我的收藏-2013届数学(文)第一轮第2章第8讲 函数的奇偶性与周期性
最经典总结-函数的奇偶性与周期性
最经典总结-函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性和周期性是数学中的重要概念，也是高考中常考的知识点。
了解函数的奇偶性和周期性可以帮助我们更好地理解和研究函数。
函数的奇偶性是指函数在定义域内是否满足奇偶性质。
对于一个函数f(x)，如果对于定义域内的任意x，都有f(-x)=-f(x)成立，则称f(x)为奇函数；如果对于定义域内的任意x，都有f(-x)=f(x)成立，则称f(x)为偶函数。
常见题型多以选择、填空题形式出现，且奇偶性多与抽象函数相结合。
函数的周期性是指函数的图像在平移一定距离后与原图像重合。
如果对于函数y=f(x)，存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x+T)=f(x)，那么称函数y=f(x)为周期函数，T为这个函数的周期。
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。
应用简单函数的周期性占4~5分，中档题为主。
在研究函数的奇偶性和周期性时，需要注意以下三个易误点：应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内；判断函数的奇偶性，需要注意函数定义域是否关于原点对称；判断奇函数和偶函数时，需要对定义域内的每一个x，均有f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)，而不能说存在x使f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)。
在实际运用中，可以活用周期性的三个常用结论：对于f(x)定义域内任一自变量的值x，如果函数f(x)为奇函数，则关于原点对称；如果函数f(x)为偶函数，则关于y轴对称。
此外，还可以利用奇、偶函数的三个性质：在奇、偶函数的定义中，f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式；奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称，反之也成立；在函数的加、减、乘运算中，奇+奇=奇，奇×奇=偶，偶+偶=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇。
综上所述，了解函数的奇偶性和周期性对于研究和应用函数具有重要意义。
函数的奇偶性和周期性
最小正周期
最小正周期的定义
如果存在一个正数T，使得对于函数 f(x)的定义域内的每一个x，都有 f(x+T)=f(x)，则称T为函数f(x)的一个 周期。所有周期中最小的一个称为最 小正周期。
最小正周期的意义
最小正周期是描述函数重复性特征的 重要参数，它可以帮助我们更好地理 解函数的性质和行为。在数学和物理 中，最小正周期常常被用来研究函数 的变化规律和行为特征。
02 函数的周期性
周期函数的定义
周期函数的定义
如果存在一个非零常数T，使得对于函 数f(x)的定义域内的每一个x，都有 f(x+T)=f(x)，则称f(x)为周期函数，T 称为这个函数的周期。
周期函数的性质
周期函数在其周期内的图像是重复的 。周期函数的图像是连续不断的，且 可以由一个周期内的图像平移得到整 个定义域上的图像。
偶函数的周期性
偶函数并不一定具有周期性，但如果一个偶函数具有周期性，那么它的周期一定是 $T=npi$（$n$为整数）。
04 奇偶性和周期性的应用
在数学领域的应用
奇偶性
在数学分析中，函数的奇偶性可以帮助我们研究函数的对称性质，进而简化函数的性质和图像。例如，偶函数关 于y轴对称，奇函数关于原点对称。
实例
$f(x)=x^3$是奇函数，因 为$f(-x)=-x^3=-f(x)$。
偶函数
定义
如果对于函数$f(x)$，对于所有 $x$，都有$f(-x)=f(x)$，则称 $f(x)$为偶函数。
图像特性
偶函数的图像关于y轴对称。
实例
$f(x)=x^2$是偶函数，因为$f(x)=(-x)^2=x^2=f(x)$。
常见周期函数类型
正弦函数和余弦函数： y=sin(x)和y=cos(x)的最 小正周期为2π。
函数的奇偶性和周期性
函数的奇偶性和周期性函数的奇偶性和周期性是数学中的两个重要概念，在函数的研究和应用中有广泛的应用。
通过研究函数的奇偶性和周期性，我们可以更好地理解和分析函数的性质和图像。
函数的奇偶性首先，让我们来了解函数的奇偶性。
一个函数被称为是奇函数，如果对于函数上的任意一点x，有f(-x) = -f(x)。
换句话说，奇函数关于y轴对称，其图像在原点具有对称性。
一个函数被称为是偶函数，如果对于函数上的任意一点x，有f(-x) = f(x)。
换句话说，偶函数关于y轴对称，其图像关于y轴具有对称性。
奇函数和偶函数是互补的概念。
一个函数既不是奇函数也不是偶函数，我们称之为非奇非偶函数。
接下来，让我们通过一个具体的例子来理解函数的奇偶性。
例子1：考虑函数y = x^3 - x，我们可以检查函数在原点附近的性质来确定其奇偶性。
