第四讲、微分、积分程序
第四讲 常微分方程
2、特殊情形—高阶常系数线性微分方程的解法 【掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法， 并会解某些高于二阶的常系数齐次
线性微分方程． 】
（1）二阶常系数齐次线性微分方程及解法 称 y py qy 0 （ p, q 为常数）为二阶常系数齐次线性方程， 称 p q 0 为其特征方程。 1）当 p 4q 0 时，两特征值为 1 2 ，则原方程的通解为
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新浪微博：考研数学_八哥 例11：设线性无关的函数 y1 x ， y2 x ， y3 x 均是二阶非齐次线性方程
y p x y q x y f x 的解， C1，C2 为任意常数，则该非齐次方程的通解是（ ）
A． C1 y1 C2 y2 y3 C． C1 y1 C2 y2 (1 C1 C2 ) y3 B． C1 y1 C2 y2 (C1 C2 ) y3 D． C1 y1 C2 y2 (1 C1 C2 ) y3 【89】
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新浪微博：考研数学_八哥 型二： f x pn x e sin x 或 f x pn x e cos x 其中 pn x 为 n 次多项式， a， 皆为实常数 1）若 a i 不是特征根，则令 y e Rn x cos x Tn x sin x 其中 Rn x a0 x a1 x
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第四讲
一、微分方程的概念
常微分方程
【了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念】 微分方程：一般地，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系到的方程。 。 微分方程的阶：微分方程中所出现的求知函数的最高阶导数的阶数， 微分方程的解：建立微分方程后，找出满足微分方程的函数，把这函数代入微分方程能使该 方程成为恒等式。这个函数就叫做该微分方程的解。 微分方程的通解： 如果微分方程的解中含有任意常数， 且任意常数的个数与微分方程的阶数 相同，这样的解叫做微分方程的通解。 微分方程的特解：确定了通解中的任意常数以后，就得到了微分方程的特解。 求微分方程 y f ( x , y ) 满足初始条件 y | x x0 y 0 的特解这样一个问题，叫做一阶微分方程 的初值问题，记作
高等数学第四讲一元函数积分的概念性质与基本定理
一、一元函数积分的概念、性质与基本定理1、原函数、不定积分在区间Ⅰ上，如()()x f x F /=，称()x f 为()x F 的导函数，称()x F 为()x f 的原函数，原函数与导函数是一种互逆关系。
如()x F 为()x f 的一个原函数，则()C x F +为()x f 的全体原函数。
记为⎰f(x)dx ，即⎰f(x)dx =()C x F + 不定积积分性质 (1) f(x))f(x)dx (/=⎰或 ()dx x f f(x)dx d =⎰(2) C F(x)(x)dx F /+=⎰ (3) ⎰⎰=f(x)dx k f(x)dx k(4) ⎰⎰⎰±=±g(x)dx f(x)dx g(x))dx f(x) (∵原函数与导函数有互逆关系,∴由导数表可得积分表。
例、P98 例3.1 已知()x F 是xxln 的一个原函数，求：()x sin dF 解：xlnx(x)F /=cosxdx sinxlnsinxdsinx dsinx dF(sinx)dF(sin x)==例、()x f 的导函数是x sin ，则()x f 的原函数21c x c x sin ++-，(1c 、2c 为任意常数)例、在下列等式中，正确的结果是 C A 、()⎰=x f (x)dx f /B 、⎰=f(x)df(x)C 、⎰=f(x)(x)dx f dxdD 、⎰=f(x)(x)dx f d 例、)dx x1(1x x )dx x 1(1x x 241212-⋅=-⎰⎰dx )x -(x 4543⎰-=C 4x x 744147++=-2、计算方法 10 换元法第一类换元法（凑微分法）常用凑微分形式kdx dkx = ()dx c x d =+xxde dx e = dlnx dx x1=x sin d x cos = x1d dx x 12=-x d dx x 21= x tan d xdx sec 2=sin x arc d dx x -112=22x 1d dx x 1x +=+22x 1d dx x -1x --= x sin d dx x 2sin 2=x cos d dx x 2sin 2-=-例、⎰⎰+--=---=-c 2x 3ln 212x)d(32x 3121dx 2x 317、⎰⎰+==c (lnx)32ln x d lnx dx x ln x 238、⎰⎰+==c x sin 41sin x d x sin xdx sin x cos 4339、⎰⎰+-=-=c x 1x -1d 21 x d x-1x22210、⎰⎰+-=-=c e 31d(-x)e 31dx e x 3x -33x -3x -211、⎰⎰+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+c a x tan arc a1a x d a x 11a1dx x a 1222 12、⎰⎰+=+=+c a2xarctan 61d2x (2x)3121 x d 4x 91222 13、⎰⎰+++=++c 1)d(x 41)(x 1x d 5x 2x 122 c 21x arctan 21++=14、⎰+=c a xarcsin x d x-a 122 15、⎰⎰--=+223x)(25dx 9x -2x 11dx 31-=c 53x 2sin arc +- 16、c 1tanx 21)d(tanx 1tan x 11tan x x sec 2++=++=+⎰⎰17、⎰⎰-=dx )1x (sec x tan xdx tan 224dx )1x (sec x tan xd tan 22⎰⎰--=C x x tan x tan 313++-=18、x arcsin d x arcsin dx x 1x arcsin 424⎰⎰=-C x arcsin 515+= 19、⎰⎰++=+)1e (d )1e sin(dx )1e sin(e xxxxC )1e cos(x ++-=20、⎰⎰=x d x cos 2ds xx cosC x sin 2+=21、x d x 1xarctan 2dx x)x 1(x arctan ⎰⎰+=+ ⎰=x arctan d x arctan 2 C x arctan 2+=22、dx e1e e 1dx e 11xxx x ⎰⎰+-+=+⎰+-=dx e1e 1xx()⎰++-=x x e1e 1d x ()C e1ln x x++-=23、⎰⎰⎰+-+=+-)4e (e de 4e de dx 4e 1e x 2x xx 2x x 2xxx 2x x x de 4e e e 1412e arctan 21⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=C )4e ln(814x 2e arctan 21x 2x +++-=P100, (9),(10), (14)21x -除了凑微分法外其它常用变量代换 (1)被积函数中含有二次根式22x a -，令t sin a x = 22x a +，令t tan a x = 22a x -，令t sec a x =如是C bx ax 2++配方221212212u a ,a u ,a u --+→例1、dx xx 122⎰- 令tdt cos dx ,t sin x ==解：原式 ⎰⋅=tdt cos tsin tcos 2⎰⎰-==dt )1t (csc tdt cot 22C t t cot +--=C x arcsin xx 12+---=例2、dx 4x x122⎰- P105例4 二种解法（2）被积函数中含一般根式例3、⎰++32x 1dxP106 （6）解：令dt t 3dx 2t x t2x 233=-==+原式⎰⎰++-=+=dt )t111t (3dt t 1t 32()C 2x 1ln 32x 32x 233332+++++-+=例4、⎰+dx x x 132令 dt t 6dx t x 56==原式⎰⎰⎰++-=+=+=dt )t111t (6dt t 1t 6dt t t t 62435 C t 1ln t 2t 62+⎪⎭⎫⎝⎛++-= C x 1ln 6x 6x 3663+++-=例5、⎰+dx 1e x解：令 1t e t1e 2x x-==+dt 1t t2dx )1t ln(x 22-=-= 原式 ⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-⋅=dt 1t 112dt 1t t 2t 22 C 1t 1t lnt 2++-+=C)11e ln()11e ln(1e 2x x x +++--+++=20分部积分<定理> 如()x u 、()x v 均具有连续的导函数，则⎰⎰-=vdu uv dv u例1、⎰⎰=xdsin x dx x xcos⎰=dx sin x -sin x xc x cos sin x x ++=例2、⎰⎰---=xxxde dx xe⎰--+-=dx e xe x xC e xe x x+--=--例3、()⎰⎰⋅-=dx x-11sin x 2arc x sinx arc x dx sin x) (arc 222()⎰+=22x -1sinxd arc 2sinx arc x()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅-+=⎰dx x 11x -1-sinx arc x 12sinx arc x 2222()C 2x -sinx arc x 12sinx arc x 22+-+=例4、⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛-=x 1d ln x dx x ln x 2 ⎰+-=dx x 1x lnx 2c x1-x lnx +-=例5、⎰⎰=ln x d ln x ln dx xlnxln ⎰⋅⋅⋅=dx x1ln x 1ln x -ln x ln ln xc ln x -ln x ln ln x +=例6、⎰⎰-=dx )1x (sec x xdx xtan 22⎰-=2x xdtanx 22x dx tan x xtanx 2--=⎰c 2x - x cos ln x tan x 2++=例7、⎰⎰+-+=+xdx arctan x111x dx x 1x arctan x 2222⎰+-=dx )x1xarctan x (arctan 2⎰⎰-=x arctan xd arctan xdx arctan22)x (arctan 21dx x 1x x arctan x -+-=⎰c )x (arctan 21)x 1ln(21x arctan x 22+-+-=例8、⎰⎰++-++=++c x 1dx )x 1xln(x )dx x 1ln(x 222 c x 1)x 1xln(x 22++-++=例9、⎰⎰=x x x 2x dsine e dx cose e⎰-=x x x x de sine sine ec cose sine e x x x ++=例10、⎰⎰-=dx )x 2cos 1(21x xdx sin x 222 ⎰-=dsin2x x 416x 23 ⎰+-=dx 2x xsin 21sin2x x 416x 23 ⎰--=x 2cos xd 41x 2sin 4x 6x 23c x 2sin 81x 2cos x 41sin2x x 416x 23++--=例11、⎰⎰--=-22x 1arcsinxd dx x 1xarcsinxc x arcsinx x 12++--=例12、P109 例3.5友情提示：方案范本是经验性极强的领域，本范文无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用。
一阶线性微分方程组第四讲常系数线性微分方程组的解法(1)
第四讲 常系数线性微分方程组的解法（4课时）一、 目的与要求：理解常系数线性微分方程组的特征方程式，特征根，特征向量的概念，掌握常系数线性微分方程组的基本解组的求法 •二、 重点：常系数线性微分方程组的基本解组的求法.三、难点：常系数线性微分方程组的特征方程式 ，特征根，特征向量的概念•四、 教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法 •五、 教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合 •六、 教学过程：1新课引入由定理3.6我们已知道，求线性齐次方程组 （3.8）的通解问题，归结到求其基本解组 •但是对于一般的方程组（3.8），如何求出基本解组，至今尚无一般方法•然而对于常系数线性齐次方程组AY （3.20）dx其中A 是n n 实常数矩阵，借助于线性代数中的约当Jordan ）标准型理论或矩阵指数，可以使这一问题得到彻底解决.本节将介绍前一种方法，因为它比较直观.由线性代数知识可知，对于任一n n 矩阵A ，恒存在非奇异的n n 矩阵T ，使矩阵T 」AT 成为约当标准型.为此，对方程组（3.20）引入非奇异线性变换Y =TZ(3.21)其中 T =(t j )(i,j =1,2, ||),n), detT =0,将方程组(3.20)化为dZ-T 4ATZdx我们知道，约当标准型 T 4AT 的形式与矩阵A 的特征方程a11 一 人a12川 amdet(A - 2-E)=a21+ +a 22 — hVF川 a2n4 4=0(3.22)a n1an2HI a nn -丸的根的情况有关•上述方程也称为常系数齐次方程组 (3.20)的特征方程式.它的根称为矩阵A 的特征根.下面分两种情况讨论•(一)矩阵A 的特征根均是单根的情形设特征根为'i,'2,lH,'n,这时方程组(3.20)变为电］dx | dz 2dx+ +dZ n -dx _(3.23)易见方程组(3.23)有n 个解把这n 个解代回变换(3.21)之中，便得到方程组(3.20)的n 个解r. t .r.Y(x)二 e" ?玄气I+」ni -T 」AT -'20严［乙(x) = 0 e 农Z 2(x)二 0 e 护川，Z n (x) =e'n x(i =12川,n)Z 2这里T是矩阵T第i列向量，它恰好是矩阵A关于特征根初的特征向量，并且由线性方程组(A- i E)T i =0所确定.容易看出，Y1(x),Y2(x),川,Y n(x)构成(3.20)的一个基本解组,它们的朗斯基行列式W (x)在x = 0时为W(0) = detT = 0 .于是我们得到定理3.11如果方程组(3.20)的系数阵A的n个特征根彼此互异，且人兀,川,人分别是它们所对应的特征向量，则¥(x)二e ix T i,Y2(x) =e2工川|,Y n(x) =e%是方程组(3.20)的一个基本解组例1试求方程组化—x+5y-zdtdzx -dt的通解.解它的系数矩阵是3 -1 1A= -1 5 -13 -1 3_特征方程是3 _ 九_1det(A_ 丸E)= -1 5—九3 -1因为dxdty 3z1-1=03—扎a,b, c满足方程門-1 (A-人E) b = -1'cj J -13-1：］［：］=01丄cja「b c = 0* —a + 3b _ c =a-b +c = 0可得a - -c,b = 0.取一组非零解，例如令 c = -1，就有a = 1,b = 0,c = -1 同样，可求出另两个特征根所对应的特征向量，这样，这三个特征根所对应的特征向量分别是■1 1-1］'1 10,丁2 =1 , 丁3 =_2〕T 一- 1J故方程组的通解是「x(t)［2t y(t) =Ge 'z(t) j ■11 -'11 1 |+C3e6t_2_1 J(二)常系数线性微分方程组的解法复特征根从上一讲我们已经知道，求解方程组dYdx归结为求矩阵A的特征根和对应的特征向量问题.现在考虑复根情形.因为矩阵，所以复特征根是共轭出现的，设人,2=。
考研数学强化班讲义-微积分第4讲(学员版)定积分应用综合
（6） 旋转体的侧面积
直角坐标系中曲线 y = f (x), a ≤ x ≤ b 绕 x 轴旋转生成的旋转体
∫ 的侧面积为
A = 2π
b
f (x)
1 + [ f ′(x)]2 dx 。
a
参数方程下曲线 x = x(t), y = y(t), α ≤ t ≤ β 绕 x 轴旋转生成的
∫ 旋转体的侧面积为
∫ 绕 x 轴旋转生成的旋转体的体积（小圆台法）Vx
=
bπ
a
f 2 (x)dx 。
∫ 绕 y 轴旋转生成的旋转体的体积（薄壁筒法）Vy
=
b 2xπ
a
f (x)dx 。
（5）平面光滑曲线的弧长
直 角 坐 标 系 中 的 光 滑 曲 线 y = f (x), a ≤ x ≤ b 的 弧 长 为
∫ l = b 1+ [ f ′(x)]2 dx 。 a
设区域的边界由曲线 L :
⎧ x = x(t)
⎨ ⎩
y
=
y(t)
(α ≤ t ≤ β ) 确定, 其中
∫ x(t), y(t) 连续可导, y(t) ≥ 0 , 则区域的面积为 A = β y(t)x′(t)dt 。 α
（3） 极坐标系下区域的面积
设 区 域 D 为 D = {(x, y) x = ρ cosϕ, y = ρ sinϕ, α ≤ ϕ ≤ β , 0 ≤ ρ ≤ ρ(ϕ)} ，
D = {(x, y) a ≤ x ≤ b, f (x) ≤ y ≤ g(x)}
∫ 的面积为 A = b [g(x) − f (x)]dx 。 a ∫b
