高斯曲率的意义与作用

高斯曲率的意义与作用

1引言

在曲面论中,应用较多的是高斯曲率．高斯曲率是微分几何学发展的里程碑，开创了微分几何学的一个新纪元．正是高斯这一伟大发现启发我们对于抽象的曲面进行研究，也就是对于只给定第一基本形式的曲面研究其几何性质．同时高斯定理说明，曲面的度量性质本身蕴含着一定的弯曲性质，这是曲线所不具有的特点．

2 预备知识

2.1 主曲率

2.1.1 主曲率的定义[1](99)p 曲面上一点处主方向上的法曲率称为曲面在此点的主曲率.

由于曲面上一点处的主方向是过此点的曲率线的方向，因此主曲率也就是曲面上一点处沿曲率线方向的法曲率．

2.1.2 主曲率的计算公式

主曲率满足

0N N N N L k E M k F M k F N k G --=--

即 222()(2)()N N EG F K LG MF NE K LN M ---++-=[1](102)0p

2.1.3 有关主曲率的一个命题[1](102)p

曲面上的一点（非脐点）的主曲率是曲面在这点所有方向的法曲率的最大值和最小值.

2.2 高斯映射（球面表示）

设σ是曲面S ：(,)r r u v =上一块不大的区域，另外再做一个单位球面．现在建立σ中的点和单位球面的点的对应关系如下：σ中任取一点(,)P u v =，作曲面在P 点处的单位法向量(,)n n u v =，然后把n 的始端平移到单位球的中心，则n 的另一端点就在单位球面上，设该点为P '，这样对于曲面的小区域σ中的每一点(,)r u v ，(,)u v σ∈与球面上向径为(,)n u v 的点对应．因此，曲面上所给出的小区域σ表示到单位球面的对应区域*

σ上．也就是说，建立了曲面的小区域σ到单位球面上区域*σ的对应.我们把曲面上的点与球面上的点的这种对应称为曲面的球面表示，也称

高斯映射．

2.3 高斯定理[2](147)p

定理 曲面的高斯曲率是曲面在保长变换下的不变量．

高斯定理说明,曲面本身蕴含着一定的弯曲性质,这是曲线所不具有的特点．例如球面一定不会保持长度不变而摊成一块平面,反过来平面无论如何不可能保持长度不变而弯成一个球面,因为球面和平面的高斯曲率是不同的．

3 高斯曲率的定义[1](102)p

曲面S ：(,)r r u v =的主曲率1k ，2k 是曲面的切平面W 变换的两个特征值，分别是法曲率的最大值与最小值，也即曲面主方向对应的法曲率．

设1k ，2k 为曲面上一点的两个主曲率，则它们的乘积12k k 称为曲面在这一点的高斯曲率，通常以K 表示．

由预备知识可知，利用一元二次方程的根与系数的关系便得

高斯曲率 K =12k k =2

2LN M EG F

--, 对于曲面的特殊参数表示(,)z z x y =，由于

21E p =+，F pq =，21G q =+，

2221EG F p q -=++，

L =

，M =，N =，

因此得 2

222

(1)rt s K p q -=++． 4 高斯曲率的几何意义

曲面的小区域σ在球面表示（高斯映射）下对应到球面的区域*

σ．如果当曲面在这块σ上弯曲的程度越大时，它的对应球面的区域*σ也就越大．因而σ的弯曲程度可以用*σ的面积对于σ本身的面积的比值来刻画．曲面在已知点处的弯曲程度自然就用这个比值当σ收缩成点P 的极限来衡量．

命题[1](102)p 曲面在P 点邻近的区域σ在单位球面上表示是*

σ，当σ区域曲面上已知点P 时，*σ的面积与区域σ的面积之比趋于曲面在P 点的高斯曲率的绝对值．即

*lim p p K σσσ→=的面积的面积

下面给出在球面表示时高斯曲率的符号的几何意义．由于

u v n n ⨯=K （u v r r ⨯）

其中u v r r ⨯是曲面的法向量，u v n n ⨯是球面的法向量．

K >

0表示这两法向量指向一致，因此从 u r 到 v r 的旋转方向和 u n 到 v n 的旋转方向相同．K < 0表示这两法向量的方向相反，从而 u r 到 v r 的旋转方向和从 u n 到 v n 的旋转方向相反．

5 高斯曲率的作用

5.1 曲面的高斯曲率确定了曲面在一点邻近的结构[3](1)P

曲面在一点邻近的结构与其在该点的高斯曲率有关，该点与附近点的高斯曲率的比较，可以反映该点附近的形状变化．注意到曲面的高斯曲率与2

LN M -同号的,而 22

222()()0u v u v u v EG F r r r r r r -=⋅-⋅=⨯>，

总是正的．因此K 的符号决定曲面在所考虑点的邻近结构．分三种情形加以讨论：

1) K 0>时，即20LN M ->时，给定点P 为椭圆点．这时主曲率1k 与2k 同号，不妨设10k >，20k >，那么对应于主方向的一条法截线朝法向量n 的正侧弯曲．由欧拉公12cos sin n k k k θθ=+所有法截线的曲率n k 都时正的．因此，所有法截线都朝向量n 的正侧弯曲，所以曲面沿所有都朝同一侧弯曲．当1k ，2k 都是负的时候，所有的法截线都朝n 的负侧弯曲．总之，曲面在点P 的邻近在切平面的同一侧，故当K 0>时，曲面在椭圆点P 的邻近的形状近似于椭圆抛物面．

2）当K 0<时，即20LN M -<时，给定点P 为双曲点．这时的主曲率1k 与2k 异号，不妨假设10k <，20k >，那么对应的两条法截线中有一条朝n 的负侧弯曲，另一条朝n 的正侧弯曲．由欧拉公式12cos sin n k k k θθ=+得到各个方向的法曲率n k 的变化情况．

当0θ=时，120k k =<时，当2π

θ=，120k k =>，从而当θ从0变到π时，K 的符号改变

两次零值．此时曲面在P 点的邻近的形状近似于双面抛物面．