2018年高考一轮北师大版数学理科 第6章 第1节 课时分层训练32 不等式的性质与一元二次不等式

课时分层训练(三十二) 不等式的性质与一
元二次不等式
A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)
一、选择题
1．已知a >b ，c >d ，且c ，d 不为0，那么下列不等式成立的是( ) A ．a d>bc B ．ac >b d C ．a －c >b －d
D ．a ＋c >b ＋d
D [由不等式的同向可加性得a ＋c >b ＋d.] 2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
x ＋2， x ≤0，
－x ＋2， x >0，
则不等式f (x )≥x 2的解集为( )
【导学号：57962271】
A ．[－1,1]
B ．[－2,2]
C ．[－2,1]
D ．[－1,2]
A [法一：当x ≤0时，x ＋2≥x 2， ∴－1≤x ≤0；①
当x >0时，－x ＋2≥x 2，∴0<x ≤1.② 由①②得原不等式的解集为{x |－1≤x ≤1}． 法二：作出函数y ＝f (x )和函数y ＝x 2的图像，如图，
由图知f (x )≥x 2的解集为[－1,1]．]
3．设a ，b 是实数，则“a >b >1”是“a ＋1a >b ＋1
b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
A [因为a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝(a －b )(ab －1)ab ，若a >b >1，显然a ＋1a －
⎝ ⎛
⎭⎪⎫b ＋1b ＝(a －b )(ab －1)ab >0，则充分性成立，当a ＝12，b ＝23时，显然不等式a ＋1a >b ＋1
b 成立，
但a >b >1不成立，所以必要性不成立．]
4．(2016·吉林一模)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x | x <－1或x >13，则f (e x )>0的解集为( )
A ．{x |x <－1或x >－ln 3}
B ．{x |－1<x <－ln 3}
C ．{x |x >－ln 3}
D ．{x |x <－ln 3}
D [设－1和1
3是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个实数根， ∴a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋13＝23， b ＝－1×13＝－1
3，
∵一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x | x <－1或x >13，
∴f (x )＝－⎝ ⎛
⎭⎪⎫x 2＋23x －13＝－x 2－23x ＋13，
∴f (x )>0的解集为x ∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫－1，13. 不等式f (e x )>0可化为－1<e x <1
3. 解得x <ln 1
3， ∴x <－ln 3，
即f (e x )>0的解集为{x |x <－ln 3}．]
5．若集合A ＝{}x |ax 2
－ax ＋1<0＝∅，则实数a 的值的集合是( )
【导学号：57962272】
A ．{a |0<a <4}
B ．{a |0≤a <4}
C ．{a |0<a ≤4}
D ．{a |0≤a ≤4}
D [由题意知a ＝0时，满足条件，
a ≠0时，由⎩⎨⎧
a >0，
Δ＝a 2
－4a ≤0， 得0<a ≤4，所以0≤a ≤4.] 二、填空题
6．(2016·辽宁抚顺一模)不等式－2x 2＋x ＋1>0的解集为__________.
【导学号：57962273】
⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12，1 [－2x 2＋x ＋1>0，即2x 2－x －1<0，(2x ＋1)(x －1)<0，解得－12<x <1，∴不等式－2x 2＋x ＋1>0的解集为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，1.]
7．(2017·南京、盐城二模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
12
x ＋1，x ≤0，
－(x －1)2，x >0，则不等式f (x )≥
－1的解集是__________．
[－4,2] [不等式f (x )≥－1⇔⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≤0，1
2
x ＋1≥－1或⎩
⎨⎧
x >0，
－(x －1)2
≥－1，解得－4≤x ≤0或0<x ≤2，故不等式f (x )≥－1的解集是[－4,2]．]
8．(2016·西安质检)在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a
b c
d ＝a d －bc .若不等式⎪⎪⎪⎪
⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为__________．
3
2 [原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1， 即x 2－x －1≥(a ＋1)(a －2)对任意x 恒成立， x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－5
4≥－54，
所以－54≥a 2－a －2，解得－12≤a ≤3
2.] 三、解答题
9．设x <y <0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)(x ＋y )的大小.
【导学号：57962274】
[解] (x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y ) ＝(x －y )[(x 2＋y 2)－(x ＋y )2]
＝－2xy (x －y ).
5分
∵x <y <0，∴xy >0，x －y <0，∴－2xy (x －y )>0，8分 ∴(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y ). 12分
10．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；
(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值． [解] (1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3， 2分
∴原不等式可化为a 2－6a －3<0， 解得3－23<a <3＋23，
∴原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}.
5分
(2)f (x )>b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，8分
等价于⎩⎪⎨⎪⎧
－1＋3＝a (6－a )
3，
－1×3＝－6－b
3，
解得⎩
⎨⎧
a ＝3±3，
b ＝－3.
12分
B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)
1．(2016·九江一模)若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－2)
B ．(－2，＋∞)
C ．(－6，＋∞)
D ．(－∞，－6)
A [不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)ma x ，令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，∴g (x )<g (4)＝－2，∴a <－2.]
2．在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )，若不等式(x －y )*(x ＋y )<1对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是__________.
【导学号：57962275】
⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12，32 [由题意知(x －y )*(x ＋y )＝(x －y )·[1－(x ＋y )]<1对一切实数x 恒成立，所以－x 2＋x ＋y 2－y －1<0对于x ∈R 恒成立．
故Δ＝12－4×(－1)×(y 2－y －1)<0， 所以4y 2－4y －3<0，解得－12<y <3
2.]
3．(2016·北京朝阳统一考试)已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R . (1)若a ＝2，试求函数y ＝f (x )
x (x >0)的最小值；
(2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围.
【导学号：57962276】
[解] (1)依题意得y ＝f (x )x ＝x 2
－4x ＋1x ＝x ＋
1
x －4.
因为x >0，所以x ＋1
x ≥2，
2分
当且仅当x ＝1
x 时，即x ＝1时，等号成立， 所以y ≥－2.
所以当x ＝1时，y ＝f (x )
x 的最小值为－2. 5分
(2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，
所以要使得“任意x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]上恒成立”.
7分
不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，
则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可， 所以⎩⎨⎧
g (0)≤0，g (2)≤0，
即⎩⎨⎧
0－0－1≤0，4－4a －1≤0，10分 解得a ≥3
4，
则a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫
34，＋∞.
12分。