辽宁省大连四十八中2015届高三数学上学期第一次摸底试卷 文(含解析)

辽宁省大连四十八中2015届高三上学期第一次摸底数学试卷（文 科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.每题只有一个选项符合题意）1．（5分）设U=R ，M={x|x 2﹣x≤0}，函数f （x ）=的定义域为D ，则M∩（∁U D ）=（）A ． [0，1）B ． （0，1）C ． [0，1]D ． {1}2．（5分）设a=log 0.34，b=log 43，c=0.3﹣2，则a 、b 、c 的大小关系是（）A ． a ＜b ＜cB ． a ＜c ＜bC ． c ＜b ＜aD ． b ＜a ＜c3．（5分）已知，，则sin （α+π）等于（）A ．B ．C ．D ．4．（5分）与﹣525°的终边相同的角可表示为（）A ． 525°﹣k•360°（k ∈Z ）B ． 165°+k•360°（k ∈Z ）C ． 195°+k•360°（k ∈Z ）D ． ﹣195°+k•360°（k ∈Z ）5．（5分）在△ABC 中，若tanAtanB=tanA+tanB+1，则cosC=（）A ．B ．C ．D ．6．（5分）下列命题错误的是（）A ． 对于命题p ：∃x ∈R ，使得x 2+x+1＜0，则￢p 为：∀x ∈R ，均有x 2+x+1≥0B ． 命题“若x 2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x 2﹣3x+2≠0”C ． 若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题D ． “x＞2”是“x 2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件7．（5分）已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）=2+f （）log 2x ，则f （﹣2）=（）A ． 1B ． 3C ． ﹣1D ． ﹣38．（5分）若，则cos α+sin α的值为（）A ．B ．C ．D ．9．（5分）将函数y=sinx 的图象上所有的点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得各点向右平行移动个单位长度，所得图象的函数解析式是（）A．y=sin（2x﹣）B．y=sin（x﹣）C．y=sin（2x﹣）D．y=sin（x﹣）10．（5分）已知直线x=0和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）图象的两条相邻的对称轴，则（）A．f（x）的最小正周期为π，且在（0，）上为单调递增函数B．f（x）的最小正周期为π，且在（0，）上为单调递减函数C．φ=，在f（x）在（0，）上为单调递减函数D．φ=，在f（x）在（0，）上为单调递增函数11．（5分）=（）A．﹣B．C．D．112．（5分）定义行列式运算，将函数的图象向左平移t（t＞0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则t的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数f（x）=，则f=．14．（5分）已知sin（α﹣）=，则cos（α+）的值等于．15．（5分）y=log（2x+）的定义域是．16．（5分）给出下列命题：①函数y=sin（π+x）是偶函数；②函数y=cos（2x+）图象的一条对称轴方程为x=；③对于任意实数x，有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），且x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则x＜0时，f′（x）＞g′（x）；④若对∀x∈R函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），则4是该函数的一个周期．其中真命题的个数为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知角α的终边经过点P（，﹣）．（1）求sinα的值．（2）求式•的值．18．（12分）已知函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）讨论f（x）在区间[0，]上的单调性．19．（12分）已知sin（π﹣α）=，α∈（0，）．（1）求sin2α﹣cos2的值；（2）求函数f（x）=cosαsin2x﹣cos2x的单调递减区间．20．（12分）函数的部分图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）设，求函数g（x）在上的最大值，并确定此时x的值．21．（12分）已知α，β∈（0，π），且tanα=2，cosβ=﹣．（1）求cos2α的值；（2）求2α﹣β的值．22．（12分）已知f（x）=x3+ax2﹣a2x+2．（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若a≠0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若不等式2xlnx≤f′（x）+a2+1恒成立，求实数a的取值范围．辽宁省大连四十八中2015届高三上学期第一次摸底数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.每题只有一个选项符合题意）1．