高考数学导学练系列数列教案苏教版
高中数学 数列复习(1)导学案 苏教版必修5
【学习目标】掌握数列有关概念和公式并会运用解决问题
【课前预习】
1．数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列．
2．等差、等比数列的定义．
3．等差、等比数列的通项公式．
4．等差中项、等比中项．
5．等差、等比数列的前n 项和公式及其推导方法．
【课堂研讨】
例1、（1）已知等差数列的第p n k ，，项构成等比数列的连续3项，如果这个等差数列不是常数列，则等比数列的公比为 ．
（2）182 ，，，，z y x 成等比数列，则=x ．
（3）三个数成等比数列，它们的积为512，如果中间一个数加上2，则成等差数列，
这三个数是 ．
（4）一个数列的前n 项和为n S n n 1)1(4321+-++-+-=Λ，
则=++503317S S S ．
（5）一个数列}{n a ，当n 为奇数时，15+=n a n ，当n 为偶数时，2
2n n a =，
则这个数列前m 2项的和为 ．
（6）已知正项等比数列}{n a 共有m 2项，且)(94342a a a a +=⋅，++++Λ321a a a )(426422m m a a a a a ++++=Λ，则=1a ，公比=q ．
（7）设}{n a ，}{n b 都是等差数列，它们的前n 项和分别为n S ，n T ，
已知1235-+=n n T S n n ，则=n n b a ；=5
5b a ．。
高中数学 2.1数列(1)导学案 苏教版必修5
⑤某种树木第1年长出幼枝，第2年幼枝长成粗干，第3年粗干可生出幼枝（书29页图2-1-2），那么按照这个规律，各年树木的枝干数依次为
1，1，2，3，5，8 …
⑥从1984年到2004年，我国共参加了6次奥运会，各次参赛得的金牌总数依次为
2．根据数列 的通项公式，写出这个数列的前 项和第 项：
（1） ；（2） ．
3． 是否为数列 中的项？如果是，是第几项？
4．数列 的第 项是________________．
【课外作业】
1．不是数列 中的一项的是 （ ）
Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．
2．已知数列 ，则函数 的图象是 （ ）
Ａ．一条直线Ｂ．在第一象限的一条射线
20，22，24，26，28，…
②人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星每隔83年出现一次，那么从发现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为
1740，1823，1906，1989，2072，…
③某种细胞，如果每个细胞每分钟分裂为2个，那么每过1分钟，一个细胞分裂的个数依次为
1，2，4，8，16，…
15，5，16，16，28，32
这些问题有什么共同的特点？
2．数列的定义：____________________________________________________称为数列；
_____________________________________________叫这个数列的项．
____________________叫有穷数列．__________________叫无穷数列．
苏教版高中数学必修5-2.1《数列(第2课时)》导学案
数列（第2课时）【学习导航】知识网络学习要求1．进一步理解数列概念，了解数列的分类；2．理解数列和函数之间的关系，会用列表法和图象法表示数列；3．了解递推数列的概念。
【自学评价】1．数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项。
2．数列的分类：按n a 的增减分类：（i ）递增数列：n N *∈任意，总有1n n a a +>；（ii ）递减数列：n N *∈任意，总有1n n a a +<；(iii) 摆动数列：l N *∈任意k,，有1k k a a +>，也有1l l a a +<，例如1,2,4,6,8,---；（iv ）常数列：n N *∈任意，1n n a a +=；（v ）有界数列：存在正整数M 使||n a M ≤；（vi ）无界数列：对任意正整数M 总存在n a 使||n a M >。
3．递推数列：如果已知数列{}n a 的前一项（或前几项），且任意一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，则这个数列叫递推数列，这个公式叫这个数列的递推公式。
递推公式是给出数列的一种重要方式。
【精典范例】【例1】写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）222221314151,,,2345----； （2）12341,2,3,42345； （3）9，99，999，9999。
【解】（1）这个数列的前4项的分母都是序号加上1，分子都是分母的平方减去1，所以它的一个通项公式是：2(1)11n n a n +-=+； （2）这个数列的前4项每一项都可以分为整数部分n 与分数部分1n n +的和，所以它的一个通项公式是：1n n a n n =++； （3）这个数列的前4项每一项加1后变成10,100,1000,10000，所以它的一个通项公式是：101n n a =-。
苏教版高中数学必修五数列学案(1)
数列 （1）一、学习目标1．理解数列的概念；探索并掌握数列的通项公式。
2．探索并掌握数列的几种简单表示法。
二、学法指导数列是高中数学的重要内容之一,是高考必考内容之一，同学们可以根据数列概念,及实例,归纳猜想数列通项公式。
利用递推公式计算数列的前几项数值,归纳猜想数列通项公式。
１．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质；（１）确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的。
（２）可重复性：数列中的数可以重复。
（３）有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关。
２．数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式。
３．并不是所有的数列都有通项公式，就像并不是所有的函数都能用解析式表示一样。
三、课前预习１． 叫做数列， 叫做这个数列的项。
２． 叫做这个数列的通项公式。
３． 叫做有穷数列， 叫做无穷数列。
４．数列的表示方法有： 、 、 。
四、课堂探究例1．已知数列的第n 项n a 为21n -，写出这个数列的首项、第2项和第3项．例2．已知数列{}n a 的通项公式，写出这个数列的前5项，并作出它的图象： （１）1n n a n =+； （２）2(1)2n n a -=． 例3．写出数列的一个通项公式，使它的前４项分别是下列各数：（1）1，3，7，15； （2）2，4，6，8；（3）1-，1，1-； （4）0，2，0，2；（5）13，45，97，169……； （6）112⨯，123-⨯，134⨯，145-⨯.五、巩固训练（一）当堂练习 练习：P31练习２，３，４，５（二）课后作业 32P 习题２．１第1，2，3，4题六、反思总结七、课后练习（选做）1．数列－1，85 ，－157 ，249 ，…的一个通项公式a n= ．2．数列0，2，0，2，0，2，……的一个通项公式a n= ．3．数列2，5，11，20，x ，47，…中的x 等于 ．4．⑴求数列1，2，1，2，1，2的一个通项公式.⑵求数列25 ，215 ，252，…的通项公式.5．写出下列数列的通项公式：⑴9，99，999，9999，．．．，；⑵13-，18，115-，241，．．．，；数列 （2）一、学习目标（1）了解数列的递推公式，会利用推公式求数列的若干项．（2）了解数列通项与前n 项和之间的关系．二、学法指导1．递推公式也是求数列的一种重要的方法，但并不是所有的数列都有递推公式。
