必修4平面向量单元复习检测(有答案新人教A版)
2019高中数学第二章平面向量单元测试(二)新人教A版必修4
第二章 平面向量注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．设3,sin 2α⎛⎫= ⎪⎝⎭a ，1cos ,3α⎛⎫= ⎪⎝⎭b ，且∥a b ，则锐角α为（ ）A ．30︒B ．60︒C ．75︒D ．45︒2．下列命题正确的是（ ） A ．单位向量都相等B ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线C ．若|a ＋b |＝|a －b |，则a ·b ＝0D ．若a 与b 都是单位向量，则a ·b ＝1．3．设向量()2,3a m m =-+，()21,2b m m =+-，若a 与b 的夹角大于90°，则实数m 的取值范围是（ ） A ．4,23⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()4,2,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭C ．42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()4,2,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭4．平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若()2,4AB =，()1,3AC =，则AD BD ⋅等于（ ） A ．8B ．6C ．8-D ．6-5．已知1=a ，6=b ，()2⋅-=a b a ，则向量a 与向量b 的夹角是（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 6．关于平面向量a ，b ，c ，有下列四个命题： ①若a ∥b ，a ≠0，则存在λ∈R ，使得b ＝λa ； ②若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0；③存在不全为零的实数λ，μ使得c ＝λa ＋μb ； ④若a ·b ＝a ·c ，则a ⊥(b －c )． 其中正确的命题是（ ） A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④7．已知|a |＝5，|b |＝3，且12⋅-a b =，则向量a 在向量b 上的投影等于（ ） A ．4-B ．4C ．125-D ．1258．设O ，A ，M ，B 为平面上四点，()1OM OB OA λλ=+-⋅，且()1,2λ∈，则（ ） A ．点M 在线段AB 上 B ．点B 在线段AM 上 C ．点A 在线段BM 上 D ．O ，A ，B ，M 四点共线9．P 是△ABC 内的一点，()13AP AB AC =+，则△ABC 的面积与△ABP 的面积之比为（ ） A ．32B ．2C ．3D ．610．在△ABC 中，2AR RB =，2CP PR =，若AP mAB nAC =+，则m n +等于（ ） A ．23B ．79 C ．89D ．111．已知3a ＋4b ＋5c ＝0，且|a |＝|b |＝|c |＝1，则a ·(b ＋c )等于（ ）A ．45-B ．35-C ．0D ．3512．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )，令a ⊙b ＝mq －np ．下面说法错误的是（ ） A ．若a 与b 共线，则a ⊙b ＝0B ．a ⊙b ＝b ⊙aC ．对任意的λ∈R ，有(λa )⊙b ＝λ(a ⊙b )D ．(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝|a |2|b |2二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，若向量λa ＋b 与向量()4,7--c =共线，则λ＝________．14．a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝________．15．已知向量a ＝(6,2)，14,2⎛⎫=- ⎪⎝⎭b ，直线l 过点A (3，－1)，且与向量a ＋2b 垂直，则直线l 的方程为________．16．已知向量()2,1OP =，()1,7OA =，()5,1OB =，设M 是直线OP 上任意一点(O 为坐标原点)，则MA MB ⋅的最小值为________．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)如图所示，以向量OA =a ，OB =b 为边作AOBD ，又13BM BC =，13CN CD =，用a ，b 表示OM 、ON 、MN ．18．(12分)已知a ，b 的夹角为120°，且|a |＝4，|b |＝2，求：（1）(a －2b )·(a ＋b )； （2）|a ＋b |； （3）|3a －4b |．19．(12分)已知)1=-a，12⎛=⎝⎭b，且存在实数k和t，使得x＝a＋(t2－3)b，y＝－k a＋t b，且x⊥y，试求2k tt+的最小值．20．(12分)设()2,5OA =，()3,1OB =，()6,3OC =．在线段OC上是否存在点M，使MA⊥MB？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．21．(12分)设两个向量e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夹角为60°，若向量2t e1＋7e2与e1＋t e2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．22．(12分)已知线段PQ过△OAB的重心G，且P、Q分别在OA、OB上，设OA =a，OB =b，OP m=a，OQ n=b．求证：113 m n+=．2018-2019学年必修四第二章训练卷平面向量（二）答 案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1．【答案】D【解析】31sin cos 23αα⨯=，sin 21α=，290α=︒，45α=︒．故选D ．2．【答案】C【解析】∵|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a ·b ，|a －b |2＝a 2＋b 2－2a ·b ，||+-=a b a b ． ∴0⋅a b =．故选C ． 3．【答案】A【解析】∵a 与b 的夹角大于90°，∴0⋅<a b ，∴()()()()221320m m m m -+++-<，即23280m m -<-，∴423m -<<．故选A ．4．【答案】A【解析】∵()1,1AD BC AC AB ==-=--，∴()()()1,12,43,5BD AD AB =-=---=--，∴()()1,13,58AD BD ⋅=--⋅--=． 故选A ． 5．【答案】C【解析】∵()22-=⋅-=a b a a b a ，∴3⋅a b =，∴31cos ,·162a b ⋅〈〉===⨯a b a b ， ∴,3a b π〈〉=．故选C ． 6．【答案】B【解析】由向量共线定理知①正确；若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0或a ⊥b ，所以②错误；在a ，b 能够作为基底时，对平面上任意向量，存在实数λ，μ使得c ＝λa ＋μb ， 所以③错误；若⋅⋅a b =a c ，则()0-=a b c ，所以()⊥-a b c ，所以④正确， 即正确命题序号是①④，所以B 选项正确．7．【答案】A【解析】向量a 在向量b 上的投影为12cos ,43a b ⋅⋅〈〉=⋅==-=-a b a b a a a b b ． 故选A ． 8．【答案】B【解析】∵()()1OM OB OA OA OB OA λλλ=+-⋅=+-，∴AM AB λ=，λ∈(1,2)，∴点B 在线段AM 上，故选B ． 9．【答案】C【解析】设△ABC 边BC 的中点为D ，则22ABC ABD ABP ABP S S ADS S AP==△△△△． ∵()1233AP AB AC AD =+=，∴32AD AP =，∴32AD AP =．∴3ABC ABP S S =△△．故选C ． 10．【答案】B【解析】2224133393AP AC CP AC CR AC AB AC AB AC ⎛⎫=+=+=+-=+ ⎪⎝⎭，故有417939m n +=+=．故选B ． 11．【答案】B【解析】由已知得435=--b a c ，将等式两边平方得()()22435=--b a c ，化简得35⋅=-a c ．同理由534--c =a b 两边平方得a ·b ＝0，∴()35=⋅+=⋅-⋅a b c a b +a c ．故选B ． 12．【答案】B【解析】若a ＝(m ，n )与b ＝(p ，q )共线，则mq －np ＝0，依运算“⊙”知a ⊙b ＝0，故A 正确．由于a ⊙b ＝mq －np ，又b ⊙a ＝np －mq ，因此a ⊙b ＝－b ⊙a ，故B 不正确． 对于C ，由于λa ＝(λm ，λn )，因此(λa )⊙b ＝λmq －λnp ，又λ(a ⊙b )＝λ(mq －np )＝λmq －λnp ，故C 正确．