（5分）设U=R，M={x|x2﹣x≤0}，函数f（x）=的定义域为D，则M∩（∁U D）=（）A．[0，1）B．（0，1）C．[0，1] D．{1}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出M中不等式的解集确定出M，求出f（x）的定义域确定出D，根据全集U=R，求出D的补集，找出M与D补集的交集即可．解答：解：由M中的不等式变形得：x（x﹣1）≤0，解得：0≤x≤1，即M=[0，1]，由f（x）=，得到x﹣1＞0，即x＞1，∴D=（1，+∞），∵全集U=R，∴∁U D=（﹣∞，1]，则M∩（∁U D）=[0，1]．故选：C．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．（5分）设a=log0.34，b=log43，c=0.3﹣2，则a、b、c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜a＜c考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：由指数函数和对数函数的图象可以判断a、b、c和0、1的大小，从而可以判断a、b、c的大小解答：解：由指数函数和对数函数的图象可以得到：a＜0，0＜b＜1，c＞1，所以a＜b＜c 故选A点评：本题考查利用插值法比较大小，熟练掌握指数函数和对数函数的图象和取值的分布是解决本题的关键．3．（5分）已知，，则sin（α+π）等于（）A．B．C．D．考点：诱导公式的作用；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的求值．分析：根据α的范围，由tanα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，进而求出sinα的值，原式利用诱导公式化简后，将sinα的值代入计算即可求出值．解答：解：∵α∈（，π），tanα=﹣，∴cosα=﹣=﹣，sinα==，则sin（α+π）=﹣sinα=﹣．故选：D．点评：此题考查了诱导公式的作用，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．4．（5分）与﹣525°的终边相同的角可表示为（）A．525°﹣k•360°（k∈Z）B．165°+k•360°（k∈Z）C．195°+k•360°（k∈Z）D．﹣195°+k•360°（k∈Z）考点：终边相同的角．专题：三角函数的求值．分析：直接利用终边相同的角的表示方法，写出结果即可．解答：解：∵﹣525°=﹣2×360°+195°，∴195°与﹣525°终边相同，由此可得与角﹣525°终边相同的角一定可以写成195°+k•360°（k∈Z）的形式，故选：C．点评：本题考查终边相同的角的表示方法，是基础题．5．（5分）在△ABC中，若tanAtanB=tanA+tanB+1，则cosC=（）A．B．C．D．考点：两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用两角和与差的正切函数公式化简tan（A+B），将已知等式变形后代入求出tan （A+B）的值，进而确定出tanC的值，利用特殊角的三角函数值求出C的度数，即可确定出cosC的值．解答：解：∵tanAtanB=tanA+tanB+1，即tanA+tanB=tanAtanB﹣1，∴tan（A+B）==﹣1，即tan（A+B）=﹣tanC=﹣1，∴tanC=1，即C=，则cosC=cos=．故选B点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．6．（5分）下列命题错误的是（）A．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p为：∀x∈R，均有x2+x+1≥0B．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件考点：复合命题的真假．专题：阅读型．分析：根据命题：∃x∈R，使得x2+x+1＜0是特称命题，其否定为全称命题，即：∀x∈R，均有x2+x+1≥0，从而得到答案．故A对；根据逆否命题的写法进行判断B即可；P∧q为假命题⇒P、q不均为真命题．故C错误；利用充分不必要条件的判定方法即可进行D的判定．解答：解：∵命题：∃x∈R，使得x2+x+1＜0是特称命题∴否定命题为：∀x∈R，均有x2+x+1≥0，从而得到答案．故A对B命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”故②正确；C：若P∧q为假命题，则P、q不均为真命题．故③错误；D“x＞2”⇒“x2﹣3x+2＞0”，反之不成立，“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件，故选C．点评：这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“＞”的否定用“＜”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”．特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”．本题考查命题的真假判断与应用，解题时要认真审题，仔细解答．7．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2+f（）log2x，则f（﹣2）=（）A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：首先令x=，求出f（），写出x＞0的函数f（x）的解析式，由函数奇偶性的定义，得f（﹣2）=﹣f（2），利用x＞0的解析式求出f（2）即可．