积分应用7.ppt
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第7章第2节定积分存在的条件
证明: 设对于a，b有两个独立的分法，
对应的达布和分别记为 s1，s1及s2，s2， 我们来证明 s1 s2. 把两种分法的分点合并在一起，也是一种分法，
对应的达布和分别记为S3 , 及S3，于是由定理1知
S1 S3, S3 S2 . 而S3 S3 , 所以S1 S2.
(证毕)
2020年4月6日星期一
i
ixi 0.
2020年4月6日星期一
海阔凭鱼跃,天高任鸟飞
19
循序渐进
§7.2 定积分存在的条件
二、可积函数类（三类可积函数）
1. a,b上的连续函数在a,b上可积.
证明: 设f x 在a,b上连续。根据康托定理， f x在a,b上一致连续，
所以对任意的 0， 0,使对于
a,b上任意两点x', x'',只要 x' x'' ，
2020年4月6日星期一
海阔凭鱼跃,天高任鸟飞
21
循序渐进
§7.2 定积分存在的条件
2. 只有有限个第一类不连续点的函数是可积的. (即, 分段函数是可积的).
证明：设f x有k个不连续点：x1' , x2' ,L , xk'，则对于
任意的 0及 0，总存在适当小的 0，使 ，
2k
而对任何分法，当 maxxi 时，
n
S f i xi S
i 1
n
取极限 0，得
lim f
0 i1
i
xi I
可积准则1：f 在a,b可积 lim S S 0 0
2020年4月6日星期一
海阔凭鱼跃,天高任鸟飞
16
循序渐进
§7.2 定积分存在的条件
对应的达布和分别记为 s1，s1及s2，s2， 我们来证明 s1 s2. 把两种分法的分点合并在一起，也是一种分法，
对应的达布和分别记为S3 , 及S3，于是由定理1知
S1 S3, S3 S2 . 而S3 S3 , 所以S1 S2.
(证毕)
2020年4月6日星期一
i
ixi 0.
2020年4月6日星期一
海阔凭鱼跃,天高任鸟飞
19
循序渐进
§7.2 定积分存在的条件
二、可积函数类（三类可积函数）
1. a,b上的连续函数在a,b上可积.
证明: 设f x 在a,b上连续。根据康托定理， f x在a,b上一致连续，
所以对任意的 0， 0,使对于
a,b上任意两点x', x'',只要 x' x'' ，
2020年4月6日星期一
海阔凭鱼跃,天高任鸟飞
21
循序渐进
§7.2 定积分存在的条件
2. 只有有限个第一类不连续点的函数是可积的. (即, 分段函数是可积的).
证明：设f x有k个不连续点：x1' , x2' ,L , xk'，则对于
任意的 0及 0，总存在适当小的 0，使 ，
2k
而对任何分法，当 maxxi 时，
n
S f i xi S
i 1
n
取极限 0，得
lim f
0 i1
i
xi I
可积准则1：f 在a,b可积 lim S S 0 0
2020年4月6日星期一
海阔凭鱼跃,天高任鸟飞
16
循序渐进
§7.2 定积分存在的条件
高中数学选修2-2优质课件：1.7.1 定积分在几何中的应用
2.曲线 y＝cos x(0≤x≤32π)与坐标轴所围图形的面积是( B )
A.2 解析
B.3
C.52
S＝π2
0
cos
xdx－32πcos π
xdx＝sin
π x2 0
D.4 3π 2
－sin x π 2
2
＝sin π2－sin 0－ sin 32π＋sin π2＝1－0＋1＋1＝3.
1234
4 3.由曲线y＝x2与直线y＝2x所围成的平面图形的面积为__3__.
1234
S＝4f(x)dx－7f(x)dx
1
4
③
S＝a[g(x)－f(x)]dx＋b[f(x)－g(x)]dx
0
a
④
A.①③ C.①④
B.②③ D.③④
1234
解析 ①应是 S＝b[f(x)－g(x)]dx，②应是 S＝82 2xdx－
a
0
8(2x－8)dx，③和④正确.故选 D.
4
答案 D
1234
跟踪演练2 求由曲线y＝x2，直线y＝2x和y＝x围成的图形的面积.
y＝x2， y＝x2，
解 方法一 如图，由
和
y＝x
y＝2x
解出 O，A，B 三点的横坐标分别是 0,1,2.
