【小初高学习]2018年高考数学 专题1.8 一题多变利用导数研究函数零点或曲线交点问题小题大做

专题1.8 一题多变利用导数研究函数零点或曲线交点问题【经典母题】设函数f(x)＝ln x ＋m x ，m ∈R . 讨论函数g (x )＝()'f x －x3零点的个数.【迁移探究1】设函数f(x)＝ln x ＋m x ，m ∈R . 已知函数g (x )＝()'f x －x 3有两个零点，求m 的范围？【答案】 0＜m ＜23【迁移探究2】若条件改为有零点，求m 的范围？ 【答案】23m ≤【解析】 由题设g (x )＝()'f x －x 3＝1x －m x 2－x3(x ＞0)， 令g (x )＝0，得m ＝－13x 3＋x (x ＞0).设φ(x )＝－13x 3＋x (x ＞0)，则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)，当x ∈(0，1)时，φ′(x )＞0，φ(x )在(0，1)上单调递增； 当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )＜0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减. ∴x ＝1是φ(x )的唯一极值点，且是极大值点， 因此x ＝1也是φ(x )的最大值点. ∴φ(x )的最大值为φ(1)＝23.又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x )的图象(如图)，则当23m时，函数g (x )有零点. 规律方法 函数的零点、方程的根、曲线的交点，这三个问题本质上同属一个问题，它们之间可相互转化, 这类问题的考查通常有两类：(1)讨论函数零点或方程根的个数；(2)由函数零点或方程的根的个数求参数的取值范围. 常用两种方法：(1)运用导数研究函数的单调性和极值，利用单调性和极值定位函数图象来解决零点问题；(2)将函数零点问题转化为方程根的问题，利用方程的同解变形转化为两个函数图象的交点问题，利用数形结合来解决.处理策略：变量分离；直接讨论； 讨论零点个数的答题模板 第一步：求函数的定义域；第二步：分类讨论函数的单调性、极值；第三步：根据零点存在性定理，结合函数图象确定各分类情况的零点个数. 【变式训练】1.函数f (x )＝(ax 2＋x )e x，其中e 是自然对数的底数，a ∈R . (1)当a >0时，解不等式f (x )≤0；(2)当a ＝0时，求整数t 的所有值，使方程f (x )＝x ＋2在[t ，t ＋1]上有解.(2)当a ＝0时，方程即为x e x＝x ＋2， 由于e x>0，所以x ＝0不是方程的解， 所以原方程等价于e x－2x－1＝0.令h (x )＝e x－2x－1，因为h ′(x )＝e x＋2x2>0对于x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)恒成立，所以h (x )在(－∞，0)和(0，＋∞)内是单调递增函数， 又h (1)＝e －3<0，h (2)＝e 2－2>0，h (－3)＝e －3－13<0，h (－2)＝e －2>0，所以方程f (x )＝x ＋2有且只有两个实数根且分别在区间[1，2]和[－3，－2]上，所以整数t 的所有值为{－3，1}. 2．设函数，若对于在定义域内存在实数满足，则称函数为“局部奇函数”．若函数是定义在上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是（ ）A . [1﹣，1+）B . [﹣1，2]C . [﹣2，2]D . [﹣2，1﹣]3．定义在1,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的函数()f x，满足()1f x fx⎛⎫= ⎪⎝⎭，且当1,1xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()lnf x x=，若函数()()g x f x ax=-在1,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点，则实数a的取值范围是（）A.ln,0ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.[]ln,0ππ-C.1ln,eππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.1,2eπ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】设[]1,xπ∈，则11,1xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，因为()1f x fx⎛⎫= ⎪⎝⎭且当1,1xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()lnf x x=，所以()1lnf x f xx⎛⎫==-⎪⎝⎭，则()[]1ln,,1ln,1,{x xx xf xππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦-∈=，4．