分式、二次根式考点复习
分式与二次根式的知识点
分式与二次根式的知识点分式与二次根式是数学中的重要知识点，它们在代数运算、方程求解、函数图像等方面都有应用。
本文将逐步介绍分式与二次根式的基本概念、运算规则以及解题思路。
1.分式的基本概念分式是由两个整数或多项式构成的比值形式，通常表示为a/b，其中a为分子，b为分母。
分子和分母可以是整数、多项式或含有变量的表达式。
分式可以表示实数、有理数、无理数等不同类型的数。
2.分式的化简与运算（1）分式的化简：当分式的分子和分母有公约数时，可以通过约分的方式化简分式。
即找到分子和分母的最大公约数，将其约去，使得分子和分母互质。
（2）分式的加减乘除：分式的加减运算可以通过通分的方式进行。
即将两个分式的分母化为相同的数，然后将分子进行加减运算。
分式的乘除运算可以直接对分子和分母进行相应的运算。
3.二次根式的基本概念二次根式是形如√a的表达式，其中a为非负实数。
当a为正实数时，二次根式的值为正实数；当a为零时，二次根式的值为零；当a为负实数时，二次根式的值为虚数。
4.二次根式的化简与运算（1）二次根式的化简：当二次根式内部存在完全平方数因子时，可以将其化简为有理数的形式。
即将完全平方数因子提取出来，使得根号内只剩下非完全平方数。
（2）二次根式的加减乘除：二次根式的加减运算可以通过化简后的形式进行。
即先将二次根式化简为有理数形式，然后进行加减运算。
二次根式的乘除运算可以直接对根号内的数进行相应的运算。
5.解题思路在解题时，我们需要根据具体的问题，灵活运用分式与二次根式的知识。
常见的解题思路包括：（1）化简分式与二次根式，使得问题更加简化。
（2）通过分式与二次根式的运算规则，将复杂的表达式转化为简单的形式。
（3）注意分式与二次根式在方程求解、函数图像等问题中的应用。
分式与二次根式是数学中的重要知识点，掌握了它们的基本概念、运算规则和解题思路，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。
在学习过程中，我们应该多进行练习，加深对分式与二次根式的理解和掌握。
数学知识点二次根式与分式的运算
数学知识点二次根式与分式的运算数学知识点：二次根式与分式的运算在数学中，二次根式与分式是常见的运算形式。
二次根式表示被开方数的平方根，而分式则表示数之间的比值。
正确地运用二次根式与分式的运算规则，能够更高效地解决问题。
本文将详细介绍二次根式与分式的运算方法和规则。
一、二次根式的运算二次根式是形如√a的表达式，其中a为非负实数。
在运算二次根式时，常见的操作有合并同类项、分解因式、有理化等。
1. 合并同类项合并同类项是将同一根号内的数合并，然后再进行开方。
例如：√9 + √4 = √(9+4) = √132. 分解因式分解因式是将根号内的数按照倍数的形式分解，以便于提取出根号外的因式。
例如：√12 = √(4×3) = √4 × √3 = 2√33. 有理化有理化是将二次根式中含有根号的分母进行处理，使其变为分母不含根号的形式。
例如：1/√2 = (1/√2) × (√2/√2) = √2/2二、分式的运算分式是形如a/b的表达式，其中a为分子，b为分母。
分式的运算包括四则运算、化简、通分、约分等。
1. 四则运算分式的四则运算与整数的四则运算类似，根据需要进行加、减、乘、除的操作。
例如：(1/2) + (1/3) = (3/6) + (2/6) = 5/62. 化简化简是将分式的分子与分母进行约分，使其达到最简形式。
例如：4/8 = (4÷4) / (8÷4) = 1/23. 通分通分是将分式的分母化为相同的公共分母，以便于进行加减运算。
例如：(1/2) + (1/3) = (3/6) + (2/6) = 5/64. 约分约分是将分数的分子与分母进行化简，使其达到最简形式。
例如：4/8 = (4÷4) / (8÷4) = 1/2三、综合运算在实际问题中，常常需要综合运用二次根式与分式的运算。
例如：例1：计算√(5+2√6) × √(5-2√6) 的值。
(完整版)八年级下册数学--二次根式知识点整理
二次根式1、算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
2、解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。
如：-2x＞4，不等式两边同除以-2得x＜-2。
不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。
如｛3、分式有意义的条件：分母≠04、绝对值：｜a｜=a （a≥0）；｜a｜= - a （a＜0）一、二次根式的概念一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“2”，我们一般省略根指数2，写作“”。
如25 可以写作 5 。
（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。
（3）式子 a 表示非负数a的算术平方根，因此a≥0， a ≥0。
其中a≥0是 a 有意义的前提条件。
（4）在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。
（5）形如b a （a≥0）的式子也是二次根式，b与 a 是相乘的关系。
要注意当b是分数时不能写成带分数，例如832 可写成8 23，但不能写成 2232 。
练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1） 6 ；（2）-18 ；（3）x2+1 ；（4）3-8 ；（5）x2+2x+1 ；（6）3｜x｜；（7）1+2x （x＜-12）X≥-2X＜5的解集为-2≤x＜5。
二、当x 取什么实数时，下列各式有意义？（1）2-5x ；（2）4x 2+4x+1二、二次根式的性质：二次根式的性质符号语言文字语言应用与拓展注意a （a ≥0）的性质a ≥0 （a ≥0）一个非负数的算术平方根是非负数。
（1）二次根式的非负性（a ≥0，a ≥0）应用较多，如：a+1 +b-3 =0，则a+1=0，b-3=0，即a= -1，b=3；又如x-a +a-x ，则x 的取值范围是x-a ≥0，a-x ≥0，解得x=a 。
中考数学考前满分计划：整式、分式、二次根式、因式分解(含解析)
○热○点○考○点○解○读一、整式1．单项式与多项式单独的一个数或一个字母也是单项式．2．合并同类项合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变，例如：合并同类项3x 2y 和4x 2y 为3x 2y +4x 2y =（3+4）x 2y =7x 2y ．3．整式的运算（1）整式的加减运算实际就是合并同类项．（2）整式的乘法：()()a b m n am an bm bn ++=+++．（3）整式的除法：单项式除以单项式时，把系数、相同字母的幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则照抄下来；多项式除以单项式时，用多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．（4）乘法公式①平方差公式：22()()a b a b a b +-=-．②完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+．4．幂的运算性质（1）同底数幂相乘法则：m n m n a a a +⋅=（,m n 为整数，0a ≠）（2）幂的乘方法则：()m n mn a a =（,m n 为整数，0a ≠）（3）积的乘方法则：()n n n ab a b =（n 为整数，0ab ≠）整式、分式、二次根式、因式分解常识必背语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．5．用十字相乘法分解因式利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用（ax ＋b ）（cx ＋d ）乘法法则．它的一般规律是：（1）对于二次项系数为1的二次三项式，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式（2）对于二次项系数不是1的二次三项式（a ，b ，c 都是整数且a ≠0）来说，如果存在四个整数，使，，且，那么．一个式子是分式需满足的三个条件：q px x ++2))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++c bx ax ++22121,,,c c a a a a a =⋅21c c c =⋅21b c a c a =+1221c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=易错易混2．约分（1）分式约分时，要注意不注意符号导致的错误．（2）要注意约分不彻底导致的错误．（3）约分时需注意分式的分子、分母都是乘积形式时才能进行约分；分子、分母是多项式时，通常先将分子、分母分解因式，再约分．（4）约分的结果是整式或最简分式．（5）分式的约分是恒等变形，约分前后分式的值不变．3．分解因式要彻底．方法必知1．同类项（1）几个项是不是同类项，一看所含字母是否完全相同．二看相同字母的指数是否相同．“二同”缺一不可．（2）同类项与单项式的系数无关，与字母顺序无关，几个常数项也是同类项．（3）同类项不一定是两项，也可以是三项，四项……但至少为两项．2．合并同类项（1）合并同类项时，注意合并的只是系数，字母部分不变，不要漏掉．（2）合并同类项时，注意各项系数的符号，尤其系数为负数时，不要遗漏负号，同时不要丢项．（3）如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项的结果为0．3．整式的加减的最后结果的要求：（1）不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；（2）一般按照某一字母的降幂或升幂排列；（3）不能出现带分数，带分数必须要化为假分数．4．整式的化简求值（1）化简求值题一般先按整式的运算法则进行化简，然后再代入求值．（2）在求整式的值时，代入负数时应用括号括起来，作为底数的分数也应用括号括起来5．约分时需要注意的问题：（1）如果分子、分母中至少有一个是多顶式，就应先分解因式，然后找出分子、分母的公因式，再约分．（2）注意发现分式的分子和分母的一些隐含的公因式，如a﹣5与5﹣a表面虽不相同，但通过提取“﹣”可发现含有公因式（a﹣5）．（3）当分式的分子或分母的系数是负数时，可利用分式的基本性质，把负号提到分式的前面．通分时确定了分母乘什么，分子也必须随之乘什么，要防止只对分母变形而忽略了分子，导致变形前后分式的值发生变化而出错．6．分式的混合运算，关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，在运算过程中要注意正确地运用运算法则，灵活地运用运算律，使运算尽量简便．7．因式分解（1）因式分解是针对多项式而言的，一个单项式本身就是数与字母的积，不需要再分解因式；（2）因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式；（3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止；（4）因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者不是互为逆运算．因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算．8．提公因式法（1）多项式的公因式提取要彻底，当一个多项式提取公因式后，剩下的另一个因式中不能再有公因式．（2）提公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样．（3）若多项式首项系数为负数时，通常要提出负因数．9．十字相乘法这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数之积；（3）一次项系数是常数项的两个因数之和．◇以◇练◇带◇学1．（鞍山）下列运算正确的是( )A ．222(4)8ab a b =B ．22423a a a +=C ．642a a a ÷=D ．222()a b a b +=+2．（攀枝花）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式：其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．（邵阳）下列计算正确的是( )A ．623a a a =B ．235()a a =C ．22()()a ba ba b a b +=+++D ．01()13-=4．（内蒙古）下列运算正确的是( )A+=B ．236()a a -=C ．11223a a a+=D ．21133b ab a b÷=5．（成都）若23320ab b --=，则代数式2222(1)ab b a ba a b---÷的值为 ．6．x 的取值范围是 ．7．（扬州）分解因式：24xy x -= ．8．（内蒙古）分解因式：34x x -= ．9．（盐城）先化简，再求值：2(3)(3)(3)a b a b a b +++-，其中2a =，1b =-．10．（滨州）先化简，再求值：22421()244a a a a a a a a -+-÷---+，其中a 满足211(6cos6004a a --⋅+︒=．1．（官渡区校级模拟）按一定规律排列的式子：a ，32a ，54a ，78a ，916a ，⋯，则第2024个式子为( )A ．202320252a B ．20244047(21)a -C ．202340472a D ．202440492a 2．（济南一模）下列运算正确的是( )A ．22a b ab+=B ．2222a b a b a b-=C ．238()a a =D ．84222a a a ÷=3．（金山区二模）单项式22a b -的系数和次数分别是( )A ．2-和2B ．2-和3C ．2和2D ．2和34．（龙岗区模拟）下列计算正确的是( )A ．236a a a ⋅=B ．2323a a a +=C ．2234(3)218ab ab a b -⋅=-D ．326(2)3ab ab b ÷-=-5．（中山市校级一模）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是( )A ．2()a a b a ab+=+B ．23()3a ab a a b +-=+-C ．22282(4)ab a a b -=-D ．228(2)(4)a a a a --=+-6．（钱塘区一模）下列因式分解正确的是( )A ．241(41)(41)a a a -=+-B ．225(5)(5)a a a -+=+-C ．22269(3)a ab b a b --=-D ．22816(8)a a a -+=-7．（新乡一模）化简2422a a a ---的结果是( )A ．2a +B ．2a -C ．12a +D ．12a -8．（东莞市校级模拟）分式23x x --的值为0时，x 的值是( )A ．0x =B ．2x =C ．3x =D ．2x =或3x =9．（碑林区校级一模）先化简，再求值：2[(2)(2)(2)](4)a b b a b a a --+-÷，其中12a =，2b =．10．（龙湖区校级一模）先化简，再求值：2344(111x x x x -+-÷++，其中3x =．1．按一定规律排列的单项式：3x ，54x -，79x ，916x -，⋯，第n 个单项式是( )A ．1221(1)n n n x ---B ．1221(1)n n n x ++-C ．1221(1)(1)n n n x ---+D ．1221(1)(1)n n n x ++-+2．下列运算正确的是( )A ．22(4)16x x -=-B ．325x y xy +=C ．432x x x ÷=D ．2224()xy x y =3．下列语句正确的是( )A ．5-不是单项式B ．a 可以表示负数C ．25a b -的系数是5，次数是2D ．221a ab ++是四次三项式4．下列因式分解正确的一项是( )A ．222()x y x y +=+B ．24(2)(2)x x x -=+-C ．2221(1)x x x --=-D ．242(2)xy x xy x +=+5．要使分式11x x -+有意义，则x 应满足的条件是( )A ．1x ≠-B ．1x ≠C ．1x <-D ．1x >-6．下列二次根式中，属于最简二次根式的是( )AB C D7．计算：0|1tan 60|(2024-︒+．8．先化简，再求值：2344(111x x x x -+-÷++，其中3x =．9．先化简，再求值：2(2)(4)a a a -++，其中a =．10．先化简，再求值：(2)(2)4()a b a b a a b -+--，其中2a =-，1b =．