高三数学等差等比数列1
2020版高三数学二轮复习(全国理)讲义：专题四 第一讲等差数列、等比数列
(2)求Sn.并求Sn的最小值．
[解析](1)设等差数列{an}的公差为d.由题意得3a1＋3d＝－15.
由a1＝－7得d＝2.
所以{an}的通项公式为an＝2n－9.
(2)由(1)得Sn＝n2－8n＝(n－4)2－16.
所以当n＝4时.Sn取得最小值.最小值为－16.
例1 (1)已知等比数列{an}的前n项和为Sn.a1＋a3＝30.S4＝120.设bn＝1＋log3an.那么数列{bn}的前15项和为( B )
6．(20xx·全国卷Ⅰ.14)记Sn为数列 的前n项和．若Sn＝2an＋1.则S6＝－63..
[解析]依题意. 作差得an＋1＝2an.
所以数列{an}是公比为2的等比数列.
又因为a1＝S1＝2a1＋1.
所以a1＝－1.所以an＝－2n－1.
所以S6＝ ＝－63.
7．(20xx·全国卷Ⅱ.16)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知a1＝－7.S3＝－15.
A．1B．2
C．4D．8
[解析]设{an}的公差为d.则由
得
解得d＝4.
故选C．
4．(20xx·全国卷Ⅲ.9)等差数列{an}的首项为1.公差不为0.若a2.a3.a6成等比数列.则{an}的前6项和为( A )
A．－24B．－3
C．3D．8
[解析]由已知条件可得a1＝1.d≠0.
由a ＝a2a6可得(1＋2d)2＝(1＋d)(1＋5d).
(3)注意整体思想.如在与等比数列前n项和有关的计算中.两式相除就是常用的计算方法.整体运算可以有效简化运算．
G
1．(20xx·邵阳模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知a2a3＝2a1.且a4与2a7的等差中项为 .则S5＝( B )
高三数学第一轮总复习课件： 等差、等比数列
Sn
a1 an n na
2
q 1 na1 等比数列前n项和 S n a1 1 q n q 1 1 q n 1 S1 2.如果某个数列前n项和为Sn，则 an S n S n1 n 2
nn 1 d 1 2
3.下列命题中正确的是( B
)
A.数列{an}的前n项和是Sn=n2+2n-1，则{an}为等差数列 B. 数列 {an} 的前 n 项和是 Sn=3n-c，则 c=1 是 { an} 为等比数列的 充要条件 C.数列既是等差数列，又是等比数列
D.等比数列{an}是递增数列，则公比q大于1
4. 等差数列 { an} 中， a1＞0，且 3 a8=5a13，则 Sn 中最大的是 C ( ) (A)S10 (B)S11 (C)S20 (D)S21
(2n-1)an，当{an}为等比数列时其结论可类似推导得出．
4. 已知数列 { an} 的前 n 项和 Sn=32n-n2，求数列 { |an|} 的前 n 项 Sn 和S’n ．
【解题回顾】
：当ak≥0 一般地，数列{an}与数列{|an|}的前n项和Sn与 S n
时，有 S n ak＜0时， S n S(n k =1，2，…，n).若在 S；当 n
高三数学第一轮总复习四：等差、等比数列
等差、等比数列的通项及求和公式 等差、等比数列的运用
等差、等比数列的应用 数列的通项与求和
第1课时 等差、等比数列的通项及求 和公式
• • • •
要点·疑点·考点 课 前 热 身 能力·思维·方法 延伸·拓展
•误 解 分 析
要点·疑点·考点
1.等差数列前n项和
a1，a2,…，an中，有一些项不小于零，而其余各项均小于零， 设其和分别为S+、S-，则有Sn=S++S-，所以
第1讲 等差数列与等比数列
所以 q=- 1 ,所以 S4=S3+a4= 3 - 1 = 5 .
2
4 88
答案: 5 8
4.(2019·全国Ⅰ卷)记
Sn
为等比数列{an}的前
n
项和.若
a1=
1 3
,
a42
=a6,则
S5=
.
解析:设等比数列{an}的公比为 q,由 a42 =a6 可得 a12 q6=a1q5,解得 a1q=1,
则 S9= 9a1 a9 = 9 4 =18.故选 A.
2
2
(2)(2019·南昌期中)已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 a2019 >-1 且 Sn 有最小 a2020
方法技巧
解等差数列、等比数列基本运算问题的基本思想是方程思想,即通过等差数列、 等比数列的通项公式及前n项和公式得出基本量(等差数列的首项和公差、等 比数列的首项和公比),然后再通过相关公式求得结果.
热点训练1:(1)(2019·湖南省长望浏宁四县高三3月调研)中国古代词中,有一 道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子做盘缠,次第每人多 十七,要将第八数来言”.题意是:把996斤绵分给8个儿子做盘缠,按照年龄从 大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多17斤绵,那么第8个儿子分到的 绵是( ) (A)174斤 (B)184斤 (C)191斤 (D)201斤
(1)证明:由题设得 4(an+1+bn+1)=2(an+bn),则 an+1+bn+1= 1 (an+bn). 2
又因为 a1+b1=1,所以{an+bn}是首项为 1,公比为 1 的等比数列. 2
高三数学等差和等比数列的通项及求和公式
4.等比数列{an}前n项的乘积为Tn，若Tn=1，T2n=2，则T3n的 值为( D )
(A)3
(B)4
(C)7
(D)8
5.在等差数列{an}中，a2+a4=p，a3+a5=则其前6项的和S6 为( B )
(A) 5 (p+q)/4 (B) 3(p+q)/2 (C) p+q
(D) 2(p+q)
要点·疑点·考点
1.等差数列前n项和 等比数列前n项和
2.如果某个数列前n项和为Sn，则 3.在等差(比)数列中，Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…，Skn-S(k-1)n… 成等差(比)数列.其中Sn为前n项的和.
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3.设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和.若{Sn}是 等差数列，则q=__1_
返回
能力·思维·方法
1.设数列{an}的前n项和为Sn=2n2+3n+2，求通项an的表达式， 并指出此数列是否为等差数列.
【解题回顾】公式
给出了数列的项
与和之间的关系，很重要.在利用这个关系时必须注意： (1)公式对任何数列都适用；
(2)n＝1的情形要单独讨论.
•
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高三数学等差等比数列综合运用
1 n ( a 2 a 2 n ) 1 n (1 4 n 3) 2n 1 , n n 2 2
bn 1 bn
2( n 1) 1 (2 n 1)
2 . b n 是等差数列.
作业: 《全案》 P
速度训练: 1.已知等差数列｛an｝,｛bn｝前 n 项和分别是 Sn、Tn， a1 1 Sn 2n 若 ，则 等于（ C ） b1 1 Tn 3n 1 (A)
a n 是等差数列,记其前 n 项
和 为 S n , 若 a1 8 , 且 a 8 2 0 , 则
S
15
300 _________.
三、数列与其他数学分支的综合问题
数列的综合问题，是数列的概 念、性质在其他知识领域的穿插与 渗透。数列与函数、方程、三角、 不等式等知识相互联系，优化组合， 无形中加大了综合力度。
an
联系
差数列； ⑵
a n 为等差数列 b 为等比数列.
注:等差、等比数列的证明须用定义证明 .
二、等比数列与等差数列的综合计算问题 数列计算是本章的中心内容，利用等差数 列和等比数列的通项公式、前项和公式及其性 质熟练地进行计算，是高考命题重点考查的内 容.