故所求的面积 S＝10(2x－x)dx＋12(2x－x2)dx＝x2210 ＋ x2－x3321 ＝12－0＋(4－83)－(1－13)＝76.
y＝2x， x＝0， x＝2，
解析 解方程组
得
或
y＝x2， y＝0， y＝4.
∴曲线y＝x2与直线y＝2x交点为(2,4)，(0,0).
∴S＝2(2x－x2)dx＝ 0
x2－13x320
高等数学(微积分)ppt课件
，且f'(x0)=0，则可通过二阶导数 f''(x0)的符号来判断f(x)在x0处取得极大值还是极小值。
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线 的拐点。
THANKS
感谢观看
非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或 利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义 无穷序列的部分和序列
级数的性质 加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散 部分和序列有极限则级数收敛，否则 发散
常见级数及其敛散性 等差级数、等比级数、调和级数、交 错级数等，通过比较法、比值法、根 值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式 性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两 个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时 的无穷小量。
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线 的拐点。
THANKS
感谢观看
非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或 利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义 无穷序列的部分和序列
级数的性质 加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散 部分和序列有极限则级数收敛，否则 发散
常见级数及其敛散性 等差级数、等比级数、调和级数、交 错级数等，通过比较法、比值法、根 值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式 性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两 个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时 的无穷小量。
微积分基本公式ppt课件
热力学
温度与热量，熵与绝热过程，热力学第二定律
微积分在经济中的应用实例
01
总结词
边际分析，最优化问题，经济增长 模型
最优化问题
最大利润，最小成本，最优解
03
02
边际分析
边际成本，边际收益，边际利润
经济增长模型
索洛模型，哈罗德-多马模型，内生 增长模型
04
THANKS
感谢观看
微积分基本公式的应用实例
总结词
微积分基本公式在解决实际问题中有着广泛 的应用，例如求解变速直线运动的位移、求 解曲线的面积等。
详细描述
通过微积分基本公式，我们可以求解变速直 线运动的位移。例如，假设一个物体以速度 v(t)运动，那么物体在时间t到时间t+Δt之间 的位移就是∫(v(t)dt)，通过微积分基本公式 可以求得该物体的位移。此外，微积分基本 公式还可以用于求解曲线的面积，例如求解
要点二
高阶导数的几何意义
掌握高阶导数的计算方法，例如利用莱布尼茨公式计算二 阶、三阶等高阶导数。
理解高阶导数在几何上的意义，例如二阶导数表示曲线的 凹凸性，三阶导数表示曲线的拐点等。
05
定积分的计算
定积分的计算方法与技巧
积分公式
掌握积分公式是进行定积分计算的基础，包括 幂函数的积分公式、三角函数的积分公式等。
微积分基本公式
微积分基本公式的内容与证明
总结词
微积分基本公式是微积分学的基础，它描述 了函数在某一点处的导数与该函数在该点附 近的变化率之间的关系。
详细描述
微积分基本公式通常表示为∫(f'(x))dx = f(b) - f(a)，其中∫代表积分，f'(x)代表函数f 在点x处的导数，b和a分别代表积分的上限 和下限。这个公式在理解函数的积分和导数 之间关系上起着关键作用。
温度与热量，熵与绝热过程，热力学第二定律
微积分在经济中的应用实例
01
总结词
边际分析，最优化问题，经济增长 模型
最优化问题
最大利润，最小成本，最优解
03
02
边际分析
边际成本，边际收益，边际利润
经济增长模型
索洛模型，哈罗德-多马模型，内生 增长模型
04
THANKS
感谢观看
微积分基本公式的应用实例
总结词
微积分基本公式在解决实际问题中有着广泛 的应用，例如求解变速直线运动的位移、求 解曲线的面积等。
详细描述
通过微积分基本公式，我们可以求解变速直 线运动的位移。例如，假设一个物体以速度 v(t)运动，那么物体在时间t到时间t+Δt之间 的位移就是∫(v(t)dt)，通过微积分基本公式 可以求得该物体的位移。此外，微积分基本 公式还可以用于求解曲线的面积，例如求解
要点二
高阶导数的几何意义
掌握高阶导数的计算方法，例如利用莱布尼茨公式计算二 阶、三阶等高阶导数。
理解高阶导数在几何上的意义，例如二阶导数表示曲线的 凹凸性，三阶导数表示曲线的拐点等。
05
定积分的计算
定积分的计算方法与技巧
积分公式
掌握积分公式是进行定积分计算的基础，包括 幂函数的积分公式、三角函数的积分公式等。
微积分基本公式
微积分基本公式的内容与证明
总结词
微积分基本公式是微积分学的基础，它描述 了函数在某一点处的导数与该函数在该点附 近的变化率之间的关系。
详细描述
微积分基本公式通常表示为∫(f'(x))dx = f(b) - f(a)，其中∫代表积分，f'(x)代表函数f 在点x处的导数，b和a分别代表积分的上限 和下限。这个公式在理解函数的积分和导数 之间关系上起着关键作用。
一元一次方程应用(球赛积分表问题)-课件
另外还使我们认识到，利用方程解决 实际问题时，方程的解要符合实际意义.