1．【答案】C【分析】根据积的乘方，合并同类项，同底数幂的除法法则，完全平方公式进行计算，逐一判断即可解答．【解答】解：A 、222(4)16ab a b =，故A 不符合题意；B 、22223a a a +=，故B 不符合题意；C 、642a a a ÷=，故C 符合题意；D 、222()2a b a ab b +=++，故D 不符合题意；故选：C ．2．【答案】D【分析】观察各个图形及相应的代数恒等式即可得到答案．【解答】解：图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有①②③④，故选：D ．3．【答案】D【分析】分别根据分式的加减法则、幂的乘方与积的乘方法则、零指数幂的运算法则对各选项进行逐一计算即可．【解答】解：A 、633a a a=，原计算错误，不符合题意；B 、236()a a =，原计算错误，不符合题意；C 、221()()a b a b a b a b+=+++，原计算错误，不符合题意；D 、01()13-=，正确，符合题意．故选：D ．4．【答案】D【分析】根据二次根式的加法、幂的乘法与积的乘方以及分式的运算的计算方法解题即可．【解答】解：A +=≠B ．2366()a a a -=-≠，故该选项不正确，不符合题意；C ．11123222223a a a a a a+=+=≠，故该选项不正确，不符合题意；21131.333b a D ab a ab b b ÷=⨯=，故该选项正确，符合题意；故选：D ．5．【答案】23．【分析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．【解答】解：2222(1ab b a b a a b---÷2222(2)a ab b a b a a b--=⋅-222()a b a b a a b-=⋅-()b a b =-2ab b =-，23320ab b --= ，2332ab b ∴-=，223ab b ∴-=，∴原式23=．故答案为：23．6．【答案】3x >．【分析】根据记二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：30x ->，解得：3x >，故答案为：3x >．7．【分析】原式提取x ，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式2(4)(2)(2)x y x y y =-=+-，故答案为：(2)(2)x y y +-8．【分析】应先提取公因式x ，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：34x x -，2(4)x x =-，(2)(2)x x x =+-．故答案为：(2)(2)x x x +-．9．【分析】依据题意，利用平方差公式和完全平方公式将原式进行化简，再将a ，b 的值代入计算即可求解．【解答】解：2(3)(3)(3)a b a b a b +++-2222699a ab b a b =+++-226a ab =+．当2a =，1b =-时，原式22262(1)=⨯+⨯⨯-812=-4=-．10．【答案】244a a -+，1．【分析】将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算，结合负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值化简，整体代入得出答案．【解答】解：原式2421[(2)(2)a a a a a a a -+-=÷---224(2)(2)(1)[](2)(2)a a a a a a a a a a -+--=÷---22244(2)a a a a a a a ---+=÷-24(2)4a a a a a --=⋅-2(2)a =-244a a =-+， 211()6cos6004a a --⋅+︒=，2430a a ∴-+=，243a a ∴-=-，∴原式341=-+=．1．【答案】C【分析】由题目可得式子的一般性规律：第n 个式子为：1212n n a --⋅，当2024n =时，第2024个式子为：202340472a ⋅，即可得出答案．【解答】解：式子的系数为1，2，4，8，16， ，则第n 个式子的系数为：12n -；式子的指数为1，3，5，7，9， ，则第n 个式子的指数为：21n -，∴第n 个式子为：1212n n a --⋅，当2024n =时，第2024个式子为：202340472a ⋅，故选：C ．2．【答案】B【分析】根据合并同类项法则、幂的乘方法则、单项式除以单项式法则分别判断即可．【解答】解：A 、2a 与b 不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；B 、2222a b a b a b -=，故此选项符合题意；C 、236()a a =，故此选项不符合题意；D 、84422a a a ÷=，故此选项不符合题意；故选：B．3．【答案】B【分析】数字与字母的积叫做单项式，其中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；由此计算即可．【解答】解：单项式22a b -的系数和次数分别是2-和3，故选：B ．4．【答案】D【分析】根据整式相关运算法则逐项判断即可．【解答】解：235a a a ⋅=，故A 错误，不符合题意；a 与22a 不能合并，故B 错误，不符合题意；2234(3)218ab ab a b -⋅=，故C 错误，不符合题意；326(2)3ab ab b ÷-=-，故D 正确，符合题意；故选：D ．5．【答案】D【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．【解答】解：A ．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；B ．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；C ．22282(4)2(2)(2)ab a a b a b b -=-=+-，分解不彻底，从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；D ．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意．故选：D ．6．【答案】B【分析】根据平方差公式和完全平方公式逐个判断即可．【解答】解：A ．241(21)(21)a a a -=+-，故本选项不符合题意；B ．225(5)(5)a a a -+=+-，故本选项符合题意；C ．22269(3)a ab b a b -+=-，故本选项不符合题意；D ．22816(4)a a a -+=-，故本选项不符合题意；故选：B ．7．【答案】A【分析】根据分式的加减法运算法则计算即可．【解答】解：2244(2)(2)22222a a a a a a a a a --+-===+----，故选：A ．8．【分析】分式的值为零时：分子等于零且分母不为零．据此求得x 的值．【解答】解：依题意得：20x -=，解得2x =．经检验当2x =时，分母30x -≠，符合题意．故选：B ．9．【答案】2a b -，1-．【分析】先利用平方差公式和完全平方公式进行计算，再根据多项式除以单项式的法则进行计算，最后把12a =，2b =代入计算即可．【解答】解：原式2222[44(4)](4)a ab b b a a =-+--÷2222(444)(4)a ab b b a a =-+-+÷2(84)(4)a ab a =-÷2a b =-，当12a =，2b =时，原式12212=⨯-=-．10．【答案】12x -，1．【分析】先算小括号里面的，然后算括号外面的，最后代入求值．【解答】解：原式213(2)()111x x x x x +-=-÷+++2211(2)x x x x -+=⋅+-12x =-，当3x =时，原式1132==-．1．【答案】B【分析】根据单项式的数字系数的符号，数字系数和指数的变化规律即可得出结果．【解答】解：在上述单项式中，可以发现：奇数项的数字系数的符号为正，偶数项的数字系数的符号为负，∴可得：第n 个单项式的数字系数的符号为：1(1)n --或1(1)n +-，单项式的数字系数为：1，4，9，16， ，∴第n 个单项式的数字系数为：2n ，单项式的指数为：3，5，7，9， ，∴第n 个单项式的指数为：21n +，∴第n 个单项式是1221(1)n n n x ++-，故选：B ．2．【答案】D【分析】根据整式的运算法则逐项分析判断即可．【解答】解：A 、22(4)816x x x -=-+，原计算错误，不符合题意；B 、3x 与2y 不是同类项，不能合并，故原计算错误，不符合题意；C 、43x x x ÷=，原计算错误不符合题意；D 、2224()xy x y =，正确，符合题意；故选：D ．3．【答案】B【分析】根据单项式的定义可判断A ，根据字母表示数的意义可判断B ，根据单项式系数和次数的定义可判断C ，根据多项式的项和次数的定义可判断D ，进而可得答案．【解答】解：A 、5-是单项式，故本选项错误，不符合题意；B 、a可以表示负数，故本选项正确，符合题意；C 、25a b -的系数是5-，次数是3，故本选项错误，不符合题意；D 、221a ab ++是二次三项式，故本选项错误，不符合题意；故选：B ．4．【答案】B【分析】根据因式分解的定义进行判断即可．【解答】解：A 、222()x y x y +≠+不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；B 、24(2)(2)x x x -=+-符合因式分解的定义，且因式分解正确，故本选项符合题意；C 、2221(1)x x x --≠-，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；D 、242(2)xy x x y +=+，原因式分解错误，故本选项不符合题意；故选：B ．5．【分析】先根据分式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x 的取值范围即可．【解答】解：由题意，得10x +≠，解得1x ≠-，故选：A ．6．【分析】直接利用最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，进而得出答案．【解答】解：A =，不是最简二次根式，故此选项错误；B ，是最简二次根式，故此选项正确；C 2=，不是最简二次根式，故此选项错误；D =故选：B ．7．．【分析】根据二次根式的混合运算法则和零指数幂与特殊的三角函数值等知识点计算即可．【解答】解：原式11=---+11=-+=．8．【答案】12x -，1．【分析】先算小括号里面的，然后算括号外面的，最后代入求值．【解答】解：原式213(2)()111x x x x x +-=-÷+++2211(2)x x x x -+=⋅+-12x =-，当3x =时，原式1132==-．9．【答案】224a +，原式8=．【分析】先利用完全平方公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把a 的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．【解答】解：2(2)(4)a a a -++22444a a a a=-+++224a =+，当a =224224448=⨯+=⨯+=+=．10．【答案】24ab b -，原式9=-．【分析】先利用平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把a ，b 的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．【解答】解：(2)(2)4()a b a b a a b -+--222444a b a ab=--+24ab b =-，当2a =-，1b =时，原式24(2)11819=⨯-⨯-=--=-．。
初中代数学习辅导：分式与二次根式
初中代数学习辅导：分式与二次根式分式与分式方程1指数的扩充2分式和分式的差不多性质设f，g是一元或多元多项式，g的次数高于零次，则称f，g之比f/g 为分式分式的差不多性质分数的分子与分母都乘以或除以同一个不等于0的数，分数的值不变3分式的约分和通分分式的约分是将分子与分母的公因式约去，使分式化简假如一个分式的分子与分母没有一次或一次以上的公因式，且各系数没有大于1的公约数，则此分式成为既约分式既约分式也确实是最简分式关于分母不相同的几个分式，将每个分式的分子与分母乘以适当的非零多项式，使各分式的分母相同，而各分式的值保持不变，这种运算叫做通分4分式的运算5分式方程方程的两遍差不多上有理式，如此的方程成为有理方程假如有理方程中含有分式，则称为分式方程二次根式1根式在实数范畴内，假如n个x相乘等于a，n是大于1的整数，则称x为a的n次方根含有数字与变元的加，减，乘，除，乘方，开方运算，并一定含有变元开方运算的算式成为无理式2最简二次根式与同类根式具备下列条件的二次根式称为最简二次根式:(1)被开方式的每一个因式的指数都小于开方次数(2)根号内不含有分母假如几个二次根式化成最简根式以后，被开方式相同，那么这几个二次根式叫做同类根式3二次根式的运算要练说，先练胆。
说话胆小是幼儿语言进展的障碍。
许多幼儿当众说话时显得可怕：有的结巴重复，面红耳赤；有的声音极低，自讲自听；有的低头不语，扯衣服，扭身子。
总之，说话时外部表现不自然。
我抓住练胆那个关键，面向全体，偏向差生。
一是和幼儿建立和谐的语言交流关系。
每当和幼儿讲话时，我总是笑脸相迎，声音亲切，动作亲昵，排除幼儿恐惧心理，让他能主动的、自由自在地和我交谈。
二是注重培养幼儿敢于当众说话的适应。
或在课堂教学中，改变过去老师讲学生听的传统的教学模式，取消了先举手后发言的约束，多采取自由讨论和谈话的形式，给每个幼儿较多的当众说话的机会，培养幼儿爱说话敢说话的爱好，对一些说话有困难的幼儿，我总是认真地耐心地听，热情地关心和鼓舞他把话说完、说好，增强其说话的勇气和把话说好的信心。
(中考考点梳理)分式与二次根式-中考数学一遍过
考点03 分式与二次根式一、分式 1．分式的定义（1）一般地，整式A 除以整式B ，可以表示成A B 的形式，如果除式B 中含有字母，那么称AB为分式．（2）分式AB中，A 叫做分子，B 叫做分母． 【注意】①若B ≠0，则AB有意义；②若B =0，则AB无意义；③若A =0且B ≠0，则AB＝0．学=科网2．分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． 用式子表示为(0)A A C C B B C⋅=≠⋅或(0)A A CC B B C ÷=≠÷，其中A ，B ，C 均为整式． 3．约分及约分法则 （1）约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分． （2）约分法则把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数．如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分．【注意】约分的根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式． 4．最简分式分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．【注意】约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式． 5．通分及通分法则（1）通分根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一过程称为分式的通分．（2）通分法则把两个或者几个分式通分：①先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因式的积）；②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式；③若分母是多项式，则先分解因式，再通分．【注意】通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．6．最简公分母几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．7．分式的运算（1）分式的加减①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为：a c a cb b b±±=．②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．用式子表示为：a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=．