【全国校级联考word】百校联盟2018届高三top20四月联考(全国ii卷)理数试题

百校联盟2018届高三TOP20四月联考（全国II 卷）理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}(){}25,30A x x B x x x =<<=-<，则A B ⋃=（ ） A ．()0,5 B ．()2,3 C.()3,5 D ．()0,32.已知复数12iz i-=-，则z 的虚部为（ ） A ．35- B ．35i C.15- D ．15i -3.已知()(),1,2,4a x b ==-，若()a b b +⊥，则x =（ ） A ．8 B ．10 C.11 D ．124.中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他活动的民间艺术，在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分.在如图所示的古代正八边形窗花矢量图片中，AB BC =DEFG 中的概率为（ ）A C. D 5.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．5B ．11 C. 14 D ．196.过双曲线2222:10,0()x y E a b a b -=>>的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线E 交于,A B 两点，与双曲线E的渐近线交于,C D两点，若AB =E 的渐近线方程为（ ） A．y = B．y = C.2y x =± D．y =±7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A．212 B．10+212+ D+8.已知()()()211f x x x =++，则不等式()()lg 1f x f <的解集为（ ）A ．()1,10,10⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭B ．1,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.()0,10 D ．1,10100⎛⎫⎪⎝⎭9.已知数列{}n a中，117,1n n a a a +=-=+，则30a =（ ） A ．1028 B ．1026 C. 1024 D ．102210.已知()10,00x y D x y x t y t ⎧-+>⎫⎧⎪⎪⎪=-<⎨⎨⎬⎪⎪⎪+>⎩⎩⎭，若存在点()00,x y D ∈，使得0033x y -=，则t 的取值范围为（ ）A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ C. 3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭11.已知函数()22cos sin 22f x x x x π=+--，则函数()f x 在3,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的所有零点之和为（ ）A ．3πB ．4π C. 2π D ．32π12.在三棱锥P ABC -中，1,120AB BC CP ABC BCP ===∠=∠=︒，平面PBC 和平面ABC 所成角为120︒，则三棱锥P ABC -外接球的体积为（ ） ABD第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知函数()221,1,log ,1,x x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩则()f f= ．14.已知()22nx x --的展开式中所有项的系数之和为16，则展开式中含2x 项的系数为 ．(用数字 作答).15.抛物线24y x =的焦点为F ，其准线为直线l，过点(M 作直线l 的垂线，垂足为H ，则FMH ∠的 角平分线所在的直线斜率是 ．16.已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若222sin ,02a b bc A A π=+<<，则tan 4tan A B -的最小值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 的前n 项和()*n S n N ∈满足123n n S a a =-，且22a +是13,a a 的等差中项，{}n b 是等差数列，2283,b a b a ==.（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式； （2）n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .18.如图所示，在三棱台111ABC A B C -中，ABC ∆和111A B C ∆均为等边三角形，四边形11BCC B 为直角梯形，1CC ⊥平面ABC ，111112B C CC BC ===，,D E 分别为11,AA CB 的中点.（1）求证://DE 平面ABC ；（2）求二面角11A A E C --的余弦值.19.某企业有甲、乙两条生产线生产同一种产品，为了检测两条生产线产品的质量情况，随机从两条生产线 生产的大量产品中各抽取了 40件产品作为样本，检测某一项质量指标值t ，得到如图所示的频率分布直方图，若20t <，亦则该产品为示合格产品，若2050t ≤<，则该产品为二等品，若50t ≥，则该产品为一等品.（1）用样本估计总体的思想，从甲、乙两条生产线中各随机抽取一件产品，试估计这两件产品中恰好一件为二等品，一件为一等品的概率；（2）根据图1和图2，对两条生产线从样本的平均值和方差方面进行比较，哪一条生产线更好； （3）从甲生产线的样本中，满足质量指标值t 在[)0,20的产品中随机选出3件，记X 为指标值t 在[)10,20中的件数，求X 的分布列和数学期望•20.已知N 为圆()221:224C x y ++=上一动点，圆心1C 关于y 轴的对称点为2C ，点,M P 分别是线段12,C N C N 上的点，且2220,2MP C N C N C P ⋅==.（1）求点M 的轨迹方程；（2）直线:l y kx m =+与点M 的轨迹Γ只有一个公共点P ，且点P 在第二象限，过坐标原点O 且与l 垂直的直线l '与圆228x y +=相交于,A B 两点，求PAB ∆面积的取值范围.21.