2020年浙江省杭州市高三5月教学质量检测数学试卷-含答案
浙江省杭州市学军中学2020年高考数学5月模拟试题(含解析)
2020年浙江省杭州市学军中学高考数学模拟试卷（5月份）一．选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x＜﹣2或x＞1}，B={x|x＞2或x＜0}，则（∁R A）∩B=（）A．（﹣2，0）B．[﹣2，0）C．∅D．（﹣2，1）2．设复数z满足=i，则|z|=（）A．1 B．C．D．23．已知q是等比数{a n}的公比，则q＜1”是“数列{a n}是递减数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．16 B．26 C．32 D．20+5．若存在实数x，y使不等式组与不等式x﹣2y+m≤0都成立，则实数m的取值范围是（）A．m≥0 B．m≤3 C．m≥l D．m≥36．展开式中所有奇数项系数之和为1024，则展开式中各项系数的最大值是（）A．790 B．680 C．462 D．3307．已知正实数a，b满足a2﹣b+4≤0，则u=（）A．有最大值为B．有最小值为C．没有最小值D．有最大值为38．已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足||=1， =，则||2的最大值是（）A．B．C． D．9．如图，正方形ABCD与正方形BCEF所成角的二面角的平面角的大小是，PQ是正方形BDEF所在平面内的一条动直线，则直线BD与PQ所成角的取值范围是（）A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]10．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数f'（x）满足，且，其中e为自然对数的底数，则不等式的解集是（）A． B．（0，e）C． D．二．填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．若2sinα﹣cosα=，则sinα=，tan（α﹣）= ．12．商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．则顾客抽奖1次能获奖的概率是；若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，则EX= ．13．在△ABC中，D是AC边的中点，A=，cos∠BDC=﹣，△ABC的面积为3，则sin ∠ABD= ，BC= ．14．已知抛物线y=x2和直线l：y=kx+m（m＞0）交于两点A、B，当时，直线l过定点；当m= 时，以AB为直径的圆与直线相切．15．根据浙江省新高考方案，每位考生除语、数、外3门必考科目外，有3门选考科目，并且每门选考科目都有2次考试机会，每年有两次考试时间，某考生为了取得最好成绩，将3门选考科目共6次考试机会安排在高二与高三的4次考试中，且每次至多考2门，则该考生共有种不同的考试安排方法．16．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q，R分别是棱AB，AD，AA1的中点．以△PQR为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在此正方体的表面上．则这个直三棱柱的体积是．17．函数y=ax2﹣2x的图象上有且仅有两个点到直线y=x的距离等于，则实数a的取值集合是．三．解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．设函数f（x）=sin2ωx﹣cos2ωx+2sinωxcosωx+λ的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若y=f（x）的图象经过点（，0），求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．19．在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．（I）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；（Ⅱ）已知EF=FB=AC=2，AB=BC，求二面角F﹣BC﹣A的余弦值．20．已知函数f（x）=+x（a，b∈R）．（Ⅰ）当a=2，b=3时，求函数f（x）极值；（Ⅱ）设b=a+1，当0≤a≤1时，对任意x∈[0，2]，都有m≥|f'（x）|恒成立，求m的最小值．21．已知椭圆+y2=1（a＞1），过直线l：x=2上一点P作椭圆的切线，切点为A，当P点在x轴上时，切线PA的斜率为±．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，求△POA面积的最小值．22．已知函数f n（x）=x n（1﹣x）2在（，1）上的最大值为a n（n=1，2，3，…）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：对任何正整数n（n≥2），都有a n≤成立；（3）设数列{a n}的前n项和为S n，求证：对任意正整数n，都有S n＜成立．2020年浙江省杭州市学军中学高考数学模拟试卷（5月份）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x＜﹣2或x＞1}，B={x|x＞2或x＜0}，则（∁R A）∩B=（）A．（﹣2，0）B．[﹣2，0）C．∅D．（﹣2，1）【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】由全集R及A，求出A的补集，找出B与A补集的交集即可．【解答】解：∵集合A={x|x＜﹣2或x＞1}，∴∁R A={x|﹣2≤x≤1}，集合BB={x|x＞2或x＜0}，∴（∁R A）∩B={x|﹣2≤x＜0}=[﹣2，0），故选：B．2．设复数z满足=i，则|z|=（）A．1 B．C．D．2【考点】A8：复数求模．【分析】先化简复数，再求模即可．【解答】解：∵复数z满足=i，∴1+z=i﹣zi，∴z（1+i）=i﹣1，∴z==i，∴|z|=1，故选：A．3．已知q是等比数{a n}的公比，则q＜1”是“数列{a n}是递减数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】题目给出的数列是等比数列，通过举反例说明公比小于1时数列还可能是递增数列，反之，递减的等比数列公比还可能大于1，从而得到“q＜1”是“等比数列{a n}是递减数列”的既不充分也不必要的条件．【解答】解：数列﹣8，﹣4，﹣2，…，该数列是公比q=的等比数列，但该数列是递增数列，所以，由等比数{a n}的公比q＜1，不能得出数列{a n}是递减数列；而数列﹣1，﹣2，﹣4，﹣8，…是递减数列，但其公比q=，所以，由数列{a n}是递减数列，不能得出其公比q＜1．所以，“q＜1”是“等比数列{a n}是递减数列”的既不充分也不必要的条件．故选D．4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．16 B．26 C．32 D．20+【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】几何体是三棱锥，根据三视图可得三棱锥的一侧棱与底面垂直，结合直观图求相关几何量的数据，把数据代入棱锥的表面积公式计算即可．【解答】解：根据三视图知：该几何体是三棱锥，且三棱锥的一个侧棱与底面垂直，高为4，如图所示：其中SC⊥平面ABC，SC=3，AB=4，BC=3，AC=5，SC=4，∴AB⊥BC，由三垂线定理得：AB⊥BC，S△ABC=×3×4=6，S△SBC=×3×4=6，S△SAC=×4×5=10，S△SAB=×AB×SB=×4×5=10，∴该几何体的表面积S=6+6+10+10=32．故选：C．5．若存在实数x，y使不等式组与不等式x﹣2y+m≤0都成立，则实数m的取值范围是（）A．m≥0 B．m≤3 C．m≥l D．m≥3【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x ﹣2y对应的直线进行平移，可得当x=y=3时，z取得最小值为﹣3；当x=4且y=2时，z取得最大值为0，由此可得z的取值范围为[﹣3，0]，再由存在实数m使不等式x﹣2y+m≤0成立，即可算出实数m的取值范围．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（4，2），B（1，1），C（3，3）设z=F（x，y）=x﹣2y，将直线l：z=x﹣2y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值，可得z最大值=F（4，2）=0当l经过点C时，目标函数z达到最小值，可得z最小值=F（3，3）=﹣3因此，z=x﹣2y的取值范围为[﹣3，0]，∵存在实数m，使不等式x﹣2y+m≤0成立，即存在实数m，使x﹣2y≤﹣m成立∴﹣m大于或等于z=x﹣2y的最小值，即﹣3≤﹣m，解之得m≤3故选：B6．展开式中所有奇数项系数之和为1024，则展开式中各项系数的最大值是（）A．790 B．680 C．462 D．330【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】由题意可得：2n﹣1=1024，解得n=11．可得展开式中各项系数的最大值是或．【解答】解：由题意可得：2n﹣1=1024，解得n=11．则展开式中各项系数的最大值是或，则==462．故选：C．7．已知正实数a，b满足a2﹣b+4≤0，则u=（）A．有最大值为B．有最小值为C．没有最小值D．有最大值为3【考点】7F：基本不等式．【分析】a2﹣b+4≤0，可得b≥a2+4，a，b＞0．可得﹣≥﹣，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a2﹣b+4≤0，∴b≥a2+4，a，b＞0．∴a+b≥a2+a+4，∴≤，∴﹣≥﹣，∴u==3﹣≥3﹣=3﹣≥3﹣=，当且仅当a=2，b=8时取等号．故选：B．8．已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足||=1， =，则||2的最大值是（）A．B．C． D．【考点】93：向量的模．【分析】如图所示，建立直角坐标系．B（0，0），C．A．点P的轨迹方程为： =1，令x=+cosθ，y=3+sinθ，θ∈[0，2π）．又=，可得M，代入||2=+3sin，即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．B（0，0），C．A．∵M满足||=1，∴点P的轨迹方程为： =1，令x=+cosθ，y=3+sinθ，θ∈[0，2π）．又=，则M，∴||2=+=+3sin≤．∴||2的最大值是．也可以以点A为坐标原点建立坐标系．故选：B．9．如图，正方形ABCD与正方形BCEF所成角的二面角的平面角的大小是，PQ是正方形BDEF所在平面内的一条动直线，则直线BD与PQ所成角的取值范围是（）A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过B作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BD与PQ所成角的取值范围．【解答】解：以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过B作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设BC=1，则B（0，0，0），D（1，1，0），C（1，0，0），E（1，），F（0，，），当D点在正方形BCEF的投影刚好落在CE上，记为G点，其坐标为G（1，，），此时BG与BD所成角刚好30度，即直线BD与PQ所成角的最小值为，取P（，0，0），Q（0，）时，直线BD于PQ所成角取最大值，∵=（1，1，0），=（﹣，，），∴cos＜＞==0，∴直线BD于PQ所成角最大值为．∴直线BD与PQ所成角的取值范围是[，]．故选：B．10．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数f'（x）满足，且，其中e为自然对数的底数，则不等式的解集是（）A． B．（0，e）C． D．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；63：导数的运算；67：定积分．【分析】根据题意，令g（x）=xf（x），分析可得g′（x）=[xf（x）]′=，对g（x）求积分可得g（x）的解析式，进而可得f（x）的解析式，再令h（x）=f（x）﹣x，对其求导可得h′（x）=f′（x）﹣1＜0，分析可得函数h（x）=f（x）﹣x在（0，+∞）上递减，将不等式变形可得f（x）﹣x＞﹣e=f（e）﹣e，结合函数的单调性分析可得答案．【解答】解：根据题意，令g（x）=xf（x），则有g′（x）=[xf（x）]′=，则g（x）=（lnx）2+C，即xf（x）=（lnx）2+C，则有f（x）=（lnx）2+，又由，即f（e）=+=，解可得C=，故f（x）=（lnx）2+，令h（x）=f（x）﹣x，则h′（x）=f′（x）﹣1=＜0，故函数h（x）=f（x）﹣x在（0，+∞）上递减，不等式，即f（x）﹣x＞﹣e=f（e）﹣e，则有0＜x＜e，即不等式的解集为（0，e）；故选：B．二．填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．若2sinα﹣cosα=，则sinα=，tan（α﹣）= 3 ．【考点】GR：两角和与差的正切函数；GH：同角三角函数基本关系的运用．【分析】根据已知及同角三角函数的基本关系式，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：∵2sinα﹣cosα=，∴cosα=2sinα﹣，∵sin2α+cos2α=1，∴sin2α+（2sinα﹣）2=1，即5sin2α﹣4sinα+4=0，∴解得：sinα=，∴cosα=2×﹣=﹣，tan=﹣2，∴tan（α﹣）===3．故答案为：，3．12．商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．则顾客抽奖1次能获奖的概率是；若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，则EX= ．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式计算不获奖的概率得出获奖的概率，根据二项分布的性质得出数学期望．【解答】解：抽奖1次，不中奖的概率为=，∴抽奖1次能获奖的概率为1﹣=；抽奖1次获一等奖的概率为=，∴随机变量X服从二项分布，即X～B（3，），∴EX=3×=．故答案为：，．13．在△ABC中，D是AC边的中点，A=，cos∠BDC=﹣，△ABC的面积为3，则sin ∠ABD= ，BC= 6 ．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】过B作BH⊥AC于H，则cos∠BDH==，设DH=2k（k＞0），则BD=k，BH= k，在Rt△ABH中，由∠A=，得AH=k，从而AD=3k，AC=6k，由S△ABC==3=3，求出BC=6，再由，能求出sin∠ABD．【解答】解：过B作BH⊥AC于H，则cos∠BDH==，设DH=2k（k＞0），则BD=k，∴BH==k，在Rt△ABH中，∠A=，∴AH==k，∴AD=3k，AC=6k，又S△ABC=×AC×BH==3=3，解得k=1，∴BC=6，在△ABD中，，∴解得sin∠ABD=．故答案为：，6．14．已知抛物线y=x2和直线l：y=kx+m（m＞0）交于两点A、B，当时，直线l过定点（0，2）；当m= 时，以AB为直径的圆与直线相切．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】将直线代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得m的值，求得直线l的方程求得直线l过点（0，2）；利用中点坐标公式求得圆M的圆心，求得切点坐标，根据向量的数量积的坐标运算，即可求得m的值．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），，整理得：x2﹣kx﹣m=0，则x1+x2=k，x1x2=﹣m，y1y2=（x1x2）2=m2，y1+y2=k（x1+x2）+2m=k2+2m，由，则x1x2+y1y2=m2﹣m=2，即m2﹣m﹣2=0，解得：m=﹣1或m=2，由m＞0，则m=2，直线l：y=kx+2，∴直线l过点（0，2），设以AB为直径的圆的圆心M（x，y），圆M与相切于P，由x==，则P（，﹣），由题意可知：•=0，即（x1﹣，y1+）•（x2﹣，y2+）=0，整理得：x1x2﹣（x1+x2）++y1y2+（y1+y2）+=0，代入整理得：m2﹣+=0，解得：m=，∴当m=，以AB为直径的圆与直线相切．故答案为：（0，2），．15．根据浙江省新高考方案，每位考生除语、数、外3门必考科目外，有3门选考科目，并且每门选考科目都有2次考试机会，每年有两次考试时间，某考生为了取得最好成绩，将3门选考科目共6次考试机会安排在高二与高三的4次考试中，且每次至多考2门，则该考生共有114 种不同的考试安排方法．【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】依题意，分两大类：①四次考试中选三次（有种方法），每次考两科；②四次考试都选，有两次考两科，另外两次各考一科，分别分析、计算即可求得答案．【解答】解：将3门选考科目共6次考试机会安排在高二与高三的4次考试中，且每次至多考2门，有两种情况：①四次考试中选三次（有种方法），每次考两科，第一次有种方法，第二次必须考剩下的一科与考过的两科中的一科，有•种方法，第三次只能是种方法，根据分布乘法计数原理，共有：••（•）•=24种方法；②四次考试都选，有两次考两科，另外两次各考一科，共=6种方法；分别为方案2211，2121，2112，1221，1212，1122．若为2211，第一次有种方法，第二次有两种情况，1°选考过的两科，有种方法，则第三次只考剩下的第三科有1种方法；第四次只有1种方法，故共有••1•1=3种方法；2°剩下的一科与考过的两科中的一科，有•种方法，则第三次与第四次共有种方法，故共有•••=12种方法；综上所述，2211方案共有15种方法；若方案为2121，共有（••+••）=15种方法；若方案为2112，共有（••+••）=15种方法；同理可得，另外3种情况，每种各有15种方法，所以，四次考试都选，共有15×6=90种方法．综合①②得：共有24+90=114种方法．故答案为：114．16．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q，R分别是棱AB，AD，AA1的中点．以△PQR为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在此正方体的表面上．则这个直三棱柱的体积是．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】该直三棱柱的另一底面三个顶点分别是面A1B1C1D1、面DD1C1C、面BB1C1C的中心，记为M、N、H，则三这个棱柱的高h=PH=RM=QN，求解三角形求得高和底面积，代入柱体体积公式得答案．【解答】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P，Q，R分别是棱AB，AD，AA1的中点，以△PQR为底面作直三棱柱（侧棱与底面垂直的三棱柱叫直三棱柱），∴该直三棱柱的另一底面三个顶点分别是面A1B1C1D1、面DD1C1C、面BB1C1C的中心，记为M、N、H，则三这个棱柱的高h=PH=RM=QN，这个三棱柱的高h=RM==．底面正三角形PQR的边长为，面积为=．∴这个直三棱柱的体积是．故答案为：．17．函数y=ax2﹣2x的图象上有且仅有两个点到直线y=x的距离等于，则实数a的取值集合是{a|a＜﹣或a=0或a} ．【考点】3W：二次函数的性质．【分析】对a进行分类讨论，得出y=ax2﹣2x与y=x±2的位置关系，根据交点个数判断a 的范围．【解答】解：（1）若a=0，则y=2x与y=x为相交直线，显然y=2x上存在两点到y=x的距离等于，符合题意；（2）若a＞0，则y=ax2﹣2x与直线y=x相交，∴y=ax2﹣2x在直线y=x上方的图象必有2点到直线y=x的距离等于，又直线y=x与y=x﹣2的距离为，∴抛物线y=ax2﹣2x与直线y=x﹣2不相交，联立方程组，消元得ax2﹣3x+2=0，∴△=9﹣8a＜0，解得a．（3）若a＜0，同理可得a＜﹣．故答案为：{a|a＜﹣或a=0或a}．三．解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．设函数f（x）=sin2ωx﹣cos2ωx+2sinωxcosωx+λ的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若y=f（x）的图象经过点（，0），求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）先利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数f（x）化为y=Asin（ωx+φ）+k型函数，再利用函数的对称性和ω的范围，计算ω的值，最后利用周期计算公式得函数的最小正周期；（Ⅱ）先将已知点的坐标代入函数解析式，求得λ的值，再利用正弦函数的图象和性质即可求得函数f（x）的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sin2ωx+2sinωx•cosωx﹣cos2ωx+λ=sin2ωx﹣cos2ωx+λ=2sin（2ωx﹣）+λ，∵图象关于直线x=π对称，∴2πω﹣=+kπ，k∈z．