（2）分式的乘法乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为：a c a cb d b d⋅⋅=⋅．（3）分式的除法除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．用式子表示为：a c a d a db d bc b c⋅÷=⋅=⋅．（4）分式的乘方乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示为：((nn n a a n b b=为正整数，0)b ≠．（5）分式的混合运算含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的． 二、根式1．二次根式的有关概念 （1）二次根式的概念形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式．其中符号叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．【注意】被开方数a 只能是非负数．即要使二次根式a 有意义，则a ≥0． （2）最简二次根式被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．（3）同类二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式． 2．二次根式的性质 （1）a ≥ 0（a ≥0）； （2）)0()(2≥=a a a ；（3(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩；（40,0)a b =≥≥；（50,0)a b ≥>． 3．二次根式的运算 （1）二次根式的加减合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式． （2）二次根式的乘除0,0)a b =≥≥；0,0)a b ≥>． （3）二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用．考向一 分式的有关概念1．分式的三要素： （1）形如AB的式子； （2）,A B 均为整式；学科!网 （3）分母B 中含有字母． 2．分式的意义：（1）有意义的条件是分式中的字母取值不能使分母等于零，即0B ≠． （2）无意义的条件是分母为0．（3）分式值为0要满足两个条件，分子为0，分母不为0．典例1 x 的取值范围是 A ．x ≠1B ．x ≠0C ．x ＞﹣1且≠0D ．x ≥﹣1且x ≠0【答案】D【解析】根据题意得：100x x +≥⎧⎨≠⎩，解得：x ≥-1且x ≠0．故选：D ．1．若分式21xx-在实数范围内无意义，则x 的取值范围是 A ．x ≠1 B ．x =1C ．x =0D ．x ＞1考向二 分式的基本性质分式基本性质的应用主要反映在以下两个方面：（1）不改变分式的值，把分式的分子、分母中各项的系数化为整数；（2）分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．典例2 分式233x yxy+中的x 、y 的值都扩大到原来的2倍，则分式的值为 A ．扩大为原来2倍 B ．缩小为原来的12倍 C ．不变D ．缩小为原来的14倍【答案】B【名师点睛】本题考查了分式的基本概念和性质的相关知识．这类题目的一个易错点是：在没有充分理解题意的情况下简单地通过分式的基本性质得出分式值不变的结论．对照分式的基本性质和本题的条件不难发现，本题不符合分式基本性质所描述的情况，不能直接利用其结论．因此，在解决这类问题时，要注意认真理解题意．2．不改变分式的值，下列变形正确的是A ．2233a ab b -=-- B ．33a ab b -=-- C ．55a a b b=--D ．7744a a b b=- 考向三 分式的化简与求值约分与通分的区别与联系：1．约分与通分都是根据分式的基本性质，对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值； 2．约分是针对一个分式而言，约分可使分式变得简单；3．通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母分式化为同分母分式．典例3 把分式x x y -，y x y +，222x y-的分母化为x 2-y 2后，各分式的分子之和是 A ．x 2＋y 2＋2 B ．x 2＋y 2-x ＋y ＋2 C ．x 2＋2xy −y 2＋2D ．x 2−2xy ＋y 2＋2【答案】C【解析】由平方差公式将x 2−y 2可化简为(x +y )(x −y )， 故将xx y-的分母化为x 2−y 2后可得()22x x y x y +-，将y x y+的分母化为x 2−y 2后可得()22y x y x y --， 所以分式的x x y -,y x y +,222x y-的分母化为x 2−y 2后,各分式的分子之和为 x (x +y )+y (x -y )+2，展开得x 2+xy +xy −y 2+2合并同类项,得x 2+2xy −y 2+2， 故选C.【名师点睛】本题考查了最简公分母，通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握．求最简公分母的方法是： （i ）将各个分母分解因式； （ii ）找各分母系数的最小公倍数；（iii ）找出各分母中不同的因式，相同因式中取次数最高的. 满足（ii ）（iii ）的因式之积即为各分式的最简公分母．3．下列分式中，是最简分式的是A ．2xyx B ．222x y -C ．22x yx y+- D ．22xx + 考向四 分式的运算（1）分式的加减运算：异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的最简公分母．（2）分式的乘除运算：分式乘除法的运算与因式分解密切相关，分式乘除法的本质是化成乘法后，约去分式的分子分母中的公因式，因此往往要对分子或分母进行因式分解（在分解因式时注意不要出现符号错误），然后找出其中的公因式，并把公因式约去．（3）分式的乘方运算，先确定幂的符号，遵守“正数的任何次幂都是正数，负数的偶数次幂是正数，负数的奇数次幂是负数”的原则．（4）分式的混合运算有乘方，先算乘方，再算乘除，有时灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式．注意运算顺序，计算准确．典例4 计算(1－1x)÷221x x x -+的结果是A ．x －1B ．11x - C ．1xx -D ．1x x-【答案】B【解析】原式=（x x −1x ）÷()21x x -=1x x -. •()21x x -=11x -， 故选B ．4．先化简，再求值：2221()211x x x x x x+÷--+-，其中x =4．考向五 二次根式的概念与性质1．二次根式的意义：首先考虑被开方数为非负数，其次还要考虑其他限制条件，这样就转化为解不等式或不等式组问题，如有分母时还要注意分式的分母不为0．2．利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简．典例5 下列各式： ①；②；③；；；．其中一定是二次根式的有 A ．4个 B ．3个 C ．2个D ．1个【答案】B5的取值范围是 A ． B． C ．D ．典例6 下列二次根式是最简二次根式的是 ABCD【答案】Cx 1x ≠1x ≥>1x 0x ≥6；．其中是最简二次根式的有 A ．2个 B ．3个C ．4个D ．5个考向六 二次根式的运算1．二次根式的运算（1）二次根式的加减法就是把同类二次根式进行合并．（2）二次根式的乘除法要注意运算的准确性；要熟练掌握被开方数是非负数．（3）二次根式混合运算先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）． 2．比较分式与二次根式的大小（1）分式：对于同分母分式，直接比较分子即可，异分母分式通常运用约分或通分法后作比较； （2）二次根式：可以直接比较被开方数的大小，也可以运用平方法来比较．典例7 下列计算正确的是A =B 6=C 5+=D 4=【答案】A【解析】A 、原式-B 、原式，错误；C 为最简结果，错误；D 、原式，错误， 故选：A ．7．已知x =，y =，则y xx y +=_____________．典例8 比较大小：______5（填“＞，＜，=”）． 【答案】＞【解析】因为2228,525==，28＞25，所以＞5．【名师点睛】比较二次根式的大小，可以转化为比较被开方数的大小，也可以将两个数平方，计算出结果，再比较大小．8．设a ，b －1，c ，则a ，b ，c 之间的大小关系是 A ．c ＞b ＞a B ．a ＞c ＞b C ．b ＞a ＞cD ．a ＞b ＞c1．下列根式中属于最简二次根式的是A BCD 2．若分式24x x-的值为0，则x 的值是A ．2或﹣2B ．2C ．﹣2D ．03．如果把分式xyx y+中的x 和y 都扩大2倍，则分式的值 A ．扩大4倍B ．扩大2倍C ．不变D ．缩小2倍4A BCD5．下列关于分式的判断，正确的是A ．当x =2时，12x x +-的值为零 B ．当x ≠3时，3x x-有意义C ．无论x 为何值，31x +不可能得整数值D ．无论x 为何值，231x +的值总为正数6．若x 、y 为实数，且|2|0x +=，则2019x y ⎛⎫⎪⎝⎭的值为A ．2B ．−2C ．1D ．−17的被开方数相同，则a 的值为 A ．1B ．2C ．23D ．328．下列运算中，错误的是 A ．x y y xx y y x--=-++ B ．a ba b--+=−1C −1D a9．已知 1x <，则 化简的结果是A ．1x -B ．1x -C ．1x --D ．1x +10．下列分式是最简分式的是A BCD ．22121x x x --+11．若分式11x x -+的值为0，则x 的值为 A ．1 B ．−1 C ．±1D ．无解12 A ．2B ．21x - C ．23x -D ．41x x --13．若x 、y ()2210y +-=，则x y +的值等于A ．1B ．32 C ．2D ．5214a =，则1x x +的值为A ．22a - B ．2a C ．24a -D ．不确定15＝_____________． 16．当x =_____________时，分式323xx -+的值为零．17．比较大小：（填“＞、＜、或=”）18．当a =2_____________．19．已知a ，b 互为倒数，代数式222a ab b a b+++÷11a b ⎛⎫+⎪⎝⎭的值为_____________．20．已知::2:3:4x y z =，则23x y zx y z+--+的值为_____________．21．计算：（1）|1|+（2018−π）0；（2+（（．22．先化简，再求值：221a b a b a b⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭，其中1a =+，1b =-．23．先化简，再求值：2-，其中，．24．先化简，再求值：2212111121m m m m m -⎛⎫-÷- ⎪+--+⎝⎭，其中m 为一元二次方程230x x +-=的根．1．（2018·德阳市）下列计算或运算中，正确的是A ．=B =C ．÷=D ．-=2．（2018·兰州市）下列二次根式中，是最简二次根式的是A BCD3．（2018·绥化市）若y =x 的取值范围是 A ．12x ≤且0x ≠ B ．12x ≠C ．12x ≤D ．0x ≠4．（2018·绥化市）下列运算正确的是A ．2235a a a +=B 5=-C ．3412a a a ⋅=D ．0(π3)1-=5．（2018·曲靖市）下列二次根式中能与合并的是ABCD6．（2018·上海市）的结果是A．4 B．3C．D7．（2018·日照市）计算：（12）−1+tan30°•sin60°=A．﹣32B．2C．52D．728．（2018·莱芜市）若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是A．2xx y+-B．22yxC．3223yxD．()222yx y-9．（2018·陇南市）有意义的x的取值范围是____________．10．（2018·毕节市）观察下列运算过程：1========-……请运用上面的运算方法计算：+=____________．11．（2018____________．12．（2018·莱芜市）如图，正三角形和矩形具有一条公共边，矩形内有一个正方形，其四个顶点都在矩形的边上，正三角形和正方形的面积分别是和2，则图中阴影部分的面积是____________．13．（2018·镇江市）=____________．14．（2018·梧州市）在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是____________．15．（2018·巴彦淖尔市）化简3m m ++269m -÷23m -的结果是____________． 16．（2018·绥化市）当2x =时，代数式211()x x x x x+++÷的值是____________．17．（2018·大连市）计算：+2）2+22-.18．（2018·百色市）已知a 2=19，求22211118a a a --+-的值．19．（2018·福建省b 卷）先化简，再求值：2211(1)m m m m+--÷，其中m ．20．（2018·锦州市）先化简，再求值： 233212,322x x x x x x +-+-÷=++（其中.21．（2018·毕节市）先化简，再求值：22214244aa a a a a ⎛⎫-÷⎪--++⎝⎭，其中a 是方程a 2+a ﹣6=0的解．22．（2018·兰州市）计算：101()(π3)1tan452--+-+-.23．（2018·甘孜州）（1()03.144cos45--π- ；（2）化简：2211x xx x x ÷---.24．（2018·益阳市）化简：2()y x y x y x y x+-+⋅+.25．（2018·莱芜市）先化简，再求值：233(111a aa a a -+÷--+，其中a +1．26．（2018·曲靖市）先化简，再求值（1a b -﹣22b a b -）÷2222+a ab a ab b --，其中a ，b 满足a +b ﹣12=0．27．（2018·梧州市）解不等式组36451102x xx x -≤⎧⎪++⎨<⎪⎩，并求出它的整数解，再化简代数式2321x x x +-+•（3x x +﹣239x x --），从上述整数解中选择一个合适的数，求此代数式的值．28．（2018·抚顺市）先化简，再求值：（1﹣x +31x +）÷2441x x x +++，其中x =tan45°+（12）−1．1．【答案】B 【解析】∵分式21xx-在实数范围内无意义， ∴1﹣x =0，即x =1， 故选：B ．3．【答案】D 【解析】A 、2xy x ＝yx，错误； B 、222x y -＝1x y -，错误；C 、22x y x y +-＝1x y -，错误；D 、22xx +是最简分式，正确． 故选D ．4．【答案】21x x -；163.【解析】2221()211x x x x x x+÷--+- =2(+1)2(111)()()x x x x x x x --÷-- =2()(+1)111)(x x x x x x -⋅-+ =21x x -， 当x =4时，原式=2416413=-． 5．【答案】B【解析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件知，要使．故选B ．6．【答案】B= =， =，∴. 故选：B .8．【答案】D【解析】a −1），b ，c ）， ＞1，∴a ＞b ＞c ．故选D ． 101x x -≥⇒≥【解析】A、该二次根式符合最简二次根式的定义，故本选项正确；B、该二次根式的被开方数中含有分母，所以它不是最简二次根式，故本选项错误；C、该二次根式的被开方数中含有能开得尽方的因数4，所以它不是最简二次根式，故本选项错误；D、该二次根式的被开方数中含有能开得尽方的因数9，所以它不是最简二次根式，故本选项错误；故选A．【名师点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．2．【答案】A【解析】∵分式24xx-的值为0，∴x2﹣4=0，解得：x=2或﹣2．故选：A．3．【答案】B【解析】把分式xyx y+中的x和y都扩大2倍，则22222x y xyx y x y⋅=++，故选B．5．【答案】D【解析】A选项：当x=2时，该分式的分母20x-=，该分式无意义，故A选项错误．B选项：当x=0时，该分式的分母为零，该分式无意义．显然，x=0满足x≠3．由此可见，当x≠3时，该分式不一定有意义，故B选项错误．C选项：当x=0时，该分式的值为3，即当x=0时该分式的值为整数，故C选项错误．D选项：无论x为何值，该分式的分母x2+1>0，该分式的分子3>0．