2018年秋九年级数学上册4《图形的相似》4探索三角形相似的条件第2课时三角形相似的条件(2)习题课件(新版)
北师大版九年级上册4探索三角形相似的条件第四章：探索三角形相似的条件课时二教学设计
北师大版九年级上册4探索三角形相似的条件
第四章：探索三角形相似的条件课时二教学设计
一、教学目标
1.了解什么是三角形相似；
2.探究相似三角形的三个基本条件；
3.学会利用相似三角形的三个条件进行计算。
二、教学重点
1.三角形相似的三个条件；
2.利用相似三角形进行计算。
三、教学难点
1.理解三角形相似的概念；
2.应用相似三角形的三个条件计算。
四、教学步骤
1. 课堂导入
通过引入“类比”这个概念，使学生对于“相似”的概念有所认知。
2. 知识讲解
1.三角形相似的定义：若两个三角形的各对应角度相等，则这两个三角
形相似；
2.相似三角形的三个条件：
–全等角条件：若两个三角形的两个对应角度相等，则这两个三角形相似；
–AA相似条件：若两个三角形中的两角分别相等，则这两个三角形相似；
–SSS相似条件：若两个三角形的三边分别成比，则这两个三角形相似。
3. 实例分析
通过实例演练，让学生掌握如何利用相似三角形的三个条件进行计算。
4. 练习与拓展
1.练习：让学生自己动手练习相似三角形的三个条件的应用；
2.拓展：通过让学生了解更多的应用场景，拓展相似三角形的应用领域。
五、教学评估
1.完成练习题；
2.课堂表现。
六、教学反思
通过让学生自己动手进行实例分析，让他们更好的掌握了三角形相似的概念。
在练习环节中，可以结合课外实际应用场景，让学生真正理解相似三角形在现实生活中的意义。
九年级数学上册 第四章 图形的相似 4 探索三角形相似的条件 拓展资源 黄金分割造就了美素材 北师
九年级数学上册第四章图形的相似4 探索三角形相似的条件拓展资源黄金分割造就了美素材（新版）北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学上册第四章图形的相似4 探索三角形相似的条件拓展资源黄金分割造就了美素材（新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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黄金分割造就了美和谐的音乐关键在于它的频率,舞台的设计关键在于它的中心。
把二胡的千斤放在哪里,才会拉出最美妙的音乐呢？把舞台的中心放在何处，才会达到最佳的效果呢？这是艺术家们常考虑的问题。
但是，数学家们告诉我们，只要你把它放在黄金分割点，就会达到你的目的了。
真是太奇妙了，很多事情只要用到黄金分割就迎刃而解了。
在建筑上,在美术上甚至在音乐上，它都体现了它的美妙之处。
五角星是非常美丽的，我国的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星.在五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金比的。
正五边形对角线连满后出现的所有三角形，都是黄金分割三角形。
利用线段上的两黄金分割点,可作出正五角星、正五边形.早在100多年以前，德国的心理学家弗希纳曾精心制作了各种比例的矩形，并且举行了一个“矩形展览”,邀请了许多朋友来参加，参观完了之后,让大家投票选出最美的矩形。
最后被选出的四个矩形的比例分别是：5×8，8×13，13×21,21×34。
经过计算，其宽与长的比值分别是:0.625，0。
615，0.619,0.618.这些比值竟然都在0.618附近。
九年数学上册第4章相似三角形4.4两个三角形相似的判定2用角的关系判定三角形相似课件(新版)浙教版
11．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，点E在AB上， 且AE＝3，点F在AC上，连结EF，若△AEF与△ABC 相似，则AF＝________．
错误答案：2 诊断：根据题意，知△AEF与△ABC相似，由于本题没 有说明对应关系，故采用分类讨论思想．有两种可能： (1)△AEF∽△ABC，(2)△AEF∽△ACB. 正确答案：6．如图，△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，
DE 与 AC 相 交 于 点 F ， AB ＝ 9 ， BD ＝ 3 ， 则 CF 等 于
( B)
A．1
B．2
C．3 D．4
7．【中考·安徽】如图，在矩形 ABCD 中，AB＝8，BC＝4， 点 E 在 AB 上，点 F 在 CD 上，点 G，H 在对角线 AC 上， 若四边形 EGFH 是菱形，则 AE 的长是( ) A．2 5 B．3 5 C．5 D．6
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【点拨】如图，当PD∥BC时，△APD∽△ACB；当 PE∥AB时，△EPC∽△BAC；当PF⊥AB时， △APF∽△ABC，故过点P的△ABC的“相似 线”最多有3条．故选C.
【答案】C
5．【中考·安徽】如图，在△ ABC 中，AD 是中线，BC＝8，
∠B＝∠DAC，则线段 AC 的长为( B )
∴∠ABD＝12∠ABC＝36°＝∠A. 又∵∠AED＝∠BED＝90°，ED＝ED， ∴△ADE≌△BDE(AAS)．
证明△ABC∽△BDC.证明如下： ∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠C＝72°. ∵BD 为角平分线， ∴∠DBC＝12∠ABC＝36°＝∠A. 又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC.
