2019年高中数学 2.4等比数列教案 新人教A版必修5
【高中教育】高中数学 2.4 等比数列教案2 新人教A版必修5.doc
2.4等比数列教学目标知识与技能目标：等比中项的概念；掌握＂判断数列是否为等比数列＂常用的方法；进一步熟练掌握等比数列的通项公式、性质及应用．过程与能力目标：明确等比中项的概念；进一步熟练掌握等比数列的通项公式、1.通过对等比数列更多性质的探究，培养学生的良好的思维品质和思维习惯，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力;2.通过生活实际中有关问题的分析和解决，培养学生认识社会、了解社会的意识，更多地知道数学的社会价值和应用价值.教学重点；等比数列的通项公式、性质及应用．教学难点：灵活应用等比数列的定义及性质解决一些相关问题． 教学过程 一、复习1．等比数列的定义． 2. 等比数列的通项公式:)0,(111≠⋅=-q a q a a n n ，)0,(≠⋅=-q a q a a m m n m n ，)0,(≠=B A AB a n n3．｛an ｝成等比数列⇔)0,( 1≠∈=++q N n q a a n n4．求下面等比数列的通项公式：（1）5，－15，45，……；（2）1.2，2.4，4.8，……； 二、新课：思考：类比等差中项的概念，你能说出什么是等比中项吗？1．等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a, G ，b 成等比数列，那么称这个数G 为a 与b 的等比中项. 即G=±ab （a,b 同号） ，则ab G ab G G ba G ±=⇒=⇒=2，反之，若G 2=ab,则G ba G =，即a,G,b ∴a,G,b 成等比数列⇔G 2=ab （a ·b ≠0）例1．三个数成等比数列,它的和为14,它们的积为64,求这三个数. 解:设m,G,n 为所求的三个数, 有已知得m+n+ G =14,64=⋅⋅G n m , ,2mn G =,4643=⇒=∴G G⎩⎨⎧=⋅=+∴,16,10n m n m ⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==∴.8,2,2,8n m n m 或 ∴这三个数为8,4,2或2,4,8.解法二:设所求三个数分别为,,,aq a q a则,4,643=∴=a a 又,14=++aq a q a 14444=++∴q q 解得,21,2==q q 或 ∴这三个数为8,4,2或2,4,8.生思考第53页练习第4题，猜测并推广，得 等比数列的性质：若m+n=p+k ，则kp n m a a a a =证明：由定义得：11n 11 --==n m m q a a q a a11k 11 --⋅==k p p q a a q a a221-+=⋅n m n m q a a a ，221-+=⋅k p k p q a a a则kp n m a a a a =例2. 已知{na }是等比数列，且252,0645342=++>a a a a a a a n , 求53a a +．解： ∵{na }是等比数列，∴ 2a 4a ＋23a 5a ＋4a 6a ＝(3a ＋5a )2＝25,又na >0, ∴3a ＋5a ＝5;3．判断等比数列的常用方法：定义法，中项法，通项公式法 例3．已知{}{}n n b a ,是项数相同的等比数列，求证{}n n b a ⋅是等比数列. 证明：设数列{}n a 的首项是1a ，公比为1q ;{}n b 的首项为1b ，公比为2q ，那么数列{}n n b a ⋅的第n 项与第n+1项分别n n nnn n q q b a q q b a q b q a q b q a )()(2111121112111121111与即为与---⋅⋅⋅⋅⋅⋅.)()(2112111211111q q q q b a q q b a b a b a n n n n n n ==⋅⋅-++它是一个与n 无关的常数，所以{}n n b a ⋅是一个以q1q2为公比的等比数列.思考；（1）｛an ｝是等比数列，C 是不为0的常数，数列{}n ca 是等比数列吗？试证明。
高中数学课题 第2.4 等比数列 (第一课时)教案新课标人教A版必修5.doc
课题第2.4 等比数列（第一课时）教学目标1、知识与技能：1、掌握等比数列的定义；2、理解和掌握等比数列的通项公式及其推导过程和方法；3、运用等比数列的通项公式解决一些简单的问题。