首先，我们计算f(-x)和-f(x)： f(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x -f(x) = - (x)^3 - x = -x^3 - x通过比较f(-x)和-f(x)，我们发现f(-x) ≠ -f(x)，因此该函数既不是奇函数也不是偶函数。
函数的周期性接下来，让我们来了解函数的周期性。
一个函数被称为是周期函数，如果存在一个正数T，对于函数的定义域上的任意一点x，有f(x+T) = f(x)。
换句话说，周期函数的图像在水平方向上存在重复性。
周期函数的周期T是一个正数，它决定了函数图像重复出现的距离。
如果一个函数的周期为T，那么对于函数图像上的任意一点x，相应的周期重复区间为[x, x + T]。
周期函数在很多领域中有广泛的应用，例如电子信号处理、音频分析等。
下面，让我们通过一个具体的例子来理解函数的周期性。
例子2：考虑函数y = sin(x)，显然sin(x)是一个周期函数。
sin(x)的周期是2π，也就是说对于函数图像上的任意一点x，有sin(x + 2π) = sin(x)。
函数奇偶性对称性周期性知识点总结文档
函数奇偶性对称性周期性知识点总结文档函数的奇偶性、对称性和周期性是函数图像特征的重要方面。
在数学中，研究函数的这些特性可以帮助我们更好地理解函数的行为和性质。
本文将对函数的奇偶性、对称性和周期性进行总结。
一、函数的奇偶性奇偶性是指函数关于坐标原点或者其中一点的对称性。
如果函数f(x)满足f(x)=f(-x)，则称函数为偶函数；如果函数f(x)满足f(x)=-f(-x)，则称函数为奇函数。
1.偶函数的特点：（1）关于y轴对称，即函数的图像关于y轴对称；（2）具有对称性质，即对于任意x，有f(x)=f(-x)；（3）如果函数f(x)在定义域内可导，则偶函数的导函数也是偶函数。
2.奇函数的特点：（1）关于原点对称，即函数的图像关于原点对称；（2）具有对称性质，即对于任意x，有f(x)=-f(-x)；（3）如果函数f(x)在定义域内可导，则奇函数的导函数也是奇函数。
二、函数的对称性对称性是指函数图像关于其中一直线、其中一点或者其中一中心进行对称的性质。
1.关于y轴对称：如果函数f(x)满足f(x)=f(-x)，则函数关于y轴对称。
这意味着函数的图像在y轴左右对称。
2.关于x轴对称：如果函数f(x)满足f(-x)=-f(x)，则函数关于x轴对称。
这意味着函数的图像在x轴上下对称。
3.关于原点对称：如果函数f(x)满足f(-x)=-f(-x)，则函数关于原点对称。
这意味着函数的图像在原点对称。
三、函数的周期性周期性是指函数在一定区间内以一些特定的周期重复出现的性质。
1.周期函数：如果函数f(x)在定义域的一些区间内满足f(x+T)=f(x)，其中T为正数，则称函数为周期函数，T为函数的周期。
周期函数的图像在段区间内重复出现。
2.周期函数的性质：（1）在一个周期内，函数具有相同的性质和特点；（2）相邻两个周期之间的函数值关系相同；（3）周期函数的图像在一个周期内是相似的。
四、函数的判断在实际问题中，我们根据函数的表达式或者图像来判断函数的奇偶性、对称性和周期性。
函数的奇偶性与周期性
函数的奇偶性与周期性在高中数学课程中，我们学习了很多种函数，例如线性函数、二次函数、指数函数等等。
这些函数在实际应用中有着不同的特点，其中函数的奇偶性与周期性是我们经常遇到的两种特征。
在本文中，我将详细介绍函数的奇偶性与周期性，并探讨它们在实际问题中的应用。
首先，我们来了解函数的奇偶性。
一个函数被称为“奇函数”当且仅当对于任意的x值，有f(-x) = -f(x)。
也就是说，奇函数在关于坐标原点对称时，其函数值相等但符号相反。
一些常见的奇函数有正弦函数sin(x)和正切函数tan(x)等。
举个例子，我们考虑y = sin(x)这个函数。
我们可以发现，对于任意的x值，sin(-x) = -sin(x)。
因此，正弦函数是一个奇函数。
同样，tan(-x) = -tan(x)，所以正切函数也是一个奇函数。
相反，一个函数被称为“偶函数”当且仅当对于任意的x值，有f(-x) = f(x)。
也就是说，偶函数在关于y轴对称时，其函数值相等。
一些常见的偶函数有余弦函数cos(x)和正切函数cot(x)等。
以余弦函数为例，我们可以发现，对于任意的x值，cos(-x) = cos(x)。
因此，余弦函数是一个偶函数。
同理，cot(-x) = cot(x)，所以余切函数也是一个偶函数。
接下来，我们来了解函数的周期性。
一个函数被称为“周期函数”，当且仅当存在一个正数T，使得对于任意的x值有f(x+T) = f(x)。
也就是说，函数在经过一定的平移后，其函数值保持不变。
周期函数在实际问题中有着广泛的应用，例如在电力系统中，交流电的波形就是一种周期函数，媒体中播放的声音和图像也具有周期性。
我们常见的周期函数有正弦函数和余弦函数。
以正弦函数为例，我们可以观察到，对于任意的x值，sin(x+2π) = sin(x)。
因此，正弦函数的周期为2π。
同理，余弦函数的周期也为2π。
函数的奇偶性和周期性在实际问题中有着广泛的应用。
以奇偶性为例，我们在解决对称性问题时常常会用到奇函数和偶函数。
周期性和奇偶性的关系
周期性和奇偶性的关系周期性和奇偶性是两种与数学密切相关的概念，它们之间有着密不可分的联系。
本文将从不同角度探讨周期性和奇偶性的关系。
一、周期性与奇偶性的定义周期性是指某种规律性在一定时间内不断重复出现的现象，例如日出日落、季节交替等都是周期性现象。