对于D ，(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝m 2q 2－2mnpq ＋n 2p 2＋(mp ＋nq )2＝m 2(p 2＋q 2)＋n 2(p 2＋q 2)＝(m 2＋n 2)(p 2＋q 2)＝|a |2|b |2，故D 正确．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．【答案】2【解析】∵a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，∴()()(),22,32,23λλλλλ=++++a b =． ∵向量λa ＋b 与向量()4,7--c =共线，∴－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0．∴λ＝2． 14．【答案】7 【解析】∵()222222125552511310134920⎛⎫==+-⨯+-⨯⨯--⋅=⎝=⨯- ⎪⎭a b a b a b a b ．∴|5a －b |＝7．15．【答案】2390x y --=【解析】设P (x ，y )是直线上任意一点，根据题意，有()()()23,12,30AP x y ⋅+=-+⋅-=a b ，整理化简得2390x y --=． 16．【答案】8-【解析】设()2,OM tOP t t ==，故有()()()2212,752,152012528MA MB t t t t t t t ⋅=--⋅--=-+=--， 故当t ＝2时，MA MB ⋅取得最小值8-．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．【答案】1566OM =+a b ，2233ON =+a b ，1126MN =-a b ．【解析】BA OA OB =-=-a b ．∴11153666OM OB BM OB BC OB BA =+=+=+=+a b ．又OD =+a b ．1122226333ON OC CN OD OD OD =+=+==+a b ，∴221511336626MN ON OM =-=+--=-a b a b a b ．18．【答案】（1）12；（2）；（3） 【解析】（1）1cos1204242⎛⎫⋅=︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭a b a b ．(a －2b )·(a ＋b )＝a 2－2a ·b ＋a ·b －2b 2＝42－2×(－4)＋(－4)－2×22＝12． （2）∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－4)＋4＝12．∴+=a b ．（3）|3a －4b |2＝9a 2－24a ·b ＋16b 2＝9×42－24×(－4)＋16×22＝16×19，∴34-=a b 19．【答案】74-．【解析】由题意有2==a，1=b ．∵1102⋅=-=a b ，∴⊥a b ． ∵x·y ＝0，∴[a ＋(t 2－3)b ](－k a ＋t b )＝0．化简得334t tk -=．∴()()222117432444k t t t t t +=+-=+-．即2t =-时，2k t t+有最小值为74-． 20．【答案】存在，M 点的坐标为(2,1)或2211,55⎛⎫⎪⎝⎭．【解析】设OM tOC =，t ∈[0,1]，则()6,3OM t t =， 即M (6t,3t )．()26,53MA OA OM t t =-=--，()36,13MB OB OM t t =-=--．若MA ⊥MB ，则()()()()263653130MA MB t t t t ⋅=--+--=．即45t 2－48t ＋11＝0，13t =或1115t =．∴存在点M ，M 点的坐标为(2,1)或2211,55⎛⎫⎪⎝⎭．21．【答案】1417,,2⎛⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【解析】由向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，得()()1212121227027t t t t +⋅+<+⋅+e e e e e e e e ，即(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0．整理得：()222112222770t t t ++⋅+<e e e e ．(*)∵|e 1|＝2，|e 2|＝1，〈e 1，e 2〉＝60°．∴e 1·e 2＝2×1×cos 60°＝1， ∴(*)式化简得：2t 2＋15t ＋7<0．解得：172t -<<-．当向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2夹角为180°时，设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2) (λ<0)． 对比系数得270t t λλλ=⎧⎪=⎨⎪<⎩，∴2t λ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴所求实数t 的取值范围是1417,,2⎛⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 22．【答案】见解析． 【解析】证明 如右图所示， ∵()()1122OD OA OB =+=+a b ，∴()2133OG OD ==+a b ． ∴()111333PG OG OP m m ⎛⎫=-=+-=-+ ⎪⎝⎭a b a a b ．PQ OQ OP n m =-=-b a ． 又P 、G 、Q 三点共线，所以存在一个实数λ，使得PG PQ λ=．∴1133m n m λλ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭a b b a ，∴11033m m n λλ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a +b ． ∵a 与b 不共线，∴103103m m n λλ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩①②，由①②消去λ得：113m n +=．。
2020年高中数学 人教A版 必修4 单元测试卷 平面向量(含答案解析)
7
7
∴Error!解得 m=2，n= ，∴D(2， )，故选 A.225.答案为：D.
解析：由题意，得 a·b=3×(－3)＋4×1=－5，|a|=5，|b|= 10，
a·b －5 1
则 cos θ=
= =－ .
|a||b| 5 10 10
3
sin θ
∵θ∈[0，π]，∴sin θ= 1－cos2θ= ，∴tan θ=
22.已知 a=(2＋sin x，1)，b=(2，－2)，c=(sin x－3，1)，d=(1，k)(x∈R，k∈R)． ππ
(1)若 x∈[－ ， ]，且 a∥(b＋c)，求 x 的值； 22
(2)若函数 f(x)=a·b，求 f(x)的最小值； (3)是否存在实数 k 和 x，使得(a＋d)⊥(b＋c)？若存在，求出 k 的取值范围；若不存在， 请说明理由．
3.在△ABC 中，AB=BC=3，∠ABC=60°，AD 是边 BC 上的高，则A→D·A→C的值等于( )
9 A．－
4
9
27
B.
C.
D．9
4
4
4.已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且B→C=2A→D，则顶点 D 的坐标
为( ) 7
A．(2， ) 2
答案解析
1.答案为：D. 解析：A 中，两向量的夹角不确定，故 A 错；B 中，若 a⊥b，a⊥c，b 与 c 反方向， 则不成立，故 B 错；C 中，应为A→B=O→B－O→A，故 C 错； D 中，因为 b⊥c，所以 b·c=0，所以(a＋c)·b=a·b＋c·b=a·b，故 D 正确．
2.答案为：B. 对 A，a 与 b 若其中一个为 0，不合题意，错误．对 B，零向量是 0，正确；对 C，方向相 同且长度相等的向量叫做相等向量，错误；对 D，共线向量所在直线可能平行，也可能重 合，错误．故选 B.
(完整word版)人教版高中数学必修四平面向量单元测试题(三套)
（数学4必修）第二章 平面向量[基础训练A 组] 一、选择题1．化简AC -BD +CD -AB 得（ ）A ．AB B ．C ．D ．02．设00,a b 分别是与,a b 向的单位向量，则下列结论中正确的是（ ）A ．00a b = B ．001a b ⋅=C ．00||||2a b +=D ．00||2a b += 3．已知下列命题中：（1）若k R ∈，且0kb =，则0k =或0b =， （2）若0a b ⋅=，则0a =或0b =（3）若不平行的两个非零向量b a ,，满足||||b a =，则0)()(=-⋅+b a b a （4）若a 与b 平行，则||||a b a b =⋅其中真命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．34．下列命题中正确的是（ ）A ．若a ⋅b ＝0，则a ＝0或b ＝0B ．若a ⋅b ＝0，则a ∥bC ．若a ∥b ，则a 在b 上的投影为|a|D ．若a ⊥b ，则a ⋅b ＝(a ⋅b)25．已知平面向量(3,1)a =，(,3)b x =-，且a b ⊥，则x =（ ）A ．3-B ．1-C ．1D ．36．已知向量)sin ,(cos θθ=a ,向量)1,3(-=b 则|2|b a -的最大值，最小值分别是（ ）A ．0,24B ．24,4C ．16,0D ．4,0二、填空题1．若=)8,2(，=)2,7(-，则31=_________2．平面向量,a b 中，若(4,3)a =-，且5a b ⋅=，则向量=____。