注：若连续函数 f (x) 在区间[a, b] 上变号，则 A = f (x)dx 表示正负面 a 积的代数和，有时称为代数面积。 （2） 参数方程下区域的面积
04第四讲_微分方程word精品文档12页
第四讲 微分方程考纲要求1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.2.掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法.3.会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程.4.会用降阶法解下列微分方程：()()n y f x =，(,)y f x y '''=和(,)y f y y '''=.5.理解线性微分方程解的性质及解的结构.6.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程.7.会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程.8.会解欧拉方程.9.会用微分方程解决一些简单的应用问题.问题1 何谓微分方程、微分方程的阶、解、通解、初始条件、特解、初值问题和微分方程的积分曲线？答 微分方程：含有自变量、未知函数、未知函数的导数的等式. 微分方程的阶(order)：微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数.微分方程的解：满足微分方程的函数.微分方程的通解：微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数等于微分方程的阶数.初始条件：确定微分方程通解中任意常数的值的条件. 微分方程的特解：确定了通解中任意常数的值后所得到的解. 初值问题（Cauchy 问题）：微分方程连同初始条件. 一阶微分方程初值问题：(,,)0F x y y '=，00()y x y =.二阶微分方程初值问题：(,,,)0F x y y y '''=，00()y x y =，00()y x y ''=. 微分方程的积分曲线：微分方程的解的图形（通解的图形是一族曲线）.问题2 如何求解一阶微分方程？答 一阶微分方程的一般形式是：(,,)0F x y y '=，解出y '：(,)dyf x y dx=，考纲要求掌握变量可分离的微分方程、一阶线性微分方程、.齐次微分方程、伯努利方程的解法.1可分离变量的微分方程：()()dyg x h y dx= 解法 分离变量：()()dy g x dx h y =；两端积分：()()dyg x dx h y =⎰⎰. 2 齐次微分方程：dy y dx x ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭解法 令y u x =，则y xu =，dy du u x dx dx =+，代入方程，得()duu x u dxϕ+=并求解.3 一阶线性微分方程：()()dyP x y Q x dx+= 若()0Q x ≡，则称它是齐次的，否则，称它为非齐次的. 解法（常数变易法） 先解对应齐次线性微分方程()0dyP x y dx+=，求得通解()P x dx y Ce -⎰=； 再令非齐次线性微分方程的解为()()P x dxy C x e -⎰=，代入方程求出()C x .通解公式：()()(())P x dx P x dxy e Q x e dx C -⎰⎰=+⎰ 解的结构：一阶非齐次线性微分方程的通解=对应的齐次线性微分方程的通解+非齐次线性微分方程的特解.4 伯努利方程：()()(0,1)dyP x y Q x y dxαα+=≠.（与一阶线性微分方程比较）解法 方程两边乘以y α-，再令1z y α-=，将方程化为一阶线性微分方程.求解微分方程的步骤是：判断方程的类型并用相应的方法求解. 例 求解下列一阶方程：1.y y x y x +-='22 【C x xy x +=>ln arcsin ,0】 2.)ln (ln x y y y x -=' 【1+=Cx xe y 】3.e e y y x dxdyxy2)(,22=+= 【2ln 2+=x x y 】 4.1)0(,0)cos 2()1(2==-+-y dx x xy dy x 【11sin 2--=x x y 】5.02)(3=--ydx dy y x 【y C y x +-=351】6.ln dy y dx y x=- 7.0)2(2=+-xdy dx y xy 【Cx xy +=2】 问题3 如何求解可降阶的二阶微分方程？答 二阶微分方程(,,,)0F x y y y '''=，解出(,,)y f x y y '''=，考纲要求掌握下列三种类型可降阶方程的解法：1. ()y f x ''=、()()n y f x =型的微分方程 特点：右端仅含x . 解法：积分两次.2. (,)y f x y '''=型的微分方程 特点：右端不显含未知函数y .解法：换元，化为一阶方程求解. 步骤如下： ⑴令y p '=，则dpy p dx'''==，方程化为(,)p f x p '=（这是关于变量x ，p 的一阶方程）；⑵解出p ；⑶再由y p '=解出y . 3.(,)y f y y '''=型的微分方程 特点：右端不显含x .解法：换元，化为一阶方程求解. 步骤如下： ⑴令y p '=，则dp dp dy dp y p dx dy dx dy ''===，方程化为(,)dpp f y p dy=（这是关于变量y ，p 的一阶方程）；⑵解出p ；⑶再由y p '=解出y . 例1. 解方程20yy y '''-=.【12C x y C e =】2.求微分方程2()y x y y ''''+=满足初始条件(1)(1)1y y '==的特解.3.求初值问题221,(1)1,(1)1yy y y y ''''=+==-的解. 解 令y p '=，则dp dp dy dpy p dx dy dx dy''===， 方程化为221dp ypp dy =+，分离变量，得221pdp dy p y=+，两边积分，得 21ln(1)ln ln p y C +=+，即211p C y +=.将初始条件1,1,1x y y p '====-代入，得12C =，故212p y +=，解得p =p =.再解y '=dx =-，两边积分，得2x C =-+，将初始条件1,1x y ==代入，得22C =，2x =-，即21(45)2y x x =-+.注意 二阶可降阶方程求特解过程中，任意常数出现一个，确定一个，有利于下一步求解.问题4 叙述二阶线性微分方程解的性质、解的结构. 答 二阶线性微分方程的一般形式：()()()y P x y Q x y f x '''++= 若()0f x ≡，则称方程是齐次的，否则称方程是非齐次的. 1.线性微分方程解的性质⑴如果1y 与2y 是齐次方程()()0y P x y Q x y '''++=的两个解，则1122y C y C y =+是此齐次方程的解.⑵如果1y 与2y 是非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的两个解，则12y y -是对应齐次方程()()0y P x y Q x y '''++=的解.⑶（解的叠加原理）设*k y 是线性方程()()()k y P x y Q x y f x '''++=的特解，则*1n k k y =∑是1()()()nk k y P x y Q x y f x ='''++=∑的特解.2线性微分方程解的结构定理1（齐次方程解的结构）如果1y 与2y 是齐次方程()()0y P x y Q x y '''++=的两个线性无关的特解，则1122y C y C y =+是此齐次方程的通解.定理2（非齐次方程解的结构）设*y 是非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解，1122y C y C y =+是对应的齐次方程()()0y P x y Q x y '''++=的通解，则*1122y y C y C y =++是此非齐次方程的通解.例 设123,,y y y 是)()()(x f y x Q y x P y =+'+''的三个线性无关的解，则其通解为 .【1121231()()y C y y C y y +-+-】问题5 如何求解二阶常系数线性齐次方程0y py qy '''++=？答 先求出它的特征方程20r pr q ++=的两个根，再根据特征根的三种不同情形写出通解（见下表）.特征方程20r pr q ++=的根 方程0y py qy '''++=的通解 两个不等实根12,r r 1212e e r x r x y C C =+两个相等实根12r r = 112()e r x y C C x =+两个共轭复根1,2r i αβ=± 12e [cos sin ]x y C x C x αββ=+ 问题6 如何求二阶常系数线性非齐次方程()y py qy f x '''++=的特解？