在数学中，周期性指的是函数的某个输入值的变化与另一个输入值的变化具有相同的规律重复出现，称为函数的周期。
周期用T表示，若一个函数在取某个常数T的周期时，对于所有的x值，都有f(x+T)=f(x) 成立，则称f(x)是周期性函数，该常数T称为它的周期。
奇偶性是指函数在定义域上某些点的函数值与该点与定义域中心点之差的奇偶性相同的性质。
在数学中，奇偶性是针对函数而言的，如果对于函数f(x)，有f(-x)=f(x)成立，则称f(x)是偶函数，否则若有f(-x)=-f(x)成立，则称f(x)是奇函数。
其中，偶函数的图像以y轴对称，奇函数的图像以原点对称。
二、周期函数的奇偶性对于周期函数而言，其周期T和奇偶性之间是有一定的关系的。
具体地说，若一个函数f(x)是偶函数，则有f(x+T)=f(x)，又有f(-x)=f(x)，则有f(-x+T)=f(x+T)=f(x)，因此f(x)同样是周期为T的周期函数；若f(x)是奇函数，则有f(x+T)=-f(-x)，又有f(-x)=-f(x)，则有f(-x+T)=-f(x+T)，因此f(x)同样是周期为T的周期函数。
从上述推导可以看出，偶函数和奇函数都具有周期性。
其中偶函数的周期与其对称轴有关，奇函数的周期与原点有关。
例如，f(x)=cos(x)是偶函数，周期为2π；f(x)=sin(x)是奇函数，周期为2π。
这两个函数是最基本的周期函数，它们在三角学中应用广泛。
在物理中，周期函数也有着重要的应用，例如在谐振子中，振动的运动规律就是遵循周期性函数的规律。
三、奇偶函数的周期性和周期函数可以具有奇偶性一样，奇偶函数也可以具有周期性。
函数的奇偶性与周期性
函数的奇偶性与周期性函数是数学中的重要概念，它描述了数值之间的关系。
在数学中，函数可以根据其性质进行分类，其中包括奇偶性和周期性。
本文将介绍函数的奇偶性与周期性，并探讨它们在数学中的应用。
一、函数的奇偶性函数的奇偶性描述的是函数图像关于原点的对称性。
具体来说，如果对于函数f(x)，当x取正值时，有f(x) = f(-x)，即函数的值对称，那么该函数被称为偶函数。
相反，如果对于函数f(x)，当x取正值时，有f(x) = -f(-x)，即函数的值关于原点对称，那么该函数被称为奇函数。
1. 偶函数的特点偶函数的特点在于其图像关于y轴对称。
举个例子，y = x^2就是一个典型的偶函数。
当x取正值时，x^2的值保持不变。
2. 奇函数的特点奇函数的特点在于其图像关于原点对称。
比如，y = x^3就是一个典型的奇函数。
当x取正值时，x^3的值和其相反数互为相反数。
函数的奇偶性在数学中有广泛的应用。
例如，在解方程时，可以通过判断方程中的函数是偶函数还是奇函数，来确定方程的解的性质。
奇函数的图像通过原点，因此只要找到正解即可，而偶函数的图像关于y轴对称，因此需要找到两个解。
二、函数的周期性函数的周期性描述的是函数图像在一个周期内的重复性。
具体来说，如果对于函数f(x)，存在一个正数T，使得对于任意的x，有f(x+T) =f(x)，那么该函数被称为周期函数，T被称为函数的周期。
1. 周期函数的特点周期函数的特点在于其图像在一个周期内重复出现。
一个常见的周期函数是正弦函数sin(x)。
对于任意的x，在一个周期2π内，sin(x)的值会不断重复。
周期函数在物理学、工程学等领域有广泛的应用。
例如，在分析电流、振动等周期性现象时，可以使用周期函数来描述这些现象的规律。
函数的奇偶性与周期性是数学中重要的性质，通过研究函数的奇偶性与周期性，可以更深入地理解函数的行为规律。
同时，掌握函数的奇偶性与周期性也有助于解决实际问题，提高数学建模的能力。
函数的周期性与奇偶性
函数的周期性与奇偶性函数是数学中非常重要的概念之一，它描述了一种规律性的映射关系。
函数的周期性和奇偶性是函数性质中的两个重要方面。
本文将就函数的周期性和奇偶性展开论述。
一、函数的周期性周期性是函数在某个区间内具有相似性质的重复性。
若对于函数f(x)存在一个正数T，使得对于任意的x∈R，有f(x+T) = f(x)，则称函数f(x)是周期函数，T称为函数的周期。
周期函数是一类具有固定重复规律的函数。
常见的周期函数有三角函数和指数函数。
以三角函数为例，正弦函数和余弦函数就是周期为2π的函数。
它们的图像在每个周期内重复出现相同的形状。
在数学中，我们可以通过函数图像的观察或者计算来确定周期。
对于三角函数而言，周期往往是已知的，如正弦函数的周期为2π。
而对于其他函数，我们可以观察函数图像是否在一个特定区间内重复。
函数的周期性可以帮助我们更好地理解函数的性质和特点。
很多实际问题中的规律性变化都可以用周期函数来描述，比如天体运动、电流的变化等。
二、函数的奇偶性奇偶性是函数在坐标系中对称性的一种表现。
若对于任意的x∈R，有f(-x) = f(x) 或者f(-x) = -f(x)，则称函数f(x)是偶函数或奇函数。
偶函数的图像关于y轴对称，即在y轴上的每个点关于原点有对应的相等点。
典型的偶函数有多项式中的偶次幂函数，如x²、x⁴等。
奇函数的图像关于坐标原点对称，即在原点关于x轴和y轴的每个点有对应的相等点。
典型的奇函数有多项式中的奇次幂函数，如x³、x⁵等。
在数学中，我们可以通过对函数进行代数计算来判断函数的奇偶性。
比如，若函数f(x)满足f(-x) = f(x)，则可以判定f(x)是偶函数；若函数f(x)满足f(-x) = -f(x)，则可以判定f(x)是奇函数。
同时，我们也可以通过观察函数图像来确定函数的奇偶性。