2、过程与方法：通过实例，理解等比数列的概念，通过对等比数列定义和通项公式的探求，引导学生运用观察、类比、分析、归纳的推理方法，提高学生的逻辑思维能力，培养学生良好的思维品质。
3、情感、态度与价值观：1、培养学生的发现意识；2、提高学生的创新意识；3、提高学生的逻辑推理能力；4、增强学生的应用意识。
教学重点和难点：本节重点是等比数列定义、通项公式的探求及运用。
本节难点是等比数列通项公式的探求。
教学方法:比较式教学法与问题引导式教学法相结合。
教学过程：一、复习回顾回顾等差数列的定义，等差中项的定义，通项公式及通项公式的探求方法。
二、新课1、引入：观察下列数列，找出规律填空，并找出它们的共同特点：（1）1，2，4，（ ），16，…；（2）3，9，（ ），81，…；（3）1， 1/2，1/4， 1/8，（ ），…；特点：q a a 12=，q a a 23=，…，q a a n n 1-=q a a =12，q a a =23，…q a a n n =-1， （类比等差数列定义让学生给出等比数列定义）2、等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，常用字母q 表示(0≠q ) 符号语言：q a a n n =+1 ，)1(1>=-n q a a n n 1342312a a a a a a a a q n=====Λ注意：任一项00≠≠q a n 且引导学生对定义进行认识和理解。
练习1:判断下列数列是否等比数列，不是等比数列说明理由，是等比数列的求出公比。
（1）1，-1/3，1/9，-1/27，…（2）1，2，4，8，12，16，20，…（3）数列﹛a n ﹜的通项公式为a n =132n • （4）1，1，1，…，1（5）0，0，0，…引导学生对等比数列定义再认识和进一步理解。
高中数学 2.4等比数列教案(3) 新人教A版必修5 教案
等比数列（一）教学设计教材分析：等比数列是一种特殊的数列，它有着非常广泛的实际应用：如存款利息、购房贷款、资产折旧等一些计算问题．教材将等比数列安排在等差数列之后，有承前启后的作用．一方面与等差数列有密切联系，另一方面为进一步学习数列求和等有关内容做好准备．设计理念：长期以来的课堂教学太过于重视结论，轻视过程．为了应付考试，为了使公式定理应用达到所谓“熟能生巧”，教学中不惜花大量的时间采用题海战术来进行强化．在概念公式的教学中往往采用的所谓“掐头去尾烧中段”的方法，到头来把学生强化成只会套用公式的解题机器，这样的学生面对新问题就束手无策．数学是思维的体操，是培养学生分析问题，解决问题的能力及创造能力的载体，新课程倡导：强调过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知的体验，不能再让教学脱离学生的内心感受，必须让学生有追求过程的体验．基于以上原因，在设计本节课时，我考虑的不是简单地告诉学生等比数列的定义及其通项公式，而是将内容按照“问题情境——学生活动——数学建构——数学运用——回顾反思”的顺序展开，通过列举生活中的大量实例，给出等比数列的实际背景，让学生自己去发现，去探索其意义，公式．从发现等比数列定义及通项公式的过程中让学生体会到：有些看似陌生的知识并不都是高不可攀的事情，通过我们的努力，也可以做一些看似数学家才能完成的事．在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，极大地激发了学生的学习兴趣，也提高了他们提出问题，解决问题的能力，培养了他们的创新能力，这正是新课程所倡导的教学理念．教学目标：A．知识目标：理解等比数列的概念，推导并掌握通项公式．B．能力目标：（1）通过公式的探索，发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力．（2）通过通项公式的探求过程，培养学生用不完全归纳法去发现并解决问题的能力．C．情感目标：（1）公式的发现反映了普遍性寓于特征性之中，从而使学生受到辨证唯物主义思想的熏陶．（2）通过对等比数列概念的归纳，进一步培养学生严密的思维习惯以及实事求是的科学态度．（3）培养学生勇于探索、善于猜想的学习态度，调动学生主动参与课堂教学的积极性，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感．