【点拨】连结 EF.∵四边形 EGFH 为菱形，∴EF⊥GH，设
九年级数学上册第四章图形的相似4.4探索三角形相似的条件教案(新版)北师大版
4.4.1探索三角形相似的条件（1）教学目的1.使学生理解相似三角形的定义，掌握定义中的两个条件．2.使学生掌握相似三角形判定定理1．3.使学生初步掌握相似三角形的判定定理1的应用． 重点：准确找出相似三角形的对应边和对应角度． 难点：掌握相似三角形判定定理1及其应用． 教学过程一、讨论相似三角形的定义请同学们都拿出文具盒中的三角板，观察它们之间的关系，再与教师手中的木制三角板比较，观察这些三角形的关系，这是有全等的关系也有相似的关系．从全等与相似的类比，不难得到相似三角形的定义． 二、 给出定义1. 从∠A=∠A,∠B=∠B,∠C=∠C,AB:A’B’=BC:B’C’=AC:A’C’ 可知△ABC∽ △A’B’C’.2. 板书定义．叫学生写在笔记本上．三、合作学习合探1 同学们观察我们的直角三角尺，直观上看它们是什么关系？到底需要满足几个条件两个三角形能够相相似？合探2 与同伴合作，两个人分别画△ABC 和△A ′B ′C ′,使得∠A 和∠A ′都等于∠α，∠B 和∠B ′都等于∠β，此时，∠C 与∠C ′相等吗？三边的比C B BCC A AC B A AB '''''',,相等吗？这样的两个三角形相似吗？改变∠α，∠β的大小，再试一试. 四、导入定理判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似．这个定理的出现为判定两三角形相似增加了一条新的途径．例：如图，D ,E 分别是△ABC 的边AB ,AC 上的点，DE ∥BC ,AB =7，AD =5，DE =10，求BC 的长。
解：∵DE ∥BC ，∴∠ADE=∠B ，∠AED=∠C. ∴△ADE ∽△ABC (两角分别相等的两个三角形相似). ∴AD AB =DE BC. ∴BC =AB ×DE AD = 7×105=14.五、学生练习1. 讨论教材随堂练习第1题有一个锐角相等的两个直角三角形是否相似？为什么？ 2.自己独立完成教材随堂练习第2题 六、小结本节主要学习了相似三角形的定义及相似三角形的判定定理1，一定要掌握好这个定理．4.2探索三角形相似的条件（2）教学目的使学生掌握三角形相似的判定定理2，3，和它们的应用． 教学重点 判定定理2和3 教学难点 判定定理的应用 教学过程 一、复习：1.判定三角形相似目前有哪些方法？2.回忆三角形相似判定定理1的证明的方法． 二、新授 （一）导入新课三角形全等的判定中AAS 和ASA 对应于相似三角形的判定的判定定理1，那么SAS 和SSS 对应的三角形相似的判定命题是否正确，这就是本节研究的内容．（板书） （二） 做一做1. （1）画△ABC 与△A ′B ′C ′，使∠A =∠A ′，B A AB ''和CA AC''都等于给定的值k .设法比较 ∠B 与∠B ′的大小（或∠C 与∠C ′的大小）、△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗？ （2）改变k 值的大小，再试一试.判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 2. 画△ABC 与△A ′B ′C ′，使B A AB ''、C B BC ''和A C CA''都等于给定的值k . （1）设法比较∠A 与∠A ′的大小；（2）△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗？说说你的理由. 改变k 值的大小，再试一试.判定定理3：三边:成比例的两个三角形相似． （三）例题学习例1：如图，D ,E 分别是△ABC 的边AC ,AB 上的点，AE =1.5，AC =2，BC =3，且AD AB =34，求DE 的长.C解：∵AE =1.5， AC =2，∴AE AC =34，∵AD AB =34，∴AD AB =AE AC. 又∵∠EAD=∠CAB ，∴△ADE ∽△ABC (两边成比例且夹角相等的两个三角形相似).∴DE BC =AD AB =34. ∵BC =3，∴DE =34 BC =34×3=94.例2：如图，在△ABC 和△ADE 中，AB AD =BC DE =ACAE，∠BAD=20°，求∠CAE 的度数.解：∵AB AD =BC DE =ACAE，∴△ABC ∽△ADE (三边成比例的两个三角形相似). ∴∠BAC=∠DAE ，∴∠BAC －∠DAC =∠DAE －∠DAC ， 即∠BAD=∠CAE . ∵∠BAD=20°， ∴∠CAE=20°. 三、巩固练习 四、小结本节学习了相似三角形两个判定定理，一定用时要注意它们使用的条件．4.4.3 探索三角形相似的条件——黄金分割教学目标 （一）教学知识点 1.知道黄金分割的定义. 2.会找一条线段的黄金分割点.3.会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点. （二）能力训练要求通过找一条线段的黄金分割点，培养学生的理解与动手能力. （三）情感与价值观要求理解黄金分割的意义，并能动手找到和制作黄金分割点和图形，让学生认识数学与人类生活的密切联系对人类历史发展的作用. 教学重点了解黄金分割的意义，并能运用. 教学难点找黄金分割点和画黄金矩形. 教学方法 讲解法 教具准备 投影片一张 教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课［师］生活中我们见到过许许多多的图形，形态各异，美观大方.