由此可知，无论x为何值，该分式的值总为正数，故D选项正确．故本题应选D．【名师点睛】本题考查了与分式概念相关的知识．分式有意义的条件是分式的分母不等于零，并不是分母中的x的值不等于零．分式的值为零的条件是分式的分母不等于零且分式的分子等于零．在分式整体的符号为正的情况下，分式值的符号由分子与分母的符号共同确定：若分子与分母同号，则分式值为正数；若分子与分母异号，则分式值为负数．【解析】由非负数的性质可得：x+2=0，y−2=0，即x=−2，y=2，∴2019xy⎛⎫⎪⎝⎭=（−1）2019=−1．故选C．7．【答案】D【解析】31+4,2a a a=-=解得，故选D．8．【答案】D【解析】A．x y y xx y y x--=-++，正确，故不符合题意；B．a ba b--+=−1，正确，故不符合题意；C−1，正确，故不符合题意；D=|a|，错误，故符合题意．故选D．9．【答案】B【解析】∵x＜1，∴x-1＜0x-1|=1-x．故选：B．10．【答案】C【解析】A选项：化简该分式，得()222a ba ab bam am m+++==，故A选项不符合题意．B选项：化简该分式，得623xy xya a=，故B选项不符合题意．C选项：对该分式的分子进行因式分解，得()()222111x xxx x+--=．由此可见，该分式的分子与分母没有公因式，符合最简分式的定义，故C选项符合题意．D选项：化简该分式，得()()()22211112111x xx xx x xx+--+==-+--，故D选项不符合题意．故本题应选C．11．【答案】A【解析】∵分式11x x -+的值为0，∴|x |−1=0，且x +1≠0，解得：x =1．故选A ． 12．【答案】B（13x -−11x -）•（x −3）=13x -•（x −3）−11x -•（x −3）=1−31x x --=21x -．故选B ． 15==． 16．【答案】3【解析】依题意得：3﹣x =0且2x +3≠0．解得x =3，故答案为：3．17．【答案】＜【解析】将两式进行平方可得：(2=12，(2=18，因为12＜18，所以＜18．【答案】3- 【解析】∵()()2121214122121a a a a a a +--==-++，∴当a =2时，原式=1223-⨯=-．故本题应填写：3-．19．【答案】1 【解析】对待求值的代数式进行化简，得22211a ab b a b a b ++⎛⎫÷+ ⎪+⎝⎭()2a b a b a b ab ++⎛⎫=÷ ⎪+⎝⎭()ab a b a b =+⋅+ab =， ∵a ，b 互为倒数，∴ab =1，∴原式=1．故本题应填写：1．20．【答案】411【解析】根据分式的性质（分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变）解答．∵::2:3:4x y z =，∴可设234x k y k z k ===、、，∴226444323121111x y z k k k k x y z k k k k +-+-===-+-+， 故答案为：411．21．【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式−1−+1=．（2）原式=3−−5=2−．22．【答案】化简见解析，结果为． 【解析】221a b a b a b ⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭ ()()a b a b a a b a b b+--+=⋅- ()()a b a b b a b b+-=⋅- a b =+，当1a =+，1b =时，原式11++-=23．【答案】8-+．【解析】原式2(2)x y x y =---+22x y x y =--+-2y =-．当34x y ==,时，原式=2−2×4=4 −8． 24．【答案】化简见解析，结果为13． 【解析】原式=()()()22122111111m m m m m m m --+--÷++-- =()()()()21121112m m m m m m m ---⋅++-- =()1111m m m m --++=()()11m m m m --+ =()11m m + =21m m +． 由m 是方程230x x +-=的根，得到23m m +=，所以原式=13． 【名师点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．1．【答案】B【解析】A 、=，此选项错误； B ＝，此选项正确；C 、÷=D 、-=，此选项错误；故选：B ．2．【答案】B【解析】A =不是最简二次根式，错误；B 是最简二次根式，正确；C =不是最简二次根式，错误；D =不是最简二次根式，错误，故选B ．3．【答案】A【解析】由题意可知：1200x x -≥⎧⎨≠⎩，解得：12x ≤且0x ≠， 故选A ．4．【答案】D 【解析】A. 23a a +=5a ，故A 选项错误；B. =5，故B 选项错误；C. 347a a a ⋅=，故C 选项错误；D. 0(π3)1-=，故D 选项正确，故选D.5．【答案】B【解析】A ＝，不能与B 合并，故该选项正确；C ＝不能与D 3不能与故选B ．6．【答案】C【解析】，故选C ．7．【答案】C【解析】（12）−1+tan30°•sin60°=2+12 =52， 故选C ．9．【答案】x ＞3有意义， ∴x ﹣3＞0，∴x ＞3， ∴x 的取值范围是x ＞3，故答案为：x ＞3．10．【解析】原式=12﹣1）+12+12+ (12)+12=12…）． 11．【答案】6【解析】原式．故答案为：6．12．【答案】2【解析】设正三角形的边长为a ，则12a 2解得a ．则图中阴影部分的面积．故答案是2．13．【答案】2，故答案为2. 14．【答案】x ≥3【解析】由题意可得：x ﹣3≥0，解得：x ≥3，故答案为：x ≥3．15．【答案】1 【解析】3m m ++269m -÷23m - =()()63·3332m m m m m -+++- =333m m m +++ =1，故答案为1.16．【答案】3【解析】原式221()1x x x x x x +=+⋅+ =2(1)1x x x x +⋅+ 1x =+，当2x =时，原式213=+=，故答案为：3．17．【答案】294【解析】原式﹣14=294． 18．【答案】16- 【解析】原式=22121a a a ---（）﹣118 =221a ---118， ∵a 2=19，∴原式=2191--﹣118=﹣318=﹣16．19．【解析】2211(1)m m m m+--÷ =()()2111m m m m m m +-⋅+- =()()111m m m m m +⋅+- =11m -，当m +1时，原式==． 20．【答案】11;12x -- 【解析】原式=()23322)21x x x x ++-⨯+-（ ， ()()22433221x x x x x +--+=⨯+-，()()21221x x x x -+=⨯+-，11x =-， 当x =3时，原式=113-=12-. 21．【答案】13 【解析】22214244a a a a a a ⎛⎫-÷ ⎪--++⎝⎭ =()()()()222222a a a a a a -++⋅+-=2222a a a a a--+⋅- =222a a a a-+⋅-， =2a a +，由a 2+a ﹣6=0，得a =﹣3或a =2，∵a ﹣2≠0，∴a ≠2，∴a =﹣3，当a =﹣3时，原式=32133-+=-． 22．1．【解析】101()(π3)1tan 2--+-+-45°=2111-++1=．（2）2211x x x x x ÷--- =()()211·1x x x x x+---x =x (x +1)-x=x 2.24．【答案】x 【解析】原式=222x y y x y x y x-++⋅+ =2x x y x y x+⋅+ =x ．25．【答案】【解析】当a +1时，原式=()()333111a a a a a a++-+⨯-+=()()4111a a a a a+⨯-+ =41a -. 26．【答案】原式=1a b+=2 【解析】（1a b -﹣22b a b -）÷2222+a ab a ab b -- =()()()()2•a b a b b a b a b a a b -+-+-- =1a b+， 由a +b ﹣12=0，得到a +b =12， 则原式=112=2． 27．【答案】原式=11x -，当x =2，原式=1． 【解析】解不等式 3x ﹣6≤x ，得：x ≤3， 解不等式4510x +＜12x +，得：x ＞0， 则不等式组的解集为 0＜x ≤3，所以不等式组的整数解为 1、2、3， 原式=()231x x +-•[()()2333x x x x --+- ()()333x x x -+-] =()231x x +-•()()()()1333x x x x --+- =11x -， ∵x ≠±3、1，∴x =2， 则原式=1．28．【答案】-1 5【解析】原式=（21311xx x-+++）÷()221xx++=()()()2 221·12x x xx x +-+++=22xx -+，当x=tan45°+（12）−1=1+2=3时，原式=231235-=-+。
中考数学 分式 二次根式
分式【重点考点例析】考点一：分式有意义的条件（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零． 例1 使式子1+11x -有意义的x 的取值范围是 ． 对应训练1．要使分式51x -有意义，则x 的取值范围是_______________ 考点二：分式的值为零的条件例2 分式242x x -+的值为0，则______________ 对应训练2．要使分式2939x x -+的值为0，则_________________ 二次根式考点一 二次根式有意义范围1、二次根式23x -有意义时，x 的取值范围是___________________2、当x ________时，12-x 在实数范围内意义. 3、当x ________时，二次根式x 25-有意义.4.若二次根式25x x -+-有意义，则x 的取值范围是 考点二 二次根式的性质a a =21、化简下列各式：2(1)0.3______=()2(2)0.3______-=()2(3)5_______-=2(4)(2)_____a 0a =（<） （5）)0(42≥x x =______（6）)3()3(2≥-a a =__________ （7）()232+x （x ＜-2）=____________ 对应训练1、填空：（1）2)12(-x -2)32(-x )2(≥x =_________. （2）2)4(-π=2、已知2＜x ＜3，化简：3)2(2-+-x x考点三 最简二次根式 1、下列根式中属最简二次根式的是（ ） A.21a + B.12 C.8 D.272、属于最简二次根式的是（ ）A.8 B y x 2 C.31 D.22y x +3、下列各式中属于最简二次根式的是( )A..12+xB. 52y xC. 12D. 5.04、下列二次根式，与a 是同类二次根式的是() (A) a 2 (B) 23a (C) 3a (D) 4a 5、二次根式21、12 、30 、x+2 、240x 、22y x +中，最简二次根式有（ ）个。
初中九年级数学(初三)总复习 第八课 分式方程与二次根式方程
第8课分式方程与二次根式方程〖知识点〗分式方程、二次根式的概念、解法思路、解法、增根〖大纲要求〗了解分式方程、二次根式方程的概念。
掌握把简单的分式方程、二次根式方程转化为一元一次方程、一元二次方程的一般方法，会用换元法解方程，会检验。
内容分析1．分式方程的解法(1)去分母法用去分母法解分式方程的一般步骤是：（i)在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；(ii)解这个整式方程；(iii)把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母不为零的根是原方程的根，使最简公分母为零的根是增根，必须舍去.在上述步骤中，去分母是关键，验根只需代入员简公分母.(2)换元法用换元法解分式方程，也就是把适当的分式换成新的未知数，求出新的未知数后求出原来的未知数．2．二次根式方程的解法(1)两边平方法用两边平方法解无理方程的—般步骤是：(i)方程两边都平方，去掉根号，化成有理方程；(ii)解这个有理方程；(iii)把有理方程的根代入原方程进行检验，如果适合，就是原方程的根，如果不适合，就是增根，必须舍去．在上述步骤中，两边平方是关键，验根必须代入原方程进行．(2)换元法用换元法解无理方程，就是把适当的根号下台有未知数的式子换成新的未知数，求出新的未知数后再求原来的未知数．〖考查重点与常见题型〗考查换元法解分式方程和二次根式方程，有一部分只考查换元的能力，常出现在选择题中另一部分习题考查完整的解题能力，习题出现在中档解答题中。
考题类型1．（1）用换元法解分式方程3xx2－1＋x2－13x＝3时，设3xx2－1＝y，原方程变形为（）（A）y2－3y＋1＝0（B）y2＋3y＋1＝0（C）y2＋3y－1＝0（D）y2－y＋3＝02．用换元法解方程x2＋8x＋x2＋8x－11 ＝23，若设y＝x2＋8x－11 ，则原方程可化为（）（A）y2＋y＋12＝0（B）y2＋y－23＝0（C）y2＋y－12＝0（D）y2＋y－34=03．若解分式方程2x x －1 －m ＋1x 2＋x ＝x ＋1x产生增根，则m 的值是（ ） （A ）－1或－2 （B ）－1或2 （C ）1或2 （D ）1或－24．解方程4x －1x －1＝1时，需将方程两边都乘以同一个整式（各分母的最简公分母），约去分母，所乘的这个整式为（ ）（A ）x －1 （B ）x （x －1） （C ）x （D ）x ＋15．先阅读下面解方程x ＋x －2 ＝2的过程，然后填空.解：（第一步）将方程整理为x －2＋x －2 ＝0；（第二步）设y ＝x －2 ，原方程可化为y2＋y ＝0；（第三步）解这个方程的 y 1＝0，y 2＝－1（第四步）当y ＝0时，x －2 ＝0；解得 x ＝2，当y ＝－1时，x －2 ＝－1，方程无解；（第五步）所以x ＝2是原方程的根以上解题过程中，第二步用的方法是＿＿＿，第四步中，能够判定方程x －2 ＝－1无解原根据是＿＿。
《分式与二次根式》专题复习
分式与二次根式一、选择题：1、分式－12x 2 , 5x-14(m-n) ,2n-m的最简公分母为( ) (A) 4(m －n)(n －m)x 2 (B)14x 2(m-n)(C)4x 2(m －n)2 (D)4(m －n)x 2 2、下列各式的变号中,正确的是(A)x-y y-x = － y-x x-y ( B)x-y y-x 2 =y-x y-x 2 (C)-x-1-y+1 =x-1y+1 (D)-x-y y-x ＝－ x+y y-x3、若x >y>0,则x+1y+1 － y x的结果是( ) (A) 0 (B)正数 (C) 负数 (D) 以上情况都有可能4、下列命题：（1）任何数的平方根都有两个（2）如果一个数有立方根，那么它一定有平方根（3）算术平方根一定是正数（4）非负数的立方根不一定是非负数，错误的个数为（ ）(A)1 (B)2 (C)3 (D)45、(x －2)2 ＋(2－x )2的值一定是（ ）（A ）0 （B ）4－2x （C ）2x －4 （D ）4 6、计算3m 2m 963m m 2-÷--+的结果为（ ） （A ）3m 3m +- （B ）1 （C ）3m 3m -+ （D ）3m 3m + 7、计算)a 1(1a)a 1(-÷-的结果为（ ） （A ）a －1 （B ）－a －1 （C ）1－a （D ）a+18、适合a 33)(a 2-=-的正整整a 的值有（ ）个.（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）49、化简aa 4)2a a a 2a (2-⋅+---的结果是（ ） （A ）－4 （B ）4 （C ）2a （D ）2a+410、如果a 满足014a a 2=++,那么22a 1a +的值是( ) （A ）154 （B ）14 （C ）174 （D ）4 二、填空题:11、当x=-------------------时，分式|x|-3x 2+4x+12的值为零？ 12、（5827·113 ·354 ）=------------------- 13、18 ＋22－1 －412 －2( 2 ＋1)0=-------------------15、已知962+-a a 与|b －1|互为相反数，则b)(a )abba (+÷-的值是----------------- 16、若|a|=3且|a+2|=－a －2，则a24a )2a a 2a a (-÷++-的值是------------------ 17、化简a2------------------ 18、观察下列一组单项式：0、2x 3、3x 6、4x 32、……，则第10个单项式为-----------------三、解答题：19、化简求值：x 1x )1x 2x 1x x (2-÷---，其中21x =20、先化简代数式1a a )12a a 11a 1a (2-÷+-+-+，然后选取一个使原式有意义的a 值代入求值.21、先化简，再求值：⎪⎭⎫ ⎝⎛+---÷--1x 12x 1x 1x 2x x 22，其中21x -=22、有一道题：“先化简，再求值：22361()399x x x x x -+÷+--，其中“x=．小亮同学做题时把“x= ，但他的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事?23、先化简，再求值:22a b ab b a a a ⎛⎫--÷- ⎪⎝⎭，其中3tan 301a =+，45b =．。
