工程11-12高数试题试题A答案

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临沂大学2011－2012学年度第一学期
《高等数学Ⅱ》试题(A 卷)评分标准
及其参考答案
(适用于工程学院2011级机械设计及其自动化专业本科学生，闭卷考试，时间
120分钟)
一、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 1．{0,10,5}；
2．1； 3
． 1
0 (,)⎰⎰y
dy x y dx ；
4．2-
yk ； 5．32πR ； 6．1/2． 二、选择题（本题共6个小题，每小题4分，共24分．） 1．B 2.C 3.B 4.C 5.A 6.D
说明：本参考答案及评分标准对每一个题目仅列出了有限的一、二种解法及评分标准，未列出的其他解法可参考本标准酌情给予评分。

三、计算与解答题(本题共6小题，每小题6分，共36分)
1.设++=z x y z yf y 222()，其中f 可导.试求∂∂∂∂z z
x y
,
解 设222(,,)()=++-z
x y z F yf y z y x ………………………1分
则 x y z z z z
F x F y f yf y y y
z F z yf y y
'''==-+''=-22,2()(),
1
2().
………………………4分
故x z
F z
x
x F z
z f y ∂=-=-∂'-2,2()
………………………………5分
y z z z
y yf zf F z y y y F z
y z f y
'-+∂=-=-∂'-22()().[2()]
………………………………6分 2. 求曲面=+z x y 22在点(1,1,2)处的切平面及法线方程.
解 由题意得切平面的法向量为
(1,1,2){2,2,1}|{2,2,1}n x y =-=-
……………………………………… 2分
因此所求切平面方程为x y z -+---=2(1)2(1)(2)0，………………5分
法线方程为112
221
---==
-x y z ……………………………………………6分 3.计算二重积分max{,}⎰⎰x y D
e dxdy ,其中=≤≤≤≤D x y x y {(,)|01,01}
解1
2
max{,}x y x y D
D D e dxdy e dxdy e dxdy =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰……………………………………4分
111
=2
x x y x
dx e dy dx e dy
+=⎰⎰⎰⎰……………………………5分
……………………………6分
4 计算曲面积分∑
⎰⎰xyzdxdy ，其中∑是球面++=x y z 2221外侧在
0,0x y ≥≥的部分
解 ∑
∑∑=
+⎰⎰⎰⎰⎰⎰xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdy 1
2
……………………………2分
=
-⎰⎰
⎰⎰x
y
x y
D D
xy dxdy (
……4分
==⎰⎰xy
D 22/15……………………………6分
5. 见《高等数学》P189页
四、解答题(本题共2小题，每小题8分，满分16分) 1. 将函数()1(0)f x x x π=+≤≤展开成余弦级数
解 对函数进行偶延拓，则
ππ=
+=+⎰
a x dx 2
00
2
(1)2………………………………………………2分
π
π
=
=
+⎰
⎰
n a f x nxdx x nxdx 2
2
2
2
()cos (1)cos …………………………5分
02
2(1)sin cos []|x nx nx n n ππ+=
+
2 220,
2,4,62(cos 1).4,1,3,5n nx n n n ππ
=⎧⎪=-=⎨-=⎪⎩ ……7分 所以：2241111cos cos3cos5(0)2
35x x x x x π
ππ⎛⎫+=
+-
+++≤≤ ⎪⎝⎭
. ………………………………………8分
（1） 求幂级数∑∞
=+11
n n n
x 的和函数。

令∑∞
==1
1)(n n
n x x S ，则)(1x S 的定义域为)1,1[-，……………………2分
且)()(1x xS x S =。

任给)1,1[-∈x ，由逐项求导公式得，
)1,1(,11)(1111
-∈-=='⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛='∑∑∞
=-∞
=x x x n
x x S n n n n。

……………………4分 因此，)1,1(),1ln(11
)0()()(0111-∈--=-=-=⎰x x dt t
S x S x S x 。

所以，)1,1(),1ln()()(1-∈--==x x x x xS x S 。

……………………6分 由)1,1[)(-∈C x S 得，2ln )]1ln([lim )(lim )1(1
1
=--==-++-→-→x x x S S x x …………8分
五、应用题(本题满分12分)
已知曲线22220:,35
⎧+-=⎨++=⎩x y z C x y z 求C 点到xOy 坐标面最远和最近点.
解： C 点到xOy 坐标面的距离为2
z ，令拉格朗日函数…………2分
2222(,,,,)(2)(35)λμλμ=++-+++-L x y z z x y z x y z …………4分 则
2222020
243020350
λμλμλμλμ=+==+==-+==+-==++-=x y z L x x L y y L z z L x y z L x y z …………8分 所以1;5x y z x y z =====-=…………10分
则C 点到xOy 坐标面最远和最近点分别为（1,1,5）及（1,1,5）…………12分。