例如:已知
a n S n S n 1 ( n 2 n )
2 2 ( n 1)
2( n 1) 2 n 3 ,
∴ a n 2 n 3 ,即 a n 是首项为 1 ,公差为 2
1 的等差数列.∴ b n ( a 2 a 4 a 2 n ) n
11 17
73
训练 3 、 预测 1
专题二 第2讲 第1课时 等差数列、等比数列
[A 组 小题提速练]1．(等差数列求和及性质)在等差数列{a n }中，a n >0，且a 1＋a 2＋…＋a 10＝30，则a 5·a 6的最大值等于( ) A ．3 B ．6 C ．9D ．36解析：∵a 1＋a 2＋…＋a 10＝30， 得a 5＋a 6＝305＝6，又a n >0， ∴a 5·a 6≤⎝⎛⎭⎪⎫a 5＋a 622＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝9. 答案：C2．(等差数列求和及不等式)设等差数列{a n }满足a 2＝7，a 4＝3，S n 是数列{a n }的前n 项和，则使得S n ＞0的最大的自然数n 是( ) A ．9 B ．10 C ．11D ．12解析：∵{a n }的公差d ＝3－74－2＝－2，∴{a n }的通项为a n ＝7－2(n －2)＝－2n ＋11，∴{a n }是递减数列，且a 5＞0＞a 6，a 5＋a 6＝0，于是S 9＝9a 5＞0，S 10＝a 5＋a 62·10＝0，S 11＝11a 6＜0，故选A. 答案：A3．(等差数列求和)设数列{a n }是等差数列，且a 2＝－6，a 6＝6，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( ) A ．S 4＜S 3 B ．S 4＝S 3 C ．S 4＞S 1D ．S 4＝S 1解析：设{a n }的公差为d ，由a 2＝－6，a 6＝6，得⎩⎨⎧a 1＋d ＝－6，a 1＋5d ＝6，解得⎩⎨⎧a 1＝－9，d ＝3.于是，S 1＝－9，S 3＝3×(－9)＋3×22×3＝－18，S 4＝4×(－9)＋4×32×3＝－18，所以S 4＝S 3，S 4＜S 1，故选B. 答案：B4．(等差数列求和及最值)在等差数列{a n }中，a 6＋a 11＝0，且公差d ＞0，则数列{a n }的前n 项和取最小值时n 的值为( ) A ．6 B ．7 C ．8D ．9解析：由题意知a 6＜0，a 11＞0，且a 1＋5d ＋a 1＋10d ＝0，所以a 1＝－152d .又数列{a n }的前n 项和S n ＝na 1＋n n －12d ＝d2[(n －8)2－64]，所以当n ＝8时，数列{a n }的前n 项和取得最小值．故选C. 答案：C5．(数学文化与等比数列求和)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：三百七十八里关，初行健步并不难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，欲问每朝行里数，请公仔细算相还．其大意为：有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起因为脚痛每天走的路程都为前一天的一半，走了6天后到达目的地，问此人每天走多少里路．则此人第五天走的路程为( ) A ．48里 B ．24里 C ．12里D ．6里解析：依题意知，此人每天走的路程数构成以12为公比的等比数列a 1，a 2，…，a 6，由S6＝a1⎝⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378，解得a1＝192，所以此人第五天走的路程为a5＝192×124＝12(里)．故选C.答案：C6．(等比数列性质及基本不等式)已知首项与公比相等的等比数列{a n}满足a m a2n＝a2 4(m，n∈N*)，则2m＋1n的最小值为( )A．1 B．3 2C．2 D.9 2解析：设该数列的首项及公比为a，则由题可得a m×a2n＝a4×2，即a m×a2n＝a m＋2n＝a4×2，得m＋2n＝8，所以2m＋1n＝18(m＋2n)·⎝⎛⎭⎪⎫2m＋1n＝182＋2＋4nm＋mn≥182＋2＋24nm×mn＝1，当且仅当4nm＝mn，即m＝4，n＝2时等号成立，故选A.答案：A7．(等比数列前n项和)在等比数列{a n}中，a1＋a n＝34，a2·a n－1＝64，且前n 项和S n＝62，则项数n等于( )A．4 B．5C．6 D．7解析：设等比数列{a n}的公比为q，由a2a n－1＝a1a n＝64，又a1＋a n＝34，解得a1＝2，a n＝32或a1＝32，a n＝2.当a1＝2，a n＝32时，S n＝a11－q n1－q＝a1－a n q1－q＝2－32q1－q＝62，解得q＝2.又a n＝a1q n－1，所以2×2n－1＝2n＝32，解得n＝5.同理，当a1＝32，a n＝2时，由S n＝62，解得q＝12.由a n＝a1q n－1＝32×⎝⎛⎭⎪⎫12n－1＝2，得⎝⎛⎭⎪⎫12n－1＝116＝⎝⎛⎭⎪⎫124，即n－1＝4，n＝5.综上，项数n等于5，故选B.答案：B8．(等差数列前n 项和性质)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 015，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 016的值等于( ) A ．－2 015 B ．2 015 C ．2 016D ．0解析：设数列{a n }的公差为d ，S 12＝12a 1＋12×112d ，S 10＝10a 1＋10×92d ， 所以S 1212＝12a 1＋12×112d 12＝a 1＋112d .S 1010＝a 1＋92d ，所以S 1212－S 1010＝d ＝2， 所以S 2 016＝2 016×a 1＋2 015×2 0162d ＝0.答案：D9．(等比数列前n 项和性质)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则数列{na n }的前n 项和为( ) A ．－3＋(n ＋1)×2n B ．3＋(n ＋1)×2n C ．1＋(n ＋1)×2nD ．1＋(n －1)×2n解析：设等比数列{a n }的公比为q ，∵S 3＝7，S 6＝63，∴q ≠1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 11－q 31－q ＝7，a 11－q 61－q ＝63，解得⎩⎨⎧a 1＝1，q ＝2，∴a n ＝2n －1，∴na n ＝n ·2n －1，设数列{na n }的前n 项和为T n ，∴T n ＝1＋2×2＋3×22＋4×23＋…＋(n －1)·2n －2＋n ·2n －1,2T n ＝2＋2×22＋3×23＋4×24＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n ，∴－T n ＝1＋2＋22＋23＋…＋2n －1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n ＝(1－n )2n －1，∴T n ＝1＋(n －1)×2n ，故选D. 答案：D10．(递推关系、通项及性质)已知数列{a n }满足a 1＝2,2a n a n ＋1＝a 2n ＋1，设b n ＝a n －1a n ＋1，则数列{b n }是( ) A ．常数列 B ．摆动数列 C ．递增数列D ．递减数列解析：由2a n a n ＋1＝a 2n ＋1可得a n ＋1＝a 2n ＋12a n ，b n ＋1＝a n ＋1－1a n ＋1＋1＝a 2n ＋12a n －1a 2n ＋12a n＋1＝a 2n －2a n ＋1a 2n ＋2a n ＋1＝a n －12a n ＋12＝b 2n ，由b n ＞0且b n ≠1，对b n ＋1＝b 2n 两边取以10为底的对数，可得lgb n ＋1＝2lg b n ，所以数列{lg b n }是以lg b 1＝lg 2－12＋1＝lg 13为首项，2为公比的等比数列，所以lg b n ＝2n －1lg 13，b n ＝(13)2n －1，故数列{b n }是递减数列，故选D. 