高考数学大一轮复习第八章平面解析几何8.8直线与圆锥曲线的位置关系课件文
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2015年高考数学一轮总复习精品课件：第八章+解析几何 8.8 直线与圆锥曲线(共33张PPT)
6b
2 6b
4 3
y=± ,于是
=
,解得 b= 2,又 a2-c2=b2,从而 a= 3,c=1,
3
3
3
2
2
所以椭圆的方程为 3 + 2 =1.
考点一
考点二
考点三
考点四
第十四页，编辑于星期五：十一点 十一分。
探究突破
(2)设点 C(x1,y1),D(x2,y2),由 F(-1,0)得直线 CD 的方程为 y=k(x+1),由方
锥曲线是抛物线时,直线 l 与抛物线的对称轴平行(或重合).
第三页，编辑于星期五：十一点 十一分。
4
梳理自测
②若 a≠0,设 Δ=b2-4ac.
> 0 时,直线和圆锥曲线相交于不同两点;
b.Δ = 0 时,直线和圆锥曲线相切于一点;
c.Δ < 0 时,直线和圆锥曲线没有公共点.
a.Δ
想一想当直线与圆锥曲线相交时,是否必有两个公共点?
第十页，编辑于星期五：十一点 十一分。
11
探究突破
考点一 直线与圆锥曲线的位置关系
【例 1】求证:不论 m 取何值,直线 l:mx-y-m+1=0
2
与椭圆
16
2
+ =1 总有
9
交点.
证明:由
-- + 1 = 0,
2பைடு நூலகம்
16
2
+9
=1
消去 y
2
(-+1)2
得16 +
=1.整理,得
4
A,B 两点,则弦
.
解析:右焦点( 3,0),直线 AB 的方程为 y=x- 3,由
2017届高考数学大一轮总复习 第八章 平面解析几何 8.8.1 直线与圆锥曲线的位置关系课件 文
x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 4 ＋ 2 ＝1。
解得 b＝ 2，
10 (2)当△AMN 的面积为 3 时，求 k 的值。
kx－1， y＝ 【解】 由x2 y2 得 4 ＋ 2 ＝1， (1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0。 设点 M，N 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则 y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)。 2k2－4 4k2 x1＋x2＝ ，x x ＝ ， 1＋2k2 1 2 1＋2k2 所以|MN|＝ x2－x12＋y2－y12
(2) 当 a ＝ 0 ， b≠0 时，即得到一个一次方程，则直线 l 与圆锥曲线 C 相
交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的 平行 ；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系 位置关系是_______ 平行或重合 。 是_____________
2．圆锥曲线的弦长 (1)设斜率为 k(k≠0)的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A， B 两点， A(x1， y1)， B(x2，y2)，则
个公共点， 故此时直线 l 与轨迹 C 恰好有三个公共点。
1 综合ⅰ)，ⅱ)可知，当 k∈(－∞，－1)∪ 2，＋∞ ∪{0}时，直线 l 与轨
迹 C 恰好有一个公共点； 1 1 当 k∈－2，0∪－1，2 时，直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点； 1 1 当 k∈－1，－2∪0，2 时，直线 l 与轨迹 C 恰好有三个公共点。
的方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式Δ>0。( × ) 解析 错误。应是以l为垂直平分线的线段AB所在的直线l′与抛物线方
程联立，消元后所得一元二次方程的判别式Δ>0。
解得 b＝ 2，
10 (2)当△AMN 的面积为 3 时，求 k 的值。
kx－1， y＝ 【解】 由x2 y2 得 4 ＋ 2 ＝1， (1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0。 设点 M，N 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则 y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)。 2k2－4 4k2 x1＋x2＝ ，x x ＝ ， 1＋2k2 1 2 1＋2k2 所以|MN|＝ x2－x12＋y2－y12