复习初中数学揭秘二次根式与分式的计算方法
复习初中数学揭秘二次根式与分式的计算方法复习初中数学揭秘二次根式与分式的计算方法初中数学是我们基础教育中不可或缺的一门学科，而在初中数学中，二次根式与分式是常见的数学概念和计算方法。
了解和掌握二次根式与分式的计算方法对于正确理解和解决数学问题至关重要。
本文将揭秘二次根式与分式的计算方法，帮助大家复习初中数学知识。
一、二次根式的计算方法二次根式是一个数学表达式，其中包含有平方根的形式。
要计算二次根式，需要掌握以下几个基本方法。
1. 二次根式的化简当二次根式中含有分式、复数时，我们需要进行化简，以方便进行计算。
化简的方法主要有：（1）利用平方根的性质将二次根式中的分式转化为有理数，例如：$\sqrt{\dfrac{9}{4}}=\dfrac{3}{2}$。
（2）将二次根式中的复数部分分离出来，例如：$\sqrt{-4}=\sqrt{4} \cdot \sqrt{-1} = 2i$，其中$i$为虚数单位。
2. 二次根式的加减法二次根式的加减法需要满足根号内的数值和分母相同的情况下，才能进行计算。
例如：$\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$。
3. 二次根式的乘法二次根式的乘法可以通过将根号内的数相乘，然后合并同类项得到最简形式。
例如：$\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}=\sqrt{15}$。
4. 二次根式的除法二次根式的除法可以通过将根号内数的比值相除，然后将分子和分母进行化简。
例如：$\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{2}}=\sqrt{6}$。
二、分式的计算方法分式是由分子和分母组成的有理数。
在初中数学中，分式的计算方法主要包括四则运算和简化。
1. 分式的加减法分式的加减法需要满足分母相同的情况下，才能进行计算。
例如：$\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}=\dfrac{4}{2}=2$。
2. 分式的乘法分式的乘法可以通过将两个分式的分子和分母分别相乘，然后再将结果化简。
初中数学 分式二次根式知识点归纳
第四节 分式与二次根式考点一：分式的概念分式：两个整式相除，且除式中含有字母，这样的代数式叫做分式。
分式中字幕的取值不能使分母为零，当分母为零时，分式就没有意义。
<分式为零的条件>分式为零的条件：当分子为零时，分式的值为零。
<分式有意义的条件>分式有意义的条件：当分母不为零时，分式有意义。
考点二：分式的基本性质与运算<分式的基本性质>分式的分子与分母都乘以（或除以）一个不等于零的整式，粉饰的值不变。
A A×X A A÷M= =B B×X , B B÷M ， （其中M 是不等于零的整式）<约分>分式的约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分，约分要约去分子、分母的所有公因式。
分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式。
利用分式的约分，可以进行多项式的除法。
把两个多项式相除先表示成分式，然后通过分解因式、约分等把分式简化，用整式或最简分式表示所求的商。
<分式的运算>分式的乘除：分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
a c = aca c a d adb d bd , b d bc bc分式的加减：同分母的分式相加减，分式的分母不变，把分子相加减。
a b = a b c c c 通分：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做痛分，一分母分式的加减就转化为同分母分式的加减，然后按同分母分式的加减法则进行计算。
通分时，一般取各分母的系数的最小公倍数与各分母所有字母的最高词目的积为公分母。
分式方程：只含分式，或分式和整式，并且分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
考点三：二次根式<二次根式有意义的条件>二次根式：表示算术平方根的代数式叫做二次根式。
一般地，式子a （ a≥0）叫做二次根式，a 叫做被开方数。
2013届九年级数学总复习四 代数式(分式与二次根式)
a
2
a(a 0)
4、最简二次根式： （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数不含有开得尽方的因数或因式。 5、同类二次因式： 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数 相同。
6、二次根式的运算： （1）、 2 a a 0 a a a a 0
5、如何进行分式的乘除运算？ 如何进行分式的加减运算？
3 a 1 ，然后请你给a选取一 例1、先化简 1 2 a2 a 4
个合适的值，再求化简后的式子的值。
3 a2 4 a2 解:原式= a 2 a 2 a 1 a 1 a 2 a 2 a2 a 1 a2
例5、化简：
x
1 x
x x x 2 x x x
x x x
x
1、由根号内的情况你能判断x的符号吗？
2、这道题应怎样解？
第一步把分子和分母同时乘以x 第二步分母开出来应加绝对值 第三步去绝对值
例6化简
a b3 2ab2 a 2b b a 0 ba a
把x=6代入(x-3)(x-5)不为0，所以X=6是原方程的解。
例3、求下列各式的值
2 2
X Y 1、如果x 4 xy 4 y 0, 求 的值 X Y x y 7 x2 y 2 2、如果 = ，那么 2 2 3 x 2 xy 3 y 2
解:由条件可得 :
x 2y 0 x 2y 0
（2）
a b
a 0, b 0
a b ab 2 b ab b ab b
a b a b
（3）二次根式的加减：一般把二次根式化为最简 二次根式，再合并同类二次根式。 （4）二次根式的乘法：
分式方程和二次根式试题和答案
分式方程和二次根式专项讲解一．知识框架二．知识概念1、分式：形如BA，A 、B 是整式，B 中含有未知数且B 不等于0的整式叫做分式。
其中A叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。
分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.二次根式：一般地，形如√ā（a≥0）的代数式叫做二次根式。
当a ＞0时，√a 表示a 的算数平方根,其中√0=0 2、分式有意义的条件：分母不等于03、分式的基本性质:分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。
用式子表示为：A/B=A*C/B*C A/B=A÷C/B÷C （A,B,C 为整式，且C≠0） 5、最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式.约分时,一般将一个分式化为最简分式.6、分式的四则运算：①同分母分式加减法则:同分母的分式相加减,分母不变，把分子相加 减.用字母表示为：cba cbc a ±=± ②异分母分式加减法则:异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为：bdbcad d c b a ±=± ③分式的乘法法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：bdacd c b a =* ④分式的除法法则:(1).两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.bc ad d c b a =÷(2).除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数: cd b a d c b a *=÷ 7、 理解并掌握下列结论： （1）()0≥a a 是非负数； （2）()()02≥=a a a ； （3）()02≥=a a a ；三、知识讲解【例1】（2009年黔东南州）当x_____时，11+x 有意义．（1-≠x ）★直通中考：1、（2009年漳州）若分式12x -无意义，则实数x 的值是 x=2 ． 2、（2009年天津市）若分式22221x x x x --++的值为0，则x 的值等于 x=2 ．3、（2010安徽芜湖）要使式子a ＋2a有意义，a 的取值范围是（ B ） A ．a ≠0 B ．a ＞－2且a ≠0 C ．a ＞－2或a ≠0 D ．a ≥－2且a ≠0 4、已知有意义，则在平面直角坐标系中，点P （m ，n ）位于第 __四__ 象限．【例2】(2009年成都)分式方程2131x x =+的解是 x=2 ★直通中考：1、(2009年潍坊)方程3123x x =+的解是 ．（x=9） 2、(2009宁夏)解分式方程：1233x x x +=--．（37=x ） 【例3】（2009 年佛山市）化简：2211xyx y x y x y⎛⎫+÷ ⎪-+-⎝⎭ （y 2）★直通中考：1、（2009年湖南长沙）分式111(1)a a a +++的计算结果是（ C ） A ．11a + B ．1a a +C ．1aD ．1a a+ 2、（2009年佳木斯）计算21111a a a ⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭= （1+a a） 3、(2009年成都)化简：22221369x y x y x y x xy y +--÷--+＝_______ （yx y -2） 4、（2010广东广州）若a ＜1，化简2(1)1a --＝（ D ）A ．a ﹣2B ．2﹣aC ．aD ．﹣a5、已知2＜x ＜5，化简2(2)x -+2(5)x -＝________.（3） 【例4】(2009年内江市)已知25350x x --=，则22152525x x x x ----＝__________．（528） ★直通中考：1、（2009烟台市）设0a b >>，2260a b ab +-=，则a bb a+-的值等于．（2） 2、（2009年枣庄市）已知a 、b 为实数，且ab =1，设P =11a b a b +++，Q =1111a b +++，则P = Q （填“＞”、“＜”或“＝”）．3、(2011·呼和浩特)若x 2－3x ＋1＝0，则x 2x 4＋x 2＋1的值为________．（81）4、(2011·乐山)若m 为正实数，且m －1m ＝3，则m 2－1m2＝________.（53）5、（2010四川广安）若|2|20x y y -++=，则xy 的值为（ A ） A ．8 B ． 2 C ．5 D ．6-6、已知522+-+-=x x y ，则x y =________．（52） 【例5】(2009年河北)已知a = 2，1-=b ，求2221a b a ab --+÷1a的值．解：化简后1++b a ，代入可得2112=+-★直通中考：1、（2009年莆田）先化简，再求值：2244242x x x x x x +++÷---，其中1x =．解：化简后x -，代入可得-12、（2009年衡阳市）先化简，再求值：212)14(-÷-+-a a a a a ，其中31=a ．解：化简后13-a ，代入可得01313=-⨯3、(2011年中考)已知x 是一元二次方程0132=-+x x 的实数根，求代数式⎪⎭⎫ ⎝⎛--+÷--2526332x x x x x 的值．解：化简后)3(31+x x ，因为0132=-+x x 可化为1)3(=+x x ，故原式可得314、（2009湖北省荆门市）已知x =2＋3，y =2-3，计算代数式2211()()x y x y x y x y x y+----+的值．解：化简后xy 4-，代入可得()()34-32324-=-+5、如图，点A 的坐标为（﹣，0），点B 在直线y=x 上运动，当线段AB 最短时点B 的坐为（ A ）A ．（﹣，﹣）B ．（﹣，﹣）C ．（，）D ． （0，0）6、如图所示，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和2，那么阴影部分的面积为__4_______．【例6】(2009年安顺)下表为抄录北京奥运会官方票务网公布的三种球类比赛的部分门票价格，某公司购买的门票种类、数量绘制的统计图表如下： 依据上列图表，回答下列问题：（1） 其中观看足球比赛的门票有_50__张；观看乒乓球比赛的门票占全部门票的_20_％；（2） 公司决定采用随机抽取的方式把门票分配给100名员工，在看不到门票的条件下，每人抽取一张（假设所有的门票形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），问员工小华抽到男篮门票的概率是 ；（103）（3） 若购买乒乓球门票的总款数占全部门票总款数的61，求每张乒乓球门票的价格。
人教版五四《轴对称,整式乘除因式分解,分式,二次根式》全册知识点
整式乘除及因式分解知识点归纳：1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。
单独的一个数或一个字母也是单项式。
单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。
如：bc a 22-的系数为2-，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。
2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。
多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。
如：122++-x ab a ，项有2a 、ab 2-、x 、1，二次项为2a 、ab 2-，一次项为x ，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。
3、整式：单项式和多项式统称整式。
注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。
也不是单项式和多项式。
5n m ,都是正整数）逆运算为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
注意底数可以是多项式或单项式。
________3=⋅a a ；________32=⋅⋅a a a 532)()()(b a b a b a +=+∙+，6n m ,幂的乘方，底数不变，指数相乘。
如：10253)3(=-23326)4()4(4==_________)(32=a ；_________)(25=x ；（）)()(334a a =7、积的乘方法则：n 是正整数）积的乘方，等于各因数乘方的积。
如：（523)2z y x -=5101555253532)()()2(z y x z y x -=∙∙∙-________)(3=ab ；________)2(32=-b a ；________)5(223=-b a8n m a ,,0≠都是正整数，且)n m 同底数幂相除，底数不变，指数相减。
如：3334)()()(b a ab ab ab ==÷________3=÷a a ；________210=÷a a ；________55=÷a a91。
p a ,0≠是正整数），即一个不等于零的数的p -次方等于这个数的p 次方的倒数。
专题03 分式与二次根式(题型归纳)(解析版)