那么这些漂亮的图形你能画出来吗？比如，右图是一个五角星图案，如何找点C 把AB 分成两段AC 和BC ，使得画出的图形匀称美观呢？本节课就研究这个问题. Ⅱ.讲授新课［师］在五角星图案中，大家用刻度尺分别度量线段AC 、BC 的长度，然后计算AB AC 、ACBC,它们的值相等吗？ ［生］相等. ［师］所以ACBCAB AC =. 1.黄金分割的定义一般地，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果ACBCAB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割（golden section ）,点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.其中ABAC≈0.618. 2. 计算黄金比.解：由AC AB =BC AC，得∴AC 2=AB ·BC. 设AB =1,AC =x ,则BC =1- x. ∴x 2=1×（1－x ） ∴x 2+ x－1=03.作一条线段的黄金分割点.如图，已知线段AB ，按照如下方法作图： （1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD =21AB . （2）连接DA ，在DA 上截取DE =DB .（3）在AB 上截取AC =AE .则点C 为线段AB 的黄金分割点. ［师］你知道为什么吗？若点C 为线段AB 的黄金分割点，则点C 分线段AB 所成的两条线段AC 、BC 间须满足ACBCAB AC =.下面请大家进行验证.自己有困难时可以互相交流.为了计算方便，可设AB =1. 证明：∵AB =1,AC =x ,BD =21AB =21 ∴AD =x +21在Rt △ABD 中，由勾股定理，得（x +21）2=12+（21）2∴x 2+x +41=1+41∴x 2=1－x ∴x 2=1·（1－x ） ∴AC 2=AB ·BC 即ACBCAB AC =即点C 是线段AB 的一个黄金分割点， 由x 2=1－x 整理，得x 2+x －1=0 ∴x =2512411±-=+±- ∵AC 为线段长，只能取正，∴AC =215-≈0.618 ∴ABAC≈0.618，∴黄金比约为0.618. 3.想一想古希腊时期的巴台农神庙（Parthenom Temple ）.把它的正面放在一个矩形ABCD 中，以矩形ABCD 的宽AD 为边在其内部作正方形AEFD ，那么我们可以惊奇地发现，BCABBE BC =,点E 是AB 的黄金分割点吗？矩形ABCD 的宽与长的比是黄金比吗？［师］请大家互相交流.［生］因为四边形AEFD 是正方形，所以AD =BC =AE ,又因为BC AB BE BC =,所以AEABBE AE =,即AEBEAB AE =,因此点E 是AB 的黄金分割点，矩形ABCD 宽与长的比是黄金比. ［师］在上面这个矩形中，宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄金矩形.你学会作了吗？ Ⅲ.课时小结本节课学习了：1.黄金分割点的定义及黄金比. 2.如何找一条线段的黄金分割点，以及会画黄金矩形. 3.能根据定义判断某一点是否为一条线段的黄金分割点. Ⅳ.课后作业 Ⅴ.活动与探究要配制一种新农药，需要兑水稀释，兑多少才好呢？太浓太稀都不行.什么比例最合适，要通过试验来确定.如果知道稀释的倍数在1000和2000之间，那么，可以把1000和2000看作线段的两个端点，选择AB 的黄金分割点C 作为第一个试验点，C 点的数值可以算是1000+（2000－1000）×0.618=1618.试验的结果，如果按1618倍，水兑得过多，稀释效果不理想，可以进行第二次试验.这次的试验点应该选AC 的黄金分割点D ，D 的位置是1000+（1618－1000）×0.618，约等于1382，如果D 点还不理想，可以按黄金分割的方法继续试验下去.如果太浓，可以选DC 之间的黄金分割点；如果太稀，可以选AD 之间的黄金分割点，用这样的方法，可以较快地找到合适的浓度数据.这种方法叫做“黄金分割法”.用这样的方法进行科学试验，可以用最少的试验次数找到最佳的数据，既节省了时间，也节约了原材料. 板书设计。
北师大版九年级数学上册 探索三角形相似的条件 第2课时 课件
2. 改变 k 值的大小，再试一试.
判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
典例精讲
例1 如图2，D，E 分别是△ABC 的边 AC，AB 上的点.
AE = 1.5，AC = 2，BC = 3，且
=
A
E
B
图2
D
C
3
4
，求 DE 的长.
解：∵AE = 1.5，AC = 2，
我们先来考虑增加一角相等的情况.
思考：增加一角相等的情况，需要满足什么条件呢？
相等的角可以是其
中一边的对角，也可以
是两边的夹角.
探究新知
做一做
AC
AB
1. 画△ABC与△A′B′C′，使∠A =∠A′ ，
和
都等于给定的值
A´C´
A´B´
k（ k >0） . 设法比较∠B 与∠B′ 的大小（或∠C 与∠C′）. △ABC 和
AE 3
.
∴
AC 4
AD 3
,
∵
AB 4
AD AE
∴
.
AB AC
又∵ ∠EAD=∠CAB，
∴ △EAD∽△CAB（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）.
DE AD 3
.
∴
BC AB 4
3
3
9
∵ BC=3，∴ DE BC 3 .