∴ω=+，又ω∈（，1），令k=1时，ω=符合要求，∴函数f（x）的最小正周期为=；（Ⅱ）∵f（）=0，∴2sin（2××﹣）+λ=0，∴λ=﹣，∴f（x）=2sin（x﹣）﹣，∴f（x）∈[﹣1﹣，2﹣]．19．在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．（I）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；（Ⅱ）已知EF=FB=AC=2，AB=BC，求二面角F﹣BC﹣A的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取FC中点Q，连结GQ、QH，推导出平面GQH∥平面ABC，由此能证明GH∥平面ABC．（Ⅱ）由AB=BC，知BO⊥AC，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F﹣BC﹣A的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取FC中点Q，连结GQ、QH，∵G、H为EC、FB的中点，∴GQ，QH，又∵EF∥BO，∴GQ∥BO，∴平面GQH∥平面ABC，∵GH⊂面GQH，∴GH∥平面ABC．解：（Ⅱ）∵AB=BC，∴BO⊥AC，又∵OO′⊥面ABC，∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO′为z轴，建立空间直角坐标系，则A（，0，0），C（﹣2，0，0），B（0，2，0），O′（0，0，3），F（0，，3），=（﹣2，﹣，﹣3），=（2，2，0），由题意可知面ABC的法向量为=（0，0，3），设=（x0，y0，z0）为面FCB的法向量，则，即，取x0=1，则=（1，﹣1，﹣），∴cos＜，＞==﹣．∵二面角F﹣BC﹣A的平面角是锐角，∴二面角F﹣BC﹣A的余弦值为．20．已知函数f（x）=+x（a，b∈R）．（Ⅰ）当a=2，b=3时，求函数f（x）极值；（Ⅱ）设b=a+1，当0≤a≤1时，对任意x∈[0，2]，都有m≥|f'（x）|恒成立，求m的最小值．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）对a进行分类讨论：当a=0时，f（x）=﹣x+1，m≥1；再对对称轴进行讨论，当＜2时，即a＞；当≥2时，即a≤，分别去求|f（x）|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）a=2，b=3时，f（x）=x3﹣x2+x，f′（x）=2x2﹣3x+1=（2x﹣1）（x﹣1），令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜，令f′（x）＜0，解得：＜x＜1，故f（x）在（﹣∞，）递增，在（，1）递减，在（1，+∞）递增，故f（x）极大值=f（）=，f（x）极小值=f（1）=，（Ⅱ）当b=a+1，f（x）=ax3﹣（a+1）x2+x，f′（x）=ax2﹣（a+1）x+1，f′（x）恒过点（0，1）；当a=0时，f′（x）=﹣x+1，m≥|f′（x）|恒成立，∴m≥1；0＜a≤1，开口向上，对称轴≥1，f′（x）=ax2﹣（a+1）x+1=a（x﹣）2+1﹣，①当a=1时f′（x）=x2﹣2x+1，|f′（x）|在x∈[0，2]的值域为[0，1]；要m≥|f′（x）|，则m≥1；②当0＜a＜1时，根据对称轴分类：当x=＜2，即＜a＜1，△=（a﹣1）2＞0，f′（）=﹣（a+）∈（﹣，0），又f′（2）=2a﹣1＜1，所以|f′（x）|≤1；当x=≥2，即0＜a≤；f′（x）在x∈[0，2]的最小值为f′（2）=2a﹣1；﹣1＜2a﹣1≤﹣，所以|f′（x）|≤1，综上所述，要对任意x∈[0，2]都有m≥|f′（x）|恒成立，有m≥1，∴m≥1．21．已知椭圆+y2=1（a＞1），过直线l：x=2上一点P作椭圆的切线，切点为A，当P点在x轴上时，切线PA的斜率为±．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，求△POA面积的最小值．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由P在x轴设出P点坐标及直线PA方程，将PA方程与椭圆方程联立，整理关于x的一元二次方程，△=0求得a2，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）设出切线方程和点P及点A的坐标，将切线方程代入椭圆方程，求得关于x的一元二次方程，△=0，求得A和P点的坐标，求得丨PO丨及A到直线OP的距离，根据三角形的面积公式求得S=丨k+丨，平方整理关于k的一元二次方程，△≥0，即可求得S的最小值．【解答】解：（1）当P点在x轴上时，P（2，0），PA：，，△=0⇒a2=2，椭圆方程为；…﹣5（2）设切线为y=kx+m，设P（2，y0），A（x1，y1），则⇒（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0⇒△=0⇒m2=2k2+1， (7)且，y0=2k+m则，PO直线为，A到直线PO距离，…﹣10则=， (13)∴（S﹣k）2=1+2k2⇒k2+2Sk﹣S2+1=0，，此时．…﹣1522．已知函数f n（x）=x n（1﹣x）2在（，1）上的最大值为a n（n=1，2，3，…）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：对任何正整数n（n≥2），都有a n≤成立；（3）设数列{a n}的前n项和为S n，求证：对任意正整数n，都有S n＜成立．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）由已知得=（n+2）x n﹣1（x﹣1）（x﹣），由此利用导数性质能求出数列{a n}的通项公式．（2）当n≥2时，欲证≤，只需证明（1+）n≥4，由此能证明当n≥2时，都有成立．（3）S n＜＜，由此能证明任意正整数n，都有成立．【解答】解：（1）∵f n（x）=x n（1﹣x）2，∴=x n﹣1（1﹣x）[n（1﹣x）﹣2x]=（n+2）x n﹣1（x﹣1）（x﹣），…当x∈（，1）时，由，知：x=，…∵n≥1，∴，…∵x∈（，）时，；x∈（）时，（x）＜0；∴f（x）在（）上单调递增，在（）上单调递减∴在x=处取得最大值，即=．…（2）当n≥2时，欲证≤，只需证明（1+）n≥4，…∵（1+）n=≥1+2+≥1+2+1=4，…∴当n≥2时，都有成立．…（3）S n=a1+a2+…+a n＜＜=＜．∴对任意正整数n，都有成立．…。
2020年浙江省杭州高中高考数学质检试卷(5月份)
2020年浙江省杭州高中高考数学质检试卷（5月份）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合P ＝{x ∈R|−1<x <1}，Q ＝{x ∈R|0≤x <2}，那么P ∩∁R Q ＝（ ） A.(0, 1) B.(−1, 2) C.(−1, 0) D.(1, 2)2. 双曲线x 29−y 216=1的左顶点到其渐近线的距离为（ ） A.95B.2C.125D.33. 已知一个四棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为（ ）A. B. C. D.4. 若x ，y 满足约束条件{x ≥0，x +y −3≥0，x −2y ≤0.则z =x +2y 的取值范围是( )A.[0, 4]B.[0, 6]C.[6, +∞)D.[4, +∞)5. 若函数f(x)＝(4mx −n)2的大致图象如图所示，则（ ）A.m >0，n >1B.m >0，0<n <1C.m <0，0<n <1D.m <0，n >16. 如果对于任意实数x ，<x >表示不小于x 的最小整数，例如<1.1>＝2，<−1.1>＝−1，那么“|x −y|<1”是“<x >＝<y >”的（ ） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7. 已知随机变量ξ的分布列如表：则当a 在(0,12)内增大时（ ） A.Dξ减小B.Dξ增大C.Dξ先增大后减小D.Dξ先减小后增大8. 已知e 1→，e 2→，e 3→是空间单位向量，且满足e 1→⋅e 2→=e 2→⋅e 3→=e 3→⋅e 1→=12，若向量b →=3λe 1→+(1−λ)e 2→，λ∈R ．则e 3→在b →方向上的投影的最大值为（ ） A.√23B.√22C.√32D.√339. 已知k ∈R ，设函数f(x)={x 2−2kx +2k,x ≤1(x −k −1)e x +e 3,x >1，若关于x 的不等式f(x)≥0在x ∈R 上恒成立，则k的取值范围为（ ） A.[2, e 2] B.[0, e 2] C.[0, 4] D.[0, 3]10. 已知数列{a n }满足：a n >0，且a n 2＝3a n+12−2a n+1(n ∈N ∗)，下列说法正确的是（ ）A.若a 1＝2，则a n ≥1+(37)n−1 B.若a 1=12，则a n >a n+1 C.a 1+a 5≤2a3 D.|a n+2−a n+1|≥√33|a n+1−a n |二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．设z =1−i1+i +2（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z ¯=________，|z|＝________．在二项式(√x −1x )6的展开式中，常数项是________，有理项的的个数是________．已知方程为x 2+y 2+2x −ay +a ＝0的圆关于直线4x +y ＝0对称，则圆的半径r ＝ 2√2 ，若过点M(1, 0)作该圆的切线，切点为A ，则线段MA 长度为________．在△ABC 中，BC ＝4，∠B ＝135∘，点D 在线段AC 上，满足BD ⊥BC ，且BD ＝2，则cos A ＝________，AD ＝________．某地为提高社区居民身体素质和保健意识，从5名医生和2名护士共7名医务工作者中选出队长1人、副队长1人、普通医务工作者2人组成4人医疗服务队轮流到社区为居民进行医疗保健服务，要求医疗服务队中至少有1名护士，则共有________种不同的选法（用数字作答）已知a >0，若集合A ＝{x ∈Z||2x 2−x −a −2|+|2x 2−x +a −2|＝2a}中的元素有且仅有两个，则实数a 的取值范围是________．已知椭圆C:x 2a +y 2b =1(a >b >0)的离心率是√22，若以N(0, 2)为圆心且与椭圆C 有公共点的圆的最大半径为√26，此时椭圆C 的方程是________．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知函数f(x)=A sin (ωx +φ)(x ∈R,A >0,ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示．（1）求函数f(x)的解析式；（2）求函数g(x)=f(x −π12)−f(x +π12)在[π4,13π24]上的值域．如图，四棱台ABCD −A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，CC 1⊥底面ABCD ，且∠BAD ＝60∘，CD ＝CC 1＝2C 1D 1＝4，E 是棱BB 1的中点．（1）求证：AA 1⊥BD ；（2）求直线AA 1与平面A 1EC 1所成线面角的正弦值．已知公差非零的等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N ∗)，且a 1，a 2，a 4成等比数列，且S 4＝10，数列{b n }满足b 1＝2，b n −b n−1=2n−1(n ≥2,n ∈N ∗)． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）设数列{c n }满足c n =ln a n b n,(n ∈N +)，求证：(1−12n−1)⋅ln √2≤c 2+...+c n <34，(n ∈N ∗, n ≥2)．已知O 是坐标系的原点，F 是抛物线C:x 2=4y 的焦点，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，弦AB 的中点为M ，△OAB 的重心为G ．(1)求动点G 的轨迹方程；(2)设(1)中的轨迹与y 轴的交点为D ，当直线AB 与x 轴相交时，令交点为E ，求四边形DEMG 的面积最小时直线AB 的方程．已知函数f(x)＝(x −a)e x (a ∈R)． （1）讨论f(x)的单调性；,1)恒成立，求b的最（2）当a＝2时，设函数g(x)＝f(x)+ln x−x−b，b∈Z，若g(x)≤0对任意的x∈(13小值．参考答案与试题解析2020年浙江省杭州高中高考数学质检试卷（5月份）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】此题暂无答案【考点】交常并陆和集工混合运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】双曲根气离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】简单空间较形脱三视图【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】求线性目于函数虫最值简单因性规斯【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5. 【答案】此题暂无答案【考点】函数与方都的综合运着【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】充分常件、头花条件滤充要条件【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】离散验他空变量截其分布列【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】平面射量长量化的性置及其运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】函数于成立姆题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】数于术推式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．【答案】此题暂无答案【考点】复根的务复三的刺算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】二项式定因及京关概念【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】圆的水射方程直线与都连位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】解都还形三角形射面积公放【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】排列水使合及原判计数问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】元素与集水根系的判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】椭圆较标准划程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【答案】此题暂无答案【考点】由y=于si械（ωx+美）的部分角象六定其解断式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线与正键所成的角直线验周面垂直【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】数于术推式数使的种和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线水常物草结合夹最值问题基本常等式簧最母问赤中的应用轨表方擦【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利用验我研究务能的单调性利验热数技究女数的最值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
2020年5月浙江省七彩阳光新高考研究联盟2020届高三毕业班阶段性质量评估数学试题(解析版)
绝密★启用前浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟2020届高三毕业班下学期阶段性联合质量评估数学试题(解析版)2020年5月考生须知：1.本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号.3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题卷.选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合{}ln(1)0A xx =-≤∣，{}03B x x =<<∣，则()R A B =（ ） A. (0,1](2,3)B. (2,3)C. (0,1)(2,3)D. [2,3) 【答案】A【解析】【分析】首先解对数不等式，求出集合A ，进而求出A R 的补集,再根据集合的交集运算,即可求出结果. 【详解】因为{}ln(1)0A xx =-≤∣,所以{}{}01112A x x x x =<-≤=<≤∣∣, 所以{1R A x x =≤∣或}2x >,又{}03B x x =<<∣,所以()R A B =(]()0,12,3.故选：A.【点睛】本题主要考查了集合的交集、补集的运算以及对数不等式的解法,属于基础题.2.双曲线221x y m-=则m =（ ）1C. 12D. 2【答案】C【解析】【分析】 根据双曲线方程得222,1,1a m b c m ===+,结合离心率列方程,解得结果. 【详解】因为双曲线221x y m-=,所以222,1,1a m b c m ===+ 因为221x y m -=所以2211332c c m m a a m +==∴=∴=, 故选：C【点睛】本题考查双曲线离心率,考查基本分析求解能力,属基础题.3.若实数x ,y 满足约束条件5630321x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩,则 3 z x y =+的最小值是（ ）A. 10B. 3C. 272D.113 【答案】B【解析】【分析】 由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数求出结果．【详解】由约束条件作出可行域,如下图：。
2020年浙江省杭州市高考数学模拟试卷(5月份)(有答案解析)