高中数学新苏教版精品学案《数列》
数 列【学习目标】1．了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）。
2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数。
【学习重难点】了解数列的概念和几种简单的表示方法【学习过程】1．数列的定义按____________着的一列数叫数列，数列中的________都叫这个数列的项；在函数意义下，数列是______________________的函数，数列的一般形式为：________________________，简记为{a n }，其中an 是数列的第____项。
2．通项公式：如果数列{a n }的________与____之间的关系可以______________来表示，那么这个式子叫做数列的通项公式。
但并非每个数列都有通项公式，也并非都是唯一的。
3．数列常用表示法有：____________________、________、________。
4．数列的分类：数列按项数来分，分为____________、____________；按项的增减规律分为____________、____________、____________和________。
递增数列⇔an ＋1____an ；递减数列⇔a n ＋1____a n ；常数列⇔a n ＋1____a n 。
5．a n 与S n 的关系：已知S n ，则a n ＝错误!。
【自我检测】1．在数列{an}中，若a 1＝1，a 2＝错误!，错误!＝错误!＋错误! （n∈N*），则该数列的通项an ＝______。
2．已知数列{an}对任意的，q∈N*满足a ＋q ＝a ＋aq ，且a 2＝－6，那么a 10＝________。
3．已知数列－1，错误!，－错误!，错误!，…按此规律，则这个数列的通项公式是______________________________。
4．下列对数列的理解：①数列可以看成一个定义在N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）上的函数；②数列的项数是有限的；③数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；④数列的通项公式是唯一的。
高中数学 2.1《数列(1)》教案(苏教版必修5)
高中数学 2.1《数列（1）》教案（苏教版必修5）【三维目标】：一、知识与技能1.通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)，了解数列是一种特殊函数；认识数列是反映自然规律的基本数学模型；2.了解数列的分类，理解数列通项公式的概念，会根据通项公式写出数列数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出数列的通项公式；3. 培养学生认真观察的习惯，培养学生从特殊到一般的归纳能力，提高观察、抽象的能力.二、过程与方法1.通过对具体例子的观察分析得出数列的概念，培养学生由特殊到一般的归纳能力；2.通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．3.通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；三、情感、态度与价值观1.体会数列是一种特殊的函数；借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力。
2.在参与问题讨论并获得解决中，培养观察、归纳的思维品质，养成自主探索的学习习惯；并通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。
【教学重点与难点】：重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用难点：根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式【学法与教学用具】：1. 学法：学生以阅读与思考的方式了解数列的概念；通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法；以观察的形式发现数列可能的通项公式。
2. 教学方法：启发引导式3. 教学用具：多媒体、实物投影仪、尺等.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1. 观察下列例子中的6列数有什么特点：（1）传说中棋盘上的麦粒数按放置的先后排成一列数：1，2，22，23，…，263（2）某种细胞，如果每个细胞每分钟分裂为2个，那么每过1分钟，1个细胞分裂的个数依次为1，2，4，8，16，…（3）π精确到0.01，0.001，0.0001…的不足近似值排成一列数：3.14，3.141，3.1415，3.14159，3.141592…（4）人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出它每隔83年出现一次，则从出现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为1740，1823，1906，1989，…（5）某剧场有10排座位，第一排有20个座位，后一排都比前一排多2个，则各排的座位数依次为：20，22，24，26，…，38（6）从1984年到今年，我国体育健儿共参加了6次奥运会，获得的金牌数依次排成一列数：15，5，16，16，28，32（7）＂一尺之棰，日取其半，万世不竭＂如果将＂一尺之棰＂视为1份，那么每日剩下的部分依次为1，12，14，18，116，．．． 这些数字能否调换顺序？顺序变了之后所表达的意思变化了吗？思考问题，并理解顺序变化后对这列数字的影响．（组织学生观察这六组数据后，启发学生概括其特点，教师总结并给出数列确切定义）注意：由古印度关于国际象棋的传说、生物学中的细胞分裂问题及实际生活中的某些例子导入课题，既激活了课堂气氛，又让学生体会到数列在实际生活中有着广泛的应用，提高学生学习的兴趣。
高中数学：数列学案苏教版必修5
