关于n维Pedoe不等式的加强与推广
S05.瓦西列夫不等式的推广加强与类似
参赛队员 吴俊熹 熊奥林 刘哲 指导教师 杨志明 参赛学校 广东广雅中学 省份 广东省
目 录
摘要 ....................................................................................... 1 Summary .............................................................................. 2 一、背景知识......................................................................... 3 二、三维不等式 ..................................................................... 3 三、四维不等式 ................................................................... 13 四、五维不等式 ................................................................... 16 五、高维不等式 ................................................................... 18 六、加强形式 ....................................................................... 20 七、待解决的问题................................................................. 23 参考文献 .............................................................................. 24
一些不等式的证明及推广【文献综述】
毕业论文文献综述数学与应用数学一些不等式的证明及推广一、前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念、综述范围，扼要说明有关主题争论焦点）不等式是数学的基本内容之一, 它是研究许多数学分支的重要工具, 在数学中有着重要的地位。
数学家们给我们留下了一些经典的不等式, 这些不等式在学习中经常遇见。
本课题的主要任务是: 在查阅文献的基础上, 总结一些重要不等式( 如柯西不等式、赫尔德不等式等)的证明方法以及它们的推广形式。
首先，我们介绍这些重要的不等式。
柯西不等式[1]：设有两组实数n a a a ,,21和12,,n b b b K ，则222111n n ni i i i i i i a b a b，当且仅当1212nna a ab b b 时，等号成立。
赫尔德不等式[2]：设有两组实数n a a a ,,21和12,,n b b b K ，1 p ，111 qp ，则 11111nnnpqp q i i i i i i i a b a b，当且仅当1212nna a ab b b 时，等号成立。
当2p 时，赫尔德不等式即为柯西不等式。
反向赫尔德不等式[3]：设有两组实数n a a a ,,21和12,,n b b b K ，1p 且0p ，111 qp ，则11111nn n pqp q i i i i i i i a b a b。
闵可夫斯基不等式[3]：设有两组正数n a a a ,,21和12,,n b b b K ，1 p ，则111111nnnpppp p p i i i i i i i a b a b，当且仅当1212nna a ab b b 时，等号成立。
反向闵可夫斯基不等式[3]：设有两组正数n a a a ,,21和12,,n b b b K ，1p 且0p ，则111111n n n pppp p p i i i i i i i a b a b。
二、主题部分（阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向，以及对这些问题的评述）柯西不等式是著名的不等式之一，且不失为至善至美的重要不等式。
一组三角不等式的加强与推广
更 一般 的情 形 ：
，一） ｇ （ ：（
Ｃ ＯＳ 。
Ｄ Ｃ 一 ＝ ２
２
，
）： ，
ＣＯＳ
＞ｏ．
兀 定理 ４ 的推广 在 凸ｍ边形 ＡＡ …Ａ （ ３ 中， ． ｍ ≥ ）
＋
Ｃ
由于 Ａ＋ Ｃ＋ Ｂ＋ Ｄ＝２ｅ ｒ，则
Ａ
２
对于 ｎ ， １
４
．
４
强 ，类 似定 理 ３和 定理 ４的证 明 ，也 可将文 ［］ １的最 后 一个 定理 加强 为 以下 两个定 理 ．
于 是 ，利 用 引理及 其 琴 生 不等 式 ，类似 可 证 明
定理 ３ ．
定理 ５在 凸四边 形 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ中 ，对于 １ ，有
定理 ３在 凸四边 形 Ａ Ｃ 中 ，对于 ≥ ，有 ＢＤ １
福建 中学数学 定理 ２ 的推广 在 凸ｍ边形 ４ …
对于 １ ，
有
２ １ 年第 ７ ０１ 期
３ 中， ）
Ｓ － — ４在 Ｃ ２１ ２ 定理一一 凸四边 形 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ中 ，对 于 ≥ ，有 １
由
ｃｔ ｏ２ ２ ￣
．
于
ｃｏ ２ ｔ一 ＋ｃ 一 ０ｔ
则 ｇ（ 一 一 ， １ ：＋
也
Ｄ２ｓ托 一 一 一２ １ ｅ ２ ＋ ｅ一
） ｌ ｃｓｘ＞ ， ＋ ｏｚ ０ ：丁
．
ｓｎ４ ＋ｓｎ２ ｉ 一 ｉ
，ｇ ） 一 — ：（
ｓ ｎ。 ｉ
ｓ ｎ‘ｘ ｉ
ｓ ｎ Ｘ ｉ
尝２ 怖 有 ２ 善 ——． 差 ｃ＋ ｏｃ ｓｏ ４ｓ 一一 旦
４
于是 ，利用 引理及其琴生不等式 ，类似可证 明
关于popov积分不等式解的注记
关于popov积分不等式解的注记Popov积分不等式（PINE）是一个描述进行积分操作所要求的基本要求，它是重要的数学定理，被广泛应用于推知和运筹学中。
Popov 积分不等式是当一个多元函数的每一个变量的偏导数都是正的时，在某一范围上积分的函数的最小值必须大于积分的函数在这一范围的起始点的值。
Popov积分不等式的解法主要有两种：精确解法和近似解法。
精确解法是使用数值求解器来求解PINE，这种方法比较耗时，而且需要较大的计算量。
