2017-2018年广西南宁三中高一(上)期中数学试卷及参考答案

2017-2018学年广西南宁三中高一（上）期中数学试卷一、选择题：（每个小题有且只有一个正确答案，每小题5分，共60分）1．（5.00分）设集合A={﹣1，0，1}，B={x∈R|x＞0}，则A∩B=（）A．{﹣1，0}B．{﹣1}C．{0，1}D．{1}2．（5.00分）图中阴影部分表示的集合是（）A．B∩（∁U A）B．A∩（∁U B）C．∁U（A∩B）D．∁U（A∪B）3．（5.00分）如图给出的四个对应关系，其中构成映射的是（）A．（1）（2）B．（1）（4）C．（1）（2）（4）D．（3）（4）4．（5.00分）下列函数中指数函数的个数是（）①y=2x；②y=x2；③y=2x+1；④y=x x；⑤y=（6a﹣3）x．A．0 B．1 C．2 D．35．（5.00分）下列说法：（1）的运算结果是±3；（2）16的4次方根是2；（3）当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义；（4）当n为大于1的奇数时，对任意a∈R有意义．其中正确的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．16．（5.00分）已知函数y=f（x）的定义域为（1，3），则函数y=f（2x+1）的定义域为（）A．（1，3） B．（3，7） C．（0，1） D．（﹣1，1）7．（5.00分）函数的单调递增区间是（）A．（﹣∞，﹣3）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，+∞）D．（1，+∞）8．（5.00分）已知函数f（x）=log2（x2+2x+a）的定义域为R，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，1]D．（﹣∞，1）∪（1，+∞）9．（5.00分）若函数是奇函数，则使成立的x的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，+∞）10．（5.00分）函数f（x）=a x与g（x）=﹣x+a的图象大致是（）A． B．C．D．11．（5.00分）设a=0.50.6，b=0.60.5，c=log0.60.5，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c12．（5.00分）若不等式对任意的x∈（﹣∞，1]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，]C．[0，+∞）D．[，+∞）二、填空题（填写化简后的答案，每小题5分，共20分）13．（5.00分）A={1，2，3}，B={1，2}，定义集合间的运算A+B={x|x=x1+x2，x1∈A，x2∈B}，则集合A+B中元素的最大值是．14．（5.00分）函数f（x）=4+log a（x﹣1）（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，则点A的坐标是．15．（5.00分）方程|x2﹣2|﹣ln|x|=0的根的个数是．16．（5.00分）已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是．三、解答题：（共6大题，满分70分，每题必须写出详细的解答或证明过程）17．（10.00分）计算：．18．（12.00分）已知集合A={x|x2﹣3x﹣10≤0}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}．（1）若m=3时，求A∩B，A∪B；（2）若A∪B=A，求实数m的取值范围．19．（12.00分）已知函数f（x）=log a（1+x）+log a（3﹣x）（a＞0且a≠1）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的最小值为﹣2，求实数a的值．20．（12.00分）求函数f（x）=4x﹣2x+2+5，x∈[﹣2，2]的最大值、最小值，并指出f（x）取最大、最小值时x的值．21．（12.00分）已知函数f（x）=4x2﹣4ax+（a2﹣2a+2）的定义域为[0，2]．（1）当a=1时，求函数f（x）的值域；（2）若函数f（x）的最小值为3，求实数a的值．22．（12.00分）设函数f（x）的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．（1）求证：f（0）=1，且当x＜0时，有f（x）＞1；（2）判断f（x）在R上的单调性；（3）设集合A={（x，y）|f（x2）•f（y2）＞f（1）}，B={（x，y）|f（ax﹣y+2）=1，a∈R}，若A∩B=∅，求a的取值范围．2017-2018学年广西南宁三中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每个小题有且只有一个正确答案，每小题5分，共60分）1．（5.00分）设集合A={﹣1，0，1}，B={x∈R|x＞0}，则A∩B=（）A．{﹣1，0}B．{﹣1}C．{0，1}D．{1}【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B={x∈R|x＞0}，∴A∩B={1}，故选：D．2．（5.00分）图中阴影部分表示的集合是（）A．B∩（∁U A）B．A∩（∁U B）C．∁U（A∩B）D．∁U（A∪B）【解答】解：由韦恩图可以看出，阴影部分是B中去A那部分所得，即阴影部分的元素属于B且不属于A，即B∩（C U A）故选：A．