教学重点、难点：等比数列的定义、通项公式的推导；通项公式的初步应用．教学方法：发现式教学法，类比分析法．教学多媒体选择：电脑．教学过程：一、问题情境首先请同学们看以下几个事例：（电脑显示）情境1：国王奖赏国际象棋发明者的事例，发明者要求：在第1个方格放1颗麦粒，在第2个方格上放2颗麦粒，在第3个方格上放4颗麦粒，在第4个方格上放8颗麦粒，依此类推，直到第64个方格子．国王能否满足他的要求呢?情境2：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”情境3：某轿车的售价约36万元，年折旧率约为10%（就是说这辆车每年减少它的价值的10%），那么该车从购买当年算起，逐年的价格依次为多少？问题1：上述例子可以转化为什么样的数学问题？问题2：上述例子有何共同特点？二、学生活动通过观察、联想，发现：1、上述例子可以与数列联系起来．（有了等差数列的学习作基础）2、得到以下3个数列：①1，2， 22，…，263②1，12，14，…，12n⎛⎫⎪⎝⎭，…③36，36×0.9，36×092，…，36×09n，…通过讨论，得到这些情境的共同特点是从第二项起，每一项与它前面一项的比都相等（等于同一个常数）． 三、数学建构1、问题：①②③这样的数列和等差数列一样是一类重要的数列，谁能试着给这样的数列取个名字？ （学生通过联想、尝试得出最恰当的命名）等比数列2、归纳总结，形成等比数列的概念．一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．（引导学生经过类比等差数列的定义得出）3、对等比数列概念深化理解问题1：上述三例的公比分别为多少？ 问题2：你能举一个公比小于0的等比数列吗？问题3：等比数列与等差数列在定义上有许多密切关系，那么有没有这样的数列，它既是等差数列又是等比数列呢？问题4：形如a ，a ，a ，…（R a ∈）的数列既是等差数列，又是等比数列对吗？ （对问题4，学生作短暂的讨论）（1）形如a ，a ，a ，…的数列一定是等差数列，但未必是等比数列．当a =0时，数列的每一项均为0，不能作比，因此不是等比数列；当a ≠0时，此数列 为等比数列．（2）等比数列的各项均不为0，且公比也不为0．4、问题：刚才我们得到了等比数列的概念，是用文字语言来表达的，但是在使用时往往需要符号化，下面试将等比数列定义的内容用数学表达式写出． （提示可类比等差数列，由学生活动得出）（1）对于数列{}n a ，若1n na q a +=（*∈N n ，q 为常数 ），则称这个数列为等比数列，常数q 叫做等比数列的公比．（2）{}n a 是等比数列⇔1n na q a +=（*∈N n ，q 为常数 ），此式可来证明一个数列是否为等比数列．5、探索问题： 在学习等差数列时，我们可以用公差d ，项数n 以及首项1a 表示数列的任一项，也就是可以表示它的通项公式n a ，那么在等比数列{}n a 中，要表示该数列，需先确定几个条件？怎样用这些条件来表示这个等比数列的每一项？（启发引导，类比等差数列，让学生大胆尝试，讨论回答）（1）知道等比数列的首项和公比就可以求出这个等比数列的任何一项． （2）学生1：∵21a a q =，()23211a a q a q q a q ===， ()234311a a q a q q a q ===，……∴11n n a a q -=．（3）学生2：∵1n n a q a +=，∴1n n a q a -=，12n n a q a --=，…，32a q a =，21aq a =． 将各式相乘便有11n na q a -=，∴11n n a a q -=（*∈N n ，2≥n ）， 当1n =时，11n n a a q -=两边均为1a 即等式也成立，说明上式当*n N ∈时都成立．教师点评：（1）寻找通项即寻找项的一般规律，常可先看特殊项，写出几项，再归纳出一般结论，这是探索数列问题常用的一种方法，叫不完全归纳法，但这种方法得出的通项公式还不够严谨，须对其进行证明．（2）方法2就是对方法1得到的结论的一种证明，叫做叠乘法．与推导等差数列通项公式用到的叠加法类似，都必须注意对第一项是否成立进行补充说明．6、问题延伸：对于这个通项公式，我们可以从哪几个方面去认识它呢？