3．若3a =,2b =，且与的夹角为060，则a b -= 。
4．把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点 所构成的图形是___________。
5．已知)1,2(=a与)2,1(=b ，要使b t a +最小，则实数t 的值为___________。
三、解答题1．如图，ABCD 中，,E F 分别是,BC DC 的中点，G 为交点，若AB =a ，=b ，试以a ，b 为基底表示、BF 、CG ．2．已知向量a 与b 的夹角为60，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-,求向量a 的模。
最新新人教A版高中数学必修四 《平面向量》综合测试题(含答案解析)
《平面向量》综合测试题班级___________姓名____________学号____________得分____________一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出地四个选项中，只有一项是符合题目要求地)1. 若A（2，-1），B（-1，3），则地坐标是( )A.（1，2）B.（-3，4）C. （3，-4）D. 以上都不对2.与a=（4，5）垂直地向量是( )A.（-5k，4k）B. (-10，2）C.(54,k k-) D.（5k ， -4k ） 3. △ABC 中，=a ， =b ，则等于( )A.a+bB.-(a+b )C.a-bD.b-a4.化简52(a －b )－31(2a +4b )+152(2a +13b)地结果是 ( ) A.51a ±51b B.0 C. 51a +51b D. 51a －51b 5.已知|p |=22，|q |=3， p 与q 地夹角为4π，则以a =5p +2q ，b =p －3q 为邻边地平行四边形地一条对角线长为( )A.15B.15C. 16D.14 6.已知A (2，-2)，B (4，3)，向量p 地坐标为(2k -1，7)且p ∥，则k 地值为 ( ) A.109- B.109 C.1019- D.1019 7. 已知△ABC 地三个顶点，A 、B 、C 及平面内一点P 满足PA PB PC AB ++=u u u r u u u v u u u v u u u v ，则点P 与△ABC地关系是 ( )A. P 在△ABC 地内部B. P 在△ABC 地外部C. P 是AB 边上地一个三等分点D. P 是AC 边上地一个三等分点8.已知△ABC 地三个顶点，A (1，5)，B (-2，4)，C (-6，-4)，M 是BC 边上一点，且△ABM 地面积是△ABC 面积地41，则线段AM 地长度是 ( )A.5B.C.259.设e 1，e 2是夹角为450地两个单位向量，且a =e 1+2e 2，b =2e 1+e 2，，则|a +b |地值( ) A.23 B.9 C.2918+ D.223+10.若|a |=1，|b(a -b )⊥a ，则a 与b地夹角为( )A.300B.450C.600D.75011.把一个函数地图象按向量a=(π，-2)平3移后，得到地图象对应地函数解析式为y=sin(x+π)-2，则原函数地解析式为6( )A.y=sin xB.y=cos xC.y=sin x+2D.y= -cos x12.在△ABC中，=c，BC u u u r= a，CA u u u r=b，则下列推导中错误地是( )A.若a·b<0，则△ABC为钝角三角形B. 若a ·b =0，则△ABC 为直角三角形C. 若a ·b =b ·c ，则△ABC 为等腰三角形D. 若c ·( a +b +c )=0，则△ABC 为等腰三角形二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中地横线上)13.在△ABC,4=且,8=⋅AC AB 则这个三角形地形状是 .14.一艘船从A 点出发以h km /32地速度向垂直于对岸地方向行驶，同时河水地流速为h km /2，则船实际航行地速度地大小和方向是 .15. 若向量)4,7(),1,2(),2,3(-=-=-=c b a ，现用a 、b 表示c ，则c= .16.给出下列命题:①若a 2+b 2=0，则a =b =0;②已知A ),,(11y x B ),(22y x ，则);2,2(212121y y x x ++=③已知a ，b ，c 是三个非零向量，若a +b =0，则|a ·c |=|b ·c |④已知0,021>>λλ，e 1，e 2是一组基底，a =λ1e 1+λ2e 2则a 与e 1不共线，a 与e 2也不共线;⑤若a 与b 共线，则a ·b =|a |·|b |.其中正确命题地序号是 .三、解答题(本大题共6小题，17-21题每小题12分，22题14分，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.如图，ABCD是一个梯形，//=， M 、N 分别是,地中点，已知=AB a ，=AD b ，试用a 、b 表示,DC BC u u u r u u u r 和.MN u u u u r 18.设两个非零向量e 1、e 2不共线.如果A BN M DC=e1+e2，=2e1+8e2，=3(e1-e2)⑴求证:A、B、D共线;⑵试确定实数k，使ke1+e2和e1+ke2共线.19.已知△ABC中，A(2，4)，B(-1，-2)，C(4，3)，BC边上地高为AD.⑴求证:AB⊥AC;⑵求点D与向量地坐标.20.已知△ABC地三个顶点为A(1，2)，B(4，1)，C(3，4).⑴求AB边上地中线CM地长;⑵在AB上取一点P，使过P且平行与BC地直线PQ把ABC∆地面积分成4:5两部分，求P点地坐标.21.已知a、b是两个非零向量，证明：当b 与a+λb(λ∈R)垂直时，a+λb地模取得最小值.22.已知二次函数f(x) 对任意x∈R，都有f(1-x )=f (1+x )成立，设向量a =(sin x ，2)， b =(2sin x ，21)， c =(cos2x ，1)，d =(1，2)。
最新新人教A版高中数学必修四 第二章《平面向量》测试(1)(含答案解析)
第二章《平面向量》测试（1）（新人教A 版必修4） 一、选择题1．在矩形ABCD 中，O 是对角线地交点，若e e 则213,5===（ ）A ．)35(2121e e + B ．)35(2121e e - C．)53(2112e e - D ．)35(2112e e-2．化简)]24()82(21[31--+地结果是 （ ） A ．-2B ．-2C ．-D ．-3．对于菱形ABCD ，给出下列各式： ①BC AB = ②||||BC AB = ③||||+=-④||4||||22=+ 2其中正确地个数为 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．在 ABCD 中，设====,,,，则下列等式中不正确地是（ ）A ．c b a =+B ．d b a =-C ．=-D ．=-5．已知向量与反向，下列等式中成立地是 （ ） A ．||||||-=- B ．||||-=+ C ．||||||-=+D ．||||||+=+6．已知平行四边形三个顶点地坐标分别为（－1，0），（3，0），（1，－5），则第四个点地坐标为（ ）A ．（1，5）或（5，－5）B ．（1，5）或（－3，－5）C ．（5，－5）或（－3，－5）D ．（1，5）或（－3，－5）或（5，－5） 7．下列各组向量中：①)2,1(1-=e )7,5(2=e②)5,3(1=e)10,6(2=e③)3,2(1-=e)43,21(2-=e其中能作为表示它们所在平面内所有向量地基底地是 （ ） A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③8．与向量)5,12(=平行地单位向量为（ ） A ．)5,1312( B ．)135,1312(-- C ．)135,1312(或)135,1312(-- D ．)135,1312(±± 9．若32041||-=-，5||,4||==，则b a 与地数量积为（ ） A ．103B ．－103C ．102D ．1010．若将向量)1,2(=围绕原点按逆时针旋转4π得到向量b，则b 地坐标为( ）A ．)223,22(--B ．)223,22(C ．)22,223(-D ．)22,223(-11．设k ∈R ，下列向量中，与向量)1,1(-=Q 一定不平行地向量是 （ ） A ．),(k k = B ．),(k k --=C ．)1,1(22++=k kD ．)1,1(22--=k k12．已知12||,10||==，且36)51)(3(-=b a ，则b a 与地夹角为（ ）A ．60°B ．120°C ．135°D ．150° 二、填空题 13．非零向量||||||,b a b a b a +==满足，则ba ,地夹角为 .14．在四边形ABCD 中，若||||,,-=+==且，则四边形ABCD 地形状是15．已知)2,3(=，)1,2(-=b ，若b a b a λλ++与平行，则λ= .16．已知为单位向量，||a =4，与地夹角为π32，则在方向上地投影为 . 三、解答题17．已知非零向量,满足||||-=+，求证: ⊥ 18．