函数的奇偶性是函数图像的一种对称性，它在数学运算和函数性质研究中有重要的应用。
函数的奇偶性与周期性
函数的奇偶性与周期性函数是数学中的重要概念，用于描述自然界和社会现象中的各种关系。
在数学中，函数的奇偶性和周期性是两个常见的性质，它们描述了函数图像的对称性和重复性。
本文将深入探讨函数的奇偶性和周期性，并说明它们在数学和实际问题中的应用。
一、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数在坐标轴上的对称性质。
具体而言，对于定义域内的任意 x 值，如果函数 f(-x) = f(x) 对于所有 x 成立，那么函数就是偶函数；如果函数 f(-x) = -f(x) 对于所有 x 成立，那么函数就是奇函数。
以数学中常见的函数 y = x^2 和 y = x^3 为例，前者是偶函数，后者是奇函数。
通过将 x 值取负，我们可以验证它们的对称性。
对于偶函数 y = x^2，有 f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)；对于奇函数 y = x^3，有 f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)。
函数的奇偶性不仅仅是一种几何上的对称性，还可以对函数的性质进行推理和证明。
例如，奇函数与奇函数相加、相减或与偶函数相乘的结果仍然是奇函数；而偶函数与偶函数相加、相减或与奇函数相乘的结果仍然是偶函数。
二、函数的周期性函数的周期性是指函数图像在特定区间内的重复性质。
具体而言，如果存在一个正数 T，对于定义域内的所有 x，有 f(x + T) = f(x) 成立，那么函数就是周期函数，而 T 则是函数的周期。
常见的周期函数包括三角函数（如正弦函数和余弦函数）、指数函数和对数函数等。
例如，正弦函数具有周期2π，即sin(x + 2π) = sin(x)；指数函数 e^x 则是自变量连续取整数时的周期函数，即 e^(x + 1) = e^x。
周期函数在数学和物理中有广泛的应用。
例如，三角函数可以用来描述物体的振动、电流的变化和天体运动等。
周期函数的性质使得我们能够准确地描述和预测这些现象。
结语函数的奇偶性和周期性是数学中常见且重要的概念。
函数的周期性与奇偶性的判定
函数的周期性与奇偶性的判定函数是数学中的一个基本概念，它描述了一种数值之间的关系。
函数的周期性与奇偶性是函数的重要特征之一，对于函数的分析和应用具有重要的意义。
本文将介绍函数的周期性和奇偶性的概念，并讨论判定函数周期性和奇偶性的方法。
一、函数的周期性周期函数在数学中起到了重要的作用，它们具有重复出现的性质。
一个函数f(x)被称为周期函数，如果存在一个正数T，使得对于任意的x，都有f(x+T) = f(x)成立。
这个正数T被称为函数f(x)的周期。
周期函数具有重复出现的形式，可以描述各种重复现象，如正弦函数、余弦函数等。
判定函数周期性的方法：1. 观察函数图像：通过观察函数的图像，可以发现函数是否重复出现。
如果函数的图像在一个特定的间隔内重复出现，并且没有其他额外的变化，那么函数很可能是周期函数。
2. 分析函数公式：有些函数的周期性可以通过函数的公式来判断。
例如，正弦函数和余弦函数的周期为2π，而指数函数和对数函数则没有周期性。
二、函数的奇偶性函数的奇偶性是函数的对称性质，反映了函数的特定规律。
一个函数f(x)被称为奇函数，如果对于任意的x，都有f(-x) = -f(x)成立；一个函数f(x)被称为偶函数，如果对于任意的x，都有f(-x) = f(x)成立。
奇函数和偶函数是两类特殊的函数，它们具有对称性的特征。
判定函数奇偶性的方法：1. 观察函数图像：通过观察函数的图像，可以发现函数是否具有对称性。
奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
因此，通过观察函数的图像可以初步判定函数的奇偶性。
2. 分析函数公式：有些函数的奇偶性可以通过函数的公式来判断。
例如，幂函数的指数为奇数时，函数是奇函数；指数为偶数时，函数是偶函数。
综上所述，函数的周期性和奇偶性是函数的重要特征。
通过观察函数的图像和分析函数的公式，我们可以判定函数的周期性和奇偶性。
这些特征在函数的分析和应用中起着重要的作用，帮助我们理解和描述各种数值之间的关系。
函数奇偶性与周期性概念
函数奇偶性与周期性概念函数是数学中一种重要的概念，描述了一种输入和输出之间的对应关系。
在函数的研究中，奇偶性和周期性是两个重要而有趣的特性。
本文将介绍函数的奇偶性和周期性，并讨论它们在数学中的应用。
一、奇偶性的定义和性质1. 奇函数：若对于函数f(x)，对任意实数x，有f(-x)=-f(x)，则称函数f(x)为奇函数。
换句话说，当自变量取相反数时，函数值也取相反数。
2. 偶函数：若对于函数f(x)，对任意实数x，有f(-x)=f(x)，则称函数f(x)为偶函数。
换句话说，当自变量取相反数时，函数值不变。
3. 奇偶函数的性质：a. 奇函数的特点在于，当函数的定义区间关于原点对称时，奇函数图像关于原点对称。
b. 偶函数的特点在于，无论是函数的定义区间如何，偶函数图像关于y轴对称。
c. 奇函数和偶函数的图像都具有完全的对称性，这是它们的一个重要性质。
二、周期性的定义和性质1. 周期函数：若存在正数T，对于函数f(x)，对任意实数x，有f(x+T)=f(x)，则称函数f(x)为周期函数。