但是可以得到准确的解。
近似解法是使用简单的函数和近似算法来求解PINE，这种方法需要花费较少的时间，而且只需要较少的计算量。
但是得到的解可能不太准确。
针对Popov积分不等式，在数学界中曾经提出了许多新的算法，以提高积分函数的求解准确率。
例如，“Popov-Lax子”是一种新的求解PINE的方法，它可以有效地在一定的范围内提高积分函数的求解准确度。
同时，也有一些其他的新算法，如“加权矩形求解法”，这种算法可以使用一定量的数据点来计算积分函数，更加方便快捷。
另外，也有一些新的数学方法可以解决Popov积分不等式，其中最重要的是“谱系法”。
这种方法是将积分函数分解为一系列的函数，由此可以构建一种谱系，最终得到最终的解。
这种方法往往比上述的算法更加精确，且计算量也较小，可以求出较为准确的解。
此外，还有一种更新的解法，即“分支定界法”或“分支界定法”，这种方法比传统算法更加灵活，可以更好地处理多元函数中的复杂情况。
它可以有效地求解Popov积分不等式，也可以用于求解其他数学问题，如求解线性不等式，四象限问题等。
总之，Popov积分不等式及其解法被广泛应用于解决多元函数求解问题，同时这种方法的求解准确率也越来越高，为进行积分操作带来了极大的便利。
欧拉不等式一个新的加强
≥ 4xyz((x + y)2 (x + z)2 + (x + y)2 ( y + z)2
+(x + z)2 ( y + z)2 ) （4）．
通过进一步化简得不等式（4）等价于：
A1 + A2 + A3 ≥ B1 + B2 ， 其中 A1 = (x5 y2 + x5 z2 ) + (x2 y5 + y5 z2 ) + (x2 z5 + y2 z5 ) ， A2 = 3(x3 y4 + x3 z4 ) + 3(x4 y3 + y3 z4 ) + 3(x4 z3 + y4 z3 ) ， A3 = x4 y2 z + x2 y4 z + x4 yz2 + x2 yz4 + xy4 z2 + xy2 z4 +2x3 y3 z + 2x3 yz3 + 2xy3 z3 ，
2016 年文[2]中首次给出了不等式（1）的证明．
定理 1 设 ∆ABC 的三边长为 a，b，c ，外接圆和内
切圆的半径分别为 R 和 r ，则有
R
≥
a2
+
b2
+
c
2
（1）．
2r ab + bc + ac
更多有趣的加强见文[3，4]．本文将建立欧拉不
等式一个新的加强，我们证明只利用简单的均值不
等式，不必用到像 Gerrestsen 不等式等深刻结论．
B1 = 2x5 yz + 2xy5 z + 2xyz5 ， B2 = 10x3 y2 z2 +10x2 y3 z2 +10x2 y2 z3 ． 由均值不等式知 A1 ≥ B1 ， A2 ≥ 6x3 y2 z2 + 6x2 y3 z2 + 6x2 y2 z3 ． 所以不等式（4）成立的充分条件是： A3 ≥ 4x3 y2 z2 + 4x2 y3 z2 + 4x2 y2 z3 （5）． 两边同除以 xyz ，则不等式（5）等价于
一个几何不等式的加强与证明
一个几何不等式的加强与证明安振平在2011年第11期的《中学数学教育参考》（上半月刊）中给出了三十个有趣的不等式，下面是第30个不等式的加强与证明。
第30个不等式：设[?ABC]的三边长、半周长分别为a，b，c，p，面积为△，则有不等式：[ap-acosB-C4≥23?]；笔者通过探究，发现此不等式成立，并可以加强为如下命题。
命题：设[?ABC]的三边长、半周长分别为a，b，c，p，面积为△，则有不等式：=[b+c2tanA2bc]≥4[tanA2][pp-acosB-C4]≥2[tanπ-A4+tanπ-B4+tanπ-C4][?]，我们先给出如下两个引理，引理1 若[?ABC]的面积[≥23?]，为[?]，角A，B，C的对边分别为a，b，c则[a2cos2][B-C2]+[b2cos2A-C2]+[c2cos2A-B2]≥4[tanA2+tanB2+tanC2][?]≥[43?]，证明：设ha，Wa分别为三角形BC边上的高和角平分线，那么由熟知的公式：[cosB-C2=haWa]和[Wa=2bcb+ccosA2]可得：[a2cos2B-C2?=a2-ha2?Wa2=4?Wa2=4b+c2?12bcsinA2b ccosA22]那么有：[1?a2cos2B-C2+b2cos2A-C2+c2cos2A-B2]≥[4tanA2+tanB2+tanC2]≥[43]整理得[a2cos2][B-C2][b2cos2A-C2]+[c2cos2A-B2]≥[4tanA2+tanB2+tanC2]≥[43]，以上过程用到了熟知的公式[tanA2+tanB2+tanC2≥3]。
引理2：设a，b，c是[?ABC]的三边长，Δ是[?ABC]的面积，记[a1=ab+c-a，b1=ba+c-b，c1=ca+b-c。
]那么a1，b1，c1可以或为一个三角形的三边长，而且它的面积Δ1等于[?ABC]的面积Δ，a1，b1，c1的对角分别为[π2-A2，π2-B2，π2-C2]。
一个维数无关不等式及其在偏微分方程中的应用
Sobolev inequalities is that Sobolev constants depend on the dimension of the
Euclidean spaces. In the theory of quantum field, due to the occurrence of infinitely
and Sobolev inequalities play a fundamental role in mathematical analysis. They are in
particular indispensable tools in the study of partial differential equations. A feature of
Hölder 不等式与 Minkowski 不等式是高等数学中最常用的一类不等式。对
于任意给定的两个函数 f Lp (), g Lq () ，判断它们的乘积 f g 是否还是可积
函数是一个常见的问题。Hölder 不等式告诉我们，当指标满足 p1 q1 1时，它
们的乘积是可积的，且范数 f g 被 f g 控制。Hölder 不等式的各种类型的
not only on but also on the dimension n . Thus, our result can be viewed as an
improvement and an extension of their inequalities.