已知在△ABC 中，)3,2(=AB ，),,1(k AC =且△ABC 中∠C 为直角，求k 地值. 19、设21,e e 是两个不共线地向量，2121212,3,2e e e e e k e -=+=+=，若A 、B 、D 三点共线，求k 地值.20．已知2||=a 3||=b ，b a 与地夹角为60o，b a c 35+=，b k a d +=3，当当实数k 为何值时，⑴c ∥d ⑵d c ⊥21．如图，ABCD 为正方形，P 是对角线DB 上一点，PECF 为矩形， 求证：①PA=EF ；②PA ⊥EF.22．如图，矩形ABCD 内接于半径为r 地圆O ，点P是圆周上任意一点， 求证：PA 2+PB 2+PC 2+PD 2=8r 2.参考答案一．选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12答案A B C B C D A C A B C B二、填空题：13． 120°； 14． 矩形 15、 1± 16． 2- 三、解答题：17．证：()()22-=+⇒+=+⇒-=+Θ0222222=⇒+-=++⇒又,Θ⊥∴18．解：)3,1()3,2(),1(--=-=-=k k AB AC BC Θ0)3,1(),1(0=--⋅⇒=⋅⇒⊥⇒∠∠k k RT C 为Θ 21330312±=⇒=-+-⇒k k k19．()212121432e e e e e e -=+--=-=Θ 若A ，B ，D 三点共线，则与共线，λ=∴设即212142e e e k e λλ-=+ 由于21e e 可得： 221142e e k e e λλ-==故8,2-==k λ20.⑴若c ∥d 得59=k⑵若d c ⊥得1429-=k21.解以D 为原点为x 轴正方向建立直角坐标系 则A(0，1)， C:(1，0) B:(1，1))22,22(,r r P r DP 则设= )221,22(r r --=∴ )0,22(:),22,1(r F r E 点为Θ )22,122(r r --=∴22)221()22(||r r -+-=∴ 22)22()221(||r r -+-=∴故EF PA =⊥⇒=⋅0而22.证:-=-=,Θ22222222||2||)(||||2||)(||+-=-=+-=-=∴0,,,=⋅=⋅⇒⊥⊥AC BD 故为直径 222222||||||||||||+++=+∴即2222222844r PD PC PB PA r r =+++=+。
第二章平面向量单元综合测试卷(带答案新人教A版必修4 )
第二章平面向量单元综合测试卷（带答案新人教A版必修4 ）第二章平面向量单元综合测试卷（带答案新人教A版必修4 ） (120分钟 150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.(2013•三明高一检测)化简 - + - 得( ) A. B. C. D.0 2.已知a，b都是单位向量，则下列结论正确的是( ) A.a•b=1 B.a2=b2C.a∥b a=bD.a•b=0 3.已知A，B，C为平面上不共线的三点，若向量 =(1，1)，n=(1，-1)，且n• =2，则n• 等于( ) A.-2 B.2 C.0 D.2或-2 4.点C在线段AB上，且 = ，若 =λ，则λ等于( ) A. B. C.- D.- 5.若a=(1，2)，b=(-3，0)，(2a+b)∥(a-mb)，则m= ( ) A.- B. C.2 D.-2 6.(2013•牡丹江高一检测)已知a+b=(1，2)，c=(-3，-4)，且b⊥c，则a在c方向上的投影是( ) A. B.-11C.-D.11 7.(2013•兰州高一检测)若|a|=1，|b|=2，c=a+b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 8.已知△ABC满足2= • + • + • ，则△ABC是( ) A.等边三角形B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形9.(2013•西城高一检测)在矩形ABCD中，AB= ，BC=1，E是CD上一点，且• =1，则• 的值为( ) A.3 B.2 C. D. 10.已知向量a=(1，2)，b=(2，-3).若向量c满足(c+a)∥b，c⊥(a+b)，则c= ( ) A. B. C. D.11.(2013•六安高一检测)△ABC中，AB边上的高为CD，若 =a， =b，a•b=0，|a|=1，|b|=2，则 = ( ) A. a- b B. a- b C. a- b D. a- b 12.在△ABC所在平面内有一点P，如果 + + = ，则△PAB与△ABC 的面积之比是( ) A. B. C. D. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上) 13.已知a=(2，4)，b=(-1，-3)，则|3a+2b|= . 14.已知向量a=(1， )，b=(-2，2 )，则a与b的夹角是. 15.(2013•江西高考)设e1，e2为单位向量.且e1，e2的夹角为，若a=e1+3e2，b=2e1，则向量a在b 方向上的射影为. 16.(2013•武汉高一检测)下列命题中：①a∥b 存在唯一的实数λ∈R，使得b=λa；②e为单位向量，且a∥e，则a=±|a|e；③|a•a•a|=|a|3；④a与b共线，b与c共线，则a与c共线；⑤若a•b=b•c且b≠0，则a=c. 其中正确命题的序号是. 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA=∠DAB=90°，CD=DA= AB. 求证：AC⊥BC. 18.(12分)(2013•无锡高一检测)设 =(2，-1)， =(3，0)， =(m，3). (1)当m=8时，将用和表示. (2)若A，B，C三点能构成三角形，求实数m应满足的条件. 19.(12分)在边长为1的等边三角形ABC中，设=2 ， =3 . (1)用向量，作为基底表示向量 . (2)求• . 20.(12分)(2013•唐山高一检测)已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a=(1，2). (1)若|b|=2 ，且a∥b，求b的坐标. (2)若|c|= ，且2a+c与4a-3c垂直，求a与c的夹角θ. 21.(12分)(能力挑战题)已知a=(1，cosx)，b=（，sinx），x∈(0，π). (1)若a∥b，求的值. (2)若a⊥b，求sinx-cosx的值. 22.(12分)(能力挑战题)已知向量a，b满足|a|=|b|=1， |ka+b|= |a-kb|(k>0，k∈R). (1)求a•b 关于k的解析式f(k). (2)若a∥b，求实数k的值. (3)求向量a与b夹角的最大值.答案解析 1.【解析】选D. - + - = + - = - =0. 2.【解析】选B.因为a，b都是单位向量，所以|a|=|b|=1，所以|a|2=|b|2，即a2=b2.3.【解析】选B.因为n• =n•( - ) =n• -n• ，又n• =(1，-1)•(1，1)=1-1=0，所以n• =n• =2.4.【解析】选C.由 = 知，| |∶| |=2∶3，且方向相反(如图所示)，所以 =- ，所以λ=- .5.【解析】选A.因为a=(1，2)，b=(-3，0)，所以2a+b=(-1，4)，a-mb=(1+3m，2)，又因为(2a+b)∥(a-mb)，所以(-1)×2=4(1+3m)，解得m=- . 【拓展提升】证明共线(或平行)问题的主要依据 (1)对于向量a，b，若存在实数λ，使得b=λa，则向量a与b共线(平行). (2)a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，若x1y2-x2y1=0，则向量a∥b. (3)对于向量a，b，若|a•b|=|a|•|b|，则a与b共线. 向量平行的等价条件有两种形式，其一是共线定理，其二是共线定理的坐标形式.其中，共线定理的坐标形式更具有普遍性，不必考虑向量是否为零和引入参数的存在性及唯一性. 6.【解析】选C.a•c=[(a+b)-b]•c=(a+b)•c-b•c. 因为a+b=(1，2)，c=(-3，-4)，且b⊥c，所以a•c=(a+b)•c =(1，2)•(-3，-4)=1×(-3)+2×(-4)=-11，所以a在c方向上的投影是 = =- . 7.【解析】选C.因为c=a+b，c⊥a，所以c•a=(a+b)•a=a2+b•a=0，所以a•b=-a2=-|a|2=-12=-1，设向量a与b的夹角为θ，则cosθ= = =- ，又0°≤θ≤180°，所以θ=120°. 8.【解析】选C.因为= • + • + • ，所以2= • + • + • ，所以•( - - )= • ，所以•( - )= • ，所以• =0，所以⊥ ，所以△ABC是直角三角形. 【变式备选】在四边形ABCD中， =a+2b， =-4a-b， =-5a-3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为( ) A.平行四边形 B.矩形 C.梯形 D.菱形【解析】选C.因为 = + + =-8a-2b=2 ，所以四边形ABCD为梯形. 9.【解析】选B.如图所示，以A为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系. A(0，0)，B( ，0)，C( ，1)，设点E 坐标为(x，1)，则 =(x，1)， =( ，0)，所以• =(x，1)•( ，0)= x=1，x= ，所以• = •( ，1)= × +1×1=2. 