利用方程不仅可以求出具体的数值， 还可以帮助我们进行推理判断.
练习3
如图所示的长方形由大小不一
的正方形组成，原来的长方
形的周长为68cm，那么原
来长方形的长为(
)
A、18cm B、20cm
C、16cm D、22cm
Hale Waihona Puke 天每开个放孩
胜场积分为_2_(_14_－__n_)_, 负场积分为___n___, 总积分可表示为： 2（14-n）＋ n
= 28-n
问题：有没有某队的胜场总积分能等于负场总积分吗?
解:设一个队胜了x场，则负了 （14－场x，）
2x = （14 －x）
解得：
答：没有哪个队的胜场总积分等于负场总积分。
注意：解决实际问题时，要考虑得到结果是不是符合实际。
远大
14
7 7 21 和积分.
卫星
14
4 10 18
篮球比赛中只有胜、
钢铁
14
0 14 14 负，没有平局.
问题：这张表格中的数据之间有什么样的数量关系？
队名 比赛场次 胜场 负场 积分
前进
14
10 4 24 答：每队的胜场数＋
东方
14
10 4 24 负场数
光明
14
9 5 23 ＝这个队比赛场次;
问题：列式表示积分与胜、负场数之间的数量关系
队名 前进 东方 光明 蓝天 雄鹰 远大 卫星 钢铁
比赛场次 胜场 负场 积分
14
10 4 24
14
10 4 24
14
9
5 23
14
9
5 23
利用方程不仅可以求出具体的数值， 还可以帮助我们进行推理判断.
练习3
如图所示的长方形由大小不一
的正方形组成，原来的长方
形的周长为68cm，那么原
来长方形的长为(
)
A、18cm B、20cm
C、16cm D、22cm
Hale Waihona Puke 天每开个放孩
胜场积分为_2_(_14_－__n_)_, 负场积分为___n___, 总积分可表示为： 2（14-n）＋ n
= 28-n
问题：有没有某队的胜场总积分能等于负场总积分吗?
解:设一个队胜了x场，则负了 （14－场x，）
2x = （14 －x）
解得：
答：没有哪个队的胜场总积分等于负场总积分。
注意：解决实际问题时，要考虑得到结果是不是符合实际。
远大
14
7 7 21 和积分.
卫星
14
4 10 18
篮球比赛中只有胜、
钢铁
14
0 14 14 负，没有平局.
问题：这张表格中的数据之间有什么样的数量关系？
队名 比赛场次 胜场 负场 积分
前进
14
10 4 24 答：每队的胜场数＋
东方
14
10 4 24 负场数
光明
14
9 5 23 ＝这个队比赛场次;
问题：列式表示积分与胜、负场数之间的数量关系
队名 前进 东方 光明 蓝天 雄鹰 远大 卫星 钢铁
比赛场次 胜场 负场 积分
14
10 4 24
14
10 4 24
14
9
5 23
14
9
5 23
微积分英文课件PPT (7)
numbers c where f (c) 0 or f (c) does not exist.
Definition:
A critical number of a function f is a number c in the domain of f such that either f (c) 0 or f (c) does not exist.
Example Find the absolute maximum and minimum values of the function
f (x) x3 3x2 1
1 x4
2
Solution: Since f is continuous on the given closed
interval, we can use the Closed Interval Method:
f (x) 0
For example:
f (x) x3 at x 0
2)There may be an extreme value even when f (c) does not exist.
For example: f (x) x at x 0
Fermat’s Theorem does suggest that we should at least start looking for extreme values of f at the
1) f is continuous on the closed interval [a,b]. 2) f is differentiable on the open interval (a,b). 3) f (a) = f (b) Then there is a number c in (a,b) such that
Definition:
A critical number of a function f is a number c in the domain of f such that either f (c) 0 or f (c) does not exist.