Keywords: Sobolev inequalities, Dimension free inequality, Hilbert space, p-harmonic mappings, Regularity
不等式的推广和应用毕业论文
不等式的推广和应用摘要：文章以不等式为研究对象，穿插了中学数学里许多方面的重要内容，归纳总结出了不等式的建立方法、推广方向和各种应用中的解题思想和方法。
中学生在了解不等式的相关知识之后，也会对相应方面的数学知识有更加深入的认知，特别是中学数学里涉及到不等式的解题方法。
关键词：中学数学 ;不等式; 建立 ;推广 ;应用前言：不等式在中学数学中占有极重要的的低位，从最开始学习的均值不等式，到后来的柯西不等式，从最开始的利用放缩法来解决比较问题，到后来的求极值或者是最值问题，甚至是线性规划中的运用，都离不开不等式的妙用。
而且，据经验来看，掌握一些基本不等式的用法，在很多情形中就可以简化计算量。
因此，此次研究不等式的推广和简单应用，对中学生来说借鉴作用的。
在本文中，我们主要分为三个部分，在第一部分，我们主要是利用中学的知识，简介一些建立不等式的方法，也会提一些中学中没有的但是又比较著名而且基本的一些不等式，可以拓展一下中学生的眼界，增加对不等式的了解；在第二部分里，归纳总结出了出了中学中常用的一些不等式的推广方法，并且对每种方法都详加阐述，用有形的文字来传达无形但深刻的思想方法；在第三部分里，我们将介绍一些不等式的应用，主要是中学里应用到不等式的一些题型，进一步的来了解不等式的作用。
为了使读者便于理解，在每一部分，都列举了一些例子，来进行具体的解说。
总而言之，这篇论文主要是利用中学的思想解决中学里的不等式的建立、推广和应用问题,当然，笔者所述的目的是希望借此让中学生对不等式的建立、推广、应用有种意识，这样碰到类似的问题的时候，潜意识里会更容易想到这些方法的。
一、建立不等式的基本方法【1】建立不等式的方法主要有基本不等式、数学归纳法、抽屉原理法、几何法、图论法、向量法、复数法、判别式发、凸性函数法、单调方法、中值定理法、极值法、确界法和収缩法、 方法、恒等式法等等，这些方法，读者基本上可以从名字就可以有个了解，所以就不再一一赘述。
数学归纳法与贝努利不等式(选修4-5)
数学归纳法与贝努利不等式一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！目标认知：●借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，能运用它证明一些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题．●理解数学归纳法的原理，能准确使用证明格式．●了解贝努利不等式，会利用数学归纳法明贝努利不等式．重点：●用数学归纳法证明一些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题．●运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系．难点：●学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明；●运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系．学习策略：●数学归纳法一般被用于证明某些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题．但是，并不能简单地说所有与正整数n有关的数学命题都可使用数学归纳法证明．在学习过程中，要特别注意数学归纳法的适用范围和证题步骤．用数学归纳法证明数学问题，关键在于两个步骤缺一不可．“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”．贝努利不等式是用数学归纳法证明的重要不等式之一，在数值的近似估计和证明不等式中有很大的作用．二、学习与应用知识点一：归纳法（一）归纳法由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫归纳法．根据推理过程中考察的对象是涉及事物的一部分还是全部，分为归纳法和归纳法．知识要点——预习和课堂学习认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。
课堂笔记或者其它补充填在右栏。
预习和课堂学习更多知识点解析请学习网校资源ID：#tbjx6#210909“凡事预则立，不预则废”。
科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。
我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。
（二）不完全归纳法不完全归纳法是根据事物的 后得到一般结论的推理方法．基本特点：由事物 得出的结论，这个结论一般为 ，因此不完全归纳法所得到的命题 是成立（填一定或者不一定）．但这种方法易于操作，是一种非常重要的思考问题的方法，是研究数学的一把钥匙，是发现数学规律的一种重要手段． 用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明是解决问题的一种重要途径． （三）完全归纳法完全归纳法是一种在研究了事物的 后得出的一般结论的推理方法，又叫 ．基本特点：由事物的 得出的结论，因此这个结论是 ．通常在事物包含的特殊情况不多时，采用 ．知识点二：数学归纳法数学归纳法是一种完全归纳法，是证明与自然数相关的命题的重要方法． （一）数学归纳法的定义：一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数0n 的所有正整数n 都成立时，可以用以下三个步骤完成：（1）（归纳奠基） ； （2）（归纳递推） ； （3）下结论： ． 上述证明方法叫做数学归纳法． 注意：（1）用数学归纳法进行证明时，“归纳奠基”和“归纳递推”两个步骤 ； 证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性．证明了第二步，就获得了递推的依据，但没有第一步就失去了递推的基础．只有把第一步和第二步结合在一起，才能获得普遍性的结论；（2）在第二步中，在递推之前，n k =时结论是否成立是不确定的，因此用假设二字，这一步的实质是证明命题对n k =的正确性可以传递到1n k =+时的情况．有了这一步，联系第一步的结论（命题对0n n =成立），就可以知道命题对01n +也成立，进而再由第二步可知0(1)1n n =++即02n n =+也成立，…，这样递推下去就可以知道对于所有不小于0n 的正整数都成立．在这一步中，n k =时命题成立，可以作为条件加以运用，而1n k =+时的情况则有待利用归纳假设、已知的定义、公式、定理加以证明，不能直接将1n k =+代入命题． （二）数学归纳法的适用范围：数学归纳法一般适用于 有关的数学命题．