(2) 当 a ＝ 0 ， b≠0 时，即得到一个一次方程，则直线 l 与圆锥曲线 C 相
交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的 平行 ；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系 位置关系是_______ 平行或重合 。 是_____________
2．圆锥曲线的弦长 (1)设斜率为 k(k≠0)的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A， B 两点， A(x1， y1)， B(x2，y2)，则
个公共点， 故此时直线 l 与轨迹 C 恰好有三个公共点。
1 综合ⅰ)，ⅱ)可知，当 k∈(－∞，－1)∪ 2，＋∞ ∪{0}时，直线 l 与轨
迹 C 恰好有一个公共点； 1 1 当 k∈－2，0∪－1，2 时，直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点； 1 1 当 k∈－1，－2∪0，2 时，直线 l 与轨迹 C 恰好有三个公共点。
的方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式Δ>0。( × ) 解析 错误。应是以l为垂直平分线的线段AB所在的直线l′与抛物线方
程联立，消元后所得一元二次方程的判别式Δ>0。
第8章平面解析几何第8节 直线和圆锥曲线的位置关系课件 高考数学一轮复习
内容索引
程为 y＝± 2x，故 A 错误；对于 B，由ac22＝3 可得 e＝ 3，故 B 正确；对 于 C，点 A 到两渐近线距离的乘积 d1d2＝|bxA－ ayaA2|＋·|bbx2A＋2 ayA|＝ac2b2 2＝b32，
故 C 正确；对于 D，kOA＝－2ba＝－ 22，kAB＝ba＝ 2，kOA·kAB＝－1，故
线 l 距离的最大值和最小值就是直线 l：y＝x＋3 5分别与两条平行线 x－y
± 5＝0 之间的距离，故最小值是|3
5－ 2
5|＝
10，最大值是|3
5＋ 2
5|＝Leabharlann 2 10.【答案】 2 10 10
内容索引
思考1►►► 如何处理直线与圆锥曲线的位置关系？
内容索引
1. 研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为直线方程与圆锥 曲线方程组成的方程组解的个数．步骤如下：
1－k2≠0， k<0， Δ＝16k2－41－k2×－10＞0， 则x1＋x2＝1－4kk2＞0， x1x2＝1－－1k02＞0，
解得－ 315＜k＜－1，故实数 k
的取值范围是－ 315，－1.
【答案】
－
315，－1
内容索引
3 已知椭圆x42＋y2＝1，直线 l：y＝x＋3 5，则椭圆 C 上的点到 直线 l 距离的最大值为________，最小值为________.
内容索引
题组二 弦长问题 2 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆ax22＋by22＝ 1(a＞b＞0)的离心率为12，过椭圆右焦点 F 作两条互相垂直 的弦 AB 与 CD.当直线 AB 的斜率为 0 时，AB＝4. (1) 求椭圆的方程；
(2) 若 AB＋CD＝478，求直线 AB 的方程．
程为 y＝± 2x，故 A 错误；对于 B，由ac22＝3 可得 e＝ 3，故 B 正确；对 于 C，点 A 到两渐近线距离的乘积 d1d2＝|bxA－ ayaA2|＋·|bbx2A＋2 ayA|＝ac2b2 2＝b32，
故 C 正确；对于 D，kOA＝－2ba＝－ 22，kAB＝ba＝ 2，kOA·kAB＝－1，故
线 l 距离的最大值和最小值就是直线 l：y＝x＋3 5分别与两条平行线 x－y
± 5＝0 之间的距离，故最小值是|3
5－ 2
5|＝
10，最大值是|3
5＋ 2
5|＝Leabharlann 2 10.【答案】 2 10 10
内容索引
思考1►►► 如何处理直线与圆锥曲线的位置关系？
内容索引
1. 研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为直线方程与圆锥 曲线方程组成的方程组解的个数．步骤如下：
1－k2≠0， k<0， Δ＝16k2－41－k2×－10＞0， 则x1＋x2＝1－4kk2＞0， x1x2＝1－－1k02＞0，
解得－ 315＜k＜－1，故实数 k
的取值范围是－ 315，－1.