Example Find the absolute maximum and minimum values of the function
f (x) x3 3x2 1
1 x4
2
Solution: Since f is continuous on the given closed
interval, we can use the Closed Interval Method:
f (x) 0
For example:
f (x) x3 at x 0
2)There may be an extreme value even when f (c) does not exist.
For example: f (x) x at x 0
Fermat’s Theorem does suggest that we should at least start looking for extreme values of f at the
1) f is continuous on the closed interval [a,b]. 2) f is differentiable on the open interval (a,b). 3) f (a) = f (b) Then there is a number c in (a,b) such that
积分运算电路实验(共7张PPT)
图1-21 斜坡电压输出波形 实验八 积分运算电路实验
图1-21 斜坡电压输出波形
实验八 积分运算电路实验
②组装调整所设计的积分电路，观察积分电路的积分
漂移，对该电路调零或将积分漂移调至最小。
③按设计指标要求分别给所设计电路输入方波和 阶跃电压信号，观察输出波形，记录输出波形的 幅值与周期时间，与设计指标相比较，若有出入， 应适当调整电路参数，直至达到设计指标为止。
实验八 积分运算电路实验
●调用信号发生器、示波器仿真测试。
②组装调整所设计的积分电路，观察积分电路的积分漂移，对该电路调零或将积分漂移调至最小。
●调用信号发生器、示波器仿真测试。
●掌握软件与硬件电路的连接与调试。
1、实验目的 通过积分运算电路设计性实验，学会简单积 分电路的设计及调试方法，了解引起积分器运算误差的因素，初步掌握减小误差
Ui=1v Uo（v）
f= 100Hz
f = 500Hz
f =5000Hz
（4）输入方波信号，用示波器观测Ui和Uo输出波形并 画出其方波和三角波电压波形图（电压值、周期）。
Ui=1V Uo波形 Uo峰值
f = 100Hz
f= 500Hz
f= 5000Hz
三、输入输出波形图
输入方波输出ຫໍສະໝຸດ 角波反 相积分④分析误差及误差产生的原因。 ⑤写出设计总结报告。
实验八 积分运算电路实验
一、验证性实验
1、实验目的
● 熟悉从Multisim软件中调用集成运算放大器。
●调用信号发生器、示波器仿真测试。
●掌握软件与硬件电路的连接与调试。
2、实验步骤：
（1）熟悉电路图结构
（2）关闭电源按照电路原理图连接好电路，并检查是否 有接错点，然后再打开电源。（调零）
7.数值积分-Newton-Cotes公式+龙贝格算法
n
c(n) k
k 0,1,2,,n，若记其绝对值的和为
n
|
c(n) k
|,
k0
则可以证明
sup{ n } .
n
（2.10）
显然，当 f ( x) 1时，对所有 n 1，都有 I ( f ) In( f ),
n
即
c(n) k
1
k0
结论：当n充分大时，
c(n) k
(k 0,1,2,,n)
当n = 8时，出现了负系数，从而影响稳定性和 收敛性，因此实用的只是低阶公式。
Newton-Cotes公式
b
a
f
( x)dx
(b
n
a)C
(n) j
f
(
x
j)
j0
• 柯特斯系数
n
1 1/2 1/2
2 1/6 4/6 1/6
3 1/8 3/8 3/8 1/8
4 7/90 16/45 2/15 16/45 7/90
但用n阶牛顿-柯特斯公式计算时会出现如下的计算结果
I
41 4 1 x2 dx 2argtan4 2.6516
n
In
2
5.4902
4
2.2776
6
3.3288
8
1.9411
10
3.5956
由上表可以看出：此时数值求积过程是发散的。
注意： 对于n阶Newton-Cotes公式的Cotes系数
（2.6）
其中：
K2(t)
1
72 1
(t (b
a t
)3 )3
(3t a (b 2a
2b), 3t ),
72
a t ab
c(n) k
k 0,1,2,,n，若记其绝对值的和为
n
|
c(n) k
|,
k0
则可以证明
sup{ n } .