2020年浙江省杭州市高考数学模拟试卷（5月份）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.设集合，，则A. B. C. D.2.设M为不等式所表示的平面区域，则位于M内的点是A. B. C. D.3.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.B.C.D.4.“”是”函数的最小值等于2”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 既不充分也不必要条件D. 充要条件5.在我国古代数学著作详解九章算法中，记载着如图所示的一张数表，表中除1以外的每一个数都等于它肩上两个数之和，如：则这个表格中第8行第6个数是A. 21B. 28C. 35D. 566.函数其中e为自然对数的底数的图象可能是A. B. C. D.7.抛掷一枚质地均匀的硬币，若出现正面朝上则停止抛掷，至多抛掷次，设抛掷次数为随机变量，，若，，则A. ，B. ，C. ，D. ，8.已知函数是偶函数，则a，b的值可能是A. ，B. ，C. ，D. ，9.设，，为非零不共线向量，若，则A. B.C. D.10.数列满足若存在实数使不等式，对任意恒成立，当时，A. B. C. D.二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.复数且i为虚数单位，则______；______．12.的展开式的所有二项式系数和为______，常数项为______．13.设双曲线的左、右焦点为，，P为该双曲线上一点且，若，则该双曲线的离心率为______，渐近线方程为______．14.在中，若，，则______，______．15.已知是等差数列的前n项和，若，，则的最大值是______ ．16.安排A、B、C、D、E、F共6名志愿者照顾甲、乙、丙三位老人，每两位志愿者照顾一位老人，考虑到志愿者与老人住址距离问题，志愿者A安排照顾老人甲，志愿者B不安排照顾老人乙，则安排方法共有______种．17.已知函数当，的最大值为，则的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知函数，．若，求的单调递增区间；若，求的最小正周期T的最大值．19.如图，在四棱锥中，底面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，，，，E是PB的中点．Ⅰ求证：平面平面PBC；Ⅱ若二面角的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．20.已知数列的各项均为正数，，，是等差数列，其前n项和为，．求数列的通项公式；，，若对任意的正整数n，都有恒成立，求实数a的取值范围．21.如图，已知为抛物线C：上一点，过点的直线与抛物线C交于A，B两点B两点异于，记直线AM，BM的料率分别为，．求的值；记，的面积分别为，，当，求的取值范围．22.已知函数，，其中．若，求证：．若不等式对恒成立，试求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：，，．故选：C．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、区间的定义，对数函数的定义域，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：C解析：解：把代入不等式，得，成立，点A不在不等式组表示的平面区域内；把代入不等式，得，成立但不成立，点B不在不等式组表示的平面区域内；把代入不等式，得，成立且，点C在不等式组表示的平面区域内；把代入不等式，得，不成立，点D不在不等式组表示的平面区域内．故选：C．分别把A，B，C，D四个点的坐标代入不等式组进行判断，即能够求出答案．本题考查二元一次不等式组表示的平面区域的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．3.答案：A解析：解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱柱切去一个底面为矩形，高为四棱锥体．如图所示：所以该几何体的体积为：．故选：A．首先把三视图转换为直观图，进一步利用割补法的应用求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的体积公式的应用，割补法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．4.答案：A解析：解：函数，令，解得，或3．“”是”函数的最小值等于2”的充分不必要条件．故选：A．函数，令，解得a，进而判断出关系．本题考查了绝对值不等式、函数的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.答案：A解析：解：表中除1以外的每一个数都等于它肩上两个数之和，如：．则第7行的数据为：1，6，15，20，15，6，1，第8行的数据：1，7，21，35，35，21，7，1，则这个表格中第8行第6个数是21，故选：A．通过表格可归纳推理得到第7和第8行的数据从而得到答案，归纳推理的一般步骤是：通过观察个别情况发现某些相同性质；从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题猜想，属于基础题．6.答案：D解析：解：由，故可排除选项A，B；又时，且，故可排除选项C．故选：D．利用特殊点的函数值及函数的趋近性，得出答案．本题考查函数图象的运用，考查由函数解析式确定函数图象，属于基础题．7.答案：A解析：解：抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上则停止抛掷，至多抛掷次，设抛掷次数为随机变量，，，，的分布列为：1 2 3P，．1 2 3 4 5P，，，故选：A．由，求出的分布列，从而求出，；由，求出的分布列，从而求出，进而得到，本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法及应用，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8.答案：C解析：解：根据题意，设，则，则，，又由为偶函数，则，即，变形可得：对于任意x恒成立，则有，分析选项：C满足，故选：C．根据题意，设，则，由函数的解析式可得，，由函数奇偶性的定义可得，变形分析可得，分析选项即可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及三角函数诱导公式的应用，属于基础题．9.答案：D解析：解：设，，为非零不共线向量，若，则，，化简得，，即，，，故选：D．因为对任意的实数，不等式恒成立，所以把不等式整理成关于t一元二次不等式．本题主要考察了平面向量的数量积以及一元二次不等式的知识．10.答案：B解析：解：，当时，可得：，解得，同理可得：，．若存在实数使不等式，对任意恒成立，则，经过验证只有满足上述不等式．故选：B．，当时，可得：，解得，同理可得：，若存在实数使不等式，对任意恒成立，经过验证即可得出．本题考查了数列递推关系、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.答案：解析：解：由，得，则，解得．；，．故答案为：；．把代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，再结合复数相等的条件即可求出a，b的值，再由复数模的公式计算得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，考查复数模的求法，是基础题．12.答案：64 20解析：解：由题设知：展开式的所有二次项系数和为；又其通项公式为，令，解得：，．故答案为：64；20．先求出二次项系数和，再利用二项式定理中的通项公式求出常数项．本题主要考查二项式定理的内容，属于基础题．13.答案：解析：解：由题意可设P为第一象限内的点，且设，，由双曲线的定义可得，又，可得，，在中，由余弦定理可得，则，即，由，即，则渐近线方程为，故答案为：，由题意可设P为第一象限内的点，且设，，运用双曲线的定义和已知条件求得m，n，三角形的余弦定理可得a，c的关系，再结合a，b，c的关系可得a，b的关系，进而得到心率公式和渐近线方程．本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的余弦定理的运用，同时考查方程思想和运算能力，属于基础题．14.答案： 1解析：解：，，，又，，，，，，，即，又，C均为锐角，，由正弦定理得：，故答案为：，1．先利用二倍角公式化简得，再结合A的范围即可得到A的值，利用两角和与差的三角函数公式化简得，所以，再利用由正弦定理即可算出结果．本题主要考查了利用三角函数公式化简求值，熟练掌握三角函数公式是解题关键，是中档题．15.答案：9解析：解：，，，即，即所以，得到，所以，即的最大值为9．故答案为：9．由，，知，，所以，得到，由此能求出的最大值．本题考查等差数列的性质和应用，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答，注意等差数列前n项和公式的合理运用．16.答案：18解析：解：先安排照顾老人乙，有种方法；再考虑照顾老人甲，有种方法；其余去照顾老人丙即可，共有种安排方法．故填：18．利用乘法原理，计算出结果．本题主要考查排列、组合中的乘法原理的应用．17.答案：7解析：解：依题意，，则，，当且仅当且时取等号．取，，则，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，；取，，则显然函数在上递减，在上递增，；综上所述，的最小值为7．故答案为：7．先根据绝对值值不等式的性质可得，即必要性成立，再取值验证，证明其充分性成立即可得解．本题考查了含绝对值函数的最值求法，涉及了利用绝对值不等式的性质，利用导数研究函数的最值等知识点，考查了推理能力与计算能力，属于较难题目．18.答案：解：当时，函数，令，；解得，；所以的单调递增区间是，；由，若，则，所以，；解得，；又因为函数的最小正周期，且，所以当时，T取得最大值为．解析：化简时函数的解析式，利用正弦函数的单调性求出的单调递增区间；化为正弦型函数，根据求出，再计算函数最小正周期T的最大值．本题考查了三角函数的化简与运算问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．19.答案：Ⅰ证明：平面ABCD，平面ABCD，，，，，，，又，，，平面PBC，平面EAC，平面PBC，平面平面PBC．Ⅱ如图，以C为原点，取AB中点F，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则0，，1，，，设0，，则，1，，0，，，取，则，为面PAC的法向量．设y，为面EAC的法向量，则，即，取，，，则，依题意，，，则，于是，1，．设直线PA与平面EAC所成角为，则，，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．解析：本题考查面面垂直，考查线面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定，利用向量的方法研究线面角，属于中档题．Ⅰ证明平面平面PBC，只需证明平面PBC，即证，；Ⅱ根据题意，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面PAC的法向量，面EAC的法向量，利用二面角的余弦值为，可求a的值，从而可求，1，，即可求得直线PA与平面EAC所成角的正弦值．20.答案：解：设等差数列的公差为，由得，解得：，，，，；，，，对任意的正整数n恒成立恒成立．又在时单调递减，其范围为．故．解析：先设等差数列的公差为，由题设条件求出d，进而求出，；先求，再求出，从而求出，解出a的取值范围．本题主要考查数列通项公式的求法及裂项相消法求数列的和，还有利用数列的单调性求范围，属于中档题．21.答案：解：由题意将M的坐标代入抛物线的方程可得，解得，所以抛物线的方程为；由题意可得直线AB的斜率不为0，所以设直线AB的方程为：，设，，联立直线与抛物线的方程：，整理可得：，则，，由题意可得，所以．由可得，所以，，又，所以．所以的取值范围．解析：由题意将M的坐标代入抛物线的方程可得p的值，进而求出抛物线的方程，设直线AB的方程与抛物线联立求出两根之和及两根之积，求出直线AM，BM的斜率之积可得为定值，；由可得的表达式，由其服务求出A的纵坐标的范围，两个，的面积以M 为顶点，以AD，BD为为底边，所以面积之比等于AD，BD的长度之比，由可得其取值范围．本题考查求抛物线的方程及直线与抛物线的综合及面积之比与边长之比的关系，属于中档题．22.答案：解：证明：，，．函数在上单调递增，，．存在，使得，当时，；时，．．由，即，则．．即；由题意可得：对恒成立．必要性：把代入可得：，即，令，可得在上单调递增，且．．下面证明当时．对恒成立．即证明：对恒成立．，．令．．可得：在上单调递减，且．时，函数取得最大值，．．，对恒成立．由可知：．解析：，，函数在上单调递增，，．存在，使得可得即可证明．由题意可得：对恒成立．必要性：把代入可得：，即，令，利用单调性可得．下面证明当时．对恒成立．即证明：对恒成立．由，可得令利用导数研究其单调性即可证明结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
浙江省杭州市建人高复学校2020届高三下学期5月模拟数学试卷及答案解析.
浙江省杭州市建人高复学校2020届高三下学期5月模拟数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知全集{1,U =2，3，4，5，6}，集合{}1,4P =，{}3,5Q =，则()(UP Q ⋃=)A.{}2,6B.{2,3，5，6}C.{1,3，4，5}D.{1,2，3，4，5，6}2.已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“（a +bi ）2＝2i ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.88π+B.816π+C.168+πD.1616π+4.如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（ ） A.ab c d ≤+，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 B.ab c d ≥+，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一C.ab c d ≤+，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一D.ab c d ≥+，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一5.设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{2a 1a n }为递减数列，则（ ） A. d <0 B. d >0 C. a 1d <0 D. a 1d >06.已知实数,x y 满足2246120x y x y +-++=则22x y --的最小值是（ ）A.5-B.4-1D.557.定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的(,)a m n =，(,)b p q =，令a b mq np =-.下面说法错误的是A.若a b 与共线，则0a b =B.ab b a =C.对任意的,()R a b a b λλλ∈=有（）D.2222()()ab a b a b +⋅=8.对于给定正数k ，定义(),()(),()k f x f x k f x k f x k≤⎧=⎨>⎩，设22()252f x ax ax a a =--++，对任意x ∈R 和任意(,0)a ∈-∞恒有()()k f x f x =，则（ ） A.k 的最大值为2B.k 的最小值为2C.k 的最大值为1D.k 的最小值为19.如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的表面上运动，且P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，如果将正方体在平面内展开，那么动点P 的轨迹在展开图中的形状是（ ）A. B.C. D.10.设函数22sin 2()cos 2a a x f x a a x ++=++的最大值为()M a ，最小值为()m a ，则（ ）A.000,()()2a R M a m a ∃∈⋅=B.,()()2a R M a m a ∀∈+=C.000,()()1a R M a m a ∃∈+=D.,()()1a R M a m a ∀∈⋅=第II 卷（非选择题）二、解答题11.在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos sin a b C B =. （1）求角B 的大小；（2）求22sin sin A C +的取值范围.12.如图所示，ΔABC 和ΔBCD 所在平面互相垂直，且AB=BC =BD =2，∠ABC =∠DBC =120∘，E ，F 分别为AC ，DC 的中点.（1）求证：EF ⊥BC ；（2）求二面角E−BF −C 的正弦值.13.已知,A B 是抛物线2x y =-上位于y 轴两侧的不同两点（1）若CD 在直线4y x =+上，且使得以ABCD 为顶点的四边形恰为正方形，求该正方形的面积.（2）求过A 、B 的切线与直线1y =-围成的三角形面积的最小值；三、填空题14.已知方程()221+91x k k y --=，若该方程表示椭圆方程，则k 取值范围是_______；15.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为1F ，过1F 的直线交双曲线左支于,A B 两点，且1||||OF OA =，延长AO 交双曲线右支于点C ，若11||2||CF BF =，则该双曲线的离心率为_________四、新添加的题型16.已知2,0()(),0x x f x f x x ⎧≥=⎨--<⎩，若4log 3a =，则()f a =___________；()1f a -=___________.17.已知2()3)n f x x =展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992，则展开式中最大的二项式系数为______；展开式中系数最大的项为______.18.将字母,,,,,a a b b c c 放入32⨯的方表格，每个格子各放一个字母，则每一行的字母互不相同，每一列的字母也互不相同的概率为_______；若共有k 行字母相同，则得k 分，则所得分数ξ的数学期望为______；（注：横的为行，竖的为列；比如以下填法第二行的两个字母相同，第1，3行字母不同，该情况下1ξ=）19.已知,,a b c 都是单位向量，且12a b ⋅=-1b c +-⋅的最小值为_____；最大值为________参考答案1.A【解析】1.进行并集、补集的运算即可．P ∪Q={1，3，4，5}；∴∁U （P ∪Q ）={2，6}． 故选A ． 2.A【解析】2.利用充分必要条件的定义和复数的四则运算及两个复数相等的充要条件即可判断. 当“a ＝b ＝1”时，“（a +bi ）2＝（1+i ）2＝2i ”成立， 故“a ＝b ＝1”是“（a +bi ）2＝2i ”的充分条件；当“（a +bi ）2＝a 2﹣b 2+2abi ＝2i ”时，“a ＝b ＝1”或“a ＝b ＝﹣1”， 故“a ＝b ＝1”是“（a +bi ）2＝2i ”的不必要条件；综上所述，“a ＝b ＝1”是“（a +bi ）2＝2i ”的充分不必要条件； 故选：A 3.C【解析】3.由三视图知：该几何体是一个组合体，下面是一个半个圆柱，上面是一个长方体，然后分别由柱体体积公式求解.观察该几何体是一个组合体，下面是一个半个圆柱，上面是一个长方体， 如图所示，半个圆柱的体积等于211(2)482V ππ=⨯⨯=， 上面的长方体体积等于242216V =⨯⨯=，所以该几何体的体积等于12168V V V π=+=+. 故选：C. 4.A【解析】4.正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，∴ 4=a b +≥，即4ab ≤，当且仅当a =b =2时，“=”成立；又4=2()2c d cd +≤，∴ c+d≥4，当且仅当c =d =2时，“=”成立；综上得ab c d ≤+，且等号成立时a b c d ，，，的取值都为2，选A 。
2020年浙江省杭州高中高考数学质检试卷(5月份) (含答案解析)