周期T称为函数的周期，满足最小的正周期。
2. 周期函数的性质：a. 周期函数的图像在任意相邻两个周期内有重复的性质。
b. 周期函数的周期可以有多个，但存在最小的正周期。
c. 周期函数的定义区间一般为整个实数集，但也可以是部分实数集。
三、奇偶性和周期性在数学中的应用1. 奇函数和偶函数的应用：a. 奇函数和偶函数是函数的一种特殊性质，它们在各个数学分支和实际问题中都有广泛的应用。
b. 在对称性相关问题中，奇偶函数的性质可以简化计算过程，提供更简洁的解决方法。
c. 在优化问题中，奇函数的性质可以简化极值点的寻找过程。
2. 周期函数的应用：a. 周期函数广泛应用于信号处理、音乐理论、电路分析等领域。
b. 在物理学中，周期函数被用于描述波动现象，如光的干涉、声音的频率等。
c. 在经济学中，周期函数被用于描述经济指标的变化规律，如季节性波动等。
初中数学知识归纳函数的奇偶性与函数的周期性
初中数学知识归纳函数的奇偶性与函数的周期性初中数学知识归纳：函数的奇偶性与函数的周期性函数是初中数学中的重要概念之一，它描述了数学关系中的变化规律。
在数学中，函数的奇偶性和周期性是函数性质的两个重要方面。
下面将对函数的奇偶性和周期性进行归纳和讲解。
一、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数图像关于坐标轴的对称性。
考察一个函数关于原点对称，可以分成以下两种情况：1. 偶函数：若对于函数 f(x) 成立 f(-x) = f(x)，则称函数 f(x) 为偶函数。
也就是说，如果把函数的自变量取相反数，函数的值不发生改变。
常见的偶函数有：幂函数 x^n (n 为偶数)、三角函数 cos(x)、指数函数 e^x 和常数函数等。
举例说明：考虑函数 f(x) = x^2，我们可以验证 f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)。
所以函数 f(x) 是一个偶函数。
2. 奇函数：若对于函数 f(x) 成立 f(-x) = -f(x)，则称函数 f(x) 为奇函数。
也就是说，如果把函数的自变量取相反数，函数的值相反数乘以-1。
常见的奇函数有：幂函数 x^n (n 为奇数)、三角函数 sin(x)、反比例函数 1/x 等。
举例说明：考虑函数 f(x) = x^3，我们可以验证 f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)。
所以函数 f(x) 是一个奇函数。
函数的奇偶性可以通过以下方法进行验证：- 将函数关于原点对称，若图像可以完全重合，则函数是偶函数；- 将函数关于原点对称，若图像可以对称映射，但不重合，则函数是奇函数；- 通过函数的表达式进行推导与验证。
二、函数的周期性函数的周期性是指函数图像在水平方向上的重复性。
一个函数称为周期函数，如果在定义域内存在一个正数 T，对于任意的 x，函数满足f(x+T) = f(x)。
常见的周期函数有：正弦函数 sin(x)、余弦函数 cos(x)、正切函数tan(x) 等。
函数的奇偶性与周期性
函数的奇偶性与周期性函数是数学中的重要概念，用于描述数值之间的关系。
函数的奇偶性与周期性是函数特性的一种表现形式。
在本文中，我们将探讨函数的奇偶性与周期性，并分析其在数学中的应用意义。
一、函数的奇偶性奇偶性是指函数在平面直角坐标系中关于原点的对称性质。
对于函数 f(x)，若对于任意 x，都有 f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数；若对于任意 x，都有 f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。
1.1 奇函数的特点奇函数具有以下特点：- 在原点处对称，即图像关于原点对称；- 若 f(x) 是奇函数，那么其图像关于 y 轴的负半轴和正半轴对称。
1.2 偶函数的特点偶函数具有以下特点：- 在 y 轴上的值相等，即图像关于 y 轴对称；- 若 f(x) 是偶函数，那么其图像关于 x 轴对称。
二、函数的周期性周期性是指函数在一定区间内以某个常数为周期重复出现的性质，常用于描述周期性现象。
对于函数 f(x)，若存在正数 T，使得对于任意x，都有 f(x+T) = f(x)，则称 T 为函数 f(x) 的周期。
2.1 周期函数的特点周期函数具有以下特点：- 在每个周期内，函数的取值和性质相同；- 周期函数的图像在每个周期内重复出现。
三、奇偶函数的周期性奇偶函数的周期性与其奇偶性质有一定的联系，具体如下：3.1 偶函数的周期性若 f(x) 是一个周期为 T 的偶函数，则其满足以下性质：- 在一个周期内，函数的取值和性质相同；- 函数图像在每个周期内关于 y 轴对称。
3.2 奇函数的周期性若 f(x) 是一个周期为 T 的奇函数，则其满足以下性质：- 在一个周期内，函数的取值和性质相同；- 函数图像在每个周期内关于原点对称。
四、函数奇偶性与周期性的应用函数的奇偶性与周期性在数学中有广泛的应用，特别是在函数图像的分析和计算中。
4.1 奇偶性在函数图像中的应用通过判断一个函数的奇偶性，可以有效简化函数图像的分析过程。
第8讲 函数的奇偶性与周期性
则 f 32＝____1____.
【解析】 由题意得 f 32＝f －12＝－4×－122＋2＝1.