n
（2.10）
显然，当 f ( x) 1时，对所有 n 1，都有 I ( f ) In( f ),
n
即
c(n) k
1
k0
结论：当n充分大时，
c(n) k
(k 0,1,2,,n)
当n = 8时，出现了负系数，从而影响稳定性和 收敛性，因此实用的只是低阶公式。
Newton-Cotes公式
b
a
f
( x)dx
(b
n
a)C
(n) j
f
(
x
j)
j0
• 柯特斯系数
n
1 1/2 1/2
2 1/6 4/6 1/6
3 1/8 3/8 3/8 1/8
4 7/90 16/45 2/15 16/45 7/90
但用n阶牛顿-柯特斯公式计算时会出现如下的计算结果
I
41 4 1 x2 dx 2argtan4 2.6516
n
In
2
5.4902
4
2.2776
6
3.3288
8
1.9411
10
3.5956
由上表可以看出：此时数值求积过程是发散的。
注意： 对于n阶Newton-Cotes公式的Cotes系数
（2.6）
其中：
K2(t)
1
72 1
(t (b
a t
)3 )3
(3t a (b 2a
2b), 3t ),
72
a t ab
不定积分(公式大全)省优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
两边积分得 u(x)·v(x)＝∫u'(x)v(x)dx＋∫u(x)v'(x)dx
于是有 ∫u(x)·v'(x)dx＝u(x)·v(x)－∫u'(x)·v(x)dx
或表达成 ∫u(x)dv(x)＝u(x)·v(x)－∫v(x)du(x)
这一公式称为分部积分公式。
二、讲解例题
例1 求∫xexdx
解:令 u(x)＝x，v'(x)＝ex 则原式为∫u(x)·v'(x)dx旳形式
例1 求下列函数旳一种原函数：
⑴ f(x)＝2x
⑵ f(x)＝cosx
解：⑴∵(x2)'＝2x
∴x2是函数2x旳一种原函数
⑵∵(sinx)'＝cosx
∴sinx是函数cosx旳一种原函数
这里为何要强调是一种原函数呢?因为一种函数
旳原函数不是唯一旳。
例如在上面旳⑴中，还有(x2＋1)'＝2x，
(x2－1)'＝2x
C
例5 求 2xex2 dx
解：设u＝x2，则du＝2xdx
2xex2 dx ex2 2xdx eudu eu C ex2 C
例7 求 tan xdx
解
:
tan
xdx
sin cos
x x
dx
设u＝cosx，则du＝-sinxdx
tan
xdx
1 cos
x
(
sin
x)dx
1 u
1 x3 x2 x C
3
再如
求
(x
1)( x 2 3x2
3)
dx
解:
(x 1)(x2 3)
3x2
dx
x3 x2 3x 3
于是有 ∫u(x)·v'(x)dx＝u(x)·v(x)－∫u'(x)·v(x)dx
或表达成 ∫u(x)dv(x)＝u(x)·v(x)－∫v(x)du(x)
这一公式称为分部积分公式。
二、讲解例题
例1 求∫xexdx
解:令 u(x)＝x，v'(x)＝ex 则原式为∫u(x)·v'(x)dx旳形式
例1 求下列函数旳一种原函数：
⑴ f(x)＝2x
⑵ f(x)＝cosx
解：⑴∵(x2)'＝2x
∴x2是函数2x旳一种原函数
⑵∵(sinx)'＝cosx
∴sinx是函数cosx旳一种原函数
这里为何要强调是一种原函数呢?因为一种函数
旳原函数不是唯一旳。
例如在上面旳⑴中，还有(x2＋1)'＝2x，
(x2－1)'＝2x
C
例5 求 2xex2 dx
解：设u＝x2，则du＝2xdx
2xex2 dx ex2 2xdx eudu eu C ex2 C
例7 求 tan xdx
解
:
tan
xdx
sin cos
x x
dx
设u＝cosx，则du＝-sinxdx
tan
xdx
1 cos
x
(
sin
x)dx
1 u
1 x3 x2 x C
3
再如
求
(x
1)( x 2 3x2
3)
dx
解:
(x 1)(x2 3)
3x2
dx
x3 x2 3x 3
高等数学 第七章 定积分应用与广义积分 7-2(1)平面图形的面积
x
A = 2( A + A ) 1 2
= 2[∫ 1 3 (1 + cosθ )2dθ 0 2
π
2
π
A2
o
yθ =
π
3
A1
x
1 (3acosθ )2dθ ] +∫ π 2 =∫ 9 2 3 (1+ 2cosθ + cos2 )dθ + θ θ π (1+ cos 2 )dθ 0 2 3
π
o x x +d x a x
= 4ab∫ 2 sin2 t dt
0
π
= 4ab ⋅ 1⋅ π = π ab 2 2
当 a = b 时得圆面积公式
一般地 , 当曲边梯形的曲边 ( f ( x) ≥ 0, x ∈[a,b]) 由参数方程 给出时, 给出时
y = f (x)
则曲边梯形面积为
3. 极坐标情形 及 求由曲线 围成的曲边扇形的面积 .