3．（5.00分）如图给出的四个对应关系，其中构成映射的是（）A．（1）（2）B．（1）（4）C．（1）（2）（4）D．（3）（4）【解答】解：（1）（4）可以构成映射；在（2）中，1，4在后一个集合中找不到对应的元素，故不是映射；在（3）中，1对应了两个数3，4，故也不是映射；故选：B．4．（5.00分）下列函数中指数函数的个数是（）①y=2x；②y=x2；③y=2x+1；④y=x x；⑤y=（6a﹣3）x．A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：只有①⑤是指数函数；②底数不是常数，故不是指数函数；③y=2x+1=2×2x是2与指数函数y=2x的乘积；④中底数x不是常数，它们都不符合指数函数的定义．故选：C．5．（5.00分）下列说法：（1）的运算结果是±3；（2）16的4次方根是2；（3）当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义；（4）当n为大于1的奇数时，对任意a∈R有意义．其中正确的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：（1）这种符号表示（偶次方根）的结果只能是正数；所以（1）不正确；（2）这种文字表示（偶次方根）的结果有正有负，即±2；所以（2）不正确；（3）当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义；正确；（4）当n为大于1的奇数时，对任意a∈R有意义；正确．故选：C．6．（5.00分）已知函数y=f（x）的定义域为（1，3），则函数y=f（2x+1）的定义域为（）A．（1，3） B．（3，7） C．（0，1） D．（﹣1，1）【解答】解：由函数y=f（x）的定义域为（1，3），∴对y=f（2x+1），有1＜2x+1＜3，解得0＜x＜1，即y=f（2x+1）的定义域为（0，1）．故选：C．7．（5.00分）函数的单调递增区间是（）A．（﹣∞，﹣3）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，+∞）D．（1，+∞）【解答】解：令t=x2+2x﹣3＞0，求得x＜﹣3，或x＞1，故函数的定义域为{x|x ＜﹣3，或x＞1 }，且y=，故本题即求函数t在定义域内的减区间，再利用二次函数的性质求得t在定义域内的减区间为（﹣∞，﹣3），故选：A．8．（5.00分）已知函数f（x）=log2（x2+2x+a）的定义域为R，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，1]D．（﹣∞，1）∪（1，+∞）【解答】解：因为函数的定义域为R，所以x2+2x+a＞0恒成立，所以△=4﹣4a＜0，即a＞1，故选：A．9．（5.00分）若函数是奇函数，则使成立的x的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，+∞）【解答】解：根据题意，函数，若函数f（x）为奇函数，且其定义域为R，则有f（0）==0，解可得a=1，则，∴x＞1，即x的取值范围为（1，+∞）；故选：D．10．（5.00分）函数f（x）=a x与g（x）=﹣x+a的图象大致是（）A． B．C．D．【解答】解：直线g（x）=﹣x+a的斜率为﹣1，故排除C，D；对于选项A，由函数f（x）=a x知a＞1，由g（x）=﹣x+a知a＞1；对于选项B，由函数f（x）=a x知a＞1，由g（x）=﹣x+a知0＜a＜1；故选：A．11．（5.00分）设a=0.50.6，b=0.60.5，c=log0.60.5，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c【解答】解：由y=0.5x为减函数知0.50.6＜0.50.5，由y=x0.5为增函数知0.50.5＜0.60.5，所以0.50.6＜0.60.5，又由y=0.6x为减函数，当x＞0时，y＜1，故0.60.5＜1，又y=log0.6x为减函数，所以log0.60.5＞log0.60.6=1，故选：D．12．（5.00分）若不等式对任意的x∈（﹣∞，1]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，]C．[0，+∞）D．[，+∞）【解答】解：由，得，即所以1+2x+（1﹣a）4x≥4x，1+2x≥a•4x即对任意的x∈（﹣∞，1]恒成立．设（x∈（﹣∞，1]），由与都是（﹣∞，1]上的减函数，则f（x）为减函数故f（x）min=f（1）=，∴．故选：B．二、填空题（填写化简后的答案，每小题5分，共20分）13．（5.00分）A={1，2，3}，B={1，2}，定义集合间的运算A+B={x|x=x1+x2，x1∈A，x2∈B}，则集合A+B中元素的最大值是5．【解答】解：A={1，2，3}，B={1，2}，定义集合间的运算A+B={x|x=x1+x2，x1∈A，x2∈B}，集合A+B是由A中的一个元素与B中的一个元素相加构成，∴集合A+B={2，3，4，5}，故集合A+B中最大值是3+2=5．故答案为：5．14．（5.00分）函数f（x）=4+log a（x﹣1）（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，则点A的坐标是（2，4）．【解答】解：由对数的性质可知：x﹣1=1，可得x=2，当x=2时，y=4．∴图象恒过定点A的坐标为（2，4）．故答案为（2，4）15．