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且()()()1ln f x f e e x x ef e e '=+--++⎡⎤⎣⎦，其中e 为自然对数的底数. （1）求函数()f x 的最大值； （2）证明 ：()221x xf x e x x <-+-.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为12x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩ (α为参数），直线1:0l x =，直线2:0l x y -=，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴(取相同的长度单位）建立极坐标系.（1）写出曲线C 和直线12,l l 的极坐标方程；（2）若直线1l 与曲线C 交于,O A 两点，直线2l 与曲线C 交于,O B 两点，求线段AB 的长度. 23.选修4-5：不等式选讲 已知()22f x x a x =+--.（1）当2a =-时，求不等式()4f x ≤的解集；（2）若关于x 的不等式()2332f x a x ≥--恒成立，求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: ACDCB 6-10: BDBDC 11、12：CA二、填空题13. 0 14. 8- 16.12- 三、解答题17.（1）由题意知，当2n ≥时，11123n n S a a --=-， 又因为123n n S a a =-，且1n n n a S S -=-， 则()132n n a a n -=≥， 所以213213,39a a a a a ===， 又123,2,a a a +成等差数列，则()21822a a a +=+，所以()1112329a a a +=+， 解得19a =， 所以数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列，故13n n a -=. 设{}n b 的公差为d ，则113,79b d b d +=+=， 解得11,2d b ==，所以()2111n b n n =+-⨯=+.（2）由（1）得()113n n n n c a b n -==+⋅， 所以()2121334313n n T n -=⨯+⨯+⨯+++⨯， ()2313233343313n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯，两式相减得()23122333313n n n T n --=+++++-+⨯，整理得113424n n n T ⎛⎫=+⨯- ⎪⎝⎭.18.（1）取1BB 的中点F ，连接,EF DF ， 则//EF BC ，因为EF ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以//EF 平面ABC ，因为三棱台111ABC A B C -中，11//AB A B ， 所以//DF AB ，因为DF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以//DF 平面ABC ，因为DF EF F ⋂=，所以平面//DEF 平面ABC ， 因为DE ⊂平面DEF ，所以//DE 平面ABC.（2）取BC 的中点O ，连接1,AO OB ， 因为1CC ⊥平面ABC ，AO ⊂平面ABC ， 所以1CC AO ⊥，因为1,CB AO CB CC C ⊥⋂=，所以AO ⊥平面11BCC B ，所以1AO OB ⊥， 因为11BCC B 为直角梯形， 11112B C CO BC ===， 所以11OCC B 为正方形，所以1OB BC ⊥，所以1,,OB OB OA 两两互相垂直，分别以1,,OB OB OA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 因为111112B C CC BC ===，所以(()()()()1111,1,0,0,0,1,0,1,0,0,1,1,0,,,022A B B C C E ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，由1112B A BA =，得112A ⎛- ⎝， 所以111311110,,,,,3,,,022222EA EA EC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎝⎭⎝， 设平面1AA 的一个法向量为()111,,m x y z =，由10,0,m EA m EA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得111110,0,y x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩， 令1z =，得(9,m =--，设平面11C A E 的一个法向量为()222,,n x y z =， 由110,0,n EA n EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得22220,0,y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩令2x =()3,3,1n =-，所以93cos ,m n m n m n⋅-===⋅ 由图观察可知，平面1AA E 与平面11C A E 所成二面角为钝角，所以其余弦值为.19.（1）由频率分布直方图可知，甲生产线中二等品的概率为()100.0300.0200.0150.65⨯++=， —等品的概率为100.0050.05⨯=，乙生产线中二等品的概率为()100.0200.0350.0250.80⨯++=， 一等品的概率为100.0150.15⨯=，所以两件产品中一件为二等品，一件为一等品的概率为0.650.150.050.80=0.1375⨯+⨯. （2）设两条生产线样本的平均值分别为,x x 甲乙，则50.1150.2250.3350.2450.15550.0527.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=甲，150.05250.2350.35450.25550.1537.