但是，并不能简单地说所有与正整数n 有关的数学命题都可使用数学归纳法证明．由不完全归纳法得到的某些与自然数有关的命题，常常用数学归纳法来证明它的正确性．知识点三：贝努利不等式定理（贝努利（Bernoulli ）不等式）：设任何实数1,0,x x n >-≠且为大于1的自然数，则(1)1n x nx +>+．用数学归纳法证明：．例212122n n n n n+-=+++-++（总结升华： ． 举一反三：【变式1】用数学归纳法证明：1123234(1)(2)(1)(2)(3)4n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+++=+++．【变式2】用数学归纳法证明：1111111234(21)212n n n n n n+++=+++⋅⋅-⋅+++．【变式3】证明：33332123(12)n n ++++=+++．类型二：利用数学归纳法证明不等式例2．求证：1(1)n n n+<(n ≥3,n ∈N )． 证明：总结升华： ． 举一反三：【变式1】设n N +∈且n >1，求证：111(1)(1)(1)3521n +++>-．【变式2】已知：x >-1，且x ≠0, n ∈N ,且n ≥2，求证：(1+x )n >1+nx ．【变式3】设a ，b 为正数，n 为自然数，证明：()22n n na b a b ++≥ ．类型三：分析法证明不等式利用数学归纳法证明整除性例3．用数学归纳法证明(31)71n n +-能被9整除． 证明：总结升华： ． 举一反三：【变式】用数学归纳法证明422135n n +++(n ∈N )能被14整除．类型四：利用数学归纳法证明几何问题例4．平面内有n 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，求证这n 条直线把平面分成22()2n n f n ++=个部分．证明：总结升华： ． 举一反三：【变式】平面上有n 个圆，每两圆交于两点，每三圆不交于同一点，求证n 个圆把平面分成f (n )=n 2 -n +2部分．类型五：利用数学归纳法证明递推关系给出的数列问题例5．对于数列{}n a ，若11(0a a a a=+>且1)a ≠，111n n a a a +=-．（1）求234,,,a a a 并猜想{}n a 的表达式； （2）用数学归纳法证明你的猜想． 解析：总结升华： ． 举一反三：【变式1】已知数列{a n }满足a 1=a ，112n na a +=-． （1）求a 2，a 3，a 4；（2）推测通项a n 的表达式，并用数学归纳法加以证明．三、总结与测评要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。
关于不等式的推广与加强
关于不等式∑∑≥ij i jx x 1（n x j=∑）的推广与加强参赛队员：徐子卿指导老师：戴中元参赛学校：华东师范大学第二附属中学省份:上海市目录摘要： (1)一、原不等式 (3)二、不等式的推广（未知数） (3)三、不等式的推广（次数） (9)四、不等式的推广（形式） (13)五、不等式的推广（参数） (16)六、不等式的猜想 (16)七、参考文献 (16)关于不等式∑∑≥ij i jx x 1（n x j=∑）的推广与加强摘要：本文借助计算机软件Free GraCalc，对∑∑≥ij i jx x 1（n x j=∑）不等式在不同次数、不同元数的情况下进行了一系列的推广与加强，并引入了一系列参数；同时对其次数、元数进行了一般化的处理，得到了一些结论，这些结论在高次不等式证明、函数求极值的问题上会有一定的应用。
创新之处：对于∑∑≥ij i jx x 1（n x j=∑）不等式进行了推广，将该不等式的形式推广到多元高次的情况下，并得到了该不等式在一般形式下的成立范围。
通过对该不等式的观察，笔者提出与其形式相似的不等式。
闪光之处：笔者推广后的结论可以应用在证明高次不等式以及求值域上。
The Enhancement,Extension and Analogueof The Inequality∑∑≥ij i jx x 1（n x j=∑）This paper presents the generalization,enhancement and analogy ofthe inequality ∑∑≥ij i jx x 1（n x j=∑）based on an computer softwarecalled Free GraCalc.It draws conclusions on different conditions of exponent and number of elements.We also introduce parameters to the inequality and generalize the exponential properties of the inequality.The conclusions can be applied to problems involving higher-order inequalities and functions or finding extreme values of functions.Keywords:Inequality,generalization,analogy,derivation,mathematics software关于不等式∑∑≥ij i jx x 1（n x j=∑）的推广与加强一、原不等式已知0,,2>=+b a b a ，则222211b a b a +≤+.证：原不等式为222211ba b a +≤+,两边同时乘22b a 得：1112222≤⇔+≤+ab b a b a ，再加上：2=+b a ，显然成立.二、不等式的推广（未知数）原不等式的已知条件是n 个数的和为n ，下面证明该命题额加强形式：已知条件为n 个数的和小于等于n .1.1已知0,,,3>≤++c b a c b a ，则222222111c b a c b a ++≤++.证：不妨设c b a ≥≥，则2≤+c b ,令222222111),,(c b a cb ac b a f ---++=,首先，对于两个正实数c b ,，当c b +为定值且小于等于2时：01114)(222≥-∴=+≤cb c b bc ,()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=--+∴116211111222222222c b c b c b c b c b c b ,当且仅当c b =时等号取到.22222223232312311),,(⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-≥∴a a a a a a c b a f ,下面证明：023*********)(2222≥⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=a a a a a a a g ,()33233316)'(a a a a g --+-=,()33486)(44''--+=a a a g ,先证明当30<<a 时，0)(''≥a g ,显然()44348,6a a -均大于0,且31<≤a 时()3)13(4834844≥-≥-a ，10<<a 时，664≥a ,∴结论成立.