（5.00分）方程|x2﹣2|﹣ln|x|=0的根的个数是4．【解答】解：由|x2﹣2|﹣ln|x|=0得|x2﹣2|=ln|x|分别作出函数y=|x2﹣2|与y=ln|x|的图象，由于图象有四个交点，所以原方程有四个根．故答案为：4．16．（5.00分）已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是（﹣7，3）．【解答】解：因为f（x）为偶函数，所以f（|x+2|）=f（x+2），则f（x+2）＜5可化为f（|x+2|）＜5，即|x+2|2﹣4|x+2|＜5，（|x+2|+1）（|x+2|﹣5）＜0，所以|x+2|＜5，解得﹣7＜x＜3，所以不等式f（x+2）＜5的解集是（﹣7，3）．故答案为：（﹣7，3）．三、解答题：（共6大题，满分70分，每题必须写出详细的解答或证明过程）17．（10.00分）计算：．【解答】解：∵log23•log32=1，，，，∴．18．（12.00分）已知集合A={x|x2﹣3x﹣10≤0}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}．（1）若m=3时，求A∩B，A∪B；（2）若A∪B=A，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵集合A={x|x2﹣3x﹣10≤0}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，∴m=3时，A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|4≤x≤7}，∴A∩B={x|4≤x≤5}，A∪B={x|﹣2≤x≤7}．（2）∵集合A={x|x2﹣3x﹣10≤0}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，A∪B=A，∴由题意知B⊆A，当m+1＞2m﹣1，即m＜2时，B=∅，符合题意；当B≠∅时，，即2≤m≤3，综上所述：实数m的取值范围是{m|m≤3}．19．（12.00分）已知函数f（x）=log a（1+x）+log a（3﹣x）（a＞0且a≠1）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的最小值为﹣2，求实数a的值．【解答】解：（1）要使函数有意义则…（3分）∴函数f（x）的定义域为（﹣1，3）…（4分）．（2）∵f（x）=log a（1+x）（3﹣x）==…（6分）当0＜a＜1时，则当x=1时，f（x）有最小值log a4，∴log a4=﹣2，a﹣2=4，∵0＜a＜1，∴…（9分）当a＞1时，则当x=1时，f（x）有最大值log a4，f（x）无最小值，此时a无解…（10分），综上知，所求．20．（12.00分）求函数f（x）=4x﹣2x+2+5，x∈[﹣2，2]的最大值、最小值，并指出f（x）取最大、最小值时x的值．【解答】解：f（x）=4x﹣2x+2+5=（2x）﹣4•2x+5=（2x﹣2）2+1…（3分）设t=2x，x∈[﹣2，2]，则t=2x∈[，4]，…（5分）y=（t﹣2）2+1在[，2]上单调递减，值[2，4]单调递增…（8分）所以，当t=2时，y min=1，此时x=1…（10分）当t=4时，y max=5，此时x=2…（12分）21．（12.00分）已知函数f（x）=4x2﹣4ax+（a2﹣2a+2）的定义域为[0，2]．（1）当a=1时，求函数f（x）的值域；（2）若函数f（x）的最小值为3，求实数a的值．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=4x2﹣4x+1=…（1分）∵0≤x≤2对称轴…（2分）∴∴f（x）max=f（2）=9…（4分）故函数f（x）的值域为[0，9]…（5分）（2）∵，且在[0，2]上有最小值3当时，即a＜0，，∴．…（6分）当时，即0≤a≤4，，∴（舍去）…（8分）当时，即a＞4，，∴…（10分）综上可知，a的值为或．…（12分）22．（12.00分）设函数f（x）的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．（1）求证：f（0）=1，且当x＜0时，有f（x）＞1；（2）判断f（x）在R上的单调性；（3）设集合A={（x，y）|f（x2）•f（y2）＞f（1）}，B={（x，y）|f（ax﹣y+2）=1，a∈R}，若A∩B=∅，求a的取值范围．【解答】解：（1）证明：∵f（m+n）=f（m）f（n），令m=1，n=0，则f（1）=f （1）f（0），且由x＞0时，0＜f（x）＜1，∴f（1）＞0∴f（0）=1；设m=x＜0，n=﹣x＞0，∴f（0）=f（x）f（﹣x），∴f（x）=∵﹣x＞0，∴0＜f（﹣x）＜1，∴＞1．即当x＜0时，有f（x）＞1．（2）设x1＜x2，则x2﹣x1＞0，∴0＜f（x2﹣x1）＜1，∴f（x2）﹣f（x1）=f[（x2﹣x1）+x1]﹣f（x1）=f（x2﹣x1）f（x1）﹣f（x1）=f（x1）[f（x2﹣x1）﹣1]＜0，当m=n时，f（2n）=f（n）f（n）=f（n）2≥0，所以当x∈R，f（x）≥0，所以f（x1）≥0，所以f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2＞f（x1），∴f（x）在R上单调递减．（3）∵f（x2）f（y2）＞f（1），∴f（x2+y2）＞f（1），由f（x）单调性知x2+y2＜1，又f（ax﹣y+2）=1=f（0），∴ax﹣y+2=0，又A∩B=∅，∴，∴a2+1≤4，从而．。