（这不是第一次遇到这类公式，在讲等差数列时已讨论过，学生应该知道从什么角度去认识公式）学生类比等差数列得：（1）可以从函数观点去认识，把通项看成n 的解析式． （2）还可以从方程观点去认识，把通项看成一个方程． 师生共同小结：（1）当1q =时， 1a a n =，点(),n n a 在直线y=1a 上．当1q ≠时， 函数图象类似于指数函数图象，但它的图象是由一些孤立的点组成．（2）从方程的观点去考虑，方程中有四个量，在n a ，1a ，q 和n 中只要知 道其中三个便可求第四个，请学生举例编题（应能编出四类问题）． 四、数学运用 1、例题例1 判断下列数列是否是等比数列?（电脑显示）①11111,,,,24816--； ②1，2，4，8，16，20； ③1，1，1，1，1；④－1，－2，－4，－8，－16；⑤数列{}n a 的通项公式为.)31(21--=n n a解 据数列的定义可知：数列①③④⑤都是等比数列，②不是等比数列．讨论：1、对于等比数列{}n a ，若q >1，则{}n a 一定是递增数列；若0<q <1，则{}n a 一定是递减数列，对吗?（学生例举反例④⑤，判断此结论不正确）2、你能知道等比数列何时为递增数列， 何时为递减数列吗?引导学生从函数的角度去讨论通项公式，结合复合函数的单调性研究，得到：当q >1， 1a >0或0<q <1，1a <0时， {}n a 是递增数列；当q >1， 1a <0或0<q <1， 1a >0时， {}n a 是递减数列；当q ＝1时，{}n a 是常数列；当q <0时，{}n a 是摆动数列．例2 在等比数列{}n a 中，已知3a =20，1206=a ，求n a ．解 设等比数列的公比为q ，则⎩⎨⎧==160205121q a q a ，解得 ⎩⎨⎧==251q a ．故11125--⨯==n n n q a a ． 反思 这种类型的题目主要是方程思想的应用，应用过程主要是三个步骤：设、列、求． 2、练习：教科书第50页第1（1）、（3），2，3题． 五、回顾小结1、本节课研究了等比数列的概念，得到了其通项公式；2、在研究内容与方法上要与等差数列相类比，把握它们的区别和联系；3、用函数与方程的思想认识通项公式，并加以应用；4、在发现等比数列的定义及其通项公式过程中用了观察，归纳，猜想等数学方法，体现了由特殊到一般的数学思想；在判断数列是否是等比数列及将等比数列与函数图象联系时体现了数学中的分类讨论思想．（小结可先由学生叙述，教师进行补充和整理，小结的目的一方面让学生再次回顾本节课的活动过程、重点、难点所在；另一方面，更是对探索过程的再认识，对数学思想方法的升华，对思维的反思，可为学生以后解决问题提供经验和教训．）为突出与等差数列的对比，可让学生自己填写下表．六、课外作业教科书第48页练习第1题、第3题，第52页习题2．3第1题、第2题（1）、第3题．课后思考：对照等差数列，试猜想等比数列的一些相应性质． 七、板书设计八、教学反思对本节课的教学实践与效果进行总结和反思，我认为有以下几点值得探索与反思．1、等比数列是在等差数列之后介绍的，学生对等差数列的研究内容和研究方法已有了一定的了解．因此在教学方法上突出了类比思想的使用，为学生创造好使用的条件，引导学生自己研究等比数列相关内容如定义、表示方法、通项公式．这样从学生的最近发展区出发，不仅符合学生的认知规律，而且充分发挥了学生的主体作用．2、在教学过程中，尽可能“指着走”（在教师的启发与点拨下，学生自主展开），而不是“抱着走”．如：对于等比数列的通项公式应从哪几方面去认识？我只是指出这一研究方向，点拨一下方法（类比等差数列），让学生去联想，去探究，去归纳，去总结；在从方程的观点去认识通项公式时，我让学生自己编题，这样既达到了考查的目的，又发挥了其主观能动性．不过，“教师怎样才能真正成为学生的组织者、引导者、合作者？”，“怎样才能真正做到关注学生的需要，让学生自己也能成为教学的生长点？”这些问题还需值得继续深入思考和探索．3、在进行教学总结时，我指导学生进行规律性知识（等比数列的定义、通项公式）与方法论知识（不完全归纳法、类比法）的归纳总结，通过“多面互动”，让学生自主建构，在动态中生成，从而达到培养学生概括能力的目的．。
高中数学 §2.4等比数列教案 新人教A版必修5