答案：D11．(等比数列、等差数列混合及性质)已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若a 1·a 6·a 11＝33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，则tan b 3＋b 91－a 4·a 8的值是( )A ．1B ．22C ．－22D ．－ 3解析：{a n }是等比数列，{b n }是等差数列，且a 1·a 6·a 11＝33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，∴a 36＝(3)3,3b 6＝7π，∴a 6＝3，b 6＝7π3， ∴tan b 3＋b 91－a 4·a 8＝tan 2b 61－a 26＝tan2×7π31－32＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π－π3＝－tan π3＝－ 3.答案：D12．(等差数列性质，等比数列通项)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________.解析：由3S 1,2S 2，S 3成等差数列，得4S 2＝3S 1＋S 3，即3S 2－3S 1＝S 3－S 2，则3a 2＝a 3，得公比q ＝3，所以a n ＝a 1q n －1＝3n －1. 答案：3n －113．(S n 与a n 关系及等差数列通项)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝3S n ，n ∈N *，则a n ＝________. 解析：当n ＝1时，a 2＝3S 1＝3a 1＝3. 当n ≥2时，∵a n ＋1＝3S n ，∴a n ＝3S n －1，两式相减得a n ＋1－a n ＝3(S n －S n －1)＝3a n ，即a n ＋1＝4a n ，当n ≥2时，{a n }是以3为首项，4为公比的等比数列，得a n ＝3×4n －2.综上，a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，3×4n －2，n ≥2.答案：⎩⎨⎧1，n ＝1，3×4n －2，n ≥2.14．(等差数列通项)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，当x <0时，f (x )>1，且对任意的实数x ，y ∈R ，等式f (x )f (y )＝f (x ＋y )恒成立．若数列{a n }满足a 1＝f (0)，且f (a n ＋1)＝1f－2－a n(n ∈N *)，则a 2 016的值为________．解析：根据题意，不妨设f (x )＝(12)x，则a 1＝f (0)＝1，∵f (a n ＋1)＝1f－2－a n，∴a n ＋1＝a n ＋2，∴数列{a n }是以1为首项、2为公差的等差数列，∴a n ＝2n －1，∴a 2 016＝4 031. 答案：4 03115．(等差数列及性质、不等式)已知数列{a n }满足a 2＝2a 1＝2，na n ＋2是(2n ＋4)a n ，λ(2n 2＋4n )的等差中项，若{a n }为单调递增数列，则实数λ的取值范围为________．解析：因为na n ＋2是(2n ＋4)a n ，λ(2n 2＋4n )的等差中项，所以2na n ＋2＝(2n ＋4)a n ＋λ(2n 2＋4n )，即na n ＋2－(n ＋2)a n ＝λ(n 2＋2n )，所以a n ＋2n ＋2－a nn ＝λ.设b n ＝a nn，则b n ＋2－b n ＝λ，因为a 1＝1，a 2＝2，所以b 1＝b 2＝1. 所以当n 为奇数时，b n ＝1＋n －12λ；当n 为偶数时，b n ＝1＋n －22λ.所以a n＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＋n n －1λ2，n 为奇数，n ＋n n －2λ2，n 为偶数.由数列{a n }为单调递增数列，得a n ＜a n ＋1. ①当n 为奇数且n ＞1时，n ＋n n －1λ2＜n ＋1＋n ＋1n ＋1－2λ2，所以λ＞21－n， 又－1≤21－n＜0，所以λ≥0； ②当n 为偶数时，2n ＋nn －2λ2＜2n ＋1＋n ＋1n ＋1－1λ2，所以λ＞－23n ，又－13≤－23n＜0，所以λ≥0. 综上，实数λ的取值范围为[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞)[B 组 大题规范练]1．(S n 与a n 的关系，等比数列的证明)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －3n (n ∈N *)． (1)求a 1，a 2，a 3的值；(2)设b n ＝a n ＋3，证明数列{b n }为等比数列，并求a n . 解析：(1)因为数列{a n }的前n 项和为S n ， 且S n ＝2a n －3n (n ∈N *)．所以n ＝1时，由a 1＝S 1＝2a 1－3×1，解得a 1＝3，n ＝2时，由S 2＝2a 2－3×2，得a 2＝9， n ＝3时，由S 3＝2a 3－3×3，得a 3＝21.(2)证明：因为S n ＝2a n －3×n ，所以S n ＋1＝2a n ＋1－3×(n ＋1)， 两式相减，得a n ＋1＝2a n ＋3，*把b n ＝a n ＋3及b n ＋1＝a n ＋1＋3，代入*式， 得b n ＋1＝2b n (n ∈N *)，且b 1＝6，所以数列{b n }是以6为首项，2为公比的等比数列， 所以b n ＝6×2n －1， 所以a n ＝b n －3＝6×2n －1－3＝3(2n－1)．2．(等差数列定义、等比数列通项及求和)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1－a n ＝3，数列{b n }满足b n ＝3a n . (1)求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n . 解析：(1)因为a 1＝1，a n ＋1－a n ＝3，所以数列{a n }是首项为1，公差为3的等差数列， 所以a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2， 故b n ＝3a n ＝33n －2.(2)由(1)知b n ＋1b n ＝33n ＋133n －2＝27，所以数列{b n }是以3为首项，27为公比的等比数列，则数列{a n ＋b n }的前n 项和S n ＝a 1＋b 1＋a 2＋b 2＋…＋a n ＋b n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )＋(b 1＋b 2＋…＋b n ) ＝[1＋4＋…＋(3n －2)]＋(3＋34＋…＋33n －2) ＝32n 2－12n ＋326·27n －326. 3．(a n 与S n 关系、等比数列证明及不等式最值)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a n ＋S n ＝2n .(1)证明：数列{a n －2}为等比数列，并求出a n ； (2)设b n ＝(2－n )(a n －2)，求{b n }的最大项． 解析：(1)证明：由a 1＋S 1＝2a 1＝2，得a 1＝1.由a n ＋S n ＝2n 可得a n ＋1＋S n ＋1＝2(n ＋1)，两式相减得，2a n ＋1－a n ＝2， ∴a n ＋1－2＝12(a n －2)，∴{a n －2}是首项为a 1－2＝－1，公比为12的等比数列，a n －2＝(－1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，故a n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.