4
4
4
探究新知
想一想
如果△ABC与△A′B′C′ 两边成比例，且其中一边
延长 BC 到 E，使 CE
1
=
2
1
= AC，
2
BC，连接 DE，如果测量 DE = 20 m，
九年级数学上册第四章图形的相似4探索三角形相似的条件第2课时相似三角形的判定定理2课件新版北师大版
2．如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，下列条件中不能 判断△ABC∽△AED 的是( D )
A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C C．AADE＝AACB D．AADB＝AACE
3．已知，如图，在△ABC 中，∠C＝90°，点 D，E 分别是 AB，CB 延长线上 的点，CE＝9，AD＝15，连接 DE.若 BC＝6，AC＝8.求证：△ABC∽△DBE.
证明：∵在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8， ∴AB＝ BC2＋AC2＝10， ∴DB＝AD－AB＝15－10＝5， ∴DB∶AB＝5∶10＝1∶2. ∵EB＝CE－BC＝9－6＝3， ∴EB∶BC＝3∶6＝1∶2＝DB∶AB． 又∵∠DBE＝∠ABC， ∴△ABC∽△DBE.
4．如图，△ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且CADD＝CBDD. (1)求证：△ACD∽△CBD； (2)求∠ACB 的大小．
∴QADC＝42aa＝2，DPCQ＝2aa＝2，∴QADC＝DCQP . 又∵∠D＝∠C＝90°，∴△ADQ∽△QCP.
[2016·新泰期中]如图，已知 AP2＝AQ·AB，且∠ABP＝∠C，
证明：△QPB∽△PBC． 证明：∵AP2＝AQ·AB， ∴AAQP＝AABP. 又∵∠A＝∠A，∴△APQ∽△ABP， ∴∠APB＝∠AQP，∴∠BQP＝∠CPB． 又∵∠ABP＝∠C，∴△QPB∽△PBC．
归类探究
类型 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 如图，在正方形 ABCD 中，已知点 P 是 BC 边上的点，且 BP＝3PC，
点 Q 是 CD 的中点，试判断△ADQ∽△QCP，说明理由．
解：△ADQ∽△QCP.理由： 设 PC＝a，则 BP＝3a， BC＝4a． ∵点 Q 是 CD 的中点， ∴DQ＝QC＝12CD＝2a，
北师大版九年级数学上4.4探索三角形相似的条件(2)(共23张PPT)
拓展
A
两边对应成比例且其中一边的对角 对应相等的两个三角形是否相似呢？
D
A'
B
C B'
C'
已知：△A’B’C’ ∽△ABC 在△ABC中，以B为圆心，
BA长为半径画弧，交AC于D，
连结BD，则BD＝BA.
☞
再见！
由于水平 有限，有许多 不足之处，希 望各位老师多 给宝贵意见！
AB AC
三角形相似判定3： 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
议一议
观察上面图形， 如果两个三角形两边对应成比例，有任意一角对应相等，
那么，这两个三角形一定相似吗？
注意：两边对应成比例并且必须是夹角对应相等两三角形才一定相似哦．
探 索1
如果一个三角形的两条边与另一个三角形 的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么 这两个三角形相似吗？
△ A∽ BA C B △ C ' ' '
已知△ABC和 △A’B’C’,根据下列条 件判断它们是否相似.
(1)∠B＝∠B’＝75°， ∠C＝50°， ∠A’＝55°
(2) ∠A＝45°，AB=12cm， AC=15cm ∠A’＝45°，A’B’＝16cm，A’C’＝20cm
(3) AB=12cm， BC=15cm， AC＝24cm A’B’＝16cm，B’C’＝20cm，A’C’＝30cm
你能说明以下几个结是论否成立吗? (1)AD2 BD•DC (2)AB2 BD•BC (3)AC2 CD•BC
(第 1 题)
探索三角形系相似的条件
观看演示:
如果 ΔABC 与 ΔABC 有两边成对应比例，且有这两边的夹角对应相等，
那么你能发现这两个三角形相似吗？
4.4.2 探索三角形相似的条件2-新北师大版
2．在△ABC 中，∠ B = 39°，AB = 1.8 cm，BC = 2.4 cm； 在△DEF 中，∠ D = 39°，DE = 3.6 cm，DF = 2.7 cm．这 两个三角形相似吗？为什么？
数学理解 3．如图，P 是△ABC 的边 AB 上的一点. （1）如果∠ ACP =∠ B，△ACP 与△ABC 是否相似？为什么？
九年级数学(上) 第四章 图形的相似
第 4节 探索三角形相似的条件(二）
复习回顾：
三角形相似判定方法
1.相似三角形的定义可以作为三角形相似的一种判定方法。 2.两角对应相等的两个三角形相似。
探索 :如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对 应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似吗？
A
4 cm
∠B ' ＝∠B
A'
2 cm
B
6 cm
C A' B'
B'
改变比值的大小，再试一试. 两边对应成比例且夹角相等
B'C ' 1 AB BC 2
3 cm
C'
△A ' B ' C ' ∽△ABC