专题03 分式与二次根式1．（2021·浙江·温州市第二中学三模）使分式34x x --有意义的字母x 的取值范围是（ ） A ．x ≠0 B ．x ≠3 C ．x ≠4 D ．x ≠3且x ≠4【答案】C【分析】根据分式有意义的条件即可作出判断． 【详解】解：根据题意得x ﹣4≠0，则x ≠4． 故选：C ．2．（2022·甘肃定西·模拟预测）函数32y x=-中，自变量x 的取值范围是（ ） A ．2x ≠- B ．2x ≠C ．0x ≠D ．2x <【答案】B【分析】根据分母不能为0求解即可． 【详解】解：∵分母不能等于0 ∴20x -≠题型一 分式有意义、无意义的条件题型演练题型归纳∴2x ≠ 故选B ．3．（2022·江苏淮安·一模）若分式2xx +有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．0x ≠ B ．2x ≠- C ．2x >- D ．2x ≥-【答案】B【分析】根据分式有意义的条件：分母不为0即可得到． 【详解】要分式2xx +有意义，则20x +≠， 解得：2x ≠-． 故选：B4．（2022·贵州遵义·模拟预测）函数1x y +=x 的取值范围是（ ） A ．1x ≠- B ．2x ≠C ．1x ≥或2x ≠D ．1x ≥-且2x ≠【答案】D【分析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，列出不等式，即可求解． 【详解】根据题意，得：10x +≥，20x -≠， 解得1x ≥-且2x ≠， 故选：D ．5．（2022·浙江·三模）若要使得分式211x -有意义，则x 的取值范围为_______．【答案】x ≠±1【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：|x 2-1|≠0， ∴x 2-1≠0， ∴x ≠±1， 故答案为：x ≠±1．6．（2022·江苏·南通市海门区东洲国际学校模拟预测）当x ＝_____时，分式225x x -+无意义．【答案】52-【分析】根据分式无意义的条件：分母为零，列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：由题意得，2x ＋5＝0，25,x ∴=-5,2x ∴=-故答案为：5.2-7．（2022·江苏南京·二模）下列代数式的值总不为0的是（ ） A ．2x + B ．22x - C ．12x + D ．()22x +【答案】C【分析】根据题目给出的整式和分式，列举x 的值即可判断． 【详解】解：A ．当x =-2时，x +2=0，故本选项不合题意； B ．当x =±2时，x 2-2=0，故本选项不合题意； C ．在分式12x +中，因为x +2≠0，所以分式12x +≠0，故本选项符合题意； D ．当x =-2时，（x +2）2=0，故本选项不合题意； 故选：C ．8．（2022·贵州毕节·一模）关于分式254x x x a--+，有下列说法，错误的有（ ）个：（1）当x 取1时，这个分式有意义，则a ≠3； （2）当x ＝5时，分式的值一定为零； （3）若这个分式的值为零，则a ≠﹣5；（4）当x 取任何值时，这个分式一定有意义，则二次函数y ＝x 2﹣4x +a 与x 轴没有交点． A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，分式有意义的条件是分母不等于零进行分析即可．【详解】解：（1）当x 取1时，24143x x a a a -+=-+=-，要使分式有意义即30a -≠，解得3a ≠， 故说法正确；（2）当5x =时，2425205x x a a a -+=-+=+，若5a =-，则分式无意义， 故说法错误；（3）由题意得25040x x x a -=⎧⎨-+≠⎩，解得55x a =⎧⎨≠-⎩，故说法正确；（4）当x 取任何值时，分式一定有意义，即240x x a -+≠，则y ＝x 2﹣4x +a 与x 轴没有交点，题型二 分式的值为零的条件故说法正确；综上所述：错误的说法有1个，故选：B．9．（2022·浙江温州·一模）若分式23xx--的值为0，则x的值为（）A．3-B．2-C．0 D．2【答案】D【分析】根据分式的值为零的条件：分子等于0且分母不等于0即可得出答案．【详解】解：∵分式23xx--的值为0∴x﹣2＝0，x﹣3≠0，∴x＝2，故选：D．10．（2021·浙江温州·三模）分式31xx+-的值为0，则x的值是（）A．﹣3 B．0 C．1 D．3【答案】A【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．【详解】解：∵分式31xx+-的值为0，∴x+3＝0且x﹣1≠0，解得：x＝﹣3，故选：A．11．（2022·浙江丽水·一模）若分式12xx+-的值为0，则x=_____．【答案】-1【分析】若分式12xx+-的值为0，则1x+为0而20x-≠即可．【详解】解：{1020x x+=-≠解得1x=-故填：-112．（2022·江苏盐城·二模）当x为_______时，分式245xx+-的值为0．【答案】2-【分析】根据分式值为0的条件，可知分子为0，分母不为0，即可求解．【详解】解：∵分式245x x +-的值为0， ∴240,50x x +=-≠， 解得2x =-． 故答案为：2-．13．（2022·四川·眉山市东坡区苏洵初级中学模拟预测）下列各式x 、2x 、1x 、22x +、2x +中，值一定是正数的有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】根据有理数的乘方、绝对值的性质进行解答即可． 【详解】解：x 不一定是正数；2x 是非负数，不一定是正数； 1x一定是正数； 22x +一定是正数；2x +是非负数，不一定是正数；所以值一定是正数的有2个． 故选：B14．（2021·浙江温州·三模）若a b＝12，则a b b +的值是（ ）A ．3B ．23C ．32D ．2【答案】C【分析】根据a b ＝12得2b a =，将2b a =代入a b b +中即可得出答案．【详解】解：∵a b＝12，∴2b a =， 将2b a =代入a bb+中， 得2322a a a +=， 故选：C ．题型三 分式的求值15．（2022·江苏宿迁·三模）已知两个不等于0的实数a 、b 满足0a b +=，则b aa b+等于（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】A【分析】先化简式子，再利用配方法变形即可得出结果．【详解】解：∵22=b a b a a b ab++，∴()2222==a b ab b a b a a b ab ab+-++， ∵两个不等于0的实数a 、b 满足0a b +=，∴()22-2===-2a b ab b a ab a b ab ab +-+， 故选：A ．16．（2021·安徽安庆·一模）已知2x y=，则+-x yx y 的值为（ ）A ．﹣3B ．3C ．13D ．13-【答案】B【分析】直接利用已知得出x ＝2y ，进而代入计算得出答案． 【详解】解：∵2xy=， ∴x ＝2y ，∴232x y y yx y y y ++==--． 故选：B ．17．（2022·江苏镇江·二模）已知：a 与b 互为相反数，且12a b -=，则21a ab b a ab -+=++______． 【答案】116【分析】利用a 与b 互为相反数，12a b -=，求解10,,16a b ab 再整体代入求值即可． 【详解】解： a 与b 互为相反数，0,a b ∴+=,b a12a b -= 12,2a1,4a当1,4a = 则1,4b当1,4a =- 则1,4b1,16ab∴()21.1116a ab b ab ab a ab a a b -+-==-=++++ 故答案为：11618．（2022·黑龙江大庆·二模）已知非零实数x ，y 满足1xy x =+，则2x xy y xy --=__________． 【答案】-1【分析】将条件式整理可得xy x y =-，代入代数式即可求解． 【详解】解：∵1xy x =+， ∴xy x y =-， ∴2x xy y xy --=21xy xy xyxy xy--==-， 故答案为：1-.19．若分式2231xx -+的值是负数，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＞32B ．x ＞23C ．x ＜32D ．x ＜23【答案】B【分析】根据题意列出不等式即可求出x 的取值范围． 【详解】解：由题意可知：2﹣3x ＜0，且x 2+1＞0恒成立， ∴x ＞23， 故选：B ． 20．下列关于分式2x x+的说法，错误的是( ) A ．当x>-2时，分式的值一定为负数 B ．当x=0时，分式没有意义 C ．当x<-2时，分式的值一定为正数题型四 分式的值为正或负时未知数的取值范围D ．当x=-2时，分式的值为0 【答案】A【分析】根据“分式的分子分母同号时，分式的值为正数，当分式的分子分母异号时，分式的值为负数”判断A ，C 选项；根据“分式的分母为0时，分式没有意义”判断B 选项；根据“当分式的分母不为0，且分子为0时，分式的值为0”判断D 选项．【详解】解：A 项：当x=1时，分式的值为正数，故此选项错误，符合题意； B 项：当x=0时，分式没有意义，正确，故此选项不合题意； C 项：当x<-2时，分式的值一定为正数，正确，故此选项不合题意； D 项：当x=-2时，分式的值为0，正确，故此选项不合题意． 故选A ． 21．已知分式24x x +的值是正数，那么x 的取值范围是（ ） A ．x ＞0 B ．x ＞-4 C ．x ≠0 D ．x ＞-4且x ≠0【答案】D 【分析】若24x x +的值是正数，只有在分子分母同号下才能成立，即x ＋4＞0，且x≠0，因而能求出x 的取值范围． 【详解】解：∵24x x +＞0， ∴x ＋4＞0，x≠0， ∴x ＞−4且x≠0． 故选：D ． 22．若分式2213x x -+的值为正数，则x 需满足的条件是（ ） A ．x 为任意实数 B ．12x ＜C ．12x ＞D ．12x ＞-【答案】C【分析】因为分母不可能是负数，所以分子的值是正数就可以了，据此可得解. 【详解】∵230x +＞， ∴分式2213x x -+的值为正数时，210x -＞， 解得：12x ＞.故选：C. 23．若分式32xx -的值为正数，x 的取值范围是__．【答案】23x >或0x <； 【分析】根据分式的值为正数可列不等式组，解不等式组可求解x 的取值范围． 【详解】由题：∵ 分式32xx -的值为正数， ∴0320x x >⎧⎨->⎩或0320x x <⎧⎨-<⎩ 解得：23x >或0x <； 故填：23x >或0x <． 24．若分式22xx +的值为正，则实数x 的取值范围是__________________. 【答案】x ＞0【分析】分式值为正，则分子与分母同号，据此进行讨论即可得. 【详解】∵分式2xx 2+的值为正， ∴x 与x 2+2的符号同号， ∵x 2+2>0， ∴x>0， 故答案为x>0.25．（2022·河北·一模）如果要使分式23aa b-的值保持不变，那么分式应（ ） A ．a 扩大2倍，b 扩大3倍 B ．a ，b 同时扩大3倍 C ．a 扩大2倍，b 缩小3倍 D ．a 缩小2倍，b 缩小3倍【答案】B【分析】先根据题意列出算式，再根据分式的基本性质进行化简，最后得出答案即可． 【详解】A. a 扩大2倍，b 扩大3倍, 2242233293a a aa b a b a b⨯=≠-⨯--，故该选项不正确，不符合题意；B. a ，b 同时扩大3倍，2362333393a a aa b a b a b⨯==-⨯--，故该选项正确，符合题意；C. a 扩大2倍，b 缩小3倍，2242123233a a aa b a b a b ⨯=≠---⨯，故该选项不正确，不符合题意；题型五 分式的基本性质D. a 缩小2倍，b 缩小3倍1222123233aa a ab a b a b⨯=≠---⨯，故该选项不正确，不符合题意； 故选B26．（2022·山东临沂·二模）下列运算正确的是（ ） A 623= B ．33a ab b-=- C ．221a a -=D ．（a ﹣12）2＝a 2﹣a -14【答案】C【分析】利用二次根式除法运算、分式的约分、负整数指数幂的性质、完全平方公式计算即可．【详解】解：A 623，故选项A 错误； B 、33a b --不能约分化简，故选项B 错误； C 、221a a -=，计算正确，符合题意； D 、（a ﹣12）2＝a 2﹣a +14，故选项D 错误，故选C ．27．（2022·湖南永州·二模）如果分式xyx y+中的x ，y 都扩大为原来的2倍，那么所得分式的值（ ） A ．不变B ．缩小为原来的12 C ．扩大为原来的2倍 D ．不确定【答案】C【分析】直接利用分式的基本性质化简得出答案． 【详解】解：把分式xyx y+中的x 和y 都扩大为原来的2倍， 则原式可变为：2222x y x y⋅+＝2×xyx y +，故分式的值扩大为原来的2倍． 故选：C ．28．（2022·河北保定·一模）不改变分式的值，将分式0.020.50.004x yx y++中的分子、分母的系数化为整数，其结果为（ ）A ．2050010004x yx y++B ．205001004x yx y++C ．25010004x yx y++D ．254x yx y++ 【答案】A【分析】利用分式的基本性质，分子分母同时扩大相同的倍数即可求解． 【详解】解：0.020.50.004x yx y++()()10000.020.510000.004x y x y ⨯+⨯+＝ 2050010004x yx y++＝，故选：A.29．（2022·湖北襄阳·一模）已知114y x-=，则分式2322x xy y x xy y +---的值为______．【答案】112【分析】先根据题意得出x-y=4xy ，然后代入所求的式子，进行约分就可求出结果． 【详解】∵114y x-=， ∴x-y=4xy ， ∴原式=2()383112422x y xy xy xy x y xy xy xy -++==---，故答案为：112． 30．（2020·宁夏·银川市第九中学二模）若0234x y z==≠，则x y z 2y +-=_______． 【答案】16【分析】首先设恒等式等于某一常数，然后得到x 、y 、z 与这一常数的关系式，将各关系式代入求职【详解】解：x2=y3=z4=k （k≠0)，则2,3,4x k y k z k ===2341=22366+-+-==⨯x y z k k k k y k k 31．（2020·河北·模拟预测）下列分式中，属于最简分式的是 （ ） A ．42xB ．211x x -- C ．221xx + D ．11xx -- 题型六 最简分式【答案】C【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 【详解】解：A 、原式2x=，不是最简分式，故本选项不符合题意； B 、原式11x =+，不是最简分式，故本选项不符合题意； C 、该式子是最简分式，故本选项符合题意； D 、原式1=-，不是最简分式，故本选项不符合题意； 故选：C ．32．（2022·四川绵阳·二模）下列分式属于最简分式的是（ ） A ．265xy xB ．x y y x--C ．22x y x y ++D ．2293x y x y-+【答案】C【分析】利用最简分式的定义：分式分子分母没有公因式，判断即可． 【详解】A 、265xy x =65yx，不符合题意； B 、原式=-1，不符合题意； C 、符合题意；D 、2293x y x y-+=x -3y ，不符合题意；故选：C ．33．（2021·江西·一模）下列运算正确的是（ ） A 235B ．33xy xy -= C ．22a b a b a b+=++ D ．()3263a b a b =【答案】D【分析】根据同类二次根式的定义、合并同类项法则、分式的运算和积的乘方逐一判断即可． 【详解】解：23 B.32xy xy xy -=，故本选项错误；C.22a b a b a b+≠++，故本选项错误； D.()3263a b a b =，故本选项正确．故选D ．34．（2022·广东·九年级专题练习）分式22a b a b ++，22a ba b +-，312x y ，2a b a b++中，最简分式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】根据最简分式的定义，即分子与分母没有公因式的分式是最简分式，即可求解． 【详解】解：()()221a b a b a b a b a b a b ++==-+--，不是最简分式，3124x xy y=，不是最简分式， 22a b a b ++，2a b a b++是最简分式，有2个．故选：B35．（2022·江苏连云港·九年级期末）已知23a b =，则a a b +的值为 _____．【答案】25【分析】根据比例性质和分式的基本性质求解即可． 【详解】解：设23a bk ==， ∴2a k =，3b k =， ∴a ab +=2222355k k k k k ==+， 故答案为：25．36．在分式22222223,,,,332+-++-+-+--b a b m n x xy a b ca ab m n xc a b中，最简分式有______． 【答案】2222a b a b +- 【分析】根据最简分式的意义对每项进行检验判断． 【详解】解：由33333(1)b ba a =++=1ba+，得到此分式不是最简分式； 由22()()m n m n m n m n m n -+-=++=m ﹣n ，得到此分式不是最简分式；由2()22x xy x x y x x ++==2x y+，得到此分式不是最简分式； 由()a b c a b cc a b a b c +-+-=---+-=﹣1，得到此分式不是最简分式；而2222a b a b +-分子分母没有公因式，是最简分式． 