2.1 数 列班级_________姓名___________【学习目标】了解数列的概念及表示方法，理解数列通项公式的有关概念，给出数列的通项公式，会写出数列的前几项，给出简单数列的前几项，会写出它的通项公式【课前预习】1. 你能否举出一些数列的例子？2. 根据数列{}n a 的通项公式写出它的第6项和第10项（1）n n a n +=2 （2）=n a n 31-【问题情境】情境1：剧场各排的座位数为：20，22，24，26，28，…情境2：彗星出现的年份依次为：1740，1823，1906，1989，2072，…情境3：一个细胞一分钟分裂的个数依次为：1，2，4，8，16，…情境4：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，如果将“一尺之棰”视为一份，那么每日剩下的部分依次为，，，，，321161814121…情境5：我国参加六次奥运会获得的金牌数依次为：15，5，16，16，28，32 以上各情境中都有一系列的数，这些数有什么共同特征？【数学建构】像这样_______________________________________________称为数列.数列中的每个数叫做这个数列的______,___________________________________叫做有穷数列，_______________________________叫做无穷数列。
数列的一般形式可以写成_________________________________________简记为___________,其中________称为数列{}n a 的第一项（或称为首相），2a 称为第二项，…,n a 称为第n 项。
一般的，如果____________________________________________________________,那么这个公式叫做这个数列的通项公式。
【数学运用】例1.已知数列的第n 项n a 为2n-1,写出这个数列的首项，第2项和第3项。
高中数学数列复习3导学案苏教版必修5
例1已知数列 中，（1） ，求 ；
（2） ，求 ；
（3） ，求 ．
例2.已知数列 中， ，求 的通项 ．
例3.已知数列 中， ，（1）求 的通项公式；
（2）求 的通项公式；（3）求 的前 项和．
例4.已知数列 满足 ，
求 的通项 和前 项和 ．
【学后反思】
课题:数列复习（3）检测案
班级：姓名：学号：第学习小组
课题:数列复习专题（3）
班级：姓名：学号：第学习小组
【学习方针】初步了解通过数列递推公式求通项的方式；初步了解通过数列前 项和 求通项 以及相关内容的方式
【课前预习】
1．如果已知数列为等差（或等比）数列，可直接按照等差（或等比）数列的通项公式，求得 ， （或 ），然后直接套用公式．
2．对于形如 型或形如 型的数列，其中 又是等差数列或等比数列，可以按照递推公式，写出 取 到 时的所有递推关系式，然后将它们分别相加（或相乘）即可获得通项公式．
4．已知数列 中， ，
（1）求 的通项 ；（2）求 ．
【课堂检测】
1．已知数列 满足 ，求 的通项 ．
2．按照下列条件求 的通项 ：
（1） ；
（2） ．
【课外作业】
1．已知数列 中， ，求：（1） 的通项 ；
（2）令 ， 的通项 ；（3） 的前 项和
2. 已知数列 ห้องสมุดไป่ตู้， ，
（1）求 的通项 ；（2）当 为何值时， 是等比数列．
3．已知数列 中， ，
（1）求证 是等比数列；（2）求 的通项 ．
3．有些数列本身不是等差或等比数列，但可以经过适当的变形，构造出一个新的等差或等比数列，从而利用这个数列求其通相公式，这叫做构造法．
高中数学 第二章数列 数列复习2导学案(教师版) 苏教版必修5
必修5 数列复习小结 第2课时 第 20 课时一、学习目标（1）进一步熟练掌握等差等比数列的通项公式和前n 项和公式；（2）提高分析、解决问题能力．二、例题探究例1（2009浙江文）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，2n S kn n =+，*n N ∈，其中k 是常数．I ） 求1a 及n a ；II ）若对于任意的*m N ∈，m a ，2m a ，4m a 成等比数列，求k 的值． 解（Ⅰ）当1,111+===k S a n ， 12)]1()1([,2221+-=-+--+=-=≥-k kn n n k n kn S S a n n n n （*） 经验，,1=n （*）式成立， 12+-=∴k kn a n（Ⅱ）m m m a a a 42,, 成等比数列，m m m a a a 422.=∴，即)18)(12()14(2+-+-=+-k km k km k km ，整理得：0)1(=-k mk ， 对任意的*∈N m 成立， 10==∴k k 或例 2 (2009山东卷文)等比数列{n a }的前n 项和为n S ， 已知对任意的n N +∈，点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.（1）求r 的值； （11）当b=2时，记 1()4n nn b n N a ++=∈ 求数列{}n b 的前n 项和n T解:因为对任意的n N +∈,点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.所以得n n S b r =+,当1n =时,11a S b r ==+,当2n ≥时,1111()(1)n n n n n n n n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-,又因为{n a }为等比数列, 所以1r =-, 公比为b , 所以1(1)n n a b b -=-（2）当b=2时，11(1)2n n n a b b --=-=,111114422n n n n n n n b a -++++===⨯ 则234123412222n n n T ++=++++ 3451212341222222n n n n n T +++=+++++ 相减,得23451212111112222222n n n n T +++=+++++- 31211(1)112212212n n n -+⨯-++--12311422n n n +++=-- 所以113113322222n n n n n n T ++++=--=- 【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知n S 求n a 的基本题型,并运用错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前n 项和n T .例3.某企业2008年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n 年（今年为第一年）的利润为500(1+n21)万元（n 为正整数）.（Ⅰ）设从今年起的前n 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n 万元，进行技术改造后的累计纯利润为B n 万元（须扣除技术改造资金），求A n 、B n 的表达式；（Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？解: (Ⅰ)依题意知，数列n A 是一个以500为首项，－20为公差的等差数列，所以2(1)480(20)490102n n n A n n n -=+⨯-=-， 2111500(1)500(1)500(1)600222n n B =++++++-＝2111500500()600222nn ++++- ＝11[1()]22500500600112n n -+⨯--＝5005001002n n -- (Ⅱ)依题意得，n n B A >，即2500500100490102n n n n -->-， 可化简得250102n n n <+-， ∴可设n n f 250)(=，2()10g n n n =+- 又+∈N n ，∴可设)(n f 是减函数，)(n g 是增函数，又5050(3)(3)2,(4)(4)8816f g f g =>==<= 则4n =时不等式成立，即4年三、课后作业1.