【答案】
－
315，－1
内容索引
3 已知椭圆x42＋y2＝1，直线 l：y＝x＋3 5，则椭圆 C 上的点到 直线 l 距离的最大值为________，最小值为________.
内容索引
题组二 弦长问题 2 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆ax22＋by22＝ 1(a＞b＞0)的离心率为12，过椭圆右焦点 F 作两条互相垂直 的弦 AB 与 CD.当直线 AB 的斜率为 0 时，AB＝4. (1) 求椭圆的方程；
(2) 若 AB＋CD＝478，求直线 AB 的方程．
高考数学一轮总复习第8章平面解析几何8.8曲线与方程课件理01.ppt
解 由题知|CA|＋|CB|＝|CP|＋|CQ|＋|AP|＋|BQ|＝2|CP| ＋|AB|＝4>|AB|，所以曲线M是以A，B为焦点，长轴长为4 的椭圆(挖去与x轴的交点)．
设曲线M：ax22＋by22＝1(a>b>0，y≠0)，
则a2＝4，b2＝a2－|A2B|2＝3， 所以曲线M：x42＋y32＝1(y≠0)为所求．
触类旁通 代入法求轨迹方程的4个步骤
(1)设出所求动点坐标P(x，y)． (2)寻求所求动点P(x，y)与已知动点Q(x′，y′)的关 系． (3)建立P，Q两坐标间的关系，并表示出x′，y′. (4)将x′，y′代入已知曲线方程中化简求解．
【变式训练2】 [2017·济南模拟]已知圆C方程为：x2＋
(2)由椭圆C2：x92＋y2＝1，知A1(－3,0)，A2(3,0)， 由曲线的对称性及A(x0，y0)，得B(x0，－y0)， 设点M的坐标为(x，y)， 直线AA1的方程为y＝x0y＋0 3(x＋3)，① 直线A2B的方程为y＝x－ 0－y03(x－3)，②
由①②得y2＝x－ 20－y209(x2－9)．③ 又点A(x0，y0)在椭圆C上，故y02＝1－x902.④ 将④代入③，得x92－y2＝1(x<－3，y<0)． 因此点M的轨迹方程为x92－y2＝1(x<－3，y<0)．
第8章 平面解析几何 第8讲 曲线与方程
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识] 考点1 曲线与方程 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集 合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x， y)＝0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 那么，这个方程叫做曲 __线 __的 __方 __程 __；这条曲线叫做方程 的曲线．
高三理科数学一轮复习 第八章 解析几何 第八节 直线与圆锥曲线的位置关系课件
B.2
C.3
D.4
2.C
【解析】由题意知直线 AB 的方程为 y=
3
������-
������ 2
, 即为������ =
������ 3
+
������ 2
,
代入抛物线方程整理得
3������2 −
2������������ −
3������2 = 0, 解得������������ =
3������, ������������
7
8
9
10
11
直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法以及注意点 (1)判定方法:一般是代数法,即将直线方程代入圆锥曲线方程,消去一个变量得到关于另一个变量的方程,进 而判定该方程解的个数,方程组有几组解,直线与圆锥曲线就有几个交点.
(2)注意点:①联立直线与圆锥曲线的方程消元后,应注意讨论二次项系数是否为零的情况; ②判别式的作用是限定所给参数的范围,以此为依据确定哪些根是增根,从而判断取舍.