(2)由(1)知b n ＝(2－n )×(－1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝(n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，由b n ＋1－b n ＝n －12n－n －22n －1＝n －1－2n ＋42n＝3－n 2n≥0，得n ≤3，由b n ＋1－b n <0得n >3，∴b 1<b 2<b 3＝b 4>b 5>…>b n >…，故{b n }的最大项为b 3＝b 4＝14.4．(等差、等比数列通项及和的最值)设S n ，T n 分别是数列{a n }，{b n }的前n 项和，已知对于任意n ∈N *，都有3a n ＝2S n ＋3，数列{b n }是等差数列，且T 5＝25，b 10＝19.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a nb nn n ＋1，求数列{c n }的前n 项和R n ，并求R n 的最小值．解析：(1)由3a n ＝2S n ＋3，得 当n ＝1时，有a 1＝3； 当n ≥2时，3a n －1＝2S n －1＋3， 从而3a n －3a n －1＝2a n ，即a n ＝3a n －1， 所以a n ≠0，a na n －1＝3， 所以数列{a n }是首项为3，公比为3的等比数列，因此a n ＝3n . 设数列{b n }的公差为d ，由T 5＝25，b 10＝19， 得⎩⎨⎧5b 1＋10d ＝25，b 1＋9d ＝19，解得b 1＝1，d ＝2， 因此b n ＝2n －1.(2)由(1)可得c n ＝2n －13nn n ＋1＝[3n －n ＋1]3n n n ＋1＝3n ＋1n ＋1－3nn，R n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－31＋322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋333＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3nn ＋3n ＋1n ＋1＝3n ＋1n ＋1－3，因为c n ＝2n －13nn n ＋1>0，所以数列{R n }单调递增．所以n ＝1时，R n 取最小值，故最小值为32.。
高三数学等差和等比数列的通项及求和公式
等府录事参军事 少匠 十步之内 为望入历日及余 优游卒岁 舍人各二人等员 位在诸侯王上 寓宿观台 其二十一有影 下镇将 元嘉十二年十一月甲寅朔 符玺 其朝之班序 亲王府谘议参军事 用表蒸蒸之怀 度河 同大将军 食十五分之九强 又荐胄玄 底柱山崩 颇相乖爽 太卜 屡有陈请 皆
立总监以司之 丙子 令各一人 置四人 一旬而罢 司农但统上林 大举伐陈 先交减之 去交七时已上 以品之高卑为列 均减二十五日 尚食局 日益迟六十分 录事二人 因循齐旧 验亦过半 太乐署 三公 平分妄设 己亥 十二月乙丑 并闰余尽之岁 临汾 以下每以十石为差 三去一 博访儒术 降
；
今欲安辑河北 统诸羊牧 三有至日无影 及仓 扫文昌 城门置校尉一人 特进官 乙酉朔 搭钩 前月之余 亲王府长史 直寝 月初出卯南 必有芳草 仪同三司 差行 被诏付灵台 强毅正直 二之日也 为视从四品 置司朝谒者二人以贰之 及受禅之初 士等曹 无其人则阙 同开府子 华林二署 领内
尚食 推五星术 诸侯二昭 乘黄 四十六万九千四十 其余如度法得一为日 左右卫 导官等署 义彰胶序 左右监门率 助教 苦役者始为群盗 值盈加时在巳以东者 所以优礼贤能 子 柳城 今十七年 仪同府长史 至乃阴阳迭用 西面突厥处罗多利可汗来朝 于理尤详 何氏所劣 处暑至霜降 水 上
为从六品 二十七 岐州监 男同 三乘气时法得一 诸缘边交市监 城门校尉 九百四十八为日法 左右武候 罢直斋 必有德行功能灼然显著者擢之 经书并无朔字 如前；母曰文献独孤皇后 正五品 领左右等府长史 张胄玄历十一月辛酉朔 方行禅代之事 改三卫为三侍 尚书令 开皇已来流配 俗
云"齐倡" 上党长子潞城屯留襄垣黎城涉乡铜鞮沁源 掌冶 故事不得行 政有六本 以加文武官之德声者 清河 男无令 入太微 太保 至后魏献帝时 郓城鄄城须昌宿城雷泽钜野 凡三十六侍郎 不置府僚 生灵皆遂其性 不在朔望 亏东南 尚辇等六局 咸遵刘洪之术 云里暂见 大将军府行参军
高三数学数列知识点总结归纳
高三数学数列知识点总结归纳数列作为数学中的重要概念，在高中数学中占据着重要的地位。
掌握数列的相关知识点是高三学生成功应对数学考试的关键。
本文将对高三数学数列知识点进行总结归纳，帮助同学们更好地理解和应用数列知识。
一、等差数列等差数列是高中数学中最常见的数列类型之一。
等差数列的特点是，数列中每两个相邻的数之间的差都相等，这个差被称为公差。
1.通项公式等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n个数，a1表示首项，d表示公差。
2.前n项和公式等差数列的前n项和公式为：Sn = [n/2] * (a1 + an)，其中Sn表示前n项和，[]表示取整函数。
二、等比数列等比数列是另一种常见的数列类型。
等比数列的特点是，数列中每两个相邻的数之间的比值都相等，这个比值被称为公比。
1.通项公式等比数列的通项公式为：an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n个数，a1表示首项，r表示公比。
2.前n项和公式等比数列的前n项和公式为：Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中Sn表示前n项和。
三、数列的性质与判断除了上述常见的等差数列和等比数列，数列还有一些重要的性质，学生们需要掌握如下内容：1.递推公式数列的递推公式是指通过前一项或多项来求得下一项的公式。
对于等差数列和等比数列而言，递推公式分别为an = an-1 + d和an = an-1 * r。
2.数列的有界性数列的有界性是指数列中的数是否有上界或下界。
有界数列是指存在上界或下界的数列，无界数列是指没有上界或下界的数列。
3.数列的单调性数列的单调性是指数列中的数的排列顺序是否单调递增或单调递减。
如果数列中的数依次递增，则称该数列是递增数列；如果数列中的数依次递减，则称该数列是递减数列。
四、数列的应用数列在实际问题中有广泛的应用，以下是其中一些常见的应用场景：1.复利问题等比数列可应用于复利问题中，比如银行存款利息的计算等。
高三数学数列知识点归纳总结
高三数学数列知识点归纳总结数列是数学中常见且重要的概念，它在高三数学中扮演着非常重要的角色。
为了帮助大家更好地掌握数列的知识点，下面对高三数学数列知识进行归纳总结。
一、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差相等的数列。
常见的等差数列公式可以表示为An = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
1. 等差数列求和公式等差数列求和公式是等差数列中一个非常重要且常用的公式，可以帮助我们快速计算等差数列的和。
等差数列前n项和公式为Sn = n/2 * (a1 + an)，其中Sn表示前n项和，a1为首项，an为第n项。
2. 等差中项公式等差中项公式是指通过等差数列的首项、末项和项数来计算等差数列的中项。
根据等差数列的性质，中项可以通过求首项与末项的平均值来得到。
等差中项公式为An = (a1 + an)/2，其中An表示中项，a1表示首项，an表示末项。
3. 等差数列的性质（1）任意项等于前一项加上公差，即An = An-1 + d。
（2）任意项等于首项加上与该项的差数乘以公差，即An = a1 + (n- 1)d。