（2007宁夏）已知a b c d ，，，成等比数列，且曲线223y x x =-+的顶点是()b c ，，则ad 等于________22．（2006江西卷）已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若1O a B ＝200OA a OC ＋，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则S 200＝_________1003.（2008江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 10．．．．．．．按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为．答案262n n-+四、反思总结。
(苏教版)数学必修五导学案：2.1数列(2)
苏教版必修五全册导学案--数列复习1导学案(教师版).doc
执笔人：姚东盐审核人：2009年10月日必修5数列复习小结第1课时第19课时一、学习目标（1）进一步熟练掌握等差等比数列的通项公式和前n项和公式；（2）提高分析、解决问题能力.二、知识点总结（~）数列的概念1.数列的概念与简单表示法（1）从定义角度看：（2）从函数角度看：数列可以看成以正整数集N*它的有限子集为定义域的函数a…=f（n）当自变量从小到大依次取值时所对应的一列函数值.2.数列的表示（1）列表法；（2）图象法：注意图象是,而不是；（3）通项公式：（4）递推公式：如果已知数列｛a,｝的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.3.数列的分类1）按数列项数的多少可以分为和o2）按数列中相邻两项的大小可分为、、—和—.4.数列的通项a”与前n项和S”之间的关系对任一数列有a…=< （二）等差数列1.等差数列的定义：若数列｛混为等差数列，则有a-^d｛其中nN2, nEN*）.2.等差中项：3.等差数列的通项公式：a,~a^ + （n~\）d,其中切为首项，d为公差.当d>0时，数列｛a,｝为递增数列;当次0时，数列｛&,｝为递减数列;当d=O 时，数列｛&｝为宣数列.4.等差数列的前〃项和公式:5.等差数列的性质：（1）等差数列｛&｝中，&-&= d・,（2）等差数列｛&,｝中，若m+n=p+q（其中m, n, p, qE中）,则&,也=<3/%；若m+n/p,则am+an Wa”也称a。
为a®,a”的等差中项.（3）等差数列中依次k项和成等差数列，即S K、S2K-S K. S3K-S2K成等差数列，其公差为矿。
6.已知三个数成等差数列，可设这三个数为若四个数成等差数列，可设为——.7.等差数列的判定方法：1）定义法：% — a, = d 0｛a“｝是等差数列。
高中数学数列复习1导学案苏教版必修5
执笔人：姚东盐审核人： 2009 年 10 月日必修5 数列复习小结第1课时第 19 课时一、学习目标（1）进一步熟练掌握等差等比数列的通项公式和前n项和公式；（2）提高分析、解决问题能力．二、知识点总结（一）数列的概念1．数列的概念与简单表示法（1）从定义角度看：（2）从函数角度看：数列可以看成以正整数集N*它的有限子集为定义域的函数a n=f(n)当自变量从小到大依次取值时所对应的一列函数值.2．数列的表示（1）列表法；（2）图象法：注意图象是，而不是_______；（3）通项公式：（4）递推公式：如果已知数列｛a n｝的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.3．数列的分类1）按数列项数的多少可以分为和。
2）按数列中相邻两项的大小可分为、、和 .4．数列的通项a n与前n项和S n之间的关系对任一数列有a n=（二）等差数列1.等差数列的定义：若数列｛a n｝为等差数列，则有a n-a n-1=(其中n≥2，n∈N*).2.等差中项：3.等差数列的通项公式：a n=，其中a1为首项，d为公差.当d>0时，数列｛a n｝为数列；当d<0时，数列｛a n｝为数列；当d=0时，数列｛a n｝为列.4.等差数列的前n项和公式：_____________________________; _____________________________5.等差数列的性质：（1）等差数列｛a n ｝中，a n -a m = d ；（2）等差数列｛a n ｝中，若m+n=p+q (其中m,n,p,q ∈N *)，则 ；若m+n=2p ，则a m +a n = p ，也称a p 为a m ，a n 的 .（3）等差数列中依次k 项和成等差数列，即___________________________________成等差数列，其公差为 。
高考数学 数列 专题复习教案 苏教版
数 列【例1】在数列{}n a 中，112,223n n a a a +=-=+（*n ∈N ），则n a ﹦ ． 【分析】由1223n n a a +=+得132n n a a +-=，∴{}n a 是等差数列，∴3722n a n =-． 【答案】3722n -． 【例2】数列{}n a 满足135a =，*1*12,0,2121,1,2n n n n n a a n a a a n +⎧⎛⎫≤<∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-≤<∈ ⎪⎪⎝⎭⎩N N ，则2009a = ．【分析】∵135a =，∴211215a a =-=，32225a a ==，43425a a ==，543215a a =-=， 651215a a =-=，……．∴该数列周期为4．∴2009135a a ==．【答案】35．【例3】在等差数列{}n a 中，若24681080a a a a a ++++=，则7812a a -﹦ ．【分析】∵数列{}n a 是等差数列，∴由24681080a a a a a ++++=得6580a =，616a =． ∴()7866611128222a a a d a d a -=+-+==． 【答案】8．【例4】已知{}n a 的前n 项之和21241,n S n n a a =-+++则…10a +﹦ ． 【分析】可求得*2 , (1)25,(2,)n n a n n n -=⎧=⎨-≥∈⎩N ．则12a a ++…10a +﹦21131567-+-++++=．【答案】67．【例5】设n S 是数列{}n a 的前n 项和，若不等式22212n n S a a nλ+≥对任何等差数列{}n a 及任何正整数n 恒成立，则λ的最大值是 ．【分析】当10a =时，R λ∈；当10a ≠时，由22212n n S a a n λ+≥得221112n n a a a a a λ⎛⎫⎛⎫+≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．设1n a t a =，则22122t t λ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭．又22122t t ⎛⎫++ ⎪⎝⎭﹦225151114244555t t t ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭，∴15λ≤．综上λ的最大值是15. 【答案】15． 【例6】设n S 为数列{}n a 的前n 项和，2*,n S kn n n =+∈N ，其中k 是常数．（1）求1a 及n a ；（2）若对于任意的*m ∈N ，24,,m m m a a a 成等比数列，求k 的值． 解：（1）当1n =，111a S k ==+，当2n ≥时，()()2211121n n n a S S kn n k n n kn k -⎡⎤=-=+--+-=-+⎣⎦又当1n =时11a k =+合上式，∴21n a kn k =-+（*n ∈N ）． （2）∵24,,m m m a a a 成等比数列，∴224m m m a a a =， 即()()()2412181km k km k km k -+=-+-+， 整理得：()10mk k -=对任意的*m ∈N 都成立， ∴0k =或1k =． 【例7】数列{}n a 中135a =，112n n a a -=-（*2,n n ≥∈N ），数列{}n b 满足11n n b a =-（*n ∈N ）． （1）求证：数列{}n b 是等差数列；（2）求数列{}n a 中的最大项与最小项，并说明理由． 解：（1）1111111121n n n n n a b a a a ---===----， 而1111n n b a --=-（*2,n n ≥∈N ），∴11111111n n n n n a b b a a -----=-=--（*2,n n ≥∈N ）．∴数列{}n b 是等差数列． （2）依题意有11n n a b -=，而5(1)1 3.52n b n n =-+-=-⋅，∴11 3.5n a n -=-． 函数13.5y x =-在（3.5，+∞）上为减函数，在（-∞，3.5）上也为减函数． 故当n ＝4时，11 3.5n a n =+-取最大值3，n ＝3时，取最小值-1．【例8】在等差数列{}n a 中，11a =，前n 项和n S 满足条件2421n n S n S n +=+*()n ∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记(0)n a n n b a p p =>，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由2421n n S n S n +=+得1213a a a +=．又11a =，∴22a =．∴211d a a =-=．∴n a n =． （2）由n a n n b a p =，得n n b np =． ∴23123(1)n n n T p p p n p np -=++++-+．①当1p =时，()12n n n T +=；当0p >且1p ≠时，234123(1)n n n pT p p p n p np +=++++-+．②①－②得23111(1)(1)1n n nn n n p p P T p p p pp npnp p-++--=+++++-=--，∴()12(1)11n n n p p np T pp +-=---． 综上()()()()121,12(1),0,111n n n n n p T p p np p p p p +⎧+=⎪⎪=⎨-⎪->≠⎪--⎩且． 【例9】某个体户，一月初向银行贷款1万元作为开店启动资金，每月月底获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需要交纳所得税为该月利润的10%，每月的生活费开支为540元，余额作为资金全部投入下个月的经营，如此不断继续，问到这年年底该个体户还贷款前尚余多少资金？若银行贷款的年利息为5%，问该个体户还清银行贷款后还有多少资金？（参考数据：1011121.18 5.23,1.18 6.18,1.187.29≈≈≈．结果精确到0.1元） 解：设第n 个月月底的余额为n a 元，则1a 11260=，1(120%)20%10%540 1.18540n n n n a a a a +=⨯+-⨯⨯-=-，于是＝()1110911.18 1.18 1.18 1.181540a -++++⋅＝11111.1811.181126054054046.81.181-⨯-⨯=-． 还清银行贷款后剩余资金为()121000015%54046.81050043546.8a -⋅+=-=． 答：到这年年底该个体户还贷款前尚余资金54046.8元；还清银行贷款后还有资金43546.8元．【例10】已知分别以1d 和2d 为公差的等差数列{}n a 和{}n b 满足118a =，1436b =． （1）若1d =18，且存在正整数m ，使得21445m m a b +=-，求证：2108d >；（2）若0k k a b ==，且数列1a ，2a ，…，k a ，1k b +，2k b +，…，14b 的前n 项和n S 满足142k S S =，求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（3）在（2）的条件下，令n a n c a =，n b n d a =，0a >，且1a ≠，问不等式1n n c d +≤n n c d + 是否对一切正整数n 恒成立？请说明理由．解：（1）依题意，22[18(1)18]36(1414)45m m d +-⨯=++--， 即22(18)9m md =-， 即22918108d m m =+≥=，等号成立的条件为2918m m =，即16m =． *m N ∈，∴等号不成立，∴原命题成立．（2）由142k S S =得14k k S S S =-，即180360(141)22k k ++⨯=⨯-+， 即918(15)k k =⨯-，得10k =，101829d -==-，236091410d -==-．则220n a n =-+，990n b n =-．（3）在（2）的条件下，n a n c a =，n b n d a =． 要使1n n c d +≤n n c d +，即要满足(1)(1)n n c d --≤0．当1a >时，202n n c a -=，数列{}n c 单调减；990n n d a -=单调增． 当正整数9n ≤时，10n c ->，10n d -<，(1)(1)0n n c d --<； 当正整数11n ≥时，10n c -<，10n d ->，(1)(1)0n n c d --<； 当正整数10n =时，10n c -=，10n d -=，(1)(1)0n n c d --=． 则不等式1n n c d +≤n n c d +对一切的正整数n 恒成立．同理，当01a <<时，也有不等式1n n c d +≤n n c d +对一切的正整数n 恒成立． 综上所述，不等式1n n c d +≤n n c d +对一切的正整数n 恒成立．【练习1】在数列{}n a 中，111,2n n a a a +==（*n ∈N ），则其前8项的和8S = ． 【答案】255．【练习2】已知数列{}n a 满足1100a =，当*2,n n ≥∈N 时，()()11113,34,3n n n n n a a a a a ----⎧->⎪=⎨-≤⎪⎩，则数列{}n a 的前100项和100S ＝ ． 