故答案为：2222a b a b +- ． 37．（2022·广西梧州·二模）下列计算正确的是（ ） A ．5a －3a ＝2 B ．3624233a b a b ab = C ．()222a b a b +=+ D ．256323-÷⨯=【答案】B【分析】根据合并同类项，分式的约分，完全平方公式，有理数的混合运算逐项分析判断即可求解．【详解】解：A. 5a －3a ＝2a ，故该选项不正确，不符合题意；B. 3624233a b a b ab=，故该选项正确，符合题意； C. ()2222a b a b ab +=++，故该选项不正确，不符合题意；D. 235635635272232-÷⨯=-⨯⨯=-=-，故该选项不正确，不符合题意；故选B38．（2022·山西吕梁·一模）解分式方程3732124x x x-=+-时，去分母这一步方程两边不能同时乘以（ ） A ．()()2124x x +- B ．()()22121x x +- C ．()()22121x x -+- D ．22(21)x -【答案】D【分析】利用解分式方程中的去分母求解即可． 【详解】解：将3732124x x x-=+-转化成()37321221x x x -=+--， ∴A.()()2124x x +-，能同时乘以，故不符合题意； B.()()22121x x +-，能同时乘以，故不符合题意； C.()()22121x x -+-，能同时乘以，故不符合题意； D.22(21)x -，不能同时乘以，符合题意； 故选：D ．题型七 约分与通分39．（2022·云南昆明·模拟预测）若20m n =≠，则222m n mn m --的值为______． 【答案】32-【分析】分式约分后，把m =2n 代入即可．【详解】222()()23()22m n m n m n m n n n mn m m m n m n -+-++==-=-=----，故答案为：32-．40．（2022·上海·位育中学模拟预测）化简：2132x x x -=-+________．【答案】12x - 【分析】对分母进行因式分解后约分即可． 【详解】解：2132x x x --+()()112x x x -=--12x =-． 故答案为：12x -． 41．（2021·内蒙古呼和浩特·二模）分式2211,1a a a-++的最简公分母是________，22111a a a+-++ =__________【答案】 ()()11a a a +-()()111a a a +-【分析】先把两个分式分解因式，然后通分，即可得到答案；然后进行计算求值即可. 【详解】解：∵()()211111a a a =-+-+，()2111a a a a =++ ∴()()()()21111111a a a a a a a ==-+-+-+，()()21111aa a a a a -=++- ∴211a -+，21a a+的最简公分母为：()()11a a a +- ∴()()()()2221111111111a a a a a a a a a a a a a +-+===-++++-+- 故答案为：()()11a a a +-，()()111a a a +- 42．（2021·江苏·宜兴市实验中学二模）分式22m m n -和3nm n-的最简公分母为_____．【答案】2（m ﹣n ）【分析】利用最简公分母的定义求解，分式22m m n -和3nm n-的分母分别是2（m ﹣n ）、（m﹣n ），故最简公分母是2（m ﹣n ）即是本题答案． 【详解】解：∵分式22m m n -和3nm n-的分母分别是2（m ﹣n ）、（m ﹣n ）．∴它们的最简公分母是2（m ﹣n ）． 故答案为：2（m ﹣n ）．43．（2022·辽宁沈阳·二模）化简：()224xx x ⋅+=-（ ） A ．2x x- B ．x C ．2x x - D ．2x -【答案】C【分析】先把分母因式分解，再计算，即可求解． 【详解】解：()224xx x ⋅+- ()()()222xx x x =⋅++-2x x =- 故选：C44．（2022·山东滨州·二模）下列运算正确的是（ ） A ．()333a b a b +=+ B ．()21303xy xy y y÷=≠ C 382-= D ．3a －4a ＝－a【答案】D【分析】根据多项式乘多项式的法则、单项式除单项式、立方根、合并同类项的法则分别进行计算，即可得出答案．【详解】解：A 、应为（a +b ）3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3，故本选项错误；B 、应为()22313303xy xy y xy y y⋅÷==≠，故本选项错误； C 382--，故本选项错误；D 、3a －4a ＝－a ，正确，故本选项符合题意； 故选：D ．45．（2022·山东· 模拟预测）计算225x xy y xy y x-⋅-的结果是（ ） 题型八 分式的乘除法A ．31y B ．31y -C ．41y D ．41y -【答案】B【分析】根据分式的运算法则化简即可求解． 【详解】解：225x xy y xy y x -⋅- 25()x x y y xy y x-=⋅-31y =-． 故选：B ．46．（2022·湖北武汉·二模）计算：221688164x x x x -÷=+++_____．【答案】48x - 【分析】把被除式的分子分母分别因式分解，然后除变乘颠倒除式的分子分母进行约分，即可得到答案．【详解】解：22168816+4x x x x -÷++ =2(4)(4)(4)48x x x x +-⋅++=48x - 故答案为：48x -． 47．（2022·山西晋中·二模）计算：()2222aa aba ba b +÷=--______． 【答案】1a b- 【分析】根据分式的运算法则计算． 【详解】解：原式=()()()()2a ab aa b a b a b +÷+--=()2a ab a a b -⨯-=1a b- 故答案为1a b-．48．（2022·甘肃陇南·模拟预测）计算：21211x x x +÷--＝________． 【答案】12【分析】先将除法转化为乘法运算，再结合平方差公式分解因式，约分化简即可解答． 【详解】解：21211x x x +÷--21=(()11)1x x x x +⨯-+-12=．49．（2022·广东·珠海市文园中学三模）化简111x x x --+的结果是（ ） A ．1 B ．1x + C ．1x -D ．2211x x +-【答案】D【分析】首先通分，然后利用同分母的分式相加减的运算法则求解即可，注意运算结果需化为最简形式． 【详解】解：111x x x --+()()()()()()1111111x x x x x x x +⨯-=-+-+-()()()()1111x x x x x +--=+-()()2111x x x x x +-+=+-2211x x +=-．故选：D ．50．（2022·贵州贵阳·三模）计算222m m m ---的结果是（ ） A ．2 B ．－2C ．1D ．－1【答案】C【分析】根据分式减法运算法则进行运算，化简即可． 【详解】解：221222m m m m m --==---， 故选：C ．51．（2021·湖南·长沙市华益中学三模）计算222164a a a ---的结果是 _____． 【答案】2816a -【分析】利用异分母分式的加减法法则计算． 【详解】原式()()22444a a a a =-+--()()()()()2424444a aa a a a +=-+-+-题型九 分式的加减法222816a a a --=-2816a =-，故答案为：2816a -．52．（2022·湖南怀化·模拟预测）计算52x x ++﹣32x +＝_____． 【答案】1【分析】根据同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减计算即可． 【详解】解：52x x ++﹣32x +=532122x x x x +-+==++ 故答案为：1．53．（2022·陕西·交大附中分校模拟预测）化简：（113m +-）÷2269m m m --+ 【答案】3m -【分析】利用通分，约分，因式分解等方法化简即可． 【详解】（113m +-）÷2269m m m --+ =（22(3)32m m m m --⨯-- =3m -．54．（2022·安徽·模拟预测）先化简，再求值：22321242a a a a a-+++---，其中1a =-． 【答案】2aa -+，1 【分析】原式先通分并利用同分母分式的加法法则计算，再约分即可得到结果，再将字母的值代入求解即可． 【详解】原式2(2)32(1)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)a a a a a a a a a a +-++=+--+-+-+()2243232(2)(2)a a a a a a ++--++=-+(2)(2)(2)a a a a -=--+2aa =-+． 当1a =-时，原式1112-=-=-+55．（2022·上海普陀·二模）先化简，再求值：223112-⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭a a a a，其中3a = 【答案】2aa+，33 【分析】根据分式的加减乘除法则进行化简，然后代入数值计算即可． 【详解】解：原式1(1)2(1)(1)-+=⨯++-a a a a a a 2=+aa当3a =323=+233=．56．（2022·甘肃嘉峪关·三模）先化简，再求值：2222222a b a b a ab b b a a ab ⎛⎫-+÷ ⎪-+--⎝⎭，其中a ，b 130a b +=． 【答案】3,a b 【分析】先利用非负数的性质求得a ，b 的值，然后代入化简后的代数式求值即可． 【详解】∵a ，b 130a b +=． ∴a ＋1＝0，b 30，解得a ＝﹣1，b 32222222a b a b a ab b b a a ab ⎛⎫-+÷ ⎪-+--⎝⎭()()()22()a a b a a b a b a b b b a ⎡⎤-=-⋅⎢⎥--⎣+-⎦()2a a b a a b b ba ab -⎡⎤=-⋅⎢⎥--⎣⎦+ ()2a ab a b bb -=⋅-ab = 当a ＝﹣1，b 3 ∴原式33a b === 57．（2022·广东·东莞市光明中学一模）下列实数中等于2的是（ ） A ．02 B 4C 2D ．1(2)--【答案】B【分析】根据零指数幂的运算法则，算术平方根的定义，负整数指数幂的运算法则解答即可． 【详解】解：A 、021=，故此选项不符合题意； B 42=，故此选项符合题意； C 22≠，故此选项不符合题意；题型十 零指数幂与负整数指数幂D 、11(2)2--=-，故此选项不符合题意．故选：B ．58．（2022·上海杨浦·二模）下列各式中，运算结果是分数的是（ ） A ．sin30︒ B ．02π⎛⎫⎪⎝⎭C ．112-⎛⎫ ⎪⎝⎭D 34【答案】A【分析】分别计算出各选项的值，然后再判断即可． 【详解】解：A. sin30︒=12，是分数，故该选项符合题意；B. 02π⎛⎫⎪⎝⎭=1，是整数，故该选项不符合题意；C. 112-⎛⎫ ⎪⎝⎭=2，是整数，故该选项不符合题意；D.343 59．（2022·黑龙江牡丹江·模拟预测）下列计算正确的是（ ） A ．2a a a += B ．23a a a ⋅=C ．()426a a =D ．312a a a -÷=【答案】B【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法、负整数指数幂、幂的乘方法则逐项判断即可得．【详解】解：A 、2a a a +=，则此项错误，不符题意； B 、23a a a ⋅=，则此项正确，符合题意； C 、()428=a a ，则此项错误，不符题意；D 、313(1)4a a a a ---÷==，则此项错误，不符题意； 故选：B ．60．（2021·重庆市綦江区赶水中学三模）101()(1)3π---=______．【答案】2【分析】根据负整数指数幂和零指数幂即可得出答案． 【详解】解：原式31=-2=． 故答案为：2．61．（2022·重庆·模拟预测）计算011(22)()3-+-=________ ．【答案】－2【分析】根据零指数幂、负整数指数幂的计算法则计算即可． 【详解】)11221323-⎛⎫+-=-=- ⎪⎝⎭，故答案为：-2．62．（2022·湖南娄底·2a +有意义，则a 的取值范围是（ ） A ．a ≠0 B ．a ＞﹣2且 a ≠0 C ．a ＞﹣2或 a ≠0 D ．a ≥﹣2且 a ≠0【答案】D【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：由题意得，a +2≥0，a ≠0， 解得，a ≥﹣2且 a ≠0， 故选：D ．63．（2022·浙江杭州·2x -x 的取值范围是（ ） A ．2x > B ．2x ≥ C ．2x < D ．2x ≤【答案】B【分析】根据二次根式有意义，被开方数大于等于0，列不等式求解． 【详解】解：根据题意，得 20x -≥，解得2x ≥． 故选：B ．64．（2022·黑龙江牡丹江·模拟预测）函数2y x =-x 的取值范围是（ ） A ．2x -≤ B ．2x ≥-C ．2x ≤D ．2x ≥【答案】D【分析】根据二次根式的被开方数的非负性即可得． 【详解】解：由二次根式的被开方数的非负性得：20x -≥， 解得2x ≥， 故选：D ．65．（2022·安徽合肥·2x -x 的取值范围是___________． 【答案】2x ≤a a ≥0）进行解答即可． 【详解】解：由题意得：2-x ≥0．题型十一 二次根式有意义的条件解得：2x≤，故答案为：x≤2．66．（2022·贵州黔东南·一模）函数y121xx--中自变量x的取值范围是_____．【答案】x≤2且x≠1【分析】根据二次根式的被开方数的取值大于等于零，以及分式的分母不等于零列式计算可得．【详解】解：由题意得，2﹣x≥0且x﹣1≠0，解得x≤2且x≠1．故答案为：x≤2且x≠1．67．（2022·河北·顺平县腰山镇第一初级中学一模）下列各式正确的是（）A16±4 B2(3)- 3 C64-8 D．343【答案】B【分析】根据二次根式的性质、二次根式的加减法分别化简计算并判断．【详解】解：A16，故该项不正确；B2(3)-，故该项正确；C64-D、33，故该项不正确；故选：B．68．（2022·广东·()23-）A．3 B．﹣3 C．±3 D．9【答案】A2a a直接求解即可．()2333-=-=，故选：A ．69．（2022·湖南怀化·模拟预测）下列计算正确的是（）A．（2a2）3＝6a6B．a8÷a2＝a4C2(2)- 2 D．（x﹣y）2＝x2﹣y2【答案】C【分析】根据积的乘方、同底数幂的除法、二次根式的化简、完全平方公式求解即可；题型十二利用二次根式的性质化简【详解】解：A.（2a 2）3=8a 6≠6a 6，故错误； B.a 8÷a 2=a 6≠a 4，故错误； 2(2)-，故正确；D.（x ﹣y ）2=x 2﹣2xy +y 2≠x 2﹣y 2，故错误； 故选：C ．70．（2021·四川乐山·8______． 【答案】22【分析】根据二次根式的性质化简即可． 8422=⨯= 故答案为：2271．（2022·山西·113=_______．233【分析】现将带分数化为假分数，在进行分母有理化即可得出结果． 【详解】解：原式43=233=23372．下列运算正确的是（ ） A ．()4312x x -= B ．23644x x x --⋅= C 61218 D 50210=【答案】D【分析】直接利用幂的运算，二次根式的加法运算和乘法运算逐一计算即可． 【详解】A 、()4312x x --=，故选项A 错误；B 、()23235444x x x x -+----=⋅=，故选项B 错误；C 212366=C 错误；D 50250210010=⨯，故选项D 正确； 故选：D ．73．（2022·河南·平顶山市第十六中学模拟预测）下列计算正确的是（ ）题型十三 二次根式的乘除A 236=B ．326236a a a ⋅=C ．235a a a +=D ．3223=【答案】A【分析】由二次根式的乘法、单项式乘以单项式、合并同类项，分别进行判断，即可得到答案【详解】解：A 23236=⨯A 选项符合题意； B 、原式56a =，所以B 选项不符合题意； C 、2a 与3a 不能合并，所以C 选项不符合题意； D 、32222=D 选项不符合题意． 故选：D ．74．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）下列等式不成立的是（ ） A 272733=B 273333=C 272733= D 279333⨯【答案】C【分析】根据二次根式的除法法则和二次根式的性质判断即可． 