判定定理二：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两 条边对应成例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似 ∵ A' B ' B 'C ' ∠B’＝∠B AB BC ∴ △A’B’C’ ∽△ABC
如果△ABC 与△A'B'C' 两边成比例，且其中一边所 对的角相等，那么这两个三角形一定相似吗？ 小明和小颖分别画出了如图 3-15 所示的三角形．由 此你能得到什么结论？
两边成比例，且其中一边所对的角相等，那么这两 个三角形不一定相似
北师大版九上数学(教案)第四章：第四节《探索相似三角形的条件》第二课时
北师大版九年级上第四章《图形的相似》《探索相似三角形的条件》第二课时教案【教学目标】1.知识与技能（1）.使学生掌握相似三角形判定定理2．（2）.使学生初步掌握相似三角形的判定定理2的应用． 2.过程与方法经历探索相似三角形的条件，进一步发展学生归纳、类比、交流等方面的能力. 3.情感态度和价值观经历自主探究、合作交流等学习方式的学习及激励评价，让学生在学习中锻炼能力.【教学重点】相似三角形的判定定理2 【教学难点】相似三角形判定定理2及其应用． 【教学方法】 合作、探究 【课前准备】 多媒体课件 【教学过程】一、复习回顾 1、什么是相似三角形？三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。
2.相似三角形的判定1：两角对应相等的两个三角形相似 二、探究新知相似三角形的判定2 探究1：画一画①画△ABC,使∠A=60°，AB=3cm,AC=2cm. ②再画△A ′B ′C ′，使∠A ′=∠A, 且32''''===k C A AC B A AB③量出B ′C ′及BC 的长，计算''C B BC的值，并比较是否三边都对应成比例？通过测量得出BC=2.6cm,B'C'=3.9cm,且32''=C B BC . ④量出∠B 与∠B ′的度数，∠B ′=∠B 吗？由此可推出∠C ′=∠C 吗？为什么？ ∠B ′=∠B ，∠C ′=∠C⑤由上面的画图，你能发现△A ′B ′C ′与△ABC 有何关系？与你周围的同学交流. 我发现这两个三角形是相似的.改变k 值的大小，再试一试．思考：我们能否用推理的方法得出这个结论？我们来证明一下前面得出的结论：'''C B A ABC ∽△△如图，在△ABC 与△A ′B ′C ′中，已知∠A= ∠A ′,''''CA ACB A AB =，求证'''C B A ABC ∽△△.证明：在△A ′B ′C ′的边A ′B ′上截取点D,使A ′D=AB ．过点D 作DE ∥B ′C ′,交A ′C ′于点E.∵DE ∥B ′C ′,∴△A ′DE ∽△A ′B ′C ′..''''''∴C A E A B A D A = ∵A ′D=AB ，''''C A ACB A AB = .''''''''∴C A AC C A E A B AD A ==∴A ′E=AC.又∠A ′=∠A.∴△A ′DE ∽△ABC ， ∴△A ′B ′C ′∽△ABC.由此得到三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 几何语言：∵∠A=∠A'''''CA ACB A AB = '''C B A ABC ∽△△∴探究2：观察下面图形，如果两个三角形两边对应成比例，有任意一角对应相等，那么，这两个三角形一定相似吗？两边对应成比例且其中一边所对的角对应相等的两个三角形不一定相似． 注意：两边对应成比例并且必须是夹角对应相等两三角形才一定相似哦． 三、例题讲解：例1.如图，每组中的两个三角形是否相似？为什么？解：(1)∵∠A=∠A,21==AC AF AB AE ∴△AEF ∽△ABC(2) ∵∠B=∠E ，EF BC DEAB ≠ ∴△ABC 与△DEF 不相似例2. 如图，D 是△ABC 一边BC 上一点，连接AD,使 △ABC ∽ △DBA 的条件是 （ D ）A. AC:BC=AD:BDB. AC:BC=AB:ADC. AB 2=CD ·BCD. AB 2=BD ·BC 解析：∵∠B=∠B,需添加条件∴△ABC ∽ △DBA 故选D.例3：如图，D 、E 分别是△ABC 的边AC 、AB 上的点．AE=1.5，AC=2，BC=3， 求DE 的长．分析：要求DE 的长，需先证明△ADE ∽△ABC ，由相似三角形的判定2，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得证，再根据相似三角形的对应边的比例相等，求出DE 的长。
北师大版九年级上册数学第四章图形的相似第四节探索三角形相似的条件
=
AD AC
C．ABCB
=
CD AB
B．DABB
=
BC AB
D．AACB
=
DB CD
感悟新知
知识点 2 两角分别相等的两个三角形相似
知2－讲
1. 定理 两角分别相等的两个三角形相似. 2. 数学表达式 如图4-4-3，
在△ABC和△DEF中， ∵∠A=∠D，且∠B = ∠E， ∴△ABC∽△DEF.
感悟新知
知5－练
6-1.已知P是线段AB的黄金分割点， 且AB= 5+1，则AP的
长为( C )
A．2
B． 5－1
C．2 或 5－1
D．3－ 5
课堂小结
探索三角形相似的条件
定义
相似三角形
判定 方法
应用
黄金分割
角角 边角边 边边边
学习目标
课后作业
作业1 必做: 请完成教材课后习题 作业2 补充:
解：设涂到 x m 高时，才使人感到最舒适． 利用黄金比，得x3＝ 52－1，解得 x≈1.85. 所以涂料大约应涂到高为 1.85 m 处．
感悟新知
知5－练
例6 已知线段AB=6，点C为线段AB的黄金分割点，求
AC－BC和AC·BC的值.