【答案】1849．【练习3】在各项均为正数的等比数列{}n a 中，2436455736a a a a a a a a +++=，则36a a += ．【答案】6．【练习4】已知数列{}n a 的前n 项和28n S n n =-（*n ∈N ），第k 项满足47k a <<，则k ﹦ ． 【答案】7．【练习5】已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+（λ是与n 无关的实数常数），且满足123a a a <<<⋅⋅⋅<1n n a a +<<⋅⋅⋅，则实数λ的取值范围是___________．【答案】()3,-+∞．【练习6】数列{}n a 的前n 项和记为()*11,1,21n n n S a a S n +==+∈N ． （1）求{}n a 的通项公式；（2）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T ．解：（1）由121n n a S +=+可得()*1212,n n a S n n -=+≥∈N ， 两式相减得()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥．又21213a S =+=，∴213a a =．∴{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列．∴13n n a -=． （2）设{}n b 的公差为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，∴25b =． 故可设135,5b d b d =-=+．又1231,3,9a a a ===，由题意可得()()()2515953d d -+++=+，解得122,10d d ==-． ∵等差数列{}n b 的各项为正，∴2d = ． ∴()213222n n n T n n n -=+⨯=+．【练习7】已知{}n a 是公差为d 的等差数列，它的前n 项和为n S ,4224S S =+,1nn na b a +=． （1）求公差d 的值；（2）若152a =-，求数列{}nb 中的最大项和最小项的值； （3）若对任意的*n ∈N ，都有8n b b ≤成立，求1a 的取值范围．解：（1）∵4224S S =+，∴113442(2)42a d a d ⨯+=++，解得1d =． （2）∵152a =-，∴数列{}n a 的通项公式为17(1)2n a a n n =+-=-．∴111172n nb a n =+=+-． ∵函数1()172f x x =+-在7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和7,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上分别是单调减函数， ∴3211b b b <<<，又当4n ≥时，41n b b <≤． ∴数列{}n b 中的最大项是43b =，最小项是31b =-． （3）由11n n b a =+得1111n b n a =++-． 又函数11()11f x x a =++-在()1,1a -∞-和()11,a -+∞上分别是单调减函数，且11x a <-时，1y <；11x a >-时，1y >．∵对任意的*n ∈N ，都有8n b b ≤，∴1718a <-<，∴176a -<<-． ∴1a 的取值范围是(7,6)--．【练习8】等差数列{}n a 的各项均为正数，13a =，前n 项和为n S ，{}n b 为等比数列， 11b =，且2264,b S =33960b S =．（1）求n a 与n b ；（2）证明：1211134n S S S +++<． 解：（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则0d >，3(1)n a n d =+-，1n n b q -=．依题意有23322(93)960(6)64S b d q S b d q ⎧=+=⎨=+=⎩．解得2,8d q =⎧⎨=⎩或65403d q ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(舍去) ．∴132(1)21,8n n n a n n b -=+-=+=． （2）∵35(21)(2)n S n n n =++++=+，∴121111111132435(2)n S S S n n +++=++++⨯⨯⨯⨯+11111111(1)2324352n n =-+-+-++-+1111(1)2212n n =+--++3111342124n n ⎛⎫=-+< ⎪++⎝⎭．【练习9】某企业进行技术改造需向银行贷款，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元；两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息．若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？（取1010101.05 1.629,1.313.786,1.557.665===） 解：①甲方案获利：10291.311(130%)(130%)(130%)42.630.3-+++++++=≈（万元），银行贷款本息：1010(15%)16.29+≈（万元），故甲方案纯利：42.6316.2926.34-=（万元）．②乙方案获利：32.50=（万元），银行本息和： 101.0511.0513.210.05-=⨯≈（万元），故乙方案纯利：32.5013.2119.29-=（万元）． 综上可知，甲方案更好．【练习10】设向量*(,2),(,21)()a x b x n x n ==+-∈N ，函数y a b =⋅在[0,1]上的最小值与最大值的和为n a ，又数列{}n b 满足：1212999(1)()()1101010n n n nb n b b --+-++=++++ （1）求证：1n a n =+； （2）求数列{}n b 的通项公式；（3）设n n n c a b =-，试问数列{}n c 中，是否存在正整数k ，使得对于任意的正整数n ，都有n k c c ≤成立？证明你的结论．解：（1）∵2()42(4)2y x x n x x n x =++-=++-在[0,1]上为增函数， ∴21421n a n n =-+++-=+﹒（2）∵12129999(1)()()110[1()]10101010n n n n nb n b b --+-++=++++=-，∴()11219(1)(2)10[1()]210n n n b n b b n ---+-++=-≥﹒两式相减得()1129()210n n b b b n -+++=≥，∴()21219()310n n b b b n --+++=≥．两式相减得()219()31010n n b n -=-⋅≥．又11b =，2110b =-，∴()()2*1,119(),2,1010n n n b n n -⎧=⎪=⎨-⋅≥∈⎪⎩N ． （3）由()()2*2, 119(),2,1010n n n c n n n -⎧-=⎪=⎨+-⋅≥∈⎪⎩N 及当3k ≥时111,981,kk k k c c k c c -+⎧≥⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩得或﹒ 又1,2n =也满足，∴存在8,9k =使得n k c c ≤对所有的*n ∈N 成立．。
