2020届高考数学(理)一轮复习课时训练：第2章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ 5 Word版含解析

【课时训练】第5节 函数的单调性与最值
一、选择题
1．(2018安徽淮北一中四模)下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )
A ．y ＝ln(x ＋2)
B ．y ＝－x ＋1
C ．y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12x
D ．y ＝x ＋1
x
【答案】A
【解析】函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．
2．(2018湖南邵阳第二次联考)如果二次函数f (x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在(－∞，1)上是减函数，则( )
A ．a ＝－2
B ．a ＝2
C ．a ≤－2
D ．a ≥2
【答案】C
【解析】二次函数f (x )的对称轴为x ＝－a －13，由题意知－a －13≥1，即a ≤－2.
3．(2018重庆一中期中)给定函数①y ＝x
12
；②y ＝log 12
(x ＋1)；
③y ＝|x －1|；④y ＝2x ＋1.其中在(0,1)上为减函数的是( )
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①④
【答案】B
【解析】①y ＝x
12
在(0,1)上单调递增；②∵t ＝x ＋1
在(0,1)上单
调递增，而y ＝log 12
t 在(0,1)上单调递减，故y ＝log 12
(x ＋1)在(0,1)上单调递减；③结合图象(图略)可知y ＝|x －1|在(0,1)上单调递减；④∵u ＝x ＋1在(0,1)上单调递增，y ＝2u 在(0,1)上单调递增，故y ＝2x ＋1在(0,1)
上单调递增．故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③.
4．(2018湖北省级示范高中期中联考)若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)
＝a
x＋1
在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是() A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)∪(0,1] C．(0,1) D．(0,1]
【答案】D
【解析】由于g(x)＝a
x＋1
在区间[1,2]上是减函数，所以a＞0；由于f(x)＝－x2＋2ax在区间[1,2]上是减函数，且f(x)的对称轴为x＝a，则a≤1.综上有0＜a≤1.故选D.
5．(2018四川名校第一次联考)已知定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，且f(x)在(－∞，2)上是增函数，则() A．f(－1)<f(3) B．f(0)>f(3)
C．f(－1)＝f(3) D．f(0)＝f(3)
【答案】A
【解析】依题意得f(3)＝f(1)，且－1<1<2.又函数f(x)在(－∞，2)上是增函数，则f(－1)<f(1)＝f(3)．
6．(2018湖北华大新联盟考试)若函数f(x)＝2|x－a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则实数a的取值范围是()
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
【答案】B
【解析】易知，函数f(x)＝2|x－a|＋3的增区间为[a，＋∞)，减区间为(－∞，a]．
因为函数f(x)＝2|x－a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a>1.故选B.
7．(2018九江模拟)已知函数f(x)＝log2x＋
1
1－x
，若x1∈(1,2)，x2
∈(2，＋∞)，则()
A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0
B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0
C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0
D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0
【答案】B
【解析】∵函数f (x )＝log 2x ＋1
1－x
在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，
∴当x 1∈(1,2)时， f (x 1)<f (2)＝0；当x 2∈(2，＋∞)时， f (x 2)>f (2)＝0，即f (x 1)<0, f (x 2)>0.
8．(2018山东潍坊四县联考)已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，则a 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛
⎭⎪⎫－∞，23 B ．(0，＋∞)
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23 D ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，＋∞ 【答案】C
【解析】∵f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )＜f (2a －1)，∴⎩⎪⎨⎪
⎧
－1<1－a <1，－1<2a －1<1，1－a >2a －1，
解得0<a <2
3.故选C.
二、填空题
9．(2018山西太原模拟)已知函数f (x )＝x ＋1x －1，x ∈[2,5]，则f (x )
的最大值是________．
【答案】3
【解析】函数f (x )＝1＋2
x －1在[2,5]上为减函数，故其最大值为
f (2)＝1＋2＝3.
10．(2019四川成都外国语学校段考)函数f (x )＝log 2 (x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．
【答案】(－4,4]
【解析】因为函数f (x )＝log 2(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上是增函数，
所以当x ∈[2，＋∞)时，x 2－ax ＋3a >0且函数g (x )＝x 2－ax ＋3a 为增函数，即a
2≤2且f (2)＝4＋a >0，解得－4<a ≤4.
11．(2018湖北荆州模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
1，x >0，0，x ＝0，
－1，x <0，g (x )＝x 2f (x
－1)，则函数g (
x )的单调递减区间是________．
【答案】[0,1) 【解析】由题意知
g (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2
，x >1，
0，x ＝1，
－x 2，x <1.
函数图象如图所示，由图象可得函数g (x )的单调递减区间是
[0,1)．
12．(2018辽宁大连质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
x ＋2x
－3，x ≥1，lg (x 2＋1)，x <1，
则
f (x )的最小值是________．
【答案】2
2－3
【解析】当x ≥1时，x ＋2
x －3≥2
x ·2x －3＝2
2－3，当且
仅当x ＝2
x ，即x ＝2时等号成立，此时f (x )m i n ＝2
2－3＜0；当x
＜1时，lg(x 2＋1)≥lg(02＋1)＝0，此时f (x )m i n ＝0.所以f (x )的最小值为
2 2－3. 三、解答题
13．(2018河南信阳调研)已知函数f (x )＝x
x －a (x ≠a )．
(1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围． (1)【证明】任取x 1<x 2<－2，
则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2
x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2)
.
∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，
∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增．
(2)【解】任取1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝
x 1x 1－a －x 2
x 2－a
＝a (x 2－x 1)
(x 1－a )(x 2－a )
.∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2
－a )>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a ≤1.综上所述知a 的取值范围是(0,1]．
14．(2018广西名校联考)已知函数f (x )＝ax ＋1
a (1－x )(a >0)，且f (x )在[0,1]上的最小值为g (a )，求g (a )的最大值．
【解】f (x )＝ax ＋1a (1－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a x ＋1a .当a >1时，a －1
a >0，此时
f (x )在[0,1]上为增函数，∴
g (a )＝f (0)＝1a ；当0<a <1时，a －1
a <0，此时f (x )在[0,1]上为减函数，∴g (a )＝f (1)＝a ；当a ＝1时， f (x )＝1，
此时g (a )＝1.∴g (a )＝⎩⎨⎧
a ，0<a <1，
1
a ，a ≥1，
∴g (a )在(0,1)上为增函数，在[1，
＋∞)上为减函数．又a ＝1时，有a ＝1
a ＝1，∴当a ＝1时，g (a )取得最大值1.。