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第二章 基本初等函数
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1. 奇、偶函数的定义 对于函数 f (x)定义域内的__任__意____一个 x，都有_____f_(_－__x_)＝__－__f_(_x)_______(或 __f_(_－__x_)＋__f_(_x)_＝__0__)，则称 f (x)为奇函数；对于函数 f (x)的定义域内的任意一个 x，都有 __f_(－__x_)_＝__f(_x_)____(或__f_(_－__x_)－__f_(_x)_＝__0__)，则称 f (x)为偶函数． 2. 奇、偶函数的性质 (1) 具有奇偶性的函数，其定义域关于___原__点___对称(也就是说，函数为奇函数或偶 函数的必要条件是其定义域关于__原__点____对称)．
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高考总复习 一轮复习导学案 ·数学提高版
第二章 基本初等函数
(2) 奇函数的图象关于__原__点____对称，偶函数的图象关于___y_轴____对称． (3) 若奇函数的定义域包含 0，则 f (0)＝___0___. (4) 定义在(－∞，＋∞)上的任意函数 f (x)都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函 数之和． 3. 函数的周期性 (1) 周期函数：对于函数 y＝f (x)，如果存在非零常数 T，对定义域内的任意一个 x 值，都有____f_(_x＋__T__)＝__f_(_x)____，就把函数 f (x)称为周期函数，称 T 为这个函数的周期． (2) 最小正周期：如果在周期函数 f (x)的所有周期中__存__在__一__个__最__小____的正数，那 么这个最小正数就叫做 f (x)的__最__小____正周期．
函数的奇偶性与周期性
函数的奇偶性与周期性在我们学习数学的旅程中，函数是一个非常重要的概念。
而函数的奇偶性和周期性，就像是函数世界中的两颗璀璨明珠，它们为我们理解和研究函数的性质提供了有力的工具。
首先，让我们来聊聊函数的奇偶性。
简单来说，奇偶性就是函数关于原点或者 y 轴的对称性质。
如果对于函数 f(x)定义域内的任意一个 x，都有 f(x) ＝ f(x)，那么这个函数就叫做偶函数。
这意味着偶函数的图像关于y 轴对称。
比如说，我们常见的二次函数 f(x) ＝ x²就是一个偶函数。
当 x 取某个值时，x对应的函数值和 x 对应的函数值是相等的。
想象一下它的图像，就像一个开口向上或者向下的抛物线，非常漂亮地对称于 y 轴。
相反，如果对于函数 f(x)定义域内的任意一个 x，都有 f(x) ＝ f(x)，那么这个函数就叫做奇函数。
奇函数的图像关于原点对称。
一个典型的例子是 f(x) ＝ x³。
当 x 取某个值时，x 对应的函数值是 x 对应函数值的相反数。
想象一下这个图像，就像一个旋转了 180 度之后和原来重合的图形，原点就是它的对称中心。
那么，怎么判断一个函数是奇函数还是偶函数呢？这就需要我们通过函数的表达式来进行分析。
一般来说，我们会将 x 代入函数表达式中，然后看得到的结果是与 f(x) 相等还是与 f(x) 相等。
但有时候，函数的表达式可能会比较复杂，这时候就需要我们灵活运用一些数学方法和技巧来进行判断。
接下来，我们再说说函数的周期性。
周期性可以理解为函数在一定的区间内重复出现的性质。
如果存在一个非零常数 T，使得对于函数 f(x)定义域内的任意 x，都有 f(x ＋ T) ＝ f(x)，那么函数 f(x)就叫做周期函数，T 叫做这个函数的周期。
比如说，正弦函数 f(x) ＝ sin x 就是一个周期函数，它的周期是2π。
这意味着，每隔2π 的距离，函数的图像就会重复出现一次。
周期函数在我们的生活和科学研究中有着广泛的应用。
函数的奇偶性与周期性知识点总结
函数的奇偶性与周期性知识点总结函数是数学中一个重要的概念，它描述了两个变量之间的关系。
在学习函数的过程中，我们会遇到一些特殊的函数类型，包括奇函数、偶函数和周期函数。
本文将对这些函数类型的特点进行总结，并介绍函数的奇偶性和周期性的相关知识点。
一、奇函数和偶函数1. 奇函数：奇函数是指满足以下性质的函数：对于任意实数x，若f(-x) = -f(x)，则函数f(x)为奇函数。
奇函数以原点对称，图像在坐标系的左右两侧关于原点对称。
例如，f(x) = x^3 和 f(x) = sin(x) 都是奇函数。
2. 偶函数：偶函数是指满足以下性质的函数：对于任意实数x，若f(-x) = f(x)，则函数f(x)为偶函数。
偶函数以y轴对称，图像在坐标系的左右两侧关于y轴对称。
例如，f(x) = x^2 和 f(x) = cos(x) 都是偶函数。
二、奇偶性的性质1. 奇函数的性质：（1）奇函数的图像关于原点对称，即若点（x, y）在图像上，则点（-x, -y）也在图像上。
（2）奇函数的定义域可以是全体实数，也可以是一部分实数。
（3）奇函数的一个性质是：奇函数与偶函数的乘积仍为奇函数。
2. 偶函数的性质：（1）偶函数的图像关于y轴对称，即若点（x, y）在图像上，则点（-x, y）也在图像上。
（2）偶函数的定义域可以是全体实数，也可以是一部分实数。
（3）偶函数的一个性质是：奇函数与偶函数的乘积仍为偶函数。
三、周期函数周期函数是指在一定范围内，函数值呈现重复的规律性变化。
具体来说，对于函数f(x)，存在一个正数T，使得对于任意实数x，有f(x+T) = f(x)。
T称为函数的周期，一个周期内的函数值是相同的。
例如，f(x) = sin(x) 和 f(x) = cos(x) 都是周期函数。
周期函数的性质：1. 周期函数的图像以某个区间为一个完整的重复单位。
2. 周期函数的定义域可以是全体实数，也可以是一部分实数。
3. 周期函数的一个重要性质是：周期函数与周期函数的乘积仍为周期函数。
高中数学一轮专题复习：函数的奇偶性与周期性课件
解析：∵f(x)为定义在R上的奇函数， ∴f(0)＝0 又 f(x＋4)＝f(x)，∴f(8)＝f(4)＝f(0)＝0
题型三、函数性质的综合应用
命题点1：求函数值或函数解析式 例3：函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)
时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝__1_2___
2
由图像可知，
－2 O
x
满足不等式x f(x)<0的解为：
x<－2或x>2
答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)
三、归纳总结
1.函数的奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，定义 域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条 件．因此，判断函数的奇偶性，一要看定义域是否关于 原点对称；二要看f(x)与f(－x)的关系． 2.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性； 偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.