由上述结论可知')(a g 单调递增0)(0)1('≥∴=a g g ,0)(0)1()(min ≥∴==∴a g g a g ,综上所述：得证2.已知4≤+++d c b a ，则222222221111d c b a dc b a +++≥+++.证：不妨设d c b a ≥≥≥,421122≥++ab ba,∴只需证明4)(4211222222222-+++=-++++≥+d c b a ab d c b a d c ,记12≤∴+=A dc A ,记4)24(11),(22222+----+=d c A dc d c f ,42)24(2),(222+---=∴A A AA A f ,)2(211),(),(222222A d c Ad c A A f d c f -+--+=-∴化简得：[]()0)2()(2)()(822)(2)(),(),(2222222222222222≥-++-≥+-+++-=-d c d c d c d c d c d c d c cd d c d c d c d c A A f d c f ,又0)13()1(42)24(2),(),(23222≥+--=+---=≥A A A A A A A A f d c f ,∴可以证明得：222222221111d c b a dc b a +++≥+++,3.已知5≤++++ed c b a ，则222222222211111e d c b a ed c b a ++++≥++++,证：不妨设e d c b a ≥≥≥≥，则有4≤+++e d c b ,设e d c b a k ++++=,令222222222211111),,,,(e d c b a ed c b ae d c b af -----++++=,由2的证明不难看出，当e d c b +++为定值且小于等于4时,222222221111e d c b ed c b ----+++的最小值当且仅当e d c b ===时取到,令2222441),(b a b a b a g --+=,),(),,,,(b a g e d c b a f ≥∴,又4a kb -≤4)()(641)4,(),(2222a k a a k a a k a g b a g ----+=-≥∴,令4)()(641)(2222a k a a k a a h ----+=,当5=k 时，()20322910)5(4)1(54)5()5(641)(2342222222--+----=----+=a a a a a a a a a a a a h ,令20322910)(234--+-=a a a a a m ,3258304)(23'-+-=a a a a m ,0)('=a m 时，解得44113,44113,1321+=-==x x x ,⎦⎤⎢⎣⎡-∈∴44113,1a 时，)(a f 单调递增,⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∈44113,44113a 时，)(a f 单调递减,⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∈5,44113a 时，)(a f 单调递增,而032)1(,016.944113(>-=<-≈-m m ,故)(a m 在51<≤a 时小于0，0)(≥∴a h ，等号当且仅当1=a 时取到,当5≠k 时，令kex k d x k c x k b x k a x 5,5,5,5,554321=====,则554321=++++x x x x x ,()2524232221225242322212222222222225111112511111x x x x x k x x x x x k e d c b a e d c b a ++++≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⇔++++≥++++∴162554>∴<kk ,()(),111115625,11111625,1111111111625,111116252543214425242322214425242322212524232221252423222144252423222125242322214⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++-≥++++-+++++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-=++++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++∴x x x x x k k x x x x x k k x x x x x x x x x x x x x x x k k x x x x x x x x x x k 设xx m 1)(=，则043)(5.2''>=-x x m ,由Jensen 不等式：⎪⎭⎫⎝⎛++++≥++++55)()()()()(5432154321x x x x x m x m x m x m x m x m ,4425432144625111115625kkxxxxxkk-≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++-∴,5<∴k上式显然成立，且等号条件为54321xxxxx====即edcba====.n=6,7,8时，证明过程与n=5相同，在此不详细说明.由上述说明可以发现当nxxn=+...1时不等式成立，则nxxn<+...1时，不等式也肯定成立.下面附上n=6,7,8时，h(a)的函数图像.n=6，5)6()6(1251)(2222aaaaah----+=,且0)1(=h,n=7,6)7()7(2161)(2222aaaaah----+=,且0)1(=h,n=8,7)8()8(3431)(2222a a a a a h ----+=,且0)1(=h ,4.已知9=++++++++i h g f e d c b a 则：222222222222222222111111111ih g f e d c b a i h g f e d c b a ++++++++≤++++++++,()()8995121)(2222----+=a a a a a h ,[])721288918()1(9)9(81)(234222--+----=a a a a a a a a h ,即考虑721288918)(234--+-=a a a a a f 在91<≤a 的正负性,411325,10)64252)(1(2)(2'±=⇒=+--=a a a a a f ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈∴411325,1a 时，)(a f 单调递增,⎦⎤⎢⎣⎡+-∈411325,411325a 时，)(a f 单调递减,⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∈9,411325a 时，)(a f 单调递增,而0576)9(,02.51)411325(<-=<-≈-f f ,故)(a f 在91<≤a 时小于0，0)(≥∴a h ，等号当且仅当1=a 时取到,综上所述：得证.4.