典例1 (2015·四川高考)设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M为线段
AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是 ( )
A.(1,3) B.(1,4)
C.(2,3)
D.(2,4)
【解题思路】由抛物线与圆的对称性知,满足条件的直线如图所示,其中 两条是与x轴垂直的直线l1,l2,另两条直线为图中的l3,l4.当存在l1,l2使其满 足条件时,则有0<r<5.当存在l3,l4使其满足条件时,设其方程为 y=kx+m(k≠0),代入y2=4x,得k2x2+(2km-4)x+m2=0,则Δ=(2km-4)2-4k2m2>0,所 以km<1 ①.设A(x1,y1),B(x2,y2),
高考数学一轮复习直线与圆锥曲线的位置关系课件理
4．椭圆 ax2＋by2＝1 与直线 y＝1－x 交于 A、B 两点，若
过原点与线段 AB 中点的直线的倾斜角为 30°，则ab的值为( )
3
3
A. 4 B. 3
3 C. 2 D. 3
解析：设 AB 的中点为 M(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2, y2)，
由点差法得yx11－ －yx22＝－abxy00＝－1，
解析：方法 1：设以 Q 为中点的弦 AB 端点坐标为 A(x1， y1)，B(x2，y2)，则有 y12＝8x1，y22＝8x2，
两式相减，得(y1－y2)(y1＋y2)＝8(x1－x2)． 又 x1＋x2＝8，y1＋y2＝2， 则 k＝xy22－－xy11＝y1＋8 y2＝4，
∴所求直线 AB 的方程为 y－1＝4(x－4)， 即 4x－y－15＝0. 方法 2：设弦 AB 所在的直线方程为 y＝k(x－4)＋1，
由yy＝ 2＝k8xx－4＋1， 消去 x 整理，得 ky2－8y－32k＋8＝0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由韦达定理得 y1＋y2＝8k. 又∵Q 是 AB 中点，∴y1＋2 y2＝1，
∴8k＝2，∴k＝4. ∴弦 AB 所在直线方程为 4x－y－15＝0.
点评：有关弦中点轨迹、中点弦所在直线的方程，中点坐 标的问题，有时采用“平方差”法，可优化解题方法，简化运 算．
＝2 5m＋20.
(3)设线段 AB 中点坐标为(x，y)，则 x＝x1＋2 x2＝－2， y＝y1＋2 y2＝2x1＋2 x2＝－4. ∴AB 中点坐标为(－2，－4).
题型三 圆锥曲线的中点弦问题 例 3 过点 Q(4,1)作抛物线 y2＝8x 的弦 AB，恰被 Q 所平分， 求 AB 所在直线的方程．
2019届高考数学一轮复习第八章解析几何第8节直线与圆锥曲线的位置关系课件新人教A版
答案：－4
1 1 x2 2 5．(导学号 14576785)椭圆 2 ＋y ＝1 的弦被点2，2平分，则这
条弦所在的直线方程是
________.Fra bibliotek解析：设弦的两个端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1＋x2＝1，y1＋y2＝1.
2 x2 x 1 2 2 ∵A，B 在椭圆上，∴ 2 ＋y2 1＝1， ＋y2＝1. 2
x1＋x2x1－x2 两式相减得 ＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0， 2 y1－y2 x1＋x2 1 即 ＝－ ＝－2， x1－x2 2y1＋y2 1 即直线 AB 的斜率为－2.
1 1 1 ∴直线 AB 的方程为 y－2＝－2x－2， 即 2x＋4y－3＝0.
答案：2x＋4y－3＝0
考点一
直线与圆锥曲线的位置关系(自主练透)
1．(导学号 14576786)若过点(0,1)作直线，使它与抛物线 y2＝4x 仅有一个公共点，则这样的直线有( A．1 条 C．3 条 解析：C ) B．2 条 D．4 条 [结合图形分析可知，满足题意的直线共有 3 条：直线
x＝0，过点(0,1)且平行于 x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的 直线(非直线 x＝0)，故选 C.]
4x2－4(1－k)x＋k2＝0， 1 Δ＝16(1－k) －16k ＝16(1－2k)＞0，∴k＜2.
2 2
.
解析：直线方程与抛物线方程联立，消去 y 得：
k2 所以 x1＋x2＝1－k，x1x2＝ 4 . 依题意得：3 5＝ 1＋22|x1－x2|， 即 9＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(1－k)2－k2，解得：k＝－4.