解答：解：当x＞0时，f（x）=2+f（）log2x，令x=，则f（）=2+f（）log2=2﹣f（），则f（）=1，∴x＞0时，f（x）=2+log2x，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣2）=﹣f（2），又f（2）=2+log22=3，∴f（﹣2）=﹣3．故选D．点评：本题主要考查函数的奇偶性及应用求值，注意赋值化简，正确理解函数奇偶性的定义和灵活运用，是解决问题的关键．8．（5分）若，则cosα+sinα的值为（）A．B．C．D．考点：三角函数中的恒等变换应用．分析：题目的条件和结论都是三角函数式，第一感觉是先整理条件，用二倍角公式和两角差的正弦公式，约分后恰好是要求的结论．解答：解：∵，∴，故选C点评：本题解法巧妙，能解的原因是要密切注意各公式间的内在联系，熟练地掌握这些公式的正用、逆用以及某些公式变形后的应用．9．（5分）将函数y=sinx的图象上所有的点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得各点向右平行移动个单位长度，所得图象的函数解析式是（）A．y=sin（2x﹣）B．y=sin（x﹣）C．y=sin（2x﹣）D．y=sin（x﹣）考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：利用三角函数的图象变化规律首先由y=sinx的图象上所有的点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sin x，再将y=sin x的图象上各点向右平行移动个单位长度，即得答案．解答：解：函数y=sinx y=sin xy=sin（x﹣）=sin（x﹣），故选B．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，掌握三角函数的图象变化规律是解决问题之关键，考查分析与解决问题的能力，属于基础题．10．（5分）已知直线x=0和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）图象的两条相邻的对称轴，则（）A．f（x）的最小正周期为π，且在（0，）上为单调递增函数B．f（x）的最小正周期为π，且在（0，）上为单调递减函数C．φ=，在f（x）在（0，）上为单调递减函数D．φ=，在f（x）在（0，）上为单调递增函数考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由对称性易得函数的周期，由对称性可得φ值，再由单调性可得．解答：解：化简可得f（x）=sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ﹣），∵直线x=0和x=是函数f（x）图象的两条相邻的对称轴，∴T==2（﹣0）=π，解得ω=2，∴f（x）=2sin（2x+φ﹣），由对称性可知f（0）=±2，即φ﹣=kπ+，解得φ=kπ+，由|φ|＜可知当k=﹣1时，φ=﹣，∴f（x）=2sin（2x﹣﹣）=2sin（2x﹣）=﹣2cos2x，令2kπ≤2x≤2kπ+π可得kπ≤x≤kπ+，k∈Z当k=0时，可得函数的一个单调递增区间为（0，）故选：A点评：本题考查两角和与差的三角函数，涉及三角函数的单调性和对称性，属基础题．11．（5分）=（）A．﹣B．C．D．1考点：两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：把cos85°化为cos（60°+25°），由两角和的余弦公式化简即可．解答：解：===故选：C点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，属基础题．12．（5分）定义行列式运算，将函数的图象向左平移t（t＞0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则t的最小值为（）A．B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：根据已知中行列式运算，我们易写出函数的解析式，利用辅助角公式，可将函数的解析式化为正弦型函数的形式，结合函数f（x）的图象向左平移t（t＞0）个单位后图象对应的函数为偶函数，易得平移后，初相角的终边落在y轴上，写出满足条件的t的取值，即可得到答案．解答：解：∵，∴=cos2x﹣sin2x=2sin（2x+）将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向左平移t（t＞0）个单位后可以得到函数f（x）=2sin（2x++2t）的图象则所得图象对应的函数为偶函数，则+2t=+kπ，k∈N*当k=1时，t取最小值为故选C点评：本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，其中根据已知中行列式运算法则及辅助角公式，求出函数的解析式是解答本题的关键．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数f（x）=，则f=2016．考点：函数的值；分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：利用分段函数的性质求解．解答：解：∵f（x）=，∴f=f=f（﹣1）=2﹣（﹣1）+2014=2016．故答案为：2016．点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要注意函数的性质的合理运用．14．