函数()f x是定义在R上的偶函数，且满足()()[]20,1f x f x x=+∈，当时，()2f x x=，若方程()0(0)ax a f x a+-=>恰有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A.1,12⎛⎫⎪⎝⎭B.[]0,2C.()1,2D.[)1,+∞要使方程()0(0)ax a f x a +-=>恰有三个不相等的实数根，则由图象可得直线()1y a x =+的斜率必须满足AC ABk a k <<，由题意可得()()()1,0,1,2,3,2A B C -，则12AC k =， 1AB k =．即有112a <<．故选A ．5．已知定义在R 上的函数()f x ，周期为4，当[)0,4x ∈时，()22,02,{24,2 4.x x x f x x x ≤≤-+<=-<当()4,x b ∈-时，函数()1y f x =-有5个零点，则实数b 的取值范围为（ ）A . 135,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B . 135,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C . 135,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D . 135,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦6已知函数()12,0{21,0xe xf xx x x->=--+≤，若关于x的方程()()()230f x f x a a R-+=∈有8个不等的实数根，则a的取值范围是A.10,4⎛⎫⎪⎝⎭B.1,33⎛⎫⎪⎝⎭C.()1,2D. （2,94）【解析】 函数()12,0{21,0x e x f x x x x ->=--+≤，的图象如图：关于x 的方程()()()230f x f x a a R -+=∈有8个不等的实数根， ()f x 必须有两个不相等的实数根，由函数()f x 图象可知12f x ∈（）（，），令t f x =（），方程()()230f x f x a -+=化为：2312a t t t =-+∈，（，）， 23a t t =-+，开口向下，对称轴为：32t =，可知： a 的最大值为：23393224-+⨯=（）， a 的最小值为2， 92]4a ∈（，故选D .7．已知函数()22,0,{,0x x f x x x ≤=>，若函数()()()1g x f x k x =--恰有两个零点，则实数k 的取值范围是A . ()(),14,-∞-⋃+∞B . ][(),14,-∞-⋃+∞C .[)()1,04,-⋃+∞ D . [)[)1,04,-⋃+∞【解析】()()()1g x f x k x=--恰有两个零点，等价于()y f x=与()1y k x=-有两个交点，同一坐标系，画出() y f x=与()1y k x=-的图象，直线过()0,1时，1k=-，直线与()20y x x=≥，相切时4k=，由图知，[)()1,04,k∈-⋃+∞时，两图象有两交点，即k的取值范围是[)() 1,04,-⋃+∞故选C.8．已知函数，若函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是( )A. [-1,1)B. [-1,2)C. [-2,2)D. [0,2]9．已知函数，若正实数互不相等，且，则的取值范围为（）A. B. C. D.【解析】函数,若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c)，如图，不妨a<b<c，由已知条件可知：0<a<1<b<e<c<e2，∵−lna=lnb，∴ab=1∵lnb=2−1nc∴bc=e2，∴,(1<b<e)，故选A.10．设函数的定义域为,若函数满足条件：存在,使在上的值域是则称为“倍缩函数”，若函数为“倍缩函数”，则的范围是( )A. B. C. D.【解析】∵函数f(x)=f(x)=log2(2x+t)为“倍缩函数”，且满足存在[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域是[]，∴f(x)在[a,b]上是增函数；∴，即，∴a,b是方程2x−+t=0的两个根，设m=,则m>0,此时方程为m2−m+t=0即方程有两个不等的实根，且两根都大于0；∴，解得：0<t<，∴满足条件t的范围是(0,)，故选：A.11.已知函数()21,0{1,0x xg xx x-+<=->，若函数()()2y g g x m=-有3个不同的零点，则实数m的取值范围是____________.12.已知函数（）.（1）若函数有零点，求实数的取值范围；（2）若对任意的，都有，求实数的取值范围.解得：综上可知，实数的取值范围为. （2）由“当时，都有”得：，②∵，故②变形为：当时，不等式②简化为，此时实数当时，有∴∴，∵当时，，当且仅当时取等号∴综上可知，实数的取值范围.13.已知函数()243,f x x x a a R=-++∈(1)若函数()y f x=的图象与x轴无交点，求a的取值范围；(2) 若函数()y f x=在[-1,1]上存在零点，求a的取值范围；(3)设函数()52,g x bx b b R=+-∈，当0a=时，若对任意的[]11,4x∈，总存在[]21,4x∈，使得，求b的取值范围.。