一、基础知识梳理
3.奇(偶)函数的性质
(2)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性； 偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性. (3)若函数f(x)是奇函数，且在x=0处有定义，则f(0)=0； (4)在公共定义域内有： ①奇函数±奇函数＝奇函数；
②偶函数±偶函数＝偶函数； ③奇函数×奇函数＝偶函数；
命题点1：求函数值或函数解析式 对点训练3：若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇 函数，当0<x<1时，f(x)＝4x，则
f（－2.5）＋f(2)＝__－__2__
解析：∵f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，
∴f(2)＝f(0)＝0， ∵ 当 0<x<1时，f(x)＝4x ， ∴f(－2.5)＝f(－0.5) ＝－f(0.5) ＝－40.5 ＝－（22）0.5
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5.已知函数f(x)对一切x、y∈R都有f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)． (1)求证：f(x)是奇函数； (2)若f(－3)＝a，用a表示f(12)．
【解析】1 证明：显然f x 的定义域关于 原点对称． 在f ( x＋y )＝f x ＋f y 中， 令x＝y＝0，得f 0 ＝0. 令x＋y＝0，即y＝－x， 得f 0 ＝f x ＋f (－x)，即f (－x)＝－f x ， 故f x 为R上的奇函数．
函数奇偶性的判断
【例1】 判断下列函数的奇偶性． 1 x 1 x ； f x ＝( x－1) ； 1 f x ＝lg 2 1 x 1 x x 2 x( x 0) 1 1 ； f x ＝ x － . 3 f x ＝ 2 4 2 1 2 x x( x 0)
2．判断函数奇偶性的方法一般有两 种：一是定义法，步骤：看定义域是否关 于原点对称，若不对称，则该函数为非奇 非偶函数；若对称，则看解析式能否化简， 能够化简的，一定要化简解析式；看f(x)与 f(－x)的关系，可以直接观察，也可以用定 义的变形式；二是图象法，作出图象，根 据图象的对称性得出结论，一般分段函数 的奇偶性的判断多用图象法．
3.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝ －f(x)，则f(6)的值为________ 0 【解析】方法1：因为f(x)是奇函数， 所以f(0)＝－f(－0)＝－f(0)，所以f(0)＝0， 所以f(6)＝－f(4)＝f(2)＝－f(0)＝0. 方法2：因为f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以f(x)是以4为周期的周期函数． 又因为f(0)＝－f(－0)＝－f(0)，所以f(0)＝0， 所以f(6)＝f(2)＝－f(0)＝0.
2 2
函数，求实数a的值．
【解析】定义法：由f x ＋f (－x)＝0， 得log a ( x＋ x 2 2a 2 )＋log a ( x 2 2a 2－x)＝0， 即log a 2a 2＝0，所以2a 2＝1. 2 因为a 0，所以a＝ . 2 性质法：因为奇函数的定义域为全体实数， 所以函数在原点有定义， 则f 0 ＝0，即log a 2a 2＝0， 2 则2a ＝1，得a＝ . 2
2 由f (2＋x)＝－f (2－x)，
令u＝2－x，则x＝2－u， 故f u ＝－f (4－u )，即f x ＝－f (4－x)． 用－x代x，得f (－x)＝－f ( x＋4)． 结合 1 知，f (－x)＝－f x ， 所以函数f x 是奇函数．
在抽象函数讨论中，函数的奇偶性、 周期性与函数图象的对称性是紧密联系 在一起的，如偶函数具有对称轴x＝ a(a>0)，则一定是周期函数．因为图象 关于x＝a(a≠0)对称，则f(a－x)＝f(a＋x) 成立，所以f(2a＋x)＝f[a＋(a＋x)]＝f[a －(a＋x)]＝f(－x)＝f(x)，所以周期为2a.
求周期函数的函数值，要根 据函数的周期性，将自变量的范 围转化到已知区间上，利用已知 区间上函数的表达式求函数值．
【变式练习2】 已知函数f(x)(x∈R)的图象经过原点， 且f(x＋2)＝f(x＋5)，求f(2010)的值．
【解析】令u＝x＋2，得x＝u－2， 则f(u)＝f(u＋3)，所以函数f(x)的周期为3. 依题意，f(0)＝0，且2010＝670×3， 所以f(2010)＝f(0)＝0.
0) 3 f x 的定义域为(－， (0，＋)， 它关于原点对称． 又当x 0时，f x ＝x 2＋x，则当x 0时，－x 0， 故f (－x)＝x 2－x＝f x ； 当x 0时，f x ＝x 2－x，则当x 0时，－x 0， 故f (－x)＝x 2＋x＝f x ． 故原函数是偶函数．
如本题中(4)，判断f(x)＋f(－x)＝0是 否成立，要方便得多．本题(3)是分段函数 判断奇偶性，分段函数指在定义域的不同 子集有不同对应关系的函数．分段函数奇 偶性的判断，要分别从x>0或x<0来寻找等 式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)是否成立， 只有当对称的两个区间上满足相同关系时， 分段函数才具有确定的奇偶性．
函数的周期性
【例3】 偶 函 数 f(x) 满 足 f(x ＋ 3) ＝ － f(x) ， 当 x∈[－3，－2]时，f(x)＝2x，求f(116.5) 的值．
【解析】因为f(x＋6)＝f[3＋(x＋3)]＝－ f(x＋3)＝f(x)，所以函数f(x)的周期T＝6. 又116.5＝19×6＋2.5， 所以f(116.5)＝f(2.5)＝f(－2.5)＝2×(－ 2.5)＝－5.