第七章 七
第二节 定积分的几何应用
一、 平面图形的面积
1. 直角坐标情形 2. 参数方程情形 3. 极坐标情形
1. 直角坐标情形 (1) 面积元素
d A = f ( x)d x
曲边梯形的面积
A = ∫ f ( x)d x
a
b
(2) 面积元素
d A = [ f ( x) − g( x)]d x
曲边梯形的面积 A = [ f ( x) − g( x)]d x ∫
0 3 2 3 2 3
说明：注意各积分区间上被积函数的形式． 说明：注意各积分区间上被积函数的形式．
例3 计 由 线y2 = 2x和 线y = x − 4所 成 算 曲 直 围
图 的 积 的 形 面 .
第7节 微分方程的初等积分法
常微分方程: 偏微分方程:
微分方程的阶 :
n阶微分方程的一般形式为 F (x, y, y, y,, y(n) ) 0
1、微分方程的解 : 2、微分方程的通解: 3 初始条件:
n阶微分方程 F(x, y, y,, y(n) ) 0 的初始条件为
y(x0 ) y0 , y(x0 ) y1,, y (n1) (x0 ) yn1
m
d 2s dt 2
mg
即d 2s dt 2
g
(2)
(2) 若考虑空气的阻力,设阻力大小与速度成正比,
则 F mg kv mg k ds , dt
由此得 m d 2 s mg k ds ,
dt 2
dt
即
d 2s dt 2
k m
ds dt
g
(3)
此外, s(t) 还应满足条件 : s(0) 0, s(0) 0
解 : 令 z y , 则 y z dz , dy
原方程化为：
2y z dz 1 z 2 , dy
注 1：对不显含 y 与不显含 x 的二阶方程，均作变换
z y , 但实际上是有区别的。
2：求二阶微分方程初值问题的解时，应边解边确定 任意常数。
3
例 16 求第一节例 3 中方程 (1 y2 ) 2 a y 的通解。
例 7 求 dy 1 y 1的通解. dx x
解：常数变易法：
齐次方程 dy 1 y 0 的通解: y Cx
设
y
dx C(x) x
为xdy
1
y
1的解,
代入得
dx x
积分变换第7讲拉氏逆变换
b - j
k 1 ssk
最常见的情况, 是函数F(s)是有理函数, 即
F (s)
am s m bn s n
am-1sm-1 a1s a0 bn-1sn-1 b1s b0
amsm am-1sm-1 a1s a0 bn (s - s1)(s - s2 )(s - sn )
-
sk
)
c1 ( s
-
sk
)2
再令两边取s sk的极限,得
c-1
Res
ssk
A(s) B(s)
est
lim
ssk
(s
-
sk
)
A(s) B(s)
est
一阶极点处留数的求法
而极限
lim
ssk
(s
-
sk
)
A(s) B(s)
est
lim
ssk
A(s) B(s) - B(sk
)
est
s - sk
(t)
A(j k ) B(j k )
e jkt
A(- jk) B(- jk)
e- jkt
k 2 jk
e jkt
k -2 jk
e- jkt
sin
kt,
t
0
如方程B(s)=0有一个二重根s1, 称s1为B(s)的二 阶零点, 也是F(s)est的二阶极点, 这时F(s)est在 s=s1处可展开为罗朗级数, 其形式为:
C k 1
即
1
2
j
b
jR
F
(
s)
e
std
s
b - jR
CR F (s) estd s
n
Res
分数除法应用题部分与整体(共7张PPT)
第一布艺小组做了8个蝴蝶结，完成了本组计划 的 。第2一小组计划完成多少个蝴蝶结？
5
第一布艺兴趣小组做了8个蝴蝶结，完成了本组 第一布艺小组做了8个蝴蝶结，完成了本组计划的 。 第一小组方案完成多少个蝴蝶结？ （5分钟后，看谁能把上面的问题讲清楚并会做与例题类似的题。 在探究的过程中，掌握“已知一个数 的几分之几是多少，求这个数”的应用 第一布艺小组做了8个蝴蝶结，完成了本组计划的 。 第一小组方案完成多少个蝴蝶结？ 第一布艺小组做了8个蝴蝶结，完成了本组计划的 。 在探究的过程中，掌握“已知一个数 分数除法应用题局部与整体 第一小组方案完成多少个蝴蝶结？ 分数除法应用题局部与整体 分数除法应用题局部与整体 在探究的过程中，掌握“已知一个数 （5分钟后，看谁能把上面的问题讲清楚并会做与例题类似的题。
题。 在探究的过程中，掌握“已知一个数
第一布艺小组做了8个蝴蝶结，完成了本组计划的 。 在探究的过程中，掌握“已知一个数
2.在探究的过程中，掌握“已知一个数 的几分之几是多少，求这个数”的应用
分数除法应用题局部与整体 分数除法应用题局部与整体
的几分之几是多少，求这个数”的应用 怎样用线段图表示题目中的条件和问题？用几条线段表示，为什么？2.