河北省武邑中学高中数学 8.等比数列教案新人教A版必修5 备课人授课时间课题§2.4等比数列(2)课标要求灵活应用等比数列的定义及通项公式；深刻理解等比中项概念；熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法教学目标知识目标灵活应用等比数列的定义及通项公式技能目标系统了解判断数列是否成等比数列的方法情感态度价值观充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活.重点等比中项的理解与应用难点灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题教问题与情境及教师活动学生活动学过程及方法Ⅰ.课题导入首先回忆一下上一节课所学主要内容：1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：1-nnaa=q（q≠0）2.等比数列的通项公式: )0(111≠⋅⋅=-qaqaa nn，)0(≠⋅⋅=-qaqaammnmn3．｛na｝成等比数列⇔nnaa1+=q（+∈Nn,q≠0）“na≠0”是数列｛na｝成等比数列的必要非充分条件4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列Ⅱ.讲授新课1．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项. 即G=±ababGabGGbaG±=⇒=⇒=2学生回答1河北武中·宏达教育集团教师课时教案教问题与情境及教师活动学生活动学过程及方法反之，若G2=ab,则GbaG=，即a,G,b成等比数列。
∴a,G,b成等比数列⇔G2=ab（a·b≠0）[范例讲解]课本P58例4 证明：设数列{}n a的首项是1a，公比为1q;{}n b的首项为1b，公比为2q，那么数列{}nnba⋅的第n项与第n+1项分别为：nnnnnn qqbaqqbaqbqaqbqa)()(2111121112111121111与即为与---⋅⋅⋅⋅⋅⋅.)()(2112111211111qqqqbaqqbababannnnnn==⋅⋅-++它是一个与n无关的常数，所以{}nnba⋅是一个以q1q2为公比的等比数列拓展探究：对于例4中的等比数列{na}与{nb}，数列{nnab}也一定是等比数列吗？探究：设数列{na}与{nb}的公比分别为12q q和，令nnnacb=，则111nnnacb+++=1111112()()nn n n nnn n nnac b a b qac a b qb+++++∴===，所以，数列{nnab}也一定是等比数列。
高中数学必 第二章 数列 2.4 等比数列教案 新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学教案
课题：§2.4等比数列〔第1课时〕一、[教学目标]：1.知识目标：1〕.理解等比数列的定义并能用定义证明数列为等比数列；2〕.掌握等比数列的通项公式．会解决知道n, n a ,q,1a 中的三个,求另一个的问题． 2.能力目标：1〕.通过等差等比的类比，培养类比思维能力，数学归纳能力及应用数学知识解决问题的能力。
2〕. 体会“知三求一〞的方程思想 (二)、过程与方法：由浅入深，循序渐进，不断地激发学生思维的积极性和创造性，使学生自行发现知识．“创造〞知识．〔三〕、情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。
二、[教学重点]：等比数列的定义及通项公式的推导及应用。
三、[教学难点]：灵活应用等比数列定义、通项公式解决一些相关问题。
四、[教学时间]：1课时五、[教学方法]：启发、引导、讨论. 六、[授课类型]： 新课七、[教学用具]：三角板、多媒体。
八、[教学过程]： 〔一〕、导入新课首先回忆一下前几节课所学主要内容：前面我们已经研究了一类特殊的数列—等差数列，今天我们一起研究第二类新的数列——等比数列 〔二〕、新知探究 一：创设情境，引入新知1.有一个巴伊老爷很小气，阿凡提听说后就想治治他。