下面说明：若10=+++++++++j i h g f e d c b a 则222222222222222222221111111111j i h g f e d c b a j i h g f e d c b a +++++++++≤+++++++++不成立,()()910107291)(2222---+-=a a a a a h ,()9209202101458)(33'+---=a a a a h ,下图为')(a h 的图像,当a=5,b=3其余全等于0.25时取到反例,下面说明当元数大于10时，该类型不等式均不成立,取1...,25.0...,2,51211104321=========n x x x x x x x x ，则n x i =∑,而∑∑≥221i ix x ，∴得证.三、不等式的推广（次数）该部分证明方法和2.3相同，所以不详细叙述。
若干重要不等式的推广及应用【文献综述】
毕业论文文献综述数学与应用数学若干重要不等式的推广及应用一、 前言部分众所周知，不等式作为数学本身的一个组成部分以及一种重要的推理工具，被广泛地应用到数学的各个领域，尤其在分析学中，如偏微分方程、Sobolev 空间等学科进行估值时，不等式的作用更是不可替代。
不等式存在于数理科学的方方面面，无处不在。
而其中一些不等式如Hadmard 不等式、Abel 不等式、Janous 不等式更在数学的理论基础理论的创建、延伸、和应用上起着非凡的作用，这使得不等式的研究成了当前数学研究的一个热点。
在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，而一个个的重要不等式又把这片天地装点得更加丰富多彩。
通过大量文献，我们可以归纳以下几个重要不等式。
1．著名的Hadamard 不等式可表述为[]1：R b a f →],[:是连续凸函数，则 ()()()≥+b f a f 21 ()⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥-b ab a f dx x f a b 21。
2． Abel 不等式[]2：设,,......2,1,0,0n i b a i i =>>∑∑==>->-ni i i n i i i b b aa 222222,0,0则 ,))((22222222∑∑∑===⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤--n i n i n i i i i i i i i i b a b a b b a a等号当且仅当nn b a b a b a ===...2211时成立。
3．Janous 不等式[]3：设ABC ∆的边BC ，CA ，AB ，与面积分别为a,b,c,∆,记任意一点P 到顶点A ，B ，C 的距离PA ,32,R R 分别为321,,R R R ,则()()()∆≥+++++8321R b a R a c R c b等号仅当ABC ∆为正三角形且P 为其中心时成立。
从大量文献中我们可以发现这些重要不等式几乎渗透到数学的各个领域而且处处扮演着精彩的角色，原因在于他们不仅能深刻地描述许多数学量之间的内在本质关系，得到所需要的结论，还能把许多已有的从不同方法得来的不等式用一种统一的方法简便地推导出来，它们也是推广已有的不等式，发现新的不等式的一种强有力的工具，在其他各种应用性较强的学科或领域中的应用，更加显示了它迷人的魅力。
一个维数无关不等式及其在偏微分方程中的应用
若 k k =1, k 0 ，则
f ( k xk ) k f (xk ) 。
k
k
用 Jensen 不等式可以导出很多常用的初级不等式。譬如，任给 (0,1), x, y 0,
都有
x y1 x (1 ) y 。
Hölder 不等式与 Minkowski 不等式是高等数学中最常用的一类不等式。对
于任意给定的两个函数 f Lp (), g Lq () ，判断它们的乘积 f g 是否还是可积
函数是一个常见的问题。Hölder 不等式告诉我们，当指标满足 p1 q1 1时，它
们的乘积是可积的，且范数 f g 被 f g 控制。Hölder 不等式的各种类型的
I
I
Abstract
Inequalities are important tools when people are trying to solve many mathematical
problems, for instance, the Jensen inequality, Hölder inequality, Minkowski inequality
1.1 选题的背景与主要结果 ..........................................1 1.2 主要结果在偏微分方程中的应用 ..................................3 1.3 论文的目的及意义 ..............................................8
Sobolev inequalities is that Sobolev constants depend on the dimension of the
三角不等式n维
三角不等式n维
三角不等式是数学中的一条基本不等式，指的是对于三角形中任意两边之和大于第三边的规律。
在n维空间中，我们也可以类比三角形，得到n维三角不等式，它的表述如下：
对于n维空间中的任意一组向量a1,a2,...,an，有以下不等式成立：
||a1+a2+...+an|| ≤ ||a1||+||a2||+...+||an||
其中||x||表示向量x的模长。
这个不等式意味着，n个向量的矢量和的模长不大于各自模长之和，这是n维空间中向量之间的一种基本关系。
三角不等式在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
在图像处理、数据挖掘等领域中，三角不等式也是一种非常有用的工具。
因此，掌握三角不等式的概念和应用，对于理解和应用数学知识都具有重要意义。
- 1 -。
再论Neuberg-Pedoe不等式的加权推广
再论Neuberg-Pedoe不等式的加权推广
叶骏;叶勇贵
【期刊名称】《高师理科学刊》
【年(卷),期】2007(027)001
【摘要】给出了著名的Neuberg-Pedoe不等式的加权推广、幂指推广,从而推广了文献[1,2]中的结论.