2020年浙江省杭州高中高考数学质检试卷（5月份）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合P={x|x−1≤0}，Q={x|0<x≤2}，则(∁R P)∩Q=()A. (0,1)B. (0.2]C. [1,2]D. (1,2]2.若双曲线x2a2−y23=1的离心率为2，则此双曲线的顶点到渐近线的距离等于()A. 2B. √32C. 32D. √33.若正四棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该几何体的表面积是()A. 4B. 4+4√10C. 8D. 4+4√114.设x，y满足{2x−y−2⩽0x−2y+2⩾0x+y+2⩾0，则z=x−3y的最小值是()A. 8B. −2C. −4D. −85.设函数f(x)=(2−t)·2x+t−3，当t∈(1,4)时，f(x0)<0，且x0∈Z，则x0的取值的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 46.“−2<x<1”是“x>1或x<−1”的()A. 充分条件但不是必要条件B. 必要条件但不是充分条件C. 既不充分也不必要条件D. 既充分也必要条件7.已知随机变量X的分布列如表：X−101P a b c其中a，b，c>0.若X的方差DX≤13对所有a∈(0,1−b)都成立，则()A. b≤13B. b≤23C. b≥13D. b≥238.已知向量a⃗=(λ,2)，b⃗ =(1,−2)，a⃗⊥b⃗ ，则实数λ=()A. 1B. 4C. −1D. −49.已知函数f(x)=12x 4−2x 3+3m，x∈R，若f(x)+9≥0恒成立，则实数m的取值范围是()A. m≥32B. m>32C. m≤32D. m<3210.数列{a n}满足a n+1+a n=2n−3，则a8−a4=()A. 7B. 6C. 5D. 4二、填空题（本大题共7小题，共42.0分）11.已知i是虚数单位，若z(1−i)=2i，则|z|=________．12.已知在(1−2x)n的展开式中，各项的二项式系数之和是64，则(1+2x)n(1−2x2)的展开式中，x4项的系数是__________．13.已知圆O:x2+y2=4.过点Q(2,4)作圆的切线，则切线长为________．14.如图，△ABC上，D是BC上的点，且AC=CD，2AC=√3AD，AB=2AD，则sin B等于______．15.从4男2女共6名学生中选出队长1人、副队长1人、普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有______种不同的选法．(用数字作答) 16.已知集合A={x∈R||x−55|≤112}，则集合A中的最大整数为______．17.椭圆x29+y25=1的离心率为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(其中ω>0，φ∈(−π2,π2)的部分图象如图所示．(1)求ω、φ的值；(2)设x∈(−π3,π2)，求函数f(x)的值域．19.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，D是AC的中点，A1D与AC1交于点E，AA1=1，AB=2，AC=1，BC=√3．(1)求证：BC⊥平面AA1C1C；((2)求直线BC与平面A1BD所成的角的正弦值．20.已知等差数列{a n}满足(a1+a2)+(a2+a3)+⋯+(a n+a n+1)=2n(n+1)(n∈N∗)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{a n2n−1}的前n项和S n．21.已知抛物线Γ：y2=2px(p>0)的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线Γ相交于M、N两点，且|MN|=4．(Ⅰ)求抛物线Γ的方程；(Ⅱ)若点P是抛物线Γ上的动点，点B、C在y轴上，圆(x−1)2+y2=1内切于△PBC，求△PBC 面积的最小值．22.已知函数g(x)=e x−2−ax(a∈R)(e为自然对数的底数)(1)讨论函数g(x)的单调性；(2)当x>0且x≠1时，f(x)=g(x)−e x−2+x在(1,+∞)上为减函数，求实数a的最小值．lnx-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】本题考查集合的运算：交集和补集，考查运算能力，属于基础题．求得P的补集，再由交集的定义，即可得到所求集合．【解答】解：集合P={x|x−1≤0}={x|x≤1}，∁R P={x|x>1}，Q={x|0<x≤2}，则(∁R P)∩Q={x|1<x≤2}．故选：D．2.答案：B解析：解：由题意，双曲线x2a2−y23=1的离心率为2，则a=1，∴顶点坐标为(±1,0)，渐近线的方程为y=±√3x∴双曲线的顶点到渐近线的距离为√33+1=√32，故选：B．双曲线x2a2−y23=1的离心率为2，求出a=1，可得双曲线的顶点坐标、渐近线方程，从而可得顶点到渐近线的距离．本题考查双曲线的渐近线方程，考查点到直线的距离公式的运用，考查双曲线的几何性质，属于中档题．3.答案：B解析：【分析】本题考查三视图与直观图，考查学生的计算能力，属于基础题．由正四棱锥的正视图和俯视图可知，正四棱锥的底面对角线长为2√2，正四棱锥的高为3，由此可求正四棱锥的表面积．【解答】解：由正四棱锥的正视图和俯视图可知，正四棱锥的底面对角线长为2√2，正四棱锥的高为3 ∴正四棱锥的底面正方形边长为2∵正四棱锥的高为3∴正四棱锥的斜高为√9+1=√10∴正四棱锥的表面积是四个侧面积+一个底面积，即4+4×12×2×√10=4+4√10故选B ．4.答案：C解析：【分析】本题考查线性规划的简单应用，考查约束条件的可行域，属于基础题．画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小值即可．【解答】解：作出可行域，当直线z =x −3y 经过点A 时，z =x −3y 有最小值，由{2x −y −2=0x −2y +2=0，解得x =2，y =2， 故z min =2−3×2=−4．故选C5.答案：C解析：【分析】本题考查函数的单调性和值域，考查抽象概括能力和应用意识．【解答】解：f(x)=(2−t)·2x +t −3=(1−2x )t +2x+1−3，∴F(t)=(1−2x )t +2x+1−3是关于t 的一次函数，∵当t ∈(1,4)时，f(x 0)<0∴{F(1)⩽0F(4)⩽0即{2x 0−2⩽0−2⋅2x 0+1⩽0解得−1≤x 0≤1， 又∵x 0∈Z ，∴x 0=−1，0，1，故选C ．6.答案：C解析：【分析】本题主要考查了充要条件，必要条件，充分条件的概念．根据题目所给已知条件，结合充要条件，必要条件，充分条件的定义进行判断即可．【解答】解：或x <−1，且x >1或，∴“−2<x <1”是“x >1或x <−1”的既不充分也不必要条件．故答案为C ．7.答案：D解析：解：依题意，a +b +c =1，故c =1−a −b ，当a ∈(0,1−b)时，故E X =−a +c =1−b −2a ，DX =E(X 2)−E 2(X)=a +c −(c −a)2=a +c −[(c −a)2+4ac]+4ac =(a +c)−(a +c)2+4a[1−b −a]=(1−b)−(1−b)2+4a[1−b −a]，令1−b =t ，则t ∈(0,1)DX =t −t 2+4a(t −a)≤13，a ∈(0,t)， 故4a 2−4at +t 2−t +13≥0，在a ∈(0,t)时恒成立，当a =t 2时DX 有最小值，故4(t 2)2−4t 2×t +t 2−t +13≥0，故t ≤13，即−1−b ≤13，所以b ≥23，故选：D ．依题意，a +b +c =1，当a ∈(0,1−b)时，可以表示出c ，从而将DX 用含有a ，b 的算式，根据a ∈(0,1−b)时方差DX ≤13都成立，进而推出b 的范围．本题考查频率、平均数、概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是难题．8.答案：B解析：解：∵a⃗⊥b⃗ ，∴a⃗⋅b⃗ =λ−2×2=0，解得λ=4．故选：B．由a⃗⊥b⃗ ，可得a⃗⋅b⃗ =0，即可解得λ．本题查克拉向量垂直与数量积的关系，属于基础题．9.答案：A解析：【分析】本题考查学生找函数恒成立问题时的条件的能力．要找m的取值使f(x)+9≥0恒成立，思路是求出f′(x)并令其等于零找出函数的驻点，得到函数f(x)的最小值，使最小值大于等于−9即可求出m的取值范围．【解答】解：因为函数f(x)=12x4−2x3+3m，所以f′(x)=2x3−6x2，令f′(x)=0得x=0或x=3，经检验知x=3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f(3)=3m−272，不等式f(x)+9≥0恒成立，即f(x)≥−9恒成立，所以3m−272≥−9，解得m≥32．故选A．10.答案：D解析：【分析】本题考查了学生的化简运算能力及整体思想的应用．由a n+1+a n=2n−3得到a n+2−a n=2，从而求出答案，属基础题．【解答】解：依题意得(a n+2+a n+1)−(a n+1+a n)=[2(n+1)−3]−(2n−3)，。
2020年5月杭州高三年级教学质量检测.试题和答案docx
杭州高三年级教学质量检测本资料由lance(兰银清)收集并核对校正第一节（共5小题，每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1.What is the man planning to do?A. Take a photography course.B. Take a nice photo.C. Make a photo album.2.How did the woman learn to make the cake?A. From a cookbook.B. From the man's wife.C. From a food market.3.How much did the man pay for the jacket?A.40$.B.20$.C.10$.4.Who will go to the movie at last?A. The man.B. The woman.C. The woman's sister.5.Where does the conversation probably take place?A. In a post office.B. In a book store.C. In a library第二节（共15小题：每小题1.5分，共22.5分）听第6段材料回容第6、7题。
6.What is the man doing？A. Making an appointment.B. Seeing a doctor.C. Checking a schedule.:7.When will the man go to see the doctor?A. Today.B. Tomorrow afternoon.C. On Thursday morning.听第7段材料，回答第8至10题8.Where does the woman want to go?A. A museum.B. A bank.C.A church.9.How many times should she turn left on the way?A. Once.B. Twice.C. Three times.10.How will the woman get to the destination?,A on foot B.by bike C. by taxi听第8段材料，回答第11至13题。
浙江省杭州高级中学2020届高三5月模拟考试数学试题答案
1 2
n
3
n 3
,n
4
c4 c3
4 23
4
c2 cn
c2 c3
c3 3
4
1 21
n
1 2 n3
nN
,n
4
4
1 21
n
1 2 n 3
5
n2 2 n 3
n N , n 4
c2
cn
c2
c3
c3 3
4
1 21
n
1 2 n3
c2
c3
5 3
c3
n N ,n 4
c2
，...........12 分
当且仅当
，即
时取等号，...........14 分
此时四边形 DEMG 的面积最小，所求的直线 AB 的方程为
．...........15 分
22.【解析】（1）由题意，函数 f x x a e x ，可得 f ' x x a 1 ex ，...........2 分 当 x , a 1 时， f ' x 0 ； 当 x a 1, 时， f ' x 0 ，...........4 分 故 f x 的单调递减区间为 , a 1 ，单调递增区间为 a 1, ............6 分 （2）由 g x f x ln x x b x 2ex ln x x b ，
杭高钱江校区 2019 学年第二学期高三教学质量检测
数学（学科）参考答案
1. C 2.C 3.A
4.D
5.B 6.B 7.C 8.D 9.D 10.C
1、f (x) = x - x2
(
A)
a1
=
1 2
,{an
2020届 浙江省杭州市杭州二中学 高三5月高考模拟数学试题(解析版)
2020届浙江省杭州市杭州二中学高三5月高考模拟数学试题一、单选题1．设集合{1,2,3}A =，{2,3,4}B =，{3,4,5}C =，则()()A B B C ⋃⋂⋃=（ ） A ．{1,2,3} B ．{2,3,4}C ．{3,4,5}D ．{3}【答案】B【解析】先根据两个集合的并集的定义求得A ∪B ，B ∪C ，再根据两个集合的交集的定义求得()()A B B C 即可.【详解】∵集合{1,2,3}A =，{2,3,4}B =，{3,4,5}C =，∴A ∪B {1,2,34}=，，B ∪C {2,3,4,5}=， ∴(A ∪B )∩(B ∪C )={2,3,4}. 故选：B . 【点睛】本题考查交、并、补集的混合运算，属于基础题.2．已知等差数列{}n a 的公差为2，若前17项和为1734S =，则12a 的值为（ ） A ．8 B ．6C ．4D ．2【答案】A【解析】由等差数列{}n a 的前17项和为S 17=34可得()117172a a +=34，再结合a 9为a 1，a 17的等差中项可求出a 9，再根据a 9和a 12的关系即可得解．【详解】∵等差数列{}n a 的前17项和为S 17=34， ∴()117172a a +=34，∴a 1+a 17=4，∵a 1+a 17=2a 9，∴a 9=2， 又等差数列{}n a 的公差为2，∴a 12=a 9+(12-9)×2， ∴a 12=8， 故选：A . 【点睛】本题考查等差数列的通项公式、求和公式及性质，属于基础题. 3．函数()||f x x x a b =++是奇函数的充要条件是（ ） A ．1ab = B ．0a b +=C ．a b =D ．220a b +=【答案】D【解析】利用奇函数的定义“函数y =f （x ）的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有x ∈D ，且f （-x ）=-f （x ），则这个函数叫做奇函数”建立恒等式，求出a 、b 的值即可． 【详解】∵函数()||f x x x a b =++是奇函数， ∴f （-x ）=-f （x ），即||x x a b --++||x x a b =-++， ∵x 不恒为0，∴||x a -+||x a =+，可得a =0， 又(0)0f =，可得b =0，∴a =0且b =0，等价于220a b +=，因此，函数()||f x x x a b =++是奇函数的充要条件是220a b +=. 故选：D . 【点睛】本题考查函数奇偶性，必要条件、充分条件与充要条件的判断，对于已知函数奇偶性求参数问题，奇函数利用f （-x ）=-f （x ），(0)0f =求解，偶函数利用f （-x ）=f （x ）求解，属于中等题. 4．若复数312a ii++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．-6 B ．6C ．4D ．3【答案】A【解析】把已知复数利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部等于0且虚部不等于0求得a 的值． 【详解】∵()()()()()()31263231212125a i i a a ia i i i i +-++-+==++-为纯虚数， ∴a +6=0且3−2a ≠0，解得：a =−6. 故选：A . 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算及复数概念的应用，纯虚数为实部等于0且虚部不等于0，得出结果后一定要做验证，属于基础题.5．设a ，b ，c 是互不相等的正数，则下列不等式中一定不成立．．．．．的是（ ） A ．||||||a b a c b c -≥-+- B ．2211a a a a+<+C ．1||2a b a b-+≥- D ≤【答案】B【解析】本题要找出不等式中一定不成立的选项，需要根据选项找出成立的条件或说明一定不成立的原因，对于选项A 、C 可举例证明存在成立，D 选项可证明一定成立，B 选项可证明一定不成立． 【详解】在A 中，令a >0,b <0,c =0,则||||||a b a c b c -≥-+-能成立，故A 排除;在B 中,a 2+()2243222(1)1111a a a a a a a a a a a-++--+--==≥0，故B 一定不成立; 在C 中,当a -b >0,则|a -b |+1a b-≥2恒成立，故排除C ; 对D 项可采取两边有理化得：，<恒成立.答案：B . 【点睛】本题考查不等关系与不等式，是对含有绝对值不等式、基本不等式、无理不等式的综合考查，属于中等题.6．双曲线22221(,0)x y a b a b-=>上存在一点P ，与坐标原点O ，右焦点2F 构成正三角形，则双曲线的离心率为（ ） A ．512+ B ．3 C ．31+.D ．2【答案】C【解析】根据正三角形的性质得到三角形F 1PF 2为直角三角形，利用双曲线离心率的定义进行求解即可． 【详解】∵P 与坐标原点O 、右焦点F 2构成正三角形， ∴连接PF 1,则三角形F 1PF 2为直角三角形， 则PF 2=c ,PF 13， ∵PF 1−PF 2=2a ， ∴31)c =2a ， 则e =3131c a ==-， 故选：C . 【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查双曲线的简单性质的灵活应用，属于中等题. 7．设,,22ππαβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且满足sin cos sin cos 1αββα+=，则sin sin αβ+的取值范围是（ ） A ．[2,2]- B ．[2]-C ．2]D ．2]【答案】D【解析】先利用正弦的两角和公式化简已知等式，求得α+β=2π，把sin β转换为cos α，利用两角和公式化简，根据α的范围求得sin α+sin β的范围即可． 【详解】∵sin αcos β+sin βcos α=sin (α+β)=1,,,22ππαβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， ∴α+β=2π， ∴−2π≤β=2π−α≤2π，可判断出2π≥α≥0，2222224sin sin sin cos sin cos sin παβααααα⎛⎫⎛⎫ ⎪+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎝⎭=⎭+， ∵α∈[0,2π]， ∴3,444πππα⎡⎤⎢⎥⎣∈⎦+， ∴2,142sin πα⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪∈⎝⎭⎣⎦+， ∴21,24sin πα⎛⎫+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭∈，故选：D . 【点睛】本题考查两角和与差的正弦函数，掌握并灵活应用公式是解题的关键，属于中等题. 8．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为（ ）A ．12B 3C ．174D 17 【答案】C【解析】【详解】试题分析：分析三视图可知，该几何体为如下图所示的三棱锥P ABC -，其中底面ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，平面PAC ⊥平面ABC ，故球心O 在底面ABC 的投影为ABC ∆的外心，即AC 的中点D ，如图所示，则可知22217(32)(4)4R R R +-=⇒=，故选C.【考点】1.三视图；2、三棱锥的外接球．9．平面向量a ，b 满足：1||2a ≤≤，1||3a b ≤+≤，12a b ≤⋅≤，则||b 的最大值为（ ） A ．2 B 5C 6 D 7【答案】C【解析】根据已知，可得()[]222=+21,9a ba ab b +⋅+∈，分析可知当22+2=9a a b b ⋅+且||=1a ，=1a b ⋅时，||b 取最大值，求解即可.【详解】由1||2a ≤≤，1||3a b ≤+≤，12a b ≤⋅≤， 可得()[]222=+21,9a ba ab b +⋅+∈，所以当22+2=9a a b b ⋅+且||=1a ，=1a b ⋅时，||b 取最大值， 此时，22=92=6b a a b --⋅，||=6b ， 故选：C . 【点睛】本题平面向量的综合问题，考查向量的模、向量线性运算等知识点，需要较强的数学分析及转化能力，属于中等题. 10．已知不等式1ln ax x a x x e ++≥对()1,x ∈+∞恒成立，则实数a 的最小值为（ ）A ．B ．e 2- C ．e - D ．2e -【答案】C【解析】将不等式变形,通过构造函数()ln g x x x =-,求导数后,结合函数的单调性即可得解. 【详解】 不等式1ln a x x a x x e++≥对()1,x ∈+∞恒成立 可变形为1ln ax x x a x e≥-+, 即n n l l x x a a e x x e ----≥对()1,x ∈+∞恒成立 设()ln g x x x =- 则()11'1x g x x x-=-= 当()1,x ∈+∞时,()'0g x >,即()ln g x x x =-在()1,x ∈+∞时单调递增 当()0,1x ∈时,()'0g x <,即()ln g x x x =-在()0,1x ∈时单调递减 因而()()x a g eg x -≥在()1,x ∈+∞上恒成立即可当()1,x ∈+∞时, 10,xee -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭而当0a <时(因四个选项都小于0,所以只需讨论0a <的情况)()0,1a x ∈因为()ln g x x x =-在()0,1x ∈时单调递减,若()()x a g e g x -≥只需x a e x -≤不等式两边同取自然底数的对数,可得ln x a x -≤ 当()1,x ∈+∞时, 0ln x < 化简不等式可得ln xa x-≤ 只需maxln x a x -⎛⎫≤⎪⎝⎭令()ln xh x x-=,()1,x ∈+∞ 则()()21ln 'ln xh x x -=,令()'0h x =解得x e =当()1,x e ∈时, ()'0h x >,则()ln xh x x -=在()1,e 内单调递增 当(),x e ∈+∞时, ()'0h x <,则()ln xh x x-=在(),e +∞内单调递减所以()ln x h x x -=在x e =处取得最大值, ()max ln eh x e e-==- 故e a -≤所以实数a 的最小值为e - 故选:C 【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性与最值中的综合应用,根据不等式恒成立问题求参数的取值,利用构造函数法求最值,对函数式的变形尤为重要,属于难题.二、填空题11．成书于公元一世纪的我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道名题，就是“引葭赴岸”问题，题目是：“今有池方一丈，点生其中央，出水一尺，引葭赶岸，适马岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一正方形池塘，边长为一丈（10尺），有棵芦苇长在它的正中央，高出水面部分有1尺长，把芦苇拉向岸边，恰好碰到沿岸（池塘一边的中点），则水深为__________尺，芦苇长__________尺. 