10.【解析】选D.设c=(x，y)，则c+a=(x+1，y+2)， a+b=(1，2)+(2，-3)= ，因为(c+a)∥b，c⊥(a+b)，所以即解得所以c= . 【误区警示】解答本题易混淆向量平行和垂直的坐标表示，导致计算错误. 11.【解析】选D.因为a•b=0，所以⊥ ，所以AB= = ，又因为CD⊥AB，所以△ACD∽△ABC，所以 = ，所以AD= = = ，所以 = = = (a-b)= a- b. 12.【解题指南】先对 + + = 进行变形，分析点P所在的位置，然后结合三角形面积公式分析△PAB与△ABC的面积的关系. 【解析】选A.因为 + + = = - ，所以2 + =0， =-2 =2 ，所以点P是线段AC的三等分点(如图所示). 所以△PAB与△ABC的面积之比是 . 13.【解析】因为3a+2b=3(2，4)+2(-1，-3) =(6，12)+(-2，-6)=(4，6)，所以|3a+2b|= =2 . 答案：2 14.【解析】设a与b的夹角为θ，a•b=(1，)•(-2，2 )=1×(-2)+ ×2 =4， |a|= =2，|b|= =4，所以cosθ= = = ，又0°≤θ≤180°，所以θ=60°. 答案：60° 15.【解析】设a，b的夹角为θ，则向量a在b方向上的射影为|a|cosθ=|a| = ，而a•b=(e1+3e2)•2e1=2+6cos =5，|b|=2，所以所求射影为 . 答案： 16.【解析】①错误.a∥b且a≠0 存在唯一的实数λ∈R，使得b=λa；②正确.e为单位向量，且a∥e，则a=±|a|e；③正确. = = = ；④错误.当b=0时，a与b共线，b与c共线，则a与c不一定共线；⑤错误.只要a，c在b方向上的投影相等，就有a•b=b•c. 答案：②③17.【证明】以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系如图，设AD=1，则A(0，0)，B(2，0)， C(1，1)，D(0，1)，所以 =(-1，1)， =(1，1)，• =-1×1+1×1=0，所以AC⊥BC. 18.【解析】(1)当m=8时， =(8，3)，设 =x +y ，则 (8，3)=x(2，-1)+y(3，0)=(2x+3y，-x)，所以所以所以 =-3 + . (2)因为A，B，C三点能构成三角形，所以，不共线， =(1，1)， =(m-2，4)，所以1×4-1×(m-2)≠0，所以m≠6. 19.【解析】(1) = + =- + . (2) • = •(- + ) = •(- )+ • =| |•| |cos150°+ | |•| |cos30° = ×1× + × ×1× =- . 20.【解析】(1)设b=(x，y)，因为a∥b，所以y=2x；① 又因为|b|=2 ，所以x2+y2=20；② 由①②联立，解得b=(2，4)或b=(-2，-4). (2)由已知(2a+c)⊥(4a-3c)，(2a+c)•(4a-3c)=8a2-3c2-2a•c=0，又|a|= ，|c|= ，解得a•c=5，所以cosθ= = ，θ∈[0，π]，所以a与c的夹角θ= . 21.【解题指南】一方面要正确利用向量平行与垂直的坐标表示，另一方面要注意同角三角函数关系的应用. 【解析】(1)因为a∥b，所以sinx= cosx⇒tanx= ，所以 = = =-2. (2)因为a⊥b，所以 +sinxcosx=0⇒sinxcosx=- ，所以(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx= . 又因为x∈(0，π)且sinxcosx<0，所以x∈ ⇒sinx-cosx>0，所以sinx-cosx= . 22.【解题指南】(1)先利用a2=|a|2，将已知条件两边平方，然后根据数量积定义和运算律化简、变形求f . (2)先根据k>0和a∥b，判断a与b同向，再利用数量积的定义列方程求k的值. (3)先用求向量a与b夹角的公式表示出夹角的余弦值，再利用配方法求余弦值的最小值，最后根据余弦函数的单调性求夹角的最大值. 【解析】(1)由已知|ka+b|= |a-kb| 有|ka+b|2=( |a-kb|)2，k2a2+2ka•b+b2=3a2-6ka•b+3k2b2. 又因为|a|=|b|=1，得8ka•b=2k2+2，所以a•b= 即f(k)= (k>0). (2)因为a∥b，k>0，所以a•b= >0，则a与b同向. 因为|a|=|b|=1，所以a•b=1，即 =1，整理得k2-4k+1=0，所以k=2± ，所以当k=2± 时，a∥b. (3)设a，b的夹角为θ，则cosθ= =a•b = = = .当 = ，即k=1时，cosθ取最小值，又0≤θ≤π，所以θ= . 即向量a与b夹角的最大值为 .。
(典型题)高中数学必修四第二章《平面向量》检测题(有答案解析)
一、选择题1．已知ABC 为等边三角形，2AB =，ABC 所在平面内的点P 满足1AP AB AC --=，AP 的最小值为（ ）A1B ．221-C ．231-D ．712．己知平面向量,a b 满足1a a b =-=，则32a b a b -++的最大值为（ ） A ．4B ．25C ．325+D ．63．已知向量()2,3a =，()4,2b =，那么向量a b -与a 的位置关系是（ ） A ．平行B ．垂直C ．夹角是锐角D ．夹角是钝角4．已知O 为坐标原点，点M 的坐标为（2，﹣1），点N 的坐标满足111x y y x x +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩,则OM ON ⋅的最大值为（）A ．2B ．1C ．0D ．－15．已知非零向量a →，b→夹角为45︒，且2a =，2a b -=,则b →等于（ ）A ．B ．2C D6．已知ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且AE EB =，2AD DC =，与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（ ）A ．1AB CD ⋅=- B ．1233BD BC BA =+ C ．3OA OB OC++=D ．ED 在BC 方向上的投影为767．已知正方形ABCD 的边长为2，EF 为该正方形内切圆的直径，P 在ABCD 的四边上运动，则PE PF ⋅的最大值为（ ） A B ．1C ．2D ．8．已知(),0A a ,()0,C c ,2AC=,1BC =,0AC BC ⋅=,O 为坐标原点,则OB的取值范围是（ ） A ．(1⎤⎦B ．(1⎤⎦ C ．1⎤⎦D ．)1,+∞9．若2a b c ===，且0a b ⋅=，()()0a c b c -⋅-≤，则a b c +-的取值范围是( )A ．[0,2]B ．[0,2]C ．2,222]+D ．[222,2]-10．已知向量(6,4),(3,),(2,3)a b k c =-==-，若//a b ，则b 与c 的夹角的余弦值为（ ） A ．1213B ．1213-C ．45-D ．4511．ABC 中，5AB =，10AC =，25AB AC =，点P 是ABC 内（包括边界）的一动点，且32()55AP AB AC R λλ=-∈，则||AP 的最大值是( )A ．2BCD 12．设O 为ABC 所在平面内一点，满足2730OA OB OC ++=，则ABC 的面积与BOC 的面积的比值为（ ）A ．6B ．83C ．127D ．4二、填空题13．在ABC 中，AB AC =，E ，F 是边BC 的三等分点，若3AB AC AB AC +=-，则cos EAF ∠=_______________14．设1e ，2e 是单位向量，且1e ，2e 的夹角为23π，若12a e e =+，122b e e =-，则a 在b 方向上的投影为___________．15．在平面内,定点,,A B C 满足DA DB DC ==，2DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=-，动点,P M 满足1AP PM MC ==，则2BM 的最大值为________. 16．已知||1,||3,0OA OB OA OB ==⋅=|，点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒，设(,)OC mOA nOB m n R =+∈，则mn等于 ． 17．在△ABC 中，BD ＝2DC ，过点D 的直线与直线AB ，AC 分别交于点E ，F ，若AE ＝x AB ，AF ＝y AC （x ＞0，y ＞0），则x +y 的最小值为_____.18．在ABC 中，AB =AC =G 为ABC 的重心，则AG BC ⋅=________．19．已知平面向量a ，b 满足3a b +=，3a b -=，则向量a 与b 夹角的取值范围是______.20．在ABC △中，已知4CA =，CP =23ACB π∠=，点P 是边AB 的中点，则CP CA ⋅的值为_____.三、解答题21．在直角坐标系xoy 中，单位圆O 的圆周上两动点A B 、满足60AOB ∠=︒（如图），C 坐标为()1,0，记COA α∠=（1）求点A 与点B 纵坐标差A B y y -的取值范围； （2）求AO CB ⋅的取值范围； 22．设()2,0a →=，(3b →=.