【详解】解：A 272733B 273333= C 27279333=≠，原等式不成立，符合题意；D 279333⨯=，等式成立，不符合题意； 故选：C ．75．（2022·广西贺州·二模）下列计算正确的是（ ） A ．2222B 532C ．233D 933=【答案】C【分析】直接利用二次根式的加、减、乘、除运算逐项计算即可求解． 【详解】A 、22A 错误；B 5353B 错误；C 、233D 9393=3=÷D 错误， 故选C76．（2022·安徽宿州·模拟预测）计算：212623-⎛⎫⎪⎝⎭_______．【答案】2【分析】先化简各项，再相减即可.【详解】解：2126646422 23-⎛⎫==-=⎪⎝⎭，故答案为：2.77．（2022·山东青岛·453×35___．【答案】1【分析】按照二次根式乘除运算法则和运算顺序进行计算即可．1535＝1315 35⨯＝19 3＝1．故答案为：1．78．（2022·上海虹口·二模）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A 12B0.4C6D8【答案】C【分析】先将各选项化简，再根据最简二次根式的概念进行判断即可．【详解】A. 122=，不是最简二次根式，不符合题意；B.10 0.4=C. 6是最简二次根式，符合题意；D. 82=故选：C．79．（2022·上海金山·二模）在下列二次根式中，最简二次根式的是（）A0.1B12C10D27题型十四最简二次根式【答案】C【详解】解：A 10.11010B 123423=⨯=C 10D 273933=⨯= 故答案选C ．80．（2022·湖南·长沙市南雅中学二模）下列二次根式中，属于最简二次根式的是 （ ） A 12B 22a b -C 4a D 3x【答案】B【分析】根据最简二次根式的定义依次判断即可． 【详解】选项A 1223 选项B 22a b - 选项C 42a a ，不是最简二次根式； 选项D 33x x=. 故选：B.81．（2022·河南南阳·二模）写出一个实数x ，3x -则x 可以是______． 【答案】5（答案不唯一）【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义．【详解】解：5x =3532x --2 ∴x 的值可以是5．故答案为：5．（答案不唯一）82．（2022·湖北襄阳·1a +8a ＝______． 【答案】1【分析】根据同类二次根式的定义计算求值即可； 【详解】解：82， 根据题意得：a +1＝2， 解得a ＝1， 故答案为：1．83．（2022·上海奉贤·123 ） A ．2 B ．3C 3D ．33【答案】C【分析】根据二次根式的减法法则可进行求解． 【详解】解：原式=2333 故选：C ．84．（2022·青海西宁·一模）下列各式中，正确的是（ ） A 9=3± B ()26- C 37=10D 62=3【答案】D【分析】利用二次根式的性质和加减乘除运算法则依次判断即可． 【详解】A 93=，故此选项错误； B ()266-=，故此选项错误；C 37D 623= 故选：D ．85．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校三模）计算32542______． 【答案】26-【分析】先根据二次根式的性质化简，再合并，即可求解． 【详解】解：35426236= 26=-．故答案为：6-86．（2022·江苏南京·二模）计算()(271832的结果是______．【答案】3【分析】根据二次根式的混合运算可直接进行求解． 【详解】解：原式=(()3332323323⨯=⨯-=；故答案为3．题型十五 二次根式的加减87．（2021·四川泸州·二模）先化简，再求值：（22211x x x +++-）÷1x x -，其中x 31． 【答案】331x + 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x 的值代入计算即可求出值．【详解】解：原式＝2(1)2(1)(1)(1)(1)1x x xx x x x x ⎡⎤-++÷⎢⎥+-+--⎣⎦ ＝2221(1)(1)x x x x x x -++-⋅+-＝31(1)(1)x x x x x-⋅+-＝31x + 当x 31311-+3388．（2022·上海松江·二模）计算：111812221-⎛⎫- ⎪+⎝⎭【答案】24-【分析】先计算乘方，化简二次根式，化简绝对值，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式2322121=--24=89．（2022·安徽·二模）2（ ） A ．23B ．2C ．3D ．32【答案】D【分析】乘积是1的两数互为倒数，依此即可得出答案． 【详解】解：∵2232((12==，∴232， 故选：D ．90．（2022·广西河池·三模）下列选项错误．．的是（ ） 题型十六 分母有理化A ()222-=± B 33C ．()362328a b a b =D ．34a a a ÷=【答案】A【分析】根据二次根式性质化简即可判定A ；根据分母有理化化简即可判定B ；根据积的乘方和幂的乘方法则计算并判定C ；根据同底数幂相除法则计算并判定D ． 【详解】解：A ()2242-=，故此选项符合题意；B 133333⨯==⨯C 、()362328a b a b =，故此选项不符合题意； D 、34a a a ÷=，故此选项不符合题意； 故选：A ．91．（2022·黑龙江·哈尔滨市萧红中学校模拟预测）计算233____________．【答案】3-【分析】首先分母有理化，然后再进行减法运算即可． 【详解】解：939323232323333333⨯⨯===-⨯故答案为：3-92．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校模拟预测）化简：9233=______． 【答案】3-【分析】先分母有理化，然后进行计算即可．【详解】解：933=3333=故答案为：3-93．（2022·浙江宁波·一模）计算： (1)221(5)(3)182-(2)(23)(32)23-【答案】(1)5；(2)33【分析】（1）直接利用二次根式的性质以及二次根式的乘法运算法则进行化简，再利用有理数的运算法则计算可得出答案；（2）直接利用乘法公式、分母有理化及二次根式的性质进行化简，再合并可得出答案．【详解】（1）解：原式539=+533=+-5=；（2）原式()()2234(3)2323+=--+(2234(3)43+=--2343+=-123=+33=+94．（2021·山东淄博·一模）已知：m 2，n 21223m n mn ++＝（ ） A ．±3B ．﹣3C ．3D 5【答案】C【分析】先根据题意得出m n -和mn 的值，再把式子化成含m n -与mn 的形式，最后代入求值即可.【详解】由题得：2m n -=、1mn = 22223()525193m n mn m n mn ++-+=+⨯=故选：C. 95．（2021·河南省淮滨县第一中学一模）已知44220,24,180x y x y x y x y >+=+=、.则xy=（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】D 【分析】利用完全平方公式、平方差公式化简第二个等式即可. 【详解】44()()180x y x y += 配方得22222()()2()()180x y x y x y x y ⎡⎤-+⋅=⎣⎦ 22()()2()()180x y x y x y x y x y x y ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦ 22(22)2()180x y x y +-=22162(2)180xy x xy y +-+= 题型十七 二次根式的化简求值22122()180xy x y ++=将2224x y +=代入得：12224180xy +⨯=计算得：11xy =故选：D.96．（2022·广东番禺中学三模）已知x 2＝2x +15，则代数式22(2)(2)x x -=__________．【答案】202122-【分析】直接将原式分解因式，再把x 的值代入进而计算得出答案． 【详解】解：22(2)(2)x x +-- ＝(22)(22)x x x x ＝2x ×2＝42x ．∵2215x x +＝，∴22150x x ﹣﹣＝，（x ﹣5）（x +3）＝0，∴x ＝5或x ＝﹣3．当x ＝5时，原式＝25202=当x ＝﹣3时，原式＝42(3)122-=-97．（2022·江苏·江阴市敔山湾实验学校一模）设53x -=，则代数式x （x ＋1）（x ＋2）（x ＋3）的值为__________．【答案】-1【分析】根据已知条件得出x ＋1、x ＋2和x ＋3的值，再代入代数式中计算即可得出答案． 【详解】解：∵53x -=∴x ＋151-=x ＋251+=x ＋353+= ∴53515153--++ 53535151-+-+=⨯⎝⎭⎝⎭595144--=⨯ 11=-⨯＝−1．故答案为：-1． 98．（2022·四川广元·一模）先化简，再求值：222a ab b a b a b a b ab⎛⎫---÷ ⎪--⎝⎭，其中32a =32b =【答案】ab ；7【分析】根据分式的混合运算法则化简，再代入32a =32b =【详解】解：原式222a ab b a b a b ab-+-=÷- ()2a b ab ab a b a b-=⋅=--． 当32a =32b = 原式(3232927==-=．99．（2021·江西赣州·模拟预测）先化简，再求值：a 2﹣b （a ﹣b ）﹣（a ﹣b ）2，其中a ＝﹣23b 32．【答案】ab ，1【分析】先对整式进行化简，然后代值进行求解即可．【详解】解：原式=22222a ab b a ab b ab -+-+-=， 把23,32a b =-=代入得：原式=()23321-=． 100．（2021·辽宁锦州·一模）先化简，再求值：21111x x x ⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭，其中323x =． 【答案】1x +，322．【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式= x+1，然后把代入计算即可．【详解】原式()()11111x x x x x-+-+=⋅-， ()()111x x x x x-+=⋅-， 1x =+，当323x =时， 原式13231322x =+=+=，故化简后得原式1x =+，求得1322x +=．。
分式、二次根式知识点(中考复习专用)
分式、二次根式知识点 1、形如A B 的式子，其中A 、B 为整式，除式B 中 且 叫做分式。
分式A B 有意义： 分式A B 无意义： 分式A B 值为零： 分式A B 值为正数： 分式A B 值为负数：
2、分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘（除以） 分式的值不变。
3、分式的符号法则：分式的 、 及 三个符号，任意两项同时变号，分式的值不变。
4、最简公分母确定：先分解因式，再系数找 ，字母找 ， 字母的指数取 。
5、若分式的分子与分母是多项式，须把分子与分母 ，再进行约分通分等运算。
6、科学记数法：a ╳10n ，其中a 的取值范围是
7、分式的拆分：1n(n+1)= 1n(n+3)=
8、二次根式：式子√a 叫做二次根式。
9、最简二次根式：必须同时满足下列条件：
⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含 ； ⑶分母中不含 。
10、同类二次根式：二次根式化成 后，若 相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
11、二次根式的性质：
（1）（√a ）2= （ ）； （2）√a 2= ={ ( )
( ) ( )
（3）双重非负性： ，
12、二次根式的运算：
⑴加减运算：先把二次根式化成 ，然后 即可。
⑵乘除运算：√ab = （ ）； √a b = (
)。
2.分式与 二次根式
负数，除式是正数．
5．二次根式的双重非负性：对于二次根式，其被开方数 a≥0，它的值 a≥0，所 以二次根式具有双重非负性．
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考点三 二次根式的运算 1．二次根式的加减法：将二次根式化为 最最简简二二次次根根式式 后，把被开方数相同的
二次根式分别合并．
2．二次根式的乘除法： (1)乘法： a· b＝ ab
1．有括号的先算括号内的．
2．分式的分子、分母能因式分解的首先进行因式分解．
3．进行乘除运算(除法可变为乘法)．
4．约分． 5．进行加减运算时，如果是异分母分式先通分，变为 不变，分子合并同类项，最终化成 最最简简 分式．
同同分分母母
分式，此时分母
6．代入求值．
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温馨提示 1．分式的化简结果必须化为最简分式，再代入数字求值． 2．对于分式化简求值题中所给的值是开放性或多值时，注意选值时应该使原分式 与化简过程中的所有分式都有意义.
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学霸笔记 分式运算要注意： 运算顺序，如需代值切记未知数的值必须使原分式和运算过程中的所有分式都有意 义(即分母均不为 0)．另外，分式化简与解分式方程切勿混淆，化简时不能去分母.
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学霸笔记 对于分式AB：无意义的条件为 B＝0；有意义的条件为 B≠0；值为 0 的条件为： A＝0 且 B≠0；值为正数的条件为 A 与 B 同号；值为负数的条件为 A 与 B 异号．
， .
一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值．
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3． ab＝ a· b
(a≥0，b≥0)．
积的算术平方根等于每个因式的算术平方根的乘积，其中的每个因式都是非负数．
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1．不等式组⎩⎨
⎧+≤->-7
4720
23x x x 的非负整数解的个数为( )
A ．2个
B ．1个
C ．0个
D ．无数多个
2．下列不等式组中，无解的是( ) A ．⎩⎨
⎧<+<-0402x x B ． ⎩⎨⎧>+<-0402x x C ．⎩⎨⎧<+>-0402x x D ．⎩
⎨⎧>+>-040
2x x 3．不等式组⎩⎨
⎧->-≥)
7(3211
x x x 的整数解的和是( )
A ．9
B ．10
C ．231
D ．6
（1）
（2）
33122x x x -+=--． （3）22111
x x =---（4）．
分式的化简求值
1、化简：．
2、先化简，再求值：，其中．
141
43=-+--x x x 12111x
x x -=--22222369x y x y y
x y x xy y x y
--÷-++++222
4441
x x x
x x x x --+÷-+-32x =分式的化简、求值与证明
3、当2x =-时，求221
11
x x x x ++++的值．
4、..先化简，再把 x 取一个你最喜欢的数代入求值：2
)22444(22-÷+-++--x x
x x x x x
5、（2011•湘潭）先化简，再求值：，其中．
6、（2011•娄底）先化简：（）÷．再从1，2，3中选一个你认为合适的数作为a 的
值代入求值．
7、（2011•衡阳）先化简，再求值．（x+1）2
+x （x ﹣2）．其中．
8、（2011•常德）先化简，再求值，（
+
）÷
，其中x=2．
二次根式的加减
【例1】 计算：（1） （2
【练一练】485127-＝______．
【例2】 计算：
（1） （2
【练一练】计算：
（1）2
二次根式的乘除
【例3】 计算：
（1 （2
二次根式的混合运算
【例4】 计算：
（1）2 （2）(2
（3）22(2(2- （4）20112012(3(3
【练一练】（1） （2）3ab 0,0a b ≥≥）
非负数性质的综合应用
【例5】 2(4)0y -=，则y x 的值等于．
【例6】 如果2y ，则2x y +=．
【例7】 当x
【练一练】已知0a <
【例8】 已知实数x ，y ，z 满足21
44104
x y z z -+-+=，求2()x z y +⋅的值．
【练一练】已知实数a ，b ，c 满足21
2102
a b c c --+=，求()a b c +
【例9】 2(2011)10y z -+-=，则()y xz 的值等于．
【例10】 已知2220a b a ac c ++-+
【练一练】若224250a b a b +--+=的值．。