【答案】12 13【解析】把问题转化为如图的数学几何图形，根据题意，可知EB ′的长为10尺，则B ′C =5尺，设出AB =AB ′=x 尺，表示出水深AC ，根据勾股定理建立方程，求出方程的解即可得到芦苇的长和水深． 【详解】依题意画出图形,设芦苇长AB =AB ′=x 尺,则水深AC =(x −1)尺，∵B ′E =10尺,∴B ′C =5尺， 在Rt △AB ′C 中,52+(x −1)2=x 2， 解得x =13(尺)，∴水深为12尺，芦苇长为13尺. 故答案为：12，13. 【点睛】本题考查点、线、面间的距离计算，将实际问题转化为几何问题，考查转化思想与数形结合思想的应用，属于中等题.12．6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为__________，二项式系数最大的项的系数为__________. 【答案】15452-【解析】6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式通项为66311=2r rr r T C x +-⎛⎫- ⎪⎝⎭，令630,2r r -==即可得展开式中常数项，其中二项式系数最大的项是3343612x T C -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，化简即可得出系数． 【详解】6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中通项为()66316261=212r r r rr r r T x C x x C --+⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 令630,2r r -==，故常数项为22611524=C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，二项式系数最大的项是3433365212x x T C --⎛⎫=- ⎪⎝⎭=-，其系数为52-. 故答案为：154，52-. 【点睛】本题考查二项式通项及系数的性质，注意二项式系数最大项的与项数之间的关系，本题考查计算能力，属于基础题.13．已知圆22:()()1C x a y b -+-=，设平面区域70300x y x y y +-≤⎧⎪Ω=-+≥⎨⎪≥⎩，若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则+2a b 的最小值为__________，22a b +的最大值为__________. 【答案】0 37【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用圆C 与x 轴相切，得到b =1为定值，此时利用数形结合确定a 的取值即可得到结论． 【详解】作出不等式组对应的平面区域如图： 圆心为(a ,b )，半径为1，∵圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切， ∴b =1,a +2b =a +2,由y =1及x −y +3=0解得A (−2,1)，a +2b 的最小值为：0，则a 2+b 2=a 2+1，∴要使a 2+b 2的取得最大值，则只需a 最大即可， 由图象可知当圆心C 位于B 点时，a 取值最大，由y =1及x +y −7=0,解得B (6,1)，∴当a =6,b =1时,a 2+b 2=36+1=37，即最大值为37， 故答案为：0；37. 【点睛】本题考查简单线性规划及圆的方程及性质，根据数形结合找到取得最值点，代入即可，属于中等题.14．ABC △中，2A B =，1BC =，则AC 的取值范围是__________，BA BC ⋅的取值范围是__________. 【答案】1,12⎛⎫⎪⎝⎭30,2⎛⎫⎪⎝⎭【解析】根据题意利用正弦定理可建立AC 与角B 的关系，求出B 的范围即可得AC 范围，利用向量数量积运算及正弦定理进行边角转化，转化为只与角B 有关的关系式，根据B 的范围即可求解． 【详解】在ABC △中，2A B =，1BC =， 则sin sin 2A B =， 由正弦定理可得：sin sin BC ACA B=， sin sin 1=sin sin 22cos BC B B AC A B B⋅==，由A +B +C =π，可得3B +C =π，即333C B ππ=-<， 又角B 为三角形内角， 所以1cos ,12B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，11,12cos 2AC B ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭， 所以1cos 2B AC=， 1=cosB=12BA BC BA BC BA AC⋅⋅⋅⋅， 由正弦定理可得：()sin 3sin sin 3=22sin 2sin 2sin BA B CB ACB B Bπ-==()222sin 2cos 12sin cos 4cos 12sin 2B B B BB B-+-==，所以可得24cos 130,22B -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 故答案为：1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，30,2⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题考查正弦定理的应用，涉及三角形边角转化，和差公式、二倍角公式，向量的数量及运算等知识，属于中等题。
2020年浙江省杭州市高考数学模拟试卷(5月份)
2020年浙江省杭州市高考数学模拟试卷（5月份）一、选择题1．（4分）设集合2{|4}A x y x ==-，{|(1)}B x y ln x ==+，则(A B =I ) A ．(2,2)-B ．[2-，2]C ．(1-，2]D ．[1-，2]2．（4分）设M 为不等式1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩所表示的平面区域，则位于M 内的点是( )A ．(0,2)B ．(2,0)-C ．(0,2)-D ．(2,0)3．（4分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．76B ．54C ．43 D ．534．（4分）“3a =”是”函数()|1|||()f x x x a x R =-+-∈的最小值等于2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件5．（4分）在我国古代数学著作《详解九章算法》中，记载着如图所示的一张数表，表中除1以外的每一个数都等于它肩上两个数之和，如：633=+．则这个表格中第8行第6个数是( )A ．21B ．28C ．35D ．566．（4分）函数141xy e x =--（其中e 为自然对数的底数）的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．7．（4分）抛掷一枚质地均匀的硬币，若出现正面朝上则停止抛掷，至多抛掷i n 次，设抛掷次数为随机变量i ξ，1i =，2．若13n =，25n =，则( ) A ．12()()E E ξξ<，12()()D D ξξ< B ．12()()E E ξξ<，12()()D D ξξ> C ．12()()E E ξξ>，12()()D D ξξ<D ．12()()E E ξξ>，12()()D D ξξ>8．（4分）已知函数sin()(0)()cos(),(0)x a x f x x b x +⎧=⎨+>⎩„是偶函数，则a ，b 的值可能是( )A ．3a π=，3b π=B ．23a π=，6b π=C ．3a π=，6b π=D ．23a π=，56b π= 9．（4分）设a r ，b r ，c r为非零不共线向量，若|(1)|||()a tc t b a c t R -+--∈r r r r r …，则( ) A ．()()a b a c +⊥-r r r r B ．()()a b b c +⊥+rr r r C ．()()a c a b -⊥+r r r r D ．()()a c b c -⊥+r r rr10．（4分）数列{}n a 满足113(*)44n n a n N a +=-∈．若存在实数c ．使不等式221n n a c a -<<，对任意*n N ∈恒成立，当11a =时，(c = ) A ．16B ．14 C ．13D ．12二、填空题11．（6分）复数z a i =-且1(1zbi a i=++，b R ∈，i 为虚数单位），则ab = ；||z = ． 12．（6分）61()x x+的展开式的所有二项式系数和为 ，常数项为 ．13．（6分）设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点为1F ，2F ，P 为该双曲线上一点且122||3||PF PF =，若1260F PF ∠=︒，则该双曲线的离心率为 ，渐近线方程为 ． 14．（6分）在ABC ∆中，若22sin 3sin 2AA ，sin()2cos sinBC B C +=，则A = ，ACAB= ． 15．（4分）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若24S …，416S „，则5a 的最大值是 ． 16．（4分）安排A 、B 、C 、D 、E 、F 共6名志愿者照顾甲、乙、丙三位老人，每两位志愿者照顾一位老人，考虑到志愿者与老人住址距离问题，志愿者A 安排照顾老人甲，志愿者B 不安排照顾老人乙，则安排方法共有 种．17．（4分）已知函数3()|||3|(,)f x x a x b a b R =-+-∈．当[0x ∈，2]，()f x 的最大值为(,)M a b ，则(,)M a b 的最小值为 ． 三、解答题18．（14分）已知函数213()sin 322x f x x cos ωω=+-，0ω>． （1）若1ω=，求()f x 的单调递增区间；（2）若()13f π=，求()f x 的最小正周期T 的最大值．19．（15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，//AB CD ，222AB AD CD ===，E 是PB 上的点．（1）求证：平面EAC PBC ⊥；（2）若E 是PB 的中点，且二面角P AC E --的余弦值为6，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．20．（15分）已知数列{}n a 的各项均为正数，114a =，n nb a {}n b 是等差数列，其前n 项和为n S ，2681b S =g ． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）12(1)(1)(1)n nc a a a =--⋯-，312123n n na a a a T c c c c =++⋯+，若对任意的正整数n ，都有。
2020届高三数学5月质量检测试题文含解析
x x
103 170
0.618
，解得
x
5.4
厘米.
故选：A
【点睛】本题考查了黄金分割，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.
5. 若双曲线 C : x2 y2 1的离心率 e 2, 2 ，则实数 m 的取值范围为（ ）. m3
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D.
【答案】D
【解析】
【分析】
可知函数为奇函数，通过构造函数 g x x sin x 0 x π ，可得 x sin x ，进一步可得
x2 1 sin x x ，即 f x 1，结合图象可得结果.
【详解】由
f
x
x sin x x2 1
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求得实数 a 的取值范围.
【详解】由 f x g x h x 2x1 ，
有
f
x
g
xபைடு நூலகம்
hx
g
x
hx
2 2x
，
解得 g x 2x 2x ， h x 2x 2x ， h x2 ag x 1
7. 已知数列 an 满足 an1 an 1 ，且 a1 1 ，a2 3 ，则数列an 前 6 项的和为（ ）.
A. 115
B. 118
C. 120
D. 128
【答案】C
【解析】
【分析】
由题干条件求得 2 ，得到 an1 2an 1 ，构造等比数列可得数列 an 的通项公式，再结
2020年浙江省杭州高中高考数学质检试卷(5月份)
2020年浙江省杭州高中高考数学质检试卷（5月份）一、单项选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合P={x∈R|−1<x<1}，Q={x∈R|0≤x<2}，那么P∩∁R Q=()A. (−1,2)B. (0,1)C. (−1,0)D. (1,2)2.双曲线x29−y216=1的左顶点到其渐近线的距离为()A. 2B. 95C. 125D. 33.已知一个四棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为()A. B. C. D.4.若x、y满足约束条件{x≥0x+y−3≥0x−2y≤0，则z=x+2y的取值范围是()A. [0,6]B. [0,4]C. [6,+∞)D. [4,+∞)5.若函数f(x)=(4mx−n)2的大致图象如图所示，则()A. m>0，0<n<1B. m>0，n>1C. m<0，0<n<1D. m<0，n>16.如果对于任意实数x，<x>表示不小于x的最小整数，例如<1，1>=2，<−1，1>=−1，那么“|x−y|<1”是“<x>=<y>”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.已知随机变量ξ的分布列如表：ξ012P b−a b a则当a 在(0,12)内增大时( )A. Dξ增大B. Dξ减小C. Dξ先增大后减小D. Dξ先减小后增大8. 已知e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ ，e 3⃗⃗⃗ 是空间单位向量，且满足e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ =e 2⃗⃗⃗ ⋅e 3⃗⃗⃗ =e 3⃗⃗⃗ ⋅e 1⃗⃗⃗ =12，若向量b ⃗ =3λe 1⃗⃗⃗ +(1−λ)e 2⃗⃗⃗ ，λ∈R.则e 3⃗⃗⃗ 在b ⃗ 方向上的投影的最大值为( )A. √22B. √23C. √32D. √339. 已知k ∈R ，设函数f(x)={x 2−2kx +2k,x ≤1(x −k −1)e x +e 3,x >1，若关于x 的不等式f(x)≥0在x ∈R 上恒成立，则k 的取值范围为( )A. [0,e 2]B. [2,e 2]C. [0,4]D. [0,3]10. 已知数列{a n }满足：a n >0，且a n 2=3a n+12−2a n+1(n ∈N ∗)，下列说法正确的是( )A. 若a 1=12，则a n >a n+1 B. 若a 1=2，则a n ≥1+(37)n−1C. a 1+a 5≤2a 3D. |a n+2−a n+1|≥√33|a n+1−a n |二、填空题（本大题共3小题，共18.0分）11. 某地为提高社区居民身体素质和保健意识，从5名医生和2名护士共7名医务工作者中选出队长1人、副队长1人、普通医务工作者2人组成4人医疗服务队轮流到社区为居民进行医疗保健服务，要求医疗服务队中至少有1名护士，则共有______种不同的选法(用数字作答)12. 已知a >0，若集合A ={x ∈Z||2x 2−x −a −2|+|2x 2−x +a −2|=2a}中的元素有且仅有两个，则实数a的取值范围是______． 13. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率是√22，若以N(0,2)为圆心且与椭圆C 有公共点的圆的最大半径为√26，此时椭圆C 的方程是______． 三、多空题（本大题共4小题，共24.0分）14. 设z =1−i1+i +2(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z −= (1) ，|z|= (2) ． 15. 在二项式(√x −1x )6的展开式中，常数项是 (1) ，有理项的的个数是 (2) ．16. 已知方程为x 2+y 2+2x −ay +a =0的圆关于直线4x +y =0对称，则圆的半径r = (1) ，若过点M(1,0)作该圆的切线，切点为A ，则线段MA 长度为 (2) ．17. 在△ABC 中，BC =4，∠B =135°，点D 在线段AC 上，满足BD ⊥BC ，且BD =2，则cosA = ，AD = ． 四、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(x ∈R,A >0,ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)=f(x −π12)−f(x +π12)在[π4,13π24]上的值域．19. 如图，四棱台ABCD −A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，CC 1⊥底面ABCD ，且∠BAD =60°，CD =CC 1=2C 1D 1=4，E 是棱BB 1的中点． (1)求证：AA 1⊥BD ；(2)求直线AA 1与平面A 1EC 1所成线面角的正弦值．20.已知公差非零的等差数列{a n}的前n项和为S n(n∈N∗)，且a1，a2，a4成等比数列，且S4=10，数列{b n}满足b1=2，b n−b n−1=2n−1(n≥2,n∈N∗)．(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)设数列{c n}满足c n=lna nb n ,(n∈N+)，求证：(1−12n−1)⋅ln√2≤c2+⋯+c n<34，(n∈N∗,n≥2)．21.已知O是坐标系的原点，F是抛物线C：x2=4y的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，弦AB的中点为M，△OAB的重心为G．(Ⅰ)求动点G的轨迹方程；(Ⅱ)设(Ⅰ)中的轨迹与y轴的交点为D，当直线AB与x轴相交时，令交点为E，求四边形DEMG的面积最小时直线AB的方程．22.已知函数f(x)=(x−a)e x(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；,1)恒成立，求b的最小(2)当a=2时，设函数g(x)=f(x)+lnx−x−b，b∈Z，若g(x)≤0对任意的x∈(13值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵∁R Q={x|x<0或x≥2}，那么P∩∁R Q={x|−1<x<0}，故选：C．由已知集合Q，先求其补集，再与P求交集．本题考查了交、补集的混合运算，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：由双曲线x29−y216=1，得a2=9，b2=16，∴双曲线x29−y216=1的左顶点坐标为(−3,0)，其一条渐近线方程为y=43x，即4x−3y=0．由对称性得左顶点到其渐近线的距离为d=|−12|√42+(−3)2=125．故选：C．由双曲线方程求得左顶点坐标与一条渐近线方程，再由点到直线的距离公式得答案．本题考查双曲线的简单性质，考查点到直线距离公式的应用，是基础题．3.【答案】A【解析】解：如图，原四棱锥下底面是边长为√2正方形，侧棱PA⊥面ABCD；且PA=2；故其侧视图的高为2，底边长为2；且高投影到正中间；故选：A．还原出原图即可求解结论．本题考查三视图与直观图，考查学生的读图能力，属于基础题．4.【答案】D【解析】【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可．本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键．【解答】解：x 、y 满足约束条件{x ≥0x +y −3≥0x −2y ≤0，表示的可行域如图：目标函数z =x +2y 经过C 点时，函数取得最小值， 由{x +y −3=0x −2y =0解得C(2,1)， 目标函数的最小值为：4 目标函数的范围是[4,+∞)． 故选：D ．5.【答案】B【解析】解：令f(x)=0，即4mx =n ，则mx =log 4n ，即x =1m log 4n ， 由图可知，1m log 4n >0，故m >0时n >1，m <0时0<n <1，排除A 、D ；当m <0时，易知y =4mx 是减函数，且当x →+∞时，y →0则f(x)→n 2，C 明显不合题意，排除C ， 故选：B ．通过函数值为0，求出x 的表达式，判断m ，n 的范围，排除选项AD ，通过m <0，利用函数的单调性，结合x 与y 的关系，判断排除选项C ，即可．本题考查函数与方程的应用，函数的最值以及函数的单调性的应用，是中档题．6.【答案】B【解析】解：若|x −y|<1.取x =3.6，y =4.1，则<x >=4，<y >=5，<x >≠<y >， 所以“|x −y|<1”成立推不出“<x >=<y >”成立 若<x >=<y >，因为<x >表示不小于x 的最小整数，所以x ≤<x ><x +1所以可设<x >=x +m ，<y >=y +n ，mn ∈[0,1]，由x +m =y +n 得|x −y|=|m −n|<1， 所以“<x >=<y >”⇒“|x −y|<1”故“|x −y|<1”是“<x >=<y >”的必要不充分条件 故选B通过给x ，y 取特值得到前者推不出后者；通过推导判断出后者可推出前者；据充要条件的定义判断出结论． 