（1）若a b b λ→→→⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭，求实数λ的值；（2）若(),m x a y b x y R →→→=+∈，且23m =，m →与b →的夹角为6π，求x ，y 的值.23．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，其中()1,2a =. （1）若35b =，且//a b ，求b 的坐标；（2）若2c =，且()()2a c a c +⊥-，求a 与c 的夹角θ的余弦值. 24．已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边为a ，b ，c ，向量m (2cossin )2C C =-，， n =(cos2sin )2C C ，，且m n ⊥． （1）求角C ；（2）若22212a b c =+，试求sin()A B -的值 25．如图，在直角△ABC 中，点D 为斜边BC 的靠近点B 的三等分点，点E 为AD 的中点，3,6AB AC ==（1）用,AB AC 表示AD 和EB ； （2）求向量EB 与EC 夹角的余弦值．26．平面内给定三个向量(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=. （1）求32a b c +-；（2）求满足a mb nc =+的实数,m n 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】计算出AB AC +的值，利用向量模的三角不等式可求得AP 的最小值. 【详解】2222222cos123AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC π+=++⋅=++⋅=，所以，23AB AC += 由平面向量模的三角不等式可得()()231AP AP AB AC AB AC AP AB AC AB AC =--++≥---+=.当且仅当AP AB AC --与AB AC +方向相反时，等号成立. 因此，AP 的最小值为31. 故选：C. 【点睛】结论点睛：在求解向量模的最值时，可利用向量模的三角不等式来求解：a b a b a b -≤±≤+.2．B解析：B 【分析】利用1a a b =-=得到2cos ,b a b =〈〉，令[]cos ,,1,1t a b t =〈〉∈-，则2b t =，利用平面向量的运算法则得到29832a b a b t -+-=+，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为1a a b =-=， 所以22222cos ,1a a ba ab a b b =-=-〈〉+=，则2cos ,b a b =〈〉， 令[]cos ,,1,1t a b t =〈〉∈-， 所以2b t =， 则()23232a b a b-=-22124a a b t b =-+== ()2222a b a b a a b t b +=+=++22418t t =+=+，所以29832a b a b t -+-=+，利用基本不等式知：2a b a b +≤+≤，≤=，=此时2t =±.则32a b a b -++的最大值为 故选：B. 【点睛】思路点睛：利用已知条件得到2cos ,b a b =〈〉，令[]cos ,,1,1t a b t =〈〉∈-，则2b t =，把问题化为了单一变量的函数问题，再利用平面向量的运算法则得到22981382a b a b t t -+-+=++，最后利用基本不等式即可解决.3．D解析：D 【分析】首先根据题中所给的向量的坐标，结合向量数量积运算法则，求得其数量积为负数，从而得到其交集为钝角. 【详解】因为()2,3a =，()4,2b =，222()23(2432)131410a b a a a b -⋅=-⋅=+-⨯+⨯=-=-<，所以向量a b -与a 的位置关系是夹角为钝角， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有挂向量的问题，涉及到的知识点有向量数量积的运算律，数量积坐标公式，根据数量积的符号判断其交集，属于简单题目.4．A解析：A 【分析】根据题意可得，OM ON ⋅＝2x ﹣y ，令Z ＝2x ﹣y ，做出不等式组所表示的平面区域，做直线l 0：2x ﹣y ＝0，然后把直线l 0向可行域内平移，结合图象可判断取得最大值时的位置． 【详解】根据题意可得，OM ON ⋅＝2x ﹣y ，令Z ＝2x ﹣y做出不等式组所表示的平面区域，如图所示的△ABC 阴影部分：做直线l 0：2x ﹣y ＝0，然后把直线l 0向可行域内平移， 到点A 时Z 最大，而由x+y=11x ⎧⎨=⎩可得A （1，0），此时Z max ＝2． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了利用线性规划求解最优解及目标函数的最大值，解题的关键是正确作出不等式组所表示的平面区域，并能判断出取得最大值时的最优解的位置．利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y bx a++型）和距离型（()()22x a y b +++型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。
人教A版高中数学必修四平面向量单元测试.doc
平面向量单元测试一、选择题：（每小题4分，共40分，请把答案填在答题卷相应位置）1．若平面四边形ABCD 满足0)(,2=⋅-=，则该四边形一定是（ ） A ．矩形 B ．直角梯形 C ．等腰梯形 D ．平行四边形 2．下列式子中（其中的a 、b 、c 为平面向量），正确的是（ ） A ．=-B ．a （b ·c ）= （a ·b ）cC ．()()(,)a a λμλμλμ=∈RD ．00=⋅3．已知下列命题中：（1）若k R ∈，且0kb =r r ，则0k =或0b =r r ，（2）若0a b ⋅=r r ，则0a =r r 或0b =r r（3）若不平行的两个非零向量b a ,，满足||||b a =，则0)()(=-⋅+b a b a（4）若a 与b 平行，则||||a b a b =⋅r rg其中真命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．34．(2,1),(3,4)a b →→==，则向量a b →→在向量方向上的投影为（ ） A．B ． 10C ．D ．25．在OAB ∆中，=a ，=b ，M 为OB 的中点，N 为AB 的中点，ON ，AM 交于点P ，则= （ ） A ．32a -31b B ．-32a +31b C ．31a -32b D ．-31a +32b 6．如图，半圆的直径AB ＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则()PA PB PC +u u u r u u u r u u u rg 的最小值为（ ）A.92；B.9；C.92-； D.－9；7．设a b →→,是非零向量，若函数()()()f x x a b a x b →→→→=+•-的图像是一条直线，则必有（ ） A ．a b →→⊥B ． //a b →→C ．a b→→= D ．a b→→≠8．已知ϖϖe e 12，为不共线的非零向量，且ϖϖe e 12=，则以下四个向量中模最小者为 （ ） A ．121212ϖϖe e + B ．132312ϖϖe e + C ．253512ϖϖe e + D ．143412ϖϖe e + 9．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量).3,1(),1,3(,,====其中若10,≤≤≤+=μλμλ且，C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的（ ） 10．已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OPC BAcos cos AB AC OP OA AB C AC B λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，[)0,λ∈+∞，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心二、填空题（每小题4分，共20分，请把答案填在答题卷相应位置）11．若向量,2,2,()a b a b a b a ==-⊥r r r r r r r满足，则向量b a 与的夹角等于12． ABC ∆的三内角A ，B ，C 所对边长分别是c b a ,,，设向量),sin ,(C b a +=)sin sin ,3(A B c a -+=，若//，则角B 的大小为_____________13．若向量)1,(),3,1(-==x b a 的夹角为钝角，则实数x 的取值范围为 。
高一数学必修4《平面向量》测试卷(含答案),推荐文档
考试时间：120 分钟 满分：150 分
一.选择题.(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)
1.对于任意向量 a和b ，下列命题中正确的是（ ）
A.若 a,b 满足 a b ，且 a与b 同向，则 a b B. a b a b
C. a b a b
D. a b a b
2.已知平面向量
a
(1,1),
b
(1,
1)
，则向量
1
a
3
b
等于（
）
22
A. (2, 1)