数列教案(12份打包)苏教版(优秀教案)
主 人 核人讲课时间 年代日 第课时数列型新授. 一步熟习数列及其通 公式的观点教课目．掌握数列通 公式的写法重点掌握数列通 公式的写法点握数列通 公式的写法教法及教具教 学 内容个案 整教师主导活动学生主体活动一、复. 分 用列表法、 象法表示数列：我国参加次奥运会 金牌数 :15， 5， 16， 16， 28 ， 32．. 若数列 {} 的通 公式 ＝－， 写出 个数列的前 ．教. 已知一个数列的前 分 ， ，，， 写出 个数列的一个通 公式．二、例 解析学例. 写出以下数列的一个通 公式：（），，，，⋯ ， （）－，，－，，⋯，（）1，4，9 ，16，⋯；（）1，2 1 ， 1， 1 ，⋯； 35 791 23 34 4 5（），，，，⋯；（），，，，，，，，⋯．程例. 判断数列｛－｝的 性，并 明原因．例. 判断以下各数是不是数列｛＋｝的 ，并 明原因：（）； （）．例. 求数列｛＋－｝的最小 ．三、稳固练习.用图象法表示数列｛｝（≤）．.＝是不是数列｛｝的一个通项公式？请说明原因．四、重点概括与方法小结.数列的表示方法；教.写数列通项公式的基本方法；．判断数列中项的方法；学. 函数思想与数列．过程板书设计（用案人达成）课外作业教课札记学习是一件增加知识的工作，在茫茫的学海中，也许我们困苦过，在困难的竞争中，也许我们疲惫过，在失败的暗影中，也许我们绝望过。
但我们发现自己的知识在慢慢的增加，从哑哑学语的婴儿到无所不可以的青年时，这类巧妙而巨大的变化怎能不让我们感觉骄傲而骄傲呢？当我们在学习中碰到困难而困难的战胜时，当我们在漫长的奋斗后成功时，那种无与伦比的感觉又有谁能表达出来呢？所以学习更是一件快乐的事情，只需我们用另一种心态去领会，就会发现有学习的日子真好！假如你热爱念书，那你就会从书本中获得灵魂的安慰；从书中找到生活的楷模；从书中找到自己生活的乐趣；并从中不停地发现自己，提高自己，进而超越自己。
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数列1、理解数列的概念，了解数列通项公式的意义．了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．2、理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式，并能解决简单的实际问题．3、理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问纵观近几年高考试题，对数列的考查已从最低谷走出，估计以后几年对数列的考查的比重仍不会减小，等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式的应用是必考内容，数列与函数、三角、解析几何、组合数的综合应用问题是命题热点．从解题思想方法的规律着眼，主要有：① 方程思想的应用，利用公式列方程(组)，例如等差、等比数列中的“知三求二”问题；② 函数思想方法的应用、图像、单调性、最值等问题；③ 待定系数法、分类讨论等方法的应用．第1课时数列的概念1．数列的概念：数列是按一定的顺序排列的一列数，在函数意义下，数列是定义域为正整数N *或其子集{1，2，3，……n}的函数f(n)．数列的一般形式为a 1，a 2，…，a n …，简记为{a n }，其中a n 是数列{a n }的第 项．2．数列的通项公式一个数列{a n }的 与 之间的函数关系，如果可用一个公式a n ＝f(n)来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式．3．在数列{a n }中，前n 项和S n 与通项a n 的关系为：=n a ⎪⎩⎪⎨⎧≥==21n n a n4．求数列的通项公式的其它方法⑴ 公式法：等差数列与等比数列采用首项与公差(公比)确定的方法．⑵ 观察归纳法：先观察哪些因素随项数n 的变化而变化，哪些因素不变；初步归纳出公式，再取n 的特珠值进行检验，最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明．⑶ 递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公式.例1. 根据下面各数列的前n 项的值，写出数列的一个通项公式．⑴ －312⨯，534⨯，－758⨯，9716⨯…；⑵ 1，2，6，13，23，36，…；⑶ 1，1，2，2，3，3，解： ⑴ a n ＝(－1)n)12)(12(12+--n n n ⑵ a n ＝)673(212+-n n （提示：a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝4，a 4－a 3＝7，a 5－a 4＝10，…，a n －a n －1＝1＋3(n －2)=3n －5．各式相加得)673(21)43)(1(211)]53(10741[12+-=--+=-++++++=n n n n n a n Λ⑶ 将1，1，2，2，3，3，…变形为,213,202,211+++,,26,215,204Λ+++典型例题∴4)1(1222)1(111++-++=-++=n n n n n a 变式训练1.某数列{a n }的前四项为0，2，0，2，则以下各式：① a n ＝22[1＋(－1)n] ② a n ＝n )(11-+③ a n ＝ ⎩⎨⎧)(0)(2为奇数为偶数n n 其中可作为{a n }的通项公式的是 （ ）A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③解：D例2. 已知数列{a n }的前n 项和S n ，求通项．⑴ S n ＝3n－2⑵ S n ＝n 2＋3n ＋1解 ⑴ a n ＝S n －S n －1 (n≥2) a 1＝S 1 解得：a n ＝⎩⎨⎧=≥⋅-)1(1)2(321n n n ⑵ a n ＝⎩⎨⎧≥+=)2(22)1(5n n n 变式训练2：已知数列{a n }的前n 项的和S n 满足关系式lg(S n －1)＝n ，(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为 ．解：,110101)1lg(+=⇒=-⇒=-n n n n n S S n S 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11；当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝10n－10n －1＝9·10n －1．故a n ＝⎪⎩⎪⎨⎧≥⋅=-)2(109)1(111n n n 例3. 根据下面数列{a n }的首项和递推关系，探求其通项公式．⑴ a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1 (n≥2)⑵ a 1＝1，a n ＝113--+n n a (n≥2)⑶ a 1＝1，a n ＝11--n a nn (n≥2)解：⑴ a n ＝2a n －1＋1⇒(a n ＋1)＝2(a n －1＋1)(n≥2)，a 1＋1＝2．