阿凡提给巴伊老爷打工，还说第一天只需支付1分钱，第二天2分，第三天4分，依次类推，每一天都是前一天的2倍，伊巴老爷觉得才几分钱便欣然同意了，大家猜猜看，到第30天，巴伊老爷能支付出工资来吗？2.下面我们来看这样几个数列，看其又有何共同特点?1，2，4，8，16，…，263; ① 5，25，125，625，…； ② 1，－81,41,21-，…； ③ 对于数列①，n a =12-n ;1-n na a =2〔n ≥2〕 对于数列②，n a =n5 ;1-n na a =5〔n ≥2〕 对于数列③，n a =1)1(+-n ·121-n ；211-=-n n a a 〔n ≥2〕 共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示〔q ≠0〕，即：1-n na a =q 〔q ≠0〕 292536870912()537=≈分（万元）1“从第二项起〞与“前一项〞之比为常数(q)｛n a ｝成等比数列⇔nn a a 1+=q 〔+∈N n ,q ≠0 2隐含：任一项00≠≠q a n 且“n a ≠0〞是数列｛n a ｝成等比数列的必要非充分条件． 3q= 1时，{a n }为常数思考1：1.等比数列{ an }： (1) an 与q 能不能是零？ (2)公比q 能不能是1？2.用以下方法表示的数列中能确定 是等比数列的是.①1，-1，1，…，(-1)n+1 ；②1，2，4，6…； ③a ，a ，a ，…，a ；④a 1=2，a n=3a n+1 ； ⑤⑥2a ，2a ，2a ，…，2a.3.什么样的数列既是等差数列又是等比数列？ 非零常数列2.等比数列的通项公式1:)0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n等差数列的通项公式：方法一:(累加法))方法二:(归纳法)23,2,4,8,...m m m m类比等差数列，推导等比数列的通项公式：方法一:(累加法) (等差数列)方法一:(累乘法) (等比数列)}(n-1)式子21a a d-=32a a d-=43a a d-=12n n a a d---=1n n a a d--=dn a a n )1(1-=-… …21a a d=+dd a ++=)(132a a d =+12a d =+dd a ++=)2(143a a d =+13a d=+1(1)n a a n d=+-… …312134)(q a q q a q a a ===；}(n-1)个 式子21a a d -=43a a d-=12n n a a d---=1n n a a d--=… …dn a a n )1(1-=-21a q a =32a q a =q a a n n=-111n na q a -=32a a d -=3.等比数列的通项公式变形式:1(0)n mn m a a q a q -=⋅⋅≠〔三〕、例题分析等差数列通项公式的推导(归纳21a a d=+dd a ++=)(132a a d =+43a a d =+1(1)n a a n d=+-… …12a d =+d d a ++=)2(113a d=+qq a )(21=43a a q =qa a 12=q q a )(1=q a a 23=21a q =31a q =… …等比数列通项公式的推导(归纳{}{}1111,21(1)1n n n n a a a a a +==++例：已知数列满足求证：数列是等比数列；11- = n n q a a例2：在等比数列{an}中：1153115(1)2,3,162,;1(2)3,211,,932,8,n a q a n a q a a q a a a =====-==-==已知求已知，求；已知求；已知求q(3)(4)1,,,11n a a q a q a n n n -=对于通项公式来说，有四个量，可以知三求一例3： 一个等比数列的第3项与第4项分别 是12与18,求它的第1项与第2项. 例4：在等比数列{an}中，a3=20 ,q=2 ,求a6 ,an 〔四〕反馈练习 例1.在等比数列{}n a 中41)27,3,;n a q a ==-求341(2)12,18,.a a a ==求〔五〕课堂小结在师生互动中让学生了解：〔由学生归纳总结〕等比数列的概念和等比数列的通项公式及变形式的应用． 〔六〕、课后作业：1〕教材53P 习题2.4A 组的第1,2,3,题 2〕类比等差数列思考等比数列有何性质；111n n a a ++=+证明：1122211n n n n a a a a +++==++证明：{}11122n a a ∴++=是以为首项，公比为的等比数列。
高中数学第二章数列2.4等比数列第1课时教案新人教A版必修5
高中数学第二章数列2.4等比数列第1课时教案新人教A版必
修5
一、教学目标：
知识与技能目标：等比数列的定义； 2.等比数列的通项公式.