答 考纲要求会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程，由非齐次方程解的结构，只要求出它的一个特解和对应的齐次方程的通解，而齐次方程的通解已经解决，关键是求它的一个特解.1.若()()e x m f x P x λ=，则令*()e k x m y x Q x λ=，其中0,12k λλλ⎧⎪=⎨⎪⎩不是特征根；，是单特征根；，是二重特征根.2.若()e [()cos ()sin ]x m l f x P x x P x x λωω=+，则令**e [()cos ()sin ]k x n n y x Q x x Q x x λωω=+，其中{}max ,n m l =，0,1i k i λωλω+⎧=⎨+⎩不是特征根；，是单特征根.将它们代入非齐次方程，求出多项式中的待定系数，从而求出特解. 例1.求022=-'-''x e y y 满足1)0(,1)0(='=y y 的解.【x e x y 2)21(4143++=】 2.求x x y y cos +=+''的通解.【x x x x C x C y sin 21sin cos 21+++=】3.x x y y sin 12++=+''的特解形式可设为 . 问题7 如何求解欧拉方程2()x y pxy qy f x '''++=？ 答 令t x e =，则dy xy Dy dt'==， 222(1)d y dyx y D D y dt dt''=-=-，欧拉方程化为二阶常系数线性方程.例 欧拉方程)0(0242>=+'+''x y y x y x 的通解为 .【221x C x C y +=】 问题8 如何求解含变限积分的方程（积分方程）？答 积分方程通过求导可化为微分方程，这种方程通常含有初始条件（令积分上限等于积分下限）.例1.设⎰--=xdt t f t x x x f 0)()(sin )(，)(x f 为连续函数，求)(x f . 解 00()sin ()()xxf x x x f t dt tf t dt =-+⎰⎰，⑴ 两边对求导，得()cos ()()()cos ()xxf x x f t dt xf x xf x x f t dt '=--+=-⎰⎰，⑵两边再对求导，得()sin ()f x x f x ''=--，故)(x f 满足微分方程sin y y x ''+=-，由⑴，⑵得初始条件(0)0,(0)1f f '==.2.函数)(x f 在[0,)+∞上可导，(0)1f =，且满足等式01()()()01xf x f x f t dt x '+-=+⎰， 求()f x '.【e ()1xf x x -'=-+】解 由01()()()01xf x f x f t dt x '+-=+⎰，得 ()1f x '=-，(1)()(1)()()0xx f x x f x f t dt '+++-=⎰，()(1)()()(1)()()0f x x f x f x x f x f x ''''+++++-=， (1)()(2)()0x f x x f x '''+++=，令()f x p '=，(1)(2)0dpx x p dx+++=，21dp x dx p x +=-+， ln ln(1)ln p x x C =--++，即e ()1xC p f x x -'==+， 又()1f x '=-，得1C =-，故e ()1xf x x -'=-+.问题9 如何用微分方程求解应用问题？ 答 关键是建立微分方程（包括初始条件）. 例题3 应用题1.设)(x f y =是第一象限连接)0,1(),1,0(B A 的一段连续曲线，),(y x M 为该曲线上任意一点，点C 为M 在x 轴上的投影，O 为坐标原点，若梯形OCMA 的面积与曲边三角形CBM 的面积之和为3163+x ，求)(x f 的表达式.【2)1()(-=x x f 】2.设位于第一象限的曲线()y f x =过点1)22，其上任一点(,)P x y 处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分.⑴求曲线()y f x =的方程；（2221x y +=）⑵已知曲线sin y x =在[0,]π上的弧长为l ，试用l 表示()y f x =的弧长s .【4l 】 解 ⑴曲线()y f x =在点(,)P x y 处的法线方程为1()Y y X x y -=--'， 令0X = ，得x Y y y =+'，故点Q 的坐标为(0,)x y y +'. 由题设知，0xy y y ++='，即20xdx ydy +=，解得222x y C +=，将1)22代入上式，得1C =，故曲线()y f x =的方程为2221x y +=. ⑵曲线sin y x =在[0,]π上的弧长2022l πππ-===⎰⎰⎰，()y f x =的参数方程为cos ,,2x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩弧长s θ==⎰.4===⎰. 3.设)(x f 在[1,)+∞上连续，若由曲线()y f x =，直线1,(1)x x t t ==>与x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体体积为2()[()(1)]3V t t f t f π=-，求()y f x =所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件229x y ==的解.【2232x y y xy '=-；3(1)1xy x x=≥+】 4.现有一质量为9000kg 的飞机，着陆的水平速度为700km/h 经测试，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为6100.6⨯=k ），问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？【1.05km 】解 【利用22dv d sF ma m m dt dt===建立方程，关键是受力分析】质量9000kg m =，水平速度()v v t =，(0)700km/h v =，飞机所受的总阻力f kv =-，依题意dv kv mdt -=，dv k dt v m =-，两边积分，得ln ln kv t C m=-+，即ekt mv C -=，将(0)700v =代入上式，得700C =，故700ekt mv -=，飞机滑行的最长距离000700()700e e 1.05k k t t mmms v t dt dt k+∞--+∞+∞===-=⎰⎰（km ）问题10（数学三） 何谓差分、差分方程、差分方程的阶？如何求解一阶常系数线性差分方程？答 函数()t y f t =的差分1t t t y y y +∆=-.二阶差分2121()2t t t t t t t y y y y y y y +++∆=∆∆=∆-∆=-+. 差分方程：含有差分的等式. 差分方程的阶：下标差的最大值.第 58 页 求解一阶常系数线性差分方程1()t t y py f t +-=的步骤是：⑴先求对应齐次方程10t t y py +-=通解：求出特征方程0r p -=的根r p =，10t t y py +-=通解为t t y Cp =，⑵再求非齐次方程1()t t t m y py P t b +-=的特解*()k t t m y t Q t b =，0,1,b p k b p ≠⎧=⎨=⎩⑶非齐次方程1()t t t m y py P t b +-=通解为*t t t y Cp y =+，例1.设,2t y t =则差分=∆t y .【21t +】2.设t t a y =则差分=∆t y .【(1)t a a -】3.差分方程t t t t y y 21=-+的通解为 .【(2)2t t y C t =+-】4.差分方程1t t y y t +-=的通解为 .【(2)2t t y C t =+-】5.差分方程051021=-++t y y t t 的通解为 .【51(5)()126t t y C t =-+-】 6.某公司每年的工资总额在比上一年增加20％的基础上再追加2百万元，若以t W 表示第t 年的工资总额，则t W 满足的差分方程是 .【1 1.22t t W W +=+】希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、理想的路总是为有信心的人预备着。
4第四讲 微积分中存在性问题的证明方法
【证明】令 ，则 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，且
,
由罗尔中值定理知，存在 ，使得 ．即
例4设函数 在［0，1］上连续，（0，1）内可导，且
证明： （ ）．
【分析】本题的难点是构造辅助函数，
令
【证明】略
例5设函数 在［0，1］上连续，（0，1）内可导，且
【证明】因为f(x)在[0，3]上连续，所以f(x)在[0，2]上连续，且在[0，2]上必有最大值M和最小值m，于是
， ， .