2
l 与 C1 的 交点 无公共点 一个交点
1 1 x2 2 5．(导学号 14576785)椭圆 2 ＋y ＝1 的弦被点2，2平分，则这
条弦所在的直线方程是
________.Fra bibliotek解析：设弦的两个端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1＋x2＝1，y1＋y2＝1.
2 x2 x 1 2 2 ∵A，B 在椭圆上，∴ 2 ＋y2 1＝1， ＋y2＝1. 2
x1＋x2x1－x2 两式相减得 ＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0， 2 y1－y2 x1＋x2 1 即 ＝－ ＝－2， x1－x2 2y1＋y2 1 即直线 AB 的斜率为－2.
1 1 1 ∴直线 AB 的方程为 y－2＝－2x－2， 即 2x＋4y－3＝0.
答案：2x＋4y－3＝0
考点一
直线与圆锥曲线的位置关系(自主练透)
1．(导学号 14576786)若过点(0,1)作直线，使它与抛物线 y2＝4x 仅有一个公共点，则这样的直线有( A．1 条 C．3 条 解析：C ) B．2 条 D．4 条 [结合图形分析可知，满足题意的直线共有 3 条：直线
x＝0，过点(0,1)且平行于 x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的 直线(非直线 x＝0)，故选 C.]
4x2－4(1－k)x＋k2＝0， 1 Δ＝16(1－k) －16k ＝16(1－2k)＞0，∴k＜2.
2 2
.
解析：直线方程与抛物线方程联立，消去 y 得：
k2 所以 x1＋x2＝1－k，x1x2＝ 4 . 依题意得：3 5＝ 1＋22|x1－x2|， 即 9＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(1－k)2－k2，解得：k＝－4.
2
l 与 C1 的 交点 无公共点 一个交点
高考数学一轮总复习教学课件第八章 平面解析几何第8节 直线与圆锥曲线的位置关系
所以l的方程为x=-1,A(-1,0),
设过点A的抛物线的一条切线为x=my-1,m>0,
= -,
由
= ,
消x得y2-4my+4=0,
所以Δ=(-4m)2-4×4=0,解得m=1,
所以y2-4y+4=0,解得y=2,即yB=2,
同理当m<0时,|yB|=2,
所以△OAB的面积为 ×1×2=1.故选 A.
所以|CD|= +
×|xC-xD|=
× =
.
考点三
中点弦问题
[例3] 设P1和P2是双曲线
- =1 上的两点,线段P1P2的中点为M,
直线P1P2不经过坐标原点O.
(1)若直线P 1 P 2 和直线OM的斜率都存在且分别为k 1 和k 2 ,求证:
代入双曲线方程可解得 P2(- ,-),注意到 P1,P2 在直线 F1F2 的两侧,
所以四边形 P1F1P2F2 的面积为 |F1F2|·|y1-y2|= × =
.
解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路
(1)根与系数的关系法:联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组,消元
得到一元二次方程后,由根与系数的关系及中点坐标公式求解.
C.8
)
D.16
= -,
解析:联立
= ,
消去y并整理得x2-6x+1=0,Δ>0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6,注意到直线l恰好过抛物线的焦点,
所以|AB|=x1+x2+2=8.故选C.
设过点A的抛物线的一条切线为x=my-1,m>0,
= -,
由
= ,
消x得y2-4my+4=0,
所以Δ=(-4m)2-4×4=0,解得m=1,
所以y2-4y+4=0,解得y=2,即yB=2,
同理当m<0时,|yB|=2,
所以△OAB的面积为 ×1×2=1.故选 A.
所以|CD|= +
×|xC-xD|=
× =
.
考点三
中点弦问题
[例3] 设P1和P2是双曲线
- =1 上的两点,线段P1P2的中点为M,
直线P1P2不经过坐标原点O.
(1)若直线P 1 P 2 和直线OM的斜率都存在且分别为k 1 和k 2 ,求证:
代入双曲线方程可解得 P2(- ,-),注意到 P1,P2 在直线 F1F2 的两侧,
所以四边形 P1F1P2F2 的面积为 |F1F2|·|y1-y2|= × =
.
解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路
(1)根与系数的关系法:联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组,消元
得到一元二次方程后,由根与系数的关系及中点坐标公式求解.