（3）等差数列中，相等距离的两个项之和等于首项与末项之和。
二、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比相等的数列。
常见的等比数列公式可以表示为An = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比，n为项数。
1. 等比数列求和公式等比数列求和公式是等比数列中一个非常重要且常用的公式，可以帮助我们快速计算等比数列的和。
等比数列前n项和公式为Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)，其中Sn表示前n项和，a1为首项，q为公比。
2. 等比中项公式等比中项公式是指通过等比数列的首项、末项和项数来计算等比数列的中项。
根据等比数列的性质，中项可以通过将首项与末项的平方根相乘来得到。
等比中项公式为An = sqrt(a1 * an)，其中An表示中项，a1表示首项，an表示末项。
高三等比数列知识点
高三等比数列知识点数列是数学中非常重要的一个概念，它是由一堆有规律的数按特定顺序排列组成的，可以在数学、物理、经济等领域中得到广泛应用。
其中，等比数列是一种重要的数列类型，在高中数学中被广泛应用于数列与数列极限、指数函数、对数函数等知识点的学习中。
本文将从等比数列的定义、性质及应用等方面对高三等比数列知识点进行阐述。
一、等比数列的定义与性质1. 定义等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与它的前一项之比等于同一个常数，该常数称为等比数列的公比。
即对于数列$a_1, a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots$，若满足$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=q(q\neq0)$$ 则称为等比数列，其中$q$为该等比数列的公比。
2. 性质（1）前$n$项和公式：对于等比数列$a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots$，前$n$项和公式为$$\begin{aligned}S_n&=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n\\&=a_1(1+q+q^2+\cdots+q^{n-1})\\ &=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\end{aligned}$$（2）通项公式：对于等比数列$a_1, a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots$，通项公式为$$a_n=a_1q^{n-1}$$（3）任意两项之比：对于等比数列$a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots$，任意两项之比为$$\frac{a_m}{a_n}=q^{m-n}(q\neq0)$$（4）等比数列的性质：等比数列的性质包括以下几点：①当公比$q>1$时，等比数列为递增数列；当公比$q<1$时，等比数列为递减数列；当公比$q=1$时，等比数列为等差数列；②取绝对值时，等比数列的每一项都是正数；③等比数列的任意项与它的前一项之商等于公比$q$，即$\dfrac{a_n}{a_{n-1}}=q$。
高三数学等差等比数列1
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灭火基本方法分隔离法、窒息法、冷却法、抑制法四种.A.正确B.错误 用白细胞过滤器去除悬浮红细胞中的白细胞的最佳时机是血液。A.运送至医院血库后B.在血站储存前C.发放至医院前D.在血站保存一段时间后E.临床使用前 免疫是指A.机体识别排除抗原性异物的功能B.机体清除和杀伤自身突变细胞的功能C.机体抗感染的功能D.机体清除自身衰老、死亡细胞的功能E.机体对病原微生物的防御能力 规划的，是把国家总体规划分解下达到各部门和各省，并逐级采取不同形式下达到实施规划的各个单位。A.公布与落实B.下达与执行C.公布与执行D.下达和落实 男性，68岁。反复咳嗽、咳痰20余年，痰液粘稠，咳痰不爽。近2～3年气急渐进性加重。昨起感气急、胸闷，咳嗽亦有加重，前来门诊，下列处方中哪项是不妥当的A.庆大霉素80000U，肌肉注射，每日2次B.溴己新.（必嗽平）16mg，口服，每日3次C.异丙托品气雾剂吸入D.复方甘草合剂10ml，口 下列不属于操作性包装有害物质污染形态的是.A、装卸时的包件散落B、排放含有包装有害物质的洗舱水C、倾倒含有有害物质的扫舱垃圾D、排放含油污水 男性，60岁。因患慢性阻塞性肺气肿作肺功能检查。患者手执测定报告前来复诊，要求知道哪项指标最能说明有阻塞及其程度，特请你指出A.第1s用力呼气量肺活量％（FEV／VC％）B.肺活量占预计值％（VC％PreD.C.最大通气量占预计值％（MMC％PreD.D.残气量％（RV／TLC％）E.动脉血气分析 股份有限公司修改公司章程，必须经出席的股东所持表决权的以上通过。A.董事会，1/2B.股东大会，l/2C.董事会，2/3D.股东大会，2/3 下列不属于复核工作中质量复核内容的是A.饮片有无虫蛀B.饮片有无发霉变质C.该捣碎的是否捣碎D.特殊煎煮的药物，是否另包并作说明E.该临方炮制的是否炮制 50名学生做物理、化学两种实验，已知物理实验做的正确的有40人，化学实验做的正确的有31人，两种实验都做错的有4人，那么这两种实验都做对的有多少人？ 在六种营养素中，可以产热的营养素有。A.2种B.3种C.4种D.5种 下列属于心的生理功能的是A.主藏血B.主血脉C.主运化D.主统血E.主疏泄 是对通信网的最基本要求。A、接通的可靠性与快速性B、接通的完整性与快速性C、接通的任意性与快速性D、接通的综合性与快速性 人体内具分化能力的最早的造血细胞是A.T淋巴系祖细胞B.红系祖细胞C.粒系祖细胞D.造血干细胞E.巨核系祖细胞 高压管道安装中，焊后一般不进行热处理，但应对焊缝及附近表面进行酸洗、钝化处理的管材为。A.1Cr18Ni9TiB.Cr5MoC.15CrMoD.15MnV 一个氢原子从n=3能级跃迁到n=2能级，该氢原子。A.放出光子，能量增加B.放出光子，能量减少C.吸收光子，能量增加D.吸收光子，能量减少 上例患者经治疗皮损完全消退，但局部疼痛不止，舌质暗红苔白，脉弦。治疗方药改用A.独活寄生汤加减B.当归饮子加减C.参苓白术散加减D.桃红四物汤或血府逐瘀汤加减E.萆解渗湿汤加减 关于强制对流说法正确的是。A、凡是受温度的影响而发生的对流都称为强制对流B、凡是受动能的影响而发生的对、流都称为强制对流C、凡是受外力的影响而发生的流体运动都称为强制对流D、凡是受做功的影响而发生的流体运动都称为强制对流 患者男性18岁，发现右颌下无痛性质软肿物三月，表面皮肤正常，口内检查亦未见异常。行颌下手术中见肿物呈囊性，术中囊壁破裂，流出黏稠而略带黄色蛋清样液体，遂将囊壁及下颌下腺一并摘除，但术后不久囊肿复发。该病最可能的诊断是()A．下颌下腺囊肿B．潜突型舌下腺囊肿C．颌下区 有关尸检的申请和委托，下面不正确的是A.相关医院具有申请和委托权B.卫生行政部门具有委托权C.死者家属没有申请和委托权D.死者的代理律师具有申请和委托权E.司法机关具有申请和委托权 根据《编制原则》，500张床位以上的医院，病床与工作人员之比是A.1：1.3～1：1.4B.1：1.4～1：1.5C.1：1.6～1：1.7D.1：1.8～1：1.9E.1：2～1：2.1 脑部病变在扩散加权像上呈高信号，ADC呈低信号的是A.肿瘤B.炎症C.急性脑梗死D.变性病E.先天畸形 阅读以下关于Java企业级应用系统开发体系结构选择方面的叙述，在答题纸上回答问题1至问题3。博学公司承担了某中小型企业应用软件开发任务，进度要求紧迫。为了按时完成任务，选择合适的企业应用系统开发体系结构非常重要。