过程与能力目标：明确等比数列的定义； 2.掌握等比数列的通项公式,
会解决知道a n, a1, q, n中的三个，求另一个的问题.
情感态度与价值观 1.通过生活中的大量实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认
真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力
2.通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切联系，激发学生学习的
兴趣.
教学重
点：
1.等比数列概念的理解与掌握；
2. 等比数列的通项公式的推导及应用.
教学难
点：
等差数列"等比"的理解、把握和应用.
三.教法、学法
本课采用“探究一类比一发现”教学模式. 教师的教法突出活动的组织设计与方法的引导学生的学法突出探究、类比、发现与交流
五.教学过程
教学过程设计为六个教学环节：(如下图)
教学环节教学内容师生活动设计意图
复习旧知识，
引入新知
一、温故知新，提出问题
1、回顾等差数列的定义；
2. 观察下列数列；
(1) 1、2、4、8、16……
(2 )由一句文言文引出一个数列；
彳1111
2 4 8 16
1、创设学习情境。
2、激发学生学习的兴趣。
由复习引入，
通过数学知识的
内部发现问题。
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2019年高中数学 2.4等比数列教案 新人教A 版必修5
教学目标︰
重点关注公比q 的几个关键值；
通过从丰富实例中抽象出不同公比对等比数列的项值影响，使学生认识到掌握好公比q 的特点是学好等比数列的不二抓手;同时经历由解决几个具体问题，体会公比q 的显著性。
教学重点：公比q 的不同类型：
教学难点：解题中如何通过q 的不同取值优化解题过程，提高解题品质。
教学过程：
一、回顾旧知，归纳拓展
在前几节课中,我们学习了等比数列的相关知识，今天我们在原有知识的基础上，进行一次拓展延伸。
【老师】首先请一位同学回答，你感觉等比数列中哪个基本量对等比数列起关键性影响？老师引导学生分析各个基本量的特点，并着重强调公比q 的特点。
【学生】通过观察，分析，理解，从而得到公比q 对等比数列的影响很关键。
二、实例讲解：
● 类型分析1：1=q 或1-=q
例1、化简求和：)0(......321≠++++=x x x x x S n
【学生】思考、讨论，考虑和式的结构特点。
【老师】求和的关键是看通项结构，同学们是否认可上式具有等比数列特点？ 【学生】发现等比关系，又感觉缺点什么。
【老师】认可是等比数列的同学举手！
【学生】要注意x 的取值，尤其是1=x 可能要讨论！ 【老师】很好！
解析：1）当1=x 时，n S =+++=1......11 2）当1≠x 时，x
x x S n --=1)1( 【设计意图】目的是让学生形式上的等比数列问题一定要关注q 取值对求和的影响，学会分类讨论，关注解题的完备性。
● 类型分析2：0.01>⇔>+n n a a q ，0.01<⇔<+n n a a q
例2：设{}n a 是公比为q 的等比数列，1>q ，令,.....)2,1(1=+=n a b n n ，若数列{}n b 有连续
四项在集合{}82,37,19,23,53--中，求q 6的值。
【学生】思考、讨论，考虑条件中q 的限制。
【老师】已知集合中正、负项的个数对解题有没有帮助！
【学生】集合中正、负项的个数均不足四项，说明数列相邻项不可能同号！
【老师】很好，这说明什么问题呢？
【学生】多数学生发声：0<q ！
解析：{}2
3105424245481,36,18,24,54122-=⇒><==⇒--∈-=q q q q q b a n n 且且或 故96-=q 。
【设计意图】掌握好公比q 的正负对数列各项的调和作用！
例3、若等比数列的前n 项和0>n S ，求公比q 的范围。