C.8
)
D.16
= -,
解析:联立
= ,
消去y并整理得x2-6x+1=0,Δ>0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6,注意到直线l恰好过抛物线的焦点,
所以|AB|=x1+x2+2=8.故选C.
高考数学一轮复习第八章《平面解析几何》第八节直线与圆锥曲线的位置关系第1课时直线与椭圆的位置关系
考点二 弦长及中点弦问题 角度1 弦长问题
角度2 中点弦问题
例2
D
方法感悟 解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程 联立，应用根与系数的关系，解决相关问题.涉及中点弦的问题用“点差法”解决往 往会更简单.
迁移应用
AHale Waihona Puke 考点三 直线与椭圆的综合问题
第八节 直线与圆锥曲线的位置关系
第1课时 直线与椭圆的位置关系
课标要求 1.会判断直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系；能够根据位置关系求所含参数 的值（或范围）. 2.会利用根与系数的关系，研究弦长、中点弦、垂直关系等几何关系. 3.理解“设而不求”的思想，解决直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系的综合应用.
（1） 求椭圆的方程；
迁移应用
必备知识·整合
〔知识梳理〕
〔课前自测〕
1. 概念辨析（正确的打“√”,错误的打“×”）. （1） 过椭圆外一点只能作一条直线与椭圆相切.( × )
×
√ √
A. 相交
B. 相切
C. 相离
A D. 不确定
A
BCD
关键能力·突破
考点一 直线与椭圆的位置关系
B
C
A
方法感悟 研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组的 解的个数，但对于选择题、填空题，常根据几何条件，利用数形结合的方法求解.
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令x＝3，得点M3，y1＋x1－x1－2 3. 由xy2＝＋k3xy－2＝13， 得(1＋3k2)x2－6k2x＋3k2－3＝0. 所以x1＋x2＝1＋6k32k2，x1x2＝31k＋2－3k32. 直线BM的斜率kBM＝y1＋x1－3x1－－2 x32－y2.
因为kBM－1 ＝kx1－1＋x1－3－k3－x2－x21x1x－1－22－3－x2x1－2 ＝k－1[－3－x1xx22＋x21－x1＋2 x2－3] ＝k－1－13＋3－k23x＋k223x＋1－11＋22 k32k2－3＝0， 所以kBM＝1＝kDE. 所以BM∥DE.
(2)如图，由PF1⊥PQ，|PQ|＝λ|PF1|， 得|QF1|＝ |PF1|2＋|PQ|2＝ 1＋λ2|PF1|.
由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a， 进而|PF1|＋|PQ|＋|QF1|＝4a.
于是(1＋λ＋ 1＋λ2)|PF1|＝4a， 解得|PF1|＝1＋λ＋4a 1＋λ2， 故|PF2|＝2a－|PF1|＝2a1λ＋＋λ＋1＋1＋λ2－λ21. 由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝4c2， 从而1＋λ＋4a 1＋λ22＋2a1λ＋＋λ＋1＋1＋λ2－λ212＝4c2，
±
6，32，所以49a2＋b62＝1.②
联立①，②得a2＝9，b2＝8.
故C2的方程为y92＋x82＝1.
(2)如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)．
因A→C与B→D同向，且|AC|＝|BD|， 所以A→C＝B→D，从而x3－x1＝x4－x2，
得(9＋8k2)x2＋16kx－64＝0.
而x3，x4是这个方程的两根， 所以x3＋x4＝－9＋168kk2，x3x4＝－9＋648k2.⑤
将④，⑤代入③，得16(k2＋1)＝91＋628kk222＋94＋×86k42， 即16(k2＋1)＝162× 9＋98kk22＋2 1.