故
由介值定理知，至少存在一点 ，使
因为f(c)=1=f(3由罗尔定理知，必存在 ，使
例3、设函数 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导， ，证明：在(0,1)内存在 ，使得 ．
【证明】构造辅助函数 ，由题设有F(a)=F(b)=0.又f(x),g(x)在(a,b)内具有相等的最大值,不妨设存在 , 使得
，
若 ，令 ,则
若 ，因 ，从而存在
，使
在区间 上分别利用罗尔定理知，存在 ，使得
.
再对 在区间 上应用罗尔定理，知存在 ，有
，即
例7、设函数 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导， ， .证明：
(1)在(0,1)内存在 ，使得 ．
(2)在(0,1)内存在两个不同的点 ，
【分析】第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.
【证明】（ ）令 ，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在存在 使得 ，即 .
(2)设 在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，证明存在 ，使得结论中包含 和一阶导数的等式成立，一般用中值定理。
第四讲 分部积分法
第四讲Ⅰ 授课题目（不定积分）：§5.4 分部积分法 Ⅱ 教学目的与要求：熟练掌握基本的不定积分公式，熟练掌握分部积分法。
Ⅲ 教学重点与难点：重点：分部积分法。
难点：分部积分法 Ⅳ 讲授内容： 一、分部积分法怎样计算不定积分⎰xdx x cos 呢？我们已经知道⎰+=c x xdx sin cos ，如果猜测x x x F sin )(= 是函数x x x f cos )(= 的一个反导数，是否正确呢？对函数F 按乘积法则求导 x x x x x x F cos sin )sin ()(+='='与f 不同，多出一项 x sin 。
但是，我们知道 c x dx x +-=⎰cos sin 如果给F 加上一项x cos 而变成G ，即x x x x G sin cos )(+=那么 x x x x x x x x x x G cos sin sin cos )sin (cos )(=-+='+='所以 c x x x xdx x ++=⎰sin cos cos把上面的思路对一般的函数表达出来就是：为了计算 ⎰'dx x g x f )()( 按照导数的乘积法则),()()()()]()([x g x f x g x f x g x f dx d '+'=⎰⎰⎰'+'=,)()()()()]()([dx x g x f dx x g x f x g x f dx d⎰⎰⎰'-='dx x g x f x g x f dx ddx x g x f )()()]()([)()(⎰⎰'-='dx x g x f x g x f dx x g x f )()()()()()(如果不定积分 ⎰'dx x g x f )()( 比较容易计算，那么⎰'dx x g x f )()( 就有可能算出.这种思路方法叫做分部积分法（integration by parts ）。
第四讲 常系数线性齐次微分方程
考虑方程
L[ y]
dny dxn
a1
d n1 y dxn1
L
an y 0
(4.19)
其中a1, a2 , , an为常数, 称(4.19)为n阶常系数齐线性方程.
我们知道,一阶常系数齐线性方程
dy ax 0 dx
有解 y ceax ,
受此启发,对(4.19)尝试求指数函数形式的解
y ex , (4.20)
dy 1 dy , dx x dt
把上式入原方程得
d 2 y 1 d 2 y dy
dx2
x2 ( dt2
), dt
d 2 y dy
dt 2
2 dt
y0
上述方程的通解为: y(t) (c1 c2t)et ;
故原方程的通解为:
y(x) (c1 c2 ln x )x; 这里c1, c2为任常数;
2
en x
n en x
L
e n1 nx n
1 1 1
e (1 2 L n ) x 1
2 n
n1 1
n1
2
n1 n
e(12 L n ) x
(i j ) 0
1 jin
故解组(4.22)线性无关.
若i (i 1,2, , n)均为实数,
则(4.22)是方程(4.19)的基本解组 ,从而(4.19)的通解为
把方程 (4.19 )的2k个复值解 , 换成2k个实值解.
et cos t, tet cos t, , t k1et cos t; et sin t, tet sin t, , t k1et sin t.