解题秘方：紧扣黄金分割点在线段中的两个不同位 置解决问题.
知5－练
当AC＜BC时，∵点C为线段AB的黄金分割点，
∴BACB = 5 2－1.又∵ AB=6，∴ BC=3 5－3. ∴ AC=AB－BC=9－3 5. ∴ AC－BC=12－6 5， AC·BC=36 5－72. 综上所述，AC－BC=6 5－12 或12－6 5， AC·BC=36 5－72.
AB A′B′
九年级数学上册 第四章 图形的相似 4 探索三角形相似的条件教案 (新版)北师大版
掌握相似三角形判定定理1及其应用．
教学方法
合作交流，共同探究
课前作业
小明用白纸遮住了3个三角形的一部分，你能画出这三个三角形吗？
教学过程
教学环节
课堂合作交流二次备课源自（修改人：）环节一
探究一
如图，已知△ABC，和线段A′B′,在线段A′B′同侧画 ，使∠A′=∠A,∠B′=∠B,交点C′
（1）点C′是否在格点上？
第四章：图形的相似
课题
探索三角形相似的条件
课时安排
共（1）课时
课程标准
通过探究与交流得出只要具备两个角对应相等，就可以判断两个三角形相似。平行于三角形一边同样可以得到相似三角形。
学习目标
1.使学生理解相似三角形的定义，掌握定义中的两个条件．
2.使学生掌握相似三角形判定定理1．
教学重点
准确找出相似三角形的对应边和对应角度．
环
节
二
探究二
如图，直线DE∥BC，试找出下列图形中的相似三角形，并说明理由。
归纳：平行于三角形一边的直线和三角形的两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
几何语言：
∵DE∥BC
∴△ABC∽△ADE
课中作业
如图,在△ABC中, E是AB上一点,在AC上取一点F,使以A、E、F为顶点的三角形与△ABC相似,你能在图上画出来吗？
（2）△ABC与△A′B′C′是否相似？
（3）结论：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。
简单地说，两角对应相等的两个三角形相似。
几何语言:∵∠A′=∠A,∠B′=∠B,∴△ABC∽△A′B′C′
课中作业
若∠A=70°，∠C=65°，∠A1=70°，∠B1=35°△ABC△A1B1C1相似吗？
九年级数学上册 第四章 图形的相似 4 探索三角形相似的条件 重点解读判定三角形相似素材 北师大版
九年级数学上册第四章图形的相似4 探索三角形相似的条件重点解读判定三角形相似素材(新版）北师大版编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学上册第四章图形的相似4 探索三角形相似的条件重点解读判定三角形相似素材(新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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判定三角形相似1．平行线型:在图1、图2中，若DE/／B Ｃ,则△ADE∽△ABＣ。
我们称这两种图形为平行线型的基本图形．更形象地说,图1是“A”型图，图2是“X”型图,它们的特点是对应边、对应角、对应顶点比较明显．例１ 如图3，已知OM∶MP＝ON∶NR，试说明△PQR 为等腰三角形.解：本题中出现的比例式中有三条线段OM 、ＭP 、ON 构成一个不完整的平行线型相似三角形，因此，可通过Ｎ作NS/／ＭP 交O Ｒ的延长线于S ，这样就构成图１的平行线型相似三角形,即△OMP∽△ONS，则NS ON MP OM =。
由已知得NR ON MP OM =，所以NRON NS ON =，故NS=NR 。
同理，由图2可判定△RＮS∽△ＲＱP ,所以QPNS QR NR =。
故ＱＲ=QP ,所以△PQR 为等腰三角形。
2．相交线型:在图4、图5、图6中,若∠１=∠B,则△ＡDE∽△AＢC 。
我们称这三种图形为相交线型的基本图形．它们的特点是有一个公共角或等角。
例２ 如图7，已知△ABC 中，∠C=90°,D、E 分别是A Ｂ、AC 上的两点，且AD·AB=AE·A Ｃ，则E Ｄ⊥AB，为什么?解:由于△AＢC 和△ＡED 有一对公共角∠A，且A Ｄ·AB=AE·ＡC,即ABAE AC AD =，所以△ABC∽△AED．所以∠ADＥ=∠C=9０°.因此ＥD⊥AＢ。
九年级数学上册第4章《探索三角形相似的条件(2)》教学设计(北师大版)
第四章图形的相似4．探索三角形相似的条件（二）一、学生知识状况分析学生在七年级的三角形学习里，已学习过三角形的基础知识掌握了基本的概念；在本章前面几节课中，又学习了成比例线段，平行线分线段成比例，相似多边形，相似三角形，并理解了它们的概念；现已具有了初步的平面图形的知识。
本节课是要在上节课探索三角形相似的条件第一课时的学习基础上，作为本章节第二节课，进一步加深相似三角形部分的知识，继续探索“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”这个判定定理。
学生在上节课学习的基础上，已经具有一定的探索经验、分析问题能力及归纳演绎的能力，具备了一定的合作与交流的能力，因此在教学方法上建议采用学生自主探索、分组讨论总结的方式。
二、教学任务分析教科书通过问题的形式，创设一个有利于学生动手操作和反思的情境，进一步发展学生的探索、交流能力，达到进一步探索三角形相似条件的目的，能够运用三角形相似的条件解决简单的问题，进一步发展学生的合情推理能力和初步的逻辑推理意识，由此体验数学概念由具体现象抽象出来的过程，以及数学术语表达的精练、简洁。
本节课学生经历发生、观察、操作、思考、交流、归纳的过程，进一步发展学生的空间观念，为后续章节的学习打下基础。
同时，让学生结合实际再次体会数学中的几何图形在生活中广泛存在并起到重要的作用；在教学中再辅以适量的练习使学生对所学的知识加深印象，增强解决问题的能力。