所以(9＋8k2)2＝16×9，解得k＝± 46，
(1)求C2的方程； (2)若|AC|＝|BD|，求直线l的斜率．
【解】 (1)由C1：x2＝4y知其焦点F的坐标为(0,1)，因为 F也是椭圆C2的一个焦点，所以
a2－b2＝1.①
又C1与C2的公共弦的长为2 6 ，C1与C2都关于y轴对称， 且C1的方程为x2＝4y，由此易知C1与C2的公共点的坐标为
突破考点01 突破考点02 突破考点03
突破考点04 高考真题演练
课时作业
突破考点 01
直线与圆锥曲线的位置关系
（重点得分型——师生共研）
【调研1】 (2015·湖南卷)已知抛物线C1：x2＝4y的焦点F
也是椭圆C2：
y2 a2
＋
x2 b2
＝1(a>b>0)的一个焦点．C1与C2的公共弦
的长为2 6 .过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于 C，D两点，且A→C与B→D同向．
直线AE的方程为y－1＝(1－y1)(x－2)． 令x＝3，得M(3,2－y1)． 所以直线BM的斜率kBM＝2－3y－1＋1 y1＝1.
(3)直线BM与直线DE平行．证明如下： 当直线AB的斜率不存在时，由(2)可知kBM＝1. 又因为直线DE的斜率kDE＝12－ －01＝1， 所以BM∥DE. 当直线AB的斜率存在时， 设其方程为y＝k(x－1)(k≠1)． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则直线AE的方程为y－1＝yx11－－12(x－2)．
(2)若|PQ|＝λ|PF1|，且34≤λ<43，试确定椭圆离心率e的取值
范围．
【解】 (1)由椭圆的定义，2a＝|PF1|＋|PF2|＝(2＋ 2 )＋ (2－ 2)＝4，
故a＝2. 设椭圆的半焦距为c，由已知PF1⊥PF2， 因此2c＝|F1F2|＝ |PF1|2＋|PF2|2 ＝ 2＋ 22＋2－ 22＝2 3， 即c＝ 3，从而b＝ a2－c2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x42＋y2＝1.
即直线l的斜率为±
Hale Waihona Puke 6 4.直线与圆锥曲线的位置关系都会转化为一 元二次方程根与系数的关系问题，由题目中的条件，合理转 化为根与系数间的关系，通过方程求解，并没有太多技巧， 只是运算量稍大些，请同学们多注意自己的运算．
(2015·北京卷)已知椭圆C：x2＋3y2＝3，过点D(1,0)且不过 点E(2,1)的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x＝3交 于点M.
综上，可知直线BM与直线DE平行．
突破考点 02
圆锥曲线中的最值与范围问题
（重点得分型——师生共研）
【调研2】
(2015·重庆卷)如图，椭圆
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a>b>0)
的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两 点，且PQ⊥PF1.
(1)若|PF1|＝2＋ 2，|PF2|＝2－ 2，求椭圆的标准方程；
即x1－x2＝x3－x4， 于是(x1＋x2)2－4x1x2＝(x3＋x4)2－4x3x4.③ 设直线l的斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1. 由yx＝2＝k4xy＋1， 得x2－4kx－4＝0. 而x1，x2是这个方程的两根， 所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.④
y＝kx＋1， 由x82＋y92＝1
(1)求椭圆C的离心率； (2)若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率； (3)试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．
解：(1)椭圆C的标准方程为x32＋y2＝1.
所以a＝ 3，b＝1，c＝ 2.
所以椭圆C的离心率e＝ac＝
6 3.
(2)因为AB过点D(1,0)且垂直于x轴，所以可设A(1，y1)， B(1，－y1)，
第八章
平面解析几何
第八节 直线与圆锥曲线的位置关系
考纲下载 1．掌握直线与椭圆、抛物线的位置关系． 2．了解圆锥曲线的简单应用.
请注意 圆锥曲线的热点内容涉及直线与圆锥曲线的位置关 系、弦长问题、最值问题、定点定值的探索问题等.考查的 知识点多，能力要求高，尤其是运算变形能力.同时着重考 查学生的分析问题与解决综合问题的能力，是高考中区分 度较大的题目.高考在各种题型中都涉及，而且常作为压轴 题出现，以考查学生综合运用知识解决问题的能力.