（5分）已知sin（α﹣）=，则cos（α+）的值等于．考点：两角和与差的正弦函数．分析：利用两角和与差的三角函数化简已知条件，然后求解所求表达式的值．解答：解：sin（α﹣）=，即：sinα﹣cosα=．cos（α+）=cosα﹣sinα=﹣（sinα﹣cosα）=﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查两角和与差的三角函数，诱导公式的应用，基本知识的考查．15．（5分）y=log（2x+）的定义域是（﹣，+∞）．考点：对数函数的定义域．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数函数的性质求解．解答：解：y=log（2x+）的定义域满足2x+＞0，解得x＞﹣．∴y=log（2x+）的定义域是（﹣，+∞）．故答案为：（﹣，+∞）．点评：本题考查函数的定义域的求法，是基础题，解题时要注意对数函数的性质的合理运用．16．（5分）给出下列命题：①函数y=sin（π+x）是偶函数；②函数y=cos（2x+）图象的一条对称轴方程为x=；③对于任意实数x，有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），且x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则x＜0时，f′（x）＞g′（x）；④若对∀x∈R函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），则4是该函数的一个周期．其中真命题的个数为①③④．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据诱导公式和余弦函数的奇偶性，可判断①；根据正弦函数的对称性，可判断②；根据奇函数在对称区间上单调相同，偶函数在对称区间上单调相反，及导数符号与函数单调性的关系，可判断③；根据函数周期性的定义可判断④解答：解：函数y=sin（π+x）=﹣cosx，满足f（﹣x）=f（x）为偶函数，故①正确；由2x+=kπ，k∈Z得：x=﹣，k∈Z，故函数y=cos（2x+）图象的一条对称轴方程为﹣，k∈Z，故②错误；由已知可得函数f（x）为奇函数，函数g（x）为偶函数，当x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，函数f（x），g（x）均为均函数，故x＜0时，函数f（x）为增函数，g（x）为减函数，故f′（x）＞0，g′（x）＜0，即f′（x）＞g′（x），故③正确；若f（x+2）=﹣f（x），则f（x+4）=﹣f[（x+2）]=f（x），即4是该函数的一个周期，故答案为：①③④点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性，对称性，单调性，周期性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知角α的终边经过点P（，﹣）．（1）求sinα的值．（2）求式•的值．考点：任意角的三角函数的定义；运用诱导公式化简求值．专题：计算题．分析：（1）求出|OP|，利用三角函数的定义，直接求出sinα的值．（2）利用诱导公式化简表达式，根据角的终边所在象限，求出cosα=，可得结果．解答：解：（1）∵|OP|=，∴点P在单位圆上．（2分）由正弦函数的定义得sinα=﹣（5分）（2）原式=（9分）=..（10分）由余弦的定义可知，cosα=（11分）即所求式的值为（12分）点评：本题考查任意角的三角函数的定义，运用诱导公式化简求值，考查计算能力，推理能力，是基础题．18．（12分）已知函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）讨论f（x）在区间[0，]上的单调性．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）先利用和角公式再通过二倍角公式，将次升角，化为一个角的一个三角函数的形式，通过函数的周期，求实数ω的值；（2）由于x是[0，]范围内的角，得到2x+的范围，然后通过正弦函数的单调性求出f（x）在区间[0，]上的单调性．解答：解：（1）f（x）=4cosωxsin（ωx+）=2sinωx•cosωx+2cos2ωx=（sin2ωx+cos2ωx）+=2sin（2ωx+）+，所以 T==π，∴ω=1．（2）由（1）知，f（x）=2sin（2x+）+，因为0≤x≤，所以≤2x+≤，当≤2x+≤时，即0≤x≤时，f（x）是增函数，当≤2x+≤时，即≤x≤时，f（x）是减函数，所以f（x）在区间[0，]上单调增，在区间[，]上单调减．点评：本题考查三角函数的化简求值，恒等关系的应用，注意三角函数值的变换，考查计算能力，常考题型．19．（12分）已知sin（π﹣α）=，α∈（0，）．（1）求sin2α﹣cos2的值；（2）求函数f（x）=cosαsin2x﹣cos2x的单调递减区间．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的求值．分析：（1）由sin（π﹣α）=，可得sinα=，由于α∈（0，），可得cos．再利用倍角公式即可得出．（2）利用两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性即可得出．解答：解：（1）∵sin（π﹣α）=，∴s inα=，∵α∈（0，），∴cos．∴sin2α﹣cos2=2sinαcosα﹣==．（2）函数f（x）=cosαsin2x﹣cos2x=sin2x﹣cos2x=．由，解得（k∈Z）．∴函数f（x）单调递减区间为（k∈Z）．