教学目标：（一）知识目标：理解并掌握三角形相似的判定定理：“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”。
（二）能力目标：在进行探索的活动过程中，发展类比的数学思想，激发学生的探索发现归纳意识，增强合情推理的语言表达能力。
（三）情感态度与价值观目标：培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值。
教学重点：掌握相似三角形的判定定理：“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”。
教学难点：相似三角形判定定理在实际问题中的灵活运用三、教学过程分析本节课设计了七个教学环节：第一环节：前置诊断，开辟道路；第二环节：构造悬念，创设情境；第三环节：目标导向，自然引人；第四环节：设问质疑，探究尝试；第五环节：变式训练，巩固提高；第六环节：总结串联，纳入系统；第七环节：达标检测，反馈矫正。
北师大版九年级数学上册课件：4-4探索三角形相似的条件(2)(共15张PPT)
A
∴ｘ：（８－ｘ）＝３：４
24 x
7
•
B
∴∠PAD＝∠PBC＝90° ∵ AB＝8,AD＝3,BC＝4
②若△APD∽△BCP
∴设AP的长为x,则BP
∴AP：BＣ＝AD：BＰ
的长为（8-x）
∵ 若AB边上存在P点，使 △PAD与△PBC是相似三角
∴ｘ：４＝ ３ ：（８－ｘ） 解得：ｘ＝2或ｘ＝6
形，那么分两种情况：
∴满足条件的点P的个数是3个
①若△APD∽△BPC
做一做
比一比看谁能行
1.能判定△ABC和 ABC相似的条件是（ C ）
A.A BA,C 且 B B BA . BB,C 且 A C
A B A C
A B B C
C.A BB,C 且 B A DA . BA,C 且 A B
A B A C
B C A C
2.如图，在方格纸中，△ABC，和△EPD的顶点均在格点上，要
使A △ABC∽P △. 1 EPD，则B 点PP 所2 在. 的格点C 是（P C3. ） D P 4. B
• • •PPP
1
2 3
•P 4
3.下列图形可能不相似的是（ A ）
A.各有一个角是45°的两个等腰三角形 B.各有一个角是60°的两个等腰三角形
A C D• •E
C.两个等腰直角三角形
C
D.各有一个角为105°的两个等腰三角形
4.如图，D是△ABC的边AB上一点，要使△ACD∽△ABC，
则它们必须具备的条件是（ D ）
A.A :C C A D :B DCB C .:A D B D :A CC B C C 2 . D A D DB DA 2 . A C A DB
北师大版九年级上册4探索三角形相似的条件第四章：探索三角形相似的条件课时二课程设计
北师大版九年级上册4探索三角形相似的条件第四章：探索三角形相似的条件课时二课程设计一、教学目标1.掌握相似三角形的定义；2.理解相似三角形的相关定理；3.能够运用相似三角形的定理解决问题。
二、教学重点与难点重点1.相似三角形的定义；2.相似三角形的性质。
难点运用相似三角形的定理解决问题。
三、教学过程1. 概念解释首先，我们需要了解相似三角形的概念。
相似三角形的定义为：如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形是相似的。
相似的记作“$\\triangleABC\\sim\\triangle A'B'C'$”。
2. 相似三角形的性质接着，我们来了解相似三角形的一些性质。
引理一角角相等定理：如果两个三角形的两个角相等，则这两个三角形是相似的。
引理二三角形内角和定理：一个三角形的三个内角的度数和为 $180^{\\circ}$，两个角相等的两个三角形的第三个角一定相等。
引理三全等三角形的对应线段相等。
定理一边比定理：在相似三角形中，对应边的比例相等。
定理二高比定理：在相似三角形中，对应高的比例相等。
定理三面积比定理：在相似三角形中，对应边的比例的平方等于对应面积的比例。
3. 练习与拓展下面，我们来进行一些练习。
练习一设 $\\angle A,\\angle B,\\angle C$ 分别是 $\\triangle ABC$ 的三个角，D是将 $\\angle A$ 平分的直线，$DE \\perp BC( E\\in BC)$，F是DE上的一点，且 $AF\\perp DE$，试证：AC:AB=EF:BD。
解答：$\\because \\angle ADE = \\angle AED = \\frac{1}{2}\\angle A,\\angle AEF=90^{\\circ}-\\angle ADE$$\\therefore \\angle AEF = 90^\\circ - \\frac{1}{2}\\angle A$$\\because \\angle ABC = \\angle AED,\\ \\angle ACB=\\angle ADE$$\\therefore \\triangle ADE\\sim\\triangle ABC$$\\because\\frac{AC}{AB}=\\frac{DE}{AE}=\\frac{DE}{AD}=\\frac{EF+FD}{BD}$ $\\therefore AC : AB = EF : BD$练习二在 $\\triangle ABC$ 中，$AB=AC,BD\\perp AC$，点E,F分别在BD,AC上，满足 $AF=2EF,\\ DE\\parallel CF$，求证：$\\triangle BDE\\sim\\triangle CAF$。
北师大版九年级数学上册《探索三角形相似的条件》图形的相似(第2课时)
2. 易错警示：运用该定理证明相似时，一定要注意边角
的关系，角一定是两组对应边的夹角．类似于判定三
角形全等的SAS方法．
（来自《点拨》）
第五页，共十七页。
知1－讲
例1 如图，D、E分别是△ABC的边AC、AB上的点，
AD
3 ,
AE=1.5，AC=2,BC=3，且 AB 求4DE的长.