1 若函数f x 满足f ( x＋T )＝－f x (T 0)， 则f x 是周期函数，且2T 是它的一个周期．
1 (T 0)， 2 若函数f x 满足f ( x＋T )＝ f x 则f x 是周期函数，且2T 是它的一个周期． 1 f x (T 0)， 3 若函数f x 满足f ( x＋T )＝ 1 f x 则f x 为周期函数，且4T 是)为偶函数， 1 则a＝_________
【解析】由f(－1)＝f(1)，得0＝2(1－ a)，所以a＝1.
2.(2011· 安徽卷)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x≤0 时，f(x)＝2x2－x，则 f(1)＝ －3 .
【解析】f(1)＝－f(－1)＝－[2(－1)2－(－1)]＝－3.
3．奇函数f(x)如果在x＝0处有意义，则 必有f(0)＝0，即奇函数的图象若与y轴有交点， 则交点一定是原点． 4．如果一个函数既是奇函数又是偶函 数，则这个函数的函数值恒为0，且定义域 关于原点对称． 5．函数的周期性亦是函数在其定义域 上的整体性质，它反映了函数值周期变化的 规律．值得注意的是周期函数不一定存在最 小正周期．注意以下几个常用结论：
1 x 【解析】1由 0，得－1 x 1， 1 x 故f x 的定义域关于原点对称． 1 x 1 x －1 又f (－x)＝lg ＝lg( ) 1 x 1 x 1 x ＝－lg ＝－f x ， 1 x 故原函数是奇函数． 1 x 0，得－1 x 1，定义域不 2 由 1 x 关于原点对称，故原函数是非奇非偶函数．
【解析】1因为定义域{－1,1}关于原点对称， 且f (－x)＝ f x ， 所以原函数既是奇函数又是偶函数． 2 由1－x 2 0，得－1 x 1， 则 | x－2 | －2＝－x，且f (－x)＝－f x ， 故原函数是奇函数．
3因为定义域为全体实数，且
4.已知f(x)是R上的奇函数，当x>0时， f(x)＝2x＋log2x，求函数f(x)的解析式．
【解析】设x 0，则－x 0， 所以f (－x)＝2－x＋log 2 (－x)， 那么f x ＝－f (－x)＝－2－x－log 2 (－x)． 又f 0 ＝0， 2 x＋log 2 x( x 0) 所以f x ＝0( x 0) －2－x－log (－x)( x 0) 2
f (－x)＝lg( 1 x －x)＝lg
2
1 1 x2 x
＝－lg( x＋ 1 x 2 )＝－f x ， 故原函数是奇函数．
4 因为定义域是R，关于原点对称， 作出函数f x 的图象，可知是偶函数．
函数奇偶性的应用
【例2】 若函数f x ＝log a ( x＋ x 2a )是奇
【例4】
函数的奇偶性、 周期性的综合
已知f x 是定义在R上的函数，f (2＋x)＝－f 1 (2－x)，f ( x＋2)＝－ . f x
1函数f x 是不是周期函数，
若是，求出其一个周期；
2 判断f x 的奇偶性．
【解析】1 f x 是周期函数． 1 因为f ( x＋4)＝f [2＋( x＋2)]＝－ ＝f x ， f x 2 故其一个周期为4.
2
抓住奇函数的定义或特殊性质， 是解决此类问题的重要法宝．
【变式练习2】 设a，b R且a 2，定义在D上的函数 1 ax f x ＝lg 是奇函数，求定义域D. 1 2x
1 ax 1 ax 【解析】由f x ＋f (－x)＝0，得lg ＋lg ＝0， 1 2x 1 2x 1 a2 x2 即lg ＝0，所以1－a 2 x 2＝1－4x 2，得a 2＝4. 1 4 x2 又a 2，所以a＝－2. 1 2x 故函数的定义域D由 0确定， 1 2x 1 1 解得- <x< . 2 2 1 1 故原函数的定义域D为(- ， ) 2 2
4 因为f x 的定义域为R，且f (－x)
1 1 2x 1 1 1 ＝ x － ＝ － x ＝－f x ， x 2 1 2 1 2 2 2 2 1 故原函数是奇函数．
在函数奇偶性的定义中，有两个必备条件， 一是定义域关于原点对称，这是函数具有奇 偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域对 解决问题是有利的； 二是判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在 判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的 等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－ f(－x)＝0(偶函数))是否成立，这样能简化运算．
2 由f (－3)＝a，f ( x＋y )＝f x ＋f y ， f x 为奇函数得f 12 ＝2f 6 ＝4f 3
＝－4f (－3)＝－4a.
1．函数的奇偶性是函数在其定义 域上的整体性质，定义域关于原点对 称是函数具有奇偶性的必要不充分条 件．因此，判断函数的奇偶性，一要 看定义域是否关于原点对称；二要看 f(x)与f(－x)的关系．
【变式练习4】 f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x＋3) ＝f(3－x)．若x∈(0,3)时，其解析式为y ＝x2＋1，求x∈(－6，－3)时，函数f(x) 的解析式．