【总页数】4页(P12-15)
【作者】叶骏;叶勇贵
【作者单位】浙江师范大学,数理学院,浙江,金华,321004;浙江省衢州第二中学,浙江,衢州,324000
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.Neuberg-Pedoe不等式的单形推广 [J], 樊益武
2.Neuberg－Pedoe不等式的高维推广 [J], 张晗方;
3.k-n型Neuberg-Pedoe不等式的推广 [J], 崔晓波;郭婷;李小燕
4.n 维单形新k-n 型Neuberg-Pedoe不等式的推广 [J], 杨世国;王文;卞革
5.再论Neuberg-Pedoe不等式的加权推广 [J], 叶骏;叶勇贵
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第三章 数学归纳法与贝努利不等式章末归纳提升课件 新人教B版选修4-5课件
【证明】 (1)当 n＝2 时，左边＝1＋12＋13<2，不等式成 立．
(2)假设 n＝k(k∈N＋，且 k≥2)时不等式成立， 即 1＋12＋13＋…＋2k－1 1<k， 则当 n＝k＋1 时， 左边＝1＋12＋13＋…＋2k－1 1＋21k＋…＋2k＋11－1 <k＋21k＋…＋2k＋11－1<k＋21k·2k＝k＋1. ∴当 n＝k＋1 时，不等式也成立． 由(1)(2)知，不等式当 n 取任意大于 1 的自然数时都成立.
在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且 an，bn， an＋1 成等差数列，bn，an＋1，bn＋1 成等比数列．
(1)求 a2，a3，a4 及 b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通 项公式，并证明你的结论；
(2)证明：a1＋1 b1＋a2＋1 b2＋…＋an＋1 bn<152.
从特殊到一般的数学思想方法
探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型， 此种问题未给出结论，需要从特殊情况入手，猜想，探索出 结论，再对结论进行证明，主要是应用数学归纳法．
已知 f(x)＝1－x2n2＋1，g(n)＝nn22＋－11，当 n≥4 时， 试比较 f( 2)与 g(n)的大小，并说明理由．
【解】 由 f( 2)＝1－ 222n＋1＝1－2n＋2 1，g(n)＝1－ 2 n2＋1.
∴要比较 f( 2)与 g(n)的大小，只需比较 2n 与 n2 的大小．当 n＝4 时，24＝16＝42，
当 n＝5 时，25＝32>52＝25， 当 n＝6 时，26＝64>62＝36. 故猜测当 n≥5(n∈N＋)时，2n>n2， 下面用数学归纳法加以证明． (1)当 n＝5 时，命题显然成立．
四面体中的逆向Pedoe不等式
四面体中的逆向Pedoe不等式
糜健;周永国
【期刊名称】《湖南数学通讯》
【年(卷),期】1998(000)004
【总页数】2页(P12-13)
【作者】糜健;周永国
【作者单位】湖南沅陵一中;湖南沅陵一中
【正文语种】中文
【中图分类】O181
【相关文献】
1.四面体中特殊线段的R．R．Janic型不等式及其逆向不等式 [J], 张垚
2.四面体中R.R.Janic型不等式及逆向不等式 [J], 张yao
3.Pedoe不等式与Oppenheim不等式的推广 [J], 申一平
4.球面空间中的Pedoe不等式与张-杨不等式及应用 [J], 杨世国;齐继兵;王文
5.关于n维情形的Pedoe不等式与彭-常不等式 [J], 杨世国
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一道希腊阿基米德竞赛不等式试题的加强推广
一道希腊阿基米德竞赛不等式试题的加强推广
何灯
【期刊名称】《中学数学研究》
【年(卷),期】2017(000)006
【摘要】这是2017年希腊阿基米德数学竞赛试题中的一道，本文拟给出上述不等式的一个加强推广．
【总页数】1页(P50)
【作者】何灯
【作者单位】福建省福清第三中学 350315
【正文语种】中文
【相关文献】
1.一道美国竞赛试题的加强与推广 [J], 文家金;谭天;李臻
2.一道不等式竞赛试题的证明及推广 [J], 张晓建
3.一道不等式竞赛试题的证明及推广 [J], 张晓建
4.一个新的加强的不等式——一道国际竞赛题的推广 [J], 张华飞