B. (2,1)
C. (1, 0)
D. (1, 2)
3.下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A. e1 (0, 0), e2 (1, 2)
B. e1 (1, 2), e2 (5, 7)
AE BF ( 2,1) (1 2, 2) 2
21.解: (1)由题意知a
b
1
2
(3m 5n) (2m
n)
9,3m来自 5n7,2m n
3
cos3m
5n,
2m
n
2 (3m
5n)
(2m
n)
3
3
3m 5n 2m n 14
(2) (2m
n)
x 0, y 5
C (0, 5)
(3)设M则(a,b), OM (a,b),OD (1, 4)
O, M , D三点共线
a b 1 4
b 4a
MA MB (2 a,1 b) (3 a, 2 b)
(2 a,1 4a) (3 a, 2 4a)
17a2 7a 8
2 x AB
2x
新课标数学必修4第2章平面向量单元测试题(含答案)
新课标数学必修4第2章平面向量单元测试题（1）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、化简 AC －BD ＋CD —AB 得………………………………………………（ ） A ．AB B ． C ．BC D ．02、下列命题正确的是………………………………………………………………（ ）A ．单位向量都相等B ．若a 与b 是共线向量，b 与c 是共线向量，则a 与c 是共线向量C ．||||b a b a -=+，则0a b =D ．若0a 与0b 是单位向量，则0a 0b 1=3、下列命题中错误的是………………………………………………………………（ ）A ．对于任意向量a ，b ，有|a +b |≤|a |+|b |B ．若 a b =0，则 a =0或 b =0C ．对于任意向量a ，b ，有||a b ≤||||a bD ．若a ，b 共线，则 a b = ±|a ||b |4、按向量→a 将点)3,2(-平移到点)2,1(-，则按向量→a 将点)3,2(-平移到……（ ）A.)4,3(-B.)2,1(-C.)3,4(-D.)1,2(-5、把542++=x x y 的图像按向量经过一次平移后得到2x y =的图像，则为( )A. )1,2(B. )1,2(-C. )1,2(--D. (2,1-)6、已知12(4,7),(1,0),P P --且点P 在线段21P P 的延长线上，且12||2||PP PP =，则点P的坐标………………………………………………………………………………（ ） A.)11,2(- B.)1,34(C.)3,32( D.)7,2(- 7、已知△ABC 中，A=45°，a=2，b=2，那么∠B 为………………………………（ ）A ．30°B ．60°C ．30°或150°D ．60°或120°8、在△ABC 中，c =C 为……………………………………（ ）A ．4π B ．3π C ．23π D ．3π或23π9、若三点A(2,3)，B(3,a)，C(4,b)共线，则有……………………………………（ ）A ．a=3,b=-5B ．a-b+1=0C ．2a-b=3D ．a-2b=0 10、||1,||2a b ==，且()0a b a +=，则a 、b 的夹角为…………………………（ ）A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°11、△ABC 中,||=5,||=8,²=20,则||为……………………（ ）A. 6B. 7C. 8D. 912、设πθ20<≤，已知两个向量()θθsin ,cos 1=，()θθcos 2,sin 22-+=OP ，则向量21P P 长度的最大值是…………………………………………………………（ ） A.2B.3C.23D.32第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分.13、已知||=3,｜｜＝2，与的夹角为600，则｜－｜＝ 14、已知(3,4),(2,3)a b =-=，则2||3a a b -=15、已知向量→a =（1，2），→b =（－2，3），→c =（4，1），用→a 和→b 表示→c ，则→c =__________16、在△ABC 中,若B=300，AB=23，AC=2，则△ABC 的面积S 是 ；三、解答题：本大题共6小题；共74分.17、（8分）已知ABCD 的顶点A （0，-9），B （2，6）， C （4，5），求第四个顶点D 的坐标．18、（14分）如图，平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 的中点，G 为DE 、BF 交点。
数学人教A版4单元检测：平面向量(附答案)含解析
数学人教A版必修4第二章平面向量单元检测（时间：90分钟满分：100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列等式成立的是( ）A．MN＝NM B．a·0＝0C．（a·b)c＝a（b·c）D．｜a＋b|≤|a｜＋｜b｜2．如果a，b是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（）A．a＝b B．a·b＝1 C．a＝－b D．|a|＝｜b｜3．已知A（1，2)，B（3，－1)，C(3,4），则AB·AC等于( ) A．11 B．5 C．－1 D．－24．设平面向量a＝(1，2）,b＝（－1，m),若a∥b，则实数m的值为（）A．－1 B．－2 C．1 D．25．已知向量a＝(1，0)与向量b＝(－1,则向量a与b的夹角是（）A．π6B．π3C．2π3D．5π66．（2011·广东惠州一模)若平面向量a＝(1，－2)与b的夹角是180°，且｜b|＝，则b等于（)A．(－3，6) B．（3，－6) C．(6，－3）D．(－6，3)7．已知M 是平行四边形ABCD 对角线的交点，下列四式中不．能．化简为AD 的是（ ） A ．(AB ＋CD ）＋BC B ．(AD ＋MB ）＋(BC ＋CM )C ．OC －OA ＋CD D ．MB ＋AD －BM8．设a ,b 是非零向量，若函数f （x )＝（x a ＋b ）·(a －x b ）的图象是一条直线，则必有（ )A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．｜a ｜＝｜b ｜D ．a ＝b9．已知向量a ＝（1,－1)，b ＝(1,2），向量c 满足(c ＋b ）⊥a ，（c －a )∥b ,则c 等于( ）A ．(2，1)B ．（1,0)C ．31,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．（0,－1) 10．已知点A ,B ，C 是直线l 上不同的三个点，点O 不在l 上,则关于实数x 的方程2x OA ＋xOB ＋AC ＝0的解集为( ) A ． B ．{－1}C ．1515{}---+D ．{－1,0｝二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上）11．已知向量a 与b 的夹角为60°，且｜a ｜＝｜b ｜＝4，那么b ·(2a ＋b ）的值为__________．12．已知点A (1,2），B (3，4)，C （－2，0),D (－3，3）,则向量AB 在向量CD 上的投影为__________．13．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ，BC 是腰,AB ＝2CD ，若AB ＝a ,BC ＝b ，则AD ＝__________。
第2章《平面向量》单元测试题附答案新人教A版必修4
第2章《平面向量》单元测试题附答案新人教A版必修4一、选择题(本大题共8小题,每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.)1.下列向量组中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（）.A.a(0,0)，b(1,2)B.a(1,2)，b(2,4)C.a(3,5)，b(6,10)D.a(2,3)，b(6,9)4.已知向量a，b满足a1，b4，且ab2，则a与b的夹角为（）.A．6B．4C．3D．25.若平面向量b与向量a(2,1)平行，且|b|，则b().A．(4,2)B．(4,2)C．(6,3)D．(4,2)或(4,2)6.在四边形ABCD中，ABa2b，BC4ab，CD5a3b，则四边形ABCD是（）.A.长方形B.平行四边形Ｃ.菱形Ｄ.梯形7.若非零向量a，b满足A.abb，则（）.C.2ba2bB.2ba2b2a2abD.2a2ab8.如图，点M是△ABC的重心，则MAMBMC为（）.0A.B.4C.4D.4第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分.把答案填在题中的横线上.)9.已知a(2,3)，b(4,7)，则a在b上的投影等于___________.10.已知a(1,2)，b(3,2)，若kab与a3b平行，则k.11.在边长为1的等边三角形ABC中，设BCa，CAb，ABc，则abbcca等于___________.12.已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a3b|___________.三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)16．（本小题满分12分）(1,2)，∥，设向量(3,1)，向量，又+=，求.17.（本小题满分12分）在平面直角坐标系某Oy中，已知点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1).（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；（2）设实数t满足(ABtOC)·OC=0，求t的值.。