本题考查说明一个命题不成立常用举反例的方法、考查利用充要条件的定义判断一个命题是另一个命题的什么条件．7.【答案】C【解析】解：由随机变量ξ的分布列的性质得： {0≤b −a ≤10≤b ≤10≤a ≤1b −a +b +a =1，解得b =0.5，0≤a ≤0.5， Eξ=0.5+2a ，Dξ=(0−0.5−2a)2(0.5−a)+(1−0.5−2a)2×0.5+(2−0.5−2a)2a =−4a 2+2a +0.25， ∴当a 在(0,12)内增大时，Dξ先增大后减小． 故选：C ．由随机变量ξ的分布列的性质解得b =0.5，0≤a ≤0.5，Eξ=0.5+2a ，Dξ=−4a 2+2a +0.25，由此得到当a 在(0,12)内增大时，Dξ先增大后减小．本题考查命题真假的判断，考查离散型随机变量的分布列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8.【答案】D【解析】解：因为e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ =e 2⃗⃗⃗ ⋅e 3⃗⃗⃗ =e 3⃗⃗⃗ ⋅e 1⃗⃗⃗ =12，∴e 3⃗⃗⃗ ⋅b ⃗ =e 3⃗⃗⃗ ⋅[3λe 1⃗⃗⃗ +(1−λ)e 2⃗⃗⃗ ]=3λe 3⃗⃗⃗ ⋅e 1⃗⃗⃗ +(1−λ)e 3⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ =3λ2+1−λ2=λ+12． |b ⃗ |=√(3λe 2⃗⃗⃗ )2+[(1−λ)e 2⃗⃗⃗ ]2+2⋅3λ(1−λ)e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ =√7λ2+λ+1．∴e 3⃗⃗⃗⃗ ⋅b ⃗ |b⃗ |=λ+122…①，因为要求最大值，故不妨取λ+12>0，且令t =λ+12，则λ=t −12，代入①式得√7(t−12)+t−12+1=√7t 2−6t+4=√94t 2−6t+7…②，令y =94t 2−6t +7=94(1t −43)2+3≥3， 故②式≤√3=√33． 故选：D ．根据投影的计算公式，将投影化为关于λ的函数，然后再求函数的最大值即可． 本题考查平面向量的综合应用，以及投影的概念和计算方法．属于中档题．9.【答案】D【解析】解：(1)当x ≤1时，f(x)=x 2−2kx +2k ， ∴f(x)的对称轴为x =k ，开口向上．①当k <1时，f(x)在(−∞,k)递减，(k,1)递增， ∴当x =k 时，f(x)有最小值，即f(k)≥0，∴0≤k <1； ②当k ≥1时，f(x)在(−∞,1)上递减，∴当x =1时，f(x)有最小值，即f(1)=1， ∴1≥0显然成立，此时k ≥1． 综上得，k ≥0；(2)当x >1时，f(x)=(x −k −1)e x +e 3，∴f′(x)=(x −k)e x ， ①′当k ≤1时，f(x)在(1,+∞)上递增，∴f(x)>f(1)=−ke +e 3≥0，∴k ≤e 2，∴此时k ≤1； ②′当k >1时，f(x)在(1,k)递减，(k,+∞)递增， ∴f(x)≥f(k)=−e k +e 3≥0，∴k ≤3， ∴此时1<k ≤3． 综上：0≤k ≤3，∵关于x 的不等式f(x)≥0在x ∈R 上恒成立，则k 的取值范围为0≤k ≤3， 故选：D ．当x ≤1时，f(x)=x 2−2kx +2k ，分k <1、k ≥1两类讨论，可求得k ≥0；当x >1时，f(x)=(x −k −1)e x +e 3，分k ≤1、k >1两类讨论，可求得k ≤3；取其公共部分即可得到答案．本题考查分段函数的应用，考查不等式恒成立问题，着重考查分类讨论思想和等价转化思想，考查导数的运用，考查运算求解能力和推理能力，属于难题．10.【答案】B【解析】解：∵a n 2=3a n+12−2a n+1(n ∈N ∗)，∴a n 2−1=3a n+12−2a n+1−1，∴(a n +1)(a n −1)=(3a n+1+1)(a n+1−1)．∵a n >0，故a n +1>0且3a n+1+1>0，于是 (a n −1)与(a n+1−1)同号， ∴(a n −1)(a n+1−1)>0．对于A ，若a 1=12，则a 1−1=−12<0，则a n −1<0，∴a n 2−a n+12=2a n+1(a n+1−1)<0，所以a n <a n+1，故A错误；对于B ，∵a 1=2⇒a 1−1=1>0⇒a n −1>0，即a n >1，于是∴a n 2−a n+12=2a n+1(a n+1−1)>0，即a n >a n+1,⇒数列{a n }单调递减， 于是a n <a 1=2，所以4⩾7(a n+1−a n )+2a n ， 即a n +13an+1+1⩾37，∵(a n +1)(a n −1)=(3a n+1+1)(a n+1−1)，∴a n+1−1a n−1=a n+13a n+1+1⩾37⇒a n−1⩾(37)n−1，故a n⩾1+(37)n−1，B正确；对于C，考虑函数y=√3x2−2x，如图所示由图可知当a n>0时，数列{a n−a n+1}递减，所以a1−a3>a3−a5，即a1+a5>2a3，所以C不正确；对于D，设a n+1=x，则a n=√3x2−2x,a n+2=1+√1+3x23，由上图可知，由上图可知，|a n+2−a n+1|≥√33|a n+1−a n|，即|1+√1+3x23−x|≥√33|x−√3x2−2x|，等价于2+2√3x√9x2−6x≥2√1+3x2(3x−1)，化简得：x2−2x+1≤0，而x2−2x+1≤0显然不成立，所以D不正确；由排除法可知B正确．故选：B．由已知条件a n>0，且a n2=3a n+12−2a n+1(n∈N∗)分析可得(a n−1)(a n+1−1)>0，然后构造函数y=√3x2−2x，利用函数图象分析，再逐个判断即可．本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．11.【答案】360【解析】【分析】本题考查排列、组合的应用、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．分两类来求解：①只有1名护士；然后从余下的5人中选3人，其中两人排序即可；②有两名护士，然后从余下的4人中选2人，其中两人排序即可．【解答】解：分两类：①只有1名护士，共有：C21C53⋅A42=240种选法；②有2名护士，共有：1×C52⋅A42=120种；故共有240+120=360种选法．故答案为：360．12.【答案】[1,2)【解析】解：∵|2x2−x−a−2|+|2x2−x+a−2|≥|2x2−x−a−2−(2x2−x+a−2)|=2a，∴(2x2−x−a−2)(2x2−x+a−2)≤0．∴−a≤2x2−x−2≤a．∵集合A={x∈Z||2x2−x−a−2|+|2x2−x+a−2|=2a}中的元素有且仅有两个，令f(x)=2x2−x−2，f(−1)=1，f(0)=−2，f(1)=−1，f(2)=4．∴解得1≤a<2．故答案为：[1,2)．由|2x2−x−a−2|+|2x2−x+a−2|≥|2x2−x−a−2−(2x2−x+a−2)|=2a，可得(2x2−x−a−2)(2x2−x+a−2)≤0.解得−a≤2x2−x−2≤a.根据集合A={x∈Z||2x2−x−a−2|+|2x2−x+a−2|= 2a}中的元素有且仅有两个，令f(x)=2x2−x−2，计算f(−1)，f(0)，f(1)，f(2).即可解得a范围．本题考查了绝对值不等式的性质、集合的性质、二次函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.【答案】x218+y29=1【解析】解：由e=ca =√22，得a2−b2a2=12，即a2=2b2，得椭圆C的方程为x22b2+y2b2=1．设P(x,y)是椭圆上任一点，依题意，|PN|的最大值为√26，则|PN|2=x2+(y−2)2=(2b2−2y2)+(y−2)2=−(y+2)2+2b2+8(−b≤y≤b)．若b≥2，则y=−2时，|PN|max=√2b2+8=√26，∴b=3，此时椭圆方程为x218+y29=1；若0<b<2，则y=−b时，|PN|max=b+2=√26，∴b=√26−2>2，矛盾．综上可得椭圆方程为x218+y29=1．故答案为：x218+y29=1．由题意离心率可得a与b的关系，设P(x,y)是椭圆上任一点，依题意，|PN|的最大值为√26，由两点间的距离公式写出|PN|2=x2+(y−2)2=(2b2−2y2)+(y−2)2=−(y+2)2+2b2+8(−b≤y≤b).分类讨论求解b值，则椭圆方程可求．本题考查椭圆标准方程的求法，考查圆与椭圆位置关系的应用，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．14.【答案】2+i√5【解析】解：因为z=1−i1+i +2=(1−i)2(1+i)(1−i)+2=2−i，则z的共轭复数z−=2+i，|z|=√4+1=√5．故答案为：2+i，√5．由复数运算法则求出z，再求其共轭复数和模．本题考查了复数的运算法则，属于基础题．15.【答案】154【解析】解：因为二项式(√x−1x )6的展开式的通项公式为：T r+1=∁6r⋅(√x)6−r⋅(−1x)r=(−1)r⋅∁6r⋅x3−32r；r=0，1，2，3，4，5，6．令3−32r=0可得r=2；故其常数项为：∁62⋅(−1)2=15；有理项需要x的指数为整数∴r是2的倍数∴r=0，2，4，6．故展开式中有理项的个数是4；故答案为：15，4．先求出通项公式，再令x的指数为0以及令x的指数为整数，求出r的值，判断出展开式中有理项的个数．本题主要考查二项式定理得运用，解决二项展开式的特定项问题，应该利用的工具是二项展开式的通项公式．16.【答案】2√24【解析】解：圆标准方程可化为(x+1)2+(y−a2)2=a24−a，所以圆心(−1,a2)在直线4x+y=0上，代入解得a=8，所以r=√a24−a=2√2，则圆的方程为(x+1)2+(y−4)2=8，圆心C(−1,4)当直线为x=1时，明显与圆不相切，因为直线MA与圆相切，故MA⊥AC，所以MA=√MC2−r2=√20−8=4，故答案为2√2，4将圆方程整理成标准形式得到圆心坐标，代入直线即可的a的值进而求出半径，利用MA⊥AC，勾股定理求得AM 的长度本题考查圆标准方程的化简，圆的半径，切线长等，属于基础题17.【答案】3√10102√5【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形求出sin C和cos C的值，再结合诱导公式和两角和的三角函数公式求cos A的值；利用正弦定理求出AC和AD的值．本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．【解答】解：如图所示，△ABC中，BC=4，∠B=135°，BD⊥BC，且BD=2，则CD=√BD2+BC2=√4+16=2√5；所以sinC=2√5=√55，cosC=2√5=2√55；cosA =−cos(135°+C) =−cos135°cosC +sin135°sinC=−(−√22)×2√55+√22×√55=3√1010； sinA =√1−cos 2A =(3√1010)=√1010， BC sinA =AC sin135∘，√1010=√22，AC =4√5，AD =AC −CD =4√5−2√5=2√5． 故答案为：3√1010，2√5．18.【答案】解：(1)由图可知，T2=11π12−5π12=π2，∴T =π，ω=2πT=2，∵函数的图象经过点(0,1)和(5π12,0)，∴{Asinϕ=1Asin(2×5π12+ϕ)=0，∴{Asinϕ=15π6+ϕ=kπ,k ∈Z ， ∵A >0，0<φ<π2，∴A =2,φ=π6． ∴函数的解析式为f(x)=2sin(2x +π6)．(2)由(1)可知，f(x −π12)=2sin[2(x −π12)+π6]=2sin2x ， f(x +π12)=2sin[2(x +π12)+π6]=2sin(2x +π3)， ∴g(x)=f(x −π12)−f(x +π12)=2[sin2x −sin(2x +π3)]=2sin(2x −π3)，∵x ∈[π4,13π24]，∴2x −π3∈[π6,3π4]，sin(2x −π3)∈[12,1]， ∴函数g(x)的值域为[1,2]．【解析】(1)由图可知，T2=11π12−5π12=π2，所以T =π，ω=2πT=2，再把点(0,1)和(5π12,0)均代入函数f(x)中，结合A >0，0<φ<π2，可求得函数解析式为f(x)=2sin(2x +π6)；(2)先根据(1)中函数f(x)的解析式分别求得f(x −π12)=2sin2x ，f(x +π12)=2sin(2x +π3)，再结合正弦的两角和公式与辅助角公式可将函数g(x)化简为g(x)=2sin(2x −π3)，最后结合正弦函数的图象即可求出其值域．本题考查利用图象求函数的解析式、正弦函数的值域和三角恒等变换公式，考查学生的数形结合能力和运算能力，属于基础题．19.【答案】(1)证明：∵C 1C ⊥底面ABCD ，∴C 1C ⊥BD ， ∵底面ABCD 是菱形， ∴BD ⊥AC ， 又AC ∩CC 1=C ， ∴BD ⊥平面AC 1C .又由四棱台ABCD −A 1B 1C 1D 1知，A 1，A ，C ，C 1四点共面． ∴BD ⊥AA 1；(2)解：如图，设AC 交BD 于点O ，依题意，A 1C 1//OC 且A 1C 1=OC ， ∴A 1O//CC 1，且A 1O =CC 1，又由已知CC 1⊥底面ABCD ，得A 1O ⊥底面ABCD ．以O 为原点，OA 、OB 、OA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系． 则A(2√3,0,0),A 1(0,0,4),C 1(−2√3,0,4),B(0,2,0)， 由A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得B 1(−√3,1,4). ∵E 是棱BB 1的中点，∴E(−√32,32,2).∴EA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,−32,2)，A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√3,0，0),AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√3,0,4)．设n⃗ =(x,y ，z)为平面EA 1C 1的法向量， 则{n ⃗ ⋅A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2√3x =0n ⃗ ⋅EA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√32x −32y +2z =0，取z =3，得n ⃗ =(0,4，3)， 设直线AA 1与平面A 1EC 1所成线面角为θ，则sinθ=|AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n⃗⃗ |=6√735， ∴直线AA 1与平面A 1EC 1所成线面角的正弦值6√735．【解析】(1)由C 1C ⊥底面ABCD ，得C 1C ⊥BD ，再由底面ABCD 是菱形，得BD ⊥AC ，利用直线与平面垂直的判定可得BD ⊥平面AC 1C .进一步得到BD ⊥AA 1；(2)设AC 交BD 于点O ，依题意，A 1C 1//OC 且A 1C 1=OC ，得到A 1O ⊥底面ABCD.以O 为原点，OA 、OB 、OA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．求出平面EA 1C 1的一个法向量与AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，再由两向量所成角的余弦值求解直线AA 1与平面A 1EC 1所成线面角的正弦值．本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．20.【答案】(1)解：由题意，设等差数列{a n }的公差为d(d ≠0)，则{a 22=a 1a 4S 4=10，即{(a 1+d)2=a 1(a 1+3d)4a 1+4×32d =10，整理，得{(a 1−d)d =02a 1+3d =5，解得{a 1=1d =1，∴a n =1+(n −1)×1=n ，n ∈N ∗．对于数列{b n }：∵b n −b n−1=2n−1(n ≥2,n ∈N ∗)∴b n =b 1+(b 2−b 1)+(b 3−b 2)+⋯+(b n −b n−1) =2+21+22+⋯+2n−1 =2+2−2n1−2=2n ，故b n =2n ，n ∈N ∗． (2)证明：由(1)知，c n =lna n b n=lnn 2n，n ∈N ∗．先证明不等式左边，即：c 2+c 3+⋯+c n ≥(1−12)⋅ln √2． ∵n ≥2，n ∈N ∗， ∴c n =lnn 2n≥ln22n，则c 2+c 3+⋯+c n ≥ln222+ln223+⋯+ln22n=(122+123+⋯+12n )⋅ln2 =122−12n+11−12⋅ln2 =(1−12n−1)⋅12ln2=(1−12n−1)⋅ln √2．∴c 2+c 3+⋯+c n ≥(1−12n−1)⋅ln √2． 再证明不等式右边，即：c 2+c 3+⋯+c n <34． ∵c n+1c n=ln(n+1)2n+1lnn 2n=ln(n+1)2lnn (n ≥2,n ∈N ∗)，∴当n =2时，c3c 2=ln32ln2=2ln34ln2=ln94ln2>ln84ln2=34，下证一个结论：当n ≥3时，有n 3>(n +1)2恒成立． ∵当n ≥3时，n 2≥9，2n+1n−1=2n−2+3n−1=2+3n−1≤72，∴n 2>2n+1n−1，即n 2(n −1)>2n +1，化简整理，得n 3>(n +1)2，结论成立．∴当n≥3时，c n+1c n =ln(n+1)2lnn=2ln(n+1)4lnn=ln(n+1)24lnn<lnn34lnn=34，∴c n=c3⋅c4c3⋅c5c4…c nc n−1<c3⋅34⋅34…34=c3⋅(34)n−3，c2+c3+⋯+c n<c2+c3+c3⋅34+c3⋅(34)2+⋯+c3⋅(34)n−3，=ln24+c3⋅[1+34+(34)2+⋯+(34)n−3] =ln24+c3⋅1−(34)n−21−34=ln24+ln38⋅4[1−(34)n−2]<ln24+ln32=ln184<34，∴c2+c3+⋯+c n<34．综上，可得不等式(1−12n−1)⋅ln√2≤c2+⋯+c n<34(n∈N∗,n≥2)恒成立，故得证．【解析】本题第(1)题先设等差数列{a n }的公差为d(d ≠0)，然后根据题干中已知条件列出关于首项a 1与公差d 的方程组，解出a 1与d 的值，即可得到数列{a n }和的通项公式，对于数列{b n }，根据给出的递推公式的特点可运用累加法计算出数列{b n }的通项公式；第(2)题先根据第(1)题的结果计算出数列{c n }的通项公式，在证明不等式左边部分时，可运用放缩法将数列{c n }的通项公式放缩成一个等比数列的形式，即c n =lnn 2n≥ln22n，然后根据放缩后的形式进行求和，即可证明不等式左边部分成立；在证明不等式右边部分时，可先计算出c n+1c n=ln(n+1)2lnn(n ≥2,n ∈N ∗)，然后代入n =2时c n+1c n的值并与34比较大小，并证明n ≥3时c n+1c n的值并与34比较大小，经过转化计算可发现当n ≥3时，c n+1c n<34恒成立，然后根据此递推不等式运用累乘法可计算出c n <c 3⋅(34)n−3，由此也将数列{c n }放缩成一个等比数列的形式，然后根据放缩后的形式进行求和，进一步转化、计算即可证明不等式右边部分成立；最终证明不等式成立．本题主要考查等差数列和等比数列的基本量的计算，运用累加法求数列通项公式，以及数列通项公式放缩成等比数列，数列求和不等式的证明问题．考查了转化与化归思想，累加法，累乘法，放缩法的运用，数列与不等式的综合运用，以及逻辑推理能力，数学运算能力，不等式的运算能力等综合能力．本题属偏难题．21.【答案】解：(Ⅰ)焦点F(0,1)，显然直线AB 的斜率存在，设AB ：y =kx +1，联立x 2=4y ，消去y 得，x 2−4kx −4=0， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，G(x,y)， 则x 1+x 2=4k ，x 1x 2=−4，所以y 1+y 2=kx 1+1+kx 2+1=4k 2+2， 所以{x =4k3y =4k 2+23， 消去k ，得重心G 的轨迹方程为y =34x 2+23；(Ⅱ)由已知及(Ⅰ)知，D(0,23),E(−1k ,0),k ≠0,x M =2k,x G =4k 3，因为|OD||OF|=23=|OG||OM|，所以DG//ME ，(注：也可根据斜率相等得到)，|DG|=√1+k 2|4k 3|,|ME|=√1+k 2|2k −(−1k)|=√1+k 2(2|k|+|1k |)， D 点到直线AB 的距离d =13√1+k 2=13√1+k 2，所以四边形DEMG 的面积S =12√1+k 2⋅(|4k 3|+2|k|+|1k |)⋅13√1+k 2=16(103|k|+1|k|)≥16⋅2√103=√309， 当且仅当103|k|=1|k|，即k =±√3010时取等号，此时四边形DEMG 的面积最小，所求的直线AB的方程为y=±√3010x+1．【解析】(Ⅰ)求得焦点F(0,1)，显然直线AB的斜率存在，设AB：y=kx+1，代入抛物线的方程，运用韦达定理和三角形的重心坐标，运用代入法消去k，即可得到所求轨迹方程；(Ⅱ)求得D，E和G的坐标，|DG|和|ME|的长，以及D点到直线AB的距离，运用四边形的面积公式，结合基本不等式可得最小值，由等号成立的条件，可得直线AB的方程．本题考查轨迹方程的求法，注意运用代入法，考查四边形面积的最值的求法，注意运用弦长公式和点到直线的距离和基本不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)因为f(x)=(x−a)e x，所以f′(x)=(x−a+1)e x，当x∈(−∞,a−1)时，f′(x)<0；当x∈(a−1,+∞)时，f′(x)>0，故f(x)的单调递减区间为(−∞,a−1)，单调递增区间为(a−1,+∞)．(2)由g(x)=(x−2)e x+lnx−x−b，因为g(x)≤0对任意的x∈(13,1)恒成立，b≥(x−2)e x+lnx−x对任意的x∈(13,1)恒成立，构造函数ℎ(x)=(x−2)e x+lnx−x，ℎ′(x)=(x−1)e x+1x −1=(x−1)(e x−1x)．∵x∈(13,1)，∴x−1<0，且t(x)=e x−1x单调递增，∵t(12)=e12−2<0，t(1)=e−1>0，∴一定存在唯一的x0∈(12,1)，使得t(x0)=0．即e x0=1x，x0=−lnx0．∴ℎ(x)在(13,x0)上单调递增，在(x0,1)上单调递减．∴ℎ(x)max=ℎ(x0)=(x0−2)e x0+lnx0−x0=1−2(x0+1x0)∈(−4,−3)．∵b∈Z，∴b的最小值为−3．【解析】(1)由f(x)=(x−a)e x，可得f′(x)=(x−a+1)e x，进而得出单调性；(2)由g(x)=(x−2)e x+lnx−x−b，因为g(x)≤0对任意的x∈(13,1)恒成立，b≥(x−2)e x+lnx−x对任意的x∈(13,1)恒成立，构造函数ℎ(x)=(x−2)e x+lnx−x，ℎ′(x)=(x−1)e x+1x−1=(x−1)(e x−1x).由x∈(13,1)，可得x−1<0，且t(x)=e x−1x 单调递增，利用函数零点存在定理可得：一定存在唯一的x0∈(12,1)，使得t(x0)=0.进而得出结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、函数零点、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