【学生】思考、讨论，回顾求和公式的结构特点。
【老师】同0>q 学们有没有一个直观感觉，比方说0>q 是否成立，能否得到01>a ？
【学生】可以得到01>a 显然成立！0>q 似乎也符合题意！但必要吗？
【老师】很好的反问！谁能回答？……
解析：由0011>=⇒>a S S n 成立；
1）当0.01>⇔>+n n a a q 且001>⇒>n S a 显然恒成立，故0>q 符合题意；
2)当0<q 时，考虑01)1(1>--=q q a S n n 且01101>--⇒>q
q a n
即0)1)(1(>--q q n ，故若1001<<⇒<<-q q 时，显然符合题意，若11>⇒-≤n q q 时显然不符题意，故所求公比q 的取值范围为[][]1,00,1⋃-∈q
【设计意图】利用q 的关键值尝试分析法解不等式。
类型分析3：0≠q
例4：已知两个等比数列{a n }，{b n }，满足a 1=a （a ＞0），b 1﹣a 1=1，b 2﹣a 2=2，b 3﹣a 3=3．
（1）若a=1，求数列{a n }的通项公式；
（2）若数列{a n }唯一，求a 的值．
【老师】思考:公比q 的取值范围是什么呢？
【学生】正数、负数，但是不能为零。
【老师】很好，由于自然运算的需要，0≠q ！同学们对它的限制是如何把握的？
【学生】常识性的问题，还能怎么把握！？
【老师】实践出真知，我们不妨一块来考察上述问题。
解析：（1）设等比数列{a n }的公比为q ，又∵b 1﹣a 1=1，b 2﹣a 2=2，b 3﹣a 3=3．且{b n }为等比数列
∴（2+q ）2=2（3+q 2）∴q=2±∴ （2）由（1）知（2+aq ）2=（1+a ）（3+aq 2）
整理得：aq 2﹣4aq+3a ﹣1=0
【老师】同学们在这儿会联想到什么？
【学生】二次方程！
【老师】并且是含有参数的二次方程！题目说 等比数列唯一。
【学生】说明公比唯一，说明方程有等根！说明△=0！！
【老师】继续吧！
∵a＞0，△=4a 2+4a ＞0 （【老师】纳闷吧？！）
【学生】奇怪！难道是错题！
【老师】再想想！△=4a 2+4a ＞0说明方程必有两不等根！是否与题设矛盾？
【学生】......应该两根中只有一个能做公比q ！
【老师】漂亮！公比不能为0！
【学生】数列{a n }唯一，∴方程必有一根为0！
∵数列{a n }唯一，∴方程必有一根为0，得a=
【设计意图】在实践中感受公比q 的显著性，提高的是学生的思维品质 ，炼就的是学生良好的解题习惯。
三、归纳小结 提炼精华
本节课主要学习了公比q 不同取值对数列特征的影响，包含以下几类：
1、1=q
或1-=q （分类讨论需要） 2、0.01>⇔>+n n a a q
，0.01<⇔<+n n a a q （关注调和） 3、0≠q （自然运算需要）
4、涉及数学思想方法包括：分类讨论，函数与方程、分析与综合等。
【老师】通过本节课的学习，你有哪些收获？
【学生1】在本节课中，我懂得了学好等比数列，必需以公比q 为切入点，把握好公比q 的几个临界值，是我们深刻理解等比数列的关键！
【学生2】在本节课中我还学习了分类讨论、分析与综合等数学思想方法。
【老师】当然我们还有方程的思想以及函数的思想。
目的只有一个：从细节做起，养成良好的思维习惯，练就优秀的解题品质！
【设计意图】让学生自己小结，不仅仅总结知识更重要地是总结数学思想方法。
这样可帮助学生自行构建知识体系，理清知识脉络，养成良好的学习习惯。
四、作业
求下列各组数中插入怎样的数后是等比数列。
（1）1， ____ ， 9 （2）-1，____ ，-4 （3）-12，____ ，-3
（4）1， _____ ，1
2.根据右图的框图,写出所打印数列的前5项,并建立数列的递推公式.这个数列是等比数列吗?
五、目标检测设计
1:求下列等比数列的第4项和第5项；（1）4，-8,16, (2)
2：求下列各组数的等比中项；（1）4,9；（2）
3:已知等比数列的公比是q，第项为，试求其第n项。