5.一道不等式试题的证明、加强与推广 [J], 陈敏
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对 Ｐ 中另一 ”维单 形 ， 们有类似 的记号 ， 我 比如
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收 稿 日期 ： ０ ６—１ —１ ２０ １ ７
基 金 项 目 ： 徽 省 年 度 重 点 科 研 项 目（ ６２ ８ ｃ ； 徽 省 高校 省 级 重 点 项 目（ Ｏ ６ Ｊ ６ Ａ） 安 ００ ２０ ） 安 ２ＯＫ Ｏ７ 作 者 简 介 ：陈士 龙 （９ ２一 ． ． 教 － 士研 究 生 ． １７ ） 男 助 硕
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Ｃ ＥＮ ｈｉｌ ｎｇ 一．ＹＡＮＧ ｈｉｇ ｏ Ｈ Ｓ —ｏ Ｓ —ｕ 。
（１ ．ＡｎｈｕｉＢｒ ｄ ｓｉ ｇ Ｍ ｏ ｅ ａ ｏａ ｃａ ｔｎ ｖｉ ｎｄ Ｔｅｌｖ ｓｏｎ Ｃｏｌｅ ｅ ｉｉ ｌｇｅ， Ｈ ｅ ｅ ０ ｆ ｉ２３ ０２２，Ｃｈｉ ｎａ ！ ｃ ｏｌｏｆＭ ａ ｈｅ ．Ｓ ｈｏ ｔ ｍａｔｃ ｄ Ｃｏｍ ｐｕ ａ ｉ ｌＳｃｅ ｅ Ａ ｎ ｎｉｅｒ ｉｙ， Ｈ ｅ ｅ ３ ３９， Ｃｈｉ ｉｓａｎ ｔ ｔｏｎａ ｉｎｃ ， ｈｕｉＵ ｖ ｓｔ ｆ ｉ２ ００ ｎａ ３．Ｄｅ ａ ｔ ｅ ｔｏｆＭ ａ ｈｅ ａｔｃ ｐ ｒｍ ｎ ｔ ｍ ｉｓ．Ａ ｎｈ Ｉ ｓ ｉｕｔ ｕｉ ｎ ｔｔ ｅ ｏｆＥｄｕ ａ ｉ ｃ ｔｏｎ， Ｈｅｆ ３ ｅｉ２ ００６ １， Ｃｈｉ ａ） ｎ
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第 一 ９ １卷 第 ３期
２０ ０ ７年 ５月
山 东 理 工 大 学 学 报（ 然 科 学 版） 自
Ｊ ｏｕｒ ａｌｏｆＳｈ ｎｄ ｇ Ｕ ｎｉｅｒ ｉｙ ｏｆＴｅ ｈｎ ｏｇ Ｎ ａ ｕｒ ｌＳｃｅｎ ｅ Ｅｄｉｉ ｎ ａ ｏｎ ｖ ｓｔ ｃ ｏｌ ｙ（ ｔ ａ ｉ ｃ ｔｏｎ）
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本文 中约定 中 维单 形 的体积 为 ， 棱
１４ ９ ３年 ， ． ｅ ｏ ｚ Ｄ Ｐ ｄ ｅ 在文 献［ ］中证 明 了涉 及 １ 两个 三角 形边 长 与面 积 的著名 不等式 ． △Ａ Ｃ 设 Ｂ 和 △Ａ Ｂ ｃ 的边长分 另 为 “ ６ Ｃ ａ ， Ｃ 他们 ， ， 和 ｂ， 的 面积分 别为 △ 和 △ 则
ａ ｂ ＋ Ｃ （ 。 一 ａ ） ｂ Ｃ ＋ （ ＋ ａ 一 ｂ ） ＋ ｆ ａ （ ＋ ｂ 。一 Ｃ ）≥ １ Ｗ ６ （ ） １
长为 “（ 一 １２ …， （ ＋１ ）单形 的顶点 ｉ ，， ÷” ” ） ，
Ａ 所对 的 ，一 １维侧 面 的体积 为 Ｆ，ｉ＝ １ ２ ｚ （ ，，
Ａｂ ｔａ ｔ Ｉ ｈ ｓ ｐ ｐｅ ， ｙ ｕ ｉ ｎ ｌ ｔｃ ｍｅ ｈ ｎｄ ｔ ｅ ｙ ｏ ｏｍｅ ｒｃ ｉ ｅ ｕ ｌｔｅ ｓｈ ｏｒ ｆｇｅ ｔ ｉ ｎ ｑ ａ ｉｉｓ，ｎ ｄ — — ｉ
了 两 种 形 式 的 ｎ维 Ｐ ｄ ｅ不 等 式 ． 广 了 已 有 的结 果 ． ｅｏ 推 关 键 词 ：单 形 ；外 接 球 半 径 ；内切 球 半 径 ； ｅ ｏ ｐ ｄ ｅ不 等 式
中图分 类号 ： ８ Ｏ１４
文献 标识码 ：Ａ
Ｇｅ ｒ ｌｚ ｔｏ ｆｎ — ｄ ｍ ｅ ｉ ｎ ｌｐ ｄ ｅ ｉ ｑｕ ｌｔ ｎｅ ａ ｉ ａ ｉ ｎｓ ｏ — ｉ ｎｓｏ ａ ｅ ｏ ｎｅ ａ ｉｙ
Ｖｏ ． １ ＮＯ ３ Ｉ２ ．
Ｍａ ０ Ｙ ２ ０７
文 章编 号 ：６ ２ ６ ９ （０ ７ ０ ０ ３ ０ １ ７ １ ７ ２ ０ ） ５ ０ ４ ３
关 于 ｎ维 Ｐ ｄ ｅ 等式 的加 强 与 推 广 ｅｏ 不
陈 士 龙 ，杨 世 国。
（． １ 安徽 广播 影视 职 业技 术学 院 安徽 合肥 ２ ０ ２ ； ３ ０ ２ ２ 安徽 大学 数 学与 计算科 学 学院 ，安徽 合肥 ２ ０ ３ ； ． ３ ０ ９ ３ 安 徽教 育学 院 数学 系 ，安徽 合 肥 ２ ０ ６ ） ． ３ ０ １ 摘 要 ：利用 几 何不等 式的理论 和 解析 的 方法 ， 究 了 ｎ维 欧 氏空 间 中的 Ｐ ｄ ｅ不等 式 ， 研 ｅｏ 建立