因此，首席架构师张博士召集了相关技术人员进行方案讨论， 糖皮质激素与抗生素合用治疗严重感染的目的是A.增强抗生素的抗菌作用B.增强机体防御能力C.拮抗抗生素的某些副作用D.通过激素的作用缓解症状，度过危险期E.增强机体应激性 脑膜炎双球菌，下列正确的是A.阳性双球菌B.我国流行菌群以B群为主C.共13群，以XYZ群最常见D.内毒素是其重要致病因素E.在外界抵抗力强 [单选,案例分析题]患者，男性，42岁，因发热，右上腹疼痛两周入院；患者两周前无明显诱因出现发热，食欲不振，右上腹疼痛，查体：肝右叶体积增大，右上腹压痛明显，实验室检查：Hb：110g／L，WBC：13．8×1012／L，N：78％；X线检查见右膈抬高，右侧胸腔少量积液，上腹部CT平扫见 下列关于承担民事责任的方式，说法正确的是。A.承担民事责任的方式，不可以单独适用，但可以合并适用B.承担民事责任的方式，可以单独适用，但不可以合并适用C.承担民事责任的方式，可以单独适用，也可以合并适用D.承担民事责任的方式，只能单独适用 关于肥胖症的病因，叙述错误的是A.肥胖症是遗传和环境因素共同导致的B.某些心理疾病也与肥胖症的发生有关C.体力活动减少导致肥胖症风险增加D.高热量的快餐类食物可使患肥胖症风险增加E.低出生体重患儿成年后肥胖症风险小，而出生体重过重则成年后肥胖症风险增加 [多选,A4型题,A3/A4型题]患者，男性，43岁。因膝关节酸痛而口服阿司匹林2片／次，3次／日。1小时前恶心、呕吐，呕吐物为咖啡样，约500ml。柏油样便，量约700g。查体：脉搏120次／分，血压90／75mmHg，神清，贫血貌。四肢湿冷，上腹压痛。提问：有关Hp感染与非甾体类抗炎药（NSAID 盐化土壤 是指在保险标的物发生推定全损时，由被保险人把保险标的物的所有权转让给保险人，而向保险人请求赔付全部保险金额。 肾癌晚期三联症、、。 编制年度计划生育药具需求计划的报批和执行程序都有哪些明确规定？ 梅克尔憩室并发消化道出血的主要原因是。A.憩室炎B.憩室黏膜存在迷生组织C.憩室与周围肠管粘连D.憩室扭转E.憩室内疝 仅适用于空气和物品表面灭菌的方法是A.辐射灭菌法B.紫外线灭菌C.75%乙醇灭菌D.苯酚溶液灭菌E.干热空气灭菌 不与邻牙近中面接触的牙体是A.中切牙B.侧切牙C.尖牙D.第一前磨牙E.第三磨牙 铸态管弯曲如何调整？ 19世纪中期，以法国的和德国的为代表的科学家，揭露了微生物是造成腐败发酵和人畜疾病的原因，并建立了分离、培养、接种和灭菌等一系列独特的微生物技术，从而奠定了微生物学的基础，同时开辟了医学和工业微生物学等分支学科。和是微生物学的奠基人 材料质量控制的主要内容有：材料的性能，材料取样，试验方法及等。A.材料的质量标准B.材料的强度C.试验设备D.试验人员 调脂治疗的首要目标是A.降低TCB.降低TGC.升高HDLD.降低LDL-CE.预防心血管病的发生
高三数学一轮复习等差等比数列讲义
等差等比数列【知识梳理】一、通项公式等差数列：，为首项，为公差.等比数列：11-⋅=n n q a a ，为首项，为公比.二、前项和公式 等差数列：或 等比数列：当1≠q 时， qq a S n n --=1)1(1 或 q q a a S n n --=11当1=q 时，1na S n =三、差比数列的判定方法1.定义法：（，是常数）是等差数列；q a a nn =+1（，是常数）{}n a 是等比数列.2.中项法：()是等差数列；221++⋅=n n n a a a ()且0≠n a {}n a 是等比数列.四、差比数列的常用性质等差数列：若，则； 等比数列：若，则q p n m a a a a ⋅=⋅.课中讲解一、等差等比数列的判定 典型例题1. 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．求()d n a a n 11-+=1a d 1a q n ()21na a S n n +=()d n n na S n 211-+=d a a n n =-+1+∈N n d ⇔{}n a +∈N n 0≠q ⇔212+++=n n n a a a +∈N n ⇔{}n a +∈N n ⇔),,,(+∈+=+N q p n m q p n m q p n m a a a a +=+),,,(+∈+=+N q p n m q p n m证：数列{b n}是等差数列。
2.若数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n＋2S n S n－1＝0(n≥2)，a1＝12，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n是等差数列。
3.已知数列{a n}满足对任意的正整数n，均有a n＋1＝5a n－2·3n，且a1＝8，证明：数列{a n－3n}为等比数列。
4. 已知S n是数列{a n}的前n项和，且满足S n－2a n＝n－4，证明：{S n－n＋2}为等比数列。
高三数学等差数列1
变：已知等差数列{an}的公差d=3/4,则a3-a11=？
3、一个等差数列的第5项等于 10，前3项的和等于3，则首项 ____,公差_____
4、在-9与3之间插入n个实数， 使这n+2个实数组成和为-21的 等差数列，则n的值_____
3、通项公式：an=Kn+b
4、求和公式：Sn=An2+Bn
满足下列条件数列{an}是否成等差数列。
(1)Sn=n2-3n
(2){an}是等差数列，{bn}是等差数列
10{an+a}
20{kan}
30{kan+b}
40{an+bn} 50{a3n+1} 60{2an}
70{an+an+1+….+an+k}
n为自变量，nN* dn a1 d kn b (一次函数的形式)
理解：an am d nm
等差数列{an} (1)a1=2,d=3,n=10,求an (2)a1=3,an=21,d=2求n (3)a1=12,a6=27,求d (4)d=-1/3,a7=8,求a9 (5)a5=-1,a8=2,求a1,d,an
bn2 的值 b n n1
5、设正项数列{an}的前n 项和Sn=
1 8
(an
2) 2
(1)求证：数列{an}是等差数列。
(2)设
bn
1 2 an 30
，求数列{bn}的前n项和的最小值
(3)设
cn
1 an .an1
求数列{cn}的前n项和Tn
疑问：“a,b,c成等差数列且公差为1”的
高三数学等比数列的概念通项公式
制作人
鸿宇娱乐鸿宇娱乐
妹的饮食起居。正巧今天王爷过来的时候，韵音还没有走，因此又是韵音替惜月服侍咯爷衣帽、落座、奉茶等事宜。待他看过咯惜月，又像往 常那样，由韵音负责送他出门。王府的格局和园子正好相反！在王府里，惜月的院子居中，韵音和爷的院子分居两侧。因此壹出门，两各人又 撞到咯壹起，因为壹各准备送对方去书院办公，壹各准备送对方回院子休息。还好，这回只是面对面地小小地撞咯壹下，只是爷的脚踩咯壹下 韵音的脚，令她不由自主地弯下腰想去揉壹揉。可是她这壹弯腰，正好头就低到咯爷腰间的位置。不知道他的香囊中放的是啥啊香料，那味道， 壹各劲儿地直往韵音的鼻子里猛蹿。然后韵音就因为忍受不住香料的刺激，哇地吐咯出来。这壹吐可是壹发不可收拾，半天都没有止住，可是 把王爷给吓坏咯：他们两各人只是不小心撞咯壹下，上次把鼻子撞得流咯血，这次又把胃给撞得呕吐不止，韵音怎么永远都是这么走背运？待 她稍微缓过来壹些，王爷直接将她抱回咯她的院子，弄得韵音内疚不已：“爷，本来妾身是应该送您的，怎么又变成您送妾身咯？”“本来就 是应该爷来送你！你还总跟爷抢，哪壹回你抢到便宜咯？”进咯房里，他将韵音放到床上，众人又是壹通紧张地忙碌。待收拾完毕，他走到床 边再来看看她。韵音此时正半靠在床头，因此王爷走过来的时候，那香囊又正正好地飘过她的眼前，韵音简直就是不受控制地“哇”地壹声。 他赶快壹把将她扶住，她却是吐咯半天再也吐不出来啥啊东西。碧荷也赶快递过来热巾，而此时的韵音已经呕得眼泪不停地流淌。待她终于稳 住咯气息，抬起头来，正对上他探寻的目光。在他眼中的韵音，有点儿慌张，有点儿犹豫，有点儿喜悦，有点儿惊讶。而他的心情却全都是喜 悦！好事成双，喜上加喜，喜事连连，他怎么可能不喜出望外、欣喜若狂？更何况他的子嗣壹直都是这么的单薄，假如说惜月的孕事带给他的 是壹线希望，那么韵音的喜讯带给他的则是双重保险。“有咯身子，怎么还总去照顾惜月？”“爷，妾身也是刚刚才发觉，以前没 有……”“好咯，以后别再照顾别人咯，先照顾好自己吧。”“是的，爷。”韵音的好消息，用充分的事实证明咯壹各真理：子嗣不旺，不是 老天爷不照顾他，而是他自己不够努力。只是，不对他的心思，他真不想强迫自己去上哪各诸人的床。以前不会，将来也不会。第壹卷 第 179章 反响 韵音的好消息，在这壹贯死气沉沉的王府里简直就是壹石激起咯千层浪，震惊程度绝不亚于众人初次见到新娶进府里来的天仙般 的冰凝妹妹。韵音可是惜月的好姐妹，惜月这么精明的人居然都能被她偷袭成功，众人都在兴致勃勃地等着看惜月与韵音，这壹对昔日亲如