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=乙，由频率分布直方图可知，甲生产线的数据较为分散，乙生产线的数据较为集中，所以甲生产线的数据方差大于乙生产线的数据方差，所以乙生产线更好.（3）甲生产线样本质量指标值t 在[)0,10的件数为400.01104⨯⨯=， 质量指标值t 在[)10,20的件数为400.02108⨯⨯=， 由题意可知X 的取值为0，1，2，3；所以()304831241022055C C P X C ====，()21483124812122055C C P X C ====，()124831211228222055C C P X C ====，()03483125614322055C C P X C ====.所以X 的分布列为：X 的数学期望()11228140123255555555E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 20.（1）因为222C N C P =，所以P 为2C N 的中点，因为20MP C N ⋅=，所以2MP C N ⊥，所以点M 在2C N 的垂直平分线上，所以2MN MC =，因为1214MN MC MC MC +=+=>，所以点M 在以12,C C 为焦点的椭圆上，因为2a c ==，所以22b =，所以点M 的轨迹方程为22162x y +=.（2）由22162x y y kx m+==+⎧⎪⎨⎪⎩得，()222316360k x kmx m +++-=，因为直线:l y kx m =+与椭圆Γ相切于点P ，所以()()()()2222264313612620km k m k m ∆=-+-=+-=，即2262m k =+， 解得223,3131km mx y k k -==++， 即点P 的坐标为223,3131kmm k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，因为点P 在第二象限，所以0,0k m >>，所以m =，所以点P的坐标为， 设直线l '与l 垂直交于点Q ，则PQ 是点P 到直线l '的距离， 设直线l '的方程为1y x k=-，==≤==，当且仅当2213k k=，即2k =时， PQ有最大值，所以142PAB S PQ ∆=⨯⨯≤-， 即PAB ∆面积的取值范围为(4⎤-⎦.21.（1）因为()()()1ln f x f e e x x ef e e '=+--++⎡⎤⎣⎦，所以 ()()11f e e f x x+-'=-，()()()()()1,11,f e f e e e ef e e f e e f e e '=+--++⎧⎪⎨+-'=-⎪⎩解得()()1,2,e f e e f e e -⎧'=⎪⎨⎪=-⎩则()ln 1f x x x =-+， 所以()1xf x x-'=， 令()0f x '>，得01x <<，令()0f x '<得1x >， 所以当1x =时，()()max 10f x f ==.（2）由（1）得()f x 的最大值为0，所以ln 10x x -+≤，即ln 1x x ≤-，从而()ln 1x x x x ≤-，要证22ln 21x x x x x e x x -+<-+-，即2ln 1x x x e x <--，故只需证()211x e x x x -->-，即证()22100x e x x x -+->>成立；令()()2210x h x e x x x =-+-≥则()41x h x e x '=-+，令()()F x h x '=，则()4x F x e '=-，令()0F x '=，得2ln 2x =，因为()F x '单调递增，所以当[]0,2ln 2x ∈时，()0F x '≤，()F x 单调递减，即()h x '单调递减. 当()2ln 2,x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 单调递增， 即()h x '单调递增， 因为()2ln 258ln 20h '=-<，()()2020,2810h h e ''=>=-+>， 由零点存在定理可知，[)()120,2ln 2,2ln 2,2x x ∃∈∃∈，使得()()120h x h x ''==， 故当10x x <<或2x x >时，()()0,h x h x '>单调递增；当12x x x <<时，()()0,h x h x '<单调递减，所以()h x 的最小值是()00h =或()2h x .由()20h x '=，得2241x e x =-，()()()222222222221252221x h x e x x x x x x =-+-=-+-=---，因为()22ln 2,2x ∈，所以()20h x >，故当0x >时，()0h x >，所以原不等式成立.22.（1）依题意，曲线()()22:125C x y -+-=，即22240x x y y -+-=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入上式得，2cos 4sin ρθθ=+ 因为直线1:0l x =，直线2:0l x y -=，故直线12,l l 的极坐标方程为()()12:,:24l R l R ππθρθρ=∈=∈. （2）设,A B 两点对应的极径分别为12,ρρ， 在2cos 4sin ρθθ=+中， 令2πθ=得，12cos 4sin 4ρθθ=+=，令4πθ=得，22cos 4sin ρθθ=+= 因为244πππ-=，所以AB ==.23.（1）当2a =-时，由()4f x ≤， 得2124x x ---≤，当1x ≤时，由()()2124x x ---≤，得41x -≤≤； 当12x <<时，由()()2124x x ---≤，得12x <<； 当2x ≥时，由()()2124x x ---≤，得24x ≤≤； 综上所述，()4f x ≤的解集为[]4,4-.（2）不等式()2332f x a x ≥--， 即为22423x a x a ++-≥，即关于x 的不等式22243x a x a ++-≥恒成立，而()()2242244x a x x a x a ++-≥+--=+， 当且仅当()()2240x a x +-≤时等号成立，所以243a a +≥， 解得243a a +≥或243a a +≤-，解得413a -≤≤或a ∈∅. 所以a 的取值范围是41,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.。