新人教A版高中数学必修四 高考平面向量题总结(含答案解析)
第五章 平面向量一 平面向量的概念及基本运算【考点阐述】向量．向量的加法与减法．实数与向量的积．平面向量的坐标表示．【考试要求】（1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念．（2）掌握向量的加法和减法．（3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件．（4）了解平面向量的基本定理.理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算．1.（安徽卷理3文2）在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)AB =，(1,3)AC =,则BD =（ ）A ． （－2，－4）B ．（－3，－5）C ．（3，5）D ．（2，4）2.（广东卷理8）在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC =a ，BD =b ，则AF =（ B ）A ．1142+a bB ．2133+a bC ．1124+a bD ．1233+a b 3.（广东卷文3）已知平面向量(1,2)a =，(2,)b m =-，且a //b ，则23a b +＝（ ）A 、(5,10)--B 、(4,8)--C 、(3,6)--D 、(2,4)--4.（海南宁夏卷理8文9）平面向量a ，b 共线的充要条件是（ ）A. a ，b 方向相同B. a ，b 两向量中至少有一个为零向量C. R λ∃∈， b a λ=D. 存在不全为零的实数1λ，2λ，120a b λλ+=5.（海南宁夏卷文5）已知平面向量a =（1，－3），b =（4，－2），a b λ+与a 垂直，则λ是（ ）A. －1B. 1C. －2D. 26.（湖北卷理1文1）设(1,2)a =-,(3,4)b =-,则(2)a b c +=A.(15,12)-B.0C.3-D.11-7.（辽宁卷理5）已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足20AC CB +=，则OC =（ ）A ．2OA OB - B ．2OA OB -+C ．2133OA OB -D ．1233OA OB -+ 8.（辽宁卷文5）已知四边形ABCD 的三个顶点(02)A ，，(12)B --，，(31)C ，，且2B C A D =，则顶点D 的坐标为（ ）A ．722⎛⎫ ⎪⎝⎭， B ．122⎛⎫- ⎪⎝⎭， C ．(32)， D ．(13)，9.（全国Ⅰ卷理3文5）在ABC △中，AB =c ，AC =b ．若点D 满足2BD DC =，则AD =A ．2133+b cB ．5233-c bC ．2133-b cD ．1233+b c 10.（四川卷文3）设平面向量()()3,5,2,1a b ==-，则2a b -=( )（Ａ）()7,3 （Ｂ）()7,7 （Ｃ）()1,7 （Ｄ）()1,311.（上海春卷13）已知向量(2,3),(3,)a b λ=-=，若//a b ，则λ等于( ) （A ）23. （B ）2-. （C ）92-. （D ）23- 12.（湖南卷文11）已知向量)3,1(=a ，)0,2(-=b ，则b a +=_____________________.13.（全国Ⅱ卷理13文13）设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ ．14.（浙江卷理11）已知a >0，若平面内三点A （1，-a ），B （2，2a ），C （3，3a ）共线，则a =________。
必修4向量及运算单元复习检测(附答案新人教A版)
必修4向量及运算单元复习检测（附答案新人教A版）必修4向量及运算单元复习检测一、选择题．下列命题正确的是ABc．若=,则A、B、c、DD．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同．若都是单位向量，则的取值范围是A．B．c．［1，2］D．［0，2］．已知向量，，且，则的值为A．B．c．D．．如图，在四边形ABcD中，下列各式成立的是A．B．c．D．．已知是任意两个向量，下列条件：①；②；③与的方向相反；④或；⑤与都是单位向量，其中为向量与共线的充分不必要条件的个数是A．1B．2c．3D．4．若，,则A．B．c．D．．已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．．在中，已知是边上一点，若，则A．B．c．D．．已知等差数列的前n项和为，若，且A、B、c三点共线，则＝A．100B．101c．200D．2010．若点在的边上，且A．B．c．1D．0题号12345678910答案二、填空题1．已知三点共线，则__________．已知△ABc及一点o，若o为△ABc的重心，则3．已知＝，＝，且．∠AoB＝，又，且平分∠AoB，用，表示=.．已知的模分别为1、2、3，则的最大值为三、解答题．如图，在△ABc中，=,=，AD为边Bc的中线，G为△ABc的重心，向量．16．如图，一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，求船的实际航行的速度的大小与方向．17．已知=,=,+=，求cos的值．．已知平面上三点的坐标分别为A，B，c，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点．向量概念及运算参考答案题号12345678910答案ADAccBBAAD113 56解：∵=,=则==∴=+=+而=∴=+解：设表示船垂直于对岸行驶的速度，表示水流的速度，以AD,AB为邻边作平行四边形ABcD，则就是船的实际航行的速度.在中，，所以因为答：船的实际航行的速度的大小为，方向与水流速间的夹角为解：依题意，可得∴得∴∴解：当平行四边形为ABcD时，由，得D1=；当平行四边形为AcBD时，由得D2=；当平行四边形为ABDc时，由得D3=。
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必修4平面向量单元复习检测（有答案新人教A版）
必修4平面向量测试题单元复习检测（有答案新人教A版）
一、选择题：(×10=0′)
1．给出下面四个命题：①；②；③；④。
其中正确的个数为（）（A）1个（B）2个（）3个（D）4个
2、对于向量，，则（）
（A）∥（B）⊥（）与的夹角为60°（D）与的夹角为30°3、在下面给出的四个函数中，既是区间上的增函数，又是以为周期的偶函数的是( )
（A）（B）（）（D）
4、给出向量=(2,1)，=(3,4)，则向量在向量方向上的投影为（）（A）（B）2（）（D）10、
、函数在一个周期内的图象如右所示，则此函数的解析式为（）（A）（B）
（）（D）
6．向量，且与的夹角为锐角，则的取值范围为( ) A．B．．D．
7、当| |=| |，且与不共线时，+ 与－的关系为（）
A．平行B．垂直．相交但不垂直D．相等
8、若平面向量与向量＝（1，－2）的夹角是180，且｜｜＝3 ，则＝（）
A．（－3,6）B．（3 ，－6）．（6，－3）D．（－6,3）
9、已知、是夹角为60°的两个单位向量，则=2 ＋与=－3 ＋2 的夹角是（）A30°B60°120°D10°
10、如图，点P是△AB内一点，且→AP=2→AB+1→A，则△ABP的面积与△AB的面积之比是（）A、1：B、2：、1：2 D、2：1 二填空题：
11、向量与共线，则＝；
12、已知，则= ；
13、函数的值域是；
14、已知点A（-2，0），点B（3，0），动点P（x,)满足→PA•→PB=x2,则动点P的轨迹方程为____
1、设，，为任意非0向量，且相互不共线，则下列命题中是真命题的序号为_______
（1）（• ）• －( • )• =0 （2）| |－| |＜| －|;
(3)( • )• －( • )• 不与垂直（4）（3 +2 )(3 －2 )=9| |2－4| |2
三．解答题：
16、已知向量=（6，2），=（－3，），问当为何值时，有：（1）、∥?
（2）、⊥? （3、与所成角θ是钝角？
18．已知向量（1）求向量；
（2）设向量，其中，若，试求的取值范围
20、．如图，表示电流强度I与时间t的关系式在一个周期内的图象：
⑴、试根据图象写出的解析式；⑵、为了使中t在任意一段秒的时内I能同时取最大值|A|和最小值－|A|，那么正整数的最小值为多少？
20、（1）、图象的解析式为: ;(2)、要使t在任意一段秒能取得最大值和最小值,必须使得周期T ; 即；由于为正整数,故的最小值为62921、解：（1）证明：∵；∴
∴与共线；（2）解：在线段上存在点，满足条。
设；∵与垂直∴；即∵∴；∴存在满足条的点，即，使得与垂直。
（3）解：①当在线段上时，设；则：；∴的最大值为②当在线段上（不含端点）时，设；∵∴③当在线段上时，设；∴的最大值为；④当在线段上时，综上得：的最大值是。