分数除法应用题局部与整体
第一小组方案完成多少个蝴蝶结？
学习目标
第一小组计划完成多少个蝴蝶结？
学习目标
分数除法应用题局部与整体
8÷ =8× =20（个）
1.会用线段图表示题目中的条件和问 8÷ =8× =20（个）
的几分之几是多少，求这个数”的应用 认真看课本第31页内容，重点看小红点下的分析过程。
分数除法应用题局部与整体
题的解题方法。
自学指导
认真看课本第31页内容，重点看小红点下 的分析过程。思考：1.怎样用线段图表示题目 中的条件和问题？用几条线段表示，为什么？ 2.题目中的单位1是谁？是已知量，还是未知 量？3.你是怎样解决这个问题的？ （5分钟后，看谁能把上面的问题讲清楚并 会做与例题类似的题。）
2024年秋新人教版7年级上册数学教学课件 5.3 实际问题与1元1次方程 第3课时 球赛积分表问题
设他答对了 x 道题，则答错了 (20 - x) 道题.根据题意，得 5x - (20 - x) = 82，解得 x = 17.答：他答对了 17 道题.
练 习
1. 在足球联赛中，胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场 得 0 分. 某队 9 场比赛保持不败.
（1）如果这支球队 9 场比赛得到的积分是 21 分，你能算出这 9 场比赛中的胜场数和平场数吗？
人教版·七年级上册
第 3 课时 球赛积分表问题
1.会从表格中获取信息寻找数量关系列方程.2.知道列方程解应用题时，为什么要检验方程的解是否符合题意.
新课导入
你喜欢看篮球比赛吗？你对篮球比赛中的积分规则有了解吗？
队名
比赛场次
胜场
负场
积分
前进
14
10
4
24
东方
14
10
4
24
光明
14
9
5
23
蓝天
胜场数 + 负场数 + 平场数 = 8
平场数 = 2×负场数
胜场积分 + 负场积分 + 平场积分 = 17
设未知数，列方程解答
解: 设该队负了 x 场，则平了 2x 场，胜了(8 - x - 2x)场.根据题意，得 3(8 - x - 2x) + 2x = 17，解得 x = 1. 所以 8 - x - 2x = 5.答: 该队胜了 5 场.
1. 某市中学生足球联赛规定：胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场不得分. 某校中学生足球代表队共比赛了 8 场，其中平场数是负场数的 2 倍，共得 17 分，该队 胜了多少场？
巩固练习
2.学校组织知识竞赛，共设 20 道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录的是 5 名参赛者的得分情况:
练 习
1. 在足球联赛中，胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场 得 0 分. 某队 9 场比赛保持不败.
（1）如果这支球队 9 场比赛得到的积分是 21 分，你能算出这 9 场比赛中的胜场数和平场数吗？
人教版·七年级上册
第 3 课时 球赛积分表问题
1.会从表格中获取信息寻找数量关系列方程.2.知道列方程解应用题时，为什么要检验方程的解是否符合题意.
新课导入
你喜欢看篮球比赛吗？你对篮球比赛中的积分规则有了解吗？
队名
比赛场次
胜场
负场
积分
前进
14
10
4
24
东方
14
10
4
24
光明
14
9
5
23
蓝天
胜场数 + 负场数 + 平场数 = 8
平场数 = 2×负场数
胜场积分 + 负场积分 + 平场积分 = 17
设未知数，列方程解答
解: 设该队负了 x 场，则平了 2x 场，胜了(8 - x - 2x)场.根据题意，得 3(8 - x - 2x) + 2x = 17，解得 x = 1. 所以 8 - x - 2x = 5.答: 该队胜了 5 场.