故：a 1＋1＝2n ，∴a n ＝2n－1．⑵a n ＝（a n －a n －1）＋（a n －1－a n －2）＋…＋（a 3－a 2）＋（a 2－a 1）＋a 1＝3n －1＋3n －2＋…＋33＋3＋1＝)13(21-n ．(3)∵nn a a n n 11-=-∴a n ＝⋅--⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅-----12111232211n n n n a a a a a a a a a n n n n n n Λnn n 112123=⋅⋅⋅--Λ变式训练3.已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝22+n n a a (n ∈N *)，求该数列的通项公式．解：方法一：由a n ＋1＝22+n na a 得21111=-+n n a a ，∴{n a 1}是以111=a 为首项，21为公差的等差数列．∴n a 1＝1＋(n －1)·21,即a n ＝12+n 方法二：求出前5项，归纳猜想出a n ＝12+n ，然后用数学归纳证明．例4. 已知函数)(x f ＝2x－2－x，数列{a n }满足)(log 2n a f ＝－2n ，求数列{a n }通项公式．解：na f n a n a n 222)(log 2log 2log 2-=-=-n a a nn 21-=-得n n a n -+=12变式训练4.知数列{a n }的首项a 1＝5．前n 项和为S n 且S n ＋1＝2S n ＋n ＋5（n∈N *）．(1) 证明数列{a n ＋1}是等比数列；(2) 令f (x)＝a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，求函数f (x)在点x ＝1处导数f 1(1)．解：(1) 由已知S n ＋1＝2S n ＋n ＋5，∴ n≥2时，S n ＝2S n －1＋n ＋4，两式相减，得：S n ＋1－S n ＝2(S n －S n －1)＋1，即a n ＋1＝2a n ＋1从而a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)当n ＝1时，S 2＝2S 1＋1＋5，∴ a 1＋a 2＝2a 1＋6,又a 1＝5，∴ a 2＝11∴111+++n n a a ＝2，即{a n ＋1}是以a 1＋1＝6为首项，2为公比的等比数列.(2) 由(1)知a n ＝3×2n－1∵ )(x f ＝a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n xn∴ )('x f ＝a 1＋2a 2x ＋…＋na n x n －1从而)1('f ＝a 1＋2a 2＋…＋na n＝(3×2－1)＋2(3×22－1)＋…＋n(3×2n－1)＝3(2＋2×22＋…＋n×2n)－(1＋2＋…＋n)＝3[n×2n ＋1－(2＋ (2))]－2)1(+n n ＝3(n －1)·2n ＋1－2)1(+n n ＋61．根据数列的前几项，写出它的一个通项公式，关键在于找出这些项与项数之间的关系，常归纳小结用的方法有观察法、通项法，转化为特殊数列法等.2．由S n 求a n 时，用公式a n ＝S n －S n －1要注意n≥2这个条件，a 1应由a 1＝S 1来确定，最后看二者能否统一．3．由递推公式求通项公式的常见形式有：a n ＋1－a n ＝f(n)，nn a a 1+＝f(n)，a n ＋1＝pa n ＋q ，分别用累加法、累乘法、迭代法（或换元法）．第2课时 等差数列1．等差数列的定义： － ＝d （d 为常数）．2．等差数列的通项公式：⑴ a n ＝a 1＋ ×d⑵ a n ＝a m ＋ ×d3．等差数列的前n 项和公式：S n ＝ ＝ ．4．等差中项：如果a 、b 、c 成等差数列，则b 叫做a 与c 的等差中项，即b ＝ ．5．数列{a n }是等差数列的两个充要条件是：⑴ 数列{a n }的通项公式可写成a n ＝pn ＋q(p, q∈R)⑵ 数列{a n }的前n 项和公式可写成S n ＝an 2＋bn (a, b∈R)6．等差数列{a n }的两个重要性质：⑴ m, n, p, q∈N *，若m ＋n ＝p ＋q ，则 ．⑵ 数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成 数列．例1. 在等差数列{a n }中， (1)已知a 15＝10，a 45＝90，求a 60； (2)已知S 12＝84，S 20＝460，求S 28； (3)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 8．解：(1)方法一：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=+==+=38382904410141145115d a d a a d a a ∴a 60＝a 1＋59d ＝130． 方法二：3815451545=--=--=a a m n a a d m n ，由a n ＝a m ＋(n －m)d ⇒a 60＝a 45＋(60－45)d ＝90＋15×38＝130．(2)不妨设S n ＝An 2＋Bn ，∴⎩⎨⎧-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+172460202084121222B A B A B A∴S n ＝2n 2－17n∴S 28＝2×282－17×28＝1092 (3)∵S 6＝S 5＋a 6＝5＋10＝15， 又S 6＝2)10(62)(6161+=+a a a ∴15＝2)10(61+a 即a 1＝－5 而d ＝31616=--a a ∴a 8＝a 6＋2 d ＝16 S 8＝442)(881=+a a 变式训练1.在等差数列{a n }中，a 5＝3，a 6＝－2，则a 4＋a 5＋…＋a 10＝ ． 解：∵d＝a 6－a 5＝－5， ∴a 4＋a 5＋…＋a 10＝49)2(72)(75104-=+=+d a a a 例2. 已知数列{a n }满足a 1＝2a ，a n ＝2a －12-n a a （n≥2）．其中a 是不为0的常数，令b n ＝a a n -1．⑴ 求证：数列{b n }是等差数列． ⑵ 求数列{a n }的通项公式．解：∵ ⑴ a n ＝2a －12-n a a (n≥2)∴ b n ＝)(111112a a a a a a a aa n n n n -=-=---- (n≥2)∴ b n －b n －1＝aa a a a a a n n n 11)(111=------ (n≥2)∴ 数列{b n }是公差为a1的等差数列． ⑵ ∵ b 1＝a a -11＝a1故由⑴得：b n ＝a 1＋(n －1)×a 1＝an即：a a n -1＝a n 得：a n ＝a(1＋n1) 变式训练2.已知公比为3的等比数列{}n b 与数列{}n a 满足*,3N n b n an ∈=，且11=a ，（1）判断{}n a 是何种数列，并给出证明； （2）若11+=n n n a a C ，求数列{}n C 的前n 项和解：1）1111333,13n n n na a a n n n a nb a a b ++-++===∴-=，即 {}n a 为等差数列。