(3) 求方程(4.19)通解的步骤
第一步: 求(4.19)特征方程的特征根 1, 2, , k ,
数学文化—— 微积分发展简史
失矣。”
一、西方的微积分思想萌芽（极限思想）
• 欧多克索斯的穷竭法（古希腊时期） • 一个量如果减去大于其一半的量，再从余下的
量中减去大于该余量一半的量，这样一直下去， 总可使某一余下的量小于已知的任何量。
第四类问题是求行星沿轨道运动的路程、 行星矢径扫过的面积以及物体重心与引 力等，使面积、体积、曲线长、重心和 引力等微积分基本问题的计算被重新研 究。（积分）
令人惊讶的是，不同领域的问题却归结为相同 模式的数学问题：
求因变量在某一时刻对自变量的变化率 求因变量在自变量一定变化过程中的积累量。
前者导致了微分的概念；后者导致了积分的概念。 更令人惊讶的是，这二者之间竟然有着密切的联系：它 们是互逆的两种运算，这个性质是由微积分学基本定理 所体现的。从而微分学和积分学形成了一门统一的学科： 微积分学。
f(a+e)～f(a)
这里所提到的“e”就是后来微积分学当中
的“ ”x
5、巴罗的“微分三角形”
巴罗是牛顿的老师。 是英国剑桥大学第一任“ 卢卡斯数学教授”，也是 英国皇家学会的首批会员 。当巴罗发现和认识到牛 顿的杰出才能时，便于 1669年辞去了卢卡斯教授 的职位，举荐自己的学生 ——当时才27岁的牛顿来 担任。巴罗让贤，已成为 科学史上的佳话。
• 在求解圆面积时，他提出用圆内接正多边形的面 积穷竭圆面积，从而求出圆面积。之后，阿基米 德借助穷竭法解决了一系列几何图形的面积、体 积计算问题。
目录 微积分的萌芽 微积分的酝酿 微积分的创立 微积分的发展 牛顿和莱布尼茨之争
高数下第4讲：多元函数微分法(2)
=++z y x 6222=++z y x 1=x 221y x z ++=高数下第4讲：多元函数微分法(2)1.曲线的切线和法平面1.1 y 和z 都是x 的函数求曲线.1 处的切线和法平面方程在点)1,2-,1(P求曲线.2 轴正向的夹角处的切线与在点y )3,1,1(1.2 x,y,z 均用参数表达012,,.332=-++===z y x t z t y t x 切线平行于平面上求一点，使该点处的在曲线2.曲面的切平面和法线积是一个常数坐标面围成的四面体体上任一点的切平面与三求证：曲面3.4a xyz =aa a z y x 等于各坐标轴上截距之和上任何点处的切平面在求证：曲面)0(.5>=++12113262132.6222--=-=-=++z y x M z y x S 直线：过的方程，使平面处的切平面上某一点：求椭球面ππ面的夹角的余弦处的切平面与在点求椭球面xoy z y x )3,2,1(163.7222--=++λλ相切，求和椭球面平面16301633.8222=++=+-+z y x z y x0,022=+y x 0,2222≠++y x y x xy3.方向导数和梯度3.1 方向导数定义：=),(.9y x f 的方向导数方向处沿在点求l y x f +=)0,0(),(3.2 方向导数公式（注意必须在该点可微）：)0,(1)2,2(.102222>=+=b a b y a x b a P xy z 方向导数在此点的内法线方向的处沿曲线在点求函数3.3 梯度：及梯度数处外法线方向的方向导在点沿球面求函数),,(1.110000222z y x M z y x z y x u =++++=4.最值和极值4.1 极值存在的充分条件：C y x f B y x f A y x f y x f y x f yy xy xx y x =====),(,),(,),(,0),(,0),(0000000000，函数在该点取极大值；，函数在该点取极小值0,00,022<<-><-A AC B A AC B ，函数在该点不取极值02>-AC B）的极值，（求2020)cos(cos sin .12ππ≤≤≤≤-++=y x y x y x z的极值所确定的隐函数求由方程),(10422.13222y x z z z y x z y x ==-+-++4.2 极值存在的必要条件：=-+++=a y xy ax x y x f 处取得极值，则在点函数)1,1(22),(.14225.拉格朗日乘数法上的最大值和最小值在有界闭区域求函数122),(.152222≤+-++=y x x xy y x y x f2222=-+z y x 53=++z y x ：已知曲线C .16 点平面最远的点和最近的上距离求xoy C和最短距离到这个椭圆的最长截成一个椭圆，求原点被平面抛物面1.1722=+++=z y x y x z之间的最短距离与椭圆求直线144.1822=+=+y x y x方体的球且有最大体积的长求内接于半径为a .19=++C By Ax 12222=+b y a x 的极值满足求函数)0,0,0(1)1)(1)(1(.20>>>=---=z y x z y x xyz u积最小如何选择尺寸使其表面的长方体无盖水池，应要建造一个容积为4.21附：求椭圆 的面积。
高等数学：第四讲 微分的近似计算
时，有
y dy
f (x0 x) f (x0 ) f (x0 ) x f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 )x
近似计算公式
03.近似计算举例
例1 计算sin 31 的近似值(保留到小数点后三位).
解
设 f (x) sin x, 则 f (x) cos x,
x0 30
多少克（铜的密度为8.9g/cm3）.
解
球的体积公式
V
4 πr3, 3
则
V 4πr2 ,
r 1cm, r 0.01cm
V dV V r 4π 12 0.01 0.13
因此每只球需要铜大约：
m 8.9g / cm3 0.13cm3 1.16g.
04.常用的近似计算公式
由近似公式 f (x0 x) f (x0 ) f (x0 ) x , 特别地， 取 x0 0, x x ( x 很小), 得到一些工程上常用的近似 计算公式:
即：sin x x.
谢谢
微分的近似 计算
目录
01
引例
02 近似计算的原理
03
近似计算举例
04 常用的近似计算公式
01.引例
计算sin 31 的近似值(保留到小数点后三位).
sin 30 0.5 sin 31 0.5??
02.近似计算的原理
设函数 y f (x)可微，且在x0 有 f (x0) 0 ，当改变量 | x |很小
π, 6
Hale Waihona Puke x 1 π , 180f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 )x
sin 31 sin π cos π π 6 6 180
0.5 3 3.1416 2 180
第4讲 定积分的概念与微积分基本定理 (2)word精品文档5页
第4讲 定积分的概念与微积分基本定理【2019年高考会这样考】1．考查定积分的概念，定积分的几何意义，微积分基本定理．2．利用定积分求曲边形面积、变力做功、变速运动的质点的运动路程．【复习指导】定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等．基础梳理1．定积分(1)定积分的定义及相关概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…x i －1<x i <…＜x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式i ＝1n f (ξi )Δx ＝∑i ＝1nb －a n f (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛ab f (x )d x . 在⎠⎛ab f (x )d x 中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．(2)定积分的性质①⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛a b f (x )d x (k 为常数)． ②⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛a b f 2(x )d x . ③⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c <b )． 2．微积分基本定理如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼兹公式．3．定积分的应用(1)定积分与曲边梯形的面积定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积．这要结合具体图形来定：一种思想定积分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”的步骤解决“无限”过程的问题，其方法是“分割求近似，求和取极限”，利用这种方法可推导球的表面积和体积公式等．恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始以及微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就． 三条性质 (1)常数可提到积分号外； (2)和差的积分等于积分的和差； (3)积分可分段进行．一个公式由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算．双基自测2．(2019·湖南)由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )．A.12 B ．1 C.32 D. 3解析 S ＝∫π3－π3cos x d x ＝2∫π30cos x d x ＝ |2sin x π30＝ 3. 答案 D 4．如图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )．双基自测1．(2011·福建)⎠⎜⎜⎛01(e x ＋2x )d x 等于( )． A ．1 B ．e －1 C ．e D ．e ＋1解析 ⎠⎜⎜⎛01(e x ＋2x )d x ＝ ⎪⎪⎪(e x ＋x 2)10＝(e ＋1)－1＝e.