第六页，共十七页。
要使△AADDE和A△EABC相似A，D AE
则有3
即8
AC x
16
AB或者3
或者 16
AB x
8.
A，C
解得x＝6或x＝1.5.
所以AE的长为6或1.5.
第十三页，共十七页。
知2－讲
知2－练
1
如图，已知
AD AE
AACB，AD＝3
cm，AC＝6
cm，BC＝
8 cm，则DE的长为________cm.
∠BAC是公共角，要使△ADE 和△ABC相似，则有AD AE ，即
AC AB
解得x＝6.所以AE的长为6.
3 .x
8 16
第十二页，共十七页。
错解分析：已知有一对角相等，要使这两个三角形相似，
夹这个角的两边的比必须相等．但两边的对应
关系无法确定，所以应分两种情况考虑．
正解： 设AE的长为x. ∠DAE与∠BAC是公共角，
解：∵AE=1.5，AC=2.
AE 3 , AC 4
AD 3 , AB 4
AD AE . AB AC
又∵∠EAD=∠CAB,
∴△ADE∽△ABC (两边成比例且夹角相等的两
个DB三CE 角 AA形DB相似43 .).
知1－讲
九年级数学上册(北师大版)同步课件：4.4探索三角形相
那么我们可以惊奇的发现，
BC BE
=
AB
B。C 点E是AB的
黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？
新课讲解
1.点E是AB的黄金分割点吗？
A
E
B 2.矩形ABCD的宽与长的比是
黄金比吗？
D
F
BC = AB
BE
BC
C
BC = BE
AB
BC
AE = BE
AB
AE
点E是AB的黄金分割点
AE （即 BC）是黄金比
1.经过点B作BD⊥AB,使
BD 1 AB. 2
D Eபைடு நூலகம்
2.连接AD,在AD上截 取DE=DB.
3.在AB上截取AC=AE.
A
C
B
故点C即为所求.
新课讲解
巴台农神庙（Parthenom Temple）
A
E
B
D
F
C
如果用图中的虚线表示的矩形画成如图所示的矩形ABCD，以
矩形ABCD的宽为边在其内部作正方形AEFD，
探索相似三角形的条件 （2）
新课引入
三角形相似的条件： 1、三角对应相等、三边对应成比例（定义） 2、两角对应相等 3、两边对应成比例及夹角相等
新课讲解 判定三角形相似还有没
有其它条件呢？
AB BC
CA
•画△ABC与△A′B′CA′B， 使BC ， CA
和
• 都等于给定的值k.
•（1）设法比较∠A与∠A′的大小。
AC AB
BC AC
，得AC2=AB·BC.
设AB=1，AC=x，则BC=1-x. ∴x2=1×(1-x)，
九年级数学上册第四章图形的相似4探索三角形相似的条件判定三角形相似的方法全攻略素材北师大版
判定三角形相似的方法全攻略判定三角形相似的方法有五种：一、由定义判定:三个角对应相等，三边对应成比例的两三角形相似.二、由三边的比判定三角形相似1、判定定理:如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.简单地说三边对应成比例的两个三角形相似。
2、推理形式：如图1所示，在△ABC 和△C B A '''中，如果A C CA CB BC B A AB '=''=''，那么△ABC∽△C B A '''.类比拓展：由三边的比判定三角形相似的方法与判定三角形全等的“SSS”方法类似，只是把三边对应相等,改为三组对应边成比例即可.例1 如图2，小正方形的边长均为1，则下图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的为( )解析：由于正方形边长均为1，在△ABC 中，AC=2，BC=2，AB=10;图A 中三角形三边长为1，,22,5而与△ABC 三边的比分别为,521022,25,21=显然它们不相等;图B 中三角形三边长为1，,5,2与△ABC 的三边的比分别为,22105,22,2221==' 图1A 图2 D故对应边的比相等；同样的道理可以得出在图C 和图D 中的两个三角形三边分别与△ABC 三边的比不相等.故选B.三、由两边和夹角判定三角形相似1、判定方法：如果两个三角形的两组对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形形似。
简单说成,两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
2、推理形式：如图1，在△ABC 和△C B A '''中，如果,,A A A C CA B A AB '∠=∠'=''那么△ABC∽△C B A '''.例2 如图3，在4×4的正方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.（1）填空：∠ABC=_____，BC=_____;(2）判断△ABC 与△DEF 是否相似,并证明你的结论。