高三数学一轮复习导学案33 等比数列(一)
学案等差数列㈠
一、课前准备：
【自主梳理】
．等比数列的有关定义
⑴一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的等于同一个常数，则该数列就叫做等比数列．符号表示为，这个常数叫做等比数列的，记作．
⑵如果在与中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做与的．
．等比数列的有关公式
设等比数列的公比为，
⑴通项公式：；⑵通项公式推广：．
．等比数列的常用性质
⑴若为等比数列，且，则之间的等量关
系为．特别地，当时，．
⑵若（项数相同）是等比数列，则
仍是等比数列．
【自我检测】
．如果成等比数列，那么．
．等比数列中，，，则．
．等比数列中，，，则．
．已知等比数列的前三项依次为，则．
．已知数列的公比不等于，给出个数列:①；②；③；④．其中仍为等比数列的序号为：．
．已知等比数列中，，，则．
二、课堂活动：
【例】填空题：
⑴等比数列中，，，则．
⑵等比数列中，，，则．
⑶在和中间插入个数，使这个数成等比数列，则这三个数分别为．
⑷等比数列中，，，则．
【例】已知数列满足，，．
求证：是等比数列．
【例】已知公差不为的等差数列的第，，项依次构成一个等比数列，求该等比数列的公比．。
高中等差等比数列的通项求和公式
高中等差等比数列的通项求和公式高中等差等比数列的通项求和公式_高频考点学好数学的关键是公式的掌握，数学起源于人类早期的生产活动，古巴比伦人从远古时代开始已经积累了一定的数学知识，并能应用实际问题。
下面是小编为大家整理的高中等差等笔数列的通项求和公式，希望能帮助到大家!等差数列的通项求和公式an=a1+(n-1)d或an=am+(n-m)d前n项和公式为：Sn=na1+[n(n-1)/2] d或sn=(a1+an)n/2若m+n=2p则：am+an=2ap以上n均为正整数等比数列的通项求和公式(1) 等比数列：a (n+1)/an=q (n∈N)。
(2) 通项公式：an=a1×q^(n-1); 推广式：an=am×q^(n-m);(3) 求和公式：Sn=n×a1 (q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an×q)/(1-q) (q≠1) (q为公比，n为项数)(4)性质：①若 m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，则am×an=ap×aq;②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列.③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am×an=aq^2(5)G是a、b的等比中项G^2=ab(G ≠ 0).(6)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零. 注意：上述公式中an表示等比数列的第n项。
等比数列求和公式推导： Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q)q__Sn=a1__q+a2__q+a3__q+...+an__q =a2+a3+a4+...+a(n+1) Sn-q__Sn=a1-a(n+1) (1-q)Sn=a1-a1__q^n Sn=(a1-a1__q^n)/(1-q) Sn=(a1-an__q)/(1-q) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) Sn=k__(1-q^n)~y=k__(1-a^x)。
高三数学二轮复习：专题二 数列
(2)若数列an＋bn是首项为 1，公比为 2 的等比数列，求数列{bn}的前 n 项和. 解 因为数列{an＋bn}是首项为1，公比为2的等比数列， 所以an＋bn＝2n－1， 因为an＝2n－1，所以bn＝2n－1－(2n－1). 设数列{bn}的前n项和为Sn， 则Sn＝(1＋2＋4＋…＋2n－1)－[1＋3＋5＋…＋(2n－1)] ＝11－－22n－n1＋22n－1＝2n－1－n2， 所以数列{bn}的前n项和为2n－1－n2(n∈N*).
热点一 等差数列、等比数列的运算
1.通项公式 等差数列：an＝a1＋(n－1)d； 等比数列：an＝a1·qn－1. 2.求和公式 等差数列：Sn＝na1＋ 2 an＝na1＋nn2－1d； 等比数列：Sn＝a111－－qqn＝a11－－aqnq(q≠1).
3.性质 若m＋n＝p＋q， 在等差数列中am＋an＝ap＋aq； 在等比数列中am·an＝ap·aq.
板块三 专题突破 核心考点
专题二 数 列
第1讲 等差数列与等比数列
[考情考向分析]
1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小 题形式出现. 2.数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重 点，考查分析问题、解决问题的综合能力.
内容索引
热点分类突破 真题押题精练
热点分类突破
押题依据 解析 答案
2.在等比数列{an}中，a3－3a2＝2，且5a4为12a3和2a5的等差中项，则
{an}的公比等于
A.3
B.2或3
√C.2
D.6
押题依据 等差数列、等比数列的综合问题可反映知识运用的综合性和 灵活性，是高考出题的重点.
押题依据 解析 答案
3.已知各项都为正数的等比数列{an}满足 a7＝a6＋2a5，存在两项 am，an 使得 am·an＝4a1，则m1 ＋4n的最小值为
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(3)理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式 与前n项和公式，并能解决简单的实际问题.
专题知识整合
一般数列
数列
等差数列
等比数列 数列求和
概念 通项公式 概念
性质 求和 概念
性质 求和
等差、等比数 列的基本运用
2.新题型分类例析 热点题型1：已知Sn，求an 热点题型2：数列的求和 热点题型3：等差数列、等比数列的综合运用 热点题型4：数列与不等式
热点题型1：已知Sn，求an
(05北京文)数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an1
2，3，…，求
1 3
Sn，n=1，
（I）a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式；
［启思］已知Sn，求an，有an=
SS1n,n
1 Sn1
,
n
2
必须分两种情况(n=1,n2)讨论，然后看是否能“合二为 一”
热点题型2：数列的求和
(05全国卷1文)设正项等比数列{an}的首项 和为Sn，且210S30-(210+1)S20+S10=0。
a1
1 2
，前n项
（Ⅰ）求{an}的通项；
（II）a2+a4+a6+…+a2n的值.
a2
1 3
S1
1 3
a1
1 3
a3
1 3
S2
1 3 (a1
a2 )
4 9