点评：本题考查了倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性、同角三角函数的基本关系式，考查了计算能力，属于中档题．20．（12分）函数的部分图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）设，求函数g（x）在上的最大值，并确定此时x的值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的最值．专题：计算题；数形结合．分析：（Ⅰ）由图读出A，最高点到时左边第一个零点的横坐标的差的绝对值为四分之一周期，求出周期T，进而求出ω，代入点的坐标求出φ，得f（x）的解析式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）的解析式，把x﹣代入求f（x﹣），进而求出g（x），利用降幂公式得一个角一个三角函数值，由x的范围，求出3x+的范围，借助余弦函数的图象，求出cos（3x+）的范围，进一步求出最大值．解答：解：（Ⅰ）由图知A=2，，则∴∴f（x）=2sin（x+φ），∴2sin（×+φ）=2，∴sin（+φ）=1，∴+φ=，∴φ=，∴f（x）的解析式为（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：∴∵∴∴当即时，g（x）max=4点评：给出条件求y=Asin（ωx+φ）的解析式，条件不管以何种方式给出，一般先求A，再求ω，最后求φ；求三角函数最值时，一般要把式子化为y=Asin（ωx+φ）+B或y=Acos （ωx+φ）+B的形式，从x的范围由里向外扩，一直扩到Asin（ωx+φ）+B或Acos（ωx+φ）+B的范围，即函数f（x）的值域，数形结合，看ωx+φ为多少时，取得最值．用到转化化归的思想．21．（12分）已知α，β∈（0，π），且tanα=2，cosβ=﹣．（1）求cos2α的值；（2）求2α﹣β的值．考点：二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：（1）利用二倍角的余弦函数，通过分母“1=sin2α+cos2α”的代换，然后化简分式2tanα的形式，代入数值全家健康．（2）通过α，β的范围求出sin2α，sinβ，通过二倍角的正弦函数，求出sin（2α﹣β）的值，结合角的范围求出角的大小即可．解答：解：（1）cos2α=cos2α﹣sin2α==，因为tanα=2，所以，所以cos2α=．（2）因为α∈（0，π），且tanα=2，所以又cos2α=，∴，，因为β∈（0，π），cosβ=﹣．所以，，所以sin（2α﹣β）=sin2αcosβ﹣cos2αsinβ==﹣，又，∴2α﹣β=﹣．点评：本题考查同角三角函数的基本关系式，二倍角的余弦函数与两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力，注意角的范围是解题的关键．22．（12分）已知f（x）=x3+ax2﹣a2x+2．（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若a≠0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若不等式2xlnx≤f′（x）+a2+1恒成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出切点坐标，斜率k，k=f′（1），用点斜式即可求出方程；（Ⅱ）解含参的不等式：f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；（Ⅲ）分离出参数a后，转化为函数的最值问题解决，注意函数定义域．解答：解：（Ⅰ）∵a=1，∴f（x）=x3+x2﹣x+2，∴f′（x）=3x2+2x﹣1，∴k=f′（1）=4，又f（1）=3，所有切点坐标为（1，3）．∴所求切线方程为y﹣3=4（x﹣1），即4x﹣y﹣1=0．（Ⅱ）f′（x）=3x2+2ax﹣a2=（x+a）（3x﹣a）由f′（x）=0，得x=﹣a或x=．（1）当a＞0时，由f′（x）＜0，得﹣a＜x＜；由f′（x）＞0，得x＜﹣a或x＞，此时f（x）的单调递减区间为（﹣a，），单调递增区间为（﹣∞，﹣a）和（，+∞）．（2）当a＜0时，由f′（x）＜0，得；由f′（x）＞0，得x＜或x＞﹣a．此时f（x）的单调递减区间为（，﹣a），单调递增区间为（﹣∞，）和（﹣a，+∞）．综上：当a＞0时，f（x）的单调递减区间为（﹣a，），单调递增区间为（﹣∞，﹣a）和（，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调递减区间为（，﹣a），单调递增区间为（﹣∞，）和（﹣a，+∞）．（Ⅲ）依题意x∈（0，+∞），不等式2xlnx≤f′（x）+a2+1恒成立，等价于2xlnx≤3x2+2ax+1在（0，+∞）上恒成立，可得a≥lnx﹣x﹣在（0，+∞）上恒成立，设h（x）=lnx﹣﹣，则h′（x）=﹣+=﹣．令h′（x）=0，得x=1，x=﹣（舍），当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0，当x变化时，h′（x），h（x）变化情况如下表：x （0，1） 1 （1，+∞）h′（x）+ 0 ﹣h（x）单调递增﹣2 单调递减∴当x=1时，h（x）取得最大值，h（x）max=﹣2，∴a≥﹣2．∴a的取值范围是[﹣2，+∞）．点评：本题考查了导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性、求函数最值问题，不等式恒成立常转化为函数最值问题解决．。