1. 某市中学生足球联赛规定：胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场不得分. 某校中学生足球代表队共比赛了 8 场，其中平场数是负场数的 2 倍，共得 17 分，该队 胜了多少场？
巩固练习
2.学校组织知识竞赛，共设 20 道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录的是 5 名参赛者的得分情况:
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在 0, q0 上将这些“微利润”无限相加，就
得
L q0 MR MCd q 0
3
这是最大毛利润，为了得到最大净利润需要从毛利 润中扣除固定成本，因而计算最大净利润的公式是
L净
q0 0
MR
MC
d
q
C0
⑴
下面看一个实例。
例：设生产某种产品的固定成本为50，边际成本和 边际收益分别为
MC q2 14q 111, MR 100 2q
积分应用
最大利润问题
1
边际经济学是经济学中的重要概念。比如边际成
本MC、边际收益MR，它们分别表示总成本C=C(q)、
总收益R=R(q)对产量（销售量）q的导数。现在的问 题是，如果已知边际收益MR、边际成本MC、固定成
本 C0 及获得最大利润的生产水平q如何求最大利润？
下面就来讨论它。 分析：一般说来，边际利润(MR-MC)是产出量q
d q 50
11 q2 12q 11 d q 50 1111
0
3
6
在下图中，EDB面积与AEF面积之差是最大毛利润
484。
3
F
MC
AE
D
MR B
o
q
图：最大毛利润为EDB面积与AEF面积之差
7
试确定厂商的最大利润。
4
解：先要确定获得最大利润的产量是多少。因利润
函数 L(q) R(q) C(q) ，故得极值存在必要条 件为 R(q) C(q)，即MR=MC，亦即
100 2q q2 14q 111 整理，得 q2 12q 11 0 解此方程，得 q1 1, q2 11
又，本问题中极值存在的充分条件为
的函数，而边际利润的积累自然就是总利润。这样，
最大利润就可视为不均匀地分布在产出区间0, q0 上
2
的一个确定的量，因而这是个定积分问题。我们用 “元素法”来推导它。
在区间0, q0 上任选一个小的产量区间[q,q+dq]，
在产量由q增到q+dq这一段生产过程中，所获利润 的微元是
d L MR MCd q
dMR MC 0即dMR dMC
dq
dq dq
5
现
dMR 2, dMC 2q 14
dq
dq
显然， q2 11 才满足此充分条件，即获得最大利润 的产量为q0 11。
将q0 11及已知的MC、MR、 C0代入公式⑴，得最
大净利润为
L净
11 100 2q
0
q2 14q 111
得
L q0 MR MCd q 0
3
这是最大毛利润，为了得到最大净利润需要从毛利 润中扣除固定成本，因而计算最大净利润的公式是
L净
q0 0
MR
MC
d
q
C0
⑴
下面看一个实例。
例：设生产某种产品的固定成本为50，边际成本和 边际收益分别为
MC q2 14q 111, MR 100 2q
积分应用
最大利润问题
1
边际经济学是经济学中的重要概念。比如边际成
本MC、边际收益MR，它们分别表示总成本C=C(q)、
总收益R=R(q)对产量（销售量）q的导数。现在的问 题是，如果已知边际收益MR、边际成本MC、固定成
本 C0 及获得最大利润的生产水平q如何求最大利润？
下面就来讨论它。 分析：一般说来，边际利润(MR-MC)是产出量q
d q 50
11 q2 12q 11 d q 50 1111
0
3
6
在下图中，EDB面积与AEF面积之差是最大毛利润
484。
3
F
MC
AE
D
MR B
o
q
图：最大毛利润为EDB面积与AEF面积之差
7
试确定厂商的最大利润。
4
解：先要确定获得最大利润的产量是多少。因利润
函数 L(q) R(q) C(q) ，故得极值存在必要条 件为 R(q) C(q)，即MR=MC，亦即
100 2q q2 14q 111 整理，得 q2 12q 11 0 解此方程，得 q1 1, q2 11
又，本问题中极值存在的充分条件为
的函数，而边际利润的积累自然就是总利润。这样，
最大利润就可视为不均匀地分布在产出区间0, q0 上
2
的一个确定的量，因而这是个定积分问题。我们用 “元素法”来推导它。
在区间0, q0 上任选一个小的产量区间[q,q+dq]，
在产量由q增到q+dq这一段生产过程中，所获利润 的微元是
d L MR MCd q
dMR MC 0即dMR dMC
dq
dq dq
5
现
dMR 2, dMC 2q 14
dq
dq
显然， q2 11 才满足此充分条件，即获得最大利润 的产量为q0 11。
将q0 11及已知的MC、MR、 C0代入公式⑴，得最
大净利润为
L净
11 100 2q
0
q2 14q 111