2020年浙江省杭州市高考数学训练试卷(5月份)(附答案详解)
2020年浙江省杭州市高考数学训练试卷（5月份）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若复数(a 2−3a +2)+(a −1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( )A. 1B. 2C. 1或2D. −12. 已知点P 为△ABC 内一点，且PA⃗⃗⃗⃗⃗ +2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则△APB ，△APC ，△BPC 的面积之比等于( )A. 9：4：1B. 1：4：9C. 3：2：1D. 1：2：33. 已知sinα+cosα=12，α∈(0,π)，则1+tanα1−tanα=( )A. √77B. −√77C. √33D. −√334. 已知z 1=m 2−3m +m 2i ，z 2=4+(5m +6)i ，其中m 为实数，i 为虚数单位，若z 1−z 2=0，则m 的值为( )A. 4B. −1C. 6D. 05. 设a ⃗ 与b ⃗ 都是非零向量，则“a ⃗ ⋅b⃗ >0”是“向量a ⃗ 与b ⃗ 夹角为锐角”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 在△ABC 中，已知sin 2A =sin 2B +sin 2C ，且sinA =2sinBcosC ，则△ABC 的形状是( )A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形7. 已知点A(−1,1)，B(1,2)，C(−2,−1)，D(3,4)，则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为( )A. 3√22B. 3√152C. −3√22D. −3√1528. 函数f(x)=cosxx−sinx 的部分图象大致为( )A.B.C.D.9. 已知正方形ABCD 的面积为2，点P 在边AB 上，则PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为( ) A. √62B. 32C. 2D. √210. 若均α，β为锐角，sinα=2√55,sin(α+β)=35,则cosβ=( )A. 2√55B. 2√525C. 2√55或2√525D. −2√5511. 如图，在梯形ABCD 中，AB//CD ，AB =4，AD =3，CD =2，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 12 B. 32 C. −32 D. −1212. 在△ABC 中，点D 满足BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点E 是线段AD 上的一个动点，若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则t =(λ−1)2+μ2的最小值是( )A. 3√1010B. √824C. 910D. 418二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设复数z 1=1+√3i ，z 2=√3+i ，则z1z 2=______．14. 如图，在△ABC 中，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，P 是BN 上的一点，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +211AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数m 的值为______． 15. 计算：2cos10°−sin20°cos20∘=______．16. 一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船是每小时航行______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 已知复数z =(2+i)m +2ii−1(其中i 是虚数单位，m ∈R)．(1)若复数z 是纯虚数，求m 的值； (2)求|z −1|的取值范围．18. 已知角α为第一象限角，且sinα=√55．(1)求cosα，tanα的值； (2)求3sin(π−α)−2cos(π+α)cos(π2−α)的值．19. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b +c =2acosB.(Ⅰ)证明：A =2B; (Ⅱ)若△ABC 的面积S =a 24，求角A 的大小．20. △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量 m ⃗⃗⃗ =(√3,1),n ⃗ =(cosA +1,sinA)，且m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ 的值为2+√3．(1)求∠A的大小；(2)若a=√3,cosB=√3，求△ABC的面积．321.观察以下各等式：sin230°+cos260°+sin30°cos60°=34sin220°+cos250°+sin20°cos50°=34sin215°+cos245°+sin15°cos45°=34分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．22.某单位有A、B、C三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点0，使得发射点到三个工作点的距离相等．已知这三个工作点之间的距离分别为AB=80m，BC= 70m，CA=50m.假定A、B、C、O四点在同一平面内．(1)求∠BAC的大小；(2)求点O到直线BC的距离．答案和解析1.【答案】B【解析】解：由a 2−3a +2=0得a =1或2，且a −1≠0得a ≠1∴a =2． 故选：B ．注意到复数a +bi ，a ，b ∈R 为纯虚数的充要条件是{a =0b ≠0本题是对基本概念的考查，属于基础题．2.【答案】C【解析】 【分析】先将已知向量式化为两个向量共线的形式，再利用平行四边形法则及向量数乘运算的几何意义，三角形面积公式确定面积之比．本题考查了向量式的化简，向量加法的平行四边形法则，向量数乘运算的几何意义等向量知识，充分利用向量共线是解决本题的关键． 【解答】解：∵PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2(PB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，如图： ∵PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PG ⃗⃗⃗⃗⃗∴PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2PG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴F 、P 、G 三点共线，且PF =2PG ，GF 为三角形ABC 的中位线∴S △APC S △BPC =12×PC ×ℎ112×PC ×ℎ2=ℎ1ℎ2=PF PG=2 而S △APB =12S △ABC∴△APB ，△APC ，△BPC 的面积之比等于3：2：1 故选 C3.【答案】B【解析】解：由sinα+cosα=12，α∈(0,π)， 得1+2sinαcosα=14，∴2sinαcosα=−34， 则sinα>0，cosα<0，∴sinα−cosα=√(sinα−cosα)2=√1−2sinαcosα=√1+34=√72． 联立{sinα+cosα=12sinα−cosα=√72，解得sinα=1+√74，cosα=1−√74， tanα=√71−√7=−4+√73．∴1+tanα1−tanα=1−4+√731+4+√73=−√77． 故选：B ．把已知等式两边平方，求得sinαcosα，进一步得到sinα−cosα的值，联立求得sinα，cosα，得到tanα，代入得答案．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是中档题．4.【答案】B【解析】解：由题意可得z 1=z 2，即 m 2−3m +m 2i =4+(5m +6)i ，根据两个复数相等的充要条件可得{m 2− 3m =4m 2= 5m +6，解得m =−1，故选B ． 由题意可得 m 2−3m +m 2i =4+(5m +6)i ，根据两个复数相等的充要条件可得{m 2− 3m =4m 2= 5m +6， 解方程组求得m 的值．本题考查两个复数相等的充要条件，得到{m 2− 3m =4m 2= 5m +6，是解题的关键．5.【答案】B【解析】解：a ⃗ 与 b ⃗ 都是非零向量，则“向量a ⃗ 与 b ⃗ 夹角为锐角”⇒“a ⃗ ⋅b ⃗ >0”，反之不成立，可能同向共线．因此“a ⃗ ⋅b ⃗ >0”是“向量a ⃗ 与 b ⃗ 夹角为锐角”的必要不充分条件． 故选：B ．a ⃗ 与b ⃗ 都是非零向量，则“向量a ⃗ 与 b ⃗ 夹角为锐角”⇒“a ⃗ ⋅b ⃗ >0”，反之不成立，即可判断出结论．本题考查了向量夹角公式、向量共线定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】 【分析】本题主要考查正弦定理、两角和的正弦公式的应用，属于基础题．由sin 2A =sin 2B +sin 2C ，可得△ABC 为直角三角形．再由sinA =2sinBcosC ，可得sin(B −C)=0，B =C ，由此可得△ABC 为等腰三角形． 【解答】解：在△ABC 中，∵sin 2A =sin 2B +sin 2C ， ∴a 2=b 2+c 2，故△ABC 为直角三角形． 再由sinA =2sinBcosC ， 可得sin(B +C)=2sinBcosC ， 即sinBcosC +cosBsinC =2sinBcosC ， ∴sin(B −C)=0， ∴B =C ，故△ABC 为等腰三角形． 综上，△ABC 为等腰直角三角形． 故选D ．7.【答案】A【解析】 【分析】先求出向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据投影定义即可求得答案．本题考查平面向量数量积运算，考查向量投影定义，属基础题，正确理解相关概念是解决问题的关键．【解答】解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1)，CD⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,5)， 则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为：|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ >=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗|CD⃗⃗⃗⃗⃗ |=155√2=3√22，故选：A ．8.【答案】C【解析】解：函数的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，且f(−x)=cos(−x)−x−sin(−x)=−cosxx−sinx =−f(x)，即f(x)为奇函数，可排除选项B ，D ； 又f(1)=cos11−sin1>0，故可排除选项A ； 故选：C ．利用函数的奇偶性及特殊点的函数值，运用排除法得解．本题考查函数图象的运用，考查利用函数性质确定函数图象，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：如图，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ；正方形的面积为2，则边长为√2；∴PD⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AP ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2−0−0−AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗=2−AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ；设|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=x,0≤x ≤√2，则|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2−x ；∴PD⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2−x(√2−x) =x 2−√2x +2=(x −√22)2+32；∴PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为32． 故选B ．可画出图形，根据正方形的面积为2可求出边长，结合图形，可得出PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AP ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BP ⃗⃗⃗⃗⃗ )，进行数量积的运算得出PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2−AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可设|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=x,|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2−x ，从而得出PD ⃗⃗⃗⃗⃗⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2−√2x +2，配方便可求出最小值． 考查向量减法的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，配方法求最值．10.【答案】B【解析】 【分析】本题考查两角和与差的三角函数的化简求值，注意角的范围与三角函数值的关系，考查计算能力；由题意求出cosα，cos(α+β)，利用β=α+β−α，通过两角差的余弦函数求出cosβ，即可． 【解答】解：α，β为锐角sinα=2√55， 则cosα=√1−sin 2α=(2√55)=√55．sin(α+β)=35<sinα， ∴α+β∈(π2,π)，则cos(α+β)=−√1−sin 2(α+β) =−√1−(35)2=−45，cosβ=cos(α+β−α)=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=−45×√55+2√55×35=2√525． 故选B ．11.【答案】B【解析】解：∵在梯形ABCD 中，AB//CD ，AB =4，AD =3，CD =2，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3，∴23×32−12×42−23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3， 则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =32； 故选：B ．直接利用向量的三角形法则，把已知都用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出来即可求解结论． 本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．12.【答案】C【解析】解：如图，E 在线段AD 上，所以存在实数k 使得AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =k AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,0≤k ≤1； BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ； ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =k(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=k[AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )]=k 4AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3k4AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ； ∴{λ=k4μ=3k 4； ∴t =(k4−1)2+916k 2=58(k −25)2+910； ∴k =25时，t 取最小值910． 故选：C ．根据共线向量基本定理可得到存在实数k ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =k AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，0≤k ≤1，然后根据已知条件及向量的加法、减法的几何意义即可得到AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =k 4AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3k 4AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而得到λ=k 4,μ=3k 4.代入t ，进行配方即可求出t 的最小值．考查共线向量基本定理，向量的加法、减法的几何意义，以及平面向量基本定理，配方法求二次函数最值．13.【答案】√32+12i【解析】 【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．把z 1=1+√3i ，z 2=√3+i 代入z 1z 2，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：∵z 1=1+√3i ，z 2=√3+i ， ∴z 1z 2=√3i √3+i=√3i)(√3−i)(√3+i)(√3−i)=√32+12i ． 故答案为：√32+12i ．14.