋y2) C．(a＋b－c)(－c－b＋a) D．(－x＋y)(x－y)
【答案】
B
5．若矩形的一边长为 a＋2b，另一边长比它的 3 倍少 a－ b，求这个矩形的周长．
【解析】 由题意，得另一边长应为 3(a＋2b)－(a－b)＝ 2a＋7b， ∴矩形的周长为 2(a＋2b)＋2(2a＋7b)＝6a＋18b．
按时完成课后强化训练2，全面提升自我！
单击此处进入课后强化训练21．整式的加减实质就是合并同类项，整式的乘除实质就 是幂的运算．
2．本课法则与公式比较多，注意法则、公式既可正向应 用，也可逆向运用，逆用和灵活应用公式既可简化计 算，又能进行较复杂的代数式的大小比较，当直接计 算有困难时，考虑逆向运用，化难为易． 3．本课主要用到以下三种数学思想方法： (1)数形结合思想： 在列代数式时，常常会遇到一种题型：题中提供一 定的图形，要求通过对图形的观察、探索，提取图 形中反馈的信息，并根据相关的知识列出相应的代 数式，也能用图形来验证整式的乘法和乘法公式．
【答案】
B
题型三 乘法公式
满足两数和与两数差的特点应用平方差公式，在利用 完全平方公式求值时，通常用到以下几种变形： ①a2＋b2＝(a＋b)2－2ab； ②a2＋b2＝(a－b)2＋2ab； ③(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab； ④(a－b)2＝(a＋b)2－4ab． 注意公式的变形及整体思想的应用．
【答案】
C
【类题演练 3】
(2016· 温州)化简：(2＋m)(2－m)＋m(m－
1)．
【解析】 原式＝4－m2＋m2－m＝4－m．
题型四 化简求值
先根据整式的运算对整式进行化简，其中包含了合并 同类项、 单项式与单项式的乘法、 单项式与多项式的乘法、 幂的运算、乘法公式的应用等，再代入求值．求值时要注 意整体思想的应用．
【典例 3】 (2016· 怀化)下列计算正确的是 ( ) A．(x＋y)2＝x2＋y2 B．(x－y)2＝x2－2xy－y2 C．(x＋1)(x－1)＝x2－1 D．(x－1)2＝x2－1
【解析】 A．(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2，故本选项错误． B．(x－y)2＝x2－2xy＋y2，故本选项错误． C．(x＋1)(x－1)＝x2－1，故本选项正确． D．(x－1)2＝x2－2x＋1，故本选项错误．
【典例 2】 (2016· 荆州)下列运算正确的是 A．m6÷ m2＝m3 B．3m2－2m2＝m2 1 2 3 6 C．(3m ) ＝9m D． m· 2m2＝m2 2
－
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【解析】 A．m6÷ m2＝m6 2＝m4，故本选项错误． B．3m2－2m2＝m2，故本选项正确． C．(3m2)3＝33· (m2)3＝27m6，故本选项错误． 1 1 2 D． m· 2m ＝（ ×2）· m· m2＝m3，故本选项错误． 2 2