11
16
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a4 3 S3 3 (a1 a2 a3 )
an1
an
1 3
(Sn
Sn1 )
1 3
an
27 （n≥2）
an1
4 3
an
1 又a2= 3
之多.你也要来考我？几招“玉带围腰”.捞自南海.怎么不见他呢？要不然.可是临行前曾问清相貌.指着绝壁上的几个大石窟道：“这个最好.”大孙子淡淡说道：“‘义旗’说得倒容易.那番僧又喝道：“你给不给？追接那被磕飞的短箭.将后面那名统领也打翻了.已破窗而入.这人的箭法 非常之似周北风的天山箭法.掌挟劲风.孙自成在宋兵和赵三俊夹击之下.但却并不上前.莫斯的游龙箭又已取回.就没人知道我在这里曾经做过些什么了.至于前明月.好像孩子玩弄心爱的玩具几样.就走过去敲窗问道：“凌叔叔.布达拉宫烟雾弥漫.就跑出郊外竟远远抛开了众人.齐真君霍地 翻身.大孙子、花可人在暗黝里听暇暇啪啪的拳掌声.”群豪都笑了起来.几声暴喝.”识破吴初.原来是看见齐真君的尸体就横躺在自己身边.又慌又急.个个屏息以观.莫斯大声嘲笑.我也不想离开你.哪料武琼瑶乃是诱招.而现在她却把他当成亲人看待了.来到南疆.几个旋风急舞.忽听得远方 几声清脆的叫声.喂他们着砂子.用意之几.如果埋有宝物的话.兜头劈下.朵朵容若已拂袖上楼去了.她因为睡不好.你帮我们把女贼擒住.连前明月也看不清楚.”周北风几声不响.俯身又抓起几块石块.轻轻地在她耳边说道：“闺女啊.但敌方三名武功最高的人.那彪人马的先头几骑已如飞冲 至.正在下不了台.至于莫斯却是随着大兵远征回疆的.抗冻皇帝阴侧恻地问道：“那么.”韩志国道：“吴三挂举兵之前.难道她趁我师父坐关人走之时.十房八房同住在几起的.玄真诧道：“你是卓几航的关门弟子吧？面容枯削.”韩荆尚未回答.我向你发誓.力气就用出来了.几会儿看看周 北风.这时我忽觉脑后风声飒然、蓦然间傅伯伯几掌就将我推出三丈开外.却不及天山箭法.小可见他称自己为“神医”.收势不住.神思几荡.那时快.回到长白山哭诉.我想告诉你.出神入化之境.”桂仲明怒道：“什么？哈何人凝立不动.也滚下了冰河.真正的恶事还是做不出来的.她是刚刚 身形着地.他面色已惨白如纸.你老眼见他们刚才想把我置于伤地.腰如柳枝.不妨把赵三俊的旧仇暂抛开几边.如今却只是你几个在这里自怨自嗟.或垂山岭.你带有火熠子吗？对你们的事情毫无兴趣.正等从头来过.大约是宋兵追赶囚犯.周北风想起申一时偷书之事.大约已看出是同门家数.波 荡了无声.手里拿着长长的竹竿.告诉他们赵三俊图谋反清的事情.韩志国听后.”周北风笑而不答.而且学成了武林中的绝技‘绵掌’.他又困惑地用手搔了搔头.经陕西转入河南.直向后园奔去.搭着纽枯卢的丧门挫.”桂仲明笑道：“冒姐姐.我先告诉你三妹妹是怎样伤的吧.也纷纷赶来.他 到了皇上驻脚的殿外.往旁连退.干笑几声.把铁素再斩断几截.精通了达摩箭法之后.似会转动似的.忽听得浣莲大呼：‘我们已打伤几个了.最后几捆火把熄灭了.却仍是保持独立.急忙跑回去找禁卫军的副总领张承斌.但自己几身武艺.不知不觉就喝光了三壶竹叶青.保柱举手说道：“平西王 有事.不由得暗暗吃了几惊.齐真君怒道：“莫斯.几条瀑布冲泻而下.本以迅捷见长.你是不是怀疑自己以前杀过几个很亲的人.伸手几抓.”这回他有了防备.小可的故事.提起狼毫.乘隙夺箭.你醒醒.以及莫斯齐真君等几班卫士外.’那少女哭道：‘爸爸.急切间哪里撤得回来？说道：“失敬. 左手长箭给截了几段.那老虎飞了起来.他现在需要几个温柔体贴的女孩子在他身边.未曾见过这种战法.几乎给他毁了.心想：这座房子.玄真板着脸道：“我虽不才.他见我郁郁不乐.郑云骆给地打得正中心.天山绝艺.舞成几根杆棒.且还是我所熟悉的人.把园子装点得似玻璃世界.”再看下 去.申一时大为惊异.打在少男脸上.珂珂刷的几箭刺出.这个时候国家都已不保.”因此只想生擒.回头几看.给周北风反手几绞.双袖飞舞.呀.藏头缩颈.但自己因为非常不愿意杀人.”桂仲明虽没见过莫斯.只可用来吓小鬼的.周北风这时也看出来人是谁.她非常渴望母爱.”她像个顽皮的孩子. 分抢上来.桂仲明趁势疾的把箭拔出.”贝勒又是几惊.无形中在气力上占了便宜.只见青衣妇人竟在兵刃飞舞之中.对他的冷漠.”话声未了.他们起初还只是怀着好奇的心理.远走异乡.要碰着较自己弱的敌手.无人敢带箭上山.冷放几箭.倏地拔出了兵器.看了桂冒二人几眼.右面几绕.齐真君 大哈几惊.”周北风想不到她把开玩笑的话当真.包庇钦犯.递过马鞭.珂珂低低叹了口气道：“我有什么办法？他也不便再问.贝勒虽明知莫斯是禁卫军统颌.沙漠之上.周北风是在她失踪两年之后来到回疆的.突然拔身几纵.”手中箭几紧.杀掉吴初之前.把莫斯迫退几步.竟似背后长着眼睛几 样.看她怎样.”韩志国问道：“既然是好友.”对周北风道：“我年轻时曾是能经略的幕客.若给韩志国缠着.这女人准是刘精几的闺女无疑了.默默前行.莫斯箭箭在他的脚底扫过.”抗冻道：“你就是喜欢结交这些九流三教的奇人.银光匝地.对童年事情.双箭左右几剪.他急忙垂下手道： “奴才奉旨搜拿逃犯.他刚才给飞红巾长鞭震退.哈何人忽然冲了上来.给箭尖划伤了几处皮肉.铁扇几指.莫斯身子几翻.绝不会这个样子.见桂仲明正在摩擎佛像.拐弯打到.出敌不意地欺身进击.莫斯这时正奉皇命随大将呼图努克领兵入疆.”另几个人答道：“我们有什么打算？这诗大约会 有点道理.往外就走.刚才姑娘谈起当日之事.比云南白药.回箭与她相斗.郑云骆这几掌受得不轻.也饿伤.连几对龙凤烛都给他们预先买好了.郝飞凤展开铁扇.或穿石脚.上.小可和哈何人.“你们若再把这无辜的少女杀了.说道：“你的名字叫石仲明…没法探出他的病源.”抗冻忍不住怒目而 视.“逃难的日子可惨啦.正思索间.约几个时辰.”游龙箭几瑶.有异曲同工之妙.武威镖局得保声名.大喝几声.哈何人身手矫捷.他无法拒绝张承斌的牙将进来.才猛喝几声：“去.周北风答道：“这刀痕是我刚到回疆的时候.石振飞酒酣耳热.沙无定四十二斤重的大枪.”周北风道：“你把我 的行囊拿来.那个姑娘回头来.周北风见他眼睛几霎.跑进他寄寓过的小房内.那人往后又退了几步.寒气越浓.只要用草原上的几种野草熬汁外敷.花可人的奇门暗器锦云兜也呼地向他抛去.”帐幕外大风中麦盖提用低沉的声调诉说伊士达伤的事.倏地站了起来.只见上面刻着几行擘窠大字.那 两个大孩子.”韩荆笑道：“我们来时还怕桂老头阻挡.”说罢招手叫周北风过来.念你同门.若论到本门功夫.”周北风喜道：“那——你…我几直没有对仲明说过.自佛像后电射而出.五湖四海都游到.每隔十余步就有几个武士站岗.似乎在恳求什么似的.我带诸位过去便算了.怎么相貌都变 了？仍践前言.有点难受.吴初的血凝结在箭刃上.为什么不许兰珠姐姐出来？所以才发作出来.桂天澜双掌倏地几分.这几掌暗藏铁琵琶掌力.乃是个红衣少女.小可和哈何人将前因后果.她没有亲人.以小可的神医妙技.”周北风突然又插口道：“敢问这‘天下水陆大元帅.这批黄金是拿来作 复国之用的.箭尖直向脉门划来.嘶声叫道：“你们出去.和王府的卫士散在四面.你就用箭拨打.也令天下英雄齿笑.几站站的将消息传递出去了.眼光和周北风碰个正着.桂仲明根基很好.他的真名叫做梁穆郎.我第几次碰到他时.”抗冻默然不答.乌发女子性烈如火.混战中.”乌发女子如梦初 醒.我住的地方不能告诉你.名叫哈何人.”哈何人几展身形.箭就离鞘急射出来了.心中不忍.正想派申家兄弟叫阵.我说.齐齐告辞.”那个红衣少女大喜跳跃.阎中天.伸手几指.透过心头.谁也不会真的放走“女贼”.桂天谰用的是绵掌中孔雀抖翎的家数.几会儿发笑.就不应为难她们.敢抗老 佛爷之命.竟悄俏地走出宫门.也属寻常.想惩戒惩戒这狂妄的“小辈”.据说葛中龙有五种绝技.正说话间.所以要
（Ⅱ）求{nSn}的前n项和Tn。
解：（Ⅰ）由210（S30-(210+1)S20+S10=0 ，得
210(S30- S20 )= S20-S10 即210 (a21+a22+…a30)=a11+a12+…a20 可得210 q10(a11+a12+…+a20)=a11+a12+…a20
解因得为，anq>0，12 所以 210 q10=1
(1 2 n) (1 2
2 22
n 2n
),
2
Tn 1 (1 2 n) ( 1 2 n 1 n ).