【答案】311【解析】解：∵P 是BN 上的一点， 设BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，由AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗=AB⃗⃗⃗⃗⃗ +λBN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =(1−λ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +211AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∴m =1−λ，λ4=211 解得λ=811，m =311 故答案为：311由已知中△ABC 中，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，P 是BN 上的一点，设BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 后，我们易将AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示为(1−λ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的形式，根据平面向量的基本定理我们易构造关于λ，m 的方程组，解方程组后即可得到m 的值本题考查的知识点是面向量的基本定理及其意义，解答本题的关键是根据面向量的基本定理构造关于λ，m 的方程组．属于基础题．15.【答案】√3【解析】解：∵2cos10°=2sin80°=2sin(60°+20°)=2(√32cos20°+12sin20°)=√3cos20°+sin20°， ∴2cos10°−sin20°cos20∘=√3．故答案为：√3．利用cos10°=sin80°=sin(60°+20°)，利用两角和的正弦公式展开，合并即可． 本题考查三角函数的化简求值，难点在于“2cos10°=2sin80°=2sin(60°+20°)”的思考与转化，属于中档题．16.【答案】10海里【解析】解：如图，依题意有∠BAC =60°，∠BAD =75°，所以∠CAD =∠CDA =15°， 从而CD =CA =10，在直角三角形ABC 中，得AB =5， 于是这艘船的速度是50.5=10(海里/小时)． 故答案为：10海里．如图，依题意有∠BAC =60°，∠BAD =75°，所以∠CAD =∠CDA =15°，从而CD =CA =10，在直角三角形ABC 中，得AB =5，由此能求出这艘船的速度． 本题考查三角形知识的实际运用，解题时要注意数形结合思想的灵活运用．17.【答案】解：z =(2+i)m +2ii−1=2m +mi +2i(−1−i)(−1+i)(−1−i)=(2m +1)+(m −1)i ．(1)∵复数z 是纯虚数，∴{2m +1=0m −1≠0，即m =−12；(2)z −1=2m +(m −1)i ，|z −1|=√4m 2+(m −1)2=√5m 2−2m +1=√5(m −15)2+45≥2√55，∴|z −1|的取值范围是[2√55,+∞)．【解析】【试题解析】本题考查复数代数形式的运算，考查复数的概念，考查复数模的求法，是基础题． (1)利用复数代数形式的乘除运算化简z.由实部为0且虚部不为0列式求得m 值； (2)求出|z −1|，利用配方法求范围．18.【答案】解：(1)∵角α为第一象限角，且sinα=√55， ∴cosα=√1−sin 2α=2√55，tanα=sinαcosα=12． (2)3sin(π−α)−2cos(π+α)cos(π2−α)=3sinα+2cosαsinα=3+2tanα=3+212=7．【解析】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．(1)由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解； (2)利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可化简求解．19.【答案】(Ⅰ)证明：∵b +c =2acosB ，∴sinB +sinC =2sinAcosB ， ∴sinB +sin(A +B)=2sinAcosB ，∴sinB +sinAcosB +cosAsinB =2sinAcosB ， ∴sinB =sinAcosB −cosAsinB =sin(A −B)，∵A ，B 是三角形中的内角，∴0<B <π，−π<A −B <π， ∴π−B =A −B 或B =A −B ，∴A =π(不合实际)或A =2B ，即原题得证． (Ⅱ)解：∵△ABC 的面积S =a 24a 24，∴2bcsinA =a 2，sinA ≠0，∴2sinBsinC =sinA =sin2B =2sinBcosB ，sinB ≠0， ∴sinC =cosB ，又∵0<C <π，0<B <π，∴B +C =π2或C =B +π2，当B +C =π2时，A =π2; 当C −B =π2时，，，A =π4．综上，A =π2或A =π4．【解析】本题考查了正弦定理，三角形面积公式，诱导公式，二倍角公式，以及两角和与差的三角函数公式，属于中档题．(Ⅰ)利用正弦定理，结合两角和与差的正弦公式，即可证明A =2B ； (Ⅱ)若△ABC 的面积S =a 24，结合正弦定理、二倍角公式，即可求角A 的大小．20.【答案】解：(1)∵向量 m ⃗⃗⃗ =(√3,1),n ⃗ =(cosA +1,sinA)，且m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ 的值为2+√3， ∴m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =√3cosA +√3+sinA =2sin(A +π3)+√3=2+√3，∴sin(A +π3)=1，0<A <π， 可得A =π2−π3=π6； (2)cosB =√33，∴sinB =√63， 由bsinB =asinA 得b =√3⋅√6312=2√2，sinA =12，cosA =√32，∴S △ABC =12absinC =12√3⋅2√2sin(A +B)=√6(sinAcosB +cosAsinB)=√22+√3．【解析】(1)运用向量的数量积的坐标表示和两角和的正弦公式，化简整理可得A ； (2)运用正弦定理和三角形的面积公式，以及两角和的正弦公式，计算即可得到所求值． 本题考查向量数量积的坐标表示和三角函数的恒等变换，以及正弦定理和三角形的面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题．21.【答案】解：观察以下各式：∵sin 230°+cos 260°+sin30°cos60°=34，sin 220°+cos 250°+sin20°cos50°=34， ∴sin 230°+cos 2(30°+30°)+sin30°cos(30°+30°)=34，sin 220°+cos 2(20°+30°)+sin20°cos(20°+30°)=34，于是根据各式的共同特点，则具有一般规律的等式可得出sin2α+cos2(α+30°)+sinαcos(α+30°)=34．证明：左边=sin2α+cos2(α+300)+sinαcos(α+300)=1−cos2α2+1+cos(600+2α)2+sin(300+2α)−sin3002=1+cos(600+2α)−cos2α2+12[sin(300+2α)−12]=1+−2sin(300+2α)sin3002+12[sin(300+2α)−12]=34−12sin(300+2α)+12sin(300+2α)=34=右边．【解析】我们可以发现等式左边余弦均为正弦度数加30°，右边是常数，由此不难得到结论本题主要考查了归纳推理，通过观察个别情况发现某些相同性质，从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)，属基础题．22.【答案】解：(1)△ABC中，由于AB=80m，BC=70m，CA=50m，由余弦定理可得cosA=AB2+AC2−BC22AB⋅AC =802+502−7022×80×50=12，故有A=60°，即∠BAC=60°．(2)过点O作OD⊥BC，D为垂足，则O到直线BC的距离即为OD．由于点O到、AB、C三点的距离相等，故O为△ABC的外心．由∠BAC=60°可得∠BOC=120°，故∠BOD=60°，且D为BC的中点，BD=35．Rt△BOD中，tan∠BOD=tan60°=√3=BDOD =35OD，解得OD=35√33．即O到直线BC的距离35√33【解析】(1)△ABC中，由余弦定理求得cosA的值，即可求得A的值．(2)过点O作OD⊥BC，D为垂足，则OD即为所求．由O为△ABC的外心，可得∠BOC=120°，故∠BOD=60°，且D为BC的中点，BD=35.在Rt△BOD中，根据tan∠BOD=tan60°=BD，求得OD的OD值．本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，直角三角形中的边角关系，属于中档题．。
浙江省杭州市2020届高三上学期期末教学质量检测(一模)数学试题 Word版含答案
杭州市2019-2020学年高三上学期期末教学质量检测数学试题一、选择题：每小题4分，共40分1. 设集合{}2A x x =>，()(){}130B x x x =--<，则A B =I （ ）A ．{}1x x >B ．{}23x x <<C ．{}13x x <<D ．{}21x x x ><或2. 双曲线2214x y -=的离心率等于（ ）A ．52B ．5C ．32D ．33. 已知非零向量a ，b ，则“0⋅>a b ”是“向量a ，b 夹角为锐角”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4. 若实数x ，y 满足不等式组010x y x x y +≥⎧⎪≥⎨⎪-≥⎩，则（ ）A ．1y ≥B ．2x ≥C ．20x y +≥D ．210x y -+≥5. 设正实数x ，y 满足()e e e yx y x ⋅=，则当x y +取得最小值时，x =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．46. 已知随机变量ξ的取值为i （0,1,2i =）．若()105P ξ==，()1E ξ=，则（ ）A ．()()1P D ξξ=<B ．()()1P D ξξ==C ．()()1PD ξξ=>D ．()()115P D ξξ==7. 下列不可能．．．是函数()()()22a x x f x x a -=+∈Z 的图象的是（ ） D.C.B.A.xxxyyyyxOOOO8. 若函数()y f x =，()y g x =定义域为R ，且都不恒为零，则（ ） A ．若()()y f g x =为周期函数，则()y g x =为周期函数 B ．若()()y f g x =为偶函数，则()y g x =为偶函数C ．若()y f x =，()y g x =均为单调递增函数，则()()y f x g x =⋅为单调递增函数D ．若()y f x =，()y g x =均为奇函数，则()()y f g x =为奇函数9. 已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左右焦点分别为1F ，2F ，抛物线22y px =（0p >）的焦点为2F ．设两曲线的一个交点为P ，若221216PF F F p ⋅=u u u u r u u u u r ，则椭圆的离心率为（ ）A ．12B ．22C ．34D ．3210. 已知非常数数列{}n a 满足12n nn a a a αβαβ+++=+（*n ∈N ，α，β为非零常数）．若0αβ+≠，则（ ） A ．存在α，β，对任意1a ，2a ，都有数列{}n a 为等比数列 B ．存在α，β，对任意1a ，2a ，都有数列{}n a 为等差数列 C ．存在1a ，2a ，对任意α，β，都有数列{}n a 为等差数列D ．存在1a ，2a ，对任意α，β，都有数列{}n a 为等比数列二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分，共36分11. 设复数z 满足()1i 2i z +⋅=（i 为虚数单位），则z = ，z = ．12. 已知二项式()60a x a x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭的展开式中含2x 的项的系数为15，则a = ，展开式中各项系数和等于 ．13. 在ABC △中，BAC ∠的平分线与BC 边交于点D ，sin 2sin C B =，则BDCD= ；若1AD AC ==，则BC = ．14. 已知函数()()()210cos 0x x f x x x π⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，则()2019f f =⎡⎤⎣⎦ ；若关于x 的方程()0f x a +=在(),0-∞内有唯一实根，则实数a 的取值范围是 ．15. 杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙等5人报名参加了A ，B ，C 三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者．若甲不能参加A ，B 项目，乙不能参加B ，C 项目，那么共有 种不同的选拔志愿者的方案．（用数字作答）16. 已知函数()39f x x x =-，()()23g x x a a =+∈R ．若方程()()f x g x =有三个不同的实数解1x ，2x ，3x ，且它们可以构成等差数列，则a = ．17. 在平面凸四边形ABCD 中，2AB =，点M ，N 分别是边AD ，BC 的中点，且32MN =，若()32MN AD BC ⋅-=u u u u r u u u r u u u r ，则AB CD ⋅=u u u r u u u r ．三、解答题：5小题，共74分18. （本题满分14分）已知函数()22sin cos 3f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（x ∈R ）．（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域．19. （本题满分15分）已知函数()212f x x k x =+--．（1）当1k =时，求函数()f x 的单调递增区间． （2）若2k ≤-，试判断方程()1f x =-的根的个数．20. （本题满分15分）如图，在ABC △中，23BAC π=∠，3AD DB =u u u r u u u r ，P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+u u u r u u u r u u u r，若ABC △的面积为23．（1）求m 的值；（2）求AP u u u r的最小值．PBD AC21. （本题满分15分）设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，若2a 是1a 与4a 的等比中项，612a =，11221a b a b ==．（1）求n a ，n S 与n T ；（2）若n n n c S T =⋅，求证：12(2)2n n n c c c ++++<L ．22. （本题满分15分）设函数()e x f x ax =+，a ∈R ．（1）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围；（2）若对任意[)0,x ∈+∞均有()2223f x x a +≥+，求a 的取值范围．。
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2020年浙江省杭州市高三5月教学质量检测数学试卷
一、选择题
1.设集合A={}
2
|4x y x =-(){|1},B x y ln x ==+则A ∩B=( )
()[](][].2,2. 2.2.1,2. 1.2A B C D ----
2.设M 为不等式10
10
x y x y +-<⎧⎨-+>⎩所表示的平面区域,则位于M 内的点是( )
()()()0,22,00,2.(20)A B C D --
3.某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A 76
B ．54
C ． 43
D ．53
4,3n n a =是”函数()()R |1|||f x x x a x =-+-∈的最小值等于2”的( )
A 充分不必要条件B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件D.充要条件
5.在我国古代数学著作《详解九章算法》中,记载着如图所示的一张数表,表中除1以外的每一个数都等于它肩上两个数之和,如:6=3+3则这个表格中第8行第6个数是( ) A.21 B.28 C.35 D.56
6.函数1
(41
x
y e x =
--其中e 为自然对数的底数)的图象可能是( )
7.抛掷一枚质地均匀的硬币,若出现正面朝上则停止抛掷,至多抛掷n i 次,设抛掷次数为随机变量,1,2.i i ξ=若n 1=3n 2=5,则( )
()()()()()()()12122112.(),.,A E E D D B E D E D ξξξξξξξξ<<＜＜＜ ()()()()()()()()()121212212.,).,,C E E D D D E D D E D ξξξξξξξξξ><>> 8.已知函数()sin()(0)
cos(),(0)x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩
是偶函数,则ab 的值可能是( )
.,33A a b π
π
=
=
2.,36B a b ππ=
=
25.,.,3636C b D a b ππππ
====
9.设a,b,c 为非零不共线向量,若|(1)||()a tc t b a c t R -+--∈…则(
()().A a b a c +⊥-()().*B a b b c +⊥ ()().C a c a b -⊥+()().D a c b c -⊥+
()
*113
10.{}.44
n n n a a n a N +=
-∈数列满足若存在实数c.使不等式a 2n <c<a 2n-1 对任意n ∈N *恒成立,当11a =时,c=( ) A ．16B ．14 C ．13 D ．12
11.设复数1,,)1z a i bi b z
a i i
R =-=+∈+且
（为虚数单位则ab= ▲ |z|= ▲ 6
112.x x ⎛
⎫+ ⎪⎝⎭的的展开式的所有二次项系数和为 ▲ 常数项为 ▲
13.设双曲线()22
22,10,0x y a b a b -=>>的左、右焦点为F,2P 为该双曲线上一点
且12|2||3|PF PF =若2160,F F P ︒=∠则该双曲线的离心率为 ▲ 渐近线方程 为 ▲
14.在ABC V 中,若()22,22
A
sin A sin B C cosBsinC =+=. 则_____,
_____AC
A AB
== 15.已知S n 是等差数列{}n a 的前n 项和,若244,16,S S 厔
则a 3的最大值是 ▲ 16.安排ABCDEF 共6名志愿者照顾甲、乙、丙三位老人,每两位志愿者照顾一位老人,考
虑到志愿者与老人住址距离问题,志愿者A 安排照顾老人甲,志愿者B 不安排照顾老人乙,则安排方法共有 ▲ 种
17.已知函数()()3|||3|,.f x x a x R b a b =-+-∈当[]()0,2.,x f x ∈的最大值为(),,M a b 则
(),M a b 的最小值为 ▲
18.已知函数()2133,022f x sin x co x s ωωω=
+-> (1)若ω=1.求()f x 的单调递增区间
2)若 1.3f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
求()f x 的最小正周期T 的最大值
19.如图,在四棱锥P=ABCD 中,PC ⊥底面ABCD,底面ABCD 是直角梯形
.AB AB CD AD ⊥P AB=2AD=2CD=2，E 是PB 上的点
(1)求证:平面EAC ⊥PBC;
(2)若E 是PB 的中点,且二面角P AC E ︒--的余弦值为6
3
,求直线PA 与平 面EAC 所成角的正弦值
20.(本题满分15分)已知数列{}n a 的各项均为正数,a 1=14，b n n a ,{}n b 是等差数列,其
前n 项和为26,81.n S S b =⋅ (1)求数列{a n }的通项公式
()()()3
1212123(2)111,,n n n n n
c c c a a a a a a a T c c =--⋅⋅-=
+++L 若对任意的正整数n,都有4aT n <c 恒成立,求实数a 的取值范围
21.(本题满分15分)如图,已知M(1,2)为抛物线()220:C y px p =>上一点，过点
()2,2D -的直线与抛物线C 交于AB 两点(AB 两点异于M),记直线AM,BM 的料率分别为k 1,,,,k 2
(1)求k 1k 2的值
(2)记,BMD AMD V V 的面积分别为S 1,S 2,当[]11,2,k ∈L
求
1
2
S S 的取值范围
22.(本题满分15分)已知函数()()()ln ,0.x a f x e x a x -=-+…其中0,a > (1)若a=l.求证:()0.f x >
(2)若不等式()211ln 2f x x a ++-…对0x ≥恒成立,试求a 的取值范围。