答案 C3．(2011·山东)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为 ( )． A.112 B.14 C.13 D.712解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 3，得交点坐标为(0,0)，(1,1)，因此所求图形面积为S ＝⎠⎜⎜⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－14x 410＝112. 答案 AA.1πB.2πC.π4D.3π考向一 定积分的计算【例1】 计算下列积分当原函数较难求时，可考虑由其几何意义解得．考向二 利用定积分求面积【例2】 求下图中阴影部分的面积．[审题视点] 观察图象要仔细，求出积分上下限，找准被积函数． 解 解方程组⎩⎨⎧ y ＝x －4，y 2＝x ， 得⎩⎨⎧ x ＝2y ＝－2，或⎩⎨⎧x ＝8y ＝4S 阴影＝⎠⎛082x d x －8＋⎠⎛02|－2x |d x ＋2 ＝2 ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3280＋2 ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3220－6＝18. 求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤(1)画出图形，确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标．定出积分的上、下限；(2)确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置；(3)写出平面图形面积的定积分的表达式；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．【训练2】 求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解 由⎩⎨⎧ y ＝x ，y ＝2－x ，得交点A (1,1)； 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x y ＝－13x 得交点B (3，－1)． 故所求面积S ＝⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x ＋13x d x 解析 阴影部分的面积S ＝⎪⎪⎪⎠⎜⎜⎛0πsin x d x ＝－cos x π0＝－(－1－1)＝2，矩形的面积为2π. 概率P ＝阴影部分的面积矩形面积＝22π＝1π.故应选A. 答案 A＝ ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32＋16x 210＋ ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －13x 231＝23＋16＋43＝136.考向三 定积分的应用【例3】 一质点在直线上从时刻t ＝0(s)开始以速度v ＝t 2－4t ＋3(m/s)运动．求：(1)在t ＝4 s 的位置；(2)在t ＝4 s 内运动的路程．[审题视点] 理解函数积分后的实际意义，确定被积函数．解 (1)在时刻t ＝4时该点的位置为⎠⎛04(t 2－4t ＋3)d t ＝ ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2＋3t 40＝43(m)， 即在t ＝4 s 时刻该质点距出发点43 m.(2)因为v (t )＝t 2－4t ＋3＝(t －1)(t －3)，所以在区间[0,1]及[3,4]上的v (t )≥0， 在区间[1,3]上，v (t )≤0，所以t ＝4 s 时的路程为S ＝⎠⎛01(t 2－4t ＋3)d t ＋|⎠⎛13(t 2－4t ＋3)d t |＋⎠⎛34(t 2－4t ＋3)d t ＝ ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2＋3t 10＋|⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2＋3t 31|＋ ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2＋3t 43＝43＋43＋43＝4 (m)， 即质点在4s 内运动的路程为4 m.由s ＝v 0t ＋12at 2通过求导可推出v ＝v 0＋at ，反之根据积分的几何意义，由v ＝v (t )(v (t )≥0)可求出t ∈[a ，b ]时间段内所经过的路程．【训练3】 已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶，甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( )．A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面B ．t 1时刻后，甲车在乙车后面C ．在t 0时刻，两车的位置相同D．t0时刻后，乙车在甲车前面解析可观察出曲线v甲，直线t＝t1与t轴围成的面积大于曲线v乙，直线t＝t1与t轴围成的面积，故选A.答案 A难点突破8——积分的综合应用定积分的考查在试卷中不是必然出现的，一般以选择题或填空题的形式出现，试题难度不大，在近两年的高考中，考查的一般是定积分的计算和定积分在求曲边图形面积中的应用等，如2019年福建卷，陕西卷考查的是定积分的计算，新课标全国卷、湖南卷、山东卷考查的是定积分求曲边形的面积．一、积分的几何意义－r r2－x2d x＝________.【示例】►已知r>0，则⎠⎛r二、积分与概率【示例】►(2019·陕西)从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为__________．。
偏导数概念——精选推荐
高数Ⅱ第四讲 微积分一、导数、偏导数概念：n 元函数可微的定义：),,,(21n x x x f |)(|0)(),,,(00100201x x x x a x x x f i i ni i n-+-=-∑= 连续，偏导存在及可微的关系。
eg1 证明3||)(x x f =于0=x 处三阶导数不存在。
pf ：即证：xf x f )0()(''-''在0→x 时发散。
3)(sgn )(x x x f ⋅=0≠x 时，x x x f sgn 3)(2⋅='，0)0(='f（)(x f '在0=x 处连续）0)0(,sgn 6)(=''⋅=''f x x x f⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==⋅=''-''→→→0,60,00,6(sgn 6lim sgn 6lim )0)(lim 000x x x x x x x x f x f x x x 此极限不存在。
)(x f ∴于0=x 处三阶导不存在。
（)(x f 于0≠x 处三阶导存在）。
会根据定义证明导数存在否。
eg2 证明⎪⎩⎪⎨⎧∈>-==Q x q q p q p x q x f ,00,1),(,1)(且 析：其它义域为IR ，故须证其在IR 内每一点都不可导。
与Dirichlet 函数⎪⎩⎪⎨⎧∈∈=Qx Q x x f ,0,1)(类似不具连续性：若Q x ∈，取Q x X x n n ∈→,，则（0)(≡n x f ）0)(→n x f ，但1)(=x f ，∴必不可导。
pf ：①若Q x ∈0，考察)(x f 在0x 处是否可微，先后是否连续： 取{}Q x x x x n n n ∈→,,0，则0)(≡n x f 0)(lim =∞→n x x f ，但0)(0≠x f∴于0x 处不连续⇒不可导。
②Q x ∈0000)(lim )(((lim 00x x x f x x x f x f n n x x n n x x n n -=--→→⎪⎩⎪⎨⎧∈=,,0Qx n （若取Q x n ∈时，对任一有理数n x ，必可找到有理数列n x →一分母无限大，即0)(→n x f ，行不通！）设,,,,,,,,,,,21210 n n k x αααααα=中至少有一个0≠设N 为第一个非0的i α的下标，即 N k x α0,00,0=，令n n k x αα ,,1=，则nn x f 101)(≥。
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3 , 2 ( x ln xy), x y
2、求f ( x, y ) 4( x y ) x 2 y 2
的极值.
3、将 cos x展开成( x 级数直到 10次. 3 )的Taylor
积分
求积分的MATLAB命令
trapz 梯形法积分； quad 变步长数值积分； quad8 高精度数值积分。 1. 梯形积分法 dblquad 矩形区域积分； int 符号积分；
1990
11.43
2000
12.67
例2 教堂顶部曲面面积 某阿拉伯国家有一座著名巨大拱形圆顶的伊斯 兰教堂，年久失修，国王下令将教堂顶部重 新贴金箔装饰。据记载，大厅的顶部形状为 半球面，其半径为30m。考虑到可能的损耗和 其他技术因素，实际用量将会比教堂顶部面 积多1.55%。据此，国王的财政大臣拨出了可 制造 5800m 2 有规定厚度金箔的黄金。建筑商 人哈桑略通数学，他计算了一下，觉得黄金 会有盈余。于是，他以较低的承包价得到了 这项装饰工程。但在施工前的测量中，工程 师发现教堂顶部实际上并非是一个精确的半 球面而是半椭球面，其半立轴恰是30m，而半 长轴和半短轴分别是 30.6m 和 29.6m 。这一来 哈桑犯了愁，他担心黄金是否还有盈余？甚 至可能短缺。最后的结果究竟如何呢？
A=trapz(r,W');
A=vpa(A,4); z(j)=double(A(:,1));%注意double j=j+1; end A(1,1)=0;z
练习2
1、计算 : ln( 1 x )dx, 2 1 sin 2 x dx,
2 0
2 2、计算反常积分： ln sin xdx.
例1模型： 若记时刻t的人口为x(t)，则人口（相对） 增长率为
dx r (t ) dt x (t )
,5)
用
rk (k 0,
xk 1 xk 1 , k 1, 用中心差商公式计算，rk 20 xk
3. 解析运算
limit(s,x,a) 表达式 s当xa时的极限。 symsum(s,n,a,b) 表达式 s的通项当自变量 n由a到b的和。 diff(s,x,n) 表达式 s对x的n阶导数。 taylor(s,n,a) 表达式 s在a点Taylor展开到n 次式。
例１
ans =
sinx在０点展开到６次。
2. 函数极值
x=fmin(‘fun’,a,b) 求y=f(x)在[a,b]内的局部 极小值，fun 可直接用字符串，也可用M函数 名，采用黄金分割和抛物线插值法； X=fmins(‘fun’,x0) 求多元函数y=f(x)在x0 出发的局部极小值，x,x0为向量。用NelderMead 单纯形搜索法。
例1 人口增长率 中国人口统计数据如下(数据来源：国家 统计局《 2003 年中国人口统计数据年 鉴》，中国人口与发展研究中心整理)。 1、试计算这些年份的人口增长率； 2、预测未来若干年的人口数据。 表1 中国人口统计数据
年份
人口（亿）
1950
5.52
1960
6.62
1970
8.29
1980
9.87
4. 符号积分
int(s) 符号表达式s的不定积分；
int(s,v)符号表达式s关于变量v的不定积分; int(s,a,b)符号表达式s的定积分,a,b为下上限； int(s,v,a,b)符号表达式s关于变量v从a到b的定积分。
例3
(e
x
sin x)dx
, (e sin x)dx
(1.1) (1.2) (1.3)
二阶导数公式
f ( a h) 2 f ( a ) f ( a h) f ' ' (a) 2 h
求极限、导数和极值的 MATLAB命令
limit 符号求极限； taylor 符号Taylor展开； symsum符号级数求和； polyder 多项式求导； diff 数值微分或符号微分；fmin一元函数极值； gradient 数值梯度； fmins 多元函数极值。
I=trapz(x,G);
例2
1 x dxdy 1 2 2 x y 1
2 1
1 x 2 1 x 2
1 x dy dx
2
解 先作三个M文件 %M文件eg2_2fun.m function z=eg2_2fun(x,y); z=sqrt(1-x^2)*ones(size(y));
x 0
1
>> syms x;t1=int(exp(-x)+sin(x)) t1 =
-exp(-x)-cos(x)
>> t2=int(exp(-x)+sin(x),0,1) t2 = -exp(-1)-cos(1)+2 >> t2=vpa(t2)
t2 =
1.0918
当int 求不出符号解，会自动转求数值解。例
exp(x)
>> symsum((-1)^n*x^n/n,n,1,inf) ans = -log(1+x) >> diff(sin(x*y),x,2) ans = -sin(x*y)*y^2
练习1：
1 1、计算lim (1 1 2 n ln n ), nx n n 1 n 1
1
1
e
x2
dx
先写M函数：eg2_1fun.m function y=eg2_1fun(x) y=exp(-x.^2); 然后在命令窗口用
>> z=quad8('eg2_1fun',-1,1)
z=
1.4936
3. 重积分
(1) dblquad只能求矩形区域二重积分。
z=dblquad(‘Fun’,a,b,c,d) Fun—被积函数f的M函数名。 a,b—x的下上限；c,d—y的下上限。
1.数值求导
dy=diff(x) 向量x的差其中x与F是同 维向量。 [Fx,Fy]=gradient(F,x,y);即二元函数数值梯度 （F’x,F’y)，F为m×n矩阵时，x,y 分别是n 维和 m维向量。
例 x=[1, 1.1 ,1.2 ,1.3], y = x3
>> t3=int(exp(-x^sin(x)),0,1) Warning: Explicit integral could not be found. > In D:\MATLAB6P5\toolbox\symbolic\@sym\int.m at line 58 t3 = int(exp(-x^sin(x)),x = 0 .. 1) %说明无法求解析解 >> t3=vpa(t3,5)
0
2 2 3、计算二重积分： ( x y ) d , D
其中D {( x, y ) 0 y sin x,0 x } z ln(x 2 y 2 z 2 ) 4、计算： dv 2 2 2 x y z {( x, y, z ) x 2 y 2 z 2 1}
第四讲、微分、积分程序
求极限、导数和极值 级数求和、Taylor展开
f ( x h) f ( x ) f ( x) lim h 0 h
微分、数值微分
• 若f(x)在x=a可导，设h>0且足够小，向 前差商、向后差商、中心差商分别为
f ( a h) f ( a ) f ' (a) h f ( a ) f ( a h) f ' (a) h f ( a h) f ( a h) f ' (a) 2h
例 f(x,y)=5-x5-y4+4xy在原点附近的极大值。
>> fun='x(1)^4+x(2)^4-4*x(1)*x(2)-5'; >> x=fmins(fun,[0 0]), f=-eval(fun) x= 1.0000 f= 7.0000 1.0000
注：用fmins命令时，若把函数直接写在算式中， 自变量必须用x(1),x(2),….
z=trapz(x,y) x是积分区间的离散向量；y是被 积函数（与x同维）；z返回积分的近似值
例1
1
1
e
x2
dx
>> clear;x=-1:0.1:1; >> y=exp(-x.^2); >> trapz(x,y)
ans =
1.4924
2. 变步长数值积分
z=quad8(‘Fun’,A,B,Tol) Fun—被积函数的M函数名； A,B—下限，上限； Tol—精度，缺省值为1e-4. 例
1/2*exp(-1)*cos(1)+1/2*exp(-1)*sin(1)
>> vpa(ans,5) ans =
.25417
注意
积分可能改变数值数组的存储方式。 MATLAB数值数组变量均以double方式，积分之后可 能出现sym方式：例
W=linspace(0.8,1,41);j=2;t=linspace(0,1,41); for k=1:length(W')-1 r=linspace(0,t(j),length(W'));
>> clear;x=[1 1.1 1.2 1.3];y=x.^3; >> dy=diff(y)./diff(x) dy = 3.3100 3.9700 4.6900 得到 y’(1),y’(1.1)和y’(1.2)的近似值（向前差商）。 若用梯度(中心差商）求解 >> dy=gradient(y,x) dy = 3.3100 3.6400 4.3300 4.6900 得到 y’(1),y’(1.1),y’(1.2)和y’(1.3)的近似值.第一 和最后一个数据分别用前、后差商代替。误差较小： >> 3*x.^2 ans = 3.0000 3.6300 4.3200 5.0700